ESTRUTURAS DE CONCRETO FUNDAMENTOS Libânio 2017

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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 
Departamento de Engenharia de Estruturas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO: 
FUNDAMENTOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
Libânio M. Pinheiro 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2017 
ESTRUTURAS DE CONCRETO – CAPÍTULO 1 
 
Libânio M. Pinheiro 
Colaboradores: 
Cassiane D. Muzardo, Sandro P. Santos,Thiago Catoia, Bruna Catoia, Artur L. Sartorti 
Março de 2017 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
 
 Este é o capítulo inicial de um livro cujos objetivos consistem em apresentar: 
 os fundamentos do concreto e dos aços para armadura; 
 as bases para cálculo de concreto armado; 
 o estudo das seções transversais submetidas a solicitações normais e 
tangenciais; 
 os conceitos referentes à ancoragem das barras e à interrupção delas fora 
dos apoios; 
 a verificação dos estados limites de serviço. 
 É um trabalho dedicado a alunos de graduação e a iniciantes em Engenharia 
Estrutural. Os interessados em aprofundar conhecimentos deverão consultar 
bibliografia complementar adequada. 
 
1.1 DEFINIÇÕES 
 Concreto é um material de construção proveniente da mistura, em proporção 
adequada, de aglomerantes, agregados e água. Também é frequente o emprego 
de aditivos e adições. 
a) Aglomerantes 
Os aglomerantes unem os fragmentos de outros materiais. No concreto em 
geral se emprega cimento Portland, que, por ser um aglomerante hidráulico, reage 
com a água e endurece com o tempo. 
b) Aditivos 
Os aditivos são produtos que, adicionados em pequenas quantidades aos 
concretos de cimento Portland, modificam algumas de suas propriedades, no sentido 
de melhorar esses concretos para determinadas condições. 
USP – EESC – Dep. Eng. de Estruturas Introdução 2
A maioria dos fabricantes de aditivos recomenda, exceto em casos especiais, 
não adicionar teores maiores que 5% em relação à massa do cimento. 
 Os principais tipos de aditivos são: plastificantes (P), retardadores de pega (R), 
aceleradores de pega (A), plastificantes retardadores (PR), plastificantes 
aceleradores (PA), incorporadores de ar (IAR), superplastificantes (SP), 
superplastificantes retardadores (SPR) e superplastificantes aceleradores (SPA). 
c) Adições 
As adições constituem materiais que, em dosagens adequadas, atuam 
somando ou substituindo parcialmente o cimento, dadas as suas propriedades 
semelhantes e, em geral, adiciona-se teor maior ou igual a 5% em relação à massa 
do cimento, melhorando significativamente o desempenho do concreto. 
Podem ser incorporadas aos concretos ou inseridas nos cimentos ainda na 
fábrica, o que resulta na diversidade de cimentos comerciais. 
As adições são materiais extremamente finos, diminuem o volume de vazios 
(contribuindo para uma menor porosidade), reduzem a permeabilidade e, 
consequentemente, melhoram a resistência mecânica. Portanto, provocam efeitos 
permanentes. 
Os exemplos mais comuns de adições são: escória de alto forno, cinza volante, 
sílica ativa de ferro-silício e metacaulinita. 
d) Agregados 
Os agregados são materiais com dimensões variadas, que aumentam o 
volume da mistura, reduzindo seu custo, além de contribuir para que haja menor 
variação volumétrica do produto final. São também os maiores responsáveis pela 
elevação do módulo de elasticidade do concreto. Dependendo das dimensões 
características , dividem-se em dois grupos principais: 
 agregados miúdos: 0,075mm <  < 4,8mm. Exemplo: areias; 
 agregados graúdos:   4,8mm. Exemplo: pedras britadas, seixos rolados. 
e) Pasta 
A pasta resulta da mistura do cimento com a água. Quando há água em 
excesso, denomina-se nata. Durante o processo de adensamento do concreto, a 
nata pode aflorar na face superior da peça. 
 
USP – EESC – Dep. Eng. de Estruturas Introdução 3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PASTA  CIMENTO + ÁGUA 
 
f) Argamassa 
A argamassa provém da mistura de cimento, água e agregado miúdo, ou 
seja, pasta com agregado miúdo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ARGAMASSA  CIMENTO + ÁGUA + AREIA 
 
g) Concreto simples 
O concreto simples é formado por cimento, água, agregado miúdo e 
agregado graúdo, ou seja, argamassa e agregado graúdo. 
USP – EESC – Dep. Eng. de Estruturas Introdução 4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CONCRETO SIMPLES  CIMENTO + ÁGUA + AREIA + PEDRA 
 
No estado endurecido, o concreto em geral apresenta: 
 adequada resistência à compressão; 
 baixa resistência à tração; 
 comportamento frágil, isto é, rompe com pequenas deformações. 
Na maior parte das aplicações estruturais, para melhorar as características do 
concreto, ele é usado junto com outros materiais. 
h) Concreto armado 
O concreto armado é a associação do concreto simples com uma armadura, 
usualmente constituída por barras ou fios de aço. 
Os dois materiais devem resistir solidariamente aos esforços solicitantes. Essa 
solidariedade é garantida pela aderência. 
 
CONCRETO ARMADO  CONCRETO SIMPLES + ARMADURA + ADERÊNCIA 
i) Concreto protendido 
No concreto armado, a armadura não tem tensões iniciais. Por isso, é 
denominada armadura frouxa ou armadura passiva. 
 Já no concreto protendido, pelo menos uma parte da armadura tem tensões 
previamente aplicadas, denominada armadura de protensão ou armadura ativa. 
USP – EESC – Dep. Eng. de Estruturas Introdução 5
 
CONCRETO PROTENDIDO  CONCRETO + ARMADURA ATIVA 
j) Concreto pré-moldado 
Tradicionalmente, uma peça de concreto é moldada na sua posição definitiva, 
situação em que o concreto é conhecido como moldado in loco ou concreto 
moldado no local. 
Porém, as peças também podem ser moldadas fora da posição definitiva, ao 
que se dá o nome de concreto pré-moldado. Por exemplo, as peças podem ser 
moldadas no canteiro de obra, e posteriormente içadas para sua posição definitiva. 
Se as peças são produzidas em uma fábrica, tem-se concreto pré-fabricado, 
que posteriormente é transportado para a obra e colocado na posição final. 
k) Concretos leves 
Os concretos leves são conhecidos pela reduzida massa específica e elevada 
capacidade de isolamento térmico e acústico. 
Por exemplo, a ABNT NBR 6118:2014 aplica-se às estruturas de concretos 
normais, identificados por massa específica seca maior do que 2000 kg/m3, não 
excedendo 2800 kg/m3. 
Portanto, consideram-se concretos leves aqueles com massa específica seca 
no máximo igual a 2000 kg/m3. 
Os mais utilizados são os concretos porosos, celulares, sem finos e concretos 
com agregados leves, como poliestireno expandido – EPS (Isopor®), argila 
expandida, vermiculita etc. 
ℓ) Argamassa armada 
A argamassa armada é constituída por agregado miúdo e pasta de cimento, 
com armadura de fios de aço de pequeno diâmetro, formando telas. 
No concreto, a armadura é localizada em regiões específicas. Na argamassa 
armada, ela é distribuída por toda a peça e o material é considerado como se fosse 
homogêneo. 
m) Concreto de alto desempenho 
Um concreto de alto desempenho – CAD apresenta características 
diferenciadas do concreto tradicional, e deve ser entendido como um material que 
atende a expectativas para fins pré-determinados, relativos a comportamento 
estrutural, lançamento, adensamento, estética e durabilidade frente ao meio 
ambiente atual e futuro. 
USP – EESC – Dep. Eng. de Estruturas Introdução 6
Como exemplos podem ser citados: Concreto de Alta Resistência – CAR e 
Concreto Autoadensável – CAA. 
n) Concretos especiais 
Todos os concretos citados do item k em diante podem ser considerados 
concretos especiais, pois há característicasque os diferenciam do concreto comum. 
A eles se juntam diversos outros, como por exemplo: concreto autoadensável, 
concreto bombeado, concreto projetado, concreto com fibras, concreto compactado 
a rolo (CCR), concreto colorido, graute e muitos outros. 
1.2 VANTAGENS DO CONCRETO, RESTRIÇÕES E PROVIDÊNCIAS 
Como material estrutural, o concreto apresenta várias vantagens em relação a 
outros materiais. Serão relacionadas também algumas de suas restrições e as 
providências que podem ser adotadas para contorná-las. 
1.2.1 Vantagens do concreto armado 
Suas grandes vantagens são: 
 é moldável, permitindo grande variabilidade de formas e de concepções 
arquitetônicas; 
 apresenta boa resistência à maioria dos tipos de solicitação, desde que seja 
feito um cálculo correto e um adequado detalhamento das armaduras; 
 a estrutura é monolítica, com trabalho conjunto para resistir às ações; 
 reduzido custo dos materiais – água e agregados, graúdos e miúdos; 
 baixo custo de mão de obra, pois, em geral, a produção de concreto 
convencional não exige profissionais com elevado nível de qualificação; 
 processos construtivos conhecidos em quase todo o mundo; 
 facilidade e rapidez de execução, principalmente para peças pré-moldadas; 
 é durável e protege as armaduras contra corrosão; 
 reduzidos gastos de manutenção, desde que a estrutura seja bem projetada e 
adequadamente construída; 
 é pouco permeável à água, quando dosado corretamente e executado em 
boas condições de plasticidade, adensamento e cura; 
 apresenta bom comportamento em situações de incêndio, desde que 
adequadamente projetado para essas situações; 
 possui resistência significativa a choques e vibrações, efeitos térmicos, 
atmosféricos e a desgastes mecânicos. 
USP – EESC – Dep. Eng. de Estruturas Introdução 7
1.2.2 Restrições do concreto 
Providências adequadas devem atenuar as consequências de algumas 
restrições do concreto. As principais restrições são: 
 retração e fluência; 
 baixa resistência à tração; 
 pequena ductilidade; 
 fissuração; 
 peso próprio elevado; 
 custo de fôrmas para moldagem; 
 corrosão das armaduras. 
1.2.3 Providências 
Para suprir as deficiências do concreto, há várias alternativas. 
Tanto a retração quanto a fluência dependem da estrutura interna do 
concreto. 
Portanto, para minimizar seus efeitos, adequada atenção deve ser dada a 
todas as fases de preparação, desde a escolha dos materiais e da dosagem até o 
adensamento e a cura do concreto colocado nas fôrmas. 
A fluência depende também das forças que atuam na estrutura. Portanto, um 
programa adequado das fases de carregamento, tanto na fase de projeto quanto 
durante a construção, podem atenuar os efeitos da fluência. As fases de 
carregamento incluem um programa de retirada de escoramento. 
A baixa resistência à tração pode ser contornada com o uso de adequada 
armadura, em geral constituída de barras de aço, obtendo-se o concreto armado. 
Além de resistência à tração, o aço garante ductilidade e aumenta a resistência à 
compressão, em relação ao concreto simples. 
Em peças comprimidas, como nos pilares, os estribos, além de evitarem a 
flambagem localizada das barras, podem confinar o concreto, o que também 
aumenta sua ductilidade. 
A fissuração pode ser contornada ainda na fase de projeto, com armação 
adequada e limitação do diâmetro das barras e da tensão na armadura. 
Também é usual a associação do concreto com pelo menos uma parte de 
armadura ativa, ou seja, com tensões prévias, formando o concreto protendido. 
A utilização de armadura ativa tem como principal finalidade aumentar a resistência 
da peça, o que possibilita a execução de grandes vãos ou o uso de seções 
menores, diminuindo o peso próprio, sendo que também se obtém uma melhora do 
concreto com relação à fissuração. Uma peça de concreto somente poderá estar 
isenta de fissuras se for executada com protensão. 
USP – EESC – Dep. Eng. de Estruturas Introdução 8
O concreto de alto desempenho – CAD – apresenta características melhores 
do que o concreto tradicional – como resistência mecânica inicial e final elevada, 
baixa permeabilidade, alta durabilidade, baixa segregação, boa trabalhabilidade, alta 
aderência, reduzida exsudação, menor deformabilidade por retração e fluência, entre 
outras. 
O CAD é especialmente apropriado para obras em que a durabilidade é 
condição indispensável. A alta resistência é uma das maneiras de se conseguir 
peças de menores dimensões, aliviando o peso próprio das estruturas. 
Ao concreto também podem ser adicionadas fibras, principalmente de aço, que 
aumentam a ductilidade, a absorção de energia (tenacidade), a durabilidade etc. 
Com a padronização de dimensões, a pré-moldagem e o uso de sistemas 
construtivos adequados permitem a racionalização do uso de fôrmas, levando a 
economia neste quesito. Outro fator pode contribuir para maior reutilização de 
fôrmas é o uso de materiais alternativos, como o plástico. 
A argamassa armada é adequada para pré-moldados leves, de pequena 
espessura. 
A corrosão da armadura pode ser prevenida com controle da fissuração e 
com o uso de adequado cobrimento da armadura, cujo valor depende do grau de 
agressividade do ambiente (Classe de Agressividade Ambiental – CAA) em que a 
estrutura for construída. 
 
1.3 APLICAÇÕES DO CONCRETO 
 É o material estrutural mais utilizado no mundo. Seu consumo anual é da 
ordem de uma tonelada por habitante. 
 Entre os materiais utilizados pelo homem, o concreto perde apenas para a 
água. 
 Outros materiais como madeira, alvenaria e aço também são de uso comum e 
há situações em que são imbatíveis. Porém, suas aplicações são bem mais 
restritas. 
 Algumas aplicações do concreto são relacionadas a seguir. 
 Edifícios: mesmo que a estrutura principal não seja de concreto, alguns 
elementos, pelo menos, o serão; 
 Galpões e pisos industriais ou para fins diversos; 
 Obras hidráulicas e de saneamento: barragens, tubos, canais, reservatórios, 
estações de tratamento etc.; 
 Rodovias: pavimentação de concreto, pontes, viadutos, passarelas, túneis, 
galerias, obras de contenção etc.; 
USP – EESC – Dep. Eng. de Estruturas Introdução 9
 Estruturas diversas: elementos de cobertura, chaminés, torres, postes, 
mourões, dormentes, muros de arrimo, piscinas, silos, cais, fundações de 
máquinas etc. 
 
1.4 ESTRUTURAS DE EDIFÍCIOS 
 Estrutura é a parte resistente da construção e tem as funções de suportar as 
ações e as transmitir para o solo. 
 Em edifícios, os elementos estruturais principais são: 
 lajes: são elementos planos que podem apresentar duas funções distintas. São 
denominadas placas quando absorvem ações normais ao seu plano principal. 
Essas ações, além das cargas permanentes, são também as ações de uso 
que são transmitidas para os apoios. Quando as lajes absorvem esforços 
paralelos ao seu plano principal, como as ações horizontais (vento 
desaprumo etc.), formam diafragmas rígidos, que travam os pilares e 
distribuem essas ações horizontais entre os elementos de contraventamento. 
Neste caso são denominadas de chapas ou membranas; 
 
 Laje em função de placa Laje em função de chapa 
 vigas: são barras em geral horizontais que delimitam as lajes, suportam 
paredes e recebem ações das lajes ou de outras vigas e as transmitem para 
os apoios; 
 
USP – EESC – Dep. Eng. de Estruturas Introdução 10
 pilares: são barras em geral verticais que recebem as ações das vigas ou 
das lajes e dos andares superiores e as transmitem para os elementos 
inferiores ou para a fundação; 
 
 
 fundação: sãoelementos como blocos, lajes, sapatas, vigas, estacas etc., 
que transferem os esforços para o solo. 
 
 
 Pilares alinhados ligados por vigas formam os pórticos, que devem resistir 
às ações do vento e às outras ações que atuam no edifício, sendo o mais utilizado 
sistema de contraventamento. 
USP – EESC – Dep. Eng. de Estruturas Introdução 11
 
 Em edifícios esbeltos, outros tipos de contraventamento são: pórticos 
treliçados, paredes estruturais ou núcleos. Os dois primeiros situam-se, em 
geral, nas extremidades, e os núcleos, em volta da escada e dos elevadores. 
 
 
 
 Nos andares com lajes e vigas, o conjunto desses elementos pode ser 
denominado tabuleiro, andar, piso ou pavimento. Esses termos piso e pavimento 
devem ser evitados quando puderem ser confundidos com pavimentação. 
 É crescente o emprego do concreto em pisos industriais e em pavimentos 
de vias urbanas e rodoviárias, principalmente para tráfego intenso e pesado. 
 Nos edifícios com tabuleiros sem vigas, as lajes se apoiam diretamente nos 
pilares, sendo denominadas lajes lisas. Se nas ligações das lajes com os pilares 
houver capitéis, elas recebem o nome de lajes-cogumelo. 
USP – EESC – Dep. Eng. de Estruturas Introdução 12
 
FONTE: LIMA NETO et al. (2013) 
 Os capitéis podem ser constituídos por um aumento da seção transversal do 
pilar sob a laje. Também podem ser formados por um aumento da espessura da laje, 
caso em que podem ser denominados ábacos, pastilhas ou drop panels. 
 Nas lajes lisas, há casos em que, nos alinhamentos dos pilares, uma 
determinada faixa é considerada como viga, sendo projetada como tal, e podem ser 
denominadas vigas embutidas, vigas-faixa ou vigas chatas. 
 São muito comuns as lajes nervuradas. Se as nervuras e as vigas que as 
suportam têm a mesma altura, essas vigas também são denominadas vigas 
embutidas. Se a largura dessas vigas for maior que o dobro da sua altura, elas 
também podem ser chamadas de vigas-faixa ou vigas chatas. Nesses casos em 
que as vigas e as nervuras têm a mesma altura, as lajes são denominadas lajes 
lisas nervuradas. Elas também podem ter capitéis embutidos. O uso de um forro 
de gesso, por exemplo, dão a essas lajes a aparência de lajes lisas. 
USP – EESC – Dep. Eng. de Estruturas Introdução 13
 
Fonte: http://www.ecivilnet.com/dicionario/o-que-e-laje-cogumelo.html. 
Acesso em 11/02/2017 
 Nos edifícios, há elementos estruturais denominados complementares, tais 
como: escadas, caixas d’água, muros de arrimo, consolos, marquises, vigas 
parede, etc. 
 
1.5 EDIFÍCIOS DE PEQUENO PORTE 
 Como foi comentado no início, este é o primeiro texto de uma série cujos 
objetivos são: apresentar os fundamentos do concreto, as bases para cálculo e a 
rotina do projeto estrutural de edifícios. 
 Em exemplos simples, serão dimensionadas e detalhadas vigas, lajes e 
pilares. As fundações serão estudadas em uma fase posterior. 
 Como é um texto dedicado a iniciantes, será dada maior atenção a edifícios 
de pequeno porte, assim admitidos aqueles com estruturas regulares muito 
simples, que apresentem: 
 até quatro pavimentos; 
 ausência de protensão; 
 cargas de uso nunca superiores a 3 kN/m2; 
 altura de pilares até 4 m e vãos não excedendo 6 m; 
 vão máximo de lajes até 4 m (menor vão) ou 2 m, no caso de balanços. 
 O efeito do vento poderá ser omitido, desde que haja contraventamento em 
duas direções. 
 
QUESTIONÁRIO 
1. Quais os objetivos deste curso? 
2. O que é concreto? 
3. O que são aglomerantes e qual é o utilizado no concreto? 
USP – EESC – Dep. Eng. de Estruturas Introdução 14
4. O que são aditivos e quais os principais tipos? 
5. O que são adições e quais as mais comuns? 
6. O que são agregados e por que eles são utilizados no concreto? 
7. Como se definem os agregados miúdos e os graúdos? 
8. Como se obtém pasta de cimento? 
9. O que é nata de cimento? 
10. Do que é formada a argamassa de cimento? 
11. Quais os materiais necessários para preparar o concreto simples? 
12. Quais são as principais deficiências do concreto simples, como material 
estrutural? Como elas podem ser contornadas? 
13. O que é concreto armado? 
14. Qual a importância da aderência entre o concreto e sua armadura? 
15. O que é concreto protendido? Qual a diferença entre armadura ativa e 
armadura passiva? 
16. O que é concreto pré-moldado? Qual a diferença entre concreto pré-
moldado e concreto pré-fabricado? 
17. O que é concreto leve e quais os mais utilizados? 
18. O que é argamassa armada? Quais são suas principais diferenças em 
relação ao concreto armado? 
19. O que é concreto de alto desempenho (CAD)? 
20. O que são concretos especiais? 
21. Quais as vantagens do concreto como material estrutural? 
22. Quais as principais restrições do concreto? 
23. Quais as providências para suprir as deficiências do concreto? 
24. Como se combate a baixa resistência do concreto à tração? 
25. Como se consegue adequada ductilidade para o concreto? 
26. O que pode ser feito com relação à fissuração? 
27. Quais as principais vantagens da protensão? 
28. Quais as principais características do CAD? 
29. O que se consegue com a adição de fibras ao concreto? 
30. O que pode ser feito para racionalizar o uso de fôrmas? 
31. Em que tipo de peças é adequado o uso de argamassa armada? 
32. Como se previne a corrosão da armadura? 
33. Além do concreto, quais os principais materiais usados nas estruturas? 
USP – EESC – Dep. Eng. de Estruturas Introdução 15
34. Quais as principais aplicações do concreto? 
35. Quais os principais elementos estruturais que constituem a estrutura de um 
edifício e quais são suas características? 
36. O que são pórticos? Qual sua função na estrutura? 
37. Quais os principais tipos de contraventamento em edifícios esbeltos? 
38. Como se denomina o conjunto formado por lajes e vigas nos andares? 
39. Em que situações o concreto é utilizado como pavimentação? 
40. O que são lajes lisas? E lajes-cogumelo? 
41. Quais são os tipos de capitéis? 
42. Nas lajes lisas ou cogumelo, o que são vigas-faixa? 
43. O que são lajes lisas nervuradas? 
44. Quais os principais elementos complementares usados nos edifícios? 
45. O que são edifícios de pequeno porte? 
46. Nesses edifícios, em que condições o efeito do vento pode ser omitido? 
BIBLIOGRAFIA 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2014 - Projeto de 
estruturas de concreto. Rio de Janeiro, 2014. 
________. NBR 7211 - Agregados para concreto - especificação. Rio de Janeiro, 
2011. 
________. NBR 11768 - Aditivos para concreto de cimento Portland - especificação. 
Rio de Janeiro. 
________. NBR 12653:2014 Versão Corrigida: 2015 - Materiais pozolânicos - 
Requisitos - Rio de Janeiro. 
IBRACON (2001). Prática recomendada IBRACON para estruturas de pequeno 
porte. São Paulo, Instituto Brasileiro do Concreto: Comitê Técnico CT-301 
Concreto Estrutural. 39p. 
LIMA NETO, A. F.; FERREIRA, M. P.; OLIVEIRA, D. R. C.; MELO, G. S. S. A. 
Análise experimental e numérica de lajes cogumelo de concreto armado. 
IBRACON, São Paulo, v. 6, n. 2, abril 2013. Disponível em: 
http://www.scielo.br/scielo.php?pid=S1983-41952013000200007t. Acesso em: 
14/11/2013. 
PINHEIRO, L. M., GIONGO, J.S. (1986). Concreto armado: propriedades dos 
materiais. São Carlos, EESC-USP, Publicação 005 / 86. 79p. 
PINHEIRO, L. M. (2017). Notas de aula da disciplina Estruturas de Concreto 
Armado I. São Carlos, EESC-USP. 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO – CAPÍTULO 2 
Libânio M. Pinheiro 
Colaboradores: 
Cassiane D. Muzardo, Sandro P. Santos, Thiago Catoia, Bruna Catoia e Artur L. Sartorti 
Março de 2017 
 
CARACTERÍSTICASDO CONCRETO 
Como foi visto no capítulo anterior, a mistura em proporção adequada de 
cimento, agregados, água e, em alguns casos, adições e/ou aditivos resulta num 
material de construção, o concreto, cujas características diferem substancialmente 
daquelas apresentadas pelos elementos que o constituem. 
Este capítulo tem por finalidade destacar as principais características do 
material concreto, incluindo aspectos relacionados à sua utilização. 
 
2.1 MASSA ESPECÍFICA 
 Serão considerados os concretos de massa específica normal (c), entre 
2000 kg/m3 e 2800 kg/m3. 
 Para efeito de cálculo, pode-se adotar para o concreto simples o valor 
2400 kg/m3, e para o concreto armado, 2500 kg/m3. 
 Quando se conhecer a massa específica do concreto utilizado, pode-se 
considerar, para valor da massa específica do concreto armado, aquela do concreto 
simples acrescida de 100 kg/m3 a 150 kg/m3. 
 
2.2 ESTRUTURA INTERNA 
O concreto tem uma estrutura interna altamente complexa e heterogênea, 
sendo essa a dificuldade para entendê-la. Entretanto, o conhecimento da estrutura e 
das propriedades individuais dos materiais constituintes e da relação entre elas 
auxilia a compreensão das propriedades dos vários tipos de concreto. 
Por isso o concreto é dividido em três fases constituintes: 
 pasta de cimento hidratada; 
 agregado; 
 zona de transição na interface da pasta de cimento com os agregados. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Características do Concreto 
2.2 
A fase agregados é a principal responsável pela massa unitária, pelo módulo 
de elasticidade e pela estabilidade dimensional. 
Essas propriedades do concreto dependem, principalmente, da densidade e da 
resistência do agregado, que por sua vez são determinadas mais por suas 
características físicas do que pelas químicas. 
A pasta de cimento hidratada é resultado das complexas reações química do 
cimento com a água. A hidratação do cimento evolui com o tempo, o que resulta em 
diferentes fases sólidas, vários tipos de vazios e água em diferentes formas. 
As quatro principais fases sólidas são: 
 silicato de cálcio hidratado (C-S-H), parte resistente da pasta; 
 hidróxido de cálcio (Ca(OH)2 ou CH), parte frágil da pasta; 
 sulfoaluminato de cálcio; 
 grão de clinquer não hidratado. 
Os vazios presentes na pasta de cimento hidratada são classificados de acordo 
com o tamanho: 
 espaço interlamelar no C-S-H, que são os menores vazios; 
 vazios capilares, espaço entre os componentes sólidos da pasta; 
 ar incorporado, cujos vazios só são superado pelos de ar aprisionado; 
 ar aprisionado, que ocupam os maiores vazios. 
A classificação da água presente na pasta de cimento hidratada é baseada no 
grau de dificuldade ou de facilidade com que pode ser removida. São elas, na ordem 
crescente de dificuldade de remoção: 
 água capilar ou água livre; 
 água adsorvida; 
 água interlamelar; 
 água quimicamente combinada. 
A zona de transição, na interface das partículas grandes de agregado e da 
pasta de cimento, embora composta pelos mesmos elementos que a pasta de 
cimento hidratada, apresenta propriedades diferentes da matriz. Esse fato se deve 
principalmente ao filme de água formado em torno das partículas de agregado, que 
alteram a relação água-cimento nessa região, formando uma estrutura mais porosa 
e menos resistente. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Características do Concreto 
2.3 
2.3 DEFORMAÇÕES 
O concreto apresenta deformações elásticas e inelásticas, no carregamento, e 
deformações de retração por secagem ou por resfriamento. Quando restringidas, as 
deformações por retração ou térmicas resultam em padrões de tensão complexos, 
que costumam causar fissuração. 
As deformações do concreto dependem essencialmente de sua estrutura 
interna. A contração térmica é de maior importância nos elementos de grande 
volume de concreto. Sua magnitude pode ser controlada por meio do coeficiente de 
expansão térmica do agregado, consumo e tipo de cimento e da temperatura dos 
materiais constitutivos do concreto. 
 
2.3.1 Retração por Secagem e Fluência 
Denomina-se retração a redução de volume que ocorre no concreto, mesmo na 
ausência de tensões mecânicas e de variações de temperatura. A retração por 
secagem, ou retração capilar, é aquela associada à perda de umidade. 
A fluência é o fenômeno do aumento gradual da deformação ao longo do 
tempo, sob um dado nível de tensão constante. 
Nas estruturas reais, a retração por secagem e a fluência podem ser 
consideradas em conjunto, por conta dos aspectos: 
 tanto a retração por secagem quanto a fluência têm a mesma origem, ou 
seja, a pasta de cimento hidratado; 
 elas ocorrem ao mesmo tempo; 
 as curvas deformação versus tempo são muito semelhantes; 
 os fatores que influem na retração por secagem também normalmente 
interferem na fluência, da mesma forma; 
 no concreto a microdeformação de cada fenômeno é significativa e não 
pode ser ignorada em projetos estruturais; 
 a retração por secagem e a fluência são parcialmente reversíveis. 
A principal semelhança da retração por secagem com a fluência é que ambas 
são relativas à remoção da água existente na pasta de cimento. A diferença é que a 
retração por secagem decorre da diferença de umidade entre o concreto e o 
ambiente, enquanto, a fluência, da tensão constante aplicada. 
As causas da fluência são mais complexas. Além dos movimentos de umidade 
há outros fatores que contribuem, principalmente a microfissuração da zona de 
transição e a resposta elástica retardada no agregado. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Características do Concreto 
2.4 
Além da retração por secagem, ou retração capilar, que ocorre por evaporação 
parcial da água capilar e perda da água adsorvida, gerando tensão superficial e fluxo 
de água nos capilares, que provocam a retração, há também a retração química, 
que é a contração da água denominada não evaporável, consumida nas reações de 
hidratação do cimento, que ocorrem com redução de volume. 
A retração por carbonatação também pode ser considerada uma retração 
química. Entretanto, ocorre pela reação de um produto do cimento já hidratado, o 
hidróxido de cálcio (CH), com o dióxido de carbono (CO2), produzindo o carbonato 
de cálcio mais água [Ca(OH)2 + CO2  CaCO3 + H2O]; esta reação também ocorre 
com diminuição de volume. 
A carbonatação pode melhorar algumas características do concreto, como a 
resistência, pois transforma um material não resistente (o hidróxido de cálcio) e outro 
resistente (o carbonato de cálcio). Porém, devido ao cobrimento inadequado e a 
fissuração, a carbonatação pode diminuir o pH do concreto e despassivar a 
armadura, deixando-a suscetível à corrosão. 
 
2.3.2 Expansão 
Expansão é o aumento de volume do concreto, que ocorre em peças 
submersas e em peças tracionadas, devido à fluência. 
Nas peças submersas, no início tem-se retração química. Porém, o fluxo de 
água é de fora para dentro. Por conta disso, as decorrentes tensões capilares 
anulam a retração química e, em seguida, provocam a expansão da peça. 
 
2.3.3 Deformações térmicas 
Em geral, sólidos se expandem com o aquecimento e se retraem com o 
resfriamento. A não ser sob condições extremas de temperatura, as estruturas 
comuns de concreto sofrem pouco ou nenhum dano com as alterações da 
temperatura ambiente. 
No entanto, em estruturas massivas, a combinação do calor produzido pela 
hidratação do cimento com as condições desfavoráveis para sua dissipação resulta 
em grande elevação da temperatura do concreto, após o lançamento, que pode 
provocar fissuração.A deformação associada à mudança de temperatura depende do coeficiente de 
expansão térmica do material e da magnitude da variação de temperatura. 
Define-se coeficiente de variação térmica  como a variação na unidade de 
comprimento por variação na unidade de temperatura. Para o concreto armado, para 
variações normais de temperatura, a NBR 6118:2014 permite adotar  = 10
-5 /C. 
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2.5 
2.3.4 Deformação imediata 
A deformação imediata acontece por ocasião do carregamento e ocorre de 
acordo com a Teoria da Elasticidade. Corresponde ao comportamento do concreto 
como sólido verdadeiro, e é causada por uma acomodação dos cristais que formam 
o material. 
Os valores dessas deformações são apresentados nas Tabelas de Lajes e nas 
Tabelas de Vigas. 
 
2.4 PROPRIEDADES MECÂNICAS 
As principais propriedades mecânicas do concreto são: resistência à 
compressão, resistência à tração e módulo de elasticidade. Essas propriedades 
são determinadas a partir de ensaios, executados em condições específicas. 
Geralmente, os ensaios são realizados para controle da qualidade e atendimento 
às especificações. 
 
2.4.1 Resistência à compressão 
 A resistência à compressão simples, denominada fc, é a característica 
mecânica mais importante. 
 Para estimá-la em um lote de concreto, são moldados e preparados corpos de 
prova segundo a NBR 5738 – Moldagem e cura de corpos-de-prova cilíndricos 
ou prismáticos de concreto, os quais são ensaiados de acordo com a NBR 5739 – 
Concreto – Ensaio de compressão de corpos-de-prova cilíndricos. 
 O corpo de prova padrão brasileiro é o cilíndrico, com 15 cm de diâmetro e 
30 cm de altura, e a idade de referência é 28 dias. 
 Após ensaio de um número muito grande de corpos de prova, pode ser feito 
um gráfico com os valores obtidos de fc versus a quantidade de corpos de prova 
relativos a determinado valor de fc, também denominada densidade de frequência. A 
curva encontrada denomina-se Curva Estatística de Gauss ou Curva de 
Distribuição Normal para a resistência do concreto à compressão (Figura 2.1). 
 Na curva de Gauss encontram-se dois valores de fundamental importância: 
resistência média do concreto à compressão, fcm, e resistência característica 
do concreto à compressão, fck. 
 O valor fcm é a média aritmética dos valores de fc para o conjunto de corpos de 
prova ensaiados, e s é o desvio padrão. Ambos são utilizados na determinação da 
resistência característica, fck, por meio da fórmula: 
 sff cmck .645,1 
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2.6 
 Cada corpo de prova gera uma resistência cif . O desvio padrão s é calculado 
pela equação: 
 .cmfs  
 O valor  é a variância determinada pela fórmula indicada a seguir, na qual N 
é o número de corpos de prova do lote. 
 
2
1
.
1







 

N
i cm
cmci
f
ff
N
 
 
Figura 2.1 – Curva de Gauss para a resistência do concreto à compressão. 
 
 O desvio padrão s corresponde à distância entre a abscissa de fcm e a do ponto 
de inflexão da curva (ponto em que ela muda de concavidade). 
 O valor 1,645 corresponde ao quantil de 5 %, ou seja, apenas 5 % dos corpos 
de prova possuem fc  fck, ou, ainda, 95 % dos corpos de prova possuem fc  fck. 
 Portanto, pode-se definir fck como sendo o valor da resistência que tem 5% 
de probabilidade de não ser atingido, em ensaios de corpos de prova de um 
determinado lote de concreto. 
 Como será visto posteriormente, a NBR 8953 define as classes de resistência 
em função de fck. Concreto classe C30, por exemplo, corresponde a um concreto 
com fck = 30 MPa. 
 Nas obras, devido ao pequeno número de corpos de prova ensaiados, calcula-
se fck,est, valor estimado da resistência característica do concreto à compressão. 
 A NBR 6118:2014 trabalha com as classes de resistência dos grupos I e II da 
NBR 8953 até a classe C90. No grupo I estão os concretos das classes C20 a C50. 
No grupo II estão contidos os concretos das classes C55 a C90. 
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2.7 
 Comumente o valor fck refere-se à resistência do concreto à compressão na 
idade de 28 dias. Quando não existirem valores de ensaio para idades inferiores a 
28 dias e a cura for normal, o valor da resistência característica à compressão do 
concreto aos j dias pode ser estimada por: 
 ckcj ff .1 
 
]})/28(1[{2/1
1
2/1
]})/28(1[exp{ tsets  
e é a base neperiana; 
t é a idade efetiva do concreto em dias; 
s é um coeficiente função do tipo de cimento utilizado: 
 28,0s para concreto de cimento CPIII e CPIV; 
 25,0s para concreto de cimento CPI e CPII; 
 20,0s para concreto de cimento CPV-ARI. 
 
2.4.2 Resistência à tração 
 Os conceitos relativos à resistência do concreto à tração direta, fct, são 
análogos aos expostos no item anterior, para a resistência à compressão. 
 Portanto, tem-se a resistência média do concreto à tração, fctm, valor obtido 
da média aritmética dos resultados, e a resistência característica do concreto à 
tração, fctk ou simplesmente ftk, valor da resistência que tem 5% de probabilidade de 
não ser alcançado pelos resultados de um lote de concreto. 
 Este valor também pode ser chamado de resistência característica inferior 
do concreto à tração, fctk,inf. 
 Em alguns casos, como na determinação da armadura mínima de tração, pode 
ser de interesse a resistência característica superior do concreto à tração, fctk,sup, 
relativa ao quantil de 95%. 
 A diferença no estudo da tração encontra-se nos tipos de ensaio. Há três 
normalizados: tração direta, compressão diametral e tração na flexão. 
 
a) Ensaio de tração direta 
 Neste ensaio, considerado o de referência, a resistência à tração direta, fct, é 
determinada aplicando-se tração axial, até a ruptura, em corpos de prova de 
concreto simples (Figura 2.2). A seção central é retangular, com 9 cm por 15 cm, e 
as extremidades são quadradas, com 15 cm de lado. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Características do Concreto 
2.8 
 
Figura 2.2 – Ensaio de tração direta. 
 
b) Ensaio de tração na compressão diametral (splitting test) 
É o ensaio mais utilizado, por ser mais simples de ser executado e utilizar o 
mesmo corpo de prova cilíndrico do ensaio de compressão (15 cm por 30 cm). 
Também é conhecido internacionalmente como Ensaio Brasileiro, pois foi 
desenvolvido por Lobo Carneiro, em 1943. 
Para a sua realização, o corpo de prova cilíndrico é colocado com o eixo 
horizontal entre os pratos da máquina de ensaio, e o contato entre o corpo de prova 
e os pratos deve ocorrer somente ao longo de duas geratrizes, onde são colocadas 
tiras padronizadas de madeira, diametralmente opostas (Figura 2.3), sendo aplicada 
uma força até a ruptura por fendilhamento, devido à tração indireta (Figura 2.4). 
 O valor da resistência à tração por compressão diametral, fct,sp, encontrado 
neste ensaio, é um pouco maior que o obtido no ensaio de tração direta. Isto pode 
ser explicado pelas características diferentes dos ensaios. No ensaio de tração, a 
superfície de ruptura é aleatória, isto é, pode ocorrer em qualquer seção. No ensaio 
de compressão diametral, a seção de ruptura é fixada pelas condições de ensaio, 
além de ocorrer perturbação junto às faces da prensa. 
 
