NIVELAMENTO MATEMÁTICA UNICESUMAR

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NIVELAMENTO DE 
MATEMÁTICA
Professora Esp. Antoneli da Silva Ramos
Professor Esp. Fernando Marcussi
GRADUAÇÃO
Unicesumar
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ. Núcleo de Educação a 
Distância:
 Nivelamento de Matemática. Antoneli da Silva Ramos; 
Fernando Marcussi. 
 Maringá - PR, 2015. 
 106 p.
“Graduação - EaD”.
 
 1. Matemática .2. Porcentagem . 3. Equações 4. EaD. I. Título.
CDD - 22 ed. 510
CIP - NBR 12899 - AACR/2
Ficha catalográfica elaborada pelo bibliotecário 
João Vivaldo de Souza - CRB-8 - 6828
Reitor
Wilson de Matos Silva
Vice-Reitor
Wilson de Matos Silva Filho
Pró-Reitor de Administração
Wilson de Matos Silva Filho
Pró-Reitor de EAD
Willian Victor Kendrick de Matos Silva
Presidente da Mantenedora
Cláudio Ferdinandi
NEAD - Núcleo de Educação a Distância
Direção de Operações
Chrystiano Mincoff
Direção de Mercado
Hilton Pereira
Direção de Polos Próprios
James Prestes
Direção de Desenvolvimento
Dayane Almeida 
Direção de Relacionamento
Alessandra Baron
Direção Pedagógica
Kátia Coelho
Supervisão do Núcleo de Produção de 
Materiais
Nalva Aparecida da Rosa Moura
Design Educacional
Nádila de Almeida Toledo
Projeto Gráfico
Jaime de Marchi Junior
José Jhonny Coelho
Editoração
Humberto Garcia da Silva
Daniel Fuverki Hey
Revisão Textual
Jaquelina Kutsunugi
Simone Limonta
Ilustração
André Onishi
Viver e trabalhar em uma sociedade global é um 
grande desafio para todos os cidadãos. A busca 
por tecnologia, informação, conhecimento de 
qualidade, novas habilidades para liderança e so-
lução de problemas com eficiência tornou-se uma 
questão de sobrevivência no mundo do trabalho.
Cada um de nós tem uma grande responsabilida-
de: as escolhas que fizermos por nós e pelos nos-
sos farão grande diferença no futuro.
Com essa visão, o Centro Universitário Cesumar 
assume o compromisso de democratizar o conhe-
cimento por meio de alta tecnologia e contribuir 
para o futuro dos brasileiros.
No cumprimento de sua missão – “promover a 
educação de qualidade nas diferentes áreas do 
conhecimento, formando profissionais cidadãos 
que contribuam para o desenvolvimento de uma 
sociedade justa e solidária” –, o Centro Universi-
tário Cesumar busca a integração do ensino-pes-
quisa-extensão com as demandas institucionais 
e sociais; a realização de uma prática acadêmica 
que contribua para o desenvolvimento da consci-
ência social e política e, por fim, a democratização 
do conhecimento acadêmico com a articulação e 
a integração com a sociedade.
Diante disso, o Centro Universitário Cesumar al-
meja ser reconhecido como uma instituição uni-
versitária de referência regional e nacional pela 
qualidade e compromisso do corpo docente; 
aquisição de competências institucionais para 
o desenvolvimento de linhas de pesquisa; con-
solidação da extensão universitária; qualidade 
da oferta dos ensinos presencial e a distância; 
bem-estar e satisfação da comunidade interna; 
qualidade da gestão acadêmica e administrati-
va; compromisso social de inclusão; processos de 
cooperação e parceria com o mundo do trabalho, 
como também pelo compromisso e relaciona-
mento permanente com os egressos, incentivan-
do a educação continuada.
Seja bem-vindo(a), caro(a) acadêmico(a)! Você está 
iniciando um processo de transformação, pois quan-
do investimos em nossa formação, seja ela pessoal 
ou profissional, nos transformamos e, consequente-
mente, transformamos também a sociedade na qual 
estamos inseridos. De que forma o fazemos? Criando 
oportunidades e/ou estabelecendo mudanças capa-
zes de alcançar um nível de desenvolvimento compa-
tível com os desafios que surgem no mundo contem-
porâneo. 
O Centro Universitário Cesumar mediante o Núcleo de 
Educação a Distância, o(a) acompanhará durante todo 
este processo, pois conforme Freire (1996): “Os homens 
se educam juntos, na transformação do mundo”.
Os materiais produzidos oferecem linguagem dialó-
gica e encontram-se integrados à proposta pedagó-
gica, contribuindo no processo educacional, comple-
mentando sua formação profissional, desenvolvendo 
competências e habilidades, e aplicando conceitos 
teóricos em situação de realidade, de maneira a inse-
ri-lo no mercado de trabalho. Ou seja, estes materiais 
têm como principal objetivo “provocar uma aproxi-
mação entre você e o conteúdo”, desta forma possi-
bilita o desenvolvimento da autonomia em busca dos 
conhecimentos necessários para a sua formação pes-
soal e profissional.
Portanto, nossa distância nesse processo de cres-
cimento e construção do conhecimento deve ser 
apenas geográfica. Utilize os diversos recursos peda-
gógicos que o Centro Universitário Cesumar lhe possi-
bilita. Ou seja, acesse regularmente o AVA – Ambiente 
Virtual de Aprendizagem, interaja nos fóruns e en-
quetes, assista às aulas ao vivo e participe das discus-
sões. Além disso, lembre-se que existe uma equipe de 
professores e tutores que se encontra disponível para 
sanar suas dúvidas e auxiliá-lo(a) em seu processo de 
aprendizagem, possibilitando-lhe trilhar com tranqui-
lidade e segurança sua trajetória acadêmica.
Diretoria Operacional 
de Ensino
Diretoria de 
Planejamento de Ensino
Professora Esp. Antoneli da Silva Ramos
Especialização em Gestão escolar - Unicentro(2014), especialização em 
Matemática e Física para ensino Médio - UNIPAR (2004), Licenciatura em 
Matemática- Unipar (2003). Atuei como Professora do Ensino Fundamental 
e Médio_ SEDUC-2006 a 2012, Professora do Ensino Fundamental e Médio_ 
SEED-2012 a 2013- Atuando como Professora mediadora líder no curso de 
Licenciatura em Matemática- NEAD Unicesumar desde 2014.
Professor Esp. Fernando Marcussi
Possui graduação em Matemática pela Universidade Estadual de Maringá 
(2010) e Especialização em Auditoria e Controladoria pelo Centro Universitário 
Cesumar (2014). Atualmente é Tutor Mediador do Centro Universitário 
Cesumar e Professor da União de Faculdades Metropolitanas de Maringá. Tem 
experiência na área de Administração, com ênfase em Matemática Aplicada, 
Cálculo, com ênfase em Arquitetura e Gestão Ambiental, e Matemática 
Financeira.
A
U
TO
RE
S
SEJA BEM-VINDO(A)!
APRESENTAÇÃO
NIVELAMENTO DE MATEMÁTICA
2
APRESENTAC¸A˜O
Ola´, querido(a) acadeˆmico(a), da Unicesumar, o nivelamento de matema´tica foi programado para atender
a`s dificuldades de Matema´tica Ba´sica e recuperar as lacunas existentes no processo primordial para de-
senvolver a aprendizagem. Neste material abordaremos diversos temas que servira˜o de base e de suporte
para as disciplinas espec´ıficas de seu curso. Permita que nos apresentemos:
Sou a professora Antoneli da Silva Ramos, graduada em Matema´tica com eˆnfase em Informa´tica pela
Unipar; especialista em Matema´tica e F´ısica para o ensino me´dio tambe´m pela Unipar; especialista em
Gesta˜o Escolar pela Unicentro. Atuo, desde 2004, na a´rea da educac¸a˜o, inicialmente, como professora
de alfabetizac¸a˜o, depois, no ensino fundamental e me´dio, no momento, estou trabalhando na EaD da
Unicesumar como Mediadora L´ıder.
Este material foi desenvolvido em parceria com o Professor Fernando Marcussi, Graduado em Licenciatura
em Matema´tica pela Universidade Estadual de Maringa´ e Especialista em Auditoria e Controladoria pela
Unicesumar. Atua, desde 2012, nas a´reas de educac¸a˜o a distaˆncia, como Mediador de Cursos e no ensino
presencial, como Professor das disciplinas de Matema´tica e Ca´lculo Aplicado.
Pensando em ampliar os conhecimentos pre´-adquiridos dentro da Matema´tica, em anos anteriores, foi
que preparamos cuidadosamente este material, com o intuito de aprimorar seus conhecimentos acerca da
relac¸a˜o teoria aplicada na pra´tica, no qual as representac¸o˜es matema´ticas e gra´ficas fara˜o parte de seus
estudos neste livro.
O assuntodeste material foi organizado em cinco unidades, sendo que na primeira trataremos de raza˜o,
de proporc¸a˜o, de regra de treˆs e de Porcentagem, na segunda abordaremos notac¸a˜o cient´ıfica, operac¸o˜es
com frac¸o˜es e operac¸a˜o com nu´mero decimal, muito utilizadas em a´reas que envolvem Qu´ımica e F´ısica,
important´ıssimas para a compreensa˜o da potenciac¸a˜o, na terceira unidade vamos recordar as func¸o˜es
do 1o e 2o grau, na quarta unidade recordaremos leitura de gra´ficos e de tabelas, equac¸o˜es e sistemas
de equac¸o˜es, fechando com Racioc´ınio Lo´gico e matema´tico. A cada abordagem constamos exemplos
resolvidos para voceˆ melhor compreender o assunto.
Gostar´ıamos de iniciar este material desejando boas-vindas a voceˆ e esperamos que fac¸a bom uso e amplie
seus conhecimentos por meio desses conteu´dos ba´sicos da matema´tica.
SUMÁRIO
09
UNIDADE I
RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM
15 Introdução
16 Razão e Proporção 
17 Forma Fracionária, Forma Decimal e Forma Percentual de uma Razão 
18 Razões Especiais 
20 Regra de Três e Proporção 
24 Porcentagem 
26 Considerações Finais 
UNIDADE II
NOTAÇÃO CIENTÍFICA, OPERAÇÕES COM FRAÇÕES E OPERAÇÃO COM 
NÚMEROS DECIMAIS
31 Introdução
32 Notação Científica 
33 Operações com Frações 
35 Operação com Números Decimais 
38 Expressões Numéricas 
39 Considerações Finais 
SUMÁRIO
UNIDADE III
FUNÇÃO DO 1º E 2º GRAUS
45 Introdução
46 Noção Intuitiva de Função 
48 Função do 1º Grau 
54 Função do 2º Grau ou Função Quadrática 
59 Considerações Finais 
UNIDADE IV
LEITURA DE GRÁFICOS E TABELAS, EQUAÇÕES E SISTEMAS DE 
EQUAÇÕES
65 Introdução
66 Leitura de Gráficos e Tabelas 
68 Equações e Sistemas de Equações 
69 Equações Do 1º Grau 
71 Sistemas de Equações Lineares 
73 Equação do 2º Grau 
76 Considerações Finais 
SUMÁRIO
11
UNIDADE V
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
83 Introdução
84 Raciocínio Lógico e Matemático 
89 Construção de Tabelas-Verdade 
91 Raciocínio Lógico 
98 Considerações Finais 
101 Conclusão
103 Referências
104 Gabarito
U
N
ID
A
D
E I
Professora Esp. Antoneli da Silva Ramos
Professor Esp. Fernando Marcussi
RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA 
DE TRÊS E PORCENTAGEM
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Entender o conceito de razão, proporção e semelhança. 
 ■ Identificar a proporção direta e inversa.
 ■ Realizar ampliações e reduções de figuras em geral. 
 ■ Relacionar situações cotidianas que podem ser tratadas de forma 
proporcional. 
 ■ Entender, Interpretar e Resolver problemas.
 ■ Dada uma razão, determinar outra para formar uma proporção.
 ■ Identificar e solucionar problemas onde é possível utilizar a regra de 
três simples para a sua resolução.
 ■ Resolver problemas que envolvam os conceitos de razão e proporção.
 ■ Identificar Porcentagens.
 ■ Entender e ser capaz de resolver porcentagem em diversas situações.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Razão e Proporção
 ■ Forma fracionária, forma decimal e forma percentual de uma razão
 ■ Regra de três 
 ■ Grandezas Diretamente Proporcionais
 ■ Grandezas Inversamente Proporcionais
 ■ Porcentagem
 ■ Resolução de problemas
4
INTRODUC¸A˜O
Dentro desta unidade, voceˆ, querido(a) acadeˆmico(a), tera´ a oportunidade de aprender e ate´ mesmo
relembrar alguns conteu´dos ba´sicos e essenciais. Voceˆ estudara´ os temas mais aplica´veis ao cotidiano:
Proporc¸o˜es e Porcentagens, conteu´dos que sa˜o a porta de entrada para matema´tica financeira, princi-
palmente para concursos pu´blicos, que tambe´m sa˜o utilizados em diversas a´reas do conhecimento como
F´ısica, Geografia, Qu´ımica, entre outras. Sa˜o temas bastante abrangentes e encontrados, sobretudo, em
operac¸o˜es comerciais e financeiras. Os assuntos apresentados nesta unidade esta˜o organizados de uma
forma gradativa em n´ıvel de complexidade para sua melhor apreensa˜o.
O nivelamento de Matema´tica foi programado para atender a`s dificuldades de Matema´tica Ba´sica e,
dentro desta unidade, os conteu´dos de raza˜o, de proporc¸a˜o e de regra de treˆs sera˜o abordados de maneira
clara e sucinta, utilizando va´rios exemplos do cotidiano, visando, assim, por meio da associac¸a˜o, facilitar
assimilac¸a˜o e aprendizado do conteu´do.
Ao avanc¸ar no nivelamento, voceˆ aprendera´ a manipular algumas ferramentas e a formalizar alguns
conceitos. Vai entender e conseguir resolver questo˜es que envolvem grandezas diretamente e inversamente
proporcionais, inclusive conseguir realizar os ca´lculos de porcentagem com propriedade e com domı´nio.
Desejamos a todos que aproveitem o material e realizem um bom trabalho!
15
Introdução
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5
RAZA˜O E PROPORC¸A˜O
E´ imposs´ıvel iniciar os estudos do nivelamento de Matema´tica, sem relembrar Raza˜o e Proporc¸a˜o. Sabe-
mos que existem muitas situac¸o˜es do nosso cotidiano que requerem o uso de razo˜es e de proporc¸a˜o, seja na
cozinha de sua resideˆncia ou na manipulac¸a˜o de um medicamento, dessa forma, torna-se primordial esta-
rem bem codificados os conhecimentos adquiridos no ensino fundamental, para utiliza´-los em disciplinas
espec´ıficas e mais complexas.
Iniciamos nossos estudos com o conceito de raza˜o.
RAZA˜O:
De acordo com o conceito, raza˜o e´ o quociente entre dois nu´meros na˜o nulos ou quociente entre duas
grandezas varia´veis, grandezas de espe´cies diferentes, ou seja, raza˜o e´ sinoˆnimo de divisa˜o, que e´ sinoˆnimo
de uma frac¸a˜o, tambe´m e´ a divisa˜o entre dois nu´meros, podendo ser descrita como a comparac¸a˜o entre
duas quantidades por meio da divisa˜o. A raza˜o na˜o e´ usada individualmente. E´ apenas uma ferramenta
para outros temas e problemas.
Definic¸a˜o:
Sendo a e b dois nu´meros racionais com b �= 0, denomina-se raza˜o entre a e b o quociente a
b
ou a : b ,
onde a e´ o antecedente e b e´ o consequente.
Exemplo pra´tico da definic¸a˜o:
Todos os garotos gostam de brincar de estilingue, pore´m, nem todos os garotos possuem habilidades com
esse brinquedo. Imagine que o Joa˜o colocou uma lata em cima do muro e esta´ tentando atingi-la com
a pedra lanc¸ada pelo estilingue, e que a cada 10 tentativas, ele acerte 2 vezes a latinha. Assim de 10
disparos, ele acerta 2, enta˜o, ele erra 8 vezes a latinha. Neste caso poderemos fazer uma raza˜o entre o
nu´mero de acertos e de erros, vejamos a seguir qual sera´ a raza˜o:
Resoluc¸a˜o:
r =
2
8
sendo 2 acertos e 8 erros, logo, simplificando a raza˜o, terei r =
1
4
,ou seja, para cada 1 vez que a
pedra acerta a latinha, tera´ 4 lanc¸amentos que na˜o acertara˜o a latinha.
5
RAZA˜O E PROPORC¸A˜O
E´ imposs´ıvel iniciar os estudos do nivelamento de Matema´tica, sem relembrar Raza˜o e Proporc¸a˜o. Sabe-
mos que existem muitas situac¸o˜es do nosso cotidiano que requerem o uso de razo˜es e de proporc¸a˜o, seja na
cozinha de sua resideˆncia ou na manipulac¸a˜o de um medicamento, dessa forma, torna-se primordial esta-
rem bem codificados os conhecimentos adquiridos no ensino fundamental, para utiliza´-los em disciplinas
espec´ıficas e mais complexas.
Iniciamos nossos estudos com o conceito de raza˜o.
RAZA˜O:
De acordo com o conceito, raza˜o e´ o quociente entre dois nu´meros na˜o nulos ou quociente entre duas
grandezas varia´veis, grandezas de espe´cies diferentes, ou seja, raza˜o e´ sinoˆnimo de divisa˜o, que e´ sinoˆnimo
de uma frac¸a˜o, tambe´m e´ a divisa˜o entre dois nu´meros, podendo ser descrita como a comparac¸a˜o entre
duas quantidadespor meio da divisa˜o. A raza˜o na˜o e´ usada individualmente. E´ apenas uma ferramenta
para outros temas e problemas.
Definic¸a˜o:
Sendo a e b dois nu´meros racionais com b �= 0, denomina-se raza˜o entre a e b o quociente a
b
ou a : b ,
onde a e´ o antecedente e b e´ o consequente.
Exemplo pra´tico da definic¸a˜o:
Todos os garotos gostam de brincar de estilingue, pore´m, nem todos os garotos possuem habilidades com
esse brinquedo. Imagine que o Joa˜o colocou uma lata em cima do muro e esta´ tentando atingi-la com
a pedra lanc¸ada pelo estilingue, e que a cada 10 tentativas, ele acerte 2 vezes a latinha. Assim de 10
disparos, ele acerta 2, enta˜o, ele erra 8 vezes a latinha. Neste caso poderemos fazer uma raza˜o entre o
nu´mero de acertos e de erros, vejamos a seguir qual sera´ a raza˜o:
Resoluc¸a˜o:
r =
2
8
sendo 2 acertos e 8 erros, logo, simplificando a raza˜o, terei r =
1
4
,ou seja, para cada 1 vez que a
pedra acerta a latinha, tera´ 4 lanc¸amentos que na˜o acertara˜o a latinha.
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RAZA˜O E PROPORC¸A˜O
E´ imposs´ıvel iniciar os estudos do nivelamento de Matema´tica, sem relembrar Raza˜o e Proporc¸a˜o. Sabe-
mos que existem muitas situac¸o˜es do nosso cotidiano que requerem o uso de razo˜es e de proporc¸a˜o, seja na
cozinha de sua resideˆncia ou na manipulac¸a˜o de um medicamento, dessa forma, torna-se primordial esta-
rem bem codificados os conhecimentos adquiridos no ensino fundamental, para utiliza´-los em disciplinas
espec´ıficas e mais complexas.
Iniciamos nossos estudos com o conceito de raza˜o.
RAZA˜O:
De acordo com o conceito, raza˜o e´ o quociente entre dois nu´meros na˜o nulos ou quociente entre duas
grandezas varia´veis, grandezas de espe´cies diferentes, ou seja, raza˜o e´ sinoˆnimo de divisa˜o, que e´ sinoˆnimo
de uma frac¸a˜o, tambe´m e´ a divisa˜o entre dois nu´meros, podendo ser descrita como a comparac¸a˜o entre
duas quantidades por meio da divisa˜o. A raza˜o na˜o e´ usada individualmente. E´ apenas uma ferramenta
para outros temas e problemas.
Definic¸a˜o:
Sendo a e b dois nu´meros racionais com b �= 0, denomina-se raza˜o entre a e b o quociente a
b
ou a : b ,
onde a e´ o antecedente e b e´ o consequente.
Exemplo pra´tico da definic¸a˜o:
Todos os garotos gostam de brincar de estilingue, pore´m, nem todos os garotos possuem habilidades com
esse brinquedo. Imagine que o Joa˜o colocou uma lata em cima do muro e esta´ tentando atingi-la com
a pedra lanc¸ada pelo estilingue, e que a cada 10 tentativas, ele acerte 2 vezes a latinha. Assim de 10
disparos, ele acerta 2, enta˜o, ele erra 8 vezes a latinha. Neste caso poderemos fazer uma raza˜o entre o
nu´mero de acertos e de erros, vejamos a seguir qual sera´ a raza˜o:
Resoluc¸a˜o:
r =
2
8
sendo 2 acertos e 8 erros, logo, simplificando a raza˜o, terei r =
1
4
,ou seja, para cada 1 vez que a
pedra acerta a latinha, tera´ 4 lanc¸amentos que na˜o acertara˜o a latinha.
RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
6
Exemplo 01: Observe a tabela:
Re´ptil Tamanho ma´ximo
Jacare´ do Pantanal 2,5m
Jacare´-ac¸u 6m
Crocodilo da A´sia (maior re´ptil do planeta) 7m
Qual e´ a raza˜o entre o comprimento do maior re´ptil do planeta e do jacare´ do Pantanal?
7
2, 5
= A raza˜o e´ de 7 para 2,5.
FORMA FRACIONA´RIA, FORMA DECIMAL E FORMA PERCEN-
TUAL DE UMA RAZA˜O.
Apo´s ter a definic¸a˜o clara de raza˜o, e´ necessa´rio identificarmos as formas de representac¸a˜o existentes e,
para fixar o aprendizado, apresentaremos estas formas, atrave´s de exemplos, veja:
Exemplo 02: Determine a raza˜o na forma fraciona´ria entre a primeira e a segunda medidas abaixo:
A) 12 cent´ımetros e 40 cent´ımetros
B) 500 gramas e 3 quilogramas
Resoluc¸a˜o:
A) Para iniciar a divisa˜o sempre utilizamos o primeiro pelo segundo valor, assim, teremos: r =
12
40
simplificando r =
3
10
B) Note que esta˜o em unidades diferentes, nesse caso, necessitamos que elas estejam na mesma unidade.
Enta˜o neste caso e´ necessa´rio realizar a conversa˜o, assim, 3 quilogramas equivale a 3000 gramas.
r =
500
3000
, ou seja, r =
5
30
simplificando teremos r =
1
6
.
Exemplo 03: r =
7
10
= 0, 7 = 70%, observe que a raza˜o foi apresentada na forma fraciona´ria, decimal,
e percentual.
17
Forma Fracionária, Forma Decimal e Forma Percentual de uma Razão
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7
Exemplo 04: Em um hospital, no meˆs de julho de 2011, havia 320 pessoas internadas com sintomas de
gripe A e no meˆs de agosto, esse nu´mero subiu para 512 pessoas. Determine a raza˜o na forma decimal
entre o nu´mero de pessoas com sintomas de gripe A no meˆs de agosto e julho de 2011.
Resoluc¸a˜o:
215
320
= 1, 6
RAZO˜ES ESPECIAIS
As razo˜es especiais sa˜o algumas razo˜es entre grandezas de mesmo tipo ou de tipos diferentes que sa˜o
utilizadas com bastante frequeˆncia no nosso cotidiano. Dentro das razo˜es especiais, as mais utilizadas sa˜o:
Escala, Velocidade Me´dia e Densidade Demogra´fica.
ESCALA: usada principalmente em mapas, maquetes e plantas, a escala e´ a raza˜o entre a medida do
comprimento no desenho e a medida do comprimento real do objeto.
Podendo ser resolvida pela fo´rmula:
Escala =
d (distância do desenho)
D (distância real)
Exemplo 05: Alberto vai construir a casa dele, e, para iniciar o projeto, e´ necessa´ria a planta baixa da
casa. Esta planta ira´ mostrar a disposic¸a˜o dos ambientes e suas medidas. Desta forma, para caber no
papel, as medidas reais dos ambientes foram dividas em escalas de 1: 200 (1 para 200, ou seja, cada 1 cm
do desenho corresponde a 200 cm nas medidas reais), sabemos que a escala e´ a raza˜o entre as medidas do
desenho e as medidas reais.
20m
10
m
escala 1:200
RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
8
Resoluc¸a˜o:
Escala =
d
D
−→ Escala = 1
200
Enta˜o, nessa escala:
Um comprimento de 4 cm, no desenho, corresponde a 4.200 = 800 cm ou 8 m na realidade.
Um comprimento de 12 m na realidade sera´ representado por 6 cm no desenho, pois 12 m = 1200 cm
1200 cm : 200 = 6 cm
Exemplo 06: Em um desenho, um comprimento de 10 m esta´ representado por 5 cm. Qual escala e´
utilizada para fazer esse desenho?
Resoluc¸a˜o:
5 cm
10m
=
5 cm
1000 cm
=
1
200
Logo a escala e´ de 1 : 200
Exemplo 07: A miniatura de um carro foi constru´ıda na escala 1:50. Determine o comprimento e a
largura deste carro.
Resoluc¸a˜o:
1
50
=
4 cm
x
x = 4 · 50 = 200 cm = 2 cm
1
50
=
10 cm
y
y = 10 · 50 = 500 = 5m
Logo, comprimento 5 m e largura 2 m.
8
Resoluc¸a˜o:
Escala =
d
D
−→ Escala = 1
200
Enta˜o, nessa escala:
Um comprimento de 4 cm, no desenho, corresponde a 4.200 = 800 cm ou 8 m na realidade.
Um comprimento de 12 m na realidade sera´ representado por 6 cm no desenho, pois 12 m = 1200 cm
1200 cm : 200 = 6 cm
Exemplo 06: Em um desenho, um comprimento de 10 m esta´ representado por 5 cm. Qual escala e´
utilizada para fazer esse desenho?
Resoluc¸a˜o:
5 cm
10m
=
5 cm
1000 cm
=
1
200
Logo a escala e´ de 1 : 200
Exemplo 07: A miniatura de um carro foi constru´ıda na escala 1:50. Determine o comprimento e a
largura deste carro.
Resoluc¸a˜o:
1
50
=
4 cm
x
x = 4 · 50 = 200 cm = 2 cm
1
50
=
10 cm
y
y = 10 · 50 = 500 = 5m
Logo, comprimento 5 m e largura 2 m.
10cm
4cm
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Razões Especiais
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9
Ale´m de utilizarmos a escala para confecc¸a˜o de plantas e de miniaturas, e´ comum usarmos a escala na
confecc¸a˜o de mapas, pois os mapas devem ser uma reproduc¸a˜o fiel em tamanho reduzido.
VELOCIDADE ME´DIA
E´ a raza˜o entre a distaˆncia percorrida por um mo´vel e o tempo gasto para percorrer essa distaˆncia.
Exemplo 08: A velocidade me´dia de um trem bala que percorre 800 km em 2 horas e´ dada pela raza˜o:
distância
tempo
=
800
2
= 400 km/h
DENSIDADE DEMOGRA´FICA
E´ a raza˜o entre o nu´mero de habitantes (populac¸a˜o) de uma regia˜o e a a´rea dessa regia˜o.
Exemplo 09: Um pa´ıs tem 100.000.000 de habitantes e uma a´rea de 5.000.000 km2 . Qual e´ a densidade
demogra´fica desse pa´ıs?
d =
100.000.000 habitantes
50.000.000 km
= 20 hab/km2
REGRA DE TREˆS E PROPORC¸A˜O
REGRA DE TREˆS SIMPLES
A regra de treˆs simples e´ um processo pra´tico para determinar, a partir de treˆs valores conhecidos, um
quarto valor com o qual todos se relacionam proporcionalmente. Na pra´tica, a Regra de Treˆs e´ a meca-
nizac¸a˜o da proporc¸a˜o, dispondo-os em uma espe´cie de tabela organizada.
Para entendermos melhor a regra de treˆs na resoluc¸a˜o de determinados problemas, e´ necessa´rio que voceˆ
domine grandezas proporcionais.
PROPORC¸A˜O
A proporc¸a˜o representa a igualdade entre duas razo˜es e so´ faz sentido quando na˜o sabemos uma das
parcelas dessa igualdade.
Exemplo 10: Se dissermos que a raza˜o entre o nu´mero de meninas e o nu´mero de meninos de um cole´gio
e´
2
3
, isso significa que:
RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
10
Para cada 2 meninas existem 3 meninos, ou para cada 4 meninas existem 6 meninos, enta˜o, as frac¸o˜es
2
3
e
4
6
sa˜o frac¸o˜es equivalentes, ou seja, ao simplificarmos as frac¸o˜es, elas sera˜o iguais. Essa igualdade
chama-se proporc¸a˜o, logo, para resolver uma proporc¸a˜o, basta multiplicar em cruz, observe:
3
4
=
x
8
−→ 4 · x = 3 · 8 −→ x = 6
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Sa˜o grandezas relacionadas de forma ideˆntica quanto ao seu crescimento ou decrescimento. O aumento
de uma grandeza implica no aumento da outra, e a diminuic¸a˜o de uma grandeza implica na diminuic¸a˜o
imediata da outra.
Exemplo 11: Em um supermercado, e´ poss´ıvel utilizar as razo˜es para descobrir qual das embalagens e´
mais vantajosa para o consumidor.
Comparamos as quantidades :
900
400
= 2, 25
Comparamos os prec¸os:
4, 95
3, 30
= 1, 5
A embalagem maior tem mais que o dobro da quantidade de cereal da menor e seu prec¸o e´ uma vez e
meia o prec¸o da menor. Nesse caso, compensa levar a embalagem maior.
E´ poss´ıvel, nesse caso, utilizarmos o racioc´ınio lo´gico, observe que, na embalagem maior, 900 g custam R$
4,95. Enta˜o 100 g custam R$ 4,95 : 9 = R$ 0,55, logo, 400g custam 4. R$0,55 = R$ 2,20, como R$2,20 e´
menor que R$3,30, que e´ o prec¸o da embalagem menor, enta˜o, a embalagem maior e´ relativamente mais
barata. Esse e´ um tipo de exerc´ıcio em que e´ poss´ıvel aplicar a regra de treˆs que veremos na sequeˆncia.
10
Para cada 2 meninas existem 3 meninos, ou para cada 4 meninas existem 6 meninos, enta˜o, as frac¸o˜es
2
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sa˜o frac¸o˜es equivalentes, ou seja, ao simplificarmos as frac¸o˜es, elas sera˜o iguais. Essa igualdade
chama-se proporc¸a˜o, logo, para resolver uma proporc¸a˜o, basta multiplicar em cruz, observe:
3
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=
x
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−→ 4 · x = 3 · 8 −→ x = 6
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Sa˜o grandezas relacionadas de forma ideˆntica quanto ao seu crescimento ou decrescimento. O aumento
de uma grandeza implica no aumento da outra, e a diminuic¸a˜o de uma grandeza implica na diminuic¸a˜o
imediata da outra.
Exemplo 11: Em um supermercado, e´ poss´ıvel utilizar as razo˜es para descobrir qual das embalagens e´
mais vantajosa para o consumidor.
Comparamos as quantidades :
900
400
= 2, 25
Comparamos os prec¸os:
4, 95
3, 30
= 1, 5
A embalagem maior tem mais que o dobro da quantidade de cereal da menor e seu prec¸o e´ uma vez e
meia o prec¸o da menor. Nesse caso, compensa levar a embalagem maior.
E´ poss´ıvel, nesse caso, utilizarmos o racioc´ınio lo´gico, observe que, na embalagem maior, 900 g custam R$
4,95. Enta˜o 100 g custam R$ 4,95 : 9 = R$ 0,55, logo, 400g custam 4. R$0,55 = R$ 2,20, como R$2,20 e´
menor que R$3,30, que e´ o prec¸o da embalagem menor, enta˜o, a embalagem maior e´ relativamente mais
barata. Esse e´ um tipo de exerc´ıcio em que e´ poss´ıvel aplicar a regra de treˆs que veremos na sequeˆncia.
900 g por
R$ 4,95 400 g por
R$ 3,30
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Regra de Três e Proporção
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11
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Sa˜o grandezas relacionadas de forma oposta quanto ao seu crescimento ou decrescimento. O aumento
de uma grandeza implica na diminuic¸a˜o da outra, e a diminuic¸a˜o de uma grandeza implica no aumento
imediato da outra.
Exemplo 12: Um muro e´ constru´ıdo por 6 homens em 12 dias. Quantos dias sera˜o necessa´rios para 9
homens constru´ırem o mesmo muro?
Resoluc¸a˜o: observe que quanto mais homens menos dias, enta˜o, as grandezas sa˜o inversamente propor-
cionais, assim, montamos a proporc¸a˜o invertendo os termos da raza˜o que na˜o possuem x.
9
6
=
12
x
9 · x = 6 · 12
9x = 72
x =
72
9
x = 8
FIQUE ESPERTO!
Existem situac¸o˜es em que na˜o ha´ proporcionalidade!
A tabela abaixo mostra a variac¸a˜o da idade e da altura de Joa˜o.
Idade (anos) Altura(m)
10 1,30
15 1,65
20 1,80
25 1,80
30 1,80
Essas grandezas na˜o sa˜o direta nem inver-
samente proporcionais, pois na˜o variam na
mesma raza˜o, nem na raza˜o inversa.
Dica:
Devemos multiplicar um dos valores de uma grandeza com um valor da outra grandeza. Mas esse
processo na˜o e´ aleato´rio: deve-se seguir as setas de forma a estabelecer um caminho. Na˜o existe esse
nego´cio de ”regra de treˆs e´ so´ multiplicar cruzado”. Ha´ circunstaˆncias em que o caminho e´ multiplicar
cruzado e ha´ circunstaˆncias em que o caminho e´ multiplicar o ”de cima”pelo ”de cima”e o ”de baixo”pelo
”de baixo”. Assim quando dissermos ”quanto mais”, orientaremos a seta para cima. Quando dissermos
”quanto menos”, orientaremos a seta para baixo.
11
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Sa˜o grandezas relacionadas de forma oposta quanto ao seu crescimento ou decrescimento. O aumento
de uma grandeza implica na diminuic¸a˜o da outra, e a diminuic¸a˜o de uma grandeza implica no aumento
imediato da outra.
Exemplo 12: Um muro e´ constru´ıdo por 6 homens em 12 dias. Quantos dias sera˜o necessa´rios para 9
homens constru´ırem o mesmo muro?
Resoluc¸a˜o: observe que quanto mais homens menos dias, enta˜o, as grandezas sa˜o inversamente propor-
cionais, assim, montamos a proporc¸a˜o invertendo os termos da raza˜o que na˜o possuem x.
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12
x
9 · x = 6 · 12
9x = 72
x =
72
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FIQUE ESPERTO!
Existem situac¸o˜es em que na˜o ha´ proporcionalidade!
A tabela abaixo mostra a variac¸a˜o da idade e da altura de Joa˜o.
Idade (anos) Altura(m)
10 1,30
15 1,65
20 1,80
25 1,80
30 1,80
Essas grandezas na˜o sa˜o direta nem inver-
samente proporcionais, pois na˜o variam na
mesma raza˜o, nem na raza˜o inversa.
Dica:
Devemos multiplicar um dos valores de uma grandeza com um valor da outra grandeza. Mas esse
processo na˜o e´ aleato´rio:deve-se seguir as setas de forma a estabelecer um caminho. Na˜o existe esse
nego´cio de ”regra de treˆs e´ so´ multiplicar cruzado”. Ha´ circunstaˆncias em que o caminho e´ multiplicar
cruzado e ha´ circunstaˆncias em que o caminho e´ multiplicar o ”de cima”pelo ”de cima”e o ”de baixo”pelo
”de baixo”. Assim quando dissermos ”quanto mais”, orientaremos a seta para cima. Quando dissermos
”quanto menos”, orientaremos a seta para baixo.
RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
I
12
Exemplo 13: Um monomotor percorre certa distaˆncia voando com velocidade igual a 300 km/h, durante
6 horas; outro avia˜o percorrera´ a mesma distaˆncia, com a velocidade igual a 360 km/h. De quanto tempo
o segundo avia˜o precisara´?
Note que: se a velocidade aumentar, o tempo de percurso diminui, mostrando que o problema e´ de
grandezas inversamente proporcionais.
Resoluc¸a˜o:
300 · 6 = 360 · T
1800 = 360 · T
T = 5 h
Exemplo 14: Um automo´vel percorre 300 km em 5 horas. Mantendo a mesma velocidade, que distaˆncia
percorrera´ em 7 horas?
Note que: se o tempo aumenta, a distaˆncia tambe´m aumenta (esta˜o em velocidade constante), mostrando
que o problema e´ de grandezas diretamente proporcionais.
23
Regra de Três e Proporção
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13
Resoluc¸a˜o:
300 · 7 = 5 · D
2100 = 5 · D
D = 420 Km
PORCENTAGEM
A porcentagem e´ o nome dado a toda frac¸a˜o cujo denominador e´ 100. Sabemos que
3
100
representa que
dividimos o inteiro em 100 partes iguais e tomamos 3 dessa parte, sendo assim, podemos representar
3
100
por 3%, razo˜es em que o denominador e´ 100 tambe´m chamado de raza˜o centesimal ou porcentual. Por
cento e´ uma expressa˜o representada pelo s´ımbolo %, que significa cente´simos, a porcentagem e´ utilizada
em diversas a´reas como no mercado financeiro, na Engenharia, na Matema´tica, na Geografia ou ate´ mesmo
na Administrac¸a˜o entre outras.
7% =
7
100
= 0, 07 - 2, 9% =
2, 9
100
= 0, 029
Para calcular problemas que envolvem a porcentagem, utilizamos a Regra de Treˆs Simples com grandezas
diretamente proporcionais, pore´m e´ poss´ıvel utilizar outras te´cnicas de resoluc¸a˜o.
Exemplo 15: Em uma cesta ha´ 60 laranjas das quais 20% esta˜o estragadas. Quantas sa˜o as laranjas
estragadas? (aplicando a regra de treˆs)
Laranjas Taxa percentual
60 100%
x 20%
100 · x = 20 · 60
100 · x = 1200
x =
1200
100
x = 12 laranjas esta˜o estragadas
Podemos resolver o mesmo exemplo utilizando a fo´rmula:
p =
c · i
100
Onde:
c = capital ou principal neste caso as 60 laranjas
p = porcentagem neste caso x
i = taxa neste caso 20%
RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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p =
60 · 20
100
=
1200
100
= 12
Exemplo 16: Numa loja de esportes, a camisa do meu time, que custava R$ 25,00, passou a custar R$
27,00. Qual foi a porcentagem de aumento?
Resoluc¸a˜o: 27 - 25 = 2
Temos um aumento de R$ 2,00 em R$ 25,00, sabemos que o percentual e´ uma frac¸a˜o cujo denominador
e´ 100 enta˜o:
2
25
=
8
100
= 8%, o aumento foi de 8%
Exemplos 17: Uma camisa sofreu um aumento de R$ 30,00 para R$ 32,40. Qual foi o percentual de
aumento?
Note que houve um aumento de R$ 2,40 sobre o prec¸o antigo, R$ 30,00, basta traduzir para a linguagem
matema´tica:
2, 40
30, 00
= 0, 08 =
8
100
= 8%
Outros exemplos que envolvem porcentagem:
a) Calcular 35% de 90
35
100
· 90 = 31, 5
b) Calcular 25% de 80%
25
100
· 80
100
=
20
100
= 20%
c) Calcule (10%)2.
10
100
= 0, 1. Logo, (0, 1)2 = 0, 01 · 100 = 1%
d) Se um trabalhador recebe um corte de 20% no seu sala´rio, ele so´ vai readquirir o original se tiver um
aumento de quantos por cento?
Resoluc¸a˜o: supondo que esse trabalhador ganhe R$1000,00, enta˜o,
1000 · 20
100
= 200, logo, tera´ um des-
conto de R$200,00 e passara´ a receber apenas R$ 800,00. Recebendo esse sala´rio ele so´ ira´ readquirir o
sala´rio original se ganhar um aumento de 25%, observe:
80 · 25
100
= 200.
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Porcentagem
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16
CONSIDERAC¸O˜ES FINAIS
Ao planejar esta unidade, focamos em possibilitar maneiras de aprofundar os conhecimentos de regra de
treˆs, grandezas diretamente e inversamente proporcionais, principalmente, os conceitos de porcentagem,
tornando o aprendizado mais significativo, facilitando a sua compreensa˜o para os assuntos que sera˜o
abordados posteriormente.
Nesta unidade, percebemos que os assuntos abordados, raza˜o, proporc¸a˜o e, principalmente a porcentagem
sa˜o aplicadas em diversos momentos de nosso cotidiano e em diversas a´reas de conhecimento. A proposta
desta unidade e´ dar subs´ıdios a voceˆ para ampliar seu conhecimento matema´tico de acordo com a sua
experieˆncia e o seu cotidiano, possibilitando inovar as aplicac¸o˜es e adequa´-las a cada necessidade.
Temos certeza que, para estudar os assuntos propostos nesta unidade, na˜o foi poss´ıvel fazeˆ-lo somente com
a leitura, foi preciso la´pis, borracha e papel a` ma˜o e uma boa pitada de dedicac¸a˜o. E´ assim que se estuda
matema´tica: exercitando, processo que o(a) leva a levantar du´vidas que podem e devem ser esclarecidas,
posteriormente, pela equipe de suporte de seu curso.
