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Micro 2: Varian Passo a Passo 
 
 
Sergio Da Silva 
Universidade Federal de Santa Catarina 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
www.sergiodasilva.com 
 
Monopólio Hal R. Varian 
 Intermediate Microeconomics, 8th edition 
 Capítulo 24 
 
O monopólio é a estrutura de mercado em que há apenas uma empresa. O monopólio fica, 
portanto, no extremo oposto da concorrência perfeita, onde há um grande número de pequenas 
empresas que consideram os preços dados pelo mercado. É improvável que a empresa 
monopolista considere os preços dados: ela irá querer escolher o preço ou a quantidade para 
maximizar seu lucro. 
 A escolha do monopólio é limitada pelo comportamento da demanda dos 
consumidores. Se escolher o preço, o monopólio deixa que os consumidores escolham a 
quantidade que desejam comprar a esse preço. Se, por exemplo, escolher um preço muito alto, 
somente conseguirá vender uma pequena quantidade. Se escolher a quantidade, o monopólio 
deixa que os consumidores escolham o preço que desejam pagar por essa quantidade. 
 
Maximização de lucro 
 
A função demanda inversa do mercado é ( )p y . (A demanda é inversa porque é o preço p que 
é colocado como função da quantidade y , e não o contrário). A função custo é ( )c y . A 
função receita do monopolista é 
 
 ( ) ( )r y p y y= ⋅ . (1) 
 
O monopolista maximiza lucro π fazendo 
 
 
max ( ) ( )
y
r y c y− (2) 
 
onde 
 
 ( ) ( ) ( )y r y c yπ = − . (3) 
 
Derivando e igualando a zero, encontramos a condição de primeira ordem 
 
 ( ) ( ) 0r y c y′ ′− = 
 ( ) ( )r y c y′ ′= . (4) 
 
Portanto, para maximizar lucro, o monopolista precisa igualar sua receita marginal 
( )RM r y′≡ a seu custo marginal ( )CM c y′≡ : 
 
 RM CM= . (4 )′ 
 
Alternativamente, diferenciando (1): 
 
( ) ( ) ( )r y p y y p y′ ′= ⋅ + . (5) 
 
Substituindo (5) em (4): 
 
( ) ( ) ( )p y y p y c y′ ′⋅ + = . (4″) 
 
 Para garantir que (4) seja um máximo (e não um mínimo), tomamos a segunda 
derivada para encontrar a condição de segunda ordem: 
 
 ( ) ( ) 0r y c y′′ ′′− ≤ . (6) 
 
Ou seja, 
 
( ) ( )c y r y′′ ′′≥ . (7) 
 
Portanto, a inclinação da curva de custo marginal fica maior do que a inclinação da receita 
marginal depois do ponto de máximo, garantindo que este é, de fato, de maximização de 
lucro. 
Se, na escolha ótima, RM CM< , o monopólio teria incentivo para reduzir a 
quantidade produzida: isto reduziria sua receita, mas reduziria o custo ainda mais. Se 
RM CM> , a empresa monopolista teria incentivos para aumentar a quantidade produzida: 
isto aumentaria sua receita, mas o custo aumentaria ainda mais. Apenas quando RM CM= a 
empresa não tem incentivos para alterar a produção. 
Em tempo discreto, (4) pode ser reescrita como: 
 
r c
y y
∆ ∆=∆ ∆ . (4″′) 
 
A condição RM CM= é válida para empresas em qualquer estrutura de mercado. Em 
particular, para uma pequena empresa competitiva “tomadora de preço”: 
 
RM CM p= = . (8) 
 
Para maximizar seu lucro, a empresa competitiva se preocupa apenas em igualar seu custo 
marginal ao preço do produto dado pelo mercado. 
Para o monopólio, a receita marginal não se iguala ao preço. Se a empresa 
monopolista resolver aumentar a quantidade produzida y∆ , isto alterará a receita r∆ por dois 
canais: a receita aumenta em p y⋅ ∆ , mas o preço diminui em p∆ para toda a quantidade 
vendida y , e não apenas para as novas unidades. O efeito total será, então, 
 
r p y y p∆ = ⋅∆ + ⋅∆ . (9) 
 
Dividindo (9) por y∆ encontramos a receita marginal: 
 
r y pp y
y y y
∆ ∆ ∆= ⋅ + ⋅∆ ∆ ∆ 
r pp y
y y
∆ ∆= + ⋅∆ ∆ . (10) 
 
Comparando com (5), veja que (10) é a mesma definição de receita marginal, mas agora para 
o tempo discreto. 
A condição de lucro máximo (4′) pode ser escrita em termos da elasticidade da 
demanda (em geral negativa): 
 
y
y
p
p
p y
y p
ε
∆
∆
∆= = ∆ . (11) 
 
Primeiro, consideramos a expressão da receita marginal em termos da elasticidade (Capítulo 
15 do livro): 
 
1 1( ) ( ) 1 ( ) 1
( ) ( )
RM y p y p y
y yε ε
  = + = −       
. (12) 
 
Segundo, substituímos (12) em (4′): 
 
1( ) 1 ( )
( )
p y CM y
yε
 − =   
. (13) 
 
De novo, (13) é válida para qualquer estrutura de mercado. 
Como a empresa competitiva considera o preço determinado pelo mercado, a curva de 
demanda do mercado é horizontal na altura desse preço: é infinitamente elástica, ou seja, 
 
ε →∞ . (14) 
 
Isto significa que 
 
1 1 0
( )yε = →∞ . (15) 
 
Substituindo (15) em (13): 
 
( ) ( )p y CM y= , (16) 
 
que é a condição de lucro máximo da empresa competitiva. 
Já a empresa monopolista nunca escolhe operar onde a curva de demanda é inelástica. 
Ela opera nas situações em que 
 
1 ε≤ < ∞ . (17) 
 
Ela não opera quando 1ε < porque, neste caso, 
 1 1ε > . (18) 
 
Considerando (18) em (13) vemos que a receita marginal seria negativa, sem poder se igualar 
ao custo marginal. 
 
Monopólio com curva de demanda linear 
 
Supondo que a função demanda inversa do mercado seja 
 
( )p y a by= − , (19) 
 
que é linear, e onde a é o intercepto vertical da curva e b− é o coeficiente angular 
(inclinação), a função receita (1) fica sendo, considerando (19), 
 
2( ) ( ) ( )r y p y y a by y ay by= ⋅ = − = − .(20) 
 
Diferenciando (20), encontramos a receita marginal: 
 
( ) 2RM y a by= − . (21) 
 
Para traçar as curvas, comparando (19) com (21) vemos que a receita marginal e a 
demanda apresentam o mesmo intercepto vertical a , mas a receita marginal é duas vezes mais 
inclinada (inclinação da receita marginal = 2b− e inclinação da demanda = b− ). Depois de 
desenhada a demanda (Figura 1), achamos um dado intercepto horizontal para ela. Logo, o 
intercepto horizontal da RM deverá ficar na metade do intercepto da demanda. Ligando o 
intercepto vertical com o horizontal encontramos a “curva” de RM . 
 
 
 
Desenhada uma dada curva de CM podemos também fazer a curva de custo médio (CMe ), 
sabendo que a curva de CM passa sobre o ponto mínimo da curva de CMe (Capítulo 21). 
A quantidade produzida ótima *y ocorre no intercepto de RM e CM , mas não o 
preço. O monopólio cobra o preço mais alto que puder ao nível *y , *( )p y , que é apenas 
limitado pela demanda do mercado. A receita será 
 
* * *( ) ( )r y p y y= ⋅ , (22) 
 
que é a área do retângulo maior na Figura 1. O custo na produção de *y será 
 
* * *( ) ( )c y CMe y y= ⋅ , (23) 
 
que é a área do retângulo menor. Logo, considerando (22), (23) e (3), a área hachurada 
representa o lucro. 
 
Escolhendo o preço por markup 
 
Podemos reescrever a condição de lucro máximo em termos da elasticidade da demanda (13) 
como 
 
1
( )
1( ) ( )
1 y
p y CM y
ε
= − . (13′) 
 
O preço pode então ser escolhido considerando-se *( )CM y e adicionando-se um montante 
fixo (markup) que depende da elasticidade da demanda: 
 
1
( )
1
1 y
markup
ε
= − . (24) 
 
A empresa monopolista opera apenas quando 1ε ≥ (equação (17)). Se 1ε = , o markup será 
infinito em (24). Este caso não interessa ao monopólio. Mas, para 1ε > , 1 1ε < e, por (24), 
1markup > . Se, além disso, ε for constante, por (24) o markup será constante. E, por (13′), o 
preço será escolhido como um markup constante do nível de custo marginal de máximo lucro, 
isto é, *( )CM y . 
Podemos desenhar uma curva de demanda de elasticidade constante juntamente com a 
curva de CM (Figura 2) (veja também a Figura 15.6 do Capítulo 15 do livro). 
 
 
 
A curva de custo marginal com markup constante, 1 1
CM
ε− , é mais alta do que CM por um 
montante fixo. Para atender toda a demanda do mercado a este 1 1
CM
ε− , a empresa produz 
*y , 
onde as curvas de demanda e 1 1
CM
ε− se cruzam. A este nível de custo marginal 
*( )
1 1
CM y
ε− , por (13′) 
a empresa cobra o preço *p para maximizar seu lucro. 
 
Efeito do imposto sobre o preço cobrado pelo monopolista 
 
No caso em que 
 
constanteCM c= = , (25) 
 
a curva de CM é uma reta horizontal. Com uma demanda linear (equação (19)), podemos 
analisar o efeito que um imposto t sobre a quantidade tem sobre o preço cobrado pelo 
monopolista. 
 Esse imposto aumenta o custo marginal: 
 
CM c t= + . (26) 
 
Para a demanda linear, a RM é dada por (21) e a condição de lucro máximo RM CM= fica 
sendo (considerando (26)): 
 
2a by c t− = + . (27) 
 
Isolando y : 
 
2by a c t= − − 
2
a c ty
b
− −= (27′) 
 
ou 
 
( )1
2
y a c t
b
= − − + + . (27″) 
 
Diferenciando em relação a t : 
 
1 11
2 2
dy
dt b b
 = ⋅ − = −   (28) 
 
que, em tempo discreto, é o mesmo que 
 
1
2
y
t b
∆ = −∆ . (29) 
 
Diferenciando a curva de demanda 
 
( )p y a by= − (19) 
 
em relação a t , temos: 
 
dp dyb
dt dt
= − . (30) 
 
(28) em (30): 
 
1 1
2 2
dp b
dt b
 = − − =   . (31) 
 
Então, se o imposto aumentar, o preço cobrado aumentará pela metade do aumento do 
imposto. 
 
 
 
Claro que se a demanda não for linear e o CM não for constante, o preço cobrado pode 
aumentar mais ou menos do que o aumento do imposto. 
Se a demanda inversa do mercado for de elasticidade constante, a condição de lucro 
máximo será dada por (13). Com custo marginal constante, sendo introduzido o imposto ((26) 
em (13)): 
 
1( ) 1
( )
p y c t
yε
 − = +   
 
1( ) 1p y c tε
 − = +   
 
11
c tp
ε
+= − (32) 
 
ou 
 
1
1 ( )
1
p c t
ε
= +− . (32′) 
 
Diferenciando em relação a t : 
 
1 1
1 11 1
1 1
dp
dt ε ε
  = ⋅ = > − − 
, (33) 
 
que é igual ao markup (equação (24)) e, portanto, maior do que 1. Logo, o monopolista 
repassa ao preço mais do que o valor do imposto. 
Se o governo cobrar um imposto sobre o lucro, que é (considerando (1) e (3)), 
 
( ) ( ) ( )y p y y c yπ = ⋅ − , (34) 
 
o monopolista pagará uma fração τ de seu lucro ao governo, isto é, (1 )τ π− e maximizará 
(considerando (34)): 
 
max (1 )( ( ) ( ))
y
p y y c yτ− ⋅ − (35) 
(1 )( ( ) ( ) ( )) 0p y y p y c yτ ′ ′− ⋅ + − = 
( ) ( ) ( ) 0p y y p y c y′ ′⋅ + − = 
( ) ( ) ( )p y y p y c y′ ′⋅ + = , (4″) 
 
que é a mesma condição de máximo lucro sem imposto dada por (4″). Assim, o imposto sobre 
o lucro é ineficaz. 
 
Ineficiência do monopólio 
 
Como o monopólio tende a cobrar um preço mais alto do que o custo marginal, os 
consumidores estariam em melhor situação na concorrência, onde o preço seria igual ao custo 
marginal e, portanto, mais baixo. Mas as empresas se beneficiariam na situação de monopólio 
pela mesma razão. Logo, apenas comparando o bem-estar relativo não dá para saber que 
estrutura de mercado seria melhor para os dois grupos ao mesmo tempo, consumidores e 
empresas. 
Mas pode-se argumentar que a concorrência é melhor para ambos em termos de 
eficiência. Um arranjo é eficiente no sentido de Pareto se não houver nenhuma forma de 
melhorar a situação de alguém sem, com isso, piorar a de outrem. Se o arranjo melhorar a 
situação deambos, ele será ineficiente. 
A quantidade produzida ótima de monopólio é eficiente? O nível eficiente de produção 
é aquele em que a disposição dos consumidores de pagar por uma unidade extra do produto é 
exatamente igual ao custo de produzi-la para a empresa. Podemos imaginar que, se a empresa 
monopolista fosse obrigada a se comportar como uma empresa concorrencial, ela iria cobrar o 
preço cp onde o custo marginal é igual à demanda do mercado por seu produto. A quantidade 
produzida seria então cy , que é maior do que my , que seria produzida na condição de 
máximo lucro do monopólio onde RM CM= . 
 
 
 
Na curva de demanda inversa, a cada quantidade y , o preço p mede quanto os 
consumidores estão dispostos a pagar por uma unidade adicional do produto (Capítulo 15 do 
livro). Para my y= , 
 
mp CM> . (36) 
 
Como mp está sobre a demanda, os consumidores estão dispostos a pagar mais por uma 
unidade extra do produto do que custa para produzir esta unidade ( mCM ). (Isto ocorre para 
todas as unidades no intervalo m cy y y≤ < ). 
A empresa monopolista está sempre pronta para produzir uma unidade adicional e 
vender por p se 
 
m mp p CM> > . (37) 
 
Os consumidores ficam em melhor situação porque estavam dispostos a pagar mp e acabam 
comprando por mp p< , e a empresa também fica em melhor situação porque vende a unidade 
adicional por mp CM> (e continua vendendo todas as outras unidades por mp ). Na venda da 
unidade extra, cada lado do mercado obtém um excedente. Logo, há uma melhoria de Pareto: 
a quantidade produzida que maximiza lucro no monopólio, my , é ineficiente. 
 
O ônus do monopólio 
 
A variação do excedente do produtor (alteração do lucro da empresa) mede quanto o produtor 
está disposto a pagar para obter o preço mais alto de monopólio mp , enquanto a variação no 
excedente do consumidor mede quanto os consumidores teriam de receber para ser 
compensados pelo preço mais alto mp . A diferença entre os dois excedentes mede o ônus do 
monopólio. 
 
 
 
No equilíbrio de monopólio, a empresa vende my unidades do produto ao preço mp 
cada. Se forçada a ir até o equilíbrio competitivo, as unidades my seriam vendidas ao preço 
mais baixo cp : o lucro (excedente do produtor) se reduziria pela área A da Figura 5. Mas a 
empresa agora venderia mais unidades, c my y− , ao preço mais baixo cp : o lucro (excedente 
do produtor) subiria pela área C . 
Já os consumidores passariam a comprar as unidades my ao preço mais baixo cp e, 
portanto, “lucrariam” pela área A (o excedente do consumidor aumentaria). Na área A , a 
redução do excedente do produtor seria exatamente compensada pelo aumento do excedente 
do consumidor: o excedente total não variaria. 
Mas os consumidores também “lucrariam” com o aumento das unidades, c my y− , 
postas à venda pelo preço mais baixo cp : a área B mediria o aumento do excedente do 
consumidor. 
Como o excedente do produtor aumentaria pela área C e o excedente do consumidor 
aumentaria pela área B , o excedente total aumentaria em B C+ . B C+ mediria o ônus do 
monopólio pois, ao preço mp , tanto a empresa como o consumidor deixariam de ganhar. 
 Como exemplo, temos as patentes. Uma patente dá ao inventor o direito de beneficiar-
se de sua invenção por um período limitado de tempo: monopólio limitado. Acha-se que, sem 
patentes, uma descoberta seria copiada pelos concorrentes e isto desencorajaria novas 
descobertas. Mas o monopólio limitado tem ônus. Isto sugere um prazo de duração ótimo para 
as patentes. Nos Estados Unidos a patente é válida por 17 anos. Um estudo (Nordhaus, 1969) 
mostra que, com essa duração, o benefício da proteção de novas descobertas compensa em 
quase 90% o ônus do monopólio. Porém, não apenas o tempo de validade de uma patente 
importa: a abrangência da patente e o grau de novidade também devem ser considerados. Mas 
apenas o tempo de validade é quantificado facilmente. 
 
Monopólio natural 
 
O monopólio natural ocorre em situações em que a tecnologia impõe grandes custos fixos e 
baixos custos marginais e, assim, o intercepto das curvas de CM e de demanda ficam abaixo 
da curva de CMe (Figura 6). 
 
 
 
Se o regulador forçar o monopólio a operar onde o preço cp CM= , isto não cobre seus custos 
pela área chamada de “prejuízo” na Figura 6: o monopólio abandona o negócio. Se o 
regulador deixar o monopólio cobrar o preço que cobre o seu custo médio, CMep , a quantidade 
produzida CMey fica menor do que a eficiente cy . 
Exemplos de monopólio natural são os serviços de utilidade pública. Em empresas de 
gás, construir (e manter) gasodutos envolve custos fixos altos, enquanto bombear gás para 
dentro do gasoduto já pronto (custo marginal) custa muito pouco. Em empresas telefônicas, há 
um alto custo em instalar fios e redes de comutação, mas baixo custo por unidade extra de 
serviço telefônico. 
Os monopólios naturais costumam ser regulados ou operados pelo governo. Quando 
regulados, os monopólios são deixados operar no ponto ( , )CMe CMep y da Figura 6. Os custos 
são cobertos, mas a produção fica abaixo da eficiente. (Mas saber o preço que cobre o custo 
médio CMep não é tarefa fácil.) Exemplos nos Estados Unidos são os serviços de gás, telefone, 
eletricidade e TV a cabo. 
Quando o governo opera o monopólio, ele cobra o preço igual a custo marginal cp e 
compensa o prejuízo com um subsídio fixo. Exemplos nos Estados Unidos são o transporte 
público de ônibus e metrô. 
 
Causa do monopólio 
 
Dependendo do custo médio e do tamanho da demanda podemos prever se um negócio será 
monopolizado. Podemos recorrer ao conceito de “escala mínima de eficiência” ( )EME , que 
nos indica o nível de produção que minimiza o custo médio comparando-o com o tamanho da 
demanda. 
 
 
 
No caso a da Figura 7, há espaço para várias empresas operando em escala pequena: EME 
baixa. No caso b, como a EME é alta, será lucrativa a instalação de apenas uma única 
empresa. 
A primeira causa do monopólio é, então, a EME em relação ao tamanho do mercado. 
Como a tecnologia determina a EME, não há muito que fazer aqui para impedir que o 
monopólio apareça, mas o governo pode ainda tentar aumentar o tamanho do mercado. 
Outra causa é o cartel, quando empresas se unem para reduzir a produção, aumentar o 
preço e o lucro. Mas nos Estados Unidos os carteis são ilegais. 
Outra causa é a entrada pioneira de uma empresa numa indústria de custos altos. 
Depois de estabelecida, a empresa cria barreiras à entrada de outras reduzindo o preço. 
 
© Sergio Da Silva 2010 
www.sergiodasilva.com 
 
 
Comportamento Hal R. Varian 
Monopolista Intermediate Microeconomics, 8th edition 
 Capítulo 25 
 
Na concorrência, muitas empresas vendem o mesmo produto: se uma aumentar o preço perde 
todos os clientes. No monopólio, uma única empresa vende determinado produto: se aumentar 
o preço perde alguns, mas nem todos os clientes. Se um posto de gasolina elevar o preço e 
perder a maioria dos clientes, podemos inferir que a estrutura de mercado é competitiva. Se 
um restaurante aumentar o preço e perder apenas alguns clientes, podemos inferir que ele 
possui algum grau de poder de mercado. Empresas com algum grau de poder de mercado 
praticam estratégias de fixação de preço e tentam diferenciar seus produtos para aumentar 
ainda mais seu poder de mercado. 
 
Discriminação de preços 
 
O monopolista não deseja produzir acima de my porque a quantidadeextra forçaria a queda 
do preço abaixo de mp , que ele consegue cobrar por todas as unidades my . Mas, se for 
possível, uma empresa vende diferentes unidades do produto a preços diferentes, praticando a 
discriminação de preços. 
Na discriminação de preços de primeiro grau (perfeita), o monopolista vende 
diferentes unidades de produto a preços diferentes e os preços podem diferir de cliente para 
cliente. Na discriminação de preços de segundo grau, o monopolista vende diferentes 
unidades de produto a preços diferentes e os preços não podem diferir de cliente para cliente. 
Na discriminação de preços de terceiro grau (mais comum), o monopolista vende a produção 
a clientes diferentes a preços diferentes, mas cada unidade vendida a determinado cliente é 
vendida pelo mesmo preço. 
 
Discriminação de preços de primeiro grau 
 
Na discriminação de preços de primeiro grau, cada unidade do produto é vendida ao 
consumidor que lhe atribui maior valor e ao preço máximo que o consumidor esteja disposto a 
pagar pelo produto (preço de reserva). Como cada unidade é vendida ao preço de reserva de 
cada consumidor, não há excedente do consumidor, ou melhor, o monopolista apropria-se 
dele, que vira o excedente do produtor (áreas hachuradas A e B da Figura 1). O lucro da 
empresa (excedente do produtor) é máximo e qualquer aumento do excedente do consumidor 
terá que ocorrer em detrimento da redução do excedente do produtor: este arranjo é eficiente 
no sentido de Pareto, como na concorrência. Porém, utilizando a discriminação perfeita de 
preços, a empresa monopolista captura todo o excedente. Portanto, o monopólio também pode 
ser eficiente se praticar a discriminação perfeita de preços, que ocorre quando o monopolista 
vende a quantidade 01x ao consumidor 1 ao preço igual à área A e vende a quantidade 
0
2x ao 
consumidor 2 ao preço B. 
 Como exemplo, temos o médico de uma cidade pequena que cobra preços diferentes 
de cada paciente levando em conta a capacidade máxima de pagar de cada um. Outro exemplo 
próximo seria venda de carro ou de antiguidades por negociação. 
 
 
Discriminação de preços de segundo grau 
 
Na prática, é muito difícil para a empresa monopolista conhecer as curvas de demanda dos 
consumidores 1 e 2 da Figura 1. Além disso, o consumidor 1, que é propenso a pagar mais, 
pode querer se passar pelo consumidor 2 que é propenso a pagar menos. Isto dificulta a 
discriminação perfeita de preços. 
Porém, o monopolista pode conseguir distinguir os dois consumidores dando-lhes 
incentivos para que se auto-selecionem. Uma maneira seria oferecer dois pacotes diferentes de 
preço-quantidade: um visando o consumidor 1 e o outro visando o consumidor 2. 
Na Figura 2 juntamos os dois consumidores, os degraus das curvas de demanda foram 
esticados e o CM constante da empresa foi considerado zero por simplicidade. 
 
O monopolista sabe que deve vender a quantidade 01x ao preço A, como na Figura 1. 
Mas na Figura 2 ele troca, por engano, a demanda do consumidor 1 pela do consumidor 2. Na 
Figura 2, o monopolista também gostaria de vender a quantidade 02x ao preço A B C+ + , 
porque assim ele captura todo o excedente do outro consumidor. O consumidor 1 então 
compra as unidades 01x , pagando A e tendo um excedente igual a B. Ele não compra 
0
2x 
porque, neste caso, seu excedente seria zero. A empresa, então, não consegue capturar todo o 
excedente do consumidor 1. 
Apesar disto, a empresa pode ainda aumentar seu excedente baixando o preço da 
quantidade 02x para A C+ , em vez de A B C+ + . O consumidor 1 agora compra a quantidade 
maior 02x , em vez de 
0
1x , ganha A B C+ + , paga A C+ ao monopolista, e continua com o 
excedente B. A empresa, por sua vez, aumenta seu excedente para A C+ , em vez de A. 
Outra estratégia da empresa seria, em vez de oferecer 01x ao preço A , oferecer um 
pacote preço-quantidade, com quantidade um pouco menor do que 01x e preço um pouco 
menor do que A . O excedente do produtor seria reduzido pelo triângulo cheio da Figura 3, 
mas ele pode cobrar mais pela mesma quantidade 02x : a área C é acrescida (excedente do 
produtor aumenta) pela região hachurada. 
 
O monopolista, então, reduz ainda mais a quantidade 01x até que o lucro reduzido com 
um consumidor se iguale ao lucro aumentado com o outro consumidor. Com isto, a empresa 
reduz ainda mais o excedente B do consumidor de alta demanda, capturando-o e aumentando 
o seu excedente do produtor. 
Na prática, em vez de manipular as quantidades, o monopolista manipula a qualidade 
do produto vendido. A empresa vende ao consumidor com maior propensão a pagar a um 
preço mais alto e oferece o produto de menor qualidade ao consumidor com menor propensão 
a pagar. Isto evita que o consumidor de maior propensão a pagar queira comprar o produto de 
menor qualidade destinado ao outro consumidor. 
Como exemplo, na discriminação de preços em passagens aéreas há a “tarifa sem 
restrição” para quem viaja a negócios (preço mais alto) e há a “tarifa com restrição” para 
quem viaja a passeio. 
 
 
Discriminação de preços de terceiro grau 
 
O monopolista, neste caso, vende a grupos de consumidores diferentes cobrando preços 
diferentes, embora as unidades vendidas a determinado grupo sejam vendidas ao mesmo 
preço. Como exemplo, temos o preço da entrada de cinema para estudantes ou os preços de 
remédios para idosos. O preço cobrado a esses grupos é menor porque a sua elasticidade-
preço da demanda é maior. 
Para provar isto, consideremos a função demanda inversa do grupo de consumidores 1 
dada por 1 1( )p y e a do grupo 2 dada por 2 2( )p y . O custo de produção é 1 2( )c y y+ . Para 
maximizar lucro, o monopolista computa 
 
1 2
1 1 1 2 2 2 1 2,
max ( ) ( ) ( )
y y
p y y p y y c y y⋅ + ⋅ − + (1) 
 
em duas partes. Primeira: 
 
 
1
1 1 1 2 2 2 1 2max ( ) ( ) ( )y p y y p y y c y y+ − + (1′) 
 1 1 1 1 1 1 2( ) ( ) ( ) 1 0p y y p y c y y′ ′⋅ + − + ⋅ = 
 
( )1
1 1 1 1 1 1 2( ) ( ) ( )
r y
p y y p y c y y
′
′ ′⋅ + = +����	���
 
 
Do Capítulo 24 (equação (5)) sabemos que 
 
 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( )r y p y y p y′′ = ⋅ + . 
 
Então, 
1 1 2( ) ( )r y c y y′ ′= + (2) 
 
Segunda parte: 
 
2
1 1 1 2 2 2 1 2max ( ) ( ) ( )y p y y p y y c y y+ − + (1″) 
2 2 2 2 2 1 2( ) ( ) ( ) 1 0p y y p y c y y′ ′⋅ + − + ⋅ = 
2
2 2 2 2 2 1 2
( )
( ) ( ) ( )
r y
p y y p y c y y
′
′ ′⋅ + = +����	���
 
2 1 2( ) ( )r y c y y′ ′= + . (3) 
 
A solução ótima é, então, 
 
1 1 1 2( ) ( )RM y CM y y= + (2′) 
 
e 
 
 2 2 1 2( ) ( )RM y CM y y= + . (3′) 
 
Combinando (2′) e (3′): 
 
1 2RM RM= . (4) 
 
Portanto, unidades adicionais do produto devem gerar a mesma receita marginal, quer sejam 
vendidas em um mercado ou no outro. Se 1RM CM> , valeria a pena aumentar a produção no 
mercado do grupo 1. Se 2RM CM> , valeria a pena aumentar a produção no mercado do 
grupo 2. 
Do Capítulo 24 (equação (12)) inferimos que 
 
1 1 1 1
1 1
1( ) ( ) 1
( )
RM y p y
yε
 = −   
 . (5)e 
 
 2 2 2 2
2 2
1( ) ( ) 1
( )
RM y p y
yε
 = −   
. (6) 
 
(5) em (2′): 
 
1 1 1 2
1 1
1( ) 1 ( )
( )
p y CM y y
yε
 − = +   
. (7) 
 
(6) em (3′): 
 
2 2 1 2
2 2
1( ) 1 ( )
( )
p y CM y y
yε
 − = +   
. (8) 
 
(7) e (8): 
 
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1( ) 1 ( ) 1
( ) ( )
p y p y
y yε ε
   − = −          
. (9) 
 
Para 1 2p p< , devemos ter, por (9), 
 
( ) ( )1 1 2 2
1 11 1
y yε ε− > − 
( ) ( )2 2 1 1
1 11 1
y yε ε− + > 
( ) ( )1 1 2 2
1 1
y yε ε< 
 
1 2ε ε> . (10) 
 
Logo, o preço mais baixo deve ser cobrado no mercado de maior elasticidade-preço da 
demanda. Estudantes e idosos são mais sensíveis ao preço e, assim, possuem demandas mais 
elásticas. A empresa cobra deles, então, o preço mais baixo. 
Discriminação de preços de terceiro grau com demanda linear 
 
No caso especial de uma demanda linear, a quantidade produzida será a mesma, quer a 
empresa discrimine preços ou não. Para provar isto, consideramos as demandas (não as 
inversas): 
 
1 1x a bp= − (11) 
 
e 
 
2 2x c dp= − (12) 
 
(que são relacionadas às demandas inversas do Capítulo 24, Seção 2 do livro). Por 
simplicidade, 
 
 0CM = (13) 
 
e, no lucro máximo, 
 
 1 0RM CM= = 
 2 0RM CM= = 
 1 2 0RM RM= = . (14) 
 
Por definição, 
 
 1 1 1r p x= . (15) 
 
(11) em (15): 
 
 1 1 1( )r p a bp= − 
 21 1 1r ap bp= − (16) 
 
 1 12RM a bp= − . (17) 
 
(14) em (17): 
 
 *10 2a bp= − 
*
1 2
ap
b
= . (18) 
 
(18) em (11): 
 
*
1 2
ax a b
b
= − 
*
1
2
2 2 2
a a a ax a −= − = = . (19) 
 
Por definição, 
 
2 2 2r p x= . (20) 
 
(12) em (20): 
 
2 2 2( )r p c dp= − 
2
2 2 2r cp dp= − (21) 
 
2 22RM c dp= − . (22) 
 
(14) em (22): 
 
 *20 2c dp= − 
 *2 2
cp
d
= . (23) 
 
(23) em (12): 
 
*
2
2
2 2 2 2
c c c c cx c d c
d
−= − = − = = . (24) 
 
Vendendo em ambos os mercados ao mesmo preço: 
 
 1 2x x x+ = (25) 
 
e 
1 2p p p= = . (26) 
 
(11), (12), (25) e (26): 
 
 ( )x a bp c dp= − + − 
 ( )x a c b d p= + − + . (27) 
 
Por definição, 
 
 r p x= ⋅ . (28) 
 
(27) em (28): 
 
 [ ]( )r p a c b d p= + − + 
 2( ) ( )r a c p b d p= + − + (29) 
 
 2( )RM a c b d p= + − + . (30) 
 
Por (14), 
 
 1 2 0RM RM RM= = = . (14′) 
 
(14′) em (30): 
 
 *0 2( )a c b d p= + − + 
 *
2( )
a cp
b d
+= + . (31) 
 
(31) em (27): 
 
 * 2( ) ( )( )
( ) 2 2
a c a c a c a cx a c b d a c
b d
+ + + − += + − + = + − =+ 
 *
2
a cx += . (32) 
 
Como, por (25), 
 
 * * *1 2x x x= + , (25′) 
 
(19) e (24) em (25′): 
 
 *
2 2 2
a c a cx += + = , 
 
que é (32). Logo, para a demanda linear, a quantidade produzida é a mesma quer a empresa 
discrimine preços ou não. 
 Por (11) e (17), a demanda do primeiro grupo tem intercepto vertical a igual ao da 
1RM e a inclinação da 1RM é 2b− , o dobro da inclinação da demanda b− . Isto significa que 
(Capítulo 24 do livro), a 1RM corta o eixo das abscissas na metade do trecho a partir do ponto 
em que 1D o corta. 
 
