princípio da independência dos movimentos

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Princípio da Independência dos Movimentos (Galileu) 
O movimento da bola é um movimento bidimensional, sendo realizado nas direções horizontal (X) e vertical (Y); este movimento é composto de dois tipos movimentos: 
- movimento uniforme na direção horizontal (X) 
-movimento uniformemente variado na direção vertical (Y)
Galileu já sabia disto no século XVI, e baseando-se em fatos experimentais, enunciou o Princípio da Independência dos Movimentos, que diz o seguinte:
"Quando um móvel realiza um movimento composto cada um dos movimentos componentes se realiza como se os demais não existissem."
No nosso caso este princípio se aplica, porque o movimento na direção horizontal se realiza uniformemente, independente do movimento na vertical que é uniformemente variado.
Análise vetorial / Movimento de projéteis
A fig. 4.2 mostra a trajetória da bola de futebol (mostrada na fig. 4.1). Foram traçados os vetores velocidade, V0, V1, V2, V3, V4, V5 e V6, que são tangentes a cada ponto da trajetória. Na figura também está indicado o alcance, A, e a altura máxima da bola, H.
Figura 4.2 - Trajetória de um projétil (a bola de futebol), mostrando os vetores velocidade e suas componentes vetoriais.
Estes vetores velocidade apresentam as componentes, Vx e Vy, para cada posição, nas direções X e Y (fig. 4.2). 
Como na direção X o movimento é uniforme, o valor da componente Vx será constante, ou seja, V1x= V2x = --- = Vnx= Vx.
Na direção Y o movimento é uniformemente variado, portanto cada componente Vy terá um valor. Observe que, vetorialmente, o valor de Vy diminui na subida, anula-se no vértice da parábola (altura máxima) e aumenta na descida.
A bola foi lançada a partir de O (origem), fazendo um ângulo com a horizontal (fig. 4.3). Para determinar as componentes Vx e V0y, sendo conhecidos o ângulo e a velocidade V0, basta projetar o vetor V0 nas duas direções X e Y, obtendo: 
	
	Vx = V0 cos 
	(4.1a)
	
	V0y = V0 sen 
	(4.1b)
	
	V1y= V1sen 1
	(4.1c)
e analogamente determina-se V2y, V3y, ...
O vetor resultante V (fig. 4.3) é dado pela soma dos dois vetores Vx e Vy: 
	
	V = Vx +Vy
	(4.2)
Pode-se determinar o módulo do vetor velocidade, V, para cada posição, sendo conhecidos os módulos das componentes, Vx e Vy (fig. 4.3), obtendo:
	
	V2 = V2x + V2y
	(4.3)
Figura 4.3 - Vetor velocidade V e as componentes Vx e Vy. 
Determinação da aceleração da gravidade
	
	
Figuras 4.4A e 4.4B - Diferença entre os dois vetores velocidade para duas posições sucessivas.
(A) Método do paralelogramo; 
(B) Método da triangulação. 
Considerando os vetores velocidade da fig. 4.2 (trajetória do projétil), V0 e V1, por exemplo, e colocando as origens destes vetores coincidentes (fig. 4.4A) ou colocando a origem do vetor oposto, -V0, coincidente com a extremidade do vetor V1 (fig. 4.4B), obtém-se a diferença entre dois vetores velocidade (V) para duas posições sucessivas. Fazendo o mesmo procedimento para todas as posições, para intervalos de tempo iguais, observa-se que esta diferença de velocidade é constante, para quaisquer duas posições, ou seja, a aceleração é constante: 
	
	a = V/t = constante
	(4.4)
	
	a = - g
	(4.5)
Onde g é a aceleração da gravidade. O sinal para g é considerado negativo porque a trajetória é orientada positiva para cima e o vetor g atua para baixo. 
Observação: Na experiência 4 - Simulação de lançamento de projéteis - o valor da aceleração encontrado não será o da gravidade, mas um valor menor, porque o movimento do PUCK é realizado sobre uma superfície inclinada, havendo as forças de reação da superfície.
Equações / Projéteis 
Até agora você aprendeu a analisar qualitativa e vetorialmente o lançamento de projéteis.
	Que tal você agora aprender a calcular, por exemplo, o valor da velocidade inicial (V0) com que a bola deve ser chutada, sabendo que o ângulo que a bola faz inicialmente com a horizontal é de 45o, para que a bola atinja a linha de gol situada a 80m?
Para isto você tem que aprender as equações do movimento.
Vamos fazer uma análise quantitativa do movimento na horizontal e do movimento na vertical.
Movimento vertical (MUV) / Projéteis
Equação da velocidade / Equação horária
O movimento na vertical, sendo uniformemente variado, são válidas as equações horária e da velocidade do MUV para o lançamento de projéteis, fazendo a = -g nestas equações, obtém-se:
	
