ISEE Apostila Curto Circuito

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Curto Circuito
revisão de stembro, 2002
1 - Introdução
Curto circuitos são defeitos nos sistemas de energia elétrica caracterizados por contatos 
entre os condutores. Os curto circuitos podem ser classificados em dois grupos: contatos 
envolvendo as fases e os contatos envolvendo as fases e o neutro ou terra.
Os curto circuitos envolvendo somente as fases são dos seguintes tipos: A) - (fase - fase - 
fase) denominado de trifásico; B) - (fase - fase) denominado de bifásico.
Os curto circuitos envolvendo fases e neutros podem ser dos seguintes tipos: A) - (fase - 
fase - fase - neutro) denominado de trifásico com neutro; B) - (fase - fase - neutro) 
denominado de bifásico com neutro; C) - (fase - neutro) denominado de monofásico.
Os curto circuitos mais freqüentes na prática, cerca de 70 % ou mais, são os monofásicos, 
e os que provocam os maiores danos são os trifásicos.
Normalmente curto circuito provoca correntes elétricas muito superiores aos valores de 
correntes de carga. Os principais danos causados nos sistemas devido aos curto circuitos 
são provocados pelo geração de calor ou então forças mecânicas, além dos inconvenientes 
de baixa tensão causados aos consumidores.
Normalmente curto circuito envolve elevadas correntes elétricas e baixos valores de 
tensão. Entretanto, curto circuito pode provocar o surgimento de sobre - tensões. Estas 
anomalias podem danificar equipamentos do sistema ou dos próprios consumidores.
As instalações elétricas devem ser projetadas objetivando minimizar o surgimento de 
curto circuitos e também os conseqüentes danos. Os equipamentos devem suportar as 
correntes e as tensões provocadas pelos curto circuitos. Os curto circuitos devem ser 
eliminados e no menor tempo possível, na prática são eliminados em tempos da ordem de 
0,1 a 0,3 segundos (5 a 15 ciclos). 
Curto circuito
2 Corrente inicial de curto circuito
A corrente logo após a ocorrência de curtos circuitos tem duas componentes, uma 
senoidal e outra exponencial. A componente senoidal é denominada também de regime 
permanente devido a terminologia utilizada nas soluções de equações diferenciais 
enquanto que a componente exponencial é também denominada de componente dc.
Os parâmetros que fundamentalmente influenciam a corrente inicial são as indutâncias e 
resistências. O efeito capacitivo não exerce influência fundamental. Desta forma a 
equação para de terminar a corrente inicial de curto circuito em um sistema monofásico é:
dT
dILIRV ×+×= 2.0
A equação acima pode ser resolvida analítica ou numericamente. Supondo uma fonte 
senoidal, que R e L sejam constantes, )sen()( max α+= wtVtv e que o sistema estivesse 
em vazio, momentos antes da ocorrência do curto circuito, pode ser demonstrado que a 
solução da equação é:
[ ])()(
)(
)/(
2/1222
max θαθα −−−+
+
= − senewtsen
LwR
V
I tLR 2.1
onde:
)/arctan( RwL=θ 2.2
e α é o defasamento angular da tensão no momento do curto circuito.
A equação acima mostra que a componente da corrente em regime permanente pode ser 
dada pela equação no domínio da freqüência:
zvi /= 2.3
e a componente exponencial:
)()/( θα −= − seneiI TLR 2.4
2
Curto circuito
Exemplo 2.0 - Calcular a corrente inicial de curto circuito considerando a solução 
analítica e a solução numérica da equação diferencial. Considere que a tensão de operação 
na barra supridora seja de 69kV. Despreze os efeitos das mútuas do sistema trifásico e 
considere como se o circuito fosse monofásico. Adotar uma potência de base de 100 
MVA , uma tensão de base de 69 kV e supor que a máquina síncrona possa ser 
representada simplesmente como uma fonte de tensão senoidal.
Fig. 2.0.0
Solução (A)- Solução analítica. A figura 2.0.1 mostra o circuito equivalente em pu.
Fig. 2.0.1
Conforme mostra a figura 2.0.1, a parte resistiva do circuito eqüivale a 2,10 e a parte 
indutiva eqüivale a 5,50. Assim a indutância em pu poder determinada como:
01459,0)602/(50,5 =××= πL
Sabendo que a tensão na equação diferencial 2.0 se refere ao valor de pico, a fonte de 
tensão eqüivalente pode ser simulada como:
)(2 wtsenV ×=
Aplicando a equação 2.1 aos valores do circuito da figura 2.0.1 obtém-se:
[ ])1,69()1,69(
)50,51,2(
2 )01459,0/1,2(
2/122
 −−−+
+
= − αα senewtsenI t
3
∼ 50km
R = 0,5Ω/km
X
L
 = 0,5Ω/km
5,0MVA
X = 7,0%
69kV/34,5kV
69kV
S
CC
 = 50MVA
cc trifásico
j1,40 2,10+j2,10
j2,00
1,00
Curto circuito
O valor máximo da corrente I ocorre quando  0,901,69 =−α . Adotando então o valor 
de 159,1° para o ângulo de ocorrência do curto circuito, obtém-se a seguinte equação:
[ ]tewtsenI 144)90(240,0 −−+= 
A equação acima mostra que depois de um certo tempo, a corrente é senoidal com um 
valor de pico correspondente 0,240pu. A tabela abaixo mostra os valores de I ao longo do 
tempo.