 Na Figura 5, o equilíbrio ocorre em *1x e 
*
1p . O preço 
*
1p não permite a compra dos 
consumidores do grupo 2. Mas, se o monopolista puder discriminar preço ele, por 
maximização análoga, cobra *2p e vende menos quantidades para o grupo 2. A discriminação 
de preço permite, então, que ele aumente a produção mesmo que as demandas sejam lineares. 
 Usando a expressão de máximo lucro em termos de elasticidade-preço (Capítulo 24): 
 
 *1
1
11p CMε
 − =   
. (33) 
 
Como, por (13), 0CM = , 
 
 *1
1
11 0p ε
 − =   
 
 
1
11 ε= 
 1 1ε = (34) 
 
ou 
 
 1 1ε = − , (35) 
 
com 1 0RM CM= = . 
Cálculo da discriminação ótima de preços 
 
O monopolista se defronta com o mercado segmentado em dois grupos. As demandas são 
 
1 1 1( ) 100D p p= − (36) 
 
2 2 2( ) 100 2D p p= − . (37) 
 
Se o custo marginal for constante e igual a 
 
20CM = (38) 
 
dólares por unidade de produto, se ele puder discriminar preços, quanto cobraria em cada 
mercado para maximizar lucro? E quanto cobraria se não pudesse discriminar preço? 
As demandas inversas de (36) e (37) são 
 
1 1 1100( )y p y= − 
1 1 1( ) 100p y y= − (39) 
e 
 2 2 2100 2 ( )y p y= − 
 2 2 22 ( ) 100p y y= − 
 22 2( ) 50 2
yp y = − . (40) 
 
Para o primeiro mercado, 
 
 1 1 1 1( )r p y y= ⋅ . (41) 
 
Considerando (39): 
 
 1 1 1(100 )r y y= − 
 21 1 1100r y y= − (42) 
 
e 
 
 1 1100 2RM y= − . (43) 
 
Por (43) e (38), a condição de lucro máximo, 1RM CM= , é 
 
 *1100 2 20y− = (44) 
 *12 100 20y = − 
 *1 40y = . (45) 
 
(45) em (39): 
 
 *1 100 40p = − 
 *1 60p = . (46) 
 
Para o segundo mercado, 
 
2 2 2 2( )r p y y= ⋅ . (47) 
 
Considerando (40): 
 
2
2 250 2
yr y = − ⋅   
2
2 2 2
150
2
r y y= − (48) 
e 
 
2 250RM y= − . (49) 
 
Por (49) e (38), a condição de lucro máximo, 2RM CM= , é 
 
*
250 20y− = 
*
2 30y = . (50) 
 
(50) em (40): 
 
*
2
3050
2
p = − 
*
2 35p = . (51) 
 
Cobrando o mesmo preço nos dois mercados, 
 
1 2p p p= = (52) 
 
e 
 
 1 1 2 2( ) ( ) ( )D p D p D p= + . (53) 
 
(36), (37) e (52) em (53): 
 
 ( ) 100 (100 2 )D p p p= − + − 
 ( ) 200 3D p p= − . (54) 
 
A curva de demanda inversa é 
 
 200 3 ( )y p y= − 
 3 ( ) 200p y y= − 
 200( )
3 3
yp y = − (55) 
 
e 
 
 ( )r p y y= ⋅ . (56) 
 
(55) em (56): 
 
200
3 3
yr y = −   
2200 1
3 3
r y y= − (57) 
 
e 
 
200 2
3 3
RM y= − . (58) 
 
Considerando (58) e (38), a condição de lucro máximo, RM CM= , é 
 
*200 2 20
3 3
y− = 
*2 200 20
3 3
y = − 
* 3 200 3 200 60 3 140 14020
2 3 2 3 2 3 2
y −     = − = = =           
* 70y = . (59) 
 
(59) em (55): 
 
* 200 70 130
3 3 3
p = − = 
* 43,3p = . (60) 
 
Venda casada 
 
As razões para a venda casada (bundling) são: (1) a redução de custos, (2) a 
complementaridade entre os produtos e (3) o comportamento do consumidor. Um exemplo 
seria dado pelos pacotes de software: no Office, a Microsoft reúne o Word, o Excel e o Power 
Point. Digamos que a disposição a pagar de dois grupos de consumidores por dois produtos 
seja como na Tabela 1. 
 
Tabela 1 
Processador de texto, $ Planilha eletrônica, $ 
Consumidor do grupo 1 120 100 
Consumidor do grupo 2 100 120 
 
Supondo que 0CM ≈ , a empresa maximiza lucro maximizando apenas a receita. Supomos 
ainda que a propensão a pagar por um pacote seja a soma da propensão a pagar de cada 
produto. Se vender os produtos em separado por $100 cada, a empresa apura $400 de receita, 
vendendo duas unidades de processador de texto e duas de planilha. O preço de venda para 
consumidores diferentes é determinado pelo comportamento do comprador com menor 
propensão a pagar. Cobrando $220 por cada pacote, a empresa apura $440, vendendo um 
pacote para cada tipo de consumidor. A venda casada vale a pena.
 
Tarifa em duas partes 
 
Considere um parque de diversões em que se cobra um preço para entrar e outro para andar 
nos brinquedos. Como a empresa deve fixar os dois preços para maximizar lucro? 
 Ocorre o “dilema da Disneylândia”. Para entendê-lo, supomos que (1) há apenas um 
brinquedo, (2) os consumidores vão à Disneylândia apenas por esse brinquedo, (3) todos têm 
o mesmo gosto em relação ao brinquedo e (4) o CM é constante. 
 Fixando *p por cada volta nos brinquedos, o número de voltas vendidas será 
*x . Dado 
*p , quanto cobrar de entrada no parque? O máximo que pode ser cobrado é a área do 
excedente do consumidor. A área do triângulo da Figura 6 será desperdiçada. O monopolista 
deve então baixar o preço das voltas *p até igualá-lo ao CM : todo o triângulo acima da reta 
de CM passa a ser o excedente do consumidor. Isto significa que o monopolista deve cobrar 
na entrada o preço igual a todo o excedente do consumidor, abocanhando-o. 
 
Concorrência monopolista 
 
Costumamos chamar de indústria ao conjunto de todas as empresas que produzem 
determinado produto. Na indústria monopolista, uma única empresa grande produz 
determinado produto. Porém, apenas uma grande empresa produz Coca-Cola e não é 
monopolista. Precisamos então ampliar o conceito de indústria. Podemos dizer que é o 
conjunto de empresas que produzem produtos que são substitutos próximos (não 
necessariamente perfeitos). 
 
 
Ao fixar o preço e a quantidade, cada empresa leva em conta a decisão análoga das 
concorrentes. A curva de demanda da empresa depende da escolha de preço e quantidade das 
concorrentes. A inclinação da curva de demanda depende do grau de substituição do seu 
produto em relação ao das concorrentes. 
O grau de substituição influencia a elasticidade-preço da demanda. Se a empresa 
aumentar o preço, o número de consumidores que vai deixar de consumir o produto depende 
do grau de substituição. Quanto mais a empresa consiga diferenciar seu produto, mais poder 
de mercado terá para aumentar o preço: menos elástica fica a curva de demanda. 
A Coca-Cola tem poder de mercado, mas ainda enfrenta a concorrência das empresas 
que produzem substitutos imperfeitos. A indústria de refrigerantes é, então, de concorrência 
monopolista: há um grande número de empresas produzindo artigos semelhantes, mas não 
idênticos. Cada produto tem seus adeptos e a sua empresa desfruta de algum poder de 
mercado. A indústria é monopolista porque cada empresa se defronta com uma curva de 
demanda negativa (e não horizontal, como na concorrência perfeita). Cada empresa tem um 
grau de monopólio e pode fixar seu preço, em vez de aceitar passivamente o preço de 
mercado. Porém, a indústria também é competitiva, pois as empresasconcorrem em preço e 
tipo de produto e não há barreiras à entrada de outras empresas. 
Quando novas empresas entram na indústria, a curva de demanda de cada empresa: (1) 
desloca-se para dentro: a cada preço a empresa venderá menos unidades do seu produto e (2) 
fica mais elástica, porque entram mais produtos similares. 
Com novas e novas entradas, surgem três fatos: (1) cada empresa precisa ainda vender 
uma combinação de preço e quantidade sobre a curva de demanda, (2) cada empresa precisa 
ainda maximizar lucro, dada a demanda e (3) as entradas forçam os lucros de cada empresa 
até zero (o ponto de máximo lucro é de lucro zero): a combinação de preço e quantidade tem 
que ficar sobre a curva de custo médio. 
 Para que os fatos 1, 2 e 3 ocorram simultaneamente, a demanda de mercado de cada 
empresa em concorrência monopolista (sem barreiras à entrada) deve tangenciar a curva de 
CMe . Se a demanda cruzasse a curva de CMe , haveria pontos sobre a demanda acima da 
curva de CMe : isto não pode ocorrer porque aí o lucro não seria zero. O preço seria maior do 
que o custo médio ( )c yyCMe = , i.e. ( )c yyp > , o que significa lucro positivo: ( ) 0p y c y⋅ − > . 
A concorrência monopolista é Pareto ineficiente, já que aí p CM> . Perceba que lucro 
zero é outra coisa: relaciona-se ao CMe . Na concorrência monopolista cada empresa opera à 
esquerda do nível de produção que minimiza o CMe . 
 
 
Diferenciação de produtos em concorrência monopolista 
 
Pode haver pouca ou muita diferenciação de produto na concorrência monopolista. No caso 
de pouca diferenciação, cada empresa vai querer tornar seu produto semelhante ao das 
concorrentes para tomar seus clientes. Um exemplo que ilustra isso é o do sorveteiro na praia. 
Suponha que os consumidores estejam distribuídos homogeneamente ao longo da praia. Um 
sorveteiro vai escolher se localizar no meio da praia e isto é bom tanto para ele como para os 
consumidores. 
 
 No caso de dois sorveteiros vendendo o mesmo tipo de sorvete, o bom para os 
consumidores seria como na Figura 9. 
 
 Porém, o bom para os vendedores é se dirigir para o centro. Mas se o sorveteiro 1 se 
mover para o centro, tira alguns clientes do sorveteiro 2 e não perde nenhum (Figura 10). 
 
 O sorveteiro 2 então faz o mesmo. O que é bom para os vendedores (Figura 11) não é 
bom para os consumidores (Figura 9). 
 
Outro exemplo é o de duas emissoras de rádio (Figura 12). Em equilíbrio, as duas tocariam 
tanto música erudita como rock heavy metal, desagradando os consumidores de gostos 
extremos. 
 
 No caso de excessiva diferenciação do produto, considerando o exemplo anterior, 
imagine que a praia seja muito grande (Figura 13). O bom para os vendedores seria ficar nos 
extremos da praia, embora isto não seja o bom para os consumidores (que é a situação da 
Figura 9). Neste caso, cada empresa tentaria convencer o consumidor de que seu produto não 
tem substituto, como no caso do sabão em pó, onde as empresas investem pesadamente para 
diferenciar o produto através de propaganda. 
 
 
© Sergio Da Silva 2010 
www.sergiodasilva.com 
 
Comportamento Monopolista Hal R. Varian 
no Mercado de Fatores Intermediate Microeconomics, 8th edition 
 Capítulo 26 
 
A empresa monopolista no mercado competitivo de fatores 
 
A empresa maximizadora de lucro escolhe a quantidade de um fator de produção (como mão-
de-obra) de modo que a receita marginal recebida por empregar uma unidade a mais dele se 
iguale ao custo marginal de empregá-lo. Supomos que há apenas um fator de produção e que a 
função produção da empresa é 
 
 ( )y f x= , (1) 
 
onde x representa as unidades empregadas de mão-de-obra. A receita é 
 
 ( ) ( )r y p y y= ⋅ . (2) 
 
Por (1), se x aumentar em x∆ , então y aumentará em y∆ , ou seja, ( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ − . 
O produto marginal do fator é, então, 
 
 ( ) ( )x
y f x x f xPM
x x
∆ + ∆ −= =∆ ∆ . (3) 
 
Com o aumento da quantidade produzida e vendida y , a receita r aumenta: a receita 
marginal é 
 
 ( ) ( )r r y y r yRM
y y
∆ + ∆ −= =∆ ∆ . (4) 
 
Como o aumento da receita r por causa do aumento de y , ry∆∆ , se deveu ao aumento do 
insumo x , yx
∆
∆ , medimos diretamente o efeito de x∆ em r∆ e o chamamos de produto da 
receita marginal: 
 
x
r r yPRM
x y x
∆ ∆ ∆= = ⋅∆ ∆ ∆ (5) 
 
ou, considerando (3) e (4), 
 
x xPRM RM PM= ⋅ . (5′) 
 
Derivando (2): 
 
( ) ( )RM p y y p y′= ⋅ + (6) 
 
que, em termos discretos, é 
 
( ) pRM p y y
y
∆= + ⋅∆ . (6′) 
 
(6′) em (5′): 
 
( )x x
pPRM p y y PM
y
 ∆= + ⋅ ∆  . (7) 
 
Do Capítulo 15 do livro sabemos que 
 
 1( ) 1RM p y ε
 = −   
. (8) 
 
(8) em (5′): 
 
1( ) 1x xPRM p y PMε
 = −   
. (9) 
 
Na concorrência perfeita, temos que 
 
ε = ∞ (10) 
 
porque a demanda é horizontal ao nível do preço dado pelo mercado. Substituindo (10) em 
(8): 
 
11 (1 0)RM p p = − = − ∞  
RM p= . (11) 
 
(11) em (5′): 
 
x xPRM p PM= ⋅ , (12) 
 
onde toda a expressão depois da igualdade fornece o valor do produto marginal do fator. 
No monopólio, a empresa opera quando 
 
1ε ≥ , (13) 
 
já que sabemos do Capítulo 24 que ela não opera quando 1ε < . 
 Podemos comparar o xPRM nos dois casos, concorrência e monopólio, considerando 
(9) e (12). Note que 
 
11x x xPRM p PM p PMε
 = − ≤ ⋅   
, (14) 
 
o que significa que o xPRM no monopólio é menor ou igual ao xPRM na concorrência. Para 
confirmar, calibremos com 2ε = em (14), considerando (13): 
 
11
2 x x
p PM p PM − < ⋅   (15) 
1 <1
2 x x
p PM p PM⋅ ⋅ ⋅ . (15′) 
 
O aumento marginal do emprego do fator vale menos para o monopolista do que para a 
empresa competitiva. O monopolista então emprega menos mão-de-obra do que a empresa 
competitiva para maximizar lucro: por isso, a quantidade produzida de máximo lucro é menor 
no monopólio ( m cy y<). 
 Se o mercado de trabalho for competitivo, o custo marginal para a empresa empregar 
uma unidade do fator x se iguala ao preço do fator, w : 
 
 xCM w= . (16) 
 
Para saber quanto do fator empregar, a empresa iguala xPRM com o custo marginal do fator 
xCM : 
 
x xPRM CM= . (17) 
 
 A empresa competitiva emprega cx unidades de mão-de-obra, fazendo ((12) e (16) em 
(17)): 
 
x xPRM p PM w= ⋅ = . (18) 
 
Já a empresa monopolista emprega mx trabalhadores fazendo ((9) e (16) em (17)): 
 
xPRM w= . (19) 
 
Como xPRM no monopólio é menor do que xPRM na concorrência (equação (14)): 
 
x xPRM p PM< ⋅ (20) 
 
e o ponto em que ( )x mPRM x w= fica à esquerda do ponto em que ( )x cp PM x w⋅ = . O 
monopolista emprega menos trabalhadores do que a empresa competitiva. 
 
 
 
Monopsônio 
 
Enquanto no monopólio há um único vendedor, no monopsônio há um único comprador. A 
empresa monopsonista vende seu produto em um mercado competitivo, mas não é tomadora 
de preço (price taker) no mercado de fatores: é formadora de preço (price maker). A função 
produção é 
 
( )y f x= (21) 
 
e a curva de oferta inversa do fator é 
 
( ) 0w x > . (22) 
 
Se a empresa monopsonista quiser empregar x unidades de mão-de-obra, terá que pagar o 
preço (salário) ( )w x . Quanto mais de x desejar empregar, maior o preço que precisará pagar. 
A receita (em função de y ) é: 
 
( ) ( )r y p y y= ⋅ , (23) 
 
onde ( )p y é a demanda inversa. A receita (em função de x ) é, considerando (21) em (23), 
 
 ( ) ( ( )) ( )r x p f x f x= ⋅ . (24) 
 
Usando a regra da cadeia, diferenciamos (24) em relação a x : 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dr x p y f x f x f x p y
dx
′ ′ ′= ⋅ ⋅ + ⋅ 
( ) ( )( ( ) ( ) ( ))dr x f x p y f x p y
dx
′ ′= ⋅ + (25) 
 
ou, considerando (21), 
 
 ( ) ( )( ( ) ( ))dr x f x p y y p y
dx
′ ′= ⋅ + . (26) 
 
(6) em (26): 
 
 ( ) ( )dr x f x RM
dx
′= ⋅ . (27) 
 
A definição de yx xPM
∆
∆= em tempo contínuo é 
 
 ( )xPM f x′= . (28) 
 
(28) em (27): 
 
 ( ) x
dr x PM RM
dx
= ⋅ . (29) 
 
Enquanto RM captura o aumento em r devido ao aumento de y , o termo ( )dr xdx captura o 
aumento em r devido ao aumento de x . Então, 
 
( )
x
dr xPRM
dx
≡ . (30) 
 
(30) em (29): 
 
x xPRM RM PM= ⋅ . (5′) 
 
Mas como a empresa monoposonista é concorrencial no mercado do seu produto, (5′) se a 
reduz a (12), como vimos na seção anterior. 
O custo da empresa monopsonista é 
 
c w x= ⋅ (31) 
 
ou 
 
( ) ( )c x w x x= ⋅ . (31′) 
 
O diferencial total de (31′) é 
 
dc dw x dx w= ⋅ + ⋅ (32) 
 
que, em tempo discreto, dá a alteração total dos custos pelo emprego de mais x∆ de mão-de-
obra: 
 
 c w x x w∆ = ⋅∆ + ⋅∆ . (33) 
 
Derivando (31′): 
 
 ( ) ( ) ( )c x w x x w x′ ′= ⋅ + . (34) 
 
Como 
 
 ( )xCM c x′≡ (35) 
 
temos ((35) em (34)): 
 
( ) ( )xCM w x w x x′= + ⋅ . (36) 
 
Em tempo discreto, (36) fica sendo 
 
x
wCM w x
x
∆= + ∆ . (37) 
 
Portanto, ao aumentar o emprego da mão-de-obra em x∆ , a empresa paga mais por isto: 
w x⋅∆ . Além disso, o aumento de x∆ significa que a empresa vai pagar mais por todas as 
unidades de mão-de-obra: w x∆ ⋅ . A equação (37) pode ser reescrita como 
 
1x
x wCM w
w x
∆ = + ∆  . (37′) 
 
Podemos expressar (37′) em termos da elasticidade-preço da oferta do fator: 
 
x
x
w
w
x w w x
x w x w
η ∆∆ ∆ ∆≡ = ⋅ = ⋅∆ ∆ . (38) 
 
Logo, 
 
1 1
w x
x w
x w
w xη ∆∆
∆= = ⋅⋅ ∆ . (39) 
 
(39) em (37′): 
 
11xCM w η
 = +   . (40) 
 
Se a empresa fosse tomadora de preços no mercado de fatores (como na seção anterior), a 
curva de oferta de mão-de-obra seria perfeitamente elástica: 
 
η = ∞ . (41) 
 
(41) em (40): 
 
xCM w= . (16) 
 
Este é o caso anterior da empresa monopolista no mercado de fatores competitivo (equação 
(16)). Mas, para a empresa monopsonista, a curva de oferta de mão-de-obra é positivamente 
inclinada: 
 
0η > , (42) 
 
de modo que (considerando (42) em (40)), para o monopsonista 
 
 xCM w> , (43) 
 
Já que seu xCM se iguala a w vezes o termo positivo ( )11 0η+ > . 
 Supondo uma oferta de mão-de-obra inversa linear: 
 
 ( )w x a bx= + , (44) 
 
o custo é 
 
 2( ) ( )c x w x x ax bx= ⋅ = + (45) 
 
e o custo marginal é 
 
 2xCM a bx= + .(46) 
 
A empresa monopsonista maximiza lucro fazendo: 
 
 max ( ) ( )
x
r x c x− (47) 
 
ou, considerando (24) e (31′) em (47): 
 
max ( ) ( )
x
p f x w x x⋅ − ⋅ . (48) 
 
Derivando e igualando a zero: 
 
( ) ( ( ) ( )) 0f x p w x x w x′ ′⋅ − ⋅ + = 
( ) ( ) ( )p f x w x w x x′ ′⋅ = + ⋅ . (49) 
 
(28) e (36) em (49): 
 
x xp PM CM⋅ = . (50) 
 
Como a empresa monopsonista é concorrencial no mercado de seu produto, então 
 
x xPRM p PM= ⋅ (12) 
 
pode ser substituída em (50): 
 
 x xPRM CM= . (52) 
 
Portanto, o lucro máximo ocorre quando o aumento da receita marginal pelo emprego de uma 
unidade a mais do fator se iguala ao aumento do custo marginal com o emprego desta 
unidade. Em termos da elasticidade-preço da oferta do fator, (40) em (51): 
 
 11xPRM w η
 = +   . (52) 
 
Comparando com (19), a empresa monopolista emprega mão-de-obra pela regra 
 
 xPRM w= . (19) 
 
Este é o caso em (52) se η = ∞ (concorrência no mercado de fatores). Mas, no monopsônio, 
0η > (equação (42)) e xCM w> (equação (43)). Como o custo marginal do emprego do fator 
é maior do que seu preço, isto significa que o monopsonista emprega menos trabalhadores do 
que no caso do mercado de trabalho competitivo: há ineficiência de Pareto no mercado de 
trabalho. 
 O regulador poderia então fixar um salário-mínimo mín xw CM= fazendo com que o 
monopsônio se movesse sobre a curva de oferta de mão-de-obra inversa e chegasse ao nível 
de contratação eficiente: o salário-mínimo então aumentaria o emprego, ao contrário do 
esperado no mercado de trabalho competitivo. Este é o caso na Figura 2, onde consideramos 
os casos das funções lineares (44) e (46). 
 
 
 
Venda de fator de produção por um monopolista a outro que vende produto 
 
Considere a situação da Figura 3. 
 
Para o monopolista 2 (downstream): 
 
 ( )p y a by= − (53) 
 
 ( ) ( )r y p y y= ⋅ (54) 
 
( )c y ky= (55) 
 
y x= (56) 
 
 max ( )
y
p y y yκ⋅ − . (57) 
 
(53) em (57): 
 
max( )
y
a by y ky− ⋅ − 
2max
y
ay by ky− − (58) 
*2 0a by k− − = 
*2by a k= − 
*
2 2
a ky
b
−= . (59) 
 
(56) e (59): 
 
*
2 2
a kx
b
−= . (60) 
 
O monopolista 1 (upstream) escolhe o *x do monopolista 2 para maximizar seu 
próprio lucro: 
 
2
a kx
b
−= (60) 
 
ou 
 
 2p k a bx= = − , (61) 
 
que é a demanda pelo fator x . A receita é 
 
( )r x p x= ⋅ . (62) 
 
(61) em (62): 
 
 ( ) ( 2 )r x a bx x= − ⋅ 
 2( ) 2r x ax bx= − . (63) 
 
A receita marginal é 
 
 4xRM a bx= − . (64) 
 
No lucro máximo: 
 
 x xRM CM c= = . (65) 
 
(64) em (65): 
 
 *4a bx c− = 
*4bx a c= − 
*
1 4
a cx
b
−= . (66) 
 
A função produção é 
 
y x= . (67) 
 
(66) em (67): 
 
*
1 4
a cy
b
−= . (68) 
 
Se as duas empresas fizerem uma fusão, com a demanda inversa 
p a by= − , (53) 
 
 CM c= , (69) 
 
 r p y= ⋅ . (70) 
 
(53) em (70): 
 
( )r a by y= − 
2r ay by= − . (71) 
 
A receita marginal é, então, 
 
2RM a by= − (72) 
 
e o lucro máximo é atingindo quando ((69) e (72)): 
 
*2RM CM a by c= = − = (73) 
 
*2by a c= − 
*
2
a cy
b
−= . (74) 
 
Comparando (68) com (74): 
 
*
14a c by− = (68′) 
 
e 
 
*2a c by− = . (74′) 
 
(68′) e (74′): 
 
* *
14 2by by= 
N N
* *
1
depois da fusãoantes da fusão
2 y y= . (75) 
 
Portanto, a quantidade produzida será duas vezes maior depois da fusão para o monopólio 
upstream. A razão é que o monopolista upstream eleva seu preço acima do CM e o 
monopolista downstream eleva seu preço acima desse teto de CM : markup duplo. O preço 
não apenas é alto demais do ponto de vista da concorrência, mas também do ponto de vista da 
maximização de lucro total dos dois monopólios. Depois que fazem a fusão, o preço baixa e o 
lucro sobe. 
 
 
 
© Sergio Da Silva 2010 
www.sergiodasilva.com 
 
Oligopólio Hal R. Varian 
 Intermediate Microeconomics, 8thedition 
 Capítulo 27 
 
Comportamento estratégico 
 
O oligopólio é a estrutura de mercado com poucas empresas que são interdependentes. No 
duopólio, duas empresas fabricam o mesmo produto e as variáveis estratégicas são os dois 
preços e as duas quantidades produzidas. As interações estratégicas podem ocorrer em um 
jogo sequencial (modelo de Stackelberg). Neste caso, a empresa que escolhe seu preço antes é 
a líder de preço e, a outra, fica sendo a seguidora. A empresa que escolhe sua quantidade 
antes é a líder de quantidade; a outra é a seguidora. Em um jogo simultâneo, as empresas 
escolhem seus preços ou quantidades simultaneamente, sem que uma conheça a escolha da 
outra. Em vez de competir, as empresas podem também formar um conluio e o jogo fica 
cooperativo. 
Liderança de quantidade 
 
Quando há uma empresa líder em uma indústria, esta anuncia a quantidade do seu produto 
antes da outra. Por exemplo, a IBM. A empresa 1 (líder) escolhe produzir 1y . A empresa 2 
(seguidora) responde com a escolha de 2y . A produção total da indústria é 
 
 1 2Y y y= + . (1) 
 
O preço de equilíbrio depende de Y (função demanda inversa): 
 
 1 2( ) ( )p p Y p y y= = + . (2) 
 
Para saber que 1y escolher, a líder já considera antes o problema de maximização de lucro da 
seguidora. A seguidora maximiza 
 
 
2
1 2 2 2 2max ( ) ( )y p y y y c y= + ⋅ − (3) 
 
depois de conhecer a produção 1y da líder: 1y é constante para a empresa 2. Assim, 
 
1 2 2 1 2 2 2( ) ( ) ( ) 0p y y y p y y c y′ ′+ ⋅ + + − = 
1 2 1 2 2 2 2( ) ( ) ( )p y y p y y y c y′ ′+ + + ⋅ = . (4) 
 
Em tempo discreto: 
 
2
1 2 2
2 2
( ) cpp y y y
y y
∆∆+ + =∆ ∆ (4′) 
 
2 1 2 2
2
( ) pRM p y y y
y
∆≡ + + ∆ . (5) 
Como antes, quando a empresa 2 aumenta y : (1) a receita aumenta pois vende mais produtos 
ao preço de mercado e (2) o preço é empurrado para baixo em p∆ e os lucros caem para todas 
as unidades vendidas ao preço que agora baixou. Além disso, 
 
2
2 2 2
2
( )cCM c y
y
∆ ′≡ =∆ (6) 
 
(5) e (6) em (4′): 
 
2 2RM CM= . (4″) 
 
Para outra escolha de 1y , a seguidora maximiza lucro de novo, considerando o novo valor de 
1y constante. Assim, a função de reação é 
 
2 2 1( )y f y= . (7) 
 
 Para a função demanda inversa linear 
 
1 2 1 2( ) ( )p y y a b y y+ = − + (8) 
 
e custos 
 
2 0c = , (9) 
 
a função lucro 
 
2 1 2 2 2( , )y y r cπ = − (10) 
 
fica sendo ((8) e (9) em (10)): 
 
2 1 2 1 2 2( , ) ( ( ))y y a b y y yπ = − + 
2
2 1 2 2 1 2 2( , )y y ay by y byπ = − − . (11) 
 
Podemos usar (11) para encontrar todas as combinações de 1y e 2y que deixam 2π constante, 
encontrando a isolucro: 
 
2
2 2 1 2 2ay by y byπ = − − . (12) 
 
Se a empresa líder escolher 1 0y = , a empresa seguidora vira monopólio e aufere o lucro mais 
alto possível. Logo, na Figura 1, curvas isolucro mais à esquerda representam lucros maiores 
para a empresa 2. 
 
 
 A curva de reação corta as curvas isolucro quando as inclinações das curvas forem 
verticais, porque, para cada 1y , ocorrem aí as escolhas ótimas de 2y . Para 1y� em particular, a 
escolha ótima da seguidora será 2y� . Algebricamente, considerando (11) e (9), 
 
2
2 2 1 2 2r ay by y by= − − (13) 
 
2 1 2 1 2( , ) 2RM y y a by by= − − . (14) 
 
(9) implica que: 
 
 2 0CM = (15) 
 
e o máximo lucro será ((14) e (15)): 
 
2 1 2 22 0RM a by by CM= − − = = 
2 12by a by= − 
1
2 2
a byy
b
−= , (16) 
 
que é a curva de reação da empresa seguidora. 
A empresa líder sabe que a sua escolha de 1y influencia a escolha da seguidora de 2y : 
ela conhece a função de reação da seguidora ((7) e (16)). A empresa 1 então maximiza 
 
1
1 2 1 1 1max ( ) ( )y p y y y c y+ ⋅ − (17) 
 
de modo que 
 
 2 2 1( )y f y= . (7) 
 
(7) em (17): 
 
 ( )
1
1 2 1 1 1 1max ( ) ( )y p y f y y c y+ ⋅ − . (18) 
 
Supomos, como antes, que 
 
 1 0c = (19) 
 
 1 0CM = . (20) 
 
A receita é 
 
 1 1 2 1( )r p y y y= + . (21) 
 
Para a demanda inversa linear ((8) em (21)): 
 
 ( )1 1 2 1( )r a b y y y= − + 
 21 1 1 1 2r ay by by y= − − . (22) 
 
(16) em (22): 
 
2 1
1 1 1 1 2
a byr ay by by
b
−= − − 
 
2 2
2 1 1
1 1 1 2
aby b yr ay by
b
 −= − −   
 
 2 21 1 1 1 12 2
a br ay by y y= − − + 
 21 1 12 2
a br y y= − . (23) 
 
Logo, 
 
 1 12
aRM by= − (24) 
 
e o máximo lucro será (considerando (20)): 
 
*
1 1 102
aRM by CM= − = = 
*
1 2
aby = 
*
1 2
ay
b
= , (25) 
 
onde *1y é a quantidade produzida da líder. 
 Substituindo (25) na função de reação (16) da seguidora: 
 
 *2 22
aa b
by
b
−
= 
 *2
2
12 2 2
2 2 2 2 2
a a a aa ay
b b b b
−−
= = = = 
 *2 4
ay
b
= ,(26) 
 
onde *2y é a quantidade produzida da seguidora. 
A quantidade produzida total ((1), (25) e (26)) será, então, 
 
* * *
1 2
2
2 4 4
a a a aY y y
b b b
+= + = + = 
* 3
4
aY
b
= . (27) 
 
As curvas isolucro da empresa 1 têm a mesma forma que as da empresa 2: há apenas 
um deslocamento de 90°. A curva de reação da empresa 1 também corta as curvas isolucro 
quando a inclinação das curvas for horizontal, por causa da escolha ótima de 1y na condição 
de tangência zero. A curva de reação da empresa 2 (Figura 1) é também plotada na Figura 2. 
Na Figura 2, curvas isolucro mais baixas representam 1y maior e, portanto, 1π mais alto, já 
que 2 0y → e a empresa 1 se aproxima da situação de monopólio. Dada a curva de reação da 
empresa 2, a empresa 1 então seleciona o ponto de tangência com a curva isolucro mais baixa. 
Liderança de preço 
 
Como os produtos são idênticos, em equilíbrio a seguidora tem que adotar o mesmo preço que 
a líder. Se fosse menor, os consumidores não iriam comprar nada da líder e não haveria 
duopólio. Se a líder então escolher o preço p, a seguidora considerará este preço dado ao 
maximizar seu lucro, de maneira similar a uma empresa em concorrência pura. Então, 
 
2
2 2 2max ( )y py c y− (28) 
2 2( ) 0p c y′− = 
2p CM= . (29) 
 
A função de oferta da seguidora depende então do preço escolhido pela líder: 
 
2 ( )y S p= . (30) 
 
A líder percebe que, ao fixar p , a seguidora oferecerá a quantidade ( )S p . De toda a demanda 
do mercado, ( )D p , a líder terá que descontar a parte atendida pela seguidora, que é ( )S p . A 
demanda residual será, então, 
 
1( ) ( ) ( )R p D p S p y= − = . (31) 
 
A líder produz a quantidade 1y para atender a demanda residual e vende cada unidade ao 
preço p . A receita será 
 
1 1r p y= ⋅ (32) 
 
 ( )1 ( ) ( )r p D p S p= ⋅ − . (32′) 
 
Para produzir as quantidades ( ) ( )D p S p− , a líder incorre em custos constantes por cada 
unidade: 
 
 ( )1 ( ) ( )c c D p S p= ⋅ − . (33) 
 
Logo, o lucro será ((32′) e (33)): 
 
 ( ) ( )1( ) ( ) ( ) ( ) ( )p p D p S p c D p S pπ = − − − 
 ( )1( ) ( ) ( ) ( )p p c D p S pπ = − − (34) 
 
ou, considerando (31), 
 
 1( ) ( ) ( )p p c R pπ = − . (34′) 
 
 Para a demanda inversa linear 
 
 ( )D p a bp= − (35) 
 
e custos 
 
2
2
2 2( ) 2
yc y = (36) 
 
 1 1 1( )c y cy= , (37) 
 
a seguidora opera onde 
 
 2p CM= . (38) 
 
Seu custo marginal (considerando (36)) será: 
 
 2 2CM y= . (39) 
 
(39) em (38): 
 
 2p y= . (40) 
 
(40) e (30): 
 
 2 ( )y S p p= = . (41) 
 
(35) e (41) em (31): 
 
 ( )R p a bp p= − − 
 ( ) ( 1)R p a b p= − + . (42) 
 
(42) em (31): 
 
 1 ( 1)y a b p= − + 
1( 1)b p a y+ = − 
1
1
1 1
ap y
b b
= −+ + , (43) 
 
que é a demanda inversa (residual) da líder. A receita é ((43) em (32)): 
 
 1 1 1
1
1 1
ar y y
b b
 = − + +  
 
 21 1 1
1
1 1
ar y y
b b
= −+ + . (44) 
 
A receita marginal é: 
 
 1 1
2
1 1
aRM y
b b
= −+ + . (45) 
 
Comparando (43) e (45), vemos que a demanda inversa e a receita marginal têm o mesmo 
intercepto ( )1ab+ e a 1RM é duas vezes mais inclinada ( )21b+ . O custo marginal, considerando 
(37), é 
 
 1CM c= (46) 
 
e o lucro máximo ocorrerá quando ((45) e (46)): 
 
 *1 1 1
2
1 1
aRM CM y c
b b
= = − =+ + 
 *1
2
1 1
ay c
b b
= −+ + 
 *1
2 ( 1)
1 1
a c by
b b
− +=+ + 
 *1
( 1)
2
a c by − += . (47) 
 
Escolha simultânea da quantidade: modelo de Cournot 
 
Se as duas empresas decidirem simultaneamente a quantidade a ser produzida, cada uma 
precisará prever a quantidade da outra. No modelo de Cournot, a empresa 1 espera que a 
empresa 2 produza 2
ey . Ao produzir 1y , ela espera que o total produzido seja 
 
1 2
eY y y= + (48) 
 
e que o preço de mercado seja 
 
 1 2( ) ( )
ep Y p y y= + . (49) 
 
A sua maximização de lucro será: 
 
 
1
1 2 1 1max ( ) ( )
e
y
p y y y c y+ − . (50) 
 
Logo, para cada expectativa 2
ey haverá uma escolha ótima de 1y . A função de reação é a 
relação entre a produção esperada 2
ey e a escolha ótima de 1y : 
 
 1 1 2( )
ey f y= . (51) 
 
Analogamente, a função de reação da empresa 2 é 
 
2 2 1( )
ey f y= . (52) 
 
Se as expectativas das empresas se confirmarem em equilíbrio, o equilíbrio de Cournot 
será dado por: 
 
* *
1 1 2( )y f y= (53) 
 
* *
2 2 1( )y f y= . (54) 
 
Este é o ponto onde as duas curvas de reação se encontram na Figura4. 
 
