Apostila de Matemática Aplicada

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Apostila de Matemática Aplicada 
Professora: Sarah B. Magalhães 
Operações com números inteiros 
 
Soma 
(+2) + (+3) = +5 
(+2) + (-3) = -1 
(-3 ) + (-2) = -5 
 
Sinais iguais repete-se o sinal e somam-se os módulos. Sinais diferentes repetem-se o sinal do 
maior e diminuem-se os módulos 
 
Subtração 
(+2) – (+3) = -1 
(+5) – (-6) = +11 
(-8) – (-2) = -6 
 
O sinal negativo na frente dos parênteses troca o sinal de quem está dentro e depois se aplica a 
propriedade da soma. 
 
Multiplicação 
(+2) * (+5) = +10 (+) * (+) = + 
(+2) * (-3) = -6 (+) * (-) = - 
(-5) * (-7) = +35 (-) * (-) = + 
 
Para a multiplicação vale a regra dos sinais, depois se aplica a multiplicação dos módulos. 
 
Divisão 
(+10) / (+2) = +5 (+) / (+) = + 
(+10) / (-2) = -5 (+) / (-) = - 
(-10) / (-2) = +5 (-) / (-) = + 
 
Para a divisão vale a regra de sinais, depois se aplica a divisão dos módulos. 
 
Resolva: 
a) ( + 3 ) + ( – 2 ) + ( – 5 ) 
b) ( – 2 ) – ( + 1 ) – ( + 5 ) 
c) ( + 4 ) + ( – 2 ) – ( + 3 ) 
d) ( + 5 ) – ( – 3 ) – ( – 1 ) 
e) ( + 4 ) + ( – 6 ) – ( + 7 ) – ( – 6 ) + ( + 7 ) 
f) ( – 3 ) – ( – 5 ) + ( – 6 ) + ( + 8 ) – ( – 4 ) 
 
Efetue as multiplicações: 
a) ( + 5 ) . ( + 3 ) 
b) ( + 4 ) . ( – 5 ) 
c) ( – 8 ) . ( + 4 ) 
d) ( – 6 ) . ( – 7 ) 
e) ( – 2 ) . ( + 4 ) . ( + 3 ) . ( – 1 ) 
f) ( – 5 ) . ( – 6 ) . ( – 2 ) 
g) 2 . (- 3 ) . ( + 6 ) 
h) (- 3 ) . 5 . ( – 7 ) 
 
Efetue as divisões: 
 a) ( + 15 ) : ( + 3 ) 
b) ( + 20 ) : ( – 4 ) 
c) ( – 35 ) : ( + 7 ) 
d) ( – 40 ) : ( – 5) 
e) (+ 51 ) : (– 3 ) 
f) ( – 77 ) : ( + 11 ) 
g) 500 : ( – 25 ) 
h) ( – 750 ) : 10 
 
 
Frações 
Tipos de fração: 
- Fração própria: é aquela que o numerador é menor que o denominador. 
Ex: ( 7<9 ) 
- Fração imprópria: é aquela que o numerador é maior ou igual ao denominador. 
Exs: , 
Numa fração imprópria temos o seguinte: 
 
 Ao dividirmos 12 por 7, temos 1 inteiro, e 
sobram 5 sétimos. 
 Vejam que 7x1+5=12 
Outros exemplos: 
a) 
b) 
 
M.M.C (Mínimo múltiplo comum) 
Não há a necessidade de explicar o que é mmc, pois o próprio nome já diz que é o mínimo múltiplo 
comum. Mas o que isso significa? Vejamos: 
Qual o mmc de 4 e 6? Ou seja, qual é o menor divisor de 4 e 6 simultaneamente? 
 
Vejam que 12:3=4, assim como 12:2=6. Portanto, o mmc é 12. Vamos treinar? 
 m.m.c 
3 e 4 12 
5 e 30 30 
12 e 15 60 
8 e 6 24 
Adição e subtração de frações: 
1) Verificar se os denominadores são iguais. Se forem iguais, basta somar ou subtrair o numerador. 
Vejam os exemplos: 
a) 
b) 
c) 
2) Caso os denominadores sejam diferentes, devemos encontrar o mmc e transformar em frações 
de mesmo denominador para depois efetuarmos as operações. 
a) 
 
O mmc de 6 e 3 é igual a 6. Transformemos numa fração equivalente de denominador 6. 
 
