memorial de cálculo - cortina de estacas

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1. Problema Proposto 
1.1. Calcular e detalhar a cortina de estacas 
Figura 1: Desenho simplificado 
 
Fonte: Autor, 2018 
2. Cálculos 
2.1.Coeficiente de atrito 
∅ = 28 + 0,4 ∙ 𝑁𝑠𝑎𝑡,𝑚𝑒𝑑 
Onde, 
𝑁𝑠𝑎𝑡,𝑚𝑒𝑑 ≅ 7 
Então, 
∅ = 28 + 0,4 ∙ 7 ≅ 30,8° 
2.2.Coeficientes de empuxo 
2.2.1. Ativo (Ka) 
𝐾𝑎 =
1 − sin∅
1 + sin∅
=
1 − sin 30,8
1 + sin 30,8
= 0,3227 
2.2.2. Passivo (Kp) 
𝐾𝑎 =
1
𝐾𝑝
=
1
0,3227
≅ 3,10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
2.3.Tensões 
2.3.1. Sobrecarga 
𝑞 =
∑ 𝑅𝐴𝑖
𝑛
𝑖=1
35000
=
95613
35000
= 2,73𝑘𝑁/𝑚² 
 
2.3.2. Tensões Ativas 
Considerando o marco zero como um ponto localizado no topo do terreno do lado direito 
da figura 1, tem-se: 
Tensões Ativas (kN/m²) 
Prof. (m) Sobrecarga Verticais Ka Horizontal 
0 2,73 0 0,3227 0,88 
3,5 2,73 63 0,3227 21,21 
3,5 + y1 2,73 (3,5+y1)x18 0,3227 (3,5+y1)x5,81 + 0,88 
3,5 + y1 + y2 2,73 (3,5+y1+ y2)x18 0,3227 (3,5+y1 + y2)x5,81 + 0,88 
 
2.3.3. Tensões Passivas 
Considerando o ponto inicial sobre a superfície do terreno do lado esquerdo da figura 1, 
tem-se: 
Tensões Passivas (kN/m²) 
Prof. (m) Verticais Kp Horizontal 
3,5 + y1 (3,5+y1)x18 3,10 (3,5+y1)x55,8 
3,5 + y1 + y2 (3,5+y1+ y2)x18 3,10 (3,5+y1 + y2)x55,8 
Sabe-se que as tensões ativas se igualam as tensões passivas num determinado ponto 
y1, portanto: 
(3,5 + y1) × 5,81 + 0,88 = (3,5 + y1) × 55,8 
 y1 = 0,42 𝑚 
Com o valor de y1, é possível calcular y2 em função da tensão horizontal no ponto mais 
profundo da estaca. 
σℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 = (3,5 + y1 + y2)x55,8 − [(3,5 + y1 + y2)x5,81 + 0,88] 
 σℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 = (3,5 + 0,42 + y2)x55,8 − [(3,5 + 0,42 + y2)x5,81 + 0,88] 
σℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 = 50y2 − 2,23 
Montando o gráfico de momento, tem-se: 
Figura 2: Empuxo 
3 
 
 
Fonte: Autor, 2018 
Para determinar o valor de y2, será considerado a condição de equilíbrio no ponto “C” onde a 
somatória do momento será zero, portanto: 
∑𝑀𝑐
𝑛
𝑖=1
= 0 
(21,21 − 0,88) ∙
3,5
2
∙ (
3,5
2
+ 0,42 + y2) + 0,88 ∙
3,5 + 0,42 + y2
2
+ 21,21 ∙
0,42
2
∙ (0,42 ∙
2
3
+ y2) −
(50y2 − 2,23)y2
2
6
= 0 
y2 = 2,75 𝑚 
Portanto, 
y𝑇 = y2 + y1 = 2,75 + 0,42 = 3,17 𝑚 
A ficha será 20% a mais do valor de y𝑇 
𝑓 = 1,2 ∙ y𝑇 = 1,2 ∙ 3,17 = 3,80 𝑚 
𝑓𝑎𝑑𝑜𝑡𝑎𝑑𝑜 = 4,00 𝑚 
2.4.Verificação do fator de segurança devido ao tombamento 
𝐹𝑆 =
(3,1 ∙ 18 ∙
4
2 ∙
4
3)
0,337 ∙ (2,73 ∙ 7,5 ∙
7,5
2 + 18 ∗
7,5
2 ∙
7,5
3
= 1,89 > 1,50 (𝑜𝑘!) 
2.5. Diâmetro das estacas e espaçamento 
4 
 
