Fenômenos de Transporte - PUCMG

Prévia do material em texto

Fenômenos 
de 
Transporte 
 
 
 
 
 
 
PPrrooff aa.. MMaarraa NNiillzzaa EEssttaanniissllaauu RReeiiss 
11ºº sseemmeessttrree 22000088 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 1 
 
 
 
Disciplina: Fenômenos de Transporte 
Cursos: Engenharia de Controle e Automação 
 Engenharia Elétrica 
Prof a.: Mara Nilza Estanislau Reis 
 1º semestre 2008 
 
 
 
Objetivos: 
- Aprender os princípios básicos da Mecânica dos Fluidos e da Transferência de 
Calor; 
- Analisar as distribuições de pressão em fluidos em repouso; 
- Analisar as distribuições de força em corpos e superfícies submersas; 
- Estudar o escoamento ideal e real no interior de dutos; 
- Analisar as maneiras através das quais o calor é transmitido. 
 
Ementa: 
Mecânica dos Fluidos: Propriedades Físicas; Equações Gerais da Estática, Cinemática e 
Dinâmica dos Fluidos; Cálculos de Pressões Hidrostáticas, de Forças sobre Superfícies 
Submersas e de Perda de Carga; Medição de Viscosidade, Pressão e Velocidade. 
Transferência de Calor: Condução, Convecção, Radiação, Aplicações. Transferência de 
Massa: Difusão, Coeficiente de Transferência de Massa, Teoria da Camada Limite, 
Aplicações. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 2 
 
 
Índice 
 
1. Introdução a Mecânica dos Fluidos.................................................................. 12 
 1.1. Definição............................................................................................. 12 
 1.2. Objetivo............................................................................................... 12 
 1.3. Aplicação............................................................................................. 12 
2. Definição de um Fluido..................................................................................... 12 
 2.1. Introdução........................................................................................... 12 
 2.2. A Hipótese do Contínuo...................................................................... 13 
 2.3. Princípio da Aderência........................................................................ 13 
3. Métodos de Análise........................................................................................... 14 
 3.1. Sistema................................................................................................ 14 
 3.2. Volume de Controle............................................................................ 14 
4. Dimensões e Unidades...................................................................................... 14 
 4.1. Introdução............................................................................................ 14 
 4.2. Sistemas de Dimensões....................................................................... 14 
 4.3. Sistemas de Unidades.......................................................................... 15 
5. Propriedades Físicas dos Fluidos...................................................................... 16 
 5.1. Peso Específico.................................................................................... 16 
 5.2. Volume Específico.............................................................................. 17 
 5.3. Densidade Relativa.............................................................................. 17 
 5.4. Massa Específica ou Densidade Absoluta........................................... 18 
 5.5. Módulo da Elasticidade Volumétrico.................................................. 19 
 5.5.1. Condições Isotérmicas............................................................. 19 
 5.5.2. Condições Adiabáticas............................................................ 19 
 5.6. Coeficiente de Compressibilidade (C) ............................................... 19 
6. Campo de Velocidade....................................................................................... 20 
7. Regime Permanente e Transiente...................................................................... 21 
 7.1. Regime Permanente............................................................................. 21 
 7.2. Regime Transiente............................................................................... 21 
 7.3. Campo Uniforme de Escoamento........................................................ 21 
8. Escoamentos Uni, Bi, Tridimensional.............................................................. 21 
 8.1. Escoamento Unidimensional............................................................... 21 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 3 
 
 
 8.2. Escoamento Bidimensional................................................................. 22 
 8.3. Linhas de Tempo, Trajetórias, Linhas de Emissão e Corrente............ 23 
 8.4. Campos de Tensão............................................................................... 26 
9. Viscosidade....................................................................................................... 27 
 9.1. Viscosidade Dinâmica ou Absoluta: (µ)............................................. 27 
 9.2. Viscosidade Cinemática: (ν)............................................................... 29 
 9.3. Número de Reynolds: (Re) ................................................................. 29 
 9.4. Tipos de Escoamento........................................................................... 30 
10. Pressão............................................................................................................ 32 
 10.1. Lei de Pascal...................................................................................... 34 
11. Fluidoestática.................................................................................................. 34 
 11.1. A Equação Básica da Estática dos Fluidos........................................ 35 
 11.2. Pressão Manométrica........................................................................ 37 
 11.3. Pressão Absoluta............................................................................... 38 
 11.4. O Barômetro de Mercúrio................................................................. 38 
 11.5. Aplicação para a Manometria............................................................ 39 
 11.6. Tipos de Manômetros........................................................................ 41 
 11.6.1. Manômetros de líquido.......................................................... 41 
 11.6.2. Manômetros metálicos.......................................................... 43 
12. Equilíbrio dos Corpos Flutuantes.................................................................... 43 
 12.1. Princípio de Arquimedes................................................................... 44 
13. Fluidodinâmica................................................................................................ 47 
 13.1. Sistema.............................................................................................. 47 
 13.2. Volume de Controle.......................................................................... 48 
 13.3. A Relação Entre as Derivadas do Sistema e a Formulação Para 
Volume de Controle................................................................................... 
48 
 13.4. Equação da Continuidade (de Conservação da Massa) Para um 
Volume de Controle Arbitrário.................................................................. 
49 
 13.4.1. Casos Especiais..................................................................... 50 
 13.4.2. Vazão Mássica e Vazão Volumétrica.................................... 51 
 13.5. 1a Lei da Termodinâmica Aplicada ao Volumede Controle............. 53 
 13.6. Equação de Bernoulli........................................................................ 55 
 13.6.1. A Equação de Bernoulli Para Fluidos Ideais......................... 57 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 4 
 
 
 13.6.1.1. Visualização Gráfica da Equação de Bernoulli...... 57 
 13.6.2. Aplicações da Equação de Bernoulli..................................... 59 
 13.6.2.1. Teorema de Torricelli............................................. 59 
 13.6.2.2. Medidores de Vazão............................................... 60 
 13.6.2.2.1. Tubo de Venturi....................................... 62 
 13.6.2.2.2. Tubo de Pitot........................................... 63 
 13.6.2.2.3. Placa de Orifício...................................... 65 
 13.6.2.2.4. Pressão de Estagnação............................. 68 
 13.7. Equação de Bernoulli Para Fluidos Reais – Perda de Carga............. 68 
 13.7.1. Visualização Gráfica da Equação de Bernoulli Para Fluidos 
Reais.................................................................................................. 
69 
 13.7.2. Tipos de Perda de Carga........................................................ 70 
 13.7.2.1. Perdas de Carga Contínuas..................................... 70 
 13.7.2.2. Perdas de Carga Localizadas.................................. 74 
 13.8. Potência Fornecida por uma Bomba................................................. 81 
14. Transferência de Calor.................................................................................... 86 
 14.1. Introdução.......................................................................................... 86 
 14.2. Modos de Transferência de Calor..................................................... 86 
 14.2.1. Condução............................................................................ 86 
 14.2.2. Convecção.......................................................................... 87 
 14.2.3. Radiação............................................................................. 87 
 14.3. Leis Básicas da Transferência de Calor............................................. 88 
 14.3.1. Condução............................................................................ 89 
 14.3.2. Convecção.......................................................................... 92 
 14.3.3. Radiação............................................................................. 93 
15. Condução........................................................................................................ 96 
 15.1. Introdução à Condução...................................................................... 96 
 15.2. Propriedades Térmicas da Matéria.................................................... 97 
 15.3. Conservação de Energia em um Volume de Controle....................... 98 
 15.4. Equação da Difusão de Calor............................................................ 101 
 15.4.1. Coordenadas Cartesianas.................................................... 101 
 15.4.2. Coordenadas Cilíndricas..................................................... 104 
 15.4.3. Coordenadas Esféricas....................................................... 104 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 5 
 
 
 15.4.4. Condições de Contorno e Condição Inicial........................ 105 
 15.5. Condução Unidimensional em Regime Permanente......................... 108 
 15.5.1. Parede Simples.................................................................. 108 
 15.5.2. Resistência Térmica........................................................... 109 
 15.5.3. Parede Composta................................................................ 113 
 15.5.4. Parede Composta: Série-Paralelo....................................... 116 
 15.5.5. Resistência de contato........................................................ 116 
 15.6. Condução Unidimensional em Regime Permanente – Sistemas 
Radiais – Cilindro....................................................................................... 
119 
 15.6.1. Distribuição de Temperatura.............................................. 119 
 15.6.2. Parede Cilíndrica Composta............................................... 122 
 15.6.3. Espessura Crítica de Isolamento......................................... 125 
 15.7. Condução Unidimensional em Regime Permanente – 
Sistemas Radiais – Esfera............................................................... 
129 
 15.8. Condução com Geração de Energia Térmica........................ 130 
 15.8.1 Condução com Geração de Energia Térmica -
Parede Plana....................................................................... 
130 
 15.8.2 Condução com Geração de Energia Térmica – 
Sistemas Radiais................................................................. 
133 
16. Transferência de Calor em Superfícies Expandidas – Aletas......................... 134 
 16.1. Introdução.......................................................................................... 134 
 16.2. Tipos de Aletas.................................................................................. 136 
 16.3. Balanço de Energia para uma Aleta.................................................. 137 
 16.4. Aletas com área da seção transversal constante................................ 138 
 16.5. Desempenho da Aleta........................................................................ 143 
17. Condução Transiente....................................................................................... 146 
 17.1. Introdução.......................................................................................... 146 
 17.2. Método da Capacitância Global........................................................ 146 
18. Convecção....................................................................................................... 148 
 18.1. Fundamentos da Convecção.............................................................. 148 
 18.2. As Camadas Limites da Convecção.................................................. 160 
 18.2.1. A Camada Limite Hidrodinâmica......................................... 151 
 18.2.2. As Camadas Limites de Concentração.................................. 152 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 6 
 
 
 18.3. Escoamento Laminar e Turbulento................................................... 153 
 18.4. A Camada Limite Térmica................................................................ 156 
EXERCÍCIOS RECOMENDADOS..................................................................... 158 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................. 159 
Apêndice A........................................................................................................... 160 
Apêndice B............................................................................................................ 164 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 7 
 
 
Figuras 
 
Figura 1 – Elemento Fluido sob a Ação de Esforço Tangencial Constante. 12 
Figura 2 – Comportamento de (a) um Sólido e (b) um Fluido, Sob a Ação de 
uma Força de Cisalhamento Constante. 
13 
Figura 3 – O Perfil de Velocidade Linear no Líquido entre Placas Paralelas ∞ 13 
Figura 4 – Conjunto Pistão-Cilindro. 14 
Figura 5 – Escoamento de um Fluido Através de um Tubo. 14 
Figura 6 – Determinação do Campo de Velocidades em um Ponto. 20 
Figura 7 – Exemplo de Escoamento Unidimensional. 22 
Figura 8 – Exemplo de EscoamentoBidimensional. 22 
Figura 9 – Deformação de um Elemento de Fluido. 28 
Figura 10 – Exemplo para o Cálculo do Número de Reynolds. 30 
Figura 11 - Possível Classificação da Mecânica dos Fluidos. 31 
Figura 12 – Exemplo do Cálculo da Pressão na Base de um Recipiente. 33 
Figura 13 – Fluida em Repouso. 34 
Figura 14 – Volume de Controle Infinitesimal. 35 
Figura 15 – Variação de Pressão em um Fluido Estático. 37 
Figura 16 – Exemplo do Cálculo das Pressões Absoluta e Manométrica. 38 
Figura 17 – O Barômetro de Mercúrio. 39 
Figura 18 – Variação de Pressão em uma Coluna de Múltiplos Fluidos. 39 
Figura 19 – Ilustração do exemplo acima, vasos comunicantes. 40 
Figura 20 – Manômetro de Líquido. 41 
Figura 21 – Manômetro de Líquido. 42 
Figura 22 – Manômetro de Líquido. 42 
Figura 23 – Tubo de Bourdon. 43 
Figura 24 – Manômetro de Diafragma. 43 
Figura 25 – Corpo Imerso em um Fluido Estático. 43 
Figura 26 – Cálculo do Metacentro de um Corpo Submerso. 47 
Figura 27 – Conjunto Pistão-Cilindro. 48 
Figura 28 – Escoamento de um Fluido através de um Tubo. 48 
Figura 29 – Escoamento Unidimensional. 52 
Figura 30 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento 58 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 8 
 
 
Unidimensional em um Duto. 
Figura 31 – Escoamento de um Fluido Ideal em um Recipiente de Paredes 
Delgadas. 
59 
Figura 32 – Escoamento Interno através de um Bocal Genérico mostrando o 
volume de controle usado para análise. 
60 
Figura 33 – Tubo de Venturi. 62 
Figura 34 – Medição de pressão estática – Tubo de Pitot. 63 
Figura 35 – Tubo de Pitot com fluido manométrico. 64 
Figura 36 – (a) Geometria de orifício e localização de tomadas de pressão – 
Placa de orifício. (b) Placa de Orifício. 
66 
Figura 37 – Medições simultâneas das pressões de estagnação e estática. 68 
Figura 38 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento de um Fluido 
Real. 
69 
Figura 39 - Ábaco de Moody. 72 
Figura 40 – Determinação da Rugosidade Relativa. 73 
Figura 41 – Valores aproximados de k. 74 
Figura 42 – Comprimentos Equivalentes para Tubulações de Ferro fundido e 
Aço. 
75 
Figura 43- Redução de Área – Bocal. 77 
Figura 44 – Coeficiente de Perda de Carga para um Difusor. 78 
Figura 45 – Válvula de gaveta. 79 
Figura 46 – Válvula Globo. 80 
Figura 47 – Válvula de Retenção. 80 
Figura 48 – Elevação de um Fluido com uma Bomba. 81 
Figura 49 – Conjunto elevatório referente ao exemplo acima. 83 
Figura 50 - Transferência de calor. 86 
Figura 51 – Associação da transferência de calor por condução à difusão da 
energia provocada pela atividade molecular. 
87 
Figura 52 – Processos de transferência convectiva de calor. (a) Convecção 
natural. (b) Convecção forçada. 
87 
Figura 53 – Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças. 88 
Figura 54 – Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças. 88 
Figura 55 – Transferência de Calor em uma Parede Plana. 89 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 9 
 
 
Figura 56 – Transferência Convectiva de Calor. 91 
Figura 57 – Troca Radiativa Líquida entre duas Superfícies. 94 
Figura 58 – Faixas de Condutividade térmica para vários estados da matéria. 97 
Figura 59 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cartesianas). 102 
Figura 60 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cilíndricas). 104 
Figura 61 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Esféricas). 105 
Figura 62 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana. 108 
Figura 63 – Circuito Térmico. 111 
Figura 64 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana. 113 
Figura 65 – Circuito térmico equivalente. 114 
Figura 66 – Parede Composta. 116 
Figura 67 – Circuitos Térmicos Equivalentes numa Parede Composta. 116 
Figura 68 - Queda de temperatura devido à resistência térmica de contato. 117 
Figura 69 – Transferência de Calor através de um Cilindro Oco. 119 
Figura 70 – Transferência de Calor Através de uma Parede Cilíndrica 
Composta. 
121 
Figura 71 – Ilustração do exemplo acima, tubo com paredes delgadas. 124 
Figura 72 – Parede Cilíndrica Composta. 125 
Figura 73 – Comportamento das Resistências Térmicas com r2. 128 
Figura 74 – Transferência de Calor através de uma Casca Esférica. 129 
Figura 75 – Condução em uma parede plana com geração uniforme de calor. 
(a) Condições de contorno assimétricas. (b) Condições de contorno 
assimétricas. (c) Superfície adiabática no plano intermediário. 
131 
Figura 76 – Transferência de Calor em uma superfície expandida. 134 
Figura 77 – Superfície da qual se quer Aumentar a Taxa de Transferência de 
Calor. 
132 
Figura 78 – Colocação de Aletas para Aumentar a Taxa de Transferência de 
Calor. 
132 
Figura 79 – Trocadores de Calor com tubos aletados. 133 
Figura 80 – Configurações de Aletas. 133 
Figura 81 – Balanço de Energia em uma Superfície Expandida. 134 
Figura 82 – Aletas com Área da Seção Transversal Constante. 139 
Figura 83 – Eficiência de aletas. 144 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 10 
 
 
Figura 84 – Montagem Representativa das Aletas – a) Retang. b) Anulares. 146 
Figura 85 – Resfriamento de uma peça metálica quente. 147 
Figura 86 – Distribuição transiente de temperatura correspondente a 
diferentes números de Biot, numa parede plana resfriada simetricamente por 
convecção. 
148 
Figura 87 - Transferência convectiva de Calor. 148 
Figura 88 – Escoamento sobre uma Placa Plana. 149 
Figura 89 - A camada limite fluidodinâmica. 151 
Figura 90 - Perfil de concentração na camada limite. 152 
Figura 91 – Camada Limite. 153 
Figura 92 – Camada Limite Térmica. 156 
Figura A1 – Viscosidade Absoluta de Alguns Fluidos 166 
Figura A2 – Viscosidade Cinemática de Alguns Fluidos à Pressão Atm. 167 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 11 
 
 
Tabelas 
 
Tabela 1 – Sistemas de Unidades. 15 
Tabela 2 – Principais prefixos para unidades de Engenharia. 16 
Tabela 3 – Rugosidade para Tubos de Materiais comuns de Engenharia. 71 
Tabela 4 – Coeficiente de Perda de Carga para Entrada de Tubos. 76 
Tabela 5 – Coeficientes de Perda de Carga para Contração e Expansão. 76 
Tabela 6 – Coeficiente de Perda de Carga para Redução Suave da Seção. 77 
Tabela 7 – Comprimento Equivalente Adimensional para Válvulas e 
Conexões 
78 
Tabela 8 – Valores de h (W/m².K) 92 
Tabela 9 – Equações de Taxa 96 
Tabela 10 – Lei de Fourier para os três sistemas de coordenadas 96 
Tabela 11 – Resistência térmica de contato em (a) Interfaces Metálicas sob 
condições de vácuo e (b) Interface de Alumínio com diferentes fluidos 
interfaciais 
118 
Tabela 12 – Resistência Térmica de interfaces sólido/sólido representativas 118 
Tabela 13 – Propriedade de Fluidos Gasosos 163 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 12 
 
 
1. Introdução a Mecânica dos Fluidos 
1.1. Definição: é a ciência que estuda o comportamento físico dos fluidos e as leis que 
regem tal comportamento. Estudo do comportamento dos fluidos em repouso 
(Fluidoestática) e em movimento (Fluidodinâmica). 
 
1.2. Objetivo: conhecer, compreender e analisar qualquer sistema no qual um fluido é o 
meio produtor de trabalho. 
 
1.3. Aplicação: máquinas de fluxo (bombas, ventiladores, compressores e turbinas), 
aeronaves, automóveis, submarinos, sistemas de aquecimento e ventilação de 
residências, edifícios comerciais, sistemas de tubulações, corpos flutuantes, medicina, 
etc. 
 
2. Definiçãode um Fluido 
2.1. Introdução: É uma sustância que se deforma continuamente sob a aplicação de 
uma tensão de cisalhamento (força tangencial), não importa sua intensidade (figura 1). 
Os fluidos compreendem as fases líquida e gasosa (ou de vapor) das formas físicas nas 
quais a matéria existe. 
 
Figura 1 – Elemento Fluido sob a Ação de Esforço Tangencial Constante. 
 
A distinção entre um fluido e o estado sólido fica clara ao ser comparado seu 
comportamento. Ao ser aplicada uma força tangencial F (fig.2a) sobre um sólido fixado 
entre as duas placas, o bloco sofre uma deformação e se estabiliza no novo formato. No 
regime elástico do material, ao cessar a aplicação da força, o sólido retorna à forma 
original. Repetindo a experiência para um fluido, ele se deformará continuamente, 
enquanto existir uma força tangencial atuando sobre ele (fig.2b). 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 13 
 
 
 
Figura 2 – Comportamento de (a) um Sólido e (b) um Fluido, Sob a Ação de uma Força 
de Cisalhamento Constante. 
 
1a Situação: 
Figura 2a 
Mantida a Ft constante o sólido deformar-se-á até alcançar uma posição de equilíbrio 
estático. 
 
2a Situação: 
Figura 2b 
Sob a ação da Ft deforma-se continuamente, não se alcançando uma posição de 
equilíbrio estático. 
 
2.2. A Hipótese do Contínuo: Como o espaço médio entre as moléculas que compõem 
o fluido é bastante inferior às dimensões físicas dos problemas estudados, considera-se 
o fluido como uma substância que pode ser dividida ao infinito. 
 
2.3. Princípio da Aderência: “Os pontos de um fluido em contato com uma superfície 
sólida possuem a mesma velocidade dos pontos desta com os quais estão em contato; 
não há deslizamento naquelas fronteiras”. (fig.3) 
 
Figura 3 – O Perfil de Velocidade Linear no Líquido entre Placas Paralelas Infinitas. 
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 14 
 
 
3. Métodos de análise 
3.1. Sistema: quantidade de massa fixa e identificável; as fronteiras do sistema 
separam-no do ambiente à volta; não há transferência de massa através das mesmas, 
calor e trabalho poderão cruzar as fronteiras, conforme mostrado na fig. 4 . 
 
Figura 4 – Conjunto Pistão-Cilindro. 
 
3.2. Volume de controle: volume do espaço através do qual o fluido escoa (arbitrário), 
a fronteira geométrica é chamada superfície de controle, conforme mostrado na fig. 5. 
 
Figura 5 – Escoamento de um Fluido Através de um Tubo. 
 
4. Dimensões e unidades 
4.1. Introdução 
Dimensões: são grandezas mensuráveis (quantidades físicas: podem ser primárias 
(básicas) e secundárias (derivadas)). 
Unidades: são nomes arbitrários dados às dimensões. 
 
4.2. Sistemas de Dimensões 
Lei da Homogeneidade dimensional: “Todos os termos de uma expressão matemática, 
que, traduz um fenômeno físico, devem possuir a mesma dimensão”. 
 
Exemplo: 
 200 at2
1Vxx ++= 
( ) ( ) ( ) ( )22 ttL21ttLLL ×+×+= 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 15 
 
 
4.3. Sistema de Unidades 
Pode-se trabalhar com diferentes unidades para as grandezas (massa, comprimento, 
etc.). Países diferentes podem utilizar sistemas de unidades diferentes. Em 1960, 
instituiu-se o Sistema Internacional (SI), como uma tentativa de padronização. Foram 
definidas 7 grandezas básicas (massa, comprimento, tempo, temperatura, corrente 
elétrica, quantidade de matéria e intensidade luminosa) e padronizadas as suas unidades. 
A partir delas, podem ser derivadas as unidades das outras grandezas (excetuando-se as 
grandezas elétricas). No entanto, alguns países ainda adotam os antigos sistemas de 
unidades. No Sistema Britânico, as grandezas básicas são força, comprimento, 
temperatura e tempo. A massa passa a ser, portanto, uma grandeza secundária. 
 
SI absoluto: M(massa), L(comprimento), t(tempo), T(temperatura), I(corrente elétrica), 
quantidade de matéria e intensidade luminosa. 
Técnico inglês: F(força), L(comprimento), t(tempo), T(temperatura). 
 
Tabela 1 – Sistemas de Unidades. 
SISTEMA 
DE 
UNIDADES 
MASSA COMPRI-
MENTO 
TEMPO TEMPE-
RATURA
CORRENTE
ELÉTRICA 
QTE DE 
MATÉRIA 
INTENSI-
DADE 
LUMINOSA
SI Kg m s K A mol cd 
ABSOLUTO g cm s K 
TÉCNICO utm m s K 
INGLÊS slug ft s R 
INGLÊS 
TÉCNICO 
lbm ft s R 
 
Força: 2s
m1kg1N = 
Força: 2s
cm1g1dina = 
Massa 
ft
s1lbf1slug
2
= 
 
No Apêndice B são apresentados os fatores de conversão entre os sistemas para as 
diferentes grandezas. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 16 
 
 
A Tab. 2 apresenta prefixos utilizados em engenharia para escrever valores muitos 
pequenos ou muito grandes de uma maneira mais concisa. 
 
Tabela 2 – Principais prefixos para unidades de Engenharia. 
Fator 
Multiplicativo 
Prefixo Símbolo 
109 Giga G 
106 Mega M 
103 Kilo k 
10-1 Deci d 
10-2 Centi c 
10-3 Mili m 
10-6 Micro µ 
10-9 Nano n 
10-12 Pico p 
 
5. Propriedades físicas dos fluidos 
5.1. Peso especifico: (γ) 
É o peso do fluido contido em uma unidade de volume. 
 
γ: Peso específico [F/L3] 
∀=
Wγ W: Peso da substância [F] 
 ][L fluido do Volume: 3∀ 
ggmmg ργ =∀=∀= 
Unidades: (N/m3; kgf / m3; lbf / ft3) 
 
DIM: [F / L3] 
 
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 17 
 
 
5.2. Volume específico: (ν) 
Inverso da massa específica. 
 
 υ: Volume específico [L3/M] 
ρυ
1=∀=
m
 ρ: Massa específica ou densidade 
absoluta [M/L3] 
 
Unidades: (m3 / kg; cm3/ g; ft3/ slug; ft3/ lbm) 
 
DIM: [L3/ M] 
 
5.3. Densidade relativa: (δ,d ou SG) 
Razão entre a massa específica de uma substância e a massa específica de uma 
substância de referência. Para líquidos, o fluido de referência é a água e, para os gases, o 
ar. Quando se trabalha com densidades relativas de sólidos, é comum que a substância 
de referência seja a água. 
 
 δ: Densidade relativa [adimensional] 
ref
SGd ρ
ρδ === ρ: Massa específica ou densidade absoluta [M/L3] 
ρref.: Massa específica ou densidade absoluta da 
substância de referência [M/L3] 
δ=d = SG=
padrãofluido
fluido
 ρ
ρ = 
padraãofluido
fluido
 γ
γ 
 
DIM: [1] 
 
 
 
 
 
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 18 
 
 
5.4. Massa específica ou densidade absoluta: ( β ) 
Também conhecida como densidade absoluta, é a quantidade de massa do fluido contida 
em uma unidade de volume. 
 ρ: Massa específica [M/L3] 
∀=
mρ m: Massa do fluido [M] 
 ][L fluido do Volume: 3∀ 
Unidades: (kg / m3; g / cm3; slug / ft3) 
 
DIM: [M / L3] 
 
A densidade dos gases variam bastante quando são alteradas sua pressão, e/ou sua 
temperatura. Ao contrário, a densidade dos líquidos apresenta pequenas variações com 
alterações de pressão e temperatura, são, em sua maioria, considerados incompressíveis. 
Na Tab. A.1 (Apêndice A), são apresentados valores de massa específica para alguns 
fluidos, a 20°C e 1 atm. As Tab.s A.2 e A.3 apresentam, respectivamente, a variação da 
massa específica da água e do ar com a temperatura, para a pressão de 1 atm. 
 
5.5. Módulo da Elasticidade Volumétrico: (β) 
Razão entre uma variação de pressão e a correspondente variação de volume por 
unidade de volume. 
 β: Módulo de elasticidade volumétrico 
∀∀∆
∆−=
/
Pβ ∆P: Variação de pressão [F/L2] 
 ][L Volume de Variação:∆ 3∀ 
 ][L Volume: 3∀ 
O sinal negativo indica que um aumento de pressão corresponde a uma redução de 
volume. 
Unidades: (N/m2;kgf / m2 ; lbf / ft2) 
 
DIM: [F / L2] 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 19 
 
 
Expressa a compressibilidade do fluido. A compressibilidade de uma substância é a 
medida da variação relativa de volume decorrente de aplicação de pressão. O módulo de 
compressibilidade de líquidos costuma ser obtido experimentalmente. No caso de gases, 
o seu valor depende do tipo de processo que resulta da compressão. 
 