Tempo em ms Corrente em pu
0 0
0,833 0,0154
2×0,833 0,0540
3×0,833 -0,0263
4×0,833 -0,0909
5×0,833 -0,1316
6×0,833 -0,1908
7×0,833 -0,2446
8×0,833 -0,2860
9×0,833 -0,3097
10×0,833 -0,3121
11×0,833 -0,3093
Tabela 2.0.0
A tabela 2.0.0 mostra que o maior valor da corrente ocorre quando t = 8,33ms, com um 
valor de 30% acima do pico em regime normal. A figura 2.0.2 mostra a curva 
correspondente aos valores da tabela 2.0.0
4
0,00
-0,30
0,06
8,33
corrente
tempo0,0
Curto circuito
Fig. 2.0.2
Solução (B). Solução numérica. A equação diferencial a ser resolvida numericamente é:
dt
dILIRV += .
Em termos incrementais a equação acima pode ser representada por:
t
L
IRVI
n
n ∆×−=∆ + )(
)(
)1(
onde:
)()()1( nnn III ∆+=+ e 0,0)0( =I
A equação incremental acima em termos numéricos eqüivale a:
[ ] tIwtsentIwtsenI nnn ∆×−+=∆×−+=∆ + )()()1( 144)1,159(9,96
01459,0
1,2)(2 α
Adotando um tempo incremental equivalente a 0,05 ciclos, o eqüivalente em segundos é 
então:
310833,0
60
05,0 −×==∆ t
A tabela abaixo mostra os resultados da solução numérica.
Tempo em ms ∆I Corrente em pu
0 0,0287 0
0,833 0,0007 0,0287
2×0,833 -0,0245 0,0294
3×0,833 -0,0446 0,0049
4×0,833 -0,0580 -0,0397
5×0,833 -0,0637 -0,0977
6×0,833 -0,0613 -0,1614
7×0,833 -0,0512 -0,2227
8×0,833 -0,0348 -0,2739
9×0,833 -0,0137 -0,3087
10×0,833 0,0098 -0,3224
11×0,833 -0,3126
5
Curto circuito
Tabela 2.0.1
A solução numérica indica que o valor máximo da corrente é 0,3224, o que significa um 
erro da ordem de 3% com relação ao valor preciso obtido pela solução analítica.
Exemplo 2.2 - Determinar analiticamente as condições que conduzem a corrente inicial 
ao seu valor máximo. Determinar também o valor máximo da corrente e o correspondente 
tempo relativos ao exemplo 2.1.
Solução - O máximo valor da corrente ocorre nas condições em que 90±=− θα . Nestas 
condições a equação da corrente inicial é:
[ ]tewtsenAI β−±=  )90(
A derivada dtdI / da equação acima é:
[ ]tewtwA
dt
dI ββ −±±= )90cos( 
O valor de I é máximo quando a derivada quando 0,0/ =dtdI , portanto:
0,0)/()90cos( )/( =±± − tLReLRwtw 
Aplicando a equação acima no circuito em questão e considerando um defasamento de 
+90° tem-se a seguinte relação:
0,094,143)9099,376cos(99,376 94,143 =++ − tet 
A equação acima pode ser resolvida por métodos numéricos, tais como Gauss - Seidel ou 
tentativas. O valor de t que satisfaz a equação é de 0,00803 segundos, o que eqüivale a 
um ângulo de 173,4°.
3 - Conceitos de curto circuito trifásico em máquinas síncronas
Curto circuito nos instantes iniciais é denominado de assimétrico, devido a componente 
de corrente contínua que distorce a componente senoidal. Curto circuito após os instantes 
iniciais é denominado simétrico, pois a principal contribuição é a corrente senoidal que é 
simétrica em torno do eixo dos tempos. A atuação de chaves e disjuntores normalmente 
6
Curto circuito
ocorre nos instantes correspondentes ao curto circuito simétrico. Desta forma, na maioria 
das vezes, o cálculo de curto circuito considera as funções de tensão e corrente apenas no 
domínio da freqüência.
A corrente de curtocircuito em sistemas elétricos é determinada pelas forças 
eletromotrizes internas das máquinas e pelas impedâncias. As máquinas síncronas, tanto 
os motores quanto os geradores, contribuem ativamente para as correntes de curto 
circuito.
Os motores de indução somente contribuem para as correntes de curto circuito durante 
curto espaço de tempo, da ordem de meio ciclo. Na maioria das vezes a contribuição de 
corrente devida aos motores de indução é desprezada devido a sua duração ser muito 
pequena. A contribuição dos motores de indução somente são relevantes quando se 
objetiva determinar o valor máximo das correntes nos instantes iniciais do curto circuito.
Um modelo simplificado das máquinas síncronas é uma fonte de tensão em série com 
uma impedância, esta impedância é denominada de impedância interna do gerador ou 
motor. No modelo de cálculo de correntes de curto circuito a tensão interna da máquina 
permanece constante.
A corrente de curto circuito de máquinas síncronas varia ao longo do tempo. A corrente 
de curto circuito diminui ao longo do tempo tendendo para um valor estacionário. Esta 
variação, para facilitar a representação do curto circuito, é dividida em três intervalos de 
tempo onde as tensões, correntes e reatâncias das máquinas são denominadas de: 
subtransitória, transitória e permanente.
Denomina-se de subtransitório os fenômenos que ocorrem nos instantes iniciais do curto 
circuito. A atuação dos disjuntores e chaves normalmente ocorre nos instantes 
denominados de transitórios. As correntes de curto circuito permanente não ocorrem na 
prática devido ao fato de que a atuação das proteções ocorre num tempo relativamente 
pequeno. As correntes de curto circuito permanente podem ser conhecidas em testes de 
laboratório ao se verificar as características das máquinas.
Durante o curto circuito, a reatância interna das máquinas síncronas aumenta com o 
passar do tempo. A menor reatância ocorre no instante denominado de subtransitório e é 
representada por "dX , de forma semelhante a tensão interna e a corrente são representadas 
respectivamente por E" e I". Os valores transitórios são representados por 
respectivamente 'dX , E' e I'.
As tensões internas das máquinas são definidas pelo funcionamento do sistema antes da 
ocorrência do curto circuito. Quando o sistema está em vazio, portanto sem cargas e sem 
correntes, as tensões internas são, na maioria das vezes, iguais às tensões nominais das 
próprias máquinas.
