ASS Séries fourier trigonometrica

Prévia do material em texto

PRINCÍPIOS TELECOMUNICAÇÕES
Prof. Bernardo Caldas
Notas de Aula
14/09/2018 1Bernardo Caldas
• “Por menor que seja seu tempo de estudo, ESTUDE.”
• “Não tenha medo de crescer lentamente, tenha medo apenas de ficar
parado.”
• “Você deve estudar para “aprender” e “não” para passar de ano.”• “Você deve estudar para “aprender” e “não” para passar de ano.”
• “É desonroso para os homens sábios desperdiçarem seu tempo como
escravos no trabalho de cálculo, que poderia ser relegado, com
segurança, a qualquer um que usasse uma máquina”. (Leibnitz, 1646-
1716)
14/09/2018 2Bernardo Caldas
Índice
• Análise de Fourier
• Séries de Fourier
14/09/2018 3Bernardo Caldas
Sinais e espectros
• Os sinais são compostos de várias componentes senoidais
(Série de Fourier)
• Generalizando -> Transformada de Fourier• Generalizando -> Transformada de Fourier
• A fim de se realizar uma operação de transformação,
devemos modelar matematicamente o sinal em...
– Série de Fourier
– Transformada de Fourier
– Relação entre ambas
14/09/2018 4Bernardo Caldas
Sinal senoidal e cossenoidal
• A expressão matemática genérica do sinal senoidal:
f
senEte
1
2
)()( max
=>
+=
piω
φω
em que w é em rad/s e f é a frequência
• Utilizando-se da relação de Euler:
14/09/2018 5Bernardo Caldas
fT
1
= em segundos
Sinal senoidal e cossenoidal
• O sinal senoidal pode ser representado em valor
instantâneo por um vetor.
14/09/2018 6Bernardo Caldas
P’P = | A | sen wt em t=t1, ou seja, em wt1 = ϕ
Sinal senoidal e cossenoidal
• O tratamento fasorial facilita sobremaneira as
operações com sinais. Dessa forma, a soma de dois
vetores é bastante simples.
14/09/2018 7Bernardo Caldas
Espectro de amplitude e 
Espectro de fases
• Pode-se representar o sinal senoidal pelos 
seus espectros de amplitude e de fases
14/09/2018 8Bernardo Caldas
Espectro de amplitude Espectro de fase
Trem de Pulsos no Tempo
• A = amplitude
• τ = (tau) a largura do pulso
A
14/09/2018 9Bernardo Caldas
• T = período
• δ = retardo
• DT(Duty Cycle) = (τ/T)*100
Composição de uma onda quadrada
Visão tridimensional 
14/09/2018 10Bernardo Caldas
Tempo X Frequência
Osciloscópio 
Forma de onda
14/09/2018 11Bernardo Caldas
TRANSFORMADAS 
DE FOURIER
Analisador Espectro
Espectro 
Soma de sinais
Período = 2pi
Amplitude entre 1 e -1
14/09/2018 12Bernardo Caldas
Período = 2pi
Amplitude entre 1 e -1
Fase deslocada de pi/2 em relação ao seno
x(t) = sen(x) + cos(x)
Soma de sinais
Qual a função matemática de f(x)?
14/09/2018 13Bernardo Caldas
)5cos(4)3cos(5)2(7)(2)( xxxsenxsenxf +++=
Soma de sinais
Domínio do
Tempo
Qual a função matemática de f(x)?
14/09/2018 14Bernardo Caldas
)5cos(4)3cos(5)2(7)(2)( xxxsenxsenxf +++=
Qual o sinal ruidoso?
Domínio do
Tempo
Qual a frequência do sinal que está corrompendo um
sinal x(t) de amplitude 1 e frequência de 120Hz?
14/09/2018 15Bernardo Caldas
Tempo
Qual o sinal ruidoso?
Domínio da
Frequência
O sinal de amplitude 0,53 e frequência 50Hz.
14/09/2018 16Bernardo Caldas
Frequência
Série de Fourier
• A Série de Fourier é uma forma de
representação de uma função periódica
como uma soma de funções
trigonométricas elementares (senos e
cossenos). Jean-Baptiste Joseph Fouriercossenos). Jean-Baptiste Joseph Fourier
(1768-1830).
• A série de Fourier pode ser apresentada
sob a forma trigonométrica, exponencial,
e compacta.
14/09/2018 17Bernardo Caldas
Série de Fourier
• Hoje a análise de Fourier é uma das técnicas
matemáticas com maior número de aplicações
práticas. Além de ser utilizada extensivamente
em cálculo numérico nas áreas mais diversas das
