Roberto Churst PONTES

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1 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
CURSO DE PONTES 
 
Disciplina optativa do curso de Engenharia Civil DECiv-UFSCar 
 
aulas 
1 – DEFINIÇÕES E SISTEMAS MAIS EMPREGADOS. 
 
1.1 Conceitos : 
• Ponte – Obra destinada a fazer que uma via transponha um obstáculo de 
água: rio, lago, braço e mar etc... 
• Viaduto - Obra destinada a fazer que uma via transponha um obstáculo 
natural (vale garganta etc,) ou outra via. Fundo seco.. 
• Passarela - Obra destinada a fazer que uma via só de pedestre transponha um 
obstáculo. 
• Demais travessias : oleodutos; gasodutos, aquedutos 
1.2 Projeto- 
 Um projeto de uma ponte ou viaduto deve se basear em uma série de estudos e 
informações levando em conta os aspectos: geométrico, topográfico, hidráulico e de 
fundação. A seguir se exemplifica ou comenta alguns aspectos destes 
 
1.2.1-GEOMETRICO: Devem ser respeitadas dimensões tais como: gabaritos horizontais 
e verticais, largura de pista, faixa de tráfego, faixa e segurança, sobrelargura, inclinação 
transversal 
O gabarito vertical é de 5,5m 
 
 Figura 1 – Seção Transversal de um viaduto ferroviária sobre via de 
comunicação, distância vertical igual ao gabarito. 
 
 2 PONTES 
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Gabarito Vertical 1
Gabarito Vertical 1
Gabarito Horizontal
Petroleiro
Avião
Caminhão
 Figura 2 – Vista longitudinal do vão central da ponte Rio-Niteroi onde foi necessário 
atender 3 gabaritos simultaneamente. 
 
 O vão central da ponte Rio-Niteroi teve que atender gabaritos de navegação (lateral 
e vertical) e gabarito de aviação (junto com o rodoviário) de tal sorte que o vão (300m) e o 
material empregado (ação) alem do tipo de seção (celular) acabou definindo a solução da 
estrutura. 
 
 
 A largura da pista em rodovias costuma ser de 3,5 m; A faixa de sgurança de 1m e 
acostamento de 3m, e supõe-se a inclinação na estrutura. 
 
 
 
figura 3- Escoamento da água de chuva na seção: a) através da inclinação da 
estrutura b)através do engrossamento da pavimentação 
 
 
 3 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
SEÇÃO EM VIGAS MÚLTIPLAS
FAIXA 2 FAIXA 1 ACOSTAMENTO
FAIXA DE
SEGURANÇA
 
Figura4 – Valores de largura para faixa de tráfego, 
acostamento e faixa de segurança. 
 
 
Figura 5. Faixa de tráfego do veículo HS 20-44 
 
 Se em planta o viaduto for curvo é preciso estudar a necessidade de sobrelargura e 
superelevação. No caso de ser curvo em elevação é preciso estudar as cotas em elevação. 
Em ambos os casos o aparelho de apoio precisa ser estudado. 
 
1.2.2-TOPOGRÁFICO 
É preciso ter o levantamento topográfico do local da implantação para verificar 
todas as condições geométricas e determinar as cotas além da pista (função do projeto de 
estradas) o início e final da obra alem de cotas de fundação etc. 
Exemplo da interferência do perfil topográfico é dado na figura 6 em que na segunda 
situação há uma imensa área de aterro (do lado esquerdo) que pode ser instável, alem de 
um pilar ter suas fundações executadas na água. Sempre deve ser feito o estudo da saia 
(quando existir) do aterro no início e final da obra. 
 
0,61 0,61 1,83 
3,05 
 4 PONTES 
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terreno natural
terreno natural
aterro de cabeceira
aterro de cabeceira
aterro de cabeceira
A
B
 
Figura 6. Posicionamento de uma mesma ponte iniciando em A e em B. No segundo 
caso há uma imensa área de aterro que pode ser instável alem de um pilar ter suas 
fundações executadas na água. 
 
1.2.4 HIDRAULICO 
Definição da seção transversal de canal para a definição de nível de máxima 
enchente de maneira que a obra de arte não seja atingida. 
 
Figura 7- Seção transversal de ponte com a seção transversal do canal e a cota de 
máxima enchente definidas (definindo assim também o vão da obra). 
 
 
 
 
 
 
 5 PONTES 
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1.25-GEOTÉCNICO 
 Obras de arte em solos com pouca capacidade de suporte acabam tendo fundações 
caras e definido muitas vezes o tipo de sistema estrutural e o vão livre a ser adotado, além 
do posicionamento mais interessante dos pilares. 
 
 
2. MATERIAIS EMPREGADOS 
As pontes pode ser feitas de: Madeira, Concreto Armado, Concreto Protendido, 
Aço ou mistas. 
Atualmente a maior parte das pontes projetadas são em concreto protendido. Nesta obra 
só se dará destaque as pontes de concreto. Neste caso além do aço de protensão que tem 
características próprias é muito comum empregar-se concreto de alto desempenho (fck>40 
MPa) e também auto adensável. Os cabos de protensão com fibra de carbono ainda não são 
usados em larga escala no Brasil. 
 No caso dos aparelhos de apoio dois materiais bastante empregados e que merecem 
destaque são o neoprene borracha sintética e o teflon resina advinda dos estudos oriundos 
da NASA que permitem diminuir o atrito entre duas superfícies. 
 
3-PRINCIPAIS SISTEMAS ESTRUTURAIS DE PONTES EM SEU 
DESENVOLVIMENTO. 
 Entre as diversas classificações das pontes pode-se colocar como os sistemas estruturais 
ao longo do seu comprimento como um dos mais importantes ficando a subdivisão com: 
Quadro ou Galeria- De uma maneira geral para pequenos vãos (até 15 m) 
Lajes – A maneira mais simples de executar uma obra de concreto também usadas 
para pequenos vãos (de até 10 m para isostáticas e 15 m para contínuas). 
Em vigas – Usadas para vão de toda ordem de grandeza praticamente (com o limite 
superior de cerca de 200 m para CP e 400m para estruturas metálicas). Gastam (no caso de 
concreto) mais formas que as pontes em laje. 
Treliças – Mais empregadas para estruturas metálicas. 
Arcos (normal e invertido)- Usadas para grande vãos. Dependem de um terreno 
que resista, junto às fundações, a esforços horizontais grandes e sua execução é difícil 
ficando, hoje em dia, restritas a uma solução econômica em situações especiais. 
Estaiadas – Usadas para vãos grandes, só se fazem necessário quando há 
necessidade do uso de vãos livres da ordem de 200 m ou acima. 
Pênsil – Só usada para vãos extremamentes grandes (acima de 1000 m). Não há 
nenhuma no Brasil. 
Nas figura de 8 a 15 são mostrados esquemas dos tipos de pontes citados. 
 6 PONTES 
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VISTA LONGITUDINAL
CORTE AA
A
A
lAJE SUPERIOR
lAJE INFERIOR
lAJE SUPERIOR
lAJE INFERIOR
PAREDE LATERALPAREDE LATERAL
 
Figura 8 Viaduto em forma de quadro ou pórtico. 
CORTE AA
VISTA LONGITUDINAL
A
 
Figura 9 Ponte em laje. 
 
 
figura 10- Vista lateral esquemática de duas soluções em pontes em vigas contínuas. 
 
 7 PONTES 
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figura 11- Ponte com estrutura em treliça. 
 
figura 12- Ponte em arco. 
 
arco arco
A
A
CORTE AAVISTA LONGITUDINAL
 
figura 13- Ponte em arco invertido. 
 
 
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figura 14- Ponte estaiada. 
 
figura 15- Ponte pensil 
4- CLASSIFICAÇÃO DAS PONTES QUANTO A EXECUÇÃO 
 Em relação a maneira de executar as pontes podem, em princípio, ser classificadas 
em Moldadas no local e pré-moldadas. Até a década de 90 a maioria das pontes em 
concreto eram executadas no local. A partir da maior industrialização e a introdução do 
pedágio controlado pelas concessionárias, tornou-se mais econômica, maioria das vezes 
executar as obras como pré-moldadas. 
 
Figura 16-Tipos de seções transversais em pontes de concreto moldadas no local 
 9 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
Na figura 16 são mostrados os tipos de seções transversais usada, principalmente 
nas décadas de 70 e 80 para pontes moldadas no local. 
Outro procedimento de execução que pode ser usado com a moldagem no local ou a 
pré-moldagem é a construção das pontes em balanços progressivos, técnica desenvolvida 
por um brasileiro Emílio Baungarten (apud VASCONCELOS (2005) é muitoempregada 
quando se deseja construir pontes ou viadutos com grandes vão suprimindo o uso de 
escoramento. A técnica consiste em “lançar” em vez de trechos da estrutura longitudinal,ou 
seja, as longarinas, lançar trechos (fatias) de toda a seção transversal as aduelas. 
 