7
Curto circuito
As correntes de curto circuito ao longo do tempo (no domínio do tempo), em uma das 
fases de máquinas síncronas, podem ser calculadas pela seguinte equação:
)()(
)()()()(2/)(
/"
/'/'" '"
αα
αα
seneIwtsenI
wtseneIIwtseneIItI
g
dd
Tt
kk
Tt
kk
Tt
kk
−
−−
+−+
+−−+−−=
3.1
A equação acima contém três termos senoidais e um não senoidal. O termo não senoidal é 
denominado como componente contínua da corrente de curto circuito. Os termos kI da 
equação acima, denominados respectivamente de componentes subtransitória, transitória 
e permanente, são definidos como:
"
"
"
d
Y
k
jX
E
I = , '
'
'
d
Y
k
jX
E
I = e 
d
Y
k jX
E
I = 3.2
As tensões subtransitória, transitória e permanente são definidas como:
IjXVE dYY ×+=
""
IjXVE dYY ×+=
''
IjXVE dYY ×+=
3.3
onde V e I são respectivamente a tensão nos terminais e a corrente de carga da máquina 
antes da ocorrência do curto circuito.
calculadas de acordo com a equação da corrente de curto circuito, considerando o tempo 
0≈t , supondo 90≈α e desprezando a componente contínua tem-se que:
"" )90()0( kk IwtsenItI −=−≈=
 3.4
ou seja a corrente inicial de curto circuito é a corrente subtransitória. De forma 
semelhante a corrente de curto circuito no tempo ∞→t é:
)cos()90()( wtIwtsenItI kk =−≈∞→
 3.5
ou seja a corrente um longo tempo após o curto circuito é a componente permanente.
A corrente de curto circuito que ocorre no instante em que atuam os disjuntores é 
denominada de corrente de interrupção. Normalmente a corrente de interrupção ocorre 
ente 0,1 a 0,25 segundos. A equação da corrente de interrupção, no domínio do tempo, 
pode ser escrita como:
8
Curto circuito
)()()()(2/)( /"/'
'
ααα seneIwtsenIwtseneIItI gd Ttkk
Tt
kk
−− +−+−−≈ 3.6
desprezando a componente contínua e supondo 90≈α então:
)90()90()90()(2/)( '/'
'  −≈−+−−≈ − wtsenIwtsenIwtseneIItI kk
Tt
kk d 3.7
A equação acima, no domínio do tempo, pode ser escrita em termos de variáveis 
complexas ou em outra palavras no domínio da freqüência como:
'
'
'
d
k
X
EjI −= 3.8
onde 'E é a tensão interna da máquina e 'djX é a correspondente reatância transitória. 
De forma semelhante pode-se escrever as equações no domínio da freqüência referente a 
corrente subtransitória e permanente.
Exemplo 3.0 - Calcular a corrente inicial de curto circuito e a corrente após 0,1 segundos 
nos terminais de um gerador síncrono com pólos salientes, sem carga e supondo que 
90≈α . Os dados do gerador são, potência de 100 MVA, tensão nominal de 13,8kV, 
reatância subtransitória de %20" =dX , reatância transitória de %30
' =dX , reatância 
permanente de %100=dX , constante de tempo subtransitória de 03,0
" =dT segundos, 
constante de tempo transitória de 6,1' =dT segundos e constante de tempo da componente 
contínua de 22,0=gT segundos. de potência, no te considerando a solução
Solução - A tensão nos terminais do gerador antes da ocorrência do curto circuito é de 
967,73/8,13 ==YV kV. Sabendo que a corrente de carga é nula então 
967,7'" === YYY EEE kV. Portanto:
9,20)100/8,132,0/(967,7 2" jjI k −=×= kA
9,13)100/8,133,0/(967,7 2' jjI k −=×= kA
18,4)100/8,130,1/(967,7 2 jjI k −=×= kA
9
Curto circuito
Utilizando a equação 3.1, para 0.0=t segundos, obtém-se 0.0)( =tI Ampères, ou seja a 
corrente no momento da ocorrência do curto circuito é nula. A denominada corrente 
inicial pode ser determinada pela equação 3.4, resultando em um valor de 20,9 kA.
Utilizando a equação 3.1 para 10,0=t segundos obtém-se:
=+−−−
=××−−×+−××+−××
=+−×+
+−×−+−×−=
−
−−
265,1318,411,9250,0
0,16347,09,20)1(18,4)1(9394,07,9)0,1(0357,00,7
)2/(9,20)2/1,0377(18,4
)2/1,0377()18,49,13()2/1,0377()9,139,20(2/)(
22,0/1,0
6,1/1,003,0/1,0
ππ
ππ
senesen
senesenetI
275,0265,13290,13250,0 −=+−− kA
Do resultado acima percebe-se que se fossem desprezadas as parcelas relativas às 
correntes subtransitória e contínua, a corrente no tempo 10,0=t segundos seria 
eqüivalente à corrente transitória, conforme mostra a equação 3.8.
4 - Curto circuito trifásico em sistemas
O cálculo de curto circuito em sistemas normalmente consideram as correntes de 
interrupção. Desta forma aplicam-se os conceitos de circuitos no domínio da freqüência, 
conforme definido na equação 3.8.
O contato das três fases, em um ponto qualquer do sistema, é denominado de curto 
circuito trifásico. Nos casos em que o contato das três fases tem resistências desprezíveis, 
o valor da tensão no ponto de contato é zero, independente de envolvimento do neutro ou 
terra.
Em sistemas equilibrados, os módulos das correntes são idênticos durante um curto 
circuito trifásico. Curto circuito trifásico pode ser simulado com modelos monofásicos e 
os cálculos são feitos somente para uma das fases.
