Unidade 02 (Aluno)Diagrama de Blocos, Mason e Espaço de Estados

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Análise Dinâmica de 
Sistemas Mecânicos e 
Controle
Prof. Thiago da Silva Castro
thiago.castro@ifsudestemg.edu.br
Unidade 2 – Representação de sistemas Através 
de Diagramas e Espaço de Estados
1. Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos
2. Representação via Diagrama de Fluxo de Sinal
3. Modelagem no Domínio do Tempo - Espaço de Estados
4. Lista de Exercícios
Sumário
2
 Um sistema de controle pode ter vários componentes.
 Para mostrar as funções que são executadas em cada um desses componentes utiliza-
se uma metodologia chamada Diagrama de Blocos.
 Verificando os modelos para sistemas complexos, pode-se notar que eles são
resultantes de subsistemas ou elementos, cada qual com sua função de transferência.
 Os diagramas em blocos podem ser usados para representar cada um destes
subsistemas, e o arranjo agrupado e conectado, num sistema como um todo.
3
1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos
 O Diagrama de blocos de um sistema é a representação das funções
desempenhadas por cada um desses componentes, e o fluxo de sinais entre eles.
 Os diagramas descrevem o inter-relacionamento que existe entre esses componentes
 A operação funcional de um sistema pode ser melhor visualizada utilizando um
diagrama de blocos do que o próprio sistema físico.
 Fácil construção de todo o sistema pela interligação dos blocos componentes, de
acordo com o fluxo de sinais, e permite-se avaliar a contribuição de cada componente
para o desempenho global.
4
1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos
 O diagrama em blocos contém vários itens na sua representação. 
São estes:
1. Seta
 É usada para representar o sentido do fluxo de sinal. 
 Normalmente o sentido de um bloco segue o sentido da esquerda para a 
direita, onde as entradas estão a esquerda e as saídas a direita. 
 Em alguns casos, realimentações, ou envio de informações para outro 
ponto do sistema pode-se enviar o sinal em sentidos diferentes.
2. Bloco Funcional
 Um símbolo de operação matemática sobre o sinal de entrada do bloco 
que produz a saída. 
 Normalmente representado por uma função de transferência no domínio 
de Laplace
 O sinal passa no sentido das setas.
 Pode ter uma ou mais entradas.
 Pode ter uma ou mais saídas.
1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos
5
Y(s)U(s)
𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 . 𝐻(𝑠)
3. Ponto de soma, somador ou detector de erro.
 O círculo com uma cruz é o símbolo que indica uma operação de soma. 
 O sinal mais ou menos determina se o sinal deve ser adicionado ou 
subtraído.
 Deve se certificar que os valores somados devem estar na mesma 
unidade de medida, ou dimensão.
 Pode-se representar também através de um bloco funcional de soma.
4. Ponto de junção
 É um ponto a partir do qual o sinal proveniente de um bloco vai para 
outros blocos ou pontos de soma. 
 A informação é replicada nas várias junções, ou seja, o sinal dividido 
apresentará uma cópia do sinal original.
 A informação entra em um ponto de junção e é replicada para as outras 
ramificações.
1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos
6
U(s)
R(s)
Y(s)
Ponto de Junção
U1(s)
U2(s)
Y(s)
1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos
7
Y(s)U(s)
1. Planta
 Modelo matemático de um elemento, ou de um sistema como um todo.
 Normalmente um sistema a ser controlado.
2. Realimentação, ou Retroalimentação.
 Ação do sinal de saída sobre um sinal de referência ou um sinal de entrada
 Positiva (+) ou Negativa (-)
3. Sistema de Malha Aberta
 A saída não interfere no sinal de entrada
 Não pode realizar compensações para quaisquer perturbações que sejam adicionadas ao 
sinal de acionamento do controlador
 Não efetuam correções por causa das perturbações e são comandados simplesmente pela 
entrada.
 Normalmente não Realimentado
1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos
8
3. Sistema de Malha Fechada
 Sinal de saída comparado com um sinal de referência, dando origem a um sinal de 
comando.
 Apresentam realimentação de estados.
 A resposta é insensível a distúrbios externos e variações dos parâmetros.
1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos
9
r – sinal de referência e – sinal de comando ou de erro y – sinal de saída
SMA
 Sistemas Estáveis em Geral.
 Não apresenta problemas com estabilidade.
 Mais simples de se construir.