5.5.1. Condições isotérmicas: T = constante 
P.V. = constante P1V1 = P2V2 
1
2
2
1
P
P
V
V = 
P.dV + V.dP = 0 
P.dV = - V.dP 
P
P
dP
V
dV
=
−=
β
 
 
5.5.2. Condições adiabáticas: 
P.Vk = constante 
k = Cp / Cv 
P1.V1k = P2.V2k 
Vk .dP + Vk-1P.k.dV = 0 
P.k.dV + V.dP = 0 
kP
kP
dP
V
dV
=
−=
β
 
 
5.6. Coeficiente de Compressibilidade: (C) 
 Inverso do módulo de elasticidade volumétrico. 
β
1=C C: Coeficiente de compressibilidade [L2/F] 
 β: Módulo de elasticidade volumétrico 
[F/L2] 
 
Unidades: (m2/N; m2/kgf; ft2/lbf) 
 
DIM: [L2/F] 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 20 
 
 
6. Campo de velocidade 
Entre as propriedades do escoamento, destaca-se o campo de velocidade. Seja o volume 
de fluido ∀ mostrado na Fig. 6. 
 
Figura 6 – Determinação do Campo de Velocidades em um Ponto. 
 
A velocidade instantânea do fluido no ponto C é igual à velocidade instantânea do 
volume infinitesimal ∀δ que passa pelo ponto C no instante de tempo em questão. 
O campo de velocidade, V
r
, é função das coordenadas x, y e z e do tempo t. A completa 
representação do campo de velocidades é dada por: 
( )tzyxVV ,,,rr = 
 
O vetor velocidade, V
r
, pode ser expresso em termos de suas três componentes 
escalares. Chamando estas componentes nas direções x, y e z de, respectivamente, u, v e 
w, o campo de velocidades pode ser escrito como: 
kwjviuV ˆˆˆ ++=r , 
onde: ( ) ( ) ( )tz,y,x,wwetz,y,x,vv,tz,y,x,uu === 
 
Exemplo: 
Dados os campos de velocidade listados abaixo, determine: 
(a) As dimensões de cada campo de velocidade 
(b) Se está em regime permanente ou não 
 
(1) [ ]iaeV bx ˆ−=r 
(2) jbxiaxV ˆˆ2 +=r 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 21 
 
 
(3) jbxiaxV ˆˆ −=r 
(4) ( ) jbyitaxV ˆˆ 2−+=r 
(5) ( ) ( )kzyxaV ˆ1 32122 +=r 
 
Resolução: 
 (1) Unidimensional ( ( )xVV rr = ), regime permanente ( )tVV rr ≠ . 
 (2) Unidimensional ( ( )xVV rr = ), regime permanente ( )tVV rr ≠ . 
 (3) Bidimensional ( )yxVV ,rr = , regime permanente ( )tVV rr ≠ . 
 (4) Bidimensional ( )yxVV ,rr = , regime não permanente ( )tVV rr = . 
 (5) Tridimensional ( )zyxVV ,,rr = , regime não permanente ( )tVV rr = . 
 
7. Regime permanente e transiente 
7.1. Regime Permanente: As propriedades do fluido, em cada ponto do escoamento, 
não variam com o tempo. A definição matemática do movimento permanente é: 
0=∂
∂
t
η , onde η representa uma propriedade qualquer do fluido. 
 
7.2. Regime Transiente: As propriedades do fluido variam com o tempo. 
7.3. Campo Uniforme de Escoamento: Escoamento no qual o módulo e o sentido do 
vetor velocidade são constantes, ou seja, independentes de todas as coordenadas 
espaciais, através de toda a extensão do campo. 
 
8. Escoamentos uni, bi, tridimensional. 
Os escoamentos podem ser classificados em uni-, bi- e tridimensionais de acordo com o 
número de coordenadas necessárias para se definir seu campo de velocidades. 
 
8.1. Escoamento unidimensional: 
Exemplo: 
Suponha o escoamento em regime permanente no interior de um duto de seção 
transversal constante mostrado na Fig. 7. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 22 
 
 
 
Figura 7 – Exemplo de Escoamento Unidimensional. 
 
A partir de uma certa distância da entrada do duto, a velocidade pode ser descrita pela 
equação: 
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
2
max 1 R
ruu 
 
Como o campo de velocidades depende apenas da distância radial r, o escoamento é 
unidimensional. 
 
8.2. Escoamento bidimensional: 
Seja agora o escoamento entre placas divergentes, de largura infinita (Fig. 8). Como o 
canal é considerado infinito na direção do eixo dos z, o campo das velocidades será 
idêntico em todos os planos perpendiculares a este eixo. Conseqüentemente, o campo de 
velocidades é função somente das coordenadas x e y. O campo do escoamento é, 
portanto, bidimensional. 
 
Figura 8 – Exemplo de Escoamento Bidimensional. 
 
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 23 
 
 
8.3. Linhas de tempo, trajetórias, linhas de emissão e linhas de corrente: 
Na análise de problemas de mecânica dos fluidos, freqüentemente é vantajoso obter 
uma representação visual de campo de escoamento. Tal representação é provida de 
linhas de tempo, de trajeto, de emissão e de corrente. 
Se num campo de escoamento uma quantidade de partículas fluidas adjacentes forem 
marcadas num dado instante, elas formarão uma linha no fluido naquele instante, esta 
linha é chamada de linha de tempo. 
Uma linha de trajeto é o caminho ou trajetória traçada por uma partícula fluida em 
movimento. Para torná-la visível, temos que identificar uma partícula fluida, num dado 
instante, por exemplo, pelo emprego de um corante; em seguida, tiramos uma fotografia 
de exposição prolongada do seu movimento subseqüente. A linha traçada pela partícula 
é uma trajetória. 
Por outro lado, poderíamos preferir concentrar a atenção em um lugar fixo do espaço e 
identificar, novamente pelo emprego do corante, todas as partículas fluidas que passam 
por aquele ponto. Após um curto período, teríamos uma certa quantidade de partículas 
fluidas identificáveis no escoamento. Todas elas, em algum momento, teriam passado 
por um local fixo no espaço. A linha em que une as partículas fluidas, num ponto fixo 
no espaço, é definida como linha de emissão. 
As linhas de corrente são aquelas desenhadas no campo de escoamento, de forma que, 
num dado instante, são tangentes à direção do escoamento em cada ponto do campo. 
Como as linhas de corrente são tangentes ao vetor velocidade em cada ponto do campo, 
não pode haver escoamento através delas. 
No escoamento permanente, a velocidade em cada ponto do campo permanece 
constante com o tempo e, em conseqüência, as linhas de corrente não variam de um 
instante a outro. Isto implica que uma partícula localizada numa determinada linha de 
corrente permanecerá sobre a mesma. Além disso, partículas consecutivas passando 
através de um ponto fixo do espaço estarão sobre a mesma linha de corrente e, 
subseqüentemente permanecerão nela. Então num escoamento permanente, trajetórias e 
linhas de emissão e de corrente são linhas idênticas no campo de escoamento. 
A forma das linhas de corrente pode variar de instante a instante se o escoamento for 
transiente. Neste caso, as trajetórias, as linhas de emissão e as linhas de corrente não 
coincidem. 
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 24 
 
 
Exemplo: 
Considere o campo de escoamento 
∧∧→ −= jbiaxtV , onde a = 0,2 s-2 e b = 3 m/s. As 
coordenadas são medidas em metros. Para a partícula que passa pelo ponto (x, y) = (3,1) 
no instante t = 0, trace a trajetória durante o intervalo de tempo de t = 0 a t = 3 s. 
Compare esta trajetória com as linhas de corrente que passam pelo mesmo ponto nos 
instantes t = 0, 1 e 3 segundos. 
 
Resolução: 
Partindo do princípio 
dt
dxu = e 
dt
dyv = , então: 
dt
dxaxtu == , ∫∫ = tx
x
dtat
x
dx
0
.
0
 
2
0 2
1ln at
x
x =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
 e 
2
2
1,02
1
0 3
tat exexx =∴=e também, b
dt
dyv == , ∫∫ = t
y
y
bdtdy
00
, tybtyy 310 +=∴+= 
 
ty
ex t
31
3
21,0
+=
= Æ Região a ser plotada no plano xy. 
Temos que 
u
v
dx
dy
s
= . 
Logo:
axt
b
dx
dy = . 
Aplicando equações diferenciais temos: 
x
dx
at
bdy
x
x
y
y
∫∫ =
00
 ou ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+=
0
0 ln x
x
at
byy . 
Substituindo os valores de a, b, x0 e y0, ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=
3
ln151 x
t
y . 
Para t=1 Æ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=
3
ln151 xy 
 t=2 Æ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=
3
ln5,71 xy 
 t=3 Æ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=
3
ln51 xy 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 25 
 
 
 
 
Exemplo: 
O campo de velocidade 
∧∧→ −= jbyiaxV , onde a = b = 1 s-1, pode ser interpretado como 
representando o escoamento numa curva em ângulo reto. Obtenha uma equação para as 
linhas de corrente do escoamento. Trace diversas linhas de corrente no primeiro 
quadrante, incluindo aquela que passa pelo ponto (x,y) = (0,0). 
 
Resolução: 
 
A inclinação das linhas de corrente no plano xy é dado por: 
u
v
dx
dy = 
Para 
∧∧→ −= jbyiaxV , façamos u = ax e v = -by, logo: 
xa
yb
u
v
dx
dy
.
.−== 
Para resolvermos esta equação diferencial, separamos as variáveis e integramos: 
∫∫ −= xdxabydy 
∴+−= cx
a
by lnln c = constante 
∴+= − cxy a
b
lnlnln ln c = constante 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 26 
 
 
Portanto: a
b
cxy
−= 
 
Para o campo de velocidade dado, as constantes a e b são fixas. As linhas de corrente 
são obtidas definindo valores diferentes para a constante de integração c. 
 
Como a = b = 1 sec-1, então 1=
b
a , e a equação das linhas de corrente é dada por: 
x
ccxy == −1 ou 
y
cx = 
Para c = 0, y = 0 para todo valor de x e x = 0 para todo valor de y. 
 
 
• A equação 
x
cy = é a equação da hipérbole. 
 
• As curvas estão mostradas para diferentes valores de c. 
 
 
8.4. Campo de Tensão 
Tanto forças de superfície quanto forças de campo são encontradas no estudo da 
mecânica dos meios contínuos. As forças de superfícies atuam nas fronteiras de um 
meio através de um contato direto. As forças desenvolvidas sem contato físico e 
distribuídas por todo o volume do fluido são denominadas forças de campo. As forças 
gravitacionais e eletromagnéticas são exemplos de forças de campo. 
A força gravitacional atuando sobre um elemento de volume, dV, é dada por dVgρ , 
onde ρ é a massa específica (massa por unidade de volume) e g é a aceleração local da 
gravidade. Segue-se que a força de campo gravitacional é gρ por unidade de volume e 
g por unidade de massa. 
O conceito de tensão nos dá uma forma conveniente de descrever o modo pela qual as 
forças atuantes na fronteiras do meio são transmitidas através deles. Então campo de 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 27 
 
 
tensões seria a região através da qual as forças atuantes seriam transmitidas através de 
toda extensão do material. 
Como a força e a área são ambas quantidades vetoriais, podemos prever que o campo de 
tensão não será vetorial. O campo de tensões normalmente é chamado de campo 
tensorial devido ao campo possuir nove componentes que se comportam como um 
tensor de 2ª ordem. 
Dividindo a magnitude de cada componente da força pela a área , xAδ , e tomando o 
limite quando xAδ se aproxima de zero, definimos as três componentes da tensão 
mostradas abaixo: 
x
z
x
y
x
x
A
F
A
F
A
F
xxx A
xy
A
xy
A
xx δ
δ
δ
δ
δ
δ
δδδ
τττ limlimlim
000 →→→
=∴=∴=
 
Utilizamos o índice duplo para designar tensões. O primeiro índice (neste caso x) indica 
o plano no qual a tensão atua (neste caso a superfície perpendicular ao eixo x). O 
segundo índice indica a direção na qual a tensão atua. Também é necessário adotar uma 
convenção de sinais para a tensão. Uma componente da tensão é positiva quando o seu 
sentido e o plano no qual atua são ambos positivos ou ambos negativos. 
 
 
9. Viscosidade 
9.1. Viscosidade Dinâmica ou Absoluta: (µ) 
Propriedade que determina o grau de resistência do fluido à força de cisalhamento, ou 
seja, a dificuldade do fluido em escoar. 
 
Seja o comportamento de um elemento fluido entre 2 placas infinitas. A placa superior 
move-se a velocidade constante (δu), sob a influência de uma força aplicada δ Fx. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 28 
 
 
 
Figura 9 – Deformação de um Elemento de Fluido. 
 
A tensão tangencial ou tensão de cisalhamento do elemento fluido é dada por: 
dAy
dFx
Ay
Fx
Ayyx
==
→ δ
δτ δ 0lim 
A taxa de deformação é igual a: 
 
dt
d
tt
α
δ
δα
δ =→0lim 
 
A distância entre os pontos M e M’é dada por: 
tVl δδδ = (a) 
Para pequenos ângulos, δαδδ yl = (b) 
Igualando-se (a) e (b), 
dy
du
dt
d
y
u
t
=⇒= αδ
δ
δ
δα 
Para fluidos Newtonianos, a tensão tangencial é proporcional à taxa de deformação, ou: 
dy
du
dy
du
yxyx µττ =⇒∝ . 
A constante de proporcionalidade é a viscosidade absoluta ou dinâmica do fluido, µ. 
 
DIM: [F.t / L2= M/L.t] 
Unidades: (N.s/m2 ; kgf.s /m2 ; lbf.s /ft2) 
 
Os fluidos mais comuns, como a água, o ar e a gasolina, são newtonianos em condições 
normais. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 29 
 
 
Se considerarmos as deformações de dois diferentes fluidos newtonianos, por exemplo, 
glicerina e água, verificaremos que eles irão se deformar as taxas diferentes sob a ação 
da mesma tensão de cisalhamento aplicada. A glicerina apresenta uma resistência à 
deformação muito maior do que a água. Dizemos, então, que ela é muito mais viscosa. 
 
A Tab. A.8 apresenta valores de viscosidade absoluta para alguns fluidos. O 
comportamento da viscosidade para alguns fluidos Newtonianos é apresentado na Fig. 
A.1 e. A.2. Pode-se notar que, para os gases, a viscosidade aumenta com a temperatura, 
enquanto que os líquidos apresentam comportamento inverso. 
 
9.2. Viscosidade Cinemática: (ν) 
Razão entre a viscosidade dinâmica e a massa específica. 
 
ν: Viscosidade cinemática [L2/t] 
ρ
µυ = µ: Viscosidade dinâmica [Ft/L2] 
ρ: Massa específica ou densidade absoluta 
[M/L3] 
DIM: [L2/t] 
 
Unidades: (m2/s; cm2/s; ft2/s) 
Uma unidade comum para a viscosidade cinemática é o Stokes, sendo 1 Stokes = 
1cm2/s. 
 
9.3. Número de Reynolds: (Re) 
Número adimensional, obtido pela razão entre as forças de inércia e as forças viscosas. 
Caracteriza o comportamento global do escoamento de um fluido. 
 Re: Número de Reynolds [adimensional] 
ρ: Massa específica ou densidade absoluta 
[M/L3] 
µ
ρ **Re LV= V*: Velocidade do fluido [L/t] 
 L*: Comprimento característico [L] 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 30 
 
 
 µ = Viscosidade dinâmica [F.t/L2] 
DIM: [1] 
 
O número de Reynolds é o adimensional mais importante da Mecânica dos Fluidos. Ele 
determina a natureza do escoamento (laminar ou turbulento). Para escoamentos no 
interior de tubos, o valor aceito para se caracterizar a transição do escoamento laminar 
para turbulento é 2300. Para escoamento sobre uma placa plana, o valor é 5x105. Deve-
se ressaltar que V* e L* correspondem, respectivamente, à velocidade e ao 
comprimento característico do escoamento. Para escoamentos no interior de tubos, a 
velocidade V* é a velocidade média no interior do tubo e L*, o seu diâmetro. Para 
escoamentos sobre placas planas, V* é a velocidade da corrente livre e L*, o 
comprimento da placa. 
 
Figura 10 – Exemplo para o Cálculo do Número de Reynolds. 
 
Como a viscosidadeabsoluta da glicerina é 1500 vezes superior à viscosidade da água, 
para que os fluidos, escoando no interior de tubos com o mesmo diâmetro, tenham 
comportamentos semelhantes (mesmo número de Reynolds), a velocidade da glicerina 
deve ser 1174 vezes maior do que a velocidade da água. 
 
9.4. Tipos de escoamento: 
- Escoamento laminar ( em tubulações Re 2300≤ ) 
- Escoamento turbulento (Re > 4000) 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 31 
 
 
 
Figura 11 – Possível Classificação da Mecânica dos Fluidos. 
 
O escoamento compressível ou incompressível é definido a partir de um parâmetro 
chamado número de Mach, que é definido como sendo a razão da velocidade do 
escoamento (V ) pela velocidade do som (S) do meio. 
 
S
VMa = 
 
Exemplo: 
Um eixo com diâmetro externo de 18 mm gira a 20 rotações por segundo dentro de um 
mancal de sustentação estacionário de 60 mm de comprimento. Uma película de óleo 
com espessura de 0,2 mm preenche a folga anular entre o eixo e o mancal. O torque 
necessário para girar o eixo é de 0,0036 N.m. Estime a viscosidade do óleo que se 
encontra na folga anular, em (Pa.s) 
Î Resolução: Para calcular a viscosidade do óleo devemos utilizar a fórmula de tensão 
de cisalhamento: 
dy
du.µτ = 
 
Primeiramente devemos converter a velocidade para uma unidade na qual 
possamos trabalhar: 
Mecânica 
dos Fluidos 
Fluido não 
viscoso µ = 0 
Fluido viscoso 
 µ ≠ 0 
Compressível Incompressível 
Ma < 0,3 
Laminar 
Re ≤ 2300 
Turbulento 
Re > 4000 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 32 
 
 
s
mru
sradrrot
rrot
rpsW
13,1
/6,125..2.2020
..21
20
max ==
⎩⎨
⎧
→→
→
=
ω
π
π
 
60
..
230
.
max
max
max
ndu
dnu
ru
ou
π
π
ω
=
=
=
 
 
Devemos calcular agora a área de contato entre o fluido e o material: 
26
33
10.39,3
10.60.10.18
..
mA
A
LDA
−
−−
=
=
=
π
π
 
Pelo torque, podemos tirar a força: 
NF
F
r
F
rF
4,0
10.9
0036,0
.
3
=
=
=
=
−
τ
τ
 
 Assim podemos calcular o coeficiente de viscosidade dinâmico fazendo analogia 
à força: 
2
3
3
.0208,0
13,1.10.39,3
10.2,0.4,0
m
sN
du
dy
A
F
=
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−
−
µ
µ
µ
, onde 
y
u
dy
du max= 
 
10. Pressão 
Força exercida em uma unidade de área. 
P: Pressão [F/L2] 
A
FP = F: Força [F] 
 A: Área [L2] 
 
 Unidades: (N/ m2 = Pa; atm; lbf / ft2; m.c.a; lbf / ft2 = psi; mmHg) 
 DIM: [F / L2] 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 33 
 
 
A pressão é uma variável dinâmica muito importante na Mecânica dos Fluidos. Um 
escoamento só é possível se houver um gradiente de pressão. Para gases ideais, a 
pressão pode ser relacionada à densidade e à temperatura através da seguinte expressão: 
TRnP =∀ 
 
Onde: n: quantidade de matéria [mol] 
 R : constante universal dos gases = 8,3144 kJ/kmol.K 
 DIM: ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
Tkmol
LF
..
. 
 T: temperatura absoluta do gás [T] 
 Se, ao invés do número de moles, for considerada a massa m do gás, a equação 
pode ser reescrita na forma: 
mRTP =∀ 
 
Onde R é a constante específica de cada gás, relacionada à constante universal dos gases 
através da massa molecular do gás MM, sendo MM dada em kg/kmol no sistema 
Internacional. A Tab. A.4 apresenta as massas moleculares de alguns gases comuns. 
 
MM
RR = 
 
A Tab. A.9 mostra as propriedades termodinâmicas de gases comuns na condição 
padrão ou “standard”. 
 
A pressão atuando na base de um recipiente contendo um fluido em repouso pode ser 
calculada da maneira mostrada a seguir: 
 
Figura 12 – Exemplo do Cálculo da Pressão na Base de um Recipiente. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 34 
 
 
A pressão na superfície do fluido é igual a P0. 
A força na superfície do fluido é dada por AP0 
A força exercida pela coluna de fluido é devida ao seu peso: 
( ) ghAgAhgmgFfluido ρρρ ==∀== 
A força na base do recipiente é, então, obtida como a soma da força na superfície do 
fluido e do peso da coluna de fluido: 
ghAAPF
FFF fluidoerfície
ρ+=
+=
0
sup 
A pressão na base do recipiente é dada pela razão entre a força e a área da base: 
A
FF
A
FP fluidoerfície
+== sup 
ghP
A
ghAAPP ρρ +=+= 00 
Para condições pré-fixadas, P0, ρ e g são constantes. 
Assim, a pressão é função apenas da altura da coluna de líquido h. 
 
10.1. Lei de Pascal: 
“No interior de um fluido em repouso, a pressão é constante em cada ponto”. 
 
Figura 13 – Fluido em Repouso. 
 
11. Fluidoestática 
É a parte da Mecânica dos Fluidos que estuda o comportamento dos fluidos em repouso. 
A condição de velocidade nula do fluido é denominada condição hidrostática. Em um 
problema de hidrostática, o objetivo principal é, em geral, a determinação da 
distribuição de forças ou pressões em um elemento fluido. 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 35 
 
 
11.1. A equação básica da estática dos fluidos: 
Dois tipos genéricos de forças podem ser aplicados a um fluido: forças de corpo e forças 
de superfície. As forças de corpo, também chamadas de forças de campo, são as forças 
desenvolvidas sem contato físico com o fluido, distribuídas por todo o seu volume. É o 
caso das forças gravitacionais e eletromagnéticas. De uma maneira geral, a única força 
de corpo que deve ser considerada na maioria dos problemas de Mecânica dos Fluidos é 
a força gravitacional, ou o peso. As forças de superfície são aquelas que atuam nas 
fronteiras de um meio, através do contato direto. Se um fluido estiver em repouso, só 
poderão estar presentes forças normais à superfície (por definição, o fluido é a 
substância incapaz de resistir a forças de cisalhamento sem se deformar). A única força 
de superfície a ser considerada é, portanto, a força de pressão. 
Seja um volume fluido infinitesimal, de dimensões dx, dy e dz, como mostrado na Fig. 
14. 
dx
dy
dz
y
x
z
 
Figura 14 – Volume de Controle Infinitesimal. 
 
A força total atuando no elemento é dada por: 
SSC FdgdmFdFdFd
rrrrr +=+= . 
 
A força líquida de pressão é dada pela soma da força de pressão em cada uma das faces 
do elemento. A força de pressão atuando na face esquerda do elemento é: 
jdzdxdy
y
PpFd L ˆ.2 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−=r 
A força de pressão na face direita é dada por: 
( )jdzdxdy
y
PpFd R ˆ.2
−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+=r 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 36 
 
 
A força líquida de pressão é dada pela soma das forças de pressão em todas as faces do 
elemento, 
( ) jdzdxdy
y
Ppidzdydx
x
Ppidzdydx
x
PpFd S ˆ.2
ˆ.
2
ˆ.
2 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−+−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−=r 
 ( ) ( )kdydxdz
z
Ppkdydxdz
z
Ppjdzdxdy
y
Pp ˆ.
2
ˆ.
2
ˆ.
2
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂++⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−+−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂++ 
dzdydxk
z
Pj
y
Pi
x
PFd S ..ˆˆˆ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂−∂
∂−=r 
A força total é dada, portanto, por: 
dzdydxk
z
Pj
y
Pi
x
PgdmFdgdmFd S ..ˆˆˆ.. ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂−∂
∂−+=+= rrrr 
Como 
dzdydxddm .... ρρ =∀= , 
( ) ∀∇−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂−∂
∂−+= dPgdzdydxk
z
Pj
y
Pi
x
PgdzdydxFd rr
r
...ˆˆˆ..... ρρ 
 
A 2ª Lei de Newton estabelece que: 
admFd r
r
.= 
Para um elemento fluido em repouso, a aceleração deve ser nula e o somatório de todas 
as forças deve ser zero. Assim, 
( ) 0. =∇− Pgrρ 
Esta é uma equação vetorial, que pode ser decomposta em três equações escalares,0=+∂
∂− xgx
P ρ 0=+∂
∂− ygy
P ρ 0=+∂
∂− zgz
P ρ 
Para simplificar a equação, é conveniente adotar um sistema de eixos no qual o vetor 
gravitacional esteja alinhado com um dos eixos. Se o sistema for escolhido com o eixo z 
apontado para cima )ˆ( kgg −=r , as equações podem ser reescritas como: 
0=∂
∂
x
P 0=∂
∂
y
P 0=∂
∂
z
P 
 
Se o fluido puder ser considerado incompressível, a diferença de pressão entre dois 
pontos do fluido será diretamente proporcional à diferença de altura entre eles (Fig.15). 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 37 
 
 
Conclusões: 
1. Não há variação de pressão na direção horizontal, ou seja, dois pontos quaisquer, 
situados a uma mesma altura e no mesmo fluido em repouso, estão submetidos à 
mesma pressão; 
2. A pressão varia na direção vertical, sendo esta variação devida ao peso da coluna 
fluida (Equação Fundamental da Hidrostática); 
3. No limite para ∆z infinitamente pequeno (elemento tendendo a um ponto), Pz = Pn = 
Px, ou seja, a pressão em um ponto de um fluido estático é independente da 
orientação (Lei de Pascal). 
 
Se o fluido puder ser considerado incompressível, a diferença de pressão entre dois 
pontos do fluido será diretamente proporcional à diferença de altura entre eles - 
Equação Fundamental da Hidrostática (Fig.15). 
 
Figura 15 – Variação de Pressão em um Fluido Estático. 
 
 
 
Os valores de pressão devem ser estabelecidos em relação a um nível de referência. As 
maneiras de se expressar a pressão variam, portanto, com o nível de referência adotado. 
Quando o nível de referência é zero (vácuo), as pressões são denominadas absolutas. 
Quando o nível de referência é a pressão atmosférica local, as pressões são 
denominadas pressões manométricas ou efetivas. 
 
11.2. Pressão Manométrica: 
Pressão medida tomando-se como referência o valor da pressão atmosférica (Patm). 
Patm = 1atm = 101,325 kPa = 1,0332x104 kgf/m2 = 1,0332 kgf/cm2 = 10,332 m.c.a. = 
760 mmHg 
ghPP CB ρ+=
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 38 
 
 
A pressão manométrica pode assumir valores positivos, negativos ou nulos. 
Se P>Patm, Pman > 0 
Se P<Patm, Pman < 0 
Se P=Patm, Pman = 0 
 
11.3. Pressão Absoluta: 
Pressão medida a partir do zero absoluto. 
manatmabs PPP += 
ou 
atmabsman PPP −= 
A pressão a ser utilizada em cálculos envolvendo equações de gás ideal ou outras 
equações de estado é a pressão absoluta. 
 