15
Cuidado! E´ comum aparecer situac¸o˜es em que ha´ um desconto e, na sequeˆncia, um acre´scimo da
mesma taxa. Isso e´ pegadinha! O prec¸o na˜o volta ao normal!
Se o prec¸o inicial for R$200, por exemplo, um desconto de 20% sobre esse prec¸o corresponderia a
R$40 e derrubaria o prec¸o para R$160. Um acre´scimo de 20% sobre esse prec¸o vai resultar em R$32
e aumentaria o prec¸o para R$192.
Mesmo que voceˆ tivesse dado o aumento primeiro e depois o desconto, chegaria aos mesmos valores.
RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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ATIVIDADES DE ESTUDOS
1. Em uma urna, ha´ 40 bolas das quais 30% sa˜o verdes. Quantas sa˜o as bolas verdes?
2. 20% de uma certa quantia corresponde a R$ 25,00. Qual e´ essa quantia?
3. Numa cidade de 5000 habitantes, 1200 sa˜o mulheres. Determine a taxa percentual de mulheres.
4. Ma´rio, que ganhava R$ 800,00, teve um aumento de sala´rio e passou a ganhar R$ 920,00. Calcule
o porcentual desse aumento.
5. Um computador e´ vendido a` vista por R$ 2700,00 ou em 18 parcelas de R$ 204,00. Quantos por
cento pagara´ a mais quem comprar a prazo?
6. E´ correto afirmar que (30%)2 equivale a 9%?
7. Com 20kg de farinha sa˜o produzidos 800 pa˜es. Quantos pa˜es iguais aos primeiros sera˜o produzidos
com 10kg de farinha?
8. Um carro com velocidade me´dia de 70km/h demora 6 horas para ir de uma cidade a outra. Para
percorrer o mesmo trajeto em 4 horas, qual seria a velocidade me´dia desenvolvida?
9. Mil folhas de certo papel pesam 4kg. Quanto pesara˜o 600 folhas do mesmo tipo de papel (usaremos
pesar no sentido de ter massa por se tratar de linguagem coloquial).
10. A prefeitura de Caˆndido Mota resolveu colocar postes para iluminac¸a˜o de uma rua. Se colocar os
postes distantes um do outro 25 m, sera˜o necessa´rios 80 postes. Se a distaˆncia for de 40m, quantos
postes sera˜o necessa´rios?
27 
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E II
Professora Esp. Antoneli daSilva Ramos
Professor Esp. Fernando Marcussi
NOTAÇÃO CIENTÍFICA, 
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES E 
OPERAÇÃO COM NÚMEROS 
DECIMAIS
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Compreender os conceitos relacionados à Notação Científica.
 ■ Entender as Potências de Base 10.
 ■ Identificar e escrever números escritos em Notação Científica.
 ■ Exercitar habilidades básicas de operar números fracionários.
 ■ Identificar Frações Equivalentes.
 ■ Dominar as 4 operações fundamentais: Adição, Multiplicação, 
Subtração, Divisão no conjunto dos números racionais (decimais e 
fracionários).
 ■ Saber manipular Número Misto.
 ■ Saber resolver Expressões Numéricas, desde as mais simples, até as 
mais elaboradas.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Notação Científica
 ■ Operações com Frações
 ■ Operações com Números Decimais
 ■ Expressões Numéricas
19
INTRODUC¸A˜O
Nesta unidade, iniciaremos a abordagem dos conteu´dos com notac¸a˜o cient´ıfica, na sequeˆncia operac¸o˜es
com frac¸o˜es e finalizaremos com operac¸o˜es com nu´meros decimais. Apesar de serem temas simples, sa˜o
conteu´dos onde a grande maioria das pessoas sentem dificuldades e muitos na˜o conseguem atingir os
resultados esperados, provavelmente, porque o bloqueio esta´ na maneira como esses conteu´dos foram
introduzidos no ensino fundamental.
Ao abordar a notac¸a˜o cient´ıfica, o foco esta´ nas poteˆncias de base dez e no trabalho com radicais, valo-
rizando nossos estudos, apresentaremos diversas possibilidades de aplicac¸a˜o e de utilizac¸a˜o de forma de
escrita nume´rica.
Nosso primeiro contato com as frac¸o˜es acontece nas se´ries iniciais do ensino fundamental, entre o 3o e
4o ano. E´ o momento em que descobrimos que a forma fraciona´ria representa uma determinada parte
de um inteiro ou de uma qualidade, assim, a intenc¸a˜o e´ mostrar ao aluno a necessidade de representar
partes de um intervalo ou de uma quantidade, assim, a intenc¸a˜o e´ mostrar ao aluno, a necessidade de
representar partes de um inteiro, proporcionando um estudo das frac¸o˜es, estabelecendo relac¸o˜es com o
dia a dia dos alunos, atrave´s de situac¸o˜es diversificadas de utilizac¸a˜o de frac¸o˜es, pois e´ comprovado que o
aluno apresenta mais dificuldade com os nu´meros fraciona´rios que com os nu´meros naturais.
Finalizaremos esta unidade com as operac¸o˜es que envolvem os nu´meros decimais, partindo do princ´ıpio de
que voceˆ conhece e ja´ obteve um contato com o conjunto dos nu´meros, daremos uma atenc¸a˜o especial aos
nu´meros decimais, pois voceˆ precisa interiorizar uma cadeia de relac¸o˜es e estruturas do valor de posic¸a˜o,
destacando a ampla utilizac¸a˜o desses nu´meros no dia a dia inclusive destacando a sua relac¸a˜o com os
nu´meros fraciona´rios.
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Introdução
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19
NOTAC¸A˜O CIENTI´FICA
Notac¸a˜o cient´ıfica e´ uma forma diferente de representar nu´meros reais, muito utilizada em ca´lculos que
envolvem nu´meros muito pequenos ou nu´meros muito grandes, evitando esquecer-se de algum zero, esta
notac¸a˜o e´ muito utilizada em Qu´ımica e F´ısica.
POTEˆNCIA DE BASE 10:
Ela e´ representada por: a× 10k, ou seja, 1 ≤ a ≤ 10; k ∈ z, sendo assim, sempre que multiplicamos qual-
quer nu´mero inteiro por 10, acrescentamos um zero a` direita desse nu´mero para obtermos o resultado,
independentemente da quantidade de algarismos que forma esse nu´mero.
Exemplo 1:
a) 5 · 102 = 500 e) 7.000.000.000 = 7× 109.
b) 5 · 10−1 = 0, 5 f) 3, 12 · 101 = 31, 2.
c) 1, 5 · 10−1 = 1, 5 · 0, 1 = 0, 15 g) 4, 589 · 102 = 458, 9.
d) 1, 3 · 103 = 1300 h) 0, 0343 · 103 = 34, 3.
NOTE QUE:
Para que o nu´mero 7.000.000.000 se transformasse em notac¸a˜o cient´ıfica, foi necessa´rio “andar” com a
v´ırgula 9 casas a` esquerda (o expoente e´ 9), atente-se que o expoente e´ positivo.
Note tambe´m que 2×10−4 = 0, 0002, para que o nu´mero 0,0002 se transformasse em notac¸a˜o cient´ıfica,
foi necessa´rio “andar” com a v´ırgula 4 casas a` direita (o expoente e´ -4), atente-se que o expoente e´
negativo.
O processo e´ bem simples, posicionamos a v´ırgula de forma que o nu´mero fique entre 1 e 10. Contamos
o nu´mero de casas que a v´ırgula se deslocou para a esquerda ou para a direita, esse sera´ o expoente
da base 10.
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NOTAC¸A˜O CIENTI´FICA
Notac¸a˜o cient´ıfica e´ uma forma diferente de representar nu´meros reais, muito utilizada em ca´lculos que
envolvem nu´meros muito pequenos ou nu´meros muito grandes, evitando esquecer-se de algum zero, esta
notac¸a˜o e´ muito utilizada em Qu´ımica e F´ısica.
POTEˆNCIA DE BASE 10:
Ela e´ representada por: a× 10k, ou seja, 1 ≤ a ≤ 10; k ∈ z, sendo assim, sempre que multiplicamos qual-
quer nu´mero inteiro por 10, acrescentamos um zero a` direita desse nu´mero para obtermos o resultado,
independentemente da quantidade de algarismos que forma esse nu´mero.
Exemplo 1:
a) 5 · 102 = 500 e) 7.000.000.000 = 7× 109.
b) 5 · 10−1 = 0, 5 f) 3, 12 · 101 = 31, 2.
c) 1, 5 · 10−1 = 1, 5 · 0, 1 = 0, 15 g) 4, 589 · 102 = 458, 9.
d) 1, 3 · 103 = 1300 h) 0, 0343 · 103 = 34, 3.
NOTE QUE:
Para que o nu´mero 7.000.000.000 se transformasse em notac¸a˜o cient´ıfica, foi necessa´rio “andar” com a
v´ırgula 9 casas a` esquerda (o expoente e´ 9), atente-se que o expoente e´ positivo.
Note tambe´m que 2×10−4 = 0, 0002, para que o nu´mero 0,0002 se transformasse em notac¸a˜o cient´ıfica,
foi necessa´rio “andar” com a v´ırgula 4 casas a` direita (o expoente e´ -4), atente-se que o expoente e´
negativo.
O processo e´ bem simples, posicionamos a v´ırgula de forma que o nu´mero fique entre 1 e 10. Contamos
o nu´mero de casas que a v´ırgula se deslocou para a esquerda ou para a direita, esse sera´ o expoente
da base 10.
NOTAÇÃO CIENTÍFICA, OPERAÇÕES COM FRAÇÕES E OPERAÇÃO COM NÚMEROS DECIMAIS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
II
20
Exemplo 2: Utilizando o nu´mero 150.000.000 preciso transforma´-lo em notac¸a˜o cient´ıfica, observe:
150.000.000, mesmo oculta, o nu´mero possui o posicionamento da v´ırgula, para ser notac¸a˜o cient´ıfica o
nu´mero deve estar entre 1 e 10, enta˜o, posso posicionar a v´ırgula apo´s o 1,5 em seguida multiplico por
10 elevado ao nu´mero de casas que sobraram apo´s a v´ırgula, como a v´ırgula se deslocou para a esquerda
o expoente e´ positivo, resultando em 1, 5 · 108.
Exemplo 3: Transforme 414 · 521 em um nu´mero de notac¸a˜o cient´ıfica.
Resoluc¸a˜o: (22)14 · 521
228 · 521
(27 · 221) · 521
27 · (221 · 521)
27 · 1021
128 · 1021 = 1, 28 · 1023
Exemplo 4: Qual e´ o valor da expressa˜o 5100× 10−5 + 3× 10−4?
Resoluc¸a˜o: 5100× 10−5 = 510× 101 × 10−5
510× 10−4 + 3× 10−4
513× 10−4 =
513
104
=
513
10.000
= 0, 0513
OPERAC¸O˜ES COM FRAC¸O˜ES
Durante a sua jornada acadeˆmica, em algum momento, provavelmente voceˆ deve ter entrado em contato
com o estudo das frac¸o˜es, de onde surge, qual o significado de cada representac¸a˜o, enfim, neste nivela-
mento o nosso objetivo e´ que voceˆ saiba manipula´-las, tendo domı´nio ao realizar as operac¸o˜es com frac¸o˜es.
ADIC¸A˜O E SUBTRAC¸A˜O DE FRAC¸O˜ES:
E´ poss´ıvel calcular operac¸o˜es com o mesmo denominador e tambe´m com denominadores diferentes. Para
denominadores diferentes, basta procurar as frac¸o˜es equivalentes e encontrar o famoso M.M.C ( mı´nimo
mu´ltiplo comum),observe como adicionamos as frac¸o˜es considerando as classes de equivaleˆncia de um
nu´mero fraciona´rio.
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Operações com Frações
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Exemplo 5:
1
2
+
3
5
note as classes de equivaleˆncia:
[
1
2
]
=
{
1
2
,
2
4
,
3
6
,
4
8
,
5
10
, ...
}
−→ Classe de equivaleˆncia de 1
2[
3
5
]
=
{
3
5
,
6
10
,
9
15
, ...
}
−→ Classe de equivaleˆncia de 3
5
Observe que 10 e´ um mu´ltiplo comum de 2 e 5, enta˜o:
1
2
+
3
5
=
5
10
+
6
10
=
11
10
Exemplo 6:
1
2
− 3
5
1
2
− 3
5
=
5
10
− 6
10
= − 1
10
Exemplo 7: Iniciou-se a colheita de milho na lavoura do Seu Joaquim,
1
2
foi colhida pela ma´quina de
Paulo,
3
10
foi colhida pela ma´quina de Jose´ e
1
5
pela ma´quina do Pedro. A colheita foi completamente
realizada?
Resoluc¸a˜o: Para resolver precisamos somar as frac¸o˜es, neste caso, precisamos encontrar a frac¸a˜o equi-
valente a
1
2
,
3
10
e
1
5
, atente-se que temos que encontrar o mesmo denominador, enta˜o, neste caso iremos
utilizar o M.M.C entre 2, 10 e 5 decompondo em um produto de primos.
2 = 21, 10 = 21 × 51 e 5 = 51
Logo M.M.C entre (2,5,10) = 2 × 5 = 10
Encontrando o denominador comum, basta reduzir as frac¸o˜es dadas:
Finalmente, adicione as frac¸o˜es com os denominadores iguais:
1
2
+
3
10
+
1
5
=
5
10
+
3
10
+
2
10
=
5 + 3 + 2
10
=
10
10
= 1
NOTAÇÃO CIENTÍFICA, OPERAÇÕES COM FRAÇÕES E OPERAÇÃO COM NÚMEROS DECIMAIS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
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22
Conclui-se que as ma´quinas colheram toda a lavoura.
MULTIPLICAC¸A˜O DE FRAC¸O˜ES:
Ome´todo pra´tico para a multiplicac¸a˜o e´ o mais simples entre todos os me´todos: Multiplicamos Numerador
por Numerador e Denominador por Denominador.
Exemplo 8:
“Atenc¸a˜o na˜o esquec¸a do jogo de sinais”
DIVISA˜O DE FRAC¸O˜ES:
Na divisa˜o de frac¸o˜es multiplicamos a primeira frac¸a˜o pelo inverso da segunda (em outras palavras,
copiamos a primeira, invertemos a segunda e multiplicamos).
Exemplo 9:
a)
2
3
:
3
5
=
2
3
·
5
3
=
10
9
b)
2
3
:
(
−
3
7
)
:
1
8
=
2
3
·
(
−
7
3
)
·
8
1
=
2 · (−7) · 8
3 · 3 · 1
= −
112
9
Na˜o podemos esquecer os nu´meros mistos, que sa˜o expresso˜es que conteˆm nu´meros com uma quantidade
inteira e outra fraciona´ria, observe o exemplo:
5
1
4
( leˆ-se cinco inteiros e um quarto), ou seja, temos cinco unidades inteiras e mais
1
4
.
Logo: 5
1
4
= 5 +
1
4
=
20
4
+
1
4
=
21
4
OPERAC¸A˜O COM NU´MEROS DECIMAIS
O conceito de nu´meros decimais pode ser vinculado ao conceito de frac¸o˜es auxiliando no processo de
compreensa˜o do conteu´do.
ADIC¸A˜O E SUBTRAC¸A˜O DE DECIMAIS
Nas operac¸o˜es que envolvem nu´meros decimais, precisamos calcular de acordo com sua casa decimal,
exemplos inteiros com inteiros, de´cimos com de´cimos, cente´simos com cente´simos assim sucessivamente.
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Operação com Números Decimais
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Veja como podemos adicionar dois nu´meros decimais:
Note que os nu´meros foram representados em decimais fraciona´rios, o exerc´ıcio propoˆs uma operac¸a˜o
simples, uma adic¸a˜o de 0,5 + 0,7 resultando em 1,2, ou seja, um inteiro e dois de´cimos.
Armando a operac¸a˜o somente com os nu´meros decimais seria:
UNIDADES DE´CIMOS
0, 7
0, 5
1, 2
Exemplo 10: Calcule 12,8 + 1, 089 + 16 + 0,004 = 29,893
DEZENA UNIDADE DE´CIMOS CENTE´SIMOS MILE´SIMOS
1 2, 8
1, 0 8 9
1 6
0, 0 0 4
2 9, 8 9 3
NOTAÇÃO CIENTÍFICA, OPERAÇÕES COM FRAÇÕES E OPERAÇÃO COM NÚMEROS DECIMAIS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
II
25
O segredo desse ca´lculo e´ usar a velha muleta da vovo´. Efetue a operac¸a˜o colocando sempre v´ırgula
embaixo de v´ırgula.
MULTIPLICAC¸A˜O DE NU´MEROS DECIMAIS:
Para multiplicar nu´meros fraciona´rios, e´ necessa´rio atentar-se que todo nu´mero decimal tambe´m e´ um
nu´mero fraciona´rio, exemplo: 3, 75 =
375
100
ou 11, 7 =
114
10
, observe que a quantidade de casas apo´s a
v´ırgula sera´ a quantidade de casas decimais que irei utilizar ”quantidade de zeros”.
Exemplo 11: Calcule 3, 17 · 11, 2
317
100
· 112
10
=
35504
1000
= 35, 504
Exemplo 12: As classes de uma escola esta˜o arrecadando alimentos para as festas juninas. Parte dos
mantimentos sera´ doada a instituic¸o˜es como creche e hospitais. A classe que conseguir mais mantimentos
recebera´ um preˆmio. A turma de Camila obteve 0,3 de 1,25 toneladas de alimentos. Isso e´ 0,3 de 1,25
toneladas ou:
0, 3× 1, 25 = 3
10
× 125
100
=
375
1000
= 0, 375 toneladas
Observe que, ao efetuar essa operac¸a˜o, multiplicamos de´cimos por cente´simos, resultando em mile´simos,
isso implica em treˆs casas decimais, enta˜o, para resolver essa operac¸a˜o, posso utilizar a velha ta´tica da
vovo´, armando a operac¸a˜o e apo´s a resoluc¸a˜o realizar a contagem das casas decimais e, so´ enta˜o, posicionar
a v´ırgula, observe:
0,3
× 1,25
0,375
DIVISA˜O DE NU´MEROS DECIMAIS:
Na divisa˜o os nu´meros decimais tambe´m sa˜o frac¸o˜es, exemplo:(
12, 155 : 4, 25 =
12155
1000
:
425
100
=
12155
1000
· 100
425
= 2, 86
)
.
Exemplo 13: Calcule 6,8 : 1,02
68
10
:
102
100
=
68
10
· 100
102
=
6800
1020
= 6, 666...
Exemplo 14: Quero dividir 12000 hectares de terra em lotes de 4,5 hectares. Quantos lotes obterei?
12000 :
45
10
= 12000 · 10
45
=
120000
45
= 2666, 66...
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Conclui-se que a divisa˜o entre dois nu´meros decimais segue uma sistematizac¸a˜o simples, basta com-
pletar com zeros ate´ que o nu´mero de casas decimais seja igual para ambos. A seguir, ignoraremos a
v´ırgula e realizaremos os ca´lculos como se trata´ssemos de nu´meros inteiros.
Atente-se que, quando assunto e´ multiplicac¸a˜o e divisa˜o, voceˆ devera´ realizar o jogo de sinais.
EXPRESSO˜ES NUME´RICAS
E´ poss´ıvel nos depararmos com situac¸o˜es que envolvam va´rias operac¸o˜es, e para atingir o resultado devemos
realizar va´rios ca´lculos. Essas situac¸o˜es sa˜o chamadas de expresso˜es.
Exemplo 15: Cla´udio e Jair foram a` doceria e compraram um pacote de balas por R$ 4,90 e treˆs caixas
de bombons por R$ 5,50. Dividiram a despesas igualmente. Quanto gastou cada um?
(4, 90 + 5, 50) : 2 =R$ 5, 20
As expresso˜es envolvem va´rias operac¸o˜es, va´rios s´ımbolos e va´rias formas de escrever os nu´meros, por esse
motivo devemos nos atentar a` ordem de prefereˆncia para a resoluc¸a˜o.
Exemplo 16:(
−6
3
+
5
4
)
:
(
1
8
+ 1, 6
)
=
(−24 + 15
12
)
:
(
1
8
+
16
10
)
=
(
− 9
12
)
:
(
5 + 64
40
)
=
(
− 9
12
)
:
(
69
40
)
=
(
− 9
12
)
·
(
40
69
)
=
(
−360
828
)
= −0, 434
26
Conclui-se que a divisa˜o entre dois nu´meros decimais segue uma sistematizac¸a˜o simples, basta com-
pletar com zeros ate´ que o nu´mero de casas decimais seja igual para ambos. A seguir, ignoraremos a
v´ırgula e realizaremos os ca´lculos como se trata´ssemos de nu´meros inteiros.
Atente-se que, quando assunto e´ multiplicac¸a˜o e divisa˜o, voceˆ devera´realizar o jogo de sinais.