	Vy = V0y - gt
	(4.6)
De (4.2b) vimos que:
V0y = V0 sen 
Substituindo em (4.6):
	
	Vy = V0 sen - gt
Equação da velocidade
	(4.7)
A equação horária é obtida de forma análoga, resultando:
	
	y = V0 (sen ) t - (gt2)/2
Equação horária / vertical
	(4.8)
Altura máxima
Qual a altura máxima (H) que a bola atinge?
Quando a bola atinge a altura máxima, a componente vertical da velocidade Vy é nula. Substituindo na equação (4.7), Vy = 0, e resolvendo a equação para t: 
	
	t = (V0 sen )/g
Tempo que a bola leva para atingir a altura máxima
	(4.9)
Substituindo t na equação (8), fazendo as simplificações algébricas e substituindo y = H, obtém-se:
	
	H = (V02 sen2)/2g
Altura máxima
	(4.10)
Movimento horizontal (MU) / Projéteis
Equação horária
O movimento na horizontal, sendo uniforme, a equação horária para o MU é:
x = Vx t 
Sendo Vx = V0 cos (constante no movimento), substituindo na equação acima:
	
	x = V0 (cos )t
Equação horária / Movimento horizontal
	(4.11)
Alcance
Veja que ainda não resolvemos nosso problema, calcular o valor de V0, porque ainda não sabemos o tempo que a bola leva para atingir o solo.
Como a aceleração é constante, o tempo de subida é igual ao tempo de descida, duplicando o valor de t na equação (4.9) obtemos o tempo total para a bola atingir o solo:
	
	ttotal = (2V0 sen )/g
Tempo que o projétil leva para atingir o chão
	(4.12)
Substituindo (4.12) em (4.11), e sabendo que 2 sen cos = sen 2, obtém-se:
	
	A = (V02sen 2)/g
Alcance do projétil
	(4.12)
Aplicação numérica 1
Finalmente podemos calcular a velocidade inicial da bola, para que o jogador faça o gol. Lembre-se de que o ângulo inicial de lançamento é de 45o e a linha de gol está situada a 80m do ponto de lançamento (fig. 4.1).
Dados: A = 80m 
= 45o 
V0 = ?
g = 10,0 m/s2
Considerando a equação (4.13): 
A = (V02 sen 2)/g 
Substituindo os valores e resolvendo a expressão para V0, obtém-se:
	V0 28,2 m/s
Alcance máximo
Você observou que o ângulo de lançamento, 45o, é o ângulo com o qual a bola atingiu alcance máximo? Por quê ?
Quando você substituiu os valores na equação (4.13) obteve sen 2 = 1, que é o valor máximo da função seno; portanto, o ângulo de lançamento, para se obter o alcance máximo, desprezando a resistência do ar, é igual a 45o.
Substituindo na expressão (4.13):
	
	Amáximo = V02/g
Alcance máximo do projétil
	(4.14)
Equação da trajetória
Estamos afirmando desde o início que a trajetória da bola é parabólica (fig. 4.1), mas ainda não provamos. Vamos finalizar a nossa análise quantitativa com esta demonstração.
Considerando a equação horária / horizontal (4.11) :
x = V0 (cos ) t
Resolvendo para t:
t = x /(V0 cos )
Substituindo t na equação horária / vertical (4.8):
y = V0 (sen ) t - (gt2)/2 y = V0 (sen ) x/(V0 cos ) - (gx2)/(2(V0 2 cos2))
Fazendo as simplicações algébricas e sabendo-se que sen /cos = tg , obtém-se:
	
	y = (tg )x - (gx2) /(2 (V0 cos )2)
Equação da trajetória do projétil
	(4.15)
Como (ângulo de lançamento), V0 e g são constantes, esta equação é da forma 
y = bx - cx2,
que é a equação de uma parábola.
Conclusão: 
A trajetória de um projétil é parabólica