Razão Entre Áreas - Matemática Para Vestibulares Militares - Exercícios Com Respostas - Proj. Futuro Militar

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Geometria Plana 
Exercícios de Áreas e Razão entre Áreas 
 
01 - As figuras abaixo representam, respectivamente, um 
terreno com área de 4.000 m
2
 e uma maquete do 
mesmo terreno que está na escala de 1:50. A área da 
maquete é de: 
Figura 1 - Terreno Figura 2 - Maquete 
 
a) 2,2 m
2
 
b) 2,0 m
2
 
c) 1,8 m
2
 
d) 1,6 m
2
 
e) 1,4 m
2
 
 
02 - Na figura abaixo tem-se o triângulo ABC, inscrito em 
um semi-círculo de centro O e raio de medida 4 cm. 
 
 
 
A razão entre as áreas dos triângulos ABO e AOC, 
nessa ordem, é 
a) 
2
3
 
b) 
3
4
 
c) 
4
5
 
d) 
5
6
 
e) 1 
 
 
03 - Num triângulo ABC, M é ponto médio de 
AC
e N, 
ponto médio de 
BC
. A razão entre a área do 
triângulo MNC e do quadrilátero ABNM será: 
a) 2/3 
b) 1/2 
c) 1/4 
d) 2/5 
e) 1/3 
 
 
 
04 - No triângulo ABC da figura abaixo, os pontos D e E 
dividem o lado AB em três partes iguais e os pontos F, 
G e H dividem o lado BC em quatro partes iguais. 
 
 
 
A razão entre as áreas dos triângulos DEF e ABC vale: 
a) 1/3 
b) 1/4 
c) 1/7 
d) 1/12 
e) 1/15 
 
05 - O paralelogramo ABCD teve o lado (AB) e a sua 
diagonal (BD) divididos, cada um, em três partes 
iguais, respectivamente, pelos pontos {E,F} e {G,H}. A 
área do triângulo FBG é uma fração da área do 
paralelogramo (ABCD). 
 
 
 
A seqüência de operações que representa essa fração 
está indicada na seguinte alternativa: 
a) 
3
1
.
3
1
.
2
1
 
b) 
3
1
.
3
1
2
1

 
c) 







3
1
3
1
.
2
1
 
d) 
3
1
3
1
2
1

 
 
06 - A figura abaixo representa o brinquedo Piramix. 
 
 
 
Ele tem a forma de um tetraedro regular, com cada 
face dividida em 9 triângulos equiláteros congruentes. 
 
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Se, a partir de cada vértice, for retirada uma pirâmide 
regular cuja aresta é 1/3 da aresta do brinquedo, 
restará um novo sólido. 
A razão entre as superfícies totais desse sólido e do 
Piramix equivale a: 
a) 4/9 
b) 5/9 
c) 7/9 
d) 8/9 
 
 
07 - Observe as figuras seguintes. A figura 1 foi ampliada 
para a figura 2 e esta também foi ampliada para a 
figura 3. 
 
 
O fator de ampliação da figura 2 para a figura 3 é 
 
a) 
4
7
 
b) 
2
3
 
c) 
3
4
 
d) 
4
5
 
e) 
6
7
 
 
 
 
08 - Sendo ABCD um quadrado, podemos afirmar que: 
 
A B
DC
S2
S1
 
 
a) S1 = 
4
S2 
b) S1 = 
2
3
S2 
c) S1 = 
2
S2 
d) S1 = S2 
e) nenhuma das respostas anteriores 
9 - Considere o trapézio ao lado onde se tem 
m10AB
 e 
m6DC
. Sabe-se que a área do trapézio é 32m
2
. 
Nessas condições a área do triângulo ADC será: 
 
 
a) 10m
2
 
b) 12 m
2
 
c) 8 m
2
 
d) 6 m
2
 
e) 16 m
2
 
 
10 - No círculo abaixo, a figura é formada a partir de semi-
circunferências e AC = CD = DE = EB. 
 