Figura 16 – Exemplo do Cálculo das Pressões Absoluta e Manométrica. 
 
11.4. O Barômetro de Mercúrio: 
 A aplicação mais simples da lei da hidrostática é o barômetro, que é um medidor 
de pressão atmosférica. Neste dispositivo, um tubo é preenchido com um fluido de alto 
peso específico (geralmente o mercúrio), invertido e mergulhado em um reservatório 
contendo o mesmo fluido. No processo de inversão do tubo, o mercúrio desce, criando 
vácuo na parte superior do tubo, como mostrado na Fig. 17. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 39 
 
 
 
Figura 17 – O Barômetro de Mercúrio. 
 
hghP
ghP
P
ghPP
PP
PP
atm
A
E
EA
AA
atmA
γρ
ρ
ρ
==∴
=
=
+=
=
=
 vácuo0
repouso) em fluido mesmo no altura (mesma isobáros pontos '
 
Portanto, a pressão atmosférica pode ser medida a partir da altura de uma coluna líquida 
de mercúrio. 
mmHgatmmmHgh 7601760 =⇒= 
 
11.5. Aplicação para a Manometria: 
( )
γρ
ρ
1212
12
1212
PP
g
PPzz
zzgPP
−=−=−
−=−
 
Uma variação na elevação é equivalente a uma variação de pressão. 
 
Figura 18 – Variação de Pressão em uma Coluna de Múltiplos Fluidos. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 40 
 
 
1) ( )5445 zzgPP m −=− ρ 
2) ( )4334 zzgPP g −=− ρ 
3) ( )3223 zzgPP a −=− ρ 
4) ( )2112 zzgPP o −=− ρ 
Agrupando as equações acima temos: 
( ) ( ) ( ) ( )5443322115 zzgzzgzzgzzgPP mgao −+−+−+−=− ρρρρ 
Exemplo: 
 
1) Determine a pressão manométrica no ponto “a”, se o líquido A tem densidade 
relativa dA= 0,75, e o líquido B, dB=1,20. O líquido em volta do ponto “a” é 
água e o tanque à esquerda está aberto para a atmosfera. 
 
Figura 19 – Ilustração do exemplo acima, vasos comunicantes. 
 
Resolução: 
Para calcular a pressão no ponto´´a´´, devemos calcular a diferença de pressão 
do ponto em aberto (Patm), até chegar em ´´a´´. 
Primeiramente faremos algumas transformações para simplificar os cálculos: 
 1 pol = 25,4 mm 
 36 pol = 0,914 m 
 15 pol = 0,381 m 
 10 pol = 0,254 m 
 5 pol = 0,127 m 
P1
Patm
P2
P336pol
dB=1,20 
 
dA=0,75 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 41 
 
 
Calculamos as diferenças de pressão: 
PaPa
PhgPa
hgPPa
PaP
hgSGPP
hgPP
PaP
hgSGPP
hgPP
PaP
hgSGP
hgPP
oh
oh
Apadãof
A
Bpadãof
B
atmBpadrãof
atmBatm
81,831.707,340.5.254,0.81,9.10.1
3..
..3
07,340.5127,0.81,9.75,0.10.147,274.63
...23
..32
47,274.6381,0.81,9.20,1.10.160,759.102
...12
..21
60,759.10914,0.81,9.20,1.10.11
...1
..1
3
34
34
3
32.
32
3
21.
21
3
1.
1
2
2
=+=
+=
=−
=−=
−=
=−
=−=
−=
=−
==
=
=−
−
−
−
−
−
−
−
−
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
 
 
Temos então como pressão no ponto “a”´: 
 
PaPa 81,831.7= 
11.6. Tipos de Manômetros: 
 
11.6.1. Manômetros de líquido: São tubos transparentes e curvos, geralmente em 
forma de U, que contêm o líquido manométrico. Para medição de altas pressões, 
utilizam-se fluidos com altos pesos específicos, como o mercúrio. No caso de menores 
pressões, utilizam-se fluidos com menores pesos específicos, como água ou óleo. 
 
Figura 20 – Manômetro de Líquido. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 42 
 
 
BA
BatmB
AatmA
BA
pp
ghpp
ghpp
hh
=
+=
+=
=
ρ
ρ
 
 
Figura 21 – Manômetro de Líquido. 
 
BbatmB
AaatmA
BA
ghpp
ghpp
pp
ρ
ρ
+=
+=
=
 
 
Figura 22 – Manômetro de Líquido. 
AaBbmanC
BbatmB
AaCA
BA
ghghp
ghpp
ghpp
pp
ρρ
ρ
ρ
−=
+=
+=
=
,
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 43 
 
 
11.6.2. Manômetros metálicos: São instrumentos usados para medir as pressões dos 
fluidos através de um tubo metálico curvo (Tubo de Bourdon) ou de um diafragma, que 
cobre um recipiente metálico. São os manômetros mais utilizados em aplicações 
industriais. 
 
 
 
Figura 23 – Tubo de Bourdon. Figura 24 – Manômetro de Diafragma. 
 
12. Equilíbrio dos Corpos Flutuantes 
Um corpo flutuante ou submerso em um fluido sofre um empuxo de baixo para cima de 
uma força igual ao peso do volume do fluido deslocado. 
As densidades dos líquidos podem ser determinadas observando-se a profundidade de 
flutuação de um densímetro. 
Se um corpo está imerso ou flutua em um fluido, a força que nele atua denomina-se 
empuxo de flutuação. Seja o objeto mostrado na Fig. 25, imerso em um fluido em 
repouso. 
 
Figura 25 – Corpo Imerso em um Fluido Estático. 
 
O empuxo vertical no cilindro elementar de volume ∀d é dado por: 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 44 
 
 
( ) ( )
( ) ∀=−=
+−+=
−=
gddAhhgdF
dAghPdAghPdF
dAPdAPdF
atmatm
ρρ
ρρ
12
12
12
 
O empuxo total é obtido integrando-se dF, ou seja, 
∫∫ ∀=∀== ggddFF ρρ 
 
12.1. Princípio de Arquimedes: 
 “Todo corpo imerso em um fluido em equilíbrio recebe, porparte do fluido, um 
empuxo vertical de baixo para cima, numericamente igual ao peso do volume deslocado 
pelo corpo.” 
 
O corpo pode estar, no entanto, imerso ou flutuando no fluido. 
 
Corpo Imerso: 
 
 
E = peso do volume de fluido deslocado 
gW
gE
corpocorpo
corpofluido
∀=
∀=
ρ
ρ
 
 
Corpo Flutuante: 
 
 
E = peso do volume de fluido deslocado 
gW
gE
corpocorpo
deslocadofluido
∀=
∀=
ρ
ρ
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 45 
 
 
Situações Possíveis: 
 
• Corpo Permanece Totalmente Imerso e em Equilíbrio: 
 
corpofluido
WE
ρρ =
=
 
 
• Corpo Afunda 
 
fluidocorpo
EW
ρρ >
>
 
 
• Corpo Fica Parcialmente Imerso 
 
corpofluido
WE
ρρ >
>
 
 
O ponto de aplicação do empuxo é chamado Centro de Flutuação ou de Carena (C). 
Corresponde ao centro de gravidade do volume de fluido deslocado. 
 
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 46 
 
 
• Corpo Permanece Totalmente Imerso e em Equilíbrio: 
 
O centro de flutuação coincide com o centro de gravidade do corpo. 
 
• Corpo Afunda 
 
O centro de flutuação coincide com o centro de gravidade do corpo. 
 
• Corpo Fica Parcialmente Imerso 
 
O centro de flutuação está localizado abaixo do centro de gravidade do corpo. 
 
Quando o corpo está em equilíbrio, E e W possuem a mesma linha de ação. Se o corpo 
for afastado da condição de equilíbrio, pode ocorrer uma das seguintes situações: 
 
• Corpo imerso 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 47 
 
 
Se for aplicado um afastamento θ do equilíbrio no corpo, ele permanecerá na nova 
posição. Assim, E e W estarão sempre na mesma linha de ação. Nesta situação, o corpo 
está em equilíbrio indiferente. 
 
• Corpo flutuante 
 
Figura 26 – Cálculo do Metacentro de um Corpo Submerso. 
 
Se o corpo for inclinado de um pequeno ângulo ∆θ (Fig. 26b), o volume da parte de 
fluido deslocado irá se alterar, provocando uma mudança na posição do centro de 
flutuação do corpo, que muda de B para B'. A linha vertical passando por B' irá 
interceptar a linha de simetria do corpo no ponto M, chamado Metacentro. 
Se o metacentro estiver localizado acima do CG do corpo, haverá um momento 
restaurador, que tenderá a retornar o corpo para a sua posição de equilíbrio inicial. Neste 
caso, o corpo se encontra em equilíbrio estável. 
Se o metacentro estiver localizado abaixo do CG do corpo, o momento tenderá a afastar 
o corpo ainda mais da posição de equilíbrio inicial. Neste caso, o corpo está em 
equilíbrio instável. 
 
13. Fluidodinâmica 
Os fluidos podem ser analisados utilizando-se o conceito de sistema ou de volume de 
controle, figuras 27 e 28. 
 
13.1. Sistema: 
Quantidade fixa e definida de massa fluida. Os limites do sistema podem ser fixos ou 
móveis, mas não se verifica transporte de massa através deles. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 48 
 
 
 
Figura 27 – Conjunto Pistão-Cilindro. 
 
13.2. Volume de Controle: 
Volume arbitrário do espaço, através do qual o fluido escoa. O contorno geométrico do 
volume de controle é denominado Superfície de Controle. A superfície de controle pode 
ser real ou imaginária, e pode estar em repouso ou em movimento. 
 
Figura 28 – Escoamento de um Fluido através de um Tubo. 
 
13.3. A relação entre as derivadas do sistema e a formulação para volume de 
controle: 
As leis da Mecânica são escritas para um sistema. Elas estabelecem o que ocorre 
quando há uma interação entre o sistema e suas vizinhanças. No entanto, em muitos 
problemas de Mecânica dos Fluidos, é mais comum a análise dos problemas utilizando-
se a formulação de volume de controle. O teorema de Transporte de Reynolds permite 
que as leis da Mecânica sejam escritas para um volume de controle. Se N for uma 
propriedade extensiva arbitrária qualquer, o Teorema de Transporte de Reynolds 
estabelece que: 
∫ ∫
∀
∀==
)( )(sistemamassa sistema
ddmNsistema ηρη 
 
(N) é uma propriedade extensiva (varia diretamente com a massa). Exemplo: massa. 
(η) é uma propriedade intensiva (independente da massa). Exemplo: temperatura. 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 49 
 
 
∫∫ •+∀∂∂= ∀ SCCsistema AdVdtdt
dN ηρηρ 
Onde: 
.sist
dt
dN : é a taxa de variação total de qualquer propriedade extensiva arbitrária do 
sistema. 
∫
∀
∀∂
∂
C
d
t
ηρ : é a taxa de variação com o tempo, da propriedade extensiva arbitrária, (N), 
dentro do volume de controle. 
η: é a propriedade intensiva correspondente a N (η=N por unidade de massa). 
∀dρ : é um elemento de massa contido no volume de controle. 
∫
∀
∀
C
dηρ : é a quantidade total da propriedade extensiva, N, contida no volume de 
controle. 
∫ •
SC
AdVηρ : é a vazão líquida em massa, da propriedade extensiva, N, saindo pela 
superfície de controle. 
AdV •ρ : é a vazão em massa através do elemento de área Ad . 
AdV •ηρ : é a vazão em massa da propriedade extensiva, N, através da área Ad . 
nV r
r • : é o produto escalar entre o vetor velocidade e o vetor normal à área. 
 
13.4. Equação da continuidade (de conservação da massa) para um volume de 
controle arbitrário: 
Se este teorema for aplicado à equação de conservação da massa, 
MNsistema = 1== dm
dMη 
( )∫∫ •+∀∂∂=⎟⎠⎞⎜⎝⎛ ∀ SCCsistema dAnVdtdt
dM rrρρ 
Como a massa não varia no interior do sistema, 
0=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
sistemadt
dM 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 50 
 
 
( ) 0=•+∀∂∂ ∫∫∀ SCC dAnVdt
rrρρ 
Onde: 
θcosunV =• rr 
 
Deve ser ressaltado que o produto escalar entre o vetor velocidade e o elemento de área 
é dado por: 
 
θcos. AdVAdV rrrr = , onde θ é o ângulo entre o vetor velocidade e o vetor normal à área. 
Como o vetor normal à área é sempre perpendicular a ela, apontando para fora, uma 
entrada de tubulação tem θ = 180° e uma saída de tubulação tem θ = 0° 
Na entrada de uma tubulação, unV −=• rr , e, na saída, unV =• rr 
 
Para um volume de controle fixo, 
( ) ∑∑∫ −=•
entradasaídaSC
uAuAdAnV ρρρ rr 
Como o volume de controle é fixo, 
0=−+∀⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∑∑∫∀
entradasaída
C
uAuAd
dt
d ρρρ 
ou 
0=−+∀⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ∑∑∫∀
entradasaída
C
mmd
dt
d &&ρ 
 
13.4.1. Casos especiais: 
Em algumas situações, é possível simplificar a equação de conservação da massa. 
Para escoamento em regime permanente, não há variação das propriedades do 
escoamento com o tempo. Assim, a equação é escrita como: 
0=•∫
SC
AdVρ 
 
Ou, para um escoamento com um número finito de entradas e saídas, esta equação é 
dada por: 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 51 
 
 
0=− ∑∑
entradasaída
mm && , lembrando que o produto escalar dentro da integral é positivo para 
saídas e negativo para entradas. 
 
Para um fluido incompressível, a massa específica não varia com o tempo ou com a 
posição. Assim, a equação de conservação da massa pode ser escrita como: 
( ) 0=•+∀∂∂ ∫∫∀ SCC dAnVdt
rrρρ 
saídaentrada ρρ = 
A integral de ∀d em todo o volume de controle é simplesmente o volume. Como ele 
não varia ao longo do tempo, a equação de conservação da massa para fluidos 
incompressíveis é dada por: 
0=•∫
SC
AdV 
Definindo-se a vazão volumétrica Q por: 
∫ •=
SC
AdVQ 
a equação de conservação da massa pode ser escrita, para um número finito de entradas 
e saídas, como: 
0=− ∑∑
entradasaída
QQ 
 
A velocidade do escoamento varia em uma dada seção. Define-se a magnitude da 
velocidade média em uma seção como sendo a razão entre a vazão volumétricae a área 
da seção, ou: 
∫ •==
SC
AdV
AA
QV 1
r
 
 
13.4.2. Vazão Mássica e Vazão Volumétrica: 
Seja um escoamento unidimensional, ou seja, um escoamento que pode ser descrito por 
apenas uma coordenada espacial s, função do tempo, ou seja, por s(t). 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 52 
 
 
 
Figura 29 – Escoamento Unidimensional. 
 
Seja m a massa fluida ocupando a área A no instante de tempo t: 
∀= ρm& 
A vazão mássica, definida como sendo a taxa de variação da massa com o tempo, é dada 
por: 
( )
dt
d
dt
dmm ∀== ρ& 
Aplicando-se a regra da cadeia, 
( )
dt
d
dt
dmm ∀== ρ& 
Mas: 
( ) Au
dt
dsAAs
dt
d
dt
d ===∀ 
Assim: 
dt
duAm ρρ ∀+=& 
DIM: [M/t] 
Para escoamento incompressível, 0=
dt
dρ . 
uAm ρ=& 
A vazão volumétrica, ou a taxa de variação do volume com o tempo, é dada por: 
uA
dt
dQ =∀= 
DIM: [L3/t] 
 
A vazão mássica e a vazão volumétrica podem ser relacionadas pela expressão: 
Qm ρ=& 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 53 
 
 
13.5. 1a Lei da Termodinâmica aplicada ao volume de controle: 
A primeira lei da Termodinâmica é uma afirmação da conservação da energia. Sua 
formulação para sistema é: 
..
..
sistsist dt
dEWQ =− 
Onde: 
.
Q : é a taxa de transferência de calor trocada entre o sistema e a vizinhança. A 
convenção de sinais adotada estabelece que a taxa de calor é positiva quando o calor é 
adicionado ao sistema. 
.
W : é a taxa de trabalho realizada pelo sistema (convencionada positiva) ou pelo meio 
sobre o sistema (negativa). 
E: é a energia total do sistema, dada por: 
∫∫
∀
∀==
)()( sistemasistemaM
deedmE ρ 
e = é a energia intensiva, dada pela soma entre a energia interna, a energia cinética e a 
energia potencial do sistema (por unidade de massa). 
ugzVe
UmgzmVE
++=
++=
2
2
1
2
2
 
As formulações para sistema e volume de controle são relacionadas por: 
∫∫ •+∀∂∂= ∀ SCCsistema AdVdtdt
dN ηρηρ 
∫ ∫
∀ ∀
∀==
C sistema
ddnNsistema
)(
ηρη 
A fim de deduzir a formulação para volume de controle, da primeira lei da 
termodinâmica, estabelecemos: 
N = E 
N = η. M 
dm
dE=η 
η=e 
∫∫ •+∀∂∂=− ∀ SCCsistema AdVedetWQ
rρρ.. 
no instante t0: 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 54 
 
 
Csist
WQWQ
∀
−=− ..
.
..
 
O termo 
.
W tem um valor numérico positivo quando o trabalho é realizado pelo volume 
de controle sobre o meio que o cerca. A taxa de trabalho realizado sobre o volume de 
controle é de sinal oposto ao realizado pelo volume de controle. 
outroscisalnormaleixo WWWWW
..... +++= 
∫ •=
SC
normal AdVpW
.
 
∫∫∫ •+∀∂∂=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++•+−
∀ SCC
outroscisal
SC
eixo AdVede
t
WWAdVpWQ ρρ.... 
( )∫∫ •++∀∂∂=− ∀ SCC AdVpedetWQ
rρρ.. 
AdVugzVde
t
WQ
SCC
rr&& •⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++++∀∂
∂=− ∫∫
∀
ρρυρ
2
2
 
Sendo: ρυ
1= 
 
É importante ressaltar que a dedução da equação está além do escopo desta disciplina. 
Para maiores informações, recomenda-se consultar os livros de Mecânica dos Fluidos 
sugeridos. Na equação, eixoW
.
é qualquer taxa de trabalho de eixo (potência) realizado 
sobre ou pelo volume de controle, outrosW
.
é qualquer taxa de trabalho não considerada, 
como trabalho produzido por forças eletromagnéticas. 
 
Exemplo: 
Ar entra em compressor a 14 psia, 80ºF com velocidade desprezível e é 
descarregado a 70 psia, 500ºF, com velocidade de 500 pés/s, se a potência fornecida ao 
compressor for 3200 hp e a vazão em massa 20 lbm/s, determine a taxa de transferência 
de calor. 
 
Î Resolução: Para calcular a taxa de transferência de calor precisamos recorrer à 
seguinte fórmula: 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 55 
 
 
AdVugzVde
t
WQ
SCC
rr&& •⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++++∀∂
∂=− ∫∫
∀
ρρυρ
2
2
 
 Levando agora em consideração as duas superfícies de controle e o regime 
permanente: 
( ) ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++++⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +++−=− 1222
2
2
2221111
2
1
111 22
υρυρ pugzVAVpugzVAVWQ && 
 Colocando a vazão mássica em evidência 
( ) ( ) ( )⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+−+−+−=− 11221212
2
1
2
2
2
υυ ppuuzzgVVmWQ &&& 
 h = entalpia específica = u + pυ 
( ) ).(() 1211122212 TTCpupuhhh p −=+−+=∆=− υυ 
01 =V 21 ZZ = 
OBS.: Cp é tabelado, 
Rlbm
BtuCpar ⋅⋅= 24,0 e Rlbm
ftlbfRar ⋅
⋅= 3,53 
 
s
ftlbfHP ⋅⋅= 5501 e ftlbfBtu ⋅=
778
1 
 T (ºR) = 460 + T (ºF) 
 
Substituindo os parâmetros acima na equação (A) temos: 
 ( ) WTTCVmQ p &&& +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −⋅+⋅= 12
2
2
2
 
 ( )
s
BTU,
s
lbm
Rlbm
BTU,
s
ftQ 7122612053995923990
2
500
02
22
−⋅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −⋅⋅⋅+⋅=
& 
 
s
BTUQ 6
.
10.49,2−= 
 
13.6. Equação de Bernoulli: 
Muitas vezes, deseja-se aplicar a equação de conservação da energia para o escoamento 
em regime permanente de um fluido incompressível no interior de uma tubulação, com 
apenas uma entrada e uma saída de massa. Para esta situação, a equação da energia pode 
ser simplificada. 
AdVugzVde
t
WQ
SCC
rr&& •⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++++∀∂
∂=− ∫∫
∀
ρρυρ
2
2
 
(A) 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 56 
 
 
Adotando-se as hipóteses de escoamento em regime permanente, sem outras formas de 
trabalho realizadas, a equação se reduz a: 
AdVugzVWQ
SC
rr&& •⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +++=− ∫ ρρυ2
2
 
Chamando a entrada da tubulação de (1) e a saída da tubulação de (2), e considerando 
que, em uma dada seção, a energia interna (u), a pressão e a distância vertical (z) não se 
alteram, a equação pode ser dada por: 
( )( ) ( ) 11
2
1
22
2
2
22221111
22
22
AdVVAdVVmugzmugzWQ
AA
rrrr
&&&& •⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−•⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛++++−++=− ∫∫ ρρυρυρ 
No entanto, sabe-se que, para escoamento incompressível, a vazão mássica se conserva. 
( ) 11212222111212
12
22
dAVVdAVVmuugzgzWQ
AA
•⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−•⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+−+−+−=− ∫∫ ρρυρυρ &&& 
Definindo-se o coeficiente de energia cinética de forma que: 
VdAVVdAV
AA
ραρ ∫∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
22
22
 
Onde: 
 α: é o fator de correção da energia cinética 
Pode-se escrever a equação da energia de uma forma mais compacta: 
mVVppuugzgzWQ &&& ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+−+−+−=−
22
2
1
1
2
2
2121212 ααυυ 
Para escoamento em regime turbulento, α é aproximadamente igual à unidade. Para 
escoamento em regime laminar, α = 2. 
Dividindo-se a equação pela vazão mássica, tem-se: 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+−+−+−=−
22
2
1
1
2
2
2121212
VVppuugzgz
m
W
m
Q ααυυ&
&
&
&
 
Reescrevendo-se a equação, 
( )
m
Quu
m
WVpgzVpgz &
&
&
& −−+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++ 12
2
2
222
2
1
111 22
αυαυ 
Os termos entre parênteses do lado esquerdo da equação representam a energia 
mecânica por unidade de massa em cada seção transversal do escoamento. O termo 
.
m
W
& 
representa a potência de eixo (por unidade de massa) fornecida ou retirada do fluido 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 57 
 
 
(Hs) e o termo 
.
12 )( m
Quu &−− representa a conversão irreversível de energia mecânica na 
seção (1) em energia térmica não desejada e a perda de energia por transferência de 
calor. 
 
13.6.1. A Equação de Bernoulli para fluidos ideais: 
Para escoamentos de fluidos incompressíveis para os quais se pode desprezar os efeitos 
de atrito (fluidos ideais), têm que: 
.
12 )( m
Quu &=− 
A equação de Bernoulli pode ser dada então por: 
sH
VpgzVpgz =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++−⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++
22
2
2
222
2
1
111 αυαυ 
Quando, além disso, não há nenhuma potência de eixo, toda a energia mecânica se 
conserva. A equação é dada por: 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++
22
2
2
222
2
1
111
VpgzVpgz αυαυ 
==⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++ HVpgz
2
2
αυ constante Equação de Bernoulli para fluidos ideais 
 
A energia em qualquer ponto da massa fluida em um escoamento incompressível 
em regime permanente é constante. 
 
13.6.1.1. Visualização gráfica da equação de Bernoulli: 
Muitas vezes, é conveniente representar o nível de energia de um escoamento 
por meios gráficos. Cada termo na equação de Bernoulli, na forma apresentada tem 
dimensões de comprimento, ou carga do fluido em escoamento. Os termos individuais 
são: 
:
g
P
ρ Energia de Pressão por unidade de peso do fluido ou carda devida à pressão 
estática local. 
z: Energia de Posição por unidade de peso do fluido ou carga de elevação. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 58 
 
 
g
V
2
2
α : Energia Cinética por unidade de peso do fluido ou carga devida à pressão 
dinâmica local. 
H: Energia Total por unidade de peso do fluido ou carga total do escoamento. 
 
 Para um fluido ideal sem trabalho de eixo, a energia mecânica total se conserva. 
A energia total por unidade de peso do fluido (ou carga total do escoamento). A linha 
energética representa a altura de carga total. Conforme mostrado na equação de 
Bernoulli, a altura da linha energética permanece constante para o escoamento sem 
atrito, quando nenhum trabalho é realizado sobre ou pelo fluido. A linha piezométrica 
representa a soma das alturas de carga devidas à elevação e à pressão estática. A 
diferença entre as alturas da linha energética e da linha piezométrica representa a altura 
de carga dinâmica (de velocidade). 
 
Figura 30 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento Unidimensional em um 
Duto. 
Linha Energética: 
g
V
g
pz
2
2
++ ρ 
Linha Piezométrica: 
g
Pz ρ+ . 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 59 
 
 
13.6.2. Aplicações da Equação de Bernoulli: 
 
13.6.2.1. Teorema de Torricelli: 
Seja um recipiente de paredes delgadas com a área da superfície livre constante, 
contendo um fluido ideal, escoando em regime permanente através de um orifício 
lateral. 
 
Figura 31 – Escoamento de um Fluido Ideal em um Recipiente de Paredes Delgadas. 
 
A aplicação da equação de Bernoulli para fluidos ideais conduz a: 
g
Vz
g
P
g
Vz
g
P
2
1
1
1
2
2
2
2 ++=++ ρρ 
Para escoamento turbulento, assume-se α1 = α2 = 1 
A equação da Continuidade estabelece que a vazão volumétrica seja constante, ou seja, 
2211 VAVAQ == 
No entanto, 21 AA >> . Pode-se considerar, portanto, 01 =V . 
Como o jato de saída é livre à pressão atmosférica, atmPPP == 21 . 
Além disso, hzz =− 21 
Portanto, 
g
Vh
2
2
2= 
ghV 22 = 
 
Teorema de Torricelli: “A velocidade de um líquido jorrando por um orifício através de 
uma parede delgada é igual à velocidade que teria um corpo em queda livre de uma 
altura h.”. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 60 
 
 
13.6.2.2. Medidores de vazão: 
Freqüentemente, é necessário medir a vazão que passa por uma tubulação. Existem 
diferentes dispositivos capazes de efetuar esta medição, divididos principalmente em 
duas classes: instrumentos mecânicos e instrumentos de perda de carga. Os instrumentos 
mecânicos medem a vazão real do fluido, retendo e medindo uma certa quantidade. Os 
dispositivos de perda de carga obstruem o escoamento, causando a aceleração de uma 
corrente fluida, como mostra na fig. 32 para um bocal genérico. 
 
Figura 32 – Escoamento Interno através de um Bocal Genérico mostrando o volume de 
controle usado para análise. 
 
A separação do escoamento na borda viva da garganta do bocal provoca a formação de 
uma zona de recirculação, como mostrado pelas linhas tracejadas a jusante do bocal. A 
corrente principal do escoamento continua a se acelerar após a garganta, formando uma 
vena contracta na seção 2 e, em seguida, desacelera-se para preencher toda a seção do 
tubo. Na vena contracta, a área de escoamento é mínima e a velocidade é máxima. 
 