ciências aplicadas e engenharias, a análise de
Fourier constitui ainda a base do processamento
de sinais.de sinais.
• Tem por isso um papel central nas
telecomunicações modernas e também no
processamento de imagens digitais.
• Curiosidades: é utilizando análise de Fourier que
se retira a voz das canções para fazer karaoke e
também que se faz a compressão de imagens
em formato JPEG.
14/09/2018 18Bernardo Caldas
Série de Fourier
Considerações
• Um sinal periódico é aquele que satisfaz a
expressão
– f(t) = f(t + nT) onde T é o período
– f(t) = f(t + T) = f(t + 2T) = f(t + 3T) = ...– f(t) = f(t + T) = f(t + 2T) = f(t + 3T) = ...
• A componente básica é a senóide de mesmo
período, chamada de fundamental.
– As outras componentes têm frequências múltipla
desta fundamental e são chamadas de
harmônicas.
14/09/2018 19Bernardo Caldas
Série de Fourier
Considerações
• A importância da escolha da referência de tempos na
determinação da série de Fourier irá em muito simplificar os
cálculos.
14/09/2018 20Bernardo Caldas
x(-t) = x(t)
Função PAR 
x(-t) = -x(t)
Função ÍMPAR 
Série de Fourier
Considerações
• O trem-de-pulsos (abaixo) é uma onda quadrada acima do
eixo das abscissas. Como tal não apresenta simetria para ser
decomposta em soma de funções senoidais. Torna-se
necessário subtrair a componentes constante A/2.
14/09/2018 21Bernardo Caldas
Série de Fourier
Representação fasorial dos componentes
Seja f1(t) = a cos wt e f2(t) = b sen wt
A função seno pode ser representada como 
sen(ωωωωt) = cos(ωωωωt-pipipipi/2)
A soma de f1(t) + f2(t)....será
f(t)=f1(t)+f2(t)=a cos ωωωωt + b sen ωωωωt
OC’ = OA’ + OB’ = a cos wt + b sen wt
14/09/2018 22Bernardo Caldas
Como OC = C ...então podemos dizer
OC’= C cos (ωωωωt+ɸ)
Duas senoides com a mesma
frequência mas diferentes ângulos
de fase se somam para formar um
única senoide de mesma
frequência.
a = C cos ɸ
b = - C sen ɸ
C2 = a2 + b2
Tg ɸ = - b / a
OC’ = OA’ + OB’ = a cos wt + b sen wt
Série de Fourier
Representação fasorial dos componentes
cos sin
cos+sin
14/09/2018 23Bernardo Caldas
Φ
Série de Fourier
Representação fasorial dos componentes
• A amplitude (magnitude), no espectro de amplitude, deve ser sempre
positiva. Assim, um sinal descrito por s(t)=-Acos(ωωωω0t+ɸ) deve ser reescrito
como s(t)=Acos(ωωωω0t+ɸ±±±±pipipipi). É indiferente se é utilizado + pi ou –pi.
• ɸ tem a dimensão radianos e, portanto, a fase deve ser expressa em
radianos. Lembrar que ω = 2pif em rad/s e f em Hz.
14/09/2018 24Bernardo Caldas
radianos. Lembrar que ω = 2pif em rad/s e f em Hz.
• Ângulos e rotação positiva são medidos a partir do eixo real, no sentido
anti-horário.
• Formas de onda cosseno e seno são genericamente denominadas de forma
de onda senoidais, lembrar que sen(ωωωωt)=cos(ωωωωt- pipipipi /2), ou seja, o sinal seno
é um sinal cosseno atrasado de pi /2 (ou, 90°)
Série de Fourier
Representação fasorial dos componentes
• Seja o sinal s(t) abaixo...represente o espectro do sinal
s(t) = 7 – 10cos(40pi t - 60°)+4sen(120pit)
14/09/2018 Bernardo Caldas 25
Série de Fourier
Representação fasorial dos componentes
• Reescrevendo.....
s(t) = 7 – 10cos(40pi t - 60°)+4sen(120pit)
s(t) =7cos(2pipipipi0t)+10cos(2pipipipi20t+120°)+4cos(2pipipipi60t-90°)
+180° sen(ωt)=cos(ωt- pi /2)
s(t) =7cos(2pipipipi0t)+10cos(2pipipipi20t+120°)+4cos(2pipipipi60t-90°)
14/09/2018 Bernardo Caldas 26
60
Série de Fourier
Representação fasorial dos componentes
• Expresse x(t) como uma única senoide: 
)(3)cos()( 2 tsenttx ωω −=
−=
=1a OC’ = OA’ + OB’
OC’= C cos (ωt+ɸ)
a = C cos ɸ
14/09/2018 Bernardo Caldas 27
°=







