Topografia Básica Completo Eng. Civil (1)

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AGRIMENSURA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Eduardo de M. Barbosa
 
 
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Aula 1 
 
CONCEITOS SOBRE A TOPOGRAFIA 
 
Prezado aluno, seja bem-vindo! É com muita satisfação que vou lhes apresentar o 
mundo da Topografia e da Agrimensura. Essa aula foi elaborada para dar suporte aos 
procedimentos necessários aos levantamentos planimétricos e altimétricos. 
A presente aula aborda os conceitos envolvidos com a topografia incluindo a 
importância, o histórico, os limites e as unidades de medida. 
 
Objetivos: 
Podemos afirmar que ao final desta aula, você será capaz de identificar o conceito da 
topografia a finalidade e importância as suas divisões e as unidades de medidas. Utilizando 
uma abordagem direta iremos apontar ate onde é permitido utilizar as técnicas de topografia 
sem a deterioração dos resultados. 
 
1. Introdução 
 
A topografia tem por objetivo determinar o contorno, dimensão e posição relativa de 
uma porção limitada da superfície terrestre, sem levar em conta a curvatura resultante da 
esfericidade terrestre. Dentro dos limites da superfície terrestre a ser representado deve conter 
as particularidades notáveis, naturais ou artificiais do terreno (GARCIA e PIEDADE,1983). 
Também podemos considerar a topografia como uma ciência aplicada, baseada na 
Geometria e na Trigonometria plana, o que vincula a uma aplicação limitada. 
 
2. Finalidade 
 
A palavra topografia possui no seu significado etimológico a “Descrição do Lugar”. 
Portanto, são estudados os instrumentos, métodos de operação em campo, cálculos e 
desenhos necessários ao levantamento e representação gráfica mais ou menos detalhada de 
uma parte da superfície terrestre (DOMINGUES, 1979). 
 
3. Importância 
 
3 
 
Em qualquer obra de engenharia, arquitetura e agronomia, antes de concebê-la e 
necessário descrever o local em que ela será realizada, antes de realizá-la, sendo necessário 
um prévio monitoramento na sua dinâmica. Em um levantamento topográfico é a forma 
previa de obter estas informações. 
 
4. História 
 
Em função da não conservação de vestígios históricos e não documentação é quase 
impossível determinar quando a Topografia foi usada pela primeira vez, mas em sua forma 
mais simples é certamente tão antiga quanto a historia da civilização McCormac (2010). 
Porque desde que existe o direito a propriedade, também existe um modo de medição para 
separar a parcela de terra de um proprietário do outro. 
Não se pode separar o desenvolvimento inicial da topografia da astronomia, astrologia 
ou matemática porque essas disciplinas são interligadas outros fatos que também evidencia 
esta relação é a criação de um sistema matemático para resolver problemas de construção, 
principalmente os teoremas desenvolvidos pelos matemáticos Tales e Pitágoras como a 
invenção da Trigonometria. 
Outro fato histórico é a elaboração do 1º mapa do mundo 700 ac construído em placa 
de argila pelos Babilônios. A invenção da bússola que também permitiu a orientação dos 
levantamentos topográficos. 
Dessa forma foi possível encontrar vestígios históricos em varias civilizações antigas 
como a Suméria 3500 à 539 a.C., o Egito 3200 a.C. a 200 d.C., na Grécia 800 à 30 a. C., na 
Roma 753 a.C. à 476 d.C. e na China 1500 a.C. 
 
4.1 Origem e evolução 
 
Os gregos, egípcios, árabes e os romanos nos legaram instrumentos e processos que 
embora primitivos, serviram para descrever, delimitar e avaliar propriedades rurais, com 
finalidades cadastrais. E estes instrumentos e processos serviram de base também para a o 
desenvolvimento da topografia atual. Na história da topografia existem relatos e relíquias de 
plantas e cartas geográficas militares bem interessantes e com uma boa organização. Porém, 
somente no ultimo século a topografia passou a ser considerada ciência. 
Um fato importante para a topografia moderna e caracteriza como sendo o primeiro 
resultado obtido pelo uso de suas técnicas, foi a carta da França, publicada no inicio do século 
XIX. 
4 
 
Nas ultimas décadas houve um aperfeiçoamento da mecânica de precisão introduzida 
nos instrumentos topográficos, principalmente, pelos engenheiros Henrique Wild e Carl 
Zeiss. Todos contribuíram eficientemente para o desenvolvimento da Topografia e 
possibilitou medições com muito mais precisão. 
 
5. Afinidade com outras ciências 
 
A topografia não é uma simples aplicação da geometria, cada vez mais ela tem 
alargado seu campo de ação e tem crescido as exigências em precisão e perfeição dos 
trabalhos. Outro fato importante é que algumas outras ciências estão intimamente ligadas a 
Topografia tais como: 
Matemática: Investiga relação entre entidades abstratas e lógicas. 
Agrimensura: Arte de medir, demarcar e dividir imóveis rurais e urbanos. 
Astronomia: Ciência que se ocupa da constituição e movimento dos astros. 
Cartografia: Arte de compor cartas geográficas. 
Geografia: Ciência que estuda a terra na sua forma e acidentes físicos. 
Geodésia: Ciência que se ocupa da forma e grandezas da terra. 
Fotogrametria: Ciência que trata do levantamento de terras através de fotografias 
aéreas. 
 
6. O limite da topografia 
 
A superfície do nosso planeta é irregular, constituída de grandes elevações e 
depressões; no entanto, estas alterações são bem pequenas comparadas com as dimensões da 
terra cujo raio é 6.370.000,00m, uma vez que, a maior elevação em Glaisker sobre o Everest, 
com ~ 8.838 metros acima do nível do mar, é pouco maior do que o milionésimo do raio 
terrestre. Já a profundidade máxima do oceano são as fossas marítimas no pacifico sul com ~ 
11.033 metros. 
Assim quando se fala na forma da Terra, entende-se uma superfície regular que segue 
medianamente o andamento do relevo que aflora no nível do mar e passa debaixo das 
montanhas; a escolha desta superfície se faz de acordo com o critério que apontamos. 
Para cada ponto da terra existe uma direção característica, fisicamente bem definida, e 
assinalada com qualquer instrumento simples, e esta é definida como a direção vertical. A 
vertical tem uma importância fundamental em topografia, porque a essa vertical se faz 
constante referência nas medidas e nos métodos de representação. 
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A forma da terra se entende aquela superfície que, partindo de um ponto no nível 
médio do mar, se mantém constantemente normal a um sistema de linhas verticais conduzidas 
pelos pontos da superfície física terrestre. Esta superfície se chama geóide, que se confunde 
muito sensivelmente com o elipsóide de revolução, tendo o seu eixo menor coincidente com a 
linha dos pólos. Dessa forma, o Geóide é a superfície de equilíbrio relativa ao nível médio 
dos mares em vários pontos do globo, embora não coincidindo exatamente com elipsóide, 
apresentam divergências tão pequenas que podem ser desprezadas em algumas aplicações. A 
diferença entre o geóide e o elipsóide em um dado ponto, ou em outras palavras, é o 
afastamento angular entre as duas superfícies, denominado de desvio da vertical, entre as 
normais às superfícies do geóide e do elipsóide como apresenta a Figura 01. 
 
Figura 01: Relação entre a Vertical e a Normal. 
 
Entretanto, por considerar plano o trecho levantado ocorre o Erro planimétrico Figura 
02. Uma vez que, na Geodésia a superfície de referência para as medidas planimétricas é 
curva ao passo que na Topografia é considerada plana, motivo que assinala a necessidade de 
avaliar a extensão máxima dos levantamentos topográficos. 
 
 
Figura 02: Erro planimétrico. 
 
Erro de 
esfericidade 
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Em função do ângulo central (α) o erro de esfericidade nas distâncias topográficas, 
pode ser obtido das seguintes relações: 
 D’= R. tg α e D = (R. α. π ) /180°(erro esfericidade) = (R.tg α ) - (R. α. π /180°) 
 
 R= 6.370.000 m 
α D’= R. tg α D = (R. α. π ) 180° 
ERRO 
Absoluto 
ERRO 
Relativo 
1’ 1852,2211 1852,2211 0,0000602m 1:30.524.408 
5’ 9264,796 9264,780 0,007m 1: 1.300.000 
10’ 18.529,631 18.529,579 0,052m 1: 360.000 
15’ 27.794,540 27.794,370 0,17m 1: 160.000 
20’ 37.059,540 37.059,160 0,42m 1: 90.000 
25’ 46.324,760 46.323,9950 0,81m 1: 60.000 
30’ 55.590,00 55.588,70 1,3m 1: 30.000 
 
Obs. Nos serviços Topográficos com a finalidade de acompanhamento de obras de 
engenharia o erro máximo é 1:35.000. Logo o raio do campo topográfico é de 
aproximadamente 50 Km. 
 
7. Divisão da topografia 
 
Classicamente, visando atender os objetivos, a Topografia se divide em: topometria e 
topologia. 
A Figura 03 apresenta um fluxograma com a divisão da topografia. 
 
Figura 03: Fluxograma com a divisão da topografia. 
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7.1 Topometria 
 
Estuda os processos clássicos de medidas de distâncias, ângulos e diferença de nível. 
Encarrega-se, portanto, da medida das grandezas lineares e angulares, quer seja no plano 
horizontal ou no plano vertical, objetivando definir o posicionamento dos pontos 
topográficos, por sua vez a topometria se divide em: 
 
• Planimetria é a parte que se ocupa da representação em projeção horizontal dos 
objetos existentes na superfície do terreno. 
• Altímetria é a parte que determina as alturas ou distâncias verticais de um certo 
número de pontos do terreno referidos ao plano horizontal de projeção. 
Já a Planialtimetria é a representação das informações planimétricas e altimétricas, 
obtidas dos levantamentos já descritos anteriormente, em uma única planta, carta ou mapa. 
 
7.2 Topologia 
 
É a parte da topografia que determina as formas exteriores de um terreno e as leis 
físico-químicas que regem o seu modelado, sua aplicação principal é na representação 
cartográfica do terreno pelas curvas de nível, que são as interseções obtidas por planos 
eqüidistantes paralelos com o terreno a representar. 
 
8. Unidades de Medidas 
 
Distingue-se em topografia três tipos de grandezas; as lineares, angulares e as de 
superfície. Nas grandezas lineares e de superfície a unidade padrão é o metro, que 
corresponde a décima-milionésima parte do meridiano terrestre, segundo a deliberação da 
Assembléia Nacional da França. 
 
• Medidas lineares: Sistema métrico decimal - Unidade padrão metro(m) 
Simbologia Relação 
Quilômetro (km) 1km = 1.000m 
Hectômetro (hm) 1hm = 100m 
Decâmetro (dam) 1dam = 10m 
Metro (m) 1m = 1m 
Decímetro (dm) 1dm = 0,1m 
8 
 
Centímetro (cm) 1cm = 0,01m 
Milímetro (mm) 1mm = 0,001m 
Outras medidas lineares utilizadas. 
1 polegada = 0,0254 m 
1 palmo = 0,22 m 
1 braça = 2,20 m 
1 corda = 33 m 
1 pé = 0,33 m 
1 vara = 5 palmos =1,1m 
1 quadra = 60 braças =132,0 m 
1 légua sesmaria= 6,600 m 
1 milha = 1609,31 m 
 
• Medidas angulares: Sistema sexagesimal, Centesimal e Radianos. 
Os principais tipos de divisões de arcos são apresentados em três sistemas que 
incluem o sistema sexagesimal, o centesimal e o radiano. 
Sistema Sexagesimal divide o circulo em partes iguais ou graus. Os graus ainda 
são divididos em minutos e segundos (1° = 60 minutos e i minuto = 60 segundos). 
Assim, um ângulo pode ser escrito como 56°18’37”. 
Sistema Centesimal em alguns países, principalmente na Europa, é utilizado o 
sistema centesimal , no qual o circulo é dividido em 400 partes chamados de grados. 
Note que 100 g = 90°. Um ângulo pode ser expresso como 122,3456 g( que multiplicado 
por 0,9 nos dará o resultado de 110,11104°ou 110°06’39,7”). 
Radiano é definido como o ângulo inscrito no centro de um círculo, por um 
arco de comprimento igual ao raio desse círculo. Nesses sistemas o arco de um circulo 
são divididos em 360°, 400g e 2π; e a unidade de medida, para cada parte da 
circunferência chama-se Grau, Grado e Radiano respectivamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
90° 
400g 2π 
100g π/2 
π 
3π/2 
200g 
300g 
360° 
180° 
270° 
 Grau 
 Sexagesimal 
 Grado 
 Centesimal 
Radianos 
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- O sistema Sexagesimal é bastante usado na maioria dos aparelhos topográficos e 
geodésicos. 
 