 Adaptando a função de reação linear da empresa 2 de antes (equação (16)): 
 
1
2 2
ea byy
b
−= . (55) 
 
Como a empresa 1 age da mesma forma, sua função de reação é análoga: 
 
2
1 2
ea byy
b
−= . (56) 
 
Se as expectativas se confirmarem: 
 
1 1
ey y= (57) 
 
2 2
ey y= , (58) 
 
(57) em (55): 
 
1
2 2
a byy
b
−= . (59) 
 
(58) em (56): 
 
2
1 2
a byy
b
−= . (60) 
 
(59) em (60): 
 
*
1 * * *
1 1 1
*
1
2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
a by a b a a b a ba b a y y yb
y
b b b b
 − −−   − + + + = = = = 
* *
1 12 2 2
a bby y= + 
* *
1 12 2 2
b aby y− = 
*
12 2 2
b ab y − =   
*
1
4
2 2
b b ay− = 
*
1
3
2 2
b ay = 
*
1 3
ay
b
= . (61) 
 
(61) em (59): 
 
*
2
3 2
3 3 3 3
2 2 2 2
a a a a aa b a
by
b b b b
−− −
= = = = 
*
2
2 1
3 2
ay
b
= ⋅ 
*
2 3
ay
b
= . (62) 
 
A produção total (48) será: 
 
*
3 3 3
a a a aY
b b b
+= + = 
* 2
3
aY
b
= . (63) 
 
Se não houver equilíbrio na produção das empresas, haverá convergência desde que a 
quantidade produzida fique fixa de um período para outro: o equilíbrio de Cournot é estável. 
Para provar, considere que no período t as empresas produzam 1
ty e 2
ty , que não são as 
quantidades de equilíbrio. Se a empresa 1 esperar que a empresa 2 vai manter a quantidade em 
2
ty , em 1t + , 
 
1
1 1 2( )
t ty f y+ = . (64) 
 
Se a empresa 2 pensar da mesma forma: 
 
1
2 2 1( )
t ty f y+ = . (65) 
 
 Na Figura 5 isto é representado pelo movimento horizontal à esquerda do ponto 
1 2( , )
t ty y até a função de reação da empresa 1. Para os outros períodos, o processo se repete: 
subimos a escada em direção ao equilíbrio de Cournot. 
 
 
 
 
Escolha simultânea da quantidade por várias empresas 
 
Com n empresas, e não apenas duas, a quantidade produzida de toda a indústria fica sendo 
 
1 ... nY y y= + + . (66) 
 
Como no duopólio, o preço de equilíbrio depende de Y (função demanda inversa): 
 
1( ) ( ... )np p Y p y y= = + + . (67) 
 
A receita de uma empresa i qualquer é 
 
( )i ir p Y y= ⋅ . (68) 
 
A receita marginal é 
 
( ) ( )i iRM p Y y p Y′= ⋅ + . (69) 
 
Em tempo discreto: 
 
( )i i
pRM p Y y
Y
∆= + ∆ . (70) 
No lucro máximo, 
 
( )i i i
pRM p Y y CM
Y
∆= + =∆ (71) 
 
que pode ser reescrita como 
 
( ) 1
( )
i
i
yp Yp Y CM
Y p Y Y
 ∆+ = ∆  . (71′) 
 
Note que a participação da empresa i no mercado total é dada por 
 
i
i
ys
Y
= . (72) 
 
(72) em (71′): 
 
( ) 1
( ) i i
p Yp Y s CM
Y p Y
 ∆+ = ∆  . (73) 
 
Note também que a elasticidade-preço da demanda é 
 
( )( ) 0
Y
Y
p
p
Y p YY
Y p
ε ∆∆ ∆≡ = ⋅ <∆ . (74) 
 
Logo, 
 
( )
1 1 0
( ) ( ) ( )Y p YY p
Y p p Y
Y Y p Y Y p Yε ∆ ⋅ ∆
∆ ∆= = ⋅ = ⋅ <∆ ∆ . (75) 
 
(75) em (73): 
 
1( ) 1
( ) i i
p Y s CM
Yε
 − =   
 
 
ou 
 
 ( )
1( ) 1
i
iY
s
p Y CMε
  − =  
. (76) 
 
Se 1is = , por (72), iy Y= , o que significa que a participação da empresa i no mercado é 
total: ela é um monopólio. Fazendo 1is = em (76) dá, portanto, a mesma condição de máximo 
lucro do monopólio puro (Capítulo 24, Seção 3 do livro). O equilíbrio de Cournot vira o de 
monopólio puro. Se 0is = , por (76), 
 
( )
0
1( ) 1 iYp Y CMε
 − =   
 
1( ) 1 ip Y CM
 − = ∞  
( )( ) 1 0 ip Y CM− = 
( ) ip Y CM= . (77) 
 
Fazendo 0is = em (76) dá, portanto, a mesma condição de máximo lucro da concorrência 
pura (Capítulo 22, Seção 3 do livro). O equilíbrio de Cournot vira o de concorrência pura. 
Portanto, 
 
( )
i
Y
s
ε
 (78) 
 
é a elasticidade da curva de demanda com a qual a empresa i se defronta. Quanto menor a 
participação da empresa i na indústria, mais elástica a curva de demanda, e vice-versa. 
 
 
 
 
 
Escolha simultânea do preço: modelo de Bertrand 
 
Neste caso, o equilíbrio de duopólio vira o equilíbrio competitivo. Se a empresa 1 escolher 
um preço acima do custo marginal, a empresa 2 fica com o preço igual ao custo marginal e 
toma todos os clientes da empresa 1. Assim, a empresa 1 acaba também escolhendo o preço 
igual ao custo marginal: equilíbrio de Bertrand. 
 
Cartel 
 
Se puderem, as empresas duopolistas formarão um cartel para virar monopolista e maximizar 
a soma dos lucros das duas empresas. O cartel maximiza 
 
1 2
1 2 1 2 1 1 2 2,
max ( ) ( ) ( ) ( )
y y
p y y y y c y c y+ ⋅ + − − . (79) 
 
Primeiro, 
 
1
1 2 1 2 1 1 2 2max ( ) ( ) ( ) ( )y p y y y y c y c y+ ⋅ + − − 
* * * * * * *
1 2 1 2 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 0p y y y y p y y c y′ ′+ ⋅ + + + − = 
* * * * *
1 2 1 2 1 1( ) ( ) ( )
pp y y y y CM y
Y
∆+ + + =∆ . (80) 
 
Segundo, 
 
2
1 2 1 2 1 1 2 2max ( ) ( ) ( ) ( )y p y y y y c y c y+ ⋅ + − − 
* * * * * * *
1 2 1 2 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0p y y y y p y y c y′ ′+ ⋅ + + + − = 
* * * * *
1 2 1 2 2 2( ) ( ) ( )
pp y y y y CM y
Y
∆+ + + =∆ .(81) 
 
(80) e (81): 
 
1 2CM CM= . (82) 
 
(80) pode ser reescrita como: 
 
* * * *
1 2 1 2 1( ) 0
p pp y y y y CM
Y Y
∆ ∆+ + + − =∆ ∆ 
* * * *
1 2 1 1 2( )
p pp y y y CM y
Y Y
∆ ∆+ + − = −∆ ∆ , (80′) 
 
onde pY
∆
∆ é a inclinação da curva de demanda inversa da indústria. Como a inclinação é 
negativa, 
 
0p
Y
∆ <∆ . (83) 
 
(83) em (80′): 
 
* * * *
1 2 1 1 2( ) 0
p pp y y y CM y
Y Y
∆ ∆+ + − = − >∆ ∆ . (80″) 
 
Como o lucro marginal da empresa 1 é positivo em (80″), ou seja, 
 
* * *1
1 2 1 1
1
( ) 0pp y y y CM
y Y
π∆ ∆≡ + + − >∆ ∆ , (80′′′) 
 
no equilíbrio do cartel a empresa 1 tem incentivos para aumentar unilateralmente a produção, 
desde que a outra não o faça. 
A receita do cartel é 
 
1 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( )r y y p y y y y= + ⋅ + . (84) 
 
No caso linear ((8) em (84)), 
 
( )1 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( )r y y a b y y y y= − + + 
2
1 2 1 2 1 2( , ) ( ) ( )r y y a y y b y y= + − + . (84′) 
 
A receita marginal é 
 
2RM a bY= − 
1 22 ( )RM a b y y= − + . (85) 
 
Supondo 
 
0CM = , (86) 
 
o lucro máximo ((85) e (86)) será: 
 
* *
1 22 ( ) 0RM a b y y CM= − + = = (87) 
 
* *
1 22 ( )b y y a+ = 
* *
1 2 2
ay y
b
+ = . (88) 
 
Como o cartel maximiza o lucro total, o lucro marginal de uma empresa precisa ser igual ao 
da outra: se não for, vale a pena para a empresa mais lucrativa produzir mais. Logo, as 
inclinações das curvas isolucro (lucros marginais) das duas empresas têm que ser iguais e as 
curvas são tangentes ao nível de lucro máximo conjunto *Y . Na Figura 6, a solução em A, por 
exemplo, é instável, porque, se a empresa 1 achar que a empresa 2 vai manter a produção 
constante e ficar em A, a empresa 1 aumenta a sua produção para ir para a isolucro mais baixa 
em B, onde seu lucro aumenta. 
 
 
Punindo para estabilizar o cartel 
 
No cartel, cada empresa aufere o lucro de monopólio mπ . Se uma delas burlar o cartel, 
aumenta seu lucro ainda mais para dπ . Portanto, 
 
 d mπ π> . (89) 
 
A outra empresa pode ameaçar punir a empresa 1 por isso e produzir no nível de equilíbrio de 
Cournot, de antes do cartel. O lucro para as duas fica sendo menor, em cπ . Portanto, 
 
c mπ π< . (90) 
 
Para a empresa 1, não burlar o cartel gera o valor presente (VP) dos dois períodos de 
 
manter
cartel
m
mVP
ππ γ= + , (91) 
 
onde γ é a taxa de juros real. Para a mesma empresa, burlar o cartel gera 
 
burlar
cartel
c
dVP
ππ γ= + . (92) 
 
A punição funcionará para manter o cartel unido se 
 
manter burlar
cartel cartel
VP VP> . (93) 
 
(91) e (92) em (93): 
 
m c
m d
π ππ πγ γ+ > + 
m c
d m
π π π πγ γ− > − 
m c
d m
π π π πγ
− > − 
m c
d m
π πγ π π
−< − . (94) 
 
Por (89) e (90), tanto o numerador como o denominador são positivos. Quanto menor 
for a taxa de juros, mais chances de (94) ocorrer e de a punição funcionar. Mas a ameaça da 
empresa 2 de retornar ao equilíbrio de Cournot pode não ter credibilidade se o jogo se repetir 
por muitos períodos. 
 
© Sergio Da Silva 2010 
sergiodasilva.com 
 
Teoria dos Jogos Hal R. Varian 
 Intermediate Microeconomics, 8th edition 
 Capítulo 28 
Estratégias dominantes 
 
A teoria dos jogos fornece a análise geral da interação estratégica. Por exemplo, o jogador 1 
possui dois cartões. Em um deles está escrito “Alto” e, no outro, “Baixo”. O jogador 2 tem 
dois cartões: um com a palavra “Esquerda” e outro com a palavra “Direita”. Cada jogador 
escolhe um dos cartões e coloca-o na mesa. A matriz de resultados (payoffs) é dada pela 
tabela a seguir. 
 
 Jogador 2 
 Esquerda Direita
Jogador 1 Alto 1, 2 0, 1 Baixo 2, 1 1, 0 
 
 Se o jogador 1 tiver escolhido “Alto” e o jogador 2 “Esquerda”, então o jogador 1 
ganha 1 e o jogador 2 ganha 2. Conhecendo a matriz de resultados, o jogador 1 escolherá 
“Baixo” porque (1) se o jogador 2 escolher “Esquerda”, o jogador 1 ganha 2 (e não 1) e (2) se 
o jogador 2 escolher “Direita”, o jogador 1 ganha 1 (e não 0). Independentemente do que o 
jogador 2 faça, é vantagem para o jogador 1 escolher “Baixo”: esta é sua estratégia 
dominante. 
 Do ponto de vista do jogador 2, é vantagem escolher “Esquerda” independentemente 
do que o jogador 1 escolha: (1) se o jogador 1 escolher “Alto”, o jogador 2 ganha 2 (e não 1) e 
(2) se o jogador 1 escolher “Baixo”, o jogador 2 ganha 1 (e não 0). 
 Escolher “Esquerda” é a estratégia dominante do jogador 2, enquanto escolher 
“Baixo” é a estratégia dominante do jogador 1. Portanto, sendo conhecida a matriz de 
resultados, o equilíbrio será (“Baixo”, “Esquerda”) com o jogador 1 ganhando 2 e o jogador 2 
ganhando 1. 
 
Equilíbrio de Nash 
 
Se a matriz de resultados for modificada, como na tabela abaixo, pode ser que não haja 
estratégia dominante. 
 
 Jogador 2 
 Esquerda Direita
Jogador 1 Alto 2, 1 0, 0 Baixo 0, 0 1, 2 
 
 Se o jogador 2 escolher “Esquerda”, o jogador 1 escolherá “Alto”, porque ganha 2 (e 
não 0). Mas se o jogador 2 escolher “Direita”, o jogador 1 agora escolherá “Baixo”, porque 
ganha 1 (e não 0). 
Do ponto de vista do jogador 2, se o jogador 1 escolher “Alto”, o jogador 2 escolherá 
“Esquerda”, porque ganha 1 (e não 0). Mas se o jogador 1 escolher “Baixo”, o jogador 2 
escolherá “Direita”, porque ganha 2 (e não 0). 
Há dois equilíbrios de Nash: (“Alto”, “Esquerda”) = (2, 1) e (“Baixo”, “Direita”) = 
(1, 2). 
No equilíbrio de (Cournot-)Nash, a escolha de um jogador é ótima dada a escolha do 
outro e a escolha do outro é ótima dada a escolha do primeiro. Isto significa que quando as 
escolhas forem reveladas, ninguém vai querer alterar a escolha feita. Quando cada jogador faz 
uma escolha e a mantém, isto é uma “estratégia pura”. 
Se modificarmos a matriz dos resultados mais uma vez, como na tabela a seguir, pode 
ser que não haja mais equilíbrio de Nash com estratégias puras. 
 
 Jogador 2 
 Esquerda Direita
Jogador 1 Alto 0, 0 0, −1 Baixo1, 0 −1, 3 
 
Estratégias mistas 
 
Se cada jogador escolher de acordo com uma probabilidade, eles adotarão “estratégias mistas” 
e poderá existir equilíbrio de Nash no jogo anterior. O jogador 1 agora escolherá “Alto” com 
probabilidade Aπ e “Baixo” com probabilidade 1 Aπ− . O jogador 2 escolherá “Esquerda” 
com probabilidade Eπ e “Direita” com probabilidade 1 Eπ− (tabela a seguir). 
 
 Jogador 2 
 Esquerda, Eπ Direita, 1 Eπ−
Jogador 1 
Alto, Aπ 0, 0 0, −1 
Baixo, 1 Aπ− 1, 0 −1, 3 
 
 Como achar as probabilidades? Se o jogador 2 escolher “Esquerda”, ele ganhará 0 se o 
jogador 1 escolher “Alto” e ganhará 0 se o jogador 1 escolher “Baixo”. Mas o jogador 1 
escolherá “Alto” com probabilidade Aπ e “Baixo” com probabilidade 1 Aπ− . Assim, o valor 
esperado de escolher “Esquerda” para o jogador 2 é 
 
( ) 0 0 (1 ) 0A AVE E π π= × + × − = . (1) 
 
Analogamente, o valor esperado de escolher “Direita” para o jogador 2 é 
 
 ( ) 1 3 (1 )A AVE D π π= − × + × − 
 ( ) 3(1 )A AVE D π π= − + − . (2) 
 
No equilíbrio de Nash, 
 
 ( ) ( )VE E VE D= . (3) 
 
(1) e (2) em (3): 
 
 0 3(1 )A Aπ π= − + − 
 3 3A Aπ π= − 
4 3Aπ = 
3
4A
π = (4) 
 
e 
 
11
4A
π− = . (5) 
 
O valor esperado de escolher “Alto” para o jogador 1 é 
 
( ) 0 0 (1 ) 0E EVE A π π= × + × − = . (6) 
 
O valor esperado de escolher “Baixo” para o jogador 1 é 
 
( ) 1 ( 1) (1 )E EVE B π π= × + − × − 
( ) (1 )E EVE B π π= − − . (7) 
 
No equilíbrio de Nash, 
 
( ) ( )VE A VE B= . (8) 
 
(6) e (7) em (8): 
 
0 (1 )E Eπ π= − − 
0 1E Eπ π= − + 
1 2 Eπ= 
1
2E
π = (9) 
 
e 
 
11
2E
π− = . (10) 
 
Então, o jogador 1 adota a estratégia mista ( ) ( )3 14 4"Alto", "Baixo" ,= e o jogador 2 adota a 
estratégia mista ( ) ( )1 12 2"Esquerda", "Direita" ,= , como na tabela abaixo. 
 
 Jogador 2 
 Esquerda, 12 Direita, 12
Jogador 1 
Alto, 34 0, 0 0, −1 
Baixo, 14 1, 0 −1, 3 
 
 Assim, ocorre o equilíbrio em (0,0) com probabilidade ( )3 3 18 4 2 = × . Ocorre o 
equilíbrio em (0, 1)− com probabilidade ( )3 3 18 4 2 = × . Ocorre o equilíbrio em (1,0) com 
probabilidade ( )1 1 18 4 2 = × . E ocorre o equilíbrio em ( 1,3)− com probabilidade ( )1 1 18 4 2 = × . 
O valor médio esperado do jogador 1 é, então, 
 
3 3 1 1(1) 0 0 1 ( 1)
8 8 8 8
VE = × + × + × + − × 
1 1(1) 0
8 8
VE = − = . (11) 
 
E o valor médio esperado do jogador 2 é 
 
3 3 1 1(2) 0 ( 1) 0 3
8 8 8 8
VE = × + − × + × + × 
3 3(2) 0 0 0
8 8
VE = − + + = . (12)
 
Dilema dos prisioneiros 
 
Um equilíbrio de Nash não é necessariamente Pareto-eficiente. Um exemplo disso é o dilema 
dos prisioneiros da tabela a seguir. 
 
 Prisioneiro 2 
 Confessar Negar 
Prisioneiro 1 Confessar −3, −3 0, −6 Negar −6, 0 −1, −1
 
Se o prisioneiro 2 confessar o crime, é melhor para o prisioneiro 1 confessar, pois pega três 
meses de prisão ( 3)− em vez de seis ( 6)− . Se o prisioneiro 2 negar, para o prisioneiro 1 é 
melhor confessar, pois seria libertado (0) em vez de pegar um mês de prisão ( 1)− . Logo, 
confessar é a estratégia dominante para o jogador 1 e esta será sua escolha. 
Se o prisioneiro 1 confessar, é melhor para o prisioneiro 2 confessar e pegar três meses 
( 3)− em vez de seis ( 6)− . Se o prisioneiro 1 negar, é melhor para o prisioneiro 2 também 
confessar (0 é melhor do que −1). Logo, confessar também é a estratégia dominante para o 
jogador 2 e esta será sua escolha. 
Assim, o único equilíbrio de Nash (também em estratégias dominantes) é ambos 
confessarem e cada um pegar três meses de prisão. Mas este equilíbrio é ineficiente no sentido 
de Pareto, pois há outra situação em que a situação de ambos melhora: a situação em que 
ambos negam (um mês para cada) seria eficiente. 
Jogos repetidos 
 
Se o jogo do dilema dos prisioneiros for repetido digamos, dez vezes, na décima rodada, 
mesmo que os prisioneiros estivessem adotando a estratégia cooperativa “negar”, cada um iria 
confessar. Jogar pela última vez é o mesmo que jogar apenas uma vez. Sabendo disso, cada 
prisioneiro vai confessar na nona rodada, na oitava rodada e assim por diante. Com um 
número fixo de rodadas, cada prisioneiro confessa em todas as rodadas e o único equilíbrio é 
“confessar”, que é não-cooperativo e Pareto-ineficiente. 
Se o jogo for indefinido, há a possibilidade de surgir uma solução cooperativa (Robert 
Axelrod, 1984), através da estratégia “olho por olho”: o prisioneiro 1 coopera negando na 
primeira rodada, esperando que o prisioneiro 2 faça o mesmo. Se este não cooperar, o 
prisioneiro 1 deixa de cooperar. Se ele cooperar, o prisioneiro 1 continua cooperando e a 
situação Pareto-eficiente pode ser atingida. 
Um exemplo de dilema dos prisioneiros é um duopólio na estratégia de fixar o preço. 
As duas empresas cobrando um preço alto alcançam conjuntamente o maior lucro: situação 
cooperativa. Mas se uma cobrar o preço alto valerá a pena para a outra diminuir seu preço e 
aumentar seu lucro ainda mais. Portanto, a estratégia dominante de cada empresa é reduzir o 
seu preço. O equilíbrio de Nash será a situação com lucros menores. Se o jogo for repetido, 
adotando a estratégia “olho por olho” pode ser que ambas as empresas alcancem o equilíbrio 
cooperativo. 
 
Jogos sequenciais 
 
Se o jogo da tabela a seguir 
 
 Jogador 2 
 Esquerda Direita
Jogador 1 Alto 1, 9 1, 9 Baixo 0, 0 2, 1 
 
deixar de ser simultâneo e passar a ser sequencial, a sua forma extensiva será como na Figura 
1, onde o jogador 1 é o líder. 
 
 Para o seguidor (jogador 2), se o jogador 1 já escolheu “Alto”, então é indiferente 
escolher entre “Esquerda” e “Direita”: resultados iguais a 9. Mas se o jogador 1 escolheu 
“Baixo”, então o jogador 2 escolherá “Direita” (para ganhar 1 em vez de 0). 
Para o líder (jogador 1), escolher “Alto” leva a um ganho de 1 sempre. Se escolher 
“Baixo” ganha 2, porque o jogador 2 terá que escolher “Direita”. O equilíbrio será 
(Baixo, Direita) (2,1)= . Como o jogador 2 não gosta deste resultado de equilíbrio (ele ganhou 
1 mas poderia ter ganho 9, caso o jogador 1 tivesse escolhido “Alto”), o jogador 2 pode 
ameaçar escolher “Esquerda” para que o jogador 1 fique com 0 em vez de 2. Mas a ameaça do 
jogador 2 não tem credibilidade: se o jogador 1 escolher “Baixo”, o jogador 2 terá que 
escolher “Direita”, ganhando 1 em vez de 0. 
Porém, o jogador 2 pode “comprar” credibilidade limitando sua própria capacidade de 
escolher. Por exemplo, ele pode passar sua decisão para um advogado que deverá, por 
contrato em cartório (ou por um programa de computador), escolher sempre “Esquerda”. 
Sabendo disso, o jogador 1 irá escolher“Alto” e o equilíbrio se modifica em favor do 
seguidor para: (Alto, Esquerda) (1, 9)= . Um exemplo com estrutura de jogo similar é o de 
uma empresa que escolhe entrar ou não em uma indústria (líder) e a empresa já estabelecida 
(seguidora) resolve ou não reduzir seu preço em resposta. 
Em um jogo sequencial, uma vez que uma escolha seja feita, os jogadores ficam em 
um subjogo contendo as estratégias e resultados daquele ponto em diante, como descrito na 
Figura 2. 
 
 
© Sergio Da Silva 2010 
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Teoria dos Jogos II Hal R. Varian 
 Intermediate Microeconomics, 8th edition 
 Capítulo 29 
 
Função de melhor resposta 
 
No jogo abaixo, se o jogador 2 escolher “Esquerda”, a melhor resposta do jogador 1 é 
escolher “Alto”. Se o jogador 2 escolher “Direita”, a melhor resposta do jogador 1 é escolher 
“Baixo”. Por sua vez, se o jogador 1 escolher “Alto”, a melhor resposta do jogador 2 é 
escolher “Esquerda”. Se o jogador 1 escolher “Baixo”, a melhor resposta do jogador 2 é 
escolher “Direita”. 
 
 Jogador 2 
 Esquerda Direita
Jogador 1 Alto 2, 1 0, 0 Baixo 0, 0 1, 2 
 
Resumo 
 
Escolha do jogador 2 Esquerda Direita 
Melhor resposta do jogador 1 Alto Baixo 
 
Escolha do jogador 1 Alto Baixo 
Melhor resposta do jogador 2 Esquerda Direita 
 
As escolhas (Alto, Esquerda), por exemplo, são mutuamente consistentes: equilíbrio de Nash, 
onde as crenças e as ações dos jogadores coincidem. As funções de melhor resposta são, 
então, 
 
* *
1 1 2( )J f J= (1) 
 
e 
 
 * *2 2 1( )J f J= . (2) 
 
O equilíbrio de Nash é * *1 2( , )J J . 
 O par *1J e 
*
2J é apenas uma das possíveis melhores respostas mutuamente 
consistentes, no caso (Alto, Esquerda). Note que (Baixo, Direita) também seria uma melhor 
resposta. 
 Se houver apenas uma melhor resposta, a função de reação torna-se a função de 
melhor resposta. Então, o equilíbrio de Nash nas funções de melhor resposta é um caso 
particular do equilíbrio de Cournot nas funções de reação.
 
Encontrando o equilíbrio de Nash 
 
Podemos generalizar o jogo anterior para considerar a possibilidade de equilíbrios de Nash em 
estratégias puras e em estratégias mistas. Considere o jogo a seguir. 
 Jogador 2 
 Esquerda, Eπ Direita, 1 Eπ−
Jogador 1 
Alto, Aπ 2,1 0, 0 
Baixo, 1 Aπ− 0, 0 1, 2 
 
A probabilidade de se escolher “Alto” é Aπ e a probabilidade de se escolher “Esquerda” é 
Eπ . Se 0Aπ = , o jogador 1 escolhe “Baixo” com certeza. Se 1Aπ = , o jogador 1 escolhe 
“Alto” com certeza. Se 0Eπ = , o jogador 2 escolhe “Direita” com certeza. Se 1Eπ = , o 
jogador 2 escolhe “Esquerda” com certeza. Então, as estratégias puras ocorrem quando: 
 
0
1A
π =  (3) 
 
e 
 
0
1E
π =  (4) 
 
 Se o jogador 1 escolher “Alto” com probabilidade Aπ e o jogador 2 escolher 
“Esquerda” com probabilidade Eπ , a probabilidade de esses eventos independentes ocorrerem 
ao mesmo tempo é dada por A Eπ π× e o ganho seria 2 para o jogador 1, e 1 para o jogador 2. 
Dessa forma, podemos calcular o valor esperado para cada jogador de cada combinação 
possível de escolhas. Para o jogador 1, o ganho esperado é: 
 
 1( ) 2 (1 ) 0 (1 ) 0 (1 )(1 ) 1A E A E A E A EVE J π π π π π π π π= × × + × − × + − × × + − − × 
 1( ) 2 (1 )(1 )A E A EVE J π π π π= + − − . (5) 
 
Para o jogador 2, o ganho esperado é: 
 
 2( ) 1 (1 ) 0 (1 ) 0 (1 )(1 ) 2A E A E A E A EVE J π π π π π π π π= × × + × − × + − × × + − − × 
 2( ) 2(1 )(1 )A E A EVE J π π π π= + − − . (6) 
 
A expressão (5) pode ser reescrita como: 
 
 1( ) 2 1A E E A A EVE J π π π π π π= + − − + 
 1( ) 3 1A E A EVE J π π π π= − − + . (5′) 
 
Diferenciando em relação a Aπ : 
 
 1( ) 3 1E
A
dVE J
d
ππ = − . (7) 
 
Se a probabilidade de jogar “Alto” for aumentada e o jogador 1 aumentar seu ganho esperado, 
ou seja, 
 1( ) 0
A
dVE J
dπ > (8) 
 
então, (8) e (7): 
 
 3 1 0Eπ − > 
 3 1Eπ > 
 1
3E
π > . (9) 
 
Se não aumentar, ou seja, 
 
 1( ) 0
A
dVE J
dπ = (10) 
 
então, (10) e (7): 
 
 3 1 0Eπ − = 
 3 1Eπ = 
 1
3E
π = . (11) 
 
Se a probabilidade de jogar “Alto” for aumentada e o jogador 1 reduzir seu ganho esperado: 
 
 1( ) 0
A
dVE J
dπ < (12) 
 
então, (11) e (7): 
 
 3 1 0Eπ − < 
 1
3E
π < . (13) 
 
Em resumo, se o jogador 2 escolher jogar “Esquerda” com probabilidade 13 , então a melhor 
resposta para o jogador 1 é não alterar sua probabilidade de jogar “Alto” (trecho horizontal da 
curva de reação da Figura 1). Se o jogador 2 escolher Eπ em qualquer valor acima de 13 , a 
melhor resposta para o jogador 1 é aumentar sua probabilidade de jogar “Alto” (trecho 
vertical da curva de reação, acima de 13Eπ = ). Se o jogador 2 escolher Eπ em qualquer valor 
abaixo de 13 , a melhor resposta para o jogador 1 é reduzir Aπ (trecho vertical da curva de 
reação, abaixo de 13Eπ = ). 
 Analogamente, (6) pode ser reescrita como: 
 
 2( ) 2 2 2 2A E E A A EVE J π π π π π π= + − − + 
 2( ) 3 2 2 2A E E AVE J π π π π= − − + . (6′) 
Diferenciando em relação a Eπ : 
 
 2( ) 3 2A
E
dVE J
d
ππ = − . (14) 
 
Se 
 
 2( ) 0
E
dVE J
dπ = (15) 
→ 
 2
3A
π = . (16) 
 
Se 
 
 2( ) 0
E
dVE J
dπ > (17) 
→ 
 2
3A
π > . (18) 
 
Se 
 
 2( ) 0
E
dVE J
dπ < (19) 
→ 
 2
3A
π < .(20) 
 
Portanto, se o jogador 1 escolher jogar “Alto” com probabilidade 23 , a melhor resposta para o 
jogador 2 é não alterar Eπ (trecho vertical da curva de reação). Se o jogador 1 escolher Aπ 
acima de 23 , a melhor resposta para o jogador 2 é aumentar Eπ , pois isto aumenta seu ganho 
esperado 2( )VE J (trecho horizontal acima de 23 ). Se o jogador 1 escolher Aπ abaixo de 23 , a 
melhor resposta para o jogador 2 é diminuir Eπ (trecho horizontal abaixo de 23 ). 
 Na Figura 1 há três equilíbrios de Nash: dois com estratégias puras (que já 
conhecíamos) e um com estratégia mista. Note que as curvas da Figura 1 são curvas de 
reação, já que, como vimos, escolhemos para a curva de melhor resposta apenas um 
equilíbrio: (Alto, Esquerda). 
 
 
No equilíbrio de Nash com estratégias mistas ocorre 
 
 * *1 2( ) ( )VE J VE J= (21) 
 
e 
 
 1A Eπ π= − . (22) 
 
Para provar (22), substituímos (5) e (6) em (21): 
 
2 (1 )(1 ) 2(1 )(1 )A E A E A E A Eπ π π π π π π π+ − − = + − − 
(1 )(1 )A E A Eπ π π π= − − 
1A E E A A Eπ π π π π π= − − + 
0 1 E Aπ π= − − 
1A Eπ π= − (22) 
 
ou 
 
 2 11
3 3
= − . (22′) 
 
Jogos de coordenação 
 
Jogos de coordenação são aqueles onde os ganhos dos jogadores seriam maiores se eles 
pudessem coordenar suas estratégias. Exemplos: batalha dos sexos, dilema dos prisioneiros, 
corrida armamentista, jogo do amarelão. 
 
1. Batalha dos sexos: mesmo jogo que acabamos de analisar (Alto, Baixo, Esquerda, 
Direita). 
 Moça 
 Filme de ação Filme de arte
Rapaz Filme de ação 2, 1 0, 0 Filme de arte 0, 0 1, 2 
 
Há três equilíbrios de Nash: (1) (Ação, Ação) = (2, 1); (2) (Arte, Arte) = (1, 2) e Rapaz 
escolhe Ação com probabilidade 23 e Moça escolhe Arte com probabilidade 23 . 
 Se, por considerações externas, um dos equilíbrios for mais esperado, este será o ponto 
focal do jogo. Por exemplo, se o cinema ficar perto da casa do rapaz, talvez ocorra o 
equilíbrio no ponto focal (2, 1). 
 
2. Dilema dos prisioneiros. 
 
 Prisioneiro 2 
 Confessar Negar 
Prisioneiro 1 Confessar −3, −3 0, −6 Negar −6, 0 −1, −1
 
A solução não-cooperativa (Confessar, Confessar) = (−3, −3) pode ser evitada se o jogo for 
repetido indefinidamente com cada jogador adotando a estratégia “olho por olho”. Os 
jogadores também podem assinar um contrato para que a escolha seja (Negar, Negar) = 
(−1, −1). 
 