A vazão teórica pode ser relacionada ao gradiente de pressão através da aplicação da 
equação de Bernoulli para fluidos ideais e da equação de conservação de massa. A 
equação de Bernoulli estabelece que 
g
Vz
g
P
g
Vz
g
P
22
2
1
11
1
2
2
22
2 αραρ ++=++ 
Como z1 = z2, a equação se reduz a: 
g
V
g
P
g
V
g
P
22
2
1
1
1
2
2
2
2 αραρ +=+ 
Assim, considerando-se escoamento turbulento, α1= α2 = 1 e: 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 61 
 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=− 212221 2 VVPP
ρ
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−=− 2
2
2
1
2
2
21 12 V
VVPP ρ 
As velocidades 1V e 2V podem ser relacionadas através da equação de conservação de 
massa, 
2211 AVAV = 
Ou 
1
2
2
1
A
A
V
V = 
Assim, 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=−
1
2
2
2
21 12 A
AVPP ρ 
A velocidade teórica (ideal) 2V é, portanto, dada por: 
( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−
−=
2
1
2
21
2
1
2
A
A
PP
V
ρ
 
A vazão volumétrica teórica é dada, portanto, por: 
22 AVQ = 
( )
2
2
1
2
21 .
1
2
A
A
A
PP
Q
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−
−=
ρ
 
No entanto, diversos fatores limitam a utilidade da equação anterior para o cálculo da 
vazão através do medidor. A área do escoamento real na seção 2 é desconhecida quando 
a vena contracta é pronunciada. Em geral, os perfis de velocidade não podem ser 
considerados uniformes na seção. Os efeitos de atrito podem se tornar importantes 
quando os contornos medidos são abruptos. Finalmente, a localização das tomadas de 
pressão influencia a leitura da pressão diferencial. 
A equação teórica é ajustada pela definição de um coeficiente de descarga empírico tal 
que: 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 62 
 
 
( )
td AC
A
A
PP
Q ..
1
2
2
1
2
21
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−
−=
ρ
 
Deve ser observado que no cálculo da vazão real a área que deve ser utilizada é a área 
da garganta, e não a área do escoamento na seção 2. 
São apresentados na literatura valores para os coeficientes dos medidores de vazão, 
medidos com distribuições de velocidades turbulentas, completamente desenvolvidas na 
entrada do medidor. 
 
13.6.2.2.1. Tubo de Venturi: 
 O tubo de Venturi é um dispositivo utilizado para medição da vazão ou da 
velocidade em uma tubulação. Consiste em uma redução da seção do escoamento, 
provocando um aumento de velocidade e uma queda na pressão. Em geral, os medidores 
são fundidos e usinados com pequenas tolerâncias, de modo a reproduzir o desempenho 
de projeto. A perda de carga total é baixa. Dados experimentais mostram que os 
coeficientes de descarga variam de 0,98 a 0,995 para altos números de Reynolds 
(maiores que 2.105). Por isso, C= 0,99 pode ser usado para medir a vazão em massa 
com cerca de 1% de erro. Para menores números de Reynolds, a literatura dos 
fabricantes deve ser consultada. 
A diferença de pressão entre um ponto no escoamento e um ponto no 
estrangulamento é medida através de um líquido manométrico, como mostrado na fig. 
33. 
 
Figura 33 – Tubo de Venturi. 
 
Aplicando-se a equação de Bernoulli entre os pontos 1 e 2 (fluido A), 
2
2
22
1
2
11
22
z
g
V
g
Pz
g
V
g
P
AA
++=++ ρρ 
 Fenômenos de Transporte – 01/200863 
 
 
No entanto, z1 = z2 
g
V
g
P
g
V
g
P
AA 22
2
22
2
11 +=+ ρρ 
Falta ainda relacionar as velocidades 1V e 2V à vazão mássica ou à vazão volumétrica. 
A equação da continuidade estabelece que, para fluidos incompressíveis: 
2211 AVAVQ == 
Ou: 
2
1
12
2
2
1
1
A
A
VV
A
QV
A
QV
=
=
=
 
Igualando-se as expressões P1 e P2 e substituindo-se as expressões para as velocidades, 
chega-se a: 
( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛⋅
−⋅⋅=
1
2
2
2
1
21
1
A
A
PPAQ
Aρ
 
 
13.6.2.2.2. Tubo de Pitot: 
Assim como o tubo de Venturi, o tubo de Pitot é um dispositivo utilizado para a 
medição de vazão ou a velocidade de um escoamento. Podem ser utilizadas 2 
configurações. Na primeira (Fig. 34), um tubo é inserido no escoamento. Ao entrar no 
tubo, a velocidade do fluido é reduzida a zero, sem atrito. Aplicando-se a equação de 
Bernoulli: 
 
Figura 34 – Medição de pressão estática – Tubo de Pitot. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 64 
 
 
2
2
22
1
2
11
22
z
g
V
g
Pz
g
V
g
P ++=++ ρρ 
 Mas: z1 = z2 
2V =0 
Assim, 
g
P
g
V
g
P
ρρ
2
2
11
2
=+ 
ou: 
2
2
112 VPP =− ρρ 
As pressões podem ser relacionadas às alturas do fluido: 
P1 = Patm+ 1ghρ 
P2 = Patm+ 2ghρ 
Substituindo-se na equação de Bernoulli, 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
g
PPgV ρ
12
1 2 
( )121 2 hhgV −= 
Na segunda configuração, é inserido um fluido manométrico, no qual será lida a 
diferença de cotas (Fig. 35). Aplicando-se a equação de Bernoulli ao fluido A, 
 
Figura 35 – Tubo de Pitot com fluido manométrico. 
 
2
2
22
1
2
11
22
z
g
V
g
Pz
g
V
g
P
AA
++=++ ρρ 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 65 
 
 
 Mas: z1 = z2 
2V =0 
Assim, 
g
P
g
V
g
P
AA ρρ
2
2
11
2
=+ 
ou: 
2
2
112 VPP
AA
=− ρρ 
As pressões nos pontos 1 e 2 podem ser relacionadas através das seguintes expressões: 
PC = P1+ 1ghAρ 
PD = P2+ 2ghAρ 
Mas, 
)( 21 hhgPP BDC −+= ρ 
Assim, 
ghhPP BA ))(( 2112 −−=− ρρ 
A velocidade do escoamento é dada, então, por: 
A
BA hhgV ρ
ρρ ))((2 21
1
−−= 
 
13.6.2.2.3. Placa de orifício: 
A placa de orifício é uma placa fina que pode ser colocada entre flanges. Como a 
sua geometria é simples, é de baixo custo e de fácil instalação e reposição. As principais 
desvantagens são a sua capacidade limitada e a elevada perda de carga. As tomadas de 
pressão podem ser posicionadas em diversos locais. Como a localização das tomadas 
influencia o coeficiente de descarga, valores consistentes devem ser selecionados de 
manuais. A equação de correlação recomendada para um orifício concêntrico com 
tomadas de canto (fig.36) é: 
5,2
75,0
81,2
Re
71,91184,00312,05959,0 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=
Dl
D
Dl
D
Dl
DC t
Dl
tt 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 66 
 
 
 
Figura 36 (a) – Geometria de orifício e localização de tomadas de pressão – Placa de 
orifício. 
 
Equações de correção similares estão disponíveis para placas de orifícios com tomadas 
de flange e com tomadas de pressão D e D/2. 
 
Figura 36 (b) – Placa de Orifício. 
A1 = área da seção reta do tubo. 
A3 = área da seção reta à entrada do orifício (montante). 
A2 = área da seção reta à saída do orifício (jusante). 
 
Aplicando a equação de Bernoulli entre A1 e A2, temos: 
2
2
22
1
2
11
22
Z
g
VpZ
g
Vp ++=++ γγ (1) 
Porém, a área na seção reta na “vena contracta” será multiplicada por um fator CC 
chamado coeficiente de contração, então: 
02 ACA C= (2) 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 67 
 
 
Assim sendo, 
0211 ACVAVQ c== (3) 
Cortando Z1 e Z2 na equação (1) e substituindo (3) em (1), temos, 
2
0
2
2
2
1
2
1
22 )AC(g
QP
gA
QP
c
+=+ γγ 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=− 2
1
2
0
2
2
21
11
2 AACg
Qhh
C
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=− 2
1
2
0
2
2
0
22
1
2
21 2 AAC
ACA
g
Qhh
C
C 
( )212
0
22
1
2
1
2
0
2
2 hhg
ACA
AACQ
C
C −⋅−= 
( )212
1
02
2
1
12
0
2
2
1
hhg
A
AC
A
AAC
Q
C
C
−⋅
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
= 
( )212
1
02
0 2
1
hhg
A
AC
ACQ
C
C −⋅
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−
= 
Para obtermos a vazão real, devemos considerar o coeficiente de velocidade “CV” 
responsável pelas perdas por atrito e choques no orifício, então: 
( )212
1
02
0 2
1
hhg
A
AC
ACCQ
C
CV −⋅
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−
= (4) 
Definimos o coeficiente de forma do orifício “C” como sendo a relação: 
2
1
021 ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−
=
A
AC
CCC
C
CV (5) 
A equação (4) pode ser escrita: 
 
( )210 2 hhgCAQ −= (6) 
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 68 
 
 
13.6.2.2.4. Pressão de estagnação: 
É obtida quando um fluido em movimento é desacelerado até a velocidade zero 
por meio de um processo sem atrito. 
 
Figura 37 – Medições simultâneas das pressões de estagnação e estática. 
 
=++ z
g
VP
2
2
γ constante 
g
VPP
2
2
0 += γγ 
onde: 
P0: é a pressão de estagnação 
00 =V 
z0 = z 
P: pressão estática (é a pressão termodinâmica, é aquela pressão que seria medida por 
um instrumento movendo-se com o escoamento). 
g
VPP
2
2
0 =−γ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= γ
PPgV 02 
 
13.7. Equação de Bernoulli para fluidos reais – perda de carga: 
pHg
Vz
g
P
g
Vz
g
P ∆+++=++
22
2
1
1
1
2
2
2
2
ρρ 
 
Este último termo é denominado perda de carga, (∆HP) que é a energia por unidade de 
peso do líquido, dissipada em forma de calor devido à viscosidade e ao desvio de massa 
pelos acessórios e, quando turbulento o regime de escoamento, pela rugosidade. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 69 
 
 
13.7.1. Visualização gráfica da equação de Bernoulli para fluidos reais: 
 
Figura 38 – Linhas Energética e Piezométrica para Escoamento de um Fluido Real. 
 
:
g
P
ρ Energia de Pressão por unidade de peso do fluido. 
:z Energia de Posição por unidade de peso do fluido. 
:
2
2
g
V Energia Cinética por unidade de peso do fluido. 
:pH∆ Perda de Carga entre os pontos 1 e 2. 
 
A perda de carga ( )pH∆ depende da rugosidade (ε) e do comprimento (L) da tubulação 
e da presença de acessórios e conexões no sistema. A perda de carga total é, portanto, a 
soma da perda de carga contínua ( )pCH∆ , devida ao atrito do escoamento com as 
paredes ao longo da tubulação, com a perda de carga local ( )pLH∆ , devida à perda de 
pressão pelo atrito do escoamento com os acessórios e conexões, mudanças de área e 
outros. 
 
PLPCP HHH ∆+∆=∆ 
 
A perda de carga unitária é definida como sendo a razão entre a perda de carga e 
o comprimento da tubulação: 
 
L
HJ P∆= 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 70 
 
 
A perda de carga entre duas seções quaisquer do escoamento pode ser calculada 
através de relações empíricas que dependem principalmente do regime de escoamento e 
da rugosidade relativa do duto. 
 
13.7.2. Tipos de perda de carga: 
 
13.7.2.1. Perdas de carga contínuas: ocorre nos trechos retos. 
g
V
D
LfHPC 2
2
=∆ 
onde: L é a distância percorrida pelo fluido entre as 2 seções consideradas, DIM: [L]. 
 D é o diâmetro do duto, DIM: [L]. 
V é a velocidade média do fluido, DIM: [L/t]. 
g é a aceleraçãoda gravidade, DIM: [L/t2]. 
f é o coeficiente de atrito. 
 
O principal problema consiste então na determinação do fator de atrito. 
Basicamente, ele depende da rugosidade (ε) e do diâmetro da tubulação (D), da 
velocidade média do escoamento ( )V e das propriedades do fluido (ρ e µ). Através da 
análise dimensional, obtém-se que o fator de atrito é função de 2 adimensionais: a 
rugosidade relativa (k/D ou ε/D) e o número de Reynolds. 
O adimensional de Reynolds, ou Re é dado por: 
 
υµ
ρ DVDV ==Re 
 
O número de Reynolds caracteriza o regime de escoamento: 
 
 2100Re ≤ , o escoamento é laminar. 
Se 4000Re2100 << , o escoamento está na faixa de transição. 
 4000Re ≥ , o escoamento é turbulento. 
 
O fator de atrito depende do regime de escoamento. Para escoamentos laminares, 
o fator de atrito pode ser calculado por: 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 71 
 
 
Re
64=f 
Para escoamentos turbulentos, a determinação do fator de atrito é mais 
complicada. A expressão mais largamente utilizada é a de Colebrook: 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +−= 5,05,0 .Re
51,2
7,3
/log21
f
D
f
ξ
 
No entanto, a expressão anterior é transcendental, ou seja, deve ser resolvida por 
um procedimento iterativo. Miller sugere um valor inicial para o fator de atrito(f0), dado 
por: 
2
9,00 Re
74,5
7,3
/log25,0
−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ += Df ξ 
Substituindo-se o resultado da equação de Miller na equação de Colebrook, 
pode-se determinar um valor para o fator de atrito com cerca de 1% de erro. 
Os valores do fator de atrito, para escoamentos laminares e turbulentos, foram 
determinados experimentalmente para uma série de valores de Re e de (k/D ou ε/D) e 
sumarizados em um ábaco (Fig.38), denominado Ábaco de Moody. 
Moody apresenta também uma tabela (Tab.3) para determinação da rugosidade 
absoluta (ε) em tubos, para alguns materiais comuns de engenharia. 
 
Tabela 3 – Rugosidade para Tubos de Materiais comuns de Engenharia. 
Material Rugosidade ε (mm) 
Aço rebitado 0,9 a 9 
Aço comercial 0,046 
Concreto 0,3 a 3 
Ferro fundido 0,26 
Ferro fundido asfaltado 0,12 
Ferro galvanizado 0,15 
Madeira 0,2 a 0,9 
Trefilado 0,0015 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 72 
 
 
Figura 39 - Ábaco de Moody. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 73 
 
 
 
Figura 40 – Determinação da Rugosidade Relativa. 
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 74 
 
 
13.7.2.2. Perdas de carga localizadas: 
Em um sistema real, muitas vezes o escoamento é obrigado a passar por uma 
série de acessórios, conexões, curvas ou mudanças abruptas de seção e direção. Ao 
passar por estes obstáculos, o escoamento perde energia e tem sua pressão 
diminuída. As perdas de carga locais foram determinadas experimentalmente e 
modeladas segundo duas equações diferentes. 
 
1o método: Método direto 
( )
g
VkHPL 2
2
∑=∆ 
k: é o coeficiente de perda local (característica do acessório – Fig. 41) 
 
 
Figura 41 – Valores aproximados de k. 
 
 
 
 
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 75 
 
 
2o método: Método dos comprimentos equivalentes 
 
Consiste em transformar o acessório em trecho reto com o mesmo diâmetro e 
material. 
g
V
D
L
fH ePL 2
2
=∆ 
Le: é o comprimento equivalente da tubulação (Fig. 41) 
 
A perda de carga total é: 
PLPcP HHH ∆+∆=∆ 
 
Figura 42 – Comprimentos Equivalentes para Tubulações de Ferro fundido e Aço. 
 
A entrada do escoamento em tubos pode causar uma perda de carga 
considerável, se for mal projetada. Na Tab. 4, são apresentadas 3 geometrias básicas 
de entradas. Para saídas, o coeficiente de perda local vale 1,0. 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 76 
 
 
Tabela 4 – Coeficiente de Perda de Carga para Entrada de Tubos. 
 
 
Toda energia cinética do fluido é dissipada pela mistura quando o escoamento 
descarrega de um tubo em um grande reservatório ou câmara (saída submersa). Assim, 
para uma saída submersa, o coeficiente de perda é igual a α, não importando a 
geometria. 
Um escoamento pode ainda sofrer uma expansão ou contração abrupta. Para este 
caso, a Tab. 5 apresenta os coeficientes de perda de carga, em função da razão de área 
AR (razão entre a menor e a maior área da contração ou expansão). 
 
Tabela 5 – Coeficientes de Perda de Carga para Contração e Expansão. 
 
Para uma expressão abrupta, o coeficiente de perda de carga pode ser modelado pela 
equação: 
 
K = (1-RA)2 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 77 
 
 
As perdas decorrentes da variação de área podem ser reduzidas pala instalação 
de um bocal ou um difusor entre as duas seções de tubo reto. Um bocal é um dispositivo 
utilizado para a redução gradual da seção do escoamento (Fig.43). A Tab. 6 apresenta os 
coeficientes de perda de carga para bocais, para diferentes razões de área e para 
diferentes ângulos θ. 
 
Figura 43 – Redução de Área – Bocal. 
 
Tabela 6 – Coeficientes de Perda de Carga para Redução Suave da Seção 
Kcontração θ 
A2 / A1 10º 15º - 40º 50º - 60º 90º 120º 150º 180º 
0,50 0,05 0,05 0,06 0,12 0,18 0,24 0,26 
0,25 0,05 0,04 0,07 0,17 0,27 0,35 0,41 
0,10 0,05 0,05 0,08 0,19 0,29 0,37 0,43 
 
As perdas em difusores (expansão gradual da seção do escoamento) dependem 
de diversas variáveis geométricas e do escoamento. Como um difusor provoca um 
aumento da pressão estática do escoamento (redução da velocidade média), o 
coeficiente de perda é comumente apresentado em termo de um coeficiente de 
recuperação de pressão, CP: 
2
1
12
2
1 V
PPCP ρ
−= 
O coeficiente de perda é dado por 
PCAR
K −−= 2
11 
Definindo-se um coeficiente ideal de recuperação de pressão, CPi, como o coeficiente de 
recuperação que existiria se os efeitos de atrito fossem desprezados. 
2
11
AR
CPi −= 
PPi CCK −= 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 78 
 
 
A Fig. 44 apresenta os coeficientes de carga para difusores, em função do ângulo total 
do difusor. 
 
Figura 44 – Coeficiente de Perda de Carga para um Difusor. 
 
Deve ser observado que as perdas de carga são obtidas ao se multiplicar o coeficiente de 
perda por (U2/2g). No entanto, em uma redução ou aumento de seção, há duas 
velocidades diferentes; a da maior e a da menor seção. Para estes casos, sempre deve ser 
usado o maior valor de velocidade. 
 
As perdas de carga em escoamentos através de válvulas e conexões também podem ser 
escritas em termos de comprimentos equivalentes de tubos retos. Estes valores, para 
cada um dos acessórios, são mostrados na Tab. 7. 
 
 Tabela 7 – Comprimento Equivalente Adimensional para Válvulas e Conexões. 
Acessórios Le/D 
Válvula Gaveta 8 
Válvula Globo 340 
Válvula Angular 150 
Válvula de Esfera 3 
Válvula Globo de Retenção 600 
Válvula Angular de Retenção 55 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 79 
 
 
Válvula de pé com Crivo Guiado 420 
Válvula de pé com Crivo Articulado 75 
Cotovelo Padrão de 90º 30 
Cotovelo Padrão de 45º 16 
Curva de Retorno – 180º 50 
Tê Padrão: Escoamento Principal 20 
Tê Padrão: Escoamento Lateral 60 
 
Válvulas são dispositivos destinados a estabelecer, controlar e interromper a descarga de 
fluidos em tubulações. Algumas garantem a segurança da instalação e outras permitem 
desmontagens para reparos ou substituições de elementos da instalação. Existe uma 
grande variedade de tipos de válvulas, cuja escolha depende da natureza da operação a 
realizar,das propriedades físicas e químicas do fluido considerado, da pressão e da 
temperatura do escoamento e da forma de acionamento pretendida. 
 
As válvulas de gaveta (Fig.45) são válvulas mais empregadas para escoamento de 
líquidos. Possuem custo relativamente reduzido e permitem a redução da vazão do 
escoamento através do volante situado na parte superior do corpo da válvula. Quando o 
volante é girado, a válvula desliza para baixo na seção. 
 
Figura 45 – Válvula de gaveta. 
 
As válvulas de esfera são válvulas de uso geral, de fechamento rápido, muito usadas 
para ar comprimido, vácuo, vapor, gases e líquidos. O controle do fluxo é feito por meio 
de uma esfera, possuindo uma passagem central e localizada no corpo da válvula. O 
comando é, em geral, manual, com auxílio de uma alavanca. Estas válvulas não se 
aplicam, a casos em que se pretende variar a vazão, mas apenas abrir ou fechar 
totalmente a passagem do fluido. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 80 
 
 
As válvulas globo (Fig. 46) possuem uma haste parcialmente rosqueada em cuja 
extremidade existe um alargamento, tampão ou disco para controlar a passagem do 
fluido por orifício. Servem para regular a vazão, pois podem trabalhar com tampão da 
vedação do orifício em qualquer posição, embora acarretem grandes perdas de carga, 
mesmo com abertura máxima. 
 
Figura 46 – Válvula Globo. 
 
As válvulas de retenção (Fig.47) permitem o escoamento em um só sentido. Quando há 
a tendência de inversão no sentido do escoamento, fecham automaticamente pela 
diferença de pressão provocada. 
 
Figura 47 – Válvula de Retenção. 
 
Existe um número muito grande de dados experimentais para as perdas da carga 
localizadas. Os valores apresentados constituem uma compilação dos dados da 
literatura, proposta por Fox e McDonald (2001). Eles devem ser considerados como 
dados representativos para algumas situações comumente encontradas. Para válvulas, o 
projeto irá variar significativamente, dependendo do fabricante. Sempre que possível, os 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 81 
 
 
valores fornecidos pelos fabricantes deverão ser utilizados para a obtenção de dados 
mais precisos. Além disso, como as perdas de carga introduzidas por acessórios e 
válvulas irão variar consideravelmente, dependendo dos cuidados tomados durante a 
fabricação da tubulação. Rebarbas do corte de trechos de tubos, por exemplo, poderão 
causar obstruções locais, com aumento considerável das perdas. 
 
13.8. Potência fornecida por uma bomba 
Se for necessário transportar um fluido de um ponto a outro situado em uma posição 
mais elevada, pode-se utilizar uma bomba. A bomba fornecerá ao fluido uma 
quantidade de energia por unidade de peso do fluido Hman. 
 
Figura 48 – Elevação de um Fluido com uma Bomba. 
 
Aplicando-se a equação de Bernoulli para fluidos reais entre os pontos 1 e 2, 
pman Hg
V
g
PzH
g
V
g
Pz ∆+++=+++
22
2
22
2
2
11
1 ρρ 
A potência real da bomba, ou seja, a potência que a bomba fornece ao fluido é dada por: 
manB QHN γ= 
Onde: γ: é o peso específico do fluido ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
3L
FDIM 
Q: é a vazão volumétrica através da bomba ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
t
LDIM
3
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 82 
 
 
 Hman: é a energia por unidade de peso do fluido fornecida pela bomba (altura 
manométrica). É a energia fornecida a cada kgf de líquido para que partindo do 
reservatório inferior atinja o reservatório superior, vencendo a diferença de pressão 
entre os reservatórios, a altura de desnível geométrico e a perda de carga [ ]LDIM . 
 No entanto, a energia disponível para a bomba é diferente da energia transferida 
pela bomba para o fluido. Uma parte da energia é perdida por fugas de massa e por 
dissipação por atrito no interior da bomba. A eficiência da bomba é definida então como 
sendo a razão entre a energia disponível para o fluido e a energia disponível para a 
bomba, ou seja, a razão entre a potência real da bomba e a sua potência ideal. 
idealpotência
realpotência
 
 =η 
 
A unidade de potência, no SI, é o W (J/s). Uma unidade bastante utilizada é o 
cavalo-vapor (cv), sendo 1 cv = 736W = 75 kgfm/s e 1 hp = 746W = 76 kgfm/s, ou seja, 
1 hp = 1,014 cv 
Nm= η
γ manQH 
 
Exemplo: 
Um conjunto elevatório esquematizado na figura abaixo trabalha nas seguintes 
condições: 
- Vazão = 100 l.s-1 
- Material = Ferro fundido 
- Rendimento total = 75% 
- Diâmetro da tubulação de recalque = 200 mm 
- Diâmetro da tubulação de sucção = 250 mm 
- 
s
m
OH
2
6
2 10.1
−=µ 
Determinar: 
a) Perda de carga na linha de sucção em (m). 
b) Perda de carga na linha de recalque em (m). 
c) Altura manométrica em (m). 
d) Potência da bomba de acionamento em (cv). 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 83 
 
 
 
Figura 49 – Conjunto elevatório referente ao exemplo acima 
 
Resolução: Para calcularmos os itens acima, iremos dividir em dois blocos: Sucção e 
Recalque. 
a) Sucção: (Antes da bomba) 
*Acessórios na sucção: - 1 válvula de pé e crivo = 65,0 m 
 - 1 curva de 90º = 3,0 m 
 Le = 65 m + 3 m 
 AVQ ×= 
 ( ) 23S3 m102504Vsm100,0 −××π×= 
 s
m037,2VS = 
* Cálculo do número de Reynolds: 
υ=µ
ρ= DVDVRe 
 
s
m101
m25,0s
m037,2
Re 26−×
×= 
 5101,5Re ×= 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 84 
 
 
 * Obtenção do fator de atrito: 
Pelo fato do número de Reynolds ter sido maior que 4.000 o escoamento 
se caracteriza turbulento. 
Depois de consultado a tabela de rugosidade relativa ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ =ε 00104,0
D
 e o 
ábaco de Moody, obtemos o fator de atrito de f = 0,0205. 
* Cálculo da perda de carga na sucção usando o método do comprimento 
equivalente: 
( )
g2
V
D
LeLfH
2
S
S ×+×=∆ 
( ) ( )
2
2
3S
s
m81,92
s
m037,2
m10250
m3655,40205,0H ×××
++×=∆ − 
m257,1Hs =∆ 
b) Recalque: (Depois da bomba) 
 *Acessórios no Recalque: - 1 válvula de retenção = 25,0 
 - 1 curva de 90º = 2,4 
 - 1 registro gaveta = 1,4 
 Le = 25,0 m + 2,4 m + 1,4 m 
 AVQ ×= 
( ) 23R3 m102004Vsm100,0 −×π×= 
 s
m183,3VR = 
* Cálculo do número de Reynolds: 
 υ=µ
ρ= DVDVRe 
 
s
m101
m2,0s
m183,3
Re 26−×
×= 
 51037,6Re ×= 
 * Obtenção do fator de atrito: 
Pelo fato do número de Reynolds ter sido maior que 4.000 o escoamento 
se caracteriza turbulento. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 85 
 
 
Depois de consultado a tabela de rugosidade relativa ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ =ε 0013,0
D
 e o 
ábaco de Moody, obtemos o fator de atrito de f = 0,0215. 
* Cálculo da perda de carga na sucção: 
( )
g2
V
D
LeLfH
2
R
R ×+×=∆ 
( ) ( )
2
2
3R
s
m81,92
s
m183,3
m102
m4,24,125360215,0H ×××
+++×=∆ − 
m597,3HR =∆ 
 
m854,4m597,3m257,1HHH RST =+=∆+∆=∆ 
c) Cálculo da altura manométrica: 
 * Pela equação de Bernoulli temos: 
 Perdas
g
VPH
g
VP
man ++=++ 22
2
22
2
11
γγ 
P1+ 1V
2/2.g + Hman = P2+ 2V
2/2.g + perdas ( TH∆ ) 
P1man=0 ; P2man=0 ; Z1=0 ; Z2=21 m ; V 1=0 ; V 2= V R =3,18m/s 
( )
m584,4m21
s
m81,92
s
m183,3
H
2
2
man ++×= 
m1,26Hman = 
 
d) Cálculo da potência da bomba: 
 * Rearranjando a equação de Bernoulli temos: 
 η
γ man
m
QHN = 
 * Substituindo os valores teremos: 
 
750
12610100101
33
3
3
,
m,s
m
m
kgf
HQN manm
××××
=η
××γ=
−
 
 
s
m.kgfNm 3480= s
mkgfvc .75..1 = 
 .v.c,Nm 446= 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 8614. Transferência de Calor 
14.1. Introdução 
Sempre que existir um gradiente de temperatura no interior de um sistema ou dois 
sistemas a diferentes temperaturas colocadas em contato, haverá transferência de 
energia por calor. 
A transferência de calor é o trânsito de energia provocado por uma diferença de 
temperatura, no sentido da temperatura mais alta para a mais baixa. 
 
