Lista de exercícios 01 derivadas

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Lista de exercícios – Derivadas Parciais 
 
01) Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções: 
�) ���, �) = 3� − 2�
 
�) ���, �) = �� + 3���� + 3��
 
�) � = ���� 
�) � = ���� 
�) ���, �) =
� − �
� + �
 
�) ���, �) = �� 
�) � = ����. ��� 
ℎ) ���, ") =
�"�
��� + "�)
 
#) ��$, �) = $. ln �$� + ��) 
') ���, ") = �$�"���√") 
 
02) Determine as derivadas parciais indicadas: 
�) ���, �) = )�� + ��, �*�3, 4) 
�) ���, �) = ����2� + 3�), ���−6,4) 
�) ���, �, �) =
�
�� + �)
, �-�3,2,1) 
�) ��/, 0, �) = �"��/0), �1�2,0,3) 
 
03) Determine as derivadas parciais de segunda ordem: 
�) ���, �) = �
 − 3���� 
�) ���, �) = ln �3� + 5�) 
�) � =
�
� + �
 
�) � = �. "�2� 
�) / = �45. ���" 
�) 0 = )� + �� 
 
04) Considere a função 22
2
yx
xy
z
+
= . Verifique que z
y
zy
x
z
x =
∂
∂
+
∂
∂
. 
05) Se 
22ln yxz += , mostre que 1=
∂
∂
+
∂
∂
y
zy
x
z
x . 
06) Se 
yx
xy
z
−
= , mostre que .02 2
2
2
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂∂
∂
+
∂
∂
y
zy
yx
z
xy
x
z
x 
07) A temperatura em um ponto (x, y) de uma placa de metal é dada por 6��, �) = 60 �1 + �� + ��)⁄ , onde T é medido 
em ºC e (x, y) em metros. Determine a taxa de variação da temperatura com relação à distância no ponto (2, 1) em (a) a 
direção do eixo x e (b) a direção do eixo y. 
 
08) A lei dos gases para uma massa fixa m de um gás ideal à temperatura absoluta T, pressão P e volume V é PV = mRT, 
onde R é a constante do gás. Mostre que: 
89
8:
.
8:
86
.
86
89
= −1 
 
09) Determine o plano tangente ao paraboloide elíptico � = 2�� + �� no ponto (1, 1, 3). 
 
10) Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado. 
�) � = 4�� − �� + 2�, �−1,2,4) 
�) � = 9�� + �� + 6� − 3� + 5, �1, 2, 18) 
�) � = )4 − �� − ��, �1, −1, 1) 
�) � = � ���, �1, 4, 0) 
 
11) Determine o diferencial das funções: 
�) � = ��ln ���) 
�) 0 = � ����� 
�) / = �=���> 
�) / = $ �� + 2")⁄ 
�) � = ��)�� + �� + �� 
�) � = ���*- 
 
12) O comprimento e a largura de um retângulo foram medidos como 30 cm e 24 cm, respectivamente, com um erro de 
medida de, no máximo, 0,1 cm. Utilize os diferenciais para estimar o erro máximo cometido no cálculo da área do 
retângulo. 
 
13) As dimensões de uma caixa fechada retangular foram medidas como 80 cm, 60 cm e 50 cm, respectivamente, com 
erro máximo de 0,2 cm em cada dimensão. Utilize os diferenciais para estimar o máximo erro no cálculo da área da 
superfície da caixa. 
 
14) Utilize os diferenciais para estimar a quantidade de estanho em uma lata cilíndrica fechada com 8 cm de diâmetro e 
12 cm de altura se a espessura da folha de estanho for de 0,04 cm. 
 
15) Use o diferencial para estimar a quantidade de metal em uma lata cilíndrica fechada de 10 cm de altura e 4 cm de 
diâmetro se o metal das tampas de cima e de baixo possui 0,1 cm de espessura e o das laterais tem espessura de 0,05 cm. 
 
16) Se R é a resistência equivalente de três resistências conectadas em paralelo, com valores R1, R2 e R3, então 
1
?
=
1
?@
+
1
?�
+
1
?�
 
Se as resistências medem em ohms R1 = 25 Ω, R2 = 40 Ω e R3 = 50 Ω, com precisão de 0,5 % em cada uma, estime o erro 
máximo no cálculo da resistência equivalente de R. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: 
01) 
�) �*��, �) = 3, ����, �) = −8�� 
�) �*��, �) = 5�
 + 9���� + 3�
, ����, �) = 6��� + 12��� 
�) 
8�
8�
= ��� , 
8�
8�
= 3���� 
�) 
8�
8�
=
�
�
, 
8�
8�
= ��� 
�) �*��, �) =
2�
�� + �)�
, ����, �) =
−2�
�� + �)�
 
�)�*��, �) = ���4@, ����, �) = ����� 
�) 
8�
8�
= ����. ��� , 
8�
8 
= −����. ��� 
ℎ) �5��, ") =
"
 − ��"�
��� + "�)�
, �=��, ") =
2��"
��� + "�)�
 
#) �A�$, �) =
2$�
$� + ��
+ ln�$� + ��), �5�$, �) =
2$�
$� + ��
 
') �*��, ") =
√"
1 + ��"
, �=��, ") =
�
2√"�1 + ��")
 
02) 
�) 
3
5
 
�) 3 
�) 
1
3
 
�) 6 
 
03) 
�) �*��, �) = 4�� − 6���, ����, �) = −9����, �**��, �) = 12�� − 6��, �*� = ��* = −18���, ��� = −18��� 
�) �*��, �) =
3
3� + 5�
, ����, �) =
5
3� + 5�
, �*� = ��* =
−15
�3� + 5�)�
, �**��, �) =
−9
�3� + 5�)�
, ��� =
−25
�3� + 5�)�
 
�) 
8�
8�
=
�
�� + �)�
,
8�
8�
=
−�
�� + �)�
,
8��
8��
=
−2�
�� + �)�
,
8��
8�8�
=
8��
8�8�
=
� − �
�� + �)�
,
8��
8��
=
2�
�� + �)�
 
�) 
8�
8�
= 2�. �����2�),
8�
8�
= "��2�),
8��
8��
= 8������2�). "��2�),
8��
8�8�
=
8��
8�8�
= 2�����2�),
8��
8��
= 0 
�) 
8/
8�
= −�45���",
8/
8"
= �45���",
8�/
8��
= �45���",
8�/
8�8"
=
8�/
8"8�
= −�45���",
8�/
8"�
= −�45���" 
�) 
80
8�
=
1
2)� + ��
,
80
8�
=
�
)� + ��
,
8�0
8��
= 
−1
4�� + ��)� �⁄
,
8�0
8�8�
=
8�0
8�8�
= 
�
2�� + ��)� �⁄
,
8�0
8��
=
�
�� + ��)� �⁄
 
 
07) 
�) −
20
3
 
�) −
10
3
 
 
09) � = 4� + 2� − 3 
 
10) 
�) � = −8� − 2� 
�) � = 24� + � − 8 
�) � − 2� + � = 4 
�) � = 4� − 4 
 
11) 
�)�� = 3�� ln���) �� +
2��
�
�� 
�) �0 = −��������� + ����� − �������)�� 
�) �/ = �=���>�" + �=���>�> 
�) �/ =
1
� + 2"
�$ −
$
�� + 2")�
�� −
2$
�� + 2")�
�" 
�) �� =
��� + ��� + ���
�� + �� + ��
 
�) �� = ��� + 1)��*-�� + ��*-�� + ����*-�� 
 
12) 5,4 cm
2
 
 
13) 152 cm
2
 
 
14) 16 cm
3 
(aproximadamente) 
 
15) 8,8 cm
3 
(aproximadamente) 
 
16) 1/17 Ω