S1
DC E
BA
S2
 
 
Determine S1/S2, a razão entre as áreas hachuradas. 
 
 
11 -Na figura abaixo, o triângulo ABC inscrito na 
circunferência tem AB = AC. O ângulo entre o lado 
AB
 
e a altura do triângulo ABC em relação a 
BC
 é . 
Nestas condições, o quociente entre a área do 
triângulo ABC e a área do círculo da figura é dado, em 
função de , pela expressão: 
 
a) 


2cos
2
 
b) 


2sen
2 2
 
c) 


cos2sen
2 2
 
d) 


2cossen
2
 
e) 


2cos2sen
2
 
 
 
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13 - Os pontos D e E pertencem ao gráfico da função 
xlogy a
, com 
1a 
 (figura abaixo). Suponha que 
)0 ,x(B 
 e 
)0 ,1x(C 
 e 
)0 ,1x(A 
. Então, o valor 
de x, para o qual a área do trapézio BCDE é o triplo da 
área do triângulo ABE, é: 
 
 
 
a) 
2
5
2
1

 
b) 
2
5
1
 
c) 
5
2
1

 
d) 
51
 
e) 
52
2
1

 
 
14 - A base de um triângulo mede 132m e sua altura, em 
metros, é h. Se a base for aumentada em 22m e a 
altura, em 55m, obtém-se um novo triângulo cuja área 
é o dobro da área do primeiro. Calcule o valor de h. 
 
 
 
15- O mosaico da figura foi desenhado em papel 
quadriculado 1 x 1. A razão entre a área da parte 
escura e a área da parte clara, na região 
compreendida pelo quadrado ABCD, é igual a: 
 
 
a) 
3
1
 
b) 3 
c) 
3
2
 
d) 
2
1
 
e) 
4
1
 
 
 
16 - Considere um quadrado ABCD cuja medida dos lados é 
1 dm. Seja P um ponto interior ao quadrado e 
eqüidistante dos vértices B e C e seja Q o ponto médio 
do lado DA. 
Se a área do quadrilátero ABPQ é o dobro da área do 
triângulo BCP, a distância do ponto P ao lado BC é 
 A
Q
D C
B
P
 
 
a) 
.dm
3
2
 
b) 
.dm
5
2
 
c) 
.dm
5
3
 
d) 
.dm
2
1
 
e) 
.dm
7
4
 
 
17 - Na figura a seguir, a razão entre as áreas do triângulo 
AED e do quadrado ABCD é igual a: 
 
a) 
2
3
 
b) 
2
1
 
c) 
3
2
 
d) 
4
3
 
 
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e) 
5
3
 
 
 
18 - O quadrado maior da figura 1 tem 9 cm de lado. 
Utilizando partes da figura 1, constrói-se a figura 2, 
que recebe o nome de coração partido. 
 
 
Considerando a figura 2, marque a alternativa 
INCORRETA: 
a) A soma das áreas das regiões 1, 2, 3 e 5 é a 
metade da soma das áreas das regiões 4, 6, 7 e 8. 
b) A área da região 7 é igual à área da região 4. 
c) O coração partido tem perímetro 
cm)2(6 
. 
d) A área do coração partido é 
2cm)4(9 
. 
e) O perímetro da região 8 é 
cm)24(3 
. 
 
 
19 - Em um trapézio ABCD, os pontos P , Q , M e N são 
médios dos lados AB, BC, CD e DA, respectivamente. A 
razão entre a área do quadrilátero PQMN e a área do 
trapézio é 
a) 
4
1
 
b) 
2
1
 
c) 
3
1
 
d) 
3
2
 
e) 
5
4
 
 
20 - a) Calcule a área de um triângulo equilátero inscrito 
em uma circunferência de raio 1. 
b) Denotando por An a área do polígno regular de n 
lados (n  3) inscrito em uma circunferência de 
raio 1, prove que 
 
n
º360
2
n
n sen.A 
. 
 