 
 
 
 
 
Figura 50 - Transferência de calor. 
 
Os processos de transferência de calor devem obedecer às leis da Termodinâmica: 
1a Lei da Termodinâmica: A energia não pode ser criada ou destruída, mas apenas 
transformada de uma forma para outra. 
2a Lei da Termodinâmica: É impossível existir um processo cujo único resultado seja 
a transferência de calor de uma região de baixa temperatura para outra de temperatura 
mais alta. 
 
14.2. Modos de Transferência de Calor: 
Os diferentes processos através dos quais o calor é transmitido são chamados modos. Os 
modos de transferência de calor são: condução, convecção e radiação. 
 
 
14.2.1. Condução: 
Transferência de calor que ocorre em um meio estacionário, que pode ser um sólido ou 
um fluido. É um processo pelo qual o calor flui de uma região de temperatura mais alta 
para outra de temperatura mais baixa dentro de um meio (sólido, líquido ou gasoso) ou 
entre meios diferentes em contato físico direto. A energia é transferida através de 
comunicação molecular direta, sem apreciável deslocamento das moléculas. 
 
Calor 
T1 > T2 
S1 S2 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 87 
 
 
 
Figura 51 – Associação da transferência de calor por condução à difusão da energia 
provocada pela atividade molecular. 
 
14.2.2. Convecção: 
Transferência de calor que ocorre entre uma superfície e um fluido em movimento, 
quando estiverem em temperaturas diferentes. É um processo de transferência de 
energia através da ação combinada de condução de calor, armazenamento de energia e 
movimentação da mistura. É importante principalmente como mecanismo de 
transferência de energia entre uma superfície sólida e um fluido. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 52 – Processos de transferência convectiva de calor. (a) Convecção natural. (b) 
Convecção forçada. 
 
 
14.2.3. Radiação: 
Energia emitida na forma de ondas eletromagnéticas por uma superfície a uma 
temperatura finita. É a energia emitida por toda matéria que se encontra a uma 
temperatura não nula. O calor radiante é emitido por um corpo na forma de impulsos, ou 
quantas de energia. 
T1 
T2 
qc 
T1 
Tar 
CONVECÇÃO NATURAL
qc 
T1 
Tar 
CONVECÇÃO FORÇADA
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 88 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 53 – Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças. 
 
A radiação térmica é a energia eletromagnética propagada na velocidade da luz, emitida 
pelos corpos em virtude de sua temperatura. Os átomos, moléculas ou elétrons são 
excitados e retornam espontaneamente para os estados de menor energia. Neste 
processo, emitem energia na forma de radiação eletromagnética. Uma vez que a emissão 
resulta de variações nos estados eletrônicos, rotacional e vibracional dos átomos e 
moléculas, a radiação emitida é usualmente distribuída sobre uma faixa de 
comprimentos de onda. Estas faixas e os comprimentos de onda representando os 
limites aproximados são mostrados na Fig. 54. 
 
Figura 54 – Troca radiativa entre uma superfície e as suas vizinhanças. 
 
14.3. Leis Básicas da Transferência de Calor: 
 
Equações de Taxa 
 
q
T
Tviz
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 89 
 
 
Todos os processos de transferência de calor podem ser quantificados através da 
equação de taxa apropriada. A equação pode ser usada para se calcular a quantidade de 
energia transferida por unidade de tempo. 
 
A taxa de energia é denotada por q, e tem unidade de (W – Watt) no sistema 
internacional. Outra maneira de se quantificar a transferência de energia é através do 
fluxo de calor, "q , que é a taxa de energia por unidade de área (perpendicular à direção 
da troca de calor). No sistema internacional, a unidade do fluxo é (W/m2). 
 
14.3.1. Condução 
Equação de taxa: Lei de Fourier 
dx
dTkqcond −=" 
onde "
cond
q : Fluxo de calor por condução na direção x (W/m2) 
 k: Condutividade térmica do material da parede (W/m.K) 
calor de fluxo do direção na ra temperatude Gradiente :
dx
dT (K/m) 
 
A taxa de calor pode ser obtida multiplicando-se o fluxo de calor pela área 
perpendicular à direção da transferência de calor, 
dx
dTkAqcond −= 
O sinal negativo aparece porque o calor está sendo transferido na direção da 
temperatura decrescente. A lei de Fourier se aplica a todos os estados da matéria 
(sólidos, líquidos e gases), desde que estejam em repouso. 
Seja a transferência unidimensional de calor em uma parede plana (Figura 55). 
 
Figura 55 – Transferência de Calor em uma Parede Plana. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 90 
 
 
Considere que, na parede mostrada na figura 55, a superfície em x = 0 se encontra a 
uma temperatura T1 e a superfície em x = L se encontra a T2. A transferência de calor é, 
portanto, unidimensional (direção x). Para regime permanente sem geração interna de 
calor, pode-se considerar que a distribuição de temperaturas no interior da parede é 
linear. Assim, o gradiente de temperatura pode ser dado por: 
L
TT
dx
dT 12 −= 
O fluxo de calor é dado por: 
L
Tk
L
TTk
L
TTkqcond
∆=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−= 2112" 
A taxa de condução de calor pode ser obtida multiplicando-se o fluxo pela área 
perpendicular à direção da transferência de calor, é dada por: 
Aqq condcond
"= 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
L
TTkAqcond 21 
Utilizando a analogia com circuitos elétricos, pode-se definir a resistência térmica à 
condução Rt,cond a partir da resistência elétrica R. 
i
VVR 21 −= 
cond
condt q
TTR 21,
−= 
kA
LR condt =, 
onde: Rt,cond. = resistência térmica à condução de calor (W/K)-1 
 
Exemplo: 
1) Uma parede de concreto, área superficial de 20 m2 e espessura de 0.30 m, separa uma 
sala de ar condicionado do ar ambiente. A temperatura da superfície interna da parede é 
mantida a 25ºC, e a condutividade térmica do concreto é 1W/m.K. Determine a perda de 
calor através da parede para as temperaturas ambientes internas de – 15 ºC e 38 ºC que 
correspondem aos extremos atingidos no inverno e no verão. 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 91 
 
 
Î Resolução: Para calcularmos a perda de calor através da parede devemos utilizar a 
equação que rege a lei básica de transferência de calor referente à condução térmica em 
uma parede plana: 
L
TTAkqcond 21..
−= 
 Substituindo os valores em relação à temperatura de –15ºC temos a condução 
térmica como: 
( )
Wq
m
CCm
Km
Wq
L
TTAkq
cond
cond
cond
2667
3,0
º15º25.20.
.
1
..
2
21
=
−−=
−=
 
 Substituindo em relação à temperatura de 38ºC temos: 
Wq
m
CCm
Km
Wq
L
TTAkq
cond
cond
cond
867
3,0
º38º25.20.
.
1
..
2
21
−=
−=
−=
 
 
14.3.2. Convecção 
Equação de taxa: Lei de Resfriamento de Newton 
 
 
Figura 56 – Transferência Convectiva de Calor. 
 
( )∞−= TThq sconv" 
onde: " .q conv : Fluxo de calor por convecção (W/m
2) 
h: Coeficiente convectivo de calor (W/m2K) 
 Ts: Temperatura da superfície (K) 
 T∞: Temperatura do fluido (K) 
A taxa de transferência de calor por convecção é dada por: 
Aqq convconv
"=Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 92 
 
 
( )∞−= TThAq sconv 
A Tab. 8 apresenta valores típicos do coeficiente de convecção h: 
 
Tabela 8 – Valores de h (W/m².K) 
 Gás Líquido 
Convecção Natural 5-25 50-1.000 
Convecção Forçada 25-250 50-20.000 
Ebulição ou Condensação 2.500-100000 
 
A resistência térmica à convecção é dada por: 
conv
convt q
TTR 21,
−= 
hA
R convt
1
, = 
onde: Rt,conv. = resistência térmica à convecção de calor (W/K)-1 
 
Exemplo: 
1) Um circuito integrado (chip) quadrado com lado w = 5 mm opera em condições 
isotérmicas. O chip está alojado no interior de um substrato de modo que suas 
superfícies laterais e inferior estão bem isoladas termicamente, enquanto sua superfície 
superior encontra-se exposta ao escoamento de uma substância refrigerante a T∞ = 15ºC. 
A partir de testes de controle de qualidade, sabe-se que a temperatura do chip não deve 
exceder a T= 85ºC. Se a substância refrigerante é o ar, com coeficiente de transferência 
de calor por convecção correspondente de h= 200 W/m2.K. Determine a potência 
máxima que pode ser dissipada pelo chip. 
 
Î Resolução: Para calcular a potência máxima dissipada pelo chip temos que calcular 
o fluxo de transferência de calor gerada pelo sistema, levando em consideração a 
temperatura máxima à qual o chip pode atingir: 
2
2
sup
000.14"
).º15º85(
.
200"
)("
m
Wq
K
Km
Wq
TThq
conv
conv
conv
=
−=
−= ∞
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 93 
 
 
 Calculamos agora a potência máxima utilizando o valor acima encontrado: 
 ( )
W35,0Pq
m10.5.
m
W14000q
A.''qq
maxconv
223
2conv
convconv
==
=
=
− 
 
14.3.3. Radiação 
 
Lei de Stefan-Boltzmann 
 
A radiação com comprimento de onda de aproximadamente 0,2 µm a 1000 µm é 
chamada radiação térmica e é emitida por todas as substâncias em virtude de sua 
temperatura. 
O fluxo máximo que pode ser emitido por uma superfície é: 
4"
srad Tq σ= 
onde: q”rad: Energia emitida por unidade de área da superfície (W/m2) 
 Ts: Temperatura absoluta da superfície (K) 
 σ: Constante de Stefan-Boltzmann (5,67x10-8W/m2K4) 
 
Uma superfície capaz de emitir esta quantidade de energia é chamada um radiador ideal 
ou um corpo negro. Um corpo negro pode ser definido também como um perfeito 
absorvedor de radiação. Toda a radiação incidente sobre um corpo negro 
(independentemente do comprimento de onda ou da direção) será absorvida. Embora 
um corpo negro não exista na natureza, alguns materiais se aproximam de um corpo 
negro. Por exemplo, uma camada fina de carbono preto pode absorver 
aproximadamente 99% da radiação térmica incidente. 
A quantidade de energia liberada de uma superfície como calor radiante depende da 
temperatura absoluta e da natureza da superfície. Uma superfície capaz de emitir esta 
quantidade de energia é chamada um irradiador perfeito ou “corpo negro”. 
O fluxo de calor emitido por uma superfície real é menor do que aquele emitido por um 
corpo negro à mesma temperatura e é dado por: 
4"
srad Tq εσ= 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 94 
 
 
onde: ε é a emissividade da superfície. Esta propriedade indica a eficiência de emissão 
da superfície em relação a um corpo negro ( )10 ≤≤ ε . A Tabela A.5 (Apêndice A) 
apresenta a emissividade de alguns materiais comuns, a 300 K. 
 
Outra propriedade radiativa importante é a absortividade α, que indica a eficiência de 
absorção da superfície. 
 
A taxa líquida na qual a radiação é trocada entre duas superfícies é bastante complicada, 
dependendo das propriedades radiativas das superfícies e de seu formato. Um caso 
especial que ocorre com freqüência envolve a troca líquida de radiação entre uma 
pequena superfície a uma temperatura Tsup e uma superfície isotérmica bem maior que a 
primeira, que a envolve completamente (Figura 57). 
 
Figura 57 – Troca Radiativa Líquida entre duas Superfícies. 
 
Considerando-se a superfície menor cinzenta ( )αε = , o fluxo radiativo líquido pode ser 
dado por: 
( )44" vizsrad TTq −= εσ 
 
A taxa líquida de troca de calor é: 
( )44 vizsrad TTAq −= εσ 
 
onde: A: Área da superfície menor 
 Ts: Temperatura da superfície menor 
 Tviz.: Temperatura da superfície maior 
Manipulando-se a equação anterior, pode-se escrever a taxa líquida como: 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 95 
 
 
( )( )( )22 vizsvizsvizsrad TTTTTTAq ++−= σε ou 
( )vizsrrad TTAhq −= 
onde: 
( )( )22 vizsvizsr TTTTh ++= εσ 
Assim, a resistência térmica à radiação é dada por: 
rad
vizs
radt q
TTR −=, 
Ah
R
r
radt
1
, = 
onde: Rt,rad. = resistência térmica à radiação de calor (W/K)-1 
 
Deve ser ressaltado que o resultado independe das propriedades da superfície maior, já 
que nenhuma parcela da radiação emitida pela superfície menor seria refletida de volta 
para ela. 
As superfícies mostradas na Fig. 57 podem também, simultaneamente, trocar calor por 
convecção com um fluido adjacente. A taxa total de transferência de calor é dada, 
portanto, pela soma da taxa de calor por radiação com a taxa de calor por convecção. 
 
convrad qqq += 
 
Exemplo: 
1) Uma superfície com área de 0,5 m2, emissividade igual a 0,8 e temperatura de 150ºC 
é colocada no interior de uma grande câmara de vácuo cujas paredes são mantidas a 
25ºC. Determine a taxa de emissão de radiação pela superfície? 
 
Î Resolução: Para calcular a taxa de emissão de radiação devemos utilizar a fórmula 
referente à radiação para uma superfície: 
( ) ( )
2rad
44
42
8
rad
sup
4
rad
m
W22,1452''q
K273150
Km
W1067,58,0''q
T..q
=
+×××=
=
−
σε
 
A Tab. 9 apresenta um resumo das equações de taxa dos diferentes modos de 
transferência de calor. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 96 
 
 
Tabela 9 – Equações de Taxa 
 Taxa Fluxo 
Condução 
dx
dTKAqcond −= 
dx
dTK"q cond −= 
Convecção ( )∞−−= TThAq sconv ( )∞−= TTh"q sconv 
Radiação ( )vizsr TTAhqrad −= ( )T vizT sq rad 44" −= εσ 
 
 
15. Condução 
15.1. Introdução à Condução 
A Lei de Fourier é uma lei fenomenológica, ou seja, desenvolvida a partir de fenômenos 
observados, e não deduzida a partir de princípios fundamentais. 
Para a condução unidimensional, 
dx
dTkqcond −=" 
O fluxo de calor é uma grandeza vetorial, dado por: 
Tkk
z
Tj
y
Ti
x
Tkq ∇−=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂−= ˆˆˆ" 
onde ∇ é o operador gradiente. 
kqjqiqq zyx ˆˆ"
""" ++= 
onde: 
z
Tkq
y
Tkq
x
Tkq zyx ∂
∂−=∂
∂−=∂
∂−= """ 
A Tab.10 apresenta, para os três sistemas de coordenadas cartesianas, a lei de Fourier. 
 
Tabela 10 – Lei de Fourier para os três sistemas de coordenadas. 
Sistemas de 
coordenadas 
Lei de Fourier Forma compacta 
Cartesianas 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂−= k
z
Tj
y
Ti
x
Tkq ˆˆˆ" kqjqiqq zyx
ˆ"ˆ"ˆ"" ++= 
Cilíndricas 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂−= k
z
TjT
r
i
r
Tkq ˆˆ1ˆ" φ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂−= k
z
TjT
r
i
r
Tkq ˆˆ1ˆ" φ 
Esféricas ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂−= kT
r
jT
r
i
r
Tkq ˆ
sen
1ˆ1ˆ" θθθ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂−= kT
r
jT
r
i
r
Tkq ˆ
sen
1ˆ1ˆ" θθθ
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 97 
 
 
15.2. Propriedades térmicas da matéria: 
A condutividade térmica (K) apresenta a capacidade de um corpo de transferir calor. Ela 
depende da estrutura física da matéria, a níveis atômico e molecular. Conforme 
mostrado na figura 58, em geral, a condutividade térmicade um sólido é maior que a de 
um líquido que, por sua vez, é maior que a de um gás. No sistema internacional, a 
unidade de k é (W/m.K). 
 
Para uma taxa de calor fixa, um aumento na condutividade térmica representa uma 
redução do gradiente de temperatura ao longo da direção da transferência de calor. Esta 
tendência se deve, em grande parte, às diferenças de espaçamento intermolecular nos 
estados da matéria. A Figura 58 apresenta valores da condutividade térmica para alguns 
materiais, a 300 K. 
 
Figura 58 – Faixas de Condutividade térmica para vários estados da matéria. 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 98 
 
 
O produto ρcp, comumente chamado de capacidade calorífica, mede a capacidade de um 
material de armazenar energia térmica. Uma vez que substâncias que possuem 
densidade elevada são tipicamente caracterizados por reduzidos calores específicos, 
muitos sólidos e líquidos, que são considerados meios bons para o armazenamento de 
energia possuem capacidades caloríficas de magnitude apreciável. Ao contrário, devido 
às suas baixas densidades, os gases são muito pouco adequados para o armazenamento 
de energia térmica. No sistema internacional, a unidade de ρcp é (J/m3.K). 
 A difusividade térmica (α) é definida como sendo a razão entre a condutividade 
térmica e a capacidade calorífica: 
pc
k
ρα = 
onde k é a condutividade térmica e pcρ é a capacidade calorífica. 
 
Ela mede a capacidade do material de conduzir a energia térmica em relação à sua 
capacidade de armazená-la. Materiais com valores elevados de α responderão 
rapidamente a mudanças nas condições térmicas a eles impostas, enquanto materiais 
com valores reduzidos de α responderão mais lentamente, levando mais tempo para 
atingir uma nova condição de equilíbrio. No sistema internacional, a unidade de α é 
(m2/s). 
 
Em geral, os sólidos metálicos têm maiores difusividades térmicas, enquanto os sólidos 
não metálicos apresentam menores valores desta propriedade. 
 
15.3. Conservação de energia em um volume de controle 
Em qualquer instante, de tempo (t) e intervalo de tempo (∆t), deve haver um equilíbrio 
entre todas as taxas de energia. 
 
- Num instante (t): a taxa com que as energias térmica e a energia mecânica entram num 
volume de controle, mais a taxa com que a energia térmica é gerada no interior do 
volume de controle, menos a taxa com que as energias térmica e a energia mecânica 
deixam o volume de controle, devem ser iguais à taxa de aumento da energia 
armazenada no interior do volume de controle. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 99 
 
 
- Num intervalo de tempo(∆t): a quantidade de energia térmica e a energia mecânica 
que entra num volume de controle, mais a quantidade de energia térmica gerada no 
interior do volume de controle, menos a quantidade de energia térmica e a energia 
mecânica que deixa o volume de controle, devem ser iguais ao aumento na quantidade 
de energia armazenada no interior do volume de controle. 
dt
dEEEEE acacefgaf ==−+ &&&& 
 
a equação acima pode ser utilizada em qualquer instante de tempo. A forma alternativa, 
que se aplica a um intervalo de tempo (∆t), é obtida pela integração da equação ao longo 
do tempo: 
acefgaf EEEE ∆=−+ 
 
Em palavras essa relação diz que as quantidades de energia que entram e que são 
geradas atuam em favor do crescimento da quantidade de energia acumulada no interior 
do volume de controle, enquanto a energia que sai atua diminuindo a quantidade de 
energia armazenada. 
 
Os termos relativos à entrada e saída de energia são fenômenos de superfície. Ou seja, 
eles estão associados exclusivamente aos processos que ocorrem na superfície de 
controle e são proporcionais a sua área. Uma situação comum envolve a entrada e a 
saída de energia por meio da transferência de calor por condução, convecção e ou 
radiação. Em situações que envolvem o escoamento de um fluido através da superfície 
de controle, os termos também incluem a energia transportada pela matéria que entra e 
sai do volume de controle. Essa energia pode compreender as formas interna, cinética e 
potencial. Os termos de entrada e saída podem também incluir as interações referentes 
ao trabalho que ocorre nas fronteiras do sistema. 
 
O termo da geração de energia está associado à conversão de uma outra forma de 
energia qualquer (química, elétrica, eletromagnética, ou nuclear) em energia térmica. 
Esse é um fenômeno volumétrico. Ou seja, ele ocorre no interior do volume de controle 
e é proporcional a magnitude do seu volume. Por exemplo, uma reação química 
exotérmica pode estar acontecendo, convertendo energia química em térmica. Nesse 
caso, o efeito a ser computado é um aumento na energia térmica da matéria no interior 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 100 
 
 
do volume de controle. Outra fonte de energia térmica é a conversão de energia elétrica 
que ocorre devido ao aquecimento resistivo quando se passa uma corrente elétrica 
através de um material condutor. Isto é, se uma corrente elétrica I passa através de uma 
resistência R no interior do volume de controle, energia elétrica é dissipada a uma taxa 
igual a I².R, que corresponde à taxa na qual a energia térmica é gerada (liberada) no 
interior do volume de controle. Embora esse processo possa ser alternativamente tratado 
como se houvesse a realização de trabalho elétrico no sistema (entrada de energia), o 
efeito líquido continua sendo a criação de energia térmica. 
O armazenamento ou acúmulo de energia também é um fenômeno volumétrico, e 
variações no interior do volume de controle podem ser devido a mudanças nas energias 
internas, cinética e ou potencial do seu conteúdo. Portanto, para um intervalo de tempo 
∆t, o termo relativo ao armazenamento de energia, ∆ Eac, pode ser igualado a soma ∆U 
+ ∆KE + ∆PE. A variação na energia interna, ∆U, consiste em um componente sensível 
ou térmico, que leva em consideração os movimentos de translação, rotação e ou 
vibração dos átomos/moléculas que compõem a matéria; um componente latente, que 
está relacionado às forças intermoleculares que influenciam as mudanças de fase entre 
os estados sólido, líquido e gasoso; um componente químico, que compreende a energia 
armazenada nas ligações químicas entre os átomos; e um componente nuclear, que 
representa as forças de coesão existentes nos núcleos dos átomos. 
 
Exemplo: 
1) Um equipamento eletrônico possui um dissipador de potência agregado à sua 
estrutura. Tal dissipador está em um ambiente cuja temperatura do ar, à qual passa por 
suas aletas, é de T∞ =27ºC e sua área é de 0,045m2. Qual o coeficiente convectivo de 
calor do ar (h), cuja temperatura da vizinhança e da superfície são, respectivamente, 
Tviz.= 27ºC e Tsup= 42ºC e a emissividade è de 0,8. A potência dissipada pelo 
equipamento é de 20 W. 
 
Î Resolução: Para calcular o coeficiente convectivo do ar devemos utilizar a equação 
que rege a lei de conservação de energia em um volume de controle: 
 
acefgaf EEEE ∆=−+ 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 101 
 
 
Como o equipamento não gera energia e o termo referente ao armazenamento de 
energia não varia com o tempo, temos: 
0=− efaf EE X 
 
Identificando os termos acima em parâmetros de convecção e radiação temos: 
.convrad.ef
af
qqE
PE
+=
=
 
 
Substituindo os valores temos: 
( ) ( )300315045,0.300315045,0.10.67,5.8,0
)(.)(
20
448
.sup
4
.
4
.sup
−+−=
−++=
=
−
∞
hE
TTAhTTAE
WE
ef
vizef
af
εσ 
 
Substituindo os termos acima na equação X: 
( ) ( )
Km
Wh
h
h
EE efaf
.
35,24
675,0
56,320300315045,0.300315045,0.10.67,5.8,020
2
448
=
−=
−+−=
=
−
 
 
15.4. Equação da Difusão de Calor 
15.4.1. Coordenadas cartesianas 
Um dos objetivos principais da análise da condução de calor é determinar o campo de 
temperaturas em um meio, ou seja, a distribuição de temperaturas em seu interior. Assim, 
pode-se determinar o fluxo de calor por condução em qualquer ponto do meio ou em sua 
superfície utilizando-se a lei de Fourier. Para se determinar a distribuição de temperaturas, 
considere o volume de controle infinitesimal de dimensões dx, dy e dz mostrado na figura 
59. gE& e aE& representam, respectivamente, a geração interna de calor e o acúmulo de 
energia que podem existir no volume de controle e qx , qy e qz são as taxas de calor por 
condução nas três direções. 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 102 
 
 
 
Figura 59 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cartesianas). 
 
Fazendo-se um balanço de energia no volume de controle 
 
 
( ) ( ) dxdydz
t
Tcdxdydzqqqqqqq
EEEE
pdzzdyydxxzyx
agse
∂
∂=+++−++
=+−
+++ ρ&
&&&&
 
q& : Taxa de geração de energia por unidade de volume do meio (W/m3) 
t
Tcp ∂
∂ρ : Taxa de variação de energia térmica do meio, por unidade de volume (W/m3) 
 
Fazendo-se uma expansão em série de Taylor nas 3 direções coordenadas, 
dz
z
qqqdy
y
q
qqdx
x
qqq zzdzz
y
ydyy
x
xdxx ∂
∂+=∂
∂+=∂
∂+= +++ 
 
Assim, 
dxdydz
t
Tcdxdydzqdz
z
qqdy
y
q
qdx
x
qqqqq pzz
y
y
x
xzyx ∂
∂=+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂++∂
∂++∂
∂+−++ ρ& 
dxdydz
t
Tcdxdydzqdz
z
qdy
y
q
dx
x
q
p
zyx
∂
∂=+∂
∂−∂
∂−∂
∂− ρ& 
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 103 
 
 
As taxas qx , qy e qz podem ser determinadas utilizando-se a Lei de Fourier, 
dxdy
z
Tkqdxdz
y
Tkqdydz
x
Tkq zyx ∂
∂−=∂
∂−=∂
∂−= 
( ) ( ) ( ) dxdydz
t
Tcdxdydzqdzq
z
dyq
y
dxq
x pzyx ∂
∂=+∂
∂−∂
∂−∂
∂− ρ& 
dxdydz
t
Tcdxdydzqdzdxdy
z
Tk
z
dydxdz
y
Tk
y
dxdydz
x
Tk
x p ∂
∂=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂−∂
∂− ρ& 
dxdydz
t
Tcdxdydzqdxdydz
z
Tk
z
dxdydz
y
Tk
y
dxdydz
x
Tk
x p ∂
∂=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ ρ& 
Dividindo-se pelo volume infinitesimal dxdydz, 
t
Tcq
z
Tk
zy
Tk
yx
Tk
x p ∂
∂=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ ρ& 
 
Muitas vezes, no entanto, é possível operar com versões simplificadas desta equação, 
adotando-se algumas hipóteses: 
 
• Condutividade térmica constante (k constante): 
t
T
k
c
k
q
z
T
y
T
x
T p
∂
∂=+∂
∂+∂
∂+∂
∂ ρ&
2
2
2
2
2
2
 
ou 
t
T
k
q
z
T
y
T
x
T
∂
∂=+∂
∂+∂
∂+∂
∂
α
1
2
2
2
2
2
2 &
 
onde: 
pc
k
ρα = = difusividade térmica do material (m
2/s) 
 
• Regime Permanente ( )0=∂∂ tT : 
0=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ q
z
Tk
zy
Tk
yx
Tk
x
& 
 
• Condução unidimensional de calor em regime permanente, sem geração 
interna de calor: 
0=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
dx
dTk
dx
d 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 104 
 
 
Neste caso, 
constanteconstante == xqdx
dTk 
 
Em condições de transferência de calor unidimensional em regime permanente, sem 
geração interna de energia, o fluxo de calor é constante na direção da análise. 
 