3. Corrida armamentista. 
 
 Ex-URSS 
 Não construir Construir
EUA Não construir mísseis 4, 4 1, 3 Construir 3, 1 2, 2 
 
Há dois equilíbrios de Nash com estratégias puras: (1) (Não construir, Não construir) = (4, 4) 
e (2) (Construir, Construir) = (2, 2). Para se chegar ao melhor equilíbrio em (4, 4) um jogador 
pode permitir unilateralmente a inspeção. 
 
4. Jogo do amarelão. 
 
 John Nash 
 Desviar Ir em frente
James Dean Desviar o carro 0, 0 −1, 1 Ir em frente 1, −1 −2, −2 
 
Há dois equilíbrios de Nash com estratégias puras: (1) (Desviar, Ir em frente) = (−1, 1) e (2) 
(Ir em frente, Desviar) = (1, −1). James Dean pode botar uma tranca antes de acelerar e 
garantir o equilíbrio (1, −1). 
 
 
 
Jogos de competição 
 
Jogos de competição são jogos de soma zero, onde os ganhos de um jogador se igualam às 
perdas do outro. Exemplo: maioria dos esportes. 
 
Pênalti do futebol. 
 
 Goleiro 
 Pular à esquerda Pular à direita
Atacante Chutar à esquerda 50, −50 80, −80 Chutar à direita 90, −90 20, −20 
 
Os resultados podem ser interpretados da seguinte maneira: por exemplo, na célula superior 
esquerda, o atacante faz gol em 50% das vezes. 
 Comecemos com o ponto de vista do atacante. É vantagem para ele adotar uma 
estratégia mista: chutar à esquerda com probabilidade Eπ e à direita com probabilidade 
1 Eπ− . Se o goleiro pular à esquerda, 
 
 (atacante) 50 90(1 )E EVE π π= + − . (23) 
 
Se o goleiro pular à direita, 
 
 (atacante) 80 20(1 )E EVE π π= + − . (24) 
 
(23) e (24): 
 
50 90(1 ) 80 20(1 )E E E Eπ π π π+ − = + − 
30 90 90 20 20E E Eπ π π= − − + 
30 70 70E Eπ π= − 
100 70Eπ = 
0.70Eπ = . (25) 
 
Se o atacante chutar à esquerda 70% das vezes e o goleiro responder de forma ótima, ele 
marcará gol em 62% das vezes. De fato, (25) em (23) (ou em (24)): 
 
 (atacante) 50 0.7 90 0.3
 35 27
VE = × + ×
= + 
 (atacante) 62VE = . (26) 
 
 Vejamos agora o ponto de vista do goleiro, que pula à esquerda com probabilidade Eκ 
e à direita com probabilidade 1 Eκ− . Se o atacante chutar à esquerda: 
 
 (goleiro) 50 ( 80)(1 )E EVE κ κ= − + − − 
 (goleiro) 50 80(1 )E EVE κ κ= − − − . (27) 
 
Se o atacante chutar à direita: 
 
 (goleiro) 90 ( 20)(1 )E EVE κ κ= − + − − 
 (goleiro) 90 20(1 )E EVE κ κ= − − − . (28) 
 
(27) e (28): 
 
 50 80(1 ) 90 20(1 )E E E Eκ κ κ κ− − − = − − − 
 50 90 20(1 ) 80(1 )E E E Eκ κ κ κ− + = − − + − 
 40 20 20 80 80E E Eκ κ κ= − + + − 
 40 60 60E Eκ κ= − 
 100 60Eκ = 
 0.60Eκ = . (29) 
 
Se o goleiro pular à esquerda 60% das vezes e o atacante responder de forma ótima, o 
atacante marcará gol em 62% das vezes. De fato, (29) em (27) (ou em (28)): 
 
(goleiro) 50 0.6 80 0.4
 30 32
VE = − × − ×
= − − 
(goleiro) 62VE = − . (30) 
 
 Compare (26) com (30). As curvas de reação (de melhor resposta) estão na Figura 2. 
 
 
No equilíbrio de Nash, (23) = (27) ou (24) = (28). Para (23) = (27), 
 
* *(atacante ) (goleiro )VE VE= 
50 90 90 50 80 80E E E Eπ π κ κ+ − = − − + 
40 90 30 80E Eπ κ− + = − 
30 40 170 0E Eκ π+ − = . (31) 
 
 Fora do equilíbrio, para o atacante, diferenciamos (31) em relação a Eπ : 
 
 (atacante) 40 0
E
dVE
dπ = > (32) 
→ 
Eπ ↑ → (atacante)VE ↑ e Eπ ↓ → (atacante)VE ↓. 
 Para o goleiro, diferenciando (31) em relação a Eκ : 
 
 (goleiro) 30 0
E
dVE
dκ = > (33) 
→ 
Eκ ↑ → (goleiro)VE ↑ e Eκ ↓ → (goleiro)VE ↓. As curvas de reação estão representadas na 
Figura 3. 
 
 
 
Jogos de coexistência 
 
Jogo de falcões e pombos. 
 Chupacabra 2 
 Comportamento de falcão 
Comportamento de 
pombo 
Chupacabra 1 
Comportamento de 
falcão −2, −2 4, 0 
Comportamento de 
pombo 0, 4 2, 2 
Há dois equilíbrios de Nash em estratégias puras (este é o jogo do amarelão de antes), mas há 
outro em estratégias mistas. 
 Se os dois cachorros selvagens adotarem um comportamento de falcão com 
probabilidade Hπ , e de pombo com probabilidade 1 Hπ− , para o chupacabra 1, seu ganho 
esperadode se comportar como falcão será: 
 
 ( ) 2 4(1 )H HVE H π π= − + − . (34) 
 
O seu ganho esperado de se comportar como pombo será: 
 
 ( ) 0 2(1 )H HVE D π π= ⋅ + − 
 ( ) 2(1 )HVE D π= − . (35) 
 
Cálculo similar vale para o chupacabra 2. 
 Se 
 
( ) ( )VE H VE D> , (36) 
 
valerá a pena para o chupacabra 1 se comportar como falcão: ele se reproduzirá mais e os seus 
descendentes herdarão a tendência de jogar falcão. Se 
 
 ( ) ( )VE H VE D< , (37) 
 
a população de chupacabras que se comportam como pombos aumentará. Em equilíbrio: 
 
 ( ) ( )VE H VE D= . (38) 
 
(34) e (35) em (38): 
 
 2 4 4 2 2H H Hπ π π− + − = − 
 2 4 Hπ= 
 0.5Hπ = . 
 
Chupacabras com comportamento de falcão em igual proporção a outros com comportamento 
de pombo é o equilíbrio de Nash, que também é evolucionariamente estável (John Maynard 
Smith, 1982). 
 Se 
 
 ( ) ( )VE H VE D> , (36) 
 
então, (34) e (35) em (36): 
 
 2 4 4 2 2H H Hπ π π− + − > − 
2 4 Hπ> 
0.5Hπ < . 
 
Quando 0.5Hπ < , o ganho esperado de se comportar como falcão é maior, levando à maior 
proporção de comportamento de falcão. Se 
 
 ( ) ( )VE H VE D< , (37) 
 
então, (34) e (35) em (37): 
 
 2 4 4 2 2H H Hπ π π− + − < − 
 2 4 Hπ< 
0.5Hπ > . 
 
Quando 0.5Hπ > , vale a pena ser pombo e a população com esse comportamento aumentará. 
 Note em 
 
 ( ) 2 4(1 )H HVE H π π= − + − (34) 
 
que quando 0Hπ = → ( ) 4VE H = (intercepto da Figura 4). Veja também que em 
 
 ( ) 2(1 )HVE D π= − , (35) 
 
quando 0Hπ = → ( ) 2VE D = (intercepto). 
 
 
 
Jogos de compromisso 
 
Para alterar o resultado de um jogo sequencial em seu favor, um jogador pode comprar 
credibilidade através de uma escolha que envolva compromisso. Esta escolha precisa ser 
observada pelo outro jogador para que este se convença de alterar o comportamento. 
Exemplo: o sapo e o escorpião. 
 
 Como o jogo é sequencial, se o sapo escolher carregar o escorpião, o escorpião 
escolherá ferroar o sapo, pois o ganho do escorpião de 5 superará o de 3. Equilíbrio: (Sapo, 
Escorpião) = (−10, 5). O sapo poderia ter feito um acordo para que, antes, o escorpião 
amarrasse sua cauda. Equilíbrio: (Sapo, Escorpião) = (5, 3) 
 Outro exemplo é o jogo “sequestrador e refém”. O refém pede para ser libertado e em 
troca promete não identificar o sequestrador. 
 
 Porém, se o sequestrador libertar o refém, este vai identificá-lo depois, já que o ganho 
de 5 supera o de 3. Equilíbrio: (Sequestrador, Refém) = (−5, 5). Mas o refém pode comprar 
credibilidade impondo a si mesmo um custo. Equilíbrio: (Sequestrador, Refém) = (5, 3). 
 Ainda outro exemplo é o jogo do porco subordinado e do porco dominador (Figura 7). 
 
 Porco dominador 
 Não pressiona a alavanca Pressiona
Porco subordinado Não pressiona a alavanca 9, 0 5, 1 Pressiona −1, 6 1, 5 
 
 
 
 Não pressionar a alavanca é a estratégia dominante do porco subordinado. Equilíbrio 
de Nash: (5, 1). Se o porco fosse racional, ele talvez resolvesse comprar pela ACME uma 
alavanca que desse choque: não pressionar viraria a estratégia dominante para ele, mas aí 
ninguém comeria. Alguma outra sugestão? 
 Um exemplo final seria o jogo da extorsão (Figura 8), onde um vendedor de uma loja 
acha melhor extorquir o cliente, que escolhe ceder: equilíbrio em (1300, 0). Porém, a 
resultante má reputação da loja dificultaria a manutenção desse equilíbrio no futuro. 
 
 
 
 
 
Jogo do ultimato 
 
Os jogadores 1 e 2 precisam dividir $1 (digamos, em moedas de um cent (penny): ¢1) entre si 
em três dias de negociação. Se um jogador for indiferente entre duas propostas, por hipótese 
ele aceita a preferida pelo oponente. 
 
 Jogo sequencial: no primeiro dia, o jogador 1 faz uma oferta. 
 O jogador 2 a aceita ou não. 
 Recusando-a, ele faz uma contra-oferta no segundo dia. 
 O jogador 1 a aceita ou não. 
 Recusando-a, ele faz a última oferta no terceiro dia. 
 Se não chegarem a um acordo no terceiro dia, os dois jogadores nada ganham. 
 
 O valor futuro de $1 é dado por 
 
($1) $1(1 )VF r= + , 
 
onde r é a taxa de juros real. A utilidade diária da taxa de desconto para o jogador 1 é 
 
(1 )u r α+ = 
 
e, para o jogador 2, é 
 
(1 )u r β+ = . 
 
Assim, 
 
próximo
dia
($1) $1VF α α= × = para o jogador 1 
 
e 
 
próximo
dia
($1) $1VF β β= × = para o jogador 2. 
 
 Comecemos a análise pelo final do jogo. No terceiro dia, o jogador oferece ¢1 e fica 
com ¢99. O jogador 2 prefere ¢1 a ¢0 e o subjogo acaba. Se o jogador 2 for indiferente entre 
¢1 e nada, o equilíbrio fica sendo: 
 
 ( )Ganho do jogador 1, Ganho do jogador 2 ($1, 0)= . 
 
 Por causa disso, no segundo dia o jogador 2 sabe que o jogador 1 vai rejeitar sua oferta 
para, no terceiro dia, ficar com $1. 
 
 próximo
dia
($1)VF α= para o jogador 1. 
 
Logo, qualquer oferta do jogador 2 menor do que α será rejeitada pelo jogador 1. Sobra 
1 α− para o jogador 2 no segundo dia, que é melhor do que zero no terceiro dia. O jogador 2 
oferece α e o jogador 1 aceita. O equilíbrio do subjogo (terceiro dia e segundo dia) fica 
sendo: 
 
 ( )Ganho do jogador 1, Ganho do jogador 2 ( , 1 )α α= − . 
 
 No primeiro dia, o jogador 1 sabe que o jogador 2 garante 1 α− no segundo dia se ele 
recusar sua oferta. O jogador 1 então oferece 
 
 próximo
dia
(1 ) (1 )VF α β α− = − para o jogador 2 
 
e fica com 1 (1 )β α− − . O equilíbrio deste subjogo (terceiro dia, segundo dia e primeiro dia) 
fica sendo: 
 
 ( )Ganho do jogador 1, Ganho do jogador 2 (1 (1 ), (1 ))β α β α= − − − . 
 
O jogo então se resolve no primeiro dia e, assim, existe o único equilíbrio perfeito de subjogo 
acima. 
 Ariel Rubinstein (1982) mostrou que, para uma negociação sem tempo definido, o 
equilíbrio perfeito de subjogo fica sendo: 
 
 ( ) 1 (1 )Ganho do jogador 1, Ganho do jogador 2 , 
1 1
β β α
αβ αβ
 − −=  − −  . 
 
Note que a soma dos ganhos dos dois jogadores em todos os subjogos é igual a 1. 
 
© Sergio Da Silva 2010 
sergiodasilva.com 
 
Economia Hal R. Varian 
Comportamental Intermediate Microeconomics, 8th edition 
 Capítulo 30 
 
Apresentação das escolhas
 
O modelo da escolha do consumidor é o melhor ponto de partida de análise, mas incompleto. 
Precisamos adicionalmente levar em conta as descobertas da economia comportamental, que 
recorre à psicologia. 
 O modo como as escolhas são apresentadas (framed) ao consumidor pode afetar sua 
escolha. Uma calça rasgada sendo vendida em uma loja exclusiva vende mais do que a mesma 
calça em uma loja comum. Comprar uma ação vendendo outra deixa o portfólio inalterado, 
mas o consumidor quando compra se comporta de forma diferente da situação em que vende. 
Se um livro for etiquetadoem $29.95 vende mais do que se for em $29.00. Os efeitos da 
apresentação da escolha são bem capitalizados pelas técnicas de marketing. 
 
O dilema da doença 
 
Apresentando um tratamento para uma doença de modo positivo pode fazer com que o 
consumidor o escolha. Mas ele não o escolheria se fosse apresentado de modo negativo. 
Exemplo: uma doença séria ameaça 600 pessoas. Uma apresentação positiva seria: 
 
Tratamento A salva 200 vidas com certeza 
Tratamento B salva 600 vidas com 13 de chance e nenhuma vida com 
2
3 de chance 
 
Uma apresentação negativa seria: 
 
Tratamento C 400 pessoas morrem com certeza 
Tratamento D 600 pessoas morrem com 23 de chance e ninguém morre com 
1
3 de chance 
 
 O consumidor tende a escolher o tratamento A em vez do B, mas incorre em 
inconsistência ao escolher o tratamento D em vez do C. Note que tudo é uma questão de 
apresentação porque os tratamentos A e C geram o mesmo resultado. O tratamento A salva 
200 vidas com certeza e, portanto, 400 pessoas morrem com certeza, que é como o tratamento 
C é apresentado. Os tratamentos B e D são similares também. No tratamento B, o valor 
esperado de vidas salvas é: 
 
 1 2600 0 200
3 3
VE = + = . 
 
Portanto, espera-se que 400 pessoas morram. Isto é o valor esperado no tratamento D: 
 
 2 1 1200600 0 400
3 3 3
VE = + = = . 
 
 Se o consumidor for avesso ao risco e escolher salvar 200 vidas com certeza 
(tratamento A) em vez de apostar em 200 vidas salvas (tratamento B), espera-se que ele 
também escolha o tratamento C em vez da aposta (tratamento D). Porém, quando perdas estão 
envolvidas, parece que o consumidor busca o risco. 
 Mesmo médicos incorrem nesse viés cognitivo: em um experimento, 72% escolheram 
o tratamento A, mas apenas 22% escolheram também o equivalente tratamento C. 
 
Efeito-disposição 
 
Um consumidor que recebe de presente ações de uma empresa que ele jamais compraria tende 
a demorar muito para vendê-las em caso de baixa contínua. Além disso, tende a vender 
apressadamente ações em alta. 
 
Efeito-âncora 
 
A escolha do consumidor pode ser influenciada por informação irrelevante. Em um 
experimento, os participantes giravam uma roda da fortuna e depois eram perguntados se o 
número de países africanos nas Nações Unidas era maior ou menor do que o número que saiu. 
Em seguida, os participantes diziam quais eram suas estimativas do número de países 
africanos nas Nações Unidas. O número que saiu na roda da fortuna, apesar de inteiramente 
aleatório, influenciava a estimativa do número de países. 
 Em outro experimento, uma garrafa de vinho cara era mostrada a alunos de MBA. 
Depois estes eram perguntados se pagariam pela garrafa o equivalente aos dois últimos dígitos 
do seu número de Seguridade Social. Em seguida, os alunos informavam o valor máximo que 
estariam dispostos a pagar pela garrafa. O número de Seguridade Social influenciava as 
respostas. Aqueles com dígitos 50 ou abaixo queriam pagar $11.62 em média; os com dígitos 
acima de 50 queriam pagar $19.95 em média. 
 Fora do laboratório há outros exemplos. Três empregadores ofereciam entrada 
automática em determinado fundo de pensão. Os empregados poderiam optar por sair depois. 
Mais de 85% dos trabalhadores aceitaram a entrada automática. O problema é que os 
trabalhadores também escolhiam ao mesmo tempo o associado investimento: um fundo de 
baixa contribuição e baixo retorno. Os empregadores escolhiam um investimento conservador 
para evitar risco e ação judicial. 
 
Escolha de uma só vez 
Um professor oferecia a seus alunos a escolha de seis diferentes tipos de lanche. Em uma 
escolha, os alunos tinham que escolher logo o lanche das três semanas seguintes. Em outra 
escolha, os alunos escolhiam o lanche a ser consumido a cada dia. Na escolha de uma só vez 
para o futuro, os alunos escolhiam lanches mais diversificados. 
 
Excesso de variedade 
 
Mais escolha é melhor. Mas isto ignora o custo de se escolher. Em um experimento, dois 
estandes de geleia foram expostos em um supermercado. No primeiro, havia 24 sabores e, no 
segundo, apenas 6. Embora mais pessoas parassem em frente ao estande com mais variedade, 
acabavam comprando mais no estande de menos sabores. Excesso variedade dificulta a 
escolha do consumidor. 
 Em decisões de investimento também ocorre o problema da escolha excessiva. 
Descobriu-se que pessoas montando portfólios para a aposentadoria tendiam a ficar satisfeitas 
em copiar o portfólio de colegas. Ter autonomia para escolher tem custo. 
 
Preferências construídas 
 
Na microeconomia, as preferências preexistentes explicam o comportamento. Mas os 
economistas comportamentais acham que o consumidor cria preferências no ato de escolher: 
as preferências são construídas. Exemplo: uma consumidora pega um tomate em uma banca. 
Coloca-o de volta. Pega-o de novo. Ela o quer ou não? Talvez ela esteja descobrindo sua 
preferência. 
 Contudo, uma vez descobertas, as preferências ficam embutidas em qualquer escolha. 
Uma vez que a escolha seja feita, ela tende a ancorar futuras decisões. Se você tentar comprar 
o tomate da consumidora que finalmente resolveu comprá-lo, provavelmente irá pagar mais. 
 
Lei dos pequenos números 
 
Pela lei dos grandes números, a média de uma amostra grande de uma população tende a se 
aproximar da média da população. Psicologicamente, porém, os consumidores tendem a ser 
influenciados por pequenas amostras. Eles esperam que as amostras sejam iguais à 
distribuição de onde elas são extraídas. Exemplo: uma cidadezinha possui dois hospitais. Em 
média, nascem por dia 45 bebês no hospital grande e 15 no pequeno. Em 50% das vezes 
nascem meninos. Mas isto pode variar de dia para dia. Cada hospital registra os dias em que 
nascem mais meninos (> 60%). Que hospital registra mais essas saídas da média em, 
digamos, um ano? 
 Em um questionário para estudantes, 56% responderam que os dois hospitais 
registrariam aproximadamente o mesmo número de dias nascendo mais meninos, 22% 
responderam que o hospital grande registraria mais dias e apenas 22% responderam 
corretamente que o hospital menor registraria mais dias. Para entender, suponha agora que 
ocorram em média, por dia, 2 nascimentos no hospital pequeno e 100 no grande. No hospital 
pequeno, a probabilidade de que os dois nascimentos sejam de meninos é 
1 1 1
2 2 4 0.25 25%× = = = . Seria bem mais difícil esperar que 25% de todos os 100 nascimentos 
do hospital grande fossem de meninos. 
 O consumidor também não reconhece bem a aleatoridade. Jogando uma moeda, a 
chance de sair “cara” três vezes seguidas é 1 1 1 12 2 2 8 0.125× × = = . A de sair “coroa” três vezes 
seguidas é 0.125. Como os dois eventos “cara três vezes seguidas” ou “coroa três vezes 
seguidas” são mutuamente excludentes, a probabilidade é dada por 0.125 + 0.125 = 0.25. Em 
um experimento onde pessoas escreviam uma sequência de 150 lances de moeda, somente em 
15% das vezes escreveram cara, cara, cara ou coroa, coroa, coroa. Mas deveria ser em 25% 
das vezes para ser aleatório. Analogamente, a probabilidade de aparecer cara, cara, cara, cara 
ou coroa, coroa, coroa, coroa é 
 
 ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 16 16 0.0625 0.0625 0.125× × × + × × × = + = + = . 
 
No experimento, apenas em 3% das vezes as pessoas escreveram quatro caras ou quatro 
coroas em seguida. Já que o correto é 12.5%, as pessoas parecem não entender a teoria de 
probabilidade. 
 Talvez as pessoas, então, não consigam aleatorizar suas decisões nas estratégias mistas 
da teoria dos jogos. Em um estudo com jogadores de tênis em Wimbledon, percebeu-se que 
eles não conseguiam aleatorizar os serviços de saque, tendendo a mudar de saques à esquerda 
e à direita em excesso com relação ao aleatoriamente correto. 
 
Excesso de aversão ao risco 
Se sair cara, ganha-se $14; se sair coroa, perde-se $10. Vale a penapara alguém com renda de 
$100 mil por ano entrar nessa aposta? Sim, porque 
 
 ( ) ( )1 12 214 10 7 5 2VE = × + − × = − = . 
Além de o valor esperado ser positivo, a aposta é muito pequena em relação à renda. 
Surpreendentemente, poucas pessoas entram em apostas desse tipo, demonstrando um excesso 
de aversão ao risco. 
 Os consumidores também tendem a fazer seguro de pequenos eventos. Exemplo: 
seguro de perda de telefone celular. Se o seguro custar $36 por ano e o aparelho novo custar 
$180, o correto é observar a house odds de 36180 0.2= . O seguro valerá a pena apenas se a 
chance de se perder o celular durante o ano ficar acima de 20%. 
 
Efeito-dotação 
Em um experimento, metade dos participantes ganhou canecos de café. Depois, eles 
reportaram o preço mais baixo que venderiam os canecos. O preço mediano foi $5.79. Para 
aqueles da outra metade do grupo que não ganhou caneco foi pedido que fosse reportado o 
preço máximo que eles comprariam caneco. O preço mediano foi $2.25. Como os grupos 
foram formados aleatoriamente, esperava-se que os preços medianos de venda e compra 
fossem próximos. Parece que quem possui um item atribui um valor a mais para ele do que 
quem não o possui. 
 
Falácia dos custos irrecuperáveis 
Ao se comprar um item, o montante pago é irrecuperável (sunk cost). Por esta razão, o 
comportamento futuro não deve depender do valor pago. Mas, na prática, um estudo em 
Boston mostrou que os preços de apartamentos em condomínios cobrados por proprietários 
eram fortemente correlacionados aos preços de compra. Porém, para donos que compraram 
para investir, e não para morar, os preços eram menos correlacionados. 
 
Desconto semi-hiperbólico 
A teoria convencional estabelece que os consumidores descontam o futuro a uma fração 
constante tδ . Se ( )u c for a utilidade do consumo de hoje, a utilidade do consumo em t anos 
no futuro será ( )tu cδ , onde 0 1δ< < . Este desconto exponencial é o único em que o 
comportamento é consistente ao longo do tempo. Para um consumidor com horizonte de 
planejamento de três períodos, a função utilidade será 
 
 21 2 3( ) ( ) ( )u c u c u cδ δ+ + , 
 
a taxa marginal de substituição entre os períodos 1 e 2 será 
 
 21,2
1
( )
( )
UM cTMS
UM c
δ= 
 
e a taxa marginal de substituição entre os períodos 2 e 3 será 
 
 
2
3 3
2,3
2 2
( ) ( )
( ) ( )
UM c UM cTMS
UM c UM c
δ δ
δ= = . 
 
Portanto, a taxa à qual o consumidor deseja substituir o consumo no período 2 pelo consumo 
no período 3 é a mesma que a taxa que ele deseja substituir o consumo no período 1 pelo 
consumo no período 2. 
 Na prática, porém, parece ocorrer o desconto semi-hiperbólico ( 11 kt+ ). Isto significa que 
o consumidor desconta mais o futuro de longo prazo do que o futuro de curto prazo. Pode, 
então, ocorrer inconsistência temporal na escolha. Um consumidor que resolve gastar $5000 
em uma viagem à Europa pensa em começar a poupar no próximo verão. Quando o verão 
chega, ele decide que vai poupar no próximo, e assim por diante: ele protela sempre com o 
desconto semi-hiperbólico. 
 
Autocontrole 
Protelar pode significar falta de autocontrole. Uma consumidora decide fazer uma dieta, mas 
não para hoje e sim para a próxima semana. Também ocorre a tendência para excesso de 
comprometimento. Como há a tendência a protelar, o certo seria não deixar para amanhã o 
que se pode fazer hoje. Para evitar excesso de comprometimento o certo seria dizer “não” 
com mais freqüência. A maneira mais eficaz de lidar com problemas de autocontrole, porém, 
é adotar esquemas de comprometimento para ações futuras. Exemplos: pronunciamento 
público de comportamento futuro e contratos consigo mesmo e com os outros. Pode-se 
comprar autocontrole como no caso de se consumir o serviço de spas, personal trainers e 
professores particulares. 
 
Excesso de confiança 
 
Investidores do sexo masculino tendem a transacionar com ativos de modo excessivo. Isto 
leva a menores retornos. Em um estudo com 66465 investidores, os que fizeram mais 
transações receberam um retorno médio de 11.3% no período contra 18% de retorno para os 
que fizeram menos transações. Homens transacionaram 45% a mais do que mulheres na 
amostra e, portanto, ficaram com menores retornos. Isto ocorre porque os homens costumam 
apresentar mais excesso de confiança em suas próprias habilidades do que as mulheres. 
 
Teoria comportamental dos jogos 
 
Em jogos de ultimato, como vimos, onde o jogador proponente divide $10 entre ele e o outro 
jogador, a estratégia dominante para este último é aceitar qualquer oferta maior do que zero. 
Sabendo disso, o proponente oferece o mínimo para o outro jogador. O resultado do jogo será 
uma divisão em que o proponente fica com quase tudo. 
 Em experimentos práticos, porém, ofertas abaixo de 30% tendem a ser rejeitadas em 
mais da metade das vezes. Porém, quando o proponente sabe que o respondente vai rejeitar 
propostas consideradas “injustas”, tende a oferecer 45% do valor e a rejeição cai para cerca de 
16%. Mulheres oferecem divisões mais iguais para homens. Algumas culturas valorizam mais 
divisões iguais do que outras. Com valores mais altos, divisões mais desiguais costumam ser 
aceitas: com $10 sendo dividido pode-se não querer $1; mas com $1000 dificilmente se rejeita 
$100. As divisões ficam mais iguais também quando os respondentes anunciam 
antecipadamente o mínimo valor que irão aceitar. 
 As pessoas então possuem um viés para distribuições não desiguais (fairness). Jogos 
de punição generalizam jogos de ultimato introduzindo uma terceira parte que observa as 
escolhas do proponente e pode resolver reduzir seu ganho. Em experimentos, 60% dos 
observadores costumam punir os proponentes que fazem distribuições desiguais. O desejo de 
punir também varia de cultura para cultura. 
 
© Sergio Da Silva 2010 
sergiodasilva.com 
 
 
Equilíbrio Geral: Troca Hal R. Varian 
 Intermediate Microeconomics, 8th edition 
 Capítulo 31
 
Na análise de equilíbrio parcial, a demanda e a oferta são afetadas apenas pelo preço do bem. 
Mas os preços dos bens substitutos e complementares também afetam a demanda pelo bem e 
os preços dos bens vendidos aumentam ou diminuem a renda, que, por sua vez, afeta a 
quantidade demandada de outros bens. Assim, no equilíbrio geral consideramos as demandas 
e ofertas de vários mercados interagindo para determinar os preços de muitos bens. 
Para simplificar, consideramos apenas: (1) mercados competitivos, (2) dois bens e dois 
consumidores e (3) duas etapas de análise: troca pura (onde as pessoas não produzem e 
possuem dotações de bens fixas) e produção. 
 
Caixa de Edgeworth 
 
Na caixa de Edgeworth representamos as dotações e preferências de dois consumidores, A e 
B , em relação a dois bens, 1 e 2 , em um único diagrama. A cesta de consumo do 
consumidor A é 
 
1 2( , )A A AX x x= , (1) 
 
onde 1Ax é a quantidade consumida por A do bem 1 e 
2
Ax é a quantidade consumida por A do 
bem 2 . 
 Analogamente, a cesta de consumo do consumidor B é 
 
 1 2( , )B B BX x x= . (2) 
 
 O par de cestas AX e BX é uma alocação. A alocação será factível se a quantidade 
total de cada bem for igual ao total disponível. Para a alocação da dotação inicial de cada 
consumidor (que cada um traz ao mercado), 
 
 
A
ω 1 2( , )A Aω ω=(3) 
 
e 
 
 
B
ω 1 2( , )B Bω ω= . (4) 
 
A alocação factível será 
 
1 1 1 1
A B A Bx x ω ω+ = + (5) 
 
para o bem 1, e 
 
 2 2 2 2A B A Bx x ω ω+ = + (6) 
 
para o bem 2 . 
 Os consumidores A e B trocarão quantidades dos bens até chegarem às suas 
alocações finais. Por exemplo (Figura 1), se houver, inicialmente, 10 unidades do bem 1 e 20 
unidades do bem 2 (não há produção), então a alocação na dotação inicial será 
 
 1 1 10A Bω ω+ = (7) 
 
e 
 
 2 2 20A Bω ω+ = . (8) 
 
Se a dotação do consumidor A for 
 
A
ω 1 2( , ) (7, 12)A Aω ω= = , (9) 
 
então a dotação do consumidor B será 
 
B
ω 1 2( , ) (3, 8)B Bω ω= = . (10) 
 
Qualquer alocação depois da troca não pode ultrapassar a alocação factível ((7) em (5) e (8) 
em (6)): 
 
1 1 10A Bx x+ = (11) 
 
e 
 
2 2 20A Bx x+ = . (12) 
 
 A caixa de Edgeworth não passa de eixos convencionais que são encaixados, depois de 
se rotar os eixos do consumidor B . Qualquer alocação resultante de trocas AX e BX precisa 
ser representada dentro da caixa de Edgeworth, já que aquela não pode ultrapassar a alocação 
factível. Para cada consumidor, na alocação de dotação inicial passa uma curva de 
indiferença, uma vez que à dotação está associado um número de utilidade. A caixa de 
Edgeworth representa as dotações e as preferências dos dois consumidores e, assim, captura 
as características essenciais que tornam possível a troca. 
Troca 
 
Do ponto de vista do consumidor A , todas as combinações de bens situadas acima da curva 
de indiferença que passa pelo seu ponto de dotação ω são preferíveis. O mesmo ocorre com 
o consumidor B . Na caixa de Edgeworth, as combinações que são preferíveis para ambos ao 
mesmo tempo situam-se na área hachurada da Figura 2. Quando ocorrer a interseção das 
curvas de indiferença, não será possível melhorar a situação de um consumidor sem, com isto, 
piorar a do outro: ocorre a eficiência de Pareto na troca. Na Figura 2, esta situação acontece 
no ponto M , onde o consumidor A abre mão de 2 unidades do bem 1 para adquirir 1 
unidade adicional do bem 2 , enquanto o consumidor B abre mão de 1 unidade do bem 2 para 
adquirir 2 unidades do bem 1. No ponto M , 
 
A BTMS TMS= . (13) 
Alocações eficientes de Pareto 
 
Em uma alocação eficiente de Pareto: (1) não há como melhorar a situação dos dois 
consumidores conjuntamente, ou (2) não há como melhorar a situação de um consumidor 
sem, com isto, piorar a do outro, ou (3) todos os ganhos advindos das trocas se esgotaram, ou 
ainda (4) não há mais trocas mutuamente vantajosas. 
Há muitas situações em que as curvas de indiferença dos dois consumidores se 
tangenciam dentro da caixa de Edgeworth. Todos os pontos eficientes perfazem o conjunto de 
Pareto. Ligando os pontos encontramos a curva de contrato (Figura 3). A origem para cada 
consumidor também é um ponto eficiente, apesar de não haver tangência: caso de fronteira. 
Na origem do consumidor A , por exemplo, este não possui nada dos dois bens e o 
consumidor B possui tudo: esta situação é eficiente porque a situação de A somente poderá 
ser melhorada tirando-se de B . Portanto, a curva de contrato passa pelas origens. 
 
 
 
Trocas com leiloeiro 
 
Podemos imaginar muitos consumidores e que um deles se torne um leiloeiro que escolhe um 
preço para o bem 1, um preço para o bem 2 , e os anuncia aos consumidores do tipo A e do 
tipo B . Cada grupo calcula quanto vale sua dotação aos preços 1 2( , )p p e decide quanto de 
cada bem comprar. A esses preços, a demanda do grupo A não necessariamente se iguala à 
oferta do grupo B para cada um dos bens. A demanda bruta do grupo A pelo bem 1, 1Ax , é a 
quantidade desejada ao preço anunciado. Para o consumidor A , a demanda líquida (ou 
demanda excedente), 1Ae , é o que fica depois de retirarmos da demanda bruta a dotação inicial 
do bem 1: 
 
1 1 1
A A Ae x ω= − . (14) 
 
Para o bem 2 : 
 
2 2 2
A A Ae x ω= − . (15) 
 
Para o consumidor B : 
 
1 1 1
B B Be x ω= − (16) 
 
e 
 
2 2 2
B B Be x ω= − . (17) 
 
A demanda excedente é, portanto, a diferença entre o que um consumidor deseja consumir de 
um bem e o que inicialmente possui do bem. 
 