1
2
3
5
N-1
N
Figura 17- Vista lateral esquemática de etapas construtivas de ponte em balanço progressivo. Na etapa 
1 tem-se o início da execução, etapa 2 após a primeira aduela lançada e assim sucessivamente. Na etapa 
N-1 falta apenas o fechamento da parte central e finalmente na N a ponte estaria com seu esquema 
estrutural pronto. 
 Na figura 17 podem ser vistas as principais etapas de execução de um aponte em 
balanço progressivo na primeira etapa os pilares são executados com um trecho pequeno da 
estrutura. Na segunda etapa são executadas aduelas, em balanço, a esquerda e a direita do 
trecho em cima de cada pilar. Na figura 18 é mostrado como é feita a concretagem de uma 
aduela em balanço. 
 10 PONTES 
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CABOS DE AÇO
FORMA
CONTRA PESO
PLATAFORMA DE TRABALHO
ADUELA A SER CONCRETADA
 
Figura 18- Concretagem de uma aduela Vista lateral esquemática de etapas construtivas de ponte em 
balanço progressivo. Na etapa 1 tem-se o início da execução, etapa 2 após a primeira aduela lançada e 
assim sucessivamente. Na etapa N-1 falta apenas o fechamento da parte central e finalmente na N a 
ponte estaria com seu esquema estrutural pronto. 
 
 
 
Pré-moldadas com vigas múltiplas 
 
 
 11 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
Figura 19- Vista e Corte de Ponte sobre o Rio Jaboticabal (Altura da Av. São João) na 
cidade de Jaboticabal SP. Vigas em concreto protendido pré-moldado com 
complemento de laje de concreto moldada no local. 
 
figura 20.- Seção Transversal da ponte da figura 19 antes na fase de pré-moldagem e 
após a execução da laje superior. 
 
O grande reaproveitamento de formas e não necessidade do uso de escoramento fazem 
deste tipo de ponte as mais empregadas nas estradas controladas pela iniciativa privada. 
 Na figura 19 são mostradas as vigas longitudinais no meio do vão e do apoio antes e 
após receberem o concreto que complementará a laje superior. 
 
 
Figura 21—Planta da ponte da figura 4 . Meio corte e meia vista. 
 
 12 PONTES 
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 Observando a figura 21 pode-se notar que não há transversina, exceto nos apoios, ou 
seja, não existem elementos que permitem uma distribuição transversal de carga 
acidental. Desta forma se as vigas longarinas tiverem um espaçamento pequeno 
trabalharão como vigas longitudinais independentes submetidas as ações variações 
decorrente de uma roda do veículo tipo. A transversina de apoio que tem um trecho 
concreto no local (achureado na figura) têm a função de evitar o tombamento lateral das 
vigas longitudinais (longarinas) ou evitar giros excessivos 
destas.
Figura 22- Planta de cabos de uma viga da ponte da figura 4. Vista longitudinal e 
cortes. 
 
 Na figura 22 mostram-se os cabos de protensão em elevação e nas seções 
transversais. Como pode ser visto com apenas 4 cabos de 6Ø1/2” é possível obter uma boa 
solução. Nestes casos a protensão usada é a com aderência posterior. 
 
 Pontes empurradas 
 
1
2
3
5
N
N-1
 
Figura 23- Vista lateral esquemática de etapas construtivas de ponte empurrada. 
 
 13 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
 
Figura 24-Montagem da superestrutura (vigas bulb tee) 
 
Figura 25. Formas de montagem da superestrutura 
 
 
Figura 26. Esquema de uma ponte com vista lateral com viga estaiada e seções 
prémoldadas 
Detalhamento das moldadas no local 
Pontes, Viadutos em vigas Celulares 
 14 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
figura 27.- Vista longitudinal ½ corte e ½ vista de ponte com seção celular. 
 
 Para maiores vãos e situações em que o escoramento não é muito oneroso pode-se usar 
as pontes com seção transversal em célula ou caixão conforme pode-se ver nas figuras 8 
e 9. 
 
figura 28- Cortes transversais no meio do vão e do apoio da ponte da figura 27 (cotas 
indicativas em cm) 
 Este tipo de estrutura através de sua seção transversal celular e mais as 
transversinas intermediárias (ver figura 2.29) e de apoio acabam fazendo com que a 
inércia à torção deste elemento seja tão grande que pode-se para efeito de cálculo a 
flexão considerar a seção funcionando como um todo. 
 
 15 PONTES 
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figura 29- Corte transversal no meio do vão da ponte da figura 27 (cotas indicativas 
em cm) mostrando o septo transversal (achureado), transversina, que junto com a 
transversina de apoio confere rigidez à torção a estrutura. 
 
 Este tipo de estrutura conduz a menor altura necessária mas o custo com as formas 
costuma ser maior que o dos outros tipos de seção trasnversal. Na figura 30 vê-se um 
detalhe característico dos cabos na seção do meio do vão. NO caso são cabos de pós 
adernet com 12Ø1/2” e bainha com diâmetro externo de 7 cm. 
 
figura 30- Corte transversal no meio do vão da ponte da figura 7 com a solução de 
cabos 12Ø1/2” . 
 
 Na figura 21 é mostrada uma perspectiva esquemática de um viaduto usando os 
dados das figuras 27 e 28. Em geral este tipo de obra acaba sendo pela sua esbeltez mais 
agradável visualmente que as pré-moldadas. 
 16 PONTES 
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figura 31- Perspectiva esquemática a partir das características geométricas indicadas 
nas figuras anteriores (aqui representada como um viaduto). Arte Anderson Manzoli. 
 
 Na verdade a seção celular por possuir laje inferior é muito interessante para uso de 
estruturas contínuas pois a seção transversal têm capacidade de resistir momentos negativos 
(tracionando a borda superior) quase de maneira tão eficiente que os momentos positivos. 
Na figura 32 são mostradas duas situações. Na primeira a altura da viga é mantida 
constante, enquanto na segunda há uma variação na altura da viga, que proporciona entre 
outras coisas um aspecto visual mais agradável. Também nesta situação empregada é a de 
protensão com aderência posterior. 
 
figura 32- Vista lateral esquemática de duas soluções em pontes contínuas com seção 
transversal celular. No primeiro caso (acima) altura constante e no segundo caso 
(abaixo) altura variável. 
 
 17 PONTES 
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5-AÇÕES A CONSIDERAR EM PONTES DE CONCRETO SEGUNDO A NORMA 
BRASILEIRA 
 A NBR 7187:2003 define as ações a serem consideradas em pontes de concreto 
armado e protendido. 
 As ações permanentes são consideradas como constantes ao longo da vida útil da 
obra de arte ou que crescem no tempo tendendo a um valor constante. 
As cargas permanentes são divididas: 
• em peso próprio, 
• pavimentação, 
• trilhos, dormentes, lastro ferroviário, 
• revestimentos, 
• guarda-corpos, 
• empuxos de terra e líquidos, 
• forças de protensão, 
• deformações impostas (provocadas por fluência, retração, variações de temperatura 
e deslocamentos de apoios). 
As ações variáveis subdividem-se 
• cargas verticais, 
• efeito dinâmico das cargas móveis, 
• força centrífuga, 
• choque lateral, 
• efeitos da frenagem e aceleração, 
• cargas de construção, 
• cargas de vento, 
• empuxo de terra provocado por cargas móveis, 
• pressão da água em movimento, 
• efeito dinâmico do movimento das águas, variações de temperatura, ações 
excepcionais, 
• choques de objetos móveis 
• outras ações excepcionais 
 
superestrutura
infraestrutura
mesoestrutura
 
 18 PONTES 
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Figura 33- Divisão de uma ponte em superestrutura, mesoestrutura e infraestrutura. 
 
 Para facilitar o estudo das pontes costuma-se dividi-las em superestrutura (conjunto 
de lajes, vigas e transversinas),mesosestrutura (aparelho de apoio e pilares) e infraestrutura 
( fundação propriamente dita). Neste curso se dará mais ênfase ao estudo da superestrutura. 
Para a superestrutura os erforços mais importantes são as cargas verticais permanentes e 
acidental. 
 
 
5.1- AÇÕES VERTICAIS MÓVEIS EM PONTES DE CONCRETO SEGUNDO AS 
NORMAS 
 As ações móveis em pontes é que as destacam das demais estruturas, não só pela 
intensidade assim como a possibilidade de ocorrerem em diversas posições da estrutura e 
ainda o fato de serem dinâmicas que levam a confecção de normas específicas para o seu 
uso e processos mais detalhados de cálculo. 
 
