Análise Combinatória

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Análise Combinatória 
Questão 1/10 - Análise Combinatória 
Assinale a alternativa que apresenta o número exato de anagramas da palavra PRÁTICO 
que iniciam com R e terminam com I. 
Nota: 10.0 
 
A 24 
 
B 60 
 
C 120 
Você acertou! 
Uma vez fixadas as letras R e I, devemos permutar as 5 letras restantes: P, A, T, C, O. Logo, teremos 
 5!=1205!=120 anagramas que iniciam com a letra R e terminam com a letra I. 
 
D 360 
 
E 720 
 
Questão 2/10 - Análise Combinatória 
Os 45 funcionários de uma empresa multinacional falam inglês ou espanhol. Sabe-se que 
40 funcionários sabem falar inglês e 25 sabem falar inglês e espanhol. Escolhendo-se 
aleatoriamente um funcionário, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando 
falsa. 
 
I. ( ) A probabilidade do funcionário escolhido falar inglês e espanhol é 15.15. 
II. ( ) A probabilidade do funcionário escolhido falar inglês e não falar espanhol 13.13. 
III. ( ) A probabilidade do funcionário escolhido falar espanhol e não falar inglês é 1919. 
 
Agora, marque a sequência correta: 
 
Nota: 10.0 
 
A V, V, V 
 
B V, F, V 
 
C V, V, F 
 
D V, F, F 
 
E F, V, V 
Você acertou! 
Dos 45 funcionários, 25 destes falam inglês e espanhol. Assim, a probabilidade do funcionário escolhido 
falar os dois idiomas é 2545=59.2545=59. Logo, a afirmativa I é falsa. Ao todo, 40−25=1540−25 
=15 funcionários falam inglês e não falam espanhol. Logo, a probabilidade do funcionário escolhido 
falar inglês e não falar espanhol é 1545=131545=13. Com isso, a afirmativa II é verdadeira. Notamos 
 que 45−40=545−40=5 funcionários sabem falar espanhol e não sabem falar inglês. Daí, a 
 probabilidade do funcionário escolhido falar espanhol e não falar inglês é 545=19545=19 e a 
 afirmativa III é verdadeira. 
 
Questão 3/10 - Análise Combinatória 
Em um grupo formado por 10 professores, dos quais figuram Denise, Eduardo, Otto e 
Zaudir, considera-se comissões formadas por 5 professores. Com base nisso, coloque 
V quando a afirmativa for verdadeira e F quando falsa. 
 
I. ( ) Ao todo, é possível formar 252 comissões. 
 
II. ( ) Sem a presença do professor Otto, é possível formar exatamente 126 comissões. 
 
III. ( ) Ao todo, é possível formar 70 comissões com a presença do professor Eduardo e 
sem a presença do professor Zaudir. 
 
Agora, marque a sequência correta: 
 
Nota: 10.0 
 
A V – V – V 
Você acertou! 
O número de modos de escolher 5 professores num grupo formado por 10 é C10,5=10!5!(10−5)!= 
252.C10,5=10!5!(10−5)!=252. Com isso, a afirmativa I é verdadeira. Sem a presença do professor 
Otto, devemos escolher 5 professores num total de 9. Isso pode ser feito de C9,5=126C9,5=126 
maneiras e a afirmativa II é verdadeira. Como Eduardo estará na comissão e Zaudir não, restam oito 
pessoas para 4 vagas, ou seja, C8,4=8!4!(8−4)!=70C8,4=8!4!(8−4)!=70 comissões possíveis. 
Portanto, a afirmativa III é verdadeira. 
 
B V – F – V 
 
C V – V – F 
 
D V – F – F 
 
E F – V – V 
 
Questão 4/10 - Análise Combinatória 
Em uma urna há 72 bolas idênticas, mas com cores diferentes. Há bolas brancas, 
vermelhas e pretas. Ao sortearmos uma bola da urna, a probabilidade dela ser branca 
é 1414 e a probabilidade dela ser vermelha é 1313. Com base nisso, analise as 
afirmativas: 
 
I. O número de bolas brancas é 18. 
 
II. O número de bolas vermelhas é 22. 
 
III. A probabilidade de sorteamos uma bola preta é 512512. 
 
São corretas as afirmativas: 
Nota: 10.0 
 
A I, apenas. 
 