• Medidas de Superfície: As unidades legais que expressam comprimento medido são 
o metro e seus múltiplos e submúltiplos. 
Para medir a superfície, a unidade adotada é o metro quadrado. Porem, para medir 
superfície de terrenos (medida agrária), a unidade empregada é o are, cujo símbolo é a 
correspondente á superfície de um quadrado de 10m de lado, isto é, 100m2. Normalmente só 
se faz uso de um múltiplo e um submúltiplo dessa unidade. Sendo que o múltiplo é o hectare, 
que equivale a 10.000m2 e corresponde área de um quadrado de 100 m de lado. O 
submúltiplo é o centiare, que equivale a um metro quadrado (Comastri e Grip Junior, 1998). 
 
Nome Simbologia Relação 
 hectare ha 10.000m2 
 are a 100 m2 
 centiare ca 1 m2 
 
Para expressar áreas de grande extensão territorial, emprega se o quilômetro quadrado 
(km2), que equivale a 1.000.000 m2 ou 100 ha. 
Oficialmente é obrigatória a aplicação das unidades de superfície do sistema métrico 
decimal na medição de terrenos, desde o inicio da vigência do decreto imperial, pela Lei 
nº1.157, de junho de 1862. Porém, as unidades antigas, quase todas derivadas da braça de 
2,20m, são ainda utilizadas no Brasil desde a época da colonização. As unidades antigas 
adquiriram caracteristicas de cada região e não apresentam valores definidos. Portanto, os 
valores não apresentam valores inteiros correspondentes ao hectare. 
Uma das medidas antigas utilizada é o alqueire que corresponde a uma área em 
braças, mas apresenta deferentes tamanhos, por exemplo, na região de Minas gerais próximo 
a Viçosa adota se o alqueire de 80 x 80 braças, corresponde a 30.976 m2. Em outros estados 
como Goiás, Tocantins adotam um alqueire de 100 x 100 braças, que corresponde a 48400 
m2. Já no estado de São Paulo utiliza se o alqueire de 100 x 50 braças que equivale a 24.200 
m2, no estado do Mato Grosso utiliza-se o alqueire de 100 x 200 braças, que equivale a 
96.800 m2. Como visto o valor do alqueire tem valores diferentes o que pode causar confusão 
e dificultar o trabalho do agrimensor (Comastri e Grip Junior, 1998). 
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Outra medida antiga baseada no volume é o litro. Que corresponde a área de terreno 
em que se faz a semeadura de um litro (capacidade) de sementes de milho no compasso de 
um metro quadrado para cada cinco ou seis grãos, equivalentemente a 605 m2. 
 
Exercícios: 
1- Transforme as seguintes medidas para metros: 
a) 105 mm f) 0,008 km 
b) 255 dam g) 5000 mm 
c) 8,2 cm h) 200 cm 
d) 0,75 hm I) 500 dm 
e) 18,5 km j) 5 dam 
 
2- Calcule: 
a) 240°15’45” + 80°44’15” = 
b) 30°18’30” + 40°21’30” = 
c) 60°39’50” - 60°10’15’ = 
d) 190°30’40” / 30°05’10” = 
e) 15°36’18” * 5°02’15”= 
f) Ache o seno 30°20’15” = 
g) Ache o co-seno 30°20’15’ = 
h) Ache a tangente 30°20’15” = 
i) Ache o arco seno 0,3216712 = 
j) Ache o arco co-seno 0,3216712 = 
k) Ache o arco tangente 0,3216712 = 
 
3- Transforme: 
a) 10 alqueires = m² 
b) 500 alqueires = m² 
c) 300 hectares = m² 
d) 8 alqueires = litros 
e) 10 litros = m² 
f) 8300605 m² = alq 
g) 400.000 m² = ha 
h) 605.000 litros = alq 
i) 48400 ha = alq 
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j) 350 alq 60 litros = ha 
 
4- Passe para as unidades pedidas: 
20dm, km, m, cm; 
300mm,m, cm, dm; 
36º20’30”, seno, rad; 
60°18’45”, co-seno, rad; 
1,368523 rad, tangente ° ’ ”; 
 
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Aula 2 
 
LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO 
 
Objetivos: 
Ao final desta aula, o aluno conhecera os equipamentos empregados na medição dos ângulos 
horizontais e verticais e na medição direta de distancias. Equipamentos esses fundamentais 
aos levantamentos topográficos, necessários a representação em planta. 
 
1 GONIOMETRIA 
 
É a parte da topografia que estuda os instrumentos, métodos e processos utilizados na 
avaliação numérica de ângulos. Todo instrumento utilizado para medir ângulos chama-se 
goniômetro. Para a medida simultânea dos ângulos horizontais e verticais temos os 
goniômetros, também chamados de teodolitos Figura 8. Constitui-se como instrumento 
universal, pois é empregado na medida dos ângulos necessários as operações topográficas, 
geodésicas e também nas operações astronômicas. 
 
Horizonte
P1
V
0º00
'00"
P1'
Hz
+α
Ζ
 
Figura 8: O esquema mostra como são determinados os ângulos no teodolito. 
 
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Os teodolitos são concêntricos, isto é traz a luneta passando pelo centro do 
instrumento. Dessa forma o instrumento é instalado e centrado sobre o ponto onde se deseja 
determinar o angular e depois faz uma visada a ré e depois realiza a visada a vante. 
Antes de o estudante tentar usar o teodolito para medir ângulos horizontais para uma 
poligonal real, ele provavelmente necessitará de uma boa sessão prática para estar seguro que 
a operação do instrumento foi completamente entendida. Um excelente modo de fazer isso é 
instalar e nivelar o instrumento num ponto conveniente e fincar no solo um piquete para isto. 
Se são usados piquetes, uma tachinha deve ser colocada em cada piquete de tal forma que ela 
se destaque no topo (McCormac, 2010). 
 Diversos tipos de teodolitos que foram usados através dos anos são mostrados na 
Figura 9 e listados a seguir: 
- O Teodolito analógico tem os círculos vertical e horizontal lidos diretamente com o 
microscópio óptico. 
-O Teodolito ótico têm círculos ou limbos horizontais e verticais para medição de 
ângulos feitos de vidro em vez de metal. A luz passa através do circulo de vidro e, com a 
ajuda de prismas, as leituras dos círculos são refletidas em oculares. Os valores são 
ampliados, permitindo ao usuário fazer leituras sem tanto desgaste. 
- O Teodolito eletrônico mostra numa tela de crista os valores dos ângulos horizontais 
e verticais. Com os teodolitos eletrônicos as medições são mostradas digitalmente e podem 
ser registradas em caderneta de campo. O circulo de leitura pode ser ajustado para zero 
apertando um botão. 
 
 
Figura 9: Da esquerda para a direita observamos um exemplo de teodolito analógico, 
ótico e eletrônico respectivamente. 
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Os teodolitos podem ser classificados quanto ao tipo de leitura como analógicos, 
óticos ou eletrônicos. 
 
2 GRANDEZAS MEDIDAS COM O GONIÔMETRO 
 
Segundo GARCIA e PIEDADE (1984) as grandezas medidas em um levantamento 
topográfico podem ser de dois tipos: angulares e lineares. Nas grandezas lineares observa-se 
as distâncias horizontais e as distâncias verticais ou diferenças de nível. Já nas grandezas 
angulares são observados os ângulos horizontais e os ângulos zenitais ou verticais. 
 
2.1 Grandezas Angulares 
 
Ângulo Horizontal (Hz): são aqueles que se medem como se estivessem sendo 
projetados em um plano horizontal . Por exemplo, aqueles formados pelas linhas retilíneas de 
um terreno GARCIA e PIEDADE (1984). A Figura 8 exemplifica um ângulo horizontal 
medido entre as arestas (1 e 2) formadas pelas paredes de uma edificação. O ângulo 
horizontal esta sendo projetado no plano topográfico mostrado na Figura 10. 
 
Aresta 1
Aresta
 2
HZ
2 1
3
Plano Topográfico
 
Figura 10: Ângulo horizontal entre duas direções 
Ângulo Vertical (αααα): é medido entre o alinhamento do terreno e o plano do 
horizonte. Pode ser ascendente (+) ou descendente (-), conforme se encontre acima (aclive) 
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ou abaixo (declive) deste plano. Na figura 11 temos um exemplo da medição do ângulo 
vertical. 
 
 
Plano Topográfico
+α Horizonte
−α
 
Figura 11: Ângulo vertical em relação ao plano topográfico. 
 
Como descrito anteriormente, um ângulo vertical tem sinal positivo ou negativo. Já o 
ângulo zenital é o ângulo entre a linha vertical e o ponto em questão. 
O ângulo vertical, nos equipamentos topográficos modernos (teodolito e estação 
total), pode também ser medido a partir da vertical do lugar (com origem no Zênite ou Nadir), 
daí o ângulo denominar-se Ângulo Zenital (V ou Z) ou Nadiral (V’ ou Z’). Esses ângulos são 
ilustrados na Figura 12. 
Horizonte
Zênite
Nadir
Z
α
Vis
ad
a
 
Figura 12: Ângulo Zenital em relação ao ângulo vertical. 
 
16 
 
2.2 Manuseio, leitura e medida de ângulos 
 
Para medir com exatidão um ângulo horizontal, entre duas direções projetadas, bem 
como o ângulo vertical, correspondente, emprega-se o teodolito ou estação total. Ele deve ser 
convenientemente verificado e, se necessário, retificado em todos os seus órgãos para que as 
indicações obtidas satisfaçam plenamente. 
Previamente ao uso do teodolito, deve-se retirar o instrumento da caixa e fixa-lo no 
tripé utilizando o parafuso central ou com a rosca de fixação e seguir os seguintes 
procedimentos para a centralização com o prumo ótico e a calagem ou horizontalidade do 
equipamento apresentados a seguir: 
 
Estacionar equipamentos topográficos com prumo ótico 
 
O procedimento descrito a seguir referente a instalação do teodolito no ponto 
topográfico foi obtido no www.topografia.com.br/donwloads (acessado em 27/09/2005) 
− Posicione o tripé do instrumento aproximadamente na vertical do ponto topográfico. 
Se a superfície topográfica for irregular, posicione apenas uma perna na parte mais 
alta e utilize o fio de prumo para auxiliar na detecção da vertical. Procure adaptar a 
altura do tripé para a sua altura, não deixando de considerar a irregularidade da 
superfície e nem a altura do instrumento. Aproveite este momento para deixar a mesa 
do tripé aproximadamente nivelada e crave uma das pernas no solo (de preferência a 
que estiver na parte mais alta do terreno). 
− Retire o instrumento de seu estojo conforme o item 4 do manual “CUIDADOS COM 
EQUIPAMENTOS TOPOGRÁFICOS” e coloque-o sobre o tripé conforme o item 5 
do referido manual. Posicione os três calantes numa mesma altura (de preferência 
num ponto intermediário do recurso total do calante). Normalmente os instrumentos 
possuem marcas fiduciais como anéis pintados ou parafusos de fixação de seu eixo 
que podem servir de referência. 
− Posicione a marca central do prumo ótico sobre o ponto topográfico utilizando as duas 
pernas do tripé que ainda não estão cravadas. Quando a marca estiver perfeitamente 
sobre o ponto topográfico, crave as pernas soltas e inicie o nivelamento da bolha 
circular utilizando as três pernas. Preste muita atenção na direção formada pela bolha 
e o círculo. Esta direção irá definir com qual perna você deverá subir ou abaixar a 
mesa. 
 
mesa 
perna 1 
perna 3 
direção 
perna 2 
17 
 
Conforme as ilustrações ao lado, a perna que deverá baixar a mesa é a 
perna 1, pois a bolha circular está na sua direção para o seu lado. 
vista superior da bolha circular vista superior do tripé 
− Com a bolha perfeitamente dentro do círculo (automaticamente a 
mesa estará nivelada, pois os calantes estão numa mesma altura), verifique se a marca 
centraldo prumo ótico saiu da vertical do ponto. Caso tenha saído afrouxe o 
instrumento do tripé e posicione novamente a marca sobre o ponto topográfico. 
− Inicie então o nivelamento da bolha tubular utilizando o “Método dos Três Calantes” 
ou o “Método do Calante Perpendicular”(ambos descrito a seguir). Independente de 
qual método você optar, deverá ser feito duas vezes. Após feito, verifique se a marca 
central do prumo ótico saiu do ponto. Caso tenha saído volte ao passo 4. 
− Método dos Três Calantes: Deixe a bolha tubular paralela aos 
calantes 1-2 e nivele-a utilizando somente estes dois calantes. O 
movimento dos calantes deverão ser sempre em sentidos opostos 
(quando um for girado no sentido horário o outro deverá ser 
girado no anti-horário). Em seguida posicione a bolha tubular 
paralela aos calantes 2-3 e use estes calantes para nivelar a bolha. Não esqueça que os 
calantes devem giram em sentidos opostos. Finalmente deixe a bolha paralela aos 
calantes 3-1 e nivele-a também. 
 