 Tabela 1. Cargas dos veículos: Fonte: NBR 7188 (1984) 
Classe 
das 
pontes 
Veículo Carga uniformemente distribuída 
Tipo Peso Total q q’ Disposição 
da carga KN tf KN/m2 Kgf/m2 KN/m2 Kgf/m2 
45 45 450 45 5 500 3 300 Carga q em 
toda a pista. 
Carga q’ nos 
passeios. 
30 30 300 30 5 500 3 300 
12 12 120 12 4 400 3 300 
 
 
Tabela 2. Características dos veículos: Fonte: NBR 7188 (1984) 
 Unidade Tipo 45 Tipo 30 Tipo 12 
Quantidade de eixos Eixo 3 3 2 
Peso total do veículo KN-tf 450-45 300-30 120-12 
Peso de cada roda 
dianteira KN-tf 75-7,5 50-5 20-2 
Peso de cada roda traseira KN-tf 75-7,5 50-5 40-4 
Peso de cada roda intermediária KN-tf 75-7,5 50-5 __ 
Largura de contato b1 de cada 
roda dianteira m 0,50 0,40 0,20 
Largura de contato b3 de cada 
roda traseira m 0,50 0,40 0,30 
Largura de contato b2 de cada 
roda intermediária m 0,50 0,40 __ 
Comprimento de contato de cada 
roda m 0,20 0,20 0,20 
Área de contato de cada roda m2 0,20*b 0,20*b 0,20*b 
Distância entre os eixos m 1,50 1,50 3,00 
Distância entre os eixos de roda 
de cada eixo m 2,00 2,00 2,00 
 19 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
As ações nas pontes rodoviárias são bem menores que as das ferroviárias pois devidas 
as características destas últimas que só se torna viável para transporte de grandes vargas. 
Assim, é preciso normas específicas que definam, para efeito de cálculo e fiscalização de 
uso, valores máximos de cargas móveis (ou acidentais) que poderão estar atuando nas obras 
de arte (pontes e viadutos). A norma específica para as ações móveis máximas chamadas 
também de trens-tipos, a NBR 7188/1984, que detalhada as seguintes cargas máximas 
(Rodoviárias – para a ferroviária ver a norma NBR 7189 (1985) ou específica) 
 
De acordo com a norma NBR7188, as cargas de cálculos de pontes rodoviárias são de 
três classes: classe 45 (rodovias classe I), classe 30 (rodovias classe II), classe 12 (rodovias 
classe III), onde 45 (450 kN), 30 (300 kN) e 12 (120 kN) representam os pesos em 
toneladas-força dos veículos de cálculo. A tabela 1 mostra as classes de pontes com os 
respectivos pesos e cargas distribuídas. 
O trem tipo sempre será considerado na direção do tráfego e na posição mais 
desfavorável da estrutura, e a carga distribuída é aplicada em toda a pista descontando a 
posição do veículo tipo. 
Na figura 34 é apresentada em elevação e planta o trem tipo visto de frente e 
lateralmente da classe 450 kN que corresponde a um veículo com 6m de comprimento e 3m 
de largura e com distância de 1,5m entre seus eixos, com carga concentrada de 150 kN em 
cada eixo. 
 
 
Figura 34. Trem Tipo para a classe 45 – Geometria e cargas (cotas em cm) 
 
5.2 - CÓDIGO NACIONAL DO TRÂNSITO E DE RESOLUÇÕES CORRELATAS 
(texto de LIMA V. S. – (2005)) 
A fiscalização das cargas que atuam em pontes e estradas é de competência da 
polícia militar em rodovias estaduais e da polícia federal em rodovias federais. Há também 
 20 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
o trabalho de órgãos específicos como DER (Departamento de Estradas de Rodagem – 
estadual) que podem emitir licenças para veículos com cargas fora do comum (não previstas 
em códigos) transitem nas estradas. As concessionárias das rodovias também têm interesse 
em que o fluxo de carga seja fiscalizado para evitar menor durabilidade das mesmas 
(incluindo as pontes). O excesso de carga é aferido por equipamentos de pesagem ou 
verificação de documento fiscal. Para que as cargas permitidas nas rodovias, calculadas 
pelo engenheiro, sejam respeitadas, foi criada a lei da balança. 
Esta lei tem como objetivo a preservação das condições de estradas, pontes, viadutos 
dentre outros. Alegando falta de precisão das balanças, em 1985 vigorou uma tolerância de 
5% para os limites de peso de carga por eixo e peso bruto total. Porém, recentemente houve 
um acordo entre o Governo e os transportadores de cargas onde foi decidido aumentar o 
limite de peso para 7,5%, com o objetivo de aumentar a produtividade na indústria de 
transporte, economia de combustível, diminuir o número de viagens, melhorar a qualidade 
do ar e diminuir os congestionamentos. 
Desde 15/12/2004 mais de quarenta mil veículos foram dispensados de obter 
autorização especial para circular, isto quer dizer que veículos com pesos totais superior a 
45 toneladas e inferior a 57 toneladas podem circular livremente em pontes e viadutos. Este 
decreto é resultado das reivindicações dos transportadores de carga devido ao custo do 
transporte de cargas que, com o decreto, pode ser feito em um número menor de viagens. 
Nesta autorização há uma lista de lugares que estes veículos não podem passar, porém não 
houve tempo para que se fizessem as sinalizações necessárias, ou seja, significa uma 
liberação total dos veículos. Além disso, a circulação dos “bitrens” pode dificultar a 
circulação dos carros. A Associação Nacional dos Transportes de Cargas, segundo a 
reportagem Folha de São Paulo (2004), considera esta decisão sábia, afirmando que os 
“bitrens” não prejudicam a malha viária devido à boa distribuição do peso em seus eixos. 
Os órgãos a favor desta liberação afirmam que as pontes rodoviárias têm capacidade para 
isso, mas como não há nenhum estudo específico do assunto (pelo menos não foi 
encontrado durante a pesquisa bibliográfica), infere-se que a decisão se dá considerando o 
coeficiente de segurança o que não seria correto, pois o coeficiente de segurança é uma 
segurança apenas para situações extraordinárias. É muito importante ressaltar que nenhuma 
destas vantagens compensa a elevação dos limites de peso e do excesso de carga sobre a 
rede pavimentada, pois colocam em risco a segurança e conforto dos usuários. O contínuo 
esforço de resistência à rolagem dos pneus causa-lhe “fadiga”, desgastando a capacidade de 
resistência do pavimento, ocorrem então as deformações, enrugamento do asfalto, fissuras, 
afundamento da trilha de roda e rupturas. Além de esta danificação causar acidentes, 
mortes, o excesso de peso pode danificar a suspensão do caminhão, capacidade de 
transporte, durabilidade dos freios, direção e provocar desgastes nos pneus. 
 
5.2.1-COMBINAÇÕES DE CARGAS DE VEÍCULOS 
A resolução do CONTRAN (Conselho Nacional de Trânsito) mostra inúmeras 
possibilidades de variação das combinações de veículos de carga (CVC’s), algumas delas 
são mostradas na figura 35. 
Apesar de as cargas nos eixos serem menores que as do veículo normativo o estudo 
das CVC’s nas pontes rodoviárias é de extrema importância, pois visa a verificação da 
estrutura principal. 
Estas CVC’s usuais, mesmo sendo permitidas por lei, podem ser críticas, pois além 
de possuírem peso bruto total superior ao veículo normativo, é possível circular mais de 
 21 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
uma CVC sobre o tabuleiro da ponte, o que não ocorre com o trem tipo, sendo que passa 
apenas um por vez na ponte. 
 
5.2.2. VEÍCULOS USUAIS 
As figuras 36, 37 e 38 representam as CVC’s escolhidas para que sejam estudados os 
máximos momentos fletores e comparados com os veículos normativos, concluindo assim 
se as normas brasileiras vigentes atendem a circulação de veículos usuais nas pontes 
rodoviárias.Estas combinações foram escolhidas, pois ilustram os casos mais críticos. As 
CVC’s escolhidas foram: 
• Rodotrem de 74 toneladas com 19,80 metros de comprimento (RT 74/20); 
• Rodotrem de 74 toneladas com 25,00 metros de comprimento (RT 74/25); 
• Bi-trem de 74 toneladas com 24,90 metros de comprimento (BT 74/25). 
. 
Figura 35Combinações de veículos de carga. Fonte: CONTRAN 
 
 
 
 22 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
 
 
Figura 35. Rodotrem – 74 toneladas (19,80 m) 
 
 
Figura 36. Rodotrem 74 toneladas (25 m) 
 
 
 
Figura 37. Bi-trem – 74 toneladas (24,90 
 
 
 
 23 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
 
 
 Nas rodovias do estado de São Paulo também é muito encontrado um bitrem com 
sete eixos com o esquema mostrado na figura 38. 
 
 
 
Figura 38. Bi-trem – com sete eixos. 
 
6 – AVALIAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES NAS VIGAS DE 
SUPERESTRUTURAS DE PONTES DE CONCRETO. 
Até a década de 70 os modelos de cálculo empregados para a determinação dos 
esforços em pontes de concreto eram, de uma maneira geral baseado em processos 
simplificados. A partir do uso de computadores estes procedimentos fora, se sofisticando e 
deram de uma maneira geral lugar a procedimentos numéricos, como pode ser visto em 
HAMBLY ( ). 
 São descritos os modelos de cálculo dos principais sistemas estruturais de pontes de 
concreto usando os processos já consagrados na década de 70 para o cálculo de momento 
fletor usando para tanto como ferramenta mais importante a linha de influência. Assim, o 
detalhamento e o cálculo final de uma obra de ponte de concreto talvez necessite do uso de 
programas de elementos finitos, grelhas ou pórticos tridimensional. 
Basicamente a diferença entre o cálculo deste tipo de estruturas e as usuais é a 
consideração da carga acidental. Portanto neste capítulo são mostrados as maneiras de 
determinar esforços máximos e mínimos em vigas das pontes em duas vigas, vigas 
múltiplas e seção celular. 
As pontes com superestrutura em lajes não serão aqui tratadas, pois seu cálculo é 
bastante específico e os esforços dependeriam mais do valor da carga de uma roda do que 
propriamente a geometria e carga total do veículo e precisariam usar , por exemplo, as 
tabelas de Rüsche ( ) em que superfícies de influencia foram previamente carregadas com 
trem tipo de cargas concentradas para obter-se os máximos momentos em diversas situações 
de lajes. Desta maneira serão apresentados aqui modelos de cálculo simplificados para o 
caso de duas vigas, vigas múltiplas e seção celular. 
 O problema será resolvido em duas passagens. Na primeira estuda-se a variação da 
posição do veículo na seção transversal e na segunda será estudada a variação de posição ao 
longo do eixo longitudinal. 
 