EXPRESSO˜ES NUME´RICAS
E´ poss´ıvel nos depararmos com situac¸o˜es que envolvam va´rias operac¸o˜es, e para atingir o resultado devemos
realizar va´rios ca´lculos. Essas situac¸o˜es sa˜o chamadas de expresso˜es.
Exemplo 15: Cla´udio e Jair foram a` doceria e compraram um pacote de balas por R$ 4,90 e treˆs caixas
de bombons por R$ 5,50. Dividiram a despesas igualmente. Quanto gastou cada um?
(4, 90 + 5, 50) : 2 =R$ 5, 20
As expresso˜es envolvem va´rias operac¸o˜es, va´rios s´ımbolos e va´rias formas de escrever os nu´meros, por esse
motivo devemos nos atentar a` ordem de prefereˆncia para a resoluc¸a˜o.
Exemplo 16:(
−6
3
+
5
4
)
:
(
1
8
+ 1, 6
)
=
(−24 + 15
12
)
:
(
1
8
+
16
10
)
=
(
− 9
12
)
:
(
5 + 64
40
)
=
(
− 9
12
)
:
(
69
40
)
=
(
− 9
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)
·
(
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=
(
−360
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)
= −0, 434
NOTAÇÃO CIENTÍFICA, OPERAÇÕES COM FRAÇÕES E OPERAÇÃO COM NÚMEROS DECIMAIS
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CONSIDERAC¸O˜ES FINAIS
Nesta unidade apresentamos a notac¸a˜o cient´ıfica, muito utilizada principalmente em disciplinas que envol-
vem Qu´ımica, F´ısica e linguagem computacional, raramente e´ explorada no ensino fundamental. Atrave´s
das atividades propostas, conclui-se que a notac¸a˜o cient´ıfica e´ muito significativa assim como as poteˆncias
e expoentes negativos.
Esta unidade proporcionou retomar conteu´do aplicado por volta do 7o ano do ensino fundamental, pois e´
nesse ponto de sua jornada acadeˆmica que, obrigatoriamente, de acordo com os PCNs, sa˜o introduzidas
as operac¸o˜es que envolvem nu´meros fraciona´rios e decimais, e´ nesse ponto que sa˜o ensinados conceitos
e nomenclatura, representac¸a˜o e igualdade, o resultado e´ que estas operac¸o˜es sa˜o bem simples de serem
resolvidas, basta respeitar as regras, visto que existem diversas maneiras de efetuar as operac¸o˜es tornando
os ca´lculos simples e o processo ra´pido e fa´cil de compreender.
O objetivo central e´ agilizar o ca´lculo com as operac¸o˜es matema´ticas ba´sicas que evolvem nu´meros decimais
e fraciona´rios positivos e relativos, visto que a ideia de frac¸a˜o e´ um dos temas que mais aparecem em
concursos e um dos temas de maior dificuldade em absorc¸a˜o por parte dos alunos. Estes, por acharem
o conteu´do desnecessa´rio e simples, na˜o assimilam e erram detalhes ba´sicos ao realizar as operac¸o˜es
matema´ticas.
Uma maneira de fixar os conteu´dos abordados e´ a resoluc¸a˜o de exerc´ıcios, enta˜o, vamos praticar as
atividades propostas nesta unidade.
Bons estudos!
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Considerações Finais
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ATIVIDADES DE ESTUDOS
1. Um lago, aproximadamente retangular, mede 210,3 m por 325,2 m. Qual e´ a a´rea em metros
quadrados?
2. Calcule a expressa˜o
(
2
3
− 1
6
)
:
(
3
5
)
3. Calcule:
a)
0, 32
0, 2
b)
6
5
1
2 +
1
3
4. Em uma escola 104 alunos sa˜o do sexo feminino. Se o
1
9
dos alunos sa˜o do sexo masculino, quantos
estudantes tem essa escola?
5. Ao realizar uma pesquisa para as eleic¸o˜es com os moradores de uma cidade do interior de Sa˜o Paulo,
constatou-se que
1
3
deve votar em Joa˜o Ruba˜o para prefeito e
3
5
devem votar em Lu´ıs Peixoto. Que
frac¸a˜o da populac¸a˜o na˜o votara´ em um desses dois candidatos?
6. Do dinheiro que possu´ıa, Maria gastou
1
3
com um ingresso de cinema. Do dinheiro que restou,
Maria gastou
1
4
comprando pipoca. Que frac¸a˜o do dinheiro total que Maria possu´ıa foi gasta com
a pipoca? Que frac¸a˜o do dinheiro sobrou depois desses gastos?
7. Em uma pesquisa cient´ıfica cada experieˆncia tem durac¸a˜o de 50 minutos, o intervalo de tempo de
duas experieˆncias seguidas, expresso em segundos, e´ de:
a) 3, 0× 102
b) 3, 0× 103
c) 3, 6× 103
d) 6, 0× 103
e) 7, 2× 103
8. A nossa gala´xia, a Via La´ctea, conte´m cerca de 400 bilho˜es de estrelas. Suponha que 0,05% dessas
estrelas possuam um sistema planeta´rio onde exista um planeta semelhante a` Terra. O nu´mero de
planetas semelhantes a` Terra, na Vı´a La´ctea, e´:
a) 2, 0× 104
b) 2, 0× 106
29
c) 2, 0× 108
d) 2, 0× 1011
e) 2, 0× 1012
9. Qual e´ a representac¸a˜o da frac¸a˜o
9
2
em nu´meros decimais?
10. Observe as frac¸o˜es e suas respectivas representac¸o˜es decimais:
I.
3
1000
= 0, 003
II.
2367
100
= 23, 67
III.
129
10000
= 0, 0129
IV.
267
10
= 2, 67
Utilizando as igualdades acima, escolha a alternativa correta.
a) I e II.
b) I e IV.
c) I, II e III.
d) I, II, III e IV.
41 
U
N
ID
A
D
E III
Professora Esp. Antoneli da Silva Ramos
Professor Esp. Fernando Marcussi
FUNÇÃO DO 1º E 2º GRAUS
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Reconhecer e definir função.
 ■ Utilizar a linguagem das funções.
 ■ Construir gráficos de funções do 1º e 2º graus.
 ■ Construir, ler e interpretar gráficos de funções do 1º e 2º graus.
 ■ Identificar zeros e vértice de uma função do 2º grau.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Noção Intuitiva de Função
 ■ Função do 1º grau
 ■ Função do 2º grau ou função quadrática
31
INTRODUC¸A˜O
Nesta unidade de estudo, preparamos para voceˆ o estudo das func¸o˜es do 1o e 2o graus, conhecidas tambe´m
como func¸a˜o afim e func¸a˜o quadra´tica, respectivamente. A abordagem, por vezes, torna-se densa, pois
requer textos matema´ticos, contudo, exemplos sa˜o apresentados ao final de cada assunto com o objetivo
de se confirmar uma regra ou demonstrar uma verdade.
O conteu´do abordado se faz relevante, pois aprendeˆ-las permite que voceˆ compreenda como as func¸o˜es
descrevem o comportamento de situac¸o˜es do mundo ao nosso redor, por esse motivo reconhecer, definir e
caracterizar as func¸o˜es torna-se pertinente.
Nessa perspectiva, esperamos de voceˆ a dedicac¸a˜o de estudante de sempre, ale´m de ler minuciosamente
este material, assista a`s aulas dispon´ıveis no ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Atente-se que o
processo de leitura de um texto matema´tico necessita de reflexa˜o para compreender o assunto abordado,
pois ler sem refletir e´ o mesmo que nada ler.
45
Introdução
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32
NOC¸A˜O INTUITIVA DE FUNC¸A˜O
Reconhecido como um dos mais importantes conceitos da Matema´tica, o conceito de func¸a˜o esta´ presente
nas relac¸o˜es entre duas grandezas varia´veis.
Exemplo 1: Considere a tabela que relaciona o nu´mero de litros de gasolina comprados e o prec¸o a pagar
por eles:
Nu´mero de Litros Prec¸o a pagar (R$)
1 2,30
2 4,60
3 6,90
...
...
40 92,00
x 2, 30x
Observe que o prec¸o a pagar e´ dado em func¸a˜o do nu´mero de litros comprados, ou seja, o prec¸o a pagar
depende do nu´mero de litros comprados.
Prec¸o a pagar = R$ 2,30 vezes o nu´mero de litros comprados
Ou
P = 2, 30x −→ Lei da func¸a˜o ou fo´rmula matema´tica da func¸a˜o ou regra da func¸a˜o
Exemplo 2: Numa rodovia, um carro mante´m uma velocidade constante de 90km/h. Veja a tabela que
relaciona o tempo t (em horas) e a distaˆncia d (em quiloˆmetros):
Tempo (h) 0,5 1 1,5 2 3 4 T
Distaˆncia (km) 45 90 135 180 270 360 90t
Observe que a distaˆncia percorrida e´ dada em func¸a˜o do tempo, isto e´, a distaˆncia percorrida depende do
intervalo de tempo. Cadaintervalo de tempo considerado corresponde a um u´nico valor para a distaˆncia
percorrida. Dizemos, enta˜o, que a distaˆncia percorrida e´ func¸a˜o do tempo e escrevemos:
Distaˆncia = 90 · tempo
Varia´vel dependente ←− d = 90t −→ Varia´vel independente
FUNÇÃO DO 1º E 2º GRAUS
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rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
III
33
Grande parte das func¸o˜es que estudamos e´ determinada por fo´rmulas matema´ticas (regras ou leis). Como
visto anteriormente, a correspondeˆncia entre o nu´mero de litros de gasolina e o prec¸o a pagar expressa
por:
Prec¸o a pagar = 2,30 vezes o nu´mero de litros comprados
Em que o prec¸o de 1 litro e´ R$2,30. Essa func¸a˜o pode ser expressa pela fo´rmula matema´tica:
y = 2, 30x ou f(x) = 2, 30x
Veja outras func¸o˜es expressas por fo´rmulas matema´ticas:
• f : R→ R que a cada nu´mero real x associa o seu dobro → f(x) = 2x ou y = 2x
• f : R→ R que a cada nu´mero real x associa o seu cubo → f(x) = x3 ou y = x3
• f : R → R que a cada nu´mero real x associa o seu triplo somado com 1 → f(x) = 3x + 1 ou
y = 3x+ 1
• f : R→ R que a cada nu´mero real diferente de zero associa o seu inverso → f(x) = 1
x
ou y =
1
x
ou
y = x−1
Exemplo 3: Numa indu´stria, o custo operacional de uma mercadoria e´ composto de um custo fixo de
R$ 300,00 mais um custo varia´vel de R$ 0,50 por unidade fabricada. Portanto o custo operacional, que
representaremos por y, e´ dado em func¸a˜o do nu´mero de unidades fabricadas, que representaremos por x.
Vamos expressar, por meio de uma fo´rmula matema´tica, a lei dessa func¸a˜o.
Custo operacional = custo fixo + custo varia´vel =⇒ y = 300, 00 + 0, 50x
Enta˜o a fo´rmula matema´tica e´ f(x) = 300, 00 + 0, 50x ou y = 300, 00 + 0, 50x.
DOMI´NIO DE UMA FUNC¸A˜O REAL
Dada uma func¸a˜o f de A em B (f : A← B), o conjunto A chama-se domı´nio da func¸a˜o e o conjunto B,
contradomı´nio da func¸a˜o. Para cada x ∈ A, o elemento y ∈ B chama-se imagem de x pela func¸a˜o f ou
valor assumido pela func¸a˜o f para x ∈ A e o representamos por f(x) (leˆ-se: f de x). Assim y = f(x).
O conjunto de todos os y assim obtidos e´ chamado conjunto imagem da func¸a˜o f e e´ indicado por Im(f).
Assim uma func¸a˜o e´ composta por treˆs componentes: domı´nio, contradomı´nio e lei de correspondeˆn-
cia (Imagem). Quando e´ citada uma func¸a˜o f de A em B, ja´ ficam subentendidos o domı´nio (A) e o
contradomı´nio (B).
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Noção Intuitiva de Função
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Mas em alguns casos, e´ dada apenas a lei da func¸a˜o f, sem que A e B sejam citados. Nesses casos
consideramos o contradomı´nio B = R e o domı´nio A como ”maior”subconjunto de R (A ⊂ R) tal que a
lei dada defina uma func¸a˜o f : A→ R.
Veja nos exemplos a seguir a explicac¸a˜o do domı´nio em algumas func¸o˜es.
Exemplo 4: f(x) =
1
x
1
x
so´ e´ poss´ıvel em R se x �= 0 (na˜o existe divisa˜o por 0). Para cada x �= 0, o valor 1
x
sempre existe e e´
u´nico (o inverso de x). Logo, D(f) = R− 0 = R∗.
Exemplo 5: f(x) =
√
(3− x)√
(3− x) so´ e´ poss´ıvel em R se 3− x ≥ 0 (em R na˜o ha´ raiz quadrada de nu´mero negativo).
3− x ≥ 0⇒ −x ≥ −3⇒ x ≤ 3
Para cada x ≤ 3, f(x) existe e e´ u´nico, pois e´ a raiz quadrada de um nu´mero real maior ou igual a zero.
Portanto, D(f) = {x ∈ R | x ≤ 3}.
Exemplo 6: f(x) =
√
7− x√
x− 2
Neste caso, devemos ter:
7− x ≥ 0⇒ x ≤ 7
x− 2 > 0⇒ x > 2
Ou seja, x ∈ (2, 7]. Para cada x ∈ (2, 7], f(x) existe e e´ u´nico, pois e´ a divisa˜o de um nu´mero real positivo
ou nulo por outro positivo.
Logo D(f) = (2, 7]
FUNC¸A˜O DO 1o GRAU
Um representante comercial recebe, mensalmente, um sala´rio composto de duas partes: uma parte fixa,
no valor de R$ 1.500,00 e uma parte varia´vel, que corresponde a uma comissa˜o de 6% (0,06) sobre o total
das vendas que ele faz durante o meˆs. Nessas condic¸o˜es, podemos dizer que:
Sala´rio Mensal = 1500,00 + 0,06 · (Total das vendas do meˆs)
Observamos, enta˜o, que o sala´rio mensal desse vendedor e´ dado em func¸a˜o do total de vendas que ele faz
durante o meˆs, ou seja:
s(x) = 1500, 00 + 0, 06x ou s(x) = 0, 06x+ 1500, 00 ou y = 0, 06x+ 1500, 00
FUNÇÃO DO 1º E 2º GRAUS
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em que x e´ o total das vendas do meˆs. Esse e´ um exemplo de func¸a˜o do 1o grau ou func¸a˜o afim.
Definic¸a˜o:
Uma func¸a˜o f : R→ R chama-se func¸a˜o afim ou func¸a˜o do 1o grau quando existem dois nu´meros reais
a e b tal que f(x) = ax+ b, para todo x ∈ R. Por exemplo:
• f(x) = 2x+ 1 (a = 2, b = 1)
• f(x) = −x+ 4 (a = -1, b = 4)
• f(x) = 1
3
x+ 5 (a = 13 ,b = 5)
• f(x) = 4x (a= 4, b = 0)
CASOS PARTICULARES DE UMA FUNC¸A˜O DO 1◦ GRAU
1) Func¸a˜o identidade:
f : R→ R definida por f(x) = x para todo x ∈ R. Neste caso, a = 1 e b = 0.
2) Func¸a˜o linear:
f : R→ R definida por f(x) = ax para todo x ∈ R. Neste caso, b = 0. Alguns exemplos:
• f(x) = −2x (a = -2)
• f(x) = 1
5
x (a = 15)
• f(x) = √3x (a = √3)
3) Func¸a˜o constante
f : R→ R definida por f(x) = b para todo x ∈ R. Neste caso, a = 0. Alguns exemplos:
• f(x) = 3
• f(x) = 3
4
x
• f(x) = √−2x
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em que x e´ o total das vendas do meˆs. Esse e´ um exemplo de func¸a˜o do 1o grau ou func¸a˜o afim.
Definic¸a˜o:
Uma func¸a˜o f : R→ R chama-se func¸a˜o afim ou func¸a˜o do 1o grau quando existem dois nu´meros reais
a e b tal que f(x) = ax+ b, para todo x ∈ R. Por exemplo:
• f(x) = 2x+ 1 (a = 2, b = 1)
• f(x) = −x+ 4 (a = -1, b = 4)
• f(x) = 1
3
x+ 5 (a = 13 ,b = 5)
• f(x) = 4x (a= 4, b = 0)
CASOS PARTICULARES DE UMA FUNC¸A˜O DO 1◦ GRAU
1) Func¸a˜o identidade:
f : R→ R definida por f(x) = x para todo x ∈ R. Neste caso, a = 1 e b = 0.
2) Func¸a˜o linear:
f : R→ R definida por f(x) = ax para todo x ∈ R. Neste caso, b = 0. Alguns exemplos:
• f(x) = −2x (a = -2)
• f(x) = 1
5
x (a = 15)
• f(x) = √3x (a = √3)
3) Func¸a˜o constante
f : R→ R definida por f(x) = b para todo x ∈ R. Neste caso, a = 0. Alguns exemplos:
• f(x) = 3
• f(x) = 3
4
x
• f(x) = √−2x
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em que x e´ o total das vendas do meˆs. Esse e´ um exemplo de func¸a˜o do 1o grau ou func¸a˜o afim.
Definic¸a˜o:
Uma func¸a˜o f : R→ R chama-se func¸a˜o afim ou func¸a˜o do 1o grau quando existem dois nu´meros reais
a e b tal que f(x) = ax+ b, para todo x ∈ R. Por exemplo:
• f(x) = 2x+ 1 (a = 2, b = 1)
• f(x) = −x+ 4 (a = -1, b = 4)
• f(x) = 1
3
x+ 5 (a = 13 ,b = 5)
• f(x) = 4x (a= 4, b = 0)
CASOS PARTICULARES DE UMA FUNC¸A˜O DO 1◦ GRAU
1) Func¸a˜o identidade:
f : R→ R definida por f(x) = x para todo x ∈ R. Neste caso, a = 1 e b = 0.
2) Func¸a˜o linear:
f : R→ R definida por f(x) = ax para todo x ∈ R. Neste caso, b = 0. Alguns exemplos:
• f(x) = −2x (a = -2)
• f(x) = 1
5
x (a = 15)
• f(x) = √3x (a = √3)
3) Func¸a˜o constante
f : R→ R definida por f(x) = b para todo x ∈ R. Neste caso, a = 0. Alguns exemplos:
• f(x) = 3
• f(x) = 3
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• f(x) = √−2x
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4) Translac¸a˜o (da func¸a˜o identidade)
f : R→ R definida por f(x) = x+ b para todo x ∈ R e b �= 0. Neste caso, a = 1.
Alguns exemplos:
• f(x) = x+ 2
• f(x) = x+ 1
2
• f(x) = x− 3
VALOR DE UMA FUNC¸A˜O DO 1◦ GRAU
O valor de uma func¸a˜o do 1o grau ou func¸a˜o afim f(x) = ax+ b para x = x0 e´ dado por f(x0) = ax0 + b.
Por exemplo, na func¸a˜o afim f(x) = 5x+ 1, podemos determinar:
Exemplo7:
• f(1) = 5 · 1 + 1 = 5 + 1 = 6. Logo, f(1) = 6.
• f(−3) = 5(−3) + 1 = −15 + 1 = −14. Logo, f(−3) = −14
• f(15) = 5(15) + 1 = 1 + 1 = 2. Logo, f(15) = 2.
• f(x+ h) = 5(x+ h) + 1 = 5x+ 5h+ 1
DETERMINAC¸A˜O DE UMA FUNC¸A˜O DE 1o GRAU VIA DOIS PONTOS DISTINTOS
Uma func¸a˜o de 1o grau ou afim f(x) = ax + b fica inteiramente determinada quando conhecemos dois
dos seus valores f(x1) e f(x2) para quaisquer x1 e x2 reais, com x1 �= x2. Ou seja, com esses dados
determinamos os valores de a e de b.
Por exemplo:
• Se f(2) = -2, enta˜o para x = 2 tem-se f(x) = -2, ou seja, -2 = 2a + b;
• Se f(1) = 1, enta˜o para x = 1 tem-se f(x) = 1, ou seja, 1 = a + b.
Determinamos os valores de a e b resolvendo o sistema de equac¸o˜es: 2a+ b = −2a+ b = 1 ⇒
 2a+ b = −2−2a− 2b = −2 ⇒ −b = −4⇒ b = 4
Como a+ b = 1, enta˜o: a+ 4 = 1⇒ a = −3
Logo, a func¸a˜o de 1o grau f(x) = ax+ b tal que f(2) = −2 e f(1) = 1 e´ dada por f(x) = −3x+ 4.
FUNÇÃO DO 1º E 2º GRAUS
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Generalizando esse processo, de modo geral, conhecendo y1 = f(x1) e y2 = f(x2) para x1 e x2 reais
quaisquer, com x1 �= x2, podemos explicitar os valores a e b da func¸a˜o f(x) = ax + b, determinando-a
completamente.