 Necessário se conhecer o comportamento da 
entrada.
 Facilmente afetados por distúrbios.
 Necessário regulagem periódica.
SMF
 Controle preciso (mesmo com componentes 
baratos)
 Robustos com distúrbios ou variações na 
entrada.
 Problemas com estabilidade
 Mais complexos (mais componentes)
1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos
10
 Pode-se construir um diagrama de blocos a partir de um conjunto de equações. Os 
passos para a construção de um DB são os seguintes:
1. Escrever as equações do sistema no domínio de Laplace
2. Desenhar um DB para cada equação
3. Unir os diagramas obtidos.
 Dado o circuito abaixo, construí o respectivo DB
1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos
11
Entrada Saída
1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos
12
1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos
13
 Exercícios:
Entrada
Saída
Saída
Saída Entrada
Entrada
 Um diagrama de blocos mais complexo, com um número maior de laços pode ser simplificado ou 
reorganizado pela combinação de dois ou mais blocos em um só. 
 Isto será feito sob regras que não alterem a dinâmica do sistema original. 
 A medida que o diagrama vai sendo simplificado, o número de blocos funcionais vai diminuindo e a 
complexidade das funções de transferência vai aumentando devido ao aparecimento de novos pólos e zeros. 
REGRAS PARA REDUÇÃO DE UM DIAGRAMA DE BLOCOS 
1. Alteração da ordem das parcelas, redução de somadores ou desmembramento: 
1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos
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2. Blocos em Cascata
3. Blocos em Paralelo
4. Mover um bloco para depois do somador
1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos
15
5. Mover um bloco para antes de um somador
6. Mover um bloco para antes de um ponto de junção
7. Mover um bloco para depois do ponto de junção
1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos
16
8. Forma Canônica de um sistema de realimentação
Definindo
 G(S) função de transferência de canal ou ramo direto.
 H(S) função de transferência de realimentação.
 G(S).H(S) função de transferência de malha aberta – FTMA.
 Definindo: 
𝐵 𝑠
𝐸 𝑠
= 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠
Chegamos a:
𝐹 𝑠 =
𝐶 𝑠
𝑅 𝑠
=
𝐺 𝑠
1 ∓ 𝐺 𝑠 𝐻 𝑠
1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos
17
Função Transferência de Malha Aberta
Função Transferência de Malha Fechada
 Propriedade
Todo diagrama de blocos de um sistema monovariável pode ser reduzido a um único bloco 
funcional.
 Exemplo: 
 Reduzir o DB abaixo a um único bloco funcional e determinar a função de transferência do 
sistema
1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos
18
 As regras para redução de diagrama de blocos podem ser também, em alguns casos, 
aplicadas em sistemas multivariáveis para simplificar o diagrama original. 
 Em um sistema multivariável lidamos com matrizes de transferência e, portanto não é 
possível reduzir o DB a um único bloco funcional.
 Exemplo: Dado o DB abaixo, determine a matriz de transferência:
1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos
19
 Exemplo: Dado o DB abaixo, determine a matriz de transferência:
1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos
20
 O diagrama de blocos de um sistema é um tipo de modelo matemáticoamplamente
usado no estudo dos sistemas de controle.
 Entretanto quando lidamos com sistemas com vários laços ou seja muitas
interconexões, a aplicação das regras para simplificação do diagrama pode acabar se
transformando em um trabalho complexo.
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2) Representação via Diagrama de Fluxo de Sinais
 Uma forma alternativa para se lidar com diagramas de blocos mais complexos é usar o
denominado diagrama de fluxo de sinal – DFS.
 Este tipo de diagrama é mais simples e mais adequado a operação computacional
(fórmula de Mason), que permite determinar a função de transferência de um sistema
sem usar as regras de redução de DB já vistas.
 Um Diagrama de fluxo de Sinal – DFS, é então um DB simplificado e é basicamente
constituído por:
 NÓ
 É a representação gráfica de uma variável ou sinal.
 RAMO
 É a representação gráfica de uma operação, às vezes denominada de transmitância. O ramo
liga dois nós e é orientado. A transmitância corresponde à função de transferência de um bloco
funcional.
22
2) Representação via Diagrama de Fluxo de Sinais
1. Caminho ou percurso
É uma trajetória constituída por ramos e
percorrida no sentido indicado pelas
setas.
2. Nó de Entrada
É aquele que só possui ramos de saída.