 
 24 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
6.1 ANÁLISE SEGUNDO A SEÇÃO TRANSVERSAL (PROCEDIMENTOS 
SIMPLIFICADOS) 
Considerando uma ponte com a superestrutura com um dos esquemas citados 
anteriormente (duas vigas, vigas múltiplas ou seção celular) o valor dos esforços 
solicitantes nas vigas longitudinais dependerá da posição em planta do veículo do trem tipo. 
Considerando, por exemplo, a figura 39 o valor do momento fletor na viga V1 será, sem 
dúvida, função da posição definida por xi e yi do veículo em planta. 
viga V1
x
veículo
y
xi
iy
viga V2
 
Figura 39. Posição do veículo no tabuleiro da ponte 
 
Para se evitar trabalhar com a estrutura nas duas dimensões da planta costuma-se, de 
maneira simplificada, estudar para cada sistema estrutural de seção transversal qual a 
parcela de carga que a viga V1 estará recebendo ao considerar um valor fixo de x do trem 
tipo para um valor variável de y. Na maioria das vezes considera-se ainda que o valor de x 
não interfere neste o processo, ou seja, estuda-se para uma certa seção a distribuição da ação 
no sentido transversal e a adota em todo sentido longitudinal da ponte. 
 
6.1.2 ANÁLISE PARA A SEÇÃO TRANSVERSAL COM DUAS VIGAS 
Para uma seção com duas vigas a análise é feita da forma descrita em seguida e 
usando os esquemas apresentados na figura 40. 
LAJE
SEÇÃO EM DUAS VIGAS
VIGA V1
VIGA V1
y
y
VIGA V1
1
TRANSVERSINA
LINHA DE INFLUÊNCIA DE REAÇÃO DE APOIO DE V1
y
i
iy P
 
Figura 40. Esquema transversal e linha de influência de uma seção transversal 
com duas vigas 
 
 25 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
Assim, fixando o valor de x basta variar o valor de y, considerando, por exemplo, 
uma carga concentrada unitária P=1 variando sua posição na direção transversal e 
verificando qual a parcela desta é absorvida por uma das vigas. Para fazer este cálculo 
considera-se o seguinte modelo (ver figura 40): a laje passa a ser um elemento rígido capaz 
apenas de transmitir cargas verticais às vigas V1 e V2, que por sua vez são indeslocáveis na 
vertical (perante a deformabilidade da laje). Desta forma para uma posição yi genérica da 
carga P o valor da carga absorvido pela viga V1 será igual a η×= PRV1 , onde η é a 
ordenada da linha de influência de reação de apoio a direita (figura 40) que representa a 
viga V1. 
 
Exemplo numérico 1- Calcular o trem tipo longitudinal máximo para a ponte com seção 
transversal de duas vigas dada na figura 41, considerando o trem tipo classe 45. 
0,
9
1,41,5
7575
3604040
250250 500
VIGA V1
LINHA DE INFLUÊNCIA DE REAÇÃO DE APOIO
TRANSVERSINA
LAJE
SEÇÃO EM DUAS VIGAS
VIGA V1
1,0
20
250
50
300
5
Figura 41. Esquema estrutural, carregamento e linha de influência da seção 
transversal com duas vigas para o trem tipo normativo 
 
Para calcular o trem tipo longitudinal de carga máxima é preciso considerar o 
esquema da seção transversal como o indicado na figura 41 e traçar a linha de influência de 
reação de apoio de V1 ou V2 (no caso foi traçada a L.I.R.A. da viga V2 – a da esquerda). 
Em seguida coloca-se o trem tipo normativo da classe 45 (que tem 150 kN por eixo e 
portanto 75 kN por roda de carga) na pior situação para dar carga em V2. Esta situação 
corresponde a carregar a seção transversal com o trem tipo o mais próximo da extremidade 
esquerda conforme mostra a figura 41. As ordenadas da linha de influencia são calculada 
usando o conceito de linearidade. Assim, na extremidade direita a ordenada é dada por 
(1/5,0)×7,50 = 1,50 e assim sucessivamente. 
Estabelecido o posicionamento do veículo basta usar as propriedades da linha de 
influência para calcular as reações de carga (quinhões de carga) em V2 com: 
• Trem tipo longitudinal: 
P = 75× (1,4+1,0) = 180,0 kN 
p’ = 5×1,5× (7,5/2) = 28,125 kN / m 
p = 5× 4,5× (0,9/2) = 10,125 kN / m 
 26 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 O valor de p’ corresponde a reação que ocorre na viga V2 quando o veículo não está 
presente, ou seja toda a seção transversal seria ocupada por uma carga de 5 kN/m2. 
 
360
40
40
250
250
500
SE
Ç
Ã
O
 T
R
A
N
SV
ER
SA
L
PLANTA
V1
V2
P P P
p'p' p
TREM TIPO LONGITUDINAL MÁXIMO
 
Figura 42. Esquema do trem tipo longitudinal máximo. 
 
6.1.3 - ANÁLISE PARA A SEÇÃO TRANSVERSAL COM VIGAS MÚLTIPAS 
Para uma seção com vigas múltiplas a análise é feita da mesma forma que a da seção 
com duas vigas, a única mudança está na influência da quantidade de transversinas e sua 
rigidez (inércia) e também o fato de se ter agora estrutura hiperestática para se traçar a linha 
de influência como a mostrada na figura 43. 
VIGA V1
VIGA V1
SEÇÃO EM TRÊS VIGAS
LAJE
TRANSVERSINA
LINHA DE INFLUÊNCIA DE REAÇÃO DE APOIO DE V1
P
y
VIGA V1
VIGA V1
 
Figura 43. Esquema estrutural e linha de influência de uma seção transversal com três 
vigas 
 
Para se obter a linha de influência da reação de apoio neste caso costuma-se usar 
processos simplificados como os descritos emSAN MARTIN (1981) método de 
 27 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
ENGESSER-COURBON, e LEONHARDT que serão detalhados em seguida assim como o 
cálculo também pode ser realizado supondo-se uma grelha e com programas. 
 Nas páginas seguintes são apresentadas as tabelas de Leonhardt para seção com 3, 4 
e 5 vigas na seção transversal 
 
 
 28 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
 29 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
 30 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
 
 
 
 
 
 31 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
 
Exemplo 2 – Calcular o máximo Trem Tipo Longitudinal apara a seção dada que faz parte 
de uma ponte de 36 m. de vão 
 
TRANSVERSINA
SEÇÃO EM VIGAS MÚLTIPLAS
TRANSVERSINA (20X162)SEÇÃO EM CÉLULA
SEÇÃO EM DUAS VIGAS
1000 1000
1000
360 212
180
40 40
500
250 250
200 200300 300
SEÇÕES TRANSVERSAIS (CORTE AA)
3600600 600
VISTA LONGITUDINAL LATERAL A
A
 
Figura 44. Esquema estrutural da seção transversal de ponte com três vigas. 
 
 
75 75
400
n1 n2
n3 n4
0,836
0,329
-0,165
 
 
6.1.4 ANÁLISE PARA A SEÇÃO TRANSVERSAL CELULAR 
Para calcular os esforços máximos e mínimos em cada seção é necessário conhecer 
a parce1a da carga acidental absorvida por cada viga da figura 46 
 32 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
Figura 46. Funcionamento da seção celular: a carga P, vertical, é absorvida 
igualmente por V1 e V2 devido a grande inércia à torção da seção. 
 
Figura 45. Esquema para o cálculo do Trem Tipo Longitudinal (TTL) 
. O raciocínio a seguir foi descrito por MULLER J. (1976). Colocando-se uma carga P 
no meio da seção transversal, cada viga absorverá metade da carga aplicada, ou seja, P/2. 
Quando a carga P está excêntrica de “e” pode-se afirmar que as cargas absorvidas por V1 e 
V2 serão também iguais a P/2, pois o momento torçor (Mt=P.e) é absorvido pelas tensões 
de cisalhamento τt . Como a rotação α é muito pequena, praticamente nula, pode-se 
considerar que as ações em V1 e V2 são iguais. 
 Portanto pode-se afirmar que cada viga absorve metade da carga, não dependendo da 
posição do veículo na seção transversal. Assim pode-se calcular o valor da carga acidental 
 33 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
para toda a seção sendo este conjunto de cargas denominado de trem tipo longitudinal 
(TTL). Os valores destas cargas são obtidos a partir da resultante dos esforços em cada 
seção como ilustrado na figura 45. 
 
6.2 ANÁLISE SEGUNDO A DIREÇÃO LONGITUDINAL 
Com o valor do trem tipo longitudinal basta usar as linhas de influência do esforço 
que se deseja para obter os valores extremos de esforços de carga acidental. Assim para 
momento fletor usar-se-ia a linha de influencia de momento fletor. 
 