Assim: y1 = f(x1) = ax1 + by2 = f(x2) = ax2 + b
y2 − y1 = (ax2 + b)− (ax1 + b) = ax2 − ax1 = a(x2 − x1)⇒ a = y2 − y1
x2 − x1 , x1 �= x2
Substituindo esse valor de a em y1 = f(x1) = ax1 + b, obtemos o valor de b:
y1 =
(
y2 − y1
x2 − x1
)
· x1 + b⇒ y1(x2 − x1) = y2x1 − y1x1 + b(x2 − x1)
⇒ y1x2 − y1x1 − y2x1 + y1x1 = b(x2 − x1)⇒ b = y1x2 − y2x1
x2 − x1
GRA´FICO DA FUNC¸A˜O DO 1◦ GRAU OU AFIM (f(x) = ax+ b)
Vamos provar que o gra´fico de uma func¸a˜o afim f(x) = ax+ b e´ uma reta. Para isso basta que treˆs pontos
quaisquer do gra´fico sejam colineares, ou seja, estejam numa mesma reta:
Para que isso ocorra, e´ necessa´rio e suficiente que um dos treˆs nu´meros d(P1, P3), d(P2, P3) e d(P1, P3)
seja igual a` soma dos outros dois. Supomos x1 < x2 < x3 e mostramos enta˜o que:
d(P1, P3) = d(P1, P2) + d(P2, P3)
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Usando a fo´rmula da distaˆncia entre dois pontos, obtemos:
d(P1, P2) =
√
(x2 − x1)2 + [(ax2 + b)− (ax1 + b)]2) =
√
(x2 − x1)2 + (ax2 − ax1)2
=
√
(1(x2 − x1)2 + a2(x2 − x1)2 =
√
(1 + a2) + (x2 − x1)2) = (x2 − x1)
√
1 + a2
De modo ana´logo, observemos que:
d(P2, P3) = (x3 − x2)
√
1 + a2 e d(P1, P3) = (x3 − x1)
√
1 + a2
Portanto: d(P1, P2) + d(P2, P3) = (x2 − x1 + x3 − x2)
√
1 + a2 = (x3 − x1)
√
1 + a2 = d(P1, P3)
Ou seja, d(P1, P3) = d(P1, P2) + d(P2, P3).
Logo, treˆs pontos quaisquer do gra´fico da func¸a˜o do 1o grau (ou afim) sa˜o colineares, o que significa que
o gra´fico e´ uma reta.
Geometricamente, b e´ a ordenada do ponto onde a reta, que e´ gra´fico da func¸a˜o f(x) = ax+ b, intersecta
o eixo Oy, pois para x = 0 temos f(0) = a · 0 + b = b.
O nu´mero a chama-se inclinac¸a˜o ou coeficiente angular dessa reta em relac¸a˜o ao eixo horizontal Ox.
FUNC¸A˜O DE 1o GRAU OU AFIM CRESCENTE E DECRESCENTE
Como ja´ abordado anteriormente, a func¸a˜o de 1o grau f(x) = ax+ b tem como representac¸a˜o gra´fica uma
reta, na˜o vertical, ou seja, na˜o paralela ao eixo y.
A ordenada do ponto onde a reta intercepta o eixo y e´ sempre b.
O nu´mero a chama-se taxa de variac¸a˜o ou taxa de crescimento da func¸a˜o. Quanto maior o valor absoluto
de a, mais a reta se afasta da posic¸a˜o horizontal.
Para a �= 0 existem duas possibilidades:
0
y
(0, b)
x
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III
39
a > 0, f e´ crescente a < 0, f e´ decrescente
Logo, f e´ crescente se a taxa de crescimento e´ positiva e decrescente se a taxa de crescimento e´
negativa.
Assim o que determina se a func¸a˜o afim ou de 1o grau f(x) = ax+b, com a �= 0, e´ crescente ou decrescente
e´ o sinal de a. Se a e´ positivo, ela e´ crescente; se a e´ negativo, ela e´ decrescente.
No caso de a = 0, o valor de f(x) permanece constante [f(x) = b] e o gra´fico de f e´ uma reta paralela ao
eixo x que passa por (0,b).
Exemplo 8: Consideremos a func¸a˜o f : R → R definida por f(x) = 5x − 3; sem construir o gra´fico,
vamos descobrir:
a) Qual e´ a figura do gra´fico de f.
O gra´fico de f e´ uma reta, pois f e´ func¸a˜o afim.
b) Em que ponto o gra´fico de f intercepta o eixo x.
Todo ponto do eixo x tem ordenada 0:
5x− 3 = 0⇒ 5x = 3⇒ x = 3
5
O gra´fico de f intercepta o eixo x em
(
3
5 , 0
)
.
c) Em que ponto o gra´fico de f intercepta o eixo y.
f(0) = 5 · 0− 3⇒ f(0) = −3 O gra´fico de f intercepta o eixo y em (0,-3).
d) Se f e´ a func¸a˜o crescente ou decrescente.
f e´ crescente, pois a = 5, isto e´, a > 0.
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FUNC¸A˜O DO 2o GRAU OU FUNC¸A˜O QUADRA´TICA
Os diretores de um centro esportivo desejam cercar uma quadra de basquete retangular e o espac¸o em
volta dela com tela de alambrado. Tendo recebido 200 metros de tela, os diretores desejam saber quais
devem ser as dimenso˜es do terreno a cercar com a tela para que a a´rea seja maior poss´ıvel, pois assim
haveria espac¸o para a torcida fora da quadra.
Podemos ilustrar o problema como o retaˆngulo ABCD, com dimenso˜es x por 100− x.
Observe que a a´rea do terreno a cercar e´ dada em func¸a˜o da medida x , ou seja:
f(x) = (100− x)x = 100x− x2 = −x2 + 100x (Lei da func¸a˜o)
Esse e´ um caso particular de func¸a˜o quadra´tica. A situac¸a˜o-problema que desencadeou essa func¸a˜o
quadra´tica sera´ resolvida adiante.
Definic¸a˜o:
Uma func¸a˜o f : R → R chama-se quadra´tica quando existem nu´meros reais a, b e c, com a �= 0, tal
que f(x) = ax2 + bx+ c para todo x ∈ R.
f : R→ R
x→ ax2 + bx+ c
Alguns exemplos:
• f(x) = −x2 + 100x, em que a = −1, b = 100 e c = 0.
• f(x) = 3x2 − 2x+ 1, em que a = 3, b = −2 e c = 1.
FUNÇÃO DO 1º E 2º GRAUS
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ZEROS DA FUNC¸A˜O DO 2o GRAU OU QUADRA´TICA
O estudo da func¸a˜o quadra´tica tem sua origem na resoluc¸a˜o da equac¸a˜o do 2o grau, que recai em determinar
dois nu´meros conhecendo sua soma s e seu produto p.
Chamando de x um dos nu´meros, o outro sera´ s− x. Assim, p = x(s− x) ou p = sx− x2, ou ainda,
x2 − sx+ p = 0
Para encontrar x (e, portanto, s − x), basta resolver a equac¸a˜o do 2o grau x2 − sx + p = 0 , ou seja,
basta determinar os valores x para os quais a func¸a˜o quadra´tica f(x) = x2 − sx + p se anula. Esses sa˜o
chamados zeros da func¸a˜o quadra´tica ou ra´ızes da equac¸a˜o de 2o grau correspondente a f(x) = 0. Por
exemplo, os dois nu´meros cuja a soma e´ 7 e cujo produto e´ 12 sa˜o 3 e 4, que sa˜o ra´ızes da equac¸a˜o ou
zeros da equac¸a˜o quadra´tica ou do 2o grau:
f(x) = x2 − 7x+ 124
Voceˆ deve estar pensando, “e a fo´rmula de Bhaskara?” A fo´rmula de Bhaskara e´ usada para resolver
EQUAC¸O˜ES quadra´ticas de fo´rmula geral ax2+bx+c = 0, com coeficientes reais, com a �= 0, conteu´do
da pro´xima unidade.
A Fo´rmula de Bhaskara e´ uma homenagem ao matema´tico Bhaskara Akaria, considerado o mais
importante matema´tico indiano do se´culo XII.
41
ZEROS DA FUNC¸A˜O DO 2o GRAU OU QUADRA´TICA
O estudo da func¸a˜o quadra´tica tem sua origem na resoluc¸a˜o da equac¸a˜o do 2o grau, que recai em determinardois nu´meros conhecendo sua soma s e seu produto p.
Chamando de x um dos nu´meros, o outro sera´ s− x. Assim, p = x(s− x) ou p = sx− x2, ou ainda,
x2 − sx+ p = 0
Para encontrar x (e, portanto, s − x), basta resolver a equac¸a˜o do 2o grau x2 − sx + p = 0 , ou seja,
basta determinar os valores x para os quais a func¸a˜o quadra´tica f(x) = x2 − sx + p se anula. Esses sa˜o
chamados zeros da func¸a˜o quadra´tica ou ra´ızes da equac¸a˜o de 2o grau correspondente a f(x) = 0. Por
exemplo, os dois nu´meros cuja a soma e´ 7 e cujo produto e´ 12 sa˜o 3 e 4, que sa˜o ra´ızes da equac¸a˜o ou
zeros da equac¸a˜o quadra´tica ou do 2o grau:
f(x) = x2 − 7x+ 124
Voceˆ deve estar pensando, “e a fo´rmula de Bhaskara?” A fo´rmula de Bhaskara e´ usada para resolver
EQUAC¸O˜ES quadra´ticas de fo´rmula geral ax2+bx+c = 0, com coeficientes reais, com a �= 0, conteu´do
da pro´xima unidade.
A Fo´rmula de Bhaskara e´ uma homenagem ao matema´tico Bhaskara Akaria, considerado o mais
importante matema´tico indiano do se´culo XII.
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Função do 2º Grau ou Função Quadrática
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GRA´FICO DA FUNC¸A˜O QUADRA´TICA OU DE 2o GRAU
Consideremos um ponto F e uma reta d que na˜o o conte´m. Chamamos para´bola de foco F e diretriz d
ao conjunto dos pontos do plano que distam igualmente de F e de d.
A reta perpendicular a` diretriz que conte´m o foco chama-se eixo da para´bola. O ponto (V) da para´bola
mais pro´ximo da diretriz chama-se ve´rtice dessa para´bola. O ve´rtice (V) e´ o ponto me´dio do segmento
cujos extremos sa˜o o foco e a intersecc¸a˜o do eixo com a diretriz. O gra´fico da func¸a˜o quadra´tica ou de 2o
grau e´ uma para´bola.
ESTUDO DO SINAL DA FUNC¸A˜O QUADRA´TICA
Estudar sinal da func¸a˜o quadra´tica f(x) = ax2 + bx+ c, a �= 0, significa determinar os valores reais de x
para os quais f(x) se anula (f(x) = 0), f(x) e´ positiva (f(x) > 0) e f(x) e´ negativa (f(x) < 0).
O estudo do sinal da func¸a˜o quadra´tica ou do 2o grau vai depender do discriminante ∆ = b2 − 4ac da
equac¸a˜o do 2o grau correspondente ax2 + bx+ c = 0 e do coeficiente a.
1o Caso → ∆ > 0
Nesse caso a func¸a˜o admite dois zeros reais diferentes, x′ e x”, ou seja, a para´bola que representa a func¸a˜o
intercepta o eixo x em dois pontos.
X
+
X” X’
+
X
X” X’
+
FUNÇÃO DO 1º E 2º GRAUS
Reprodução proibida. A
rt. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.
III
43
2o Caso → ∆ = 0
Neste caso a func¸a˜o admite um zero real duplo x′ = x”, ou seja, a para´bola que representa a func¸a˜o
tangencia o eixo x.
3o Caso → ∆ < 0
Neste caso a func¸a˜o na˜o admite zeros reais, ou seja, a para´bola da func¸a˜o na˜o intercepta o eixo x.
VE´RTICE DA PARA´BOLA, VALOR MA´XIMO OU MI´NIMO DA FUNC¸A˜O QUADRA´-
TICA.
A determinac¸a˜o do ve´rtice da para´bola ajuda a elaborac¸a˜o do gra´fico e permite determinar a imagem da
func¸a˜o bem como seu valor ma´ximo e mı´nimo.
X”X’ =
X
+ +
X
X
X
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Função do 2º Grau ou Função Quadrática
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Uma das maneiras de se determinar o ve´rtice e´ lembrar que a para´bola e´ sime´trica em relac¸a˜o a um eixo
vertical. Determinando a posic¸a˜o desse eixo, encontraremos a abscissa do ve´rtice e, com a abscissa do
ve´rtice, obteremos a ordenada, que e´ a func¸a˜o da abscissa.
Outra maneira e´ lembrar que na forma canoˆnica o ve´rtice e´ dado por (xV , yV ) sendo:
xV = − b
2a
e yV = f(xV ) =
4ac− b2
4a
= −∆
4a
ou V
(
− b
2a
;−∆
4a
)
Considere uma func¸a˜o do 2o grau qualquer, do tipo f(x) = ax2 + bx + c, com a �= 0. Sabemos que seu
gra´fico e´ uma para´bola e que a concavidade da para´bola varia de acordo com o coeficiente a. Ou seja,
Se a < 0 → a concavidade da para´bola e´ voltada para baixo.
Se a > 0 → a concavidade da para´bola e´ voltada para cima.
Assim:
• Se a concavidade for voltada para baixo, a func¸a˜o apresenta ponto de ma´ximo absoluto.
• Se a concavidade for voltada para cima, a func¸a˜o apresenta ponto de mı´nimo absoluto.
Exemplo 9: f(x) = 2x2 − 8x
Obtendo as ra´ızes, teremos x′ = 0 e x” = 4. Dada a simetria das para´bolas, o eixo de simetria tera´
abscissa Xv =
x′ + x”
2
=
0 + 4
2
= 2.
Como a > 0, a concavidade da para´bola e´ voltada para cima, assim a func¸a˜o apresenta ponto de mı´nimo
absoluto.
Substituindo x = 2 na func¸a˜o, obtemos a ordenada do ve´rtice:
f(x) = 2 · 22 − 8 · 2 = −8
Enta˜o o ve´rtice e´ o ponto (2,−8).
A func¸a˜o assume valor mı´nimo y = f(2) = −8 quando x = 2. Logo Im(f) = {x ∈ R | y ≥ −8}
FUNÇÃO DO 1º E 2º GRAUS
Reprodução proibida. A
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CONSIDERAC¸O˜ES FINAIS
Ao finalizar esta terceira unidade, esperamos que voceˆ tenha se dedicado e apreendido a esseˆncia das
func¸o˜es apresentadas e tenha conseguido correlacionar as situac¸o˜es reais que podem ser representadas por
func¸o˜es. Tente agora, depois de ler e refletir sobre o assunto abordado, correlacionar alguma situac¸a˜o real
que possa ser escrita com uma func¸a˜o.
Muito mais poderia ser escrito sobre as func¸o˜es, contudo, constamos o que o espac¸o em pa´gina nos
permitiu. Entretanto, deixamos para voceˆ os detalhes que possam ter sido deixados por no´s como o
detalhamento de algumas passagens ou a representac¸a˜o gra´fica e/ou esquema´tica de alguma func¸a˜o.
Para assimilac¸a˜o dos conceitos aqui abordados, algumas atividades de estudos seguem. Exercitar e´ funda-
mental! Exercitando-se voceˆ pode vir a ter du´vidas que podem ser esclarecidas com a equipe pedago´gica.
Tire sempre as du´vidas, ter du´vidas e´ algo normal, pertinente para aqueles que buscam uma melhor
compreensa˜o dos conteu´dos abordados.
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Considerações Finais
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ATIVIDADES DE ESTUDO
1. Observe na tabela a medida do lado (em cm) de uma regia˜o quadrada e sua a´rea (em cm2).
Medida do Lado (em cm) 1 3 4 5,5 10 · · · l
A´rea (em cm2) 1 9 16 30,25 100 · · · l2
a) O que e´ dado em func¸a˜o do queˆ?
b) Qual e´ a varia´vel dependente?
c) Qual e´ a varia´vel independente?
d) Qual e´ a lei da func¸a˜o que associa a medida do lado com a a´rea?
e) Qual a´ a a´rea de uma regia˜o quadrada cujo lado mede 12 cm?
f) Qual e´ a medida do lado da regia˜o quadrada cuja a´rea e´ de 169 cm2?
2. Verifique quais func¸o˜es sa˜o afins. Nelas, encontre a e b, para f(x) = ax+ b.
a) f(x) = 3(x+ 1) + 4(x− 1)
b) f(x) = (x+ 2)2 + (x+ 2)(x− 2)
c) f(x) = (x− 3)2 − x(x− 5)
3. Construa, num sistema de eixos ortogonais, o gra´fico das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = 2x+ 3
b) f(x) = 12x+ 4
c) f(x) = −2− 2x
4. O custo de um produto e´ calculado pela fo´rmula c = 10+ 20q, na qual c indica o custo (em reais) e
q, a quantidade produzida (em unidades). Construa o gra´fico de c em func¸a˜o de q.
5. Escreva a func¸a˜o afim f(x) = ax+ b, sabendo que:
a) f(1) = 5 e f(−3) = −7
b) f(−1) = 7 e f(2) = 1
6. Determine a lei da func¸a˜o afim cuja reta intercepta os eixos em (-8,0) e (0,4). Essa func¸a˜o e´ crescente
ou decrescente?
47
7. As seguintes func¸o˜es sa˜o definidas em R. Verifique quais delas sa˜o func¸o˜es quadra´ticas e identifique
em cada uma os valores de a, b e c.
a) f(x) = 2x(3x− 1)
b) f(x) = (x+ 2)(x− 2)− 4
c) f(x)= (1 + x)(1− x) + x2
8. Encontre os zeros das seguintes equac¸o˜es quadra´ticas:
a) f(x) = x2 − 9
b) f(x) = x2 − 2x+ 1
c) f(x) = (x− 1)2 − 9
9. Encontre o Ve´rtice e estude o sinal das seguintes func¸o˜es quadra´ticas:
a) f(x) = x2 − 3x− 4
b) f(x) = −3x2 + 2x+ 1
c) f(x) = −4x2 + 1
10. Verifique se as func¸o˜es admitem valor ma´ximo ou valor mı´nimo e calcule esse valor:
a) f(x) = −3x2 + 2x
b) f(x) = 2x2 − 3x− 2
c) f(x) = −4x2 + 4x− 1
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Professora Esp. Antoneli da Silva Ramos.
Professor Esp. Fernando Marcussi.
LEITURA DE GRÁFICOS E 
TABELAS, EQUAÇÕES E 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Ler e interpretar gráficos e tabelas.
 ■ Interpretar gráficos de linhas, barras e setores.
 ■ Interpretar e resolver equações.
 ■ Interpretar e resolver sistema de equações lineares.
 ■ Interpretar e resolver equações do segundo grau.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Leitura de gráficos e de tabelas
 ■ Equações e sistemas de Equações
 ■ Equações do 1º grau
 ■ Sistemas de equações lineares
 ■ Equação do 2º grau Incompleta
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Introdução
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INTRODUC¸A˜O
Nesta unidade de estudo, preparamos para voceˆ o estudo de Leitura de Gra´ficos, Resoluc¸a˜o de Equac¸o˜es
e Sistemas de Equac¸o˜es. A abordagem novamente, por vezes, torna-se densa, pois requer textos matema´-
ticos, contudo, exemplos sa˜o apresentados ao final de cada assunto com o objetivo de se confirmar uma
regra ou demonstrar uma verdade.
Trata-se de conteu´dos de aplicac¸o˜es cotidianas, ana´lise de informac¸o˜es com problemas de variados n´ıveis
de complexidade. O conteu´do abordado se faz relevante, pois sa˜o problemas, me´todos e te´cnicas que
podem e sera˜o usados para todas as a´reas que, de alguma forma ou em algum dado momento, trataram
de conceitos nume´ricos com a necessidade de encontrar o valor. Por esse motivo reconhecer, definir e
caracterizar os conceitos desta unidade torna-se pertinente.
Na˜o sa˜o conceitos novos, mas certamente sa˜o abordagens novas. As baterias de exerc´ıcios sa˜o extensas e
cabe dispensar um pouco mais de tempo e de dedicac¸a˜o.
Novamente, esperamos de voceˆ a dedicac¸a˜o de estudante de sempre, ale´m de ler minuciosa este material,
assista a`s aulas dispon´ıveis no ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Atente-se que o processo de
leitura de um texto matema´tico necessita de reflexa˜o para compreender o assunto abordado, pois ler sem
refletir e´ o mesmo que nada ler.
LEITURA DE GRÁFICOS E TABELAS, EQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES
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LEITURA DE GRA´FICOS E DE TABELAS
Imagine que em uma grande empresa, o diretor do departamento de recursos humanos apresentou a seus
subordinados um cartaz com a frase. “Em 2007, e´ramos 734 funciona´rios; em 2008, 753; em 2009, 777;
em 2010, 794; e, em 2011, 819”.