Para o pré-dimensionamento do diâmetro das estacas, será adotado o critério de pré-
dimensionamento de pilares, sendo dado por 𝑙/10. 
∅𝑒𝑠𝑡 =
𝑙
10
=
3,5
10
= 0,35 𝑚 
Através do software Ftool, o deslocamento na ponta da estaca foi de 𝛿 = 9,1 𝑐𝑚, para o 
diâmetro de 35 cm 
Figura 3: Deslocamento ∅𝑒𝑠𝑡 = 35 𝑐𝑚 
 
Fonte: Autor, 2018. 
Em virtude de estabelecer um menor deslocamento da estaca, foi adota o ∅𝑒𝑠𝑡 = 50 𝑐𝑚, 
obtendo-se 𝛿 = 2,2 𝑐𝑚, considerando prédios afastados ou que sofrem influência pequenas.. 
Em relação a ao espaçamento será adotado 𝑠 = 2 ∙ ∅𝑒𝑠𝑡, isto é, 𝑠 = 100 𝑐𝑚. 
Figura 4: Deslocamento ∅𝑒𝑠𝑡 = 50 𝑐𝑚 
 
Fonte: Autor, 2018 
5 
 
2.6. Dimensionamento da armadura 
2.6.1. Armadura longitudinal 
2.6.1.1.Área mínima e máxima 
𝐴𝑚𝑖𝑛 = 0,004𝐴𝑚𝑖𝑛 = 7,85 𝑐𝑚² 
𝐴𝑚á𝑥 = 0,08𝐴𝑚á𝑥 = 157,08 𝑐𝑚
2 
2.6.1.2.Cálculo do Momento máximo 
O momento será máximo no ponto em que a força cortante for nula, portanto: 
∑𝐹ℎ = 0 
𝛾 ∙ 𝑘𝑝 ∙ 𝑍 ∙ (
𝑧
2
) = 𝛾 ∙ 𝑘𝑎 ∙ (3,5 + 𝑍) ∙ (
3,5 + 𝑧
2
) + 𝑞 ∙ (3,5 + 𝑧) 
Onde Z representa um ponto da estaca aterrada ao solo 
18 ∙ 3,1 ∙ 𝑍 ∙ (
𝑧
2
) = 18 ∙ 0,3227 ∙ (3,5 + 𝑍) ∙ (
3,5 + 𝑧
2
) + 2,73 ∙ (3,5 + 𝑧) 
𝑧 = 1,88 𝑚 
Portanto o momento máximo será: 
𝑀𝑚á𝑥 = 18 ∙ 3,1 ∙ 𝑍 ∙ (
𝑧
2
) ∙ (
𝑧
3
) − 18 ∙ 0,3227 ∙ (3,5 + 𝑍) ∙ (
(3,5 + 𝑧)2
2 ∙ 3
) + 2,73 ∙
(3,5 + 𝑧)2
2
 
Substituindo o valor de 𝑧 = 1,88 𝑚, tem-se: 
𝑀𝑚á𝑥 = 101,05 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 
Através do software Ftool, também, calculou-se o valor máximo do momento obtivendo-se 
𝑀𝑘 = 101,3 𝑘𝑁 ∙ 𝑚. 
Figura 5: Momento máximo 
 
