Aula 10 Rotações

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FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL I
TURMA: CET095
Universidade Federal do Recôncavo da Bahia - UFRB
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas - CETEC
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL I
ROTAÇÕES
Corpo rígido – as distâncias entre todas as partículas
Rotação
A cinemática dos corpos rígidos trata dos movimentos de
translação e rotação.
Corpo rígido – as distâncias entre todas as partículas
componentes permanecem fixas sob a ação de uma força ou
torque.
Rotação
No movimento de translação pura todas as partes de um
corpo sofrem o mesmo deslocamento linear.
No movimento de rotação pura todos os pontos sofre umNo movimento de rotação pura todos os pontos sofre um
mesmo deslocamento angular e descrevem trajetórias
circulares cujos centros situam-se sobre uma mesma reta
(chamada de eixo de rotação).
Rotação
O movimento que se aproxima mais de uma situação real é
aquele que incorpora tanto a translação quanto a rotação.
1
2
3
i
Rotação
O
ri
As variáveis da rotação
• À semelhança do movimento de translação, para a análise
da rotação utilizamos de parâmetros equivalentes a aqueles
definidos anteriormente.
Rotação
• Posição Angular
• Deslocamento Angular
• Velocidade Angular
•Média
• Instantânea
• Aceleração Angular
•Média
• Instantânea
As variáveis da rotação
Deslocamento Angular )()( 12 tt θθθ −=∆
12
12 )()(
tt
tt
tméd −
−
=
∆
∆
=
θθθ
ω
)(tθPosição Angular
Velocidade Angular
•Média
dt
d
tLimt
θθ
ω =
∆
∆
=
→∆ 0
• Instantânea
Aceleração Angular
•Média
• Instantânea
12
12 )()(
tt
tt
t
w
méd
−
−
=
∆
∆
=
ωω
α
dt
d
tLimt
ωω
α =
∆
∆
=
→∆ 0
Exercício
Um disco está girando em torno do seu eixo central como um carrossel.
A posição angular de uma reta de referência do disco é dada por
)(25,0600,000,1)( 2 radttt +−−=θ
a) Determine a posição angular do disco em t=1,0 s e t=2,0s
b) Determine a velocidade angular e a aceleração angular em função
do tempo.do tempo.
c) Determine a velocidade angular e a aceleração nos instantes t=1s e
t=2s.
As variáveis lineares e angulares
• A posição – Ao analisarmos o movimento de rotação de um objeto o parâmetro
que descreve o deslocamento espacial é
Rotação
• A velocidade escalar – Quando observamos os corpos rígidos, a rotação se faz
com raio constante, ou seja: cada ponto observado mantém uma distância
constante ao eixo de rotação.
• A Aceleração - De maneira equivalente, a aceleração em um dado ponto de um
corpo é definida como:
Exemplo
Rotação
• Energia cinética de rotação
• Vamos considerar um conjunto de N partículas, cada uma com massa mi e velocidade
vi girando em torno de um mesmo eixo do qual distam ri . A energia cinética deste
sistema é:
• Definimos o momento de inércia I do conjunto de partículas
•A definição de momento inércia serve para calcular a energia cinética de rotação de
corpos rígidos.
Ex:
Rotação
Quando uma roda está girando em torno do seu eixo, as diversas partes da roda
se movem com velocidades diferentes, mas todas as suas partes têm a mesma
velocidade angular.
• Daí a importância da definição do momento de inércia para computar a energia
cinética associada ao movimento de rotação de um sistema de partículas ou um corpo
rígido.
Se dividirmos um corpo rígido em pequenas partes, cada parte com uma massa
∆mi , podemos em tese calcular o momento de inércia deste corpo usando a
equação anteriormente apresentada para um sistema de partículas:
Momento de Inércia
2
i i
i
I m r=∑No caso de um sistema de partículas temos:
No caso de uma distribuição contínua de massa, temos:
2
 I r dm= ∫
Alguns exemplos de cálculo de 
momento de inércia
•Momento de inércia de um bastão
fino de massa M e comprimento L
em relação a um eixo perpendicular
ao bastão e que passa por seu
centro de massa.
•Momento de inércia de um anel de raio R e massa M , em relação
a um eixo que passa pelo centro, perpendicular ao plano do anel.
A figura ao lado mostra um corpo rígido composto por duas
partículas de massa m ligadas por uma barra de comprimento L e
massa desprezível. Determine o momento de inércia em relação:
a) a um eixo passando pelo
centro de massa e
perpendicular a barra;
Exercício
b) a um eixo passando pela
extremidade esquerda da
barra e paralela ao
primeiro eixo.
A tabela a seguir mostra o momento
de inércia de alguns corpos rígidos.
2
 I r dm= ∫
F1
Torque
O torque fornece a medida quantitativa de como a ação de
uma força pode provocar ou alterar o movimento de rotação
de um corpo.
Linha de ação – é a linha ao longo
da qual o vetor força se encontra.
Braço da alavanca – é a distância
perpendicular entre o ponto O (eixo
de rotação) e linha de ação da força.
F3
F2
l2
l1A distância l1 é o braço da alavanca
da força F1.
O
de rotação) e linha de ação da força.
• Define-se o troque τ produzido pela força F quando ela atua sobre uma
Torque
• Define-se o troque τ produzido pela força F quando ela atua sobre uma
partícula como sendo o produto vetorial dessa força pelo vetor posição da
partícula.
• Podemos perceber que apenas a componente F⊥
da força F é quem contribui para o torque.
Torque – Produto vetorial
A segunda Lei de Newton para a rotação
• A segunda Lei de Newton toma uma forma peculiar quando aplicada aos
movimentos que envolvem rotação.
• Se fizermos a decomposição da força aplicada a uma partícula segundo as suas
Rotação
• Se fizermos a decomposição da força aplicada a uma partícula segundo as suas
componentes perpendicular e paralela ao vetor posição dessa partícula, teremos:
• quando consideramos o torque associado a essa força,
temos:
Exercício
A figura mostra um disco uniforme, de massa M =2,5Kg e raio R=20cm,
montado em um eixo horizontal fixo. Um bloco de massa m=1,2Kg está
pendurado por uma corda de massa desprezível que está enrolada na
borda do disco. Determine a aceleração do bloco em queda, a aceleração
angular do disco e a tensão na corda. A corda não escorrega e não existe
atrito no eixo.
O corpo da figura abaixo pode girar em torno de um eixo
perpendicular ao papel passando por O, e duas forcas atuam
sobre ele como mostrado. Se r1 = 1,30m, r2 = 2,15m, F1 = 4,20N,
F2 = 4,90N, θ1 = 75° θ2 = 60° , qual é o torque resultante em
relação ao eixo? Resposta: -3,85N.m.
Exercício
Trabalho, Potência e Teorema
Trabalho-Energia Cinética
Para calcular o trabalho elementar dW
executado por uma força F temos que:
Onde:
Rotação
Onde:
Logo:
Para o cálculo da Potência:
Rotational Motion
 
