Funções seno e cosseno

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COMISSÃO DE VESTIBULANDOS 
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Exercícios de Trigonometria. 
Funções seno e cosseno. 
 
QUESTÃO 1 
Assinale a alternativa que pode representar o 
gráfico de f(x) = sen |x|. 
 
(A) 
 
 
(B) 
 
(C) 
 
(D) 
 
(E) 
 
QUESTÃO 2 
No plano cartesiano, a figura dada pelas equações 
paramétricas x = 2cos t e y = 2sen t em que t ∈ R é: 
 
A uma elipse com excentricidade igual a 
B uma elipse com excentricidade igual a 0,2. 
C uma hipérbole equilátera. 
D uma circunferência que passa pelo ponto . 
E uma circunferência que passa pelo 
ponto . 
QUESTÃO 3 
No sistema de coordenadas cartesianas xOy, cuja 
unidade de medida de comprimento é o centímetro, 
o ponto (x, y) é identificado com o número complexo 
z = x + yi, em que x = Re(z) é a parte real, y = Im(z) 
é a parte imaginária e i é a unidade imaginária. 
Nesse sistema, considere que, em certo instante, 
uma partícula ocupa a posição P = (x, y) e que Q = 
(x', y') seja um ponto do plano, com . 
Considere as matrizes 
, e , que I2 denota a 
matriz identidade de ordem 2, e e são números 
reais com 0 < . Representando os pontos P 
e Q pelas matrizes colunas e 
e tendo por base as informações apresentadas, 
julgue os itens a seguir (certo ou errado). 
 
• O determinante da matriz C é dado pelo polinômio 
do 2º grau . 
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• Para algum valor de , 0 < , a equação 
det C = 0 possui duas raízes reais distintas. 
 
• Se , então a equação det C = 0 possui duas 
raízes complexas conjugadas. 
QUESTÃO 4 
Se arcsenx = , então cos(2 arcsenx) é igual a: 
01) 
02) 
03) 
04) 0 
05) 1 
QUESTÃO 5 
Se x e y são dois ângulos cuja soma é , então o 
determinante da matriz é igual 
a 
 
A) . 
B) . 
C) . 
D) . 
QUESTÃO 6 
Sejam x e y tais que sen x · cos x = e y = senx + 
cosx. Pode-se afirmar que: 
 
a) . 
 
b) ou . 
 
c) . 
 
d) ou . 
 
e) ou . 
QUESTÃO 7 
Um fabricante produz telhas senoidais como a da 
figura a seguir. 
 
 
Para a criação do molde da telha a ser fabricada, é 
necessário fornecer a função cujo gráfico será a 
curva geratriz da telha. A telha padrão produzida 
pelo fabricante possui por curva geratriz o gráfico da 
função y = sen(x) (veja detalhe na figura). 
 
 
 
Um cliente solicitou então a produção de telhas que 
fossem duas vezes “mais sanfonadas” e que 
tivessem o triplo da altura da telha padrão, como na 
seguinte figura. 
 
 
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A curva geratriz dessa nova telha será então o 
gráfico da função 
 
(A) y = 3 sen( x) 
(B) y = 3 sen(2x) 
(C) y = 2 sen( x) 
(D) y = sen( x) 
(E) y = 2 sen(3x) 
QUESTÃO 8 
O conjunto formado por todos os valores de k para 
os quais a equação sen x + cos x = (k − 1) tem 
solução é: 
 
a) [0,2] 
b) [−1,1[ 
c) ]−∞,−1[ 
d) ]2,+∞[ 
e) [1- , 1+ ] 
QUESTÃO 9 
Se , então o valor 
de é: 
 
a) 
b) 
c) 1 
d) 
e) 
QUESTÃO 10 
 
 
O circuito elétrico ilustrado permite modelar a 
descarga elétrica produzida por um peixe elétrico. 
Esse circuito é formado por uma fem , um capacitor 
de capacitância C e uma resistência interna r. A 
parte externa é representada pelo capacitor ligado a 
um resistor de resistência R, o qual representa um 
objeto que eventualmente sofre uma descarga do 
peixe elétrico. Quando a chave A é fechada, o 
capacitor carrega-se, se estiver descarregado. 
Nesse caso, a carga q armazenada no capacitor em 
função do tempo é dada por 
 
. 
 