Se voceˆ acha que esses nu´meros na˜o contribuem para mostrar com clareza o histo´rico da empresa nem
para destacar o percurso crescente dos nu´meros de funciona´rios, voceˆ pode estar certo. Ha´ uma maneira
mais clara e eficiente de apresentar esses dados: um gra´fico. Observe:
Exemplo 1:
O exemplo 1 revela que, para cada informac¸a˜o que se quer comunicar, ha´ uma forma ou linguagem
mais adequada, para facilitar a leitura do conteu´do, nesse caso o gra´fico transformou-se no recurso mais
apropriado, pois apresenta as informac¸o˜es de maneira mais visual.
Essa forma de comunicac¸a˜o teve in´ıcio a partir do se´culo XIV, um pensamento surge no cena´rio da ma-
tema´tica: trac¸ar uma figura ou gra´fico da maneira pela qual variam as coisas. Segundo Aca´cio
(2012), esse pensamento conduziu boa parte da matema´tica para um patamar bem mais elevado. Alguns
matema´ticos ousam dizer ate´ que Oresme foi o cocriador da Geometria Anal´ıtica. O fato e´ que sua ideia
de representar o comportamento de uma grandeza de acordo com a variac¸a˜o de outra impulsionou parte
da matema´tica para fora do campo abstrato, tornando a ana´lise absolutamente visual.
LEITURA DE GRA´FICO DE LINHAS
A utilizac¸a˜o dos gra´ficos de linhas e´ feita a partir da representac¸a˜o de quantidades de forma a poder
compara´-las quanto ao seu poss´ıvel crescimento ou decrescimento (queda). De forma geral, podemos
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Leitura de Gráficos e Tabelas
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representar o crescimento ou a queda no faturamento de uma empresa por meio de uma interpretac¸a˜o
gra´fica simples, como apresentado a seguir:
O gra´fico mostra que, apesar de na˜o sabermos os valores das receitas de cada meˆs, de Janeiro a Fevereiro,
a receita aumentou (dizemos que o gra´fico e´ crescente), de Fevereiro a Marc¸o, a receita se manteve (dize-
mos que o gra´fico e´ constante) e de Marc¸o a Abril, a receita diminuiu (dizemos que o gra´fico e´ decrescente).
LEITURA DE GRA´FICO DE BARRAS
Segundo Aca´cio (2012), o gra´fico de barras, em geral, e´ usado para relacionar quantidades e qualidades
(um nu´mero tambe´m pode ser visto como uma qualidade (se 7,0 representa a nota que um aluno conseguiu
em uma avaliac¸a˜o, esse nu´mero e´ uma caracter´ıstica, uma qualidade). Em geral, usamos esse tipo de
gra´fico quando precisamos determinar dados estat´ısticos como Me´dia, Moda e Mediana, ou ainda, quando
queremos comparar as qualidades. Acompanhe o gra´fico a seguir onde aparece o resultado da pesquisa
Qual e´ a cor do seu carro?:
Analisando o gra´fico, podemos ver que 29 pessoas disseram que seu carro tem cor Prata; 27 pessoas
LEITURA DE GRÁFICOS E TABELAS, EQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES
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disseram ter carro de cor Preta; 20 pessoas disseram ter carro de cor Branca e 24 pessoas disseram ter
carro de outra cor.
Ale´m de podermos ver que foram 100 entrevistados (29 + 27 + 20 + 24 = 100), constatamos que a cor
predominante entre os carros e´ Prata, seguida da cor Preta, e que na˜o ha´ como garantir que a cor Branca
e´ a terceira mais votada, pois 24 entrevistados, que teˆm outra cor de carro, poderiam todos ter carros
vermelhos, e´ improva´vel, mas pode acontecer.
LEITURA DE GRA´FICO DE SETORES
Em geral, usamos gra´ficos de setores para representar termos percentuais. Nesse caso, e´ fa´cil comparar
as grandezas (mesmo que na˜o aparec¸a a porcentagem relacionada a` caracter´ıstica). Acompanhe o gra´fico
a seguir onde aparece o resultado da pesquisa Qual e´ a a´rea do conhecimento de sua prefereˆncia?:
Podemos dizer que a maioria dos pesquisados prefere Cieˆncias Humanas (33%), mas na˜o podemos dizer
que a menor parcela prefere Cieˆncias Exatas, pois a parte correspondente a` ”Outra”pode ser composta
por outras a´reas com menor prefereˆncia. Lembre-se que uma volta corresponde a 100% em relac¸a˜o a`s
informac¸o˜es listadas e a 360◦ em relac¸a˜o ao aˆngulo central. Caso precise manipular algum desses valores,
use proporcionalidade (uma regra de treˆs simples e´ suficiente para descobrir o aˆngulo central).
EQUAC¸O˜ES E SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES
Na antiguidade havia busca pela soluc¸a˜o de problemas do seu dia a dia, que envolviam matema´tica,
atrave´s de processos aritme´ticos. Entretanto, em certas situac¸o˜es, esse processo na˜o conseguia resolver os
problemas que surgiam.
Com isso, passou-sea trabalhar com elementos alge´bricos, constituindo, assim, as equac¸o˜es que nada mais
sa˜o do que expresso˜es alge´bricas que representam uma determinada situac¸a˜o-problema.
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Equações do 1º Grau
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Entretanto na˜o basta conseguir esquematizar um problema apenas com expresso˜es alge´bricas, e´ preciso sa-
ber resolver essas expresso˜es alge´bricas. Para tanto, realizaram-se estudos acerca dos me´todos de obtenc¸a˜o
da soluc¸a˜o das equac¸o˜es.
A obtenc¸a˜o da soluc¸a˜o de uma equac¸a˜o e´ feita atrave´s de manipulac¸o˜es aritme´ticas, envolvendo letras
(inco´gnitas).
Exemplo 2: Duas irma˜s teˆm depositado na poupanc¸a a mesma quantia em dinheiro. Ao completar
dezoito anos resolveram sacar o dinheiro de cada uma das poupanc¸as para comprarem juntas um automo´vel
de R$12.000,00. No entanto o dinheiro na˜o foi suficiente, tendo sido necessa´rio que cada uma delas
contribu´ısse com mais R$1.000,00. Quanto havia na poupanc¸a de cada uma?
Dessa forma, a inco´gnita x pode ser definida como o valor que cada uma das irma˜s depositou, assim,
podemos representar a equac¸a˜o dessa situac¸a˜o-problema da seguinte forma:
x+ x+ 1.000 + 1.000 = 12.000 ou 2x+ 2.000 = 12.000
2x = 12.000− 2.000
2x = 10.000
x =
10.000
2
x = 5.000
Portanto, havia em cada conta o valor de R$ 5.000,00.
Mas qual e´ o objetivo da mistura entre letras e nu´meros? Podemos dizer que as letras podem representar
qualquer nu´mero. Portanto ao encontrarmos expresso˜es que nos auxiliam a determinar a soluc¸a˜o de um
nu´mero para equac¸o˜es que possuem apenas letras, quer dizer que determinamos um me´todo de obter a
soluc¸a˜o para qualquer tipo daquela equac¸a˜o.
EQUAC¸O˜ES DO 1o GRAU
Equac¸a˜o e´ uma sentenc¸a matema´tica aberta, expressa por uma igualdade.
Ao resolver uma equac¸a˜o, buscamos determinar o valor da varia´vel (simbolizado por uma letra), de forma
que a equac¸a˜o seja verdadeira.
Exemplo 3: Para resolver a equac¸a˜o x+ 3 = 7, buscamos um nu´mero x que, somado a 3, resulte em 7.
A resposta natural para essa equac¸a˜o e´ x = 4 (observe que 4 = 7 - 3).
LEITURA DE GRÁFICOS E TABELAS, EQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES
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Exemplo 4: Para resolver a equac¸a˜o 5x = 30, buscamos um nu´mero x que, multiplicado por 5, resulte
em 30. A resposta natural para essa equac¸a˜o e´ x = 6 (observe que 6 = 30 ÷ 5).
Note que:
No exemplo 3, a equac¸a˜o tinha a adic¸a˜o de 3 unidades no primeiro membro e a resposta foi conseguida
subtraindo 3 unidades do segundo membro.
No exemplo 4, a equac¸a˜o tinha uma multiplicac¸a˜o por 5 no primeiro membro e a resposta foi conseguida
dividindo o segundo membro por 5.
Lembre-se que, ao mudarmos um termo (ou um fator) da equac¸a˜o para o outro membro (passar de um
membro para outro, trocar de lado na equac¸a˜o), devemos fazer uso da operac¸a˜o inversa, ou seja, se a
operac¸a˜o e´ de adic¸a˜o, sua inversa e´ a subtrac¸a˜o e, se a operac¸a˜o e´ de subtrac¸a˜o, sua inversa e´ a adic¸a˜o.
A situac¸a˜o e´ a mesma para a operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o e de divisa˜o, se a operac¸a˜o e´ de multiplicac¸a˜o,
sua inversa e´ a divisa˜o e, se a operac¸a˜o e´ de divisa˜o, sua inversa e´ a multiplicac¸a˜o.
Pore´m tome cuidado, pois na˜o existe trocar de lado e mudar o sinal, existe trocar de lado e mudar
a operac¸a˜o.
Exemplo 5: No caso da equac¸a˜o 5x− 4 = 21 devemos evidenciar o valor de x, para isso, o termo 4 e o
fator 5 devem sair do primeiro membro, assim:
5x− 4 = 21
5x− 4 + 4 = 21 + 4 (Somamos 4 aos dois lados da equac¸a˜o)
5x = 25
(5x)÷ 5 = (25)÷ 5 (Dividimos os dois lados da equac¸a˜o por 5)
x = 5
De forma resumida, teremos:
5x− 4 = 21
5x = 21 + 4 (Mudamos o 4 para o segundo membro e trocamos a operac¸a˜o)
5x = 25
x = 25÷ 5 (Mudamos o 5 para o segundo membro e trocamos a operac¸a˜o)
x = 5
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Sistemas de Equações Lineares
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Note que os me´todos teˆm o mesmo nu´mero de passos, a diferenc¸a esta´ na omissa˜o de alguns passos
apresentando os resultados de forma imediata, recomenda-se fazer tal omissa˜o apo´s treinar um pouco o
me´todo completo.
Exemplo 6: Resolvendo a equac¸a˜o:
x− 2
3
=
x+ 1
6
+
3x− 7
2
De forma resumida teremos:
x− 2
3
=
x+ 1
6
+
3x− 7
2
(Tirando o MMC)
2 · (x− 2)
6
=
1 · (x+ 1)
6
+
3 · (3x− 7)
6
(Distribuindo e optando por na˜o dividir a equac¸a˜o por 6)
2x− 4 = x+ 1 + 9x− 21 (Organizando)
2x− 4 = 10x− 20
−8x = −16 (Dividindo por -8)
x = 2
SISTEMAS DE EQUAC¸O˜ES LINEARES
Denomina-se sistema linear m × n o conjunto S de m equac¸o˜es lineares em n inco´gnitas, que pode ser
representado assim:
S =

a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · ·+ a2nxn = b2
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · ·+ amnxn = bm
Nesse contexto, estaremos apenas buscando soluc¸a˜o de um sistema 2× 2, assim, buscaremos os valores de
duas inco´gnitas para compor o nosso conjunto-soluc¸a˜o, que sera´ formado por um par ordenado da forma
(x, y) ou (x1, x2).
Existem algumas formas de resoluc¸a˜o de um sistema, mas apresentaremos apenas duas formas, sa˜o elas:
LEITURA DE GRÁFICOS E TABELAS, EQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES
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ME´TODO DE SUBSTITUIC¸A˜O
Na˜o e´ o processo mais fa´cil para resolver, mas e´ o mais fa´cil de lembrar: Basta ISOLAR uma das inco´gnitas
numa das equac¸o˜es a` sua escolha e, depois, SUBSTITUIR na outra equac¸a˜o.
Exemplo 7:
 x+ 2y = 16x− y = 13
Isolamos uma inco´gnita em uma equac¸a˜o a` nossa escolha:
x− y − 13→ x = 13 + y
Substitu´ımos na outra equac¸a˜o:
x+ 2y = 16→ (13 + y) + 2y = 16→ 3y = 16− 13
Resolvendo encontramos y = 1. Substituindo em x = 13 + y temos x = 14. Assim: S = {(14, 1)}.
ME´TODO DE ADIC¸A˜O
E´ o processo de resoluc¸a˜o mais simples e o mais utilizado, mas exige que a estrutura esteja previamente
preparada com dois nu´meros opostos do mesmo lado da equac¸a˜o, bastando SOMAR o primeiro membro
de uma ao primeiro membro da outra e o segundo membro da primeira ao segundo membro da segunda.
Exemplo 8:
 3x− y = 102x+ 5y = 1
Devemos, primeiramente, igualar uma das varia´veis com sinal oposto. Tomemos a inco´gnita y e multipli-
quemos a primeira equac¸a˜o por 5, assim teremos: 15x− 5y = 502x+ 5y = 1
Como a varia´vel y e´ ideˆntica em ambas as equac¸o˜es, com sinais opostos, e esta˜o localizadas no mesmo
lado da igualdade, basta somar o primeiro termo ao primeiro termo e o segundo termo ao segundo termo:
(15x− 5y) + (2x+ 5y) = 50 + 1→ 15x+ 2x− 5y + 5y = 51
17x = 51→ x = 3
Substituindo em 3x− y = 10 temos y = −1. Assim: S = (3,−1).
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Os sistemas podem ser classificados de acordo com sua soluc¸a˜o, ou seja: Sistema Poss´ıvel (tem soluc¸a˜o),
Sistema Poss´ıvel e Determinado (a soluc¸a˜o e´ u´nica), Sistema Poss´ıvel e Indeterminado (tem
infinitas soluc¸o˜es) e Sistema Imposs´ıvel (na˜o tem soluc¸a˜o). De forma geral, temos:
a1
a2
=
b1
b2
=
k1
k2
→ (SPI)a1x+ b1y = k1a2x+ b2y = k2 ⇒
a1
a2
=
b1
b2
�= k1
k2
→ (SI)
a1
a2
�= b1
b2
→ (SD)
Exemplo 9:
 3x− 2y = 4x− 4y = 2
Os coeficientes das mesmas inco´gnitas nas duas equac¸o˜es na˜o sa˜o proporcionais: 3 e´ o triplo de 1 e -2 e´
metade de -4. Enta˜o o sistema e´ poss´ıvel e determinado.
Exemplo 10:
 2x− 6y = 53x− 9y = 1
Nesse sistema os coeficientes das mesmas inco´gnitas nas duas equac¸o˜es sa˜o proporcionais, mas os termos
independentes na˜o: 2 esta´ para 3 assim como -6 esta´ para -9, pore´m na˜o como 5 esta´ para 1. Enta˜o o
sistema e´ imposs´ıvel.
Exemplo 11:
 3x+ y = −2−6x− 2y = 4
Nesse caso, as duas equac¸o˜es sa˜o totalmente proporcionais: -6 esta´ para 3 assim como -2 esta´ para 1,
assim como 4 esta´ para -2 (ou, ainda, a 2a equac¸a˜o e´ o oposto do dobro da 1a). Enta˜o o sistema e´ poss´ıvel
e indeterminado.
EQUAC¸A˜O DO 2o GRAU
Uma equac¸a˜o do segundo grau ou quadra´tica e´ uma expressa˜o polinomial de grau 2 e pode ser representada
por ax2+bx+c = 0 com os coeficientes reais a, b e c, a �= 0. Na expressa˜o ax2+bx+c = 0, a e´ o coeficiente
que acompanha o termo quadra´tico, b e´ o coeficiente do termo linear e c e´ o termo independente.
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IV
58
A resoluc¸a˜o de uma equac¸a˜o de segundo grau se faz por meio da fo´rmula de Bhaskara:
x =
−b±√∆
2 · a onde ∆ = b
2 − 4 · a · c
O discriminante ∆ e´ muito importante, pois seu sinal nos diz quantas sera˜o as respostas de determinada
equac¸a˜o:
• Se ∆ e´ positivo, a equac¸a˜o admite duas soluc¸o˜es no conjunto dos nu´meros reais.
• Se ∆ e´ zero, a equac¸a˜o admite apenas uma soluc¸a˜o no conjunto dos nu´meros reais.
• Se ∆ e´ negativo, a equac¸a˜o na˜o admite nenhuma soluc¸a˜o no conjunto dos nu´meros reais.
Exemplo 12: Dada a equac¸a˜o 5x2−30x+25 = 0, assim a = 5, b = −30 e c = 25, aplicando esses valores
na fo´rmula de Bhaskara, obtemos:
x =
−b±√∆
2 · a =
−(−30)±√(−30)2 − 4 · 5 · 25
2 · 5 =
30±√900− 500
10
=
30± 20
10
Assim:
x′ =
30 + 20
10
=
50
10
= 5 e x” =
30− 20
10
=
10
10
= 1
S = {1, 5}
Note que o conjunto-soluc¸a˜o na˜o e´ um par ordenado. Os dois valores sa˜o poss´ıveis valores para x.
Exemplo 13: Para resolver a equac¸a˜o 5x2 − 10x+ 6 = 0, determinamos que a = 5, b = −10 e c = 6:
x =
−(−10)±√(−10)2 − 4 · 5 · 6
2 · 5
x =
10±√100− 120
10
x =
10±√−20
10
Como, para os nu´meros reais, na˜o podemos definir a raiz quadrada de um nu´mero negativo, temos que a
soluc¸a˜o da equac¸a˜o e´ vazia, ou seja, S = { } ou S = ∅.
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EQUAC¸O˜ES DO 2o GRAU INCOMPLETAS
Equac¸o˜es incompletas sa˜o aquelas para as quais os valores de b e c sa˜o zero, podendo acontecer simulta-
neamente ou na˜o.
• Para b = 0 e c �= 0.
Basta isolar o termo ao quadrado, identicamente ao processo de uma equac¸a˜o do 1o grau, e quando
este estiver sozinho, basta extrair a raiz quadrada de ambos os lados da equac¸a˜o:
Exemplo 14: 5x2 − 45 = 0
5x2 = 45→ x2 = 45
5
→ x2 = 9→ x = ±√9
x′ = +
√
9 = +3 e x” = −√9 = −3
S = {−3, 3}
• Para b �= 0 e c = 0.
Esse caso e´ o u´nico em que podemos garantir a existeˆncia de uma raiz real: x = 0 sempre sera´ raiz.
Para esse caso, precisamos evidenciar o fator x e resolver uma equac¸a˜o de primeiro grau.
Exemplo 15: 5x2 − 45x = 0
5x2 − 45x = 0 (Ja´ que todos os termos teˆm x, no´s o evidenciamos)
x(5x− 45) = 0 (Multiplicac¸a˜o resultando em zero: ao menos um dos fatores sera´ zero)
x = 0
(5x− 45) = 0 (Resolvendo a equac¸a˜o simples)
x = 9 ⇒ S = {0, 9}
• Para b = 0 e c = 0.
Basta isolar o termo ao quadrado, identicamente ao processo de uma equac¸a˜o do 1o grau e, quando
esse estiver sozinho, basta extrair a raiz quadrada de ambos os lados da equac¸a˜o:
Exemplo 16: 5x2 = 0
Esse caso so´ serve para constar. O conjunto-soluc¸a˜o e´ o trivial: S = 0.
5x2 = 0→ x2 = 0→ x = 0
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IV
60
CONSIDERAC¸O˜ES FINAIS
Finalizando a unidade IV deste livro de nivelamento, esperamos que voceˆ, prezado(a) acadeˆmico(a),
tenha se dedicado e apreendido a esseˆncia dos conteu´dos apresentados e consiga correlacionar as diversas
situac¸o˜es reais apresentadas e vivenciadas, pois em va´rios momentos abordamos o estudo e as te´cnicas de
resoluc¸a˜o para as equac¸o˜es e mostramos como resolver um sistema de equac¸o˜es por meio das te´cnicas da
substituic¸a˜o e da adic¸a˜o, evidenciando a sua representac¸a˜o alge´brica e geome´trica.
Dessa forma, sugerimos que procure resolver os exerc´ıcios propostos, pautando-se nos exemplos ofertados
durante esta unidade, fazendo uma reflexa˜o sobre o assunto abordado, que possam buscar e pesquisar em
outras fontes de estudo sobre os conteu´dos desenvolvidos na presente unidade, objetivando aprimorar a
sua formac¸a˜o conceitual acerca dos temas aqui desenvolvidos, correlacionando alguma situac¸a˜o real que
possa ser representada via equac¸a˜o ou representa´-la pelos gra´ficos aqui apresentados.
Muito mais poderia ser escrito, contudo, constamos o que o espac¸o em pa´gina nos permitiu. Entretanto,
deixamos para voceˆ os detalhes que possam ter sido deixados por no´s.
Para melhor compreensa˜o do conteu´do, apresentamos a seguir algumas atividades de estudo, pois exercitar
torna-se fundamental para a efica´cia do ensino.
77 
61
ATIVIDADES DE ESTUDO
1. (UFMS) Um grupo de alunos fez uma pesquisa sobre o tipo de sangue dos 540 alunos da escola.