 CARGA 
Barra de aço suplementar 
Corpo-de-prova cilíndrico 
(15 cm x 30 cm) 
Plano de ruptura à tração 
Base de apoio da 
máquina de ensaio 
Talisca de 
madeira 
(3 mm x 25 mm) 
 
Figura 2.3 – Ensaio de compressãodiametral. Adaptado de Metha e Monteiro (2008) 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Características do Concreto 
2.9 
 
 
2 0 4 2 6 8 10 12 14 16 18 10 
0 
D
D/6 
D/3 
D/2 
2D/3 
5D/6 
Tração Compressão 
Tensão x LD/2P 
 
Figura 2.4 – Distribuição de tensão no corpo de prova. (MEHTA e MONTEIRO, 2008) 
 
 
c) Ensaio de tração na flexão 
 Para a realização deste ensaio, um corpo de prova de seção prismática é 
submetido à flexão, com carregamentos em duas seções simétricas (Figura 2.5). 
 Analisando os diagramas de esforços solicitantes (Figura 2.6), pode-se notar 
que na região de momento máximo tem-se cortante teórica nula. Portanto, nesse 
trecho central ocorre flexão pura. 
 Os valores encontrados para a resistência à tração na flexão, fct,f, são 
maiores que os encontrados nos ensaios descritos anteriormente (tração direta e 
compressão diametral). Isto também se explica pelas características diferentes de 
cada ensaio. Nos ensaios de tração e de compressão diametral, tem-se tração 
praticamente uniforme. 
 No ensaio de tração, tem-se diagrama praticamente triangular de tensões, com 
tensão máxima na fibra mais tracionada. Por ocasião da ruptura, ocorre 
plastificação, havendo solidariedade das fibras próximas daquelas mais tracionadas, 
aumentando o valor da tensão de ruptura. 
 O ensaio também é conhecido por “ensaio de quatro pontos”, pois há duas 
linhas de carregamento do corpo de prova e duas de apoio. 
 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Características do Concreto 
2.10 
 Extremidade da máquina de ensaio 
Elemento de apoio e 
aplicação da carga 
Estrutura rígida de 
carregamento 
Base de apoio da 
máquina de ensaio 
Barra 
de aço 
Corpo-de-prova 
L/3 L/3 L/3 
Vão 
Esfera de aço 
Esfera de aço 
25 mm no mínimo 
D=L/3 
 
Figura 2.5 – Ensaio de tração na flexão. (MEHTA e MONTEIRO, 2008) 
 
 
Figura 2.6 – Diagramas de esforços solicitantes (ensaio de tração na flexão). 
 
 d) Relações entre os resultados dos ensaios 
 Como os resultados obtidos nos dois últimos ensaios são diferentes dos 
relativos ao ensaio de referência, de tração direta, há coeficientes de conversão. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Características do Concreto 
2.11 
 Considera-se a resistência à tração direta, fct, igual a 0,9 fct,sp ou 0,7 fct,f, ou 
seja, coeficientes de conversão 0,9 e 0,7, para os resultados de compressão 
diametral e de flexão, respectivamente. 
 Na falta de ensaios, as resistências à tração direta podem ser obtidas a partir 
da resistência à compressão fck: 
 
ctmsupctk,
ctminfctk,
f 1,3f
f 0,7f


 
- para concretos de classes até C50: 
 2/3ckmct, f 0,3f  
- para concretos de classes C55 a C90: 
 )f .11,01ln(.12,2f ckmct,  
 Nessas equações, as resistências são expressas em MPa. Cada um desses 
valores é utilizado em situações específicas, como será visto oportunamente. Se 
MPa7fckj  estas expressões podem também ser usadas para idades diferentes de 
28 dias. A Tabela 2.1 apresenta os valores de mct,f , infctk,f e supctk,f . 
 
Tabela 2.1 – Valores de mct,f , infctk,f e supctk,f em MPa. 
ckf 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 
mct,f 2,21 2,56 2,90 3,21 3,51 3,80 4,07 4,14 4,30 4,45 4,59 4,72 4,84 4,95 5,06 
infctk,f 1,55 1,80 2,03 2,25 2,46 2,66 2,85 2,90 3,01 3,11 3,21 3,30 3,39 3,47 3,54 
supctk,f 2,87 3,33 3,77 4,17 4,56 4,93 5,29 5,38 5,59 5,78 5,96 6,13 6,29 6,44 6,58 
 
2.4.3 Módulo de elasticidade 
 Outro aspecto fundamental no projeto de estruturas de concreto consiste na 
relação entre as tensões e as deformações. 
 Sabe-se da Resistência dos Materiais que a relação entre tensão e 
deformação, para determinados intervalos, pode ser considerada proporcional linear 
(Lei de Hooke), ou seja, ε Eσ  , sendo  a tensão,  a deformação específica e E o 
Módulo de Elasticidade ou Módulo de Deformação Longitudinal (Figura 2.7), 
que corresponde à inclinação da reta. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Características do Concreto 
2.12 
 
 
 
E 
 
Figura 2.7 - Módulo de elasticidade ou de deformação longitudinal. 
 
 Para o concreto, a expressão do Módulo de Elasticidade é aplicada somente à 
parte retilínea da curva tensão versus deformação ou, quando não existir uma parte 
retilínea, a expressão é aplicada à tangente da curva na origem. Desta forma, é 
obtido o Módulo de Deformação Tangente Inicial, Eci (Figura 2.8), também 
chamado, simplesmente, de Módulo de Elasticidade Inicial. 
 
 
 
 
Eci 
 
Figura 2.8 - Módulo de deformação inicial (Eci). 
 
 O módulo de deformação tangente inicial é obtido segundo ensaio descrito na 
NBR 8522 – Concreto – Determinação do módulo de deformação estática e diagrama 
tensão-deformação. 
 Quando não forem feitos ensaios e não existirem dados mais precisos sobre o 
concreto, para a idade de referência de 28 dias, pode-se estimar o valor do módulo 
de elasticidade inicial usando as expressões: 
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2.13 
- para concretos C20 a C50: 
 ckEci fE .5600. 
- para concretos C55 a C90: 
 
3/1
25,1
10
..21500 





 ckEci
f
E  
 O coeficiente E depende do tipo de agregado graúdo utilizado: 
 2,1E para basalto e diabásio; 
 0,1E para granito e gnaisse; 
 9,0E para calcário; 
 7,0E para arenito. 
 
 O Módulo de Elasticidade Secante, Ecs, ou simplesmente Módulo Secante, 
corresponde à inclinação da reta que passa pela origem e que corta a curva no 
ponto c = 0,4 u, sendo u o máximo valor alcançado pela tensão c. O módulo 
secante pode ser calculado pela expressão: 
 ciics EE . 
 0,1
80
.2,08,0  cki
f
 
 Em todas as equações de módulo, os valores de ckf devem ser colocados em 
MPa. 
 No cálculo, o módulo secante é utilizado nas análises elásticas de projeto, 
especialmente para determinação de esforços solicitantes e verificação de estados 
limites de serviço. 
 Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou de uma seção 
transversal, pode ser adotado um módulo de elasticidade único, à tração e à 
compressão, igual ao módulo de elasticidade secante (Ecs). 
 A Tabela 2.2 apresenta os valores de ciE e csE para as diversas classes de 
resistência e os possíveis agregados graúdos indicados na NBR 6118:2014. 
 As equações apresentadas para ciE e csE valem para concretos com idade 
igual ou superior a 28 dias. O módulo de elasticidade em uma idade menor que 
28 dias, )(tEci pode ser avaliado pelas expressões a seguir: 
 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Características do Concreto 
2.14 
- para concretos C20 a C45: 
 ci
ck
cj
ci E
f
f
tE .)(
5,0






 
- para concretos C50 a C90: 
 ci
ck
cj
ci E
f
f
tE .)(
3,0






 
 Os valores de cjf e ckf devem ser expressos em MPa. 
Tabela 2.2 – Valores de ciE e csE . 
ckf (MPa) 
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 
 Agregado 
ciE 
(GPa) 
basalto e 
diabásio 
30,1 33,6 36,8 39,8 42,5 45,1 47,5 48,8 49,9 51,1 52,1 53,2 54,2 55,1 56.0 
granito e 
gnaisse 
25,0 28,0 30,7 33,1 35,4 37,6 39,6 40,6 41,6 42,5 43,4 44,3 45,1 45,9 46.7 
calcário 22,5 25,2 27,6 29,8 31,9 33,8 35,6 36,6 37,5 38,3 39,1 39,9 40,6 41,3 42.0 
arenito 17,5 19,6 21,5 23,2 24,8 26,3 27,7 28,4 29,1 29,8 30,4 31,0 31,6 32,2 32.7 
csE 
(GPa) 
basalto e 
diabásio 
25,5 29,0 32,2 35,3 38,3 41,1 44,0 45,7 47,4 49,1 50,8 52,5 54,2 55,1 56.0granito e 
gnaisse 
21,3 24,2 26,8 29,4 31,9 34,3 36,6 38,1 39,5 41,0 42,4 43,8 45,1 45,9 46.7 
calcário 19,2 21,7 24,2 26,5 28,7 30,9 33,0 34,3 35,6 36,9 38,1 39,4 40,6 41,3 42.0 
arenito 14,9 16,9 18,8 20,6 22,3 24,0 25,6 26,7 27,7 28,7 29,7 30,6 31,6 32,2 32.7 
i 0.85 0,86 0,88 0,89 0,90 0,91 0,93 0,94 0,95 0,96 0,98 0,99 1,00 1,00 1,00 
 
2.4.4 Coeficiente de Poisson 
 Quando uma força uniaxial é aplicada sobre uma peça de concreto, resulta uma 
deformação longitudinal na direção da carga e, simultaneamente, uma deformação 
transversal com sinal contrário (Figura 2.9). 
 A relação entre a deformação transversal e a longitudinal é denominada 
coeficiente de Poisson e é indicada pela letra . Para tensões de compressão 
menores que 0,5 fc e de tração menores que fct, pode ser adotado  = 0,2. 
 
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2.15 
 
Figura 2.9 – Deformações longitudinais e transversais. 
 
 
2.4.5 Módulo de elasticidade transversal 
 Para tensões de compressão menores que 0,5 fc e de tração menores que fct, 
pode ser adotado o valor do módulo de elasticidade transversal igual a 
4,2/csc EG  . 
 
2.4.6 Estados múltiplos de tensão 
Na compressão associada a confinamento lateral, como ocorre em pilares 
cintados, por exemplo, a resistência do concreto é maior do que o valor relativo à 
compressão simples. 
O cintamento pode ser feito com estribos, que impedem a expansão lateral do 
pilar, criando um estado múltiplo de tensões. O cintamento também aumenta a 
ductilidade do elemento estrutural. 
Na região dos apoios das vigas, pode ocorrer fissuração por causa da força 
cortante. Essas fissuras, com inclinação aproximada de 45, delimitam as chamadas 
bielas de compressão. 
Portanto, as bielas são regiões comprimidas com tensões de tração na direção 
perpendicular, caracterizando um estado biaxial de tensões. Nesse caso tem-se uma 
resistência à compressão menor que a da compressão simples. 
Portanto, a resistência do concreto depende do estado de tensão a que ele se 
encontra submetido. 
 
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2.16 
2.4.7 Diagramas tensão-deformação na compressão 
Para tensões de compressão menores que cf.5,0 , pode-se admitir uma relação 
linear entre tensões e deformações, adotando-se para módulo de elasticidade o 
valor secante. 
Para análise no estado-limite último, pode ser empregado o diagrama tensão-
deformação idealizado na Figura 2.10. 
 
 
Figura 2.10 – Diagrama tensão-deformação idealizado. 
 
Os valores a serem adotados para os encurtamentos 2c (deformação 
especifica de encurtamento do concreto no início do patamar plástico) e cu 
(deformação específica de encurtamento do concreto na ruptura) são definidos a 
seguir. 
- Para concretos de classes C20 a C50: 
00
0
2 2c ; 
00
05,3cu . 
- Para concretos de classes C55 a C90: 
53,0
00
0
00
0
2 )50.(085,02  ckc f - ckf em MPa; 
4
00
0
00
0 ]100/)90.[(356,2 ckcu f - ckf em MPa. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Características do Concreto 
2.17 
O valor cdf é a resistência de cálculo do concreto à compressão. Para 
combinações normais de ações do estado-limite último, 4,1/ckcd ff  . 
A Tabela 2.3 indica os valores de 2c e cu em função de ckf . 
Tabela 2.3 – Valores de 2c e cu . 
ckf (MPa) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 
)( 0002c 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,2 2,3 2,4 2,4 2,5 2,5 2,6 2,6 
)( 000cu 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,1 2,9 2,7 2,7 2,6 2,6 2,6 2,6 
 
2.4.8 Diagramas tensão-deformação na tração 
Para concreto não fissurado, pode ser adotado o diagrama tensão-deformação 
bilinear de tração indicado na Figura 2.11. 
 
Figura 2.11 – Diagrama tensão-deformação bilinear de tração. 
 
2.5 FATORES QUE INFLUEM NAS PROPRIEDADES DO CONCRETO 
Com base no que foi apresentado neste texto, os principais fatores que influem 
nas propriedades do concreto são: 
 tipo e quantidade de cimento; 
 qualidade da água e relação água-cimento; 
 tipos de agregados, granulometria e relação agregado-cimento; 
 presença de aditivos e adições; 
 procedimento e duração do processo de mistura; 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Características do Concreto 
2.18 
 condições e duração do transporte e do lançamento; 
 condições de adensamento e de cura; 
 forma e dimensões dos corpos de prova; 
 tipo e duração do carregamento; 
 idade do concreto, umidade, temperatura etc. 
 
QUESTIONÁRIO 
1. O que são concretos de massa específica normal? 
2. Para cálculo, qual é a massa específica do concreto simples? E do concreto 
armado? 
3. Quantos quilos de aço podem ser considerados por m3 de concreto armado? 
4. Qual a dificuldade para entender a estrutura interna do concreto? 
5. O que auxilia a compreensão das propriedades dos vários tipos de concreto? 
6. Quais são as fases constituintes do concreto? Qual a importância da fase 
agregados? 
7. Quais os fatores que influenciam nas propriedades do concreto? 
8. O que é pasta de cimento hidratada? Quais as quatro principais fases 
sólidas? Como são classificados os vazios? E como se classifica a água 
presente no concreto? 
9. Sendo composta pelos mesmos elementos que a pasta de cimento, por que a 
zona de transição apresenta propriedades diferentes? 
10. Quais as deformações que ocorrem no concreto? E no que elas influenciam? 
11. O que é retração? E retração por secagem? E retração capilar? O que é 
fluência? 
12. Por que ocorre a retração por secagem e a fluência? 
13. Quais os aspectos que permitem a consideração conjunta da retração e da 
fluência? 
14. Qual a principal semelhança entre a retração por secagem e a fluência? E a 
diferença? 
15. O que é retração química e quais suas causas? E retração por 
carbonatação? 
16. Quais as principais influências da carbonatação no concreto? 
17. Em que situação ocorre e quais as causas da expansão do concreto? 
18. Por que ocorrem as deformações térmicas? Quais seus efeitos nas estruturas? 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Características do Concreto 
2.19 
19. O que é coeficiente de variação térmica? Qual o valor adotado para o 
concreto? 
20. Como ocorre a deformação imediata, quais suas causas e como ela pode ser 
obtida? 
21. Quais as principais propriedades mecânicas do concreto? 
22. Por que são realizados ensaios para determinar as propriedades do concreto? 
23. Qual a característica mecânica mais importante? 
24. Como são os corpos de prova para ensaios de compressão? Qual a idade de 
referência? 
25. Como é o tratamento estatístico para quantificar a resistência à compressão? 
26. O que significa resistência média fcm? E desvio padrão? 
27. Como é considerada a dispersão dos resultados? Como se define fck? 
28. Como a NBR 8953 define as classes de resistência? O que significa C30? E 
fck,est? 
29. Quais os conceitos estatísticos associados à resistência à tração? 
30. O que significa resistência característica inferior do concreto à tração, fctk,inf? E 
superior? 
31. Quais os ensaios para se determinar a resistência do concreto à tração? 
32. Qual o ensaio de referência, qual o mais utilizado e como é o de compressão 
diametral? 
33. Por que o valor obtido na compressão diametral é maior que o relativo à tração 
direta? 
34. Como é obtida a resistência do concreto à tração no ensaio de flexão? 
35. Por que a resistência à tração na flexão é maior que as outras duas? 
36. Como se determina fct a partir de fct,sp? E a partir de fct,f? 
37. Na ausênciade ensaios de tração, como se obtém os valores de fct? 
38. O que significa módulo de elasticidade inicial? Como ele pode ser estimado? 
39. O que é o módulo de elasticidade secante? Como ele pode ser obtido? 
40. No cálculo, em que situações o módulo secante é utilizado? 
41. O que é o coeficiente de Poisson? Qual seu valor para o concreto? 
42. Qual o valor considerado para o módulo de elasticidade transversal? 
43. O que significa concreto confinado? Em que situações ele pode ocorrer? 
44. O que são bielas de compressão? Por que elas têm resistência menor que fc? 
45. Relacionar os fatores que influem nas propriedades do concreto. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Características do Concreto 
2.20 
BIBLIOGRAFIA 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 5738: 
Concreto - Procedimento para moldagem e cura de corpos de prova. Rio de Janeiro, 
2015. 
______. NBR 5739: Concreto - Ensaio de compressão de corpos-de-prova 
cilíndricos. Rio de Janeiro, 2007. 
______. NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de 
Janeiro, 2014. 
______. NBR 7222: Concreto e argamassa — Determinação da resistência à tração 
por compressão diametral de corpos de prova cilíndricos. Rio de Janeiro, 2011. 
______. NBR 8522: Concreto - Determinação do módulo estático de elasticidade à 
compressão. Rio de Janeiro, 2008. 
______. NBR 8953: Concreto para fins estruturais - Classificação pela massa 
específica, por grupos de resistência e consistência. Rio de Janeiro, 2015. 
______. NBR 12142: Concreto — Determinação da resistência à tração na flexão de 
corpos de prova prismáticos. Rio de Janeiro, 2010. 
MEHTA, P. K.; MONTEIRO, P. J. M. (2008). Concreto: microestrutura, propriedades 
e materiais. São Paulo: IBRACON, 3.ed., 674p. 
BASES PARA CÁLCULO – CAPÍTULO 4 
Libânio M. Pinheiro 
Colaboradores: 
Cassiane D. Muzardo; Sandro P. Santos; Vinicius Slompo Pinto; Artur L. Sartorti 
Março de 2017 
 
 BASES PARA CÁLCULO 
4.1 ESTADOS LIMITES 
As estruturas de concreto armado devem ser projetadas de modo que 
apresentem segurança satisfatória. Essa segurança está condicionada à verificação 
dos estados limites, que são situações em que a estrutura apresenta desempenho 
inadequado à finalidade da construção, ou seja, são estados em que a estrutura se 
encontra imprópria para o uso. Os estados limites podem ser classificados em 
estados limites últimos ou estados limites de serviço, conforme sejam referidos à 
situação de ruína ou de uso em serviço, respectivamente. Assim, a verificação da 
segurança é feita de modo diferente, em relação à capacidade de carga da estrutura 
e às condições de sua utilização em serviço. 
4.1.1 Estados limites últimos 
São aqueles que correspondem à máxima capacidade portante da estrutura, 
ou seja, sua simples ocorrência determina a paralização, no todo ou em parte, do 
uso da construção. São exemplos: 
a) Perda de equilíbrio como corpo rígido: tombamento, escorregamento 
ou levantamento; 
b) Resistência ultrapassada: ruptura do concreto; 
c) Escoamento excessivo da armadura: ,0%1s  ; 
d) Aderência ultrapassada: escorregamento da barra; 
e) Transformação em mecanismo: estrutura hipostática; 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.2 
f) Flambagem; 
g) Instabilidade dinâmica  ressonância; 
h) Fadiga – cargas repetitivas; 
i) Colapso progressivo; 
j) Exposição ao fogo; 
k) Ações sísmicas. 
4.1.2 Estados limites de serviço 
São aqueles que correspondem a condições precárias em serviço. Sua 
ocorrência, repetição ou duração causam efeitos estruturais que não respeitam 
condições especificadas para o uso normal da construção ou que são indícios de 
comprometimento da durabilidade. A ocorrência repetitiva de situações que se 
configurem como estados limites de serviço pode conduzir a algum estado limite 
último. Podem ser citados como exemplos: 
a) Danos estruturais localizados que comprometam a estética ou a durabilidade 
da estrutura  fissuração; 
b) Deformações excessivas que afetem a utilização normal da construção ou o 
seu aspecto estético  flechas; 
c) Vibrações excessivas que causem desconforto a pessoas ou danos a 
equipamentos sensíveis. 
4.2 AÇÕES 
Ações são causas que provocam esforços ou deformações nas estruturas. 
Na prática, as forças e as deformações impostas pelas ações são consideradas 
como se fossem as próprias ações, sendo as forças chamadas de ações diretas e as 
deformações, ações indiretas. 
4.2.1 Classificação das ações 
As ações que atuam nas estruturas podem ser classificadas, segundo sua 
variabilidade com o tempo, em permanentes, variáveis e excepcionais. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.3 
 a) Ações permanentes 
As ações permanentes ocorrem com valores constantes, com pequena 
variação em torno da média, durante praticamente toda a vida da construção, ou 
com valores que aumentam no tempo, tendendo a um valor limite. 
Essas ações podem ser subdivididas em permanentes diretas  como peso 
próprio da estrutura ou de elementos construtivos permanentes (paredes, pisos e 
revestimentos, por exemplo), peso dos equipamentos fixos, empuxo de terra não 
removível etc.  e ações permanentes indiretas  como retração, recalques de apoio, 
protensão, fluência do concreto e imperfeições geométricas. 
Em alguns casos particulares, como reservatórios e piscinas, o empuxo de 
água pode ser considerado uma ação permanente direta. 
Segundo o item 11.3.3.4 da ABNT NBR 6118:2014, as imperfeições 
geométricas podem ser divididas em imperfeições globais, como mostra a Figura 
4.1, e imperfeiçoes locais, indicadas na Figura 4.2. 
 
 
Figura 4.1 – Imperfeições geométricas globais. 
FONTE: ABNT NBR 6118:2014 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.4 
 
Figura 4.2 – Imperfeições geométricas locais. 
FONTE: ABNT NBR 6118:2014 
 
Essas imperfeições são importantes, por exemplo, no cálculo de pilares, 
situação em que essas ações serão apresentadas com mais detalhes. 
 b) Ações variáveis 
São aquelas cujos valores têm variação significativa em torno da média, 
durante a vida da construção. Há dois tipos de ações variáveis: as diretas, como as 
cargas acidentais previstas para construção, e as indiretas, como a temperatura e as 
ações dinâmicas. Podem ser fixas ou móveis, estáticas ou dinâmicas, pouco 
variáveis ou muito variáveis. São exemplos: cargas de uso (pessoas, mobiliário, 
veículos etc.) e seus efeitos (frenagem, impacto, força centrífuga), vento, variação 
de temperatura, empuxos de água, alguns casos de abalo sísmico etc. 
 c) Ações excepcionais 
Estas ações têm duração extremamente curta e muito baixa probabilidade 
de ocorrência durante a vida da construção, mas que devem ser consideradas no 
projeto de determinadas estruturas, nas quais seus efeitos não podem ser 
controlados por outros meios. São, por exemplo, as ações decorrentes de 
explosões, choques de veículos, incêndios, enchentes ou abalos sísmicos 
excepcionais. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.5 
4.3 VALORES REPRESENTATIVOS DAS AÇÕES 
No cálculo dos esforços solicitantes, devem ser identificadas e quantificadas 
todas as ações passíveis de atuar durante a vida da estrutura e capazes de produzir 
efeitos significativos no comportamento da construção. 
4.3.1 Para estados limites últimos 
Com vistas aos estados limites últimos, as ações podem ser quantificadas 
por seus valores representativos, que podem ser valores característicos, valores 
característicos nominais, valores reduzidos de combinaçãoe valores convencionais 
excepcionais. 
 a) Valores característicos (Fk) 
Os valores característicos quantificam as ações cuja variabilidade no tempo 
pode ser adequadamente expressa por meio de distribuições de probabilidade. 
Os valores característicos das ações permanentes que provocam efeitos 
desfavoráveis na estrutura correspondem ao quantil de 95% da respectiva 
distribuição de probabilidade (valor característico superior  Fk,sup). Para as ações 
permanentes favoráveis, os valores característicos correspondem ao quantil de 5% 
de suas distribuições (valor característico inferior  Fk,inf). Seus valores estão 
indicados na ABNT NBR 6120:1980, norma em fase de revisão. 
Para as ações variáveis, os valores característicos são aqueles que têm 
probabilidade entre 25% e 35% de serem ultrapassados no sentido desfavorável, 
durante um período de 50 anos. As ações variáveis que produzam efeitos favoráveis 
não são consideradas. 
 As ações em geral são quantificadas pelos seus valores representativos, 
como se indica a seguir. 
 Valores característicos nominais 
Os valores característicos nominais quantificam as ações cuja variabilidade 
no tempo não pode ser adequadamente expressa por distribuições de probabilidade. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.6 
Para as ações com baixa variabilidade, com valores característicos 
superiores e inferiores diferindo muito pouco entre si, adotam-se como 
característicos os valores médios das respectivas distribuições. 
 Valores reduzidos de combinação 
Os valores reduzidos de combinação são empregados quando existem 
ações variáveis de naturezas distintas, com possibilidade de ocorrência simultânea. 
Esses valores são determinados a partir dos valores característicos com o 
uso da expressão k0 F . O coeficiente de combinação 0 leva em conta o fato de 
que é muito pouco provável que essas ações variáveis ocorram simultaneamente 
com seus valores característicos. 
 Valores convencionais excepcionais 
São os valores arbitrados para as ações excepcionais. Em geral, esses 
valores são estabelecidos em acordo entre o proprietário da construção e as 
autoridades governamentais que nela tenham interesse. 
4.3.2 Para estados limites de serviço 
Com vistas aos estados limites de serviço, os valores representativos das 
ações podem ser valores reduzidos de utilização e valores raros de utilização. 
 a) Valores reduzidos de utilização 
Os valores reduzidos de utilização são determinados a partir dos valores 
característicos, multiplicando-os por coeficientes de redução. Distinguem-se os 
valores frequentes k1F e os valores quase permanentes k2 F das ações 
variáveis, sendo ψ1 e ψ2 dados pela tabela 11.2 da ABNT NBR 6118:2014. 
Os valores frequentes decorrem de ações variáveis que se repetem muitas 
vezes (ou atuam por mais de 5% da vida da construção). Os valores quase 
permanentes, por sua vez, decorrem de ações variáveis de longa duração (podem 
atuar em pelo menos metade da vida da construção, como, por exemplo, a fluência). 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.7 
 b) Valores raros de utilização 
São valores representativos de ações que atuam com duração muito curta 
sobre a estrutura (no máximo algumas horas durante a vida da construção, como, 
por exemplo, um abalo sísmico), sendo que sua colaboração é dada pelo valor 
característico nominal da ação. 
4.4 TIPOS DE CARREGAMENTO 
Entende-se por tipo de carregamento o conjunto das ações que têm 
probabilidade não desprezível de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, 
durante um determinado período de tempo pré-estabelecido. Pode ser de longa 
duração ou transitório, conforme seu tempo de duração. 
Em cada tipo de carregamento, as ações devem ser combinadas de 
diferentes maneiras, a fim de que possam ser determinados os efeitos mais 
desfavoráveis para a estrutura. Devem ser estabelecidas tantas combinações 
quantas forem necessárias para que a segurança seja verificada em relação a todos 
os possíveis estados limites (últimos e de serviço). 
Podem-se distinguir os seguintes tipos de carregamento, passíveis de 
ocorrer durante a vida da construção: carregamento normal, carregamento especial, 
carregamento excepcional e carregamento de construção. 
4.4.1 Carregamento normal 
O carregamento normal decorre do uso previsto para a construção, 
podendo-se admitir que tenha duração igual à vida da estrutura. Esse tipo de 
carregamento deve ser considerado tanto na verificação de estados limites últimos 
quanto nos de serviço. 
Um exemplo desse tipo de carregamento é dado pela consideração, em 
conjunto, das ações permanentes e variáveis (g + q), com seus valores 
característicos, e das demais ações variáveis, com seus valores reduzidos de 
combinação. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.8 
4.4.2 Carregamento especial 
O carregamento especial é transitório e de duração muito pequena em 
relação à vida da estrutura, sendo, em geral, considerado apenas na verificação de 
estados limites últimos. Esse tipo de carregamento decorre de ações variáveis de 
natureza ou intensidade especiais, cujos efeitos superam os do carregamento 
normal. O vento é um exemplo de carregamento especial. Devem estar presentes as 
ações permanentes e a ação variável especial, com seus valores característicos, e 
as demais ações variáveis com probabilidade não desprezível de ocorrência 
simultânea, com seus valores reduzidos de combinação. 
4.4.3 Carregamento excepcional 
O carregamento excepcional decorre da atuação de ações excepcionais, 
sendo, portanto, de duração extremamente curta e capaz de produzir efeitos 
catastróficos. Como exemplo podem-se citar sismos e incêndios. Esse tipo de 
carregamento deve ser considerado apenas na verificação de estados imites últimos 
e para determinados tipos de construção, para as quais não possam ser tomadas, 
ainda na fase de concepção estrutural, medidas que anulem ou atenuem os efeitos. 
Devem figurar as ações permanentes e a ação variável excepcional, quando existir, 
com seus valores representativos, e as demais ações variáveis com probabilidade 
não desprezível. 
4.4.4 Carregamento de construção 
O carregamento de construção é transitório, pois, como a própria 
denominação indica, refere-se à fase de construção, sendo considerado apenas nas 
estruturas em que haja risco de ocorrência de estados limites já na fase executiva. 
Devem ser estabelecidas tantas combinações quantas forem necessárias 
para a verificação das condições de segurança em relação a todos os estados 
limites que são de se temer durante a fase de construção. Como exemplo, tem-se: 
cimbramento e descimbramento. Devem estar presentes as ações permanentes e a 
ação variável especial, com seus valores característicos, e as demais ações 
variáveis com probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus 
valores reduzidos de combinação. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.9 
4.5 SEGURANÇA DAS ESTRUTURAS 
Uma estrutura apresenta segurança se tiver condições de suportar todas as 
ações possíveis de ocorrer, durante sua vida útil, sem atingir um estado limite. 
4.5.1 Métodos probabilísticos 
Os métodos probabilísticos para verificação da segurança são baseados na 
probabilidade de ruína, com curvas de distribuição normal das solicitações e das 
resistências, conforme indica a Figura 4.3. 
O valor da probabilidade de ruína (p) é fixado pelas normas e embutido nos 
parâmetros especificados, levando em consideração aspectos técnicos, políticos, 
éticos e econômicos. Por questão de economia, emgeral, adota-se 6100,1p  . 
 
Figura 4.3 – Esquema dos métodos probabilísticos 
4.5.2 Método dos coeficientes parciais de segurança 
O método dos coeficientes parciais é um método semiprobabilístico, em que 
se continua com números empíricos, baseados na tradição, mas se introduzem 
dados estatísticos e conceitos probabilísticos, na medida do possível. São utilizados 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.10 
para a aplicação dos princípios dos estados limites. Em outras palavras, os estados 
limites são verificados com a aplicação de coeficientes de cálculo individuais para 
cada variável do problema (coeficientes parciais). 
É o melhor que se têm condições de aplicar atualmente, sendo uma situação 
transitória, até se conseguir maior aproximação com o método probabilístico puro ou 
com outro que se constitua em evolução na consideração da segurança. 
Sendo Rk e Sk os valores característicos da resistência e da solicitação, 
respectivamente, e Rd e Sd os seus valores de cálculo, o método pode ser 
representado pelo esquema da Figura 4.4. 
 
Figura 4.4 – Esquema do método dos coeficientes parciais (semiprobabilístico) 
A idéia básica é: 
a) Majorar ações e esforços solicitantes (valores representativos das ações), 
resultando nas ações e solicitações de cálculo, de forma que a 
probabilidade desses valores serem ultrapassados é pequena; 
b) Reduzir os valores característicos das resistências (fk), resultando nas 
resistências de cálculo, com pequena probabilidade dos valores reais 
atingirem esse patamar; 
c) Equacionar a situação de ruína, fazendo com que o esforço solicitante de 
cálculo seja igual à resistência de cálculo. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.11 
Os coeficientes de majoração das ações e das solicitações são 
representados por f. Os coeficientes de minoração das resistências são indicados 
por m, sendo c para o concreto e s para o aço, e seus valores são dados no item 
12.4 da ABNT NBR 6118:2014, para cada situação de análise. 
4.6 ESTÁDIOS DE TENSÃO NO CONCRETO 
Denominam-se estádios às fases do diagrama de tensões no concreto em 
uma seção transversal submetida à flexão, desde o início do carregamento até a 
ruptura da seção. Há três fases distintas: estádio I, estádio II e estádio III. 
4.6.1 Estádio I 
Esta fase corresponde ao início do carregamento, em que o concreto resiste 
tração. As tensões normais são de baixa intensidade e o diagrama de tensões linear 
ao longo de toda a seção. Portanto, é válida a lei de Hooke (Figura 4.5). 
 
Figura 4.5 – Comportamento do concreto no estádio I 
Levando-se em conta a baixa resistência do concreto à tração, se 
comparada com a resistência à compressão, percebe-se a inviabilidade de um 
possível dimensionamento nessa fase. É no estádio I que é feito o cálculo do 
momento de fissuração, que separa o estádio I do estádio II. 
Esse momento é usado para calcular a armadura mínima, de modo que esta 
seja capaz de absorver, com adequada segurança, as tensões causadas por um 
momento fletor de mesma magnitude, garantindo ductilidade à seção de concreto 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.12 
armado. Também é no estádio I que se verificam as deformações por flexão em 
serviço, para peças não fissuradas, como acontece na maioria das lajes maciças. 
Portanto, o estádio I termina quando a seção fissura. Na ABNT NBR 
6118:2014, esse estádio I é utilizado na verificação do estado limite de formação de 
fissuras. O estádio I é importante para o dimensionamento dos elementos que 
utilizem armaduras de protensão, já que se faz necessária, nesses elementos, a 
verificação da segurança em relação aos estados limites de descompressão e de 
formação de fissuras. 
4.6.2 Estádio II 
O estádio II corresponde a um nível de carregamento em que o concreto não 
mais resiste à tração. Portanto, a seção encontra-se fissurada na região de tração. A 
contribuição do concreto tracionado pode ser desprezada. No entanto, o diagrama 
de tensões permanece linear na parte comprimida, onde permanece válida a lei de 
Hooke (Figura 4.6). 
 
Figura 4.6 – Comportamento do concreto no estádio II 
Basicamente, o estádio II é empregado na verificação de peças em serviço, 
para seções fissuradas. Como exemplos, citam-se o estado limite de abertura de 
fissuras e o estado limite de deformações excessivas. Os valores estimados das 
aberturas máximas das fissuras são da ordem de 0,3 mm em concreto armado e 
0,2 mm em concreto com armaduras ativas. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.13 
O estádio II termina com o início da plastificação do concreto comprimido. 
Com a evolução do carregamento, a fissura e a linha neutra caminham no 
sentido da borda comprimida da seção, até que ocorra a ruptura do concreto, após a 
completa plastificação da parte comprimida da seção. 
4.6.3 Estádio III 
No estádio III, a região comprimida encontra-se plastificada e o concreto 
dessa região está em fase de ruptura (Figura 4.7). 
 
Figura 4.7 – Comportamento do concreto na flexão pura (Estádio III). 
Os valores das deformações c2 e cu são indicados a seguir. 
- Para concretos de classes C20 a C50: 
00
0
2 2c ; 
00
05,3cu . 
- Para concretos de classes C55 a C90: 
53,0
00
0
00
0
2 )50.(085,02  ckc f – ckf em MPa; 
4
00
0
00
0 ]100/)90.[(356,2 ckcu f – ckf em MPa. 
Admite-se que o diagrama de tensões seja da forma parabólico-retangular, 
também conhecido como diagrama parábola-retângulo. 
c2 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.14 
A ABNT NBR 6118:2014 permite, para efeito de cálculo, que se trabalhe 
com um diagrama retangular equivalente (Figura 4.8), ou seja, para os dois 
diagramas, devem ser próximos os respectivos valores da resultante de compressão 
e da distância de seu ponto de aplicação até a linha neutra. 
 
Figura 4.8 – Deformações e tensões no concreto no estádio III. 
 
O coeficiente  indicado na Figura 4.8 tem os valores indicados a seguir. 
- Para concretos de classes C20 a C50: 
8,0 
- Para concretos de classes C55 a C90: 
400/)50(8,0  ckf , com ckf em MPa 
cd é o valor de cálculo da tensão resistente do concreto, que já leva em 
conta o efeito Rüsch e é obtida como se indica a seguir. 
cdccd f.  , no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha 
neutra, não diminuir a partir desta para a borda comprimida (Figura 4.9). 
c2 
x 
σcd 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.15 
LN
 
Figura 4.9 – Largura da seção não diminui da linha neutra para a borda comprimida. 
cdccd f..9,0   , no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha 
neutra, diminuir a partir desta para a borda comprimida (Figura 4.10); 
LN
 
Figura 4.10 – Largura da seção diminui da linha neutra para a borda comprimida. 
O coeficiente c leva em conta três fatores: a diminuição da resistência 
devida ao efeito de longa duração (efeito Rüsch, com coeficiente multiplicador da 
ordem de 0,75); o estado triaxial de tensões provocado pelo atrito entre as 
superfícies da prensa e do corpo de prova (0,95); e o aumento da resistência do 
concreto ao longo do tempo (1,20). A multiplicação desses três valores resulta em 
0,75 x 0,95 x 1,20 = 0,855. 
A ABNT NBR 6118:2014 apresenta os seguintes valores para c : 
- Para concretos de classes C20 a C50: 
85,0c 
- Para concretos de classes C55 a C90: 
]200/)50(0,1.[85,0  ckc f , com ckf em MPa 
É no estádio III que é feito o dimensionamentoda seção à flexão, situação 
que denomina cálculo no estado limite último por ruptura do concreto, cálculo na 
ruptura ou cálculo no estádio III. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.16 
4.6.4 Diagramas de tensão no concreto 
O diagrama parábola-retângulo (Figura 4.7 e Figura 4.8) é formado por um 
trecho em que a tensão varia segundo uma parábola e um trecho retangular. 
Para análise no estado limite último, pode ser empregado o diagrama tensão-
deformação indicado na Figura 4.11 (ABNT NBR 6118:2014). 
 