3. Nó de Saída
É aquele que só possui ramos de
chegada.
4. Nó Misto
É aquele que possui ramos de entrada e
ramos de saída
5. Caminho Direto
É uma trajetória que liga um nó de
entrada a um nó de saída e não cruza
nenhum nó mais de uma vez
2) Representação via Diagrama de Fluxo de Sinais
23
6. Ganho de um caminho
É o produto da transmitâncias ao longo do
mesmo.
7. Laço
É um caminho que termina no mesmo nó
que começou e não cruza nenhum nó
mais de uma vez
8. Laços que não se tocam
São laços que não possuem nós em
comum
2) Representação via Diagrama de Fluxo de Sinais
24
 Caminhos: 1-2-3; 3-4-5-6
 Nó de entrada: 1
 Nó de saída: 7 e 8
 Nó misto: 2, 3 4 5 6.
 Caminho direto: 1-2-3-4-5-6-7, 1-2-3-8 e 
1-2-6-7
 Laço 1: 2-3-2
 Laço 2: 4-5-4
 Laço 3: 2-3-4-5-2
 Laços que não se tocam: 1 e 2 
 A fórmula de ganho de Mason tem como objetivo calcular a função de transferência, F(S) ,
entre um nó de entrada e um nó de saída em um diagrama de fluxo de sinal. Sendo assim,
para sistemas multivariáveis, será aplicada m x r vezes onde m o número de entradas e r
o de saídas.
2) Representação via Diagrama de Fluxo de Sinais
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1. Considere um nó de entrada e um de saída. Identifique os caminhos diretos e calcule os
respectivos ganhos.
2. Identifique os laços do diagrama e calcule os respectivos ganhos;
3. Calcule
4. Calcule D.
5. Para cada caminho direto, calcule os respectivos cofatores
6. Calcule F(S) para o nós de entrada e saída considerados:
7. Se o sistema for multivariável determine as demais funções de transferência e escreva a
matriz de transferência G(S) .
NOTA : Os itens 2, 3 e 4 são calculados uma única vez se o sistema for multivariável.
2) Representação via Diagrama de Fluxo de Sinais
26
 𝐿𝑎 , 𝐿𝑏𝐿𝑐 , 𝐿𝑑𝐿𝑒𝐿𝑓 , …
 Para construir um diagrama de fluxo de sinal a partir de um diagrama de blocos observe
que :
1. Entrada e a saída de um bloco funcional transformam-se em nós;
2. Bloco funcional transforma-se em um ramo;
3. Somadores e pontos de junção transformam-se em nós mistos
 Exemplo
2) Representação via Diagrama de Fluxo de Sinais
27
 Exemplo 1
2) Representação via Diagrama de Fluxo de Sinais
28
 Exemplo 2
2) Representação via Diagrama de Fluxo de Sinais
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 Exemplo 3 – Sistema multivariável
2) Representação via Diagrama de Fluxo de Sinais
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 Exemplo 3 – Sistema multivariável (cont)
2) Representação via Diagrama de Fluxo de Sinais
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 Exemplo 3 – Sistema multivariável (final)
2) Representação via Diagrama de Fluxo de Sinais
32
 Exemplo 3 – Sistema multivariável (final)
2) Representação via Diagrama de Fluxo de Sinais
33
 Duas abordagens estão disponíveis para análise e o projeto de sistemas de controle 
com realimentação.
1. Abordagem clássica: Técnica no domínio da frequência
 Conversão das equações diferencias em funções de transferência
 Representação algébrica
 Simplificação de subsistemas individuais
 Rápida análise de estabilidade e resposta transitória
 Limitação: aplicada a apenas sistemas lineares ou invariantes no tempo. 
2. Abordagem moderna: técnica de análise no domínio do tempo.
 Representação de sistemas não lineares.
 Representação de sistemas variantes no tempo
 Sistemas mutivariáveis
 Análise numérica dos resultados
 Além das análises permitidas pela abordagem clássica.
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1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos
A representação no Espaço de Estados consiste em um modelo matemático de um 
sistema físico composto de um conjunto de variáveis de entrada, de saída e de estado 
relacionadas entre si por meio de equações diferenciais de primeira ordem. 
Para abstrair-se do número de entradas, saídas e estados, as variáveis são expressas em 
vetores e as equações diferenciais e algébricas são escritas na forma matricial (esta 
forma é possível somente quando o sistema dinâmico é linear e invariante no tempo).