Fonte: Autor, 2018 
6 
 
Então, 
𝑀𝑑 = 1,4 ∙ 101,3 = 141,82 𝑘𝑁 ∙ 𝑚 
2.6.1.3. Cálculo da armadura por simplificação 
Como a secção da estaca é circular com diâmetro de 50 cm, adotaremos uma 
simplificação considerando a estaca como um pilar quadrado de lado 𝐿 = 0,7∅𝑒𝑠𝑡 = 35 𝑐𝑚 
𝑑 = ℎ − 𝑐 −
∅𝑙𝑜𝑛𝑔
2
− ∅𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣. = 35 − 3,5 −
1,6
2
− 0,63 = 30,07 𝑐𝑚 
𝑥23 = 0,259 ∙ 𝑑 = 0,259 ∙ 30,07 = 7,79 𝑐𝑚 
𝑥34 = 0,628 ∙ 𝑑 = 0,628 ∙ 30,07 = 18,88 𝑐𝑚 
𝑥 = 1,25 ∙ 𝑑 (1 − √1 −
𝑀𝑑
0,425 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑2 ∙ 𝑓𝑐𝑑
) 
𝑥 = 1,25 ∙ 30,07
(
 
 
1 − √1 −
141,82
0,425 ∙ 0,35 ∙ 30,072 ∙
2
1,4
)
 
 
 
𝑥 = 18,35 < 𝑥34 = 18,88 (𝑜𝑘!) 
Então, a área do aço será dada por: 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝜎𝑠 ∙ (𝑑 − 0,4𝑥)
=
141,82
50
1,15 (30,07 − 0,4 ∙ 18,35)
 
𝐴𝑠 = 14,35 𝑐𝑚² 
Isto é, 8 ∅16mm 
2.6.1.4. Cálculo da armadura com auxílio do software Oblíqua 1.0 
Através do programa Oblíqua 1.0 para dimensionamento de armadura e considerando o 
diâmetro da estaca como um polígono de 12 lados com diâmetro de 50 cm e cobrimento de 3,5 
cm, obteve-se: 
Para a situação da Figura 6, a configuração da zona tracionada mostrou-se segura com 
6 ∅16mm, isto é, com 𝐴𝑠 = 12 𝑐𝑚
2. Já era de se esperar uma quantidade de aço menor que o 
calculado no item anterior, visto que na situação simplificada, a área da secção é menor que a 
área do polígono. 
 
7 
 
Figura 6: Dimensionamento de armadura 
 
Fonte: Autor, 2018 
Para situação de projeto, ajustou-se o software, afim de representar uma solução mais segura e 
mais próxima da secção circular da estaca. 
Figura 7: Ajuste da armadura 
 
Fonte: Autor, 2018 
Portanto para situação de projeto, a secção da estaca terá 6 barras com ∅ = 16 𝑚𝑚 
como armadura positiva e 4 barras com ∅ = 16 𝑚𝑚 na armadura negativa, tendo uma área de 
aço na secção de: 
8 
 
𝐴𝑎ç𝑜 = 6 ∙ 2 + 6 ∙ 0,5 = 15 𝑐𝑚² 
A área calcula está no intervalo de mínimo e máximo 
 
2.6.2. Armaduras transversais (estribos) 
2.6.2.1. Determinação da força cortante máxima 
Sabe-se que a força cortante será máxima quando a derivada for zero. Através do item 
2.6.1.2., tem-se a equação da cortante: 
𝑉(𝑧) = 18 ∙ 0,3227 ∙ (3,5 + 𝑍) ∙ (
3,5 + 𝑧
2
) + 2,73 ∙ (3,5 + 𝑧) − 18 ∙ 3,1 ∙ 𝑍 ∙ (
𝑧
2
) 
Derivando, tem-se: 
𝑑
𝑑𝑧
𝑉(𝑧) = 𝑞(𝑧) = 0 
2,9041𝑧2 − 32,7399𝑧 + 45,132675 = 0 
Portanto z = 1,61 m, substituindo na equação da força cortante, tem-se que: 
𝑉𝑚á𝑥 = 𝑉(1,61𝑚) = 92,50 𝑘𝑁 
2.6.2.2. Área mínima pela área da secção 
𝐴𝑚𝑖𝑛 = 0,10%𝐴𝑆𝑒𝑐çã𝑜 
𝐴𝑚𝑖𝑛 =
0,10
100
∙ 502 ∙
𝜋
4
= 1,963 𝑐𝑚2 
Para a área mínima será ∅6,3 c/ 15 cm 
2.6.2.3. Área mínima NBR 6118 (17.1.1.1) 
𝑉𝑘 = 38,7 𝑘𝑁 
𝜌𝑠𝑤 =
𝐴𝑠𝑤
𝑏𝑠𝑤 ∙ 𝑠
≥ 0,2 ∙
𝑓𝑐𝑡,𝑚
𝑓𝑦𝑤𝑘
 