6.2.1 LINHA DE INFLUÊNCIA DE MOMENTO FLETOR DE VIGAS 
ISOSTÁTICAS 
 Para poder determinar a posição do veículo tipo na ponte para a situação mais 
desfavorável e determinar o máximo momento fletor que causa é preciso definir o conceito 
de linha de influência. 
 Define-se, por exemplo, a linha de influência de seção S de uma viga bi-apoiada 
como sendo o diagrama de momento fletor em S para uma carga P variando sua posição ao 
longo da peça (x1 variando) (ver figura 43). 
B
A
P=1
S
n n21
a b
C
L
a
c e
x
x
LIMS
1
2
nn3 4
 
Figura 46. Linha de influência de momento fletor na seção S 
 
Para encontrar o valor do momento fletor em uma seção S, com a carga P 
posicionada em x1 basta medir o valor da ordenada n2 da linha de influencia e multiplicar o 
seu valor por P. No caso de carga distribuída uniforme de taxa p é fácil concluir que basta 
considerar o valor da taxa p pela área da figura da linha de influencia no trecho em que ela é 
aplicada. Finalmente para construir o gráfico da linha de influencia basta verificar que o 
ponto máximo da mesma se dará, no caso, em cima da própria seção S e quando P estiver 
nos apoios, os momentos serão nulos. Assim basta determinar o valor de n1 e traçar os dois 
segmentos de reta (pontos AB e BC da figura 46) lembrando que a ordenada n1 valerá 
(a×b)/L. 
 
6.2.2 USO DO PROGRAMA FTOOL 
 Uma vez determinado o trem tipo longitudinal é possível o uso de ferramenta 
computacional que permita obter não só a linha de influência de vigas (e pórticos) assim 
como a posição do trem tipo que conduz a valores extremos e por fim a envoltória de 
 34 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
esforços. Isto é conseguido com um programa gratuito desenvolvido por MARTHA e 
acrescentado da função por _____ ( ). 
 
 
 
 
 
 
Figura 47. Esquema estrutural de uma viga de ponte e o Trem Tipo longitudinal que 
poderá atuar em entrada de dados fo FTOOL ( ). 
 
 
 
 
 
Figura 48. Linha de Influência de momento fletor no ponto central da viga dada na 
figura 47 com os posicionamentos para o cálculo de valores máximo e mínimo obtidos 
com o FTOOL ( ). 
 35 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
Figura 49. Linha de Influência de cortante no ponto central da viga dada na figura 47 
com os posicionamentos para o cálculo de valores máximo e mínimo obtidos com o 
FTOOL ( ). 
 
 
 
 
Figura 49. Envoltória de momentos fletores da viga dada na figura 47 e respectivo 
trem tipo longitudinal obtida com o FTOOL ( ). 
 
 
 
 
Figura 50. Envoltória de Cortante da viga dada na figura 47 e respectivo trem tipo 
longitudinal obtida com o FTOOL ( ). 
 
 
 
 36 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
6.3 EXEMPLOS NUMÉRICOS 
Calcular o trem tipo longitudinal máximo e o momento máximo no meio do vão 
para as pontes dadas. 
 
TRANSVERSINA
SEÇÃO EM VIGAS MÚLTIPLAS
TRANSVERSINA (20X162)SEÇÃO EM CÉLULA
SEÇÃO EM DUAS VIGAS
1000 1000
1000
360 212
180
40 40
500
250 250
200 200300 300
SEÇÕES TRANSVERSAIS (CORTE AA)
3600600 600
VISTA LONGITUDINAL LATERAL A
A
 
 
 
ANÁLISE DE CARGA ACIDENTAL PARA PONTES DE CONCRETO COM A 
SEÇÃO TRANSVERSAL COM VIGAS MÚLTIPAS CONSIDERANDO GRELHA 
EQUIVALENTE 
 Anteriormente para o cálculo de momento fletor das vigas longitudinais de uma 
ponte com seção transversal em vigas múltiplas considerou-se processo simplificado de 
resolução de grelhas. 
Neste capítulo aborda-se o mesmo procedimento usando-se uma grelha equivalente, 
sem desconsiderar a torção, usando os conceitos de HAMBLY E. C. (1975). 
Para se ter uma idéia do que ocorre em uma seção com vigas múltiplas usa-se um 
exemplo bem simples de ponte em seção de concreto como a apresentada na figura 7.1. 
SEÇÃO EM TRÊS VIGAS
TRANSVERSINA
212 cm162 cm
 
40
150 cm 300 150 cm300
V2
. 
 37 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
Figura 7.1 – Seção transversal do exemplo a ser analisado de uma ponte com 
três vigas e vão de 36 m. 
 Na figura 7.2 tem-se o esquema longitudinal da estrutura em que aparecem as vigas 
principais (longarinas) e os elementos transversais transversinas. 
18 m 18 m
3m
 3
 m
transversina de apoio
transversina intermediaria
viga longitudinal
 Figura 7.2 – Esquema longitudinal do exemplo a ser analisado de uma ponte com três 
vigas e vão de 36 m, transversina intermediaria e de apoios. 
 
Para se ter uma idéia do que pode acontecer com a carga acidental são resolvidas 
vários tipos de situações com a grelha respectiva conforme indicado na tabela 7.1. 
 
TABELA 7.1 Situações a serem analisadas para a ponte de 7.1 e 7.2 
Caso Descrição 
1 Viga isolada 
2 3 vigas longitudinais, uma transversina intermediária e duas de apoio 
3 Idem caso anterior com inércia a torção do estádio II nas transversinas 
4 3 vigas longitudinais e elementos de laje 
5 Caso anterior com as transversinas de apoio e intermediária 
6 Cálculo usando processo manual de Leonhardt 
 
Considera-se em todos eles uma caraga acidental de 10 kN colocado no meio do vãode uma das vigas extremas conforme indica a figura 7.3. 
CASOS 4, 5
CASOS 2, 3
CASO 1
 
Figura 7.3 – Esquema longitudinal dos casos a serem resolvidos . 
 
 38 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
 
 
 
Tabela 7.1– Listagem usada no programa GPLAN para determinação do momento 
fletor no meio do vão 3 longarinas e laje. 
EXEMPLO PONTES3VIGASS/TRANSV 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
acidental 
NOGP 
 1,11,1,0.0,0.0,36.0,0.0, 
 23,33,11,0.0,6.0,36.0,6.0, 
BARG 
 1,10,1,1,1,2,1,1, 
 11,20,1,12,1,13,1,1, 
 21,30,1,23,1,24,1,1, 
 31,51,2,1,1,12,1,2, 
 32,52,2,12,1,23,1,2, 
 
RESG 
 1,23,11,1,0,0, 
 11,33,11,1,0,0, 
PROP 
 1,1,0.848,0.318,4.5E-02, 
 2,1,0.36,1.2E-04,2.4E-02, 
MATL 
 1,2.12E07,8.51E06, 
FIMG 
CARR 1 
CNO 
 6,-10,0,0, 
FIMC 
CARR 2 
 
 
Os resultados podem ser comparados através do gráfico da figura 7.4 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Momento 
(kN.m)
1
Variação do momento fletor no meio do vão
viga simples
vigas transv. Est. I
viga, trans est. II
vigas, laje
vigas lajes trans
manual
 
Figura 7.4 – Momento no meio do vão da viga lateral com a carga de 10 kN aplicada 
no meio do vão. 
 
 
 
 
 39 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
 
 
 
 
 
7.2 – Exemplo de ponte pré-moldado em concreto protendido. 
terreno natural
A 1250 cm
20
0
10
0 c
m
20
00
 cm
 
Figura 7.5 – Esquema de ponte urbana de vigas pré-moldadas com seis longarinas de 
12,5 m de comprimento por 20 m de largura. 
 
60
65
10
15
5
200200
60
10 55
12
 
Figura 7.6 – Esquema das seções transversais da longarina da ponte da figura 7.5., 
no apoio, no meio do vão e após receber a capa de 12 cm de cocncreto. 
 
 40 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
Figura 7.7- Malha usada para o cálculo da carga móvel e nós usados para determinar 
a ação de carga acidental. 
 
Figura 7.8- Malha usada para o cálculo da carga móvel indicando as barras usadas 
para determinar a ação de carga acidental. 
 