−−
=
=−+=
−=
− 60
1
)3(
tan
2)3(1
3
2
1
222
2
θ
C
b
)60cos(2)( °+= ttx ω
a = C cos ɸ
b = - C sen ɸ
C2 = a2 + b2
Tg ɸ = - b / a
Série de Fourier
Representação fasorial dos componentes
• Expresse x(t) em termos de seno e cosseno
)cos(costCtbsenta θωωω +=+
14/09/2018 Bernardo Caldas 28
)(35)cos(5)60cos(10)( tsentttx ωωω +=−=
a = C cos ɸ = 10cos(-60) = 5
b = - C sen ɸ = - 10 sen(-60) = 8,66 =
Exemplos
• Dado o sinal no domínio da frequência, escreva sua
expressão matemática no domínio do tempo. Atentar
para o comportamento do sinal no tempo.
14/09/2018 29Bernardo Caldas
• x(t) = A sin(2 pi f t) = 0,5*sin(2*pi*20000*t)
KHz Segundos
Exemplos
• Dado o sinal no domínio da frequência, escreva sua
expressão matemática no domínio do tempo.
Atentar para o comportamento do sinal no tempo.
14/09/2018 30Bernardo Caldas
• x(t) = 0,5sin(2pi10t)+0,9sin(2pi20t)+0,3sin(2pi40t)+0,1sin(2pi60t)
Segundos
KHz
Série de Fourier
• Expressando matematicamente o enunciado proposto
por Fourier para uma função periódica. Representação
em série de Fourier trigonométrica.
∑
∞
=
++= 00
0 ))(.)cos(.(
2
)( nn tnsenbtna
a
tf ωω
• f(t) é a função a ser desenvolvida;
• a0/2 é o valor médio de f(t);
• an e bn são os coeficientes da série de Fourier;
• ω0 é a velocidade angular da função f(t) => ω0 =2pif0
14/09/2018 31Bernardo Caldas
∑
=1
002 n
nn
Série de Fourier
• Representação em série de Fourier trigonométrica.
( )1
...)t2sen(b)tsen(b...)t2cos(a)tcos(aa
2
1)t(f 0201210 00 +ω+ω++ω+ω+=
∑
∞
• Reescrevendo:
14/09/2018 32Bernardo Caldas
( ) ))tnsen(btncosa(a
2
1
on
1n
on0 ω+ω+= ∑
∞
=
∑
∞
=
θ−ω+=
1n
n0n0 )tncos(CC)t(f
Série de Fourier
Ortogonalidade das funções seno e cosseno
• Definição...
– Um conjunto de funções { φk(t) } é dito ortogonal em um
intervalo a<t<b se, para quaisquer duas funções {φm(t)} e
{φn(t) }no conjunto {φk(t)} é válida a relação.{φn(t) }no conjunto {φk(t)} é válida a relação.
14/09/2018 33Bernardo Caldas
nm para r 
nm para 0 dt).t().t(
n
b
a
nm
==
≠=φφ∫
Série de Fourier
Ortogonalidade das funções seno e cosseno
 0nm 
2
T
 