Podemos agora somar, pois as frações possuem o mesmo denominador. Após a soma, se possível, 
simplifiquem. 
 
 
b) 
O mmc de 6 e 4 é igual a 12. Vamos transformar e em frações equivalentes de mesmo 
denominador 12. 
 
 
Assim: 
Multiplicação de frações: 
Multiplicar numerador com numerador e denominador com denominador. Se necessário, simplifique 
o produto. 
a) 
b) 
c) 
Divisão de frações: 
Na divisão de frações, vamos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Se necessário, 
simplifique. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
Potenciação 
 Sendo a um número real e n um número natural positivo, temos: 
 
 
Definição: 
 
 
 N fatores 
 
 
 
Propriedades: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) 2³=2.2.2=8 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
10) 
 
1) Efetue, observando as definições e propriedades: 
a) (-2)³ i) 
b) j) (0,5)³ 
c) 500¹ l) 15¹ 
d) 100º m) 
e) 0³ n) 
f) 0º 
o) 
g) 
p) 
h) 
q) 
2) (Fuvest) O valor de , é: 
(a) 0,0264 
(b) 0,0336 
(c) 0,1056 
(d) 0,2568 
(e) 0,6256 
3) (Fei) O valor da expressão é: 
(a) -5/6 
(b) 5/6 
(c) 1 
(d) -5/3 
(e) -5/2 
4) (UECE) O valor de é 
(a) -15/17 
(b) -16/17 
(c) -15/16 
(d) -17/16 
5) (F.C. CHAGAS) Simplificando-se a expressão , obtém-se: 
(a) 0,16 
(b) 0,24 
(c) 1,12 
(d) 1,16 
(e) 1,24 
Respostas dos testes: 2) B; 3) E; 4)B; 5) D 
 
Raízes e radicais 
 Dado um número real a e um número natural , define-se (raiz n-ésima de a) como 
sendo o número real R, se existir, tal que: 
 Para n par: 
= R desde que e 
 Para n ímpar: 
 = R desde que 
Exemplos: 
a) 
b) 
c) não existe 
d) 
e) 
* Quando n=2, a raiz n-ésima chama-se raiz quadrada, quando n=3, chama-se raiz cúbica, quando 
n=4 chama-se raiz quarta, etc. 
 Na expressão ; N chama-se índice; a chama-se radicando e chama-se radical. 
Propriedades: 
 
1) 
Dividindo o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo número diferente de 0, 
o valor do radical não se altera. 
2) 
Multiplicando o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo número diferente de 
0, o valor do radical não se altera 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
 
Exemplos: 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
 
1) Dê o valor de cada radical no campo dos número reais. Caso não exista, escreva: não existe. 
a) h) 
b) i) 
c) j) 
d) l) 
e) m) 
f) n) 
g) o) 
Não existem: (b), (h) 
2) Aplicação de propriedades: 
Exemplo 1: 
a) 
b) 
c) 
d) 
[Nota]: 25 = 5² 
e) 
Exemplo 2: 
f) 
g) 
[Nota]: 
h) 
i) 
j) 
Exemplo 3: 
l) 
m) 
n) 
Exemplos 4: ; 
o) 
p) 
q) 
r) 
Exemplo 5: 
s) 
t) 
Exemplo 6: 
u) 
v) 
x) 
z) 
Exemplo 7: 
a`) 
b`) 
c`) 
d`) 
Exemplos 8: 
 
 
e`) 
f`) 
g`) 
h`) 
i`) 
 
Equação do 1º grau 
 
Equação é qualquer igualdade que só é satisfeita para alguns valores dos seus domínios. 
 
 Ex: 2x – 5 = 3 » o número desconhecido x recebe o nome de incógnita 
 
 De princípio, sem conhecer o valor da incógnita x, não podemos afirmar se essa igualdade é verdadeira ou falsa. 
 
 Porém podemos verificar facilmente que a equação acima se torna verdadeira para x = 4. 
 
 2x – 5 = 3 » 2x = 8 » x = 4 
 
 Logo o conjunto verdade (V) ou conjunto solução (S) é 4. 
 