 
 
 
 41 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
Tabela 7.2 – Listagem usada no programa GPLAN para determinação do momento 
fletor no meio do vão. 
OPTE,3,3,3,3,3, 
EXEMPLO JAB2007 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
acidental 
NOGL 
 1,109,9,0,0,0,12, 
 9,117,9,12.5,0,12.5,12, 
NOGP 
 2,8,1,1.75,0,10.75,0, 
 110,116,9,1.75,12,10.75,12, 
BARG 
 1,8,1,1,1,2,1,2, 
 9,16,1,10,1,11,1,1, 
 17,24,1,19,1,20,1,2, 
 25,32,1,28,1,29,1,1, 
 33,40,1,37,1,38,1,2, 
 41,48,1,46,1,47,1,1, 
 49,56,1,55,1,56,1,2, 
 57,64,1,64,1,65,1,1, 
 65,72,1,73,1,74,1,2, 
 73,80,1,82,1,83,1,1, 
 81,88,1,91,1,92,1,2, 
 89,96,1,100,1,101,1,1, 
 97,104,1,109,1,110,1,2, 
 105,212,1,1,1,10,1,3, 
 
RESG 
 10,100,18,1,0,0, 
 18,108,18,1,0,0, 
PROP 
 1,1,0.42,2.07E-02,5.08E-03, 
 2,1,0.30,6.66E-04,1.33E-03, 
 3,1,0.20,1.00E-03,2.00E-03, 
MATL 
 1,2.12E07,8.51E06, 
FIMG 
CARR 1 
CNOG 
 49,51,1,-75,0,0, 
 67,69,1,-75,0,0, 
 1,117,1,-7.5,0,0, 
 49,51,1,7.5,0,0, 
 67,69,1,7.5,0,0, 
FIMC 
FIME 
 
 
 
 
8. Considerações de outros efeitos para a determinação da armadura longitudinal das 
vigas de pontes. 
 Além das cargas permanentes, de sobrecarga permanente e acidental é preciso 
considerar outras particularidades para determinar a quantidade de armadura longitudinal de 
flexão em vigas de pontes. Uma das diferenças do cálculo de edificações usuais e de pontes 
está no uso dos coeficientes de ponderação de majoração de ações que podem não ser os 
mesmos. Outra consideração a ser feita na determinação de solicitações é que há o efeito 
dinâmico das cargas acidentais que é de uma maneira geral considerada através do 
coeficiente de impacto vertical. Finalmente pela a característica de repetividade de ações 
(acidentais) há a possibilidade de ocorrência de fadiga do material. 
 
8.1 Coeficiente de Impacto vertical 
 Como a ação da carga acidental é dinâmica percebe-se na pratica que a estrutura 
sofre uma solicitação superior ao valor apenas da carga dos veículos. Uma maneira de 
considerar este efeito dinâmico eé medir experimentalmente os deslocamentos de diversos 
pontos da ponte submetidas a uma ação acidental estática e outra móvel. Em principio o 
coeficiente de impacto vertical mediria a razão entre estes dois valores ( o deslocamento 
dinâmico e o estático). Porem a medição pura e simples destes valores não é sufucuente 
para se chegar a um valor aplicável a qualquer tipo de ponte pois afetam este valor: as 
 42 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
ondulações do pavimento, a velocidade e a forma dinâmica que o veículo se movimenta, 
alem da carascterísticas vibratórias da própria estrutura. 
 Na norma Brasileira este coeficiente é definido para pontes rodoviários com um 
valor empírico que deve majorar as cargas acidentais dado por: 
 
 )L007,0(4,1 ×−=ϕ 
 com ϕ >1 e L- vão livre e dado em metros. 
 
 
8.1 Coeficiente de ponderação de ações 
 
 A norma NBR8681-2003 explicita para diversos casos de pontes valores um pouco 
diferentes dos que são usados para edificações usuais em que a carga acidental normalmente 
não chega a valores de 5 kN/m2. Resumidamente estes valores estão mostradas nas tabelas 
subseqüentes. 
 
Coeficientes fγ para ações permanentes 
COMBINAÇÃO Tipo de Estrutura favorável desfavorável 
normal Grandes pontes 
pontes em geral 
1,30 
1,35 
1,0 
1,0 
Especial ou de construção Grandes pontes 
pontes em geral 
1,20 
1,25 
1,0 
1,0 
Exepcional Grandes pontes 
pontes em geral 
1,10 
1,15 
1,0 
1,0 
Grandes pontes – definidas como aquelas em que o peso próprio é maior que 75% da 
totalidade das ações permanentes. 
 
Coeficientes fγ para ações acidentais 
COMBINAÇÃO Tipo de Estrutura Coeficiente de ponderação 
normal pontes em geral 1,50 
Especial ou de construção pontes em geral 1,30 
Exepcional pontes em geral 1,00 
 
8.3 Consideração do efeito da fadiga 
Grande parte dos materiais estruturais podem sofrer ruptura sob ações repetitivas com 
intensidade inferior aos valores a obtida em ensaios estáticos. A esse fenômeno se dá o nome de 
fadiga. De uma maneira geral considera-se neste trabalho apenas a fadiga do aço. 
Pode-se dizer que a fadiga é função do numéro de repetição das ações assim como a variação na 
intensidade desta. Considera-se que para pontes rodoviárias o número de ciclo de 2x104 a 2x106 
(número mínimo de repetições que produzem fadiga) ocorre na vida útil da mesma e que de uma 
maneira geral em edificações usuais tal não ocorra. 
 Segundo a NBR6118 a fadiga é m fenômeno associado a ações dinâmicas repetidas, 
que pode ser entendido como um processo de modificações progressivas e permanentes da 
estrutura interna de um material submetido a oscilação de tensões decorrentes dessas ações. 
Combinações de ações a considerar 
 43 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
Embora o fenômeno da fadiga seja controlado pela acumulação do efeito deletério de solicitaçõe 
a verificação da fadiga pode ser feita considerando um único nível de solicitação, expresso pela 
 
 
O valor de fγ deve ser considerado igual a 
1 
 
envoltórias 
 44 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
Muler J. ACI 1976 
 
FTOOL 
 
Noções sobre o detalhamento de vigas de pontes 
 
 
 
 
 
 45 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
Aqui neste caso é preciso na verdade entrar com seções de b=53 cm na alma para a 
seção S2=S8 e com o valor da seção de b=66 na seção S1=S9. Desta forma se os valores 
da área e inércia das seções são As0, As1, As2, As3, a área do elemento entre a seção S0 e 
S1 fica com (As0 +As1)/2; a seção S1 e S2 fica com (As1 +As2)/2 e a seção S2 e S3 fica 
com (As2 +As3)/2. Idem para a inércia. 
 46 PONTESROBERTO CHUST CARVALHO 
 
 
Na verdade o que se deve fazer aqui é considerar que a ponte é executada inclinada de 
maneira que o 2% para esgotamento da água seja obtido por geometria da seção transversal. 
 47 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
Assim, para o asfalto é suficiente considerar uma espessura mínima multiplicada pela 
largura de influência e pelo peso específico que pode ser considerado 22 kn/m3. 
 
 48 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
 49 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
 50 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
 
 
 
 
Lajes 
CURSO DE PONTES 
 
Disciplina optativa do curso de Engenharia Civil DECiv-UFSCar 
 
aulas 
1 –LAJES DE CONCRETO DE PONTES 
 
Em princípio um laje de concreto de uma ponte é uma placa como são as lajes das 
edificações. Assim valem rodas as considerações feitas em CARVALHO e FIGUEIRED) 
(2007). Existe porem uma diferença significativa que faz com que o cálculo dos pavimentos 
de pontes fique bem mais complexo que a de um pavimento usual. As ação móvel não pode 
mais ser considerada uniformemente distribuída pois as roda dos veículo tipo atuam como 
uma ação concentrada ou de uma superfície parcial de carga. Mais complicado ainda é o 
fato desta ação pode estar, em princípio, em qualquer posição da superfície da laje. Assim 
desta forma as lajes de concreto de pontes tem várias particularidades no seu 
dimensionamento e verificação que são tratados nos itens que se seguem. 
 
1.2 CONCEITOS E DEFINIÇÕES SOBRE PLACAS. 
 
Resume-se aqui alguns conceitos para que o leitor possa acompanhar o raciocínio 
desenvolvido neste item. Considera-se como conceitos conhecidos (em dúvida consultar 
CARVALHO & FIGUEIREDO (2007)) a definição de placa de concreto (neste caso de 
pequena espessura), o uso de procedimentos como os de série e diferenças finitas para a o 
cálculo de esforços na placa (em geral momentos por faixa unitária de comprimento) e 
finalmente a necessidade de considerar condições de contorno simplificadas no pavimento 
para tornar a resolução do problema mais simples. 
Na figura é mostrado o esquema estrutural das lajes que compõem o sitema de 
pavimento de uma ponte com seção transversal em duas vigas. Separa-se as regiões do 
pavimento em três lajes (L1, L2 e L3). As duas primeiras tem bordo livre (na parte de fora) 
 51 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
e apoio engastado junto a viga (V1 e V2). Também se considera que a viga por ter inércia 
muito maior que laje é indeslocavel na direção vertical. Finalmente a laje de dentro, L2, 
pode ser considerada em primeiro momento também bi-engastada (as rotações impedidas). 
A determinação dos momentos fletores para um dado carrgeamento é obtido com a 
resolução da equação 7.1 
 
D
p
y
w
yx
w2
x
w
4
4
22
4
4
4
−=
∂
∂
+
∂∂
∂
⋅+
∂
∂ 
 
(7.1) 
 
Em que: 
 
w – deslocamento vertical; 
x, y – coordenadas de um ponto genérico da placa; 
p – intensidade da carga atuante; 
)1(12
hED 2
3
ν−⋅
⋅
= – é a rigidez à flexão da placa; 
E – módulo de deformação longitudinal do concreto; 
ν – coeficiente de Poisson. 
 