Adotando as seguintes abordagens:
 Será escolhido um subconjunto particular de todas as possíveis variáveis do sistema e 
chamamos esse conjunto de variáveis de estado
 Para um sistema de ordem n, escreve-se n equações diferenciais simultâneas de 
primeira ordem em função das variáveis de estado.
 Para resolver as equações diferenciais de forma simultânea é necessário conhecer a 
condição de todas as variáveis de estado em t0
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3) Espaço de Estados
 Considere o circuito ao lado:
 Entrada: F(t) 
 Saída: y(t)
 Desenvolvendo
 Isolando a derivada de mais alta ordem.
 Considerando agora as seguintes variáveis auxiliares:
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3) Espaço de Estados
𝐹 𝑡 = 𝑀
𝑑𝑦2
𝑑𝑡2
+ 𝐷
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝐾𝑦 𝐹 𝑡 = 𝑀 𝑦 + 𝐷 𝑦 + 𝐾𝑦
𝑥1 = 𝑦 𝑥1 = 𝑦 𝑥2 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 𝑥2 =
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
 𝑥1 = 𝑥2
 𝑦 = −
𝐾
𝑀
𝑦 −
𝐷
𝑀
 𝑦 +
1
𝑀
𝐹 𝑡
y(t)
 Substituindo
 A equação fica:
 Escrevendo na forma de matriz:
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3) Espaço de Estados
𝑥2 =
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 𝑥2 =
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
 𝑦 = −
𝐾
𝑀
𝑦 −
𝐷
𝑀
 𝑦 +
1
𝑀
𝐹 𝑡
𝑥1 = 𝑦
 𝑥2 = −
𝐾
𝑀
𝑥1 −
𝐷
𝑀
𝑥2 +
1
𝑀
𝐹 𝑡 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥1 = 𝑥2
 𝑥1
 𝑥2
=
0 1
−
𝐾
𝑀
−
𝐷
𝑀
𝑥1
𝑥2
+
0
1
𝑀
𝐹(𝑡)
𝑦 = 1 0
𝑥1
𝑥2
Solução das equações “auxiliares” Solução para o deslocamento y do bloco
Definição:
 ESTADO: 
 Conjunto mínimo de informações que se deve ter a respeito do sistema em um instante 0 t para 
que juntamente com o conhecimento da excitação a partir deste instante, seja possível 
determinar a resposta em um instante t > t0.
 O conhecimento do estado do sistema é então mais abrangente que o simples conhecimento 
da saída.
 EQUAÇÕES DINÂMICAS:
 Equações que descrevem unicamente as relações entre entrada, estado e saída são 
denominadas equações dinâmicas. Essas equações representam todas as idéias
desenvolvidas no conceito de estado. 
 Para o caso de sistemas lineares invariantes no tempo, as equações dinâmicas serão da forma:
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3) Espaço de Estados
 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢
𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢
𝑥 0 = 𝑥0
(1a)
(1b)
 Definições:
