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11/09/2018
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Introdução ao estudo 
das probabilidades
Conceitos gerais
Probabilidades
• Razão do número de elementos de um evento para o número de
elementos do espaço amostral
Evento
• Resultado de um experimento associado a uma probabilidade
Espaço amostral
• Conjunto de todos os possíveis resultados de um evento. Em matemática
é representado pelo símbolo “Ω”
Conceitos gerais
Exemplo de espaço amostral
• Um dado é lançado uma vez. Quais são os possíveis resultados
obtidos?
Resposta: Os possíveis resultados do lançamento de um dado são 1, 2, 3,
4, 5 e 6.
POSSÍVEIS RESULTADOS = ESPAÇOAMOSTRAL
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Conceitos gerais
Exemplo de evento
• Qual a probabilidade de lançar um dado e obter o valor 2 (evento)?
Resposta:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Observe que em 6 possíveis resultados, o valor 2 pode aparecer uma vez
P (x =2) = 1 em 6 possíveis resultados
P(x = 2) = 1/6 = 0,16 ou 16,6%
Conceitos gerais
Exemplo de evento
• Qual a probabilidade de lançar um dado e obter o valor 5 (evento)?
Resposta:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Observe que em 6 possíveis resultados, o valor 5 pode aparecer uma vez
P (x =5) = 1 em 6 possíveis resultados
P(x = 5) = 1/6 = 0,16 ou 16,6%
Conceitos gerais
Probabilidades expressas em proporções
• Qual a probabilidade de lançar um dado e obter o valor 5 (evento)?
Resposta:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Observe que em 6 possíveis resultados, o valor 5 pode aparecer uma vez
P(x = 5) = 1/6 = 0,16 ou 16,6%
Um em cada seis lançamentos de um dado resulta no valor “5”
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Conceitos gerais
Exemplo de evento
• Qual a probabilidade de lançar um dado e obter o maior do que 3
(evento)?
Resposta:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Observe que em 6 possíveis resultados, um valor maior do que 3 pode
aparecer três vezes
P (x >3) = 3 em 6 possíveis resultados
P(x > 3) = 3/6 = 0,5 ou 50%
Conceitos gerais
Probabilidades expressas em proporções
• Qual a probabilidade de lançar um dado e obter o maior do que 3
(evento)?
Resposta:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Observe que em 6 possíveis resultados, um valor maior do que 3 pode
aparecer três vezes
P(x > 5) = 3/6 = 0,5 ou 50%
Um em cada dois lançamentos de um dado resulta em um valor > 3
Conceitos gerais
Evento aleatório
•Evento que ocorre devido ao acaso de forma aleatória
• Não podemos ter a absoluta certeza do resultado do evento, antes que o mesmo ocorra
Expl:
• Lançar uma moeda para cima e observar a face que irá ficar virada para cima após
a queda
• Sortear aleatoriamente um cavalo dentre os 60 animais de um Haras
• Sortear aleatoriamente fazendas de um região produtora de leite
• Retirar 1 mL de leite de um tanque refrigerador, após homogeniza-lo
Conceitos gerais
Eventos independentes
• Dois eventos são independentes quando a probabilidade um não afetar a
probabilidade do outro e vice-versa.
Expl: Um dado é lançado duas vezes. O resultado de um lançamento não
influencia no resultado do outro.
Conceitos gerais
Eventos mutuamente exclusivos
• Dois eventos são mutuamente exclusivos quando o resultado de um exclui
o resultado do outro
Expl: Uma moeda é lançada e o resultado é “cara”. Se o resultado for cara,
exclui-se o resultado “coroa”. Os dois resultados nunca poderão ocorrer ao
mesmo tempo.