 
21 - Sejam P1 e P2 octógonos regulares. O primeiro está 
inscrito e o segundo circunscrito a uma circunferência de 
raio R. Sendo A1 a área de P1 e A2 a área de P2, então a 
razão A1 / A2 é igual a 
a) 
8/5
 
b) 
16/29
 
c) 
)12(2 
 
d) 
8/)124( 
 
e) 
4/)22( 
 
 
22 - Um televisor comum tem tela retangular plana com 
base e altura proporcionais a 4 e 3. 
Um televisor de tela larga (widescreen) tem tela 
retangular plana com base e altura proporcionais a 16 
e 9. 
a) Tomando-se um televisor comum e um de tela 
larga, ambos com telas de mesma altura, obtenha 
a razão da área da tela do widescreen pela área 
da tela do comum. 
b) Um televisor de p polegadas (p in) tem a diagonal 
da sua tela medindo p polegadas. Obtenha a área, 
em polegadas quadradas (in
2
), de um televisor 
comum de 20 polegadas. 
 
 
 
23 - Na circunferência de centro C,indicada a seguir, DE e 
EF são cordas congruentes, e o menor arco é igual à 
sexta parte da circunferência. 
 
 
 
A razão entre a área do triângulo DEF e a área do 
triângulo BCA é 
a) 4. 
b) 
32
. 
c) 
3
34
 
d) 
3
 
e) 
3
32
 
 
24 - No triângulo ao lado, 
3
34
yx 
 e x . y = 1. A razão 
entre a área do triângulo e a área do círculo de 
diâmetro Z é igual a: 
 
 
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a) 
36
39
 . 
b) 
21
39
. 
c) 
9
313 
 . 
d) 
13
312
. 
e) 
4
3
. 
 
25 - Um retângulo de base x está inscrito numa 
circunferência de raio 2. A medida da área desse 
retângulo, em função de x, é: 
a) 
24 xx 
 
b) 
xx 22
 
c) 
216 xx 
 
d) 
x2
 
 
26 -Internamente ao quadrado ABCD foram construídos 
dois triângulos eqüiláteros de lados iguais a 4, 
conforme figura. 
 
A B
CD
E
 
 
A área do triângulo BCE é: 
a) 8 
b) 
34
 
c) 
2
 
d) 
22
 
e) 
3
34
 
 
27 -Uma empreiteira deseja dividir um grande terreno em 
vários lotes retangulares de mesma área, 
correspondente a 156 m
2
. Em cada lote, será 
construída uma casa retangular que ocupará uma área 
de 54 m
2
, atendendo à exigência da prefeitura da 
cidade, de que seja construída mantendo 3 m de 
afastamento da frente e 3 m do fundo do lote, bem 
como 2 m de afastamento de cada uma das laterais. 
Indique as dimensões de cada casa a ser construída, 
de modo que cada lote tenha o menor perímetro 
possível. 
 
28 - Miguel pintará um painel retangular com motivos 
geométricos. As duas regiões destacadas, a região 1 
(FGKM), contida no quadrado FGLM, e a região 2 
(HILK), contida no paralelogramo HILM, conforme 
figura abaixo, serão pintadas de vermelho. Sabe-se 
que a tinta utilizada para pintar uma região qualquer 
depende proporcionalmente de sua área. 
 
 
Se Miguel gastasse na pintura da região 1, 3/7 da tinta 
vermelha de que dispõe, poderíamos afirmar que 
a) o restante de tinta vermelha daria , exatamente, 
para a pintura da região 2. 
b) o restante de tinta vermelha seria insuficiente 
para a pintura da região 2. 
c) a região 2 seria pintada e ainda sobrariam 3/7 de 
tinta vermelha. 
d) a região 2 seria pintada e ainda sobraria 1/7 de 
tinta vermelha. 
 
 
29 - Um comício deverá ocorrer num ginásio de esportes, 
cuja área é delimitada por um retângulo, mostrado na 
figura. 
 