 Analogies betw
 
een translational and rotational Motio
 
 Translational Motion 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n
 
 
 
x
v
θ
ω
↔
↔
0
2
0
2
 
 
 
 
 
 
 
2
 
2
 o o o o
a
v v at
at
x x v t
t
t
t
α
ω ω α
αθ θ ω
= +
= +
= +
= +
↔
↔
↔+ +
( ) ( )2 22 2
 
 
 
 
2
 2
 
 
 
 
2
2
 
 
 
o o o o
o oo o
x x v t
v v a x x
tθ θ ω
ω ω α θ θ
= + = +↔+
−↔−
+
− =− =
2 2
 
2
 
 
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
mvK
m
F ma
F
P Fv
IK
I
I
ω
τ α
τ
==
↔=
↔
↔
=
=
↔
↔
 P τω=
Exercício
Exercício
Exercício
A combinação de uma força aplicada e da força de atrito produz
um torque total constante de 36,0 N.m sobre uma roda girando
em relação a um eixo fixo. A força aplicada atua por 6,00 s.
Durante este tempo, a velocidade angular da roda aumenta de 0
para 10,0 rad/s. A força aplicada é removida, e a roda chega ao
repouso em 60,0 s. Encontre:repouso em 60,0 s. Encontre:
a) o momento de inércia da roda;
b) o módulo do torque devido ao atrito.
Exercício
Uma roda de 32,0 kg, essencialmente um aro fino com 1,20 m
de raio, está girando a 29,3 rad/s. Ela precisa ser parada em 15,0
s. Determine:
a) o trabalho necessário para fazê-la parar;
b) a potência média necessária.b) a potência média necessária.
Exercício
A figura mostra um disco uniforme, de massa M =400g e raio
R=12cm, montado em um eixo horizontal fixo. Um bloco de massa
m=50g está pendurado por uma corda de massa desprezível que está
enrolada na borda do disco. Determine a velocidade do bloco após
ele ter descido 50 cm a partir do repouso.
Resolva o problema usando a lei da conservação da energia.
Exercício
Exercício
As hastes da hélice mostrada na figura abaixo têm o mesmo comprimento L=0,5m e a
mesma massa m=2kg, e todas as três forças mostradas na figura tem o mesmo módulo
F=20N. Considere as F1 e F3 perpendiculares as hastes conforme o indicado na figura.
Determine:
a) o torque resultante;
b) a aceleração angular da hélice;
c) a velocidade angular em função do tempo t, considere a velocidade angular inicial
nula.