− Método do Calante Perpendicular: Deixe a bolha paralela aos calantes 1-2 e nivele-a 
utilizando somente estes dois calantes. O movimento dos calantes deverão ser sempre 
em sentidos opostos (quando um for girado no sentido horário o outro deverá ser 
girado no anti-horário). Em seguida posicione a bolha tubular perpendicular aos 
calantes 1-2 e use somente o calante 3 para nivelar a bolha. 
 
 
 
 
OPERAÇÕES TOPOGRÁFICAS 
 
Para representar o contorno e os detalhes de um terreno na planta são escolhidos 
pontos no campo que são definidos como os pontos topográficos, cuja materialização é feita 
com piquete e estaca testemunha. Esta representação do ponto topográfico é ilustrado pela 
Figura 13. 
retículos bolha circular 
direção 
1 
2 
3 
18 
 
P1
 
Figura 13: Ponto Topográfico. 
 
Visada com o instrumento 
 
Posteriormente a instalação do teodolito sobre o ponto topográfico o operador do 
equipamento deve alinhar o fio do reticulo e o alvo (baliza) com o parafuso de chamada ou de 
ajustagem. Todas as pontarias deveriam ser feitas com o alvo próximo à interseção dos fios 
de retículo horizontal e vertical. A Figura 14 mostra um dos tipos de arranjos comuns de fios 
de retículo nos instrumentos. 
 
Figura 14: Arranjo de fio de retículo. 
 
Para medir um ângulo, a luneta é apontada para um alvo e, então, girada para a outra 
direção. Para uma grande percentagem dos trabalhos o topógrafo visará sobre uma baliza ou 
sobre um bastão do prisma. A baliza é mantida verticalmente pelo auxiliar. Quando visar 
sobre tal bastão ou baliza com fins de ângulos ou direções, o topógrafo deve alinhar o fio do 
retículo vertical do instrumento de modo que ele alinhado sobre a baliza ou bastão e de 
preferência a visada deve ser tomada o mais baixo possível. 
19 
 
Erros de pontaria. Se o reticulo vertical da luneta não estiver perfeitamente centrado 
sobre o ponto observado, ocorrerão erros similares àqueles provocados pela imperfeita 
centragem do instrumento. O mais importante para reduzir os erros os erros de pontaria e 
executar as distâncias de visada tão longas quanto possível. Na verdade, esse é o princípio do 
bom levantamento - evite distâncias curtas tanto quanto possível. 
Medição Direta de Distâncias 
 
Alguns autores afirmam que o processo de medida de distâncias é direto, quando esta 
distância é determinada em comparação a uma grandeza padrão previamente estabelecida; 
outros autores, porém, afirmam que a medição é direta quando o instrumento de medida 
utilizado é aplicado diretamente sobre o terreno. 
Segundo ESPARTEL (1987) os principais dispositivos utilizados na medida direta de 
distâncias, também conhecidos por DIASTÍMETROS, são os seguintes: 
Fita e Trena de Aço 
1- são feitas de uma lâmina de aço inoxidável conforme pode ser 
observado na Figura15; 
2- a trena é graduada em metros, centímetros e milímetros só de um lado; 
3- a fita é graduada a cada metro; o meio metro (0,5m) é marcado com um 
furo e somente o início e o final da fita são graduados em decímetros e 
centímetros; 
4- a largura destas fitas ou trenas varia de 10 a 12mm; 
5- o comprimento das utilizadas em levantamentos topográficos é de 30, 
60, 100 e 150 metros; 
6- o comprimento das de bolso varia de 1 a 7,50 metros (as de 5 metros são 
as mais utilizadas); 
7- normalmente apresentam-se enroladas em um tambor (figura a seguir) 
ou cruzeta, com cabos distensores nas extremidades; 
8- por serem leves e praticamente indeformáveis, os levantamentos 
realizados com este tipo de dispositivo nos fornecem uma maior 
precisão nas medidas, ou seja, estas medidas são mais confiáveis; 
9- desvantagens: as de fabricação mais antiga, enferrujam com facilidade e, 
quando esticadas com nós, se rompem facilmente. Além disso, em caso 
de contato com a rede elétrica, podem causar choques; 
 
 
Figura 15: Trena de aço. 
Fonte: www.elianamaquinas.com.br, Acesso em 15 de março 2011. 
20 
 
Trena de Lona 
1- é feita de pano oleado ao qual estão ligados fios de arame muito finos 
que lhe dão alguma consistência e invariabilidade de comprimento Figura 
16; 
2- é graduada em metros, centímetros e milímetros em um ou ambos os 
lados e com indicação dos decímetros; 
3- o comprimento varia de 20 a 50 metros; 
 
 
Figura 16: Trena de Lona. 
Fonte:http://topografiaeagrimensura.blogspot.com/2009/01/equipamentos-
utilizados.html, Acesso em 15 de março 2011. 
 
Trena de Fibra de Vidro 
1-é feita de material bastante resistente (produto inorgânico obtido do 
próprio vidro por processos especiais); 
2-conforme Figura 17, pode ser encontrada com ou sem envólucro e, este, 
se presente, tem o formato de uma cruzeta; sempre apresentam 
distensores (manoplas) nas suas extremidades; 
3-seu comprimento varia de 20 a 50m (com envólucro) e de 20 a 100m 
(sem envólucro); 
 
Figura 17: Trena de Fibra de vidro. 
Fonte : http://allcompgps.com.br/produto/cabo-agrimensor-dg-30m, , Acesso 
em 11 de abril 2011. 
 
Processos para medição de distâncias 
 
Segundo GARCIA e PIEDADE (1983). A medida da distância entre dois pontos, em 
topografia, corresponde a medida da distância horizontal entre esses dois pontos. Como já se 
comentou, as distâncias inclinadas são reduzidas às dimensões de suas bases produtivas. 
21 
 
O método direto pode ser utilizado percorrendo-se a linha com qualquer tipo de 
diastímetro, aplicando a sucessivamente até o final. 
Medições com diastímetros (trenas). Supõem-se dois pontos A e B, fixados no terreno 
por meio de piquetes Figura 18. Para conhecer a distância A e B, usando para isso uma trena. 
As peças auxiliares serão as balizas, no mínimo duas. São ainda indispensáveis três 
operadores, sendo o terceiro operando o teodolito. 
Figura 18: Medição de um alinhamento em vários lances. 
 
O primeiro operador, chamado o homem ré, segura uma baliza sobre o ponto A e 
junto a ela, uma das manoplas da trena. O segundo operador, o homem da vante, nas mãos 
outra baliza e a outra manopla da trena; segurando a baliza a cerca de 20m (comprimento da 
trena) do ponto A, solicita do operador do teodolito que lhe forneça o alinhamento. 
O homem de vante estica a trena até conseguir que ela fique com uma catenária 
relativamente pequena. Nos terrenos inclinados, o operador que estiver na parte mais baixa 
levanta a manopla, enquanto que está no ponto mais elevado segura a manopla o mais perto 
possível do solo. O operador que segura a manopla muito acima do solo deverá colocar-se 
lateralmente a direção da linha, para poder controlar a verticalidade da baliza no sentido que 
mais interessa. Quando a baliza se inclina para os lados, e não para frente ou para trás, os 
erros resultantes são relativamente pequenos. 
22 
 
Terminada a medida desse setor de 20m, o operador de vante permaneceno lugar com 
a baliza, e o operador de ré carrega sua baliza e a trena; e passa pelo homem de vante e segue 
para a próxima medida. 
 
Alguns cuidados que devem ser tomados para evitar erros na medição de 
distâncias: 
 
Existindo diferença de nível entre as estacas escolhidas para medir o alinhamento, um 
dos operadores colocará a trena mais baixa na estaca de ponto mais alto e no ponto mais 
baixo deve-se colocar a trena numa posição mais alta para que a trena esticada fique na 
horizontal Figura 19. 
Próximo do
solo
balizas
Altura necessária para
manter a trena horizontal
TERRENO INCLINADO
 
Figura19: Trena na horizontal. 
 
No entanto podem ocorrer erros tais como: Erro de Alinhamento é quando a distância 
medida em trechos de segmento de retas e que não estão alinhados provocando com isto um 
aumento nas dimensões conforme pode ser observado Figura 20. 
A
Direção AB
d1
d2 d3
d4
B
Erro de Alinhamento 
 
Figura 20: Erro de alinhamento. 
 
23 
 
Erro de Catenária ocorre quando a trena é esticada para a medição, formam uma curva 
Figura 21 devido ao seu próprio peso. Provocando uma diferença porque é medida uma curva 
e não uma corda (distância desejada). 
Próximo do
solo
balizas
Altura necessária para
manter a trena horizontal
TERRENO INCLINADO
Catenária
 
Figura 21: Erro provocado pela Catenária. 
Erro pela falta de verticalidade da baliza (Figura 22) quando posicionada sobre o 
ponto do alinhamento a ser medido, o que provoca encurtamento ou alongamento deste 
alinhamento. Este erro é evitado utilizando-se um nível de cantoneira. 
POSIÇÕES INCORRETAS DA BALIZA RESULTANDO EM ERRO GROSSEIRO
BALIZA VERTICAL COMO DEVERIA SER
VISTA LATERAL
ERROS NA BALIZA COM POUCA DIFERENÇA
ERROS NA BALIZA QUE PRODUZEM GRANDES DIFERENÇAS
VISTA EM PLANTA
 
Figura 22: Erros ao utilizar a baliza e a trena. 
24 
 
CUIDADOS COM OS INTRUMENTOS 
 
Apesar de os equipamentos de topografia serem fabricados com muita precisão 
esmero, eles podem ser bastante duráveis se forem utilizados adequadamente e bem 
conservados. Na verdade, estes instrumentos podem durar uma vida inteira nas mãos de um 
topógrafo cuidadoso, mas também podem sofrer danos graves e irreparáveis em função de um 
descuido (McCormac, 2010). 
 As regras para cuidados com os teodolitos e estações totais inclui uma regra mais 
importante que é não “derrube o instrumento” porque sérios prejuízos seguramente 
aparecerão. A seguir serão apresentados alguns itens importantes para relembrar os cuidados 
com esses instrumentos (McCormac, 2010) tão caros: 
1. Sujeira e água são um problema para o instrumento e devem ser removidos o mais 
breve possível. Após o instrumento ter sido usado, a poeira deve ser removida com uma 
escova de limpeza e o instrumento de ser seco com um pano. Sujeira e lama mais resistentes 
podem ser removidas com a ajuda de materiais de limpeza domésticos e tufos de tecido de 
algodão. 
2. Se ocorrerem chuvas, coloque a tampa protetora sobre a objetiva. Além disso 
recomenda-se utilizar a capa impermeável para cobrir o instrumento. 
3. Quando o instrumento está sendo transportado em um veículo, deve ser mantido 
sobre o colo, guardado na caixa ou protegido de alguma outra forma para evitar choques. 
4. Quando removido da sua caixa, este deve ser acomodado na horizontal. O 
instrumento deve ser seguro por sua alça. 
5. Coloque o tripé com suas pernas bem separadas e fincadas firmemente no solo. 
6. Não coloque o instrumento sobre uma superfície dura e lisa como o concreto ao 
menos que algum cuidado (tal como colocar um triangulo de madeira) seja tomado para 
evitar que as pernas do tripé escorreguem. 
7. Não gire os parafusos calantes fortemente. Se mais que a força da ponta do dedo for 
necessária para girá-los, o instrumento necessita de limpeza ou de reparo. 
8. Nunca deixe o instrumento sem atenção porque ele pode ser derrubado pelo vento, 
veículo, criança, animais em fazendas ou pode ser roubado. 
9. Os equipamentos sempre devem ser transportados em suas caixas nunca prezo ao 
tripé. 
10. Vidros ópticos não são muito resistentes e facilmente arranham. Se os vidros 
estiverem sujos devem ser com um pincel de pelo. Os dedos não devem tocar a lente porque a 
25 
 
gordura da pele retém sujeira. Um tecido fino de algodão umedecido com álcool (ou álcool 
misturado com éter) é usado para limpar a lente. 
11. Estações Totais e MEDs não devem fazer visadas para o sol a menos que sejam 
usados filtros, porque os componentes internos do instrumento podem ser danificados. 
12. Para trabalhos de alta precisão, os instrumentos devem ser protegidos dos raios 
solares diretos. Além do mais, o instrumento deve ser protegido contra temperaturas muito 
altas, assim como mudança brusca na temperatura. 
13. A maioria dos topógrafos não deve tentar desmontar ou lubrificar os MEDs, 
teodolitos e estações totais. Os fabricantes estão aptos para executar tais tarefas. 
26 
 
