Complementos de Balística: Lançamento Oblíquo

Prévia do material em texto

Setor Física IV: Aula 17
Complementos de Balística
Nas aulas anteriores estudamos o lançamento oblíquo sem resistência do ar, como 
sendo a composição de um movimento uniforme na direção do eixo X e um movimento 
uniformemente variado na direção Y. Ambos movimentos ocorrem simultaneamente. 
É possível também estudarmos o lançamento oblíquo usando a equação da 
trajetória ou ainda analisarmos o alcance horizontal, sem nos preocuparmos com o 
tempo do movimento. Vamos considerar um corpo lançado obliquamente à partir do 
solo horizontal e que retorna à esse solo em uma trajetória parabólica.
A equação do movimento horizontal é X = vo cosα t  e na direção vertical 
Y = vo senα t + gt2/2. Por outro lado a velocidade vertical do corpo é dada por Vv = 
vosenα ­gt. Vamos então deduzir uma equação que permita conhecer o alcance 
horizontal desse corpo, sem usarmos a variável tempo.
No ponto de altura máxima a velocidade vertical do corpo se anula (Vv = 0) e assim, 
0 = Vosenα ­ gt. Logo o tempo de subida do corpo é Tsub = Vosenα/g. O tempo de subida 
e descida será o dobro desse valor, pois o movimento é simétrico no tempo, assim  Ttotal 
= 2Vosenα/g. Esse intervalo de tempo sendo substituído na equação do eixo X, nos 
permite escrever que o alcance D horizontal será Dhor = (Vo cosα 2 Vo senα)/g, mas  2. 
sen α.cos α = sen2α. Dessa forma Dhor = (Vo2/g) sen(2α). A análise detalhada dessa 
expressão nos permite concluir que para um determinado alcance horizontal existem 
dois ângulos complementares que satisfazem a solução da equação. Por outro lado o 
máximo valor que um seno pode assumir é 1 e assim se sen (2α) = 1, concluímos que 2
α = 90o e assim α = 45o. Isso nos leva à concluir que o alcance máximo ocorre quando o 
corpo é lançado com ângulo de 45o em relação à horizontal e que esse alcance vale Dmax 
= Vo2/g.
Exercícios
   1) Em um terreno horizontal, uma bala é atirada obliquamente e sem resistência do 
ar, com velocidade inicial de 120m/s. A bala cai em um ponto à 720 m do ponto de 
lançamento. 
   a) Quais os ângulos que levam à esse alcance?
   b) Qual o alcance máximo que se obtém com essa bala?
   2) Em um terreno horizontal de um sitio, existe uma piscina de 10 metros de 
comprimento conforme ilustra a figura. Uma arma é colocada no chão a uma 
distância de 70 metros da borda da piscina e dispara uma bala com velocidade inicial 
de 30 m/s, formando um ângulo α c om a horizontal (sen α = 0,6 e cos α = 0,8).Sabe­se 
que o alcance horizontal adquirido pela bala é dado por: 
                                          e       
                                  
   a) Quanto tempo leva para a bala retornar ao nível horizontal e qual a sua altura 
máxima atingida?
   b) A bala cairá dentro da piscina?Justifique com cálculos.
   3) Um menino mora em uma fazenda bastante grande e horizontal. Ele está 
brincando de atirar a partir do solo com a arma de seu pai que dispara balas com 
velocidade inicial de 80m/s.As balas alcançam a distancia de 320(31/2)m. Sabe­se que o 
alcance horizontal é dado por:
                          e                         
   a) Quanto tempo leva para a bala retornar ao solo, no caso em que o ângulo entre a 
velocidade inicial e o solo é o menor entre os dois valores possíveis?
   b) Um amigo desse garoto está sentado no chão, a 600m do local onde os tiros são 
disparados. Ele corre risco de ser atingido por alguma bala disparada pelo garoto? 
Justifique sua resposta com cálculos.
   4) Uma pedra é lançada obliquamente a partir do solo com velocidade inicial de 
80m/s e formando com a horizontal um ângulo α c om a horizontal. A pedra foi 
lançada com o menor ângulo entre os dois possíveis e alcança a distância horizontal de 
320m. A resistência do ar é desprezível e g = 10m/s2.
a) Qual o ângulo α com que a pedra foi lançada?
b) Quanto tempo a pedra levou para chegar de volta ao solo após o lançamento?
    