Figura 4.11 – Diagrama tensão-deformação do concreto. 
Os valores a serem adotados para os encurtamentos 2c (deformação 
especifica de encurtamento do concreto no início do patamar plástico) e cu 
(deformação específica de encurtamento do concreto na ruptura) são definidos a 
seguir. 
- Para concretos de classes C20 a C50: 
00
0
2 2c ; 
00
05,3cu . 
- Para concretos de classes C55 a C90: 
53,0
00
0
00
0
2 )50.(085,02  ckc f , com ckf em MPa; 
4
00
0
00
0 ]100/)90.[(356,2 ckcu f , com ckf em MPa. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.17 
cdf é a resistência de cálculo do concreto à compressão. Para combinações 
normais de ações no estado limite último, cckcd ff /=�� , com c = 1,4, em geral. 
A Tabela 4.1 indica os valores de 2c e cu para concretos de classes C20 a 
C50. 
Tabela 4.1 – Valores de 2c e cu . 
ckf (MPa) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 
)( 0002c 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,0 2,2 2,3 2,4 2,4 2,5 2,5 2,6 2,6 
)( 000cu 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,1 2,9 2,7 2,7 2,6 2,6 2,6 2,6 
 
4.6.5 Equacionamento dos estádios I e II 
Seja uma seção transversal retangular solicitada por momento fletor positivo 
(tração em baixo), como a ilustrada na Figura 4.12. 
x-
d
'
Z
c
Z
t
d
-x
x
M
s'
As
d
h
b
h
-d
d
'
LN
Rs'
Rs
Rcc
Rct
 s'
 s
 cc
 ct
Figura 4.12 – Seção transversal, esforços e deformações. 
 Nessa figura, tem-se que: 
sA é a área da seção transversal da armadura de tração; 
'
sA é a área da seção transversal da armadura de compressão; 
LN é a linha neutra, onde as tensões e deformações são nulas; 
d é a altura útil da armadura de tração (distância do CG até a borda comprimida); 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.18 
'd é a distância do CG de 'sA até a borda comprimida; 
x é a profundidade da linha neutra, medida a partir da borda comprimida; 
M é o momento fletor aplicado; 
sR é a resultante de tração na armadura de área sA ; 
'
sR é a resultante de compressão na armadura de área 
'
sA ; 
ccR é a resultante de compressão do concreto; 
ctR é a resultante de tração do concreto, que existe apenas no Estádio I; 
cz é a distância da LN até ccR ; 
tz é a distância da LN até ctR ; 
cc a máxima deformação de compressão do concreto; 
ct é a máxima deformação de tração do concreto; 
s é a deformação na armadura de área sA ; 
'
s é a deformação na armadura de área 
'
sA . 
Com o equilíbrio de forças obtém-se: 
sR + ctR = ccR +
'
sR 
Fazendo-se o equilíbrio de momentos fletores em relação à LN, tem-se: 
M = ccR . cz +
'
sR ( x - 'd ) + ctR . tz + sR (d - x ) 
Se não existir armadura de compressão, 'sR = 0. 
No estádio I, ctR  0, pois o concreto resiste à tração. 
No Estádio II, o concreto estará fissurado, logo 0ctR . 
Podem ainda ser escritas as seguintes equações de compatibilidade de 
deformações: 
)()()'(
'
xhxddxx
ctsscc







 
 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.19 
a) Homogeneização da seção transversal 
Nas análises de seções que envolvem materiais diferentes, existe a 
necessidade de se fazer uma homogeneização da seção transversal. Essa 
homogeneização consiste em transformar um dos materiais diferentes em uma área 
equivalente ao outro material. No caso das estruturas de concreto armado, a 
homogeneização é realizada “transformando-se” a seção de aço em uma área 
equivalente de concreto, por meio da razão modular, que é a razão entre os módulos 
de elasticidade do aço e do concreto. 
Portanto, essa razão modular é dada por: 
c
s
e
E
E
 
sE é o módulo de elasticidade do aço, com valor de 210 GPa; 
cE é o módulo de elasticidade do concreto, com o valor tangente inicial ( ciE ) para o 
Estádio I e o valor secante ( csE ) para o Estádio II. 
Seja a seção homogeneizada indicada na Figura 4.13. 
As'
As
d
h
b
h
-d
d
' s'
 s
 cc
 ct
Acs' - Área de concreto
 equivalente a As'
Acs - Área de concreto
 equivalente a As
x-
d
'
d
-x
DEFORMAÇÕES
LN
 cs'
 cs
 cc
 ct
x-
d
'
d
-x
TENSÕES
 
Figura 4.13 – Seção transversal homogeneizada. 
Nessa figura, cs e 
'
cs
 são as tensões nas áreas equivalentes de concreto 
csA e 
'
cs
A , respectivamente. Esses valores são calculados como se indica a seguir: 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.20 
secs AA . 
'
cs
A = .e
'
sA 
e
s
cs 

  'cs = 
e
s

 '
 
É importante destacar que as deformações são as mesmas, tanto na seção 
real quanto na homogeneizada. 
Com o diagrama de tensões da Figura 4.13, podem ser escritas as 
seguintes equações de compatibilidade de tensões: 
)()()'(
'
xhxddxx
ctcscscc







 
Reescrevendo tem-se: 
)().()'.(
'
xhxddxx
ct
e
s
e
scc











 
b) Tensões e deformações no estádio I 
Os cálculos no estádio I são feitos com base na Figura 4.14. 
 e.As'
LN
 e.As
d
h
h
-d
d
'
x-
d
' x
d
-x
(h
-x
)/
2
x/
2
b
 
Figura 4.14 – Seção homogeneizada no estádio I. 
Inicialmente é necessário o cálculo da posição ( x ) da LN, que é 
determinada com a condição de que a somatória dos momentos estáticos ( sQ ) em 
relação à LN seja igual a zero. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.21 
 
).(.
)'...(
2
.
0).(.
2
)..()'.(.
2
..
0
'
'
2
'
sse
sse
eses
LNs
AAhb
dAdA
hb
x
xdA
xh
xhbdxA
x
xb
Q









 





 
Em seguida é calculado o momento de inércia da seção, que no estádio I é 
dado por: 
22
'
23
).(.)'.(.
2
..
12
.
xdAdxAx
h
hb
hb
I esesI 





  
Com os valores de x e de II determinam-se as tensões no concreto na 
seção homogeneizada, que para um momento fletor característico kM são dadas 
por: 
x
I
M
I
k
cc . ).( xh
I
M
I
k
ct  
)'.('' dx
I
M
I
k
e
s
cs  

 ).( xd
I
M
I
k
e
s
cs  

 
Os respectivos valores das deformações são dados por: 
ci
cc
cc
E

  
ci
ct
ct
E

  
s
s
cs
E
'
'

  
s
s
s
E

  
 
c) Tensões e deformações no estádio II 
Os cálculos no estádio II são feitos com base na Figura 4.15. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.22 
 e.As'
LN
 e.As
d
h
h
-d
d
'
x
-d
' x
d
-x
x
/2
b
 
Figura 4.15 – Seção homogeneizada no Estádio II. 
Os cálculos da posição ( x ) da LN e do momento de inércia no estádio II 
( III ) são semelhantes aos queforam feitos no item anterior, porém sem a 
consideração do concreto inferior (tracionado), que está fissurado. Esses valores 
são obtidos com as expressões: 
0)'...(
.2
)..(
.2
''
2  dAdA
b
xAA
b
x ss
e
ss
e  
22
'
33
).(.)'.(.
4
.
12
.
xdAdxA
xbxb
I esesII   
As tensões na seção homogeneizada são obtidas de modo semelhante ao 
que foi feito para o estádio I. Para o estádio II, as tensões são dadas por: 
x
I
M
II
k
cc . 0ct 
)'.('' dx
I
M
II
k
e
s
cs  

 ).( xd
I
M
II
k
e
s
cs  

 
Os respectivos valores das deformações, no estádio II, são dados por: 
cs
cc
cc
E

  
x
xhcc
ct
).( 


 
s
s
cs
E
'
'

  
s
s
s
E

  
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.23 
4.6.6 Momento de fissuração ( rM ) 
Para uma viga de concreto armado submetida à flexão, pode-se imaginar o 
“histórico de carregamento” de forma que a seção de momento máximo tenha 
comportamento como o ilustrado na Figura 4.16. 
M = 0 M = Mr M = Múltimo
Ruína
- Concreto não fissurado;
- Algumas peças tem o ELS-DEF
verificado aqui.
Estádio I
- Concreto fissurado;
- Verificações dos ELS:
 ELS-W
 ELS-DEF
Estádio II
- Pontual
- Concreto e aço plastificados;
- Dimensionamento é aqui (ELU);
- Aqui que se aplica a teoria dos
Domínios de deformação.
Estádio III
Este ponto caracteriza o ELS-F
 
Figura 4.16 – Histórico do carregamento de uma viga. 
A passagem do Estádio I para o Estádio II ocorre quando o momento fletor 
solicitante alcança o valor do momento de fissuração ( rM ). 
A ABNT NBR 6118:2014, no item 17.3.1, estabelece que o valor do 
momento de fissuração é dado por: 
t
cct
r
y
If
M
..
 
 é o fator que relaciona a resistência à tração na flexão com a resistência à 
tração direta, sendo dado por: 
 2,1 para seções T ou duplo T (seções π); 
 3,1 para seções I ou T invertido; 
 5,1 para seções retangulares. 
ctf é a resistência do concreto à tração direta, com valor apropriado a cada 
verificação particular; para determinação do momento de fissuração, deve 
ser usado o inf,ctkf no estado limite de formação de fissura (ELS-F), e o 
mctf , no estado limite de deformação excessiva (ELS-DEF). 
cI é o momento de inércia da seção bruta de concreto. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.24 
ty é a distância do centro de gravidade da seção bruta de concreto à fibra 
mais tracionada. 
Portanto, se o momento fletor aplicado na viga for menor que rM , ela estará 
no Estádio I. Caso contrário, a seção de momento máximo estará no Estádio II, e em 
casos extremos, no Estádio III. 
4.7 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO NA RUÍNA 
Como foram indicados no item anterior, os estádios consideram o diagrama 
de tensões no concreto na seção transversal. Já os domínios referem-se às 
deformações. São situações em que pelo menos um dos materiais aço ou 
concreto atinge o seu limite de deformação, caracterizando dessa forma um dos 
estados limites últimos: 
 alongamento último do aço (s = 10 ‰); 
 encurtamento último do concreto (cu na flexão e c2 na compressão 
uniforme). 
O primeiro caso é denominado ruína por deformação plástica excessiva 
do aço, e o segundo, ruína por ruptura do concreto. Ambos serão estudados nos 
itens seguintes, e referem-se a uma seção como a indicada na Figura 4.17. 
As'
As
d
h
b
h
-d
d
'
 
Figura 4.17 – Seção retangular com armadura dupla 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.25 
Algumas hipóteses iniciais devem ser destacadas. A primeira é a perfeita 
aderência entre aço e concreto, ou seja, a deformação das barras é a mesma do 
concreto que as envolve. A segunda é a Hipótese de Bernoulli (seções planas 
permanecem planas durante a deformação). A terceira refere-se à nomenclatura: 
quando mencionada a flexão, sem que se especifique qual delas simples ou 
composta, entende-se que pode ser tanto uma quanto a outra. 
4.7.1 Ruína por deformação plástica excessiva do aço 
Para que o aço atinja seu alongamento máximo, é necessário que a seção 
seja solicitada por tensões de tração capazes de produzir na armadura As uma 
deformação específica de 1% (s = 1% = 10‰). Essas tensões podem ser 
provocadas por esforços tais como: 
 Tração (uniforme ou não uniforme) 
 Flexão (simples ou composta) 
Considere-se a Figura 4.18, na qual se encontram, à esquerda, uma vista 
lateral da peça com a seção indicada na Figura 4.17, e à direita, o diagrama em que 
serão marcadas as deformações limites de tração e de compressão. 
As'
As
 cu
10‰ 
Figura 4.18 – Vista lateral da peça e deformações limites 
Nesse diagrama, a linha tracejada à esquerda corresponde ao alongamento 
máximo de 1%  limite do aço, e a linha tracejada à direita, ao encurtamento 
máximo do concreto. A linha cheia corresponde à deformação nula, ou seja, ela 
separa as deformações de alongamento e as de encurtamento. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.26 
A ruína por deformação plástica excessiva do aço pode ocorrer na reta a e 
nos domínios 1 e 2, como será visto a seguir. 
a) Reta a 
A linha correspondente ao alongamento constante e igual a 1% é 
denominada reta a (indicada também na Figura 4.19). Ela pode ocorrer na tração 
simples, se as áreas de armadura As e A’s forem iguais, ou na tração excêntrica em 
que a diferença entre As e A’s seja tal que garanta o alongamento uniforme da 
seção. 
As'
As
 cu
10‰
 s'
 s
R
e
ta
 aN
 
Figura 4.19 – Alongamento uniforme de 1 % – Reta a 
Para a notação ora utilizada, a posição da linha neutra é indicada pela 
distância x até a borda superior da seção, sendo esta distância considerada positiva 
quando a linha neutra estiver abaixo da borda superior, e negativa no caso contrário. 
Como para a reta a não há pontos de deformação nula, considera-se que x 
tenda para –∞. 
b) Domínio 1 
No domínio 1 a seção ainda se encontra inteiramente tracionada, mas com 
diagrama de deformação não uniforme. A armadura mais tracionada (As) continua 
com deformação plástica máxima (s = 1%) e a deformação na borda menos 
tracionada varia entre 1% e zero (Figura 4.20). O domínio 1 corresponde a tração 
excêntrica, e a posição x da linha neutra varia entre –∞ e zero. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.27 
As'
As
 cu
10‰
 s
R
e
ta
 a
N 1
0
 s'
x
d
 
Figura 4.20 – Deformações no domínio 1 
c) Domínio 2 
No domínio 2, parte da seção é comprimida. A armadura As continua com 
deformação plástica máxima (s = 1%) e a deformação na borda comprimida c varia 
entre zero e cu (Figura 4.21). 
As'
As
 cu
10‰
 s'
 s
R
e
ta
 aN
M
1
0
x
d
2
d
-x
 
Figura 4.21 – Deformações no domínio 2 
Esse domínio correspondendo a flexão simples ou composta, com força 
normal de tração ou de compressão. Neste caso a linha neutra já se encontra dentro 
da seção, variando de zero a x23, limite entre os domínios 2 e 3. 
O domínio 2 é o último caso em que a ruína ocorre com deformação plástica 
excessiva. O aço é bem aproveitado, pois trabalha com tensão fyd. Porém, o 
concreto é mal aproveitado, pois não é solicitado em sua capacidade máxima. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.28 
No domínio 2, a solicitação predominante é o momentofletor. A força normal 
de tração ou de compressão, se houver, é de pequena intensidade. 
4.7.2 Ruína por ruptura do concreto na flexão 
A ruína por ruptura do concreto na flexão (simples ou composta) ocorre nos 
domínios 3, 4 e 4a, como será apresentado a seguir. 
Como já foi visto, denomina-se flexão a qualquer estado de solicitações 
normais em que se tenha a linha neutra dentro da seção. Na flexão, a deformação 
específica última do concreto, na borda comprimida, é cu. 
a) Domínio 3 
No domínio 3 ocorre ruptura do concreto com cu na borda comprimida, e s 
varia entre 1% e yd, ou seja, o concreto encontra-se na ruptura e o aço tracionado 
em escoamento (Figura 4.22). 
As'
As
 cu
10‰
 s'
R
e
ta
 aN
M
1
0
x
d
2
 yd
3
 s
d
-x
 
Figura 4.22 – Deformações no domínio 3 
Nessas condições, a seção é denominada subarmada. Tanto o concreto 
como o aço trabalham com suas resistências de cálculo. Portanto, há o 
aproveitamento máximo dos dois materiais. 
A ruína ocorre com aviso, pois a peça apresenta deslocamentos visíveis 
(flechas) e intensa fissuração. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.29 
Esse domínio pode ocorrer na flexão simples ou na composta, com força 
normal de tração ou de compressão. A linha neutra ocorre no intervalo entre x23 e 
x34, limites entre os domínios 2 e 3 e os domínios 3 e 4, respectivamente. 
Da mesma forma que no domínio 2, no domínio 3 a solicitação predominante 
é o momento fletor. A força normal de tração ou de compressão, se houver, é de 
pequena intensidade. 
b) Domínio 4 
No domínio 4 também ocorre ruptura do concreto com deformação 
cu na borda comprimida, e s varia entre yd e zero (Figura 4.23), ou seja, o 
concreto encontra-se na ruptura, sendo bem aproveitado, mas o aço tracionado não 
atinge o escoamento. Portanto, o aço é mal aproveitado. Neste caso, a seção é 
denominada superarmada. A ruína ocorre sem aviso, pois os deslocamentos são 
pequenos e há pouca fissuração, difícil de serem percebidos. 
As'
As
 cu
10‰
 s'
R
e
ta
 aN
M
1
0
d
2
 yd
3
 s
4
x
d
-x
 
Figura 4.23 – Deformações no domínio 4 
Nesse domínio, a solicitação predominante continua sendo o momento fletor. 
Se houver força normal, embora seja possível que ela seja de tração com valor 
pequeno, é mais comum que ela seja de compressão. Portanto, no domínio 4 
geralmente ocorre flexão simples ou compressão excêntrica (flexocompressão). 
A linha neutra varia no intervalo entre x34 e 1, limites entre os domínios 3 e 4 
e os domínios 4 e 4a, respectivamente. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.30 
c) Domínio 4a 
No domínio 4a (Figura 4.24), as duas armaduras são comprimidas. A ruína 
ainda ocorre com cu na borda comprimida. A deformação na armadura As é muito 
pequena e, portanto, essa armadura é muito mal aproveitada. Esta situação só é 
possível na compressão excêntrica (flexocompressão). A linha neutra encontra-se 
entre d e h. 
As'
As
 cu
10‰
 s'
R
e
ta
 aN
M
1
0
2
 yd s
3
xd
4
h
4a
 
Figura 4.24 – Deformações no domínio 4a 
4.7.3 Ruína de seção Inteiramente comprimida 
Os dois últimos casos de deformações na ruína, domínio 5 (Figura 4.25) e 
reta b (Figuras 4.26). 
As'
As
 cu
10‰
 s'
R
e
ta
 aN
M
1
0
x
2
 yd
3
 s
4
h
4a
 c2
5
( cu - c2).h
 cu
 
Figura 4.25 – Deformações no domínio 5 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.31 
a) Domínio 5 
No domínio 5 tem-se a seção inteiramente comprimida (x  h), com c 
variando de cu até c2 na linha distante [(cu-c2).h]/cu da borda mais comprimida 
(Figura 4.25). Esse domínio só é possível na compressão excêntrica 
(flexocompressão). 
b) Reta b 
Na reta b tem-se deformação uniforme de compressão, com encurtamento 
igual a c2 (Figura 4.26). Nesse caso, x tende para +∞. 
As'
As
 cu
10‰
 s'
R
e
ta
 aN
1
0
2
 yd
3
 s
4
h
4a
 c2
5
R
e
ta
 b
 
Figura 4.26 – Deformação na Reta b 
4.7.4 Diagrama único de deformações da ABNT NBR 6118:2014 
Para todos os domínios de deformação, com exceção das retas a e b, a 
posição da linha neutra pode ser determinada por relações de triângulos. 
Os domínios de deformação podem ser representados em um único 
diagrama, indicado na Figura 4.27. 
Verifica-se, nessa figura, que da reta a para os domínios 1 e 2, o diagrama 
de deformações gira em torno do ponto A, o qual corresponde à ruína por 
deformação plástica excessiva da armadura As. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.32 
Nos domínios 3, 4 e 4a, o diagrama de deformações gira em torno do 
ponto B, relativo à ruptura do concreto com deformação cu na borda comprimida. 
Finalmente, verifica-se que do domínio 5 para a reta b, o diagrama gira em 
torno do ponto C, correspondente à deformação c2 e distante [(cu-c2).h]/cu da 
borda mais comprimida. 
 
Figura 4.27 – Domínios de deformação na ruína. 
FONTE: ABNT NBR 6118:2014 
4.7.5 Limites entre os domínios 
Os limites entre os domínios são caracterizados por posições da linha 
neutra, que podem ser encontradas por relações gráficas retiradas dos diagramas 
dos domínios de deformação. Definindo a relação 
d
x
x  têm-se os seguintes limites 
expressos por x . 
a) Limite entre a reta a o domínio 1 ( 1xRa ) 
 11 xRaRax  
b) Limite entre os domínios 1 e 2 ( 12x ) 
00 1212  xx  
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.33 
c) Limite entre os domínios 2 e 3 ( 23x ) 
cu
cu
x
cu
cu
cu
cu dx
d
x


















00
023
00
023
00
0
23
10
.
1010
 
d) Limite entre os domínios 3 e 4 ( 34x ) 
cuyd
cu
x
cuyd
cu
cuyd
cu dx
d
x




















 3434
34 . 
Como 
s
yd
yd
E
f
 , ydf =
s
ykf

 e sE = 210 GPa = 21000 kN/cm
2, pode ser obtido 
o valor de yd para cada tipo de aço: 
CA-25 → 000035,1
21000
15,1/25
yd 
CA-50 → 000070,2
21000
15,1/50
yd 
CA-60 → 000484,2
21000
15,1/60
yd 
e) Limite entre os domínios 4 e 4a ( ax44 ) 
14444  axa dx  
f) Limite entre os domínios 4a e 5 ( 54ax ) 
d
h
hx axa  5454  
g) Limite entre o domínio 5 e a reta b ( Rbx5 ) 
 RbxRbx 55  
Os limites de x entre os domínios 2 e 3 e os domínios 3 e 4 estão 
indicados na Tabela 4.2. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.34 
Tabela 4.2 – Valores de x nos limites dos domínios 2 e 3 e dos domínios 3 e 4. 
fck (MPa) 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 
23x 0,259 0,259 0,259 0,259 0,259 0,259 0,259 0,238 0,224 0,215 0,210 0,207 0,207 0,206 0,206 
34x
 
CA-25 0,772 0,772 0,772 0,772 0,772 0,772 0,772 0,751 0,736 0,726 0,720 0,717 0,716 0,715 0,715 
CA-50 0,628 0,628 0,628 0,628 0,628 0,628 0,628 0,602 0,582 0,569 0,562 0,558 0,557 0,557 0,557 
CA-60 0,585 0,585 0,585 0,585 0,585 0,585 0,585 0,557 0,537 0,524 0,517 0,513 0,512 0,511 0,511 
 
A ABNT NBR 6118:2014 estabelece, no item 14.6.4.3, que para proporcionar 
o adequado comportamento dúctil em vigas e lajes, a posição da linha neutra no 
ELU deve obedecer aos limites indicados a seguir. 
- Concretos com fck ≤ 50 MPa 
45,0lim 
d
x
- Concretos com 50 MPa < fck ≤ 90 MPa 
35,0lim 
d
x
 
QUESTIONÁRIO 
1) O que são estados limites e em que níveis de solicitação eles podem ocorrer? 
2) O que são estados limites últimos? Relacionar os principais. 
3) E de serviço? Quais são os principais e quais os problemas que eles podem 
ocasionar? 
4) O que são ações permanentes, variáveis e excepcionais? Dar exemplos. 
5) Como se quantificam os valores característicos das ações permanentes e das 
variáveis? 
6) O que são valores característicos nominais? 
7) Quando são empregados valores reduzidos de combinação? 
8) Como são arbitrados os valores convencionais excepcionais? 
9) Como são determinados os valores reduzidos de utilização? 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.35 
10) O que são valores frequentes? E valores quase permanentes? Dar exemplos. 
11) Quais os tipos de carregamento que podem atuar em uma construção, e em que 
estados limites eles devem ser considerados? 
12) O que se entende por carregamento normal e por carregamento especial? Dar 
exemplos. 
13) E carregamento excepcional? Em que situação ele deve ser considerado? 
14) O que é carregamento de construção? Dar exemplos. 
15) Em que condição se considera que uma estrutura apresenta segurança? 
16) O que são métodos probabilísticos? Como é fixado o valor da probabilidade de 
ruína? 
17) O que é um método semiprobabilístico? 
18) Qual a ideia básica do método dos coeficientes parciais de segurança? 
19) O que são estádios? 
20) Quais as características do estádio I com relação a: resistência do concreto à 
tração, intensidade e forma do diagrama de tensões. Para que serve esse 
estádio? 
21) Idem para estádio II e estádio III. 
22) Qual a diferença entre estádios e domínios? 
23) Quais os limites de deformação para o aço e para o concreto? 
24) Quais os tipos de ruína relativos a cada um desses limites? 
25) Quais as hipóteses iniciais que devem ser ressaltadas? 
26) Quais os tipos de solicitação que podem provocar deformação plástica excessiva 
do aço? 
27) Quais os domínios em que ocorre ruína por deformação plástica excessiva? 
28) O que caracteriza uma ruína na reta a, para tração simples e para tração 
excêntrica? 
29) Como se considera a posição da linha neutra na reta a? 
30) O que é domínio 1? Qual a deformação na armadura As e qual a variação da 
deformação na borda menos tracionada? Qual o tipo de solicitação e a variação 
da linha neutra? 
 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Bases para cálculo 
4.36 
31) O que é domínio 2? Qual a deformação na armadura As e qual a variação da 
deformação na borda comprimida? Quais os tipos de solicitação e a variação da 
linha neutra? Quais as características desse domínio, com relação ao 
aproveitamento dos materiais? 
32) Em que domínios ocorrem ruptura do concreto na flexão? Qual a deformação 
última do concreto nesses casos? 
33) Como ocorre a ruína no domínio 3? Qual a deformação no concreto e na 
armadura As? Quais as características desse domínio, com relação ao 
aproveitamento dos materiais? Quais os tipos de solicitação e a variação da 
linha neutra? 
34) O que significa ruína com aviso? 
35) Como ocorre a ruína no domínio 4? Qual a deformação no concreto e na 
armadura As? Quais as características desse domínio, com relação ao 
aproveitamento dos materiais? Quais os tipos de solicitação e a variação da 
linha neutra? 
36) O que são seções subarmadas e seções superarmadas? 
37) Como se comportam as armaduras no domínio 4a? Como ocorre a ruína? A 
armadura é bem aproveitada? Por quê? Quais os tipos de solicitação e a 
variação da linha neutra? 
38) Quais os domínios relativos a seções inteiramente comprimidas? 
39) Quais as deformações no concreto em cada um desses casos? E os tipos de 
solicitação? E a variação da linha neutra? 
40) No diagrama único da ABNT NBR 6118:2014, qual o polo de rotação do 
diagrama de deformações da reta a para os domínios 1 e 2. Onde se situa esse 
ponto? 
41) Idem nos domínios 3, 4 e 4a? E do domínio 5 para a reta b? 
REFERÊNCIAS 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 6118:2014: 
Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro. 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 6120:1980: 
Cargas para o cálculo de estruturas de edificações. Rio de Janeiro. 
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES – CAPÍTULO 5 
Libânio M. Pinheiro, Cassiane D. Muzardo, Sandro P. Santos, 
Winston Jr. Zumaeta M., Artur L. Sartorti, Karen F. Bompan Schiavon 
Julho de 2018 
 
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: EQUAÇÕES 
5.1 HIPÓTESES 
No dimensionamento à flexão simples, os efeitos do esforço cortante podem ser 
considerados separadamente. Portanto, neste capítulo, será considerado somente o 
momento fletor, ou seja, flexão pura. 
Admite-se a perfeita aderência entre as armaduras e o concreto que as envolve, ou 
seja, a deformação específica de cada barra da armadura é igual à do concreto 
adjacente. 
No cálculo no estado limite último - ELU, a resistência do concreto à tração é 
desprezada, ou seja, na região do concreto sujeita à deformação de alongamento, a 
tensão no concreto é considerada nula. 
Nas peças de concreto submetidas a solicitações normais, admite-se a validade da 
hipótese de manutenção da forma plana da seção transversal até o ELU, desde que 
a relação abaixo seja mantida: 
ol > 2
d 
ol
 distância entre as seções de momento fletor nulo; 
d  altura útil da seção (do CG da armadura tracionada à borda oposta). 
Com a manutenção da forma plana da seção, as deformações específicas 
longitudinais em cada ponto da seção transversal são proporcionais à distância até a 
linha neutra. 
 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 
5.2 
5.2 DIAGRAMA DE TENSÕES NO CONCRETO 
A ABNT NBR 6118:2014 permite, para efeito de cálculo, que se trabalhe com um 
diagrama retangular equivalente (Figura 5.1), ou seja, para os dois diagramas, devem 
ser próximos os respectivos valores da resultante de compressão e da distância de 
seu ponto de aplicação até a linha neutra. 
 
Figura 5.1 – Deformações e tensões no concreto no estádio III. 
 
Segundo a ABNT NBR 6118:2014, o valor de λ varia de acordo com a classe do 
concreto. 
- Para concretos de classes C20 a C50: 
λ = 0,8
 
- Para concretos de classes C55 a C90: 
ckλ = 0,8 - (f - 50) / 400
, com
ckf
 em MPa 
A tensão resistente do concreto com o valor de cálculo cd, já levando em conta o 
efeito Rüsch, é dada pelos seguintes valores: 
cd c cdσ = α .f
, no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não 
diminuir a partir desta para a borda comprimida (Figura 5.2); 
c2 
x 
σcd 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 
5.3 
LN
 
Figura 5.2 – Seções nas quais a largura não diminui da LN até a borda comprimida. 
 
cd c cdσ = 0,9.α .f
, no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, 
diminuir a partir desta para a borda comprimida (Figura 5.3); 
LN
 
Figura 5.3 – Seções nas quais a largura diminui da LN até a borda comprimida. 
 
O coeficiente 
cα
 leva em conta três fatores: a) diminuição da resistência devida ao 
efeito de longa duração (efeito Rüsch) – diminuição da ordem de 25 %, 
correspondente a um fator 0,75; b) estado triaxial de tensões provocado pelo atrito 
das superfícies da prensa no corpo de prova – 0,95; c) aumento da resistência do 
concreto ao longo do tempo– 1,20. A multiplicação desses três valores resulta 
0,75 . 0,95 . 1,20 = 0,855. A NBR 6118:2014 apresenta os seguintes valores para 
cα
: 
- Para concretos de classes C20 a C50: 
cα = 0,85
 
- Para concretos de classes C55 a C90: 
c ckα = 0,85 . [1,0 - (f - 50) / 200]
, com 
ckf
 em MPa 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 
5.4 
5.3 DOMÍNIOS POSSÍVEIS 
Na flexão, como a tração é resistida pela armadura, a posição da linha neutra deve 
estar entre zero e d (domínios 2, 3 e 4), já que para x < 0 (domínio 1) a seção está 
toda tracionada, e para x > d (domínio 4a e 5) a seção útil está toda comprimida. Os 
domínios citados estão indicados na Figura 5.4. 
 
Figura 5.4 – Domínios de deformação 
O valor de yc2 é função da classe do concreto: 
- Para concretos de classe C20 a C50: 
c2
3
y = h
7
 
- Para concretos de classe C55 a C90: 
 cu c2
c2
cu
- h
y
 


 
 
 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 
5.5 
5.3.1 Domínio 2 
No domínio 2, a ruína ocorre por deformação plástica excessiva do aço com 
deformação máxima de 1%; portanto, sd = fyd. A deformação no concreto varia de 0 
até εcu (Figura 5.5). Logo, o concreto não trabalha com sua capacidade máxima e, 
portanto, é mal aproveitado. A posição da linha neutra varia de zero a x23 (limite 
entre os domínios 2 e 3). Tomando-se a posição relativa da linha neutra (x) como 
sendo x/d, tem-se que esta varia de zero a x23 (0< x < x23), sendo: 
 


cu
x23
cu
β = 
 + 1%
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.5 – Deformações no Domínio 2 
 
5.3.2 Domínio 3 
No domínio 3, a ruína ocorre por ruptura do concreto com deformação máxima cu. 
Na armadura tracionada, a deformação varia de yd até 1%, ou seja, o aço está em 
escoamento, com tensão s = fyd (Figura 5.6). 
É a situação ideal de projeto, pois os dois materiais são bem aproveitados. Ocorre 
ruína dúctil, com aviso, havendo fissuração aparente e flechas significativas. A 
posição da linha neutra varia de x23 a x34, ou seja, a posição relativa da linha neutra 
(x) varia de x23 até x34 (x23 < x < x34). 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 
5.6 
 

 
cu
x34
cu yd
β = 
 + 

yd
yd
s
f
 = 
E
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.6 – Deformações no Domínio 3 
 
5.3.3 Domínio 4 
Assim como no domínio anterior, no domínio 4 o concreto encontra-se na ruptura, 
com deformação cu. Porém, o aço apresenta deformação abaixo de yd e, portanto, 
ele está mal aproveitado. As deformações são indicadas na Figura 5.7. 
A posição da linha neutra varia de x34 até d, ou seja, x34 < x < 1.
 
Figura 5.7 – Deformações no Domínio 4 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 
5.7 
O dimensionamento nesse domínio é uma solução antieconômica, além de perigosa, 
pois a ruína se dá por ruptura do concreto e sem escoamento do aço. Portanto, é 
uma ruptura brusca, ou seja, ocorre sem aviso. Entende-se por aviso de uma 
estrutura os grandes e visíveis estados de deformação (flecha) e fissuração. 
O dimensionamento no domínio 4 deve ser evitado; para isso pode-se usar uma das 
alternativas: 
 Aumentar a altura h, porque normalmente b é fixo, dependendo da 
espessura da parede em que a viga é embutida; 
 Fixar um adequado valor de xlim no domínio 3, ou seja, x = xlim, e adotar 
armadura dupla. 
A ABNT NBR 6118:2014 estabelece no item 14.6.4.3 que para proporcionar o 
adequado comportamento dúctil em vigas e lajes, a posição da linha neutra no ELU 
deve obedecer aos limites indicados. 
- Para concretos com fck ≤ 50 MPa: 
x
x
β = 0,45
d

 
- Para concretos com 50 MPa < fck ≤ 90 MPa: 
x
x
β = 0,35
d

 
 
5.4 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 
Para o dimensionamento de peças na flexão simples com armadura dupla (Figura 
5.8), considera-se que as barras que constituem a armadura estão agrupadas, 
concentradas no centro de gravidade dessas barras. As distâncias das armaduras 
A’s e As até a borda superior e inferior, respectivamente , foram consideradas iguais. 
 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 
5.8 
 
Figura 5.8 - Resistências e deformações na seção 
 
A partir da vista lateral representada na Figura 5.8, as equações de equilíbrio de 
forças e de momentos são respectivamente: 
(+ ←) ΣFH = 0 
 ∴ Rc + R's - Rs = 0 (1) 
Fazendo o somatório de momentos no CG da armadura As: 
(+ ↺) ΣM3 = 0 
∴ Md = Mk ∙ γf = Rc ∙ (d - 
y
2
) + R's ∙ (d - d
') 
Sabendo-se que: 
(d - 
y
2
) = d (1 - 
y
 2d
) 
Tem-se: 
 Md = Rc ∙ d ∙ (1 - 
y
2d
) + R's ∙ (d - d') (2) 
 
As resultantes no concreto (Rc), Figura 5.9, e nas armaduras (Rs e R's) são dadas 
por: 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 
5.9 
 
Figura 5.9 – Resultante no concreto (Rc) 
Rc = bw ∙ y ∙ σcd (3) 
Rs = As ∙ σs (4) 
R's = A's ∙ σ's (5) 
Para seções retangulares de largura bw, tem-se duas situações possíveis de 
dimensionamento, indicadas a seguir. 
5.4.1 Concretos C20 a C50 
Como foi visto no item 5.2, para classes de concreto C20 a C50: 
 λ = 0,8 
 αc = 0,85 
Assim, a equação 3 fica: 
c w cd w c cd w cdR = b y σ = b λ x α f = b 0,8 x 0,85 f         
 
c w cdR = 0,68 b x f   
Multiplicando e dividindo o segundo membro por d, tem-se: 
c w cd
d
R = 0,68 b x f
d
   
 
Fazendo 
x
x
β = 
d
 ,tem-se: 
c w x cdR = 0,68 b d β f   
 
 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 
5.10 
Substituindo a equação acima, a (4) e a (5) nas equações 1 e 2, resulta: 
w x cd s' s' s s0,68 b d β f + A σ - A σ =0     
 (6) 
2
d w x cd s' s'
0,8 x
M = 0,68 b d β f 1 - +A σ (d - d')
2 d
 
       
 
 
 2d w x cd x s' s'M = 0,68 b d β f 1 - 0,4 β + A σ (d - d')       
 (7) 
5.4.2 Concretos C55 a C90 
O equacionamento é igual ao anterior (item 5.4.1), com 
c w cd w c cdR = b y σ = b λ x α f     
 
Para esses concretos, λ e αc recebem outros valores, calculados de acordo com as 
seguintes equações (item 5.2): 
 
 ckλ = 0,8 - f - 50 400
 
 
   c ckα = 0,85 1,0 - f - 50 200
 
 (9) 
Para todas as situações de dimensionamento da Figura 5.8, podem ser escritas as 
seguintes equações de compatibilidade de deformações: 
c s s'ε ε ε = = 
x d - x x - d'
 
Sendo 
x
x
β = 
d
 e multiplicando-se tudo por 
d
d
, obtém-se:c s s'
x x x
ε ε ε
 = = 
β 1 - β β - (d'/d)
 
A partir dessas igualdades, pode ser observado que: 
c
x
c s
ε
β = 
ε + ε
 (10) 
x
s c
x
(1 - β )
ε = ε
β

 (11) 
' x
s c
x
β - (d'/d)
ε = ε
β

 (12) 
 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 
5.11 
5.5 EXEMPLOS 
A seguir apresentam-se alguns exemplos de cálculo de flexão simples em seção 
retangular. Todos os exemplos aqui resolvidos consideram concreto C25. 
5.5.1 Exemplo 1 
Cálculo da altura útil (d) e da área de aço (As). 
a) Dados 
Concreto C25, aço CA-50, b = 30 cm, d’ = 4 cm, Mk = 206 kN.m, x= x23 
𝛽𝑥23 =
𝜀𝑐
(𝜀𝑐 + 𝜀𝑠)
=
𝜀𝑐𝑢
(𝜀𝑐𝑢 + 10‰)
=
3,5
(3,5 + 10)
= 0,259 
b) Equações de equilíbrio com A’s = 0 
0,68 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 ∙ 𝛽𝑥 ∙ 𝑓𝑐𝑑 − 𝐴𝑠 ∙ 𝜎𝑠 = 0 (6𝑎) 
𝑀𝑑 = 0,68 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
2 ∙ 𝛽𝑥 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ (1 − 0,4𝛽𝑥) (7𝑎) 
c) Cálculo de d (equação 7a) 
1,4 ∙ 206 ∙ 100 = 0,68 ∙ 30 ∙ 𝑑2 ∙ 0,259 ∙
2,5
1,4
∙ (1 − 0,4 ∙ 0,259) 
𝑑 = √3409,98 
𝑑 = 58,4 𝑐𝑚 
ℎ = 58,4 + 4 = 62,40 
d) Cálculo de As (equação 6a) 
0,68 ∙ 30 ∙ 58,40 ∙ 0,259 ∙
2,5
1,4
− 𝐴𝑠 ∙
50
1,15
= 0 
𝐴𝑠 = 12,67 𝑐𝑚
2 (4  20 mm) 
 
5.5.2 Exemplo 2 
Idem exemplo anterior com x = 0,45, segundo item 14.6.4.3 da NBR 6118:2014. 
 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 
5.12 
a) Cálculo de d (equação 7a) 
1,4 ∙ 206 ∙ 100 = 0,68 ∙ 30 ∙ 𝑑2 ∙ 0,45 ∙
2,5
1,4
∙ (1 − 0,4 ∙ 0,45) 
𝑑 = √2145,49 
𝑑 = 46,32 𝑐𝑚 
ℎ = 46,32 + 4 = 50,32 cm 
b) Cálculo de As (equação 6a) 
0,68 ∙ 30 ∙ 46,32 ∙ 0,45 ∙
2,5
1,4
− 𝐴𝑠 ∙
50
1,15
= 0 
759,317 − 𝐴𝑠 ∙ 43,478 = 0 
𝐴𝑠 = 17,46 𝑐𝑚
2 (6  20 mm) 
 
O mesmo exemplo com x = x34. 
 
a) Cálculo de βx34 
𝛽𝑥34 =
𝜀𝑐
(𝜀𝑐 + 𝜀𝑠)
=
𝜀𝑐𝑢
(𝜀𝑐𝑢 + 𝜀𝑦𝑑)
=
3,5
(3,5 + 𝜀𝑦𝑑)
 
𝜀𝑦𝑑 =
𝑓𝑦𝑑
𝐸𝑠
=
50 1,15⁄
21000
= 2,07
‰
 
𝛽𝑥34 =
3,5
(3,5 + 𝜀𝑦𝑑)
=
3,5
(3,5 + 2,07)
= 0,628 
b) Cálculo de d (equação 7a) 
1,4 ∙ 206 ∙ 100 = 0,68 ∙ 30 ∙ 𝑑2 ∙ 0,628 ∙
2,5
1,4
∙ (1 − 0,4 ∙ 0,628) 
𝑑 = √1683,56 
𝑑 = 41 𝑐𝑚 
ℎ = 41 + 4 = 45 
c) Cálculo de As (equação 6a) 
0,68 ∙ 30 ∙ 41 ∙ 0,628 ∙
2,5
1,4
− 𝐴𝑠 ∙
50
1,15
= 0 
𝐴𝑠 = 21,57 𝑐𝑚
2 (7  20 mm) 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 
5.13 
5.5.3 Exemplo 3 
Verificar o domínio em que se encontra a seção. Se houver solução com armadura 
simples, calcular a área de aço (As). 
a) Dados 
Concreto C25, Aço CA-50, b = 30 cm, h = 45 cm, d = 41 cm, Mk = 247 kN.m. 
b) Cálculo de x 
Na equação (7a), supondo armadura simples: 
𝑀𝑑 = 0,68 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
2 ∙ 𝛽𝑥 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ (1 − 0,4𝛽𝑥) 
1,4 ∙ 247 ∙ 100 = 0,68 ∙ 30 ∙ 412 ∙ 𝛽𝑥 ∙
2,5
1,4
∙ (1 − 0,4𝛽𝑥) 
34580 = 61236,43 ∙ 𝛽𝑥 ∙ (1 − 0,4𝛽𝑥) 
34580
61236,43
= 𝛽𝑥 ∙ (1 − 0,4𝛽𝑥) 
0,565 = 𝛽𝑥 − 0,4𝛽𝑥
2
 
0,4𝛽𝑥
2 − 𝛽𝑥 + 0,565 = 0 
Resulta: 
𝛽𝑥1 = 1,637 (𝑥 > 𝑑, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑎𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜) 
𝛽𝑥2 = 0,863 (0,628 < 𝛽𝑥 < 1, 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑜𝑚í𝑛𝑖𝑜 4) 
 
No domínio 4 é possível armadura simples, mas com 𝜎𝑠𝑑 = 𝐸𝑠 ∙ 𝜀𝑠, pois o aço ainda 
não chegou no patamar de escoamento, diferentemente dos domínios 2 e 3 em que 
𝜎𝑠𝑑 = 𝑓𝑦𝑑. Pode-se observar isso na Figura 5.10. 
 