Aula 3 
 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO PLANIMÉTRICO 
 
Objetivos: 
Ao final desta aula, você será capaz de identificar quais são os métodos disponíveis 
para o levantamento de uma propriedade ou área em questão. Utilizando de uma abordagem 
direta iremos mostrar quais os tipos e quando deve se utilizar cada um deles. 
Caro aluno, 
Para executar um levantamento topográfico de um terreno, e necessário utilizar 
métodos e instrumentos apropriados. O levantamento topográfico consta de três fases; 
Reconhecimento: Consiste em percorrer a região que vai ser trapalhada, 
selecionando-se o ponto de partida. 
Levantamento da Poligonal Básica: é a fase de campo do levantamento 
propriamente dito, sendo os trabalhos iniciados no ponto de partida escolhidos. 
Levantamento dos Detalhes: é realizado após o fechamento da poligonal básica e 
consiste em lançar uma serie de poligonais abertas no interior da área levantada, partindo de 
vértices escolhidos no perímetro. Ex: casas, benfeitorias, estradas, córregos, etc. 
 
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO TOPOGRÁFICO 
 
Para realizar o levantamento topográfico de um terreno, podem-se utilizar diversos 
processos, segundo o grau de precisão desejada ou a finalidade do trabalho, alem da extensão 
ou conformação da área, segundo (Comastri e Grip Junior, 1998). 
 
1 LEVANTAMENTO POR IRRADIAÇÃO 
 
O método normalmente empregado para pequenas áreas e relativamente planas. É 
também chamado método das coordenadas polares, tem sua maior aplicação como auxilir dos 
levantamentos por caminhamento. É um método simples de precisão relativamente boa, mas 
considerando que não permite controle dos erros que possam ocorrer, fica na dependência da 
experiência e cuidados do operador (Garcia e Piedade, 1983). A posição do ponto 
topográfico, P é determinada por um ângulo α e uma distância CP, conforme pode ser 
observado na Figura 23. 
27 
 
B
C
P1
P2
Direção
 de
 Referência
 
d1
d2
α 
β
 
Figura23: Levantamento por irradiação 
 
2 LEVANTAMENTO POR INTERSEÇÃO 
 
O método de interseção ou das coordenadas bipolares também só pode ser usado para 
pequenas áreas ou mais ou menos planas. É o único método que se pode utilizar quando 
alguns vértices da área são inacessíveis (Garcia e Piedade, 1983). 
A posição do ponto topográfico, P é definida pela medição dos ângulos α e β e por 
uma distância que é o lado BC ou base conforme Figura 2. 
Aplicações: É utilizado para levantamento de pontos inacessíveis como (Brejos, lagos, 
determinar a largura de um rio, etc) 
Cálculos: 
BC
sen
d
sen φβ
= :. φ
β
sen
BCsend ×=
 
CB
A
α β
φ
P
φ=180°−α−β
α= ΙΙ − Ι
BC
d
 
Figura 24: Levantamento por interseção. 
 
 
28 
 
 
3 LEVANTAMENTO POR CAMINHAMENTO OU POLIGONAÇÃOSegundo (Comastri e Grip, 1998) consiste em percorrer os limites, medindo ângulos e 
distâncias, podendo ser uma linha poligonal, fechada ou aberta. Geralmente é combinado 
com outros tipos de levantamentos (irradiação, interseção, etc ) Figura 25. 
A poligonal pode ser definida como uma série de retas conectadas entre si. O processo 
de medição de comprimentos e de direções dos lados de uma poligonal é chamado de 
poligonação (McCormac, 2010). 
Um dos elementos importantes que deve ser elaborado juntamente com o 
levantamento topográfico é o Croquis, pois é o esboço ou desenho aproximado do 
levantamento , no qual registramos os pontos do terreno que serão levantados, a posição e a 
forma aproximada dos acidentes naturais e artificiais. Sendo que esta representação constitui 
a memória gráfica do trabalho no campo. 
 
A 
B
I
H G
C
F
D
E
1
2 3
4
6
5
7
8
9
10
11
12
13
14
15
d
d
dd
d
d
d
d
d
 
Figura 25: Croqui do levantamento por caminhamento. 
 
3.1. Classificação quanto ao tipo de poligonal 
 
Aberta são aquelas que não formam uma figura geométrica, sendo pouco utilizada 
por não ser possível fazer um controle das observações de campo (verificação aritmética) 
Figura 26. Por essa razão cuidados extras devem ser tomados ao fazer suas medições. 
29 
 
 
Figura 26: Poligonal aberta. 
 
Fechada em Loop são aquelas que formam uma figura geométrica que parte de um 
ponto e retorna ao mesmo ponto. Não é aconselhável em trabalhos de precisão, visto que os 
erros de escala não podem ser verificados na Figura 27. Sempre que possível uma poligonal 
fechada é preferível à poligonal aberta porque ela oferece verificação simples para ângulos e 
distâncias (McCormac, 2010). 
 
 
Figura 26: Poligonal fechada. 
 
Fechada Apoiada em Vértices Conhecidos são aquelas que partem de vértices 
conhecidos e chegam a outros vértices também conhecidos a Figura 28 apresenta o esquema 
de uma poligonal apoiada em vértices conhecidos. 
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
{ {
{ {
 
Figura 28: Poligonal fechada em vértices conhecidos. 
 
30 
 
Aula 4 
 
ORIENTAÇÃO TOPOGRÁFICA 
 
Objetivos: 
Ao final desta aula, o aluno conhecera os equipamentos empregados na medição dos ângulos 
horizontais e verticais e na medição direta de distancias. Equipamentos esses fundamentais 
aos levantamentos topográficos, necessários a representação em planta. 
 
1. Orientação das Plantas Topográficas 
1.1 – Orientação 
 
As plantas Topográficas (como também as cartas geodésicas e mapas cartográficos) 
são orientadas em relação à direção do NORTE VERDADEIRO (direção imutável) ou 
NORTE MAGNÉTICO (direção variável). Sempre procuramos colocar a vertical do papel de 
desenho na direção do NV. Como única exceção, podemos citar a planta de situação dos 
projetos arquitetônicos, nos quais colocamos a via pública na horizontal ou vertical do papel, 
inclinando a posição da direção NORTE. 
A direção para o norte magnético é dada em função dos pólos magnético da Terra 
como é ilustrado pela Figura 29 e que pode ser comprado a um gigantesco imã, possuindo 
dois pólos o Norte e o Sul magnéticos que se situam próximos aos pólos geográficos. 
 
 
Figura 29 - Pólos magnéticos da Terra 
Fonte : http://www.idesa.com.br/disciplinas/fisica/magnetismo1.php, Acessado em 28/02/2011 
 
31 
 
1.2 – Norte Verdadeiro 
 
É o mesmo que norte geográfico tem sua posição invariável, imutável é o ponto por 
onde passa o eixo de rotação da Terra Figura 30, esse eixo fura o globo terrestre no 
Hemisfério Norte (ponto geográfico de latitude 90º Norte). Linha norte-sul verdadeira aponta 
para o pólo norte físico da Terra, e é determinada diretamente por processos astronômicos, 
através da observação dos astros. 
NV
NM
Norte Verdadeiro
Norte Magnético
DM
Declinação 
Magnética
Sul Magnético
Sul Verdadeiro
 
Figura 30 - Norte Magnético e Geográfico da Terra 
 
1.3 – Norte Magnético 
 
Direção ao Pólo Norte Magnético (NM), pólo este que concentra um enorme campo 
magnético e atrai as agulhas das bússolas indicando sua direção. 
Uma linha imaginária traçada entre os pólos sul e norte magnéticos apresenta uma 
inclinação de aproximadamente 20,3º relativa ao eixo de rotação da Terra. 
 
1.4 Bússolas 
 
As bússolas são aparelhos constituídos por uma agulha imantada apoiada em um pino 
de sustentação e que gira livremente no centro de um limbo graduado Figura 31. A ponta 
Norte da agulha apontará para um ponto, denominado Norte Magnético próximo ao Norte 
Verdadeiro. 
32 
 
 
 
Figura 31 - Bússola 
Fonte: http://geotranquilidade.weebly.com/7ordm-ano-2010.html Acessado em 28/02/2011 
 
1.5 Declinação magnética ( δ ) 
 
O ângulo formado entre o NM e NV dá-se o nome de declinação magnética. A 
declinação magnética varia de acordo com o tempo e o local como pode ser observado na 
Figura 32. 
 
 
Figura 32 – Declinação Magnética 
Fonte : http://geotranquilidade.weebly.com/7ordm-ano-2010.html Acessado em 28/02/2011 
 
1.6 Variação Magnética 
 
A Terra sofre variações magnéticas e, desde há muito tempo, sabemos que o nosso 
planeta possui dois pólos fixos – Norte e Sul –, mas um grupo de físicos e navegadores diz 
que não é bem assim. Se por um lado, os pólos geográficos que marcam o eixo de rotação da 
Terra não se movem ou quase não se constata, os pólos magnéticos estão em constante 
33 
 
movimento, seguindo tudo aquilo que se passa nas entranhas do Mundo. O ângulo formado 
entre o norte verdadeiro e norte magnético e denominado de declinação magnética e pode ser 
observado na Figura 33. 
 
NM
D
M
A
NV
 
NV
DM
A
NM
 
 
 
Figura 33 – Declinação Magnética Oriental e Ocidental. 
 
1.7 Azimute Magnético 
 
É o ângulo formato a partir da direção do meridiano magnético até o alinhamento 
considerado Figura 34. Os azimutes variam de 0º a 360º a partir do norte e no sentido horário. 
 
NM
Azimute
Magnético
Alinh
ame
nto
A
B
 
N
E
S
W
0º
90º
180º
270º
 
Figura 34 – Azimute Magnético. 
 
 
Para o NM à esquerda do NV 
a declinação magnética é dita 
OESTE ou OCIDENTAL 
Para o NM à direita do NV 
a declinação magnética é dita 
LESTE ou ORIENTAL 
34 
 
 
1.8 Rumo Magnético 
 
É o ângulo formato a partir da direção do meridiano magnético (Norte e Sul) até o 
alinhamento considerado. O rumo de uma linha é definido como o menor ângulo que a linha 
faz como o meridiano de referência. Os rumos variam de 0º a 90º a partir do norte e do sul 
Figura 35. 
N
E
S
W
0º
90º
0º
90º
SE
SW
NENW
 
Figura 35 – Azimute Magnético. 
1.9 Problemas 
 
1)Três linhas têm os seguintes azimutes norte: 146º 18’27”; 227º36’20” e 332º48’20”. 
Quais são seus rumos (McCormac, 2010)? 
(Resp.: 33º41’33”SE; 42º 23’40”SW ; 27º11’40”NW) 
2)Determine os azimutes norte para os lados AB, BC e CD no esboço a seguir, onde 
os rumos são dados (McCormac, 2010). 
A
B
C
D
70º18'44" N
E 51º10'12"
 SE 82º19'52
" NE
(Resp.: 70º18’44”; 128º 49’48”; 82º19’52”) 
35 
 
3) Calcule os rumos dos lados BC e CD na figura seguinte (McCormac, 2010). 
A
C
D
70º4
2' N
E 97º18'
88º26'
(Resp.: BC= 26º36’SE; CD= 64º 58’SW) 
36 
 
Aula 5 
 
 COMPENSAÇÃO DE POLIGONAIS 
 
Objetivos: 
Ao final desta aula, o aluno conhecerá os procedimentos empregados no cálculo 
necessário para transforma os dados medidos ângulos e distâncias em coordenadas. 
Outro tópico importante tratado nessa aula esta relacionado à estimativa da precisão 
dos trabalhos e a compensação de errose a determinação de coordenadas cartesianas. 
1 Cálculos 
 
Em quase todos os tipos de medições em levantamento requerem alguns cálculos a 
fim de transformá-los em uma forma mais útil para determinar distâncias, volumes, áreas de 
terras etc. Serão apresentados os fundamentos básicos sobre os cálculos das poligonais. 
Depois de feito o fechamento da poligonal básica do caminhamento, pode-se 
determinar o erro angular cometido nas operações de campo e também os erros lineares. 
Etapa anterior a representação dos dados em algum sistema de coordenada como será descrito 
na próxima seção. 
 