1. A equação 1a é chamada de equação de estado
2. A equação 1b é chamada de equação de saída
3. Vetor de estados
 𝑥 𝑡 =
𝑥1 𝑡
𝑥2 𝑡
⋮
𝑥𝑛 𝑡
4. Vetor de entradas
 u 𝑡 =
𝑢1 𝑡
𝑢2 𝑡
⋮
𝑢𝑚 𝑡
5. Vetor de saídas
 𝑦 𝑡 =
𝑦1 𝑡
𝑦2 𝑡
⋮
𝑦𝑟 𝑡
6. 𝐴𝑛×𝑛: matriz de evolução do sistema
7. 𝐵𝑛×𝑚: matrizde entrada
8. 𝐶𝑟×𝑛:matriz de saída
9. 𝐷𝑟×𝑚:matriz de transmissão direta
10. Ao conjunto de todos os estados que podem caracterizar um 
sistema denominamos de ESPAÇO DE ESTADOS
11. O Espaço de Estados é um espaço vetorial.
3) Espaço de Estados
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 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢
𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢
𝑥 0 = 𝑥0
(1a)
(1b)
 Considere agora o circuito ao lado:
 Entrada: e(t) 
 Saída: i(t)
 Desenvolvendo
(I) onde (II) 
 Isolando a derivada
 Aplicando as variáveis estado em I e II
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3) Espaço de Estados
𝑒 𝑡 = 𝑅𝑖 + 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑒𝑐 𝑖 𝑡 = 𝐶
𝑑𝑒𝑐
𝑑𝑡
𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
= 𝑒 𝑡 − 𝑅𝑖 − 𝑒𝑐 𝑥1 = 𝑖 𝑡
𝑥2 = 𝑒𝑐 𝑡
 𝑥1 =
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 𝑥2 =
𝑒𝑐
𝑑𝑡
Variáveis de estado
𝑦 = 𝑖(𝑡)
Saída
 𝑥1 =
1
𝐿
𝑒 𝑡 −
𝑅
𝐿
𝑥1 −
1
𝐿
𝑥2
 𝑥2 =
1
𝐶
𝑥1
 𝑥1
 𝑥2
=
−
𝑅
𝐿
−
1
𝐿
1
𝐶
0
𝑥1
𝑥2
+
1
𝐿
0
𝑒(𝑡)
𝑦 = 0 1
𝑥1
𝑥2
Matricialmente
 Considere agora o mesmo circuito.
 Entrada: e(t) 
 Saída: i(t)
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3) Espaço de Estados
 Desenvolvendo e isolando, escolhendo outras variáveis de estado
 Tem-se também:
 Substituindo
De (i) De (ii) De (ii) e (iii)
𝑒 𝑡 = 𝑒𝑅 + 𝐿
𝑑𝑖
𝑑𝑡
+ 𝑒𝑐 𝑖 𝑡 = 𝐶
𝑑𝑒𝑐
𝑑𝑡
𝑥1 = 𝑒𝑅 𝑡
𝑥2 = 𝑒𝑐 𝑡
 𝑥1 =
𝑑𝑒𝑅
𝑑𝑡
 𝑥2 =
𝑒𝑐
𝑑𝑡
𝑖 𝑡 =
𝑒𝑅
𝑅
𝑑𝑖 𝑡
𝑑𝑡
=
1
𝑅
𝑑𝑒𝑅
𝑑𝑡
𝑑𝑖 𝑡
𝑑𝑡
=
1
𝑅
 𝑥1
(i)
(ii)
𝑒 𝑡 = 𝑥1 +
𝐿
𝑅
 𝑥1 + 𝑥2 𝑦 =
1
𝑅
𝑥1
(iii)
𝐶 𝑥2 =
1
𝑅
𝑥1
 𝑥1
 𝑥2
=
−
𝑅
𝐿
−
𝑅
𝐿
1
𝑅𝐶
0
𝑥1
𝑥2
+
𝑅
𝐿
0
𝑒(𝑡)
𝑦 =
1
𝑅
0
𝑥1
𝑥2
Matricialmente
Conclusões e Discussões:
 Existem várias, (infinitas), possíveis escolhas de variáveis de estado para representar 
um sistema.
 Uma representação no espaço de estado consiste nas equações diferenciais de primeira 
ordem simultâneas a partir das quais pode ser obtida as soluções para equações de 
estado.
 Equação geral apresenta no espaço de estados
42
3) Espaço de Estados
 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢
𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢
𝑥 0 = 𝑥0
(1a)
(1b)
 É uma maneira de representar as equações que descrevem o comportamento de um 
sistema através de diagrama de blocos.
 Composto basicamente por
a) Integrador Ideal
b) Amplificador Ideal
c) Somador Ideal
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3) Espaço de Estados
 Princípio básico para obter o diagram de simulação:
 Isolar e integrar sucessivamente a derivada de mais alta ordem da saída
 Exemplo 1: Construir o diagrama de simulação para a função:
44
3) Espaço de Estados
𝑑2𝑦
𝑑𝑡2
+ 𝑎.