nm 0dt)tncos()tmcos(
T
2
T
2
T
00∫
−
≠==
≠=ωω
14/09/2018 34Bernardo Caldas
n e m todopara 0dt)tncos()tm(sin
0nm 
2
T
 
nm 0dt)tn(sin)tm(sin
2
T
2
T
00
2
T
2
T
00
∫
∫
−
−
=ωω
≠==
≠=ωω
Com Com ωωωωωωωω00 = 2= 2pipipipipipipipi/T/T
Série de Fourier
Ortogonalidade das funções seno e cosseno
14/09/2018 35Bernardo Caldas
c/m,n (inteiros positivos)
)90cos()(
)90cos()(
1
1
+=−=
−==
θθ
θθ
seny
seny
Série de Fourier
• Valor de a0...
∫
∫
=
=
T
T
dttfa
dttf
T
a
0
00
).(1
).(2 ---> é a equação genérica do valor médio de uma
função f(t) qualquer.
• É possível escrever...
14/09/2018 36Bernardo Caldas
∫= dttfT 0 ).(2
períododevalor
períodoemtfdeáreaa
_1__
_1__)(__
2
0
=
Série de Fourier
• Valor de an...
∫=
T
n dtnwtfTa 0 0 ).cos().(
2
N=0,1,2,...
• Valor de bn...
14/09/2018 37Bernardo Caldas
∫=
T
n dtnwsentfTb 0 0 ).().(
2
N=0,1,2,...
Série de Fourier
• A série trigonométrica de Fourier admite...
– Se a função f(t) for PAR => todos os termos bn serão nulos
e a decomposição da função só terá COSSENOS.
– Se a função f(t) for ÍMPAR => todos os termos an serão
nulos e a decomposição da função só terá SENOS.
– www.integral-calculator.com
14/09/2018 38Bernardo Caldas
Série de Fourier
• A série trigonométrica de Fourier admite...
– Se a função f(t) tiver duas alternâncias, sendo uma a
imagem num espelho da outra, ou seja: f(t) = -f(t+pi) =>
an= bn = 0 para n par.an= bn = 0 para n par.
– Se a função f(t) for periódica de período pi, -> f(t) = f(t+pi)
=> an = bn = 0, para n impar.
14/09/2018 39Bernardo Caldas
Forma compacta de Fourier
• No caso de x(t) for real, os coeficientes an e bn são
reais para todo n e a série trigonométrica de Fourier
pode ser expressa em uma forma compacta.
∑
∞
++= )cos()( tnCCtx θω
14/09/2018 40Bernardo Caldas
∑
=
++=
1
00 )cos()(
n
nn tnCCtx θω