2 Sistema de coordenadas retangulares Planas 
 
 
N
AZ
=
58
º 
30
'10
"
54
8,3
6m
A
B
 
 
a) Sistema de Coordenadas polares. Nesse 
sistema a posição é definida por meio de 
um azimute e uma distância entre A e B. 
 
37 
 
 
N
A
E
B
XA XB
YA
YB
X
Y
X'
Y'
 
 
 Dessa forma, as coordenadas são dadas pelas projeções em cada eixo: 
XA = Projeção do ponto A no eixo xx’ (Abscissa de A) 
YA = Projeção do ponto A no eixo yy’ (Ordenada de A) 
XB= Projeção do ponto B no eixo xx’ (Abscissa de B) 
YB = Projeção do ponto B no eixo yy’ (Ordenada de B) 
 
3 Compensação dos Ângulos 
 
Antes de calcular a área de uma parte do terreno, e necessário ter uma poligonal 
fechada. O primeiro passo para obter uma figura fechada é compensar os ângulos. Os ângulos 
internos de uma poligonal fechada devem somar (n-2)(180),onde n é o número de lados da 
poligonal. É improvável que a soma dos ângulos seja exatamente esse valor, mas ele deveria 
ser bem proximo 
4 Cálculo Analítico de Coordenadas 
 
Roteiro: 
1º Passo 
Preenchimento da Planilha com base nos dados levantados e anotados na caderneta de 
campo. Inicialmente serão necessários somente os pontos (estação e vante) com os 
seus respectivos ângulos horizontais, azimute lido e distâncias, os quais serão 
b) Sistema de coordenadas Retangulares. 
Para esse sistema os pontos A e B são 
referidos a um eixo horizontal x x’ (Leste 
/ Oeste) e a um eixo vertical y y’ (Norte / 
Sul) que se cruzam num ângulo reto. 
 
38 
 
copiados para as correspondentes colunas da planilha de cálculo analítico de 
coordenadas. 
2º Passo 
Verificar o fechamento angular, fazendo a soma dos ângulos horizontais (∑ a.h.) e 
deve-se utilizar o valor na fórmula (1): 
 
Ea = ∑ a.h - [ 180º (n±2)] (1) 
 
Deve-se utilizar (n+2) se os ângulos horizontais foram externos a poligonal e (n-2) se 
foram internos a poligonal. 
Sendo que: 
Ea =erro angular; 
∑ a.h = somatório dos ângulos horizontais lidos; 
n = número de vértices da poligonal; 
 
3º Passo 
Para obter a tolerância angular para as medidas realizadas em um polígono utiliza-se a 
fórmula (2). Sabendo-se que a tolerância angular, indica o valor máximo para o erro angular. 
Ta= p √ n (2) 
n = número de vértices da poligonal ou de ângulos medidos; 
p = precisão angular do equipamento (Teodolito ou Estação total) utilizado; 
 
Nota: Após calcular o (Ea) é necessário verificar se o valor obtido é diferente de zero e menor 
que tolerância angular, 
− Caso sim, deve se proceder a sua compensação, obtém se o valor da compensação 
angular (Ca), para isto deve-se dividir o erro angular (Ea) pelo número de pontos da 
poligonal base (n). Depois de obtido o valor para a Ca, deve se analisar o erro (Ea), se 
positivo deve subtrair a (Ca) e se o erro for negativo, soma se a compensação (Ca). 
− Caso não, deve se verificar as medidas angulares realizadas em campo. 
Exemplo : 
Dada uma poligonal de 5 vértices, cuja soma dos ângulos horizontais internos é 539º59’40”. 
Aplicando na fórmula, temos que: 
Ea = 539º59’40” – [180 * (5-2)] 
Ea = 539º59’40” –[180*3] 
Ea = 539º59’40”-540º0’0” 
39 
 
Ea = -0º0’20” 
A compensação angular Ca é dada pela fórmula (4): 
 Ca = ��
�
 (3) 
Logo, Ca = 	 �°�
��"
 ∴ Ca = 4” (quatro segundos), o que significa que em cada ângulo lido 
será somado 4”, a fim de se obter os ângulos horizontais compensados. 
 
4º Passo 
Calcular os Azimutes a partir do azimute lido no campo e dos ângulos horizontais 
compensados, aplicando a fórmula (4): 
 
Az = Azant + a.h. ± 180º ou - 540º (4) 
Onde: 
Az = Azimute a ser calculado; 
Azant = Azimute anterior ao alinhamento em questão; 
a.h = ângulo horizontal compensado; 
+180º = Se “Azant + a.h.” for menor que 180º; 
- 180º = Se “Azant + a.h.” for maior que 180º; 
-540º = Se “Azant + a.h.” for maior que 540º; 
 
5º Passo 
Funções trigonométricas: 
Deve se extrair os valores numéricos para o Seno e Cosseno para cada um dos azimutes 
calculados. 
Exemplo: Dado o azimute 33º15’30” , o Seno de 33º15’30” = 054841485 ; e o Cosseno de 
33º15’30” = 0,8362064009. 
 
6º Passo 
Projeções Diretas: 
− Multiplicar a distância (D) pelo Seno do azimute para encontrar a projeção direta do 
ponto no eixo de X. Se o valor for positivo colocar na coluna (E+) e se for negativo 
colocar na coluna (W-) da planilha de cálculo analítico de coordenadas. 
 
Projeção de X = D*seno Az (5) 
 
40 
 
− Multiplicar a distância (D) pelo Cosseno do azimute para encontrar a projeção direta 
do ponto no eixo de Y. Se o valor for positivo colocar na coluna (N+) e se for 
negativo colocar na coluna (S-) da planilha de cálculo analítico de coordenadas. 
 
Projeção de Y = D*Cosseno Az (6) 
 
7º Passo 
Verificação do Fechamento linear: 
− Para verificar o fechamento linear é necessário somar as projeções de X (E+,W-) e de 
Y (N+,S-). Fazendo as diferenças entre os valores positivos e negativos teremos 
respectivamente, os erros de X (ex) e de Y (ey). Como mostra as equações 7 e 8. 
 
ex = ∑(E+) - ∑(W-) (7) 
 
ey = ∑(N+) - ∑(S-) (8) 
 
Nota: Antes de seguir para cálculo das correções (cx) e (cy), deve-se fazer a 
verificação do erro total (ET) e do erro relativo (ER) para avaliar a qualidade dos 
dados levantados. 
 
 ET = �ey� + ex� (9) 
 
ER = ��
∑�
÷ ��
��
 (10) 
8º Passo 
Correções (cx) e (cy): 
Para obter os valores de cx e cy respectivamente deve se dividir erro de X (ex) e de Y (ey) 
pelo somatório das distâncias (D) e multiplicar o resultado (e.p.m.) por cada distância 
medida, ou seja : 
 
cx = ��	
∑�
= e. p.m.∗ D1, D2, D3… . Dn (11) 
 
cy = �%	
∑�
= e. p.m.∗ D1, D2, D3… . Dn (12) 
 
41 
 
9º Passo 
Projeções Compensadas: 
As projeções compensadas são obtidas após a correção dos erros lineares. Para se obter as 
projeções compensadas é necessário analisar o somatório das projeções tanto em X quanto Y. 
Outro jeito é verificar os valores dos erros (ex) e (ey), pois esses valores indicam como 
devem ser feitas as compensações. 
Nota: Quando a soma da coluna (E+) for maior do que a coluna (W-), ou seja, erro em x (ex) 
positivo, tira-se em (E+) o valor da correção (cx) e soma-se em (W-) a correção; Caso seja o 
contrário (ex) negativo, deve-se somar em (E+) e subtrair em (W-). Da mesma forma deve-se 
proceder a analise e a compensação das projeções (N+) e (S-). 
 
10º Passo 
Coordenadas X e Y: 
• Poligonal base 
As coordenadas de um ponto são obtidas mediante a soma algébrica das coordenadas do 
ponto anterior com as projeções compensadas desse ponto, ou seja: 
 
x� =	x& + proj. comp. de	2 (13) 
 
y� =	y& + proj. comp. de	2 (14) 
 
Nota: A fim de evitar coordenadas de valor negativo, arbitra-se a coordenada do 
ponto inicial. 
• Pontos Irradiados (divisa ou detalhes do terreno) 
Separar na planilha os pontos irradiados dos pontos da poligonal base, a fim de evitar 
enganos; 
Para o cálculo do azimute de um ponto irradiado, deve-se procederda seguinte forma: 
somar o azimute anterior ao alinhamento de 2 para 3, mais o ângulo horizontal de 2 para 2ª, 
mais ou menos 180º ou menos 540º. 
Exemplo: 
Az (2-2a) = Az(1-2) + ah (2-2a) ± 180º ou -540º 
Az(2-2b) = Az(1-2) + ah (2-2b) ± 180º ou -540º 
Az(3-3a) = Az(2-3) + ah (3-3a) ± 180º ou -540º 
− para calcular as projeções diretas proceder do modo descrito no item 6. 
42 
 
Nota: Os pontos levantados pelo método da irradiação não permite verificar na 
planilha o fechamento linear e angular dos pontos irradiados, portanto, após o 
cálculo das projeções diretas passa-se diretamente para o cálculo das coordenadas. 
− para o cálculo das coordenadas dos pontos irradiados proceder conforme o exemplo: 
X2a = x2 ± projeção direta de 2a 
Y2a = y2 ± projeção direta de 2a 
X3a = x3 ± projeção direta de 3a 
Y3a = y2 ± projeção direta de 3ª 
 
Exercício: Durante o levantamento de campo são anotados as medidas em uma caderneta de 
campo Tabela 01 e esses elementos serão utilizados para os cálculos das coordenadas dos 
pontos 1, 2, 3, 4, 5, 1a, 2a, 3a e 4a. Com base no roteiro detalhado na aula iremos praticar o 
cálculo das coordenadas. 
Pontos Ângulos Horizontais 
Azimutes Distâncias 
Ré Estação Vante Lidos Compensados 
5 1 2 139º54’00” 226º20’00” 33,19 
5 1 1a 50º30’00” 5,20 
1 2 3 140º30’00” 57,88 
1 2 2a 268º40’00” 3,40 
2 3 4 80º34’00” 120,59 
2 3 3a 181º30’00” 6,80 
3 4 5 63º30’00” 88,93 
3 4 4a 158º40’00” 6,69 
4 5 1 115º31’00” 46,29 
 
 
43 
 
 MINISTÉRIO DA EDUCAÇAO
 SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA Propriedade:
 CURSO TÉCNICO EM AGRIMENSURA Data: Turma:
Nome:
E V Lidos Ca Compens (d) (AZ) E+ W- CX N+ S- CY E+ W- N+ S- X Y
1 2 139⁰54'00" 12" 139⁰54'12" 33,19 226⁰20'00" 24,009 0,012 22,916 0,009 24,021 22,907 975,979 977,093 2
2 3 140⁰30'00" 12" 140⁰30'00" 57,88 186⁰50'12" 6,890 0,022 57,468 0,016 6,912 57,452 969,067 919,641 3
3 4 80⁰34'00" 12" 80⁰34'00" 120,59 87⁰24'24" 120,466 0,046 5,456 0,034 120,420 5,490 1089,487 925,131 4
4 5 63⁰30'00" 12" 63⁰30'00" 88,93 330⁰54'36 43,236 0,034 77,712 0,025 43,270 77,737 1046,217 1002,868 5
5 1 115⁰31'00" 12" 115⁰31'00" 46,29 266⁰25'48" 46,200 0,017 2,882 0,014 46,217 2,868 1000 1000 1
∑539⁰59'00" ∑ 1' ∑540⁰0'0" ∑346,88 ∑120,466 ∑120,335∑0,131 ∑83,168 ∑83,266 ∑0,098 ∑120,420 ∑120,420 ∑83,227 ∑83,227
Ea = 0⁰1'0" Ex=120,466-120,335 Ey=83,168-83,266
Ca= 1'/5 Ex= 0,131 Ey=-0,098
Ca=12" ET=0,164
ER=1/2115,122
1 1a 50⁰30'00" 5,20 136⁰55'48" 3,551 3,799 1003,551 996,202 1a
2 2a 268⁰40'00" 3,40 315⁰00'00" 2,404 2,404 973,575 979,497 2a
3 3a 181⁰30'00" 6,80 188⁰20'12" 0,986 6,728 968,081 912,914 3a
4 4a 158⁰40'00" 6,69 66⁰04'24" 6,115 2,713 1095,602 927,845 4a
PROJEÇOES DIRETAS
Eixo de X Eixo de Y Eixo de X Eixo de Y
PROJEÇOES COMPENSADAS
PLANILHA DE CÁLCULO ANALÍTICO DE COORDENADAS
PONTOS ÂNGULOS HORIZONTAIS Distância Azimute COORDENADAS
P
1 
 
Aula 6 
 
AVALIAÇÃO DE SUPERFÍCIE – Determinação de Áreas 
 
Objetivos: 
Ao final desta aula, você será capaz de identificar quais são os métodos disponíveis 
para obtenção da área de uma propriedade, polígono, o desenho representado. Através de uma 
abordagem direta iremos mostrar quais os tipos e quando deve se utilizar cada um deles. 
 
