Lista 1 - Funções

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Departamento de Matemática Pura e Aplicada
MAT 01353 � Cálculo e Geometria Analítica IA
Lista 1 � Funções
1. Responda o que se pede :
a) Na grade abaixo, esboce f(x) = ln(x+ 1).
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
y
x
b) Usando os procedimentos vistos em aula, dê o domínio e a imagem da sua inversa, esboce-a
(na mesma grade).
c) Qual a fórmula de f−1? Calcule f−1(0).
2. Em uma praça, deseja-se construir um canteiro de 240 m
2, circundado por um gramado, con-
forme mostra a �gura. Sabendo que o m
2
da grama custa R$30,00, expresse o custo total
do gramado, em termos da medida x de um dos lados do canteiro. Atenção: A �gura é
meramente ilustrativa, não está em escala!
canteiro 5m5m
3m
3m
3. Sabendo que a função f(x) = log
3
(x− 2) possui uma função inversa, determine o número real
a para o qual f−1(a) = 11.
4. Uma empresa fabrica caixas com base retangular, sem tampa e com altura igual ao triplo de
uma das dimensões da base, a qual denotaremos por x. Se a área total de superfície de cada
caixa deve ser de 600cm2, expresse o volume V da caixa como função de x. Não esqueça de
indicar o domínio da função V.
5. Simpli�que a expressão e indique os valores de x para os quais sua simpli�cação é válida:
a) e
− lnx
b) ln(x ex) c) ex−lnx
d) sen (arcsen x
2
50
) e) cos(arctg x)
6. Um campo retangular está limitado por uma cerca em três de seus lados e por um rio reto
no quarto lado. Sabendo que o terreno está cercado com 1000 m de cerca, expresse a àrea do
campo retangular em função de um dos seus lados x. Não esqueça do domímio.
7. Considere f(x) = (x+ 1)3, para todo x real, cujo grá�co está esboçado abaixo.
a) Justi�que o fato de f ser invertível.
b) Determine f−1(x)
c) Faça um esboço do grá�co de f−1, no mesmo sistema de coordenadas dado.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
x
8. Considere uma caixa na forma de um paralelepípedo, cuja base (retangular) tem uma das
dimensões igual ao dobro da outra, e de forma que a soma de sua altura com o perímetro da
base seja de 600 cm. Determine a função que expressa o volume V de uma tal caixa, em termos
da medida x da menor dimensão da base. Atenção: Não esqueça de especi�car o domínio
da função.
9. Considere a função f(x) = 2 sen (x+ 4).
(a) Determine o domínio e a imagem da função f .
(b) Encontre um intervalo I de comprimento máximo, contendo o ponto x = 1, para o qual f
é invertível.
(c) Determine o valor de x que satisfaz f−1(x) = 2pi − 4
10. Um terreno retangular deve ser dividido em quatro partes triangulares, conforme mostra a �-
gura, e cercado. Na parte exterior deste terreno será colocada uma cerca ao custo de R$ 25,00
o metro e, na parte interior do terreno, será colocada uma cerca que custa R$ 12,00 o metro.
Expresse o custo para colocar tais cercas num terreno
com área igual a 300 metros quadrados, em função da
dimensão do terreno indicada na �gura por x.
Atenção: Não esqueça de determinar o domínio da fun-
ção.
x
A �gura não está em escala!
11. Considere a função f , cujo grá�co está esboçado abaixo, de�nida por f(x) =

x
3
− 2, x ≤ 0,
1
3
x2, x > 0.
a) Justi�que o fato de f ser invertível.
b) Determine f−1(x), especi�cando seu
domínio.
c) Faça, no mesmo sistema de coordena-
das dado, um esboço do grá�co de f−1.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
y
x
b
bc
12. Um terreno retangular dividido em 4 partes iguais conforme mostra a �gura, deve ser cercado
interna e externamente com dois tipos de cerca. A cerca externa custa 30 reais o metro linear,
enquanto que a interna custa 20 reais o metro.
Dispondo de 600 reais para custear tais cercas, escreva a
função f que fornece a área de um tal terreno em termos
da variável x, que mede um dos lados do terreno.
Atenção: Não esqueça de determinar o domínio de f .
A �gura é meramente ilustrativa, não está em escala!
x
13. Seja f(x) = −1
2
(x− 2)3, para todo x real, função invertível, cujo grá�co está esboçado abaixo.
a) Determine f−1(0)
b) Determine uma regra para f−1(x)
c) No mesmo sistema de coordenadas
dado, faça um esboço do grá�co de f−1.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
x