Equação do 1º grau 
 
 Chamamos equação do 1º grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na forma 
ax + b = 0 , onde a é diferente de 0. 
 
 ax + b = 0 ( a e b são números reais e a 0 ) 
 
 Uma equação do 1º grau pode ser resolvida usando a propriedade: 
 
 ax + b = 0 » ax = -b 
 
 x = -b / a 
 
 * Convém lembrar que podemos transformar uma equação em outra equação equivalente mais simples. Podemos 
adicionar ou subtrair um mesmo número a ambos os membros da igualdade. E multiplicar ou dividir ambos os 
membros de uma equação por um número diferente de zero. 
 
 Ex: x – 5 = 0 » x –5 + 3 = 0 + 3 » x = 5 
 
 4x = 8 » 3.4x = 3.8 » x = 2 
 
 Resolução de equações do 1º grau: 
 
 Resolver uma equaçãosignifica encontrar valores de seus domínios que a satisfazem. 
 Para resolver equações do 1º grau, basta colocar as incógnitas de um lado do sinal (=) e os "números" do outro. 
 
 Para assimilarmos, vamos resolver alguns exemplos. 
 
 Determine o valor da incógnita x: 
 
 a) 2x – 8 = 10 
 
 2x = 10 + 8 
 
 2x = 18 
 
 x = 9 » V = {9} 
 
 
 b) 3 – 7.(1-2x) = 5 – (x+9) 
 
 3 –7 + 14x = 5 – x – 9 
 
 14x + x = 5 – 9 – 3 + 7 
 
 15x= 0 
 
 x = 0 » V= {0} 
 
Resolva as equações: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
m) 
n) 
o) 
p) 
q) 
r) 
s) 
t) 
u) 
 
 
 
 
Respostas das questões: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
 
 
e) 
f) 
 
 
 
g) 
 
 
 
h) 
 
 
 
i) 
 
 
 
j) 
 
 
 
k) 
l) 
m) 
n) 
o) 
 
 
 
p) 
q) 
r) 
s) 
 
 
 
t) 
 
Sistemas de equações 
Noções: 
 A soma de dois números é 12 e a diferença entre eles é 4. Quais são estes números? 
 Para a resolução de problemas como este que apresenta duas incógnitas desconhecidas, 
utilizamos um sistema de equações. 
 Chamamos de x o primeiro número (o maior) e de y o segundo número. 
Pelo enunciado: 
 » soma de dois números é 12, ou seja: x+y = 12 ...I 
 » a diferença entre eles é 4, isto é : x-y = 4 .....II 
 A solução de um sistema de equações com duas variáveis é um par ordenado (x,y) de números 
reais que satisfaz as duas equações ( I e II ). 
 Verificando o par ordenado (8,4), notamos que satisfaz as duas equações: 
 8+4=12 e 8-4=4 , logo a solução do sistema é (8,4) 
 Vejamos agora os métodos para a resolução de sistema de equações: 
Método da adição: 
 
 » basta eliminar uma das variáveis, através de termos opostos, recaindo numa equação do 1º grau 
com uma variável. 
Ex: x+y=12 
 x-y=4 
 Notamos que as duas equações possuem termos opostos 
(y e -y). 
 Com isso, basta somar as duas equações: 
 
 
 
 
 
 A seguir, basta substituir o valor encontrado para x em uma das equações. 
 8+y=12 ou 8-y=4 
 y=12-8 -y=4-8 
 y=4 y=4 
 
 O par ordenado (x,y)=(8,4) é a solução do sistema. 
Outro exemplo: 
 ... I 
 .. II 
 » Note que as equações não possuem coeficientes opostos, logo se somarmos membro a 
membro, não eliminaremos nenhuma variável. 
 Para a resolução deste sistema, devemos escolher uma variável para ser eliminada. 
 Para isso, multiplicamos a equação I por -2: 
 ... I 
 ... II 
 0x + 0y = 6 .... III 
 Observe que a equação III não possui solução, logo a solução do sistema seria vazio. 
 S= { } 
Método da substituição: 
 » Consiste em eliminarmos uma das variáveis isolando seu valor numa das equações do sistema, 
para em seguida substitui-la na outra. 
Ex: x+y=12 ... I 
 x-y=4 .... II 
 Escolhemos uma das variáveis na primeira equação, para determinarmos o seu valor: 
 x+y=12 » x=12-y 
 Substituímos na outra equação: 
 