Os alunos, para resumirem os dados encontrados, constru´ıram um gra´fico de setores e, no lugar das
porcentagens, eles indicaram os aˆngulos de alguns desses setores circulares, como mostra o gra´fico.
Pode-se afirmar que o nu´mero de alunos que tem o tipo de sangue B e´:
a) 96 b) 81 c) 108 d) 124 e) 162
2. (U. F. Lavras - MG) Uma pesquisa eleitoral estudou a intenc¸a˜o de votos nos candidatos A, B e C,
obtendo os resultados apresentados na figura:
A opc¸a˜o incorreta e´:
a) O candidato B pode se considerar eleito.
b) O nu´mero de pessoas consultadas foi de 5400.
c) O candidato B possui 30% das intenc¸o˜es de voto.
d) Se o candidato C obtiver 70% dos votos dos indecisos e o restante dos indecisos optarem pelo
candidato A, o candidato C assume a lideranc¸a.
e) O candidato A ainda tem chance de vencer as eleic¸o˜es.
62
3. (UFMT) Observe a figura.
Admita que o gra´fico representativo do desempenho da bolsa de To´quio e´ uma func¸a˜o real f(t), da
bolsa de Nova Iorque uma func¸a˜o real g(t) e da bolsa de Sa˜o Paulo e´ uma func¸a˜o real h(t), com
t ∈ [15, 19]. A partir dessas informac¸o˜es, julgue os itens.
( ) h(t) ≥ g(t), qualquer que seja t pertencente ao intervalo considerado.
( ) A equac¸a˜o f(t) = h(t) admite uma raiz.
( ) A partir do ponto associado ao dia 16, a func¸a˜o g(t) e´ estritamente decrescente.
4. Resolva as equac¸o˜es:
a) x+ 5 = −20
b) −2 · (4 + y) + 2 · (−y − 5) = 8
c) 2x+ 3 = 9
d)
x− 2
3
− x+ 1
4
= 4
e) 3 · (x+ 2) = 2 · (3x− 2)
f)
x− 1
2
+
x− 2
3
=
x− 3
4
5. Traduza as expresso˜es a seguir para linguagem matema´tica, resolva-as e encontre o valor do nu´mero
desconhecido em cada item:
a) O dobro de um nu´mero menos quatro e´ igual a trinta.
b) O triplo de um nu´mero somado com nove e´ igual a doze.
79 
63
c) O triplo da soma de um nu´mero com nove e´ igual a doze.
6. Em uma lanchonetepagam-se R$5,80 por 5 paste´is e 3 copos de refrigerante. No mesmo local, 3
paste´is e 2 copos de refrigerante custam R$3,60. Qual e´ o prec¸o do refrigerante?
7. Comprei 50 vidros de tinta por certa quantia. Se cada vidro tivesse custado R$ 0,50 menos, poderia
ter levado mais 10 vidros. Quanto me custou cada vidro?
8. Resolva pelo me´todo que preferir:
a)
 5x+ 3y = 583x+ 2y = 36 b)
 x+ y = 20x− y = 34 c)
 2x+ y = 103x− 2y = 1
d)
 2x+ 3y = 104x− y = −1 e)
 2a− 3b = 104a− b = −1 f)
 5p+ 3q = 583p− 2q = 36
9. Resolva as equac¸o˜es do segundo grau:
a) x2 − 5x+ 6 = 0 b) x2 + 5x+ 6 = 0 c) 5x2 + 15x+ 10 = 0
d) x2 − 2x+ 1 = 0 e) x2 − 6x+ 9 = 0 f) 7x2 + 28x+ 28 = 0
10. Resolva as equac¸o˜es do segundo grau ditas incompletas:
a) 12x2 − 300 = 0 b) 12x2 + 300x = 0 c) x2 − 3x = 0
d) x2 − 9 = 0 e) x2 + 3x = 0 f) x2 + 16 = 0
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N
ID
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E V
Professora Esp. Antoneli da Silva Ramos.
Professor Esp. Fernando Marcussi.
RACIOCÍNIO LÓGICO E 
MATEMÁTICO
Objetivos de Aprendizagem
 ■ Introduzir o conceito de lógica matemática.
 ■ Apresentar conceitos importantes de lógica bivalente.
 ■ Construção de tabelas-verdade
 ■ Introduzir conceitos de raciocínio lógico.
Plano de Estudo
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade:
 ■ Raciocínio lógica matemática
 ■ Construção de tabelas-verdade
 ■ Raciocínio lógico
65
INTRODUC¸A˜O
Nesta unidade, preparamos um pequeno contato com o Racioc´ınio Lo´gico Matema´tico. Neste ponto dos
nossos estudos, a abordagem torna-se densa, pois requer bastante atenc¸a˜o para trabalhar com os textos
matema´ticos, contudo, exemplos sa˜o apresentados ao final de cada assunto com o objetivo de se confirmar
uma regra ou demonstrar uma verdade.
Certamente em sua jornada escolar, em algum momento, voceˆ se deparou com o racioc´ınio lo´gico e talvez
esse seja um dos temas que gera arrepios, pois temos a equivocada ideia que o racioc´ınio lo´gico e´ somente
para “geˆnios” ou para “amantes da matema´tica”. Nesta unidade provaremos o contra´rio, voceˆ vera´ que
e´ um estudo interessante, sem miste´rios, agrada´vel e despertara´ em voceˆ a vontade e curiosidade de
aprofundar-se neste assunto.
Na apresentac¸a˜o deste livro, pontuamos por diversos momentos que a linguagem utilizada seria sucinta e
clara, auxiliando e facilitando a sua compreensa˜o sobre o conteu´do abordado, dessa forma, primou-se por
conteu´dos que consideramos ba´sicos para iniciar e despertar o interesse pela lo´gica.
Esta unidade inicia abordando o Racioc´ınio Lo´gico e Matema´tico, destacando alguns princ´ıpios ba´si-
cos da lo´gica, sempre exemplificando cada tema abordado, passam por construc¸o˜es e tabelas-verdades,
important´ıssimas para linguagem computacional e finaliza com lo´gica matema´tica.
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Introdução
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RACIOCI´NIO LO´GICO E MATEMA´TICO
LO´GICA MATEMA´TICA
A Lo´gica Matema´tica adota como regras fundamentais do pensamento os dois seguintes princ´ıpios (ou
axiomas):
(I) PRINCI´PIO DA NA˜O CONTRADIC¸A˜O: Uma proposic¸a˜o na˜o pode ser verdadeira e falsa ao
mesmo tempo.
(II) PRINCI´PIO DO TERCEIRO EXCLUI´DO: Toda a proposic¸a˜o ou e´ verdadeira ou e´ falsa, isto
e´, verifica-se sempre um desses casos e nunca um terceiro.
Por virtude desse princ´ıpio diz-se que a Lo´gica Matema´tica e´ uma Lo´gica bivalente, ou seja, toda
sentenc¸a declarada, que expressa uma proposic¸a˜o, tem exatamente um valor verdade: verdadeira ou falsa.
Uma proposic¸a˜o e´ todo o conjunto de palavras ou s´ımbolos que exprimem um pensamento de sentido
completo.
Exemplo 1: As proposic¸o˜es:
i. A lua e´ um sate´lite da Terra
ii. Recife e´ a capital de Pernambuco
iii. pi >
√
5
iv. sin pi2 = 1
Sa˜o todas verdadeiras, mas sa˜o falsas as cinco seguintes proposic¸o˜es:
i. Vasco da Gama, descobriu o Brasil
ii. Dante escreveu os Lus´ıadas
iii.
3
5
e´ um nu´mero inteiro
iv. O nu´mero pi e´ racional
v. tan pi4 = 2
Assim as proposic¸o˜es sa˜o expresso˜es a respeito das quais teˆm sentido dizer que sa˜o verdadeiras ou falsas.
RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
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V
67
PROPOSIC¸O˜ES SIMPLES E PROPOSIC¸O˜ES COMPOSTAS
As proposic¸o˜es classificadas como simples sa˜o aquelas que na˜o conteˆm nenhuma outra proposic¸a˜o como
parte integrante de si mesma. Sa˜o geralmente designadas pelas letras latinas minu´sculas p, q, r, s, ...,
chamadas letras proposicionais.
Assim sa˜o proposic¸o˜es simples as seguintes:
p: Carlos e´ careca
q: Pedro e´ estudante
r: O nu´mero 25 e´ quadrado perfeito
As proposic¸o˜es conhecidas como compostas sa˜o formadas pela combinac¸a˜o de duas ou mais proposic¸o˜es.
Sa˜o habitualmente designadas pelas letras latinas maiu´sculas P, Q, R e S, ..., tambe´m chamadas letras
proposicionais.
Assim sa˜o proposic¸o˜es compostas as seguintes:
P: Carlos e´ careca e Pedro e´ estudante
Q: Carlos e´ careca ou Pedro e´ estudante
R: Se Carlos e´ careca, enta˜o e´ infeliz.
Visto que cada uma delas e´ formada por duas proposic¸o˜es simples, as proposic¸o˜es compostas tambe´m
costumam ser chamadas fo´rmulas proposicionais.
CONECTIVOS
Sa˜o palavras que usamos para formar novas proposic¸o˜es a partir de outras, veja o exemplo a seguir:
P: O nu´mero 6 e´ par e o nu´mero 8 e´ cubo perfeito.
Q: O triaˆngulo ABC e´ retaˆngulo ou e´ iso´sceles.
R: Na˜o esta´ chovendo.
S: Se Jorge e´ engenheiro, enta˜o sabe Matema´tica.
T: O triaˆngulo ABC e´ equila´tero se e somente se e´ equiaˆngulo.
Sa˜o conectivos usuais em Lo´gica Matema´tica as palavras que esta˜o em negrito, isto e´:
“e”, “ou”, “na˜o”, “se ... enta˜o” e “... se e somente se...”
TABELA-VERDADE
Segundo o Princ´ıpio do terceiro exclu´ıdo, toda proposic¸a˜o simples p e´ verdadeira ou e´ falsa, isto e´,
tem o valor lo´gico V (verdade) ou o valor lo´gico F (falsidade).
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68
O valor lo´gico de qualquer proposic¸a˜o composta depende unicamente dos valores lo´gicos das proposic¸o˜es
simples componentes, ficando por eles univocamente (de modo u´nico) determinado.
Admitindo esse princ´ıpio, para aplica´-lo na pra´tica para a determinac¸a˜o do valor lo´gico de uma proposic¸a˜o
composta dada, recorre-se quase sempre a um dispositivo denominado tabela-verdade, na qual figuram
todas as poss´ıveis atribuic¸o˜es de valores lo´gicos a`s proposic¸o˜es simples componentes.
Exemplo 2: No caso de uma proposic¸a˜o composta cujas proposic¸o˜es simples componentes sa˜o p e q, as
u´nicas poss´ıveis atribuic¸o˜es de valores lo´gicos a p e a q sa˜o:
p q
1 V V
2 V F
3 F V
4 F F
Observe que os valores lo´gicos V e F se alteram de dois em dois para a primeira proposic¸a˜o p e de um
em um para a segunda proposic¸a˜o q, e que, ale´m disso, VV, VF, FV e FF sa˜o os arranjos bina´rios
com repetic¸a˜o dos dois elementos V e F.
OPERAC¸O˜ES LO´GICAS
Sa˜o conhecidas como as operac¸o˜es realizadas sobre as proposic¸o˜es, elas obedecem a regras de um ca´lculo,
chamado ca´lculo proposicional, semelhante ao da aritme´tica sobre os nu´meros.
NEGAC¸A˜O (¬)
Chama-se negac¸a˜o de uma proposic¸a˜o p a proposic¸a˜o representada por “na˜o p”, cujo valor lo´gico e´
verdade (V) quando p e´ falsa e vice-versa.
Simbolicamente, a negac¸a˜o de p indica-se com a notac¸a˜o “¬ p”, quese leˆ: “na˜o p”.
p ¬ p
V F
F V
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CONJUNC¸A˜O (∧)
Chama-se conjunc¸a˜o de duas proposic¸o˜es p e q a proposic¸a˜o representada por “p e q”, cujo valor
lo´gico e´ verdade (V) quando as proposic¸o˜es p e q sa˜o ambas verdadeiras e falsidade (F) nos demais
casos.
Simbolicamente, a conjunc¸a˜o de duas proposic¸o˜es p e q indica-se com a notac¸a˜o: “p ∧ q”, que leˆ-se: “p e
q”.
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
DISJUNC¸A˜O (∨)
Chama-se disjunc¸a˜o de duas proposic¸o˜es p e q a proposic¸a˜o representada por “p ou q”, cujo valor
lo´gico e´ a verdade (V) quando ao menos uma das proposic¸o˜es p e q e´ verdadeira e a falsidade (F)
quando as proposic¸o˜es p e q sa˜o ambas falsas.
Simbolicamente, a disjunc¸a˜o de duas proposic¸o˜es p e q indica-se com a notac¸a˜o: “p ∨ q”, que leˆ-se: “p ou
q”.
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
CONDICIONAL (→)
Chama-se proposic¸a˜o condicional ou apenas condicional uma proposic¸a˜o representada por“se p enta˜o
q”, cujo valor lo´gico e´ falsamente (F) no caso em que p e´ verdadeira e q e´ falsa e verdade (V) nos
demais casos.
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Simbolicamente, a condicional de duas proposic¸o˜es p e q indica-se com a notac¸a˜o: “p → q”, que
tambe´m se leˆ das seguintes maneiras:
i. p e´ condic¸a˜o suficiente para q
ii. q e´ condic¸a˜o necessa´ria para p
Na condicional “p→ q”, diz-se que p o antecede e q o consequente. O s´ımbolo “→” e´ chamado s´ımbolo
de implicac¸a˜o.
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
BICONDICIONAL (↔)
Chama-se proposic¸a˜o bicondicional ou apenas bicondicional uma proposic¸a˜o representada por ”p se
e somente se q”, cujo valor lo´gico e´ verdade (V) quando p e q sa˜o ambas verdadeiras ou ambas falsas,
e falsidade (F) nos demais casos.
Simbolicamente, a bicondicional de duas proposic¸o˜es p e q indica-se com a notac¸a˜o: “p ↔ q”, que
tambe´m se leˆ das seguintes maneiras:
i. p e´ condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para q
ii. q e´ condic¸a˜o necessa´ria e suficiente para p
O valor lo´gico da bicondicional de duas proposic¸o˜es e´, portanto, definido pela seguinte tabela-verdade:
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
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CONSTRUC¸A˜O DE TABELAS-VERDADE
Dadas va´rias proposic¸o˜es simples p, q, r, ..., podemos combina´-las pelos conectivos lo´gicos:
¬ , ∧ , ∨ , → e ↔
E construir proposic¸o˜es compostas, tais como:
P(p, q) = ¬ p ∨ (p → q)
Q(p, q) = (p ↔ ¬ q) ∧ q
R(p, q, r) = (p → ¬ q ∨ r) ∧ ¬ (q ∨ (p ↔ ¬ r))
Assim com o emprego das tabelas-verdade das operac¸o˜es lo´gicas fundamentais, e´ poss´ıvel construir tabelas-
-verdade correspondentes a qualquer proposic¸a˜o composta dada, ela que mostrara´ exatamente os casos
em que a proposic¸a˜o composta sera´ verdadeira (V) ou falsa (F).
O nu´mero de linhas da tabela-verdade de uma proposic¸a˜o composta depende do nu´mero de proposic¸o˜es
simples que a integram, assim, pela definic¸a˜o, a tabela-verdade de uma proposic¸a˜o composta com n propo-
sic¸o˜es simples conte´m 2n linhas, ou seja, no caso de uma proposic¸a˜o composta com cinco (5) proposic¸o˜es
simples, a tabela-verdade conte´m 25=32 linhas.
Exemplo 3: Construa a tabela-verdade da proposic¸a˜o:
P(p,q)=¬ (p ∧ ¬ q)
Resoluc¸a˜o: Construa primeiramente o par de colunas correspondentes a`s duas proposic¸o˜es simples
correspondentes p e q. Em seguida forma-se a coluna para ¬ q, posteriormente a coluna para p ∧ ¬ q.
Ao fim, a coluna relativa aos valores lo´gicos da proposic¸a˜o composta dada:
p q ¬ q p ∨ ¬ q ¬ (p ∨ ¬ q)
V V F F V
V F V V F
F V F F V
F F V F V
Exemplo 4: Construa a tabela-verdade da proposic¸a˜o:
P(p, q, r) = p ∨ ¬ r → q ∧ ¬ r
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Construção de Tabelas-Verdade
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Resoluc¸a˜o: Construa primeiramente o par de colunas correspondentes a`s treˆs proposic¸o˜es simples cor-
respondentes p e q. Em seguida forma-se a coluna para ¬ r, posteriormente a coluna para p ∧ ¬ r, depois
q ∧ ¬ r. Ao fim, a coluna relativa aos valores lo´gicos da proposic¸a˜o composta dada:
p q r ¬ r p ∧ ¬ r q ∧ ¬ r) p ∨ ¬ r → q ∧ ¬ r
V V V F V F V
V V F V V V V
V F V F V F F
V F F V V F F
F V V F F F V
F V F V V V V
F F V F F F V
F F F V V F F
TAUTOLOGIAS, CONTRADIC¸O˜ES E CONTINGEˆNCIAS.
Por definic¸a˜o, Tautologia e´ toda a proposic¸a˜o composta cuja u´ltima coluna da sua tabela-verdade encerra-
-se somente com a letra V (verdade), ou seja, tautologia e´ toda proposic¸a˜o composta cujo valor lo´gico e´
sempre verdade, quaisquer que sejam os valores lo´gicos das proposic¸o˜es simples.
Exemplo 5: A proposic¸a˜o “¬ (p ∨ ¬ p)” (Princ´ıpio da na˜o contradic¸a˜o) e´ uma tautologia.
p ¬ p p ∧ ¬ q ¬ (p ∧ ¬ p)
V F F V
F V F V
Chama-se Contradic¸a˜o toda a proposic¸a˜o composta cuja u´ltima coluna de sua tabela-verdade encerra
somente com a letra F (falsa). Em outros termos, contradic¸a˜o e´ toda proposic¸a˜o composta na qual o valor
lo´gico e´ sempre falso, para quaisquer que sejam os valores lo´gicos das proposic¸o˜es simples (p, q, r, ...).
Exemplo 6: A proposic¸a˜o “p ∧ ¬ p” e´ uma contradic¸a˜o.
p ¬ p p ∧ ¬ p
V V V
V F F
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Tem-se como uma Contingeˆncia toda proposic¸a˜o composta cuja u´ltima coluna de sua tabela-verdade
figuram as letras V e F por pelo menos uma vez, ou seja, contingeˆncia e´ toda proposic¸a˜o composta que
na˜o e´ tautologia nem contradic¸a˜o.
Exemplo 7: A proposic¸a˜o “p → ¬ p” e´ uma contradic¸a˜o.
p ¬ p p → ¬ p
V F F
F V V
RACIOCI´NIO LO´GICO
TIPOS DE RACIOCI´NIO
Podemos definir como Analogia o racioc´ınio em que, comparando-se semelhanc¸as entre situac¸o˜es dife-
rentes, inferimos outras semelhanc¸as.
Exemplo 8:
Joa˜o, Maria, Paulo, Carlos e Jose´ sa˜o meus filhos e gostam de estudar Matema´tica. Enta˜o infiro que o
meu filho que vai nascer tambe´m gostara´ de Matema´tica.
Nem sempre a conclusa˜o e´ verdadeira.
O racioc´ınio Indutivo parte de informac¸o˜es particulares, para inferirmos uma conclusa˜o geral.
Exemplo 9:
A barata, o grilo e o gafanhoto na˜o teˆm ossos. Deduzimos que os insetos na˜o teˆm ossos.
Nem sempre a conclusa˜o e´ correta.
A barata, o grilo e o gafanhoto na˜o teˆm ossos. Deduzimos que os animais na˜o teˆm ossos.
Quanto maior o nu´mero de casos particulares observados, maior a probabilidade de a conclusa˜o ser correta.
De forma geral, o racioc´ınio Dedutivo parte do geral para o particular.
Exemplo 10:
Todos os homens sa˜o mortais. Carlos e´ um homem. Logo, Carlos e´ mortal.
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SILOGISMOS
Silogismo e´ uma forma de racioc´ınio dedutivo em que, partindo-se de certas informac¸o˜es, infere-se uma
determinada conclusa˜o.
Podemos estruturar um silogismo em duas premissas-base (proposic¸o˜es-base) para o racioc´ınio, a conclusa˜o
e de treˆs termos. Tomando como base o exemplo de racioc´ıniodedutivo teremos:
• Premissa e conclusa˜o:
Premissa maior - e´ a premissa geral, de maior extensa˜o, que vem geralmente citada primeiro.
Todos os homens sa˜o mortais.
Carlos e´ um homem.
Logo, Carlos e´ mortal.
Premissa menor - e´ a premissa mais particular, que vem geralmente em segundo.