 
SEÇÃO EM DUAS VIGAS 
H
PLANTA (VISTA P/ CIMA)
 V1 V2
 V1
 V2
CORTE
L1
L3
L2
ESQUEMA ESTRUTURAL DAS LAJES
 
SEÇÃO EM DUAS VIGAS 
H
PLANTA (VISTA P/ CIMA)
 V1 V2
 V1
 V2
CORTE
L1
L3
L2
ESQUEMA ESTRUTURAL DAS LAJES
 
L1
L3
L2
ESQUEMA ESTRUTURAL DAS LAJES
 
Figura 1 – Esquema a ser considerado de lajes que formam o pavimento de uma 
ponte com seção em duas vigas. 
 
 
 52 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 Resolvendo a equação fundamental (7.1) (com o valor de p adequado), obtém-se a 
expressão para a superfície elástica )y,x(ww = , e com suas derivadas os momentos mx e 
my nas direções x e y respectivamente: 
 
2
2
2
2
x
y
w
x
w
D
m
∂
∂
⋅ν+
∂
∂
= 
 
(7.2) 
 
2
2
2
2
y
x
w
y
w
D
m
∂
∂
⋅ν+
∂
∂
= 
 
(7.3) 
 
O maior problema no caso das lajes de pontes é que a ação p (concentrada) tem posição 
(definida por xp e yp) variável devendo-se sempre considerar a mais defavorável. Para 
resolver este problema deve-se considerar uma superfície de influência de momento fletor. 
Assim para uma placa dada (dimensões conhecidas e condições de contorno) pode calcular, 
pó exemplo, o momento fletor no meio da placa para diversas posiçãoes de uma carga 
unitária. O resultado obtido marcando em cada ponto da posição da carga o valor do 
momento fletor pode ser visto na figura 2. 
 
 
Figura 2 – Superfície de influência de momento fletor positivo prara uma laje bi-
engastada. Foram desenhedas 6 pontos representando a posição das rodas de um 
veículo na laje . 
 Para uma posição do veículo tipo, como a mostrada no desenho pode-se obter o para 
momento fletor resultante multiplicando o valor da carga pelo momento lido na superfície. 
 53 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
1.3 TABELAS DE RUSCHE 
Como mostrado anteriormente o procedimento para a determinação de momento com 
um conjunto de cargas concentradas acidentais (veículo-tipo) é extremamente laborioso. 
Rusche resolveu este problema fazendo para inúmeras situações este cálculo e tabelando-os 
para um número grande de lajes e d e diversas relações de lados usando o veículo tipo da 
Norma Alemã que foi adotado também pela Norma Brasileira. Estas tabelas tem sido 
usadas há mais de 50 anos no Brasil desde que foram introduzidas em forma de apostila 
criadas pelo então aluno Cap. Erwino Gunther Ritter do curso de Construção e Fortificações 
da turma de 1959 do Instituto Militar de Engenharia. Uma tabela deste tipo de uma laje 
simplesmente apoiada com relação de lados infinito (uma dimensões maior que 3 ou 4 
vezes a outra) é mostrada na figura 3. 
O uso destas tabelas é bastante simples, sendo apenas necessário o estabelecimento de 
algumas regras que são colocadas a seguir. 
 
 
 
 
 54 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
 
Figura 3- Tabela de Rusche para laje simplesmente apoiada. 
 
As primeiras das regras dizem respeito as condições de contorno que estão mostyradas 
na figura 4. Há diversas situações possíveis considerando-se que um bordo inderteminado é 
aquela em que mesmo havendo, por exemplo, um impedimento a rotação devido a relação 
de vãos não haverá influência no cálculo. Indica-se também na figura os momentos que 
podem ocorrer nas direções x e y (na verdade a direção paralela a que é colocada a 
 55 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
armadura) com as letras e para o engaste m para o meio da placa (ou próximo disto) e r 
bordo livre. Usa-se x para a dire’ção do menor vão. 
L1 L2
x
y
indeterminado
engastado
apoiado
livre
BORDAS CONVENÇÃO
mxm
m
ym
M
ye
Mxe
x
y
mxm
m
ym
Mxe
Mxr
m
yr
 Figura 4. Nomenclatura usada para as tabela de lajes de pontes de Rusche. 
Os parâmetros de entrada da tabela são: 
 t/a 
 e 
  x/a 
Com 
t- lado do quadrado de área equivalente ao do retângulo de projeção da roda do veículo 
no plano médio da laje (explicado a seguir). 
a- distância entre duas rodas do mesmo eixo do veículo (em geral 2 m). 
 x – menor vão da laje. 
 
Comsiderando que a roda do veículo tipo em planta proporcione sobre a superfície do 
asfalto um retângulo de lados a e b como indicados na figura 5. No plano médio da laje 
(supondo um ângulo de 450 de distribuição de ação) a área do retângulo é dada por: 
 
A = a1 . b1 
 
Com 
 
a1 = a + 2 ( )aa hh + + 2 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
22
LL hh = a+2ha+hL 
b1= b + 2 ( )aa hh + + 2 ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
22
LL hh = b+2ha+hL 
Assim, 
 56 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
 11 bat ⋅=45°45°
a
asfalto
laje
roda
a1
45°45°
b
asfalto
laje
roda
b1
ha
hL
linha média da laje
Roda em planta
A
B B
A
Corte AA Corte BB
b
a
 
Figura 5. Considerações para calcular o lado t do quadrado de mesma área que a 
projeção da roda no plano médio da laje. 
 
 Finalmente é preciso verificar a direção de tráfego (FHARICHTUNG) indicada na 
tabela e verificar que há entradas para o cálculo do momento devido a carga concentrada e 
as caragas distribuídas móveis (p e p’ que devem ser somadas pois já não háis distinção 
entre estes valores) e finalmente na parte superior da tabela há valores que possibilitam o 
cálculo dos momentos de ação distribuída em toda a laje (cargas permanentes). 
 
 
Infraestrutura 
 
1. ESTUDO DOS APARELHOS DE APOIO DE PONTES DE CONCRETO 
 
É muito comum usar-se em pontes aparelhos de apoio, geralmente de 
neoprene (nome comercial do policloropreno) fretado, para fazer a ligação entre 
os pilares e tabuleiro da ponte. Estes aparelhos de apoio vinculam algumas 
partes da estrutura devendo atender à compressão, reduzindo a deformação e 
aumentando a capacidade de resistência. A fretagem do elastômero neoprene é 
obtida fazendo-se a vulcanização de chapas de aço entre camadas da borracha, 
 57 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
que produz um efeito de cintamento aqui citado como fretagem (galicismo de 
fretage). 
Os aparelhos de apoio de pontes têm a função de centrar as reações de apoio 
verticais da superestrutura, esta centragem forma uma articulação, permitindo a 
rotação do aparelho de apoio fazendo com que a flexão possa acontecer sem 
impedimentos. Articulações lineares permitem rotação em apenas uma direção, 
enquanto que articulações esféricas permitem a rotação em qualquer direção 
dependendo das flechas da superestrutura. 
Os aparelhos de apoio fixos devem absorver, não só as cargas verticais, 
como também os esforços horizontais, que podem ser decorrentes da frenagem, 
aceleração, ação do vento, ação da água, força de atrito, dispositivos de 
transição do tabuleiro, dentre outros. 
Já os aparelhos de apoio móveis têm a função de permitir deformações 
longitudinais da superestrutura decorrentes de variações de temperatura, 
retração e fluência decorrentes do concreto, encurtamento da superestrutura 
devido a protensão e às flechas. 
Os aparelhos de apoio podem ser classificados quanto ao funcionamento e 
quanto ao material. A classificação quanto ao funcionamento engloba as 
articulações fixas, articulações elásticas e articulações móveis. A classificação 
quanto ao material engloba os aparelhos de apoio de concreto, de elastômero, 
com teflon, metálicos e especiais. 
Para que a escolha dos aparelhos de apoio seja adequada é necessário estudar os 
deslocamentos que eles deverão permitir e os esforços solicitantes que serão submetidos. 
Quando a escolha está entre mais de um tipo de aparelho de apoio, outros fatores são 
levados em consideração, tais como tipo e material da estrutura, espaços disponíveis, 
economia e estética, como, por exemplo, os aparelhos elastoméricos não devem ser usados 
quando há concentração excessiva de esforços, escolhendo então aparelhos metálicos ou de 
outro tipo. 
 
4.1 ARTICULAÇÕES DE CONCRETO 
 
Este tipo de articulação é o mais simples e barato aparelho de apoio centrado e com 
capacidade de rotação. Estes aparelhos podem ser construídos juntamente com a estrutura. 
Os principais tipos são: articulações de contato de superfícies, articulações Freyssinet, 
articulações Mesnager e pêndulos de concreto, sendo que estes últimos permitem, além de 
rotações, a translação. Todos serão descritos nos itens seguintes. 
 
4.1.1 ARTICULAÇÕES DE CONTATO DE SUPERFÍCIES 
 
Geralmente são formadas por superfícies cilíndricas em contato, com raios um pouco 
diferentes, como mostra a figura 1. 
 58 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
Figura 1. Articulação de contato 
Este tipo de articulação não é muito utilizado devido à dificuldade de execução. 
A distribuição adequada das tensões depende do bom acabamento das superfícies em 
contato, podendo utilizar uma chapa delgada metálica para revestir as superfícies. 
Sob pressão as superfícies se deformam, definindo o contato de uma faixa. A tensão 
máxima ocorre no meio da largura da faixa, sendo que esta não pode ultrapassar o valor 
último das tensões de cálculo. 
Os deslocamentos usuais deste tipo de articulação são pequenos. De modo que não 
prejudique a capacidade de rotação, as articulações precisam ser protegidas para que não 
ocorra penetração de detritos entre as superfícies. 
 