Figura 5.10 – Domínios de deformação 
S

S
1%
f yd
 yd
TR
AÇ
ÃO
4 3
2DOMÍNIOS
ES
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 
5.14 

c
s
x
d
=3,5
c) Cálculo de s 
Para o cálculo de 𝜀𝑠, considera-se semelhança de triângulos: 
𝜀𝑠
𝑑 − 𝑥
=
𝜀𝑐
𝑥
 𝜀𝑠 =
𝜀𝑐 ∙ (1 − 𝛽𝑥)
𝛽𝑥
 
𝜀𝑠 ∙ x = 𝜀𝑐 ∙ (d − x) 𝜀𝑠 =
3,5 ∙ (1 − 0,863)
0,863
 
𝜀𝑠 =
𝜀𝑐 ∙ (d − x)
x
 𝜀𝑠 = 0,556 ‰ 
𝜀𝑠 =
𝜀𝑐 ∙ (
d
d −
x
d)
x
d
 𝜀𝑠 = 0,556 ∙ 10
−3 
d) Cálculo de s 
𝜎𝑠 = 𝐸𝑠 ∙ 𝜀𝑠 = 21 ∙ 10
3 ∙ 0,556 ∙ 10−3 = 11,676 𝑘𝑁/𝑚2 
 
e) Cálculo de As (equação 6a) 
𝐴𝑠 ∙ 𝜎𝑠 = 0,68 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 ∙ 𝛽𝑥 ∙ 𝑓𝑐𝑑 
𝐴𝑠 ∙ 11,676 = 0,68 ∙ 30 ∙ 41 ∙ 0,863 ∙
2,5
1,4
 
𝐴𝑠 ∙ 11,676 = 1288,95 
𝐴𝑠 = 110,39 𝑐𝑚
2 (23  25 mm em cinco camadas; não é solução viável) 
f) Conclusão 
Mesmo a seção estando no domínio 4, há solução com armadura simples, porém 
resulta uma armadura exageradamente grande. Há solução viável com armadura 
dupla. 
5.5.4 Exemplo 4 
Idem exemplo anterior, com Mk = 309 kN.m 
a) Cálculo de x (equação 7a) supondo amadura simples 
𝑀𝑑 = 0,68 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
2 ∙ 𝛽𝑥 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ (1 − 0,4𝛽𝑥) 
1,4 ∙ 309 ∙ 100 = 0,68 ∙ 30 ∙ 412 ∙ 𝛽𝑥 ∙
2,5
1,4
∙ (1 − 0,4𝛽𝑥) 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 
5.15 
43120 = 61236,43 ∙ 𝛽𝑥 ∙ (1 − 0,4𝛽𝑥) 
43120
61236,43
= 𝛽𝑥 ∙ (1 − 0,4𝛽𝑥) 
0,704 = 𝛽𝑥 − 0,4𝛽𝑥
2
 
0,4𝛽𝑥
2 − 𝛽𝑥 + 0,704 = 0 
∆= 𝑏2 − 4 ∙ 𝑎 ∙ 𝑐 
∆= (−1)2 − 4 ∙ 0,4 ∙ 0,704 
∆= −0,13 < 0 
b) Conclusão 
Não há solução para armadura simples. Neste caso só é possível armadura dupla 
(exemplo 5). 
 
5.5.5 Exemplo 5 
Solução do exemplo anterior com armadura dupla. 
 
a) Dados 
Mk = 309 kN.m, x = x34 = 0,45, d’ = 4 cm 
b) Cálculo de A’s (Equação 7) 
𝑀𝑑 = 0,68 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑
2 ∙ 𝛽𝑥 ∙ 𝑓𝑐𝑑 ∙ (1 − 0,4𝛽𝑥) + 𝐴´𝑠 ∙ 𝜎´𝑠 ∙ (𝑑 − 𝑑´) 
1,4 ∙ 30900 = 0,68 ∙ 30 ∙ 412 ∙ 0,45 ∙
2,5
1,4
∙ (1 − 0,4 ∙ 0,45) + 𝐴´𝑠 ∙
50
1,15
(41 − 4) 
43260 = 22596,24 + 𝐴´𝑠 ∙ 1608,70 
𝐴´𝑠 =
20663,76
1608,70
 
𝐴´𝑠 = 12,85 𝑐𝑚
2 
c) Cálculo de As (equação 6) 
0,68 ∙ 𝑏𝑤 ∙ 𝑑 ∙ 𝛽𝑥 ∙ 𝑓𝑐𝑑 + 𝐴´𝑠 ∙ 𝜎′𝑠 − 𝐴𝑠 ∙ 𝜎𝑠 = 0 
0,68 ∙ 30 ∙ 41 ∙ 0,45 ∙
2,5
1,4
+ 12,85 ∙
50
1,15
− 𝐴𝑠 ∙
50
1,15
= 0 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 
5.16 
672,107 + 558,696 − 𝐴𝑠 ∙ 43,478 = 0 
1230,803 − 𝐴𝑠 ∙ 43,478 = 0 
𝐴𝑠 =
1230,803
43,478
 
𝐴𝑠 = 28,31 𝑐𝑚
2 
d) Armaduras possíveis 
As : 9 Ø 20 (Ase = 28,27 cm²) 2 camadas 
A’s : 7 Ø 16 (Ase = 14,07 cm²) 2 camadas 
 
QUESTIONÁRIO 
1) O que é flexão pura? 
2) O que se entende por perfeita aderência? 
3) Em que situação é desprezada a resistência do concreto à tração? 
4) Qual a condição para que seja válida a hipótese de manutenção da forma plana 
da seção até o ELU? 
5) Em consequência dessa hipótese, o que se pode concluir sobre as deformações 
específicas longitudinais da seção? 
6) No diagrama retangular de tensões no concreto no ELU, qual a altura desse 
diagrama e qual o valor da tensão? 
7) Para mesmo diagrama retangular, em que condições deve ser adotado 
cd = 0,80 fcd? 
8) Na flexão simples, qual o intervalo de variação da linha neutra? 
9) Quais os domínios possíveis? 
10) Como ocorre a ruína no domínio 2? 
11) Qual o valor da deformação específica do aço? E da tensão? 
12) Qual a deformação no concreto? 
13) Há bom aproveitamento do concreto e do aço no domínio 2? Explicar. 
14) Qual o intervalo de variação da LN no domínio 2? 
15) Como se determina x23? 
16) Como ocorre a ruína no domínio 3? 
17) Qual o valorda deformação do concreto? E da tensão? 
18) Qual a variação da deformação na armadura tracionada? 
19) Qual o valor da tensão nessa armadura? 
20) Como é o desempenho do concreto e do aço nos domínios 3? 
21) Qual a variação da LN no domínio 3? Como se determina x34? 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: equações 
5.17 
22) Como ocorre a ruína no domínio 4? 
23) Quais os valores c e de s no domínio 4? 
24) Qual o intervalo de variação da linha neutra no domínio 4? 
25) Como é o desempenho do concreto e do aço no domínio 4? 
26) Quais as alternativas para se evitar o dimensionamento no domínio 4? 
27) Fazer um esquema de uma seção retangular com armadura simples, submetida 
a Md, indicando as dimensões da seção e as posições dos esforços Rc e Rs. 
28) Desenhar o diagrama de deformações da seção com armadura simples e 
apresentar as equações de compatibilidade de deformações. 
29) Para diagrama retangular, indicar o valor de Rc para seção de largura b e altura 
útil d. 
30) Para armadura simples, apresentar as equações de equilíbrio de forças e de 
momentos em relação ao centro de gravidade da armadura tracionada e em 
relação ao ponto de aplicação da resultante Rc. 
 
REFERÊNCIA 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 6118:2014: 
Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro. 
 
 
 
 
 
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: TABELAS – CAPÍTULO 6 
Libânio M. Pinheiro, Cassiane D. Muzardo, Sandro P. Santos 
 19 abril 2012 
 
 FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: TABELAS 
O emprego de tabelas facilita muito o cálculo de flexão simples em seção 
retangular. 
Neste capítulo será revisto o equacionamento na flexão simples, com o 
objetivo de mostrar a obtenção dos coeficientes utilizados nas tabelas, além de 
mostrar o uso dessas tabelas. 
6.1 EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO 
Para o dimensionamento de peças na flexão simples, considera-se que as 
barras que constituem a armadura estão agrupadas, e se encontram concentradas 
no centro de gravidade dessas barras. 
Do equilíbrio de forças e de momentos (Figura 6.1), tem-se que: 
Rc + R’s – Rs = 0 
Md = f . Mk = Rc . (d - y/2) + R’s . (d - d’) 
 
 = 3,5‰ cd
s
s
R'
R
M
d'
A
A'
b
d
h
x
y = 0,8xs
d
s
s
c
s
'
c
 
Figura 6.1 - Resistências e deformações na seção 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: tabelas 
6.2 
As resultantes no concreto e nas armaduras podem ser dadas por: 
Rc = b y cd = b . 0,8 x . 0,85 fcd = 0,68 b d x fcd 
Rs = As s 
R’s = A’s ’s 
Do diagrama retangular de tensão no concreto, tem-se que: 
y = 0,8x  d – y/2 = d (1 - 0,8x/2d) = d (1 - 0,4 x) 
Substituindo-se esses valores nas equações de equilíbrio, obtêm-se: 
0,68 b d x fcd + A’s ’s - As s = 0 (1) 
Md = 0,68 b d² x fcd (1 - 0,4 x) + A’s ’s (d – d’) (2) 
6.1.1 Armadura Simples 
No caso de armadura simples, considera-se A’s = 0; portanto, as equações 
(1) e (2) se reduzem a: 
0,68 b d x fcd - As s = 0 (1’) 
Md = 0,68 bd² x fcd (1 - 0,4 x) (2’) 
6.1.2 Armadura Dupla 
Para armadura dupla tem-se A’s  0, sendo válidas as equações (1) e (2). 
Quando, por razões construtivas, se tem uma peça cuja seção não pode ser 
aumentada, e seu dimensionamento não é possível nos domínios 2 e 3, resultando 
portanto no domínio 4, torna-se necessária a utilização de armadura dupla, uma 
parte da qual se posiciona na zona tracionada, e outra parte, na zona comprimida 
da peça, ajudando o concreto a resistir compressão. O objetivo da armadura dupla, 
neste caso, e fazer com que a seção permaneça no domínio 3. 
Portanto, para o cálculo dessa armadura, limita-se o valor de x em x34 e 
calcula-se o momento fletor máximo (M1) que a peça resistiria com armadura 
simples. Com este valor, calcula-se a correspondente área de aço tracionado (As1). 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: tabelas 
6.3 
Como este valor do momento (M1) é ultrapassado, calcula-se uma seção 
fictícia com armadura dupla e sem concreto, parte comprimida e parte tracionada, 
para resistir o restante do momento (M2), obtendo-se a parcela As2 da armadura 
tracionada e a armadura A’s comprimida. No final, somam-se as duas armaduras 
tracionadas, calculadas separadamente. 
6.2 EQUAÇÕES DE COMPATIBILIDADE 
Para a resolução das equações de equilíbrio de forças e de momentos, 
necessita-se de equações que relacionem a posição da linha neutra e as 
deformações no aço e no concreto. Tais relações podem ser obtidas com base na 
Figura 6.2. 
c
'
s
d
x
d'
s
 
Figura 6.2 – Deformações no concreto e no aço 
)'dx(
'
)xd(x
ssc


 
)d/'d(
'
)1( x
s
x
s
x
c



 (3) 
sc
c
x 
 (3a) 
x
xc
s
)1(

 (3b) 
x
xc
s
)d/'d(' 
 (3c) 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: tabelas 
6.4 
6.3 TABELAS PARA ARMADURA SIMPLES 
Para facilitar o cálculo feito manualmente, pode-se desenvolver tabelas com 
coeficientes que reduzirão o tempo gasto no dimensionamento. Esses coeficientes 
serão vistos a seguir. 
6.3.1 Coeficiente kc 
Por definição: 
d
2
c M
bdk  
Da equação (2’), tem-se que: 
)4,01(68,0
12
xcdxd
c fM
bdk   
Portanto, kc = f (x, fcd), sendo fcd = fck / c 
6.3.2 Coeficiente ks 
Este coeficiente é definido pela expressão: 
d
s
s M
dAk  
Da equação (1’) obtém-se que: 0,68 bd x fcd = As s. 
Substituindo na equação (2’), tem-se: 
Md = As  s d (1 – 0,4x) 
A partir desta equação, define-se o coeficiente ks : 
)4,01(
1
xsd
s
s M
dAk   
Portanto, ks = f (x, s); nos domínios 2 e 3, tem-se s = fyd . 
Os valores de kc e de ks encontram-se na Tabela 1.1 (PINHEIRO, 2004). 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: tabelas 
6.5 
6.4 TABELAS PARA ARMADURA DUPLA 
Assim como para armadura simples, também foram desenvolvidas tabelas 
para facilitar o cálculo de seções com armadura dupla. 
De acordo com a decomposição da seção (figura 6.3), tem-se: 
d'
b
A A
A'
M = M + M1 2
 +
Seção 1 Seção 2
dh d - d'
A
A's
s
d
s1 s2
s
 
Figura 6.3 – Decomposição da seção para cálculo com armadura dupla 
Seção 1: Resiste ao momento máximo com armadura simples. 
M1 = b d² / kclim, em que kclim é o valor de kc para x = x34 
As1 = kslim M1 / d 
Seção 2: Seção sem concreto que resiste ao momento restante. 
M2 = Md – M1 
M2 = As2 fyd (d – d’) = A’s ’s (d – d’) 
6.4.1 Coeficiente ks2 
Da equação de equilíbrio da seção 2, resulta: 
d'd
M
f
1A 2
yd
s2  
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: tabelas 
6.6 
Fazendo 
yd
s2 f
1k  , tem-se: 
d'd
MkA 2s2s2  , com ks2 = f (fyd) 
6.4.2 Coeficiente k’s 
De modo análogo ao do item anterior, obtém-se: 
'dd
M
'
1'A 2
s
s  
Fazendo 
s
s '
1k'  , tem-se: 
'dd
M'k'A 2ss  , com k’s = f (’s) = f1 (fyd, ’s) = f2 (fyd, d’/h) 
6.4.3 Armadura Total 
Os coeficientes ks2 e k’s podem ser obtidos na Tabela 1.2 (PINHEIRO, 2004). 
Armadura tracionada: As = As1 + As2 
Armadura comprimida: A’s 
6.5 EXEMPLOS 
Apresentam-se alguns exemplos sobre o cálculo de flexão simples. 
6.5.1 EXEMPLO 1 
Calcular a área de aço (As) para uma seção retangular.Dados: 
Concreto C25, aço CA-50, b = 30 cm, h = 45 cm, Mk = 170 kN.m, 
h – d = 4 cm 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: tabelas 
6.7 
Solução: 
d = 45 – 4 = 41 cm 
kc = bd² = 30 . 41² _ = 2,1  ks = 0,029 - Tabela 1.1 (PINHEIRO, 2004) 
Md 1,4 . 17000 
ks = As 
 Md 
As = 0,029 . 1,4 . 17000 / 41 As = 16,83 cm² 
6.5.2 EXEMPLO 2 
Mesma seção do exemplo anterior, para Mk = 309 kN.m e armadura dupla. 
Dados: d’ = 4 cm, x = x34 
cmkN
k
bdM
c
.28017
8,1
4130 2
lim
2
1  (Tabela 1.1, PINHEIRO, 2004) 
21
1 18,2141
28017031,0 cm
d
MkA ss  
M2 = Md – M1 = 1,4 . 30900 – 28017 = 15243 kN.cm 
22
22 48,9441
15243
023,0
'
cm
dd
M
kA ss  (Tabela 1.2, PINHEIRO, 2004) 
248,9'023,0'09,0
45
4' cmsAk
h
d
s  (Tabela 1.2, PINHEIRO, 2004) 
As = As1 + As2 = 21,18 + 9,48 = 30,66 cm² 
As : 6 Ø 25 (Ase = 30 cm²) 2 camadas 
 8 Ø 22,2 (Ase = 31,04 cm²) 2 camadas 
A’s : 2 Ø 25 (Ase = 10 cm²) 
 3 Ø 20 (Ase = 9,45 cm²) 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: tabelas 
6.8 
 
Solução adotada (Figura 8.4): 
 
Figura 8.4 – Detalhamento da seção retangular 
QUESTIONÁRIO 
1) Quais as equações de equilíbrio para armadura simples em seção retangular? 
2) Como se determinam as expressões de kc e ks para elaboração das tabelas? 
3) Como se decompõe uma seção retangular com armadura dupla para cálculo 
usando tabelas? Qual o significado das seções 1 e 2? 
4) Como se determina o momento na seção 1 e a correspondente armadura As1? 
5) Como se calcula M2? 
6) Como são obtidos os valores de ks2 e As2? 
7) E de k’s e A’s? 
8) Como se obtém a armadura total, tracionada e comprimida? 
 
REFERÊNCIA 
PINHEIRO, L. M. (2004). Tabelas gerais. Disponíveis no site: 
www.set.eesc.usp.br/mdidatico/concreto. Acesso em 19 abril 2012. 
 
 
FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: SEÇÃO T – CAPÍTULO 7 
Libânio M. Pinheiro, Cassiane D. Muzardo, Sandro P. Santos. 
17 de abril de 2012 
 
 FLEXÃO SIMPLES NA RUÍNA: SEÇÃO T 
7.1 SEÇÃO T 
Até agora, considerou-se o cálculo de seções transversais de vigas isoladas 
com seção retangular, mas nem sempre é isso que acontece na prática, pois em 
uma construção podem ocorrer lajes descarregando em vigas (Figura 7.1). Portanto, 
há um conjunto laje-viga resistindo aos esforços. Quando a laje é do tipo pré-
moldada, a seção é realmente retangular. 
 
 
 
Figura 7.1 – Piso de um edifício comum – Laje apoiando em vigas 
7.2 Ocorrência 
Esse tipo de seção ocorre em vigas de pavimentos de edifícios comuns, com 
lajes maciças, ou com lajes nervuradas com a linha neutra passando pela mesa, em 
vigas de pontes (Figura 7.2), entre outras peças. 
 
 
 
Figura 7.2 – Seção de uma ponte 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: seção T 
7.2 
7.3 Largura Colaborante 
No cálculo de viga como seção T, deve-se definir qual a largura colaborante 
da laje que efetivamente está contribuindo para absorver os esforços de 
compressão. 
De acordo com a NBR 6118:2007, a largura colaborante bf será dada pela 
largura da viga bw acrescida de no máximo 10% da distância “a” entre pontos de 
momento fletor nulo, para cada lado da viga em que houver laje colaborante. 
A distância “a” pode ser estimada em função do comprimento L do tramo 
considerado, como se apresenta a seguir: 
 viga simplesmente apoiada ............................................................. a = 1,00 L 
 tramo com momento em uma só extremidade ................................. a = 0,75 L 
 tramo com momentos nas duas extremidades ................................. a = 0,60 L 
 tramo em balanço ............................................................................. a = 2,00 L 
Alternativamente o cálculo da distância “a” pode ser feito ou verificado 
mediante exame dos diagramas de momentos fletores na estrutura. 
Além disso, deverão ser respeitados os limites b1 e b3 conforme indicado na 
Figura 7.3. 
 bw é a largura real da nervura; 
 ba é a largura da nervura fictícia obtida aumentando-se a largura real para 
cada lado de valor igual ao do menor cateto do triângulo da mísula 
correspondente; 
 b2 é a distância entre as faces das nervuras fictícias sucessivas. 
Quando a laje apresentar aberturas ou interrupções na região da mesa 
colaborante, esta mesa só poderá ser considerada de acordo com o que se 
apresenta na Figura 7.4. 
 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: seção T 
7.3 


a10,0
b5,0
b 21 

a10,0
b
b 43 (NBR 6118:2007) 
 
bf
bw
b4 b2
b3 b1 b1
bw
ba
 c
 c
 
 
bf
b3 bw b1
hf
 
 
Figura 7.3 - Largura de mesa colaborante 
 
 
 
bf 
1
2
1
2
abertura
bef
 
 
Figura 7.4 - Largura efetiva com abertura 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: seção T 
7.4 
7.4 Verificação do Comportamento (Retangular ou T Verdadeira) 
Para verificar se a seção da viga se comporta como seção T (Figura 7.5), é 
preciso analisar a profundidade da altura y do diagrama retangular, em relação à 
altura hf do flange (espessura da laje). Caso y seja menor ou igual a hf, a seção 
deverá ser calculada como retangular de largura bf; caso contrário, ou seja, se o 
valor de y for superior a hf, a seção deverá ser calculada como seção T verdadeira. 
O procedimento de cálculo é indicado a seguir. 
Calcula-se xf = hf / (0,8d) 
Supondo seção retangular de largura bf, calcula-se kc. 
kc = bf d² / Md, entrando na tabela 1.1 (PINHEIRO, 2004), obtém-se x. 
Se x  xf  cálculo como seção retangular com largura bf, 
Se x > xf  cálculo como seção T verdadeira. 
y h
dh
b w
b f
As
f
 
Figura 7.5 – Seção T 
7.5 Cálculo como Seção Retangular 
Procede-se o cálculo normal de uma seção retangular de largura igual a bf 
(Figura 7.6). Utiliza-se a tabela com o x calculado para verificação do 
comportamento, pois se partiu da hipótese que a seção era retangular. Com este 
valor de x, obtém-se o valor de ks e calcula-se a área de aço com a equação: 
d
Mk
A dss  
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: seção T 
7.5 
y

h y = 0,8x
dh
cd
b w
b f
As
f
b f
 
Figura 7.6 – Seção T “falsa” ou retangular 
7.6 Cálculo como Seção T Verdadeira 
Para o cálculo como seção T verdadeira, a hipótese de que a seção era 
retangular não foi confirmada, portanto procede-se da seguinte maneira (Figura 7.7). 
y

y
+
M = M + M0 
h
b f b - bf w
hf hf
b w
b w
d 
Figura 7.7 – Seção T verdadeira 
Calcula-se normalmente o momento resistente M0 de uma seção de concreto 
de largura bf - bw, altura h e x = xf. Com esse valor de M0, calcula-se a área de aço 
correspondente. Com a seção de concreto da nervura (bw x h) e com a parcela de 
momento que ainda falta para completar o momento solicitante, M = Md – M0, 
calcula-se como uma seção retangular comum (Figura 7.7), podendo ser esta com 
armadura simples ou dupla. A área de aço total será a soma das armaduras 
calculadas separadamente para cada seção. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: seção T 
7.6 
Para garantir a solidariedade entre a laje e a nervura, deverá existir nessa 
ligação uma armadura transversal com área mínima de 1,5 cm²/m. 
7.7 EXEMPLOS 
A seguir apresentam-se alguns exemplosenvolvendo o cálculo de flexão 
simples em seção T. 
7.7.1 EXEMPLO 1 
Calcular a área de aço para uma seção T com os seguintes dados: 
Concreto classe C25, Aço CA-50 
bw = 30 cm, bf = 80 cm 
h = 45 cm, hf = 10 cm 
Mk = 315 kN.m 
h – d = 3 cm 
Seria melhor adotar h – d = 4 cm, por conta do cobrimento da armadura. 
Solução: 
d = 45 – 3 = 42 cm 
30,0
428,0
10
d8,0
hf
xf  
2,3
315004,1
4280
M
db
k
2
d
2
f
c 
  x = 0,29 
x = 0,29 < xf  T “Falsa” (Cálculo como seção retangular de largura bf) 
ks = 0,026 – Tabela 1.1 (PINHEIRO, 2004) 
2d
ss cm30,2742
315004,1026,0
d
M
kA  
As: 6 Ø 25 (30 cm²) 
 7 Ø 22,2 (27,16 cm²) 2 camadas 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: seção T 
7.7 
7.7.2 EXEMPLO 2 
Calcular a área de aço para a mesma seção do exemplo anterior, para um 
momento Mk = 378 kN.m (20% maior). 
a) Verificação do comportamento 
30,0
428,0
10
d8,0
hf
xf   kcf = 3,1 e ksf = 0,026 
7,2
378004,1
4280
M
bdk
2
d
2
c 
  x = 0,36 > xf  T Verdadeira 
b) Flange 
cm.kN28452
1,3
42)3080(
k
bdM
2
cf
2
0 
 
2
0s cm61,1742
28452026,0A  
c) Nervura 
M = Md – M0 = 1,4 x 37800 – 28452 = 24468 kN.cm 
8,1k2,2
24468
4230
M
db
k limc
22
w
c 
  Armadura Simples 
2
s cm31,1642
24468028,0A  
d) Total 
As = 17,61 + 16,31 = 33,92cm² 
As  7 Ø 25 (35 cm²) 2 na 2ª camada 
 A solução adotada é indicada na Figura 7.8, cujo detalhamento pode ser 
modificado, por exemplo, adotando-se estribos fechados na nervura. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Flexão simples na ruína: seção T 
7.8 
 
Figura 7.8 – Detalhamento da seção T 
QUESTIONÁRIO 
1) Em que tipos de estruturas podem ocorrer seção T? 
2) O que significa largura colaborante? 
3) Como se calcula a largura colaborante, de acordo com a NBR 6118:2007? 
4) Quais os tipos de comportamento de uma seção T? Em que situações ocorrem? 
5) Qual o significado de xf? 
6) Como se faz o cálculo de uma seção T que se comporta como retangular? 
7) Como se decompõe uma seção T verdadeira para cálculo usando tabelas? 
8) Como se determina o momento Mo, atuante na parte da seção que contém o 
flange? Qual a posição admitida para a linha neutra no cálculo de As0? 
9) Qual o procedimento para cálculo da parte da seção relativa à nervura? 
10) Como se garante a solidariedade entre a laje e a nervura? 
REFERÊNCIAS 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 6118:2007: 
Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro. 
PINHEIRO, L. M. (2004). Tabelas gerais. Disponíveis no site: 
www.set.eesc.usp.br/mdidatico/concreto. Acesso em 19 abril 2012. 
1 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO – CAPÍTULO 8 
Libânio Miranda Pinheiro; Ewerton Costa Amaral 
2 maio 2012 (Revisão 18 maio 2017) 
 
FLEXÃO COMPOSTA NORMAL 
 
1 Introdução 
Flexão corresponde à atuação de um momento fletor M. Ela é 
denominada Flexão Normal quanto ocorre no plano de um dos eixos principais 
de inércia de uma seção transversal. Nos casos mais comuns, de seção 
simétrica, essa flexão atua em um dos planos de simetria da seção. Nos casos 
de atuação conjunta de momento fletor M e força normal N, neste texto será 
utilizada a denominação Flexão Composta num sentido mais amplo. A rigor, ela 
deveria se restringir aos casos em que a linha neutra se encontra dentro da 
seção, portanto com predominância de momento fletor. 
Nos casos de armadura bilateral, com armaduras dispostas ao longo de 
faces opostas perpendiculares ao plano de ação do momento fletor, a flexão 
composta também pode ser considerada como relativa aos casos em que uma 
armadura é tracionada e a outra comprimida, ou seja, com a posição da linha 
neutra variando entre d’ e d, correspondendo aos domínios de deformação 2b 
(x > d'), 3 e 4. 
Para a reta a e os domínios 1 e 2a (x < d'), portanto com a linha neutra no 
intervalo entre -  e d', as denominações mais adequadas seriam Tração 
Excêntrica ou Flexo-tração. Analogamente, para os domínios 4a, 5 e reta b, 
em que x > d (x > 1), as respectivas denominações seriam Compressão 
Excêntrica ou Flexo-compressão. 
Neste texto, serão estudados os casos de armadura bilateral abrangendo 
todos os domínios, desde a reta a até a reta b, pois a subdivisão indicada é 
decorrente apenas da variação do sentido e da magnitude e dos esforços 
solicitantes M e N, que atuam simultaneamente em uma determinada seção. 
Assim, os seguintes casos serão abordados: 
 Duas armaduras tracionadas (reta a, domínios 1 e 2a, com x < d´) 
 Uma armadura tracionada e outra comprimida (Domínios 2b, 3 e 4) 
 Duas armaduras comprimidas (Domínios 4a, 5 e reta b) 
A notação empregada está indicada na figura 1. 
2 
 
 
Figura 1: Notação empregada na flexão normal composta 
 
2 Hipóteses básicas 
As hipóteses básicas dão as indicadas pela NBR 6118:2007: 
a) As seções transversais mantêm-se planas após a deformação; 
b) A deformação das barras aderentes, sob tração ou compressão, é a 
mesma do concreto em seu entorno; 
c) As tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem 
ser desprezadas; 
d) As seções transversais mantêm-se planas após a deformação; 
e) A deformação das barras aderentes, sob tração ou compressão, é a 
mesma do concreto em seu entorno; 
f) As tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem 
ser desprezadas; 
g) A distribuição de tensões no concreto é de acordo com o diagrama 
retangular de altura 0,8 x, sendo x é a posição da linha, e a tensão é 
0,85 fcd, para seções retangulares, como mostra a figura 2; 
 
 
Figura 2: Diagrama parábola-retângulo e diagrama retangular 
3 
 
h) A tensão nas armaduras é obtida a partir do diagrama tensão-
deformação do aço (diagrama bilinear); 
i) O estado limite último é caracterizado quando a distribuição das 
deformações na seção transversal encontra-se em um dos domínios 
definidos na figura 3. 
 
Figura 3: Domínios de deformação 
 
3 Duas armaduras tracionadas 
Têm-se duas armaduras tracionadas quando a linha neutra varia de 
-  até d', podendo ocorrer, portanto, reta a, domínios 1 e 2a (Figura 4). 
 
Figura 4: Duas armaduras tracionadas 
 
Esta situação ocorre principalmente em tirantes, embora seja pouco usual 
na engenharia o uso de tirantes de concreto armado. O estado limite último é 
caracterizado pela deformação no aço s1 = 10‰. 
Este estado de deformação é decorrente da solicitação normal de tração 
N apresentar pequena excentricidade. O dimensionamento pode ser feito na 
reta a, ou seja, admitindo tração uniforme. 
4 
 
3.1 Equações de Equilíbrio 
Fazendo o equilíbrio da seção indicada na figura 4, tem-se: 
2s1sd RRN  












 d
2
h
Rd
2
h
ReN 2s1sd
 
Mas: 
yd1s1s fAR  
2s2s2s AR  
Portanto: 
2s2syd1sd AfAN  
  





 d
2
h
AfAM 2s2syd1sd
 
 
3.2 Equações de compatibilidade 
A equação de compatibilidade das deformações é obtida por semelhança 
de triângulos, a partir do diagrama de deformações da figura 4: 
   xdxd
1s2s





 
Portanto: 
 
 xd
xd
1s2s



 
 
3.3 Exemplo 
Seção 20 cm x 60 cm, concreto C25, aço CA-50, Nk = 680 kN (tração), 
Mk = 2720 kN.cm (e = 4 cm), d' = 3 cm (seria melhor considerar d' = 4 cm, por 
conta dos cobrimentos da armadura especificados pela NBR 6118:2007). 
Utilizando as equações de equilíbrio, obtém-se:2s2s1s A
15,1
50
A6804,1 
 












 3
2
60
A
15,1
50
A27204,1 2s2s1s
 
5 
 
Admitindo s2 = fyd, ou seja, situação que inclui tração uniforme na reta a: 
  5,43AA952 2s1s  
  9,1173AA3808 2s1s  
Donde: 
2
1s cm57,12A  
2
2s cm33,9 A  
 
4 Uma armadura tracionada e outra comprimida 
Neste caso, a posição da linha neutra deve estar necessariamente entre 
as armaduras As1 e As2, para que uma esteja tracionada e outra comprimida. 
Portanto, d’ < x < d, correspondendo aos domínios 2b, 3 e 4. Os diagramas de 
deformações e de tensões são mostrados na figura 5. 
 
Figura 5: Uma armadura tracionada e outra comprimida 
 
O que caracteriza o estado limite último é a deformação s1 = 10‰, no 
domínio 2b, e a deformação c = 3,5‰, nos domínios 3 e 4. 
Este estado de deformação é decorrente da solicitação normal N 
apresentar grande excentricidade. Este esforço normal pode ser de tração, 
sendo denominada flexo-tração com grande excentricidade, ou de compressão, 
ocorrendo flexo-compressão com grande excentricidade. 
É o caso de pilares com pequena força normal e grande momento fletor. 
Também pode ocorrer em vigas de edifícios, quando é levada em consideração 
a ação do vento na estrutura, que devido ao efeito de pórtico geram esforços 
normais nas vigas. Esse caso em geral pode ser desprezado, devido à 
pequena intensidade e, também, por ser decorrente de uma ação de curta 
duração, no caso o vento. 
6 
 
Uma situação importante ocorre quando a linha neutra está no limite entre 
os domínios 3 e 4, ou seja, x = x34, pois a armadura As1 está no início do 
patamar de escoamento, garantindo ductilidade na ruína, e o concreto, na fibra 
mais comprimida, está na ruptura, caracterizada por deformação de 3,5‰. 
Quando a linha neutra está próxima da borda superior, pode ser 
adequado adotar As2 = 0, pois as tensões s2 seriam baixas e o equilíbrio da 
seção pode ser garantido apenas pela resultante de compressão no concreto. 
 
4.1 Equações de equilíbrio 
Como o esforço normal pode ser de tração ou de compressão, as 
equações de equilíbrio serão diferentes em cada caso, como apresentado nos 
dois itens seguintes. 
 
4.1.1 Flexo-compressão 
Considerando-se o equilíbrio da seção indicada na figura 5, com força 
normal de compressão, tem-se: 
1s2scd RRRN  


















 d
2
h
Rd
2
h
Rx4,0
2
h
ReN 1s2scd
 
Mas: 
1s1s1s AR  
2s2s2s AR  
Pelo diagrama retangular de tensões no concreto, tem-se: 







d
d
bf85,0x8,0R cdc 
cdxc fdb68,0R  
Portanto: 
2s2s1s1scdxd AAfdb68,0N  
    











 d
2
h
AAx4,0
2
h
fdb68,0M 2s2s1s1scdxd
 
7 
 
4.1.2 Flexo-tração 
Com o equilíbrio da seção da figura 5, para o caso de força normal de 
tração, tem-se: 
 
c2s1sd RRRN  











 




  x4,0
2
h
Rd
2
h
Rd
2
h
ReN c2s1sd
 
Comparando-se os dois casos, verifica-se que a equação de equilíbrio de 
momentos não se altera, e que basta inverter o sinal da normal N na equação 
de equilíbrio de forças na flexo-compressão para obtê-la na flexo-tração. 
 Portanto: 
cdx2s2s1s1sd fdb68,0AAN  
    










  x4,0
2
h
fdb68,0d
2
h
AAeN cdx2s2s1s1sd
 
 
4.2 Equações de compatibilidade 
A partir do diagrama de deformações da figura 5, obtém-se: 
 
    xdxxd
c2s1s 





 
 
Portanto: 
  x
c
x
2s
x
1s
d
d1 







 





 
 
Essas equações são as mesmas para a flexão simples, visto que o estado 
de deformação da seção é o mesmo. 
8 
 
4.3 Exemplo 
 Seção 20 cm x 60 cm, concreto C25, aço CA-50, Nk = 680 kN (tração), 
Mk = 47.600 kN.cm (e = 70 cm), d' = 3 cm (seria melhor considerar d' = 4 cm). 
Admitindo x = x34 = 0,628, as deformações nas armaduras são iguais ou 
maiores que yd = 2,07‰, como mostra a figura 6, e, consequentemente, 
s1 = s2 = fyd . 
 
 
Figura 6: Diagrama de deformações para uma armadura tracionada e outra 
comprimida 
 
Assim, tem-se: 
  33,8695,43AA952 2s1s  
  5,136325,1174AA66640 2s1s  
Resolvendo, obtêm-se as armaduras: 
2
1 51,43= cmAs � 
2
2 3,61 = cmAs � 
Se a excentricidade for reduzida para e = 32 cm, por exemplo, a situação 
econômica seria As2 = 0, e as incógnitas do problema passariam a ser As1 e x, 
que resultariam: 
2
1 44,46= cmAs � 
,0130 =�x (x = 0,87 cm) (Respostas a confirmar) 
9 
 
5 Duas armaduras comprimidas 
Para duas armaduras comprimidas, a linha neutra deve estar além da 
armadura inferior, portanto x > d, que corresponde a x > 1. Em função disto, a 
seção pode estar nos domínios 4a, 5 e reta b, conforme mostra a figura 7. 
 
 
Figura 7: Duas armaduras comprimidas 
 
O que caracteriza o estado limite último é a deformação no concreto de 
3,5‰, no domínio 4a, e 2‰ a 3/7 de h, no domínios 5. Na reta b tem-se 
deformação constante igual a 2‰. 
Esta situação é decorrente da força normal de compressão N, apresentar 
pequena excentricidade, caso típico de pilares, principalmente no domínio 5. 
Se a linha neutra estiver próxima da borda inferior, pode resultar As1 = 0, 
pois as tensões s1 seriam baixas. Outra situação econômica consiste em fazer 
o dimensionamento na reta b, ou seja, admitindo-se compressão uniforme. 
Porém, como no caso de tração uniforme, se houver excentricidade, 
resultam armaduras assimétricas, que, na prática usual, não são empregadas 
em pilares. 
 
5.1 Equações de equilíbrio 
Para se fazer o equilíbrio, devem ser analisados dois casos: o primeiro 
quando y < h, e o segundo, quando y ≥ h. Nesta situação a resultante de 
compressão no concreto passa a ser centrada, não produzindo momento. 
 
5.1.1 Equações de equilíbrio para y < h 
2s1scd RRRN  





 




 





 d
2
h
Rd
2
h
Rx4,0
2
h
ReN 1s2scd 
10 
 
Como: 
1s1s1s AR  
2s2s2s AR  
cdxc fdb68,0R  
Resulta: 
2s2s1s1scdxd AAfdb68,0N  
    




 





 d
2
h
AAx4,0
2
h
fdb68,0M 1s1s2s2scdxd 
 
5.1.2 Equações de equilíbrio para y ≥ h 
cdc fhb85,0R  (NÃO PRODUZ MOMENTO) 
2s2s1s1scdd AAfhb85,0N  
  





 d
2
h
AAM 1s1s2s2sd
 
 
5.2 Equações de compatibilidade 
As equações de compatibilidade podem ser determinadas a partir da 
figura 8. Observa-se que as equações são específicas para cada domínio. 
 