O capacitor, quando está completamente carregado, 
com a chave A aberta e a chave B fechada, 
descarrega-se. Nesse caso, a carga q armazenada 
no capacitor, em função do tempo, é expressa por 
 
. 
 
 
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Considere que a fem do circuito em questão seja 
dada pela função 
, cujo gráfico é 
ilustrado aqui. Nesse caso, o valor de é 
igual a 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
QUESTÃO 11 
Na figura a seguir, estão representados o ciclo 
trigonométrico e um triângulo isósceles OAB. 
 
 
 
Qual das expressões a seguir corresponde à área 
do triângulo OAB em função do ângulo α? 
 
A) tgα · senα 
B) tgα · cosα 
C) senα · cosα 
D) tgα · senα 
E) tgα · cosα 
QUESTÃO 12 
O gráfico a seguir representa três funções circulares 
I, II e III. 
 
 
 
Sejam as funções , e 
, associando cada uma delas a seu 
respectivo gráfico, obtemos 
 
A) (I) y = –2cosx; (II) y = cosx; (III) y = cosx. 
B) (I) y = cosx; (II) y = cosx; (III) y = –2cosx. 
C) (I) y = cosx; (II) y = –2cosx; (III) y = cosx. 
D) (I) y = –2cosx; (II) y = cosx; (III) y = cosx. 
E) (I) y = cosx; (II) y = –2cosx; (III) y = cosx. 
QUESTÃO 13 
A equação (sen x)
2
 – 5(sen x) + 6 = 0 
 
A) admite mais de duas raízes. 
B) admite exatamente duas raízes. 
C) admite uma única raiz. 
D) não admite raízes. 
QUESTÃO 14 
A, B e C são quadrados congruentes de lado igual a 
1 em um mesmo plano. Na situação inicial, os três 
quadrados estão dispostos de forma que dois 
adjacentes possuem um lado em comum e outro 
sobre a reta r. Na situação final, os quadrados A e C 
permanecem na mesma posição inicial, e o 
quadrado B é reposicionado, conforme indica a 
figura. 
 
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A menor distância da reta r a um vértice do 
quadrado B é 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 15 
Assinale, na coluna I, as afirmativas verdadeiras e, 
na coluna II, as falsas. 
 
 
Analise as proposições e conclua. 
 
I II 
0 0 
Se f(θ) = tg(θ), então f(2θ) = 
1 1 
Se f(x) = arccos(log2x), então f = π 
2 2 A função f(x) = [senx + sen(–x)] é 
ímpar. 
3 3 
 
4 4 A expressão arcsen1 + arccos 1 = 
QUESTÃO 16 
Considere um corpo, preso a uma mola, oscilando 
em torno da sua posição de equilíbrio O, como na 
figura a seguir. 
 
 
 
No instante t, a posição x = x(t) desse corpo, em 
relação à sua posição de equilíbrio, é dada pela 
função , . 
Dessa forma, o gráfico que melhor representa a 
posição x desse corpo, como função do tempo t, em 
relação ao ponto O, é: 
 
 
 
QUESTÃO 17 
Dentre as opções a seguir, a que pode representar 
o gráfico da função definida por f(x) = (senx + cosx)
2
 
+ (senx – cosx)
2
é 
 
(A) 
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(B) 
 
 
(C) 
 
 
(D) 
 
 
(E) 
 
QUESTÃO 18 
Na figura a seguir, tem-se o gráfico da função f(x) = 
sen (x), em que A é ponto máximo no intervalo de 0 
a 2π. 
 