B I e II, apenas. 
 
C I e III, apenas. 
Você acertou! 
Como a probabilidade de sortearmos uma bola branca é 1414 num universo de 72 bolas, concluímos 
que o número de bolas brancas na urna é 72×14=1872×14=18. Com isso, a afirmativa I é correta. 
 Com o mesmo raciocínio, o número de bolas vermelhas é 72×13=2472×13=24. Daí, a afirmativa 
II é incorreta. Notamos que o número de bolas pretas é 72−18−24=3072−18−24=30. Desse modo, 
 a probabilidade de retirarmos uma bola preta é 3072=5123072=512, a qual garante que a 
afirmativa III é correta. 
 
D II, apenas. 
 
E II e III, apenas. 
 
Questão 5/10 - Análise Combinatória 
Eduardo tem cinco camisas: uma preta de mangas curtas, uma preta de mangas longas, 
uma azul, uma cinza e uma branca, e quatro calças: uma preta, uma azul, uma verde e 
uma marrom. Assinale a alternativa que apresenta o número de maneiras que ele pode se 
vestir com uma camisa e uma calça de cores diferentes. 
Nota: 10.0 
 
A 12 
 
B 15 
 
C 17 
Você acertou! 
Eduardo tem 5 possibilidades de escolha de camisas e 4 de calças. Assim, sem levar em conta as cores, 
existem 5×4=205×4=20 modos de se vestir. Destes, devemos descontar os casos em que se repetem 
as cores de calça e camisa, que são apenas 3: camisa preta de mangas curtas com calça preta, camisa 
preta de mangas longas com calça preta e camisa azul com calça azul. Logo, teremos 20−3=1720−3 
=17 maneiras de Eduardo vestir uma camisa e uma calça de cores diferentes. 
 
D 18 
 
E 20 
 
Questão 6/10 - Análise Combinatória 
Considere o triângulo de Pascal parcialmente apresentado abaixo: 
 
1a linha:12a linha:113a linha:1214a linha:13311a linha:12a linha:113a linha:1214a linha:1
331 
 
Com base nesse triângulo, coloque V quando a afirmativa for verdadeira e F quando 
falsa. 
 
I. ( ) A terceira linha do triângulo de Pascal contém os números binomiais com n=2n=2, 
isto é, (20),(21)(20),(21) e (22).(22). 
 
II. ( ) A quinta linha do triângulo de Pascal é formada pelos números 1, 4, 6, 4 e 1, 
dispostos da esquerda para a direita, nessa ordem. 
 
III. ( ) Os coeficientes que aparecem no desenvolvimento do binômio (x+a)5(x+a)5 com 
a∈R,a≠0a∈R,a≠0 são 1, 5 e 10. 
 
Agora, marque a sequência correta: 
 
Nota: 10.0 
 
A V – V – V 
Você acertou! 
A terceira linha do triângulo de Pascal é formada pelos números (20)=1,(21)=2(20)=1,(21)=2 e 
 (22)=1.(22)=1. Logo, a afirmativa I é verdadeira. A 5ª linha é formada pelos números 
binomiais: (40)=1,(41)=4,(42)=6,(43)=4(40)=1,(41)=4,(42)=6,(43)=4 e (44)=1.(44)=1. 
 Assim, a afirmativa II é verdadeira. Notamos também que a 6ª linha do triângulo de Pascal contém os 
coeficientes do desenvolvimento de (x+a)5(x+a)5. Calculando os números binomiais com n=6n=6, 
 encontramos os coeficientes: 1, 5 e 10. Portanto, a afirmativa III é verdadeira. 
 
B V – F – V 
 
C V – V – F 
 
D V – F – F 
 
E F – V – V 
 
Questão 7/10 - Análise Combinatória 
Assinale a alternativa que apresenta o coeficiente de x2x2 no desenvolvimento do 
binômio (3x+2)3.(3x+2)3. 
Nota: 0.0 
 
A 18 
 
B 27 
 
C 36 
 
D 54 
O termo geral do desenvolvimento do binômio (3x+2)3(3x+2)3 é dado por Tp+1=(3p)2p(3x)3−p= 
(3p)2p33−px3−p.Tp+1=(3p)2p(3x)3−p=(3p)2p33−px3−p. Como estamos interessados no 
coeficiente de x2x2, devemos impor que 3−p=23−p=2, isto é, p=1p=1. Portanto, este coeficiente 
 vale (31)2⋅32=54.(31)2⋅32=54. 
 