Devido ao elevado valor das correntes de curto circuito, em alguns casos pode-se 
desprezar os efeitos capacitivos das linhas de transmissão, os taps fora do nominal e as 
cargas. Esta simplificação conserva uma precisão satisfatória quando as correntes de 
curto circuito são mais de duas vezes maiores que as correntes em regime normal de 
operação.
Durante a ocorrência de curto circuitos as cargas são consideradas em dois grupos, ambas 
com comportamentos lineares. Algumas cargas contribuem para as correntes de curto 
circuito e outras são cargas passivas. Ascargas que contribuem para as correntes de curto 
circuito são simuladas da mesma forma que os geradores síncronos, sendo então 
10
Curto circuito
eqüivalentes a uma fonte de tensão em série com uma impedância. As cargas passivas, 
que não contribuem para as correntes de curto circuito, são simuladas simplesmente como 
impedâncias constantes.
Exemplo 4.1 - Calcular a corrente de curto circuito trifásico transitório. O sistema está 
em vazio antes da ocorrência do curto circuito. Utilizar como base SB = 100 MVA e VB = 
13.8 kV no gerador.
Figura 4.1.1
Solução - Curto circuito transitório significa que os parâmetros das máquinas síncronas se 
referem a X' e as tensões internas a E'. O diagrama monofásico de impedâncias 
equivalente do sistema é:
Figura 4.1.2
A corrente elétrica do circuito da figura 4.1.2 é:
puj
jjj
i 2677,0
7351,00,10,2
0,1 −=
++
=
O modelo trifásico de distribuição de correntes do sistema está mostrado na figura abaixo, 
onde a soma das correntes no ponto de curto circuito é zero:
11
∆ Y
a
CC trifásico
70km
X
L
=0,5Ω/km
10MVA
X=10%
13,8kV/69kV
13,8kV
15MVA ≈
j1,0 j0,7351
j2,0
= 1,0∠0°
i
a = -j0,2677
i
b = -j0,2677∠ 240°
i
c = -j0,2677∠ 120°
i
t = 0,0
Curto circuito
Figura 4.1.3
Para calcular a corrente de curto circuito em Ampères é necessário conhecer a corrente de 
base do sistema no ponto de curto circuito.
8367,0)693/(100 =×=BI kA
Portanto a corrente em Ampères no ponto de curto circuito é:
2240,08367,02677,0 =×−= ji kA
Exemplo 4.2 (sistema com carga) - Calcular a corrente de curto circuito do diagrama 
unifilar. Adotar potência de base = 100 MVA e tensão de base de 13,8 kV no gerador. A 
tensão na barra de carga é 0,9 pu com um defasamento angular de -5°.
Fig. 4.2.0
Solução - O diagrama de impedâncias equivalente do sistema antes do curto circuito é:
12
j1,0 j0,7351
j2,0
'
gv
= 0,9∠-5°
≈
∆ Y
a
s = (8+j4)MVA
70km
X
L
=0,5Ω/km
10MVA
X=10%
13,8kV/69kV
13,8kV
15MVA
v = 0,9∠-5°
Curto circuito
Fig. 4.2.1
Conhecendo a potência e a tensão a corrente que circula no sistema antes da ocorrência 
do curto circuito pode ser dada por:
s v i= × *
( )
°−∠
+=
59,0
04,008,0* ji
°−∠= 56,3109938,0i
Considerando ,gv como a tensão atrás da reatância do gerador, então:
3,12117,144,583712,059,0, ∠=°∠+°−∠=gv
Considerando a ocorrência de um curto circuito trifásico na barra de carga a corrente pode 
ser determinada através do diagrama abaixo:
Fig. 4.2.2
No circuito da figura 4.2.2, a carga não contribui com corrente pois tensão na carga é 
zero. A tensão ,gv atrás da reatância do gerador se mantém constante durante o curto 
circuito.
°−∠=°∠== 7,77299,0
7351,3
3,12117,1
7351,3
,
jj
v
i gcc
Potência de curto circuito é definida como o produto do módulo da corrente de curto 
circuito em pu pela potência de base adotada. A potência de curto circuito é então:
ccBcc ISS ×=
13
j1,0 j0,7351
j2,0
'
gv
cciacz arg
Curto circuito
Portanto, no caso do exemplo MVAScc 9,29= .
5 - Teorema da superposição
O teorema da superposição facilita o cálculo de curto circuito principalmente quando se 
trata de sistemas de grande porte com elevado número de barras. Mesmo em sistemas 
com poucas barras, quando se considera o efeito das cargas, a aplicação do teorema da 
superposição é conveniente. Utilizando o teorema da superposição, a simulação do curto 
circuito se faz através de dois diagramas, sendo um a situação antes da ocorrência do 
curto circuito e o outro o diagrama correspondente ao curto circuito.
Para aplicar o teorema da superposição na solução de curto circuito trifásico, suponha o 
sistema da figura 5.0 com duas fontes geradoras e que a tensão no ponto A antes da 
ocorrência do curto circuito trifásico seja Av .
Fig. 5.0
Durante a ocorrência do curto circuito trifásico na barra A a tensão naquele ponto é zero. 
A tensão de valor zero pode ser simulada através de duas fontes de tensão em série, sendo 
uma com valor Av e a outra com valor de Av− , conforme mostra a figura 5.1.
Fig. 5.1
O circuito da figura 5.1, de acordo com o teorema da superposição, pode ser simulado 
pela soma de dois outros circuitos, tais como os circuitos mostrados nas figuras 5.2 e 5.3.
14
A
A
Av
Av−
A
Av
Curto circuito
Fig. 5.2
Sabendo que a tensão antes da ocorrência do curto circuito no ponto A é Av , então a fonte 
de tensão no ponto de curto circuito na figura 5.2 pode ser desconsiderada sem afetar o 
comportamento do circuito. Isto quer dizer que o circuito da figura 5.2 é equivalente à 
situação do sistema existente antes da ocorrência do curto circuito.
Fig. 5.3
O cálculo do curto circuito mostrado na figura 5.0 pode ser executado através dos 
cálculos das correntes dos circuitos das figuras 5.2 e 5.4. A soma das correntes dos 
circuitos das figuras 5.2 e 5.4 eqüivale as correntes de curto circuito do circuito da figura 
5.0. 
Nos casos em que não existem correntes no sistema antes do curto circuito, a avaliação do 
curto circuito pode ser feita considerando unicamente o circuito correspondente ao da 
figura 5.3.
Exemplo 5.1 - Resolver o exemplo 5.2 utilizando o teorema da superposição.
Solução - O circuito eqüivalente ao sistema do exemplo 5.2, durante a ocorrência do curto 
circuito trifásico está mostrado na figura abaixo.
Fig. 5.1.0
15
A
Av−
j1,0 j0,7351
j2,0
'
gv
cciacz arg
Curto circuito
De acordo com o teorema da superposição o circuito da figura 5.1.0 pode ser simulado 
através da soma de dois outros circuitos conforme mostrado abaixo, onde cv corresponde 
a tensão existente na carga antes da ocorrência do curto circuito.
Fig. 5.1.1
A tensão na carga antes da ocorrência do curto circuito é 0.9∠-5°, portanto a corrente que 
circula no sistema antes da ocorrência do curto circuito cai pode ser determinada como: 
°−∠=
°∠
−== 56,3109938,0
59,0
08,004,0
*
* j
v
sica
A corrente que circula no sistema, cdi , devido a fonte de tensão negativa na carga pode 
ser dada por:
( ) °−∠=
++
°−∠−−= 0,95241,0
7351,00,10,2
59,0
jjj
icd
A figura 5.1.2 mostra o circuito com as respectivas correntes.
Fig. 5.1.2
A corrente que circula no sistema durante o curto circuito é a soma da corrente que 
circula antes da ocorrência do curto circuito mais a corrente que circula no sistema devido 
a fonte de tensão negativa:
16
j1,0 j0,7351
j2,0
cA vv =
acz arg
j1,0 j0,7351
j2,0
cv−
acz arg
cA vv =
cv−cai cdi
Curto circuito
7,77299,00,95241,056,3109938,0 −∠=°−∠+°−∠=+= cdcacc iii
A corrente de curto circuito que circula no gerador é o mesmo valor que cci enquanto que 
a corrente que circula na carga durante o curto circuito é zero, conforme pode ser 
demonstrado através dos circuitos da figura 5.1.2.
Exemplo 5.2 - Calcular a corrente de curto circuito trifásico na barra 1 do sistema da 
figura e também a corrente que atravessa o disjuntor A. O sistema os 2 motores síncronos 
conectados à barra 1. A potência de curto circuito do sistema é de 9,6 MVA em 480 V. A 
tensão de operação na barra 1 é de 440 V. Adotar um potência de base de 2 MVA e 480 V 
na barra supridora. Utilizar o teorema da superposição.
Fig. 5.2.0
Solução - De acordo com os dados do exercício, o sistema está em vazio antes do curto 
circuito. A tensão de operação na barra 1, antes da ocorrência do curto circuito é de 440V 
ou 0,917pu. A figura 5.2.1 mostra o circuito monofásico eqüivalente do sistema 
utilizando o teorema da superposição.
Fig. 5.2.1
A corrente fornecida pela única fonte de tensão, adotando como positiva a corrente saindo 
do nó 1, é dada por:
06,7
408,0
917,0
80,0
917,0
25,0
917,0 j
jjj
icc −=++= pu
17
≈
≈
Sistemaj0,023Ω
2,0MVA
480V
X = 0,80pu
2,0MVA
480V
X = 0,25pu
A
1
2
A j0,200
j0,250j0,800 j0,208v = -0,917
1 2
Curto circuito
A corrente de -j7,06 pu fornecida pela fonte de tensão é a própria corrente de curto 
circuito na barra 1.
A corrente que atravessa o disjuntor A é justamente a contribuição dosistema para a 
corrente de curto circuito na barra 1 que é dada por:
25,2
408,0
917,0 j
j
is −== pu
Exemplo 5.3 - Calcular a corrente que atravessa o disjuntor A devido a um curto circuito 
trifásico indicado na figura. Adotar uma base de potência de 100 MVA e 13,8 kV no 
gerador. Utilizar o teorema da superposição.
Fig. 5.3.0
Solução - O diagrama de impedâncias do sistema, utilizando o teorema da superposição, 
está mostrado na figura abaixo.
18
≈
50MVA
X = 10%
13,8kV/138kV
≈
50MVA
X = 10%
13,8kV/138kV
100MVA
X = 5%
138kV/230kV
100MVA
X = 5%
138kV/230kV
≈
100MVA
X = 10%
230kV/13,8kV
100MVA
13,8kV
%
50MVA
13,8kV
%
50MVA
13,8kV
%
A
A j0,05
j0,60j0,60
j0,10
v = -1,00
j0,20
j0,20
j0,30
j0,05
Curto circuito
Fig. 5.3.2
De acordo com a figura 5.3.2 a corrente total de curto circuito pode ser determinada 
como:
85,4
425,0
0,1
80,0
0,1
80,0
0,1 j
jjj
icc −=++=
A contribuição do lado direito, para a corrente de curto circuito é dada por 
34,2425,0/1 jj −= que por sua vez é dividida por dois ao atravessar os dois 
transformadores.
Figura 5.3.3
Desta forma, conforme mostra a figura, a contribuição que atravessa o disjuntor A é dada 
por:
68,3)17,1(85,4 jjjiA −=−−−= pu
A corrente de base no disjuntor A é:
kA
kV
MVAI B 418,01383
100
=
×
=
Portanto o módulo da corrente em kA que atravessa o disjuntor A é 54,1=Ai .