 
 
Se, no mesmo par de eixos, for representada a 
função f(x) = 1 + sen (2x), o ponto máximo 
corresponderá ao ponto 
 
a) P 
b) Q 
c) R 
d) S 
e) T 
QUESTÃO 19 
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No triângulo EYZ, o ângulo α = YÊZ é tal que sen α 
= 0,6. Se I é um ponto do lado EZ (entre E e Z), tal 
que o ângulo YÎZ é igual a 2α e se a medida do 
segmento EI é 50 m, então a medida, em metros, da 
altura do triângulo EYZ relativa ao lado EZ é 
 
A) 42. 
B) 44. 
C) 46. 
D) 48. 
QUESTÃO 20 
O gráfico indica uma senoide, sendo P e Q dois de 
seus interceptos com o eixo x. 
 
 
 
Em tais condições, a distânciaentre P e Q é 
 
(A) 
(B) 
(C) 
(D) 
(E) 
QUESTÃO 21 
O período da função definida por f(x) = 
sen é: 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
e) . 
QUESTÃO 22 
Se f e g são as funções definidas por f(x) = senx e 
g(x) = cosx, podemos afirmar corretamente que a 
expressão log[(f(x) + g(x))
2
 – f(2x)] é igual a 
 
A) f(x).g(x). 
B) 0. 
C) 1. 
D) log(f(x) + 2) + log(g(x) + 2). 
QUESTÃO 23 
Se f, g : IR → IR são funções definidas por f(x) = 2
x
 
e g(x) = senx e se G é a interseção do gráfico de f 
com o gráfico de g, então podemos afirmar 
corretamente que 
 
A) G possui apenas um número finito de pontos. 
B) G possui infinitos pontos e para tais pontos tem-
se, obrigatoriamente, x > 0. 
C) G possui infinitos pontos e para tais pontos tem-
se, obrigatoriamente, x < 0. 
D) G possui infinitos pontos, quando x pertence ao 
intervalo fechado [–2π, 2π ]. 
QUESTÃO 24 
Se f: R→R é a função definida por f(x) = 2
senx
 +1, 
então o produto do maior valor pelo menor valor que 
f assume é igual a 
 
a) 4,5. 
b) 3,0. 
c) 1,5. 
d) 0. 
QUESTÃO 25 
Se p e q são duas soluções da equação 2sen
2
x – 
3sen x + 1 = 0 tais que sen p ≠ sen q, então o valor 
da expressão sen
2
p – cos
2
q é igual a 
 
a) 0. 
b) 0,25. 
c) 0,50. 
d) 1. 
QUESTÃO 26 
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Se x e y são as medidas dos ângulos agudos de um 
triângulo retângulo, então cos
2
 x + cos
2
 y é igual a 
 
A) sen(x+y). 
B) cos(x+y). 
C) senx · cosy. 
D) sen(x+y) · cos(x+y). 
QUESTÃO 27 
Seja f a função definida por . 
Num mesmo sistema de coordenadas, considere os 
pontos , C e D estão 
sobre o gráfico de f, cujas abscissas são, 
respectivamente, e . Unindo-se esses pontos, 
obtém-se o quadrilátero ABCD, cuja área vale: 
 
a) 
b) 
c) 
d) 
QUESTÃO 28 
Seja x real tal que cos x = tan x. O valor de sen x é 
 
a) . 
b) . 
c) . 
d) . 
QUESTÃO 29 
Um caminhão sobe uma ladeira com inclinação de 
15°. A diferença entre a altura final e a altura inicial 
de um ponto determinado do caminhão, depois de 
percorridos 100 m da ladeira, será de, 
aproximadamente, 
 
Dados: 
 
sen
2
 
 
a) 7 m 
b) 26 m 
c) 40 m 
d) 52 m 
e) 67 m 
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QUESTÃO 1 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
(Resolução oficial) 
Para qualquer número real x, | x | = | –x |. Então, f(x) 
= sen | x | = sen | –x | = f (–x). 
Ou seja, o gráfico será simétrico em relação ao eixo 
y. 
Observe que para temos f(x) = sen | x | = sen 
x 
 
 
 
e para temos f(x) = sen | x | = sen (–x) = –
sen x. 
 
 
 
Assim, para f(x) = sen | x |, temos 
 
 
 
QUESTÃO 2 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
(Resolução oficial.) 
 