 Na Figura 4, para a relação de preços 1
2
p
p , as TMS dos dois grupos são diferentes. Os 
preços anunciados 1p e 2p não levam, portanto, os mercados ao equilíbrio. O leiloeiro então 
aumenta o preço do bem com demanda excedente (e a reta orçamentária rota em torno da 
dotação ω ) até que a demanda excedente desapareça. No equilíbrio de mercado competitivo 
resultante (Figura 5), o conjunto de preços * *1 2( , )p p permite que cada grupo escolha a cesta 
mais preferida pela qual pode pagar e as escolhas dos dois grupos se compatibilizam, já que a 
demanda se iguala à oferta nos dois mercados e 
 
 1
2
A B
pTMS TMS
p
= = . (18) 
 
 
 
 
Monopólio na caixa de Edgeworth 
 
Sem leiloeiro, o consumidor A (monopolista) fixa o preço para B , que resolve quanto trocar 
ao preço fixado. O consumidor A conhece o comportamento da demanda de B através da 
sua curva de preço-consumo, que representa todas as escolhas ótimas de B a diferentes 
preços (Capítulo 6). O consumidor A escolhe a sua curva de indiferença mais alta sobre a 
curva de preço-consumo de B : a curva de indiferença de A tangencia a curva de preço-
consumo de B . Escolher o preço no ponto de tangência equivale a escolher a reta 
orçamentária passando por ele até o ponto de dotação (Figura 6). 
 
 Como a curva de indiferença de A não tangencia a curva de indiferença de B , o 
equilíbrio geral de monopólio é ineficiente. Porém, o consumidor A pode também ser um 
monopolista discriminador perfeito de preço se conseguir vender cada unidade do bem 1 pelo 
preço de reserva de B . Na curva de indiferença de B que passa pelo ponto de dotação, o 
consumidor A vende a primeira unidade do bem 1 à esquerda de ω a certo preço (Figura 7). 
Depois vende outra unidade a outro preço no ponto mais à esquerda da curva de indiferença 
de B . A consegue ficar sobre a curva de indiferença de B , pois cada preço é escolhido de 
modo a deixar B exatamente indiferente entre comprar ou não a unidade do bem 1. A deixa 
de vender quando as curvas de indiferençase tangenciarem. A consegue extrair todo o 
excedente do consumidor de B , enquanto este continua no equilíbrio na mesma situação em 
que começou no ponto de dotação. O equilíbrio é eficiente no sentido de Pareto. 
 
A álgebra do equilíbrio 
 
A função demanda do consumidor A pelo bem 1 é 
 
 1 1 1 2( , )A Ax x p p= (19) 
 
e a função demanda do consumidor B pelo bem 1 é 
 
 1 1 1 2( , )B Bx x p p= . (20) 
 
As funções demanda de A e B pelo bem 2 são 
 
 2 2 1 2( , )A Ax x p p= (21) 
 
e 
 
 2 2 1 2( , )B Bx x p p= . (22) 
 
 No equilíbrio geral, a demanda total de cada bem 1 e 2 deve se igualar à oferta total: 
 
 1 * * 1 * * 1 11 2 1 2( , ) ( , )A B A Bx p p x p p ω ω+ = + (23) 
 
e 
 
 2 * * 2 * * 2 21 2 1 2( , ) ( , )A B A Bx p p x p p ω ω+ = + (24) 
 
ou 
 
 1 * * 1 1 * * 11 2 1 2( , ) ( , ) 0A A B Bx p p x p pω ω− + − = (23′) 
 
e 
 
 2 * * 2 2 * * 21 2 1 2( , ) ( , ) 0A A B Bx p p x p pω ω− + − = . (24′) 
 
Considerando (14), (15), (16) e (17) em (23′) e (24′): 
 
1 * * 1 * *
1 2 1 2( , ) ( , ) 0A Be p p e p p+ = (25) 
 
e 
 
 2 * * 2 * *1 2 1 2( , ) ( , ) 0A Be p p e p p+ = . (26) 
 
 A soma das demandas excedentes é igual a zero ou o excesso de demanda (oferta) do 
consumidor A se iguala ao excesso de oferta (demanda) do consumidor B. 
 Em geral (mesmo fora do equilíbrio), a demanda excedente agregada pelo bem 1 é 
dada por: 
 
 1 11 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )A Bz p p e p p e p p= + (27) 
 
ou, considerando (14) e (15), 
 
 1 1 1 11 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )A B A Bz p p x p p x p p ω ω= + − − . (28) 
 
Similarmente, para o bem 2 , a demanda excedente agregada é 
 
 2 22 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )A Bz p p e p p e p p= + (29) 
 
ou 
 
 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )A B A Bz p p x p p x p p ω ω= + − − . (30) 
 
No equilíbrio, a demanda agregada excedente de cada bem é zero, ou seja, (25) e (26) em (29) 
e (30): 
 
 * *1 1 2( , ) 0z p p = (31) 
 
e 
 
 * *2 1 2( , ) 0z p p = . (32) 
Lei de Walras 
 
Pela lei de Walras, o valor da demanda agregada excedente dos dois bens em conjunto é 
idêntico a zero. Isto vale para quaisquer preços 1p e 2p , e não apenas para os de equilíbrio: 
 
 1 1 1 2 2 2 1 2( , ) ( , ) 0p z p p p z p p+ ≡ . (33) 
 
 Para provar, somamos as restrições orçamentárias dos dois consumidores. Quando o 
conjunto orçamentário do consumidor A se reduz à reta orçamentária, temos 
 
1 2 1 2
1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , )A A A Ap x p p p x p p p pω ω+ ≡ + (34) 
 
ou 
 
1 1 2 2
1 1 2 2 1 2( ( , ) ) ( ( , ) ) 0A A A Ap x p p p x p pω ω− + − ≡ . (35) 
 
(14) e (15) em (35): 
 
1 2
1 1 2 2 1 2( , ) ( , ) 0A Ap e p p p e p p+ ≡ . (36) 
 
Logo, o valor da demanda excedente do consumidor A é zero: o valor da quantidade 
excedente que ele deseja comprar do bem 1 (bem 2 ) tem que ser igual ao valor da quantidade 
excedente que ele deseja vender do bem 2 (bem 1). 
Para o consumidor B , temos equações semelhantes: 
 
1 1 2 2
1 1 2 2 1 2( ( , ) ) ( ( , ) ) 0B B B Bp x p p p x p pω ω− + − ≡ (37) 
 
e 
 
1 2
1 1 2 2 1 2( , ) ( , ) 0B Bp e p p p e p p+ ≡ . (38) 
 
Somando (35) e (37): 
 ( ) ( ) ( )
( )
1 1 1 1 2 2
1 1 2 1 1 2 2 1 2
2 2
2 1 2
( , ) ( , ) ( , )
( , ) 0
A A B B A A
B B
p x p p p x p p p x p p
p x p p
ω ω ω
ω
− + − + − +
− ≡ (39) 
 
(14), (15), (16) e (17) em (39): 
 
1 1 2 2
1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0A B A Bp e p p p e p p p e p p p e p p+ + + ≡ 
 ( ) ( )1 1 2 21 1 2 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0A B A Bp e p p e p p p e p p e p p+ + + ≡ . (40) 
 
(27) e (29) em (40): 
 
1 1 1 2 2 2 1 2( , ) ( , ) 0p z p p p z p p+ ≡ , (33) 
 
que é a lei de Walras. 
 Como o valor da demanda excedente de cada consumidor é zero, o valor da soma das 
demandas excedentes dos dois consumidores é zero (lei de Walras). A lei de Walras vale para 
todos os preços porque a restrição orçamentária de cada consumidor se aplica a qualquer 
preço. Em particular, a lei de Walras vale para os preços de equilíbrio onde 
 
* *
1 1 2( , ) 0z p p = (31) 
 
e 
 
 * *2 1 2( , ) 0z p p = . (32) 
 
Mas (32) fica redundante pela lei de Walras para os preços de equilíbrio: 
 
* * * *
1 1 1 2 2 2 1 2( , ) ( , ) 0p z p p p z p p+ = (41) 
 
(31) em (41): 
 
* *
2 2 1 2( , ) 0p z p p = . (43) 
 
Para 
 
2 0p > , (44) 
 
(44) em (43): 
 
* *
2 1 2( , ) 0z p p = . (32) 
 
Logo, usando a lei de Walras, a descrição do equilíbrio geral por (31) é suficiente. 
Se a demanda pelo bem 1 for igual à oferta do bem 1 ao preço *1p , logo a demanda 
pelo bem 2 precisa ser igual à oferta do bem 2 . Ou, se o mercado do bem 2 estiver em 
equilíbrio, então o mercado do bem 1 precisa também estar em equilíbrio. Em geral, se 1k − 
mercados estiverem em equilíbrio, o mercado do bem k também estará com demanda igual à 
oferta. 
 
Preços relativos 
 
Em um modelo de equilíbrio geral de k bens, a lei de Walras implica que há apenas 1k − 
equações independentes. Surge o problema de encontrar os k preços do modelo com apenas 
1k − equações. Sabemos que multiplicando os preços e a renda por um número positivo t , o 
conjunto orçamentário (e a reta orçamentária) não varia e, portanto, a cesta ótima também não 
(Capítulo2). Aqui, a renda m corresponde ao valor da dotação. Por exemplo, para o 
consumidor A : 1 21 2A Ap pω ω+ . 
Se * *1 2( , ,...)p p for equilíbrio, então 
* *
1 2( , ,...)tp tp também será. Podemos escolher 
 
1
1 0t
p
= > (45) 
 
e ficar com ( )32
1 1
1, , ,...ppp p , onde o primeiro bem é o numerário e os preços restantes ficam 
sendo os preços relativos. Ficamos então com apenas 1k − preços relativos e o modelo de 
equilíbrio geral permite encontrá-los com as 1k − equações independentes. 
Como exemplo, tomemos a utilidade Cobb-Douglas. As funções utilidade Cobb-
Douglas para os dois consumidores A e B são dadas por (Capítulo 6): 
 
1 2 1 2 1( , ) ( ) ( )a aA A A A Au x x x x
−= = (46) 
 
e 
 
 1 2 1 2 1( , ) ( ) ( )b bB B B B Bu x x x x
−= = , (47) 
 
onde a e b são parâmetros. As correspondentes funções demanda são (Capítulo 6), para o 
consumidor A , 
 
 1 1 2
1
( , , ) AA A
mx p p m a
p
= (48) 
 
 2 1 2
2
( , , ) (1 ) AA A
mx p p m a
p
= − (49) 
 
e, para o consumidor B , 
 
 1 1 2
1
( , , ) BB B
mx p p m b
p
= (50) 
 
 2 1 2
2
( , , ) (1 ) BB B
mx p p m b
p
= − . (51) 
 
Cada consumidor começa com as retas orçamentárias: 
 
 1 21 2A A Am p pω ω= + (52) 
 
 1 21 2B B Bm p pω ω= + . (53) 
 
Considerando (48), (49), (50) e (51) em (28) e (30), encontramos as demandas agregadas 
excedentes: 
 
 1 11 1 2
1 1
( , ) A B A B
m mz p p a b
p p
ω ω= + − − (54) 
 
e 
 
 2 22 1 2
2 2
( , ) (1 ) (1 )A B A B
m mz p p a b
p p
ω ω= − + − − − . (55) 
 
(52) e (53) em (54) e (55): 
 
 
1 2 1 2
1 11 2 1 2
1 1 2
1 1
( , ) A A B B A B
p p p pz p p a b
p p
ω ω ω ω ω ω+ += + − − (56) 
 
 
1 2 1 2
2 21 2 1 2
2 1 2
2 2
( , ) (1 ) (1 )A A B B A B
p p p pz p p a b
p p
ω ω ω ω ω ω+ += − + − − − . (57) 
 
As funções demandas agregadas excedentes, 1z e 2z , satisfazem a lei de Walras: 
 
1 1 2 2 0p z p z+ ≡ . (33) 
 
Para provar, substituímos (48), (50), (52) e (53) em (56): 
 
 1 1 1 11 A B A Bz x x ω ω= + − − . (56′) 
 
(49), (51), (52) e (53) em (57): 
 
 2 2 2 22 A B A Bz x x ω ω= + − − . (57′) 
 
(56′) e (57′) em (33): 
 
 1 1 1 1 2 2 2 21 2( ) ( ) 0A B A B A B A Bp x x p x xω ω ω ω+ − − + + − − ≡ . (58) 
 
(14), (15), (16), (17) em (58): 
 
 1 1 2 21 2( ) ( ) 0A B A Bp e e p e e+ + + ≡ . (59) 
 
Substituindo (25) e (26) em (59), confirmamos que a lei de Walras se aplica. 
 
Achando o preço relativo de equilíbrio geral
 
Se fizermos o bem 2 o numerário, então, 
 
2 1p = (60) 
 
e 1p torna-se o preço relativo do bem 1, ou seja, 
 
1 1
1
2 1
p pp
p
= = . (61) 
 
Assim, as duas equações de demanda agregada excedentes ficam apenas em função de 1p . 
(60) em (56) e (57): 
 
1 2 1 2
1 11 1
1 1
1 1
( ,1) A A B B A B
p pz p a b
p p
ω ω ω ω ω ω+ += + − − (62) 
 
e 
 
 1 2 1 2 2 22 1 1 1( ,1) (1 )( ) (1 )( )A A B B A Bz p a p b pω ω ω ω ω ω= − + + − + − − . (63) 
 
Quando o preço for de equilíbrio, a demanda excedente de cada bem será zero, como vimos 
(equações (31) e (32)). Escolhendo a equação para o bem 1, (31) e (62): 
 
 
* 1 2 * 1 2
* 1 11 1
1 1 * *
1 1
( ,1) 0A A B B A B
p pz p a b
p p
ω ω ω ω ω ω+ += + − − = (64) 
1 2 1 2 1 1
* *
1 1
0A A B B A B
a ba b
p p
ω ω ω ω ω ω+ + + − − = 
2 2 1 1 1 1
*
1
1 ( )A B A B A Ba b a bp
ω ω ω ω ω ω+ = + − − 
2 2 1 1
*
1
1 ( ) (1 ) (1 )A B A Ba b a bp
ω ω ω ω+ = − + − 
2 2
*
1 1 1(1 ) (1 )
A B
A B
a bp
a b
ω ω
ω ω
+= − + − . (65) 
 
Este é o preço de equilíbrio geral com preferências Cobb-Douglas. (Note que ele também 
poderia ter sido encontrado usando (32) e (63)). 
Existência do equilíbrio 
 
Contar 1k − preços relativos em número igual a 1k − equações garante encontrar 
formalmente os preços de equilíbrio, mas isto não significa que de fato o equilíbrio exista. 
Para isso, as funções demandas excedentes agregadas precisam ser contínuas. Isto significa 
que pequenas alterações nos preços não levam a grandes alterações na demanda agregada. 
Isto, por sua vez, exige que cada função demanda individual seja contínua, o que é garantido 
se as preferências forem convexas. Ou, então, se os consumidores fizerem pequenas compras 
em relação ao tamanho dos mercados, o que é garantido se houver concorrência pura. 
 
Equilíbrio e eficiência 
 
Na Figura 5, a alocação de equilíbrio é eficiente no sentido de Pareto, pois o conjunto das 
cestas preferidas por A não intercepta o conjunto das cestas preferidas por B . Como as 
curvas de indiferença se tangenciam, não há alocações que os dois consumidores prefiram à 
alocação de equilíbrio. A alocação eficiente deixa cada consumidor tão bem quanto possível, 
dada a utilidade do outro. Sendo o nível de utilidade de B igual a u , o consumidor A 
maximiza 
 
1 2 1 2
1 2
, , ,
max ( , )
A A B B
A A A
x x x x
u x x (66) 
 
sujeito a 
 
 1 2( , )B B Bu x x u= (67) 
 
 1 1 1A Bx x ω+ = (68) 
 
 2 2 2A Bx x ω+ = , (69) 
 
onde 1ω é a quantidade total disponível do bem 1: 
 
 1 1 1A Bω ω ω= + (70) 
 
e 2ω é a quantidade total disponível do bem 2 : 
 
 2 2 2A Bω ω ω= + . (71) 
 
O que encontraremos é a alocação 1 2 1 2( , , ,)A A B Bx x x x que torna a utilidade do consumidor A 
máxima para um número fixo de utilidade de B e toda a quantidade disponível dos bens seja 
utilizada. 
 Montando o lagrangeano: 
 
 ( )1 2 1 2 1 1 1 2 2 21 2( , ) ( , ) ( ) ( )A A A B B B A B A BL u x x u x x u x x x xλ µ ω µ ω= − − − + − − + − , (72) 
 
onde λ é o multiplicador de Lagrange na restrição de utilidade e 1µ e 2µ são os 
multiplicadores de Lagrange na restrição dos recursos. Diferenciando parcialmente e 
igualando a zero: 
 
11 1 0
A
A A
uL
x x
µ∂∂ = − =∂ ∂ (73) 
 
22 2 0
A
A A
uL
x x
µ∂∂ = − =∂ ∂ (74) 
 
11 1 0
B
B B
uL
x x
λ µ∂∂ = − − =∂ ∂ (75) 
 
22 2 0
B
B B
uL
x x
λ µ∂∂ = − − =∂ ∂ . (76) 
 
A ATMS do consumidor A é encontrada dividindo (73) por (74): 
 
 
1
2
1
2
A
A
A
A
u
x
A u
x
TMS µµ
∂
∂
∂
∂
= = . (77) 
 
A BTMS de B é encontrada dividindo (75) por (76): 
 
1
2
1
2
B
B
B
B
u
x
B u
x
TMS µµ
∂
∂
∂
∂
= = . (78) 
 
(77) e (78): 
 
A BTMS TMS= . (79) 
 
Portanto, na alocação eficiente de Pareto, as taxas marginais de substituição dos dois 
consumidores coincidem: mesma inclinação das curvas de indiferença. Se não fosse assim, 
haveria alguma troca que melhoraria a situação de ambos. 
Além disso, se os dois consumidores se defrontarem com os mesmos preços para os 
dois bens, ou seja, 
 
1
2
1
2
A
A
A
A
u
x
u
x
p
p
∂
∂
∂
∂
= (80) 
 
e 
 
 
1
2
1
2
B
B
B
B
u
x
u
x
p
p
∂
∂
∂
∂
= (81) 
 
que vigora no equilíbrio geral competitivo, então, (77), (78), (80) e (81): 
 
 1 1
2 2
p
p
µ
µ= . (82) 
 
Por isso, os multiplicadores de Lagrange 1µ e 2µ são chamados de preços de eficiência ou 
preços-sombra. 
Primeiro teorema do bem-estar 
 
Se fizermos a suposição de que o equilíbrio competitivo não é eficiente no sentido de Pareto, 
isto nos levará a uma contradição. Se o equilíbrio não for eficiente, então haverá outra 
alocação factível 1 2 1 2( , , , )A A B By y y y tal que 
 
 1 1 1 1A B A By y ω ω+ = + (83) 
 
 2 2 2 2A B A By y ω ω+ = + (84) 
 
e 
 
 1 2 1 2( , ) ( , )A A A A Ay y x x; (85) 
 
 1 2 1 2( , ) ( , )B B B B By y x x; , (86) 
 
onde o símbolo A; se refere às preferências de A e B; se refere às preferências de B . No 
equilíbrio, cada consumidor precisa comprar a melhor cesta pela qual pode pagar, que é 
1 2 1 2( , , , )A A B Bx x x x . Se 
1 2 1 2( , , , )A A B By y y y for melhor do que a cesta de equilíbrio competitivo 
1 2 1 2( , , , )A A B Bx x x x , então os consumidores não poderão pagar por ela; ou, o que é a mesma coisa, 
a cesta 1 2 1 2( , , , )A A B By y y y custa mais do que os consumidores podem pagar: 
 
1 2 1 2
1 2 1 2A A A Ap y p y p pω ω+ > + (87) 
 
1 2 1 2
1 2 1 2B B B Bp y p y p pω ω+ > + . (88) 
 
Somando (87) e (88): 
 
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2A A B B A A B Bp y p y p y p y p p p pω ω ω ω+ + + > + + + (89) 
 
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B A Bp y y p y y p pω ω ω ω+ + + > + + + . (90) 
 
(83) e (84) em (90): 
 
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )A B A B A B A Bp p p pω ω ω ω ω ω ω ω+ + + > + + + . (91) 
 
A equação (91) não pode ser verdadeira, já que os termos à esquerda e à direita da 
desigualdade são iguais. 
Pelo primeiro teorema do bem-estar, uma alocação alcançada por um conjunto de 
mercados competitivos será necessariamente eficiente no sentido de Pareto. Não há referência 
à distribuição dos recursos: se o consumidor A tiver quase tudo na sua dotação inicial, ele 
acabará tendo quase tudo após as trocas. 
 
Limites do primeiro teorema do bem-estar 
 
O primeiro teorema do bem-estar afirma que qualquer equilíbrio competitivo é Pareto-
eficiente. Se estivermos lidando com um problema de escassez que envolva muitos 
consumidores, a instituição do mercado competitivo faz com que se economize na informação 
que cada consumidor teria que ter em caso contrário. Os consumidores não precisam saber 
como os bens são produzidos, quem é o dono dos bens ou de onde vêm os bens. Eles precisam 
apenas conhecer os preços dos bens. Com eles, os consumidores determinam suas demandas 
e, se os mercados forem competitivos, o resultado será eficiente. 
Porém, há três hipóteses implícitas na análise de equilíbrio geral para que o primeiro 
teorema funcione: (1) os consumidores não se preocupam com o consumo dos outros. Se B 
estiver consumindo cigarro, mesmo no equilíbrio, A poderia melhorar sua situação pagando a 
B para fumar menos. Quando houver externalidade no consumo, o equilíbrio competitivo não 
será Pareto-eficiente (Capítulo 34). (2) Há muitos consumidores que agem competitivamente. 
Se forem apenas dois (como na caixa de Edgeworth), os consumidores adotariam 
comportamento estratégico com possíveis equilíbrios de Nash Pareto-ineficientes. (3) As 
compras dos consumidores são pequenas em relação ao tamanho do mercado. Não sendo 
assim, o equilíbrio competitivo não existirá. 
 
Segundo teorema do bem-estar 
 
Na tangência das curvas de indiferença, o equilíbrio é Pareto-eficiente. A inclinação da reta 
orçamentária nesse ponto dá os preços relativos de equilíbrio. Isto é sempre verdade para 
curvas de indiferença convexas (Figura 8). 
 Qualquer dotação, como ω , que coloque os dois consumidores sobre a reta 
orçamentária, levará ao equilíbrio eficiente no ponto de tangência das curvas de indiferença. 
Se as preferências não forem convexas, isto não acontece (Figura 9). 
 Portanto, pelo segundo teorema do bem-estar, se os consumidores tiverem preferências 
convexas, então haverá sempre um conjunto de preços tal que cada alocação eficiente de 
Pareto será um equilíbrio de mercado competitivo para uma apropriada dotação. 
 
 
 
Implicações do segundo teorema do bem-estar 
 
Os preços têm dois papeis: alocativo e distributivo. O papel alocativo indica a escassez 
relativa e o papel distributivo determina quanto de diferentes bens os consumidores podem 
comprar. O segundo teorema do bem-estar implicaque esses dois papeis se encontram 
separados. Pode-se redistribuir as dotações de bens para se determinar quanto de riqueza cada 
consumidor fica e, depois, usar os preços para indicar a escassez relativa. Em um mercado 
competitivo, a decisão marginal de se consumir mais ou menos de um bem depende do preço, 
que mede como os outros consumidores valorizam o bem na margem (considerações de 
eficiência). Se o governo taxar o valor das dotações, ele redistribuirá poder de compra entre os 
consumidores sem alterar a eficiência. Pelo segundo teorema, a troca a partir de qualquer 
dotação resultará em uma alocação Pareto-eficiente. O governo deverá, no caso, recorrer a 
impostos sobre o montante global da dotação (lump-sum taxes) e evitar impostos que afetem a 
escolha dos consumidores: impostos distorcionários. 
 
© Sergio Da Silva 2010 
sergiodasilva.com 
 
Equilíbrio Geral: Produção Hal R. Varian 
 Intermediate Microeconomics, 8th edition 
 Capítulo 32 
 
A economia de Robinson Crusoe 
 
Crusoe é ao mesmo tempo consumidor e produtor. Consome lazer quando fica na praia sem 
fazer nada. Produz quando resolve coletar cocos. Produzindo, mais terá para comer, mas 
também terá menos tempo para lazer. A Figura 1 é semelhante à de consumo e lazer (Capítulo 
9). Mas como “lazer” é substituído por “trabalho”, o formato convexo em relação à origem 
das curvas de indiferença é invertido. Enquanto lazer é um bem, trabalho é um “mal”, 
possuindo, portanto, curvas de indiferença de inclinação positiva. 
 
A função produção mostra a relação entre quanto Crusoe trabalha e quantos cocos 
coleta. Mais trabalho, mais cocos. À medida que as horas de trabalho são aumentadas, ele 
coleta menos cocos: há retornos decrescentes. Dada a tecnologia para coletar cocos, a curva 
de indiferença mais alta que tangencia a função produção determina o consumo ótimo de 
cocos e as horas de trabalho escolhidas. Como a inclinação da curva de indiferença se iguala à 
inclinação da função produção, a taxa marginal de substituição entre consumo de cocos e 
lazer (inclinação da curva de indiferença) é igual ao produto marginal de uma hora extra de 
trabalho (inclinação da função produção). 
Crusoe resolve se comportar inteiramente como consumidor em um dia e, no seguinte, 
inteiramente como produtor. Como consumidor, ele se comporta como trabalhador e recebe 
renda. Como produtor, se comporta como gerente da empresa Crusoe S.A. e realiza lucro, que 
manda para o único acionista (ele mesmo ☺), que é o consumidor. 
No dia de consumir, ele escolhe quanto comprar da empresa usando seus dividendos. 
Crusoe inventa uma moeda e fixa o preço de uma unidade de coco em uma unidade 
monetária: o preço do coco (numerário) é, portanto, igual a um, restando saber qual é o salário 
w . 
No dia de produzir, seu lucro π é dado pela produção de cocos vendida C (o preço do 
coco é um) menos o custo da mão-de-obra wL . Dado π , a reta isolucro é: 
 
 C wLπ = − (1) 
 
ou 
 
 C wLπ= + , (1′) 
 
onde a inclinação é w e o intercepto vertical é π . O lucro é maximizado quando a reta 
isolucro tangencia a função produção (Figura 2). Logo, o produto marginal do trabalho 
(inclinação da função produção) se iguala ao salário (inclinação da reta isolucro) no lucro 
máximo. Conhecendo o salário ótimo *w , a empresa escolhe quantas horas de mão-de-obra 
contratar *L para produzir *C cocos. O lucro de *π unidades monetárias pode comprar *π 
cocos, já que o preço do coco é igual a um. 
 
 No dia de consumir, a reta isolucro vira a reta orçamentária. Crusoe pode consumir sua 
dotação (consumir *π cocos e sua dotação de lazer) ou pode trabalhar algumas horas até a 
quantidade máxima de L horas. Dado o salário *w , ele escolhe consumir *C cocos (mais do 
que os *π cocos da dotação) e trabalhar *L horas. Sua utilidade é máxima onde uma curva de 
indiferença tangenciar a reta orçamentária: a TMS entre consumo e trabalho (inclinação da 
curva de indiferença) se iguala ao salário (inclinação da reta orçamentária). 
 Superpondo as Figuras 2 e 3 (Figura 4), vemos que o comportamento de simular um 
mercado de Crusoe (consumidor e produtor separados) gera o mesmo resultado de não separar 
consumo e produção, dado pela Figura 1. No equilíbrio, 
 
TMS PML w= = . (2) 
 
Se houvesse retornos constantes no emprego de mão-de-obra, usando duas vezes mais 
horas de trabalho seria produzido o dobro. A função produção seria uma reta que passa pela 
origem (Figura 5). Com retornos constantes, a empresa competitiva opera com lucro zero 
(Capítulo 19, seção 10): a reta orçamentária passa pela origem também, coincidindo com a 
função produção. 
 
 
 
Se houvesse retornos crescentes no emprego de horas de trabalho, a função produção 
seria côncava (Figura 6). Com retornos crescentes, os custos médios são maiores do que os 
custos marginais, o que leva a lucros negativos no caso competitivo (veja o conceito de EME 
do Capítulo 24). Se as empresas tiverem retornos crescentes de escala, no nível de equilíbrio 
da produção elas iriam querer produzir mais aos preços do equilíbrio competitivo. Esta não- 
convexidade da função produção cria problemas para o funcionamento do mercado 
competitivo: os preços não fornecem toda a informação necessária para a escolha da alocação 
eficiente. Precisa-se de informação adicional com relação às inclinações das funções produção 
e às curvas de indiferença em pontos afastados da escala atual de operações. Porém, se houver 
apenas regiões pequenas de retornos crescentes em relação ao tamanho do mercado, a não- 
convexidade não cria problemas. 
 
 
 
Primeiro teorema do bem-estar 
 
Um equilíbrio competitivo é Pareto-eficiente em uma economia de pura troca. Este que é o 
primeiro teorema do bem-estar também se aplica a uma economia com produção. Se todas as 
empresas forem maximizadoras de lucro, o equilíbrio competitivo será Pareto-eficiente. Como 
no caso da economia de troca pura, (1) o primeiro teorema diz que a maximização de lucro 
assegura apenas eficiência, não justiça distributiva. (2) O primeiro teorema faz sentido apenas 
se o equilíbrio competitivo realmente existir, ou seja, se não houver muitos casos de retornos 
crescentes de escala. (3) O primeiro teorema é válido apenas se as escolhas de uma firma não 
afetarem as possibilidades de produção das outras, o que significa que não podem ocorrer 
externalidades na produção. As decisões das firmas também não podem afetar as escolhas dos 
consumidores, ou seja, não podem ocorrer externalidades no consumo. 
 
Segundo teorema do bem-estar 
 
Para uma economia de pura troca, cada alocação eficiente de Pareto pode ser um equilíbrio 
competitivo se as preferências forem convexas. Se os conjuntos de produção das empresas 
forem também convexos, o segundo teorema se aplica para a economia com produção. Porém, 
com retornos crescentes de escala, o segundo teorema não se aplica. 
 
Possibilidades de produção 
 
Supomos agora que Crusoe coleta não apenas cocos, mas também pesca. O conjunto de 
possibilidades de produção mostra os conjuntos dos dois bens produzidos que são factíveis 
dadas a tecnologia e as funções produção (Figura 7). 
 
Para tecnologias com retornos constantes de escala, a fronteira de possibilidades de 
produção fica linear. Exemplo(Figura 8): se Crusoe produzir 10 peixes por hora e 20 cocos 
por hora, em 10 horas ele poderá dedicar FL horas na produção de 10 FL peixes e CL horas 
na produção de 20 CL cocos. O conjunto de possibilidades de produção é dado por todas as 
combinações de cocos C e peixes F tal que 
 
 20 CC L= (3) 
 10 FF L= (4) 
 
 10C FL L+ = , (5) 
 
onde (3) e (4) são as relações de produção e (5) é a restrição dos recursos. A equação (3) pode 
ser reescrita como 
 
 
20C
CL = (3′) 
 
e a (4) como 
 
 
10F
FL = . (4′) 
 
(3′) e (4′) em (5): 
 
10
20 10
C F+ = , (6) 
 
que é a fronteira de possibilidade de produção. Para achar os interceptos, fazemos 0F = em 
(6): 
 
10
20
C = 
200C = (6′) 
 
e fazemos 0C = em (6): 
 
10
10
F = 
100F = . (6″) 
 
Para encontrar a inclinação, tomamos o diferencial total de (6): 
 
1 1 0
20 10
dC dF+ = 
20 2
10
dC
dF
= − = − , (7) 
 
que, em tempo discreto, é o mesmo que 
 
2RC
CTMT
F
∆= = −∆ . (7′) 
 
Vantagem comparativa 
 
Sexta-feira aparece na ilha, com habilidades diferentes. Seu conjunto de possibilidades de 
produção é dado por: 
 
 10 CC L= (8) 
 
 20 FF L= (9) 
 
 10C FL L+ = . (10) 
 
(8) e (9) em (10): 
 
 10
10 20
C F+ = , (11) 
 
que é sua fronteira de possiblidades de produção (Figura 9). Os interceptos são obtidos 
fazendo 0F = em (11): 
 
 10
10
C = 
 100C = (11′) 
 
e 0C = em (11): 
 
 10
20
F = 
 200F = . (11″) 
 
Para achar a inclinação, tomamos o diferencial total de (11): 
 
 1 1 0
10 20
dC dF+ = 
 1 1
10 20
dC dF= − 
 10 1
20 2
dC
dF
= − = − (12) 
 
que, em tempo discreto, é o mesmo que 
 
 1
2SF
CTMT
F
∆= = −∆ . (12′) 
 
 Comparando as habilidades relativas, em uma hora de trabalho Crusoe produz 10 
peixes e Sexta produz 20 peixes ou Crusoe produz 20 cocos e Sexta produz 10 cocos. Logo, 
Crusoe tem vantagem comparativa na produção de cocos e Sexta, na produção de peixes. 
 Se Crusoe e Sexta produzirem apenas cocos ((6′) e (11′)), ambos produzirão 300 cocos 
(Figura 10). Se produzirem apenas peixes ((6″) e (11″)), ambos produzirão 300 peixes. Porém, 
a produção pode ser aumentada se aquele com vantagem comparativa em determinado bem se 
especializar. Por exemplo, mais peixes seriam pescados se Sexta não produzisse cocos e 
dedicasse as 10 horas na produção de peixes. Produção total = 200 + 200 = 400, em vez de 
300. Mais cocos seriam coletados se Crusoe não produzisse peixes e dedicasse as 10 horas na 
produção de cocos. Produção total = 200 + 200 = 400, em vez de 300. 
 