19
A
-j1,17
-j4,85
-j2,34
-j1,17
Curto circuito
Exemplo 5.4 - No sistema da figura, o motor consome 20 MW com fator de potência 
igual a 0,80 em avanço, a uma tensão de 12,8 kV, antes da ocorrência de um curto 
circuito trifásico em seus terminais. O motor e o gerador tem uma potência de 30 MVA, 
tensão nominal de 13,2 kV e Xd'' = 0,20 pu. Calcular as correntes que circulam no gerador 
e no motor durante o curto circuito. Adotar uma potência de base de 30 MVA e uma 
tensão de base de 13,2 kV no gerador. Resolver o problema utilizando o método clássico 
e utilizando o teorema da superposição.
Figura 5.4.0
Solução (A)- A figura 5.4.1 mostra o diagrama de impedâncias do sistema.
Fig. 5.4.1
A tensão nos terminais do motor antes da ocorrência do curto circuito é:
Fm VpukVV === 970,08,12
A potência que o motor consome antes da ocorrência do curto circuito é:
*9,36833,0 mmm ivs =°−∠=
Portanto a corrente que chega no motor, ou que circula do gerador para o motor é dada 
por:
 9,36859,0)970,0/9,36833,0( * ∠=−∠=gmi
Conhecendo a corrente, pode-se então determinar a tensão atrás da reatância do motor:
°−∠=−=°∠×−= 28,7082,1137,0076,19,36859,020,0970,0" jjvm
De forma semelhante, a tensão atrás da reatância do gerador é:
20
≈ ≈
X=10%Gerador Motor
j0,20
j0,10
j0,20
"
mv
"
gv
gmi
Curto circuito
°∠=+=°∠×+= 2,14841,0206,0815,09,36859,030,0970,0" jjvg
Conhecendo as tensões do gerador e motor, as correspondentes contribuições para o curto 
circuito podem ser determinadas como:
°−∠=°∠= 8,7580,2
30,0
2,14841,0"
j
ig
°−∠=°−∠= 3,9741,5
20,0
28,7082,1"
j
im
A figura 5.4.2 mostra as contribuições de corrente do gerador e do motor.
Fig. 5.4.2
Conhecendo os valores das contribuições, a corrente total de curto circuito é:
08,8"" jiii mgcc −=+=
Solução (B) - Aplicação do teorema da superposição. A figura 5.4.3 mostra o diagrama de 
impedâncias aplicando o teorema da superposição.
Fig. 5.4.3
21
j0,20
j0,10
j0,20
"
mv
"
gv
"
gi "mi
j0,20
j0,10
j0,20 cci
-0,970
Curto circuito
De acordo com a figura 5.4.3 a corrente total de curto circuito é:
08,820,0/)970,0(30,0/)970,0( jjjicc −=−−−−=
As contribuições do gerador e do motor podem ser encontradas somando a corrente da 
figura 5.4.1 com as correntes da figura 5.4.3, assim:
 8,7580,230,0/970,09,36859,0 −∠=+∠= jicg
 3,9741,520,0/970,09,36859,0 −∠=−∠= jicm
Exemplo 5.5 - No sistema da figura, um gerador de 625kVA supre três motores. Calcular 
as correntes que atravessam os disjuntores A e B durante um curto circuito trifásico 
conforme indicado na figura. Desprezar os efeitos das correntes de carga antes da 
ocorrência do curto circuito. Os três motores são idênticos, de 250hp, cada um, com 
rendimento de 90% e fator de potência unitário. Tanto o gerador quanto os motores 
Adotar uma potência de base de 0,625 MVA e uma tensão de base de 2,4 kV no gerador.
Fig. 5.5.0
Solução - Adotando para o sistema uma potência de base de 0,625MVA e uma tensão de 
base de 2,4KV, a reatância subtransitória em pu do gerador permance 0,08.
A potência elétrica de cada um dos motores é:
2079,0/)7457,0250( =×=S kW → 2070,1/207 == kVA
A reatância subtransitória de cada um dos motores na base do sistema é:
604,0)625,0/4,2/()207,0/4,2(20,0 22" =×=dX
22
≈
≈
≈
≈
A
B
625kVA
2,4kV
pu
250hp
2,4kV
pu
Curto circuito
A figura 5.5.1 mostra o diagrama de impedâncias do sistema empregando o teorema da 
superposição.
Fig. 5.5.1
A figura 5.5.2 mostra o percurso da corrente que atravessa o disjuntor A durante o curto 
circuito.
Fig. 5.5.2
Seguindo o percurso mostrado na figura 5.5.2, o valor da corrente que atravessa o 
disjuntor A é:
5,12080,0/0,1 jjiA −==
O valor da corrente total de curto circuito é a soma das contribuições do gerador mais as 
dos três motores, assim:
5,17)604,0/0,1(3080,0/0,1 jjjicc −=×+=
A figura 5.5.3 mostra o percurso da única contribuição que não atravessa o disjuntor B.
23
j0,604 j0,604 j0,604j0,080 -1,0
mi
B
Ai
A
Curto circuito
Fig. 5.5.3
De acordo com o percurso mostrado na figura 5.5.3, o valor da única contribuição que 
não atravessa o disjuntor B é:
66,1604,0/0,1 jjim −==
A corrente que atravessa o disjuntor B é a corrente de curto circuito total a menos da 
contribuição de um dos motores, portanto:
8,15)66,1(5,17 jjjiB −=−−−=
6 - Curto circuito trifásico em termos matriciais
O cálculo de curto circuitos em termos matriciais normalmente utiliza o teorema da 
superposição. A aplicação do teorema da superposição facilita a modelagem do sistema. 