Conceitos gerais
Definição frequentista de uma probabilidade
• A probabilidade de um evento é a frequência observada do evento em um grande número
de tentativas
• Expl: Uma moeda é lançada 1.000 vezes. Espera-se que o resultado cara saia em
aproximadamente 500 tentativas e o resultado coroa em aproximadamente 500 tentativas,
ou seja, há 50% de probabilidade de sair cara e 50% de sair coroa
P (x = cara) = 500/1.000 = 0,50 ou 50%
P (x = coroa) = 500/1.000 = 0,50 = 50%
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Conceitos gerais
Definição frequentista de uma probabilidade
• Expl: Uma vacina contra parvovirose foi testada em 30 cães na faixa etária de 45 dias de
vida. A vacina imunizou 25 cães. Qual a probabilidade de vacinar um cão de 45 dias de
vida e imunizá-lo contra parvovirose?
Resposta:
P = 25/30 = 0,833 = 83,3%
Propriedades de uma probabilidade
• Uma probabilidade zero (“0”) significa que um evento não pode ocorrer
• Uma probabilidade um (1,0) significa que um evento deve ocorrer
Conceitos gerais
Probabilidades complementares
• Se sabemos a probabilidade um evento ocorrer, sabemos também a probabilidade de ele
não ocorrer.
Expl: A probabilidade de um cão de um bairro, sorteado ao acaso apresentar anticorpos
contra Leishmaniose é de 0,13 ou 13%. Qual a probabilidade de um cão sorteado,
pertencente ao mesmo bairro, não apresentar anticorpos contra Leishmaniose?
Resposta:
P (cão com anticorpos) = 0,13 ou 13%
P (cão sem anticorpos) = 1- 0,13 = 0,87 ou 87%
Obs: 13% + 87% = 100% (eventos mutuamente exclusivos)
Conceitos gerais
Regra da adição
• Quando dois eventos são mutuamente exclusivos, implicando que não podem ocorrer ao
mesmo tempo, a probabilidade de qualquer um deles ocorrer é a soma das probabilidades
de cada evento.
Expl:
Em um canil animais de da raça Labrador existem 10 de cor preta, 10 de cor marrom
escuro e 20 de cor Bege. Qual a probabilidade de sortear um cão do canil, e este ser da
cor marrom ou bege?
P (negra) = 10/40 = 0,25 = 25%
P (marrom) = 10/40 = 0,25 = 25%
P (bege) = 20/40 = 0,50 = 50%
P (marrom ou bege) = 0,50 + 0,25 = 0.75 ou 75%
Conceitos gerais
Regra da multiplicação
• Quando dois eventos são independentes, de maneira que a ocorrência ou não de um
evento não influência na ocorrência ou não de outro, a probabilidade da ocorrência de
ambos os eventos é o produto das probabilidades individuais.
Expl:
Duas vacas estão prenhes. Qual a probabilidade de nascer um bezerro macho em cada
parto?
P (macho vaca 1) = 1/2 = 0,50= 50%
P (macho vaca 2) = 1/2 = 0,50= 50%
P (macho vaca 1 e macho vaca 2) = 0,5 x 0,5 = 0,25 ou 25%
Conceitos gerais
Por que as probabilidades são importantes?
• As decisões estatísticas são tomadas com base em probabilidades
Expl:
Um estudo foi conduzido para avaliar a eficácia da vacina contra raiva em 250 cães. Foram
imunizados com uma única dose, 220 cães. Qual a probabilidade da vacina imunizar a
população de cães de Presidente Prudente, que possui aproximadamente 50.000 cães?
Resposta: No experimento, a proporção de cães imunizados foi de 220/250 cães, ou 88%.
Na população de cães da cidade, espera-se sejam imunizados aproximadamente 44.000
(88%) dos 50.000 cães. Este número no entanto, é aproximado! Logo existe um grau de
incerteza na probabilidade aferida.
Probabilidade = quantifica o grau de “incerteza”
Conceitos gerais
Tomando decisões com base em probabilidades
• Suponha que sua égua tenha sido coberta por um cavalo desconhecido,
possivelmente de alguma fazenda próxima a sua. Um funcionário da fazenda não viu
direito, mas acredita que tenha sido um cavalo de cor branca com aproximadamente
1,70 na cernelha e de crina negra.