Caro aluno, 
Após ter feito o desenho do polígono topográfico, deve-se determinar a superfície do 
terreno representado em planta. Existem diversos processos de determinação de áreas. A 
escolha de um deles depende do maior ou menor rigor com que deseja obter tal avaliação e 
como os dados são fornecidos para a tal determinação. Para encontrar a área de uma 
propriedade, ou seja, do polígono topográfico, pode-se utilizar os seguintes processos: 
geométrico, mecânico e analítico. 
Os métodos citados anteriormente serão apresentados com mais detalhes, porém já e 
possível antecipar que o analítico é o que oferece a maior robustez nos resultados, uma vez 
que, pode ser utilizado varias vezes para determinar uma área e sempre obterá o mesmo valor 
independente de que o faça. No entanto é necessário conhecer as coordenadas dos vértices 
que definem a área. 
 
PROCESSO GEOMÉTRICO 
 
O processo geométrico consiste na decomposição do polígono em figuras geométricas 
conhecidas; retângulos, triângulos, e trapézios. As áreas dessas figuras são calculadas, com 
base nas dimensões deduzidas do desenho e utilizando as formulas já conhecidas para estas 
figuras geométricas simples como é apresentada a seguir: 
 Área do retângulo: S = b x h 
 Área do triangulo: S = 
2
)( hb×
 ou S = ))(()( cpbpapp −−−× “método de Heron” 
 Área do trapézio: S = hBb ×+
2
)(
 
Escolhe-se a forma de decomposição mais conveniente e neste caso temos um 
polígono de linhas sem contorno sinuoso Figura 4. 
2 
 
 
S4
S5
S2
S3
S6
S7
S8
S1
S(d)=S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7+S8
 
Figura 4: Polígono divido em figuras geométricas simples 
 
A Compensação é utilizada nos casos de polígonos mistilineos e a compensação é 
realizada fazendo a substituição de um contorno sinuoso por um retilíneo, para a obtenção 
das áreas, como pode ser exemplificado na Figura 5. 
 
S(d)=S1+S2+S3+S4+S5
S2
S4
S3
S1
S5
 
Figura 5: Polígono com o contorno sinuoso divido em figuras geométricas simples. 
 
PROCESSOS MECÂNICOS 
 
3 
 
Método das quadriculas 
 
Quando se faz um desenho em papel milimetrado, pode-se determinar a sua área 
contando o número (N) de quadriculas contidas dentro dos limites do polígono. Outra forma 
de utilizar o método do quadriculado é desenhar um quadriculado em um papel vegetal e 
sobrepondo esse papel ao polígono é possível calcular a área em questão, com exemplifica a 
Figura 6. 
 
 
Figura 6: Polígono sobreposto por um quadriculado. 
Sp = sq × N 
sq = área de cada quadricula 
N = número de quadriculas contidas pelo polígono. 
 
Método das Pesagens 
 
Com uma balança de precisão pode-se calcular a área de uma planta, com base no 
principio de que a relação entre as superfícies de dois pedaços de papel homogêneo e de 
mesma espessura são as mesmas de seus pesos. 
p
P
sS
p
P
s
S
×== > 
Por exemplo, processada a pesagem de um quadrado de 10cm de lado e do contorno da figura 
cuja superfície deseja avaliar , pesagens de cada figura: 
4 
 
- quadrado de 10 cm de lado = 1,084 gr 
- contorno do polígono topográfico = 21,792 gr 
cmcmS 332,010.2
084,1
792,21100 2 =×= > 2 ∴ S = 2.010,332 cm2 
Como o desenho foi feito na escala de 1:500, logo a área do terreno correspondente será. 
 S(t) = 5002 ×2010,332 cm2 = 250.000 × 2010,332 = 502583000 cm2 = 50258,3 m2 = 5,0258 
ha. 
 
PROCESSO ANALÍTICO 
 
Para avaliar a superfície de um polígono topográfico com base nas coordenadas 
retangulares dos vértices, sem ser necessário recorrer ao desenho, utiliza-se o processo 
denominado de analítico. 
 
Figura 7: Obtenção da área pelo processo analítico. 
 
2S = )32()32()21()21()1()1( xxyyxxyyxxyy −×++−×++−×+ 
Nota: Vê-se, pela expressão que a formula permite calcular a área em dobro, com base nas 
somas binárias de x, multiplicadas pelas diferenças binárias de y. 
 
Formula de Gauss 
Com base na expressão anterior, Gauss deduziu uma expressão para o cálculo da área 
de forma analítica. 
Genericamente, tem-se 2S =∑
=
−−+
n
i
iYiYXi
1
))1()1(( 
5 
 
 2S =∑
=
−−+
n
i
iXiXYi
1
))1()1(( 
Exemplo: 
(1) x =100m (2) x =130m (3) x =200m (4) x =100m 
 y =100m y =80m y =250m y =300m 
 
 
P o n t o s 
Coordenadas Diferenças (Eixo X) 
Prod.: Dif. de X 
(Eixo Y) 
Dif.(Eixo Y) 
Prod.: Dif. de Y 
(Eixo X) 
X Y positivas negativas positivas negativaspositivas negativas positivas negativas 
1 100 100 30 3000 220 22000 
2 130 80 100 8000 150 19500 
3 200 250 30 7500 220 44000 
4 100 300 100 30000 150 15000 
1 100 100 - - - - - - - - 
2 130 80 - - - - - - - - 
 Soma 130 130 11000 37500 370 370 63500 37000 
 2S=26500 m2 2S=26500 m2 
 S=13250 m2 S=13250 m2 
 
Também é possível determinar a área com base no determinante da matriz das 
coordenadas dos vértices do polígono: Multiplicando cruzado as colunas de x pelas de y e 
6 
 
somando os produtos e depois multiplicando as colunas de y pelas de x e fazendo a diferença, 
teremos a área em dobro, logo dividindo a meio teremos a área do polígono: 
 X Y 
 
100100
300100
250200
80130
100100
1
4
3
2
1
 
2S = (100× 80 +130× 250 + 200× 300 + 100× 100) – (100× 130 + 80× 200 + 250× 100 + 300× 100) 
2S =26500m2 ∴ S = 13250m2 
Nota: Sempre deve-se repetir as coordenadas do primeiro ponto no final da matriz como pode 
ser observado no exemplo. 
 
Exercício: 
1 Calcular a área do polígono pelo método de Gauss utilizando as coordenadas dos vértices. 
1) (451,10 ; 350,60)m , 2) (1015,40 ; 150,30)m, 3) (1350,30 ; 536,50)m, 4) (1240,60 ; 
742,50)m, 5) (854,30 ; 958,40)m, 6) (251,40 ; 830,50)m 
 
Pontos 
Coordenadas Diferenças (Eixo X) 
Prod.: Dif. de X 
(Eixo Y) 
Dif.(Eixo Y) Prod.: Dif. de Y 
(Eixo X) 
X Y positivas negativas positivas negativas positivas negativas positivas negativas 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
1 
2 
 
 
 
 
 S= S= 
 
7 
 
2 Calcular a área do polígono pelo método de Gauss. 
Y
X
 
Pontos 
Coordenadas Diferenças (Eixo X) 
Prod.: Dif. de X 
(Eixo Y) 
Dif.(Eixo Y) Prod.: Dif. de Y 
(Eixo X) 
X Y positivas negativas positivas negativas positivas negativas positivas negativas 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
 
 
 
 
 
8 
 
 
Aula 7 
 
 ALTIMETRIA 
 
Prezado aluno, seja bem-vindo! É com grande satisfação que lhes apresento o mundo 
maravilhoso da Altimetria. Recorde-se que finalizamos na aula passada compensação de poligonais. 
Na presente aula, por sua vez, estudaremos a Altimetria, onde são abordaremos os conceitos 
fundamentais que envolvem esse importante capítulo da Agrimensura. 
 
Objetivos: 
Ao final desta aula, o aluno conhecerá os procedimentos empregados nas medições 
altimétricas e necessárias a representação do relevo topográfico. 
 
1. INTRODUÇÃO A ALTIMETRIA 
 
1.1 Conceito 
 
Altimetria tem por finalidade a medida da diferença de nível entre dois ou mais pontos no 
terreno em relação a uma superfície de referência, permitindo com isto, o estudo do relevo do 
terreno. Um nivelamento é um conjunto de operações topográficas realizadas com o objetivo de 
determinar as diferenças de altura entre pontos do terreno. A determinação do valor da cota/altitude 
está baseada em métodos que permitem obter o desnível entre pontos. 
Conhecendo-se um valor de referência inicial é possível calcular as demais cotas ou 
altitudes. Estes métodos são denominados de nivelamento. Existem diferentes métodos que 
permitem determinar os desníveis, com precisões que variam de alguns centímetros até sub-
milímetro. A aplicação de cada um deles dependerá da finalidade do trabalho. 
 
 1.2 Referência de Nível 
 
Qualquer medida realizada deve ser referenciada a uma superfície de comparação, no caso 
denominado de Referência de nível. Esta referência pode ser uma superfície qualquer ou o nível 
médio dos mares. Normalmente deve estar materializada através de um marco Figura1. 
 
9 
 
 
Figura 1: Referência de nível 
 
1.2 Altitude 
 
Altitude é altura vertical de um ponto do terreno em relação a superfície do nível médio dos 
mares. 
 
1.3 Cota 
A cota esta relacionada a altura vertical de um ponto em relação a um plano horizontal 
arbitrário. 
 
1.4 Nível verdadeiro e Nível aparente 
 
As alturas dos pontos do terreno são medidas na vertical, isto é, segundo a linha que dirige 
destes pontos ao centro da terra. 
− Nível verdadeiro: a RN é a superfície dos mares. 
− Nível aparente: a RN é arbitrária. Conforme apresenta a Figura 2. 
 
 
Figura 2: Relação entre altitude e cota 
 
 1.5 Diferença de Nível 
 
Diferença de Nível é a distância vertical que separa os pontos topográficos considerados, 
este elemento poderá ter valor positivo ou negativo, conforme os pontos estudados estejam acima 
ou abaixo daquele tomado como termo de comparação. 
 
10 
 
1.6 Processos de Nivelamento 
 
Classificação na ordem decrescente de precisão dos resultados: 
Nivelamento Geométrico 
Nivelamento trigonométrico 
Nivelamento Barométrico 
 
1.7 Aplicação 
 
Locação de estradas 
Terraplenagem 
Hidráulica e barragem 
Planejamento de uso de solo 
Arquitetura edificação 
Implantação 
Urbanismo 
Curvas de Nivel 
 
 
2. INSTRUMENTOS 
 
2.1 Níveis 
 
Os níveis de luneta são constituídos essencialmente pelas seguintes partes: luneta, parafusos 
calantes, focalizante e colimador. 
 
• Luneta; 
• nível de bolha; 
• sistemas de compensação (para equipamentos automáticos); 
• dispositivos de calagem. 
 