15.4.2. Coordenadas Cilíndricas 
Efetuando-se uma análise similar à realizada para coordenadas cartesianas, pode-se 
escrever a equação da difusão de calor em coordenadas cilíndricas e esféricas. Seja o 
volume de controle em coordenadas cilíndricas mostrado na Figura 60. 
 
Figura 60 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cilíndricas). 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂−=∇−= k
z
TjT
r
i
r
TkTkq ˆˆ1ˆ" φ 
z
TkqT
r
kq
r
Tkq zr ∂
∂−=′′∂
∂−=′′∂
∂−=′′ φφ 
t
Tcq
z
Tk
z
Tk
rr
Tkr
rr p ∂
∂=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ ρφφ &2
11
 
 
15.4.3. Coordenadas Esféricas 
Seja o volume de controle em coordenadas esféricas mostrado na Figura 61. 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 105 
 
 
 
Figura 61 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Esféricas). 
 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+∂
∂+∂
∂−=∇−= kT
r
jT
r
i
r
TkTkq ˆ
sen
1ˆ1ˆ" φθθ 
φθθ φθ ∂
∂−=′′∂
∂−=′′∂
∂−=′′ T
r
kqT
r
kq
r
Tkqr sen
 
t
TcqTk
r
Tk
rr
Tkr
rr p ∂
∂=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ ρθθθθφφθ &sensen
1
sen
11
222
2
2 
 
15.4.4. Condições de Contorno e Condição Inicial 
A solução das equações que governam problema depende ainda das condições físicas 
que existem nas fronteiras do meio (condições de contorno) e, quando a situação for 
dependente do tempo, também das condições que existem em um certo instante inicial 
(condição inicial). Como a equação da condução de calor é uma equação de Segunda 
ordem nas coordenadas espaciais, são necessárias 2 condições de contorno para cada 
coordenada espacial que descreve o sistema. Como a equação é de primeira ordem no 
tempo, basta apenas uma condição inicial. As figuras a seguir mostram as 3 espécies de 
condições de contorno comumente encontradas na transferência de calor. Elas ilustram a 
situação para um sistema unidimensional, especificando a condição de contorno na 
superfície x = 0, com a transferência de calor ocorrendo na direção dos x positivos. 
 
1) Temperatura da Superfície Constante – condição de Dirichlet 
sTtT =),0( 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 106 
 
 
2) Fluxo de Calor Constante na Superfície –condição de Neumann 
)0("
0
x
x
q
x
Tk =∂
∂−
=
 
 
a) Fluxo de Calor Diferente de Zero 
"
0
S
x
q
x
Tk =∂
∂−
=
 
 
b) Fluxo de Calor Nulo (Parede Isolada ou Adiabática) 
0
0
=∂
∂
=xx
T 
 
3) Condição Convectiva na Superfície 
( )[ ]tTTh
x
Tk
x
,0
0
−=∂
∂− ∞
=
 
 
Exemplo: 
1) Uma longa barra de cobre com seção reta retangular, cuja largura W é muito maior 
que sua espessura L, encontra-se com a sua superfície inferior em contato com um 
sorvedouro de calor de tal modo que a temperatura ao longo de toda a barra é 
aproximadamente igual à do sorvedouro, Td = 30ºC. De repente uma corrente elétrica é 
passada através da barra, e uma corrente de ar, com temperatura T = 15ºC e coeficiente 
convectivo h = 10 W/m2.K, é soprada por sobre a sua superfície superior. A superfície 
inferior continua mantida a Td. Obtenha a equação diferencial e as condições inicial e de 
contorno que poderiam ser usadas para determinar a temperatura da barra em função da 
posição e do tempo. 
 
Î Resolução: Para obtermos a equação e as condições de contorno e inicial devemos 
primeiramente fazer algumas considerações: 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 107 
 
 
* Uma vez que W>>L, os efeitos causados pelas superfícies laterais são 
desprezíveis, e a transferência de calor no interior de barra é basicamente 
unidimensional na direção do eixo do x. 
* Taxa volumétrica de geração de calor uniforme, 
.
q . 
* Propriedades físicas constantes. 
 
A distribuição de temperatura é governada pela equação de calor: 
t
Tcq
z
Tk
zy
Tk
yx
Tk
x p ∂
∂=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ ρ. 
 
Para as considerações do problema de transferência de calor unidimensional com 
propriedades físicas constantes, a equação se reduz a: 
t
T
k
q
x
T
∂
∂=+∂
∂
α
1
.
2
2
 
 
A condição de contorno para a superfície inferior sendo esta mantida em um 
valor constante em relação ao tempo, temos: 
( ) CTtT d º30,0 == 
 
A condição de contorno em relação à superfície superior da barra será: 
( )[ ]∞
=
−=∂
∂− TtLTh
x
Tk
Lx
,. 
 
A condição inicial é inferida a partir do reconhecimento de que, antes da 
mudança das condições, a barra encontrava-se a uma temperatura uniforme Td, 
sendo: 
 
( ) CTxT d º300, == 
 
 
 
 
 
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 108 
 
 
15.5 Condução Unidimensional em Regime Permanente 
15.5.1. Parede Simples 
Seja uma parede plana separando dois fluidos em temperaturas diferentes (Figura 62). 
Considere a condução unidimensional de calor através da parede, em regime 
permanente, sem geração interna. A temperatura é função somente de uma coordenada 
espacial (no caso x) e o calor é transferido unicamente nesta direção. A transferência de 
calor ocorre por convecção do fluido quente a T∞1 para a superfície da parede a Ts1 em x 
= 0, por condução através da parede e por convecção da superfície da parede em x = L a 
Ts2 para o fluido frio a T∞2 . 
 
Figura 62 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana . 
 
A determinação da distribuição de temperaturas no interior da parede é feita através da 
solução da equação de calor. Em coordenadas cartesianas, esta equação é dada por: 
Equação da Condução de Calor em Coordenadas Cartesianas: 
t
Tcq
z
Tk
zy
Tk
yx
Tk
x p ∂
∂=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ ρ& 
Hipóteses: 
• Condução unidimensional ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ =∂∂=∂∂ 0zTyT 
• Sem geração interna ( )0=q& 
• Regime permanente ( )0=∂∂ tT 
A equação se reduz, então, a 
0=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
dx
dTk
dx
d 
Considerando-se a condutividade térmica do material constante, 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 109 
 
 
02
2
=
dx
Tdk ou 02
2
=
dx
Td 
Integrando-se 2 vezes em x, 
1Cdx
dT = 21 CxCT += 
Para se determinar as constantes de integração C1 e C2, aplicam-se as condições de 
contorno: 
( ) 1,0 STT = ( ) 2,STLT = 
Pode-se então determinar as constantes de integração: 
L
TT
C 1,S2,S1
−= 1,2 STC = 
Assim, 
( ) 1,1,2, SSS TxL
TT
xT +−= 
 
Na condução unidimensional, em regime permanente, numa parede plana, sem geração 
de calor e com condutividade térmica constante, a temperatura é uma função linear de x. 
 
A taxa de calor por condução no interior da parede é dada pela lei de Fourier: 
( )2,1, SSx TTLkAdxdTkAq −=−= 
O fluxo de calor é dado por: 
( )2,1," SSxx TTLkAqq −== 
Percebe-se, portanto, que, no interior da parede, a taxa e o fluxo de calor são constantes. 
 
15.5.2. Resistência Térmica 
Da mesma maneira que uma resistência elétrica se opõe à passagem de corrente em um 
circuito, uma resistência térmica se opõe à passagem de calor. Definindo-se a resistência 
como sendo a razão entre o potencial motriz e a correspondente taxa de transferência, 
conclui-se que a resistência térmica assume a forma: 
q
TRt
∆= 
Assim, para a condução unidimensional através de uma parede plana : 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 110 
 
 
kA
LR condt =., 
Para a convecção: 
hA
R convt
1
., = 
Para a radiação: 
Ah
R
r
radt
1
., = 
Onde ( )( )22 ∞∞ ++= TTTTh ssr εσ 
 
Deve-se ressaltar que as resistências térmicas à convecção e à radiação assumem a 
mesma forma para qualquer sistema de coordenadas, variando-se apenas a expressão 
utilizada para a área. No entanto, a resistência à condução assume diferentes expressões 
para os diferentes sistemas de coordenadas. 
 
No exemplo da parede plana, toda a energia transferida do fluido quente para a 
superfície é conduzida através da parede e, por sua vez, para o fluido frio, ou seja, a taxa 
de calor é constante. 
Pode-se fazer um balanço de energia entre os fluidos quente e frio, 
21 convcondconvx qqqq === 
Aplicando-se as equações de taxa apropriadas, 
( ) ( ) ( )2,2,22,1,1,1,1 ∞∞ −=−=−= TTAhTTLkATTAhq SSSSx 
Reescrevendo-se a equação anterior, 
( ) ( ) ( )
Ah
TT
kA
L
TT
Ah
TT
q SSSSx
2
2,2,2,1,
1
1,1,
11
∞∞ −=−=−= 
Utilizando-se o conceito de resistência térmica, 
( ) ( ) ( )
2
2,2,2,1,
1
1,1,
conv
S
cond
SS
conv
S
x R
TT
R
TT
R
TT
q ∞∞
−=−=−= 
Pode-se então fazer um circuito térmico, análogo a um circuito elétrico, com a forma 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 111 
 
 
 
Figura 63 – Circuito Térmico. 
 
Pode-se, da mesma forma, fazer um circuito térmico equivalente, em função da 
diferença global de temperatura, definindo-se a resistência térmica total Rtot. 
tot
x R
TT
q 2,1, ∞∞
−= 
Como as resistências térmicas condutivas e convectivas estão em série, 
21 convcondconvtot RRRR ++= 
AhkA
L
Ah
Rtot
21
11 ++= 
onde: 
T∞,1- T∞,2 = diferença de temperatura global (K). 
Rtot = Resistência térmica total (K/W). 
 
Exemplo: 1) Uma casa possui uma parede composta com camadas de madeira, 
isolamento à base de fibra de vidro e gesso, conforme indicado no desenho. Em um dia 
frio de inverno, os coeficientes de transferência de calor por convecção são de he=60 
W/m2.K e hi=30 W/m2.K. A área total da superfície da parede é de 350 m2. 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 112 
 
 
 
 
a) Para as condições dadas, determine uma expressão para a resistência térmica 
total da parede, incluindo os efeitos da convecção térmica nas superfícies interna 
e externa da parede. 
b) Determine a perda total de calor através da parede. 
 
 
 
Î Resolução: 
a) Para calcular a expressão para a resistência térmica total da parede devemos 
utilizar a seguinte fórmula que rege a resistência térmica, levando em 
consideração as camadas da parede. 
AhAk
L
Ak
L
Ak
L
Ah
R
em
m
f
f
g
g
i
total .
1
....
1 ++++= 
b) Para determinar a perda total de calor através da parede devemos utilizar uma 
fórmula que relaciona a temperatura das extremidades com a resistência térmica 
total. 
total
e,i,
R
TT
q ∞∞
−= 
Calculando a resistência total temos: 
Isolamento à base de fibra 
de vidro (28Kg/m3), kf 
Compensado de Madeira, 
km Camada de gesso kg 
Exterior 
he, T∞e= -15ºC 
Exterior Exterior Interior 
hi, T∞,i= 20ºC 
20mm 10010mm 
Lg Lf Lm 
Rconv,i RCond1 RCond2 RCond3 
T∞,i T4 T1 T2 T3 
Rconv,e 
T∞,e 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 113 
 
 
W
KR
R
hk
L
k
L
k
L
hA
R
AhAk
L
Ak
L
Ak
L
Ah
R
total
total
em
m
f
f
g
g
i
total
em
m
f
f
g
g
i
total
310.3,8
60
1
12,0
02,0
038,0
1,0
17,0
01,0
30
1
350
1
111
.
1
....
1
−=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++++=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++++=
++++=
 
 Determinando agora a perda total de calor através da parede: 
( )
W86,4216q
103,8
1520q
R
TT
q
3
total
e,i,
=
×
−−=
−=
−
∞∞
 
 
15.5.3. Parede Composta 
Seja a condução de calor unidimensional, em regime permanente, através de uma parede 
composta, constituída por materiais de espessuras e condutividades térmicas diferentes 
(Figura 64). 
 
Figura64 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana. 
 
A taxa de transferência de calor qx é dada por: 
tot
S
C
C
SS
B
B
SS
A
A
SSS
x R
TT
Ah
TT
Ak
L
TT
Ak
L
TT
Ak
L
TT
Ah
TT
q 4,1,
4
4,4,4,3,3,2,2,1,
1
1,1,
11
∞∞∞∞ −=−=−=−=−=−= 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 114 
 
 
onde 
AhAk
L
Ak
L
Ak
L
Ah
RR
C
C
B
B
A
A
ttot
21
11∑ ++++== 
 
No exemplo anterior, desprezaram-se as trocas de calor por radiação entre as superfícies 
da parede e os fluidos. Ao se considerar estas trocas, o fluxo total de calor entre a 
superfície e o fluido seria dado como a soma dos fluxos de convecção e radiação. A 
resistência térmica à radiação seria inserida no circuito térmico associada em paralelo à 
resistência à convecção, já o potencial (∆T) entre a superfície e o fluido seria o mesmo. 
O circuito térmico para a parede constituída por apenas um material é: 
 
Figura 65 – Circuito térmico equivalente. 
 
Muitas vezes, é mais conveniente trabalhar com um coeficiente global de transferência 
de calor U. 
 
TUAqx ∆= 
 
onde: 
 
)(mcalor de trocade Área :A
(K) ra temperatude global Diferença :T
m
Wcalor de ncia transferêde global eCoeficient:U
2
2
∆
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
K
 
AR
U
tot
1= 
 
Exemplo: 
1) A parede composta de um forno possui três materiais, dois dos quais com 
condutividade térmica conhecida, kA= 20 W/m.K e kC= 50 W/m.K, e também 
espessura de LA= 0,30m e LC= 0,15m. O terceiro material B que se encontra 
entre os materiais A e C, possui espessura LB= 0,15m, mas sua condutividade 
térmica é desconhecida. 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 115 
 
 
 
Em condições de regime estacionário, medidas revelam uma temperatura na 
superfície externa do forno de Tsup,e= 20ºC, uma temperatura na superfície interna de 
Tsup,i= 600ºC e uma temperatura do ar no interior de forno de T∞= 800ºC. O coeficiente 
de transferência de calor por convecção no interior do forno é igual a 25 W/m2.K. Qual 
é o valor de kB? 
 
Î Resolução: Para calcular o valor de kB, devemos primeiro calcular o valor da 
resistência total do circuito térmico: 
A
AAAh
TT
RTT
R
R
TT
R
TT
R
TT
R
TT
R
TT
R
TT
R
TT
R
Tq
i
convexti
total
conv
i
total
exti
Ccond
extCB
Bcond
CBBA
Acond
BA
conv
i
total
exti
térmica
x
156,0
200
2,31
200
.25
780
600800
.
1).20800().(
.int,
,
.
int,.,
.
.,
.
,,
.
,int
.
int,,
===−
−
=−
−=
−=−
−=−=−=−=−=∆=
∞
∞
∞∞
∞∞
 
 Encontramos agora a condutividade térmica kB pela soma das resistências: 
Km
Wk
k
k
kAA
AAkAAA
RRRRR
B
B
B
B
B
CcondBcondAcondconvtotal
.
53,1
098,0
15,0
15,0003,0015,004,0156,0
50
15,015,0
20
3,0
25
11156,0
.50
15,0
.
15,0
.20
3,0
.25
1156,0
....
=
=
+++=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +++=
+++=
+++=
 
 
15.5.4. Parede Composta: Série-Paralelo 
Seja a parede composta apresentada na Figura 66. 
 
Rconv1 RCondA RCondB RCondC 
T∞,i Text Tint TAB TBC 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 116 
 
 
 
Figura 66 – Parede Composta. 
 
 
Figura 67 – Circuitos Térmicos Equivalentes numa Parede Composta. 
 
Se for adotada a hipótese de transferência unidimensional de calor, pode-se representar 
o circuito térmico de uma das maneiras mostradas na Figura 67. No caso (a), supõe-se 
que as superfícies normais à direção x são isotérmicas e, no caso (b), que as superfícies 
paralelas a x são adiabáticas. As taxas de calor são diferentes em cada caso, 
representando um intervalo dentro do qual está a taxa real de transferência de calor. 
 
15.5.5. Resistência de contato 
É importante reconhecer que, em sistemas compostos, a queda de temperatura 
nas interfaces entre os vários materiais pode ser considerável. Essa mudança de 
temperatura é atribuída ao que é conhecido como resistência térmica de contato, Rt,c. 
Seu efeito é mostrado na figura abaixo. Para uma área de superfície unitária, a 
resistência térmica de contato é definida pela expressão: 
X
BA
ct q
TTR
"
" ,
−= 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 117 
 
 
 
Figura 68 - Queda de temperatura devido à resistência térmica de contato 
 
 A existência da resistência de contato se deve principalmente aos efeitos da 
rugosidade da superfície. Pontos de contato se entremeiam com falhas que são, na 
maioria dos casos, preenchidas com ar. A transferência de calor é, portanto, devida à 
condução de calor através da área de contato real e à condução e/ou radiação através das 
falhas. A resistência de contato pode ser vista como duas resistências térmicas em 
paralelo: aquela que se deve aos pontos de contato e aquela que está vinculada às falhas. 
Tipicamente, a área de contato é pequena e, sobretudo no caso de superfícies rugosas, a 
principal contribuição para a resistência térmica de contato é fornecida pelas falhas. 
 Para sólidos cujas condutividades térmicas são superiores à do fluido presente 
nas falhas (fluido interfacial), a resistência de contato pode ser reduzida pelo aumento 
da área dos pontos de contato. Tal aumento pode ser obtido por um acréscimo na 
pressão de contato ou na junção e/ou pela redução da rugosidade das superfícies de 
contato. A resistência de contato também pode ser reduzida pela seleção de um fluido 
com elevada condutividade térmica para preencher as falhas. Nesse sentido, a ausência 
de um fluido nas falhas (vácuo na interface) elimina a condução de calor através da 
falha, contribuindo para a elevação da resistência de contato. 
 O efeito de carga ou pressão em interfaces metálicas pode ser visto na tabela 10, 
que apresenta uma faixa aproximada de resistências térmicas em condições de vácuo. O 
efeito da presença de um fluido nas falhas na resistência térmica de contato em uma 
interface de alumínio é mostrado na tabela 11. 
 A contrário da tabela 10, muitas aplicações envolvem o contato entre sólidos 
diferentes, e/ou uma ampla variedade de materiais intersticiais (enchimentos) tabela 11. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 118 
 
 
Qualquer substância intersticial que preencha as falhas entre as superfícies em contato e 
cuja condutividade térmica exceda a do ar irá causar uma redução na resistência de 
contato. Duas classes de materiais são bastante adequadas para este propósito são os 
metais macios e as graxas térmicas. 
 De forma distinta das interfaces anteriores, que não são permanentes, muitas 
juntas são aderidas definitivamente. Devido às resistências interfaciais entre o material 
da superfície original e o da junta de ligação, a resistência térmica real do contato 
excede o valor teórico, calculado a partir da espessura L e da condutividade térmica k do 
material da junta. A resistência térmica dessas juntas permanentes também é afetada de 
maneira adversa por vazios e rachaduras que podem se formar durante a fabricação da 
peça ou como resultado de ciclos térmicos que ocorram durante a sua operação normal. 
 
Resistência Térmica, RHt,c × 104 (m2.K/W) 
(a) Vácuo na Interface (b) Fluido Interfacial 
100 kN/m2 10000 kN/m2 Ar 2,75 
6 a 25 0,7 a 4,0 Hélio 1,05 
1 a 10 0,1 a 0,5 Hidrogênio 0,720 
1,5 a 3,5 0,2 a 0,4 Óleo de Silicone 0,525 
Pressão de Contato 
Aço Inoxidável 
Cobre 
Magnésio 
Alumínio 1,5 a 5,0 0,2 a 0,4 Glicerina 0,265 
Tabela 11 – Resistência térmica de contato em (a) Interfaces Metálicas sob condições 
de vácuo e (b) Interfacede Alumínio com diferentes fluidos interfaciais. 
 
 
Interface RHt,c × 104 (m2.K/W) 
Chip de silício / alumínio esmerilhado com ar 
 (27 a 500 kN/m2) 
0,3 a 0,6 
Alumínio / alumínio, com folha de índio 
 (~100 kN/m2) 
~0,07 
Aço inoxidável / aço inoxidável, com folha de índio 
 (~3500 kN/m2) 
~0,04 
Alumínio / alumínio, com revestimento metálico 
 (Pb) 
0.01 a 0.1 
Alumínio / alumínio, com graxa Dow Corning 340 ~0.07 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 119 
 
 
 (~100 kN/m2) 
Aço inoxidável / aço inoxidável com graxa Dow Corning 
 (~3500 kN/m2) 
~0,04 
Chip de silício / alumínio, com 0,02 mm de epóxi 
 
0,2 a 0,9 
Latão / latão, com 15 µm de solda à base de estanho 0,025 a 0,14 
Tabela 12 – Resistência Térmica de interfaces sólido/sólido representativas 
 
15.6. Condução Unidimensional em Regime Permanente – Sistemas Radiais – 
Cilindro 
Com freqüência, em sistemas cilíndricos e esféricos há gradientes de temperatura 
somente na direção radial, o que possibilita analisá-los como sistemas unidimensionais. 
 
Seja um cilindro oco cuja superfície interna se encontra exposta a um fluido quente e a 
superfície externa, a um fluido frio (Figura 69). Considere a transferência de calor 
unidimensional, em regime permanente, sem geração interna no interior do cilindro. 
 
 
Figura 69 – Transferência de Calor através de um Cilindro Oco 
 
15.6.1. Distribuição de Temperatura 
Equação da Condução de Calor em Coordenadas Cilíndricas 
t
Tcq
z
Tk
z
Tk
rr
Tkr
rr p ∂
∂=+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∂
∂
∂
∂ ρφφ &2
11
 
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 120 
 
 
Hipóteses: 
 
• Condução unidimensional ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ =∂∂=∂∂ 0zTT φ 
• Sem geração interna ( )0=q& 
• Regime permanente ( )0=∂∂ tT 
 
Após serem feitas as simplificações, a equação se reduz a: 
01 =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
dr
dTkr
dr
d
r
 
constante constante =⇒= rqdr
dTkr 
Considerando-se a condutividade térmica k constante, 
0=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
dr
dTr
dr
d
r
k
 
0=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
dr
dTr
dr
d
 
Integrando-se uma vez em r, 
1Cdr
dTr = ou 
r
C
dr
dT 1= 
Integrando-se outra vez em r, 
( ) 21 ln CrCrT += 
Aplicando-se as condições de contorno 
( ) 11 sTrrT == 
( ) 22 sTrrT == , 
pode-se obter as constantes de integração C1 e C2 
( )21
21
1 /ln rr
TTC ss −= ( ) 221
21
22 ln/ln
r
rr
TTTC sss
−−= 
Assim, 
( ) 2221
21 ln
/ln s
ss T
r
r
rr
TT
T +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−= 
A taxa de transferência de calor é dada por: 
 
dr
dTrLk
dr
dTkAqr )2( π−=−=
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 121 
 
 
Onde: A=2πrL é a área normal à direção da transferência de calor. 
 
 
( )12
21
/ln
2
rr
TT
Lkq ssr
−= π 
O fluxo de calor é dado por: 
dr
dTkqr −=" 
( )12
21
/ln
"
rr
TT
r
kq ssr
−= 
A taxa de calor, portanto, é constante para qualquer posição radial (não depende do raio 
r), o que não acontece com o fluxo de calor, que é função de r. 
0=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
dr
dTKr
dr
d
 
0
2
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
L
q
dr
d r
π 
( ) 0=rq
dr
d
 
 
A taxa de calor é, portanto, constante no interior da parede do cilindro. 
 
A resistência térmica à condução para sistemas radiais é dada por: 
r
ss
cond q
TTR 21 −= 
( )
Lk
rrRcond π2
/ln 12= 
 
Exemplo: 
1) Uma barra cilíndrica, de diâmetro 12 mm, possui um revestimento isolante de 
espessura 20 mm. A temperatura no interior e na superfície do cilindro são 
respectivamente 800 K e 490 K. Determinar a perda de calor por unidade de 
comprimento do cilindro, sendo que o isolante térmico é silicato de cálcio (k= 0,089 
W/m.K). 
 
( )21
21
/ln
1
rr
TT
rdr
dT ss −=
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 122 
 
 
Î Resolução: Para determinar a perda de calor por unidade de comprimento do 
cilindro devemos utilizar a fórmula que rege a taxa de transferência de calor: 
( )
m
W
L
q
KK
Km
W
L
q
rr
TTLkq
r
r
ss
r
16,118
10.6
10.26ln
490800.
.
089,0..2
/ln
2
3
3
12
21
=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−=
−=
−
−π
π
 
 
15.6.2. Parede Cilíndrica Composta 
Considere a condução unidimensional de calor, em regime permanente, sem geração 
interna, através de uma parede cilíndrica composta, como mostrado na Figura 70. 
 
 
 
 
Figura 70 – Transferência de Calor Através de uma Parede Cilíndrica Composta. 
 
A taxa de calor é constante através do cilindro. Assim, 
2
14
3
43
2
32
1
21
1
1141
conv
s
cond
ss
cond
ss
cond
ss
conv
s
tot
r R
TT
R
TT
R
TT
R
TT
R
TT
R
TT
q ∞∞∞∞
−=−=−=−=−=−= 
onde: 
( ) ( ) ( )
44
342312
11 2
1
2
/ln
2
/ln
2
/ln
2
1
LhrLk
rr
Lk
rr
Lk
rr
Lhr
RR
CBA
ttot πππππ ++++==∑ 
Definindo: 
AR
U
total
1= 
T∞4,h4 T∞1,h1 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 123 
 
 
Utilizando-se a definição do coeficiente global de transferência de calor, 
 
( ) ( )4141 ∞∞∞∞ −=∆=−= TTUATUATTAUq iir 
 
U = coeficiente global de transferência de calor (W/m2.K) 
∆T= diferença global de temperatura (K) 
A = área de troca de calor (m2) 
 
Se U for definido em termos da área da superfície interna do cilindro A1 = 2πr1L, tem-se 
que: 
44
1
3
41
2
31
1
21
1
1 1lnlnln1
1
hr
r
r
r
k
r
r
r
k
r
r
r
k
r
h
U
CBA
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+
= 
Esta definição é arbitrária. O coeficiente global de transferência de calor pode ser 
definido em termos de A4 ou qualquer uma das outras áreas intermediárias. 
tot
ii R
AUAUAUAUAU 144332211 ===== 
Exemplo: 
1) Vapor escoando em um tubo longo, com paredes delgadas, mantém a sua parede a 
uma temperatura de 500 K. O tubo é coberto por uma manta de isolamento térmico 
composta por dois materiais diferentes, A e B. Suponha existir entre os materiais uma 
resistência térmica de contato infinito. A superfície externa está exposta ao ar onde T∞ = 
3000 K e h = 25 W/m.K. Qual é a temperatura na superfície externa TsupB? 
 