 
Figura 8: Diagramas de deformação em cada domínio 
11 
 
Domínio 4 a: %35,0c  
 
    xdxdx
c2s1s 





 
Domínio 5: h
7
3
 a %2,0c  
 
   













h
7
3
x
%2,0
dxdx
2s1s 
Reta b: %2,02s1sc  
50-CA para MPa 4202s  
 
5.3 Exemplo 
 Seção 20 cm x 60 cm, concreto C25, aço CA-50, Nk = 1.650 kN 
(compressão), Mk = 6.600 kN.cm (e = 4 cm), d' = 3 cm (seria melhor considerar 
d' = 4 cm). 
Utilizando-se as equações de equilíbrio, e admitindo-se compressão 
uniforme (reta b), tem-se que s1 = s2 = c = 0,2% e, consequentemente,s1 = s2 = 42 kN/cm2: 
42A42A
4,1
5,2
602085,016504,1 2s1s  
  





 3
2
60
42A42A66004,1 1s2s 
Resolvendo, obtêm-se as armaduras: 
2
1s cm74,1A  
2
2s cm9,89 A  
 
6 Equações adimensionais 
Até aqui, foi apresentado o dimensionamento por meio das equações de 
equilíbrio e de compatibilidade. 
Porém esse procedimento é muito trabalhoso, além de ser restrito a 
armaduras bilaterais assimétricas, que consiste em um caso particular. 
12 
 
Esse problema pode ser solucionado com o uso de programas de 
computador, e com isso poder dimensionar qualquer tipo de seção, para várias 
disposições de armadura na seção. Para isso, é muito melhor empregar 
equações adimensionais, que consistem nas mesmas equações de equilíbrio e 
de compatibilidade já apresentadas, adaptadas para que todos os termos 
sejam adimensionais. Para isso, emprega-se a notação: 
cd
d
fhb
N

  Força normal adimensional 
h
e
fhb
M
cd
2
d 

  Momento fletor adimensional 
cd
yd1s
1
fhb
fA


  Taxa mecânica da armadura As1 
cd
yd2s
2
fhb
fA


  Taxa mecânica de armadura As2 
Se a armadura for simétrica, tem-se: ω1 = ω2 = ω/2 
 
6.1 Equações de equilíbrio para armadura assimétrica 
a) Duas armaduras tracionadas 
21  
  




 

h
d
2
1
21 
b) Uma armadura tracionada e outra comprimida 
 Flexo-compressão 
yd
2s
2
yd
1s
1x
ffh
d
68,0



 





 








 















h
d
2
1
ffh
x
4,0
2
1
h
d
68,0
yd
2s
2
yd
1s
1x 
 Flexo-tração 
yd
2s
2
yd
1s
1x
ffh
d
68,0



 





 








 















h
d
2
1
ffh
x
4,0
2
1
h
d
68,0
yd
2s
2
yd
1s
1x 
13 
 
c) Duas armaduras comprimidas 
 Para y < h: 
yd
2s
2
yd
1s
1x
ffh
d
68,0



 





 








 









h
d
2
1
ffh
x
4,0
2
1
h
d
68,0
yd
1s
1
yd
2s
2x 
 Para y ≥ h: 
yd
2s
2
yd
1s
1
ff
85,0



 





 








 



h
d
2
1
ff yd
1s
1
yd
2s
2 
 
6.2 Equações de compatibilidade 
As equações de compatibilidade podem ser escritas em função dos 
parâmetros adimensionais , x e d'/h, resultando, também, equações 
adimensionais. 
 
7 Construção dos ábacos 
O dimensionamento pode ser feito por meio de ábacos. Esse recurso é 
bastante utilizado, visto que nem todos os projetistas utilizam softwares para 
dimensionamento de peças submetidas à flexão composta normal. 
Os ábacos consistem num gráfico  versus , que para cada par ( ) é 
obtida a taxa mecânica de armadura ω e, consequentemente, a área de 
armadura necessária. 
Para construir os ábacos, fixa-se a posição das barras, a relação d'/h e o 
aço. Analisando as equações de equilíbrio, verifica-se que  e  são funções de 
x e ω. Para cada par adotado (x, ω) existe um único par ( ). Desse modo, 
pode-se construir os ábacos para cada tipo de aço (por exemplo, CA-50) e para 
alguns valores adequados de d'/h. 
14 
 
8 Uso dos ábacos - exemplo 
Seção 20 cm x 60 cm, Nk = 1.650 kN (compressão), Mk = 6.600 kN.cm 
(e = 4 cm), d' = 3 cm, concreto C25, aço CA-50 (seria melhor considerar 
d' = 4 cm). 
Solução: 
078,1
4,1
5,2
6020
16504,1



 
071,0
60
4
 
05,0
60
3
h
´d

 
Com o ábaco relativo a armadura bilateral simétrica, CA-50, d'/h = 0,05, 
obtém-se: 
ω = 0,38 
E, portanto: 
272,18= cmAs � 
2s
2s1s cm9,36
2
A
A A  
Essa armadura corresponde a 3  20 em cada face (9,42 cm2), totalizando 
6  20 (18,85 cm2). 
Como alternativa poderiam ser usadas 5  16 em cada face (10,05 cm2), 
perfazendo 10  16 (20,11 cm2). Neste caso, em cada face, as barras 
precisariam ser alojadas em duas camadas: três na primeira e duas na 
segunda camada. 
 
15 
 
Questionário 
1) Com base na notação utilizada na flexão composta, qual o significado de 
As1 e As2? 
2) Com relação às armaduras bilaterais assimétricas, quais os casos 
possíveis na flexão composta? 
3) Quais as solicitações que podem acarretar duas armaduras tracionadas? 
Qual o esforço predominante? 
4) Idem para duas armaduras comprimidas. 
5) Idem para uma armadura tracionada e outra comprimida. 
6) Quais os domínios possíveis na flexo-tração e qual o intervalo de variação 
da linha neutra? 
7) Idem na flexo-compressão? 
8) Quais os domínios em que ocorre ruína por deformação plástica excessiva 
da armadura? 
9) Idem para ruína por ruptura do concreto? 
10) Qual a deformação máxima no concreto no domínio 5? 
11) O que significa domínio 5a? 
12) Quais as condições que podem levar ao mínimo consumo de armadura na 
flexo-tração? 
13) Idem na flexo-compressão? 
14) Como são elaborados os ábacos para flexão composta? 
15) Como se dimensiona uma seção usando ábacos para flexão composta? 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO 
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS 
 
 
 
FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA 
 
Libânio Miranda Pinheiro 
 
Colaboradores: 
 
Bruna Catoia 
Lívio Túlio Baraldi 
Marcelo Eduardo Porem 
Melina Benati Ostini 
Thiago Catoia 
Túlio Raunyr Cândido Felipe 
Walter Luiz Andrade de Oliveira 
 
 
 
 
 
 
Abril de 2016 
 
 
 
 
1. INTRODUÇÃO 
A flexo-compressão oblíqua é muito comum em peças de concreto armado, 
principalmente em pilares de edifícios. Essa solicitação é caracterizada quando o 
momento fletor atuante na seção transversal de uma peça não tem a direção de um 
dos eixos principais de inércia. 
Entretanto, nos problemas de dimensionamento, como são desconhecidas a 
distância e a inclinação da linha neutra, obter uma solução geral é praticamente 
impossível, tendo em vista que a linha neutra não é perpendicular ao plano de 
carregamento. 
Os problemas são resolvidos com a imposição de algumas restrições, como, 
por exemplo, a adoção de seções regulares e a distribuição de barras de forma 
simétrica na seção transversal da peça. Mesmo assim, a solução com as equações 
de equilíbrio e as condições de compatibilidade é muito trabalhosa e requer o uso de 
computador. 
Para seção retangular, o cálculo também pode ser feito por processos 
aproximados, nos quais a flexão oblíqua é substituída por uma ou duas flexões 
normais. Porém, salvo algumas exceções, os resultados são imprecisos, ora a favor 
ora contra a segurança. Diversos processos aproximados são apresentados por 
Santos (1981), onde se encontra um estudo mais completo sobre o assunto. 
Do ponto de vista prático, alternativa muito adequada para seções 
retangulares e usuais consiste no uso de ábacos, que são de fácil utilização e de 
boa precisão. Esses ábacos são obtidos com a resolução das equações de 
equilíbrio, por meio de programas de computador, cujos dados de entrada, que 
funcionam como condições de contorno, incluem o tipo de aço, a distribuição das 
barras e suas distâncias relativasàs bordas da seção. 
Os ábacos ora apresentados foram obtidos com programas elaborados por 
Venturini (1990) e Bortolin (1991), que gentilmente cederam o programa fonte e 
permitiram que fossem feitas pequenas adaptações. Os autores expressam aqui 
seus agradecimentos. 
 
 
2. CASOS ABORDADOS 
Alguns autores apresentam ábacos para flexão oblíqua, entre os quais se 
encontram os de Marino (1978), reproduzidos por Fusco (1981), e os de Süssekind 
(1985), Dumont (1987) e Venturini (1990). 
Embora constituam excelentes contribuições, esses ábacos não abrangem 
todos os casos de interesse prático. As principais restrições são: poucos arranjos de 
barras; alguns só consideram aço CA-50B, que não é especificado na ABNT NBR 
7480:2007, a maioria só considera a posição relativa das barras, d’/h, igual nas duas 
direções e a notação nem sempre é a mais adequada. 
Tentando sanar algumas dessas restrições e complementar os ábacos 
existentes, foram adotados seis arranjos de barras, que se encontram na Figura 1, e 
aço CA-50, com diagrama bilinear, de acordo com o item 8.3.6 da ABNT NBR 
6118:2014. Os valores de d'/h podem variar nas duas direções, ficando no intervalo 
entre 0,05 e 0,25, dependendo do arranjo de barras. Os casos abordados 
encontram-se na Tabela 1, perfazendo 48 ábacos. 
1 6
7 8 9
h
h
x
x
d'
d'y
y
1 2 3
4 5 6 
 Figura 1 - Arranjos das barras. 
 
 
Tabela 1 - Relação dos ábacos 
Arranjo 
y
y
h
'd
 
x
x
h
'd
 Ábaco 
 
Arranjo 
y
y
h
'd
 
x
x
h
'd
 Ábaco 
 
 
 
1 0,05 0,25 1 5 0,05 0,15 24 
2 0,05 0,25 2 1 0,10 0,15 25 
3 0,05 0,25 3 2 0,10 0,15 26 
1 0,10 0,25 4 3 0,10 0,15 27 
2 0,10 0,25 5 4 0,10 0,15 28 
3 0,10 0,25 6 6 0,10 0,15 29 
4 0,10 0,25 7 5 0,10 0,15 30 
2 0,15 0,25 8 2 0,15 0,15 31 
3 0,15 0,25 9 3 0,15 0,15 32 
4 0,15 0,25 10 4 0,15 0,15 33 
1 0,05 0,20 11 6 0,15 0,15 34 
2 0,05 0,20 12 5 0,15 0,15 35 
3 0,05 0,20 13 2 0,05 0,10 36 
1 0,10 0,20 14 6 0,05 0,10 37 
2 0,10 0,20 15 5 0,05 0,10 38 
3 0,10 0,20 16 1 0,10 0,10 39 
4 0,10 0,20 17 2 0,10 0,10 40 
2 0,15 0,20 18 3 0,10 0,10 41 
3 0,15 0,20 19 4 0,10 0,10 42 
4 0,15 0,20 20 6 0,10 0,10 43 
1 0,05 0,15 21 5 0,10 0,10 44 
2 0,05 0,15 22 6 0,05 0,05 45 
3 0,05 0,15 23 5 0,05 0,05 46 
 
 
 
3. EQUACIONAMENTO 
A notação relativa a uma seção retangular submetida a flexão oblíqua 
encontra-se indicada na Figura 2. Estão também indicados os diagramas de 
deformações e de tensões. As barras são distribuídas ao longo do contorno da 
seção, em posições previamente fixadas. 
Nd
X
X
Y
Y
h
h
h
x
x
x
x
d
d
e
e
y
y
y
c
cd
si




 
Figura 2 - Seção retangular submetida a flexão oblíqua. 
No estado limite último, devem ser obedecidas as condições de equilíbrio e 
as de compatibilidade das deformações. 
3.1. Condições de equilíbrio 
Os esforços solicitantes de cálculo N
d
, M
xd e Myd devem ser equilibrados 
pelos esforços resistentes. As equações de equilíbrio podem ser colocadas na 
forma: 



n
i
sidsi
A
cdd AdydxN
cc
1
 (1) 
 
 



n
i
sisidsi
A
cdxdxd yAdydxyeNM
cc
1
 (2) 



n
i
sisidsi
A
cdydyd xAdydxxeNM
cc
1
 (3) 
Acc: área da seção de concreto comprimido 
n: número de barras 
Asi: área da seção transversal da barra genérica i 
sid: tensão na barra genérica i 
X: abscissa do elemento infinitesimal de área dx dy 
Y: ordenada do elemento infinitesimal de área dx dy 
Xsi: abscissa da barra genérica i 
Ysi: ordenada da barra genérica i 
Essas equações também podem ser expressas em termos adimensionais, 
com o emprego dos esforços reduzidos ν, x, y e da taxa mecânica de armadura ω, 
dados por: 
N 
d 
A f
c cd
  
yh
ye 
y

 
yh cd
f cA
yd
M
 
cd
f 
c
A
yd
f 
s
A
  
Ac = hx hy e As representa a armadura total da seção. 
3.2. Condições de compatibilidade 
As condições de compatibilidade são decorrentes da hipótese de manutenção da 
forma plana da seção transversal e dos domínios de deformação, relativos aos 
 
 
estados limites últimos, conforme o item 17.2.2 da ABNT NBR 6118:2014, os quais 
são indicados na Figura 3. 
 
Figura 3 - Domínios de deformação de uma seção transversal no estado limite 
último para concretos de classe C20 a C90 (Figura 17.1 da ABNT NBR 6118:2014). 
Nos casos de concretos com resistência característica menor ou igual a 50 MPa, 
os domínios de deformação podem ser esquematizados de acordo com a Figura 4. 
d'
d
1 2
3
4
5
4a
 h
h
10%
yd
2% 3,5%
Alongamento Encurtamento
3
7
b
a
 
Figura 4 - Domínios de deformação no estado limite último de uma seção 
transversal para concretos até C50. 
 Conhecidas as deformações si nas barras, as tensões podem ser obtidas 
no diagrama  versus  relativo ao aço utilizado. 
 
 
4. CONTRUÇÃO DOS ÁBACOS 
Os ábacos são construídos com base nas condições de equilíbrio e de 
compatibilidade, apresentadas no item anterior. Como já foi visto, a solução só é 
possível quando se adotam algumas restrições. 
Portanto, para a construção dos ábacos, são fixados os dados iniciais: tipo de 
aço (CA-50), quantidade e disposição das barras e suas posições relativas d'x/hx e 
d'y/hy. Os arranjos adotados encontram-se na Figura 1 e as posições relativas estão 
indicadas na Tabela 1. 
Com os dados iniciais fixados, fica definido cada um dos ábacos relacionados 
na Tabela 1. 
Definido o ábaco, devem ser adotados valores da força normal reduzida de 
cálculo , sendo considerados oito valores: 
 = 0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0; 1,2 e 1,4. 
Cada valor de  corresponde a um quadrante do ábaco, perfazendo oito 
quadrantes, representados em duas páginas. 
Para cada valor de , são adotados valores da taxa mecânica de armadura ω, 
incluídos no intervalo entre 0 e 1,9, dependendo das condições da seção. 
A construção dos ábacos foi baseada no fato de que, fixados valores de , ω 
e da inclinação θ da linha neutra, existe um único terno (x, x, y) que corresponde 
ao estado limite último. 
Fixados , ω e θ, a posição x da linha neutra é obtida por tentativas, de 
maneira que se obtenha, com a expressão (1), a igualdade entre a força normal 
resistente R e a força normal solicitante S. Conhecido x obtém-se x e y com as 
expressões (2) e (3), correspondendo a um ponto do ábaco. 
Para obtenção dos pontos dos ábacos, foi utilizado um programa principal, 
apresentado no item subsequente, cujos resultados são armazenados em um 
arquivo. 
 
 
Para desenhar os ábacos, foi utilizado outro programa, elaborado por Bortolin 
(1991) e adaptado por Baraldi (1992), visando melhorar o aspecto final dos ábacos. 
Esse programa faz a leitura do arquivo, contendo os pontos obtidos no programa 
principal, e os une por curvas contínuas. Além disso, acrescenta uma moldura, a 
notação e a malha sobre o qual se encontram as curvas do ábaco. 
A saída desse programa é outro arquivo, que contém os comandos para 
impressão final. 
Salienta-se que esses ábacos são válidos apenas para concretos de classes 
C20 a C50. Para classes C55 a C90, novos ábacos deverão ser construídos. 
5. PROGRAMA PRINCIPAL 
O programa principal, que foi elaborado por Venturini (1990) e por Bortolin 
(1991), ora será comentado de maneira resumida. Maiores detalhes poderão ser 
encontrados nos trabalhos originais. 
A entrada de dados é feita via teclado e inclui: d'y/hy e d'x/hx ; 
 número de barras ao longo de cada face; 
 tipo de aço. 
Conhecidos os dados iniciais, o programa determina as posições das barras 
na seção e adota o valor da força normal solicitante, correspondente a um dos 
quadrantes do ábaco, por exemplo,  = 0. Um valor de ω também é adotado, ao 
qual corresponderá uma curva do ábaco. 
De posse dos valores  e ω, são considerados valores de θ entre 90º e 180º, 
que foram divididos em 20 intervalos de 4,5º (ver Figura 2). Para cada valor de θ, 
podem ocorrer cinco situações diferentes, dependendo da posição da linha neutra, a 
saber: 
 compressão uniforme ( x tende a + ); 
 compressão não uniforme (h < x < + ); 
 parte da seção tracionada e parte comprimida; neste caso adotou-se a linha 
neutra no limite entre os domínios 3 e 4; 
 
 
 tração não uniforme (x < 0); 
 tração uniforme (x tende a – ). 
Com o valor de θ fixado, admite-se inicialmente compressão uniforme e, caso 
essa situação não seja a correta, outros valores de x são considerados, percorrendo 
as diversas situações possíveis. 
Para cada valor de x, define-se um novo sistema de coordenadas, cuja 
origem passa pelo ponto onde a linha neutra encontra o eixo y. O novo eixo das 
abscissas coincide com a linha neutra e o eixo das ordenadas é perpendicular a ela. 
Podem, então, ser determinados os pontos extremos da seção de concreto e as 
posições das barras em relação ao novo sistema de coordenadas. 
Com o valor de x fixado, podem ser calculadas as deformações no concreto e 
nas barras e as correspondentes tensões. Consequentemente, podem ser 
determinados os esforços adimensionais (s, xs, ys) e (c, xc, yc), relativos 
respectivamente ao aço e ao concreto, que satisfaçam às expressões: 
R = c + s 
xR = xc + xs 
yR = yc + ys 
Verifica-se, então, se o esforço resistente R está próximo do solicitante , 
conforme precisão pré-fixada. Se R = , o valor de x é o correto; os respectivos 
valores de x e y serão guardados em um arquivo, pois constituirão um ponto da 
curva relativa ao ω considerado. Caso a condição R =  não se verifique, adota-se 
um novo valor de x e repete-se o processo até determinar o valor correto. 
Sendo considerados todos os valores de θ no intervalo entre 90º e 180º, 
obtém-se a curva correspondente ao ω adotado. Os valores de ω também são 
incrementados de maneira a se obter todas as curvas do quadrante. Adotando-se 
outros valores de  e repetindo-se o processo, são obtidos os oito quadrantes 
referentes ao caso considerado. 
Todos os pontos obtidos são armazenados em um arquivo de dados, que 
será utilizado na impressão dos ábacos, conforme foi apresentado no item anterior. 
 
 
6. USO DOS ÁBACOS 
Considere-se a seção retangular com dimensões e excentricidades totais, em 
centímetros, indicadas na Figura 5. 
X
Y
20
7,5
h = 60
h = 30
y
x
Nd
hx=20
hy=40
5
13,5
 
Figura 5 - Dimensões e excentricidades totais (em centímetros). 
6.1. Dados 
Aço CA-50 (fyk = 50 kN/cm
2) 
Concreto C25 (fck = 25 MPa = 2,5 kN/cm
2) 
Nd = 860 kN 
d' = 4 cm 
De acordo com a notação dos ábacos tem-se: 
hx = 20 cm 
hy = 40 cm 
ex = 5 cm 
ey = 13,5 cm 
6.2. Posições relativas das barras 
10,0
40
4
h
'd
y
y
 
20,0
20
4
h
'd
x
x  
 
 
6.3. Esforços adimensionais 
0,60 
/1,45,2 . 40 . 20
860
 
cd
f cA
d
N
  
0,15 
20
5 . 0,60
 
xh
xe 
xh cd
f cA
xd
M
 x 

 
0,20 
40
13,5 . 0,60
 
yh
ye 
 
yh cd
f cA
yd
M
 y 

 
6.4. Primeira alternativa: arranjo nº 1 
Como em geral se coloca maior número de barras ao longo da maior 
dimensão da seção, adota-se como primeira alternativa o arranjo 1 (ver Figura 2), 
válido para cinco ou mais barras em cada face. 
Para esse arranjo, aço CA-50 e os valores de d'y/hy e d'x/hx dados no item 6.2, 
conforme a Tabela 1, o ábaco correspondente é o número 14, no qual, para os 
esforços adimensionais do item anterior, resulta aproximadamente: 
 ω = 1,07 
35,2 
50/1,15
2,5/1,4 . 40 . 20 . 1,07
 
yd
f
cd
f cA
 sA 

 cm2 
Quantidade de barras: 
8  25, Ase = 40,0 cm
2 
12  20, Ase = 37,8 cm
2 
Para este arranjo de barras, 12  20 seria a melhor opção. 
6.5. Segunda alternativa: arranjo 3 
Na procura de uma solução mais econômica, uma alternativa possível é com 
6  25 (Ase = 30,0 cm
2) e o arranjo 3 (ver Figura 2), correspondendo ao ábaco 16, no 
qual se obtém: 
 
 
ω = 0,87 
As = 28,6 cm
2 < Ase = 30,0 cm
2 
Esta solução é bem mais econômica que as anteriores. 
6.6. Solução adotada 
Pode-se adotar a solução com 6  25, indicada na Figura 6. 
20
40
6  25
(Ase= 30 cm
2)
 
Figura 6 – Solução adotada. 
 
6.7. Observações 
Para valores de d'y/hy e d'x/hx diferentes dos indicados nos ábacos, podem ser 
adotados valores aproximados ou se faz interpolação linear. No caso de dúvida 
considera-se, a favor da segurança, o ábaco de maior valor de d'/h, 
Para valores de  diferentes daqueles correspondentes aos ábacos, em geral 
deve ser feita interpolação linear. 
Para resistência característica do concreto acima de 50 MPa, os ábacos 
citados não podem ser utilizados, pois foram feitos com hipóteses que só são 
validas para concretos com fck até 50 MPa. 
7. ÁBACOS 
Os ábacos aqui utilizados e diversos outros, podem ser encontrados no site: 
www.set.eesc.usp.br/mdidatico/concreto. 
 
 
QUESTIONÁRIO 
1) Em que situações ocorre flexão oblíqua em uma seção retangular? 
2) Desenhar uma seção retangular com um arranjo simétrico qualquer de barras, 
submetida a excentricidades ex e ey. Indicar a notação adotada para as 
dimensões da seção. Qual é a direção x? 
3) Esboçar três arranjos de barras, adequados quando o plano de flexão está 
próximo da diagonal. 
4) Idem para My predominante. 
5) Idem para Mx predominante. 
6) No cálculo de flexão oblíqua usando equações, por que os arranjos de barras 
precisam ser pré-fixados? 
7) Quais as grandezas adimensionais usadas nos ábacos para flexão oblíqua? 
8) Como é obtido cada ponto dos ábacos para flexão oblíqua? 
 
 
REFERÊNCIAS 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2014 - Projeto de 
estruturas de concreto. Rio de Janeiro. 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 7480:2007 - Barras e 
fios de aço destinados a armaduras para concreto armado. Rio de Janeiro. 
BARALDI, L. T.; PINHEIRO, L. M. Elaboração de ábacos para dimensionamento de 
seções retangulares de concreto armado submetidas a flexão oblíqua. In: 
CONGRESSO DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA E TECNOLÓGICA EM 
ENGENHARIA, 11. São Carlos, 15-18/12/92. Anais. p.70. 
BORTOLIN, A. A. Sobre a racionalização e a automação do cálculo de edifícios de 
concreto armado. São Carlos, 1991. Dissertação (Mestrado) - Escola de 
Engenharia de São Carlos - USP. 
DUMONT, N. A. et alli. Ábacos para dimensionamento de seções de concreto 
armado sob flexão composta reta e oblíqua. Rio de Janeiro, Departamento de 
Engenharia Civil da PUC/RJ, 1987. 57p. (Relatório Interno, RI 02187). 
FUSCO, P. B. Estruturas de concreto: solicitações normais. Rio de Janeiro, 
Guanabara Dois, 1981. 
MARINO, M. A. Seções transversais de concreto armado sujeitas a solicitações 
normais. São Paulo, 1978. Dissertação (Mestrado), Escola Politécnica da USP. 
PINHEIRO, L. M. Tabelas Gerais. São Carlos, EESC-USP. (Site: 
www.set.eesc.usp.br) 
SANTOS, L. M. Cálculo de concreto armado. v.2. São Paulo, LMS, 1981. 
SÜSSEKIND, J. C. Curso de concreto. 2v. Rio de Janeiro, Globo, 1985. 
VENTURINI, W. S.; BORTOLIN, A. A.;FERREIRA, A. Dimensionamento de peças 
retangulares de concreto armado solicitadas à flexão oblíqua. São Carlos, EESC-
USP, 1990. 
CISALHAMENTO EM VIGAS – CAPÍTULO 10 
Libânio M. Pinheiro, Cassiane D. Muzardo, Sandro P. Santos, Artur L. Sartorti 
01 maio 2017 
 
CISALHAMENTO EM VIGAS 
 
Nas vigas, em geral, as solicitações predominantes são o momento fletor e a 
força cortante. 
Em etapa anterior o efeito do momento fletor foi analisado separadamente. 
Neste capítulo considera-se o efeito conjunto dessas duas solicitações, com 
destaque para a força cortante. 
1 COMPORTAMENTO RESISTENTE 
Considere-se a viga biapoiada (Figura 1) submetida a duas forças F iguais e 
equidistantes dos apoios, armada com barras longitudinais tracionadas e com 
estribos, para resistir os esforços de flexão e de cisalhamento, respectivamente. 
A armadura de cisalhamento poderia também ser constituída por estribos 
associados a barras longitudinais curvadas (barras dobradas). Essas barras 
dobradas, também conhecidas como cavaletes, eram comuns até os anos 1970 e 
não são mais usadas atualmente, principalmente por razões construtivas. 
Para pequenos valores da força F, enquanto a tensão de tração for inferior à 
resistência do concreto à tração na flexão, a viga não apresenta fissuras, ou seja, as 
suas seções permanecem no Estádio I. Nessa fase origina-se um sistema de 
tensões principais de tração e de compressão. 
Com o aumento do carregamento, no trecho de momento máximo (entre as 
forças), a resistência do concreto à tração é ultrapassada e surgem as primeiras 
fissuras de flexão (verticais). Nas seções fissuradas a viga encontra-se no Estádio II 
e a resultante de tração é resistida exclusivamente pelas barras longitudinais. No 
início da fissuração da região central, os trechos junto aos apoios, sem fissuras, 
ainda se encontram no Estádio I. 
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10.2 
Continuando o aumento do carregamento, surgem fissuras nos trechos entre 
as forças e os apoios, as quais são inclinadas por causa da inclinação das tensões 
principais de tração I (fissuras de cisalhamento). A inclinação das fissuras 
corresponde aproximadamente à inclinação das trajetórias das tensões principais, 
isto é, aproximadamente perpendicular à direção das tensões principais de tração. 
Com carregamento elevado, a viga, em quase toda sua extensão, encontra-se 
no Estádio II. Em geral, apenas as regiões sobre os apoios permanecem isentas de 
fissuras, até a ocorrência de ruptura na região central da viga. 
A Figura 1 indica a evolução da fissuração de uma viga de seção T, para 
vários estágios de carregamento. 
 
Figura 1 – Evolução da fissuração 
2 MODELO DE TRELIÇA 
O modelo clássico de treliça foi idealizado por Ritter e Mörsch, no início do 
Século XX, e se baseia na analogia entre uma viga fissurada e uma treliça. 
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10.3 
Considerando uma viga biapoiada de seção retangular, Mörsch admitiu que, 
após a fissuração, seu comportamento era similar ao de uma treliça como a indicada 
na Figura 2, formada pelos elementos: 
 banzo superior  cordão de concreto comprimido; 
 banzo inferior  armadura longitudinal de tração; 
 diagonais comprimidas  bielas de concreto entre as fissuras; 
 diagonais tracionadas  armadura transversal (de cisalhamento). 
Na Figura 2 está indicada armadura transversal com inclinação de 90, 
formada por estribos. 
 
Figura 2 – Analogia de treliça 
Essa analogia de treliça clássica considera as seguintes hipóteses básicas: 
 fissuras, e portanto as bielas, com inclinação de 45; 
 banzos paralelos; 
 treliça isostática; portanto, não há engastamento nos nós, ou seja, nas 
ligações entre os banzos e as diagonais; 
 armadura de cisalhamento com inclinação entre 45 e 90 (em geral, 90º). 
Porém, resultados de ensaios comprovam que há imperfeições na analogia de 
treliça clássica, que de maneira geral elevam a resistência da peça ao cisalhamento. 
Isso se deve principalmente aos fatores: 
 a inclinação das fissuras é menor que 45; 
 os banzos não são paralelos; há o arqueamento do banzo comprimido, 
principalmente nas regiões dos apoios; 
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10.4 
 a treliça é altamente hiperestática; ocorre engastamento das bielas no banzo 
comprimido, e esses elementos comprimidos possuem rigidez muito maior 
que a das barras tracionadas. 
 engrenamento dos agregados entre as superfícies das bielas; 
 efeito de pino da armadura longitudinal. 
Esses fatores são denominados mecanismos resistentes complementares aos 
da analogia de treliça. 
Para um cálculo mais refinado, tornam-se necessários modelos que 
considerem melhor a realidade do problema. 
Por essa razão, como modelo padrão, adota-se a analogia de treliça, mas 
introduzidas correções para levar em conta as imprecisões verificadas. 
3 MODOS DE RUÍNA 
Numa viga de concreto armado submetida a flexão simples, vários tipos de 
ruína são possíveis, entre as quais: ruínas por flexão; ruptura por falha de 
ancoragem no apoio, ruptura por esmagamento da biela, ruptura da armadura 
transversal, ruptura do banzo comprimido devida ao cisalhamento e ruína por flexão 
localizada da armadura longitudinal. 
a) Ruínas por flexão 
Nas vigas dimensionadas nos domínios 2 ou 3, a ruína acontece após o 
escoamento da armadura, ocorrendo abertura de fissuras e deslocamentos 
significativos (flechas) que servem como “aviso” da ruína. 
Nas vigas dimensionadas no Domínio 4, a ruína se dá pelo esmagamento do 
concreto comprimido, não ocorrendo escoamento da armadura nem grandes 
deslocamentos, o que caracteriza uma “ruína sem aviso”. 
b) Ruptura por falha de ancoragem no apoio 
A armadura longitudinal é altamente solicitada no apoio, em decorrência do 
efeito de arco. No caso de ancoragem insuficiente, pode ocorrer o colapso na junção 
da diagonal comprimida com o banzo tracionado, junto ao apoio. 
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10.5 
A ruptura por falha de ancoragem ocorre bruscamente, usualmente se 
propagando e provocando também uma ruptura ao longo da altura útil da viga. 
O deslizamento da armadura longitudinal, na região de ancoragem, pode 
causar ruptura por cisalhamento da alma. A rigor, esse tipo de ruptura não decorre 
da força cortante, mas sim da falha na ancoragem do banzo tracionado na diagonal 
comprimida, nas proximidades do apoio. 
c) Ruptura por esmagamento da biela 
No caso de seções muito pequenas para as solicitações atuantes, as tensões 
principais de compressão podem atingir valores elevados, incompatíveis com a 
resistência do concreto à compressão com tração perpendicular (estado duplo de 
tensões). Tem-se, então, uma ruptura por esmagamento do concreto (Figura 3). 
A ruptura da diagonal comprimida determina o limite superior da capacidade 
resistente da viga à força cortante, limite esse que depende, portanto, da resistência 
do concreto à compressão. 
 
Figura 3 – Ruptura por esmagamento da biela 
d) Ruptura da armadura transversal 
Corresponde a uma ruína por cisalhamento, decorrente da ruptura da armadura 
transversal (Figura 4). É o tipo mais comum de ruína por cisalhamento, resultante da 
deficiência da armadura transversal para resistir às tensões de tração devidas à 
força cortante, o que faz com que a peça tenha a tendência de se dividir em duas 
partes. 
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10.6 
A deficiência de armadura transversalpode acarretar outros tipos de ruína, que 
serão descritos nos próximos itens. 
 
Figura 4 – Ruptura da armadura transversal 
e) Ruptura do banzo comprimido devida ao cisalhamento 
No caso de armadura transversal insuficiente, essa armadura pode entrar em 
escoamento provocando intensa fissuração (inclinada), com as fissuras invadindo a 
região comprimida pela flexão. Isto diminui a altura dessa região comprimida e 
sobrecarrega o concreto, que pode sofrer esmagamento, mesmo com momento 
fletor inferior àquele que provocaria a ruptura do concreto por flexão (Figura 5). 
 
Figura 5 – Ruptura do banzo comprimido, decorrente da força cortante 
f) Ruína por flexão localizada da armadura longitudinal 
A deformação exagerada da armadura transversal pode provocar grandes 
aberturas das fissuras de cisalhamento. O deslocamento relativo das seções 
adjacentes pode acarretar na flexão localizada da armadura longitudinal, levando a 
viga a um tipo de ruína que também decorre do cisalhamento (Figura 6). 
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10.7 
 
Figura 6 – Ruína por flexão localizada da armadura longitudinal 
4 MODELOS DE CÁLCULO 
A ABNT NBR 6118:2014, item 17.4.1, admite dois modelos de cálculo, que 
pressupõem analogia com modelo de treliça de banzos paralelos, associado a 
mecanismos resistentes complementares, traduzidos por uma parcela adicional Vc. 
O modelo I admite (item 17.4.2.2): 
 bielas com inclinação  = 45º; 
 Vc constante, independente de VSd. 
VSd é a força cortante solicitante de cálculo, na seção em estudo. 
O modelo II considera (item 17.4.2.3): 
 bielas com inclinação  entre 30o e 45o; 
 Vc diminui com o aumento de VSd. 
Nos dois modelos devem ser consideradas as etapas de cálculo: 
 verificação da compressão na biela; 
 cálculo da armadura transversal; 
 deslocamento aℓ do diagrama de força no banzo tracionado. 
Na sequência será considerado o modelo I. Destaca-se ainda que o modelo II 
pode conduzir a valores contra a segurança quando adotados ângulos de inclinação 
das bielas inferiores a 45°, em algumas situações em que isto não é realidade. 
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10.8 
Recomenda-se que, para a utilização do modelo II, o leitor aprofunde seus 
conhecimentos sobre o assunto na bibliografia indicada ao final deste capítulo. 
5 VERIFICAÇÃO DA COMPRESSÃO NA BIELA 
Independente da taxa de armadura transversal, deve ser verificada a condição: 
VSd  VRd2 
VSd é a força cortante solicitante de cálculo (f . VSk); na região de apoio, é o 
valor na respectiva face (VSd = VSd, face); 
VRd2 é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruptura da biela; no 
modelo I (item 17.4.2.2 da ABNT NBR 6118:14): 
VRd2 = 0,27 v2 fcd bw d 
v2 = (1 – fck / 250), com fck em MPa, ou v2 = (1 – fck / 25), com fck em kN/cm
2 
6 CÁLCULO DA ARMADURA TRANSVERSAL 
Além da verificação da compressão na biela, deve ser satisfeita a condição: 
VSd  VRd3 = Vc + Vsw 
VRd3 é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração 
diagonal; 
Vc é parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares 
ao de treliça (resistência ao cisalhamento da seção sem armadura 
transversal); 
Vsw é a parcela de força absorvida pela armadura transversal. 
No cálculo da armadura transversal considera-se VRd3 = VSd, resultando: 
Vsw = VSd – Vc 
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10.9 
a) Cálculo de VSd 
Prescrições da ABNT NBR 6118:2014, item 17.4.1.2.1, para o cálculo da 
armadura transversal no trecho junto ao apoio, no caso de apoio direto (carga e 
reação de apoio em faces opostas, comprimindo-as): 
 para carga distribuída, VSd = VSd,d/2, valor igual à força cortante na seção 
distante d/2 da face do apoio; 
 a parcela da força cortante devida a uma carga concentrada aplicada à 
distância a < 2d do eixo teórico do apoio pode ser reduzida, multiplicando-a 
por a / (2d). 
Nesses casos, considerar VSd igual a VSd,face ou VSd,eixo está a favor da 
segurança. 
As reduções indicadas não se aplicam na verificação da resistência à 
compressão diagonal do concreto (VSd  VRd2), nem nos casos de apoios indiretos, 
em que as tensões se transferem para os apoios ao longo da altura da ligação entre 
os elementos. 
b) Cálculo de Vc 
Para o modelo I, na flexão simples, item 17.4.2.2.b da ABNT NBR 6118:2014: 
Vc = 0,6 fctd bw d 
fctd = fctk,inf / c 
Segundo o item 8.2.5 da mesma norma: 
fctk,inf = 0,7 fct,m 
De acordo com esse mesmo item, o cálculo de fct,m depende da classe de 
resistência do concreto, como se indica a seguir. 
 Para concretos de classes até C50 
fct,m = 0,3 fck
2/3 (fck em MPa) 
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10.10 
Resulta: 
fctd = fctk,inf / c = 0,7 fct,m / c = 0,7 . 0,3 fck
2/3 / c , ou seja: 
fctd = 0,21 fck
2/3 / c (fck em MPa) 
Para c = 1,4, obtém-se: 
fctd = 0,15 fck2/3 (fck em MPa) 
Lembra-se que, no cálculo de Vc, o valor de fctd deve estar em kN/cm
2. 
 Para concretos de classes C55 até C90 
fct,m = 2,12 ℓn (1 + 0,11 fck) (fck em MPa) 
Resulta: 
fctd = fctk,inf / c = 0,7 fctm / c = 0,7 . [2,12 ℓn (1 + 0,11 fck)]/ c , ou seja: 
fctd = [1,484 ℓn (1 + 0,11 fck)]/ c (fck em MPa) 
Para c = 1,4, obtém-se: 
fctd = 1,06 ℓn (1 + 0,11 fck) (fck em MPa) 
Mais uma vez lembra-se que, no cálculo de Vc, coloca-se fctd em kN/cm
2. 
 
