220952 apostila eletromag

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Pontifícia Unversidade Católica de Minas Gerais 
IPUC – Curso de Engenharia Elétrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Laboratório 
de 
Eletromagnetismo 
 
 
 
Roteiro de Aulas Práticas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Autores:Profª Maria Inês Martins 
 Profº Luciano Assírio Bossi 
 
 
Revisão e Atualização: Profº Luciano Assírio Bossi 
 Profª Rose Mary S. Batalha 
Pontifícia Unversidade Católica de Minas Gerais 
IPUC – Curso de Engenharia Elétrica 
 
 
Índice: 
 
Aula 01 - AJUSTE DE CURVAS EXPERIMENTAIS...................................................................................................................... 22
 
Aula 02 - MAPEAMENTO DE CAMPO ELÉTRICO ........................................................................................................................ 44
 
Aula 03 - CONSTANTE DIELÉTRICA E EFEITO DE BORDA.......................................................................................... 66
 
Aula 04 - LEI DE FARADAY .................................................................................................................................................................................... 99
 
Aula 05 - HISTERESE E CURVA DE MAGNETIZAÇÃO...................................................................................................... 1111
 
Aula 06 - MEDIDA DO MOMENTO DE DIPOLO MAGNÉTICO ................................................................................ 1144
 
Aula 07 - LEI DE BIOT - SAVART .............................................................................................................................................................. 1177
 
Aula 08 - INDUTÂNCIA MÚTUA E ACOPLAMENTO DE FLUXO............................................................................ 1199
 
Aula 09 - BLINDAGEM MAGNÉTICA PARA CAMPOS ALTERNADOS............................................................ 2222
 
Aula 10 - PULSOS EM LINHA DE TRANSMISSÃO ................................................................................................................ 2244
 
Aula 11 - DIAGRAMA DE RADIAÇÃO DE ANTENAS .......................................................................................................... 2266
 
Aula 12 - EFEITO DOPPLER – ESTUDO QUALITATIVO................................................................................................ 2299
 
IPUC – Curso de Engenharia Elétrica 
Laboratório de Eletromagnetismo 
 
 
Notas sobre a elaboração dos relatórios do Laboratório de Eletromagnetismo 
 
 
1. Na capa deve constar o título da prática, turma e o nome do relator. 
 
2. Lembre-se que todo relatório, em ciência e tecnologia, tem a mesma estrutura geral: 
 
• Objetivo do experimento; 
• Descrição de montagem utilizada; 
• Dados obtidos (tabela e gráficos); 
• Estudo dos dados (cálculos, erros, análise, etc.); 
• Conclusão. 
 
3. Na elaboração de gráficos: 
 
• Não ligue os pontos experimentais com retas; 
• Se o comportamento esperado for linear, calcule a inclinação da reta teórica usando 
sempre o método dos mínimos quadrados (use uma calculadora que disponha deste 
recurso). Desenhe a reta teórica. Mesmo neste caso deixe claramente assinalados os 
pontos experimentais obtidos, mesmo que não coincidam com a curva esperada. 
 
4. Deixe a memória de cálculo no relatório, mesmo que você use calculadora. Não é 
necessário escrever todo o desenvolvimento dos cálculos, mas deve ficar claro qual foi a 
expressão calculada. 
Exemplo: 3,092 x sen2 (0,42 + 2π) = 0,0507 
 
5. A conclusão deve ser clara e objetiva. Normalmente meia página é suficiente. Use o bom 
senso. Tenha sempre em mente o objetivo da aula.
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Laboratório de Eletromagnetismo 
 
 
AULA 01 AULA 01
 
AJUSTE DE CURVAS EXPERIMENTEAIS 
 
Objetivo: Ajuste de medidas experimentais pelo método dos mínimos quadrados. 
 
Objetivo Incidental: Estudo dos dispositivos semicondutores emissores de luz (LED´s). 
 
Normalmente, na análise de certos fenômenos, é necessário efetuar um ajuste dos 
dados experimentais a uma determinada curva teórica, de acordo com o comportamento 
esperado para o sistema. 
 
Nesta prática, usaremos um LED (“Light Emiting Diode”) para a obtenção de alguns 
pontos experimentais num gráfico I x V. Através dos métodos dos mínimos quadrados, 
poderemos determinar a tensão VB tensão a partir da qual se estabelece a corrente de 
condução no LED. 
 
1. Determinação da tensão de limiar de condução 
 
Em uma junção PN, a energia perdida quando um elétron cai de um nível de energia 
mais alto para um nível mais baixo é liberada com a emissão de um fóton ou em forma de 
calor. No caso do LED, esta energia perdida pelo elétron é liberada com a emissão de um 
fóton e pode ser calculada pela fórmula: 
 
 E=e. VB (J) (1.1) 
 
onde “e” é a carga do elétron (= 1,6 x 10-19C) e VB a diferença de potencial existente entre 
os dois níveis de energia (banda de condução da região N e banda de valência da região P). 
Esta diferença de potencial é a tensão de limiar de condução VB. A energia do fóton está 
relacionada ao comprimento de onda da luz emitida pela relação 
 
 E=h x (c/λ) (J) (1.2) 
 
onde h (=6,63 x 10-34 J.s) é a constante de Planck, C (= 3,0 x 108 m/s) é a velocidade da 
luz no vácuo e λ é o comprimento de onda da luz emitida pelo LED. Como a energia pedida 
pelo elétron deve ser igual a energia do fóton emitido, pode-se determinar λ igualando-se 
as duas expressões acima. 
 
Circuito: 
 
Aula 01 - página 2 
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• Escolha um LED (verde, vermelho, amarelo); 
• Variando a corrente (faixa de 3 a 18 mA) anote os valores da tensão 
correspondentes no LED; 
• Obtenha um mínimo de seis pares de valores (corrente tensão); 
• Anote os valores na tabela; 
• Marque os pontos obtidos em um gráfico I x V; 
• Usando o método dos mínimos quadrados, encontre a equação da reta y=Ax+B que 
se ajusta aos pontos obtidos (use uma calculadora que disponha deste recurso); 
• Determine a tensão de limiar de condução. O valor desta tensão será, 
aproximadamente, 90% do valor correspondente ao ponto de intercessão da reta 
obtida no item anterior com o eixo X; 
• Repita o procedimento para os outros LED´s. 
 
 
LED 
Corrente (mA) 
LED Vermelho 
Tensão (V) 
LED Verde 
Tensão (V) 
LED Amarelo 
Tensão (V) 
3,0 
6,0 
9,0 
12,0 
15,0 
18,0 
 
2. Determinação da freqüência de emissão de um LED. 
 
• Obtenha um mínimo de seis pares de valores I e V para o LED incolor (emite luz não 
visível), variando a corrente no circuito (faixa de 0 a 30 mA); 
• Use a regressão linear para a determinação da tensão de limiar VB; 
• Calcule o comprimento de onda λ para o LED incolor, igualando as expressões acima; 
• Localize a região correspondente no espectro eletromagnético (ultravioleta, 
infravermelho, microondas, etc.); 
• Discuta as fontes de erro. 
 
Dados: 
 
LED vermelho: λ ≈ 6,7 x 10-7 m 
LED verde: λ ≈ 5,6 x 10-7 m 
LED amarelo: λ ≈ 6,0 x 10-7 m 
 
LED incolor 
 
Corrente (mA) 5 10 15 20 25 30 
Tensão (V) 
Aula 01 - página 3 
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AULA 02 AULA 02
 
MAPEAMENTO DE CAMPO ELÉTRICO 
 
Objetivo: Levantamento das linhas equipotenciais de um campo elétrico por meio de 
um método experimental, em uma superfície fracamente condutora. 
 
Material: 
 
• Voltímetro; 
• Fonte de alimentação; 
• Folha de papel grafitado. 
 
Nas extremidades da superfíciedo papel grafitado devem ser colocados dois eletrodos, 
sendo um deles ligado à terra e o outro a um potencial de alguns volts (Figura 2.1). 
 
 
Figura 2.1 
 
• Ajuste a tensão da fonte para 20 volts; 
• Conecte um terminal do voltímetro ao terra de tensão. Ao outro terminal conecte 
uma ponta de prova e procure um ponto no papel grafitado tal que o voltímetro 
indique 4 volts. Marque este ponto; 
• Repita este procedimento, assinalando outros pontos correspondentes a 4 volts 
(consulte o professor para saber quantos pontos são necessários); 
• A seguir, encontre os pontos correspondentes a 2, 6, 8, 10, 12, 14 e 16 volts; 
• Passe os pontos para uma folha de papel milimetrado; 
• Esboce as linhas equipotenciais, a partir das medições realizadas; 
• Esboce as linhas do campo elétrico, a partir das equipotenciais encontradas. 
 
A relação do vetor campo elétrico e a função potencial é: 
 
 
 
dL
dVE −= âN (2.1) 
 máx 
 
ou seja, o vetor campo elétrico tem módulo igual à máxima taxa de variação de V e segue a 
direção do vetor unitário âN, perpendicular à superfície equipotencial. O sinal menos indica 
que o vetor E
r
 aponta para o sentido para o qual o potencial decresce. 
 
Aula 02 - página 4 
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• Escolha dois pontos no papel grafitado, situados em linhas equipotenciais. Usando a 
aproximação NâL
VE
∆
∆
−≅ e associando às bordas do papel um sistema de 
coordenadas xy, calcule o vetor E
r
 em coordenadas cartesianas. 
 
• Que ângulo o vetor campo elétrico faz com uma linha equipotencial? Justifique. 
 
• Analisando as linhas equipotenciais encontradas, você acha que um pára-raios 
realmente protege? Qual seria o raio de ação de um pára-raios? 
Aula 02 - página 5 
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AULA 03 AULA 03
 
CONSTANTE DIELÉTRICA E EFEITO DE BORDA EM CAPACITOR 
 
Material: 
 
• Amplificador de corrente (utilizado como medidor balístico de carga); 
• Milivotímetro balístico; 
• Capacitor de placas paralelas; 
• Fonte de alimentação CC; 
• Voltímetro com escala de até 300V; 
• Resistência de 10 MΩ; 
• Cabos de prova para ligação; 
• Discos de materiais dielétricos diferentes. 
 
Aplicando-se uma tensão contínua V às placas de um capacitor, o mesmo carrega-se, 
adquirindo uma carga Q. Esta carga pode ser medida com o uso de um medidor balístico de 
carga. A carga Q é proporcional à tensão V, sendo o fator de proporcionalidade C=Q/V 
denominado capacitância. Para um capacitor de placas paralelas, a capacitância é: 
 
 
d
A.οC ε= (3.1) 
 
onde οε = 8,854 x 10-12 F/m é a permissividade do vácuo, A é a área das placas e d é a 
separação entre as placas. Obtenha esta expressão. 
 
Montagem utilizada na experiência com o capacitor de placas paralelas 
 
Antes de iniciar a prática: 
 
1. Verifique a posição das chaves A, B, E (veja a Figura 3.1); 
2. A chave C define o ganho de amplificação de corrente. Deve estar no mínimo antes 
de ligar o aparelho e no máximo, após ligado. Nesta posição, o fundo de escala do 
galvanômetro será o indicado seletor C; 
3. Regule o ponto zero do galvanômetro com a chave C; 
4. Selecione o fundo de escala desejado com o seletor D; 
5. O seletor F deve estar na posição “300 µA, 60 mV”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 03 - página 6 
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Figura 3.1 - Esquema de Montagem 
 
Como medir a carga nas placas do capacitor: 
 
No decorrer desta prática, será necessário medir a carga elétrica contida nas placas do 
capacitor. Para efetuar uma primeira medida, siga o seguinte procedimento: 
 
• Deixe uma pequena separação inicial entre as placas do capacitor (cerca de 5 mm); 
• Ligue a fonte de CC ao capacitor e, com o auxílio do voltímetro, ajuste a tensão 
entre as placas (entre 50 e 200 V); 
• Ligue o amplificador de corrente ao voltímetro balístico; 
• Posicione a chave seletora de funções do amplificador de corrente para medida de 
cargas (método balístico), escala “3 x 10-7 As ball” (1 As = 1 Coulomb); 
• Ajuste o ganho do amplificador para o máximo; 
• Ajuste o zero do medidor balístico; 
• Desligue o cabo de alimentação positivo do capacitor e, em seu lugar, ligue o cabo 
coaxial que está conectado ao amplificador. 
 
Você deverá observar uma deflexão no ponteiro do voltímetro balístico, devido à 
descarga do capacitor (se a deflexão for muito pequena, selecione outra escala de medida). 
O valor da carga elétrica armazenada no capacitor será lido diretamente (em Coulomb) na 
escala vermelha do voltímetro, com fundo de escala indicado no amplificador de corrente. 
 
1ª PARTE – Medida da Permissividade do Ar 
 
• Ajuste a tensão da fonte de alimentação para 100V; 
• Com uma separação de 2 mm entre as placas, meça a carga contida nas placas do 
capacitor; 
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• Aumente a separação entre as placas de 2 em 2 até 10 mm e para cada separação 
obtenha o valor da carga Q; 
 
 
• Construa uma tabela contendo a distância entre as placas, a carga e a capacitância 
medida; 
• Faça um gráfico C x 
d
1
 e determine a sua inclinação; 
• A partir da inclinação do gráfico do item anterior, calcule o valor da permissividade 
elétrica do ar; 
• Calcule o erro percentual e discuta a origem das discrepâncias entre o valor medido 
e o valor conhecido = 8,854 x 10-12 F/m. 
 
2ª PARTE – Constante Dielétrica de Diferentes Materiais 
 
A constante dielétrica de um meio é a razão entre a sua permissividade elétrica e a 
permissividade elétrica do vácuo. Durante esta experiência serão empregados quatro discos 
de materiais diferentes que devem ser inseridos entre as placas do capacitor. 
 
• Fixe um dos discos entre as placas do capacitor; 
• Aplique uma tensão de 20 V ao capacitor e meça a carga nas placas. Varie a tensão 
de 20 em 20 até 140 V; 
• Construa uma tabela Q x V; 
• Faça um gráfico Q x V e calcule a capacitância a partir da inclinação deste gráfico; 
• Determine a permissividade elétrica e a constante dielétrica do material; 
• Repita este procedimento com os outros materiais. 
 
Após efetuar as medidas, consulte uma tabela de constante dielétrica e compare com 
os valores obtidos. 
 
3ª PARTE – Verificação do Efeito de Borda 
 
A expressão (3.1) foi deduzida a partir de certas suposições (quais?). Nesta seção 
testaremos os limites de validade de tais suposições. 
 
• Escolha uma tensão de trabalho entre 30 – 100 V. Esta tensão deve permanecer fixa 
durante toda a experiência (certifique-se disto monitorando a tensão da fonte com o 
voltímetro); 
• Partindo de uma separação entre as placas de aproximadamente 5 mm, meça a 
carga e calcule a capacitância C = Q/V. Este é o valor experimental de C; 
• Varie a separação entre as placas, obtendo novos valores de C. Obtenha pelo menos 
10 valores, até a separação máxima de 70 mm; 
• Construa uma tabela contendo: distância entre as placas (mm), C teórico (pF), C 
medido (pF) e o erro percentual; 
• Faça um gráfico C x d assinalando os valores medidos com um símbolo diferente dos 
valores teóricos; 
• Determine o valor máximo de separação para o qual a expressão (3.1) é uma boa 
aproximação (expresse este valor em termos percentuais em relação ao raio do 
disco). 
 
As curvas teórica e experimental coincidem? Na sua opinião, dentre as suposições 
feitas no cálculo da expressão (3.1), qual ou quais devem serabandonadas, na busca de 
uma equação que descreva melhor o comportamento observado?
Aula 03 - página 8 
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AULA 04 AULA 04
 
LEI DE FARADAY 
 
De acordo com a lei de Faraday, quando um contorno fechado (condutor ou não) é 
atravessado por um campo magnético variável no tempo, há uma força eletromotriz 
induzida (fem) neste contorno. O fluxo magnético através da área definido pelo contorno 
fechado é dado por: 
 
 ∫= Sd . BBφ
rr
 (4.1) 
onde B = µH é a densidade de fluxo magnético. Note que, no caso do campo ser 
homogêneo no interior de uma espira e normal ao seu plano, a integral acima se reduz a 
B
r
BSB =ϕ . A fem induzida é dada pela expressão − t
B
∂
∂ϕ
ou 
 
 ∫−= SdBdt
dfem
rr
. (4.2) 
 
Para um campo homogêneo e normal ao plano de n espiras, a expressão torna-se B
r
 
 
dt
dBnSfem .−= (4.3) 
 
Quando uma corrente alternada I(t) percorre uma espira plana e circular de raio R, 
teremos no seu centro uma intensidade de campo magnético dada por: 
 
 N2
)()( a
R
tItH r= (4.4) 
 
onde é o vetor unitário normal ao plano da espira. Para regiões próximas ao centro da 
espira, podemos considerar que H(t) é homogêneo. 
Na
r
 
Colocando-se uma pequena bobina de N espiras e raio r no interior de uma espira 
maior de N espiras e de raio R, podemos calcular a fem induzida na bobina menor com as 
aproximações feitas anteriormente. A fem induzida na espira menor será: 
 
 
dt
tdI
R
NnS
dt
tdHnSfem )(
2
)( µµ
−=−= (4.5) 
 
onde 
n = é o número de espiras da bobina menor; 
N = é o número de espiras da bobina maior; 
I(t) = Iocosωt; 
ω= freqüência angular (rad/s). 
Aula 04- Página 9 
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Montagem: 
 
 
Figura 4.1 
 
• Deduza, usando a lei de Biot-savart, a expressão (4.4); 
• Meça a fem induzida na bobina central variando os valores de I, N, e R, de acordo 
com a Tabela I; 
• Repita o procedimento do item anterior, utilizando um núcleo de material 
ferromagnético na bobina (Tabela II); 
• Calcule, usando as aproximações acima, os valores da fem induzida em cada caso da 
Tabela I e compare os resultados; 
• Explique a diferença entre os valores medidos com o núcleo e sem o núcleo. 
 
Tabela I 
 
I(A) N R(cm) fem medida fem calculada 
1 5 10 
1 10 10 
2 5 20 
2 10 20 
 
 
Tabela II (bobina com núcleo de ferro) 
 
I(A) N R(cm) fem medida 
1 5 10 
1 10 10 
2 5 20 
2 10 20 
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AULA 05 AULA 05
 
HISTERESE E CURVA DE MAGNETIZAÇÃO MÉDIA 
 
 
Objetivo: Verificação da histerese magnética, obtenção da curva de magnetização 
média e da curva µ x H de um núcleo de transformador. 
 
Em núcleos de transformadores são utilizados materiais denominados ferromagnéticos, 
os quais são caracterizados por uma alta permeabilidade relativa e principalmente por uma 
relação não-linear entre H
r
(campo magnético externo indutor) e B
r
(densidade de fluxo 
magnético induzido). A permeabilidade magnética é descrita, neste caso, como ).(Hf=µ 
Apesar da relação não linear entre os vetores B
r
eH
r
, podemos definir µ de tal modo que 
 
 HB
rr
 µ= (5.1) 
 
sendo que agora µ não é constante e sim igual à razão entre os valores instantâneos dos 
vetores B
r
eH
r
. 
 
A informação básica das propriedades magnéticas de um material é dada pela curva 
, denominada ciclo de histerese do material. Nesta prática será observada, com uso de 
um osciloscópio, a curva de histerese de um núcleo de transformador. 
HxB
 
1ª Parte – Obtenção da Curva de Histerese 
 
Utilizaremos a seguinte montagem: 
 
Vc
Vr
entrada
RL
malha 1 malha 2
Rv
C
 
Figura 5.1 
 
• ATENÇÃO: Nesta montagem, devido ao uso do autotransformador e ao fato 
do terra do osciloscópio estar ligado na sua carcaça, NÃO devemos utilizar o 
pino terra da tomada elétrica, para evitar curto-circuito. 
 
• Observe a primeira malha do circuito. Trata-se de um circuito RL. Qual a forma de 
onda esperada para a queda de tensão em VR? Aplicando uma tensão de entrada 
senoidal de cerca de 70 V, verifique essa forma de onda com o secundário do 
transformador em aberto. A curva corresponde à esperada? 
• Conecte o secundário do transformador, fechando o circuito. Você observa alguma 
mudança? Aumente a tensão para cerca de 100 V e variando RL, ajuste o 
 
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osciloscópio para melhor observar a forma de onda de VR. Desenhe essa forma de 
onda. 
 
• Observe a malha 2 do circuito. Qual a forma de onda esperada para VC? Lembre-se 
que nesta malha a tensão é induzida pela variação do fluxo no enrolamento 
secundário (
t
fem
∂
∂
−=
φ
). O fluxo, por sua vez, é produzido apenas pela componente 
da corrente no primário responsável pela magnetização do núcleo. Observe no 
osciloscópio a forma de onda de VC. 
• Aplique a tensão VR na entrada do canal 1 do osciloscópio e VC à entrada do canal 2. 
Coloque o osciloscópio no modo XY. Assim, você estará utilizando como sinal de 
referência interna do osciloscópio a tensão VR. Observe o ciclo de histerese. 
• Explique porque o circuito montado permite a observação da curva de histerese. 
Qual a função do capacitor no circuito? 
• Tente localizar, ajustando os potenciômetros, a curva correspondente à saturação do 
núcleo. 
 
Com auxílio de literatura sobre o assunto: 
 
• Explique porque ocorre a saturação no material? 
• Conceitue coercitividade e retentividade. Localize na curva de histerese os pontos 
correspondentes a estes conceitos. 
• Qual é a característica a ser observada no material para que se tenha a menor perda 
possível por histerese? Para onde vai a energia perdida em cada ciclo? 
• Quais são as outras causas de perdas no transformador? 
 
 
2ª Parte – Obtenção da Curva de Magnetização Média 
 
• Com a tensão de entrada em 110 V ajuste os potenciômetros de modo que a curva 
de histerese ocupe toda a tela do osciloscópio; 
• Mantendo fixa as posições dos potenciômetros, preencha a tabela a seguir com os 
valores de VR e VC (pico a pico); 
• Construa em papel milimetrado (aproximadamente 10 x 10 cm) um gráfico VR X VC. 
Trace uma linha suave unindo os pontos obtidos. Essa curva é proporcional a HMAX x 
BMAX e é chamada “curva de magnetização média” do material. 
 
 
 
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3ª Parte – Obtenção da Curva de µMÉDIO x H 
 
Com os valores constantes na tabela, faça um gráfico V R x 
V R
V C . Observe que a curva a 
ser obtida será proporcional à curva µ x H, ou seja, a curva descreve o comportamento da 
permeabilidade magnética do material de acordo com a variação do campo magnético 
aplicado. 
 
Tabela 1 
 
V VR VC VC/VR 
5 
10 
15 
20 
25 
30 
35 
40 
45 
50 
55 
60 
65 
70 
75 
80 
85 
90 
95 
100 
105 
110 
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MEDIDA DO MOMENTO DE DIPOLO MAGNÉTICO 
 
 
O torque exercido sobre um dipolo magnético colocado sob a influência de um campo 
magnético pode ser usado para o cálculo do momento de dipolo. Para isso, será usado o 
fato de que o torque exercido por uma balança de torção sobre um imã (dipolo magnético) 
estará em equilíbrio com o torque exercido pelo campo magnético no próprio imã. Temos: 
 
 Bx m
rrr
=T (6.1) 
 
Supondo-se um ângulo inicial de )º90(º90 α±≅ entre os vetores m , temos: B e 
rr
 
 αα cos)º90sen( mBmBT =±= 
 
e para 0≅α 
 
 T HmmB 0µ== (6.2) 
 
onde µ0 = 4π x 10-7 H/m. 
 
1ª Parte – Calibração da balança de torção 
 
Nesta prática, será necessário conhecer o coeficiente de torção da balança (*). Quando 
um corpo rígido é posto a oscilar, pode-se calcular o coeficiente de torção a partir do seu 
período de oscilação t e do momento de inércia do corpo em relação ao eixo de rotação. 
Determinamos o coeficiente de torção D do fio da balança de torção introduzindo no rotóide 
uma pequena barra cilíndrica (barra de calibração), cujo momento de inércia é conhecido. 
 
O momento de inércia da vareta é dado por: 
 
 I = m.Lm
2/12 = 2,72 x 10-4 Kg.m2 (6.3) 
 
onde L é o comprimento da vareta e m a sua massa. O coeficiente de torção é: 
 
 D = 4π2. Im/ t2 (6.4) 
 
onde t é o período de uma oscilação em segundos. Para a determinação do período, coloque 
a vareta no rotóide e deixe o conjunto oscilar (retire a aleta de amortecimento). Meça o 
tempo necessário para que ocorram algumas oscilações e calcule o tempo necessário para 
que ocorra uma oscilação completa. 
 
(*) – O coeficiente de torção D é definido de maneira análoga ao coeficiente de elasticidade k de uma 
mola. 
 
No caso de uma mola: k = força/deslocamento ⇒ Força = kd 
 
No caso de uma torção elástica: D = torque/ângulo ⇒ Torque = Dα 
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2ª Parte – Cálculo do momento de dipolo magnético 
 
O objetivo desta prática é a medida do momento de dipolo magnético de um pequeno 
imã de formato cilíndrico. O imã deve ser introduzido no rotóide da balança de torção e 
colocado dentro do solenóide, orientado perpendicularmente ao eixo. 
 
Todo o conjunto deve ser alinhado de modo que o imã fique ao longo do campo 
magnético terrestre (use uma bússola). No solenóide deverá circular uma corrente 
conhecida I (use o amperímetro). 
 
O campo no interior do solenóide pode ser determinado pela lei de BIOT-SAVART: 
 
 
L
INH .= (6.5) 
 
L = comprimento do solenóide = 60 cm 
N = número de espiras = 240 
 
Quando a corrente é medida em ampères, o campo B é dado em Wb/m2 
(1 Wb/m2 = 1 Tesla = 10000 Gauss). 
 
Observe que a balança estará em equilíbrio quando o torque exercido pelo campo 
magnético for igual ao torque mecânico exercido pelo fio. Usando as relações acima, pode-
se determinar o momento de dipolo magnético m. 
 
Medida do ângulo de desvio: 
 
Para a medição do ângulo de desvio, será utilizado um pequeno espelho fixo no 
rotóide. Um feixe de luz, incidindo no espelho, deverá ser refletido sobre uma escala 
graduada para a determinação de α: 
 
 
h
xarctg
2
1
=α (6.6) 
 
 
 
 
Figura 6.1 
 
 
Aula 06 - página 15 
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Com uma corrente de 0,2 A meça o ângulo α. Repita este procedimento para outros 
valores de corrente e anote os dados na tabela a seguir. Para o cálculo do campo, use a 
relação 
 
 
0
0
µ
ααµ
m
DHDHm =⇒≅=T (6.7) 
 
 
Corrente (A) Campo H (A/m) Deslocamento (x) Ângulo (rad) 
0,0 
0,2 
0,4 
0,6 
0,8 
 
 
• Faça um gráfico H x α e obtenha a inclinação da curva (use o método de ajuste por 
mínimos quadrados). A partir desta inclinação determine m; 
• Determine o momento de dipolo magnético médio do imã. 
 
 
Deveríamos ter acrescentado o torque exercido sobre o imã pelo campo magnético 
terrestre? A intensidade do campo magnético terrestre em Belo Horizonte é da ordem de 
10-5 Wb/m2. Compare este valor com os valores do campo magnético do solenóide e discuta 
se é válido desprezá-lo. 
 
 
 
Aula 06 - página 16 
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AULA 07 AULA 07
 
LEI DE BIOT-SAVART 
 
 
A lei de Biot-Savart é uma lei obtida da experimentação. Foi proposta em 1820 por 
Biot e Savart e nos diz que, em um ponto P qualquer, o vetor intensidade de campo 
magnético 
r
produzido por um elemento diferencial de corrente 
r
 é proporcional ao 
produto vetorial I x â
Hd ldI 
ld
r
12, onde â12 é o vetor unitário dirigido do elemento diferencial de 
corrente ao ponto P. O campo Hd
r
 produzido no ponto P é também inversamente 
proporcional ao quadrado da distância entre o ponto P e o elemento I (Figura 7.1). ld
r
 
 
Figura 7.1 
 
 
Assim, a contribuição para o campo magnético Hd
r
 no ponto 2, devido à corrente I 
que passa por no ponto 1, é dada por: ld
r
 
 
 24
a x d 12
R
lIH
π
d
rrr
= (7.1) 
 
 
 
Em uma verificação experimental não se consegue medir apenas a fração diferencial 
. O que observamos é o campo magnético Hd
r
H
r
 total produzido pela corrente ao passar 
por todo o comprimento do condutor. Portanto, integrando-se (7.1) temos: 
 
 
 ∫= 22 4
 x 12
R
alIdH
π
rrr
 (7.2) 
 
 
Considere uma bobina com N espiras circulares de raio R, percorrida por uma corrente 
I. O campo 
r
no centro do conjunto é dado por: H
 
 zaR
NIH r
r
2
= (7.3) 
 
Aula 07 - página 17 
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Para medir o campo H
r
 representado por (7.3), será empregado uma balança de 
torção. A montagem é feita do seguinte modo: 
 
• Bobina circular de N espiras com seu eixo alinhado perpendicularmente ao campo 
magnético terrestre; 
• Dipolo no centro do rotóide, alinhado na direção do campo terrestre; 
• Medida do ângulo de desvio com utilização de fonte de luz, espelho e régua 
graduada. 
 
Na experiência “Determinação do Momento de Dipolo de um Imã”, foi verificado que o 
ângulo de rotação da balança de torção é proporcional ao campo magnético que atua no 
dipolo: 
 
 HmD 0µα = (7.4) 
 
onde D é o coeficiente de torção do fio. A partir dos valores encontrados para D e m, 
naquela prática, podemos determinar o campo magnético que atua no dipolo: 
 
 
0µ
α
m
DH = (7.5) 
 
 
Procedimento: 
 
• Varie o número de espiras e a corrente na bobina, medindo os ângulos de desvio α, 
conforme a tabela abaixo; 
• Calcule, para cada caso, o valor teórico do campo magnético, utilizando a expressão 
(7.3) (meça o raio da bobina);• Calcule o valor do campo H, medido com a balança de torção, (expressão (7.5)); 
• Calcule o erro percentual e comente os resultados. 
• Deduza, a partir da lei de Biot-Savart (7.2), a expressão (7.3). 
 
Tabela 1 
 
N I (A) α (rad) H (medido) H (calculado) Erro (%) 
10 1 
10 2 
10 3 
20 1 
20 2 
20 3 
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AULA 08 AULA 08 
 
INDUTÂNCIA MÚTUA E ACOPLAMENTO DE FLUXO 
 
Considere dois circuitos de correntes C1 e C2 (Figura 8.1). Sendo φ12, o fluxo mútuo em 
C1 devido a C2, φ21 o fluxo em C2 devido a C1 e, ainda, φ11 e φ22 como os fluxos próprios, o 
fluxo total acoplado em cada circuito será: 
φ1 = φ11 ± φ21 (8.1) 
φ2 = φ22 ± φ12 
C1
I1
I2
C2
 
 
Figura 8.1 
 
onde os sinais referem-se ao fato dos fluxos mútuos poderem contribuir de forma a 
aumentar ou diminuir o fluxo total (acoplamento positivo ou negativo, respectivamente). Há 
também o fluxo de dispersão φ
±
d, que é a parcela do fluxo próprio não acoplado pelo circuito 
vizinho. O coeficiente de acoplamento k é um número que expressa a parcela de fluxo 
próprio de um circuito que é acoplado pelo circuito adjacente. Pode ser definido como: 
 
 
22
21
11
12
φ
φ
φ
φ
==k (8.2) 
 
 
 
 
 
Figura 8.1 – Medição de indutâncias e de tensões induzidas 
 
1ª Parte – Medição do coeficiente de acoplamento k – Método 1 
 
Sendo L11 e L22 as indutâncias próprias de duas bobinas e M o coeficiente de indutância 
mútua, o coeficiente de acoplamento k poderá ser calculado a partir da relação: 
 
 2211LLkM = (8.3) 
 
Aula 08 - página 19 
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O coeficiente de indutância mútua M poderá ser calculado a partir de medições diretas 
das indutâncias L11, L22 e LTOTAL, sendo esta última a indutância total para uma ligação em 
série das duas bobinas: 
 
 MLLLTOTAL 22211 ±+= (8.4) 
 
Procedimento: 
 
• Meça as indutâncias L11 e L22 com o impedancímetro; 
• Faça as ligações em série das duas bobinas para uma separação de 3 cm entre elas; 
• Inverta as ligações de uma das bobinas e verifique qual acoplamento é positivo e 
qual é negativo, medindo a indutância total; 
• Escolha um acoplamento para efetuar as medidas preenchendo a tabela abaixo para 
diferentes separações entre as bobinas (altura h); 
• Para cada medida obtida, calcule M e k, usando as expressões (8.3) e (8.4), e 
preenchendo a Tabela 1. 
 
 
Tabela 1- Método 1 
 
h (cm) L total (µH) M (µH) k 
3 
6 
9 
12 
15 
18 
21 
24 
 
 
2ª Parte – Medição do coeficiente de acoplamento k – Método 2 
 
Derivando, em relação ao tempo, ambos os lados da expressão 1112 φφ k= , temos 
 
 
dt
dk
dt
d 1112 φφ
= (8.5) 
 
Como a força eletromotriz induzida é proporcional a dt
dφ
, temos 
 
 
11
12
11
12
V
V
dt
d
dt
d
==
φ
k
φ
 (8.6) 
 
Assim, k poderá ser determinado medindo-se V12 e V11, sendo V12 a tensão induzida 
em uma das bobinas devido à diferença de potencial V11 aplicada na outra. 
 
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Desconecte o circuito do impedancímetro e desfaça a ligação em série; 
 
• Alimente uma das bobinas com um sinal senoidal de 10 kHz e 300 mVRMS (use o 
gerador de áudio); 
• Meça com o milivoltímetro AC a força eletromotriz induzida na outra bobina para 
cada separação h (mesmos valores da tabela anterior), preenchendo a Tabela 2; 
• Calcule k através da expressão (8.6); 
• Complete a tabela calculando o erro percentual em relação aos valores de k medidos 
pelo método 1. 
 
 
Tabela 2 
 
h V12 K (método 2) k (método1) Erro % 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• OBS: A tensão aplicada à bobina deve ser medida nos seus terminais.
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AULA 09 AULA 09
 
BLINDAGEM MAGNÉTICA PARA CAMPOS ALTERNADOS 
 
 
Um campo magnético alternado, ao incidir em um meio condutor, produz uma 
distribuição espacial de correntes com uma concentração máxima de portadores na região 
próxima à superfície do condutor. A densidade de corrente decai exponencialmente para 1/e 
a uma distância δ da superfície, denominada profundidade de penetração. Esta distância é 
dada pela expressão 
 
 
fπσµ
δ 1= (9.1) 
 
Um campo eletromagnético alternado poderá ser bloqueado, portanto, por uma placa 
de metal, desde que a espessura da placa seja várias vezes maior do que a profundidade de 
penetração δ. Esta é uma maneira de efetuarmos uma blindagem magnética para campos 
alternados. O campo incidente em um lado da placa penetra no material, induzindo 
correntes e emerge do outro lado com amplitude reduzida. 
 
Suponha uma onda eletromagnética plana, incidindo em uma placa de metal de 
espessura d. O campo, ao atravessar a placa, terá a sua amplitude reduzida para: 
 
 (9.2) deHH α−= 0
 onde fπσµδα == /1 é o coeficiente de atenuação para um meio condutor. 
 
Nesta prática, usaremos uma folha de metal para a blindagem do campo magnético 
alternado de um solenóide. A montagem consiste de dois pequenos solenóides concêntricos. 
O solenóide externo deve estar conectado a um gerador e o interno deverá ser conectado a 
um milivoltímetro (use cabo coaxial). 
 
1ª Parte – Blindagem Magnética 
 
• Ajuste o gerador para uma freqüência na faixa de centenas de kHz e sinal de saída 
com amplitude máxima; 
• Com o gerador ligado, ajuste a escala do milivoltímetro de modo a verificar o sinal 
induzido no solenóide interno; 
• Com um paquímetro, meça a espessura da blindagem (peça rígida de alumínio); 
• Calcule, usando (9.1), a profundidade de penetração (σ do alumínio = 
3,82 x 107 S/m) para freqüência do gerador e compare com a espessura medida; 
• Introduza a blindagem de alumínio e verifique a tensão induzida. Explique o 
comportamento observado. 
• µALUMÍNIO ≈ µ0 = 4π x 10-7 H/m. 
 
 
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2ª Parte – Atenuação do sinal em função da freqüência 
 
Observe que o campo magnético no solenóide interno pode ser aproximado pela 
expressão (9.2). A fem induzida no solenóide interno é proporcional à t∂
Φ∂ , onde Φ é o 
fluxo magnético acoplado. Adotando o modelo simplificado de uma onda plana incidindo em 
placa condutora, podemos supor que o fluxo, na presença da blindagem, será atenuado por 
um fator e . Temos, portanto, em boa aproximação dα−
 
 de
V
V α=
´
 (9.3) 
onde V = tensão induzida sem blindagem e V´ = tensão induzida com blindagem. 
 
Preencha os valores da tabela abaixo, medindo as tensões V e V´ para as diversas 
freqüências. 
 
f (x 10)kHz V V´ 
20 
30 
40 
50 
60 
70 
80 
90 
100 
 
• Faça um gráfico (V/V`) x f para a faixa de freqüências acima. Observe que é um 
gráfico tipo . Determine a constante B, ajustando os pontos obtidos a uma 
curva exponencial (use uma calculadora*); 
BxAey =
• Substitua, na expressão (9.3) o valor de α e deduza o significadoda constante B. 
Observe que conhecendo-se B é possível calcular a espessura da blindagem. Faça 
este cálculo. 
• Faça um gráfico ln(V/V´) x f para a faixa de freqüência 20 – 100 kHz. Calcule o 
coeficiente de correlação r para este gráfico. 
• O comportamento do sistema se ajusta às curvas feitas? Conclua. 
 
 
(*) Caso não disponha deste recurso, faça um ajuste linear para um gráfico ln(V/V´) x f .
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AULA 10 AULA 10 
 
PULSOS EM LINHAS DE TRANSMISSÃO 
 
 
Material: 
 
• Osciloscópio; 
• Gerador de pulso; 
• Cabo coaxial; 
• Paquímetro ou micrômetro; 
• Resistor variável; 
• Ponte de impedância. 
 
1.Reflexão em linha de transmissão 
 
• Conecte o osciloscópio ao gerador de pulso, sem o cabo coaxial. Ajuste o gerador e o 
osciloscópio de modo a ter um único pulso na tela do osciloscópio. A largura do pulso 
deve ser a menor possível; 
• Conecte o cabo coaxial à conexão T no gerador. Com o terminal do cabo em aberto, 
observe a configuração do sinal do osciloscópio; 
• A reflexão em uma linha de transmissão é descrita pelo coeficente de reflexão 
, ou seja, a ampliitude do sinal refletido sobre o incidente. Para uma linha 
de transmissão com impedância característica Z, o coeficiente de reflexão na carga 
é: 
+−=Γ VV /
 
 
 
OL
OL
ZZ
ZZ
+
−
=Γ (10.1) 
 
 onde é a impedância da carga (Figura 10.1). LZ
 
Figura 10.1 
 
 
• Analise a expressão (10.1) e veja o que acontecerá com o sinal refletido se o 
terminal do cabo estiver em curto ( )0=LZ e em aberto ( ; )∞→LZ
• Coloque o cabo em curto e verifique o sinal no osciloscópio. Desenhe o sinal e 
explique o significado de cada pulso observado, para os casos do terminal cabo em 
aberto e terminal em curto. 
 
 
 
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3. Determinação da velocidade de propagação do sinal 
 
• Em uma amostra do cabo coaxial, meça os valores a e b, sendo a o diâmetro do 
condutor interno e b o diâmetro do condutor externo (use um paquímetro); 
• Meça a capacitância desta amostra com o impedancímetro e determine a 
capacitância por metro do cabo; 
• A capacitância por unidade de comprimento de um cabo coaxial é 
)/(
2
abLn
C πε= . 
Com as dimensões da amostra e o valor medido para C, calcule o valor da 
permissividade ε do cabo; 
• A velocidade de propagação do sinal é 
µε
1
=v . Calcule esta velocidade e compare, 
em termos percentuais, com a velocidade da luz no vácuo 3 m/s. 8100, ×
• Determine o tempo de ida e volta do pulso refletido verificando o sinal no 
osciloscópio e use para determinar o comprimento do cabo; tvL ∆=
• Calcule o erro percentual na determinação do comprimento do cabo. 
 
4. Casamento de impedância 
 
• Conecte o resistor variável no terminal do cabo. Observe que este resistor irá simular 
o efeito de uma carga ligada ao gerador. Observe o sinal resultante no osciloscópio, 
variando o valor da carga; 
 
• Ajuste o resistor, de maneira a anular qualquer reflexão. Observe que neste caso 
toda potência fornecida pelo gerador vai para a carga, sem perdas por reflexão. 
Neste caso diz-se que houve casamento de impedância ou que a linha está casada. 
 
5. Casamento de impedância 
 
• Analise a expressão para Γ e verifique qual deve ser o valor da impedância da carga 
 para que ocorra o casamento de impedância (reflexão nula); LZ
 
Com um potenciômetro simulando a carga, efetue o casamento e meça agora o 
valor da carga correspondente, determinando a impedância característica do cabo 
por este método. 
 
• Compare com o valor para a impedância característica de um cabo coaxial, dado por: 
 
 
a
b
O ln2
1
ε
µ
π
=Z (10.2)
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AULA 11 AULA 11 
 
DIAGRAMA DE RADIAÇÃO ANTENAS 
 
1. RESUMO TEÓRICO: 
 
Se uma linha de transmissão na qual se propaga energia, encontra-se aberta em um 
extremo, teoricamente haveria uma reflexão total do sinal a partir desta descontinuidade 
entretanto, em altas freqüências, esta descontinuidade pode se apresentar como uma 
impedância finita (descasada com a impedância característica da linha de transmissão) e 
existirá uma radiação de energia através da abertura. No caso de um guia de onda 
retangular, a emissão ocorrerá em várias direções. 
 
Para melhorar a diretividade do fluxo de energia irradiado pelo guia e buscar a melhor 
transferência de energia através do casamento de impedâncias, deve-se conectar uma 
antena na extremidade aberta da linha de transmissão. Assim sendo, a quantidade de 
energia irradiada será função da direção em que as ondas estão sendo emitidas. 
 
Pode-se mapear essa dependência através de um gráfico denominado “diagrama de 
radiação da antena”. Esse diagrama relaciona a energia (ou, geralmente, a potência) 
transmitida por uma antena em função do ângulo com a antena transmissora, a uma 
distância fixa. Se a antena é a de recepção, o diagrama será o mesmo, porém neste caso 
mostrará a sensibilidade de recepção em todas as direções. 
 
Um diagrama de radiação de uma antena geralmente mostra a existência de vários 
lóbulos: um lóbulo principal (onde está concentrada a maior parte da potência transmitida 
ou recebida) e outros lóbulos menores. Normalmente deseja-se manter a potência nos 
lóbulos secundários o mais baixo possível. Este objetivo faz parte do projeto da antena. 
 
 
 
2. PROCEDIMENTOS: 
 
• Primeiramente, alinhe fisicamente as duas antenas (transmissão e recepção) de 
forma que a escala da corneta móvel (transferidor) indique 0º; 
 
 
 
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2.1 - Para ligar o gerador de microondas siga os passos a seguir: 
 
• Verifique se a tecla RES/REFL ON do alimentador do Klystron está desligada (botão 
para FORA). Ligue a chave de alimentação. Aguarde alguns segundos até a fonte 
estabilizar (a fonte utiliza “válvulas”). Pressione a tecla de modulação para a posição 
correspondente a onda quadrada de 1 kHz e ajuste a tensão para aproximadamente 
100V; 
• Após o medidor de tensão já mostrar deflexão anterior, pressione a tecla RES/REFL 
ON. Este procedimento alimenta a válvula klystron, que é o nosso gerador de 
microondas; 
• Ajuste a tensão em torno de 200V. Faça um ajuste fino desta tensão até conseguir 
um deslocamento máximo no ponteiro do medidor no conjunto de recepção. O 
amperímetro da fonte deverá indicar uma corrente de modulação entre 10 a 30 mA. 
Nestas condições sabemos que o gerador de microondas está ativo e o sinal de 
microondas está sendo transmitido desde a antena de transmissão até a antena de 
recepção; 
 
2.2 - Observações sobre a propagação da onda no “ar”: 
 
• Observe a atenuação da onda emitida colocando próximo à zona de propagação 
vários materiais como vidro, madeira, etc. Observe também o efeito da reflexão da 
onda colocando uma placa de alumínio ao lado da corneta móvel, com esta 
deslocada da sua posição de equilíbrio de um ângulo >90º; 
 
2.3 – Levantamento do diagrama de radiação da antena: 
 
• Ajuste a posição das 2 antenas de forma a obter a máxima deflexão no medidor. 
Com o auxílio do atenuador e dos botões de ganho no medidor, ajuste a deflexão 
para a indicação de 0 dB no medidor. Este procedimento garante que as antenas 
estão alinhadas na direção de seu máximo de radiação; 
 
• Gire a corneta de recepção para a esquerda de 5º em 5º e anote a indicação, em dB, 
no medidorde recepção. Observe que, a medida que você vai tirando as antenas de 
alinhamento, o sinal vai diminuindo na recepção, e o medidor vai indicando, na 
escala em dB, um valor crescente: este valor é referente à quantidade relativa de 
atenuação devido ao desalinhamento entre as antenas e é tomado em decibel (dB). 
Veja a definição de dB no final deste texto. Disponha os resultados na tabela abaixo; 
 
• Repita o procedimento girando a corneta para a direita; 
 
• Com os dados obtidos, trace o diagrama de radiação da antena. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ângulo 
atenuação (dB) 
lado direito 
atenuação (dB) 
lado esquerdo 
5º 
10º 
15º 
20 º 
25º 
30º 
35º 
40º 
45º 
 
Obs.: 
• O decibel (dB) é a unidade normalmente utilizada como medida relativa de potência. 
É definido por: 
 
 
 








=
refP
Plog.10G (11.1) 
 
 
Pref é uma potência. Se G for positivo, diz-se que houve amplificação em relação ao sinal de 
referência; caso contrário, houve uma atenuação. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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AULA 12 AULA 12 
 
EFEITO DOPPLER – ESTUDO QUALITATIVO 
 
 
1. RESUMO TEÓRICO: 
 
O efeito Doppler é o desvio de freqüência entre um sinal transmitido desde uma fonte estacionária 
e seu eco desde um alvo em movimento. O sinal pode ser de origem acústica ou uma onda 
eletromagnética. 
 
Dentro do campo de microondas existem várias aplicações práticas para o efeito Doppler, dentre 
elas podemos citar o radar utilizado pela polícia rodoviária para controlar limites de velocidade nas 
estradas. Neste caso, o desvio de freqüência observado é diretamente proporcional à velocidade do 
veículo (alvo) observado. 
 
Uma outra aplicação é o alarme anti-roubo (detector de presença), onde a presença de um alvo 
em movimento provoca um desvio de freqüência e dispara um alarme. 
 
Para detectar o movimento de um alvo, o radar Doppler transmite um sinal não modulado de 
forma cossenoidal, onde “ω” é a freqüência angular. 
 
 ( ) ( )tAtF ⋅⋅= ωcos (12.1) 
 
Tomando como referência a figura 1, podemos verificar que o tempo necessário para o sinal viajar 
desde o transmissor até o alvo é igual a D/c, sendo D a distância até o alvo e c a velocidade de 
propagação do sinal (velocidade da luz no vácuo, no caso). 
 
 
D
f
c
Vd
 
Figura 12. 1 
 
 
Se o alvo está em movimento, a distância D varia com o tempo. Vamos levar em consideração 
que a velocidade do alvo (Vd) é muito menor que a velocidade de propagação do sinal (c). 
 
 Aula 11– página 29 
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O sinal que chega ao alvo foi transmitido em um tempo D/c anterior. Portanto, pode ser escrito: 
 
( ) ( )[ ] ( cDcDcD tAtAtF )⋅−⋅⋅=−⋅=− ωωω coscos (12.2) 
 
Uma parte deste sinal que chega ao alvo é refletida e retorna ao receptor (colocado junto ao 
transmissor). Para o receptor, este sinal foi transmitido em um tempo 2 vezes D/c anterior e pode ser 
escrito como: 
 
 ( ) ([ cDcD tArtFr )]⋅−⋅=⋅− 2cos2 ω (12.3) 
Fr = Sinal que chega ao receptor 
 
 
Ar= Amplitude do sinal recebido 
 
 
Para simplificar, vamos assumir que a velocidade do alvo é constante e que a distância entre o 
radar e o alvo pode ser escrita como sendo: 
 
 ( odo ttVDD − )±= (12.4) 
 
 onde: = distância entre o radar e o alvo no tempo t oD o
 V = velocidade do alvo (componente radial) d
 
O sinal "mais" aplica-se quando o alvo se afasta do radar e o sinal "menos" quando este se 
aproxima. 
 
O sinal que chega ao receptor pode ser descrito como: 
 
 ( )ocVcVcD tttArFr dd ⋅⋅⋅±⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅= ωωωω 222cos m (12.5) 
 
ou 
 
 ( ) ([ ]odcDod ttArFr )⋅±⋅⋅−⋅⋅= ωωωω 2cos m (12.6) 
 
onde: 
c
Vd
d ⋅⋅= ωω 2 é o desvio na freqüência angular causado pelo movimento do alvo. 
 
As demais parcelas na equação são desvios de fase fixos, não variantes com o tempo (considerando 
que a velocidade do alvo é constante). 
 
A freqüência é chamada de freqüência Doppler e é definida como: df
 
 c
Vff ddd ⋅⋅=⋅
= 2
2 π
ω
 (12.7) 
 
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Para determinar esta freqüência com alguma precisão, o processo de medida deve ser estendido por 
um intervalo de tempo necessário para produzir um número suficiente de períodos do sinal Doppler (fd). 
Durante "m" períodos, o alvo terá viajado a distância: 
 
 o
d
d
m
f
cm
f
mVd λ⋅=
⋅
⋅
=⋅=
22 (12.8) 
 
Por exemplo, para m=10, o alvo terá viajado uma distância de 5 comprimentos de onda do sinal. 
 
Assumindo que um radar transmite um sinal na freqüência de 10,565GHz e o alvo é um carro com 
a velocidade de 50km/h na direção do radar, teremos a seguinte freqüência Doppler: 
 
Hzfd 980600.3000.000.300
000.50000.000.565.102
=
×
××
= 
 
Para se conseguir medir este sinal com alguma precisão, o carro deve ter percorrido: 
 
md 142,0
000.000.565.102
000.000.30010
=
×
×
= 
A figura 12.2 mostra o diagrama de blocos de um radar Doppler simples. 
 
 
Transmissor
Receptor Misturador Limitador Amplificador Freqüência
Ft
Fr
 
Figura 12.2 
 
No misturador, uma fração do sinal do transmissor é misturada ao sinal recebido (eco). A 
diferença de freqüências (que é igual à freqüência Doppler) é amplificada, limitada e contada. O número 
de pulsos é proporcional à velocidade do alvo. 
 
 
2. PROCEDIMENTOS PRÁTICOS: 
 
a) Fazer a montagem da figura 3, ajustando o oscilador em 9,0GHz. 
 
 
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Um circulador permite-nos utilizar a mesma antena na transmissão e na recepção (funciona como 
uma híbrida). A maior parte do sinal gerado pelo oscilador passa através do circulador em direção à 
antena e é irradiada segundo a direção na qual ela está orientada. Uma pequena fração do sinal passa 
pelo circulador no sentido inverso e o próprio circulador funciona como misturador. Também pequenas 
reflexões produzidas por um pequeno descasamento da antena servem de sinal local para o receptor. 
 
O alvo usado nesta experiência deve ter a velocidade constante e viajar no sentido de propagação 
do sinal. 
 
Um osciloscópio conectado ao detector irá observar a freqüência Doppler que é proporcional à 
velocidade do alvo. Ajustar para sinal DC e a sensibilidade vertical em 50 mV/cm. O sinal indicado no 
osciloscópio é suficiente para auxiliar no ajuste da freqüência. 
 
 
 
b) Colocar um alvo metálico em movimento e observar o que ocorre no osciloscópio (agora 
conectado para AC). 
 
c) Escolher um ajuste adequado da sensibilidade vertical do osciloscópio e da base de tempo 
horizontal de forma a ser possível avaliar a freqüência do sinal recebido (freqüência Doppler). Calcular a 
velocidade do alvo. 
 
d) Utilizando uma placa metálica faça movimentos com a placa em frente à antena (afastado cerca 
de 1 ou 2 metros) com a placa perpendicular à direção de propagação da onda e com a placa inclinadae veja a diferença na amplitude do sinal no osciloscópio. Baseando na Lei da Reflexão (ângulo de 
incidência igual a ângulo de reflexão) explique a diferença na amplitude. 
 
 
 
 
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Texto por: Luciano A. Bossi – Agosto/2002 
 
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