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Resistência dos Materiais Aplicada
Professor: George Miranda
Deflexão em Vigas e Eixos
▪ Deflexão: deslocamento em um ponto de uma viga (ou
eixo)
▪ Deflexões de estruturas podem ocorrer de várias fontes,
como cargas, temperatura, erros de fabricação, ou
recalques.
▪ No projeto, deflexões têm de ser limitadas a fim de
proporcionar integridade e estabilidade às coberturas, e
evitar fissuras em materiais frágeis anexados como
concreto, reboco ou vidro.
▪ A deflexão de uma estrutura é causada por seu
carregamento interno como a força normal, força cortante,
ou momento fletor.
Deflexão em ponte sobre o Rio
Paranaíba BR-153 – Araporã
(MG)/ Itumbiara (GO)
Deflexão
Resistência dos Materiais Aplicada
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Deflexão em Vigas e Eixos
A Linha Elástica
O carregamento das prateleiras provoca
deflexão considerável nas vigas de suporte
• Os apoios que resistem a uma força, como um pino, restringem o deslocamento, e os apoios
que resistem a um momento, como uma parede fixa, restringem a rotação ou a inclinação bem
como o deslocamento.
• O diagrama da deflexão do eixo longitudinal que
passa pelo centroide de cada área da seção
transversal da viga é denominado linha elástica.
A Linha Elástica
• Para curva elástica,o momento
positivo interno tende a curvar a viga
com a concavidade para cima, e vice
versa.
• Se parecer difícil estabelecer a curva
elástica, sugerimos que o diagrama de
momento para a viga ou estrutura seja
traçado primeiro.
• Deve haver um pondo de inflexão em
C, onde a curva passa de côncava para
cima a côncava para baixo, visto que o
momento neste ponto é nulo.
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Deflexão em Vigas e Eixos
Por motivos de segurança, essas vigas em
balanço forma projetadas tanto para resistir
como para evitar a deflexão
A Linha Elástica
• Nesse caso, a viga está em balanço,
engastada no apoio fixo em A e, portanto,
a curva elástica deve ter deslocamento e
inclinação nulos nesse ponto. Além disso,
o maior deslocamento ocorrerá em D,
onde a inclinação é nula, ou em C.
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Deflexão em Vigas e Eixos
Teoria da viga elástica/ Relação Momento-Curvatura
▪ Quando o momento interno M deforma o elemento da viga, cada seção
transversal permanece plana e o ângulo entre elas torna-se dθ.
▪ Se o material é homogêneo e comporta-se de uma
maneira elástica linear, então a lei de Hooke
aplica-se
▪ Tendo em vista que dx = ρ dθ, então
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Inclinação e Deslocamento por Integração
ρ = raio de curvatura em um ponto específico
M = momento fletor interno na viga no ponto ρ
E = módulo de elasticidade do material
I = momento de inércia calculado em torno do eixo neutro
EI = rigidez à flexão
▪ Tendo em vista que a inclinação da curva elástica para a maioria das estruturas é muito
pequena, usaremos a teoria das pequenas deformações e presumiremos dυ/dx ≈ 0.
Quando M é positivo, ρ prolonga-se acima
da viga, ou seja, na direção positiva de υ;
quando M é negativo, ρ prolonga-se
abaixo da viga, na direção negativa de υ.
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▪ Ao aplicar a equação anterior, é importante usar o sinal apropriado para M como estabelecido
pela convenção de sinais que foi usada na derivação dessa equação.
▪ Além disso, lembre-se que a deflexão positiva, υ, é para cima, e como resultado, o ângulo de
inclinação positivo θ será medido no sentido anti-horário do eixo x.
Convenção de sinais 
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▪ As constantes de integração são determinadas avaliando as funções para inclinação ou
deslocamento em um ponto em particular na viga onde o valor da função é conhecido.
▪ Estes valores são chamados de condições de contorno.
▪ Por exemplo, se a viga é suportada por um rolo ou pino, então é necessário que o
deslocamento seja zero nesses pontos.
▪ Também, em um apoio fixo a inclinação e o deslocamento são, ambos, zero.
Condições de contorno
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• Se não for possível usar uma única coordenada x para expressar a equação para a inclinação 
ou para a linha elástica de uma viga, deve-se usar as condições de continuidade para calcular 
algumas das constantes de integração.
Condições de continuidade
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Condições de continuidade: Condições de continuidade: 
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Ex. 12.1. A viga em balanço mostrada na
Figura está sujeita a uma carga vertical P em
sua extremidade.
a) Determine a equação da linha elástica. EI é
constante.
b) Determine a inclinação e o deslocamento
máximos
c) Considere que a viga tenha 5 m
comprimento, suporta uma carga P = 30 kN
e é feita de aço A-36 (Eaço = 200 Gpa). Se
essa viga tiver o perfil W310 x 39 [I =
84,4(10^6) mm^4], determine a inclinação
e o deslocamento máximos. Avalie o
quadrado da inclinação.
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Ex. 9.4. A viga prismática biapoiada AB suporta uma força
uniformemente distribuída w por unidade de comprimento.
Determine a equação da linha elástica e a deflexão máxima da
viga.
12.6. Determine as equações da linha elástica para
a viga utilizando as coordenadas x1 e x3. Especifique
a deflexão máxima da viga. EI é constante.
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12.19. Determine as equações da linha elástica
utilizando as coordenadas x1 e x2 e especifique a
inclinação em A. EI é constante.
*12.20. Determine as equações da linha elástica
utilizando as coordenadas x1 e x2 e especifique a
inclinação e a deflexão em B. EI é constante.
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12.25. Determine as equações da linha elástica
utilizando as coordenadas x1 e x2 e especifique a
inclinação em C e o deslocamento em B. EI é
constante.
12.22. Determine a inclinação máxima e a
deflexão máxima da viga simplesmente apoiada
submetida ao momento M0. EI é constante.
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12.28. Determine a curva da linha elástica
para a viga em balanço utilizando a
coordenada x. Determine também a
inclinação máxima e a deflexão máxima. EI
é constante.
12.27. Determine a linha elástica para a viga
simplesmente apoiada utilizando a coordenada
x onde 0 ≤ x ≤ L/2. Determine também a
inclinação em A e a deflexão máxima da viga.
EI é constante.