Sabendo que 
𝑓𝑐𝑡,𝑚 = 0,3 ∙ 𝑓𝑐𝑘
2
3 = 0,3 ∙ 20
2
3 = 2,21 𝑀𝑃𝑎 
E 𝑓𝑦𝑤𝑘 = 50 𝑀𝑃𝑎, tem-se 
𝐴𝑠𝑤 = 0,2 ∙ 100 ∙
2,21
50
= 0,884 𝑐𝑚² 
Para a área mínima será ∅5,0 c/ 20 cm 
2.6.2.4. Verificação da compressão diagonal do concreto 
𝑉𝑅𝑑2 = 0,27 ∙ 𝛼𝑉2 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 
9 
 
Considerando 𝑏𝑤 e 𝑑 como sendo 0,6 ∙ ∅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎, tem-se também que: 
𝛼𝑉2 = 1 −
𝑓𝑐𝑘
250
= 1 −
20
250
= 0,92 
 
𝑓𝑐𝑑 =
0,7𝑓𝑐𝑡,𝑚
1,4=
0,7 ∙ 2,21
1,4
= 1,11 𝑀𝑃𝑎 
Portanto a cortante resistente de cálculo, será: 
𝑉𝑅𝑑2 = 0,27 ∙ 0,92 ∙
2,0
1,4
∙ (0,6 ∙ 50) ∙ (0,6 ∙ 50) = 319,37 𝑘𝑁 
Sabendo que 𝑉𝑚á𝑥 vale 92,50 kN, tem-se: 
𝑉𝑑 = 1,4 ∙ 92,5 = 129,5 𝑘𝑁 < 𝑉𝑅𝑑2 = 319,37 𝑘𝑁 (𝑜𝑘!) 
Considerando flexão simples na secção da estaca, tem-se: 
𝑉𝐶 = 0,6 ∙ 𝑓𝑐𝑡𝑑 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 = 0,6 ∙ 0,111 ∙ (0,6 ∙ 50) ∙ (0,6 ∙ 50) = 59,94 𝑘𝑁 
 
2.6.2.5. Dimensionamento dos estribos acima da superfície mais baixa do terreno 
A cortante num ponto a 3,5m da cortina, isto é, nas estacas que estarão a mostra do outro lado 
do terreno será: 
𝑉3,5𝑚 = 21,21 ∙
3,5
2
+ 0,88 ∙ 3,5 = 40,2 𝑘𝑁 < 𝑉𝑐 
Como todo o esforço da cortante será absorvido pelo concreto da estaca, então adotou-se a 
armadura mínima de ∅6,3 c/ 15 cm. 
 
2.6.2.6. Dimensionamento dos estribos abaixo da superfície mais baixo do terreno 
A força cortante máxima se deu abaixo da superfície mais baixo do terreno, isto é, na parte 
completamente enterrada da estaca, como já foi calculado no item 2.6.2.1., tem-se: 
Portanto há uma fração que será suportada pelos estribos 
𝑉𝑠𝑤 = 𝑉𝑑 − 𝑉𝑐 = 129,5 − 59,94 = 69,56 𝑘𝑁 
𝑉𝑠𝑤 = 69,56 𝑘𝑁 
Sabendo que para estribos a 90° das armaduras longitudinais: 
𝑉𝑠𝑤 = (
𝐴𝑠𝑤
𝑠
) 0,9 𝑑 𝑓𝑦𝑤𝑑 
Tem-se: 
10 
 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
=
69,56 ∙ 100
0,9 ∙ 30,07 ∙ (
50
1,15)
= 5,9 𝑐𝑚2/𝑚 
Portanto será adotado 10∅10,0 c/ 10 para os estribos. 
 
3. Referências 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. ABNT NBR 6118. Projeto de 
estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2014. 
GERSCOVICH, D.; DANZIGER, B. R.; SAMAROMAGO, R. Contenções: teoria e 
aplicações em obras. São Paulo: Oficina de textos, 2016. 
 
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PROJETO