2012 MatemáticaDiscursivaGabaritoPism1 UFJF

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UFJF – MÓDULO I DO PISM – TRIÊNIO 2012-2014 – GABARITO DA PROVA DE MATEMÁTICA 
PARA O DESENVOLVIMENTO E A RESPOSTA DAS QUESTÕES, SÓ SERÁ ADMITIDO USAR CANETA ESFEROGRÁFICA AZUL OU PRETA 
 
 
1 
 
 
2
a
 
2
a
 
 
 
Questão 1 – Uma empresa promoveu um concurso para que fosse criado o seu logotipo, sendo que o vencedor 
foi o logotipo abaixo. 
 
A seguir, apresentamos um roteiro que descreve a construção do logotipo: 
 
• Construa um quadrado de lado .a 
• Trace segmentos de retas ligando os pontos médios de lados adjacentes deste quadrado. 
• A partir de cada vértice do quadrado original, trace um arco de circunferência (interno a este), com centro 
no mesmo e passando pelos pontos médios dos lados que se interceptam nesse vértice. 
• Construa uma circunferência interna ao quadrado original, com centro na interseção de suas diagonais e 
tangente aos arcos de circunferência construídos na etapa anterior. 
 
Determine: 
 
 
a) a área da região hachurada I. 
 
A Região I é um triângulo retângulo, cujos catetos medem 
2
a
, pois dois vértices desse triângulo são pontos 
médios do quadrado original. Logo a área da Região I é 
 
 
 
2
2
2 2 4
2 2 8I
a a a
aA
×
= = = unidades de área. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
 
Região I 
Região III 
Região II 
UFJF – MÓDULO I DO PISM – TRIÊNIO 2012-2014 – GABARITO DA PROVA DE MATEMÁTICA 
PARA O DESENVOLVIMENTO E A RESPOSTA DAS QUESTÕES, SÓ SERÁ ADMITIDO USAR CANETA ESFEROGRÁFICA AZUL OU PRETA 
 
 
2 
 
 
 
 
b) a área da região hachurada II. 
 
 
A área da Região II pode ser obtida calculando-se 
1
4
 da área do círculo ( )CA de raio 2
aR = e subtraindo da 
área da Região I ( )IA . Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
a
 
 
2
a
 
 
 
1
4II C I
A A A= − ⇒ 
2 21
4 2 8II
a aA pi  = − 
 
 
 
⇒ ( )
2 2 2
2
16 8 16II
a a aA pi pi= − = − unidades de área 
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PARA O DESENVOLVIMENTO E A RESPOSTA DAS QUESTÕES, SÓ SERÁ ADMITIDO USAR CANETA ESFEROGRÁFICA AZUL OU PRETA 
 
 
3 
 
 
 
 
c) a área da região hachurada III. 
 
 
Considere o quadrado de lado 
2
a
 a seguir, obtido a partir do logotipo acima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja d a diagonal desse quadrado. Pelo Teorema de Pitágoras 
 
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
a a a ad d d   = + ⇒ = ⇒ =   
   
 u.c. 
 
O raio r do círculo interno ao quadrado original é dado por 
 
( )2 12
.
2 2 2
aa a
r d R
−
= − = − = 
 
A área da Região III 
 
,
4
Q CM cm
III
A A A
A
− −
= 
 
sendo QA a área do quadrado original, CMA a área do círculo de raio 2
aR = e cmA área do círculo de raio r . 
Logo 
 
( )
22
2 22 2 22
2 1
2 12 2 4 4
4 4III
a a aa a a
A
pi pipi pi
 
− 
− −   
− − −   
= = = 
 
 
 
2 2 2 2 24 (2 2 2 1) 4 (4 2 2)
16 16
a a a a api pi pi− − − + − −
= = unidades de área. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
aR = 
 
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Questão 2 – Abaixo são apresentados os gráficos das funções 2( )f x x bx c= − + + e ( ) = +g x dx e , com 
, , ,b c d e ∈R , 0≠d . 
 
Determine: 
 
 
a) os valores de d e e . 
 
 
Pelo gráfico da função g tem-se que o mesmo passa pelos pontos ( )1,0 e ( )0, 1− . Logo ( )1 0g = 
e ( )0 1,g = − ou seja, 
 
.1 0
.0 1 1
d e
d e e
+ =

+ = − ⇒ = −
 
 
E, segue que, ( ).1 1 0,d + − = isto é, 1.d = 
 
 
 
b) a abscissa do vértice da parábola. 
 
 
Pelo gráfico da função f tem-se que 1− e 3 são raízes de f . Como a abscissa do vértice da parábola 
vx corresponde ao ponto médio das raízes, temos que 
1 3 1.
2v
x
− +
= = 
 
Outra resolução: 
 
Pelo gráfico da função f tem-se que 1− e 3 são raízes de f . Logo ( )1 0f − = e ( )3 0,f = ou seja, 
 
1 0 1
4 8 2.
9 3 0 3 9
b c b c
b b
b c b c
− − + = − = − 
⇔ ⇒ = ⇒ = 
− + + = + = 
 
 
Como 1 0,b c− − + = segue que 1 2 1 3.c b= + = + = Portanto ( ) 2 2 3.f x x x= − + + 
 
A abscissa do vértice da parábola é dada por 
2 1.
2 2v
b
x
a
− −
= = =
−
 
 
 
 
 
 
 
y 
0 1 
-1 
x
y 
x0
 
 
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PARA O DESENVOLVIMENTO E A RESPOSTA DAS QUESTÕES, SÓ SERÁ ADMITIDO USAR CANETA ESFEROGRÁFICA AZUL OU PRETA 
 
 
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c) o conjunto solução da inequação ( ) 0( ) <
f x
g x
. 
 
 
Pelos gráficos temos: 
 
 
 
 
 
Logo { }/ 1 1 3S x IR x ou x= ∈ − < < > é o conjunto solução da inequação ( ) 0( ) <
f x
g x
. 
 
 
( ) 0f x < para 1x < − ou 3x > 
( ) 0f x = para 1x = − e 3x = 
( ) 0f x > para 1 3x− < < 
 
( ) 0g x < para 1x < 
( ) 0g x = para 1x = 
( ) 0g x > para 1x > 
 
− + + + + − 
1− 3 
f 
− 
− + + 
1− 1 3 
f
g
 
+ + + − − − g 
1