 (12-y) - y = 4 
 12-2y = 4 
 -2y = -8 
 y=4 
 Substituindo o valor encontrado em uma das equações: 
 
 x+4=12 » x=12-4 » x=8 
 Logo a solução do sistema seria: 
 S = {(8,4)} 
Ex: 
 ... I 
 ... II 
 Escolhemos a variável y da equação II: 
 ... II 
 Substituindo na equação II : 
 
 
 
 
 Substituindo o valor de x encontrado em II: 
 
 Logo a solução do sistema é : 
 S = {( 10,4 )} 
Método da comparação: 
» Consiste em comparamos as duas equações do sistema, após termos isolado a mesma variável (x 
ou y) nas duas equações: 
 x+2y=2 » x=2-2y 
 x+y = 3 » x=3-y 
 
 Comparando as duas equações: 
 2-2y=3-y 
 -2y+y=3-2 
 -y = 1 
 y = -1 
 Substituindo o valor de y encontrado: 
 x = 2-2.(-1) » x=2+2=4 
 Portando S= {(4,-1)} 
 
Resolva os seguintes sistemas: 
a) 
b) 
c) 
d) 
2) Problemas com sistemas já montados: 
a) Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 23 animais e 82 pes. Quantas são as galinhas 
e os coelhos? 
x+y=23 
2x+4y=82 
b) A soma das idades de duas pessoas é 25 anos e a diferença entre essas idades é de 13 anos. 
Qual a idade de cada uma? 
x+y=25 
x-y=13 
c) A soma de dois números é 50 e o maior deles é igual ao dobro do menor, menos 1. Quais são os 
números? 
x+y=50 
x=2y-1 
d) Duas pessoas ganharam, juntas, 50 reais por um trabalho e uma delas ganhou 25% do que a 
outra. Quanto ganhou cada pessoa? 
x+y=50 
x=1/4y 
e) O preço de uma caneta é o dobro do preço de uma lapiseira e duas canetas juntas custam 
30. Qual o preço da caneta e da lapiseira? 
x=2y 
x+y=30 
3) (Fuvest) Um copo cheio de água pesa 325g. Se jogarmos metade da água fora, seu peso cai para 
180g. O peso do copo vazio é? 
(A) 20g 
(B) 25g 
(C) 35g 
(D) 40g 
(E) 45g 
4) (F.C.CHAGAS) Somando-se os 2/3 de um número x como os 3/5 do número y, obtém-se 84. Se o 
número x é metade do número y, então a diferença y-x é igual a: 
(A) 18 
(B) 25 
(C) 30 
(D) 45 
(E) 60 
Respostas dos testes: 3)C, 4)D 
 
 
 
Operações com polinômios 
 
I – Adição de polinômios 
 
Para a adição de polinômios, devemos reduzir seus termos semelhantes. 
 
Exemplos: 
a) 
 
1º passo: eliminamos os parênteses fazendo jogo de sinal no segundo parênteses. 
 
 
 
2º passo: reduzimos os termos semelhantes. 
 
 
 
Percebe-se que juntamos x² com x², x com x e termo independente com termo independente. 
 
Questão: 
 
1 – Efetue as seguintes adições: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
 
 
II – Subtração de polinômios 
 
Para a subtração de polinômios, devemos reduzir seus termos semelhantes. 
 
Exemplos: 
a) 
 
1º passo: eliminamos os parênteses fazendo jogo de sinais. 
 
 
 
2º passo: reduzimos os termos semelhantes. 
 
 
 
Percebe-se que juntamos x² com x², x com x e termo independente com termo independente. 
 
Questão 
 
1 – Efetue as seguintes subtrações: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
 
2 – Dados os polinômios: 
3²3
12²4
35²2



xxC
xxB
xxACalcule: 
 
a) A + B 
b) A – B 
c) A + C 
d) C – A 
e) B + C 
f) B – C 
g) B – A 
h) C – B 
 
3 – Dados os polinômios: 
3²2
52²7
84²5



xG
xxF
xxE
 
 
Calcule: 
 
a) E + F – G 
b) E – F + G 
c) E – F – G 
d) G + F – E 
e) G – E – F 
f) G – F + E 
 
 
III – Multiplicação de polinômios 
 
Multiplicamos cada termo de um polinômio por todos os termos do outro polinômio e a seguir 
reduzimos os termos semelhantes. 
 