 
 ,ou seja, 
Portanto as equações representam uma 
circunferência que passa pelo ponto , 
pois . 
 
QUESTÃO 3 
C E E 
 
RESOLUÇÃO: 
• C – 
 
 
• E – 
 
 
Como o discriminante é negativo, as raízes da 
equação não são reais. 
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• E – 
Conforme visto no item anterior, 
 
Se , as duas raízes são reais e iguais. Isto 
é, 
 
QUESTÃO 4 
02 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
 
QUESTÃO 5 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
QUESTÃO 6 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
(Resolução oficial) 
 
Como y = senx + cosx , tem-se que: 
 
y
2
 = (senx + cosx)
2 
y
2
 = sen
2
x + 2senx cosx + cos
2
x 
y
2
 = sen
2
x + cos
2
x + 2senx cosx 
y
2
 = 1 + 2 × = 1 + 
y = 
Pode-se então afirmar que ou 
. 
 
QUESTÃO 7 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
A função y = sen(x) tem período 2π e amplitude 1 
(altura da telha). 
 
De acordo com o gráfico, a nova telha será 
fabricada a partir de uma função de período π e 
amplitude 3. 
O período P de uma função da forma y = sen(r x) é 
dado por , temos . 
Assim, a nova função será y = 3 sen(2x). 
 
QUESTÃO 8 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
sen x + cos x = (k − 1) (sen x + cos x)
2
 = 
[ (k − 1)]
2
 
 sen
2
 x + 2sen x · cos x + cos
2
 x = 2(k
2
 – 2k + 
1) 
 1 + sen 2x = 2k
2
 – 4k + 2 sen 2x = 2k
2
 – 
4k + 1 
 
Dessa forma, como –1 sen 2x 1 –1 
2k
2
 – 4k + 1 1. Resolvendo a inequação, temos: 
 
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Resolvendo a inequação (I): 
 
Associando a função f(x) = k
2
 – 2k + 1 à inequação, 
temos que esta possui raiz dupla igual a 1. 
 
Como essa função possui concavidade voltada para 
cima, temos que a solução da inequação é: 
 
SI = 
Resolvendo a inequação (II): 
 
Associando a função g(x) = k
2
 – 2k à inequação, 
temos que esta possui raízes 0 e 2. 
 
Como essa função possui concavidade voltada para 
cima, a solução da inequação é: 
 
SII = {x | 0 x 2} 
 
Por fim, fazendo a intersecção entre as soluções I e 
II, temos que a solução da equação é [0, 2]. 
 
QUESTÃO 9 
E 
 
RESOLUÇÃO: 
 . 
 
Somando as duas equações acima, temos: 
 
 
Assim, 
 
 
QUESTÃO 10 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
O período da função é 4. O período de qualquer 
função trigonométrica, no entanto, é . Dessa 
forma, conclui-se que o valor de β é . A amplitude 
de uma função seno é 2. Nesse caso, a amplitude é 
8. Conclui-se então que α é 4. Por fim, nota-se que 
a imagem do gráfico deveria ir de –4 a 4, mas está 
indo de –3 a 5. Conclui-se então que está deslocado 
uma unidade para cima, ou seja, = 1. Por fim, o 
produto procurado é . 
 
QUESTÃO 11 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Sendo M o ponto médio de AB, temos que a altura 
(h) OM do triângulo é marcada pelo valor do 
cosseno do ângulo. Por sua vez, o segmento AM é 
metade da base e é marcado pelo valor do seno do 
ângulo. Assim, AB = 2 · AM, ou seja, a base (b) do 
triângulo é o dobro do seno do ângulo. Calculando a 
área do triângulo: 
 
 
 
QUESTÃO 12 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
A função y = cosx tem f(0) = 1, imagem [–1, 1] e 
período 2π, o que corresponde à função III. 
Analogamente, a função y = cosx também 
terá período 2π, mas f(0) será e a imagem será 
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reduzida a , correspondendo assim à 
função II. Por fim, a função y = –2cosx tem f(0) = –2, 
período 2π e imagem [–2, 2], correspondendo à 
função I. Colocando na ordem, temos: 
 
I: y = –2cosx 
II: y = cosx 
III: y = cosx 
 
QUESTÃO 13 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
(sen x)
2
 – 5 (sen x) + 6 = 0 
Δ = (–5)
2
 – 4 × 1 × 6 
Δ = 1 
 
 
Como –1 ≤ sen x ≤ 1, a equação não admite raízes. 
 
QUESTÃO 14 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
A partir da análise da figura, temos que x é a menor 
distância da reta r a um vértice do quadrado B: 
 
 
Sendo assim, calcularemos y e depois x. 
 
 
 
QUESTÃO 15 
GABARITO: 
I. 0, 1, 2, 3, 4 
II. 
RESOLUÇÃO: 
(0) Verdadeira 
De fato, . 
(1) Verdadeira 
 
(2) Verdadeira 
 
A função nula é ímpar. 
 
(3) Verdadeira 
 
 
 
 
(4) Verdadeira 
arcsen1 + arccos1 = 
 
QUESTÃO 16 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
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Sabe-se que: 
 
 
Portanto, o gráfico que melhor representa a situação 
é aquele apresentado na alternativa B. 
 
QUESTÃO 17 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Desenvolvendo a expressão,temos: 
 
f(x) = sen
2
x + 2senxcosx + cos
2
x + sen
2
x – 
2senxcosx + cos
2
x = sen
2
x + cos
2
x + sen
2
x + 
cos
2
x = 1 + 1 = 2. 
 
Logo, a função é constante. 
 
QUESTÃO 18 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Ao multiplicar x por 2, o período fica reduzido pela 
metade, ou seja, passa de 2π para π. 
Assim, o ponto máximo que era dado em será 
dado agora em (na linha dos pontos S e P). 
No entanto, como foi somado 1 à função, ela será 
deslocada 1 unidade para cima, atingindo o ponto 
máximo não em S (ordenada 1), mas em P 
(ordenada 1 + 1 = 2). 
 
QUESTÃO 19 
D 
 
RESOLUÇÃO: 
Se , utilizando a relação 
fundamental da trigonometria, encontra-se: 
 
Na figura a seguir, x é a medida da altura procurada: 
 
Como o ângulo YÎZ é externo ao triângulo EYZ, o 
ângulo E Z mede α, o que garante que o triângulo 
EYZ é isósceles, e a medida do segmento YI é 50. 
 
No triângulo EHI, tem-se: 
 
 
 
Portanto, 
 
 
No triângulo YHI: 
 
 
Logo, no triângulo EYZ, a altura referente ao lado 
EZ mede 48 metros. 
 
QUESTÃO 20 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
Analisando o gráfico, temos que a função senoide 
será representada por 
. 
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Logo, 
Então, ou , 
com 
A partir das soluções indicadas no gráfico, podemos 
determinar os valores dos pontos P e Q. 
Ponto P: . 
Ponto Q: 
Portanto, 
 
QUESTÃO 21 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Para qualquer função do tipo sen (ax + b), o período 
é dado por p = . No caso de f(x) = 
sen , a = 3. Portanto, P = . 
 
 
QUESTÃO 22 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
QUESTÃO 23 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
A função f(x) é sempre positiva e diferente de zero. 
A função g(x) intercepta o gráfico de f(x) quando x < 
0, conforme mostra a figura: 
 
 
 
QUESTÃO 24 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Os valores mínimo e máximo para sen x, 
independente do valor de x são, respectivamente, –
1 e 1. 
Assim, o valor mínimo de f(x) é f(–1) = 2
1
 + 1 = 0,5 + 
1 = 1,5 e o valor máximo de f(x) é f(1) = 2
–1
 + 1 = 2 
+ 1 = 3. 
O produto desses valores será 3 · 1,5 = 4,5. 
 
QUESTÃO 25 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
A expressão buscada é: sen
2
p – cos
2
q. 
Como a equação envolve apenas os valores de 
seno, vamos substituir cos
2
q por (1 – sen
2
q). 
Então a expressão passa a ser sen
2
p – (1 – sen
2
q) 
= sen
2
p – 1 + sen
2
q. 
 