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑏. 𝑦 𝑡 = 𝑢(𝑡)
 Exemplo 2: Construir o diagrama de simulação para a expressão no espaço de 
estados:
45
3) Espaço de Estados
 𝑥 =
1 1
2 −1
+
1
2
𝑢
𝑦 = 2 −3 + 2 𝑢
 Sistemas multivariáveis. Exemplo
46
3) Espaço de Estados
 𝑦1 + 3 𝑦1 + 2𝑦2 = 𝑢1 + 𝑢1
 𝑦2 + 𝑦1 + 𝑦2 = 𝑢2
 Mostrar a representação no espaço de estados para:
47
3) Espaço de Estados
 𝑦1 + 𝑦2 = 𝑢1 + 𝑢2
 𝑦2 + 𝑦2 − 𝑦1 = 𝑢1 + 𝑢2
 Considere o seguinte sistema:
 Pela transformada de Laplace tem-se que:
 Logo
 Por substituição
48
3) Espaço de Estados
 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢
𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢
𝑥 0 = 𝑥0
(1a)
(1b)
𝑠𝑋 𝑠 − 𝑥 0 = 𝐴𝑋(𝑠) + 𝐵𝑈(𝑠)
𝑌(𝑠) = 𝐶𝑋(𝑠) + 𝐷𝑈(𝑠)
Se o sistema é relaxado, x0 = 0;
𝑠𝐼 − 𝐴 𝑋 𝑠 = 𝐵. 𝑈(𝑠) 𝑋 𝑠 = 𝑠𝐼 − 𝐴 −1𝐵.𝑈 𝑠
𝑌(𝑠) = 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1𝐵.𝑈 𝑠 + 𝐷𝑈(𝑠) 𝑌 𝑠 = 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1𝐵 + 𝐷 .𝑈(𝑠)
 Logo, o sistema descrito no espaço de estados
tem sua resposta no domínio da frequência conforme
equação abaixo:
 A matriz de transferência é a relação entre a saída e entrada de um sistema. Dessa 
forma
49
3) Espaço de Estados
 𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢
𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢
𝑥 0 = 𝑥0
(1a)
(1b)
𝑌 𝑠 = 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1𝐵 + 𝐷 .𝑈(𝑠)
𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 𝑈 𝑠 𝐺 𝑠 = 𝑠𝐼 − 𝐴 −1𝐵 + 𝐷
 Exemplo: Determinar a matriz de transferência do seguinte sistema:
50
3) Espaço de Estados
 𝑥 =
−1 0
1 −2
+
1 0
1 1
𝑢
𝑦 = 1 −1 + 1 1 𝑢
 Exercícios 1: Dado o circuito ao lado, encontre:
 Representação no espaço de estados. 
 Diagrama de Simulação.
 Com auxílio do simulink, plote o gráfico de e0 quando a 
entrada for:
a) 𝑒𝑖 𝑡 = 10. 𝑈0 𝑡 𝑚𝑉
b) 𝑒𝑖 𝑡 = 180 cos 2. 𝜋. 60. 𝑡 𝑉
c) 𝑒𝑖 𝑡 = 10 cos 1000. 𝑡 𝑉
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3) Espaço de Estados
 Exercícios 2: Dado o sistema mecânico ao lado, 
encontre:
 Representação no espaço de estados. 
 Diagrama de Simulação.
 Com auxílio do simulink, plote o gráfico de q(t) quando a 
entrada for:
a) 𝑓 𝑡 = 0,5. 𝑈0 𝑡 𝑁
b) 𝑓 𝑡 = cos 2. 𝜋. 𝑡 𝑉
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3) Espaço de Estados
 Nesse capítulo serão tratados de ferramental algébrico que irão auxiliar a resolução de 
problemas matriciais e operações lineares.
 A modelagem utilizando espaço de estados simplifica os problemas uma vez que reduz 
a grau das equações diferenciais.
 Por se modelar na forma matricial, existem formas diferentes de representação, algumas 
explicitando os pólos, e outras explicitando o polinômio característico. 
 Como a modelagem é linear, será mostrado que a transformação linear sobre uma 
modelagem no espaço de estados poderá permitir analises diretas na matriz de estados, 
envolvendo estabilidade, envolvendo controlabilidade do sistema.
 Quaisquer dúvidas poderão ser acompanhadas em bibliografia própria de álgebra linear.
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1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos
 Sejam X e Y conjuntos arbitrários, onde “x” e “y” são elementos desse conjunto. É 
possível associar cada elemento de A em B dessa forma:
 T é chamado de função de transformação de A em B, uma regra que associa esses dois 
subespaços.
 Transformação linear é uma função de transformação sobre um corpo F de tal forma 
que:
54
1) Representação de Sistemas via Diagrama de Blocos
𝑇 𝛼. 𝑥1+𝛽. 𝑥1 = 𝛼. 𝑇 𝑥1 + 𝛽. 𝑇(𝑥2)
Livro NISE:
Diagrama de Blocos
 Capitulo 5: 
Diagrama de Fluxo de Sinal
 Capítulo 5:
Espaço de Estados
 Capítulo 3: