Matemática ESAF Progressão Geométrica

Prévia do material em texto

www.olaamigos.com.br	
   1	
  
Curso	
  Avançado	
  de	
  Matemática	
  ESAF	
  –	
  Prof.	
  Sérgio	
  Carvalho	
  
Aula	
  2	
  –	
  Progressão	
  Geométrica	
  –	
  P.	
  G.	
  
	
  
# Conceito: 
Progressão Geométrica, ou simplesmente P.G., é uma sequência em que cada termo, a 
partir do segundo, é o produto do anterior por uma constante. 
 
# Representação: 
Designaremos o primeiro elemento de uma P.G. por a1 , o segundo elemento por a2 e assim 
sucessivamente, até o último elemento que é normalmente representado por an. 
Assim, uma P.G. será representada desta forma: P.G. ( a1, a2, a3, a4, ..., an ). 
A representação acima se refere a uma P.G. finita com n elementos. Se a sequência for 
infinita, a representação será acrescida de reticências: ( a1, a2, a3, a4, ... ). 
 
# Terminologia: 
Vejamos a seguinte P.G.: ( 1, 2, 4, 8, 16, 32) 
Um termo qualquer é identificado por aK, onde k indica a posição deste termo. 
Assim, temos, por exemplo, que o primeiro termo, a1, é igual a 1, enquanto a5 se refere ao 
quinto termo desta P.G., igual a 16. Já o terceiro termo, a3, é igual a 4. 
Como dito, a diferença entre dois termos consecutivos de uma P.G. é uma constante, a qual 
será chamada de razão da P.G., designada pela letra q. 
Para descobrir o valor da razão, basta dividir dois elementos consecutivos. Há, portanto, 
várias formas de calcular o q. Vejamos: 
q = a2 / a1 = 2 / 1 = 2 
q = a3 / a2 = 4 / 2 = 2 
q = a4 / a3 = 8 / 4 = 2 
 
# Progressão Geométrica Crescente 
Uma P.G. é dita crescente quando cada termo é maior que o anterior. 
Existem duas situações: 
1a) Quando a P.G. possui termos positivos. Neste caso, a razão q é maior do que 1. 
Exemplos: 
P.G. ( 1, 2, 4, 8, ... ) à q = 2 
P.G. ( 5, 25, 125, ... ) à q = 5 
 
	
  
www.olaamigos.com.br	
   2	
  
2a) Quando a P.G. possui termos negativos. Neste caso, a razão q varia entre 0 e 1. 
Exemplos: 
P.G. ( -100, -50, -25, ... ) à q = 1/2 (q=0,5) 
P.G. ( -99, -33, -11) à q = 1/3 (q=0,333...) 
 
# Progressão Geométrica Constante: 
Uma progressão geométrica é dita constante quando os termos que a compõem são todos 
iguais. 
Existem duas situações possíveis. 
1a) P.G. em que todos os termos são nulos (iguais a zero). Neste caso, a1=0 e a razão q é 
um valor qualquer. 
Exemplo: a1=0 e q=5 à P.G. (0, 0, 0, 0, 0) 
 
2a) P.G. com termos iguais e não nulos. Neste caso, a1 é um valor qualquer e a razão q é 
igual a 1. 
Exemplo: a1=7 e q=1 à P.G. (7, 7, 7, 7, 7, 7, 7) 
 
# Progressão Geométrica Decrescente 
Uma P.G. é dita decrescente quando cada termos é menor que o anterior. 
Também aqui existem duas situações possíveis. 
1a) Quando a P.G. possui termos positivos. Neste caso, a razão q varia entre 0 e 1. 
Exemplos: 
P.G. ( 100, 50, 25, ... ) à q = 1/2 
P.G. (99, 33, 11) à q = 1/3 
 
2a) Quando a P.G. possui termos negativos. Neste caso, a razão q é maior do que 1. 
Exemplos: 
P.G. (-2, -4, -8, -16, -32) à q = 2 
P.G. ( -5, -15, -45, -135) à q = 3 
 
# Progressão Geométrica Alternante 
Uma P.G. é dita alternante quando cada termo tem sinal contrário ao do termo anterior. 
Para que isto ocorra, basta que a razão q seja negativa: q<0. 
Exemplo: 
P.G. ( 7, -7, 7, -7, 7, -7, 7) à q = -1 
	
  
www.olaamigos.com.br	
   3	
  
# Progressão Geométrica Estacionária 
Uma P.G. é dita estacionária quando o primeiro termo é diferente de zero (a1≠0) e todos os 
demais termos são iguais a zero. Para tanto, a razão deve ser nula (q=0). 
Exemplo: 
P.G. ( 7, 0, 0, 0, 0, 0, 0) à a1=7 e q=0 
 
# Notações Especiais: 
- Para 3 termos: (x, xq, xq2) ou (x/q, x, xq) 
 
- Para 4 termos: (x, xq, xq2, xq3) 
 
- Para 5 termos: (x, xq, xq2, xq3, xq4) ou (x/q2, x/q, x, xq, xq2). 
 
# Exercícios de Fixação: 
 
01) Qual é o número que deve ser somado a 1, 9 e 15 para termos, nessa ordem, três 
números formando uma P.G.? 
 
02) Sabendo que x, x+9 e x+45 estão em P.G., determine o valor de x. 
 
03) Obtenha uma P.G. de quatro elementos, em que a soma dos dois primeiros é 12 e a 
soma dos dois últimos é 300. 
 
04) A soma de três números que formam uma P.A. crescente é 36. Determine esses 
números, sabendo que, se somarmos 6 unidades ao último, eles passam a formar uma P.G. 
 
# Termo Geral de uma P.G.: 
Como sabemos, o próximo termo de uma P.G. é igual a ele próprio multiplicado pela 
razão q. 
Assim, para um P.G. qualquer, podemos dizer que o segundo termo é igual ao primeiro 
termo, a1, vezes a razão q: 
a2 = a1 . q 
 
Já o terceiro termo da P.G. é resultado do produto do segundo termo pela razão: 
a3 = a2 . q 
	
  
www.olaamigos.com.br	
   4	
  
 
Assim, substituindo aquela penúltima informação na equação anterior, teremos: 
 
a3 = a2 . q à a3 = (a1 . q) . q à a3 = a1 . q2 
 
Vimos que o quarto termo da P.G. é resultado do produto do terceiro pela razão. Ou seja: 
a4 = a3 . q 
E já que: a3 = a1 . q2 
 
Então, teremos que: 
a4 = a3 . q à a4 = (a1 . q2) . q à a4 = a1 . q3 
 
Já temos, até aqui, o seguinte: 
a2 = a1 . q 
a3 = a1 . q2 
a4 = a1 . q3 
 
Daí, seguindo este mesmo raciocínio, teremos também que: 
a5 = a1 . q4 
a6 = a1 . q5 
a7 = a1 . q6 
 
Assim, generalizando, diremos que, partindo-se do primeiro termo (a1), a fórmula do termo 
geral de uma P.G. será dado por: 
 
an = a1 . q(n – 1) 
 
De outra forma, é também possível calcular o valor de um termo qualquer da P.G., tendo 
como ponto de partida um outro termo diferente do primeiro. 
Quando usamos o a1 como referência, o parêntese da fórmula fica com a subtração (n – 1). 
Vejamos: 
	
  
www.olaamigos.com.br	
   5	
  
an = a1 . q(n – 1) 
 
Daí, se o elemento de referência for, por exemplo, o a2, a fórmula mudará e o parêntese terá 
a subtração (n – 2). Assim: 
an = a2 . q(n – 2) 
 
Assim, teremos: 
a5 = a2 . q3 
a6 = a2 . q4 
a7 = a2 . q5 
 
Na mesma linha de raciocínio, se o elemento de referência agora for o a3, a fórmula mudará 
e o parêntese terá a subtração (n – 3). Assim: 
 
an = a3 . q(n – 3) 
 
Assim, teremos: 
a5 = a3 . q2 
a6 = a3 . q3 
a7 = a3 . q4 
 
Generalizando, podemos então dizer que o termo geral da P.G., tendo por base um 
elemento qualquer am (diferente de a1), será dado por: 
 
an = am . q(n – m) 
 
# Resumo da ópera: 
– Avançando n termos para a direita, a partir de um referencial qualquer, multiplicamos n 
vezes a razão q àquele termo inicial. 
Vejamos: 
Do a1 para o a3 à avanço de 2 termos à multiplicamos a1 . q2 (= a3) 
Do a3 para o a8 à avanço de 5 termos à multiplicamos a3 . q5 (= a8) 
	
  
www.olaamigos.com.br	
   6	
  
Do a5 para o a12 à avanço de 7 termos à multiplicamos a5 . q7 (= a12) 
 
– Recuando n termos para a esquerda, a partir de um referencial qualquer, dividimos n 
vezes a razão q daquele termo inicial. 
Vejamos: 
Do a3 para o a1 à recuo de 2 termos à dividimos a3 / q2 
Do a8 para o a3 à recuo de 5 termos à dividimos a8 / q5 
Do a12 para o a5 à recuo de 7 termos à dividimos a12 / q7 
 
# Exercícios de Fixação: 
01) Obtenha o 10o e o 15o termos da P.G. (1, 2, 4, 8, ...). 
02) Se o 8o termo de uma P.G. é ½ e a razão é ½, qual é o primeiro termo desta 
progressão? 
03) O quinto e o sétimo termos de uma P.G. de razão positiva valem, respectivamente, 10 e 
16. Qual é o sexto termo desta P.G.? 
04) Calcule o número de termos da P.G. que tem razão ½ , 1o termo 6.144 e último termo 
igual a 3. 
05) Interpolar 8 meios geométricos entre 5 e 2.560. 
06) Intercalar 6 meios geométricos entre 640 e 5. 
 
# Propriedades de uma P.G.: 
PRIMEIRA: um termo qualquer de uma P.G. pode ser calculado como a raiz quadrada do 
produto entre o seu antecedente e o seu consequente: 
 𝒂𝒙 = 𝒂𝒙!𝟏.𝒂𝒙!𝟏 
 
Assim, teremos: 𝒂𝟓 = 𝒂𝟒.𝒂𝟔 
 𝒂𝟖 = 𝒂𝟕.𝒂𝟗 
 
	
  
www.olaamigos.com.br7	
  
 
SEGUNDA: o produto de dois termos equidistantes dos extremos de uma P.G. finita é igual 
ao produto dos seus extremos. 
Vejamos a seguinte P.G.: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128) 
Se multiplicarmos seus extremos, teremos: 
(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128) 
a1 . a8 = 1 . 128 = 128 
 
Avançando do a1 para o a2, e recuando do a8 para o a7, e multiplicando estes termos, 
teremos: 
(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128) 
a2 . a7 = 2 . 64 = 128 
 
Avançando do a2 para o a3, e recuando do a7 para o a6, e multiplicando estes termos, 
teremos: 
(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128) 
a3 . a6 = 4 . 32 = 128 
 
Finalmente, avançando do a3 para o a4, e recuando do a6 para o a5, e multiplicando estes 
termos, teremos: 
(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128) 
a4 . a5 = 8 . 16 = 128 
 
 
# Soma dos termos de uma P.G. Finita: 
Será dada pela seguinte fórmula: 𝑺𝒏 =   (𝒂𝟏.𝒒𝒏 − 𝒂𝟏)𝒒 − 𝟏 
 
Daí: 
 𝑺𝒏 =  𝒂𝟏. (𝒒𝒏 − 𝟏)𝒒 − 𝟏 
 
	
  
www.olaamigos.com.br	
   8	
  
# Exercícios de Fixação: 
01) Calcule a soma dos 10 termos iniciais da P.G. (1, 3, 9, 27, ...). 
02) Se S3=21 e S4=45 são, respectivamente, a soma dos três e quatro primeiros termos de 
uma P.G. cujo termo inicial é 3, determine a soma dos cinco primeiros termos da 
progressão. 
03) Quantos termos da P.G. (1, 3, 9, 27, ...) devem ser somados para que a soma dê 3.280? 
 
# Soma dos termos de uma P.G. Infinita: 
Será dada pela seguinte fórmula: 𝑺𝒏 =   𝒂𝟏𝟏 − 𝒒 
 
# Exercícios de Fixação: 
01) Calcule a soma dos termos da P.G. (1, 1/3, 1/9, 1/27, ...). 
02) Calcule a soma dos termos da P.G. (2, -1, 1/2, -1/4, ...). 
 
# Questões de Concurso: 
 
01. (ESAF/2013) Em uma progressão geométrica, tem-se a1=2 e a5=162. Então, a soma 
dos três primeiros termos dessa progressão geométrica é igual a: 
a) 26 
b) 22 
c) 30 
d) 28 
e) 20 
 
02. (ESAF/2014) O valor da série geométrica 2+1+1/2+1/4+1/8+1/16+... é igual a: 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
e) 8 
 
 
	
  
www.olaamigos.com.br	
   9	
  
03. (ESAF/2012) Uma sequência de números k1, k2, k3, k4,....,kn é denominada Progressão 
Geométrica ─ PG ─ de n termos quando, a partir do segundo termo, cada termo dividido 
pelo imediatamente anterior for igual a uma constante r denominada razão. Sabe-se que, 
adicionando uma constante x a cada um dos termos da sequência (p - 2); p; e (p + 3) ter-se-
á uma PG. Desse modo, o valor de x, da razão e da soma dos termos da PG são, 
respectivamente, iguais a: 
a) (6 - p); 2/3; 21. 
b) (p +6); 3/2; 19. 
c) 6; (6 – p); 21. 
d) (6 - p); 3/2; 19. 
e) (p - 6); p; 20.