A equação básica para a solução dos problemas de curto circuito é:
[ ] [ ] [ ]nónónó ivy = 6.0
As equações serão deduzidas para um sistema radial de 4 barras, entretanto as equações 
podem ser generalizadas para sistemas de grande porte com qualquer configuração. A 
figura abaixo mostra o diagrama de admitâncias de um sistema radial de 5 barras, 
considerando na barra 1 uma fonte geradora.
Fig. 6.0
Supondo a ocorrência de um curto circuito trifásico na barra 4, então 0,04 =v . As 
correntes de curto circuito podem ser determinadas pela superposição de dois circuitos. 
Um dos circuitos representa o sistema antes da ocorrência do curto circuito e o outro é o 
circuito com a fonte eqüivalente mostrado na figura 6.1, onde fv é a tensão no ponto de 
falta antes da ocorrência do curto circuito.
24
321 4
5
Curto circuito
Fig. 6.1
A equação matricial do diagrama do circuito da figura 6.1 está mostrada abaixo.














=












×












−
−−
−−
−
fiv
v
v
v
yy
yyy
yyy
yy
0
0
0
00
0
0
00
4
3
2
1
4443
343332
232221
1211
6.1
O valor das tensões da equação 6.1 podem ser determinadas como:
[ ] [ ] [ ]iyv 1−= 6.2
A inversa da matriz de admitância é denominada como matriz Z de nó ou barra. A matriz 
Z de barra é uma matriz cheia, dessa forma a equação 6.2 pode ser escrita como:


























=












fizzzz
zzzz
zzzz
zzzz
v
v
v
v
0
0
0
44434241
34333231
24232221
14131211
4
3
2
1
6.3
Da última linha da equação 6.3, tem-se que:
fizv 444 = 6.4
Portanto, sabendo que fvv −=4 , a corrente de falta é:
44/ zvi ff −= 6.5
Conhecendo o valor da corrente de falta, as tensões podem ser determinadas pela equação 
6.3. As tensões são necessárias quando se procura determinar a distribuição das correntes 
no sistema.
25
321 4
fv−
Curto circuito
Nos casos em que as correntes de carga são valores representativos, o resultadofinal das 
correntes é a soma dos valores antes da ocorrência do curto circuito mais os valores das 
correntes obtidas com a fonte equivalente no ponto de falta.
Exemplo 6.0 - Determinar a corrente e a potência de curto circuito trifásico na barra 4 no 
sistema da figura abaixo. Determinar também a corrente que flui da barra 1 para a barra 4 
durante o curto circuito. O sistema encontra-se em vazio antes da ocorrência do cc 3∅. 
Os transformadores são idênticos e do tipo autotransformadores de 345kV/230kV, 
225MVA e com reatância de dispersão de 5%, cada um. As linhas de transmissão em 
230kV tem idênticos parâmetros por kilômetro, o mesmo ocorrendo para as linhas de 
345kV. Adotar uma potência de base de 100 MVA e uma tensão de base de 230 kV na 
barra geradora.
Fig. 6.0.0
Solução - O diagrama de admitâncias do sistema utilizando o teorema da superposição 
para o cálculo de curto circuitos está mostrado na figura 6.0.1.
26
∼
∼
X
L
=0,45Ω/km
X
L
=0,50Ω/km
60km
200km
220km
3
2
1
5
4
650MVA
230kV
%
345kV
GVA
-j5,34
-j5,34
-j11,9
-j11,9
-j45,0
-j45,0
-j45,0
-j45,0
-j19,6
-j19,6
-j50,0
-j21,7
-1,0
3 2
1 4
5
Curto circuito
Fig.6.0.1
A equação matricial do circuito da figura 6.0.1 é:
















=
















×
















−
−
−
−
−
0
0
0
0
8,1130,908,2300
0,907,1000068,10
8,2308,1630,900
000,902,1292,39
068,1002,396,71
5
4
3
2
1
cci
v
v
v
v
v
j
A inversa da matriz de admitância nodal é:
[ ]
















=
0439,00407,00141,00139,00137,0
0407,00479,00136,00139,00148,0
0141,00136,00158,00139,00969,0
0139,00139,00139,00219,00139,0
0137,00148,00097,00139,00238,0
nóy
O valor de v4 é conhecido e igual a -1,0, portanto o valor de cci , na direção da referência 
para a barra 4, pode ser dado por:
pujjzvicc 9,200479,0/0,1/ 444 =−==
Sabendo que SB é 100 MVA, então a potência de curto circuito correspondente é de 2,09 
GVA.
A contribuição de corrente da barra 1 e 5 durante o curto circuito pode ser determinada 
desde que se conheça os valores de tensão correspondentes a figura 6.0.1. Conhecendo-se 
o valor de cci , os valores das tensões são:
















−
−
−
−
−
=
































=
















851,0
000,1
284,0
291,0
309,0
0
9,20
0
0
0
0439,00407,00141,00139,00137,0
0407,00479,00136,00139,00148,0
0141,00136,00158,00139,00969,0
0139,00139,00139,00219,00139,0
0137,00148,00097,00139,00238,0
5
4
3
2
1
j
v
v
v
v
v
27
Curto circuito
Conhecendo-se os valores das tensões das barras 1 e 5, o correspondente valor da corrente 
pode ser determinado como:
( ) ( ) 38,768,104114 jjvvi −=−×−=
EXERCÍCIOS
Exercício 1 - Determine o valor das correntes que fluem nos transformadores durante a 
ocorrência de um curto circuito trifásico na barra 2. Antes da falta o motor consome 
4MVA, com fator de potência de 0,92 em atraso, com uma tensão de 6,6kV. (Prova ASP 
19set96).