Quanto ao funcionamento, os equipamentos podem ser classificados em ópticos e digitais, 
sendo que para este último a leitura na mira é efetuada automaticamente empregando miras em 
código de barra. Os níveis ópticos podem ser classificados em mecânicos e automáticos. No 
primeiro caso, o nivelamento "fino ou calagem" do equipamento é realizado com o auxílio de níveis 
de bolha bi-partida. Nos modelos automáticos a linha de visada é nivelada automaticamente, dentro 
de um certo limite, utilizando-se um sistema compensador (pendular). Os níveis digitais podem ser 
enquadrados nesta última categoria. A Figura 3 apresenta um exemplo de nível óptico automático e 
os seus eixos. 
São três os eixos principais de um nível: 
 
• VV’= eixo principal ou de rotação do nível 
 
• OO’= eixo óptico/ linha de visada/ eixo de colimação 
11 
 
 
• HH’= eixo do nível tubular 
 
 
 
 
 
Figura 3: Nível e eixos 
 
Tabela 1 – Classificação dos níveis. 
 
Classes de níveis Desvio-padrão 
1 – precisão baixa > ± 10 mm/km 
2 – precisão média ≤ ± 10 mm/km 
3 – precisão alta ≤ ± 3 mm/km 
4 – precisão muito alta ≤ ± 1 mm/km 
 
2.2 Miras 
 
As miras são réguas de madeira ou de alumínio utilizadas no nivelamento para a 
determinação de distâncias verticais, medidas entre a projeção do traço do retículo horizontal da 
luneta na mira e o ponto do terreno onde a mira está instalada. As miras podem ser simples ou de 
alvo, falantes, de invar ou de código de barras. 
 
V 
V’ 
O 
O’ 
H 
H’
12 
 
 
 (a) alumínio (b) Madeira (c) código de barras 
Figura 4: Alguns modelos de Mira 
2.3 Leitura na mira 
 
As miras brasileiras têm as seguintes características que facilitam a leitura: O sexto 
centímetro é diferente dos outros; os inícios dos traços brancos indicam o centímetro par e os 
inícios dos traços pretos indicam o centímetro ímpar. 
Durante a leitura em uma mira convencional devem ser lidos quatro algarismos, que 
corresponderão aos valores do metro, decímetro, centímetro e milímetro, sendo que este último é 
obtido por uma estimativa e os demais por leitura direta dos valores indicados na mira. 
A seguir é apresentadoum exemplo de leitura para um modelo de mira bastante empregado 
nos trabalhos de Topografia. A mira apresentada na Figura 5 está graduada em centímetros (traços 
claros e escuros). A graduação de metro é indicada pelo número romano I, II, III. Em outros 
modelos pode ser indicado por polinhas vermelha. 
13 
 
 
Figura 5: Mira com algumas leituras 
 
A leitura do decímetro é realizada através dos algarismos arábicos (1,2,3, etc.). A leitura do 
centímetro é obtida através da graduação existente na mira. Traços escuros correspondem a um 
valor de centímetro impar, e claros a um valor par. Finalmente a leitura do milímetro é estimada 
visualmente. Na Figura 5 são apresentados diversos exemplos de leitura na mira. 
 
Exercício – Indicar nas miras abaixo, as seguintes leituras: 
1,615m 1,705m 1,658m 1,600m 1,725m 
 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 MÉTODOS DE NIVELAMENTOS 
 
Nivelamento é um conjunto de operações topográficas realizadas com o objetivo de 
determinar as diferenças de altura entre pontos do terreno, como visto anteriormente os 
15 
 
nivelamentos são classificados em: Nivelamento Geométrico, trigonométrico e Barométrico,o que 
será mais relevante no curso de saneamento são os nivelamentos geométrico e trigonométrico. 
 
3.1 Nivelamento Geométrico 
 
O nivelamento geométrico consiste em se obter o desnível entre dois pontos pela diferença 
entre as leituras feitas sobre duas miras estacionadas nos pontos considerados. A aplicação deste 
princípio exige que os planos sejam horizontais e que as equidistâncias sejam medidas na vertical. 
Para execução do nivelamento geométrico, o instrumental a ser empregado necessita 
estabelecer uma linha de visada horizontal e permitir a medida de distâncias verticais; tais 
instrumentos são os níveis e as miras. 
 
 3.1.1 Nivelamento Geométrico Simples 
 
Diz-se que o nivelamento geométrico é simples quando é possível visar de uma única 
estação de nível, a mira colocada sucessivamente em todos os pontos do terreno a nivelar. 
De acordo com a figura, percebam que os pontos A, B, e C formam um alinhamento, cujo 
perfil esta representado abaixo. 
AI
R A
C A
CB
C C
C
B
N
VB
V C
M
M
M
A
V.Ré
R.N.A
Figura 6: Nivelamento Geométrico Simples. 
 
Instala-se o nível em uma posição qualquer N, com a condição de ser possível visar à mira 
M colocada na vertical e sucessivamente nos pontos A, B e C. A primeira visada, feita no ponto A, 
início do nivelamento, é chamada “visada de re” – RA e as visadas seguintes “visada de vante” – VB 
16 
 
e Vc, reservando-se para as visadas entre a inicial e a última a designação de “visada 
intermediária”. 
Conhecida a cota do ponto A, seja por se tratar de um ponto nivelado anteriormente ou 
arbitrado, chama-se altura do instrumento ou plano de referência AI a soma da cota deste ponto 
com a leitura da mira RA, isto é: 
 
AI = CA + RA 
CB = AI - VB 
CC = AI – VC 
AI = Altura do instrumento 
RA = Visada ré em A 
CA = Cota no ponto A 
VB = Visada em B 
VC = Visada em C 
CC = Cota no ponto C 
 
3.1.2 Nivelamento Geométrico Composto 
 
O nivelamento geométrico composto consiste em uma série de nivelamentos simples, 
articulados cada um com o anterior. 
Sempre que o relevo do terreno for acidentado, de modo que a diferença de nível entre dois 
pontos ultrapasse a altura da mira, ou que a extensão a nivelar ultrapasse o limite de alcance da 
visada do nível, que deve atingir, no máximo, 100 metros, para não ocasionar um erro inadmissível, 
terá que ser realizado um nivelamento composto. 
As posições dos pontos a nivelar são determinados anteriormente por um levantamento 
planimétrico e devem definir com propriedade o perfil dos alinhamentos entre eles, isto é, 
necessitam estar situados nos pontos onde há mudança de inclinação do terreno. 
A ligação entre os nivelamentos simples pode ser feita em um dos pontos a ser nivelado, ou 
escolhendo-se pontos auxiliares no terreno onde piquetes são cravados e identificados pelas estacas 
testemunhas, nesses é colocada a mira para serem feitas, sobre este piquete, as leituras antes e 
depois da mudança instrumento (COMASTRI e TULER, 1999). 
Para execução de um nivelamento composto, a escolha do ponto de localização do nível é 
feita de modo que: 
Haja condição de visar o maior número de pontos; 
Que possa ser visada a mira, no último ponto nivelado do trecho. 
 
17 
 
A
AI1
RA
AC
B
N1
N2
N3
C
D
E
F
BC
cC
DC
EC
FC
BV
BR
CV
DV
EV
FV
AI2
AI3
DR
V.Ré
V.Ré
V.Ré
R.N.A
 
Figura 7: Nivelamento Geométrico Composto. 
 
Conhecida ou arbitrada a cota CA do ponto inicial A, calcula-se as cotas dos demais 
pontos: 
 
AI1 = CA + RA 
CB = AI1 - VB 
 
AI2 = CB + RB 
CC = AI2 – VC 
CD= AI2 – VD 
 
AI3 = CD + RD 
CE = AI3 – VE 
CF= AI3 – VF 
 
Obs: Sempre que houver mudança na posição do nível é necessário recalcular a Altura 
do instrumento para se calcular as cotas dos pontos medidos em relação e esta nova posição. 
 
3.1.3 Caderneta de Nivelamento 
 
As grandezas medidas no nivelamento geométrico são registradas em uma planilha 
denominada “caderneta de Nivelamento” Figura 8, constituída das seguintes colunas: 
a) Pontos Nivelados: onde são anotados os números ou símbolos dos pontos nivelados 
ou das estacas cravadas que pode ser de 20 em 20 metros ou estacas fracionárias 
correspondentes ao vértice da poligonal, quando esta for uma poligonal estaqueada. 
b) Visadas: para o registro das leituras da mira em cada ponto, que pode ser dividida em 
ré e vante ou em ré, vante (Intermediária e Mudança). 
c) Altura do Instrumento ou Plano de Referência: para anotação do valor da altura do 
instrumento. 
d) Cota ou altitude: para o registro da cota ou altitude de cada ponto ou estaca. 
{Posição 1 do nível 
{Posição 2 do nível 
{Posição 3 do nível 
18 
 
 
3.1.4 Cálculo de Planilha 
 
A planilha Figura 8, referente ao nivelamento geométrico, será calculada para 
exemplificação do assunto em questão. 
 
3.1.5 Verificação do cálculo da planilha 
 
Verifica-se o cálculo da planilha através da relação que se segue: 
 
CF- CI = ∑Ré - ∑ Vante de Mudança 
 
3.1.6 Classificação quanto à precisão 
 
a) Nivelamento de alta precisão ou de 1º ordem ou Geodésico: quando o erro provável 
acidental não atinge 2mm/Km. 
b) Nivelamento geométrico de precisão ou de 2º ordem: quando o erro provável por 
quilômetro não atinge 6mm. 
c) Nivelamento geométrico topográfico ou de 3º ordem: quando o erro provável não 
atinge 3cm (30mm) por quilômetro. 
 
3.1.7 Tolerância 
 
A admissibilidade do erro de fechamento é determinado por: 
 
a) Erro médio cometido 
Em = Lm ×± ξ 
 
b) Erro máximo admissível 
Emáx = EmK × 
 
Onde: 
K = É um coeficiente variável entre 1 e 2,5, função da precisão requerida pela 
destinação do nivelamento. (geralmente usa-se 2,5) 
=mξ Erro médio admitido por Km de nivelamento (geralmente 5mm) 
L = Extensão total da poligonal em Km. 
 
3.1.8 Verificação do Nivelamento 
 
A verificação do nivelamento é realizada através de um novo nivelamento, dito contra-
nivelamento, que pode ser efetuado no mesmo sentido ou em sentido contrário ao nivelamento. 
19 
 
O contra-nivelamento no mesmo sentido pode ser feito com a realização das visadas dos pontos 
de um trecho em duas posições diferentes do nível. 
 
 
3.1.9 Principais causas de erros de leitura na mira 
 
- Má focalização do nível; 
- Influência da reverberação; 
- Influência da inclinação da mira; 
- Insuficiência de apoio para mira. 
 
Exemplo: Nivelamento Geométrico de quatro pontos em um alinhamento eqüidistante 
20 metros um do outro.MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
 EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA
 CURSO TÉCNICO EM AGRIMENSURA FL:
CADERNETA DE CAMPO
NIVELAMENTO GEOMÉTRICO
Alt. 
Instrumento Cota
INT. MUD. (AI) (m)
A 2.800 - 100.00
B 1.700 102.800 101.100
C 0.400 102.800 102.400
D 3.400 102.800 99.400 Vista em Planta Baixa
Vista em Perfil
PN
OBSERVAÇÕES CROQUIS
Leitura de Mira
Ré
Vante
A
B
C
D
2,80m 1,70m
0,40m
3,40m
100,00m
H
R.N.A
Cota B Cota C Cota D
Eixo
A B C D
20,00m 20,00m 20,00m
 
Figura 8: Caderneta de Nivelamento Geométrico. 
20 
 
 
Procedimentos utilizados para se calcular o nivelamento Geométrico 
1º Passo 
Para se calcular a caderneta de nivelamento geométrico deve se arbitrar um valor ao 
primeiro ponto ou deve se partir de um ponto conhecido. 
 
 
2º Passo 
Observando a caderneta de campo encontramos apenas uma visada de Ré e uma de 
Vante de Mudança, com isto, concluímos que é um nivelamento geométrico simples. Porque 
para cada posição do nível temos a primeira leitura como “Ré” e a ultima como “Vante de 
Mudança”. 
3º Passo 
Para obter as cotas dos pontos B, C e D devemos primeiramente calcular a altura do 
instrumento ou a altura da linha de visada do nível. 
AI = CA + RA ∴ 
AI = 100,00 + 2,800 
AI = 102,800 m 
 
4º Passo 
As cotas de B, C e D são calculadas subtraindo a altura do instrumento pelas leituras de 
Vante (Intermediária ou de Mudança). 
CB = AI - VB ∴ 
CB = 102,800 – 1,700 
CB = 101,100m 
 
CC = AI – VC ∴ 
CC = 102,800 – 0,400 
CC = 102,400 m 
 
CD = AI – VD ∴ 
CD = 102,800 – 3,400 
CD = 99,400 m 
 
4º Passo 
Verifica-se o cálculo da planilha através da relação que se segue: Uma vez que, se os 
cálculos estiverem corretos esta igualdade será verdadeira. 
 