Dados: 
    1) D = (V02/g ) sen(2α)       
    2) sen(2α)  = 2senα cosα 
    3) Tabela de seno e co­seno
      
    
Ângulo 150 300 450 600 750 900 1500
Seno 0,25 0,50 0,71 0,87 0,97 1,00 0,50
Co­seno 0,97 0,87 0,71 0,50 0,25 0,00 0,87
 
   5) (Pucamp 97)Um projétil é lançado segundo um ângulo de 30° com a horizontal, 
com uma velocidade de 200m/s. Supondo a aceleração da gravidade igual e 10m/s2 e 
desprezando a resistência do ar, o intervalo de tempo entre as passagens do projétil 
pelos pontos de altura 480 m acima do ponto de lançamento, em segundos, é
DADOS:
sen 30° = 0,50
cos 30° = 0,87
a) 2,0  b) 4,0  c) 6,0  d) 8.0  e) 12
  6) (Fuvest 04) Durante um jogo de futebol, um chute forte, a partir do chão, lança a 
bola contra uma parede próxima. Com auxílio de uma câmera digital, foi possível 
reconstituir a trajetória da bola, desde o ponto em que ela atingiu sua altura máxima 
(ponto A) até o ponto em que bateu na parede (ponto B). As posições de A e B estão 
representadas na figura. Após o choque, que é elástico (não há perda de energia 
mecânica), a bola retorna ao chão e o jogo prossegue.
a) Estime o intervalo de tempo t1, em segundos, que a bola levou para ir do ponto A ao 
ponto B.
b) Estime o intervalo de tempo t2 em segundos, durante o qual a bola permaneceu no 
ar, do instante do chute até atingir o chão após o choque.
c) Represente em sistema de eixos, em função do tempo, as velocidades horizontal VX e 
vertical VY da bola em sua trajetória, do instante do chute inicial até o instante em que 
atinge o chão, identificando por VX e VY, respectivamente, cada uma das curvas.
NOTE E ADOTE:
Vy é positivo quando a bola sobe
Vx é positivo quando a bola se move para a direita
7) (Unicamp 04)Uma bola de tênis rebatida numa das extremidades da quadra 
descreve a trajetória representada na figura a seguir, atingindo o chão na outra 
extremidade da quadra. O comprimento da quadra é de 24 m.
a) Calcule o tempo de vôo da bola, antes de atingir o chão. Desconsidere a resistência 
do ar nesse caso.
b) Qual é a velocidade horizontal da bola no caso acima?
c) Quando a bola é rebatida, com efeito, aparece uma força, FE, vertical, de cima para 
baixo e igual a 3 vezes o peso da bola. Qual será a velocidade horizontal da bola, 
rebatida, com efeito, para uma trajetória idêntica à da figura?
8) (UFMG 06) Clarissa chuta, em seqüência, três bolas ­ P, Q e R ­, cujas trajetórias 
estão representadas nesta figura:
Sejam t(P), t(Q) e t(R) os tempos gastos, respectivamente, pelas bolas P, Q e R, desde o 
momento do chute até o instante em que atingem o solo.
Considerando­se essas informações, é CORRETO afirmar que:
a) t(Q) > t(P) = t(R)  b) t(R) > t(Q) = t(P)  c) t(Q) > t(R) > t(P)
d) t(R) > t(Q) > t(P)
Gabarito
1) a) 150 ou 750 b) 1440m  2) a) 3,6s e 16,2m b) não  3) a) 8s b) não  4) a) 150  b) 4s 
5) B  6) a) 0,4s b) 2,0s  7) a) 0,75s b) 32 m/s c) 64 m/s  8) A