Exemplos: 
 
 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
Questão 
 
1 – Calcule os produtos: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
m) 
n) 
o) 
p) 
2 – Calcule os produtos: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
 
3 – Calcule os produtos: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
4 – Dados os polinômios: 
 
 
 
 
 
 
Calcule os seguintes produtos: 
 
a) A.B 
b) B.C 
c) A.B.C 
d) B.C.D 
 
 
 
 
 
Equação do 2º grau 
 Denomina-se equação do segundo grau, toda a equação do tipo ax²+bx+c, com coeficientes 
numéricos a.b e c com . 
Exemplos: 
Equação a b c 
x²+2x+1 1 2 1 
5x-2x²-1 -2 5 -1 
 
Classificação: 
- Incompletas: Se um dos coeficientes ( b ou c ) for nulo, temos uma equação do 2º grau 
incompleta. 
1º caso: b=0 
Considere a equação do 2º grau incompleta: 
x²-9=0 » x²=9 » x= » x= 
2º caso: c=0 
Considere a equação do 2º grau incompleta: 
x²-9x=0 » Basta fatorar o fator comum x 
x(x-9)=0 » x=0,9 
3º caso: b=c=0 
2x²=0 » x=0 
Resolução de equações do 2º grau: 
 A resolução de equações do 2º grau incompletas já foi explicada acima, vamos agora resolver 
equações do 2º grau completas, ou seja, do tipo ax²+bx+c=0 com a, b e c diferentes de zero. 
- Uma equação do 2º grau pode ter até 2 raízes reais, que podem ser determinadas pela fórmula de 
Bháskara. 
 Como Bháskara chegou até a fórmula de resolução de equações do 2º grau? 
 Considerando a equação: ax²+bx+c=0, vamos determinar a fórmula de Bháskara: 
 Multiplicamos os dois membros por 4a: 
 4a²x²+4abx+4ac=0 
 4a²x²+4abx=-4ac 
 
 Somamos b² aos dois membros: 
 4a²x²+4abx+b²=b²-4ac 
 Faturamos o lado esquerdo e chamamos de (delta) 
b²-4ac: 
 (2ax+b)²= 
 2ax+b= 
 2ax=-b 
 Logo: 
 ou 
 
Fórmula de Bháskara: 
 
 
 
 
 
 Utilizando a fórmula de Bháskara, vamos resolver alguns exercícios: 
1) 3x²-7x+2=0 
a=3, b=-7 e c=2 
 = (-7)²-4.3.2 = 49-24 = 25 
Substituindo na fórmula: 
= 
 e 
Logo, o conjunto verdade ou solução da equação é: 
 
2) -x²+4x-4=0 
a=-1, b=4 e c=-4 
= 4²-4.-1.-4 = 16-16 = 0 
Substituindo na fórmula de Bháskara: 
 » x=2 
 
 
- Neste caso, tivemos uma equação do 2º grau com duas raízes reais e iguais. ( ) 
3) 5x²-6x+5=0 
a=5 b=-6 c=5 
= (-6)²-4.5.5 = 36-100 = -64 
 Note que <0 e não existe raiz quadrada de um número negativo. Assim, a equação não possui 
nenhuma raiz real. 
Logo: » vazio 
Propriedades: 
 
 Duas raízes reais e diferentes 
 Duas raízes reais e iguais 
 Nenhuma raiz real 
 
Relações entre coeficientes e raízes 
 
 
 
Vamos provar as relações descritas acima: 
Dado a equação ax²+bx+c=0, com e , suas raízes são: 
 e 
A soma das raízes será: 
 
 
Logo, a soma das raízes de uma equação do 2º grau é dada por: 
O produto das raízes será: 
 
 
Logo, o produto das raízes de uma equação do 2º grau é dada por: 
 
Podemos através da equação ax²+bx+c=0, dividir por a. 
Obtendo: 
Substituindo por e : 
Obtendo a Soma e Produto de uma equação do 2º grau: 
 
x² - Sx + P = 0 
Exemplos: 
1) Determine a soma e o produto das seguintes equações: 
a) x² - 4x + 3=0 
[Sol] Sendo a=1, b=-4 e c=3: 
 
b) 2x² - 6x -8 =0 
Sendo a=2, b=-6 e c=-8 
 
c) 4-x² = 0 
Sendo a=-1, b=0 e c=4: 
 
Resolução de equações fracionárias do 2º grau: 
 Equações fracionárias são as que possuem incógnitas no denominador e o processo de resolução 
destas equações é o mesmo das equações não fracionárias. 
Exemplos resolvidos: 
a) Onde , pois senão anularia o denominador 
[Sol] Encontrando o m.m.c dos denominadores: 2x 
Então: 
Eliminando os denominadores, pois eles são iguais: 
» 
Aplicando a fórmula de Bháskara: 
 
 
Logo, x = 2 e x` = 4. » S={2,-4} 
b ) e 
[Sol] m.m.c dos denominadores: (x-1).(x+2) 
Então: 
Eliminando os denominadores: 
» » » 
* Note que a solução da equação deve ser diferente de 1 e 2 pois senão anularia o denominador, 
logo a solução da equação será somente: 
x=-1 » S={-1} 
Resolução de equações literais do 2º grau: 
 Equações literais são as que possuem uma ou mais letras além da incógnita. 
 
Equação a b c 
x² - (m+n)x + p = 0 1 -(m+n) p 
 
Exemplo: Determine o valor da incógnita x. 
1) x²-3ax+2a²=0 
[Sol] Aplicando a fórmula de Bháskara: 
a=1, b=-3a, c=2a² 
 
, Logo: 
x = 2a e x = a » S={a,2a} 
 
 
Resolução de equações biquadradas 
 Equação biquadrada como o próprio nome diz, são equações nas quais estão elevadas ao 
quadrado duas vezes, sua forma é: 
 
 onde 
 
Exemplo resolvido: 
1) 
Fazendo x² = y , temos 
Substituindo os valores na equação, temos: 
y² - 5y + 4 = 0 
Aplicando Bháskara: 
 
Logo, y = 4 e y`= 1 
Voltando a variável x: 
Como y=x², temos: 
x²=4 » e x²=1 » 
Então a solução será » S={-2,-1,1,2} 
ou simplesmente 
 
 
Resolva as equações do 2º grau 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
i) 
j) 
k) 
l) 
m) 
n) 
o) 
p) 
q) 
r) 
 
 
Regra de três 
Chamamos de regra de três a um processo de resolução de problemas de quatro 
valores, dos quais três são conhecidos e devemos determinar o quarto valor. 
A resolução desse tipo de problema é muito simples, basta montarmos uma tabela 
(em proporção) e resolvermos uma equação. 
Sugestão: Caso tenham dúvidas na resolução de equações do 1º grau, visitem a 
seção presente neste site. 
Vamos a resolução de problemas: 
1) Um atleta percorre um 20km em 2h, mantendo o mesmo ritmo, em quanto 
tempo ele percorrerá 30km? 
Montemos uma tabela: 
Percurso (km) Tempo (h) 
20 2 
30 x 
Notem que as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, se aumentarmos 
o percurso, o tempo gasto pelo atleta também aumenta. Logo, devemos conservar 
a proporção: 
 
Multiplicamos em cruzes: 
20x = 60 
x = 3 
Portanto, o atleta percorrerá 30km em 3h. 
2) Quatro trabalhadores constroem uma casa em 8 dias. Em quanto tempo, dois 
trabalhadores constroem uma casa? 
Nº de trabalhadores Tempo (dias) 
4 8 
2 x 
Notem que as grandezas são inversamente proporcionais. Se 4 trabalhadores 
constroem uma casa em 8 dias, 2 trabalhares demorarão mais tempo para 
construir, ou seja, quanto menor o númerode trabalhadores, maior será o tempo 
para a construção. Logo, devemos inverter a proporção. 
 
Multiplicando em cruzes: 
2x = 32 
x = 16 
Portanto, 2 trabalhadores construirão a casa em 16 dias. 
 
Como puderam ver, a resolução é bastante simples. Primeiro, observamos se as 
grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. Se a grandeza for 
diretamente proporcional, mantemos a proporção; se a grandeza for inversamente 
proporcional, invertemos a proporção. Feito isso, basta resolver a equação. 
 
Questões: 
 
01. Uma gravura de forma retangular, medindo 20cm de largura por 35cm de comprimento, 
deve ser ampliada para 1,2m de largura. O comprimento correspondente será: 
 
a) 0,685m 
b) 1,35m 
c) 2,1m 
d) 6,85 
e) 18m 
 
 
02. Uma máquina varredeira limpa uma área de 5100m² em 3 horas de trabalho. Nas mesmas 
condições, em quanto tempo limpará uma área de 11900m²? 
 
a) 7 horas 
b) 5 horas 
c) 9 horas 
d) 4 horas 
e) 6h e 30min 
 
 
03. Num acampamento avançado, 30 soldados dispõem de víveres para 60 dias. Se mais 90 
soldados chegam ao acampamento, então, por quanto tempo o acampamento estará abastecido? 
 
 
04. Um alfaiate pagou R$ 960,00 por uma peça de fazenda e R$ 768,00 por outra de mesma 
qualidade. Qual o comprimento de cada uma das peças, sabendo-se que a primeira tem 12m a 
mais do que a segunda? 
 
 
05. De duas fontes, a primeira jorra 18l por hora e a segunda 80l. Qual é o tempo necessário 
para a segunda jorrar a mesma quantidade de água que a primeira jorra em 25 minutos? 
 
 
06. (FAAP) Uma impressora a laser, funcionando 6 horas por dia, durante 30 dias, produz 150 
000 impressões. Em quantos dias 3 dessas mesmas impressoras, funcionando 8 horas por dia, 
produzirão 100 000 impressões? 
 
a) 20 
b) 15 
c) 12 
d) 10 
e) 5 
 
 
07. (PUCCAMP) Sabe-se que 5 máquinas, todas de igual eficiência, são capazes de produzir 
500 peças em 5 dias, se operarem 5 horas por dia. Se 10 máquinas iguais às primeiras 
operassem 10 horas por dia, durante 10 dias, o número de peças produzidas seria de: 
 
a) 1000 
b) 2000 
c) 4000 
d) 5000 
e) 8000 
 
 
08. Empregaram-se 27,4kg de lã para fabricar 24m de tecido de 60cm de largura. Qual será o 
comprimento do tecido que se poderia fabricar com 3,425 toneladas de lã para se obter uma 
largura de 0,90m? 
 
 
09. Uma destilaria abastece 35 bares, dando a cada um deles 12 litros por dia, durante 30 dias. 
Se os bares fossem 20 e se cada um deles recebesse 15 litros, durante quantos dias a destilaria 
poderia abastecê-los? 
 
 
10. Uma família composta de 6 pessoas consome, em 2 dias, 3kg de pão. Quantos quilos serão 
necessários para alimentá-los durante 5 dias, estando ausentes 2 pessoas? 
 
a) 3 
b) 2 
c) 4 
d) 6 
e) 5 
 
 
 
Gabarito 
 
01. C 
 
02. A 
 
03. 15 dias 
 
04. 60m e 48m 
 
05. 5min 37,5seg 
 
06. E 
 
07. C 
 
08. 2 000m 
 
09. 42 dias 
 
10. E 
 
Trigonometria 
Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é 
retângulo em A e seus elementos são: 
 
a: hipotenusa 
b e c: catetos 
h: altura relativa a hipotenusa 
m e n: projeções ortogonais dos catetos sobre a hipotenusa. 
 
Relações métricas 
 
Para um triângulo retângulo ABC pode estabelecer algumas relações entre as medidas 
de seus elementos: 
- O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção desse cateto 
sobre a hipotenusa. 
b² = a.n c² = a.m 
 
- O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a 
hipotenusa. 
b.c = a.h 
 
- O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. 
h² = m.n 
 
- O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. 
a² = b² + c² 
Essa relação é conhecida pelo nome de TEOREMA DE PITÁGORAS. 
Exemplo: 
Neste triângulo ABC, vamos calcular a, h, m e n: 
 
a² = b² + c² → a² = 6² + 8² → a² = 100 → a = 10 
 
b.c = a.h → 8.6 = 10.h → h = 48/10 = 4,8 
 
c² = a.m → 6² = 10.m → m = 36/10 = 3,6 
 
b² = a.n → 8² = 10.n → n = 64/10 = 6,4 
 
Determine os valores literais indicados nas figuras: 
 
a) 
 
13² = 12² + x² 5.12 = 13.y 
169 = 144 + x² y = 60/13 
x² = 25 
x = 5 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
Determine a altura de um triângulo eqüilátero de lado l. 
 
 
Determine x nas figuras. 
 
a) 
 
O triângulo ABC é eqüilátero. 
 
b) 
 
O triângulo ABC é eqüilátero. 
 
c) 
 
 
Determine a diagonal de um quadrado de lado l. 
 
 
 
Razões trigonométricas 
 
Considere um triângulo retângulo ABC. Podemos definir: 
 
- Seno do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa do 
triângulo. 
senÊ = e/a senÔ = o/a 
 
 
- Cosseno do ângulo agudo: razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa do 
triângulo. 
 cosÊ = o/a cosÔ = e/a 
 
- Tangente do ângulo agudo: razão entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente. 
 tgÊ = e/o tgÔ = o/e 
 
Observe: senÊ = cosÔ, senÔ = cosÊ e tgÊ = 1/tgÔ, sempre Ê + Ô = 90º 
 
Exemplo: 
 
senÔ = 3/5 = 0,6 senÊ = 4/5 = 0,8 
cosÔ = 4/5 = 0,8 cosÊ = 3/5 = 0,6 
tgÔ = 3/4 = 0,75 tgÊ = 4/3 = 1,333.... 
 
Ângulos notáveis 
 
Podemos determinar seno, cosseno e tangente de alguns ângulos. Esses ângulos 
chamados de notáveis são: 30°, 45° e 60°. A partir das definições de seno, cosseno e 
tangente, vamos determinar esses valores para os ângulos notáveis. Considere um 
triângulo eqüilátero de lado l. Traçando a altura AM, obtemos o triângulo retângulo 
AMC de ângulos agudos iguais a 30° e 60°. Aplicando as razões trigonométricas ao 
triângulo AMC temos: 
 
 
Para obter as razões trigonométricas do ângulo de 45°, considere um quadrado de lado l. 
A diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles. 
 
No triângulo ABD, temos: 
 
 
Observação: sen45° = cos45° 
 
 
Resumindo temos a tabela: 
 
Exercícios resolvidos: 
 
1) Calcule o perímetro do triângulo retângulo ABC da figura, sabendo que o segmento 
BC é igual a 10 m e cos α = 3/5 
 
Solução: 
 
2) Calcule a altura de um triângulo eqüilátero que tem 10 cm de lado. 
 
Solução: 
 
 
3) A altura de um triângulo eqüilátero mede 4 cm. Calcule: 
a) A medida do lado do triângulo 
b) A área do triângulo 
 
 
 
4) Calcule x indicado na figura 
 
Solução: 
 
 
 
 
Solução: 
 
 
6) Uma escada apoiada em uma parede, num ponto distante 4 m dos solo, forma com 
essa parede um ângulo de 60°. Qual é o comprimento da escada em metros? 
 
Solução: 
 
 
7) Na figura indicada calcule AB. 
 
Solução: 
 
 
8) Observe na figura os três quadrados identificados por 1,2 e 3. Se a área do quadrado 
1 é 36cm² e a área do quadrado 2 é 100cm², qual é, em centímetros quadrados, a área do 
quadrado 3 ? 
 
A2 = A1 + A3 
100 = 36 + A2 
A2 = 100 – 36 = 64cm² 
9)As raízes da equação x² - 14x + 48 = 0 expressam em centímetros as medidasdos 
catetos de um triângulo retângulo. Determine a medida da hipotenusa e o perímetro 
desse triângulo. 
 
10) Sabe-se que, em qualquer triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à 
hipotenusa é igual à metade da medida da hipotenusa. Se um triângulo retângulo tem 
catetos medindo 5cm e 2cm, calcule a representação decimal da medida da mediana 
relativa a hipotenusa nesse triângulo. 
 
11) Um quadrado e um triângulo eqüilátero têm o mesmo perímetro. Sendo h a medida 
da altura do triângulo e d a medida da diagonal do quadrado. Determine o valor da razão 
h/d.