−
=
+=
=
−
n
n
n
nnn
a
b
baC
aC
1
22
00
tanθ
Exemplo 00
• Materializando os conceitos apresentados...
– Seja uma onda quadrada de frequência angular
w=2pi rad/s e tomando-se somente o 1 termo da
série de Fourier, temos a seguinte forma de onda:
14/09/2018 41Bernardo Caldas
série de Fourier, temos a seguinte forma de onda:
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
)t2(sin4)t(f pi
pi
=
Exemplo 00
• Somando-se os 2 primeiros termos..temos..
)
3
)t6(sin)t2(sin(4)t(f pi+pi
pi
=
1.5
14/09/2018 42Bernardo Caldas
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
Exemplo 00
• Somando-se os 3 primeiros termos..temos..
)
5
)t10(sin
3
)t6(sin)t2(sin(4)t(f pi+pi+pi
pi
=
14/09/2018 43Bernardo Caldas
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Exemplo 00
• Somando-se os 5 primeiros termos..temos..
)
9
)t18(sin
7
)t14(sin
5
)t10(sin
3
)t6(sin)t2(sin(4)t(f pi+pi+pi+pi+pi
pi
=
1.5
14/09/2018 44Bernardo Caldas
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Exemplo 01
Determine os coeficientes de Fourier de f(t).
t(s)
f
10
14/09/2018 45Bernardo Caldas
Período = 4
f(x) = f(-x) => par => bn=0
W = 2 pi f = (2 pi) / T = (2 pi) / 4 => w = pi / 2
5
4
20
4
10)34(10)01(
2
0
==
−+−
=
a
T
0 1 2 3 4
510
4
110
4
1
2
).(1
2
4
3
1
0
0
0
0
=+=
=
∫∫
∫
dtdta
dttf
T
a T
Exemplo 01



 ++= ∫ ∫∫
1
0
4
3
3
1
.cos)(.cos)(.cos)(2 dtnwttfdtnwttfdtnwttf
T
an
0




= ∫
1
0
).cos)((22 dtnwttf
T
an
1
Integral por substituição
∫=
T
n dtnwtfTa 0 0 ).cos().(
2
10
14/09/2018 46Bernardo Caldas
1
0
1
0
1
0
)(10cos10.cos)(
4
4
nwtsen
nwnw
du
udtnwttfan ==



= ∫∫
nw
dudt
nw
dt
du
nwtu
=
=
=
2
20
2
2
10 1
0
pi
pi
pi
pi
n
sen
n
tnsen
n
an =





=
10
Exemplo 01
pi
pi
pi
20
2
1
1
20
1 == sena
Para saber os valores de “n “ basta substituir em..... 
0
2
2
2
20
2 ==
pi
pi
sena
2
20 pi
pi
n
sen
n
an =
14/09/2018 47Bernardo Caldas
pi
pi
pi 3
20)1(
2
3
3
20
3 −== sena 0
2
4
4
20
4 ==
pi
pi
sena
++−+−+= ...7cos
7
205cos43cos
3
20
cos
205)( wtwtwtwttf
pipipipi
A série de Fourier será.....
∑
∞
=
++=
1
00
0 ))(.)cos(.(
2
)(
n
nn tnsenbtna
a
tf ωω
0
Exemplo 01
++−+−+= ...7cos
7
205cos43cos
3
20
cos
205)( wtwtwtwttf
pipipipi
Termos
Instantes em segundos
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 ...
14/09/2018 48Bernardo Caldas
5 5 5 5 5 5 5 5 5 ...
(20/pi)*cos((pi/2)*t) 6,366 4,502 0,000 -4,502 -6,366 -4,502 0,000 4,502 ...
(-20/(3*pi))*cos((3*pi/2)*t -2,122 1,501 0,000 -1,501 2,122 -1,501 0,000 1,501 ...
(4/pi)*cos((5*pi/2)*t 1,273 -0,900 0,000 0,900 -1,273 0,900 0,000 -0,900 ...
(-20/(7*pi))*cos((7*pi/2)*t -0,909 -0,643 0,000 0,643 0,909 0,643 0,000 -0,643 ...
(20/(9*pi))*cos((9*pi/2)*t 0,707 0,500 0,000 -0,500 -0,707 -0,500 0,000 0,500 ...
f(t) 10,315 9,959 5,000 0,041 -0,315 0,041 5,000 9,959 ...
Remontagem do sinal
Exemplo 01 - senoidal
14/09/2018 49Bernardo Caldas
1,...,1,0,)()}({)(
1
0
/2
−=== ∑
−
=
− NkenfnfFFTkF
N
n
Nnkj pi
W=2000π 1/2048
N = 512
1/512
Exemplo 01 - quadrada
14/09/201850Bernardo Caldas
W=2000π
Exemplo 01 – dente serra
14/09/2018 51Bernardo Caldas
W=2000π
Exemplo 02
Determine os coeficientes de Fourier de f(t).
t(s)
f
5
14/09/2018 52Bernardo Caldas
T
0 0.1 0.2 0.3 
Período = 0,2
f(x) = não é par e não é ímpar
W = 2 pi f = (2 pi) / T = (2 pi) / 0,2 => W =10 pi
5,2
2,0
5)01,0(
2
0
=
−
=
a
Exemplo 02