Exercício 2 - Determine a corrente em kA que flui da barra 2 para a barra 4 durante a 
ocorrência de um curto circuito trifásico na barra 3. A reatância série das linhas de 
transmissão é de 0,5Ω/km.(Prova ASP 19set96)
28
≈
∆ Y
a
motor
150km
X
L
 = 0,5Ω/km
50MVA
X= 7%
13,8kV/138kV
13,2kV
50MVA
%
gerador ∆ Y
a
5 MVA
X = 6%
138kV/6,9kV
≈
6,9kV
5 MVA
%
1 2 3 4
≈ 20km200km
200km
100MVA
X = 6%
13,8kV/230kV
≈
150MVA
X = 5%
230kV/13,8kV
100MVA
13,8kV
%
150MVA
13,8kV
%
2
1
3
4
5
Curto circuito
Exercício 3 - Suponha que o gerador, com uma tensão de 7,2kV, fornece (10+j2)MVA ao 
sistema no momento da ocorrência de uma falta trifásica na barra F. Determine a 
corrente, em Ampères, que atravessa o disjuntor D durante o curto circuito. (Prova ASP 
03out97).
Exercício 4 - Conhecendo a matriz Zbarra do sistema da figura, determine a corrente que 
atravessa o disjuntor A durante a ocorrência de um curto circuito trifásico próximo a barra 
4, conforme indicado. (Prova ASP em 26set98)
[ ]
















=
1770,00794,00689,00756,00852,0
0794,03668,00617,01468,00972,0
0689,00617,00933,00732,00445,0
0756,01468,00732,01928,00780,0
0852,00972,00445,00780,01258,0
jZbarra
Exercício 5 - Uma instalação industrial tem 3 circuitos abastecidos pelo sistema através 
de um transformador de 45 kVA, 13,8 kV / 0,38 kV e X = 7,2%. Os circuitos A e B tem 
uma carga de 20 kVA cada um, com cosϕ = 0,80 (atrasado). O circuito C está em vazio. 
A potência de curto circuito do sistema é de 5 MVA na tensão de 13,8 kV, e a tensão de 
operação do sistema é de 13,2 kV. Determine a corrente no disjuntor C durante a 
29
31
24
5
G
G
≈
∆ Y
a
gerador
50km
R = 0,24Ω/km
X
L
 = 0,5Ω25MVA
X = 6%
138kV/66kV
138kV
MVA
sistema ∆ Y
a
18 MVA
X = 6%
66kV/6,6kV
≈
6,9kV
18 MVA
%
F
D
Curto circuito
ocorrência de um curto circuito trifásico, conforme mostra a figura. (Prova ASP em 
28set98)
Exercício 6 - A tensão da barra 3 é 132kV e sua carga é suprida pelos geradores 
síncronos das barras 1 e 2. As linhas de transmissão tem reatância indutiva de 0,5 
ohms/km. A carga na barra 3 é de 40 MW com fator de potência de 0,92 em atraso. 
Determine a corrente que flui da barra 2 para a 3 durante a ocorrência de um curto 
circuito trifásico na barra 3. Considere que antes do curto circuito o fluxo de potência 
ativa e reativa entre as barras 1 e 2 é nulo. (Prova ASP em 27mar99).
Exercício 7 - Considere apenas a ocorrências de curto circuitos trifásicos, que os 
comandos de abertura dos disjuntores são sensíveis apenas a correntes e que não é 
possível temporizar os comandos dos disjuntores. Considere a tensão de operação na 
barra de carga, antes da ocorrência de curto circuitos como 13,2 kV. Determine qual a 
menor corrente necessária para acionar o comando de abertura do disjuntor A e a menor 
corrente para acionar o disjuntor B. Discuta e comente o problema. (Prova ASP 02out99).
30
A
B
C 100m
R = 5,0 Ω/km
X = 0,5 Ω/km
sistema
138kV
X'
d
=25%
50 MVA
138kV
X'
d
=25%
50 MVA 70 km
100 km
30 km
1 2
3
~
2km
R=1,0Ω/km
X
L
=0,5Ω/km
P = 2 MW
fp = 0,90(atrasado)A
B
34,5kV/13,8kV
5 MVA
X = 8%Scc = 30MVA
34,5kV
Curto circuito
Exercício 8 - Determine a corrente, em kA, que atravessa o disjuntor A durante a 
ocorrência de um curto circuito trifásico no ponto P. O sistema gerador e o sistema 
suprido são representados como máquinas síncronas operando nas tensões nominais. 
Represente também o efeito capacitivo da linha de transmissão e para simplificar o 
problema considere a linha de transmissão representada apenas por um módulo π. (Prova 
ASP 02out99).
Exercício 9 - (Prova ASP 21out00) No sistema da figura determine a corrente em 
Ampères que atravessa o disjuntor D durante uma falta trifásica no ponto F. Utilize como 
base 100 MVA e 13,8 kV em um dos geradores.
fim
31
~ 700 km
R=0,15 Ω/km
X
L 
= 0,5 Ω/km
X
C
 =270 kΩ×km
13,8 kV
X = 10 %
25 MVA
A
P
230kV/138kV
100 MVA
X = 5 %
S
cc
 = 1,0 GVA
230kV
~
138kV/13,8kV
25 MVA
X = 6 %
~
230kV/138kV
100MVA
X = 4%
13,8 kV
50 MVA
 = 25 %D
idem13,8kV/230kV
100 MVA
X = 10 % 138kV/13,8kV
50 MVA
X = 9 %
~
~
F
13,8 kV
100 MVA
 = 27 %
idemidem