 
 
E 63 
 
Questão 8/10 - Análise Combinatória 
Considere AA o conjunto formado por todos os números naturais de 3 algarismos, isto é, 
A={100,101,…,999}A={100,101,…,999}. Com base neste conjunto, analise as 
afirmativas: 
 
I. Há 1000 números no conjunto AA. 
 
II. O conjunto AA possui exatamente 648 números com os três algarismos distintos. 
 
III. O conjunto AA possui exatamente 450 números pares. 
 
São corretas as afirmativas: 
Nota: 10.0 
 
A I, apenas. 
 
B I e II, apenas. 
 
C I e III, apenas. 
 
D II, apenas. 
 
E II e III, apenas. 
Você acertou! 
No conjunto AA, temos 900 números. Isso porque o algarismo da centena não permite o algarismo0. 
 Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem, temos 9×10×10=9009×10×10=900 números e 
 a afirmativa I é incorreta. Para a afirmativa II, existem 9 modos de escolhermos o algarismo da centena 
(o algarismo 0 não é permitido), 9 modos de escolhermos o algarismo da dezena (não podemos utilizar 
 o algarismo usado na centena) e para a unidade existem 8 modos. Pelo Princípio Fundamental da 
Contagem, temos 9×9×8=6489×9×8=648 números com os três algarismos distintos. Com isso, a 
afirmativa II é correta. Passamos para a afirmativa III: existem 5 modos de escolhermos o algarismo 
da unidade: 0, 2, 4, 6 e 8. Já para a centena, temos 9 modos (o algarismo 0 não é permitido) e para a 
dezena há 10 modos. Logo, teremos 9×10×5=4509×10×5=450 números pares em AA e a 
 afirmativa III é correta. 
 
Questão 9/10 - Análise Combinatória 
O jogo da Mega-Sena contém 60 números (cada um chamado de dezena), que são 
01,02,03,...,59,60.01,02,03,...,59,60. O resultado de um sorteio é composto de 6 dezenas, 
sorteadas entre as 60 dezenas. Com base neste jogo, analise as afirmativas: 
 
I. Ao todo, existem 606606 resultados possíveis. 
 
II. O número de resultados possíveis contendo o número 7 é C59,5C59,5. 
 
III. O número de resultados possíveis formados por 4 números pares e 2 números ímpares 
é C60,4×C60,2C60,4×C60,2. 
 
São corretas as afirmativas: 
Nota: 0.0 
 
A I, apenas. 
 
B I e II, apenas. 
 
C I e III, apenas. 
 
D II, apenas. 
O número de resultados possíveis é dado por C60,6≠606C60,6≠606. Logo, a afirmativa I é incorreta. 
 Para que o número 7 figure em um resultado possível, devemos escolher 5 dezenas num conjunto de 59 
 dezenas. Isso pode ser feito de C59,5C59,5 maneiras. Assim, a afirmativa II é correta. Ao todo, temos 
30 números pares e 30 números ímpares. Com isso, o número de resultados possíveis formados por 4 
números pares e 2 números ímpares é C30,4×C30,2C30,4×C30,2, o que mostra que a afirmativa III é 
 incorreta. 
 
E II e III, apenas. 
 
Questão 10/10 - Análise Combinatória 
Em um grupo de 14 pessoas, existem 5 médicos, 6 advogados e 3 engenheiros. Assinale a 
alternativa que apresenta o número exato de comissões de 7 pessoas que podem ser 
formadas, cada qual constituída de 3 médicos, 2 advogados e 2 engenheiros. 
Nota: 10.0 
 
A 360 
 
B 450 
Você acertou! 
O número total de comissões de 7 pessoas que podem ser formadas considerando 3 médicos, 2 advogados 
e 
 2 engenheiros é dado por C5,3×C6,2×C3,2=10×15×3=450.C5,3×C6,2×C3,2=10×15×3=450. 
 
C 640 
 
D 720 
 
E 810