Figura 71 – Ilustração do exemplo acima, tubo com paredes delgadas. 
TsupA 
TsupB 
Tsup1 T∞ ; h 
kA=5W/m.K 
kB=0,25W/m.K 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 124 
 
 
Î Resolução: Para calcularmos a temperatura na superfície externa TsupB, devemos 
utilizar a seguinte fórmula referente à taxa de calor: 
 
 
 
Para obtermos o resultado devemos primeiramente calcular as resistências: Rcond.B e 
Rconv.: 
( )
L
Km
WLLhr
R
LL
Km
W
m
m
Lk
rrR
conv
B
Bcond
2
2
32
.
3
3
12
.
10.36,6
.
25..10.100.2
1
2
1
44,0
.
.
25,0.2
10.50
10.100ln
2
/ln
−
−∞
−
−
===
=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
==
ππ
ππ
 
 Substituindo agora o resultado acima obtido na equação referente a TsupB para 
obtermos tal temperatura: 
K
KK
RR
R
T
R
T
T
convBcond
convBcond
B 25,325
10.36,6
1
44,0
1
10.36,6
300
44,0
500
11
2
2
..
..
1sup
sup =
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
+
=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
+
=
−
−
∞
 
Rcond.B Rconv. 
Tsup.1 Tsup.B T∞ 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
+
=
+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +
−=−
−=−=
∞
∞
∞
∞
..
..
1sup
sup
..
1sup
..
sup
..
sup
.
sup
.
1sup
.
sup
.sup1sup
11
11
convBcond
convBcond
B
convBcondconvBcond
B
convconv
B
Bcond
B
Bcond
conv
B
Bcond
B
r
RR
R
T
R
T
T
R
T
R
T
RR
T
R
T
R
T
R
T
R
T
R
TT
R
TT
q
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 125 
 
 
15.6.3. Espessura Crítica de Isolamento 
Para se aumentar ou diminuir a taxa de calor retirada do cilindro sem alterar as 
condições do escoamento externo, pode-se colocar uma camada de um segundo material 
sobre o cilindro, com condutividade térmica diferente do material do cilindro. 
 
 
Figura 72 – Parede Cilíndrica Composta. 
 
A taxa de transferência de calor da superfície interna para o fluido frio irá depender da 
espessura de material colocado, ou seja, do raio externo do “novo” cilindro. Como a 
resistência à condução aumenta com o raio e a resistência à convecção apresenta 
comportamento inverso, deve existir uma espessura capaz de minimizar a resistência 
térmica equivalente, maximizando a perda térmica (Fig. 72). 
A possibilidade de existência de uma espessura de isolamento ótima para sistemas 
radiais é sugerida pela presença de efeitos contrários associados a um aumento nessa 
espessura, pois embora a resistência condutiva aumente com a adição de isolante, a 
resistência convectiva diminui devido ao aumento da área superficial externa. Para esta 
espessura a perda de calor seria mínima, e a resistência total à transferência de calor 
seria máxima. Na realidade, uma espessura de isolamento ótima não existe, mas sim, 
um raio crítico de isolamento, onde o fluxo de calor é máximo (minimiza a perda 
térmica graças a maximização da resistência total à transferência de calor). 
 
Seja um cilindro oco, com a superfície interna exposta a um fluido quente e a superfície 
externa, a um fluido frio (Figura 72). A taxa de transferência de calor do fluido quente 
para o fluido frio irá depender da espessura de isolamento, ou seja, do raio externo do 
cilindro. Como a resistência à condução aumenta com o raio e a resistência à convecção 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 126 
 
 
apresenta comportamento inverso, deve existir uma espessura capaz de maximizar a 
perda de calor através da parede do cilindro. 
A taxa de calor é dada por: 
tot
s
r R
TTq )( 21 ∞−= 
onde 
hLrkL
rrRtot
2
12
2
1
2
)/ln(
ππ += 
Assim, 
hrk
rr
TTL
q sr
2
12
1
1)/ln(
)(2
+
−= ∞π 
 
Uma espessura ótima para o isolamento térmico está associada ao valor de r que 
minimiza o valor de q’ ou que maximiza o valor de R’tot. Tal valor pode ser obtido a 
partir da exigência de que: 
0' =
dr
dR tot 
Assim: 
0
2
1
2
1
2 =− hrkr ππ 
ou 
h
kr = 
O mínimo valor de qr é obtido fazendo-se: 
0
2
=
dr
dqr 
 
 
 
 
 
Esta condição é satisfeita quando: 
0
1)/ln(
11)(2
2
2
12
2
22
1
2
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−−
=
∞
hrk
rr
hrkr
TTL
dr
dq sr
π
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 127 
 
 
crh
kr ==2 
 
rc = Raio crítico de isolamento. Para valores de r menores que rc a taxa de transferência 
de calor aumenta com o aumento da espessura de isolamento; para valores de r maiores 
que rc a taxa de transferência de calor diminui com o aumento da espessura de 
isolamento. 
 
→ O efeito do raio crítico é revelado pelo fato de que, mesmo para uma camada 
de isolamento térmico com pouca espessura, a resistência total ainda não é 
tão grande quanto o valor para o tubo sem qualquer isolamento. 
→ Se r < rcr , a resistência térmica total decresce e, portanto, a taxa de 
transferência de calor aumenta com a adição de isolamento.Essa tendência 
permanece até que o raio externo da camada de isolamento atinja o raio 
crítico. De forma contrária, se r > rcr, qualquer adição de isolamento aumenta 
a resistência térmica total e, portanto, diminue a perda de calor. 
→ Para sistemas radiais, o problema de reduzir a resistência térmica total 
através da aplicação de uma camada de isolamento térmico existe somente 
para o caso de tubos ou fios de pequeno diâmetro e para coeficientes de 
transferência de calor por convecção pequenos, onde usualmente r > rcr. 
→ A existência de um raio crítico exige que a área de transferência de calor 
varie na direção da transferência, como é o caso da condução radial em um 
cilindro (ou em uma esfera). Em uma parede plana, a área normal à direção 
da transferência de calor é constante , não havendo uma espessura crítica 
para o isolamento térmico (a resistência total sempre aumenta com o 
aumento da espessura da camada de isolamento). 
 
Como a derivada segunda de qr em relação a r2 é negativa, qr tem o seu valor máximo 
em r = rc. O comportamento da resistência total é inverso, como mostrado na Fig. 73. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 128 
 
 
 
Figura 73 – Comportamento das Resistências Térmicas com r2. 
 
Exemplo: 
1) Um tubo delgado de cobre, com raio ri, é usado para transportar uma substância 
refrigerante que está a uma temperatura Ti, menor do que a temperatura do ambiente T∞ 
ao redor do tubo. Existe uma espessura ótima associada à aplicação de uma camada de 
isolamento térmico sobre o tubo com h= 5 W/m2.K e k= 0,055 W/m.K? 
 
Î Resolução: A resistência à transferência de calor entre o fluido refrigerante e o 
ar é denominada pela condução de calor através da camada de isolamento 
térmico e pela convecção no ar. Sendo que, a resistência térmica total por 
unidade de comprimento do tubo è: 
rhk
r
r
R itot ππ 2
1
.2
ln
' +
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
= 
E a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do tubo será: 
 
tot
i
R
TTq
'
' −= ∞ 
Uma espessura ótima para o isolamento térmico está associada ao valor de r que 
minimiza o valor de q’ ou maximiza o valor de R’tot. Tal valor pode ser obtido a 
partir de: 
h
kr = 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 129 
 
 
Uma vez que o resultado da resistência térmica total é sempre positivo, 
h
kr = é o 
raio de isolamento para o qual a resistência térmica é mínima, e não um máximo. 
Logo uma espessura ótima para a camada de isolamento térmico não existe. Porém 
faz sentido pensar em raio crítico de isolamento. 
h
krcr = 
Abaixo do qual q’ aumenta com o aumento de r acima do qual q’ diminue com o 
aumento de r. Calculando em termos de raio crítico: 
mr
Km
W
Km
W
r
h
kr
cr
cr
cr
011,0
.
055,0
.
5 2
=
=
=
 
 
15.7. Condução Unidimensional em Regime Permanente – Sistemas Radiais – 
Esfera 
Seja uma esfera oca cuja superfície interna se encontra a uma temperatura Ts1 e a 
superfície externa a Ts2 (Figura 74), com Ts1>Ts2. Considere a transferência de calor 
unidimensional, em regime permanente, sem geração interna no interior da esfera. 
 
 
Figura 74 – Transferência de Calor através de uma Casca Esférica. 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 130 
 
 
Partindo-se da equação da condução do calor em coordenadas esféricas, pode-se obter o 
perfil de temperaturas no interior da esfera. A partir daí, obtém-se a taxa de calor, dada 
por: 
( )
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
−=
21
21
11
4
rr
TTkq ssr
π 
Assim, a resistência condutiva é dada por: 
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
21
11
4
1
rrk
Rcond π 
 
15.8. Condução com Geração de Energia Térmica 
Iremos analisar agora o efeito adicional que processos, que podem ocorrer no interior 
do meio, têm sobre a distribuição de temperatura nesse meio. É importante ter atençãopara não confundir geração de energia com armazenamento de energia. 
 
15.8.1. Condução com Geração de Energia Térmica – Parede Plana 
Seja a parede plana da Fig.75, onde existe geração uniforme de energia térmica por 
unidade de volume (q’ é constante) e as superfícies são mantidas em Tsup,1 e Tsup,2. Para 
uma condutividade térmica constante k, a forma apropriada da equação do calor: 
0'2
2
=+
k
q
dx
Td 
Aplicando as condições de contorno e todos os parâmetros, obtemos a distribuição de 
temperatura correspondente: 
22
1
2
')( 2sup,1sup,1sup,2sup,2
22 TT
L
xTT
L
x
k
LqxT
−+−+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −= 
O fluxo de calor em qualquer ponto da parede pode ser determinado pela equação 
acima. Note, contudo, que com a geração interna de calor o fluxo de calor não é mais 
independente de x. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 131 
 
 
 
Figura 75 – Condução em uma parede plana com geração uniforme de calor.(a) 
Condições de contorno assimétricas.(b) Condições de contorno assimétricas.(c) 
Superfície adiabática no plano intermediário. 
 
O resultado anterior é simplificado quando as duas superfícies são mantidas a uma 
mesma temperatura, Tsup,1= Tsup,2= Tsup,. A temperatura máxima, neste caso, encontra-se 
no plano intermediário: 
sup
2
0 2
')0( T
k
LqTT +== 
 
Exemplo: 
1) Uma parede plana composta possui duas camadas de materiais, A e B. A camada do 
material A possui uma geração de calor uniforme 3m
W106.5,1q =& , condutividade 
térmica K
W75kA = e espessura de LA=50 mm. A camada do material B não apresenta 
geração de calor, tem condutividade térmica K
W150kB = e espessura LB = 20 mm. 
A superfície interna da parede (material A) está perfeitamente isolada, enquanto a sua 
superfície externa (material B) é resfriada por uma corrente de água com T∞ = 30ºC e 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 132 
 
 
Km
W1000h 2= . Determine a temperatura To da superfície isolada e a temperatura T2 
da superfície resfriada. 
Î Resolução: A temperatura na superfície externa T2 pode ser obtida através de um 
balanço de energia em um volume de controle ao redor da camada do material. Sendo 
assim obteremos T2: 
CT
Km
W
m
m
W
CT
h
LqTT A
º105
.
1000
05,0.10.5,1
º30
.
2
2
3
6
2
.
2
=
+=
+= ∞
 
 
 Para determinar a temperatura na superfície isolada termicamente temos: 
( )
1
2.
.2
. T
k
LqT
A
A
o += n 
 
 Onde T1 será determinado visando o circuito térmico equivalente do processo: 
( )
CT
m
Km
W
Km
W
mCT
h
R
k
LR
qRRTT
conv
B
B
Bcond
convBcond
º115
05,0.10.5,1.
.
1000
1
.
150
02,0º30
1"
"
".""
1
6
2
1
,
,1
=
⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜
⎝
⎛
++=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=
++= ∞
 
 
Determinando agora To, substituindo o valor acima na equação n, obteremos: 
 
( )
( )
CT
C
Km
W
m
m
W
T
T
k
LqT
o
o
A
A
o
º140
º115
.
75.2
05,0.10.5,1
.2
.
2
3
6
1
2
.
=
+=
+=
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 133 
 
 
15.8.2 Condução com Geração de Energia Térmica – Sistemas Radiais 
A geração de calor pode ocorrer em uma variedade de geometrias radiais. Considere um 
cilindro sólido, longo, que poderia representar um fio condutor de corrente elétrica. Em 
condições de regime estacionário, a taxa na qual o calor é gerado no interior do cilindro 
deve ser igual à taxa de calor transferido por convecção da superfície do cilindro para o 
fluido em movimento. Essa condição permite que a temperatura da superfície seja 
mantida a um valor fixo sT . 
Sendo assim temos a distribuição de temperatura como: 
sr Tr
r
k
rqT +⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −= 2
0
22
0
.
)( 14
. 
 
Para relacionar a temperatura da superfície sT , com a temperatura do fluido, ∞T , tanto o 
balanço de energia na superfície quanto o balanço de energia total podem ser utilizados. 
 
Exemplo: 
1) Em um bastão cilíndrico e longo, com 200 mm de diâmetro e condutividade térmica 
de 0,5 W/m.K, há a geração de volumétrica uniforme de calor a uma taxa de 24000 
W/m3. O bastão está encapsulado por uma camada cilíndrica com diâmetro externo 
igual a 400 mm, de um material com condutividade térmica de 4 W/m.K. A superfície 
externa desta camada está exposta a um escoamento perpendicular de ar a 27ºC com um 
coeficiente de convecção de 25 W/m2.K. Determine a temperatura na interface entre o 
bastão e a camada cilíndrica, e na superfície externa em contato com o ar. 
 
Î Resolução: Para determinar a temperatura da superfície externa em contato com o ar 
devemos utilizar um balanço global de energia. Sendo assim obteremos: 
KT
Km
W
m
m
W
KT
h
rqTT
º396
.
25.2
10.200.24000
º27327
.2
.
sup
2
3
3
sup
.
sup
=
++=
+=
−
∞
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 134 
 
 
 
Para determinar agora a temperatura na interface entre o bastão e a camada cilíndrica 
devemos utilizar a fórmula que rege a distribuição de temperatura em relação ao raio: 
( ) ( )( )
KT
K
Km
W
m
m
W
T
T
r
r
k
rqT
r
r
r
º441
º396
10.200
10.1001
.
4.4
10.200.24000
1
4
.
)(
23
23
23
3
)(
sup2
0
22
0
.
)(
=
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
−
−−
 
16. Transferência de Calor em Superfícies Expandidas – 
Aletas 
16.1. Introdução 
Aleta é um elemento sólido que transfere energia por condução dentro de suas fronteiras 
e por convecção (e/ou radiação) entre suas fronteiras e o ambiente. As aletas são 
utilizadas para aumentar a taxa de transferência de calor entre um corpo sólido e um 
fluido adjacente. 
Figura 76 – Transferência de Calor em uma superfície expandida. 
 
O aumento da taxa de transferência de calor de uma superfície a temperatura constante 
para um fluido externo (Fig. 77) pode ser feito através do aumento do coeficiente de 
convecção h ou através da redução da temperatura do fluido T∞. 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 135 
 
 
 
Figura 77 – Superfície da qual se quer Aumentar a Taxa de Transferência de Calor. 
 
Quando não é possível aumentar a taxa de calor por um destes modos, aumenta-se a 
área de troca de calor, através da utilização de aletas (Figura 78), que são elementos 
sólidos que transferem energia por condução dentro de suas fronteiras e por convecção 
(e/ou radiação) entre suas fronteiras e o ambiente. Elas são utilizadas para aumentar a 
taxa de transferência de calor entre um corpo sólido e um fluido adjacente. 
 
 
Figura 78 – Colocação de Aletas para Aumentar a Taxa de Transferência de Calor. 
 
Esquemas Típicos de Trocadores de Calor com Tubos Aletados 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 136 
 
 
 
 
Figura 79 –Trocadores de Calor com tubos aletados. 
 
16.2. Tipos de Aletas 
A Figura 80 ilustra diferentes configurações de aletas. 
 
 
Plana, de seção reta uniforme 
 
Plana, de seção transversal não uniforme 
 
Anular 
 
Piniforme (pino) 
Figura 80 – Configurações de Aletas. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 137 
 
 
16.3. Balanço de Energia para uma Aleta 
Hipóteses: 
• Condução unidimensional de calor 
• Regime permanente 
• Condutividade térmica da aleta constante 
• Radiação térmica desprezível 
• Sem geração de calor 
• Coeficiente de convecção uniforme 
 
Através de um balanço de energia, pode-se obter a equação da condução de calor. 
Considerando-seum elemento infinitesimal de uma aleta de seção reta variável (Fig. 
81), 
 
 
Figura 81 – Balanço de Energia em uma Superfície Expandida. 
 
Neste caso, vale: 
 
 
 
 
 
 
convdxxx dqqq += + 
onde 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
+
 fluido o para convecçãopor perdida Energia 
malinfinitesi volumedo conduçãopor da transferiEnergia
malinfinitesi volumeo para conduçãopor da transferiEnergia
conv
dxx
x
dq
q
q
 
Calor transferido por 
condução para dentro do 
elemento em x por 
unidade de tempo 
Calor transferido por 
condução para fora do 
elemento em (x +dx) por 
unidade de tempo, 
Calor transferido por 
convecção da superfície 
entre x e (x + dx) por 
unidade de tempo = +
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 138 
 
 
A taxa de calor por condução na posição x é determinada pela Lei de Fourier: 
dx
dTkAq cx −= 
onde: Ac é a área da seção reta da aleta na posição x considerada. 
 
Fazendo-se uma expansão em série de Taylor, pode-se determinar a taxa de calor por 
condução na posição (x+dx) 
dx
x
qqq xdxx ∂
∂+=+ 
dx
dx
dTkA
dx
d
dx
dTkAq ccdxx ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+−=+ 
dx
dx
dTA
dx
dk
dx
dTkAq ccdxx ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−−=+ 
A taxa de calor por convecção transmitida do elemento infinitesimal para o fluido é 
dada pela Lei de Resfriamento de Newton: 
( )∞−= TThdAdq sconv 
onde: dAs é a área superficial infinitesimal do elemento. 
 
Substituindo-se as equações de taxa na equação do balanço de energia, 
( )∞−+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−−=− TThdAdx
dx
dTA
dx
dk
dx
dTkA
dx
dTkA sccc 
( ) 0=−−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
∞TTdAk
hdx
dx
dTA
dx
d
sc 
como a área da seção reta Ac pode variar com x, 
( ) 02
2
=−−+ ∞TTdx
dA
k
h
dx
TdA
dx
dA
dx
dT s
c
c 
( ) 0112
2
=−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+ ∞TTdx
dA
k
h
Adx
dT
dx
dA
Adx
Td s
c
c
c
 
 
Forma geral da equação da energia, em condições unidimensionais, em uma superfície 
expandida. 
 
16.4. Aletas com área da seção transversal constante 
Quando a área da seção transversal da aleta é uniforme (Fig. 82), a equação anterior 
pode ser simplificada. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 139 
 
 
Cada aleta está ligada na base a uma superfície T (0) = Tb e imersa num fluido na 
temperatura T∞. 
 
Figura 82 – Aletas com Área da Seção Transversal Constante. 
 
P
dx
dAPxA
dx
dAA
s
s
c
c
=⇒=
=⇒= 0 constante
 
( ) 02
2
=−− ∞TTkA
hP
dx
Td
c
 
Definindo-se a variável θ (Excesso de Temperatura) 
∞−= TTθ 
dx
dT
dx
d =θ 2
2
2
2
dx
Td
dx
d =θ 
02
2
=− θθ
ckA
hP
dx
d 
Definindo-se: 
ckA
hPm =2 
022
2
=− θθ m
dx
d 
 
Esta é uma equação diferencial de segunda ordem, homogênea, com coeficientes 
constantes. A solução geral tem a forma: 
mxmx eCeCx −+= 21)(θ 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 140 
 
 
Para resolver esta equação, falta definir as condições de contorno apropriadas. Uma 
destas condições pode ser especificada em termos da temperatura na base da aleta (x = 
0) 
Temperatura constante na base da aleta 
( ) bTxT == 0 
( ) bb TTx θθ =−== ∞0 
 
A segunda condição de contorno deve ser definida na ponta da aleta (x = L). Podem ser 
especificadas quatro condições diferentes, cada uma correspondendo uma situação 
física e levando a uma solução diferente. 
 
A. Transferência convectiva de calor 
 
A taxa de calor que chega à extremidade da aleta por condução é dissipada por 
convecção. Fazendo-se um balanço de energia, 
Lx
cc dx
dTkATLThA
=
∞ −=− ))(( 
ou 
Lxdx
dkLh
=
−= θθ )( 
Aplicando-se as condições de contorno, chega-se a: 
 [ ] [ ]
)senh()/()cosh(
)(senh)/()(cosh)(
mLmkhmL
xLmmkhxLmx
b +
−+−=θ
θ 
A taxa de calor pode ser determinada através da aplicação da lei de Fourier 
00 ==
−=−==
x
c
x
cbf dx
dkA
dx
dTkAqq θ 
ou 
)senh()/()cosh(
)cosh()/()senh(.
mLmkhmL
mLmkhmLhPkAq bcf +
+= θ 
Para simplificar a solução, define-se: 
( ) bchPkAM θ.= , 
Assim, a equação para a taxa de calor pode ser dada por: 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 141 
 
 
)senh()/()cosh(
)cosh()/()senh(
mLmkhmL
mLmkhmLMq f +
+= 
 
B. Ponta da aleta adiabática (considerando que a perda de calor por convecção na 
extremidade da aleta é desprezível) 
0=
=Lxdx
dT 
ou 
0=
=Lxdx
dθ 
Neste caso, 
[ ]
)cosh(
)(cosh)(
mL
xLm
b
x −=θ
θ 
 )(. mLtghMq f = 
C. Temperatura Fixa 
( ) LLx θθ == 
 
[ ]
)senh(
)(senh)senh()/()(
mL
xLmmxx bL
b
−+= θθθ
θ
 
)senh(
)/()cosh(
mL
mLMq bLf
θθ−= 
D. Aleta muito longa 
 
Neste caso, quando 0 , →∞→ LL θ . 
mx
b
ex −=θ
θ )(
 
Mq f = 
Exemplo: 
1) Uma barra cilíndrica de diâmetro 25mm e comprimento 0,25m, tem uma extremidade 
mantida a 100ºC. A superfície da base está exposta ao ar ambiente a 25ºC, com um 
coeficiente convectivo de 10 W/m2.K. Se a barra é construída em aço inoxidável, com 
condutividade térmica k = 14 W/m.K, determine a temperatura da barra em x=L e a sua 
perda térmica para a condição de transferência convectiva de calor. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 142 
 
 
 Î Resolução: Para calcular a temperatura de barra em x=L devemos utilizar a fórmula 
para transferência convectiva de calor: 
).senh(.
.
).cosh(
)].(senh[.
.
)](cosh[
)(
Lm
km
hLm
xLm
km
hxLm
b
x
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−
=θ
θ
 
 Calculando alguns parâmetros para obter o resultado: 
24
232
10.9,4
4
)10.25.(14,3
4
. mdAc
−
−
=== π 
m10.9,7r..2P 2−=π= 
WTTkAPhM
m
kA
Phm
Bbc
c
52,5).(14.10.9,4.10.9,7.10....
73,10
10.9,4.14
10.9,7.10.
42
4
2
=−==
===
∞
−−
−
−
θ
 
 Calculando agora a temperatura da barra em x=L 
KT
TT
K
Lm
km
hLm
LLm
km
hLLm
Lx
LxLx
Lx
Lx
b
Lx
58,342558,9
58,9
)25,0.73,10senh(.
14.73,10
10)25,0.73,10cosh(
1
75
).senh(.
.
).cosh(
)].(senh[.
.
)](cosh[
)(
)()(
)(
)(
)(
=+=
−=
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+−
=
=
∞==
=
=
=
θ
θ
θ
θ
θ
 
Calculando agora a perda térmica para a condição proposta: 
Wq
q
Lm
km
hLm
Lm
km
hLm
Mq
r
r
r
47,5
)25,0.73,10senh(.
14.73,10
10)25,0.73,10cosh(
)25,0.73,10cosh(.
14.73,10
10)25,0.73,10senh(
.52,5
).senh(.
.
).cosh(
).cosh(.
.
).senh(
.
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
=
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 143 
 
 
16.5. Desempenho da Aleta 
As aletas são utilizadas para se aumentar a taxa de transferência de calor de uma 
superfície devido ao aumento da área. No entanto, a aleta impõe uma resistência térmica 
à condução na superfície original. Deve ser feita uma análise sobre o desempenho da 
aleta. 
 
Efetividade: Razão entre a taxa de transferência de calor pela aleta e a taxa de 
transferência de calor que existiria sem a presença da aleta. A utilização de aletas 
somente se justifica se εf ≥ 2. A efetividade de uma aleta aumenta com a escolha de um 
material de condutividade térmica elevada. Aumenta quando aumenta a razão entre o 
perímetro e a área da seção reta. 
bbc
f
hA
q
θ,fε = 
onde: Ac,b é a área da seção reta da aleta, na base. Para aletas com seção reta uniforme, 
cbc AA =, 
Pode-se definir a resistência da aleta por: 
f
b
ft q
R
θ=, 
Utilizando-se a resistênciaà convecção na base: 
bc
bt hA
R
,
,
1= 
A efetividade pode ser definida, então, por 
ft
bt
R
R
,
,
fε = 
Eficiência: Razão entre a taxa de transferência de calor pela aleta e a taxa máxima de 
transferência de calor que existiria pela aleta, se toda a aleta estivesse na temperatura da 
base. 
bf
ff
f hA
q
q
q
η θ== max 
onde: Af = área superficial da aleta 
Para uma aleta com a extremidade adiabática (caso B): 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 144 
 
 
cb
bc
f kA
hPm
mL
mL
hPL
mLhPkA === ,)tanh()tanh(. .θ
θη 
Este resultado pode ser utilizado para os casos em que há transferência de calor pela 
extremidade da aleta: 
( )
42
,
tanh DLLoutLL
mL
mL
cc
c
c
f +=+==η 
 
 
 
 
Figura 83 – Eficiência de aletas. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 145 
 
 
Eficiência Global da Superfície: A eficiência da aleta ηf caracteriza o desempenho de 
uma única aleta. A eficiência global da superfície ηg caracteriza o desempenho de um 
conjunto de aletas e da superfície da base sobre a qual este conjunto está montado. 
bt
tt
o hA
q
q
qη θ== max 
 
onde: 
qt = taxa total de transferência de calor 
At = área total exposta 
bft ANAA += 
Ab = área da superfície exposta – área das aletas 
Af = área superficial de cada aleta 
 
N = número total de aletas 
 
A taxa de transferência de calor máxima ocorreria se toda a superfície da aleta, assim 
com a base exposta, fosse mantida a bT . 
A taxa total de transferência de calor por convecção das aletas e da superfície exposta 
(sem aletas) para o fluido é dada por: 
 
bbbfft hAhANq θθη += 
 
onde ηf é a eficiência de uma aleta. 
 
[ ] bf
t
f
tbftfft A
NA
hANAAANhq θηθη ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−=−+= 1(1)( 
Assim, 
)1(1 f
t
f
o A
NA ηη −−= 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 146 
 
 
 
Figura 84 – Montagem Representativa das Aletas – a) Retangulares b) Anulares. 
 
 Nas superfícies aletadas, S representa o passo das aletas. 
 
17. Condução Transiente 
17.1. Introdução 
Condução transiente ocorre em várias aplicações da engenharia e pode ser tratada por 
diferentes métodos. De início, deve ser calculado o número de Biot, que relaciona a 
resistência à condução no sólido e a resistência à convecção na superfície sólido-
líquido. Se o número de Biot for muito menor que a unidade, o método da capacitância 
global pode ser aplicado. Caso contrário, efeitos espaciais ocorrem, e outros métodos 
são usados. 
 
17.2. Método da Capacitância Global 
Considere um metal com temperatura inicial uniforme Ti, que é resfriado por imersão 
em um líquido de temperatura T∞ < Ti. Se o resfriamento se inicia no tempo t = 0, a 
temperatura do sólido decrescerá até que eventualmente atinja T∞. A essência deste 
método é a consideração de que a temperatura do sólido é espacialmente uniforme em 
qualquer instante durante o processo transiente. Esta hipótese é satisfatória quando a 
resistência à condução dentro do material for muito menor que a resistência à convecção 
na interface sólido-líquido. Neste caso, a equação de condução de calor não pode ser 
empregada, e a temperatura transiente é determinada por um balanço global de energia 
no sólido. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 147 
 
 
Aplicando o balanço de energia ao sólido: 
as EE && =− 
 
Figura 85 – Resfriamento de uma peça metálica quente. 
( )
t
TcTThAs ∂
∂∀=−− ∞ ρ 
Definindo: ∞−= TTθ 
Resulta: ∫∫ −=∀⇒−=∀ t
ss
dtd
hA
c
dt
d
hA
c
i 0
θ
θ θ
θρθθρ 
Onde: ∞−= TTiiθ 
Integrando: t
hA
c i
s
=∀ θ
θρ ln ou ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∀−=−
−=
∞
∞ t
c
hA
TT
TT s
ii ρθ
θ exp 
Validade do Método da Capacitância Global 
Sob condições de regime permanente, o balanço de energia na superfície do sólido se 
reduz a: 
( ) ( )∞−=− TThATTLkA sss 2,2,1, 
Rearranjando: 
 Bik
hL
R
R
hA
kAL
TT
TT
conv
cond
s
ss ≡===−
−
∞ /1
/
2,
2,1,
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 148 
 
 
Se Bi << 1, a resistência à condução dentro do sólido é muito menor que a resistência 
à convecção através da camada limite do fluido, e o erro associado à utilização do 
método da capacitância global é pequeno. 
Figura 86 – Distribuição transiente de temperatura correspondente a diferentes 
números de Biot, numa parede plana resfriada simetricamente por convecção. 
 
18. Convecção 
18.1. Fundamentos da Convecção 
Considere um fluido qualquer, escoando com velocidade V e temperatura T∞ sobre uma 
superfície de forma arbitrária e área superficial A, como mostrado na Fig. 87. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 87 - Transferência convectiva de Calor. 
 
Se a temperatura da superfície for superior à temperatura do fluido, haverá uma 
transferência de calor por convecção da superfície para o fluido. O fluido térmico local 
é dado pela lei de resfriamento de Newton. 
).( ∞−=′′ TThq s 
onde h é o coeficiente local de transferência de calor por convecção. 
 
q 
Ts
T∞
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 149 
 
 
Como as condições variam de ponto para ponto, q” e h irão variar ao longo da 
superfície. A taxa total de transferência de calor é obtida integrando-se o fluxo ao longo 
da superfície. 
 
( )
ss
sss
dATTq
dATTdAqq
)( ∞
∞
−=
−=′′= ∫∫ 
Pode-se definir um coeficiente médio de transferência de calor por convecção h para 
toda a superfície, de maneira a representar toda a transferência de calor 
).( ∞−=′′ TThq s 
Igualando-se as expressões para a taxa de calor, os coeficientes local e médio podem ser 
relacionados por: 
 ∫=
sA
s
s
dAh
A
h .1 
 
Para uma placa plana de comprimento L e largura b (Fig. 88) 
 
 
Figura 88 – Escoamento sobre uma Placa Plana. 
 
( ) bxxAs = 
∫=
sA
hbdx
bL
h 1 
∫= L hdxLh 0
1 
h = coeficiente médio de transferência de calor por convecção (W/m2. K). 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 150 
 
 
h = coeficiente local de transferência de calor por convecção (W/m2. K). 
 
De maneira análoga, se um fluido com concentração molar de um componente A igual a 
CA,∞ escoa sobre uma superfície cuja concentração molar de A é mantida em um valor 
uniforme CA,s ≠ CA,∞, haverá transferência deste componente por convecção. A taxa 
de transferência de massa pode ser calculada através de um coeficiente local hm. 
 
Se CA,s > CA,∞ 
N”A = hm(CA,s - CA,∞) 
 
onde: 
N”A: fluxo molar da espécie A (Kmol/s.m²) 
Hm: coeficiente local de transferência de massa por convecção (m/s) 
CA,s: concentração molar de A na superfície (Kmol/m³) 
CA,∞: concentração molar de A no fluido (Kmol/m³) 
 
A taxa total de transferência de massa pode ser escrita na forma 
( )∞−= ,AS,AsmA CCAhN 
onde mh : coeficiente local de transferência de massa por convecção (m/s) 
De modo análogo à transferência de calor, o coeficiente médio é relacionado ao 
coeficiente local por 
∫=
s
sm
s
m
dA
dAh
A
h 1 
A transferência de uma espécie química também pode ser expressa em termos da massa, 
através do fluxo mássico n”A (Kg/s.m²) ou da taxa de transferência de massa nA (Kg/s). 
Multiplicando-se a equação para o fluxo molar pela massa molecular de A, 
 
( )
( )∞
∞
−=
−=
,AS,AsmA
,AS,AmA
Ahn
h"n
ρρ
ρρ
 
 
18.2. As Camadas Limites da Convecção 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 151 
 
 
18.2.1. A CamadaLimite Hidrodinâmica 
Seja o escoamento sobre uma placa plana mostrada na Fig. 89. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 89 - A camada limite fluidodinâmica. 
 
Quando as partículas do fluido entram em contato com a superfície, elas passam a ter 
velocidade nula (condição de não deslizamento). Estas partículas atuam no 
retardamento do movimento das partículas da camada de fluido adjacente que, por sua 
vez, atuam no retardamento do movimento das partículas da próxima camada e assim 
sucessivamente, até uma distância y = δ, onde o efeito de retardamento se torna 
desprezível. A velocidade u aumenta até atingir o valor da corrente livre, u∞. 
1) A espessura da camada limite, δ, é definida como o valor de y para o qual u = 0,99 
u∞; 
2) O perfil de velocidade na camada limite é a maneira com que u varia com y através 
da camada limite; 
3) Na camada limite, os gradientes de velocidade e as tensões de cisalhamento são 
elevados; fora da camada limite, são desprezíveis; 
4) Para escoamentos externos, define-se o coeficiente de atrito local (Cf) a partir do 
conceito de camada limite: 
22∞
=
u
τC sf ρ 
 onde: 
sτ = tensão de cisalhamento na superfície (N/m2) 
ρ = massa específica do fluido (kg/m3) 
u∞ = velocidade do fluido na corrente livre (m/s) 
 
u∞ u∞ 
δ (x) 
x 
τ
CORRENTE 
CAMADA LIMITE 
HIDRODINÂMICA
y 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 152 
 
 
5) Para uma fluido Newtoniano 
0=∂
∂=
y
s y
uτ µ , 
 
Com µ = viscosidade dinâmica do fluido (kg/m. s). 
 
18.2.2. As Camadas Limites de Concentração 
A camada limite de concentração determina a transferência de massa por convecção em 
uma parede. Se uma mistura de duas espécies químicas A e B escoa sobre uma 
superfície e a concentração da espécie A na superfície é diferente da concentração na 
corrente livre, uma camada limite de concentração irá se desenvolver. Ela é a região do 
fluido onde existem gradientes de concentração, sendo sua espessura definida como o 
valor de y no qual 
∞−
−
,,
,
AA
ASA
CsC
CC
 
O perfil de concentração na camada limite é similar ao perfil de temperatura na camada 
limite térmica (Fig. 90). 
 
 
Figura 90 - Perfil de concentração na camada limite. 
 
Em um escoamento sobre uma superfície com diferença de temperatura e concentração 
entre ambos, em geral, as camadas limite fluidodinâmica, térmica e de concentração não 
se desenvolvem simultaneamente, ou seja, não possuem a mesma espessura 
( )ct δδδ ≠≠ . 
O objetivo da definição das camadas limite é a simplificação das equações que 
governam o escoamento. No interior da camada limite fluidodinâmica, 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 153 
 
 
x
v
y
v
x
u
y
u
vu
∂
∂
∂
∂
∂
∂=∂
∂
>>
,, 
No interior da camada limite térmica, 
x
T
y
T
∂
∂>>∂
∂ 
Desta maneira, as equações podem ser simplificadas e a solução do problema se torna 
mais fácil. 
 
18.3. Escoamento Laminar e Turbulento 
Os problemas de convecção consistem, basicamente, na determinação dos coeficientes 
de convecção. Com eles, pode-se então determinar as taxas de transferência de calor. 
Em geral, são obtidas equações empíricas para o cálculo dos adimensionais e, através de 
sua definição, calculam-se os coeficientes convectivos. Estas correlações dependem da 
geometria do escoamento (escoamento interno ou externo, sobre placa plana, no interior 
de um tubo, etc.), do regime do escoamento, se a convecção é natural ou forçada, etc. 
Para o tratamento de qualquer problema de convecção é relevante determinar se a 
camada limite é laminar ou turbulenta, já que tanto o atrito superficial como as taxas de 
transferência de calor por convecção dependem das condições da camada. 
 Figura 91 – Camada Limite. 
 
Para o escoamento sobre uma placa plana, o comprimento característico para o qual são 
definidos os adimensionais é a distância x a partir da origem. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 154 
 
 
A transição para a turbulência, no interior de tubos, acontecia para números de 
Reynolds de aproximadamente 2300. Para o escoamento sobre uma placa plana, 105 ≤ 
Rex,c ≤ 3 × 106. Um valor representativo é Rex,c = 5 × 105, ou seja, o número de 
Reynolds crítico (ou de transição) é dado por: 
µ
ρ xu
x
..Re ∞= e µ
ρ c
cx
xu .
,
.Re ∞= 
onde: 
Rex,c = no de Reynolds crítico (início de transição do regime laminar para turbulento) 
 
Número de Reynolds - é a relação entre as forças de inércia e as forças viscosas: 
νµ
ρ VLVL
L ==Re 
Número de Prandtl - é a relação entre a difusividade de momento e a difusividade 
térmica – relaciona a distribuição de temperatura à distribuição de velocidade: 
α
νµ ==
k
cpPr 
Para escoamentos laminares nt Pr≈δδ . Para gases tδδ ≈ , metais líquidos tδδ >> , e 
para óleos tδδ << . 
Número de Nusselt - é o gradiente de temperatura adimensional na interface fluido-
superfície: 
fk
hL=LNu 
Coeficiente de atrito - é tensão de cisalhamento adimensional na superfície: 
22V
C sf ρ
τ= 
Fator de atrito – é a queda de pressão adimensional para escoamento interno: 
( )( )22muDL pf ρ∆= 
Parâmetros Adimensionais 
 
• Número de Reynolds 
µ
ρud=Re 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 155 
 
 
• Número de Nusselt 
fK
hdNu = 
• Número de Prandtl 
f
p
K
C µ
α
ν ==Pr 
• Número de Sherwood 
AB
m
D
dhSh = 
• Número de Schmidt 
ABD
Sc ν= 
 
onde DAB é a difusividade de massa (m²/s) 
 
Para o escoamento sobre uma placa plana, o comprimento característico para o qual são 
definidos os adimensionais é a distância x a partir da origem. 
A transição para a turbulência, no interior de tubos, acontecia para números de 
Reynolds de aproximadamente 2300. Para o escoamento sobre uma placa plana, esta 
transição ocorre para Re=5x105, ou seja, o numero do Reynolds crítico (ou de transição) 
é dado por: 
5
, 105Re xxu ccx == ∞µ
ρ 
onde u∞ é a velocidade da corrente livre. 
Para escoamento laminar (Rex< 5x105), a espessura da camada limite fluidodinâmica é 
x
lam
x
Re
5=δ 
A espessura da camada limite térmica é dada por 
3
1
Pr=
tδ
δ 
O número de Nusselt local é dado por 
PrRe332,0 3/12/1x
x
x
K
xhNu == , válida para Pr ≥0,6 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 156 
 
 
Uma outra expressão para o número de Nusselt local, válida para qualquer valor de 
Prandtl, é dada por 
( )[ ] 4/13/2
3/12/1
Pr/0468,01
PrRe3387,0
+
= xxNu 
Para escoamento turbulento (Re>5x105) 
xxuxxturb .37,0.Re37,0
5/1
5/1
5/1 −
−
∞− ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== µ
ρδ 
Quando as camadas limite laminar e turbulenta são comparadas, percebe-se que a 
turbulenta cresce muito mais rápido, já que sua espessura varia com x4/5, enquanto no 
escoamento laminar, a espessura varia com x1/2. 
Para escoamentos turbulentos, 
tδδ ≈ 
O número d Nusselt local é dado por 
PrRe0296,0 3/15/4xxNu = , válida para 0,6<Pr<60 
 
18.4. A Camada Limite Térmica 
Da mesma forma que há a formação de uma camada limite fluidodinâmica no 
escoamento de um fluido sobre uma superfície, uma camada limite térmica deve se 
desenvolver se houver uma diferença entre as temperaturas do fluido na corrente livre e 
na superfície. Considere o escoamento sobre uma placa plana isotérmica mostrada na 
Fig. 92. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 92 – Camada Limite Térmica. 
 
No início da placa (x = 0), o perfil de temperaturas no fluido é uniforme, com T(y) = T∞. 
No entanto, as partículas do fluido que entram em contato com a placa atingem oequilíbrio térmico na temperatura superficial da placa, ou seja, T (x,0) = T∞ . Por sua 
T∞ T∞ 
Tsup. 
δ (x)
CAMADA LIMITE 
TÉRMICA 
CORRENTEy 
x 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 157 
 
 
vez estas partículas do fluido em contato com a superfície atingem o equilíbrio térmico 
com essa superfície, e trocam energia com partículas fluidas em camadas adjacentes, 
criando um gradiente de temperatura. 
1) A espessura da camada limite térmica, δt, é definida como o valor y para o qual: 
( ) ( ) 99,0=−− ∞TTTT ss 
2) Na superfície não existe movimentação do fluido e a transferência de calor ocorre 
unicamente por condução. Com isso, 
0=∂
∂−=′′
y
fs y
Tkq e ∞
=
−
∂∂−=
TT
yTk
h
s
yf 0
 
 onde 
kf = condutividade térmica do fluido (W/m.K) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 158 
 
 
EXERCÍCIOS RECOMENDADOS: 
 
* FOX, Robert W. e Alan T. McDonald, Introdução à Mecânica dos Fluidos, Livros 
Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 2001. (Quinta Edição) 
CAPÍTULO 1: 
1.2; 1.25; 1.26; 1.30 e 1.34. 
 
CAPÍTULO 2: 
2.1; 2.27; 2.28; 2.32; 2.33 e 2.36 a 2.40. 
 
CAPÍTULO 3: 
3.13 a 3.20; 3.22 e 3.27. 
 
CAPÍTULO 4: 
4.9 a 4.12; 4.17 a 4.19; 4.23; 4.24; 4.27; 4.29 e 4.182 a 4.188. 
 
CAPÍTULO 6: 
6.33; 6.35; 6.36; 6.38; 6.39; 6.40; 6.41 e 6.42. 
 
* INCROPERA, Frank P., Fundamentos de Transferência de Calor e Massa, Livros 
Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 1998. (Quinta Edição) 
 
CAPÍTULO 1: 
 1.1 a 1.7; 1.10 a 1.13; 1.15; 1.17 a 1.19; 1.24 a 1.28; 1.35; 1.37; 1.39 e 1.42 a 1.49. 
 
CAPÍTULO 2: 
2.2; 2.4; 2.7 a 2.10; 2.14; 2.18; 2.21; 2.23; 2.34 e 2.39. 
 
CAPÍTULO 3: 
3.2; 3.10; 3.12; 3.13; 3.15; 3.32; 3.37; 3.38; 3.44 e 3.66. 
 
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 159 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
 
 * BASTOS, Francisco de Assis A., Problemas de Mecânica dos Fluidos, Editora 
 Guanabara Koogan S.A., 1983. 
* CARVALHO, Djalma Francisco, Instalações Elevatórias, Bombas, Fumarc, Belo 
 Horizonte, 1984. 
* FOX, Robert W. e Alan T. McDonald, Introdução à Mecânica dos Fluidos, 
 Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 2001. 
* HOLMAN, J.P., Transferência de Calor, McGraw-Hill do Brasil Ltda, São 
Paulo, 1983. 
* INCROPERA, Frank P., Fundamentos de Transferência de Calor e Massa, 
Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 1998. 
* MACINTYRE, Archibald Joseph, Bombas e Instalações de Bombeamento, 
Editora Guanabara S.A., Rio de Janeiro, 1987. 
* MYERS, J.E. e C.O. Bennett, Fenômenos de Transporte, Quantidade de 
Movimento, Calor e Massa, McGraw-Hill do Brasil Ltda, São Paulo, 1978. 
* OZISIK, M. Necati, Transferência de calor: um texto básico, Editora 
Guanabara Koogan S.A., c1990. 
* SCHIOZER, Dayr, Mecânica dos Fluidos, Editora Guanabara Koogan S.A. 
Rio de Janeiro, 1996. 
 * SISSOM, Leighton E. E Donald r. Pitts, Fenômenos de Transporte, Editora 
 Guanabara Koogan S.A. Rio de Janeiro, 1988. 
 * SHAMES, Irving H., Mecânica dos Fluidos, Volume I e II, Editora Edgard 
 Blucher Ltda., 1977. 
 * STREET, Robert L. e John K. Vennard, Elementos de Mecânica dos Fluidos, 
 Editora Guanabara Koogan S.A., 1978. 
* TELLES, Pedro Silva, Tubulações Industriais - Cálculo, Livros Técnicos e 
 Científicos Editora S.A., 1994. 
 * TELLES, Pedro Silva, Tubulações Industriais - Materiais, Projeto e Desenho, 
 Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1994. 
* THOMAS, Lindon C., Fundamentos da Transferência de calor, Prentice-Hall 
do Brasil, 1985. 
* WHITE, Frank M., Mecânica dos Fluidos, McGraw-Hill Interamericana do 
Brasil Ltda., Rio de Janeiro, 2002. 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 160 
 
 
Apêndice A 
Tabela A.1 – Propriedades de Fluidos Comuns a 20ºC e 1atm. 
 Massa Específica Viscosidade Absoluta 
Fluido Kg/m3 Kg/(m.s) 
____________________________________________________________________________ 
Água 998 1,00x10-3 
Freon -12 1327 2,62x10-4 
Gasolina 680 2,92x10-4 
Glicerina 1260 1,49 
Mercúrio 13550 1,56x10-3 
Óleo SAE 10W 870 1,04x10-1 
Óleo SAE 10W30 876 1,70x10-1 
Óleo SAE 30W 891 2,90x10-1 
Óleo SAE 50W 902 8,60x10-1 
Querosene 804 1,92x10-3 
Hidrogênio 0,084 9,05x10-6 
Hélio 0,166 1,97x10-5 
Ar seco 1,203 1,80x10-5 
CO2 1,825 1,48x10-5 
 
Tabela A.2 – Massa Específica da Água a 1 atm. 
 T(ºC) Massa Específica (Kg/m3) 
 0 1000 
10 1000 
20 998 
30 996 
40 992 
50 988 
60 983 
70 978 
80 972 
90 965 
 100 958 
 
Tabela A.3 - Massa Específica do Ar a 1 atm. 
 T(ºC) Massa Específica (Kg/m3) 
 -40 1,520 
0 1,290 
20 1,203 
50 1,090 
100 0,946 
150 0,835 
200 0,746 
250 0,675 
300 0,616 
400 0,525 
 500 0,457 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 161 
 
 
Tabela A.4 - Massa Moleculares de Gases Comuns. 
 Fluido Massa Molecular (Kg/Kmol) 
 H2 2,016 
 He 4,003 
 H2O 18,02 
 Ar seco 28,96 
 CO2 44,01 
 CO 28,01 
 N2 28,02 
 O2 32,00 
 NO 30,01 
 N2O 44,02 
 Cl2 7,091 
 CH4 16,04 
 
Tabela A.5 – Emissividades a 300K. 
Superfície Emissividade 
Água 0,96 
Concreto 0,88-0,93 
Folha de amianto 0,93-0,96 
Tijolo vermelho 0,93-0,96 
Placa de gesso 0,90-0,92 
Madeira 0,82-0,92 
Pavimentação de asfalto 0,85-0,93 
Vidro de janela 0,90-0,95 
Teflon 0,85 
Alumínio polido 0,03 
Solo 0,93-0,96 
Pele 0,95 
 
Tabela A.6 – Condutividades Térmicas a 300K. 
Material K (W/m.K)Aço inoxidável AISI 304 14,9 
Alumínio puro 237 
Chumbo 35,3 
Cobre puro 401 
Ferro puro 80,2 
Algodão 0,06 
Asfalto 0,062 
Compensado de madeira 0,12 
Manta de fibra de vidro 0,038 
Pele 0,37 
Solo 0,52 
Tijolo comum 0,72 
Vidro pyrex 1,4 
Ar seco 0,0263 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 162 
 
 
Tabela A.7 – Valores de Densidade para alguns fluidos a 20 °C. 
Fluido Densidade (Kg/m3) 
Hidrogênio 0,087 
Ar 1,205 
Gasolina 680 
Água 998 
Mercúrio 13580 
Óleo SAE 30 891 
Glicerina 1264 
 
 
Tabela A.8 – Valores de Viscosidade para alguns fluidos a 20 °C. 
Fluido Viscosidade (Kg/m.s) 
Hidrogênio 8,8x10-6 
Ar 1,8x10-5 
Gasolina 2,9x10-4 
Água 1,0x10-3 
Mercúrio 1,5x10-3 
Óleo SAE 30 0,29 
Glicerina 1,5 
 
 
Tabela A.9 – Propriedades Termodinâmicas de Gases Comuns na Condição Padrão 
ou “ Standard” . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 163 
 
 
V
apor 
O
xigênio 
N
itrogênio 
M
onóxido de 
C
arbono 
M
etano 
H
idrogênio 
H
élio 
B
ióxido de 
C
arbono 
A
r 
G
ás 
H
2 O
 
O
2 
N
2 
C
O
 
C
H
4 
H
2 
H
e 
C
O
2 
– 
Sím
bolo 
Q
uím
ico 
18,02
32,00
28,01
28,01 
16,04
2,016
4,003
44,01 
28,98
M
assa 
M
olecular, 
M
m 
461,4
259,8
296,8
296,8 
518,3
4124
2077
188,9 
286,9
~2000
909,4
1039
1039 
2190
14,180
5225
840,4 
1004
~1540 
649,6 
742 
742,1 
1672 
10,060 
3147 
651,4 
717,4 
~1,30
1,40
1,40
1,40 
1,31
1,41
1,66
1,29 
1,40
 
85,78
48,29
55,16
55,17 
96,32
766,5
386,1
35,11 
53,33
~0,478
0,2172
0,2481
0,2481 
0,5231
3,388
1,248
0,2007 
0,2399
a Tem
peratura e pressão na condição padrão ou “standard”. T = 15º = 59ºF e p = 101,325 kPa (abs.) = 14696 psia. 
b R ≡ R
u /M
m ; R
u = 8314,3 J/(kgm
ol·K
) = 1545,3 pé · lbf/(lbm
ol · ºR
); 1 B
tu = 778,2 pé · lbf. 
c O
 vapor d’água com
porta-se com
o um
 gás ideal quando superaquecido de 55ºC
 (100ºF) ou m
ais. 
~0,368
0,1551
0,1772
0,1772 
0,3993
2,402
0,7517
0,1556 
0,1713
 
Tabela 13 – Propriedade de Fluidos Gasosos 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 164 
 
 
Apêndice B 
Tabela B.1– Grandezas e Unidades utilizadas em Mecânica dos Fluidos. 
Grandeza Fatores de Conversão 
Massa 1 slug = 14,594 kg = 32,174 lbm 
1 lbm = 0,4536 kg 
1 tonelada = 1000 kg 
Comprimento 1 ft = 12 in = 0,3048 m 
1 mi = 5280 ft = 1609,344 m 
Temperatura T (K) = T (°C) + 273,15 
1R = 1,8K 
Força 1 kgf = 9,80665 N = 2,2046 lbf 
1lbf = 4,4482N 
N1x10
s
cm1g1dina 52
−== 
1 onça = 0,27801 N 
Energia 1 ft.lbf = 1,3558 J 
1 Btu = 252 cal = 1055,056 J 
1 kWh = 3,6x106 J 
 
Pressão 1 psi = 6894,76 Pa 
atm0,9872x10bar101Pa
m
N1 552
−− === 
1 lbf/ft2 = 47,88 Pa 
1 psi = 1 lbf/in2 = 144 lbf/ft 2 = 6895 Pa 
1 atm = 101325 Pa 
1 bar = 1x105 Pa 
linHg (a 20ºC) = 3375 Pa 
Potência 1 hp = 550 ft.lbf/s = 745,7 W = 1,014 cv 
1 cv = 735 W 
Densidade 1 slug/ft3 = 515,4 Kg/m3 
Viscosidade 1 slug/(ft.s) = 47,88 kg/(m.s) 
1 Ns/m2 = 1 kg/ms = 10 poise 
Viscosidade Cinemática 1 stokes (St) = 1 cm2/s = 1x10-4 m2/s 
 
Volume 
 
1 ft3 = 0,028317 m3 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 165 
 
 
1 galão = 231 pol3 = 0,0037854 m3 
1 litro = 0,001 m3 = 0,035315 ft3 
Área 1 ft2 = 0,092903 m2 
1 mi2 = 2,78784x107 ft2 = 2,59x106 m2 
1 acre = 4046,9 m2 = 43560 ft2 
Peso Específico 1 lbf/ft3 = 157,09 N/m3 
Massa Específica 1 slug/ft3 = 515,38 kg/m3 
1 lbm/ft3 = 16,0185 kg/m3 
1 g/cm3 = 1000 kg/m3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 166 
 
 
 
Figura A1 
 Fenômenos de Transporte – 01/2008 
 
 
 167 
 
 
 
 
Figura A2