Pela equação fornecida, temos que a soma das 
duas soluções da equação quadrática dá = 1,5 e o 
produto dá = 0,5. 
Dessa forma podemos escrever o seguinte: 
sen p + sen q = 1,5 
sen p · sen q = 0,5 
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Então podemos concluir que: 
 
(sen p + sen q)
2
 = 1,5
2
 = 2,25 
 sen
2
p + 2 · sen p · sen q + sen
2
q = 2,25 
 sen
2
p + 2 · 0,5 + sen
2
q = 2,25 
 sen
2
p + 1 + sen
2
q = 2,25 
 sen
2
p + sen
2
q = 2,25 – 1 = 1,25 
 
Voltando a expressão buscada temos: 
sen
2
p – 1 + sen
2
q = sen
2
p + sen
2
q – 1 = 1,25 – 1 = 
0,25 
 
QUESTÃO 26 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
Como x e y são complementares (x + y = 90°), 
pode-se afirmar que sen x = cos y. Assim, cos
2
x + 
cos
2
y = cos
2
x + sen
2
x = 1 = sen 90° = sen(x + y). 
 
QUESTÃO 27 
A 
 
RESOLUÇÃO: 
O ponto C tem coordenadas . 
O ponto D tem coordenadas . 
Portanto, ABCD é um trapézio, e sua área A é dada 
por: 
 
 
QUESTÃO 28 
C 
 
RESOLUÇÃO: 
 
 
Resolvendo a equação do segundo grau, 
encontramos duas soluções: 
 (não convém, pois –1 < sen x < 1) 
e (convém). 
 
QUESTÃO 29 
B 
 
RESOLUÇÃO: 
Sendo x a altura atingida pelo caminhão após 
percorrer 100 m de ladeira, temos em representação 
gráfica o x como cateto oposto ao ângulo de 15º, em 
que 100 é a medida da hipotenusa de um triângulo 
retângulo. 
Assim, sen (15°) = . 
 
Substituindo 15 por na fórmula dada, temos: 
 
 
Substituindo sen (15°) por , temos: 
 
 
 
 
 
 
	Exercícios de Trigonometria.
	Funções seno e cosseno.
	Questão 1
	Questão 2
	Questão 3
	Questão 4
	Questão 5
	Questão 6
	Questão 7
	Questão 8
	Questão 9
	Questão 10
	Questão 11
	Questão 12
	Questão 13
	Questão 14
	Questão 15
	Questão 16
	Questão 17
	Questão 18
	Questão 19
	Questão 20
	Questão 21
	Questão 22
	Questão 23
	Questão 24
	Questão 25
	Questão 26
	Questão 27
	Questão 28
	Questão 29
	Questão 1
	B
	Resolução:
	Questão 2
	E
	Resolução:
	Questão 3
	C E E
	Resolução:
	Questão 4
	02
	Resolução:
	Questão 5
	A
	Resolução:
	Questão 6
	B
	Resolução:
	Questão 7
	B
	Resolução:
	Questão 8
	A
	Resolução:
	Questão 9
	E
	Resolução:
	Questão 10
	D
	Resolução:
	Questão 11
	C
	Resolução:
	Questão 12
	A
	Resolução:
	Questão 13
	D
	Resolução:
	Questão 14
	C
	Resolução:
	Questão 15
	Gabarito:
	Resolução:
	Questão 16
	B
	Resolução:
	Questão 17
	B
	Resolução:
	Questão 18
	A
	Resolução:
	Questão 19
	D
	Resolução:
	Questão 20
	C
	Resolução:
	Questão 21
	B
	Resolução:
	Questão 22
	B
	Resolução:
	Questão 23
	C
	Resolução:
	Questão 24
	A
	Resolução:
	Questão 25
	B
	Resolução:
	Questão 26
	A
	Resolução:
	Questão 27
	A
	Resolução:
	Questão 28
	C
	Resolução:
	Questão 29
	B
	Resolução: