Progressão Aritmética

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-Sequências são conjuntos cujos elementos estão 
dispostos em uma determinada ordem, devido a 
uma lei ou aleatoriamente. 
 Lei de recorrência 
Sequência de Fibonacci 
F = (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...) 
-Note que cada termo, a partir do terceiro, é a soma 
dos dois termos imediatamente anteriores. 
Logo, {
𝑎1 = 1
𝑎2 = 1
𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−2 + 𝑎𝑛−1, 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑛 ≥ 3
 
 Lei de formação (termo geral) 
-Um conjunto de informações que determina todos 
os termos de uma sequência e a ordem em que são 
apresentados é chamado lei de formação da 
sequência. 
Exemplos 
Seja (an) a sequência tal que {
𝑎1 = 3
𝑎𝑛+1 = 4 + 𝑎𝑛
 
-As informações acima determinam todos os 
elementos da sequência e a ordem em que eles são 
apresentados. 
-Progressão aritmética (PA) é toda sequência 
numérica em que cada termo, a partir do segundo, 
é igual à soma do termo anterior com uma 
constante r. 
-O número r é chamado de razão da progressão 
aritmética. 
Exemplos 
(a) A sequência (4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 29) é uma 
PA finita de razão r = 5. 
(b) (18, 10, 2, –6, –14, ...) é uma PA infinita de razão 
r = -8. 
(c) (4, 4, 4, 4, 4, ...) é uma PA infinita de razão r = 0. 
OBS.: Considere uma PA qualquer de razão r: 
Observe que: 
a2 – a1 = r a3 – a2 = r a4 – a3 = r an+1 – an = r 
Ou seja, a diferença entre dois termos consecutivos 
quaisquer é constante e igual à razão r. 
 PA crescente – razão r positiva. 
 PA decrescente – razão r negativa. 
 PA constante – razão r nula (r = 0). 
-Para agilizar a resolução de certos problemas, 
convém representar uma PA de maneira genérica. 
Mostramos a seguir algumas dessas 
representações: 
▪ A sequências (x, x + r, x + 2r) é uma PA de 
três termos e razão r, para quaisquer valores 
de x e r; 
▪ A sequências (x – r, x, x + r) é uma PA de 
três termos e razão r, para quaisquer valores 
de x e r. Essa representação é mais 
adequada quando se pretende determinar 
uma PA de três termos, conhecendo-se a 
soma deles. 
▪ A sequência (x, x + r, x + 2r, x + 3r) é uma 
PA de quatro termos e razão r, para 
quaisquer valores de x e r. 
▪ A sequência (x – 3r, x – r, x + r, x + 3r) é uma 
PA de quatro termos e razão 2r, para 
quaisquer valores de x e r. Essa 
representação é mais adequada quando se 
pretende determinar uma PA de quatro 
termos, conhecendo-se a soma deles. 
 
 
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-De maneira geral: 
Numa PA (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an, ...) de razão r, 
temos: an = a1 + (n – 1)r 
 
-Outra fórmula do termo geral de uma PA: 
Numa PA (a1, a2, a3, a4, a5, ..., an, ...) de razão r, 
temos: an = ak + (n – r)k 
-Essa identidade é outra forma de apresentar a 
fórmula do termo geral da PA. 
-Note que, se k = 1, obtemos a fórmula anterior: an 
= a1 + (n – 1)r. 
 
Exemplos 
1. Determine o 51º termo da PA (4, 10, 16, 22, ...) 
Temos que:{
𝑎1 = 4
𝑟 = 6
𝑛 = 51
 
Usando a fórmula do termo geral da PA an = a1 + (n 
– 1)r 
a51 = 4 + (51 – 1) • 6  a51 = 4 + 50 • 6 = 304. 
Concluímos, assim, que o 51° termo da PA é 304. 
 
2. Obtenha a razão da PA (a1, a2, a3, ...) tal que a1 
= 7 e a5 = 8. 
Aplicando a fórmula do termo geral an = a1 + (n – 1)r 
da PA para n = 5, temos: 
a5 = a1 + (5 – 1)r  a5 = a1 + (5 – 1)r 
a5 = a1 + 4r  8 = 7 + 4r  𝑟 =
1
4
 
Logo, concluímos que a razão da PA é 
1
4
. 
-A soma Sn dos n primeiros termos da PA (a1, a2, a3, 
a4, a5, ..., an, ...) é dada por: 
𝑺𝒏 =
(𝒂𝟏 + 𝒂𝒏) ∙ 𝒏
𝟐
 
 
 
Exemplo 
Calcule a soma dos 20 primeiros termos da PA(3, 
7, 11, 15, ...) 
Calculando a20 pela fórmula do termo geral, an = a1 
+ (n – 1)r, temos: 
a20 = 3 + (20 – 1) • 4  a20 = 79 
Aplicando a fórmula 𝑆𝑛 =
(𝑎1+𝑎𝑛)∙𝑛
2
 para n = 20, 
temos: 
𝑆20 =
(3 + 79) ∙ 20
2
 
 Logo, S20 = 820. 
 
1. (UFRGS) Em uma progressão aritmética em que 
o primeiro termo é 23 e a razão é -6, a posição 
ocupada pelo elemento -13 é: 
(a) 8ª 
(b) 7ª 
(c) 6ª 
(d) 5ª 
(e) 4ª 
2. Qual é o centésimo primeiro termo de uma PA 
cujo primeiro termo a razão é 6? 
(a) 507 
(b) 607 
(c) 701 
(d) 707 
(e) 807 
3. Qual é a posição do termo 109 em uma PA de 
razão 3, cujo primeiro termo é igual a 10? 
(a) 30ª 
(b) 31ª 
(c) 32ª 
(d) 33ª 
(e) 34ª 
 
 
 
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4. (ENEM) O gráfico, obtido a partir dos dados do 
Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento 
do número de espécies da fauna brasileira 
ameaçadas de extinção. Se mantida, pelos 
próximos anos, a tendência de crescimento 
mostrada no gráfico, o número de espécies 
ameaçadas de extinção em 2011 será igual a: 
 
(a) 465 
(b) 493 
(c) 498 
(d) 538 
(e) 699 
5. (ENEM) O número mensal de passagens de uma 
determinada empresa aérea aumentou no ano 
passado nas seguintes condições: em janeiro foram 
vendidas 33.000 passagens; em fevereiro, 34.500; 
em março, 36.000. Esse padrão de crescimento 
manteve-se para os meses subsequentes. Quantas 
passagens foram vendidas por essas empresas em 
julho do ano passado? 
(a) 38.000 
(b) 40.500 
(c) 41.000 
(d) 42.000 
(e) 48.000 
 
 
 
6. (ENEM) A prefeitura de um pequeno município do 
interior decide colocar postes para iluminação ao 
longo de uma estrada retilínea, que inicia em uma 
praça central e termina numa fazenda na zona rural. 
Como a praça já possui iluminação, o primeiro poste 
será colocado a 80 metros dela, o segundo, a 100 
metros, o terceiro, a 120 metros, e assim 
sucessivamente, mantendo-se sempre uma distância 
de 20 metros entre os postes, até que o último poste 
seja colocado a uma distância de 1380 metros da 
praça. 
Se a prefeitura pode pagar, no máximo, R$8000 por 
poste colocado, o maior valor que poderá gastar 
com a colocação desses postes é: 
(a) R$512.000 
(b) R$520.000 
(c) R$528.000 
(d) R$552.000 
(e) R$584.000 
7. (UEL-PR) Tome um quadrado de 20 cm (figura 1) 
e retire sua metade (figura 2). Retire depois um 
terço do que restou (figura 3). Continue o mesmo 
procedimento, retirando um quarto do que restou, 
depois um quinto do novo resto, e assim por diante. 
 
Desse modo, qual será a área da figura 100? 
(a) 0 cm² 
(b) 2 cm² 
(c) 4 cm² 
(d) 10 cm² 
(e) 40 cm²