21 
 
CF- CI = ∑Ré - ∑ Vante de Mudança 
 
99,40 - 100 = 2,800 - 3,400 
-0,600 = -0,600 
 
 
Exercício: Foi realizado um nivelamento e um contra-nivelamento a primeira parte já foi 
calculado como exemplo. Então com base no exemplo e nas formulas calculem o contra-
nivelamento. 
22 
 
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 EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA
 CURSO TÉCNICO EM AGRIMENSURA FL:
CADERNETA DE CAMPO
NIVELAMENTO GEOMÉTRICO
Alt. 
Instrumento Cota
INT. MUD. (AI) (m)
RN 1,291 - 732,265
0 1,501 733,556 732,055
1 1,682 733,556 731,874 Exemplo
2 0,900 2,851 733,556 730,705 Nivelamento
3 1,353 731,605 730,252 AI= Cota + Ré
4 1,575 731,605 730,030 Cota= AI - Vante
5 1,450 2,425 731,605 729,180 CF - CI = ∑V.Ré - ∑ V. Vante Mud.
6 2,562 730,630 728,068
7 2,648 730,630 727,982
8 2,687 730,630 727,943
8 2,647 - 727,943 Contra- Nivelamento
7 2,605 1) Calcular as Cotas 
6 2,501 AI= Cota + Ré
5 1,406 Cota= AI - Vante
4 0,561 CF - CI = ∑V.Ré - ∑ V. Vante Mud.
3 2,689 0,340
2 2,238
1 1,060
0 0,879
RN 0,665
PN
OBSERVAÇÕES CROQUIS
Leitura de Mira
Ré
Vante
 
23 
 
 
 
Modelo de Caderneta em Branco: 
24 
 
 
Respostas aos exercícios 
 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
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CADERNETA DE CAMPO
NIVELAMENTO GEOMÉTRICO
Alt. 
Instrumento Cota
INT. MUD. (AI) (m)
PN
OBSERVAÇÕES CROQUIS
Leitura de Mira
Ré
Vante
25 
 
Exercícios: 
1- Transforme as seguintes medidas em metros: Os exercícios podem ser resolvidos utilizando 
regra de três ou outro método com o apresentado nos vídeos postado na aula 1. 
a) 105 mm 0,105m f) 0,008 km 8m 
b) 255 dam 2550m g) 5000 mm 5m 
c) 8,2 cm 0,082m h) 200 cm 2m 
d) 0,75 hm 75m I) 500 dm 50m 
e) 18,5 km 18500m j) 5 dam 50m 
 
2- Calcule: Obs: Para resolver esses exercícios deverão utilizar uma calculadora cientifica como a 
da figura abaixo. 
 
a) 240°15’45” + 80°44’15” = 321º0’0” 
b) 30°18’30” + 40°21’30” = 70º40’00” 
c) 60°39’50” - 60°10’15’ = 0º29’35” 
d) 190°30’40” / 30°05’10” = 6º19’55,9” 
A seguir será dado a sequência para a utilização da 
calculadora científica. 
1º Ligar a calculadora na tecla “ON”. 
2º Inserir o ângulo, para isto, deve-se utilizar a 
tecla º’” . 
Ex a): Para realizar a soma de 240°15’45” + 
80°44’15” é só digitar o valor dos graus 240 depois 
aperte a tecla em seguida digite os 15minutos e 
a tecla , na sequencia digite os 45segundos e a 
tecla depois digite a tecla de soma “+” e na 
sequência siga o mesmo procedimento para entrar 
com o outro ângulo 80 44 15 
depois é só apertar a tecla “=” e obterá o resultado 
de 321º0’0”. 
Ex d): Para realizar a divisão ou o produto 
(15°36’18” * 5°02’15” ou 190°30’40” / 
30°05’10”) entra com o 1º ângulo utilizando a tecla 
º’” para graus, minutos e segundos e digite a 
operação (x ou /) digita posterioemente o outro 
ângulo da mesma forma, em seguida aperte igual 
“=” neste momento o resultado e dado em graus 
decimais (78,6101875 ou 6,332194626). Dessa 
forma, para se obter o resultado em graus, minutos 
e segundos aperte a tecla º’” . (78º36’36,6” e 
6º19’55,9”). 
3º Para utilizar as funções trigonométricas (sin , 
cos e tan) é necessário configurar a calculado para 
qual sistema de ângulo vai utilizar, utilizando a 
tecla “MODE”, aperte até aparecer a tela com 
(DEG, GRD e RAD) selecione o sistema desejado, 
que será o DEG, quando desejar utilizar o sistema 
sexagesimal. Após configurar o sistema é só 
realizar o cálculo, chamando a função sin , cos ou 
tan e depois entre com o ângulo, utilizando os 
procedimentos já descritos acima. O seno de 
30°20’15” é = 05050926067. 
 
 
26 
 
e) 15°36’18” * 5°02’15”= 78º36’36,7” 
f) Ache o seno 30°20’15” = 0,5050926067 
g) Ache o co-seno 30°20’15’ = 0,8630651531 
h) Ache a tangente 30°20’15” = 0,5852311438 
i) Ache o arco seno 0,3216712 = 18º45’50,5” Obs: Para encontrar o ângulo utiliza se a função sin-1 
para isto deve apertar a tecla “shift” depois “sin” 
na sequência digitar o valor 0,3216712 e = ao final 
digite a tecla º’” para mostrar o resultado em graus 
minutos e segundos. 
j) Ache o arco co-seno (cos-1) 0,3216712 = 71º14’09,5” 
k) Ache o arco tangente (tan -1) 0,3216712 = 17º49’53,3” 
 
3- Transforme: Utilizando as relações e a “regra de três” podemos transformar as unidades de 
superfície. 
a) 10 alqueires = 484000m² 
b) 500 alqueires = 24200000m² 
c) 300 hectares = 3000000m² 
d) 8 alqueires = 640litros 
e) 10 litros = 6050m² 
f) 8300605 m² = 171,500103alq 
g) 400.000 m² = 40ha 
h) 605.000 litros = 7562,5alq 
i) 48400 ha = 10000alq 
j) 350 alq 60 litros = 1697,63ha 
 
4- Passe para as unidades pedidas: 
20dm, 0,002 km, 2 m, 200 cm; 
300mm, 0,3 m, 30 cm, 3 dm; 
36º20’30”, 0,592599109 seno, 063428173899 rad; 
60°18’45”, 0,49526915064 co-seno, 1,0526517051 rad; 
1,368523 rad, 4,876196501 tangente 78º24’38,1” ° ’ ”; 
 
Resposta aos exercícios de cálculo de área por Gauss 
27 
 
A seguir serão apresentados todos os passos a serem seguidos para se calcular a área do 
polígono (Exercício 1). 
1º Passo – A planilha deve ser preenchida com as coordenadas dos vértices seguindo a 
seqüência de perímetro e também devem ser repetidos os dois primeiros valores para facilitar a 
operação de subtração. 
2º Passo – Inicialmente será utilizada a fórmula 2S =∑
=
−−+
n
i
iXiXYi
1
))1()1(( essa 
equação detalha as operações necessárias a obtenção da área. Ao Analisar a equação observamos 
que os parâmetros dentro dos parênteses encontram-se uma subtração entre os elementos X, no qual 
X( i+1)é subtraído por X(i-1) . No exemplo colocado na planilha podemos verificar pela seta quem 
subtraímos o valor X do ponto 3 pelo valor de 1e o resultado foi colocado na coluna das diferenças 
de X (Positivo ou Negativo) na linha do meio ponto 2. Na sequência subtrai-se o ponto 4 pelo ponto 
2 e coloca o resultado na linha do ponto 3 e seguindo este raciocínio vai se obtendo as diferenças 
entre todos os pontos. Por ultimo subtrai o ponto 2 pelo ponto 4 e resultado fica na linha do ponto 1 
que esta no inicio da planilha. Para verificar se as subtrações forem feitas corretamente é necessário 
somar os valores da coluna positiva e negativa e os resultados devem ser iguais. 
3º Passo – Produto das diferenças de X pelo eixo Y nesse momento são multiplicados os 
valores obtidos no passo anterior pelos valores de Y seguindo a linha. No exemplo acima o valor da 
diferença no ponto 1 é 764 e este multiplica com o valor de Y (350,60) obtendo o valor de 
267858,4. Seguindo o mesmo raciocínio faz se o produto entre as diferenças de X e o eixo Y para 
todos os pontos. 
4º Passo – Somatório das colunas dos produtos (positivo e negativo) e subtração dos 
resultados obtém a área e dobro. No exemplo os valores positivos somados totalizaram 523827,96 e 
os negativos 1651186,88. 
5º Passo – O resultado da diferença dos valores resultantes da soma da coluna positiva pela 
da coluna negativa dos produtos é dividido por 2 (dois) e dessa forma, obterá a área do polígono 
desejado. No exemplo |523827,96 - 1651186,88| totalizou 1127358,92m² positivo uma vez que esta 
subtração está em módulo e ao sair do modulo sempre considera o valor positivo. O resultado final 
para área é obtido após a divisão por dois e é igual S =563679,4m2. 
 
6º Passo – Para verificar se o resultado obtido no 5º Passo esta correto calcula-se novamente 
área, utilizando as diferenças de Y, seguindo a segunda fórmula desenvolvida por Gauss. Sendo que, a 
28 
 
segunda formula 2S =
∑
=
−−+
n
i
iYiYXi
1
))1()1((
 inverte as diferenças para o eixo Y e o produto é 
realizado com o eixo X procedimento invertido em relação a primeira fórmula. Da mesma forma para 
se obter a área são feitas as diferenças entre as coordenadas, mas agora, utilizando o eixo Y ao invés 
do eixo X como foi feito anteriormente e os resultados das diferenças são multiplicados pelo eixo X ao 
contrario da primeira formula que multiplicava pelo eixo Y. 
7º Passo – Para o preenchimento do restante da Tabela 1 devem-se executados novamente 
os Passos 2º, 3º, 4º e 5º e assim, obterá o mesmo valor para a área se forem feitos corretamente os 
cálculos. 
29 
 
MINISTÉRIO DA EDUCAÇAO
SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA Propriedade:
CURSO TÉCNICO EM AGRIMENSURA Data: Turma:
Nome:
X Y positivas negativas positivas negativas positivas negativas positivas negativas
1 451,10 350,60 764,00 267858,4 680,2 306838,22
2 1015,40 150,30 899,20 135149,76 185,90 188762,86
3 1350,30 536,50 225,20 120819,8 592,20 799647,66
4 1240,60 742,50 496,0 368280 421,90 523409,14
5 854,30 958,40 989,2 948049,28 88,00 75178,4
6 251,40 830,50 403,2 334857,6 607,8 152800,92
1 451,10 350,60
2 1015,40 150,30
Soma 1888,40 1888,40 523827,96 1651186,88 1288 1288 1586998,06 459639,14
1127358,92
2S= |523827,96-1651186,88| 2S=|1586998,06-459639,14|
2S= |-1127358,92| 2S=|1127358,92|
2S=1127358,92 2S=1127358,92
S=563679,4 m² S=563679,4 m²
PLANILHA DE CÁLCULO ANALÍTICO DE ÁREA (GAUSS)
DIFERENÇAS (Eixo de Y) PRODUTOS: Diferenças de Y (Eixo X)
PONTOS
COORDENADAS DIFERENÇAS (Eixos de x) PRODUTOS: Diferenças de X (Eixo Y)
30 
 
 
8 REFERÊNCIAS 
 
COMASTRI, J.A., GRIPP JÚNIOR, J. Topografia Aplicada: medição, divisão e 
demarcação. Viçosa, Universidade Federal de Viçosa, 1998. 200p. 
 
 
COMASTRI, J.A., TULER, J.C. Topografia - Altimetria. Viçosa, Universidade Federal de 
Viçosa, 1980. 160p. 
 
 
DOMIGUES, F.A.A. Topografia e astronomia de posição. 1º Ed. MC. Graw-Hill do Brasil, 
1979. 404 p. 
 
 
ESPARTEL, L. Curso de Topografia. Rio de Janeiro, Globo, 1987.65p. 
 
 
MCCOMARC, J. Topografia. Rio de Janeiro: LTC, 2010. 391p.