 
 
Por segurança, a coordenação do evento limitou a 
concentração, no local, a 5 pessoas para cada 2 m
2
 de 
área disponível. Excluindo-se a área ocupada pelo 
palanque, com a forma de um trapézio (veja as 
dimensões da partem preto na figura), quantas 
pessoas, no máximo, poderão participar do evento? 
 
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a) 2 700. 
b) 1 620. 
c) 1 350. 
d) 1 125. 
e) 1 050. 
 
30 - A figura ao lado representa três círculos concêntricos 
de raios 3m, 4m e 5m, respectivamente. Que 
porcentagem da área do círculo maior representa a 
área cinza? 
 
 
a) 25 
b) 28 
c) 30 
d) 32 
 
31 - Uma empresa tem o seguinte logotipo: 
 
 
Se a medida do raio da circunferência inscrita no 
quadrado é 3 cm, a área, em cm
2
, de toda a região 
pintada de preto é: 
a) 
4
9
9


 
b) 
4
9
18


 
c) 
2
9
18


 
d) 
4
9
36


 
e) 
2
9
36


 
 
 
32 - Um tanque subterrâneo, que tem a forma de um 
cilindro circular reto na posição vertical, está 
completamente cheio com 30 m
3
 de água e 42m
3
 de 
petróleo. 
 
 
 
Se a altura do tanque é 12 metros, a altura, em 
metros, da camada de petróleo é: 
a) 2 
b) 7 
c) 
3
7
 
d) 8 
e) 
3
8
 
 
33 - Nesta figura, o triângulo eqüilátero ABC está inscrito 
numa circunferência de raio 2: 
 
 
Então, a área da região hachurada é: 
a) 
3
334 
 
b) 
3
332 
 
c) 
3
343 
 
d) 
3
323 
 
 
34 - Um círculo de centro O e cujo diâmetro AB é um dos 
lados do triângulo eqüilátero ABC intercepta os outros 
dois lados desse triângulo nos pontos D e E, conforme 
ilustra a figura abaixo. Sabendo que o diâmetro AB 
mede 16 cm, escolha apenas uma das opções a seguir 
e faça o que se pede, desconsiderando, para a 
marcação na folha de respostas, a parte fracionária do 
resultado final obtido, após efetuar todos os cálculos 
solicitados. 
A B
D E
C
O
 
a) Calcule a medida, em graus, do ângulo AÔD. 
b) Calcule o comprimento, em mm, do segmento DE. 
c) Determine a porcentagem da área do triângulo 
ABC ocupada pelo quadrilátero ABED. 
 
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35 - Se desejarmos duplicar a área de um quadrado de 
lado ‘a’ é necessário: 
a) acrescentar uma unidade à medida do lado do 
quadrado original. 
b) considerar um quadrado de lado igual à diagonal 
do quadrado original. 
c) triplicar a medida do lado do quadrado original. 
d) duplicar a medida do lado do quadrado original. 
e) quadruplicar a medida do lado do quadrado 
original. 
 
 
 
“Ainda que os teus passos pareçam inúteis, vai 
abrindo caminhos, como a água que desce 
cantando da montanha. Outros te seguirão...” 
 (Saint-Exupéry)
 
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Gabarito 
1 - D 
2 - E 
3 - E 
4 - D 
5 - A 
6 - D 
7 - C 
8 - D 
9 - B 
 
10 - 
1
2
1
S
S

 
11 - E 
13 - A 
14 - 77 
15 - D 
16 - B 
17 - B 
18 - A 
19 - B 
20 - 
a) 
ua
4
33
 
b) Demonstração 
22 a) 
3
4
 
 b) 192 n
2
 
23 - C 
24 - B 
25 - C 
26 - E 
27 - x = 6 m e y = 9 m 
28 - D 
29 - D 
30 - B 
31 - B 
32 - B 
33 - A 
34 - a) 060 b) 080 c) 075 
35 - B