 += ∫ ∫
1.0
0
2.0
1.0
)()()()(2 nwtsentfnwtsentf
T
bn
0




= ∫
1.0
0
)()(2 nwtsentf
T
bn
1.0
−
Integral por substituição
5*.1
14/09/2018 53Bernardo Caldas
1.0
0
1.0
0
1.0
0
)cos(5)(5.010)()(
2.0
2
nwt
nwnw
du
usennwtsentfbn −==



= ∫∫
nw
dudt
nw
dt
du
nwtu
=
=
= ( ) )cos1(
5
110cos
10
5 1.0
0 pipi
pi
pi
n
n
tn
n
bn −=
−
=
Exemplo 02



 += ∫ ∫
1.0
0
2.0
1.0
cos)(cos)(2 nwttfnwttf
T
an
0




= ∫
1.0
0
cos)(2 nwttf
T
an
1.0
14/09/2018 54Bernardo Caldas
1.0
0
1.0
0
1.0
0
)(1cos5.02cos)(2 nwtsen
Tnwnw
du
u
T
nwttf
T
an ==



= ∫∫
nw
dudt
nw
dt
du
nwtu
=
=
= ( ) )(11,0..10.1 pipi nsen
Tnw
nsen
Tnw
an ==
)(
2
1)(
10..2,0
1
pi
pi
pi
pi
nsen
n
nsen
n
an ==
0
Exemplo 03
• Calcule os 4 primeiros coeficientes de Fourier de f(t)
pi 0,1)( 
<≤−−
=
x
xf
14/09/2018 55Bernardo Caldas
x
-pi 0 pi 2pi
f(x)
+1
-1
pi
pi
pipi
piω
pi
2
1
2
222
)()2(
0,1
)(
=
====
=+


<≤
=
T
T
f
xfxxf
x
xf
Exemplo 03
• Calculando a0
[ ] [ ] [ ] [ ]1111
1)(
2
2 0
0
0
−−






+−==
−−
∫ ∫∫ pipi pi
pipi
pi
dxdxdxxfa
14/09/2018 56Bernardo Caldas
[ ] [ ] [ ] [ ] 011010111 00 =+−=−++−=+−= − pi
pi
pi
pipipi
pi
pi xx
Exemplo 03
• Calculando an
)cos()cos(1)(
2
2 0
0
−−
=





+−==
−−
∫ ∫∫ pipi pi
pipi
pi
dxnxdxnxdxxfan
Integral por substituição
14/09/2018 57Bernardo Caldas
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] 00)(1)(01
)0()(1)()0(1)(1)(1 00
=−+−
−
=
−+−
−
=+
−
=
−
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pipipi
pi
pi
nsen
n
nsen
n
sennsen
n
nsensen
n
nxsen
n
nxsen
n
O seno de múltiplos inteiros de pi => sen(npi) = 0 
Exemplo 03
• Calculando bn
)()(1)(
2
2 0
0pipi pi
pipi
pi
dxnxsendxnxsendxxfbn =





+−==
−−
∫ ∫∫
14/09/2018 58Bernardo Caldas
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] )]cos(1[21)cos(1)cos(11
)0cos()cos(1)cos()0cos(1)cos(1)cos(1 00
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pipipi
pi
pi
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nx
n
nx
n
−=−−−=
+−−=−=
−




=
=
=
ímparnpara
n
parnpara
bn
_,
4
_,0
pi
O cossseno é par => cos(npi) = cos(-npi)
T = 2pi
Exemplo 03
• Encontramos: 
?
0
0
2
1
0
=
=
=
=
=
n
n
o
b
a
a
T pi
ω ∑
∞
=
≈
1
)()(
n
n nxsenbxf
∑
∞
=
−≈
1
)()]cos(1[2)(
n
nxsenn
n
xf pi
pi
14/09/2018 59Bernardo Caldas
?=nb
...)7(
7
4)5(
5
4)3(
3
4)(4)( ++++≈ xsenxsenxsenxsenxf
pipipipi
Ficamos com termos apenas em seno




=
=
=
ímparnpara
n
parnpara
bn
_,
4
_,0
pi
Exemplo 01
Valor dos coeficientes ímpares de um sinal quadrado
14/09/2018 60Bernardo Caldas
Exemplo 04
• Determine a representação em Série de Fourier da onda triangular
14/09/2018 61Bernardo Caldas
pi
pipi
piω ====
=+



<≤
<≤−−
=
2
222
)()2(
10,
01,)(
T
f
xfxf
xx
xx
xf
0
1__
1__
1____
11
00 =










yx
yx
yx
Exemplo 04
• Calculando a0
)(
2
2 0
1
1
0
1
1
0 +−==
−−
∫ ∫∫ xdxxdxdxxfa
14/09/2018 62Bernardo Caldas
1
2
1
2
10
2
1
2
10
2
2
2
2
1
0
0
1
2
1 01
=+=



−+



−−=



+





−=
−
−−
xx
Exemplo 04
• Calculando an
==
==
=+−==
−−
∫ ∫∫
)(
.....
)cos()cos()cos()(
2
2 0
1
1
0
1
1
pi
pi
pipipi
xnsen
dxduxu
dxxnxdxxnxdxxnxfan
14/09/2018 63Bernardo Caldas




−++



−−−+−=
=



++



+−=
+=−=
==
−
∫∫
)0cos(1)cos(1)(1)cos(1)(1)0cos(1
)cos(1)()cos(1)(
)cos()(.)()(.)cos(
)(
....)cos(
22222222
1
0
22
0
1
22
22
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pipi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
pi
n
n
n
nsen
n
n
n
nsen
nn
xn
n
xnsen
n
x
xn
n
xnsen
n
x
an
n
xn
n
xnsenxdu
n
xnsen
n
xnsenxdxxnx
n
xnsen
vdxxndv
Exemplo 04
• Calculando an
[ ]1)cos(2
1)cos(1)cos(11 22222222
−=
=



−+



−=
pi
pi
pi
pi
pi
pipi
n
n
n
n
n
nn
14/09/2018 64Bernardo Caldas
[ ]1)cos(2 22 −= pipi nn
Exemplo 04
• Calculando bn
0)()()()(
2
2 0
1
1
0
1
1
=+−−== ∫ ∫∫
−−
dxxnxsendxxnxsendxxnsenxfbn pipipi
14/09/2018 65Bernardo Caldas
Exemplo 04
• Encontramos: 
0
2
=
=
=
n
o
b
T
piω
∑
∞
=
+≈
1
0 )cos(
2
)(
n
n xna
a
xf pi
−+≈ ∑
∞
=
xnn
n
xf
n
)cos()]1)[cos(2
2
1)(
1
22 pipipi
14/09/2018 66Bernardo Caldas








−
=
=
ímparnpara
n
parnpara
a
n
n
n
__,
4
__,0
2
22
1
pi
pi
...)7cos(
49
4)5cos(
25
4)3cos(
9
4)cos(4
2
1)( 2222 +−−−−≈ xxxxxf pipipipipipipipi
Exemplo 05
• Determine os coeficientes de Fourier a0, an e bn da função abaixo:
14/09/2018 67Bernardo Caldas
T = pi e a freq. = 1 /T = 1/pi Hz ----> w = 2pi / pi = 2 rad/s
Exemplo 05
∫∫
−
==
pi
pi 0
2/
0
0 1)(1
2
dtedttx
T
a tT 504.0)1(2
2/12/1
1
2/1
1
2
2/
2/02/
0
2/
0
=−=





+
−
=




−
=
−
−−−
pi
pipi
pipipi
e
eeea t
�
∫∫
−
==
pi
pi 0
2/
0
)2cos(2)cos()(2 dtntedtnwttx
T
an t
T
14/09/2018 68Bernardo Caldas
pi
pi 0
22
2/
)2()2/1(
)222cos2/1(2






+−
+−
=
−
n
ntnsennte
an
t
pi
pi 0
2
2/2/
4/)164(
)222cos5.02






+
+−
=
−−
n
ntsennente
an
tt
Exemplo 05
pi
pi 0
2
2/2/
4/)164(
)222cos5.02






+
+−
=
−−
n
ntsennente
an
tt
pi
pi 2
2/2/
)164(
)282cos)5.0)(4(2






+
+−
=
−−
n
ntsennente
an
tt
14/09/2018 69Bernardo Caldas
pi 0)164(



 + n
[ ]pi
pi
0
2/2/
2 282cos2)164(
2
ntsennente
n
an tt −− +−
+
=
[ ]02802cos2282cos2)164(
2 2/02/02/2/
2 nsennenensennene
n
an −−−− −++−
+
= pipi
pi
pipi
0 02
Exemplo 05
[ ]
22
2/
2/
2
161
2504.0)164(
)1(4
22)164(
2
nn
e
a
e
n
a
n
n
+
=
+
−
=
+−
+
=
−
−
pi
pi
pi
pi
14/09/2018 70Bernardo Caldas
20
2/
161
8504.02sin2
n
n
ntdtebn t
+
== ∫
−
pi
pi
Exemplo 06
• Um sinal periódico x(t) é representado por uma série trigonométrica de
Fourier como:
• Expressar a série como uma série trigonométrica compacta de Fourier
)1507cos()303sin(22sin42cos32)(+−++++= tttttx
14/09/2018 71Bernardo Caldas
)307cos()603cos(2)13,532cos(52)(
)307cos()1801507cos()1507cos(
)603cos()90303cos()303sin(
3/4...43)...13,532cos(52sin42cos3 122
−+−+−+=
−=−+=+−
−=−+=+
−=+=−=+ −
ttttx
ttt
ttt
tgcttt
Exercício 01
• Determine a forma analítica e a representação 
em Série de Fourier da função periódica.
14/09/2018 72Bernardo Caldas
O período T=2 e a frequência fundamental w0= 2pi/T = pi
* Usar integrais do formulário. 
Exercício 02
• Determine a forma analítica e a representação 
em Série de Fourier da função periódica.
14/09/2018 73Bernardo Caldas
O período T=2 e a frequência fundamental w0= 2pi/T = pi
* Usar integrais do formulário. 
Formulários
14/09/2018 74PDS 03 - Bernardo Caldas
Formulários
14/09/2018 75PDS 03 - Bernardo Caldas
Formulário
14/09/2018 76Bernardo Caldas
Formulário
14/09/2018 77Bernardo Caldas
Formulário
14/09/2018 78Bernardo Caldas
Obrigado
Prof. Bernardo Caldas
14/09/2018 79Bernardo Caldas