Um vizinho próximo possui um cavalo com esta descrição. Você
culparia seu vizinho?
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Conceitos gerais
Tomando decisões com base em probabilidades
Característica Probabilidade
Cavalo macho 1/2
Cavalo macho branco 1/100
Cavalo macho de crina negra 1/3
Cavalo macho de 1,70 na cernelha 1/20
• Qual a probabilidade de um cavalo apresentar estas características reunidas, ou seja,
se encaixar nesta descrição?
P = 0,50 x 0,01 x 0,33 x 0,05 = 0,000083 ou 0,0083%
Conceitos gerais
Tomando decisões com base em probabilidades
Erros cometidos:
a.) Para multiplicar probabilidades, os eventos devem ser independentes (cavalo macho e
cavalo macho branco não são independentes!)
b.) A probabilidade relevante não é a de um cavalo se encaixar nesta descrição e sim de um
cavalo com esta descrição ter coberto a égua. Expl: se na região, 1 em cada 4 cavalos seencaixa na descrição, a probabilidade do cavalo do vizinho cobrir a égua é de ¼ = 0,25 ou 25%
Característica Probabilidade
Cavalo macho 1/2
Cavalo macho branco 1/100
Cavalo macho de crina negra 1/3
Cavalo macho de 1,70 na cernelha 1/20
Teorema de Bayes
Probabilidade condicional
• Qual a probabilidade de um evento A ocorrer, dado que o
evento B ocorreu antes?
• Se um medicamento curou 45 cães de 60 tratados, qual a
probabilidade de funcionar para o próximo cão?
Teorema de Bayes
Teoria da probabilidade condicional
Teorema de Bayes
Teoria da probabilidade condicional
• Suponha que uma cadela tenha dois filhotes. Qual a probabilidade de serem dois
machos?
Espaço amostral (possíveis combinações de nascimentos)
Macho + Macho
Macho + Fêmea
Fêmea + Macho
Fêmea + Fêmea
P (x=2 machos) = ¼ = 0,25 ou 25%
Teorema de Bayes
Teoria da probabilidade condicional
• Qual a probabilidade de serem dois machos sabendo-se, a posteriori, que na ninhada um
dos filhotes é macho?
Espaço amostral (possíveis combinações de nascimentos)
Macho + Macho
Macho + Fêmea
Fêmea + Macho
Fêmea + Fêmea  excluir do espaço amostral
P (x=2 machos) = 1/3 = 0,333 ou 33,3%
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Exercícios de Fixação
• Um criador de cavalos inscreveu 5 éguas para uma 
prova de corrida no Jockey (éguas A, B, C, D e E). Duas 
éguas serão sorteadas para exame antidoping. 
Responda:
• Qual a probabilidade de sortear a égua A e a égua E? 
• Qual a probabilidade de sortear a égua A ou a égua C 
no primeiro animal sorteado?
• Sabendo que a primeira égua sorteada é a égua C, qual 
a probabilidade de sortear a égua B ou a égua E no 
segundo sorteio?
Exercícios de Fixação
• Os produtores de leite, sempre preferem que os bezerros nascidos 
nas fazendas sejam fêmeas. Um produtor de leite possui três vacas 
prenhes que darão a luz na mesma semana, mas desconhece o 
sexo dos bezerros que irão nascer. Considerando que a 
probabilidade nascerem machos e fêmeas é a mesma, responda:
• Qual o espaço amostral referente ao nascimento de um bezerro 
fêmea?
• Qual a probabilidade de nascerem três machos?
• O nascimento de bezerros machos e fêmeas de uma mesma vaca 
são eventos mutualmente exclusivos? Justifique sua resposta.
• O sexo dos bezerros nascidos de cada uma das três vacas prenhes 
são eventos independentes? Justifique sua resposta.