Todos os homens sa˜o mortais.
Carlos e´ um homem.
Logo, Carlos e´ mortal.
Conclusa˜o - e´ a proposic¸a˜o deduzida das premissas.
Todos os homens sa˜o mortais.
Carlos e´ um homem.
Logo, Carlos e´ mortal.
• Termos:
Termo maior - e´ o predicado de premissa maior e da conclusa˜o.
Todos os homens sa˜o mortais.
Carlos e´ um homem.
Logo, Carlos e´ mortal.
Termo me´dio - e´ o sujeito da premissa maior e o predicado da premissa menor. Na˜o aparece na
conclusa˜o.
Todos os homens sa˜o mortais.
Carlos e´ um homem.
Logo, Carlos e´ mortal.
Termo menor - e´ o sujeito da premissa menor e da conclusa˜o.
Todos os homens sa˜o mortais. Carlos e´ um homem. Logo, Carlos e´ mortal.
Vemos enta˜o, que:
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• A premissa maior conte´m o termo maior como predicado (mortais) e o termo me´dio, como sujeito
(homens).
• A premissa menor conte´m o termo me´dio como predicado (homem) e o termo menor, como sujeito
(Carlos).
• A conclusa˜o conte´m o termo menor como sujeito (Carlos) e o termo maior, como predicado.
Exemplo 11: Para o item abaixo, julgue a conclusa˜o apresentada nas premissas:
Premissa 1: p ∨ q
Premissa 2: ¬ q
Conclusa˜o: p
Nesse tipo de problema, voceˆ deve avaliar se a conclusa˜o pode ou na˜o ser tirada com base nas premissas
apresentadas. E´ um dos casos em que voceˆ se fara´ valer da tabela-verdade.
p q p ∨ p
V V V
V F V
F V V
F F F
Quando o enunciado diz que p ∨ q e´ uma premissa, ele esta´ afirmando que p ∨ q e´ verdadeira, ou seja,
podemos eliminar a u´ltima linha, onde p e q sa˜o falsas, levando a p ∨ q tambe´m falsa.
p q p ∨ p
V V V
V F V
F V V
O segundo passo e´ usar a premissa 2, partindo do pressuposto de que ela e´ verdadeira. Se e´ verdadeira,
enta˜o q e´ falsa. Isso nos leva a eliminar as linhas onde isso na˜o acontece:
p q p ∨ p
V F V
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Com isso, podemos perceber que so´ restou a linha em que p e´ verdadeira e q e´ falsa. Como o enunciado
apresenta p como conclusa˜o, afirmamos que a conclusa˜o e´ correta, ja´ que, na u´nica alternativa que restou,
p realmente ocorre, ou seja, e´ verdadeira. Logo, a afirmac¸a˜o e´ verdadeira.
Exemplo 12: Treˆs irma˜s - Ana, Maria e Cla´udia - foram a uma festa com vestidos de cores diferentes.
Uma vestiu azul, a outra branco e a terceira, preto. Chegando a` festa, o anfitria˜o perguntou quem era cada
uma delas. A de azul respondeu: ”Ana e´ a que esta´ de branco”. A de branco falou: ”Eu sou Maria”. E a de
preto disse: ”Cla´udia e´ quem esta´ de branco”. Como o anfitria˜o sabia que Ana sempre diz a verdade, que
Maria a`s vezes diz a verdade e que Cla´udia nunca diz a verdade, ele foi capaz de identificar corretamente
quem era cada pessoa. As cores dos vestidos de Ana, Maria e Cla´udia eram, respectivamente:
a) Preto, branco e azul.
b) Preto, azul e branco.
c) Azul, preto e branco.
d) Azul, branco e preto.
e) Branco, azul e preto.
Dados apresentados no enunciado do problema:
• Ana: sempre diz a verdade.
• Cla´udia: sempre mente.
• Maria: a`s vezes mente, a`s vezes fala a verdade.
Respostas das irma˜s:
• Az: Ana de branco.
• Br: Eu sou Maria.
• Pr: Cla´udia de branco.
Com base nos dados apresentados, podemos ver que:
• As treˆs irma˜s na˜o podem falar a verdade e nem mentir ao mesmo tempo, assim, elimina-se a primeira
e a u´ltima possibilidades da tabela verdade.
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Az Br Pr
V V M
V M V
V M M
M V V
M V M
M M V
• Se Az e´ verdadeiro (Ana de Branco), enta˜o Pr e´ falso (Cla´udia de branco). Com isso, elimina-se a
linha V - M - V. Ficamos assim:
Az Br Pr
V V M
V M M
M V V
M V M
M M V
• Se Az e´ verdadeiro (Ana de branco), enta˜o Br e´ falso (eu sou Maria). Isso porque a de branco teria
que ser Ana e a de branco disse que ela e´ Maria. Isso seria uma mentira e, por isso, um absurdo.
Isso elimina a linha V - V - M e ficamos com:
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Az Br Pr
V M M
M V V
M V M
M M V
• Se Pr e´ verdadeiro (Cla´udia de branco), Az e´ falso (Ana de branco). Na˜o ocorre a eliminac¸a˜o de
linhas porque essa condic¸a˜o na˜o ocorre em nenhuma das linhas que restaram. Como resultado da
primeira ana´lise das possibilidades, obtemos:
Az Br Pr
V M M
M V V
M V M
M M V
1◦ Hipo´tese: Ana esta´ de azul
Se Ana estivesse de azul, ela teria falado que “Ana esta´ de branco”, o que seria mentira (contrariando o
enunciado). Por isso, Ana na˜o pode estar de azul.
2◦ Hipo´tese: Ana esta´ de branco
Se Ana estivesse de branco, ela teria falado“Eu sou Maria”, o que seria mentira (contrariando o enunciado).
Por isso, Ana na˜o pode estar de branco. Logo, Ana esta´ de preto. Como a Ana esta´ de preto e
ela so´ fala a verdade, podemos eliminar as possibilidades em que o preto mente, assim ficamos com:
Az Br Pr
M V V
M M V
Mais ainda, se a que esta´ de preto falou a verdade, enta˜o: Cla´udia esta´ de branco. Consequentemente,
podemos concluir que Maria esta´ de azul (e mentiu).
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Assim, temos como resultado final:
• Az (Maria): Ana de branco - Mentira.
• Br (Cla´udia): Eu sou Maria - Mentira.
• Pr (Ana): Cla´udia de branco - Verdade.
E as cores de Ana, Maria e Cla´udia sa˜o: preto, azul e branco. Portanto a alternativa correta e´ a letra B.
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CONSIDERAC¸O˜ES FINAIS
Ao finalizar mais uma unidade deste livro de nivelamento de Matema´tica, estamos concluindo as nossas
atividades, visto que os assuntos essenciais para uma base matema´tica foram abordados com bastante
clareza e de forma sucinta. Sabemos que a todo o momento centenas de pessoas esta˜o dispostas a aprender,
na˜o importa o momento nem o curso que esteja realizando, pois aprender se torna pec¸a fundamental para
o desenvolvimento humano, dessa forma, esperamos que voceˆ tenha se dedicado e apreendido a esseˆncia
dos conteu´dos apresentados e tenha conseguido correlacionar as situac¸o˜es teo´ricas com situac¸a˜o na pra´tica,
que utiliza em seu cotidiano.
Nos dias atuais, torna-se important´ıssimo o uso do racioc´ınio lo´gico, seja na disciplina espec´ıfica ou em
determinadas situac¸o˜es-problema que voceˆ se depare. Atente-se que esta unidade demonstrou e aplicou
as Operac¸o˜es Lo´gicas, pois sa˜o operac¸o˜es realizadas atrave´s de proposic¸o˜es, obedecendo a`s regras de
ca´lculo proposicional muito semelhante ao da aritme´tica e dos nu´meros, utilizadas tambe´m em linguagem
computacional.
A nossa sugesta˜o de fixac¸a˜o do conteu´do trabalhado e´ que voceˆ, acadeˆmico(a),tente agora, depois de ler
e refletir sobre o assunto abordado, correlacionar alguma situac¸a˜o aqui representada com assuntos que
ira˜o ser tratados no decorrer de sua jornada acadeˆmica.
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ATIVIDADES DE ESTUDOS
1. Deˆ o valor lo´gico a cada uma das proposic¸o˜es resultantes abaixo:
a) “Se (2 e´ maior que 5 E Joa˜o e´ casado) Enta˜o Maria tem 17 anos”.
b) “Se 2 e´ menor que 5 E ( 2 e´ par Enta˜o 4 e´ menor que 2)”.
c) “Se (7 e´ maior que 5 OU Joa˜o e´ casado) Enta˜o 5 e´ par”.
2. (ESAF-AFC-2002) Dizer que na˜o e´ verdade que Pedro e´ pobre e Alberto e´ alto e´ logicamente
equivalente a dizer que e´ verdade que:
a) Pedro na˜o e´ pobre ou Alberto na˜o e´ alto.
b) Pedro na˜o e´ pobre e Alberto na˜o e´ alto.
c) Pedro e´ pobre e Alberto na˜o e´ alto.
d) Se Pedro na˜o e´ pobre, enta˜o Alberto e´ alto.
e) Se Pedro na˜o e´ pobre, enta˜o Alberto na˜o e´ alto.
3. (ESAF) Ana guarda suas blusas em uma u´nica gaveta em seu quarto. Nela se encontram sete blusas
azuis, nove amarelas, uma preta, treˆs verdes e treˆs vermelhas. Uma noite, no escuro, Ana abre a
gaveta e pega algumas blusas. O nu´mero mı´nimo de blusas que Ana deve pegar para ter certeza de
ter pegado ao menos duas blusas da mesma cor e´:
a) 6.
b) 4.
c) 2.
d) 8.
e) 10.
4. (Cesgranrio) Analise as afirmativas abaixo.
I. A parte sempre cabe no todo.
II. O inimigo do meu inimigo e´ meu amigo.
III. Um professor de matema´tica afirma que todos os professores de matema´tica sa˜o mentirosos.
Do ponto de vista da lo´gica, e´ (sa˜o) sempre verdadeira(s) somente a(s) afirmativa(s):
82
a) I.
b) I e II.
c) I e III.
d) II.
e) III.
5. (ESAF) Ou A = B, ou B = C, mas na˜o ambos. Se B = D, enta˜o A = D. Ora, B = D. Logo:
a) B �= C.
b) B �= A.
c) C = A.
d) C = D.
e) D �= A.
6. ( Cespe/Unb) Com base nas assertivas que fazem parte do argumento apresentado, julgue os itens
subsequentes:
• A justic¸a e´ perfeita
• A lei foi feita pelo homem
• Toda obra humana e´ imperfeita
• Logo: a lei e´ injusta
Assinale V ou F, nas alternativas abaixo:
( ) A “lei foi feita pelo homem” e´ uma premissa desse argumento.
( ) A “lei e´ injusta” e´ a conclusa˜o desse argumento.
( ) Trata-se de exemplos de argumentos va´lidos.
7. Uma professora de matema´tica faz as treˆs seguintes afirmac¸o˜es:
“x > Q e z < y”
“x > y e Q > y, se e somente se y > z”
“R �= Q, se e somente se y = x”
Sabendo-se que todas as afirmativas da professora sa˜o verdadeiras, conclui-se corretamente que:
a) X > Y > Q > Z.
99 
83
b) X > R > Y > Z.
c) Z < Y < X < R.
d) X > Q > Z > R.
8. Utilizando tabelas-verdade, verifique se existem as relac¸o˜es de implicac¸a˜o lo´gica seguintes:
a) p ∧ q ⇒ q ∧ p
b) ¬ (p ∧ q) ⇒ ¬ p ∨ ¬ q
82
a) I.
b) I e II.
c) I e III.
d) II.
e) III.
5. (ESAF) Ou A = B, ou B = C, mas na˜o ambos. Se B = D, enta˜o A = D. Ora, B = D. Logo:
a) B �= C.
b) B �= A.
c) C = A.
d) C = D.
e) D �= A.
6. ( Cespe/Unb) Com base nas assertivas que fazem parte do argumento apresentado, julgue os itens
subsequentes:
• A justic¸a e´ perfeita
• A lei foi feita pelo homem
• Toda obra humana e´ imperfeita
• Logo: a lei e´ injusta
Assinale V ou F, nas alternativas abaixo:
( ) A “lei foi feita pelo homem” e´ uma premissa desse argumento.
( ) A “lei e´ injusta” e´ a conclusa˜o desse argumento.
( ) Trata-se de exemplos de argumentos va´lidos.
7. Uma professora de matema´tica faz as treˆs seguintes afirmac¸o˜es:
“x > Q e z < y”
“x > y e Q > y, se e somente se y > z”
“R �= Q, se e somente se y = x”
Sabendo-se que todas as afirmativas da professora sa˜o verdadeiras, conclui-se corretamente que:
a) X > Y > Q > Z.
84
CONCLUSA˜O GERAL
Chegamos ao final deste material de estudos. Ele foi desenvolvido com objetivo de agregar valores ao
seu aprendizado, a fim de ampliar o seu conhecimento pre´-adquirido ao longo dos anos curriculares. Este
livro procurou oferecer ferramentas que mostrassem as possibilidades de utilizar a teoria em sua jornada
acadeˆmica, nas disciplinas espec´ıficas de seu curso, pois sabemos que a educac¸a˜o esta´ passando por diversas
mudanc¸as e e´ necessa´rio o ensino de alguns conteu´dos ba´sicos de matema´tica que na˜o podem deixar de
serem aplicados e compreendidos de uma maneira clara e sucinta.
Basicamente este material pretende eliminar as falhas do ensino fundamental e ba´sico da Matema´tica,
propondo oportunidades de ampliar seus conhecimentos, atrave´s da organizac¸a˜o dos conteu´dos a partir
do curr´ıculo base. Para fixar os assuntos torna-se necessa´rio aborda´-los mais que uma vez e pratica´-los
constantemente, conforme a necessidade do acadeˆmico.
A proposta de retomar os temas da Matema´tica Ba´sica foi de proporcionar e garantir a voceˆ relembrar
conteu´dos que por ventura tenha esquecido ou sanar ru´ıdos na comunicac¸a˜o da linguagem matema´tica,
garantindo na˜o somente a memorizac¸a˜o, mas principalmente o aprendizado efetivo e cont´ınuo, valorizando
as ideias e a compreensa˜o.
De uma maneira enxuta e simplificada, primou-se pela esseˆncia dos temas abordados, deixando o entulho
do ensino tradicional, que geram lacunas no aprendizado, buscando apoiar o desenvolvimento do aluno
em sua jornada acadeˆmica, indiferente do curso que esteja utilizando este material de apoio.
Poderia ter sido escrito muito mais, sugerido muito mais. Contudo, trata-se de um livro de nivelamento
cujos temas precisam ser abordados resumidamente, focando no reforc¸o dos conteu´dos, considerando
apenas os to´picos que sa˜o amplos e important´ıssimos para o campo da Matema´tica.
A grande preocupac¸a˜o foi realizar um material que proporcionasse uma leitura agrada´vel, que contribu´ısse
com a sua formac¸a˜o acadeˆmica e que ampliasse seus conhecimentos atrave´s de leitura e de atividades.
Aproveite esse material para obter sucesso em seus estudos!
CONCLUSÃO
101
CONCLUSÃO
REFERÊNCIAS
103
REFERÊNCIAS
85
REFERENCIAL TEO´RICO
ALENCAR FILHO, Edgard. Iniciac¸a˜o a` lo´gica matema´tica. Sa˜o Paulo: Nobel, 2002.
DANTE, Luiz Roberto. Matema´tica, volume u´nico: livro do professor. 1.ed. Sa˜o Paulo: A´tica, 2005.
ROCHA, Enrique. Racioc´ınio lo´gico: teoria e questo˜es. 2.ed. Rio de Janeiro: Elsevier, 2006.
SILVA JUNIOR, Aca´cio P. da. Matema´tica (nivelamento). Maringa´-PR, 2012.
TINOCO, Lu´cia A. A. Razo˜es e Proporc¸o˜es. Instituto de matema´tica/UFRJ. Projeto Funda˜o
SPEC/PADCT/CAPES Rio de Janeiro, editora UFR,1996
GABARITOGABARITO
86
GABARITO
UNIDADE I
1) 12 bolas
2) 125
3) 24%
4) 15%
5) 36%
6) Sim
7) 400 pa˜es
8) 105 Km/h
9) 2,4 kg
10) 50 postos
UNIDADE II
1) 68389,56
2) 5/6
3) a)1,6 b) 1
4) 117
5)
1
15
6)
1
6
com pipoca e sobrou metade do que ela possu´ıa antes de comprar o ingresso
7) d)
8) c)
9) d)
10) c)
GABARITO
GABARITO
105
87
UNIDADE III
1) a) A a´rea e´ dada em func¸a˜o do lado.
b) A a´rea (l2)
c) O lado (l)
d) A=l2
e) A=122=144. A a´rea e´ de 144 cm2
f) A=l2 → 169 = l2 → l=
√
169 =13. A medida do lado e´ de 13 cm
2) a) f(x) = 7x− 1, Func¸a˜o afim; a = 7 e b = −1.
b) f(x) = 2x2 + 4x, Na˜o e´ func¸a˜o afim.
c) f(x) = −x+ 9, Func¸a˜o afim; a = −1 e b = 9.
5) a) f(x) = 3x+ 2; b) f(x) = −2x+ 5
6) f(x) =
x
2
+ 4
7) a) f(x) = 6x2 − 2x, Func¸a˜o quadra´tica; a = 6, b = −2 e c = 0.
b) f(x) = x2 − 8, Func¸a˜o quadra´tica; a = 1, b = 0 e c = −8.
c) f(x) = 1, Na˜o e´ func¸a˜o quadra´tica.
8) a) x′ = 3 e x” = −3
b) x′ = x” = 1 c) x′ = 4ex” = −2
9) a) V (1, 5;−6, 25); x′ = −1ex” = 4
b) V (
1
3
;
8
3
); x′ = −1/3ex” = 1
c) V (0; 1); x′= −
1
2
e x” =
1
2
10) a) Valor ma´ximo =
1
3
b) Valor mı´nimo = −
25
8
c) Valor ma´ximo = 0
UNIDADE IV
1) b) 81◦
2) a) O candidato B pode se considerar eleito.
3) F - F - V
GABARITOGABARITO
88
4) a) x = −25
b) x = −
13
2
c) x = 3
d) x = 59
e) x =
10
3
f) x =
5
7
5) a) 2x− 4 = 30
b) 3x+ 9 =
c) 3 · (x+ 9) = 12
6) Pastel =R$ 0,80 e Refrigerante =R$ 0,60
7) Cada vidro custou R$ 3,00
8) a) x = 8 e y = 6
b) x = 27 e y = −7
c) x = 3 e y = 4
d) x =
1
2
e y = 3
e) x = −
13
10
e y =
63
15
f) x =
224
19
e y = −
36
114
9) a) x′ = 2 e x” = 3
b) x′ = −3 e x” = −2
c) x′ = −2 e x” = −1
d) x′ = x” = 1
e) x′ = x” = 3
f) x′ = x” = −2
10) a) x′ = 5 e x” = −5
b) x′ = 0 e x” = −25
c) x′ = 0 e x” = 3
d) x′ = 3 e x” = −3
e) x′ = 0 e x” = −3
f) Na˜o possui ra´ızes reais.
GABARITO
107
89
UNIDADE V
1) V - F - F
2) Letra A
3) A
4) A
5) A
6) Todas corretas
7) B
8) Existe/existe
	UNIDADE I
	RAZÃO, PROPORÇÃO, REGRA DE TRÊS E PORCENTAGEM
	Introdução
	Razão e Proporção
	Forma Fracionaria Forma Decimal e Forma Percentual de uma Razão.
	Razões Especiais
	Regra de três e Proporção
	Porcentagem
	Considerações Finais
	UNIDADE II
	NOTAÇÃO CIENTÍFICA, OPERAÇÕES COM FRAÇÕES E OPERAÇÃO COM NÚMEROS DECIMAIS
	Introdução
	Notação Científica
	Operações com Frações
	Operação com Números Decimais
	Expressões Numéricas
	Considerações Finais
	UNIDADE III
	FUNÇÃO DO 1º E 2º GRAUS
	Introdução
	Noção Intuitiva de Função
	Função do 1º Grau
	Função do 2º Grau ou Função Quadrática
	Considerações Finais
	UNIDADE IV
	LEITURA DE GRÁFICOS E TABELAS, EQUAÇÕES E SISTEMAS DE EQUAÇÕES
	Introdução
	Leitura de Gráficos e Tabelas
	Equações e Sistemas de Equações
	Equações do 1º Grau
	Sistemas de Equações Lineares
	Equação do 2º Grau
	Considerações Finais
	UNIDADE V
	RACIOCÍNIO LÓGICO E MATEMÁTICO
	Introdução
	Raciocínio Logico e Matemático
	Construção de Tabelas-Verdade
	Raciocínio Lógico
	Considerações Finais
	Conclusão
	Referências
	Gabarito