 
Equilíbrio geral na produção e na troca 
 
O conjunto de possibilidades de produção fornece as cestas de consumo factíveis para toda a 
economia. Na cesta agregada ( , )F CX X existem FX unidades de peixe e CX unidades de 
coco disponíveis para consumo. A caixa de Edgeworth pode ser, então, desenhada dentro da 
fronteira de possibilidade de produção (Figura 11). 
 
 Na curva de contrato, as cestas eficientes são encontradas dados os montantes de coco 
e peixes disponíveis. Na economia com produção, esses montantes são escolhidos dentro do 
conjunto de possibilidades de produção. Na curva de contrato, as TMS de Crusoe e Sexta são 
iguais. Se a TMS não for igual à TMT , a taxa à qual Crusoe (ou Sexta) está querendo trocar 
peixe por coco é diferente da taxa à qual peixe pode ser “transformado” em coco, 
redirecionando-se trabalho para produzir menos peixe e mais coco. Nesse caso, a situação de 
Crusoe (ou Sexta) poderia ser melhorada rearranjando-se a produção. Por exemplo, se a 
1TMS = , Crusoe (ou Sexta) quer trocar um peixe por um coco. Mas se 2TMT = , Crusoe 
(ou Sexta) quer reduzir a produção de uma unidade de peixe para produzir 2 unidades de 
coco. Como a troca é de um peixe por apenas um coco, faz sentido então reduzir a produção 
da unidade extra de coco, fazendo 1TMT = . A alocação Pareto-eficiente é, então, 
 
RC SFTMS TMS TMT= = . (13) 
 
Para provar isto, consideramos FX , a quantidade total de peixes produzida e 
consumida, 
 
F F F
RC SFX x x= + (14) 
 
e CX , a quantidade total de cocos produzida e consumida, 
 
 C C CRC SFX x x= + . (15) 
 
Para descrever a fronteira de possibilidades de produção, que se refere a todas as combinações 
de FX e CX que são tecnologicamente factíveis, recorremos à função transformação 
( , )F CT X X . Uma dada combinação ( , )F CX X fica sobre a fronteira de possibilidades de 
produção se 
 
( , ) 0F CT X X = . (16) 
 
A taxa à qual os recursos são retirados da produção de coco para se produzir mais peixe é a 
taxa marginal de transformação. Isto faz com que se saia de um ponto para outro da fronteira 
de possibilidades de produção: a TMT é, então, a inclinação da fronteira de possibilidades de 
produção: 
 
C
F
dXTMT
dX
≡ . (17) 
 
Tomando o diferencial total de (16): 
 
0F CF C
T TdX dX
X X
∂ ∂+ =∂ ∂ 
F C
F C
T TdX dX
X X
∂ ∂= −∂ ∂ 
F
C
TC
X
F T
X
dX
dX
∂
∂
∂
∂
= − . (18) 
 
(17) e (18): 
 
F
C
TC
X
F T
X
dXTMT
dX
∂
∂
∂
∂
≡ = − . (18′)Como no caso da economia de pura troca, uma alocação é eficiente de Pareto quando 
maximiza a utilidade de um consumidor dada a utilidade do outro: 
 
, , ,
max ( , )
F C F C
RC RC SF SF
F C
RC RC RC
x x x x
u x x (19) 
 
sujeita a 
 
 ( , )F CSF SF SFu x x u= (20) 
e 
 ( , ) 0F CT X X = . (21) 
 
Montando o lagrangeano: 
 
 ( ) ( )( , ) ( , ) ( , ) 0F C F C F CRC RC RC SF SF SFL u x x u x x u T X Xλ µ= − − − − . (22) 
 
As condições de primeira ordem são: 
 
 0RCF F F
RC RC
uL T
x x X
µ∂∂ ∂= − =∂ ∂ ∂ (23) 
 
 0RCC C C
RC RC
uL T
x x X
µ∂∂ ∂= − =∂ ∂ ∂ (24) 
 
 0SFF F F
SF SF
uL T
x x X
λ µ∂∂ ∂= − − =∂ ∂ ∂ (25) 
 
 0SFC C C
SF SF
uL T
x x X
λ µ∂∂ ∂= − − =∂ ∂ ∂ . (26) 
 
Dividindo (23) por (24): 
 
 
RC
F FRC
RC
CC
RC
u T
x X
u T
Xx
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂∂
= (27) 
 
e dividindo (25) por (26): 
 
 
SF
F FSF
SF
CC
SF
u T
x X
u T
Xx
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂∂
=
.
 (28) 
 
Do Capítulo 4 sabemos que a razão das utilidades marginais é a TMS . Considerando (18) em 
(27) e (28): 
 
 RCTMS TMT= (29) 
 
 SFTMS TMT= (30) 
 
(29) e (30): 
 
 RC SFTMS TMS TMT= = . (31) 
 
Logo, a taxa à qual cada consumidor quer substituir um bem pelo outro se iguala à taxa pela 
qual é tecnologicamente factível transformar um bem no outro. Se não fossem iguais, haveria 
uma maneira de aumentar a utilidade de um consumidor sem afetar a utilidade do outro. 
 Agora Crusoe e Sexta montam a empresa Náufragos S.A. Nesta economia de dois 
indivíduos, há dois fatores de produção (mão-de-obra de Crusoe, RCL , e mão-de-obra de 
Sexta, SFL ) e dois bens (cocos, C , e peixes, F ). Crusoe e Sexta são os acionistas da empresa 
também, além de produtores, empregados e consumidores. Como produtores, eles maximizam 
lucro fazendo 
 
 
, , ,
max
RC SF
C F RC RC SF SFC F L L
p C p F w L w L+ − − (32) 
 
onde Cp é o preço da unidade de coco, Fp é o preço da unidade de peixe, RCw é o salário de 
Crusoe e SFw é o salário de Sexta. O lucro é maximizado sujeito às restrições tecnológicas 
dadas pelo conjunto de possibilidades de produção. Fazendo a maximização suponha que a 
empresa encontra que é ótimo contratar *RCL unidades de mão-de-obra de Crusoe e 
*
SFL 
unidades de trabalho de Sexta. O custo da mão-de-obra em equilíbrio é, então, 
 
* * *
RC RC SF SFL w L w L= + (33) 
 
e o lucro é dado por 
 
 *C Fp C p F Lπ = + − , (34) 
 
que é a linha isolucro. A equação (34) pode ser reescrita como 
 
 *C Fp C p F Lπ= − + 
 *C Fp C L p Fπ= + − 
*
F
C C
L pC F
p p
π += − . (34′) 
 
Logo, o intercepto vertical da linha isolucro é *
C
L
p
π + e sua inclinação é F
C
p
p− (Figura 12). 
A isolucro mais alta tem que tangenciar a fronteira de possibilidades de produção e a sua 
inclinação precisa se igualar à inclinação da fronteira de possibilidades de produção: 
 
F
C
pTMT
p
= − . (35) 
 
Se a empresa desejar produzir mais cocos, ela terá que reduzir a produção de peixes. Em 
quanto? Pelo preço relativo do peixe em relação ao preço do coco. 
 
Como consumidores, Crusoe e Sexta recebem salários *RCw e 
*
SFw e dividendos da 
empresa Náufragos S.A. Como a empresa paga suas receitas na forma de salários e 
dividendos a seus trabalhadores e acionistas, estes necessariamente possuem renda para 
comprar os produtos da firma. Crusoe e Sexta usam seu dinheiro para comprar as melhores 
cestas que podem pagar aos preços Fp e Cp . O ótimo, como vimos, é, então 
 
F
RC SF
C
pTMS TMS
p
= = − . (36) 
 
(35) e (36): 
 
 FRC SF
C
pTMS TMS TMT
p
= = = − . (37) 
 
Por (13), esta alocação é eficiente de Pareto. Os preços dos bens dão o sinal de escassez 
relativa de duas formas: (1) escassez tecnológica: quanto reduzir da produção de um bem a 
fim de se produzir mais do outro e (2) escassez de consumo: quanto cada consumidor deseja 
reduzir de consumo de um bem para ter mais do outro. 
 
© Sergio Da Silva 2010 
sergiodasilva.com 
 
Bem-Estar Hal R. Varian 
 Intermediate Microeconomics, 8th edition 
 Capítulo 33 
 
É possível agregar as preferências dos consumidores individuais para construir preferências 
“sociais”? Não. Não existe função de bem-estar social. Apesar disto, há maneiras menos 
rigorosas de ordenar as diferentes distribuições de utilidade dos consumidores. 
 
Agregação de preferências 
 
Definimos as preferências dos consumidores em relação à sua própria cesta de bens e fizemos 
a suposição de que elas eram transitivas (Capítulo 3). Isto significa que cada consumidor é 
individualista: não se preocupa com o que os outros possuem. Podemos expandir esse 
conceito e supor que cada consumidor possui preferências em relação a todas as cestas de 
bens. Cada consumidor pode continuar sendo individualista, mas pode também invejar o que 
os outros possuem. 
Sendo x uma alocação do que todos os consumidores possuem de todos os bens, dada 
outra alocação y , supomos que cada consumidor i é capaz de dizer se prefere ou não x a y . 
Se soubermos como todos os consumidores fazem o ordenamento das várias alocações, 
poderemos procurar o seu ordenamento social. 
Uma forma de agregar preferências individuais para obter as preferências sociais é 
utilizar um sistema de votação. Embora pareça simples dizer que x é “socialmente preferida” 
a y se a maioria dos indivíduos prefere x a y , este método pode não gerar um ordenamento 
social que seja transitivo. Veja o exemplo da tabela abaixo. 
Consumidor A Consumidor B Consumidor C 
x y z 
y z x 
z x y 
 Note que a maioria prefere x a y , y a z , mas também z a x ! As preferências 
sociais não são transitivas e, por isso, não se pode falar da “melhor” alternativa doconjunto 
( , , )x y z . O resultado escolhido pela sociedade depende da ordem da votação. Se os 
consumidores escolherem primeiro entre x e y , e, depois, escolherem entre o vencedor e z , 
como a maioria prefere x a y , o segundo turno será entre x e z , com z vencendo. Porém, 
decidindo primeiro entre z e x , z ganha; mas, no segundo turno entre y e z , y vence. 
 Outro mecanismo de votação é o ordenamento pelo rank. Cada consumidor atribui um 
número a cada alternativa e depois somamos os números para encontrar os pontos agregados. 
Se o número escolhido for 1 para a melhor alternativa, 2 para a segunda melhor e assim por 
diante, o resultado socialmente preferido será aquele da alternativa com menos pontos. No 
exemplo da tabela a seguir, se apenas as alternativas x e y forem consideradas, o consumidor 
A daria 1 para x e o consumidor B daria 2 para x . Somando: 3. O consumidor A daria 2 para 
y e o consumidor B daria 1 para y . Somando: 3. O resultado seria empate. Se agora z 
também for considerada, o consumidor A daria 1 para x , 2 para y e 3 para z . O consumidor 
B daria 1 para y , 2 para z e 3 para x . Agregando, x ficaria com 4 e y com 3. Logo, y seria 
vencedora. A escolha social entre x e y depende de z . Assim, esse mecanismo de votação 
pode também ser manipulado através da introdução de novas alternativas. 
 
Consumidor A Consumidor B 
x y
y z
z x
Mecanismos de decisão social, que são maneiras de agregar preferências, são todos 
sujeitos à manipulação. Para um mecanismo de decisão social ser consistente, ele precisaria 
satisfazer a, pelo menos, três exigências: 
1. Dados quaisquer conjuntos de preferências individuais completas, reflexivas e 
transitivas, o mecanismo de decisão social deve gerar preferências sociais que satisfaçam as 
mesmas propriedades. 
2. Se todo mundo preferir a alternativa x à alternativa y , então a preferência social 
deverá classificar x na frente de y . 
3. As preferências entre x e y devem depender apenas de como os consumidores 
ordenam x em relação a y , e não de como eles ordenam outras alternativas. 
 Contudo, não existe nenhum mecanismo de decisão social que satisfaça as três 
exigências acima. Pelo teorema da impossibilidade de Arrow, se um mecanismo de decisão 
social satisfizer as propriedades 1, 2, e 3, então ele deverá ser uma ditadura, o que significa 
que todos os ordenamentos sociais coincidem com os ordenamentos de um indivíduo. É 
impossível agregar preferências individuais para se chegar à preferência social. Não existe 
forma perfeita de se tomar decisões sociais: a democracia é inconsistente. 
 
Funções bem-estar social 
 
Se descartarmos a exigência 3, podemos pensar em um second best para substituir a função 
bem-estar social. Supomos que o consumidor i prefere x a y se e somente se ( ) ( )i iu u>x y . 
Apesar de a representação das preferências pela função utilidade não ser única, consideramos 
apenas uma delas. Assim, somamos as utilidades individuais de n consumidores e chamamos 
o número resultante de utilidade social: x será socialmente preferível a y se 
 
1 1
( ) ( )
n n
i i
i i
u u
= =
>∑ ∑x y . (1) 
 
 Para que a exigência 2 seja mantida, supomos que (1) seja crescente em cada utilidade 
individual. Então, (1) é uma função agregadora que pode ser considerada uma função bem-
estar social: 
 
( )1( ),..., ( )nW W u u= x x . (2) 
 
 No caso clássico (de Bentham), as somas são consideradas: 
 
( )1
1
,...,
n
n i
i
W u u u
=
= ∑ . (3) 
 
Uma generalização possível é considerar a soma ponderada: 
 
( )1
1
,...,
n
n i i
i
W u u a u
=
= ∑ , (4) 
 
onde os pesos 1a , ..., na indicam a importância da utilidade de cada consumidor para o bem-
estar geral. Geralmente, pensa-se que 
 
0ia > . (5) 
 
Outra função é a minimax (de Rawls): 
 
 { }1 1( ,..., ) min ,...,n nW u u u u= , (6) 
 
onde o bem-estar social depende apenas do bem-estar do indivíduo de menor utilidade. 
A diametralmente oposta é a de Nietzsche: 
 
 { }1 1( ,..., ) max ,...,n nW u u u u= , (7) 
 
onde o bem-estar social depende apenas do bem-estar do indivíduo de maior utilidade. 
 
Maximização de bem-estar 
 
Supondo n consumidores e j bens, indicamos por jix quanto o consumidor i possui do bem 
j . Portanto, a alocação x é formada da lista de quanto cada consumidor tem de cada bem. A 
quantidade total do bem 1 é 1X , a do bem 2 é 2X ,... e a do bem j é jX . Cada quantidade 
total é distribuída entre os consumidores. O problema de maximização de bem-estar é, então, 
 
 ( )1max ( ),..., ( )nW u ux x (8) 
 
tal que 
 
 1 1
1
n
i
i
x X
=
=∑ (9) 
1
n
j j
i
i
x X
 
=
=∑
#
 
 
 A alocação factível que maximiza o bem-estar social deve ser Pareto-eficiente. Se não 
fosse, teríamos que pensar em outra alocação que, pelo menos para um dos consumidores, 
teria utilidade maior do que a do máximo. Como a função bem-estar social é crescente em 
cada utilidade individual, esta nova alocação teria que ter um bem-estar maior. Mas isto 
contradiz o fato de termos inicialmente o bem-estar máximo. 
Na Figura 1, mostramos o conjunto de possibilidades de utilidade de dois 
consumidores e a fronteira de possibilidades de utilidade, onde as alocações são Pareto-
eficientes. Se uma curva iso-bem-estar tangenciar a fronteira de possibilidades de utilidade, o 
bem-estar será máximo e não existe outra alocação que gere utilidade mais alta e que seja 
também factível. Além disso, uma vez que se escolha a função de bem-estar social, pode-se 
encontrar a correspondente alocação eficiente de Pareto. Assim, não apenas todo máximo de 
bem-estar é uma alocação Pareto-eficiente, mas também toda alocação Pareto-eficiente é um 
máximo de bem-estar. 
 
Escolhendo a função soma ponderada (4), se o conjunto de possibilidades de utilidades 
for convexo, pode-se escolher uma das alocações ótimas de Pareto que fique sobre a fronteira 
de possibilidades de utilidade (Figura 2). 
 
 
Funções bem-estar social individualistas 
 
No nosso modelo inicial em que cada consumidor não tem preferências sobre todas as 
alocações, mas apenas sobre sua cesta, a cesta de consumo do consumidor i é ix e uma dada 
representação das preferências pela utilidade é ( )i iu x . Neste caso, a função bem-estar social 
individualista (de Bergson-Samuelson) 
 
 ( )1 1( ),..., ( )n nW W u x u x= (10) 
 
é função direta das utilidades individuais e função indireta das cestas dos consumidores. 
Como a utilidade de cada consumidor depende apenas do seu próprio consumo, não há 
externalidade de consumo. Todo equilíbrio competitivo é Pareto-eficiente e, desde que as 
preferências e a tecnologia sejam convexas, toda alocação eficiente de Pareto é um equilíbrio 
competitivo. Além disso, todo bem-estar máximo é um equilíbrio competitivo e todoequilíbrio competitivo é um máximo de bem-estar para uma certa função bem-estar. Para 
provar isto, tomemos os consumidores A e B e os bens 1 e 2. Queremos 
 
 ( )1 2 1 2 1 2 1 2, , ,max ( , ), ( , )A A B B A A A B B Bx x x x W u x x u x x (11) 
 
sujeita à fronteira de possibilidades de produção: 
 
 1 2( , ) 0T X X = , (12) 
 
onde 1 1 1A BX x x= + é a quantidade total do bem 1 produzido e consumido e 2 2 2A BX x x= + é a 
quantidade total do bem 2. Formando o lagrangeano: 
 ( ) ( )1 2 1 2 1 2( , ), ( , ) ( , ) 0A A A B B BL W u x x u x x T X Xλ= − − , (13) 
 
as condições de primeira ordem são: 
 
1 1 1 0
A
A A A
L W u T
x u x X
λ∂ ∂ ∂ ∂= − =∂ ∂ ∂ ∂ (14) 
 
2 2 2 0
A
A A A
L W u T
x u x X
λ∂ ∂ ∂ ∂= − =∂ ∂ ∂ ∂ (15) 
 
1 1 1 0
B
B B B
L W u T
x u x X
λ∂ ∂ ∂ ∂= − =∂ ∂ ∂ ∂ (16) 
 
2 2 2 0
B
B B B
L W u T
x u x X
λ∂ ∂ ∂ ∂= − =∂ ∂ ∂ ∂ . (17) 
 
Dividindo (14) por (15): 
 
1 1
22
A
A
A
A
u T
x X
Tu
Xx
∂ ∂
∂ ∂
∂∂
∂∂
= (18) 
 
e dividindo (16) por (17): 
 
1 1
22
B
B
B
B
u T
x X
Tu
Xx
∂ ∂
∂ ∂
∂∂
∂∂
= . (19) 
 
Considerando (18) e (19): 
 
A BTMS TMS TMT= = . (20) 
 
Logo, a maximização do bem-estar na função individualista leva ao mesmo resultado da 
eficiência de Pareto em uma economia com produção (Capítulo 32). 
 
Alocações justas 
 
Como dividir bens justamente entre n consumidores que, por hipótese, os merecem 
igualmente? Igualmente. Cada consumidor fica com as mesmas cestas de bens e ninguém 
prefere a cesta de outrem à sua. Mas a divisão igualitária não é necessariamente Pareto-
eficiente. Se os consumidores tiverem gostos diferentes farão trocas e a economia sairá da 
divisão igualitária. Ocorrendo troca, chega-se a uma alocação eficiente de Pareto (Capítulo 
31). Esta nova alocação Pareto-eficiente continua sendo “justa”? Não necessariamente. Por 
exemplo, os consumidores A e B têm os mesmos gostos e o consumidor C tem gosto 
diferente. Inicialmente, os três possuem as mesmas cestas. A e C se encontram e trocam. No 
final, ambos melhoram sua situação. Como B encontrou C, B agora inveja A, o que significa 
que B prefere a cesta de A à sua: 
 
1 2 1 2( , ) ( , )B B B A Ax x x x≺ . (21) 
 
Voltando à situação de igualdade inicial, se os consumidores estiverem transacionando 
em mercados competitivos, eles escolherão as melhores cestas que puderem aos preços de 
equilíbrio 1p e 2p . A alocação final deve ser Pareto-eficiente (Capítulo 31). Se A e B tiverem 
a mesma cesta, B não pode invejar A. Se B preferir a cesta de A à sua, e se sua cesta fosse a 
melhor que pudesse conseguir aos preços 1p e 2p , a cesta de A deveria custar mais do que B 
poderia pagar: 
 
 1 2 1 21 2 1 2B B A Ap p p x p xω ω+ < + . (22) 
 
Mas isto é impossível porque se B não puder pagar pela cesta, A também não poderá, já que 
possuem a mesma cesta. Se uma alocação for igualitária, não pode haver inveja. Uma 
alocação é justa se for igualitária e eficiente. Então, o equilíbrio competitivo em uma divisão 
igualitária é justo.
 
© Sergio Da Silva 2010. 
sergiodasilva.com 
 
 
Externalidades Hal R. Varian 
 Intermediate Microeconomics, 8th edition 
 Capítulo 34 
 
Há externalidade de consumo se um consumidor for afetado pelo consumo de outro ou pela 
produção de uma empresa. Exemplos de externalidade de consumo negativa são o vizinho 
tocando música alta às três horas da manhã, o consumidor na mesa ao lado de um restaurante 
fumando charuto ou a poluição produzida pelos carros. Um exemplo de externalidade de 
consumo positiva é ter prazer em observar as flores do vizinho. 
Ocorre externalidade de produção quando as possibilidades de produção de uma 
empresa são afetadas pelas escolhas de outra empresa ou consumidor. Um exemplo de 
externalidade de produção negativa é a situação em que uma empresa de pesca é afetada por 
poluentes jogados na área de pesca. Um exemplo de externalidade de produção positiva é um 
pomar de maçãs localizado próximo a uma colmeia. 
O aspecto mais importante das externalidades é a existência de bens que não são 
vendidos em mercados. Por exemplo, não há mercado para fumaça. É esta falta de mercados 
para externalidades que causa problema. 
No nosso modelo básico, conhecendo suas próprias possibilidades de consumo ou 
produção, cada consumidor ou produtor toma decisões sem se preocupar com que os outros 
estão fazendo. Eles interagem apenas no mercado e toda a informação necessária é dada pelos 
preços. O mecanismo de mercado leva a alocações eficientes de Pareto, já que não ocorrem 
externalidades. Porém, se cada consumidor ou produtor se importar com o consumo ou a 
produção dos outros, ocorrem externalidades e não se chega a alocações eficientes de Pareto. 
Aqui, o governo ou o sistema legal contribui para atingir a eficiência. 
 
Externalidades de consumo negativas na caixa de Edgeworth 
 
Dois consumidores A e B começam com $100 , sendo que A é fumante e B não. “Fumaça” é 
um bem para A, mas um mal para B. As possibilidades de consumo dos dois consumidores A 
e B de “dinheiro” e “fumaça” podem ser representadas na caixa de Edgeworth da Figura 1. 
 
Enquanto o dinheiro está dividido entre os dois consumidores, há apenas uma quantia 
de fumaça a ser consumida conjuntamente. Se estiverem na sala de não-fumantes de um 
restaurante, na dotação inicial ambos A e B possuem (dinheiro, fumaça) = (100, 0). Isto 
significa que B possui o direito de propriedade ao ar puro. A situação na dotação não é 
eficiente de Pareto porque, sendo as TMS diferentes, A e B podem transacionar para 
melhorar suas situações. B se deixa subornar e troca um pouco de fumaça (digamos, 0.4 ) por 
dinheiro (digamos, $30 ). Em outras palavras, o consumidor A paga para fumar. O equilíbrio 
ao final da troca em X é Pareto-eficiente, já que as TMS são iguais. 
Se, por outro lado, estiverem na sala de fumantes, na dotação inicial ambos A e B 
possuem (100, 1). Como as TMS são diferentes, há possibilidades de ganho mútuo com a 
troca. Agora B suborna A, pagando para ele reduzir o número de cigarros que vai fumar. Em 
X′ , há eficiência de Pareto. 
O consumidor A preferiria o equilíbrio em X′ , enquanto o consumidor B preferiria o 
equilíbrio em X. A teve que pagar para fumar a partir da dotação (100, 0) porque o direito ao 
ar puro foi alocado para B. Observe que, se os consumidores criarem um mercado para a 
fumaça, chegarão à eficiência, não importando de quem seja o direito ao ar puro. Ocorre que, 
nessa barganha, eles fizeramtransações ilegais. 
Em vez da barganha, eles poderiam ter usado o mecanismo de preços. O leiloeiro 
anunciaria um preço para o ar puro e cada consumidor escolheria o quanto comprar a esse 
preço. O equilíbrio competitivo seria o mesmo da Figura 1. 
Se o direito ao ar puro não estivesse bem definido nas dotações iniciais, o mercado de 
fumaça não seria viabilizado e a alocação eficiente da externalidade não seria atingida. 
 
Preferências quase-lineares e o teorema de Coase 
 
Em X e X′ na Figura 1, a quantidade de fumaça (externalidade) na situação eficiente depende 
da alocação inicial do direito de propriedade do ar puro. No caso especial de preferências 
quase-lineares, o montante da externalidade torna-se independente da alocação inicial do 
direito de propriedade: teorema de Coase (Figura 2). Realocar as dotações iniciais não afeta a 
quantidade eficiente de fumaça. 
 
 
Externalidade de produção 
 
Uma siderúrgica S produz aço na quantidade s e poluentes na quantidade x , que joga no rio. 
O seu custo é 
 
 ( , )s sc c s x= . (1) 
 
Uma empresa de pesca F dos arredores produz a quantidade f de peixes e sua função custo 
é 
 
 ( , )f fc c f x= . (2) 
 
Há externalidade de produção porque o custo da empresa F depende também da quantidade 
de poluentes lançados pela empresa S . Supomos que 
 
 0sc
x
∆ ≤∆ (3) 
 
ou 
 
 ( ) 0sCM x ≤ . (3′) 
 
Se a empresa S reduzir seus poluentes em x∆ o seu custo sc∆ seria aumentado. Para a 
empresa F , 
 
 0f
c
x
∆ >∆ (4) 
 
ou 
 
 ( ) 0fCM x > . (4′) 
 
O aumento dos poluentes lançados pela empresa S , x∆ , aumenta o custo da empresa F em 
fc∆ . Este é o custo externo que é ignorado pela siderúrgica. 
Não custa nada para a siderúrgica poluir. Então o preço do poluente é zero para ela: 
 
 0xp = . (5) 
 
A maximização de lucro da empresa S é: 
 
 
,
max ( , )s ss x p s c s x− , (6) 
 
onde sp é o preço da unidade de aço laminado. A maximização de lucro da empresa F é: 
 max ( , )f ff p f c f x− , (7) 
 
onde fp é o preço do peixe. Para a empresa de pesca, x não é variável de escolha. 
Para a siderúrgica, as condições de primeira ordem são encontradas derivando (6) em 
relação a s e igualando a zero: 
 
 0s sp c′− = 
 s sp c′= 
 
ou 
 
 *( )s Sp CM s= . (8) 
 
Depois, derivando (6) em relação a x e igualando a zero: 
 
 0 0sc′− = 
 *0 ( )sCM x= . (9) 
 
Por (9), a siderúrgica polui até que o custo de uma unidade extra do poluente seja zero. 
Para a segunda empresa, a condição de primeira ordem é encontrada derivando (7) em 
relação a f e igualando a zero: 
 
 0f fp c′− = 
 *( )f fp CM f= . (10) 
 
Como o custo externo não está sendo levado em conta pela siderúrgica, é de se esperar 
que as quantidades do poluente que ela emite no lucro máximo sejam excessivas do ponto de 
vista das duas empresas tomadas em conjunto. 
 
Fusões 
 
Se as duas empresas fizessem uma fusão, a nova empresa resultante internalizaria o custo 
externo, pois maximizaria: 
 
 
, ,
max ( , ) ( , )s f s fs f x p s p f c s x c f x+ − − . (11) 
 
As condições de primeira ordem podem ser encontradas derivando (11) em relação a s e 
igualando o resultado a zero: 
 
 0s sp c′− = 
 **( )s sp CM s= . (12) 
 
Depois, derivando (11) em relação a f e igualando a zero: 
 
 0f fp c′− = 
 **( )f fp CM f= . (13) 
 
E finalmente derivando (11) em relação a x e igualando a zero: 
 
 0 0 0s fc c′ ′+ − − = 
 0 s fc c′ ′= + 
 ** **0 ( ) ( )s fCM x CM x= + . (14) 
 
Assim, a empresa surgida da fusão polui até que a soma dos custos (custo social) das unidades 
extras de poluição vinda dos dois departamentos (aço e pesca) seja zero. Isto é Pareto-
eficiente, pois agora não é possível reduzir um custo marginal sem, com isso, aumentar o 
outro. A equação (14) pode ser reescrita como: 
 
 ** **( ) ( )s fCM x CM x− = . (14′) 
 
Isto é plotado na Figura 3. Veja que a quantidade socialmente ótima de poluente é menor do 
que a quantidade privada ótima (equação (9)). 
 
 O próprio mercado cria incentivos para internalização da externalidade de produção 
através de fusões. Ao perceberem que o lucro é maior na fusão, as empresas se engajam nela. 
O exemplo do pomar de maçãs e da colmeia é raro de se encontrar porque a externalidade de 
produção somente ocorreria caso as empresas ignorassem sua interação. Por isso, o mais 
comum é encontrar empresas com pomares e colmeias ao mesmo tempo. 
 
Imposto de Pigou 
 
Como a siderúrgica se defronta com o preço errado da poluição ( 0)xp = , ela não se importa 
com o custo que a poluição traz para a empresa de pesca. Para corrigir esta situação deve-se 
fazer com que a siderúrgica encare o custo social correto. 
Uma solução seria um imposto t por unidade de poluição gerada. A siderúrgica 
maximizaria lucro fazendo 
 
 
,
max ( , )s ss x p s c s x tx− − . (15) 
 
Derivando (15) primeiramente em relação a s e igualando a zero: 
 
 0s sp c′− = 
s sp c′= 
 ***( )s sp CM s= . (16) 
 
Derivando (15) em relação a x e igualando a zero: 
 
 0sc t′− − = 
 ***( )st CM x= − . (17) 
 
Levando em conta (14′) em (17): 
 
 ***( )ft CM x= . (18) 
 
Por (17) e (18), o imposto obriga a siderúrgica a internalizar o custo marginal da poluição da 
empresa de pesca. Este é chamado de imposto de Pigou. 
Para sabermos qual é o imposto correto, temos antes que conhecer o nível ótimo de 
poluição. Mas conhecendo o nível ótimo de poluição basta obrigar a firma a produzi-lo, sem 
necessidade do imposto. 
 
Criação de mercado para a poluição 
 
A siderúrgica se depara com o preço zero para o poluente ( 0)xp = e a empresa de pesca está 
disposta a pagarpara reduzir a poluição. Portanto, o preço social correto da poluição deveria 
ser negativo. 
Atribuindo-se direitos de propriedade de água limpa a qualquer uma das empresas 
seria suficiente para se criar o mercado do poluente que está faltando e se remover a 
externalidade. A situação eficiente irá ocorrer independentemente de a quem seja atribuído o 
direito de água limpa. 
Se à empresa de pesca for concedido o direito, ela poderá vender o direito gerando o 
mercado do poluente. A maximização de lucro da siderúrgica será agora 
 
 
,
max ( , )s x ss x p s p x c s x− − (19) 
e a da empresa de pesca será 
 
 
,
max ( , )f x ff x p f p x c f x+ − . (20) 
 
O valor da poluição xp x é negativo para a siderúrgica porque ela compra o direito de água 
limpa (para poluir), mas xp x é positivo para a empresa de pesca porque ela arrecada receita 
vendendo o direito. Maximizando (19) em relação a s : 
 
 0s sp c′− = 
s sp c′= 
 ****( )s sp CM s= . (21) 
 
Maximizando (19) em relação a x : 
 
 0x sp c′− − = 
 ****( )x sp CM x= − . (22) 
 
Maximizando (20) em relação a f : 
 
 0f fp c′− = 
 ****( )f fp CM f= . (23) 
 
Maximizando (20) em relação a x : 
 
 0x fp c′− = 
 ****( )x fp CM x= . (24) 
 
Logo, cada empresa leva em conta o custo marginal de suas ações quando compra ou vende 
poluição. Quando a oferta se iguala à demanda ao preço de equilíbrio xp , por (22) e (24), 
 
 **** ****( ) ( )s fCM x CM x− = . (25) 
 
Esta é a mesma condição de ótimo de Pareto de antes (equação (14′)). Ela diz que o custo 
marginal para a siderúrgica reduzir a poluição, sCM , deve se igualar ao benefício marginal da 
empresa de pesca dessa redução, fCM− . 
Se o direito a água limpa fosse concedido à siderúrgica, a empresa de pesca teria agora 
que pagar à siderúrgica para esta poluir menos. Isto leva ao mesmo resultado anterior. 
Supomos que poluir seja permitido até o limite x . A maximização de lucro da siderúrgica é: 
 
 
,
max ( ) ( , )s x ss x p s p x x c s x+ − − . (26) 
 
Derivando (26) em relação a s e igualando a zero: 
 
0s sp c′− = 
 *****( )s sp CM s= . (27) 
 
Derivando (26) em relação a x e igualando a zero: 
 
 0x sp c′− − = 
 *****( )x sp CM x= − . (28) 
 
A maximização de lucro da empresa de pesca é: 
 
 
,
max ( ) ( , )f x ff x p f p x x c s x− − − . (29) 
 
Derivando (29) em relação a f e igualando a zero: 
 
0f fp c′− = 
 *****( )f fp CM s= . (30) 
 
Derivando (29) em relação a x e igualando a zero: 
 
0x fp c′− = 
 *****( )x fp CM x= . (31) 
 
As equações (27), (28), (30) e (31) são as mesmas que (21), (22), (23) e (24). Logo, a 
produção ótima dos bens e do mal (poluição) independe de a quem seja atribuído o direito de 
propriedade sobre a poluição e o lucro maior será daquela empresa que recebeu o direito. 
 