c) Cálculo da armadura transversal 
De acordo com o modelo I (item 17.4.2.2 da ABNT NBR 6118:2014): 
Vsw = (Asw / s) 0,9 d fywd (sen  + cos  ) 
Asw é a área de todos os ramos da armadura transversal; 
s é o espaçamento da armadura transversal; 
fywd é a tensão na armadura transversal; 
 é o ângulo de inclinação da armadura transversal (45    90). 
Em geral adotam-se estribos verticais ( = 90) e determina-se a área desses 
estribos por unidade de comprimento, ao longo do eixo da viga: 
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10.11 
asw = Asw / s 
Nessas condições, tem-se: 
Vsw = asw 0,9 d fywd ou 
asw = Vsw / (0,9 d fywd) 
No caso de estribos, a tensão fywd é dada pelo menor dos valores: fyd e 
435 MPa. Para barras dobradas, o valor fica limitado a 70% de fyd e 435 MPa. 
Somente 60% da força cortante pode ser resistida por barras dobradas; o restante 
deve ser obrigatoriamente resistido por estribos. Portanto, para estribos dos aços 
CA-50 ou CA-60, pode-se adotar: 
fywd = 435 MPa = 43,5 kN/cm
2 
7 ARMADURA TRANSVERSAL MÍNIMA 
Para garantir ductilidade à ruína por cisalhamento, a armadura transversal 
(estribos) deve ser suficiente para suportar o esforço de tração resistido pelo 
concreto na alma, antes da formação de fissuras de cisalhamento. 
Segundo o item 17.4.1.1.1 da ABNT NBR 6118:2014, a armadura transversal 
mínima deve ser constituída por estribos, com taxa geométrica: 
ywk
f
ctm
f
2,0
sens
w
b
sw
A
sw


 
fctm = 0,3 fck
2/3 (item 8.2.5 da ABNT NBR 6118:2014); 
fywk é resistência característica de escoamento da armadura transversal. 
Portanto, a taxa mínima sw,min da armadura transversal depende das 
resistências do concreto e do aço. Os valores de sw,min são dados na Tabela 1. 
A armadura mínima é calculada por meio da equação: 
w
b.
min,sws
sw
A
min,sw
a  
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10.12 
Tabela 1 – Valores de sw,min (%) 
Aço 
Concreto 
C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 C55 C60C65 C70 C75 C80 C85 C90 
CA-25 0,177 0,205 0,232 0,257 0,281 0,304 0,326 0,331 0,344 0,356 0,367 0,377 0,387 0,396 0,405 
CA-50 0,088 0,103 0,116 0,128 0,140 0,152 0,163 0,166 0,172 0,178 0,183 0,189 0,194 0,198 0,203 
CA-60 0,074 0,085 0,097 0,107 0,117 0,127 0,136 0,138 0,143 0,148 0,153 0,157 0,161 0,165 0,169 
 
8 FORÇA CORTANTE RELATIVA À TAXA MÍNIMA 
A força cortante solicitante VSd,min relativa à taxa mínima é dada por: 
VSd,min = Vsw,mín + Vc 
com Vsw,mín = sw,mín 0,9 b d fywd 
9 DETALHAMENTO DOS ESTRIBOS 
Apresentam-se as prescrições da ABNT NBR 6118:2014, item 18.3.3.2. 
a) Diâmetro mínimo e diâmetro máximo 
O diâmetro do estribo deve estar no intervalo: 5 mm  t  bw /10. 
Quando a barra for lisa, t  12 mm. 
No caso de estribos formados por telas soldadas, t,min = 4,2 mm, desde que 
sejam tomadas precauções contra a corrosão da armadura. 
b) Espaçamento longitudinal mínimo e máximo 
O espaçamento mínimo entre estribos, na direção longitudinal da viga, deve ser 
suficiente para a passagem do vibrador, garantindo um bom adensamento. 
Para que não ocorra ruptura por cisalhamento nas seções entre os estribos, o 
espaçamento máximo deve atender às seguintes condições: 
VSd  0,67 VRd2  smáx = 0,6 d  300 mm; 
VSd > 0,67 VRd2  smáx = 0,3 d  200 mm. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Cisalhamento em Vigas 
 
10.13 
c) Número de ramos dos estribos 
Em geral são adotados estribos de dois ramos, ou seja, a barra que forma o 
estribo tem dois trechos verticais. São eles que vão resistir ao cisalhamento. Em 
vigas largas, esses trechos verticais poderiam ficar muito distantes. Portanto, deve 
ser verificado o espaçamento máximo permitido pela Norma para essa armadura 
transversal. Se necessário, devem ser adotados estribos múltiplos: duplos (com 
quatro ramos verticais), triplos (com seis ramos) etc. O número de ramos dos 
estribos deve ser calculado em função do espaçamento transversal máximo, entre 
ramos sucessivos dos estribos. A ABNT NBR 6118:2014 indica duas condições: 
VSd  0,20 VRd2  st,máx = d  800 mm; 
VSd > 0,20 VRd2  st,máx = 0,6d  350 mm. 
d) Ancoragem 
Os estribos para cisalhamento devem ser fechados na face tracionada da viga, 
com um ramo horizontal envolvendo as barras da armadura longitudinal de tração e 
ancorados na face oposta. 
Portanto, nas vigas biapoiadas, os estribos podem ser abertos na face superior, 
com ganchos nas extremidades. 
Quando esta face também puder estar tracionada, o estribo deve ter o ramo 
horizontal nesta região, ou complementado por meio de barra adicional. 
Portanto, nas vigas com balanços e nas vigas contínuas, devem ser adotados 
estribos fechados tanto na face inferior quanto na superior. 
e) Emendas 
As emendas por transpasse são permitidas quando os estribos forem 
constituídos por telas. 
Embora não sejam usuais, as emendas por traspasse também são permitidas 
se os estribos forem constituídos por barras de alta aderência, ou seja, de aço 
CA-50 ou CA-60. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Cisalhamento em Vigas 
 
10.14 
10 EXEMPLO DE APLICAÇÃO 
Trecho de viga com 14 cm x 50 cm, c = 2,5 cm, d = 46 cm, C25, CA-50, 
ℓ = 6,49 m, dimensões dos apoios tesq = 0,30 m e tdir = 0,30 m, pd = 30,21 kN/m, 
VSd1,eixo = 92,81 kN, VSd2,eixo = 103,28 kN. 
a) Verificação da biela 
 VSdmax,face  VRd2 (A favor da segurança: VSdmax,eixo  VRd2) 
 VRd2 = 0,27 v2 fcd b d, com v2 = 1 – fck / 25 (fck em kN/cm
2) 
 VRd2 = 0,27 (1 – 2,5/25) 2,5/1,4 . 14. 46 = 279,45 kN > VSd,eixo,max = 103,28 kN (OK) 
b) Contribuição do concreto Vc 
Itens 17.4.2.2 e 8.2.5 da ABNT NBR 6118:2014, com c = 1,4 e fck em MPa: 
fctd = fctk,inf / c = 0,7 fct,m / c = 0,7. 0,3 fck
2/3 / 1,4 = 0,15 fck
2/3 
fctd = 0,15 fck2/3 = 1,2825 MPa = 0,12825 kN/cm
2 
Vc = 0,6 fctd b d = 0,6 . 0,12825 . 14 . 46 
 Vc = 49,56 kN 
c) Taxa mínima 
fck em MPa: fct,m = 0,3 fck2/3 = 2,565 MPa = 0,2565 kN/cm
2 
ywk
f
m,ct
f
2,0
min,w
 = 
50
25650
20
,
, = 0,001026 = 0,1026 % 
Na Tabela 1 é dado o valor: w,mín = 0,103 %. 
d) Diâmetro dos estribos 
5 mm  t  bw /10 = 14 mm. Em geral resultam  5 mm ou  6,3 mm. 
e) Número de ramos dos estribos 
 VSd  0,20 VRd2: st,max = d  80 cm; 
 VSd > 0,20 VRd2: st,max = 0,6d  35 cm 
 Considerando-se o maior valor VSd = VSd2,eixo = 103,28 kN (poderia ser adotado 
o valor na face): 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Cisalhamento em Vigas 
 
10.15 
 103,28 > 0,20 . 279,45 = 55,89 kN 
 Portanto, st,max = 0,6d = 0,6.46 = 27,6 cm  35 cm 
Em vigas usuais de edifícios, em geral são suficientes dois ramos (n = 2). 
Exceção: vigas-faixa (muito largas) e vigas muito carregadas, como algumas vigas 
de fundação, vigas de transição etc. 
f) Espaçamento máximo dos estribos 
 VSd  0,67 VRd2: smáx = 0,6 d  30 cm; VSd > 0,67 VRd2: smáx = 0,3 d  20 cm 
 Neste exemplo, VSd  0,67 VRd2, o que acontece em geral. Portanto: 
 smáx = 0,6 d = 0,6 . 46 = 27,6  28 cm < 30 cm (OK) 
g) Taxa de armadura transversal para espaçamento máximo dos estribos 
 Tabela 1.4a:  5 c/ 28, asw,smáx = 0,70 cm
2/m; w,smáx = 2 (asw,smáx / b) = 2 . 0,70/14 
 w,smáx = 0,10% < w,mín = 0,1026% 
h) Armadura transversal adotada no trecho central do vão 
 Maior valor entre w,mín = 0,1026% e w,smáx = 0,10%. Portanto: w,vão = 0,1026% 
 asv/n = w,vão . b/2 = 0,1026 . 14/2 = 0,72 cm
2/m (vezes 100 para obter área em cm2/m) 
Tabela 1.4a:  5 c/ 27 (0,73 cm2/m) 
Taxa efetiva: we,vão = 2 (asw,e / b) = 2 . 0,73/14 = 0,1043% 
i) Força cortante resistente para os estribos adotados no vão 
 fywd = 43,5 kN/cm2 
 Vsw,vão = we, vão . 0,9 fywd bd = 0,1043% . 0,9 . 43,5 . 14 . 46 
 Vsw,vão = 26,29 kN 
 VRda = Vc + Vsw,vão = 49,56 + 26,29 
 VRda = 75,85 kN 
j) Trechos com VSd,d/2 > VRda 
VSd,d/2 = VSd,eixo - pd (t + d) / 2 
Para pd = 30,21 kN/m, tesq = 0,30 m, tdir = 0,30 m, d = 0,46 cm, tem-se: 
pd (t + d) / 2 = 30,21 (0,30 + 0,46)/2 = 11,48 kN 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Cisalhamento em Vigas 
 
10.16 
À esquerda do trecho de viga (VSd,eixo = 92,81 kN) e à direita (103,28 kN) 
resultam, respectivamente: 
VSd,d/2,esq = 81,33 kN > VRda 
VSd,d/2,dir = 91,80 kN > VRda 
k) Comprimento dos trechos com VSd,d/2 > VRda 
 a = (VSd,eixo – VRda) / pd 
 Resultam, respectivamente: 
 a1,esq = 0,56 m e a1,dir = 0,91 m 
l) Estribos para VSd > VRda 
 Para VSd,d/2,esq = 81,33 kN 
 Vsw = VSd,d/2 – Vc = 81,33 – 49,56 = 31,77 
 fywd = 43,5 kN/cm2 
 
ywd
fdb9,0
sw
V
w
 %,=
,...,
,
= 12600
543461490
7731 
 
2
b
.
w
=
n
sw
a
 m/cm,=.,= 2880
2
14
12600  5 c/ 22 (0,89 cm
2/m), à esquerda. 
 Analogamente, para VSd,d/2,dir = 91,80 kN: 
 Vsw = VSd,d/2 – Vc = 91,80 – 49,56 = 42,24 
 %1675,0
5,43.46.14.9,0
24,42
 
 
2
.
b
wn
sw
a
 mcm /17,1
2
14
.1675,0 2  5 c/ 17 (1,15 cm
2/m), à direita. 
 Nos casos em que VSd,d/2  VRd,vão, os espaçamentos junto aos apoios são os 
mesmos obtidos para o trecho central. 
m) Detalhamento 
 No final da memória resumida da viga, deve ser indicado o diâmetro dos 
estribos e uma linha de cota, com os comprimentos dos trechos e o espaçamento 
dos estribos em cada um deles. 
ywd
fdb9,0
sw
V
w

USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Cisalhamento em Vigas 
 
10.17 
QUESTIONÁRIO 
1) O que é cisalhamento? 
2) No dimensionamento de peças submetidas a flexão e cisalhamento, qual o 
 tipo de ruína que deve prevalecer? Por quê? 
3) Como se distribuem as tensões no cisalhamento? 
4) Quaisas providências para garantir o tipo de ruína admitido? 
5) Quais os tipos de barras para resistir aos esforços de cisalhamento? 
6) Como são as fissuras de flexão e como são as de cisalhamento? 
7) Na analogia de treliça, quais as partes da viga de concreto correspondentes a 
cada um dos elementos da treliça? 
8) Quais as formas de ruína para excesso de deformação nos estribos? 
9) Quais as hipóteses da analogia de treliça clássica? 
10) O que significa taxa de armadura transversal? 
11) Quais as principais causas que fazem com que os resultados obtidos com a 
analogia de treliça clássica sejam diferentes dos resultados experimentais? 
12) Como é evitado o esmagamento das bielas, conforme a NBR 6118:2014? 
13) Qual o valor da tensão na armadura de cisalhamento? 
14) Como é feito o cálculo da armadura transversal? 
15) Qual o intervalo de variação do diâmetro dos estribos? 
16) Qual o espaçamento máximo dos estribos? 
 
REFERÊNCIAS 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). NBR 6118: Projeto 
de estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2014. 
FUSCO, P. B. Estruturas de concreto: solicitações tangenciais. Pini. São Paulo, 
2008. 
LEONHARDT, F.; MÖNNIG, E. Construções de concreto. v.1. Interciência. Rio de 
Janeiro, 1977. 
 
ANCORAGEM – CAPÍTULO 11 
Libânio M. Pinheiro, Cassiane D. Muzardo 
06 maio 2016 
ANCORAGEM 
Ancoragem é a fixação da barra no concreto, para que ela possa ser 
interrompida. A transferência de esforços entre aço e concreto e a 
compatibilidade de deformações entre eles são fundamentais para a existência 
do concreto armado. Isto só é possível por causa da aderência. 
Aderência (bond, em inglês) é a propriedade que impede que haja 
escorregamento de uma barra em relação ao concreto que a envolve. É, 
portanto, responsável pela solidariedade entre o aço e o concreto, fazendo com 
que esses dois materiais trabalhem em conjunto. 
Na ancoragem por aderência, deve ser previsto um comprimento 
suficiente para que o esforço da barra (de tração ou de compressão) seja 
transferido para o concreto. Ele é denominado comprimento de ancoragem. 
Além disso, em peças nas quais é necessário fazer emendas nas barras, 
por razões construtivas ou pelo grande comprimento da peça, também se deve 
garantir um comprimento suficiente para que os esforços sejam transferidos de 
uma barra para outra. Isto também é possível graças à aderência entre o aço e 
o concreto. 
 
1 TIPOS DE ADERÊNCIA 
Esquematicamente, a aderência pode ser decomposta em três parcelas: 
adesão, atrito e aderência mecânica. Essas parcelas decorrem de diferentes 
fenômenos que intervêm na ligação dos dois materiais. 
 
1.1 Aderência por Adesão 
A aderência por adesão caracteriza-se por uma resistência à separação 
dos dois materiais. Ocorre em função de ligações físico-químicas na interface 
das barras com a pasta, geradas durante as reações de pega do cimento. Para 
pequenos deslocamentos relativos entre a barra e a massa de concreto que a 
envolve, essa ligação é destruída. 
A Figura 1 mostra um bloco de concreto moldado sobre uma placa de 
aço. A ligação entre os dois materiais se dá por adesão. Para separá-los, há 
necessidade de se aplicar uma ação representada pela força Fb1. Se a força 
fosse aplicada na horizontal, não se conseguiria dissociar a adesão do 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 
11.2 
comportamento relativo ao atrito. No entanto, a adesão existe independente da 
direção da força aplicada. 
 
Figura 1 – Aderência por adesão 
 
1.2 Aderência por Atrito 
Por meio do arrancamento de uma barra em um bloco concreto (Figura 
2), verifica-se que a força de arrancamento Fb2 é maior do que a força Fb1 
mobilizada pela adesão. Esse acréscimo é devido ao atrito entre a barra e o 
concreto. 
 
 
Figura 2 – Aderência por atrito 
 
O atrito manifesta-se quando há tendência ao deslocamento relativo entre 
os materiais. Depende da rugosidade superficial da barra e da pressão 
transversal , exercida pelo concreto sobre a barra, em virtude da retração 
(Figura 2). Em barras curvas ou em regiões de apoio de vigas em pilares, 
aparecem acréscimos dessas pressões de contato que favorecem a aderência 
por atrito. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 
11.3 
O coeficiente de atrito entre aço e concreto é alto, em função da 
rugosidade da superfície das barras, resultando valores entre 0,3 e 0,6 
(LEONHARDT, 1977). 
Na Figura 2, a oposição à ação Fb2 é constituída pela resultante das 
tensões de aderência (b) distribuídas ao longo da barra. 
 
1.3 Aderência Mecânica 
A aderência mecânica é devida à conformação superficial das barras. Nas 
barras de alta aderência (Figura 3), as saliências mobilizam forças localizadas, 
aumentando significativamente a aderência. 
 
Figura 3 – Aderência mecânica em barras nervuradas 
 
A Figura 4 (LEONHARDT, 1977) mostra que mesmo uma barra lisa pode 
apresentar aderência mecânica, em função da rugosidade superficial, devida à 
corrosão do aço e ao processo de fabricação da barra, gerando irregularidades 
na superfície. Para efeito de comparação, são apresentadas superfícies 
microscópicas de: barra enferrujada, barra recém-laminada e fio de aço obtido 
por laminação a quente e posterior encruamento a frio por estiramento. Nota-se 
que essas superfícies estão muito longe de serem efetivamente lisas. 
Portanto, a separação da aderência nas três parcelas (adesão, atrito e 
aderência mecânica) é apenas esquemática, pois não é possível quantificar 
isoladamente cada uma delas. 
 
Figura 4 – Rugosidade superficial de barras e fios lisos (LEONHARDT, 1977) 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 
11.4 
2 TENSÃO DE ADERÊNCIA 
Para uma barra de aço imersa em uma peça de concreto, como a 
indicada na Figura 5, a tensão média de aderência é dada por: 
 
Figura 5 – Tensão de aderência 
b
s
b
R

 
 
Rs é a força atuante na barra; 
 é o diâmetro da barra; 
b é o comprimento de ancoragem. 
 
 A tensão de aderência depende de diversos fatores, entre os quais: 
 Rugosidade da barra; 
 Posição da barra durante a concretagem; 
 Diâmetro da barra; 
 Resistência do concreto; 
 Retração; 
 Adensamento; 
 Porosidade do concreto etc. 
 
Alguns desses aspectos serão considerados na sequência deste texto. 
 
 
3 SITUAÇÕES DE ADERÊNCIA 
Na concretagem de uma peça, tanto no lançamento como no 
adensamento, o envolvimento da barra pelo concreto é influenciado pela 
inclinação dessa barra. Sua inclinação interfere, portanto, nas condições de 
aderência. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 
11.5 
Por causa disso, a ABNT NBR 6118:2014 considera em boa situação 
quanto à aderência os trechos das barras que estejam com inclinação maior 
que 45º em relação à horizontal (Figura 6a). 
 
 
 
 
FIGURA 6 – Situações de boa e de má aderência (PROMON, 1976) 
 
As condições de aderência são influenciadas por mais dois aspectos: 
 Altura da camada de concreto sobre a barra, cujo peso favorece o 
adensamento, melhorando as condições de aderência; 
 Nível da barra em relação ao fundo da forma; a exsudação produz 
porosidade no concreto, que é mais intensa nas camadas mais altas, 
prejudicando a aderência. 
Essas duas condições fazem com que a ABNT NBR 6118:2014 considere 
em boa situação quanto à aderência os trechos das barras que estejam em 
posição horizontal ou com inclinação menor que 45º, desde que: 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de EstruturasAderência e Ancoragem 
11.6 
 para elementos estruturais com h < 60 cm, localizados no máximo 30 cm 
acima da face inferior do elemento ou da junta de concretagem mais 
próxima (Figuras 6b e 6c); 
 para elementos estruturais com h  60 cm, localizados no mínimo 30 cm 
abaixo da face superior do elemento ou da junta de concretagem mais 
próxima (Figura 6d). 
Em outras posições e quando forem usadas formas deslizantes, os 
trechos das barras devem ser considerados em má situação quanto à 
aderência. 
No caso de lajes e vigas concretadas simultaneamente, as barras na 
parte inferior da viga podem estar em uma região de boa aderência e na parte 
superior, em região de má aderência. 
Se a laje tiver espessura menor do que 30 cm, as barras estarão em uma 
região de boa aderência. 
Sugerem-se, então, as indicações das Figuras 6e e 6f para determinação 
das condições de aderência. 
 
4 RESISTÊNCIA DE ADERÊNCIA 
A resistência de aderência de cálculo entre armadura e concreto é dada 
pela expressão (ABNT NBR 6118:2014, item 9.3.2.1): 
ctd321bd ff  






nervuradas barras para ,
entalhadas barras para ,
lisas barras para ,
252
41
01
1 




aderênciamádesituaçõespara
aderênciaboadesituaçõespara
7,0
0,1
2 






mmpara
mmpara
32100/)132(
320,1
3 

 
O valor fctd é dado por (item 8.2.5 da ABNT NBR 6118:2014): 
c
infctk,
ctd
f
f  com f0,7f mct,infctk,  
 3/2mct, 0,3f ckf para concretos até C50 
 )11,01(12,2fct, ckm fn   para concretos C55 até C90 
sendo fct,m e fck expressos em megapascals (MPa). 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 
11.7 
5 ANCORAGEM DAS ARMADURAS 
As prescrições ora indicadas sobre ancoragem das armaduras são dadas 
no item 9.4 da ABNT NBR 6118:2014. 
Todas as barras das armaduras devem ser ancoradas de forma que as 
forças a que estejam integralmente sejam integralmente transmitidas ao 
concreto, por meio de aderência, de dispositivos mecânicos ou por combinação 
de ambos. 
Na ancoragem por aderência, os esforços são ancorados por meio de um 
comprimento reto ou com grande raio de curvatura, seguido ou não de gancho. 
Com exceção das regiões situadas sobre apoios diretos, as ancoragens 
por aderência devem ser confinadas por armaduras transversais ou pelo 
próprio concreto, considerando-se este caso quando o cobrimento da barra 
ancorada for maior ou igual a 3 e a distância entre as barras ancoradas 
também for maior ou igual a 3. 
Nas regiões sobre apoios diretos, não é necessária armadura de 
confinamento, pois a pressão do concreto sobre a barra aumenta da aderência 
por atrito. 
 
5.1 Comprimento de Ancoragem Básico 
No item 9.4.2.4 da ABNT NBR 6118:2014, define-se comprimento de 
ancoragem básico b (Figura 5) como o comprimento reto necessário para 
ancorar a força limite FSd = As fyd, admitindo-se, ao longo desse comprimento, 
resistência de aderência uniforme e igual a fbd, obtida de acordo com o item 4. 
O comprimento de ancoragem básico b é obtido igualando-se a força 
última de aderência b  fbd com o esforço na barra FSd = As fyd (ver Figura 5): 
 
b   fbd = s fyd 
 
Como 
4
2
sA , obtém-se: 


25,
4
 b
bd
yd
b com
f
f
 
 
De maneira simplificada, pode-se dizer que, a partir do ponto em que a 
barra não seja mais necessária, basta assegurar a existência de um 
comprimento suplementar b que garanta a transferência das tensões da barra 
para o concreto. 
 
 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 
11.8 
5.2 Comprimento de Ancoragem Necessário 
Nos casos em que a área efetiva da armadura s,ef for maior que a área 
calculada As,calc, a tensão nas barras diminui e, portanto, o comprimento de 
ancoragem pode ser reduzido na mesma proporção. A presença de gancho na 
extremidade da barra também permite a redução do comprimento de 
ancoragem. 
 Com base nessas duas condições, o comprimento de ancoragem 
necessário pode ser calculado por (item 9.4.2.5 da ABNT NBR 6118:2014): 
mínb
efs
calcs
bnecb
A
A
,
,
,
, .    
















3
5,0
7,0
3
cobrimentocom,7,0
0,1
ganchodoaonormalplano
nocobrimentocomganchoesoldadasistransversabarrashouverquando
soldadasistransversabarrashouverquando
gancho
aonormalplanonoganchocomstracionadabarraspara
ganchosembarraspara
 
b é o comprimento de ancoragem básico, calculado conforme o item 5.1; 
b,min é o comprimento de ancoragem mínimo, maior valor entre 0,3b, 10 e 
100 mm. 
As barras transversais soldadas devem atender as prescrições do item 
9.4.2.2 da ABNT NBR 6118:2014. 
 
5.3 Ancoragem de Barras Comprimidas 
Nas estruturas usuais de concreto armado, pode ser necessário ancorar 
barras compridas, nos seguintes casos: 
 
 em vigas – quando há barras longitudinais compridas (armadura dupla); 
 em pilares – nas regiões de emendas, no nível dos andares ou da 
fundação. 
 
As barras exclusivamente compridas ou que tenham alternância de 
solicitações (tração e compressão) devem ser ancoradas em trecho reto, sem 
gancho (Figura 7). A presença do gancho gera concentração de tensões, que 
pode levar ao fendilhamento do concreto ou à instabilidade da barra. 
Em termos de comportamento, a ancoragem de barras comprimidas e a 
de barras tracionadas são diferentes em dois aspectos. Primeiramente, por 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 
11.9 
estar comprimido na região da ancoragem, o concreto apresenta maior 
integridade (está menos fissurado) do que se estivesse tracionado, e poderiam 
ser admitidos comprimentos de ancoragem menores. 
Um segundo aspecto é o efeito de ponta, como pode ser observado na 
Figura 7. Esse fator é bastante reduzido com o tempo, pelo efeito da fluência 
do concreto. Na prática, esses dois fatores são desprezados. 
Portanto, os comprimentos de ancoragem de barras comprimidas são 
calculados como os das tracionadas. Porém, nas comprimidas não se usa 
gancho. 
No cálculo do comprimento de traspasse 0c de barras comprimidas, 
adota-se a seguinte expressão (ABNT NBR 6118:2014, item 9.5.2.3): 
míncnecbc ,0,0   
0c,mín é o maior valor entre 0,6 b , 15  e 200 mm. 
 
Figura 7 – Ancoragem de barras comprimidas (FUSCO, 1975) 
 
 
6 ANCORAGEM NOS APOIOS 
De acordo com a ABNT NBR 6118:2014, item 18.3.2.4, os esforços de 
tração junto aos apoios de vigas simples ou contínuas devem ser resistidos por 
armaduras longitudinais que satisfaçam a mais severa das seguintes 
condições: 
 
a) no caso de ocorrência de momentos positivos, as armaduras obtidas 
através do dimensionamento da seção; 
 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 
11.10 
b) em apoios extremos, para garantir ancoragem da diagonal de 
compressão, armaduras capazes de resistir a uma força de tração 
ddSd NV
d
a
F 





  (4) 
na qual Vd é a força cortante no apoio e Nd é a força de tração eventualmente 
existente." A área de aço, neste caso, é calculada pela equação: 
yd
Sd
calcs
f
F
A , 
c) em apoios extremos e intermediários, por prolongamento de uma parte 
da armadura de tração do vão (As,vão), correspondente ao máximo momento 
positivo do tramo (Mvão), de modo que: 
As,apoio  1/3 (As,vão) se Mapoio ≤ 0 e de valor absoluto |Mapoio|  0,5 Mvão; 
As,apoio 1/4 (As,vão) se Mapoio 0 e de valor absoluto |Mapoio|  0,5 Mvão. 
 
6.1 Comprimento Mínimo de Ancoragem em Apoios Extremos 
Em apoios extremos, para os casos (b) e (c) anteriores, a ABNT NBR 
6118:2014 (item 18.3.2.4.1) prescreve que as barras devem ser ancoradas a 
partir da face do apoio, com comprimento mínimo dado por: 
 






mm 60
1) (Tabela gancho do curvatura de interno raio or sendo )5,5(r
5.2 item o conforme ,
, 
necb
mínbe

 
Desta forma, pode-se determinar o comprimento mínimo necessário do 
apoio: 
ct min,bemin   
c é o cobrimento da armadura (Figuras 8a e 8b). 
A ABNT NBR 6118:2014, ainda no item 18.3.2.4.1, estabelece que 
quando houver cobrimento da barra no trecho do gancho, medido normalmente 
ao plano do gancho, de pelo menos 70 mm, e as ações acidentais não 
ocorrerem com grande frequência com seu valor máximo, o primeiro dos três 
valores anteriores pode ser desconsiderado, prevalecendo as duas condições 
restantes. 
 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 
11.11 
 
 a) Barra com ponta reta b) Barra com gancho 
Figura 8 – Ancoragem no apoio 
6.2 Esforço a Ancorar e Armadura Calculada 
Na flexão simples, o esforço a ancorar é dado por: 
dSd V
d
a
F 





  
Vd é a força cortante no apoio. 
A armadura para resistir esse esforço, com tensão s = fyd, é dada por: 
yd
Sd
calcs
f
F
A , 
6.3 Armadura Necessária em Apoios Extremos 
Na expressão do comprimento de ancoragem necessário (item 5.2), 
efs
calcs
bnecb
A
A
,
,
,   
Impondo-se disp,bnec,b   e nec,sef,s AA  , obtém-se: 
 calcs
dispb
b
necs AA ,
,
,
 


 
A área das barras ancoradas no apoio não pode ser inferior a As,nec. 
7 ANCORAGEM FORA DE APOIO 
Algumas barras longitudinais podem ser interrompidas antes dos apoios. 
Para determinar o ponto de início de ancoragem dessas barras, há 
necessidade de se deslocar, de um comprimento a (decalagem), o diagrama 
de força no banzo tracionado. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 
11.12 
7.1 Deslocamento a do Diagrama 
O valor do deslocamento a é dado por (item 17.4.2.2c da ABNT NBR 
6118:2014). 
Quando a armadura longitudinal de tração for determinada através do 
equilíbrio de esforços na seção normal ao eixo do elemento estrutural, os 
efeitos provocados pela fissuração oblíqua podem ser substituídos no cálculo 
pela decalagem do diagrama de força no banzo tracionado, dada pela 
expressão: 
 
d cot)cot1(
)(2 max,
max, 







  gg
VV
V
da
cSd
Sd
 
onde 
da  , para |VSd,máx| ≤ |Vc| 
a



 45º. a inclinados estribos para ,2,0
geral; caso no ,5,0
d
d
 
Essa decalagem pode ser substituída, aproximadamente, pela 
correspondente decalagem do diagrama de momentos fletores. 
O ângulo  é a inclinação da armadura transversal em relação ao eixo 
longitudinal da peça (45    90). O valor de Vc para flexão simples, flexo-
tração com a linha neutra cortando a seção ou para flexo-compressão em vigas 
não protendidas é dado por: 
Vc = Vco = 0,6 fctd bw d 
Vale ressaltar que, nos casos usuais, em que a armadura transversal 
(estribos) é normal ao eixo da peça,  = 90o e a expressão de a resulta: 
d
VV
V
dad
cSd
Sd 






 
)(2
5,0
max,
max,
 
O deslocamento a é fundamentado no comportamento previsto para a 
resistência da viga à força cortante, em que se considera que a viga funcione 
como uma treliça, com banzo comprimido e diagonais comprimidas (bielas) 
formadas pelo concreto, e banzo tracionado e montantes tracionados 
constituídos, respectivamente, pela armadura longitudinal e pelos estribos. 
Nesse modelo há um acréscimo de esforço na armadura longitudinal de tração, 
que é considerado através de um deslocamento a do diagrama de momentos 
fletores de cálculo. 
 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 
11.13 
7.2 Trecho de Ancoragem 
Apresentam-se as prescrições do item 18.3.2.3.1 da ABNT NBR 
6118:2014 para ancoragem por aderência de armaduras de tração na flexão 
simples. 
O trecho da extremidade da barra de tração, considerado como de 
ancoragem, tem início na seção teórica em que sua tensão s começa a 
diminuir, ou seja, a força de tração na barra começa a ser transferida para o 
concreto. 
A barra deve prolongar-se pelo menos 10 além do ponto teórico de 
tensão s nula, não podendo, em caso algum, ser inferior ao comprimento de 
ancoragem necessário calculado conforme o item 5.2 deste texto. 
Assim, na armadura longitudinal de tração dos elementos estruturais 
solicitados por flexão simples, o trecho de ancoragem da barra terá início no 
ponto A (Figura 9) do diagrama de forças RSd = Md/z, decalado do 
comprimento aℓ, conforme o item 7.1 deste texto. 
Se a barra não for dobrada, o trecho de ancoragem deve prolongar-se 
além de B, no mínimo 10 (ver Figura 9). 
Se a barra for dobrada, o início do dobramento poderá coincidir com o 
ponto B. Atualmente é raro o emprego de barras dobradas. 
 
 
Figura 9 – Cobertura do diagrama de força de tração solicitante pelo diagrama 
resistente 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 
11.14 
7.3 Ancoragem em Apoios Intermediários 
Se o ponto A de início de ancoragem estiver na face do apoio, ou além dela 
(Figura 10a), e a força FSd diminuir em direção ao centro do apoio, o trecho de 
ancoragem deve ser medido a partir dessa face, com a força FSd dada no item 
6.2. 
Quando o diagrama de momentos fletores de cálculo não atingir a face do 
apoio, as barras prolongadas até o apoio (Figura 10b) devem ter o 
comprimento de ancoragem marcado a partir do ponto A e, obrigatoriamente, 
deve ultrapassar 10 da face de apoio. 
Quando houver qualquer possibilidade da ocorrência de momentos 
positivos nessa região, provocados por situações imprevistas, particularmente 
por efeitos de vento e eventuais recalques, as barras deverão ser contínuas ou 
emendadas sobre o apoio. 
 
 
 
Figura 10 – Ancoragem em apoios intermediários 
 
 
8 GANCHOS DAS ARMADURAS DE TRAÇÃO 
Os ganchos das extremidades das barras da armadura longitudinal de 
tração podem ser (item 9.4.2.3 da ABNT NBR 6118:2014): 
 semicirculares, com ponta reta de comprimento não inferior a 2  
(Figura 11a); 
 em ângulo de 45º (interno), com ponta reta de comprimento não inferior a 
4  (Figura 11b); 
 em ângulo reto, com ponta reta de comprimento não inferior a 8  
(Figura 11c). 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 
11.15 
 
Para barras lisas, os ganchos devem ser semicirculares. 
 
 
 
(a) (b) (c) 
 
Figura 11 – Tipos de ganchos 
 
 Ainda segundo a ABNT NBR 6118:2014, o diâmetro interno da curvatura 
dos ganchos das armaduras longitudinais de tração deve ser pelo menos igual 
ao estabelecido na Tabela 1 (Tabela 9.1 da Norma). 
 
Tabela 1 – Diâmetros dos pinos de dobramento 
 
BITOLA 
(mm) 
 
CA - 25 
 
CA - 50 
 
CA - 60 
 < 20 4 5 6 
  20 5 8 - 
 
 
9 GANCHOS DOS ESTRIBOS 
A ABNT NBR 6118:2014, item 9.4.6, estabelece que a ancoragem dos 
estribos deve necessariamente ser garantida por meio de ganchos ou barras 
longitudinais soldadas. Os ganchos dos estribos podem ser: 
 
 semicirculares ou em ângulo de 45o (interno), com ponta reta de 
comprimento igual a 5 t, porém não inferior a 5 cm; 
 em ânguloreto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10 t, 
porém não inferior a 7 cm (este tipo de gancho não deve ser utilizado para 
barras e fios lisos). 
 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 
11.16 
O diâmetro interno da curvatura dos estribos deve ser, no mínimo, igual ao 
valor dado na Tabela 2 (Tabela 9.2 da Norma). 
Tabela 2 – Diâmetros dos pinos de dobramento para estribos 
BITOLA (mm) CA - 25 CA - 50 CA - 60 
t  10 3 t 3 t 3 t 
10 < t < 20 4 t 5 t - 
t  20 5 t 8 t - 
 
10 EXEMPLOS DE CÁLCULO DO COMPRIMENTO DE ANCORAGEM 
 Apresentam-se dois exemplos, um para concreto C30 e outro para C70. 
10.1 Exemplo 1 
 Calcular o comprimento de ancoragem em situação de boa e má 
aderência, sem e com gancho. Dados: concreto C30, aço CA-50 (nervurado), 
 16 mm. 
a) Cálculo de fctd 
Para concreto de classe até C50, fctd é dado por (item 4): 
MPa
f
f
c
ck
ctd 448,1
4,1
3021,03,07,0 3/2
3/2






 
b) Resistência de aderência 
Para boa aderência, sem gancho, a resistência de aderência é dada por 
(item 4): 
ctdbd ff  321  448,10,10,125,2  = 3,259 MPa 
c) Boa aderência, sem gancho 
Para boa aderência, sem gancho, o comprimento de ancoragem básico é 
dado por (item 5.1): 
OKcm406,12553
259,3
15,1/500
4
6,1
25
4
 cml
f
f
l b
bd
yd
b 

 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 
11.17 
Portanto: 
cmlb 53 (boa aderência, sem gancho)
 
d) Boa aderência, com gancho 
De acordo com o item 5.2, o valor anterior deve ser multiplicado por 
 = 0,7 (efeito do gancho), resultando: 
cmlb 37 (boa aderência, com gancho) 
e) Má aderência, sem gancho 
No cálculo de bdf (item b deste exemplo), para má aderência, deve-se 
considerar 7,02  : 
ctdbd ff  321  448,10,17,025,2  = 2,281 MPa 
OKcm406,12576
281,2
15,1/500
4
6,1
25
4
 cml
f
f
l b
bd
yd
b 

 
Portanto: 
cmlb 76 (má aderência, sem gancho)
 Este valor também poderia ser obtido, simplesmente, dividindo o do item c 
(53 cm) por 0,7. 
f) Má aderência, com gancho 
Conforme o item 5.2, o valor anterior deve ser multiplicado por  = 0,7 
(efeito do gancho), resultando: 
cmlb 53 (má aderência, com gancho) 
 
10.2 Exemplo 2 
 Idem exemplo anterior para concreto C70. 
a) Cálculo de fctd 
Para concreto de classe superior a C50, fctd é dado por: 
293,2
4,1
70110112270110112270





),(n,,)f,(n,,
f
c
ck
ctd

 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 
11.18 
b) Resistência de aderência 
Para boa aderência, sem gancho, a resistência de aderência é dada por 
(item 4): 
ctdbd ff  321  293,20,10,125,2  = 5,160 MPa 
c) Boa aderência, sem gancho 
Para boa aderência, sem gancho, o comprimento de ancoragem básico é 
dado por (item 5.1): 
 
cml
f
f
l b
bd
yd
b 34
160,5
15,1/500
4
6,1
25
4
 

 
 Este valor deve ser pelo menos igual a 25  = 25 . 1,6 = 40 cm. 
Portanto: 
cmlb 40 (boa aderência, sem gancho) 
d) Boa aderência, com gancho 
De acordo com o item 5.2, o valor anterior deve ser multiplicado por 
 = 0,7 (efeito do gancho), resultando: 
cmlb 28 (boa aderência, com gancho) 
e) Má aderência, sem gancho 
No cálculo de bdf (item b deste exemplo), para má aderência, deve-se 
considerar 7,02  : 
ctdbd ff  321  293,20,17,025,2  = 3,612 MPa 
OKcm406,12548
612,3
15,1/500
4
6,1
25
4
 cml
f
f
l b
bd
yd
b 

 
Portanto: 
cmlb 48 (má aderência, sem gancho)
 
g) Má aderência, com gancho 
Conforme o item 5.2, o valor anterior deve ser multiplicado por  = 0,7 
(efeito do gancho), resultando: 
cmlb 34 (má aderência, com gancho) 
 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 
11.19 
QUESTIONÁRIO 
1. O que é ancoragem por aderência? 
2. Quais as parcelas da aderência e quais as causas delas? 
3. Por que existem situações de boa e de má aderência? Quais as causas? 
4. Como se determina o comprimento para ancoragem de uma barra? 
5. Como se pode reduzir o comprimento de ancoragem? 
6. Para estribos a 90º, segundo a ABNT NBR 6118:2014, como se determina 
o deslocamento a? 
7. Como se determinam os pontos de início de ancoragem e de interrupção 
de uma barra? 
8. Qual a dimensão mínima do apoio, para ancoragem das barras que 
chegam até o apoio? 
9. Como se determina o esforço nas barras para verificação da ancoragem 
em apoios estreitos? 
10. Como se determina o número de barras que devem ser prolongadas até o 
apoio? 
11. Quando no apoio não for possível a ancoragem das barras utilizadas, quais 
as providências que podem ser adotadas? 
12. Como este questionário pode ser complementado, com base nos demais 
conceitos apresentados neste texto? 
 
AGRADECIMENTOS 
Aos colaboradores na redação e na revisão deste texto: 
 
Marcos Vinícius Natal Moreira, 
Matheus Bueno Quirino, 
Murilo Alessandro Scadelai e 
Sandro Pinheiro Santos. 
 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Aderência e Ancoragem 
11.20 
REFERÊNCIAS 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (2014). NBR 6118 – 
Projeto de estruturas de concreto. Rio de Janeiro, ABNT. 
FUSCO, P.B. (1975). Fundamentos da técnica de armar: estruturas de 
concreto. v.3. São Paulo, Grêmio Politécnico. 
LEONHARDT, F.; MÖNNIG, E. (1977). Construções de concreto: princípios 
básicos do dimensionamento de estruturas de concreto armado. v.1. Rio de 
Janeiro, Interciência. 
PROMON ENGENHARIA (1976). Tabelas para dimensionamento de concreto 
armado: segundo a NB-1/76. São Paulo, McGraw-Hill do Brasil, 269p. 
VIGAS – CAPÍTULO 12 
Libânio M. Pinheiro, Cassiane D. Muzardo, Sandro P. Santos 
15 de maio de 2016 
VIGAS 
Vigas são “elementos lineares em que a flexão é preponderante” 
(ABNT NBR 6118: 2014, item 14.4.1.1). Portanto, os esforços predominantes são: 
momento fletor e força cortante. 
Nos edifícios, em geral, as vigas recebem cargas de lajes e de paredes, 
conduzindo-as até os pilares. 
Como neste capítulo o efeito do vento não será considerado, as vigas serão 
dimensionadas para resistir apenas às ações verticais. 
1 DADOS INICIAIS 
A primeira etapa do projeto das vigas consiste em identificar os dados iniciais. 
Entre eles incluem-se: 
 classe do concreto e do aço e seu cobrimento; 
 forma estrutural do andar, com os nomes das vigas e as dimensões preliminares 
em planta; 
 distância até o piso do andar superior; 
 reações de apoio das lajes; 
 cargas de parede por metro quadrado. 
Em seguida, devem ser considerados: esquema estático, vãos e dimensões das 
seções transversais. 
1.1 Vinculação 
No início deste cálculo simplificado, as vigas serão admitidas simplesmente 
apoiadas nos pilares. Posteriormente, serão consideradas suas ligações com os 
pilares de extremidade. 
1.2 Vão livre e vão efetivo 
Vão livre (ℓ0) é a distância entre as faces dos apoios (Figura 1). O vão efetivo 
(ℓef), também conhecido como vão teórico (ℓ), pode ser calculado por: 
ℓ = ℓ0 + a1 + a2 
com a1 igual ao menor valor entre t1/2 e 0,3h e a2 obtido com o mesmo critério (ABNT 
NBR 6118: 2014, item 14.6.2.4). 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 
12.2 
No entanto, quando os comprimentos dos apoios não forem muito grandes, é 
usual considerar ℓ igual à distância entre seus eixos, ou seja, a1 = t1/2 e a2 = t2/2. 
Nas vigasem balanço, vão livre é a distância entre a extremidade livre e a face 
externa do apoio, e o vão teórico pode ser considerado até o centro do apoio. 
 
 
 
Figura 1 – Vão livre e vão efetivo (Adaptada da ABNT NBR 6118:2014) 
1.3 Pré-dimensionamento 
As vigas não devem apresentar largura menor que 12 cm. Esse limite pode ser 
reduzido, respeitando-se um mínimo absoluto de 10 cm em casos excepcionais, sendo 
obrigatoriamente respeitadas as condições da ABNT NBR 6118:2014, item 13.2.2: 
 alojamento das armaduras e suas interferências com as armaduras de outros 
elementos estruturais, respeitando os espaçamentos e coberturas estabelecidos 
nesta Norma; 
 lançamento e vibração do concreto de acordo com a ABNT NBR 14931. 
Em edifícios, geralmente essas condições são adequadamente respeitadas 
quando se adota largura mínima de 14 cm. Sempre que possível, a largura das vigas 
deve ser adotada de maneira que elas fiquem embutidas nas paredes. 
Porém, nos casos de grandes vãos ou de tramos muito carregados, pode ser 
necessário adotar larguras maiores. Nesses casos, procura-se atenuar o impacto na 
arquitetura do edifício. 
Uma estimativa grosseira para a altura das vigas pode ser dada por: 
 tramos intermediários: hest = ℓ0/12 
 tramos extremos ou vigas biapoiadas: hest = ℓ0/10 
 balanços: hest = ℓ0/5 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 
12.3 
As vigas não podem invadir os espaços de portas e de janelas. Nas estruturas 
de edifícios, em geral se considera a abertura de portas com 2,20 m de altura. 
Para simplificar o cimbramento, procura-se padronizar as alturas das vigas. Não 
é usual adotar mais que duas alturas diferentes. Tal procedimento pode, 
eventualmente, gerar a necessidade de armadura dupla, em alguns trechos. 
Os tramos mais carregados, e principalmente os de maiores vãos, devem ter 
suas flechas verificadas posteriormente, ainda na fase de projeto. 
2 AÇÕES 
Em geral, as cargas nas vigas são: peso próprio, reações de apoio das lajes e 
peso de paredes. Eventualmente, as vigas podem receber cargas de outras vigas. 
As vigas podem, também, receber cargas de pilares, nos casos de vigas de 
transição ou vigas de fundação. 
Com exceção das cargas provenientes de outras vigas ou de pilares, que são 
concentradas, as demais podem ser admitidas uniformemente distribuídas. 
2.1 Peso próprio 
Com base no item 8.2.2 da ABNT NBR 6118:2014, na avaliação do peso próprio 
de peças de concreto armado, pode ser adotada a massa específica (c) 2500 kg/m
3. 
2.2 Reações das lajes 
No cálculo das reações das lajes e de outras vigas, é recomendável discriminar 
as parcelas referentes às ações permanentes e às ações variáveis, para que se 
possam estabelecer as combinações das ações, inclusive nas verificações de abertura 
de fissuras e de deformações excessivas (flechas). 
2.3 Peso de paredes 
 No cômputo do peso das paredes, em geral nenhum desconto é feito para vãos 
de portas e de janelas de pequenas dimensões. 
Essa redução pode ser feita quando a área de portas e janelas for maior do que 
1/3 da área total, devendo-se, nesse caso, incluir o peso dos caixilhos, vidros etc. 
Os pesos específicos dos materiais que compõem as paredes podem ser obtidos 
na “Tabela 8 – Peso específico dos materiais de construção”, que se encontra no 
capítulo sobre “Lajes Maciças”. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 
12.4 
3 ESFORÇOS 
Nas estruturas usuais de edifícios, para o estudo das ações verticais, as vigas 
podem ser admitidas simplesmente apoiadas nos pilares, observando-se a 
necessidade das correções indicadas no item 14.6.6.1 da ABNT NBR 6118:2014, 
reproduzidas no item 3.1 deste texto. 
Versões anteriores dessa norma indicavam que, se a carga variável fosse no 
máximo igual a 20% da carga total, a análise estrutural poderia ser realizada sem a 
consideração da alternância de cargas. Essa indicação não consta mais da versão 
atual (ABNT NBR 6118:2014), mas pode ser útil quando se deseja fazer um cálculo 
simplificado. Mais detalhes serão vistos na sequência, no item 3.2. 
3.1 Correções adicionais para vigas simplesmente apoiadas nos pilares 
A ABNT NBR 6118:2014, no item 14.6.6.1, indica que pode ser utilizado o 
modelo clássico de viga contínua, simplesmente apoiada nos pilares, para o estudo 
das cargas verticais, observando-se a necessidade das seguintes correções 
adicionais: 
a) não podem ser considerados momentos positivos menores que os que se 
obteriam se houvesse engastamento perfeito da viga nos apoios internos; 
b) quando a viga for solidária com o pilar intermediário e a largura do apoio, medida 
na direção do eixo da viga, for maior que a quarta parte da altura do pilar, não 
pode ser considerado momento negativo de valor absoluto menor do que o de 
engastamento perfeito nesse apoio; 
c) quando não for realizado o cálculo exato da influência da solidariedade dos 
pilares com a viga, deve ser considerado, nos apoios externos, momento fletor 
igual ao momento de engastamento perfeito (Meng) multiplicado pelos 
coeficientes estabelecidos nas seguintes relações: 
suprinf
r
vig
r
suprinf
r
engMvig
M


 

I
r   rigidez do elemento, avaliada conforme indicado na 
 figura 14.8 da ABNT NBR 6118:2014; 
vig sup, inf,  índices referentes ao pilar inferior, ao pilar superior e 
 à viga, respectivamente. 
De modo mais simples, esses índices podem ser indicados por i, s, v. A 
indicação das rigidezes resultaria: rv, ri, rs. 
3.2 Carga acidental maior que 20% da carga total 
No cálculo de uma viga contínua com carga uniforme, para se determinar a 
combinação de carregamento mais desfavorável para uma seção, deve-se considerar, 
em cada tramo, que a carga variável atue com valor integral ou com valor nulo. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 
12.5 
Na verdade, devem ser consideradas pelo menos três combinações de 
carregamento: (a) todos os tramos totalmente carregados, (b) tramos alternados 
totalmente carregados ou com valor nulo da carga variável e (c) idem, alterando a 
ordem dos carregamentos, isto é, os tramos totalmente carregados passam a ter carga 
variável nula e vice-versa. Essas três situações devem ser consideradas quando a 
carga variável for maior que 20% da carga total. 
Mesmo assim, é prática comum, no projeto de edifícios usuais, considerar 
apenas a primeira das três combinações citadas. Esse procedimento em geral não 
compromete a segurança, dada a pequena magnitude das cargas variáveis nesses 
edifícios, em relação à carga total. 
4 VERIFICAÇÕES 
Antes do cálculo das armaduras, é necessário verificar se a seção transversal é 
suficiente para resistir à flexão e ao cisalhamento. 
4.1 Flexão 
O momento fletor máximo na viga Md,máx deverá ser comparado com Md,lim, 
relativo ao valor limite de x = x/d especificado em função das classes do concreto: 
x = 0,45 para concretos até C50 (Md,lim = Md,0,45) e x = 0,35 (Md,lim = Md,0,35) para 
concretos de classe C55 até C90. Considera-se que esses limites correspondem aos 
máximos valores para os quais se pode usar armadura simples. 
Esses limites referem-se a um dimensionamento com ductilidade, boas 
condições econômicas e construtivas e situações também adequadas com relação aos 
estados limites de serviço. 
As comparações de Md,máx com Md,lim poderão ser feitas utilizando a Tabela 1.1 
(PINHEIRO, 2016), por meio da fórmula nela indicada: 
c
d
k
db
M
2
 , 
Utiliza-se, para a classe do concreto em questão, os valores de ck relativos a 
xlim (0,45 ou 0,35). 
Pode-se usar armadura simples para Md,máx ≤ Md,lim. Se resultar Md,máx > Md,lim,a 
seção deverá ser aumentada ou ser adotada armadura dupla. O emprego de seção T, 
quando for possível, também é uma alternativa. 
4.2 Cisalhamento 
O cálculo será feito pelo Modelo de Cálculo I da ABNT NBR 6118:2014. Porém, 
nada impede que ele seja feito pelo Modelo II. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 
12.6 
A força cortante na face do apoio VSd,face, ou, a favor da segurança, VSd,eixo, deve 
ser comparada com VRd2, valor relativo ao esmagamento da biela. Se resultar 
VSd,face > VRd2, a seção, necessariamente, deverá ser aumentada. 
De acordo com o item 17.4.2.2 da ABNT NBR 6118:2014, tem-se: 
VRd2 = 0,27v2 fcd bw d 
v2 = (1 – fck / 250) , fck em MPa ou v2 = (1 - fck / 25) , fck em kN/cm
2 
fcd  resistência de cálculo do concreto à compressão 
 bw  menor largura da seção, compreendida ao longo da altura útil 
 d  altura útil da seção, igual à distância da borda comprimida ao centro de 
gravidade da armadura de tração 
O estudo completo da ação da força cortante encontra-se no capítulo sobre 
“Cisalhamento em Vigas”. 
5 CÁLCULO DAS ARMADURAS E OUTRAS VERIFICAÇÕES 
O cálculo das armaduras é feito a partir dos diagramas de esforços, já com seus 
valores de cálculo (ver Figura 3: memória resumida). 
As armaduras longitudinais e transversais são calculadas, respectivamente, das 
maneiras indicadas nos capítulos sobre “Flexão Simples na Ruína: Tabelas para 
Seção Retangular” e “Cisalhamento em Vigas”. 
As verificações de ancoragem nos apoios e o estudo dos estados limites de 
serviço encontram-se, respectivamente, nos capítulos sobre “Aderência e Ancoragem” 
e “Estados Limites de Serviço”. 
Exemplos desses cálculos são apresentados no item 7. 
6 REAÇÕES DE APOIO TOTAIS 
Calculadas as reações de apoio de todas as vigas do andar, pode ser elaborado 
um esquema do tabuleiro, com as reações em cada pilar, discriminando-se as 
parcelas referentes a cada viga e indicando-se os valores totais. Estes serão somados 
às ações provenientes dos demais andares para se efetuar o dimensionamento de 
cada tramo dos pilares. 
7 EXEMPLO DE VIGA BIAPOIADA 
Apresenta-se o projeto da viga V1, apoiada nas vigas V2 e V3 (Figura 2). 
 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 
12.7 
 
Figura 2 – Forma da viga biapoiada 
 
Recomenda-se elaborar uma memória resumida, como a indicada na Figura 3, o 
que facilita o trabalho do autor do projeto e de outros que precisem utilizar essa 
memória de cálculo, como, por exemplo, em trabalhos de verificação. 
Essa memória resumida deve conter as informações essenciais para o projeto e 
os principais resultados obtidos, entre os quais: 
 nome da viga e dimensões da seção transversal (em cm); 
 classe do concreto e do aço e cobrimento nominal c da armadura (em cm); 
 valores de referência para cálculo de flexão – Md,0,45 (em kN.m); 
 valores de referência para cálculo de cisalhamento – VRd2 e VRd,vão (em kN); 
 esquema estático com identificação dos apoios e seus comprimentos (em m); 
 vão equivalente (em m); 
 valores característicos das cargas parciais, relativas a peso próprio (pp), laje 
superior (ℓ,sup, acima da viga, na planta), laje inferior (ℓ,inf, abaixo da viga, na 
planta), parede (par) etc., e totais (p), com destaque para as cargas variáveis (q) 
(todas em kN/m); 
 esforços característicos Vk, Rk e Mk (unidades kN e m); 
 diagramas de esforços de cálculo – Vd e Md (unidades kN e m); 
 barras longitudinais (ℓ em mm) com seus comprimentos (em cm); 
 estribos t (em mm), espaçamento e comprimento dos trechos com mesmo 
espaçamento (em cm). 
 
7.1 Dados iniciais 
Os dados iniciais estão indicados na Figura 3 (dimensões em metros): 
Nome da viga (V1); dimensões da seção (22 x 40) (em centímetros); 
Classe do concreto (C25) e do aço (CA-50); cobrimento c = 2,5 (Classe I); 
Esquema estático; 
Dimensões dos apoios na direção do eixo da viga (0,22); 
Vão teórico (4,10) 
Nome dos apoios (V2 e V3). 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 
12.8 
Observação – A Figura 3 está desatualizada. Precisa ser adaptada, nos seguintes 
itens: 
 
a) Dados acima do esquema estático 
V1 (22x40) Md,0,45 = 126,0 kN.m 
C25, CA-50, c = 2,5 VRd2 = 342,7 kN 
 VRd,vão = 100,7 kN (smáx) 
 
b) Na carga da laje inferior 
ℓ,inf 20,0 (4,3), colocar 15,0 (4,3) 
 
c) No diagrama de Vd 
Substituir Vdmín por Vd,vão e, no trecho de comprimento 69, colocar 61. 
 
d) No final da figura, na indicação dos estribos 
Substituir 73 por 61. 
 
7.2 Ações 
As cargas da viga, admitidas uniformes, são: peso próprio, reações das lajes e 
peso de parede (Figura 3). As partes das reações de apoio das lajes, relativas às 
cargas variáveis, são indicadas entre parênteses. 
 pp = 0,22 x 0,40 x 25 = 2,2 kN/m 
 ℓ,sup = 20,0 kN/m (5,7 kN/m), ℓ,inf = 15,0 kN/m (4,3 kN/m) 
(valores obtidos no cálculo de lajes) 
 par = 4,00 x 3,2 = 12,8 kN/m (4 m de parede, 3,2 kN/m2) 
 carga total p = 50,0 kN/m; carga variável q = 10,0 kN/m 
 
7.3 Esforços e diagramas 
Numa viga biapoiada, o cálculo dos esforços é muito simples. Seus valores 
característicos são (Figura 3): 
Vk = pℓ / 2 = 50,0 x 4,10 / 2 = 102,5 kN 
Mk = pℓ2 / 8 = 50,0 x 4,102 / 8 = 105,1 kN.m 
Neste caso, as reações nos apoios V2 e V3 são iguais às forças cortantes nos 
eixos dos apoios. Portanto, seus valores são: V2 = 102,5 kN e V3 = 102,5 kN. 
 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 
12.9 
 
 
Figura 3 – Memória resumida 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 
12.10 
Em seguida, são traçados os diagramas dos esforços de cálculo (Figura 3), cujos 
valores máximos são: 
Md,máx = f Mk = 1,4 . 105,1 = 147,1 kN.m 
Vd,eixo = f Vk = 1,4 . 102,5 = 143,5 kN 
Nas faces dos apoios tem-se: 
Vd,face = Vd,eixo – pd . t / 2 = 143,5 - 1,4 . 50,0 . 0,22 / 2 = 135,8 kN 
 
7.4 Altura útil d 
Para a seção indicada na Figura 4, tem-se: 
d’ = h – d = c + t + ℓ/2 
O cobrimento é um dado inicial: c = 2,5 cm. 
Para vigas com larguras da ordem de 20 cm ou maiores, pode-se admitir, 
inicialmente t = 0,63 cm. 
Em vigas de edifícios, os valores máximos de ℓ em geral não ultrapassam 
16 mm ou 20 mm, respectivamente 1,6 cm e 2,0 cm. Considerado ℓ = 2 cm, resultam 
os valores estimados: 
d’ = 2,5 + 0,63 + 2,0/ 2 = 4,13  4,1 cm 
d = h – d’  40 – 4,1 = 35,9 cm 
 
 
 
Figura 4 – Seção transversal da viga 
 
7.5 Verificação da seção 
Inicialmente, a seção deverá ser verificada para flexão e cisalhamento. 
 
a) Flexão 
Utilizando a Tabela 1.1 (PINHEIRO, 2016), para C25, obtém-se: 
 mkNcmkN
k
db
M
dc
dd .0,126.12602
25,2
9,3522 2
45,0,
2
45,0, 



 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 
12.11 
 
Md,máx = 147,1 kN.m > Md,0,45 = 126,0 kN.m → armadura dupla. 
 
Com armadura dupla, resultaria a mesma armadura de tração e 2  10 mm de 
armadura de compressão. 
Mesmo sabendo que seria necessária armadura dupla, será dado 
prosseguimento à elaboração do exemplo com armadura simples, até futura 
atualização deste exemplo. 
 
b) Cisalhamento 
Para unidades kN e cm, tem-se: 
kNdbfV wcdvRd 7,3429,3522
4,1
5,2
25
5,2
127,027,0 22 





  
VSd,face = VSd,eixo – pd . t/2 = 143,5 – 1,4 . 50 . 0,22/2 = 135,8 kN 
Portanto, VSd,face << VRd2 ➜ As bielas resistem, com folga! 
 
7.6 Armadura longitudinal 
Com base na Tabela 1.1 (PINHEIRO, 2016): 
 
14710
9,3522 22 



d
c
M
db
k  030,09,1  sc kk 
 229,12
9,3514710030,0
cm
d
Mk
A dss 



 
Na Tabela 1.3a (PINHEIRO, 2016), obtém-se: 4  20 (12,57 cm2), que podem ser 
alojadas em uma única camada, desde que o diâmetro máximo dos agregados 
corresponda ao da brita 1 (diâmetro máximo de 19 mm). 
 As barras longitudinais de flexão estão indicadas na Figura 3. O cálculo dos 
comprimentos das barras interrompidas antes dos apoios, denominado decalagem, 
será visto no item 7.10. 
 
7.7 Estribos 
a) Contribuição do concreto Vc 
Vc = 0,6 fctd b d 
Itens 17.4.2.2 e 8.2.5 da NBR 6118:2014, com c = 1,4 e fck em MPa: 
fctd = fctk,inf /c = 0,7 fct,m / c = 0,7. 0,3 fck
2/3 /1,4 = 0,15 fck
2/3 
fctd = 0,15 . 25
2/3 = 1,2825 MPa = 0,12825 kN/cm2 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 
12.12 
Vc = 0,6 fctd b d = 0,6 . 0,1282 . 22 . 35,9 
Vc = 60,8 kN 
 
b) Taxa mínimawmín 
ywk
f
m,ct
f
2,0
min,w
 
fck em MPa i fct,m = 0,3 fck2/3 = 2,565 MPa = 0,2565 kN/cm
2 
w,mín =
50
25650
20
,
, = 0,001026 = 0,1026% 
Este valor também pode ser obtido no capítulo sobre “Cisalhamento em Vigas”, 
na Tabela 1. 
 
c) Diâmetro dos estribos (item 18.3.3.2 da NBR 6118:2014) 
mmmín,t 5 
mmb, wmáx,t 2210  
Adotando-se t = 5 mm ou t = 6,3 mm, são satisfeitas as duas condições. Esses 
diâmetros são os mais utilizados em vigas de edifícios. Como já foi citado, para vigas 
com larguras da ordem de 20 cm ou maiores, são mais comuns os estribos de 6,3 mm. 
 
d) Número de ramos (n) e espaçamento transversal dos estribos (st) 
Em vigas usuais de edifícios, em geral são usados estribos de dois ramos (n = 2) 
e esta verificação é desnecessária. 
Constituem exceções as vigas com grande largura, como as vigas chatas (ou 
vigas-faixa), e vigas muito carregadas, como algumas vigas de fundação, vigas de 
transição etc., nas quais os estribos múltiplos podem ser necessários (n = 4, 6 etc.). 
Nesses casos, deve ser feita a verificação do espaçamento transversal máximo 
(st,máx) dos ramos dos estribos, como se indica a seguir. 
Se VSd,face  0,20 VRd2, st,max = d  80 cm; 
Se VSd,face > 0,20 VRd2, st,max = 0,6d  35 cm. 
Para ilustrar o procedimento, neste exemplo tem-se: 
VSd,face = 135,8 kN e VRd2 = 342,7 (item 7.4b) 
Resulta VSd,face = 0,40 VRd2, ou seja, VSd,face > 0,20 VRd2 e: 
st,máx = 0,6 . d = 0,6 . 35,9 ≅ 22 cm < 35 cm ➜ st,máx = 22 cm 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 
12.13 
Como a viga tem b = 22 cm, a distância transversal entre os eixos dos ramos do 
estribo não pode ultrapassar: 
st = b – 2 (c + t/2) = 22 – 2 (2,5 + 0,63/2) = 16,4 cm < 22 cm. 
Portanto, adota-se estribo de dois ramos, com st = 16,4 cm. 
 
e) Espaçamento máximo longitudinal dos estribos (smáx) 
Se VSd  0,67 VRd2, então smáx= 0,6 d  300 mm. 
Se VSd > 0,67 VRd2, então smáx= 0,3 d  200 mm. 
No item anterior verificou-se que VSd,face = 0,40 VRd2, ou seja, 
VSd,face < 0,67 VRd2 ➜ smáx= 0,6 d  300 mm 
É o que geralmente acontece. Portanto: 
st,máx = 0,6 . d = 0,6 . 35,9 ≅ 22 cm < 30 cm ➜ st,máx = 22 cm 
ou seja, no trecho central, uma possibilidade seria usar estribos  6,3 mm cada 22 cm, 
ou seja,  6,3 c/ 22. 
 
f) Taxa de armadura dos estribos com espaçamento máximo (w,smáx) 
 Na Tabela 1.4a (PINHEIRO, 2016), para  6,3 c/ 22 determina-se: 
asw,smáx = 1,42 cm
2/m, valor que corresponde a: 
w,smáx = 2 (asw,smáx / b) = 2 . 1,42/22 
w,smáx = 0,1291% > w,mín = 0,1026% 
 
g) Área das barras dos estribos no trecho central do vão (asw,vão) 
Entre w,mín = 0,1026% e w,smáx = 0,1291%, adota-se o maior valor. 
Portanto: w,vão = 0,1291%, valor que corresponde a  6,3 c/ 22, de acordo com 
o item anterior 7.6e, que corresponde a asw,smáx. 
 
h) Força cortante resistente para os estribos do vão (VRd,vão) 
VRd,vão = Vc + Vsw,vão, com Vc = 60,8 kN (item 7.6a). 
Vsw,vão = w, vão . 0,9 fywd . bd 
fywd = 43,5 kN/cm2 
Vsw,vão = w,vão . 0,9 fywd . bd = 0,1291% x 0,9 x 43,5 x 22 x 35,9 
Vsw,vão = 39,9 kN 
 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 
12.14 
Resulta: 
VRd,vão = Vc + Vsw,vão = 60,8 + 39,9 
VRd,vão = 100,7 kN 
 
i) Trecho de comprimento a com VSd,d/2 > VRd,vão 
Força cortante a d/2 da face do apoio (item 17.4.1.2.1 da NBR 6118:2014): 
VSd,d/2 = VSd,eixo - pd (t + d) / 2 
Para pd = 70 kN/m, t = 0,22 m, d = 0,359 m, tem-se: 
pd (t + d) / 2 = 70 (0,22 + 0,359)/2 = 20,3 kN 
Resulta: 
VSd,d/2 = 143,5 – 20,3 = 123,2 kN > VRd,vão = 100,7 kN 
Portanto, há necessidade de calcular os estribos junto aos apoios, no trecho de 
comprimento: 
 cmm
p
VV
a
d
mínSdeixoSd
6161,0
70
7,1005,143,,




 
j) Estribos junto aos apoios 
kN4,628,602,123VVV c2/d,Sdsw  
m/cm44,4cm/cm0444,0
5,439,359,0
4,62
fd9,0
V
s
A
a 22
ywd
swsw
sw 



 
)ramos2deestribos(m/cm22,2
n
a 2sw  
Pode-se adotar: 
 6,3 c/ 14 (2,25 cm2/m) 
 
7.8 Comprimento de ancoragem 
O comprimento de ancoragem básico pode ser obtido na Tabela 1.5a ou na 
Tabela 1.5b (PINHEIRO, 2016), como indicado nos itens a e b a seguir. 
Pode ser obtido, também, em função da resistência de aderência, como se vê 
nos itens c e d, com procedimento visto no capítulo sobre “Ancoragem”. De fato, foi 
com esse procedimento que se construíram as tabelas 1.5a e 1.5b. 
 
a) Tabela 1.5a 
Nessa tabela, para C25, boa aderência, CA-50, sem gancho, tem-se: 
ℓb = 38 = 38 . 2 = 76 cm 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 
12.15 
b) Tabela 1.5b 
Na Tabela 1.5b, para as mesmas condições,  = 20 mm, tem-se: 
ℓb = 75 cm 
A diferença em relação ao valor anterior (76 cm) deve-se a erro de aproximação, 
erro este que é menor na Tabela 1.5b. 
 
c) Resistência de aderência 
 ctdbd ff  321 
 
)32(0,1
)(0,1
)50(25,2
3
2
1
mmpara
aderênciaboadesituação
nervuradasbarrasCA






 
 2ctd cm/kN1282,0f  (Item 7.6a) 
 2bd cm/kN289,01282,00,10,125,2f  
 
d) Comprimento de ancoragem básico 
 cm75
289,015,1
50
4
0,2
f
f
4 bd
yd
b 



 
 Este é o valor indicado na Tabela 1.5b. 
 
7.9 Ancoragem no apoio 
A notação é indicada na figura 5.5. 
 
Figura 5.5 – Ancoragem no apoio 
 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 
12.16 
a) Dimensão mínima do apoio 
O comprimento de ancoragem mínimo ℓb,mín em apoios extremos, de acordo com 
o item 18.3.2.4.1 da ABNT NBR 6118:2014, é dado por: 
 






cm660mm
cm192,09,55,54 )5,5(r
mín,b 
 Como OKcm19cm5,195,222ct mín,bdisp,b   
 
 Na direção perpendicular ao gancho deve-se ter cobrimento .cmc 7 
 
b) Esforço a ancorar e armadura calculada para tensão fyd 
 face,ds V
d
a
R   
 
)8,608,135(2
8,135
)VV(2
V
d
a
cface,d
face,d



 = 0,905 > 0,5 OK! 
 
 kN9,1228,135905,0Rs  
 2, 83,2
15,1/50
9,122
cm
f
R
A
yd
s
calcs  
c) Armadura necessária no apoio 
 
nec,s
cal,s
b1disp,b
A
A
  
 2calc,s
disp,b
b1
nec,s cm62,783,2
5,19
757,0
AA 






 
 Como 2,, 10,429,12
3
1
3
1
:0 cmAAM vãosapoiosapoio  
 
 É necessário prolongar três barras até o apoio: 
 2mec,s2apoio,s cm62,7Acm45,9A:203  
 
7.10 Decalagem da armadura longitudinal 
 Como foi visto no item 7.8c, três barras devem ser prolongadas até os apoios. 
Portanto deve ser calculado, somente, o comprimento da 4a barra (ver Figura 3). 
 Como 2,
2
, 29,1260,12cmAcmA calcsefs  , o comprimento de ancoragem 
necessário é menor que b , porém não pode ser menor que mín,b , dado pelo maior 
dos valores: 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 
12.17 
 









cm10100mm
 cm202,01010
 cm22,5750,33,0 b
mín,b

 
 No cálculo de mec,b , adota-se: 
 1 = 1 (Barra sem gancho) 
 cm75b  (Item 7.7) 
 
2
calc,s cm29,12A  (Item 7.5) 
 2, 57,12 cmA efs  (4  20) 
 
 Com esses valores, obtém-se: 
 cm
A
A
efs
cals
bmecb 73
57,12
29,12
750,1
,
,
1,    > b,min = 22,5 cm 
 a) Deslocamento a 
 Como 905,0
d
a
 (Item 7.8), resulta: 
 cm329,35905,0d905,0a  
 b) Comprimento da 4a barra 
 






cm10573320a0
cm1540,2103210210a102
mec,b
e4 



 
 cm3081542d4e44   
 Valor adotado: cmt 3104  (múltiplo de 10 cm) 
 
7.11 Estados limites de serviço 
A verificação dos estados limites de serviço (momento de fissuração, abertura de 
fissuras e deformação excessiva) encontra-se no capítulo sobre “Estados Limites de 
Serviço”. Não há providências a tomar. 
 
7.12 Desenho de armação 
 Com base na memória resumida da Figura 3, pode ser construído o desenho de 
armação, que se encontra na Figura 6, que também precisa ser adaptada. Na barra 
N3, deve ser indicado o diâmetro de dobramento. 
 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Vigas 
12.18 
 
Figura 6 – Desenho de armação 
ESTADOS-LIMITES DE SERVIÇO EM VIGAS DE CONCRETO ARMADO 
 
IBRACON, CT-301, atualizado em outubro de 2015 
 
Autor: Libânio M. Pinheiro (1); 
Revisor da primeira edição: José Martins Laginha (2) 
Revisor da segunda edição: Daniel Miranda dos Santos (3) 
 
(1) Prof. Dr., USP, Escola de Engenharia de São Carlos. E-mail: libanio@sc.usp.br 
(2) Eng. Civil, GTP Grupo Técnico de Projetos. E-mail: projeto@gtp.com.br 
(3) Eng. Civil, EGT Engenharia Ltda. E-mail: danielmiranda@usp.br 
 
1. Dados iniciais 
Apresenta-se a verificação dos estados limites de serviço para a viga biapoiada de um edifício 
residencial, indicada na Figura 1, com seção de 22 cm x 40 cm, vão equivalente ℓ = 410 cm, 
concreto C25, aço CA-50, armadura longitudinal 4  16 (8,04 cm2), d = 35,5 cm, classe II de 
agressividade ambiental (c = 3 cm, conforme o item 7.4, tabela 7.2). Os itens e as tabelas aqui 
indicadas referem-se à NBR 6118:2014. Serão admitidos os valores característicos das ações: 
 
gk = 28 kN/m, qk = 7 kN/m, pk = gk +qk = 35 kN/m 
 
 
Figura 1 – Viga biapoiada 
 
2. Estado-limite último (ELU) de flexão 
O momento de cálculo é: 
��� =
1,4 ∙ 35 ∙ 4,1�
8
= 102,96	�� ∙ � 
 
A posição da linha neutra e a armadura relativa ao ELU de flexão resultam: 
 
� = 1,25 ∙ 35,5���1 −�1 −
10296�� ∙ �� ∙ 1,4
0,425 ∙ 22�� ∙ 35,5���� ∙ 2,5 �� ���⁄
� = 12,66	�� 
� �⁄ = 0,36 < 0,45	(��) – item 14.6.4.3 
�� =
102,96
(0,355 − 0,4 ∙ 0,1266) ∙ 43,5
= 7,78	���	(4	∅	16) 
 
3. Momento de fissuração 
O cálculo do momento de fissuração é indicado no item 17.3.1: 
t
cct
r
y
If
M

 (1) 
 = 1,5 (seção retangular) 
2 
 
4
33
c cm333117
12
4022
12
 
hb
I 



 (2) 
cmt 20
2
40
2
h
y  (3) 
 
3.1 Formação de fissuras 
No estado-limite de formação de fissuras (ELS-F), segundo o item 17.3.1, deve ser usado o fck,inf 
(8.2.5 da Norma): 
23/23/2
,inf / 1795,0 795,12521,0f3,07,0ff cmkNMPackctkct  (4) 
mkNcmkNr . 80,15. 1580
20
1173331795,05,1
M 

 (5) 
 
3.2 Deformação excessiva 
No estado-limite de deformação excessiva (ELS-DEF), deve ser usado o fct,m (8.2.5 da Norma): 
23/23/2 / 2565,0 565,2253,0f 3,0ff cmkNMPackctmct  (6) 
mkNcmkNr . 57,22. 2257
20
1173332565,05,1
M 

 (7) 
 
4. Cálculo em serviço para seção fissurada 
Neste item são consideradas as combinações de serviço, as posições da linha neutra e o 
momento de inércia. 
 
4.1 Combinações de serviço 
Como se trata de elemento estrutural de concreto armado de uma edificação residencial, os 
estados-limites de serviço a serem verificados são o ELS-W (abertura de fissura) e o ELS-DEF 
(deformação excessiva). 
A combinação de ação a ser considerada para a verificação do ELS-W é a combinação frequente 
(tabela 13.4). No caso do ELS-DEF, as flechas são, usualmente, verificadas com a combinação 
quase permanente (item 11.8.3.1a). No entanto, em casos especiais em que os elementos não 
estruturais (como vedações) são sensíveis às deformações da estrutura, o ELS-DEF pode ser 
verificado com a combinação frequente (11.8.3.1b). 
 Combinação quase permanente 
Para edifícios residenciais, 2 = 0,3 (conforme 11.7.1, tabela 11.2). Neste exemplo, a única ação 
variável é a carga de uso e, portanto, a combinação quase permanente das ações é (tabela 11.4): 
 mkNkkCQP / 1,3073,028qgpp 2   (8) 
 
O momento da combinação quase permanente é: 
mkN. 25,63
8
10,41,30
M
2
CQP 

 (9) 
3 
 
 Combinação frequente 
Para edifícios residenciais, 1 = 0,4 (tabela 11.2, edifícios residenciais), obtêm-se (tabela 11.4): 
 mkNkkCF / 8,3074,028qgpp 1   (10) 
mkN. 72,64
8
10,48,30
M
2
CF 

 (11) 
Como MCQP = 63,25 kN.m > Mr = 22,6 kN.m, ou seja, há fissuras e é necessário calcular a posição 
da linha neutra (xII) e o momento de inércia ( III) no estádio II, para ambas as verificações (ELS-W 
e ELS-DEF). 
4.2 Linha neutra 
Para seção retangular com armadura simples, xII é obtido com a equação: 
0sese
2  dA x A x
2
b
 (12) 
Es = 210 GPa = 210000 MPa (conforme 8.3.5) (13) 
Ecs = 24000 MPa (conforme 8.2.8, tabela 8.1) (14) 
No caso do ELS-DEF, a relação entre os módulos é dada por: 
758
24000
210000
E
E
,
cs
s
e  (conforme 17.3.2.1.1) (15) 
Logo, 
05,3504,875,8x04,875,8x
2
22 2  
11x2 + 70,35 x – 2497,425 = 0 
xII = 12,21 cm (a raiz negativa é ignorada) (16) 
No entanto, para a avaliação da abertura de fissura, o cálculo no estádio II pode ser feito 
considerando a relação e entre os módulos igual a 15 (NBR 6118, item 17.3.3.2). 
Logo, para a avaliação da abertura de fissura, a linha neutra no estádio II pode ser considerada 
como sendo: 
05.3504,815x04,815x
2
22 2  
11x2 + 120,6 x – 4281,3 = 0 
xII = 14,99 cm (a raiz negativa é ignorada) (17) 
 
4.3 Momento de inércia 
Para seção retangular com armadura simples, III é dado por: 
2
IIse
3
II
II )(
3
xd A
x b
I  (18) 
4 
 
Para avaliação do ELS-DEF, tem-se: 
4
II
2
3
 51509I)21,125,35( 04,875,8
3
21,1222
I cmII 

 (19) 
Para avaliação do ELS-W, tem-se: 
4
II
2
3
 75432I)99,145,35( 04,815
3
99,14.22
I cmII  (20) 
 
5. Estado limite de deformação excessiva 
Como a seção está fissurada, antes do cálculo das flechas, é necessário calcular o 
momento de inércia equivalente. 
 
5.1 Momento de inércia equivalente 
Com base em 17.3.2.1.1: 
 II
a
r
c
a
r
eq I
M
M
1I
M
M
I
33





















 (21) 
São conhecidos os valores: 
Mr = 22,57 kN.m (ELS - DEF) (equação 7) 
Ma = MCQP = 63,25 kN.m (equação 9) 
Ic = 117333 cm
4 (equação 2) 
III = 51509cm
4 (equação 19) 
Resulta: 
4
33
 5450015095 
25,63
57,22
1333 117
25,63
57,22
II cmeq 




















 (22) 
 
5.2 Flecha imediata 
Para viga biapoiada, a flecha imediata (assumida elástica) é dada pela expressão: 
 
IE
p
a



4
i
384
5 
 (23) 
 
E = Ecs = 24000 MPa = 2400 kN/cm
2 (equação 14) 
 
Substituindo, na equação 23, ℓ = 410 cm e os valores obtidos nas equações 8, 14 e 22, resulta: 
cmii 85,0a
54500.2400
410
100
1,30
384
5
a
4
 (24) 
 
5.3 Flecha diferida 
De acordo com 17.3.2.1.2: 
5 
 
 
'501
f


 (25)
 32,168,02
mês1
meses70
0






t
t
 (tabela 17.1) (26) 
 
’ = 0 (armadura simples) 
32,1
1
32,1
f  (27) 
af = f . ai = 1,32 . 0,85  af = 1,12 cm (28) 
 
5.4 Flecha total 
A flecha total pode ser obtida conforme indicado no final em 17.3.2.1.2: 
 
at = ai (1+f) = 0,85 (1+1,32)  at = 1,97 cm (29) 
 
5.5 Flecha limite 
Para aceitabilidade visual, da maneira indicada em 13.3, tabela 13.3: 
 cm64,1
250
410
250
lim a 
 (30) 
 
Há necessidade de contraflecha, pois: 
 
at = 1,97 cm > alim=1,64 cm 
 
5.6 Contraflecha 
Pode ser adotada uma contaflecha da ordem da flecha imediata: 
 
cmic 85,0aa  (31) 
 
A contraflecha, também, pode ser um pouco maior que a flecha imediata. Porém, a NBR6118, em 
sua tabela 13.3, não permite contraflecha maior que o valor: 
 ac,lim cm17,1
350
410
350


 (32) 
Como é usual adotar um valor múltiplo de 0,5 cm, pode-se adotar contraflecha de 1,0 cm, menor 
que o limite de 1,17 cm, e que acarretaria uma flecha final de 0,97 cm, menor que alim = 1,64 cm. 
 
5.7 Outras providências 
Quando forem necessárias, há outras providências que podem ser adotadas para diminuir as 
deformações. As mais comuns são: aumentar a seção transversal (b ou h), aumentar As ou adotar 
armadura de compressão A’s. 
Deve-se ressaltar que aumentar h é a alternativa mais eficiente. 
 
6 Abertura de fissuras 
A verificação do ELS-W pode ser feita com base no item 17.3.3 da Norma. 
6 
 
 
6.1 Dados iniciais 
  = 16 mm 
  = 2,25 (Barras nervuradas, CA-50, 9.3.2.1 e tabela 8.3) 
 Es = 210 000 MPa = 21 000 kN/cm
2 (equação 13) 
 sA = 8,04 cm
2 (4  16) 
 fct,m = 0,2565 kN/cm
2 (equação 6) 
 
6.2 Taxa de armadura 
Será considerada a taxa de armadura de tração em relação à área da região de envolvimento Acr 
(Figura 2). 
Para b = 22 cm, c = 3,0 cm, t = 0,63 cm e ℓ = 1,6 cm, resulta: 
Acr = b (d’ + 7,5 ℓ) = 22 (4,5 + 7,5 x 1,6) = 363 cm
2 (33) 
 
%21,20221,0
363
04,8
A
A

cr
s
r (34) 
 
Figura 2 - Área Acr 
 
6.3 Cálculo de s no estádio II com e = 15 
2/ 40,26
75432
)99,145,35(647215
I
)xd(M 
cmkN
II
IICFe
s 





 (35) 
CFM (equação 11); IIx (equação 17) e III (equação 20) 
 
6.4 Cálculo de s no estádio II com e = Es/Ec = 8,75 
Para comparar os resultados, será considerado e = Es/Ecs = 8,75 (equação 15). Nessas 
condições tem-se: xII = 12,21 cm (equação 16) e III = 51509 cm
4 (equação 19). Resulta: 
7 
 
 
2/ 61,25
51509
)21,125,35(647275,8
I
)xd(M 
cmkN
II
IICFe
s 





 (36)
 
 
Como este valor é muito próximo do obtido no item anterior (3% menor), parece não haver 
diferença significativa em se considerar e = Es/Ecs = 8,75, em vez de e = 15, como preconiza a 
Norma. 
 
6.5 Cálculo aproximado de s 
Para seção retangular com armadura simples, no estádio II, um valor aproximado de s pode ser 
obtido com a expressão: 
2/ 68,26
04,85,3585,0
6472
85,0
M
cmkN
Ad s
CF
s 



 (37) 
Nota-se que este valor de s é muito próximo dos obtidos nos dois itens anteriores. Em relação ao 
obtido com e = 15, ele resultou pouco mais de 1% maior, e 4,2% maior que o relativo a e= 8,75. 
Portanto, em um cálculo preliminar, a verificação pode ser feita com a tensão s obtida com este 
cálculo aproximado. 
 
6.6 Cálculo de wk 
Com as expressões indicadas em 17.3.3.2, fctm dado pela equação 6, s = 26,40 kN/cm
2 e com os 
demais valores obtidos nos itens anteriores, obtêm-se: 
 





























45
4
5,12
3
5,12
risi
si
1
i
2
ctm
si
si
si
1
i
1
k
E
w
fE
w
w (38) 
mm22,0
2565,0
40,263
21000
40,26
25,25,12
16
w1 



 
 mm16,045
0221,0
4
21000
40,26
25,25,12
16
w 2 







 
 
Como se considera o menor valor entre w1 e w2, resulta: 
 
wk = 0,16 mm (39) 
 
6.7 Verificação da abertura limite 
A abertura limite é dada na tabela 13.4 (item 13.4.2). Para concreto armado e classe de 
agressividade ambiental II, tem-se: wlim = 0,3 mm. Portanto: 
 
wk = 0,16 mm < wim = 0,3 mm  OK! (40) 
Constata-se que a verificação ocorre com folga, o que justificaria o emprego do cálculo 
aproximado para determinação de s. 
 
 
 
 
8 
 
6.8 Providências 
Caso a verificação de abertura de fissuras não seja atendida, as principais providências são: 
 
 diminuir o diâmetro das barras da armadura de tração (respeitando-se As,nec); 
 aumentar a quantidade de armadura (diminuir s); 
 aumentar a seção transversal (b ou h). 
 
Agradecimentos 
À colaboração de: 
Ana Maria da Silva Brandão, 
Anastácio Cantisani de Carvalho, 
Cassiane Daniele Muzardo, 
Lezzir Ferreira Rodrigues, 
Marcos Vinícius Natal Moreira 
Rafaela Montefusco e 
Sandro Pinheiro Santos. 
 
Referência 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2014. Projeto de 
estruturas de concreto – procedimento. Rio de Janeiro. 
 
ESTRUTURAS DE CONCRETO – CAPÍTULO 18 
Juliana S. Lima, Mônica C.C. da Guarda, Winston Zumaeta, Libânio M. Pinheiro 
8 de junho de 2016 
TORÇÃO 
1. GENERALIDADES 
O fenômeno da torção em vigas vem sendo estudado há algum tempo, com 
base nos conceitos fundamentais da Resistência dos Materiais e da Teoria da 
Elasticidade. Vários pesquisadores já se dedicaram à compreensão dos tipos de 
torção, à análise da distribuição das tensões cisalhantes em cada um deles, e, 
finalmente, à proposição de verificações que permitam estimar resistências para as 
peças e impedir sua ruína. 
Apesar dos primeiros estudos sobre torção serem atribuídos a Coulomb, as 
contribuições de Saint-Venant (aplicação da torção livre em seção qualquer) e 
Prandlt (utilização da analogia de membrana) é que impulsionaram a solução para o 
problema da torção. No caso específico de análise de peças de concreto, foi a partir 
de Bredt (teoria dos tubos de paredes finas) que o fluxo das tensões foi 
compreendido. Na parte experimental, podem-se destacar os estudos de Mörsch, 
Thürlimann e Lampert, fundamentais para o conhecimento do comportamento 
mecânico de vigas submetidas à torção. 
Em geral, os estudos sobre torção desconsideram a restrição ao 
empenamento, como nas hipóteses de Saint-Venant, mas, na prática, as próprias 
regiões de apoio (pilares ou outras vigas) tornam praticamente impossível o livre 
empenamento. Como consequência, surgem tensões normais (de coação) no eixo 
da peça e há uma redução datensão cisalhante. Esse efeito pode ser 
desconsiderado no dimensionamento das seções mais usuais de concreto armado 
(perfis maciços ou fechados, nos quais a rigidez à torção é alta), uma vez que as 
tensões de coação tendem a cair bastante com a fissuração da peça, e o restante 
passa a ser resistido apenas pelas armaduras mínimas. Assim, os princípios básicos 
de dimensionamento propostos para a torção clássica de Saint-Venant continuam 
adequados, com certa aproximação, para várias situações práticas. No caso de 
seções delgadas, entretanto, a influência do empenamento pode ser considerável, e 
para o dimensionamento devem ser utilizadas as hipóteses da flexo-torção de 
Vlassov. Um método simplificado é apresentado na ABNT NBR 6118:2014, mas não 
será objeto de análise deste trabalho. 
O dimensionamento à torção baseia-se nas mesmas condições dos demais 
esforços: enquanto o concreto resiste às tensões de compressão, as tensões de 
tração devem ser absorvidas pela armadura. A distribuição dos esforços pode ser 
feita de diversas formas, a depender da teoria e do modelo adotado. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 
14.2 
A teoria que é mais amplamente aceita para a distribuição das tensões 
decorrentes da torção é a da treliça espacial generalizada, na qual se baseiam as 
formulações das principais normas internacionais. A filosofia desse método é a 
idealização da peça como uma treliça, cujas tensões de compressão causadas pelo 
momento torçor serão resistidas por diagonais comprimidas de concreto (bielas), e 
as de tração, por diagonais tracionadas (armaduras). 
Vale a lembrança de que não é todo tipo de momento torçor que precisa ser 
considerado para o dimensionamento das vigas. A chamada torção de 
compatibilidade, resultante do impedimento à deformação, pode ser desprezada, 
desde que a peça tenha capacidade de adaptação plástica. Em outras palavras, 
com a fissuração da peça, sua rigidez à torção cai significativamente, reduzindo 
também o valor do momento atuante. É o que ocorre em vigas de borda, que 
tendem a girar por conta do engastamento na laje e são impedidas pela rigidez dos 
pilares. Por outro lado, se a chamada torção de equilíbrio, que é a resultante da 
própria condição de equilíbrio da estrutura, não for considerada no dimensionamento 
de uma peça, pode ocorrer sua ruína. É o caso de vigas-balcão e de algumas 
marquises. 
A seguir, será apresentada uma síntese dos conceitos que fundamentam os 
critérios de dimensionamento à torção, relacionados com a ABNT NBR 6118:2014. 
2. TEORIA DE BREDT 
A partir dos estudos de Bredt, percebeu-se que quando o concreto fissura 
(Estádio II), seu comportamento à torção é equivalente ao de peças ocas (tubos) de 
paredes finas ainda não fissuradas - Estádio I (figura 1c). Essa afirmativa é 
respaldada na própria distribuição das tensões tangenciais provocadas por 
momentos torçores (figura 1b), as quais, na maioria das seções, são nulas no centro 
e máximas nas extremidades. 
 
 
Figura 1 - Tubo de paredes finas 
T
(a) (c)
t
Aec
(b)
c
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 
14.3 
A partir dos conceitos de Resistência dos Materiais, pode-se chegar à 
chamada primeira fórmula de Bredt, dada por: 
�� =
�
2 ∙ �� ∙ �
																																																																												(1) 
�� é a tensão tangencial na parede, provocada pelo momento torçor; 
� é o momento torçor atuante; 
�� é a área limitada pela linha média da parede da seção vazada, real ou 
equivalente, incluindo a parte vazada; 
� é a espessura equivalente da parede de seção vazada, real ou equivalente, no 
ponto considerado. 
3. TRELIÇA ESPACIAL GENERALIZADA 
O modelo da treliça espacial generalizada que é adotado para os estudos de 
torção tem origem na treliça clássica idealizada por Ritter e Mörsch para 
cisalhamento, e foi desenvolvido por Thürlimann e Lampert. Essa treliça espacial é 
composta por quatro treliças planas na periferia da peça (tubo de paredes finas da 
Teoria de Bredt), sendo as tensões de compressão absorvidas por barras (bielas) 
que fazem um ângulo  com o eixo da peça, e as tensões de tração absorvidas por 
barras decompostas na direção longitudinal (armação longitudinal) e na transversal 
(estribos a 90o). Pode-se observar que a concepção desse modelo baseia-se na 
própria trajetória das tensões principais de peças submetidas à torção (figura 2). 
 
Figura 2 - Trajetória das tensões principais provocadas por torção 
Apenas para a apresentação das expressões que regem o dimensionamento, 
será considerada uma seção quadrada com armadura longitudinal formada por 
quatro barras, uma em cada canto da seção, e armadura transversal formada por 
estribos a 90o (figura 3). 
3.1 Biela de concreto 
 Como o momento atuante deve igualar o resistente, tem-se, no plano ABCD: 
dd Tθsen C2   (2) 
θsen 2
T
C dd


 (3) 
T T x
I
I
II
II
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 
14.4 
 
Figura 3 - Treliça espacial generalizada 
 
 Sendo cd o valor de cálculo da tensão de compressão, e observando que a 
força Cd atua sobre uma área dada por ty  , tem-se: 
θsen 2
T
ty dcd


 
θsen ty2
Td
cd


 (4) 
Mas 
θ cosy   (5) 
2
eA  (6) 
Logo, 
θ sen2tA
T
e
d
cd


 (7) 
= inclinação
da biela cotg 
Bielas
comprimidas
Estribo
Barras 
Longitudinais

A
B
C
D
 cotg 


 cotg 
 cotg 
y
y
Y
XZ
T
PLANO ABCD
Rd
Rwd
dCA
C send
C send
C send
C send
NÓ A


dC
wdR
dR
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 
14.5 
Nas bielas, a tensão resistente é menor que o valor de fcd. Dentre as várias 
razões, pode-se citar a existência de tensões transversais (que não são 
consideradas no modelo e interferem no estado de tensões da região), e a abertura 
de fissuras da peça. Assim: 
cdvcd f5,0  (8) 
fcd é a resistência de cálculo do concreto à compressão; 
v é o coeficiente de efetividade do concreto, dado por: 







250
f
1 ckv (MPa) (9) 
3.2 Armadura longitudinal 
Para o equilíbrio de forças na direção X, 
θ cosC4R4 dd   (10) 
Como 
ywdsod fAR  
sendo 
Aso a área de uma das barras longitudinais; 
fywd, a tensão de escoamento do aço, com seus valores de cálculo, e, 
sos A4A  
utilizando-se a equação (3), a equação (10) pode ser escrita como: 
θ cotg
T2
fA dywds 



 
Distribuindo a armação de forma uniforme em todo o contorno  4eu , para 
reduzir a possibilidade de abertura de fissuras nas faces da viga, e levando em 
conta a equação (6), tem-se: 
θ cotg
2









e
d
ywd
e
s
u
T
f
u
A

 
θ cotg
2








ywde
d
e
s
fA
T
u
A  (11) 
3.3 Estribos 
 Para o equilíbrio das forças do nó A, na direção Z, 
θsen CR dwd  (12) 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 
14.6 
Mas 
ywd90wd fA
s
 cotg
R 



 
sendo 
s o espaçamento longitudinal dos estribos e 
s
 cotg 
, o número de estribos concentrados na área de influência do nó A. 
Substituindo na equação (12), considerando da equação (2): 




sen 
sen 2
T
fA
s
 cotg d
ywd90


 
Substituindo a equação (6) e rearrumando, resulta:

 gt
fA2
T
s
A
ywde
d90 (13) 
3.4 Momento torçor resistente 
Para determinação do momento torçor resistente de uma seção já 
dimensionada, pode-se rearrumar a equação (11), 








e
s
ywde
d
u
A
fA
T
 2
θ tg 
que fornece a inclinação da biela, e substituí-la na equação (13), resultando: 
 2
2
90
2
 
ywde
d
e
s
fA
T
u
A
s
A












  













e
s
ywded
u
A
s
A
fAT  2 90 (14) 
4. INTERAÇÃO DE TORÇÃO, CISALHAMENTO E FLEXÃO 
Boa parte dos estudos de torção é relativa à torção pura, isto é, aquela 
decorrente da aplicação exclusiva de um momento torçor em uma viga. Essa 
situação, entretanto, não é usual. A grande maioria das vigas com torção também 
está submetida a forças cortantes e momentos fletores, o que dá origem a um 
estado de tensões mais complexo e mais difícil de ser analisado. 
A experiência vem demonstrando que, de uma maneira geral, a filosofia e os 
princípios básicos de dimensionamento propostos para a torção simples também 
são adequados, com certa aproximação, para solicitações compostas. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 
14.7 
Por isso, em geral, o procedimento adotado para o dimensionamento a 
solicitações compostas é a simples superposição dos resultados obtidos para cada 
um dos esforços solicitantes separadamente, que se mostra a favor da segurança. 
Por exemplo, a armadura de tração prevista pela torção que estiver na parte 
comprimida pela flexão poderia ser reduzida, se fosse considerado o alívio sofrido 
por sua resultante (de tração) nessa região. Ou ainda, como em uma das faces 
laterais da peça as diagonais solicitadas pela torção e pelo cisalhamento são 
opostas, poderia ser considerado o alívio na resultante de tração no estribo, e 
consequentemente, reduzir-se sua área. 
Evidentemente, na face lateral oposta, as diagonais têm a mesma direção, e a 
armação necessária vem do somatório daquelas calculadas para cada um dos dois 
esforços separadamente. E para a verificação da tensão na biela desta face, não 
bastará se observar o comportamento das resultantes relativas à torção e ao 
cisalhamento separadamente – surge a necessidade de uma nova verificação, que 
considere a interação delas. 
Na figura 4, apresenta-se uma superfície que mostra a interação dos três 
tipos de esforços, com base em resultados experimentais. Qualquer ponto interior a 
essa superfície indica que a verificação da tensão na biela foi atendida. 
Pode-se observar que, para uma mesma relação 
ult
Sd
V
V
, o momento torçor 
resistente diminui com o aumento da relação 
ult
Sd
M
M
. 
Cabe a ressalva de que a superposição dos efeitos das treliças de 
cisalhamento e de torção só estará coerente se a inclinação da biela comprimida for 
adotada a mesma nos dois casos. 
 
Figura 4 - Diagrama de interação 
T
T
1
1
1
0,3
1
1
1
0,5 a 0,6
sd
ult
ult
V
V
sd
ult
M
M
sd
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 
14.8 
5. DIMENSIONAMENTO À TORÇÃO SEGUNDO A ABNT NBR 6118:2014 
O modelo adotado por essa Norma é o de treliça espacial generalizada, 
descrito anteriormente, e não a treliça clássica. 
Dessa forma, o projetista tem a possibilidade de determinar a inclinação da 
biela comprimida, com mais liberdade para trabalhar o arranjo das armaduras, 
realizando um dimensionamento totalmente compatível com o cisalhamento. 
5.1 Torção de compatibilidade 
Como já foi comentado, apenas a torção de equilíbrio precisa ser considerada 
no dimensionamento de vigas. A torção de compatibilidade pode ser desprezada, 
desde que sejam respeitados os limites de armadura mínima de cisalhamento, e: 
2,Rdsd V7,0V  (15) 
sendo 
 sen2dbf27,0V wcdv2,Rd (16) 
já para estribos a 90o em relação ao eixo da peça. 
5.2 Determinação da seção vazada equivalente 
Segundo a ABNT NBR 6118:2014, ficam definidos os seguintes critérios: 
ℎ� ≤
�
�
																																																																																																						(17) 
 
	ℎ� ≥ 2��																																																																																																			(18) 
 
ℎ� é a espessura equivalente da parede da seção vazada, real ou equivalente; 
� é a área da seção cheia; 
� é o perímetro da seção cheia; 
 cc t  

2
1
 (19) 
 é o diâmetro da armadura longitudinal; 
t é o diâmetro da armadura transversal; 
c é o cobrimento da armadura. 
 Caso A/u resulte menor que 2c1, pode-se adotar he = A/u ≤ bw – 2c1 e a 
superfície média da seção celular equivalente Ae definida pelos eixos das armaduras 
do canto (respeitando o cobrimento exigido nos estribos). 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 
14.9 
5.3 Definição da inclinação da biela comprimida 
Assim como no cisalhamento, a inclinação das bielas deve estar entre 30o e 
45o, sendo que o valor adotado deve ser o mesmo para as duas verificações. 
5.4 Verificação da biela 
Para se assegurar o não esmagamento da biela na torção pura, a ABNT NBR 
6118:2014 exige a verificação da seguinte condição: 
2,RdSd TT  (20) 
sendo TRd,2 o momento torçor que pode ser resistido pela biela. Esse momento 
torçor pode ser obtido pela substituição da equação (8) na equação (7), que, 
rearrumada com t = he, fornece: 
θ sen2hAf5,0T eecdv2,Rd  (21) 
5.5 Verificação da tensão na biela comprimida para solicitações combinadas 
A ABNT NBR 6118:2014 menciona que, no caso de torção e cisalhamento, 
deve ser obedecida a seguinte verificação: 
1
2,2,`

Rd
Sd
Rd
Sd
T
T
V
V
 (22) 
Observa-se que essa expressão linear (figura 5) fornece resultados 
conservadores em relação àqueles esboçados na figura 4. No EUROCODE 2 
(1992), por exemplo, a expressão equivalente à equação (22) é de segundo grau. 
Observa-se ainda, também com base na figura 4, que a equação (22) só se 
mostra adequada para situações em que o momento fletor de cálculo não ultrapassa 
cerca de 50 a 60% do momento último da seção, apesar da ABNT NBR 6118:2014 
não apresentar comentários a respeito disso. 
 
Figura 5 - Diagrama de interação momento torçor versus força cortante, segundo a 
ABNT NBR 6118:2014 
T
1
1
Rd,2
sd
T
VRd,2
Vsd
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 
14.10 
5.6 Determinação dos estribos 
Deve ser verificada a seguinte condição: 
3,RdSd TT  (25) 
sendo TRd,3 o momento torçor que pode ser resistido pelos estribos, dado por: 
θ tgcofA2
s
A
T ywde
90
3,Rd 





 (26) 
que é obtida a partir da equação (13). 
5.7 Determinação da armadura longitudinal 
Deve ser verificada a seguinte condição: 
4,RdSd TT  (23) 
sendo TRd,4 o momento torçor que pode ser resistido pela armadura longitudinal, 
dado por: 
θ tg24, 





 ywde
e
s
Rd fA
u
A
T  (24) 
que é decorrente da equação (11), lembrando que ue é o perímetro da seção 
equivalente. 
5.8 Armadura longitudinal e estribos para solicitações combinadas 
No banzo tracionado pela flexão, somam-se as armaduras longitudinais de 
flexão e de torção. A armadura transversal total também deve ser obtida pela soma 
das armaduras de cisalhamento e de torção. 
No banzo comprimido, pode-se reduzir a armadura de torção, devido aos 
esforços de compressão do concreto na espessura he e comprimentou 
correspondente à barra considerada. 
 5.9 Verificação da taxa de armadura mínima 
A taxa de armadura mínima, como se sabe, vem da necessidade de se 
garantir a ductilidade da peça e melhorar a distribuição das fissuras. A 
ABNT NBR 6118:2014 é coerente ao considerar que há influência da resistência 
característica do concreto. Essa taxa é dada por: 
ywk
ctm
w
sw
w
f
f
2,0
sb
A
³

 (27) 
com fywk ≤ 500 MPa e a tensão média de tração dada por 3
2
ckctm f3,0f  . 
Essa taxa mínima vale também para a armadura longitudinal. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 
14.11 
6. DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS 
Apenas as barras longitudinais e os estribos que estiverem posicionados no 
interior da parede da seção vazada equivalente deverão ser considerados efetivos 
para resistir aos esforços gerados pela torção. 
São válidas as mesmas disposições construtivas de diâmetros, 
espaçamentos e ancoragem para armaduras longitudinais de flexão e estribos de 
cisalhamento, propostos na ABNT NBR 6118:2014. Especificamente para a torção, 
valem as recomendações apresentadas a seguir. 
6.1 Armaduras longitudinais 
Para que efetivamente existam os tirantes supostos no modelo de treliça, é 
necessário se dispor uma barra de armadura longitudinal em cada canto da seção. 
De acordo com a ABNT NBR 6118:2014, deve-se procurar atender à relação 
u
As

  
em todo o contorno da viga, sendo u o trecho do perímetro correspondente a cada 
barra, de área As. Em outras palavras, a armadura longitudinal de torção não deve 
estar concentrada nas faces superior e inferior da viga, e sim, uniformemente 
distribuída em todo o perímetro da seção efetiva. 
Apesar de não haver prescrição na Norma, deve-se preferencialmente adotar 
 ³ 10 mm nos cantos. O espaçamento de eixo a eixo de barra, tanto na direção 
vertical quanto na horizontal, deverá ser s  350 mm. 
6.2 Estribos 
Os estribos devem estar posicionados a 90o com o eixo longitudinal da peça, 
devendo ser fechados e adequadamente ancorados por ganchos em ângulo de 45o. 
Além disso, devem envolver as armaduras longitudinais. 
7. EXEMPLO 
 Seja a viga V1 da marquise esquematizada na figura 6, a qual está submetida 
à torção de equilíbrio, além de flexão e cisalhamento. 
O cálculo da laje L1, engastada na V1, não será aqui apresentado. Ela aplica 
nessa viga um momento torçor de 21,45 kN.m/m, uniformemente distribuído. 
A reação de apoio da L1, somada ao peso próprio da V1 e à carga de parede 
sobre a V1 perfazem um carregamento uniformemente distribuído de 19,23 kN/m. 
 
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14.12 
P1
30 x 35
P2
30 x 35
V1 - 35 x 50
3
0
0
5
0
8
16
35 285
320
V1
FORMA ESTRUTURAL 
SEM ESCALA
A
A
CORTE A-A
SEM ESCALA
L1
h = var.
430
430
3
2
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6 – Forma estrutural da marquise 
7.1 Momento nas extremidades da V1 
Na ligação da viga V1 com os pilares, será considerado momento fletor Mvig 
obtido de acordo com adaptação do item 14.6.6.1.c da ABNT NBR 6118:2014. 
Nesse cálculo, precisa-se do vão equivalente do pilar (����) que será 
calculado de acordo com o item 15.6 da ABNT NBR 6118:2014. Portanto, ele é dado 
por ���� = �� + ℎ, ou seja, o vão livre somado à dimensão h da seção transversal do 
pilar, medida na direção do eixo da viga. 
Admitindo-se o topo da fundação 35 cm abaixo do piso acabado (�� = 335	��) 
e considerando que ℎ	 = 	30	��, resulta: 
 ���� = �� + ℎ = 335 + 30, ou seja: ���� = 365	�� 
Portanto, valor de ���� junto ao pilar P1 pode ser obtido como indicado a 
seguir, considerando ���� = � ∙ �
� 12⁄ (viga biengastada): 
���� = ���� ∙
���� + ����
���� + ���� + ����
 
���� =
3 ∙ � ∙ �
���� 2⁄
=
3 ∙ � ∙
0,35 ∙ 0,30�
12
3,65 2⁄
= 1,29 ∙ 10�� 	 ∙ �	 
���� =
3 ∙ � ∙ �
���� 2⁄
= 0 
���� =
4 ∙ � ∙ �
����
=
4 ∙ � ∙
0,35 ∙ 0,50�
12
4
= 2,43 ∙ 10�� 	 ∙ �	 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 
14.13 
2 m
DMT [kN.m]
39,68
39,68
M = vig
8,89 kN.m
0,15 m 0,15 m 0,15 m
V1 - 35 x 50
M = vig
8,89 kN.m
p = 19,23 kN/m
4 m 
M = 21,45 kN.m/mT
4 m
DEC [kN]
DMF [kN.m]
38,46
38,46
35,58
d/2
d/2
31,12
35,58
31,12
8,89
29,57
8,89
0,15 m
42,90
42,90
V1 - 35 x 50
2 m
Portanto, junto ao P1 resulta: 
���� = +
� ∙ ��
12
∙
1,29 ∙ 10�� 	 ∙ �	 + 0
2,43 ∙ 10�� 	 ∙ �		 + 1,29 ∙ 10�� 	 ∙ �	 + 0
 
���� = +
19,23 ∙ 4�
12
∙
1,29 ∙ 10�� 	 ∙ �	
3,72 ∙ 10�� 	 ∙ �	
 
���� = +8,89	�� ∙ � 
Junto ao P2, resulta um mesmo valor, porém de sinal contrário, coerente com 
a convenção de sinais adotada (Convenção de Grinter). Portanto, junto ao P2: 
���� = −8,89	�� ∙ �	 
Na figura 7, pode-se observar o esquema estático da viga V1, na qual se 
considera a viga biapoiada nos pilares, para o cálculo de esforços cortantes e 
momentos fletores, e biengastada para o cálculo de momentos torçores. Para estes 
foi utilizada a convenção de vetor momento, na qual se utiliza a regra da mão direita 
para indicar o sentido da rotação do momento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7 – Diagramas de esforços solicitantes 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 
14.14 
7.2 Verificação da biela comprimida 
Foi adotado fck = 25 MPa, cobrimento de 2,5 cm e, provisoriamente, foram 
admitidas barras longitudinais de diâmetro 10 mm e estribos de 6,3 mm para o 
cálculo da altura útil: 
� = 50 − 2,5 −
1,0
2
− 0,63 = 46,37	�� 
Para não haver esmagamento da biela comprimida, de acordo com a 
equação (22): 
���
���,�
+
���
���,�
≤ 1 
Segundo o item 17.4.2.1 da ABNT NBR 6118:2014, os cálculos devem 
considerar as forças cortantes nas respectivas faces dos apoios, ou seja, nas faces 
dos pilares: 
��� = 1,4 ∙ 35,58 = 49,81	��					�					��� = 1,4 ∙ 39,68 = 55,55 = 5555	��. �� 
Considerando a inclinação  = 45o, na equação (16): 
���� = 0,27 ∙ ��� ∙ ��� ∙ �� ∙ � 
��� = �1 −
���
250
� = �1 −
25
250
� = 0,9 
���� = 0,27 ∙ 0,9 ∙
2,5
1,4
∙ 35	 ∙ 46,37 
���� = 704,24	�� 
 
Segue-se a determinação da seção vazada equivalente, a partir das 
equações (17) e (18): 
ℎ� ≤
�
�
=
� ∙ ℎ
2 ∙ (� + ℎ)
=
35 ∙ 50
2 ∙ (35 + 50)
=
1750	���
170	��
= 10,29	�� 
ℎ� ≥ 2	�� 
�� =
∅�
2
+ ∅� + � =
1,0
2
+ 0,63 + 2,5 = 3,63	�� 
ℎ�	³	2	�� = 2 ∙ 3,63 = 7,26	�� 
Portanto, podem ser adotados valores de he entre 7 cm e 10 cm. Adotou-se, 
então, ℎ� = 7,0	��, aproximadamente igual ao limite inferior 7,26 cm. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 
14.15 
h = 7 cm
h
 e 
 
e 
 35 cm
5
0
 c
m
Ae 
28 cm
4
3
 c
m
3
,5
3
,5
Na figura 8, pode-se observar a espessura ℎ� e a área �� limitada pela linha 
tracejada, que é a linha média da parede da seção vazada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8 – Seção transversal da viga V1 
 Com base nessa figura, obtém-se: 
�� = 28 ∙ 43 = 1204	��
� 
�� = 2 ∙ (28 + 43) = 142	�� 
Tem-se, então, a partir da eq. (21): 
���,� = 0,50 ∙ ��� ∙ ��� ∙ �� ∙ ℎ� ∙ ���(2�) 
��� = �1 −
���
250
� = �1 −
25
250
� = 0,9 
���,� = 0,50 ∙ 0,9 ∙
2,5
1,4
∙ 1204 ∙ 7 ∙ ���(2 ∙ 45) 
���,� = 6772,5	��. �� 
Conhecidos esses valores, pode ser feita a verificação: 
���
���,�
+
���
���,�
≤ 1 
49,81
704,24
+
5555
6772,5
= 0,89	 < 1										 ∴ 										��! 
Nota-se certa folga, o que permitiria uma reduçãoda inclinação da biela. 
Como consequência, haveria uma redução da área de aço transversal necessária, e 
um acréscimo da área de aço longitudinal. Observa-se, entretanto, que esse 
procedimento é mais eficiente nos casos em que o esforço cortante é grande, e a 
redução da área dos estribos é maior que o acréscimo das barras longitudinais. Em 
geral, nos demais casos, não compensa adotar valores menores de . 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 
14.16 
7.3 Dimensionamento à flexão 
 Para o momento máximo positivo: 
��
� = 1,4 ∙ 2957 = 4139,8	��. �� 
�� =
� ∙ ��
��
� → �� =
35 ∙ 46,37�
4139,8
→ �� = 18,2 
���
� =
�� ∙ ��
�
�
→ ���
� =
0,023 ∙ 4139,8
46,37
→ ���
� = 2,05	��� 
 Para o momento máximo negativo: 
��
� = 1,4 ∙ 889 = 1244,6	��. �� 
�� =
� ∙ ��
��
� → �� =
35 ∙ 46,37�
1244,6
→ �� = 60,5 
���
� =
�� ∙ ��
�
�
→ ���
� =
0,023 ∙ 1244,6
46,37
→ ���
� = 0,62	��� 
Entretanto, a ABNT NBR 6118:2014 prescreve a área mínima de aço, que 
deverá ser respeitada tanto para a armadura positiva quanto para a negativa. Para 
seções retangulares com fck = 25 MPa: 
���,��� = ��,��� ∙ �� ∙ ℎ = 0,0015 ∙ 35 ∙ 50 = 2,63	��
� 
 
7.4 Dimensionamento ao cisalhamento 
�� = ��� = 0,6 ∙ ���� ∙ �� ∙ � (�� = ���	na flexão simples) 
���� =
����,���
��
=
0,7 ∙ ����
1,4
=
0,7 ∙ 0,3 ∙ ���
�/�
1,4
=
0,21 ∙ √25�
�
1,4
= 1,28	��� 
�� = 0,6 ∙ 0,128 ∙ 35 ∙ 46,37 = 124,642	�� 
��� ≤ ���� = �� + ��� 
49,81 ≤ ���� = 124,642 + ��� 
49,81 = 124,642 + ��� 
��� = −74,83						 ∴						não é necessária armadura transversal. 
A partir das verificações realizadas no dimensionamento ao cisalhamento, 
também para  = 45o, observa-se que a própria seção já resistiria à força cortante 
atuante. É necessário que a peça tenha apenas uma armadura mínima, dada por: 
�
���
�
�
���
= 0,2 ∙
����
����
∙ �� ∙ ���� 
�
���
�
�
���
= 0,2 ∙
0,3 ∙ √25�
�
500
∙ 35 ∙ ���90� = 0,036	�� 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 
14.17 
�
���
�
�
���
= 0,036	�� = 0,036
���
��
= 0,036
���
10���
= 0,036
���
�
	 ∙ 10� 
�
���
�
�
���
= 3,60	
���
�
 
� é a inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural, 
portanto, 90�. 
7.5 Dimensionamento à torção 
Considera-se também a inclinação da biela comprimida  = 45o. 
a) Cálculo da armadura longitudinal 
A partir das equações (23) e (24): 
��� ≤ ���,� = �
���
��
� ∙ 2 ∙ �� ∙ ���� ∙ ��� 
5555 ≤ ���,� = �
���
��
� ∙ 2 ∙ 1204 ∙
50
1,15
∙ ��45� 
5555 ≤ �
���
��
� ∙ 104695,65 
�
���
��
� ≥ 0,053	�� = 0,053
���
��
= 0,053
���
10���
= 0,053
���
�
	 ∙ 10� 
�
���
��
� ≥ 5,3
���
�
	 
b) Cálculo dos estribos 
Utilizando-se as equações (25) e (26): 
��� ≤ ���,� = �
���
�
� ∙ 2 ∙ �� ∙ ���� ∙ ����� 
5555 ≤ ���,� = �
���
�
� ∙ 2 ∙ 1204 ∙
50
1,15
∙ ����45� 
5555 ≤ �
���
�
� ∙ 104695,65 
�
���
�
� ≥ 0,053	�� = 0,053
���
��
= 0,053
���
10���
= 0,053
���
�
	 ∙ 10� 
�
���
�
� ≥ 5,3
���
�
	 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 
14.18 
7.6 Detalhamento 
a) Armadura longitudinal 
A área total da armadura longitudinal é obtida pela soma das parcelas 
correspondentes à flexão e à torção, que deve ser feita para cada uma das faces da 
viga. 
Na face superior, a flexão exige As
- = 0,62 cm2. A parcela da torção é dada 
por 2cm 48,1)07,035,0(30,5 sA . A área de aço total nessa face vale, então: 
As,tot = 0,62 + 1,48 = 2,10 cm
2 
Observa-se, entretanto, que esta área é menor que a mínima prescrita na 
ABNT NBR 6118:2014. Portanto, para a face superior, a área de aço vale: 
As,tot = As min = 2,63 cm
2  (4  10) 
Na face inferior, a flexão exige As
- = 2,05 cm2. A parcela da torção é a 
mesma anterior, 2cm 48,1sA . A área de aço total nessa face vale, então: 
As,tot = 2,05 + 1,48 = 3,53 cm
2  (5  10) 
que já supera a área de aço mínima exigida pela flexão. 
Nas faces laterais, como a altura da viga é menor que 60 cm, não é 
necessária a utilização de armadura de pele. Há apenas a parcela da torção, cuja 
área de aço vale 2cm 28,2)07,050,0(30,5 sA , ou seja, 
As,tot = 2,28 cm
2  (3  10) 
b) Estribos 
A área final dos estribos é dada pela soma das parcelas correspondentes ao 
cisalhamento e à torção,
s
A
s
A 90sw  , mas neste exemplo, como já foi visto, não é 
necessária armadura para o cisalhamento. Há apenas a parcela da torção, que já 
supera a área de aço mínima exigida. Assim, em cada face deve-se ter: 
 9c/ 8 30,5
2
90 





m
cm
s
A
TOTAL
 
que obedece ao espaçamento longitudinal máximo entre estribos, segundo a Norma: 
Vd  0,67 VRd,2  smáx = 0,6d  30 cm  smáx = 27,8 cm 
 O detalhamento final da seção transversal é apresentado na figura 9. 
USP – EESC – Departamento de Engenharia de Estruturas Torção 
14.19 
5 N1 10
3 N2 10 3 N2 10
4 N3 10
N4 8 C/9
 
 
 
 
 
Figura 9 - Detalhamento final da Viga V1(35 x 50) 
8. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
A utilização do modelo de treliça espacial generalizada é uma importante 
característica da ABNT NBR 6118:2014, permitindo que se trabalhe com a mesma 
inclinação da biela (de 30o a 45o) tanto na torção quanto no cisalhamento. Além 
disso, com essas diretrizes, o projetista tem a possibilidade de realizar um 
dimensionamento mais eficiente para cada seção estudada, já que, com a escolha 
dos valores de  e he, pode-se distribuir mais conveniente as parcelas de esforços 
nas bielas e nas armaduras. 
REFERÊNCIAS 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:2014 - Projeto de 
estruturas de concreto. Rio de Janeiro. 
COMITÉ EURO-INTERNACIONAL DU BÉTON. CEB-FIP Model Code 1990. Bulletin 
d’ Information, n. 204, 1991. 
COMITE EUROPEEN DE NORMALISATION. Eurocode 2 - Design of concrete 
structures. Part 1: General rules and rules for buildings. Brussels, CEN, 1992. 
FÉDÉRATION INTERNATIONALE DU BÉTON. Structural concrete: textbook on 
behavior, design and performance. FIB Bulletin, v. 2, 1999. 
LEONHARDT, F.; MÖNNIG, E. Construções de concreto: princípios básicos de 
estruturas de concreto armado. v. 1. Rio de Janeiro, Interciência, 1977. 
SUSSEKIND, J.C. Curso de concreto. v. 2. Rio de Janeiro, Globo, 1984.