A tragédia dos recursos comuns 
 
Se os direitos de propriedade forem bem definidos, as externalidades de produção serão 
internalizadas. Se um recurso de uso comum for propriedade de alguém, este pode evitar que 
outros o utilizem em excesso. Ineficiências resultam apenas de situações em que não se 
consegue excluir outros de usar o recurso. Um exemplo é a “tragédia” dos recursos comuns. 
Vacas leiteiras pastam em um campo de uso coletivo. Nenhum proprietário possui 
muitas vacas. O preço de cada vaca comprada c é $a : o custo é então ac . A receita com a 
venda de leite é ( )f c . A produção de leite de cada vaca dependerá de quantas outras vacas 
pastam no campo coletivo. Assim, a receita por vaca é ( )f cc . 
Se a pastagem tivesse dono, o lucro seria maximizado fazendo 
 
 max ( )
c
f c ac− (32) 
 
 *( ) 0f c a′ − = 
 *( )RM c a= . (33) 
 
Logo, o lucro seria máximo quando a receita marginal da venda de leite fosse igual ao preço 
da vaca. 
Como a pastagem não tem dono, existem c vacas no campo comum e a receita por 
vaca é ( )f cc . Comprar uma vaca a mais significa aumentar a receita em ( 1)f c + , mas o 
número total de vacas também aumenta em 1c + . A receita média que esta vaca a mais dará 
será ( 1)1
f c
c
+
+ . Se esta receita for maior do que o preço da vaca, a , valerá a pena comprá-la. 
Vacas a mais serão compradas até que a receita média em leite proporcionada pela última 
vaca se iguale a seu preço de compra: 
 
 ( 1)
1
f c a
c
+ =+ . (34) 
 
O número total de vacas compradas **c será dado então por: 
 
 
**
**
( )f c a
c
= (35) 
 
ou 
 
 ** **( ) 0f c ac− = . (35′) 
 
Portanto, quando o lucro for zero não se compra mais vaca. (35) é o equilíbrio quando o 
recurso for de uso coletivo. 
 Em (34), (35) e (35′) cada consumidor ignora o fato de que uma vaca a mais comprada 
reduzirá a receita de leite dos outros: cada um ignora o custo social de sua compra. O 
resultado será que as vacas compradas superarão o número ótimo do ponto de vista social. 
 A receita média 
**
**
( )f c
c
 diminuirá à medida que mais vacas forem compradas (curva 
decrescente): 
 
 
**
**
( ) 0f c
c
< . (36) 
 
Derivando (36) em relação a **c : 
 
 
** **
** 2
( ) 0
( )
f c f c
c
′ − < 
 ** 0f c f′ − < . 
 
Dividindo por **c : 
 
 ** 0
ff
c
′ − < 
 **
ff
c
′ < 
 RM RMe< . (37) 
 
Logo, o equilíbrio no caso em que o recurso é de uso coletivo, (35), é ineficiente, enquanto o 
equilíbrio no caso de um único dono, (33), é eficiente. 
 
 
© Sergio Da Silva 2010 
sergiodasilva.com 
 
Tecnologia de Hal R. Varian 
 Informação Intermediate Microeconomics, 8th edition 
 Capítulo 35 
 
A revolução industrial transformou a maneira de produzir, distribuire consumir bens. Agora, a 
revolução da informação está transformando a maneira de produzir, distribuir e consumir informação. 
 A tecnologia de informação é usada em sistemas de diversos componentes, que podem ser 
bens complementares fornecidos por diferentes empresas. Esses bens possuem valor apenas se usados 
em conjunto. Por exemplo, hardware não possui valor sem os correspondentes softwares. Uma CPU 
(central processing unit) da Intel precisa de um sistema operacional, como o Windows. Quanto maior 
for o número de softwares escritos para um hardware, maior será seu valor. 
 As estratégias competitivas nas indústrias de tecnologia de informação precisam, portanto, 
levar em conta que os componentes dos sistemas são bens complementares. 
 
Apreçamento dos complementos 
 
Os vendedores dos bens complementares (Intel e Microsoft, por exemplo) sabem que a demanda 
isolada por CPU ou Windows depende do preço de ambos os produtos. Sendo 1p o preço da CPU e 
2p o preço do Windows, a demanda por, digamos, CPU depende do preço desses dois componentes: 
1 2( )D p p+ . 
 Sendo 1CM o custo marginal de uma CPU e 1F seu custo fixo, o problema de maximização 
da Intel é: 
 
 
1
1 1 1 2 1max( ) ( )p p CM D p p F− + − . (1) 
 
Analogamente, o problema de maximização da Microsoft é: 
 
 
2
2 2 1 2 2max( ) ( )p p CM D p p F− + − . (2) 
 
Supondo, por simplicidade, que os custos marginais sejam irrelevantes: 
 
 1 2 0CM CM= = , (3) 
 
ficamos com ( (3) em (1) e (2) ): 
 
 
1
1 1 2 1max ( )p p D p p F+ − (1′) 
 
e 
 
 
2
2 1 2 2max ( )p p D p p F+ − . (2′) 
 
 Para o caso da função demanda linear 
 
 1 2 1 2( ) ( )D p p a b p p+ = − + , (4) 
 
temos, para a Intel ( (4) em (1′) ): 
 
 
1
1 1 2 1max ( ( ))p p a b p p F− + − 
 
 
1
2
1 1 1 2 1maxp ap bp bp p F− − − . (1″) 
 
Derivando em relação a 1p e igualando a zero: 
 
 1 22 0a bp bp− − = 
 
 1 22bp a bp= − 
 
 21 2
a bpp
b
−= . (5) 
 
Logo, o preço da CPU ( 1p ) depende do preço do Windows ( 2p ). 
 Para a Microsoft, cálculos análogos se aplicam e ficamos com 
 
 12 2
a bpp
b
−= . (6) 
 
Logo, o preço do Windows também depende do preço da CPU. 
 Se cada empresa acertar o preço que espera da outra, 1 1
ep p= e 2 2ep p= , e poderemos 
calcular o equilíbrio de Nash substituindo (6) em (5): 
 
 
1
1
2
2
a bpa b
bp
b
− −   = 
 
 
2
1
1
2
2
ab b pa
bp
b
−−
= 
 
 
2
1
1
2
2
2
ab ab b p
bp
b
− +
= 
 
 
2
1
1
22
2
ab ab b pbp
b
− += 
 
 2 21 14b p ab b p= + 
 
 2 13b p ab= 
 
 1 23
abp
b
= 
 
 1 3
ap
b
= . (7) 
 
(7) em (6): 
 
 2
3
2
aa b
bp
b
−
= 
 
 2
3
3
2
ab ab
bp
b
−
= 
 
 2
2
3
2
ab
bp
b
= 
 
 2
2 1
3 2
ap
b
= 
 
 2
2
6
ap
b
= 
 
 2 3
ap
b
= . (8) 
 
Portanto, no equilíbrio de Nash ( (7) e (8) ): 
 
 1 2 3
ap p
b
= = . (9) 
 
 A soma dos preços dos dois produtos é: 
 
 1 2 3 3 3
a a a ap p
b b b
++ = + = 
 
 1 2
2
3
ap p
b
+ = . (10) 
 
 Se houvesse uma fusão entre Intel e Microsoft, o preço seria menor. De fato, a nova empresa 
maximizaria 
 
 max ( )
p
p a bp F− − . (11) 
 
Derivando em relação a p e igualando a zero: 
 
 2 0a bp− = 
 
 2bp a= 
 
 
2
ap
b
= . (12) 
 
Comparando (10) e (12) vemos que 1 2p p p< + , pois 
 
 
2
2 3
a a
b b
< . (13) 
 
Com o preço mais baixo depois da fusão, os consumidores comprariam mais e a empresa 
aumentaria as vendas e os lucros (melhoramento de Pareto). Este é o mesmo resultado geral (de 
Cournot) de que a fusão de dois monopólios que produzem bens complementares baixa os preços e 
aumenta os lucros. 
 Exemplo 1: Motorola e Apple. Mesmo sem precisar fazer uma fusão, a Apple compra a CPU 
da Motorola, combina-a com seu sistema operacional (Macintosh) e vende o computador pronto para o 
consumidor final. 
 Exemplo 2: Boeing e GE. A Boeing faz o corpo do avião e a GE faz o motor. A Boeing 
compra o motor, monta o avião completo e reverte uma fração da receita para a GE. 
 Exemplo 3: Sony e Philips. Essas empresas possuem as patentes básicas da tecnologia do 
DVD e licenciam a tecnologia para muitas outras empresas a preços baixos para viabilizar o mercado.
Lock-in 
 
Há grandes custos de mudança (switching costs) nas indústrias de tecnologia de informação. Mudar de 
um computador baseado no Windows para outro baseado no Macintosh traz custos não apenas de 
hardware, mas também de toda uma inteira gama de software. 
 Se os custos de mudança forem muito altos, os consumidores podem não conseguir mudar de 
produto: ocorre o lock-in. O lock-in é a situação na qual o custo de mudar para um diferente sistema é 
tão alto que o consumidor fica preso ao atual. Isto significa uma demanda menos elástica e uma 
vantagem para o vendedor, que pode extrair um excedente do consumidor maior. 
 Em um ambiente competitivo, o custo (= custo marginal) de um serviço de acesso à internet se 
iguala ao preço do serviço p : 
 
 p c= . (14) 
 
Se o consumidor desejar mudar de servidor, há o custo de mudança s . Porém, o novo servidor 
pode oferecer o desconto d para o primeiro período. Se o consumidor mudar de servidor, 
paga p d− e o custo s no primeiro período e pr no período seguinte, onde r é a taxa de juros 
real por período sendo usada como fator de desconto. 
 Se ele continuar com o servidor atual, paga p no primeiro período e pr no período 
seguinte. Assim, o consumidor muda de servidor se 
 
 ( ) p pp d s p
r r
− + + < + . (15) 
 
 O consumidor será indiferente entre mudar ou não de servidor se 
 
 ( ) p pp d s p
r r
− + + = + 
 
 p d s p− + = 
 
 d s= .(16) 
 
Isto significa que ele será indiferente se o desconto fornecido pelo novo servidor exatamente 
compensar o custo de mudança. 
 Caso o consumidor opte pelo novo servidor, este receberá o pagamento pelo serviço p 
menos o desconto d que concede. O lucro será a receita p d− menos o custo c . No outro 
período, o lucro será apenas p cr
− . 
 Para o novo servidor, a concorrência força seu lucro até zero. Ou melhor, os lucros dos 
dois períodos se igualarão a zero: 
 
 ( ) 0p cp d c
r
−− − + = . (17) 
 
Como o desconto mínimo será d s= (por (16) ), substituindo (16) em (17): 
 
 ( ) 0p cp s c
r
−− − + = 
 
 p cp c s
r
−− + = . (18) 
 
Portanto, o valor presente dos lucros do novo servidor se igualará ao custo de mudança do 
consumidor. 
Vendo de outra forma, 
 
 p cp c s
r
−= − + 
 
 ( )cr p c srp
r
− − += 
 
 pr cr p c sr= − + + 
 
 (1 )pr p r c sr+ = + + 
 
 (1 ) (1 )r p r c sr+ = + + 
 
 
1
rp c s
r
= + + . (19) 
 
Isto significa que o preço do serviço será um mark up do custo c proporcional ao custo de 
mudança s . 
 Se o novo servidor também tiver receita de propaganda a , a condição de lucro zero 
(17) deve ser modificada para: 
 
 ( ) 0p a cp d a c
r
+ −− + − + = . (20) 
 
(16) em (20): 
 
 ( ) 0p a cp s a c
r
+ −− + − + = . (21) 
 
Neste caso, se comparado a (19), o preço do serviço será reduzido da receita de propaganda 
a . De fato, 
 
 0p a cp s a c
r
+ −− + − + = 
 
 p a cp s a c
r
+ − = − + −    
 
 rs ra rc p a cp
r
− + − − += 
 
 (1 ) (1 )rp rs r a r c p= − + + + − 
 
 (1 ) (1 )rp p r c r a rs+ = + − + + 
 
 (1 ) (1 ) (1 )r p r a r a rs+ = + − + + 
 
 
1
rp c a s
r
= − + + . (22) 
 
Externalidade de rede 
 
Uma externalidade de rede (network) ocorre quando a utilidade de um bem para um 
consumidor depende do número de outros consumidores do bem. Se o número de usuários de 
aparelhos de fax começar a diminuir, isto reduzirá a utilidade do seu próprio aparelho. Afinal, 
haverá cada vez menos pessoas capazes de receber seus faxes. 
 Suponha que há 1000 consumidores de um bem: 1,...,1000v = . O preço de reserva 
para o bem do consumidor v é o próprio v . Ao preço p , o número de consumidores que 
acham que o bem vale pelo menos p é 1000 p− . Se $200p = , haverá 800 consumidores 
querendo pagar pelo menos $200 e o número de unidades compradas será 800. Isto gerará 
uma curva de demanda negativamente inclinada (como vimos no Capítulo 1). 
 Se o bem for um aparelho de fax, haverá externalidade de rede e o valor do bem para a 
pessoa v será vn , sendo n o número de possíveis consumidores do bem. Quanto maior for 
n , maior será o valor do bem: ( ) v n ↑ ↑ . 
 Ao preço p , haverá o consumidor marginal vˆ exatamente indiferente entre comprar 
ou não o bem. Neste caso, p se iguala à sua vontade de pagar: 
 
 ˆp vn= . (23) 
 
Logo, todos os outros consumidores ˆv v> preferirão comprar. O número de consumidores 
querendo comprar o bem será: 
 
 ˆ1000n v= − . (24) 
 
(24) em (23): 
 
 (1000 )p n n= − . (25) 
 
A equação (25) está plotada na Figura 1. 
 
 
 
 Supondo que os aparelhos de fax sejam produzidos com retornos constantes de escala, 
a sua curva de oferta será a linha horizontal ao preço que se iguala ao custo médio (CMe ), 
como na Figura 2. 
 
 
 
 Reunindo demanda e oferta (Figura 3), há dois possíveis equilíbrios: com poucos 
consumidores e com muitos. 
 
 
 
 Se a curva de demanda estiver acima da de oferta, a quantidade n aumentará, e vice-
versa. As setas próximas aos equilíbrios na Figura 4 mostram esse processo de ajustamento. 
Apenas o equilíbrio com n maior é estável. 
Esse modelo pode ser adaptado para incluir externalidade de rede indireta. A utilidade 
de um consumidor de aparelho de DVD simples não se altera diretamente se outros estiverem 
comprando aparelhos de DVD Blu-Ray. Porém, há ainda externalidade de rede de forma 
indireta: quanto mais Blu-Rays forem vendidos, mais discos Blu-Ray vão aparecer, tornando 
os aparelhos de Blu-Ray ainda mais populares, fato que, indiretamente, reduz o uso de 
aparelhos de DVD simples. 
Suponha, então, que o preço de reserva do bem 1 seja 1v e que 1 1,...,1000v = . O preço 
de reserva do bem 2 é 2 1,...,1000v = . O valor do bem 1 depende de quantos consumidores 
consomem o bem 2 e o valor do bem 2 depende de quantos consumidores consomem o bem 1. 
As utilidades serão: 
 
 
 1 1 2U v n= (26) 
 
e 
 
 2 2 1U v n= . (27) 
 
Ao preço p , para os consumidores marginais indiferentes entre comprar ou não os 
respectivos bens, teremos: 
 
 1 1 2ˆp v n= (28) 
 
e 
 
 2 2 1ˆp v n= . (29) 
 
Todos com valores acima de 1ˆv compram o bem 1 e, assim, 
 
 1 1ˆ1000n v= − . (30) 
 
Todos com valores acima de 2vˆ compram o bem 2 e, assim, 
 
 2 2ˆ1000n v= − . (31) 
 
(30) em (28): 
 
 1 2 1(1000 )p n n= − . (32) 
 
(31) em (29): 
 
 2 1 2(1000 )p n n= − . (33) 
 
As equações (32) e (33) generalizam (25), que é válida quando não há externalidade de rede 
indireta. 
 
Modelos alternativos de negócios 
 
Suponha que o lucro de um jornal online de custo irrelevante seja maximizado: 
 
 max ( )
y
p y y (34) 
 
e se encontre o par ótimo ( *, *)p y . O jornal fornece um período grátis de uma semana. 
Porém, se o período for aumentado para um mês e, além disso, esse novo modelo de 
negócio funcionar, a nova curva de demanda inversa será: 
 
 ( ) ( ), 1P Y ap Y a= > . (35) 
 
As vendas agora aumentariam e 
 
 , 1Y by b= > . (36) 
 
A firma agora maximizará 
 
 max ( )
Y
P Y y . (37) 
 
(35) e (36) em (37): 
 
 max ( )
YYap Y
b
 
 
 max ( )
Y
a p Y Y
b
. (38) 
 
Já que a constante 0ab > , esta não modifica a escolha ótima de Y em relação ao problema 
(34). Podemos então concluir que * *Y y= . 
 Portanto, 
1. A quantidade consumida *Y independe da mudança do prazo gratuito. 
2. A quantidade produzida, que é Yby = , fica menor, já que 1b > e * *y Y= . 
3. Os lucros podem subir ou cair dependendo de se 1ab > ou 1ab < . 
 
Quando permitir o aluguel de bens de informação?
 
Um produtor de vídeo produz y cópias para maximizar lucro: 
 
 max ( )
y
p y y cy F− − . (39) 
 
Isto leva a determinada quantidade ótima de cópias. 
 Se houver a possibilidade de aluguel de qualquer cópia, a quantidade de vídeos que 
podem ser assistidos x pode superar a quantidade produzida: 
 
 , 1x ky k= > . (40) 
 
onde k é o número de consumidores que assistem ao vídeo. 
 Para o consumidor marginal que é indiferente entre alugar e comprar, 
 
 ( ) ( )p x p ky= . (41) 
 
Porém, há um custo de inconveniência t ao se alugar o vídeo quando se pode comprá-lo e, 
portanto, possuí-lo. Por isso, a disposição a pagar do consumidor marginal deve ser ( )p x t− e 
(41) deve ser reformulada para 
 
 ( ) ( )p x t p ky t− = − . (42) 
 
A disposição a pagar da locadora (demanda inversa do ponto de vista do produtor) será k 
(que é o número de usuários) vezes a disposição a pagar do consumidor marginal (equação 
(42) ): 
 
 ( ) ( ( ) )p y k p ky t= − . (43) 
 
Agora, o problema para o produtor do vídeo será: 
 
 max ( )
y
p y y cy F− − . (44) 
 
(43) em (44): 
 
 max ( ( ) )
y
k p ky t y cy F− − − 
 
 max ( )
y
p ky ky kty cy F− − − 
 
 max ( )
y
cp ky ky k ky F
k
 − + −   . (45) 
 
(40) em (45): 
 
 max ( )
x
cp x x t x F
k
 − + −   . (46) 
 
Comparando o problema de maximização sem a possibilidade de alugar o vídeo (39) com o 
que permite o aluguel (46), podemos notar que muda apenas o termo de custo: c em (39) e 
c
k t+ em (46). Por (46), o lucro será maior na situação em que o aluguel é possível se 
 
 c t c
k
+ < (47) 
 
ou 
 
 ct c
k
< − 
 
 ck ct
k
−< 
 
 ( 1)c kt
k
−< 
 
 ( 1)tk c k< − 
 
 
1
tk c
k
<− 
 
 
1
k t c
k
<− . (48) 
 
Se o número de consumidores for grande 1k k≈ − , o que faz com que 1 1kk− → . Neste casto, 
(48) informa que se o custo de produzir o vídeo for mais alto do que o custo de 
inconveniência ( c t> ), o lucro do produtor será maior se este permitir o aluguel do vídeo 
produzido. Se c t< , o produtor terá mais lucro proibindo o aluguel.
 
© Sergio Da Silva 2010 
sergiodasilva.com
 
Bens Públicos Hal R. Varian 
 Intermediate Microeconomics, 8th edition 
 Capítulo 36
 
Direitos de propriedade bem definidos para fumaça, por exemplo, são capazes de eliminar 
externalidades de consumo entre dois consumidores que transacionam o direito. No caso da 
externalidade de produção, os sinais dados pelos lucros podem arranjar os direitos de 
propriedade da maneira mais eficiente. Quando houver propriedade comum, basta atribuir-se 
direito de propriedade para uma das partes envolvidas para se remover a externalidade. 
Porém, essas soluções não funcionam para mais de dois indivíduos. 
Com um fumante e dois não fumantes, imagine que o direito de propriedade seja bem 
definido: o direito ao ar puro é dos não fumantes, que podem transacioná-lo em troca de 
apropriada compensação. Mas apenas definir o direito não resolve porque os não fumantes 
precisam chegar a um acordo em relação à quantidade de fumaça que será permitida e sobre 
qual deverá ser a compensação. O acordo é improvável se os não fumantes tiverem 
preferências muitos diferentes e dotações distintas (um deles ser mais rico). 
Esta externalidade de consumo de fumaça com três ou mais pessoas é um exemplo de 
bem-público: o bem (ou o mal, no caso da fumaça para os não-fumantes) tem que ser 
consumido por todos na mesma quantidade, mas cada consumidor atribui valor diferente para 
ele. Outros exemplos de bens públicos são a defesa nacional, ruas e calçadas. Bens públicos 
não podem ser alocados pelo mercado. 
Compra de bens públicos 
 
Um aparelho de TV na sala de dois colegas de república é um bem público. Vale a pena 
comprá-lo? Cada consumidor 1 e 2 contribui com 1g e 2g em dinheiro para comprar a TV 
(bem público) e 1x e 2x é o dinheiro restante para ser gasto em bens privados. A riqueza 
inicial de cada é 1w e 2w . As restrições orçamentárias são: 
 
 1 1 1x g w+ = (1) 
 
 2 2 2x g w+ = . (2) 
 
A TV custa c em dinheiro. Para comprá-la, é preciso que 
 
 1 2g g c+ ≥ . (3) 
 
A função utilidade do consumidor 1 é: 
 
 1 1 1( , )u u x G= , (4) 
 
onde 
 
 0G = (5) 
 
sem TV, ou 
 
 1G = (6) 
 
com TV. Não há subíndice, o que significa que o bem público é consumido ao mesmo tempo 
pelos dois consumidores. A função utilidade do consumidor 2 é: 
 
 2 2 2( , )u u x G= . (7) 
 
Cada consumidor valoriza os serviços da TV (programação) diferentemente. 
Perguntando até quanto cada consumidor gostaria de pagar pela TV, poderíamos 
conhecer seu preço de reserva 1r e 2r . Estamos, então, supondo que ambos não iriam mentir. 
Ao preço de reserva 1r , o consumidor 1 seria indiferente entre pagar 1r para ter o bem público 
ou não pagar e ficar sem ele. 
Supomos que o preço de reserva depende da riqueza: o valor máximo que se quer 
pagar depende de quanto se é capaz de pagar: 
 
 1 1r w≤ (8) 
 
e 
 
 2 2r w≤ .(9) 
 
Se o consumidor 1 pagar o preço de reserva (menor do que a sua riqueza) sobra 1x em 
dinheiro para ser gasto em bens privados: 
 
 1 1 1x w r= − . (10) 
 
Se não pagar, ele terá toda a sua riqueza disponível para ser gasta nos bens privados: 
 
 1 1x w= . (11) 
 
Se ele for indiferente entre pagar e não pagar, sua utilidade será ((4), (10) e (11)): 
 
 ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1 1, ,1 ,0u u x G u w r u w= = − = . (12) 
 
Similarmente, para o consumidor 2 temos: 
 
 2 2 2x w r= − (13) 
 
 2 2x w= (14) 
 
 ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2, ,1 ,0u u x G u w r u w= = − = . (15) 
 
 Duas alocações são possíveis. Sem TV ((5), (11) e (14)): 
 
 ( )1 2 1 2, , ( , ,0)x x G w w= (16) 
 
e com TV ((6)): 
 
 ( )1 2 1 2, , ( , ,1)x x G x x= . (17) 
 
Substituindo (1) e (2) em (17): 
 
 ( )1 2 1 1 2 2, , ( , ,1)x x G w g w g= − − . (17′) 
 
Em (17′), o consumo privado de cada consumidor depende da riqueza que fica depois de se 
gastar com o bem público. 
Quando gastar com o bem público ( 1g , 2g ) será uma melhoria de Pareto? (Sendo 
possível melhoria, teremos ineficiência). Quando ((12)) 
 
 ( ) ( )1 1 1 1,0 ,1u w u x< (18) 
 
e ((15)) 
 
 ( ) ( )2 2 2 2,0 ,1u w u x< . (19) 
 
Se fossem indiferentes entre pagar ou não ((12) em (18)): 
 
 ( ) ( )1 1 1 1 1,1 ,1u w r u x− < (20) 
 
e ((15) em (19)): 
 
 ( ) ( )2 2 2 2 2,1 ,1u w r u x− < . (21) 
 
Pagando ((1) em (20)): 
 
 ( ) ( )1 1 1 1 1 1,1 ,1u w r u w g− < − (22) 
 
e ((2) em (21)) 
( ) ( )2 2 2 2 2 2,1 ,1u w r u w g− < − . (23) 
 
Supondo monotonicidade em (22) e (23), mais quantidades consumidas do bem privado 
aumentam a utilidade dos consumidores: 
 
 1 1 1 1w r w g− < − (24) 
 
e 
 
2 2 2 2w r w g− < − (25) 
 
ou 
 
 1 1 1 1r g w w> + − 
 1 1r g> (26) 
 
e 
 
 2 2 2 2r g w w> + − 
2 2r g> . (27) 
 
Portanto, por (26) e (27), a contribuição de cada consumidor ( 1g e 2g ) é menor do que o 
preço máximo que cada um estaria disposto a pagar ( 1r e 2r ). Neste caso, há ineficiência e 
ambos melhorariam sua situação comprando a TV. 
 Considerando (3), para a TV ser de fato adquirida e ambos melhorarem, 
 
1 2 1 2r r g g c+ > + = . (28) 
 
Portanto, se a soma dos preços de reserva for maior do que o preço da TV é vantajoso para 
ambos comprarem o bem público. A soma das vontades de pagar deve ser pelo menos igual 
ao custo. 
 Como os preços de reserva, 1r e 2r , dependem da riqueza, 1w e 2w , dependendo de 
como a riqueza esteja distribuída pode ocorrer tanto 1 2 r r c+ > ou 1 2 r r c+ < . A compra ou 
não do bem público dependerá da distribuição da riqueza. Por exemplo, se o consumidor 1 
tiver toda a riqueza e gostar muito de TV e se o consumidor 2 for indiferente a TV, o 
consumidor 1 comprará sozinho e ocorrerá uma melhoria de Pareto. Mas se o consumidor 2 
tiver toda a riqueza, como ele não se importa com TV, poderia não comprá-la. 
Descartando as hipóteses (8) e (9) e considerando preferências quase-lineares, a 
compra do bem público independerá da distribuição da riqueza: 
 
( ) ( )1 1 1 1,u x G x v G= + (29) 
 
( ) ( )2 2 2 2,u x G x v G= + . (30) 
 
Sem TV, G = 0 e a utilidade do bem público seria zero: 
 
( ) ( )1 20 0 0v v= = . (31) 
 
Sendo o consumidor 1 indiferente entre pagar ou não ((12) em (29)): 
 
( ) ( ) ( )1 1 1 1 1 1 1, 1 0u x G w r v w v= − + = + . (32) 
 
(31) em (32): 
 
( )1 1 1 11w r v w− + = 
( )1 1 1 11r v w w= + − 
( )1 1 1r v= . (33) 
 
Sendo o consumidor 2 indiferente entre pagar ou não ((15) em (30)): 
 
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2, 1 0u x G w r v w v= − + = + . (34) 
 
(31) em (34): 
 
( )2 2 2 21w r v w− + = 
( )2 2 2 21r v w w= + − 
( )2 2 1r v= . (35) 
 
(33) e (35) não dependem de 1g e 2g e, por (1) e (2), não dependem de 1w e 2w . Apesar 
disto, 1r e 2r ainda dependem indiretamente de 1w e 2w por (8) e (9). 
 
Comprar ou não o bem público 
 
Os consumidores 1 e 2 podem não revelar seus preços de reserva verdadeiros 1r e 2r . Mesmo 
que 
 
 1 r c> (36) 
 
e 
 
 2 r c> , (37) 
 
se a riqueza dos dois consumidores for suficiente para comprar a TV, o consumidor 1 pode 
mentir e dizer que 
 
 1 0r = (38) 
 
e o consumidor 2 compraria a TV sozinho. Mas o consumidor 2 pode agir da mesma forma. 
Há incentivos para que um consumidor tente se aproveitar do outro. 
 Supondo que 
 
 1 2 500w w= = (39) 
 
e 
 
 1 2 100r r= = (40) 
 
 1 2 150c g g= + = . (41) 
 
Neste caso, 
 
 1 2r r c+ > (42) 
 
e vale a penacomprar a TV. 
 Comprando sozinho, o consumidor 1 terá o benefício 1r = 100 e o custo 1g = c = 150 
e, portanto, um prejuízo líquido igual a −50. Neste caso, o consumidor 2 terá o benefício 2r = 
100 e o custo 2g = 0 e, portanto, um benefício líquido de 100. O mesmo raciocínio se aplica 
se o consumidor 2 comprar sozinho. Se ninguém comprar, não haverá benefício. A matriz de 
resultados é dada a seguir. Em (0, 0) ocorre o equilíbrio de Nash com estratégias dominantes. 
Ninguém compra. 
 Consumidor 2 
 Compra sozinho Não compra
Consumidor 1 Compra sozinho −50, −50 −50, 100 Não compra 100, −50 0, 0 
 
Compra do bem público 
 
Em vez de simplesmente pensarmos na decisão de comprar ou não (G = 1 ou G = 0), 
podemos supor que ambos contribuam para comprar uma TV de qualidade G , tendo que 
gastar ( )c G . Quanto maior a qualidade G , maior o custo c . A restrição orçamentária fica: 
 
 ( )1 2 1 2x x c G w w+ + = + . (43) 
 
Uma vez comprada a TV, chega-se à eficiência onde a utilidade de um consumidor não pode 
ser mais aumentada sem, com isso, reduzir a do outro. 
 Maximizamos a utilidade do consumidor 1 sujeita ao fato de que a utilidade de 2 fique 
fixa em 2u e de que a restrição orçamentária seja obedecida: 
 
 ( )
1 2
1 1, ,
max ,
x x G
u x G (44) 
 
tal que 
 
 ( )2 2 2,u x G u= (45) 
 
e 
 
 ( )1 2 1 2x x c G w w+ + = + . (43) 
 
O lagrangeano é 
 
 ( ) ( )1 1 2 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( )L u x G u x G u x x c G w wλ µ= − − − + + − − . 
 
Condições de primeira ordem: 
 
 1
1 1
0uL
x x
µ∂∂ = − =∂ ∂ (46) 
 
 2
2 2
0uL
x x
λ µ∂∂ = − − =∂ ∂ (47) 
 
 1 2 0u uL c
G G G G
λ µ∂ ∂∂ ∂= − − =∂ ∂ ∂ ∂ . (48) 
 
(48) pode ser reescrita como 
 
 1 2u uc
G G G
µ λ∂ ∂∂ = −∂ ∂ ∂ 
 1 21 u uc
G G G
λ
µ µ
∂ ∂∂ = −∂ ∂ ∂ . (48′) 
 
(46) pode ser reescrita como 
 
 1
1
u
x
µ ∂= ∂ (46′) 
 
e (47) pode ser reescrita como 
 
 2
2
u
x
µ λ ∂= − ∂ 
 2
2
u
x
µ
λ
∂= − ∂ (47′) 
 
 
2
2
1 1
u
x
µ
λ
= − ∂
∂
 
2
2
1
u
x
λ
µ = − ∂
∂
. (47″) 
 
(46′) e (47″) em (48′): 
 
1 2
1 2
1 2
1 1
u u
x x
u uc
G G G∂ ∂∂ ∂
 ∂ ∂∂  = ⋅ − − ∂ ∂ ∂ 
 
1 2
1 2
1 2
u u
G G
u u
x x
c
G
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ = +∂ 
 
1 2( )CM G TMS TMS= + . (49) 
 
Como ( ) 0CM G > , 
 
1 2( )CM G TMS TMS= + . (49′) 
 
Logo, a soma dos valores absolutos das taxas marginais de substituição entre o bem privado e 
o bem público para os dois consumidores deve se igualar, no ótimo, ao custo marginal de se 
comprar uma unidade a mais do bem público. Isto é eficiente, já que as TMS medem a 
vontade marginal de se pagar por uma unidade extra do bem público e a soma das vontades 
marginais de pagar se iguala ao custo de se produzir a unidade a mais. 
 Por exemplo, para 
 
( ) 1CM G = 
1
1 4TMS = 
1
2 2TMS = , 
 
a soma 
 
 1 2
1 1 1 2 3
4 2 4 4
TMS TMS ++ = + = = 
 
é diferente de 44( )CM G = . Isto deve ser ineficiente de acordo com (49′), o que significa que 
se pode melhorar a situação dos dois consumidores. Se o preço do bem privado for igualado 
ao preço do bem público em $1 por unidade, 11 4TMS = significa que o consumidor 1 
aceitaria $ 14 a mais do bem privado por $1 de redução do bem público. E 12 2TMS = significa 
que o consumidor 2 aceitaria $ 12 a mais do bem privado por $1 de redução do bem público. 
Suponha que o bem público seja reduzido de uma unidade e que, portanto, economizamos um 
dólar. Para compensar, oferecemos os 34 de dólar que os consumidores desejam e sobra 14 de 
dólar. Se este 14 de dólar for repartido entre os consumidores, ambos melhorariam sua 
situação, o que demonstra ineficiência. Portanto, se a soma das vontades marginais de se 
pagar pelo bem público for maior do que o custo marginal de produzi-lo, será apropriado 
fornecer mais do bem público. 
A condição de eficiência para os bens privados é que a TMS de cada consumidor se 
iguale ao custo marginal, enquanto que para o bem público a condição de eficiência é que a 
soma das TMS de cada consumidor se iguale ao custo marginal. Embora cada consumidor 
possa consumir diferentes quantidades do bem privado, cada consumidor atribui ao bem o 
mesmo valor na margem; caso contrário, eles se engajariam na troca. Porém, cada consumidor 
deve consumir a mesma quantidade do bem público, embora cada um atribua um valor 
diferente para ele na margem. 
 
Compra de bens públicos com preferências quase-lineares 
 
No caso especial em que os consumidores têm preferências quase-lineares: 
 
 ( ) ( ),i i i iu x G x v G= + . (50) 
 
O problema agora é 
 
 ( )
1 2
1 1, ,
max 
x x G
x v G+ (51) 
 
tal que 
 
 ( )2 2 2x v G u+ = (52) 
 
e 
 
 ( )1 2 1 2x x c G w w+ + = + . (43) 
 
Lagrangeano: 
 
 ( ) ( )1 1 2 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ( )L x v G x v G u x x c G w wλ µ= + − + − − + + − − . (53) 
 
Condições de primeira ordem: 
 
 
1
1 0L
x
µ∂ = − =∂ 
 
1µ = (54) 
 
 
2
0L
x
λ µ∂ = − − =∂ 
 
λ µ= − . (55) 
 
(54) e (55): 
 
1λ = − (55′) 
 
1 2 0v vL c
G G G G
λ µ∂ ∂∂ ∂= − − =∂ ∂ ∂ ∂ 
1 2v vc
G G G
µ λ∂ ∂∂ = −∂ ∂ ∂ . (56) 
 
(54) e (55′) em (56): 
 
1 2v vc
G G G
∂ ∂∂ = +∂ ∂ ∂ (57) 
 
ou, no caso discreto, 
 
1 2( ) ( )( ) v G v GCM G
G G
∆ ∆= +∆ ∆ . (58) 
 
Portanto, *G pode ser encontrado independentemente de 1x e 2x , que não entram na 
expressão (58). Em geral, a quantidadeótima do bem público *G é diferente para diferentes 
alocações do bem privado 1x e 2x (equação (49)). Com preferências quase-lineares, há um 
único nível eficiente do bem público *G , já que este independe de 1x e 2x (equação (58)). 
Neste caso, todas as alocações * * *1 2( , , )x x G eficientes de Pareto são encontradas apenas 
redistribuindo *1x e 
*
2x , já que 
*G é único. 
 
Poluição como mal público 
 
Como no caso do bem público de consumo, podemos encontrar a provisão eficiente de um 
bem público de produção. Retomemos o exemplo da produção de aço, peixe e poluição. 
Poluição será um mal público se houver duas empresas de pesca, além da siderúrgica que 
produz aço e poluição. Podemos então achar a quantidade de poluição eficiente de Pareto. A 
quantidade eficiente é aquela em que o custo externo da poluição é internalizado. Para que 
isso seja possível, temos que considerar a maximização da soma dos lucros das três empresas 
(como se houvesse uma fusão). Isto significa também que estamos minimizando o custo 
social total da poluição. O custo sc da siderúrgica é 
 
 ( , )sc s x , (59) 
 
onde s é a quantidade de aço produzida e x é a quantidade de poluição gerada. O custo da 
primeira empresa de pesca 1fc é 
 
 1 1( , )fc f x , (60) 
 
onde 1f é a quantidade de peixes pescada pela primeira empresa, e o custo da segunda 
empresa de pesca é 
 
 2 2( , )fc f x . (61) 
 
A soma dos lucros das três empresas é maximizada fazendo 
 
 
1 2
1 2
1 2 1 2, , ,
max ( , ) ( , ) ( , )s f f s f fs f f x p s p f p f c s x c f x c f x+ + − − − . (62) 
 
Derivando e igualando a zero em relação a cada variável de escolha, temos, em relação a s , 
 
0s sp c′− = 
( )sp CM s= . (63) 
 
Em relação a 1f : 
 
1 0f fp c ′− = 
1( )fp CM f= . (64) 
 
Em relação a 2f : 
 
2 0f fp c ′− = 
2 ( )fp CM f= . (65) 
 
As condições (63), (64) e (65) são as mesmas que aquelas do Capítulo 34. A novidade está na 
última condição de primeira ordem. Derivando-se em relação a x : 
 
 1 2 0s f fc c c′ ′′− − − = 
 1 2 0s f fc c c′ ′′ + + = 
 
ou 
 
 
1 2
* * *( ) ( ) ( ) 0s f fCM x CM x CM x+ + = (66) 
 
 
1 2
* * *( ) ( ) ( )f f sCM x CM x CM x+ = − . (66′) 
 
A quantidade eficiente de poluição *x é aquela para a qual a soma dos custos marginais da 
poluição para as empresas de pesca se iguala ao benefício marginal para a empresa 
siderúrgica. 
 
Free riding na compra do bem público 
 
O consumidor 1 possui 1w , fica com a fração 1x para consumo do bem privado e tira a fração 
1g para contribuir com a compra do bem público. O consumidor 2 tem 2w e usa 2x para 
comprar o bem privado e 2g para contribuir com a compra do bem público. O provimento do 
bem público custa, por hipótese, 
 
 ( )c G G= . (67) 
 
Logo, o custo marginal de prover uma unidade a mais do bem público é, derivando (67) em 
relação a G : 
 
 ( ) 1c G′ = 
 ( ) 1CM G = . (68) 
 
Portanto, o custo marginal é constante e igual a 1. A quantidade total do bem público a ser 
provida precisa ser 
 
 1 2G g g= + . (69) 
 
A função utilidade do consumidor 1 é 
 
 1 1 1( , )u u x G= . (70) 
 
(69) em (70): 
 
 1 1 1 1 2( , )u u x g g= + . (70′) 
 
Analogamente, a função utilidade do consumidor 2 é 
 
 2 2 2 2 2 1 2( , ) ( , )u u x G u x g g= = + . (71) 
 
 O consumidor 1 maximiza sua utilidade fazendo a previsão de que a contribuição do 
consumidor 2 para a compra do bem público será 2g : 
 
 
1 1
1 1 1 2,
max ( , )
x g
u x g g+ (72) 
 
tal que 
 
 1 1 1x g w+ = . (1) 
 
Lagrangeano: 
 
 ( )1 1 1 2 1 1 1( , )L u x g g x g wλ= + − + − . (73) 
 
Condições de primeira ordem: 
 
1
1 1
0uL
x x
λ∂∂ = − =∂ ∂ 
1
1
u
x
λ∂ =∂ (74) 
 
1
1 1
0uL
g g
λ∂∂ = − =∂ ∂ 
1
1
u
g
λ∂ =∂ (75) 
 
Dividindo (76) por (75): 
 
1
1
1
1
1
u
g
u
x
λ
λ
∂
∂
∂
∂
= = (76) 
 
ou 
 
 1 1TMS = . (77) 
 
Analogamente, inferimos que 
 
 2 1TMS = . (78) 
 
(77) e (78): 
 
 1 2 1TMS TMS= = . (79) 
 
 Supomos agora que 
 
 1 0g ≥ (80) 
 
e 
 
 2 0g ≥ , (81) 
 
o que significa que nenhum consumidor pode reduzir a quantidade do bem público a ser 
comprada: pode apenas aumentá-la ou deixá-la inalterada. Dado que cada consumidor 
maximiza sua utilidade supondo conhecer a contribuição do outro ( 1g e 2g ), temos um 
equilíbrio de Nash. Cada consumidor pode não contribuir se a contribuição do outro for 
suficiente para comprar o bem público. Free riding ocorre no equilíbrio de Nash, que é 
ineficiente de Pareto. 
 Por exemplo, se a contribuição do consumidor 1 for suficiente, 
 
 1g G= (82) 
 
e, por (69), 
 
 2 0g = . (83) 
 
Por (1) e (82), a riqueza do consumidor 1 fica sendo 
 
 1 1 1 1x g x G w+ = + =(84) 
 
e, analogamente, a riqueza do consumidor 2 fica sendo 
 
 2 2 2 20x g x w+ = + = 
 2 2x w= . (85) 
 
O consumidor 2 pega carona com a contribuição do consumidor 1 para a compra do bem 
público (Figura 1). Se o consumidor 1 contribui e o consumidor 2 não contribui, mas poderia 
ter contribuído, a quantidade do bem público no equilíbrio de Nash é ineficiente, abaixo da 
que seria socialmente eficiente. Free riding gera ineficiência. 
 
 
 
 
 
Votação 
 
Vimos que, para que haja eficiência de Pareto, não podem existir externalidades de consumo: 
a utilidade de um consumidor não pode ser afetada pelo consumo de outro. Como todos 
consomem a mesma quantidade do bem público, as utilidades dos consumidores são 
mutuamente dependentes. Podem, então, ocorrer externalidades de consumo e o mercado 
competitivo não necessariamente provê a quantidade eficiente do bem público. 
 
 
Descartando-se o mecanismo de comando, resta apelar para o sistema de votação para 
a escolha das quantidades do bem público. Infelizmente, o mecanismo de votação também 
não garante a escolha da quantidade eficiente, já que está sujeito ao paradoxo do voto 
(Capítulo 33). Ao escolher entre três níveis de gasto com defesa pública, A, B e C, é possível 
que a maioria prefira A a B, B a C e C a A. As preferências sociais não são transitivas. 
 Porém, se o consumidor 1 levar em conta sua utilidade líquida do bem público (entre o 
gasto com o bem público G e a sua contribuição 1g ) e todos os outros consumidores também 
considerarem suas utilidades líquidas, basta que o formato das preferências seja como na 
Figura 2a: uma parábola de único pico. Isto significa que a utilidade líquida com o bem 
público inicialmente aumenta por causa do benefício gerado pelo bem público, chega ao 
ponto mais preferido e depois cai devido aos custos de se prover o bem público. Com 
preferências individuais com esse formato, as preferências sociais não exibirão o paradoxo do 
voto. Porém, o paradoxo continua se as preferências forem como as desenhadas na Figura 2b. 
 O gasto escolhido *G será aquele para o qual metade dos consumidores quer gastar 
mais e a outra metade quer gastar menos. Mas isso não informa quão mais do bem eles 
querem. Já que é isto o que a noção de eficiência captura, mesmo que a escolha de *G com 
preferências sociais de único pico não sejam intransitivas, a escolha por votação continua 
ineficiente. Além disso, mesmo que os consumidores tenham preferências de único pico, eles 
ainda possuem o incentivo de não votar em suas preferências verdadeiras para manipular o 
resultado em seu favor. 
 
 
 
Imposto de Clarke 
 
Os consumidores poderão revelar o valor verdadeiro que atribuem ao bem público através do 
mecanismo de mercado se as preferências forem quase-lineares. Como vimos, com 
preferências quase-lineares há um nível ótimo de bem público e a questão é encontrá-lo. 
Vamos supor que o problema seja provê-lo ou não. 
Uma associação de moradores pensa em iluminar uma rua de um condomínio. A 
compra do material custa $100. Cada consumidor atribui um preço de reserva diferente ao 
bem público: iv . Como vimos, vale a pena comprar o bem público se 
 
 
1
$100
n
i
i
v
=
≥∑ . (86) 
 
Pedindo aos consumidores que informem seus iv , eles possuem incentivos para mentir, já que 
podem pegar carona com os outros: se outros pagarem o suficiente, por que contribuir? 
 
Um mecanismo capaz de evitar este problema é decidir que, uma vez que se decida 
que a rua será iluminada, cada morador paga uma quantia predeterminada ic . Depois, cada 
consumidor poderá informar seu iv , quando poderemos conhecer o valor líquido 
 
 i i in v c= − . (87) 
 
Depois somamos todos os in para ver se o total é positivo, o que teria justificado a escolha de 
comprar o bem público. 
Há ainda um problema, pois cada consumidor pode exagerar no valor informado de iv . 
Os consumidores que quiserem que a compra do bem público seja feita podem aumentar em 
muito seu valor verdadeiro de iv , já que isto não afeta seu pagamento ic , faz com que a soma 
dos in fique positiva e decida-se comprar o bem público. 
Apenas os consumidores que conseguem alterar a soma total dos in importam: os 
pivôs. Precisamos, então, de um mecanismo para que os pivôs tenham incentivos para não 
exagerar iv e revelem seu preço de reserva verdadeiro. 
Supondo que o consumidor j seja o pivô, se a soma de todos os in , com i j≠ , for 
positiva (decisão de iluminar a rua) e, por causa de jn decida-se não iluminar, 0i jn n∑ + < , 
então o consumidor j causa o dano social de 
 
 0j i
i j
H n
≠
= >∑ . (88) 
 
A solução seria cobrar um imposto (de Clarke) do consumidor pivô. No exemplo em 
que o pivô alterou a decisão de provisão de bem público (iluminar a rua) para não provisão 
(não iluminar), o imposto de Clarke seria: 
 
 j i
i j
H s
≠
= ∑ , (89) 
 
onde is é o valor líquido informado por cada consumidor, que pode ou não ser o valor líquido 
verdadeiro in . Se o pivô tivesse alterado a decisão social de não provisão para provisão, o 
imposto de Clarke seria: 
 
 j i
i j
H s
≠
= −∑ . (90) 
 
O imposto não poderia ser distribuído para os outros moradores, já que isso alteraria 
seu comportamento. Deveria ser pago ao síndico (governo) e não importa como o síndico 
venha a usar o dinheiro. 
Outro exemplo: três estudantes de uma república, 1, 2 e 3, precisam decidir se 
compram uma TV para a sala, que custa $300. Cada um concorda em pagar antecipadamente 
$100, que seria usado no caso de se decidir comprar o bem público. Os preços de reserva 
verdadeiros dos consumidores 1 e 2 são $50 para cada e o do consumidor 3 é $250. Os dados 
estão na tabela a seguir. 
 
Consumidor ic iv in jH 
1 100 50 −50 0 
2 100 50 −50 0 
3 100 250 150 100 
 
A soma dos iv é 350, acima do custo de 300: comprar a TV gera uma melhoria de 
Pareto. Mas, se votassem, ganharia a escolha de não comprá-la. Os consumidores 1 e 2 
votariam em não comprar ( 1n e 2n são negativos). O imposto de Clarke possibilita que a 
escolha ótima de Pareto seja feita, que é comprar a TV. O imposto é cobrado do pivô. 
Considerando o consumidor 1, somando 2n e 3n (= −50 + 150) dá 100 e a escolha 
seria comprar, diferente do que o consumidor 1 deseja. Sozinho, ele não pode influenciar a 
escolha. Portanto, o consumidor 1 não é pivô, e seu imposto será zero. Exagerando seu preço 
de reserva, ele teria que reportar 1s = −100 ou abaixo, para ultrapassar 100, in ficar negativo e 
a TV deixar de ser comprada. Mas, se ele fizer isso, torna-se pivô e o imposto de Clarke para 
ele seria agora 100, ou seja, 2 3n n+ (equação (88)). Ele estava querendo ganhar 50, ou seja, 
1 1s n− = 100 − 50, mas terá que pagar 100 de imposto. No final, ele acabaria perdendo 50. 
Assim, não vale a pena exagerar. O mesmo raciocínio se aplica ao consumidor 2, já que os 
dados são os mesmos. 
Para o consumidor 3, somando 1n e 2n (= −50 − 50) dá −100. Como 
3 1 2( 150) ( 100)n n n= > + = , o consumidor 3 é pivô, pois in fica positivo por sua causa e a TV 
seria comprada. Por (90), ele deve pagar o imposto de Clarke de 100. Como 3n = 150, menos 
100 de impostoele fica com 50 e não vale a pena exagerar 3v . Com o imposto de Clarke, a 
TV seria comprada e ninguém teria incentivo para exagerar iv . 
Porém, o imposto de Clarke somente funciona com preferências quase-lineares, para 
as quais a riqueza de cada consumidor não influencia a demanda pelo bem público e há um 
único nível ótimo do bem público. O imposto de Clarke garante que o nível de gasto com o 
bem público seja ótimo, mas o consumo privado é reduzido quando do pagamento do 
imposto. O resultado é, então, Pareto-ineficiente, já que o consumo privado poderia ser maior 
caso não houvesse o imposto. O imposto de Clarke garante que, se todos puderem ter sua 
situação melhorada com o fornecimento do bem público, então este será fornecido. Mas isto 
não significa que todos terão sua situação melhorada. Alguns perdem (consumidores 1 e 2) 
para que o bem público seja fornecido. 
 
© Sergio Da Silva 2010 
sergiodasilva.com 
 
Informação Assimétrica Hal R. Varian 
 Intermediate Microeconomics, 8th edition 
 Capítulo 37 
 
Se consumidores e vendedores tiverem a mesma informação sobre a qualidade do bem, uma 
melhor qualidade seria corretamente informada por um preço mais alto. Mas se um lado do 
mercado for mais informado do que o outro, os preços não informarão corretamente a 
qualidade. Assimetria de informação impede o funcionamento eficiente do mercado. 
 
Mercado de carros usados 
 
Os vendedores de carros usados conhecem melhor a qualidade do produto do que os 
compradores. Supomos que existem 100 vendedores de 100 carros usados e 100 potenciais 
compradores. Todos sabem que 50 carros estão em boas condições e 50 são ruins. Mas apenas 
os vendedores sabem quais são exatamente os bons e quais são os ruins. Quem tem carro ruim 
quer vender por $1000 e quem tem carro bom quer vender por $2000. Os preços de reserva 
dos compradores são maiores: querem pagar até $1200 por um carro ruim e $2400 por um 
carro bom. 
 Se não houvesse informação assimétrica, os carros ruins seriam vendidos por preços 
entre $1000 e $1200 e os carros bons seriam vendidos por preços entre $2000 e $2400. Mas 
se os consumidores precisarem adivinhar quais dos carros são bons ou ruins, resta a eles 
pensar que as chances são iguais. Eles então pagariam por um carro de qualidade 
desconhecida o valor esperado de $1800: 
 
 1 11200 2400 1800
2 2
VE = + = . (1) 
 
Mas por $1800 nenhum vendedor de carro bom quer vender: o preço mínimo para eles é 
$2000. Neste caso, há uma externalidade negativa: as vendas dos carros ruins reduzem o valor 
médio que os consumidores querem pagar e reduzem as vendas dos carros bons. 
 
Escolha da qualidade 
 
Os consumidores querem comprar guarda-chuvas, mas não conhecem sua qualidade. O seu 
preço de reserva é $14 para os de boa qualidade e $8 para os de má qualidade. Os vendedores 
em concorrência pura têm um custo marginal de $11.50 para os dois tipos de guarda-chuva. 
Como os consumidores não sabem que fração q de guarda-chuvas será de boa qualidade, o 
preço médio que eles gostariam de pagar será: 
 
 14 8(1 )p q q= + − . (2) 
 
Os vendedores produzem se esse preço for maior ou igual ao custo de $11.50: 
 
 14 8(1 ) 11.50p q q= + − ≥ . (3) 
 
O menor valor de q que faz com que os consumidores queiram pagar exatamente $11.50 é: 
 
 14 8(1 ) 11.50p q q= + − = (3′) 
 14 8 8 11.50q q+ − = 
 6 11.50 8q = − 
 6 3.50q = 
 3.50
6
q = . (4) 
 
Multiplicando o numerador e o denominador por 2: 
 
 7
12
q = . (4′) 
 
Portanto, se a fração de guarda-chuvas de boa qualidade for 712 , os consumidores estariam 
dispostos a pagar exatamente p = $11.50. Como $11.50 está abaixo do preço de reserva de 
$14, eles aceitariam pagar qualquer valor entre $11.50 e $14 para adquirir guarda-chuvas de 
qualidade igual ou superior a 712 . O equilíbrio ocorrerá no intervalo 
 
 712 ,1q =    . (5) 
 
Como em concorrência pura os vendedores podem apenas vender por 
 
 11.50p CM= = (6) 
 
se, por exemplo, apenas guarda-chuvas de boa qualidade forem produzidos ( q = 1 e p = 
$11.50), o excedente do consumidor será máximo: $2.50 (=$14 − $11.50) (Figura 1). 
 
 Se os custos marginais forem diferentes, podemos supor que, para produzir guarda-
chuva de boa qualidade, 
 
 11.50qCM = (7) 
 
e, para produzir guarda-chuva de má qualidade, 
 
 1 11qCM − = . (8) 
 
Um pequeno produtor não consegue afetar nem o preço p nem a qualidade q . Ele assim 
prefere produzir guarda-chuvas de má-qualidade de custo marginal menor. Se todos os outros 
pequenos produtores raciocinarem da mesma forma, todos produzirão guarda-chuva de má 
qualidade ao preço 
 
 1 11qp CM −= = . (9) 
 
Porém, como os consumidores pagam no máximo $8 por guarda-chuvas de má qualidade, 
nenhum item seria vendido. Há seleção adversa porque, na presença de informação 
assimétrica, o bem de má qualidade expulsa do mercado o bem de boa qualidade até destruir o 
próprio mercado. 
 
Seleção adversa 
 
Uma companhia de seguros pensa em oferecer seguro contra roubo de bicicleta. Através de 
uma pesquisa de mercado, ela descobre que a incidência de roubo é alta em uma área e baixa 
em outra. Se oferecer o seguro com base na taxa de roubo média, a firma fica em situação 
difícil porque quem vai acabar comprando são os consumidores da área de alta ocorrência de 
roubo, e estes vão acabar fazendo os pedidos de pagamento do seguro. Baseando-se na taxa 
média de furtos, a companhia não fará uma seleção imparcial de clientes, mas sim uma 
seleção adversa. 
 Se a companhia oferecer o seguro com base na taxa de roubo da área de maior risco, a 
situação piora: o preço será muito alto para os consumidores de menor risco, que não 
comprarão a apólice e sairão do mercado. 
 Na seleção adversa há uma externalidade de consumo, pois as compras dos 
consumidores de alto risco afetam as compras dos consumidores de menor risco, expulsando 
estes últimos do mercado. 
 Para impedirmos a seleção adversa, todos os consumidores precisam inicialmente 
voltar ao mercado. Obrigando a companhia a cobrar o seguro com base na taxa média, que é 
menor do que o seguro baseado na taxa de maior risco, os consumidores de baixo risco 
retornariam ao mercado e os consumidores de alto risco comprariam o seguro a uma taxa 
menor. O governo então interferiria para garantir essa melhoria de Pareto e socorreria a 
companhia em caso de inadimplência. 
 
Perigo moral 
 
Se todos tiverem a mesma probabilidade de roubo no mercado de seguros de bicicleta,não 
surgirá o problema de seleção adversa. Mas a própria probabilidade de roubo pode ser afetada 
pelas ações dos donos das bicicletas: fazendo o seguro, um consumidor toma menos cuidados 
do que se não fizesse o seguro. Sem seguro, cada consumidor terá que enfrentar os custos de 
suas atitudes e vai querer investir em “tomar cuidado” até que o benefício marginal de mais 
cuidado se iguale ao custo marginal. Com seguro completo, a companhia reembolsa 
completamente o valor da bicicleta e o consumidor, racionalmente, não terá nenhum incentivo 
para investir em tomar cuidado: ocorrerá o perigo moral. 
 Em suma, com pouco seguro, os consumidores enfrentam demasiados riscos; com 
muito seguro, tomam pouco cuidado. Por essa razão, sem conhecer a quantidade de cuidado 
que cada consumidor toma, as companhias costumam não vender o seguro completo. De fato, 
a maior parte dos seguros inclui uma franquia, que o segurado paga ao solicitar o pagamento 
do seguro. Mas o consumidor desejaria comprar o seguro completo. Há ineficiência porque a 
propensão marginal a pagar não se iguala à propensão marginal a vender, já que ocorre 
racionamento da parte da empresa. 
 Enquanto a seleção adversa é um problema de informação escondida, em que um lado 
do mercado não pode observar a qualidade dos bens do outro, o perigo moral é um problema 
de ação escondida: um lado do mercado não pode observar as ações do outro. 
 No caso de perigo moral, se o governo não puder monitorar o quanto os consumidores 
tomam cuidado, ele não poderá melhorar a situação, a não ser que uma determinada 
quantidade de cuidado seja tornada obrigatória por lei. 
 
Sinalização 
 
No mercado de carros usados com informação assimétrica, os vendedores de carros bons 
podem querer sinalizar que seus carros são os bons, e não os ruins, evitando problemas de 
seleção adversa. Um sinal poderia ser a garantia de que eles se comprometem a pagar certa 
quantia se o carro der defeito. Somente donos de carros bons podem se dar ao luxo de 
oferecer garantias, e os compradores sabem disso. 
 No mercado de trabalho, o problema da seleção adversa também surge e os 
trabalhadores mais produtivos podem querer demonstrar que são, de fato, mais produtivos. A 
produtividade marginal dos trabalhadores produtivos é 2a e a dos menos produtivos é 1a . 
Logo, 
 
 1 2a a< (10) 
 
ou 
 
 2 1 0a a− > . (10′) 
 
Uma fração b dos trabalhadores é mais produtiva e a fração 1 b− é menos produtiva. O 
mercado de trabalho é competitivo e a função produção é linear: 
 
 1 1 2 2y a L a L= + , (11) 
 
onde y é a produção total e iL é a quantidade de trabalhadores do tipo i . 
 Se a qualidade dos trabalhadores pudesse ser observada, as empresas pagariam salários 
iguais às produtividades marginais: 
 
 1 1w a= (12) 
 
e 
 
 2 2w a= (13) 
 
e não haveria seleção adversa. Porém, se as empresas não puderem observar as produtividades 
marginais, o melhor que elas podem fazer é pagar o salário médio: 
 
 1 2(1 )w b a ba= − + . (14) 
 
Se tanto os trabalhadores mais produtivos como os menos produtivos concordassem em 
receber esse salário médio w não haveria problemas de seleção adversa. Mas como 2w w< , 
os trabalhadores mais produtivos podem não concordar com w . Neste caso, haveria seleção 
adversa, pois eles sairiam do mercado de trabalho. 
 Os trabalhadores mais produtivos podem querer sinalizar que são, de fato, mais 
produtivos (para receber 2w ) através do sinal de anos de escolaridade. O nível de escolaridade 
atingido pelos trabalhadores menos produtivos é 1e e o dos mais produtivos é 2e . O custo de 
se educar é 1 1c e para os menos produtivos e 2 2c e para os mais produtivos. Este custo inclui 
não apenas o custo de ir para a escola, mas também o custo do esforço e o custo de 
oportunidade diante de escolhas alternativas. 
 Supomos que o custo marginal (igual ao custo médio) seja maior para os trabalhadores 
menos produtivos: 
 
 1 2c c> . (15) 
 
Por simplicidade, supomos também que o nível de escolaridade não afeta a produtividade e 
que serve apenas para sinalizá-la. Assim, os trabalhadores precisam decidir que nível de 
escolaridade e desejam e as empresas precisam resolver quanto pagar aos trabalhadores com 
diferentes níveis de escolaridade e . 
 Multiplicando (15) por (10′): 
 
 1 2 1 2 2 1( ) ( )c a a c a a− > − 
 2 1 2 1
2 1
a a a a
c c
− −> 
 2 1 2 1
1 2
a a a a
c c
− −< . (16) 
 
O nível de escolaridade *e que precisa satisfazer (16) deve estar no intervalo 
 
 *2 1 2 1
1 2
a a a ae
c c
− −< < . (17) 
 
 Note que 2 1a a− fornece o benefício do aumento de salário para os dois tipos de 
trabalhadores. Se o grupo menos produtivo estiver pensando em escolher *e , seu custo será 
*
1c e . O benefício dessa escolha será maior do que o custo se 
 
 *2 1 1a a c e− > 
 *2 1
1
a a e
c
− > . (18) 
 
Mas isto contradiz (17). Então, para o grupo menos produtivo, o custo de escolher *e supera o 
benefício. 
 Por outro lado, para o grupo mais produtivo, escolher *e tem custo *2c e . O benefício 
supera o custo se 
 
 *2 1 2a a c e− > 
 *2 1
2
a a e
c
− > , (19) 
 
que é validado por (17). Assim, apenas os trabalhadores mais produtivos são capazes de 
escolher *e . As empresas então pagam aos trabalhadores com nível de escolaridade *e o 
salário 2w . 
 O equilíbrio em (17) permite, através da escolha diferente, a separação dos 
trabalhadores dos dois tipos (separating equilibrium). Como os trabalhadores mais produtivos 
pagam para sinalizar sua produtividade sem aumentá-la, o mesmo produto anterior é 
produzido. A aquisição de sinal é um desperdício e, assim, o equilíbrio de sinalização 
separating é socialmente ineficiente. 
 A origem dessa ineficiência é uma externalidade negativa. Se os trabalhadores mais 
produtivos recebessem o salário médio w menor do que 2w , isto ocorreria devido à existência 
de trabalhadores menos produtivos. O investimento em sinalização oferece aos mais 
produtivos um benefício privado, mas nenhum benefício social. 
 Se fizéssemos a hipótese (menos realista) contrária a (15): 
 
 1 2c c< , (20) 
 
o grupo mais produtivo não escolheria *e , não ocorreria a sinalização e ele aceitaria o salário 
médio w : os dois grupos fariam a mesma escolha (pooling equilibrium). Mas se (20) fosse 
verdadeira, o grupo 1 é que seria mais produtivo. 
 
Incentivos 
 
A quantidade produzida da empresa y depende do esforço x feito pelo trabalhador: 
 
 ( )y f x= .(21) 
 
Sendo o preço 
 
 1p = , (22) 
 
o valor p y⋅ do produto se reduz a y . Se o trabalhador (agente) produzir um valor do produto 
de y dólares, o dono da empresa (principal) paga a ele ( )s y . O principal maximiza lucro 
fazendo 
 
max ( )
s
y s y− . (23) 
 
(21) em (23): 
 
( )max ( ) ( )
x
f x s f x− . (24) 
 
Sendo ( )c x o custo de se esforçar do trabalhador, onde tanto o custo total como o custo 
marginal aumentam quando o esforço aumenta, a utilidade do trabalhador será 
 
( ) ( )u s y c x= − . (25) 
 
(21) em (25): 
 
( ) ( )( )u s f x c x= − . (26) 
 
 O trabalhador também recebe utilidade ν de outras tarefas ou de lazer. Por hipótese, 
 
v u= . (27) 
 
Para que o trabalhador aceite trabalhar em determinada empresa em vez de realizar outras 
tarefas ou ter lazer: 
 
 ( ) ( )( )s f x c x u− ≥ . (28) 
 
Se ele apenas satisfizer a “restrição de participação” (28), então 
 
( ) ( )( )s f x c x u− = . (29) 
 
 O problema agora para o principal é 
 
( )max ( ) ( )
x
f x s f x− (24) 
 
sujeito a 
 
( )( ) ( )s f x c x u− = . (29) 
 
(29) em (24): 
 
 max ( ) ( )
x
f x c x u− − (30) 
 0f c′ ′− = 
 f c′ ′= 
 * *( ) ( )PM x CM x= . (31) 
 
 Para que o trabalhador se esforce em exatamente *x , a sua utilidade ao escolher o 
esforço *x não pode ser menor do que qualquer outro nível de esforço x : 
 
 ( ) ( )* *( ) ( ) ( ) ( )s f x c x s f x c x− ≥ − , x∀ . (32) 
 
 Se o produto vier da terra, o proprietário (principal) poderia alugar a terra ao 
trabalhador (agente) pelo aluguel R . Um esquema de incentivo útil seria deixar ao 
trabalhador todo o produto acima do aluguel: 
 
 ( )( ) ( )s f x f x R= − . (33) 
 
Por (26), o trabalhador maximiza 
 
 ( )max ( ) ( )s f x c x− . (34) 
 
(33) em (34): 
 
 max ( ) ( )
x
f x R c x− − (35) 
 0f c′ ′− = 
 f c′ ′= 
* *( ) ( )PM x CM x= . (31) 
 
Esta é exatamente a condição que o principal deseja. 
 O aluguel a ser cobrado pode ser encontrado substituindo (33) em (29): 
 
( ) ( )f x R c x u− − = . (36) 
 
Para *x , 
 
* * *( ) ( )f x c x R u− − = 
* * *( )R f x c u= − − . (37) 
 
 Outro esquema seria o proprietário da terra pagar ao trabalhador um salário w 
dependendo do seu esforço x, juntamente com uma quantia fixa K : 
 
( )( )s f x wx K= + . (38) 
 
Na escolha ótima *x , 
 
*( )w PM x= . (39) 
 
Por (38) em (34), o trabalhador maximiza: 
 
max ( )
x
wx K c x+ − (40) 
0w c′− = 
*( )w CM x= . (41) 
 
(39) em (41): 
 
* *( ) ( )PM x CM x= . (31) 
 
Portanto, a escolha ótima do trabalhador coincide com a do proprietário. 
 Um terceiro esquema de incentivo seria o proprietário pagar ao trabalhador 
 
( ) * ** se ( ) 0 se 
B x x
s f x
x x
 ==  ≠
 (42) 
 
Na escolha ótima *x , (29) em (42): 
 
* *( )B u c x= + . (43) 
 
Fora da escolha ótima, a utilidade para o trabalhador seria negativa. De fato, (29) em (42): 
 
( ) 0u c x+ = 
( )u c x= − . (44) 
 
 Um exemplo de esquema de incentivo não-ótimo seria a parceria, onde tanto 
proprietário como trabalhador ficam com a mesma percentagem fixa do produto. A cota do 
trabalhador seria, por exemplo, 
 
( ) ( )s x f x Fα= + , (45) 
 
onde 0 1α< < e F é uma constante. Assim, 
 
 max ( ) ( )
x
f x F c xα + − 
 0f cα ′ ′− = 
 ˆ ˆ( ) ( )PM x CM xα = , (46) 
 
Que não é a condição de eficiência (31). Logo, a parceria é um esquema de incentivos que não 
é ótimo. 
 Nos três casos em que o esquema de incentivos é ótimo e o esforço é observado pelo 
proprietário, o trabalhador iguala benefício marginal a custo marginal. O trabalhador escolhe 
o esforço a fazer dada a produção. No caso do esquema do aluguel, o trabalhador fica com 
toda a produção remanescente depois de pagar o aluguel ao proprietário. 
 Com informação assimétrica, o trabalhador pode escolher seu nível de esforço, mas o 
proprietário não pode observá-lo de maneira perfeita. O proprietário precisa inferir que 
esforço foi feito a partir da produção observada. Se a produção tiver um componente 
aleatório, o proprietário irá repassar todo o risco para o trabalhador. Mas como o trabalhador 
tem mais chance de ser mais avesso ao risco do que o proprietário, possivelmente ele irá abrir 
mão de ganhos residuais a fim de obter um fluxo de renda menos arriscado. Assim, os três 
esquemas de incentivos apresentados acima se tornam ineficientes, enquanto o esquema de 
parceria poderia até mesmo vir a ser ótimo. 
 
© Sergio Da Silva 2010 
sergiodasilva.com