4.1.2 ARTICULAÇÕES FREYSSINET 
 
Este tipo de articulação é obtido por um estrangulamento da seção, como ilustrado na 
figura 2. 
 
ba
Direção Longitudinal
 da viga Direção Transversal
a > 5 cm0 b 0b 1
A A
PLANTA CORTE AA
a
Pilar
Viga
b
CORTE BB
h
Pilar
Aparelho 
de apoio
 
 
Figura 2. Esquema de uma articula viga-pilar do tipo Freyssinet 
 59 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
Geralmente a seção do estrangulamento tem planta retangular. A dimensão a0 indicada 
na figura 2 deve ser pequena em relação às larguras das peças articuladas, reduzindo assim 
os momentos secundários da articulação, porém não deve ser inferior a 5 cm. Devido às 
tensões serem elevadas na região do estrangulamento, a dimensão b0, também indicada na 
figura 2, deve guardar uma folga em relação às bordas das peças de no mínimo 5 cm e 
superior a 0,7a0. 
Na maioria dos casos o perfil do estrangulamento é retangular, porém esta seção 
favorece uma deterioração do concreto nas bordas do estrangulamento, portanto é preferível 
que estas bordas sejam arredondadas. 
A altura (h) do estrangulamento deve ser pequena. Leonhardt [apud Walter de Almeida 
Braga. Aparelhos de Apoio das Estruturas] sugere que: 
h≤0,2a0 ou 2 cm. 
Já uma publicação da Cement and Concrete Association [apud Walter de Almeida 
Braga. Aparelhos de Apoio das Estruturas] sugere que: 
23
00 ah
a
≤≤ 
O alargamento das seções nas peças articuladas provoca um efeito de cintamento no 
trecho de seção estrangulada. Surge então um estado duplo ou triplo de tensões de 
compressão axial além da resistência do concreto à compressão simples. 
A distribuição de tensões normais nas seções estranguladas pode ser considerada 
parabólica. 
Quando sob o efeito de rotações grandes, a articulação fissura, porém quando estas 
rotações têm sentidos alternados, a segurança não é comprometida. Sob o efeito de pequena 
rotação, o comportamento é elástico. Portanto este tipo de articulação pode ser 
dimensionado sem considerar a excentricidade devido à rotação no apoio sem que ocorram 
grandes problemas. No critério elástico para as rotações limites, admite-se que o momento 
correspondente à rotação limite produza um diagrama triangular que superposto ao 
diagrama parabólico, não produzam tensões de tração. 
Por outro lado na região imediatamente superior e inferior ao aparelho, ou seja a região 
superior do pilar ou o fundo da viga aparecem tensões de tração como as do tipo que 
ocorrem em blocos parcialmente carregado como mostra a figura 3 
 
Figura 3. Tensões transversais de tração em blocos parcialmente carregados. 
 60 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
 Como conseqüência do traçado das isostáticas, aparecem tensões de tração na 
direção normal (horizontais) à do esforço de compressão (verticais), que é preciso resistir 
com armadura adequada; essa armadura, que evita fissuração excessiva, é chamada de 
fretagem, de cintamento, confinamento ou contra o fendilhamento e deve ser disposta em 
camadas nas direções x e y, conforme está indicado na figura 4 
 
FIGURA 4. Armadura de fretagem em blocos sobre tubulão 
Colocar figuras 8 e 9 do livro do BRAGA 
 
4.1.3 ARTICULAÇÕESMESNAGER 
 
Este tipo de articulação é semelhante às articulações do tipo Freyssinet, porém possui 
armadura apenas para transmissão das forças normal e cortante (em relação a seção do 
aparelho). O concreto do trecho estrangulado tem a única função de proteger a armadura 
contra a corrosão. A transmissão das forças de um bloco para outro se dá pela aderência 
entre as barras e o concreto. 
viga
pilar
armadura
corte longitudinal a viga
H
H
N
N
esquema do aparelho 
 
Figura 3. Corte longitudinal (a viga) de uma ligação do tipo Mesnager com a 
armação típica e o respectivo esquema do apoio. 
 
 61 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
A seção do estrangulamento deve ser pequena, apenas para envolver a armadura 
respeitando o cobrimento mínimo da norma. 
O cálculo deste tipo de articulação consiste em verificar as tensões nas barras no trecho 
estrangulado, verificar a aderência entre as barras de transmissão das forças e o concreto, 
determinar a armadura transversal dos blocos. 
A articulação Mesnager não é utilizada para casos de grandes esforços. 
 
 
 
 
4.1.4 PÊNDULOS DE CONCRETO 
 
Os pêndulos de concreto não exigem manutenção e tem custo baixo, no entanto, 
com o surgimento dos aparelhos de apoio elastoméricos deixaram de ser utilizados. 
Articulação de 
Contato
Articulação 
Freyssinet
Articulação 
Mesnager
Articulação com 
placas de 
chumbo
 
Figura 4. Pêndulos de concreto 
 
4.2 APARELHOS DE APOIO METÁLICOS 
 
Os aparelhos de apoio metálicos englobam os tipos de escorregamento e de rolamento. 
 
4.2.1 APARELHOS DE APOIO DE ESCORREGAMENTO 
 
Este tipo de aparelho não tinha um bom desempenho devido à corrosão e sujeira que 
fazem com que surjam forças de atrito de grande valor. A solução deste problema foi 
alcançada com o uso de placas do produto de nome comercial que é o composto 
Politetrafluoretileno que permite baixos valores de atrito fazendo com que as superfícies em 
contato tenham pouco impedimento ao deslizamento e para fins práticos possam ser 
considerados como apoios deslocáveis. 
Os aparelhos de apoio de escorregamento mais simples têm a função apenas de permitir 
movimentos de translação e portanto impedem as rotações. 
Os primeiros aparelhos deste tipo eram constituídos de uma chapa de aço presa à 
superestrutura, apoiada sobre outra fixa à infraestrutura. Posteriormente foi colocada uma 
 62 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
saliência de cantos arredondados na placa inferior. A próxima mudança consistia na 
introdução de uma chapa de chumbo entre as placas de aço com a finalidade de melhorar o 
desempenho e a durabilidade dos aparelhos, porém só funciona para pequenos movimentos. 
. 
 
Figura 5. Aparelhos de apoio de escorregamento 
 
4.2.2 APARELHOS DE APOIO DE ROLAMENTO 
 
As propriedades dos aparelhos de apoio de rolamento baseiam-se no contato de 
superfícies curvas ou com superfícies planas. 
 
Figura 6. Aparelhos de rolamento 
 63 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
O rolete do aparelho fixo está sujeito à ação da sujeira e umidade, favorecendo a 
corrosão. 
A região do contato entre as superfícies do aparelho móvel é a parte que sofre corrosão 
e desgaste mais rapidamente. Para melhorar as características dos materiais das superfícies 
de contato utilizam-se ligas metálicas de grande dureza, suportando elevadas tensões com 
deformações menores. 
Para impedir que o rolo saia do alinhamento, um eixo pode ser colocado, contudo é um 
elemento sujeito à sujeira e umidade. Uma outra solução é utilizar pinos encaixados nos 
rasgos nas placas de contato com folga para permitir os movimentos. 
Também existem aparelhos de apoio combinando pêndulos e roletes. 
Para que se faça o projeto dos aparelhos de apoio metálicos é necessário considerar os 
deslocamentos e esforços previstos, mínima necessidade de manutenção, facilidade de 
manutenção e possibilidade de substituição dos aparelhos. 
Com a explanação dada sobre aparelhos de apoio metálicos conclui-se que conjuntos de 
roletes ou pêndulos não são convenientes, devido à durabilidade e geralmente a grande 
dificuldade na substituição dos mesmos. 
 
4.3 APARELHOS DE APOIO ESPECIAIS 
 
Os aparelhos de apoio especiais são aqueles que não são usados com mais 
freqüência. Na maioria dos casos são constituídos por mais de um tipo de material, dentre 
os quais temos: 
• Aço-concreto; 
• Aço-elastômero; 
• Aço-teflon. 
Por não fazerem parte do objetivo deste trabalho não serão detalhados aqui. 
 
4.4 APARELHOS DE NEOPRENE E DE TEFLON 
 
O neoprene é um elastômero sintético com propriedades elásticas semelhantes às da 
borracha natural, porém com elevada resistência ao envelhecimento. Estes aparelhos 
funcionam por escorregamento (distorção). 
O uso deste material que tem como principal característica a pouca perda de forma 
quando comprimido e uma grande distorção permite assim um certo deslocamento da 
estrutura não transmitindo da superestrutura para os pilares principalmente os esforços ditos 
parisitários (temperatura e retração) e apresenta ainda baixo custo com simplicidade na 
execução. O funcionamento da borracha (neoprene) baseia-se fundamentalmente nas 
seguintes propriedades: 
1) Acréscimo da resistência à compressão por meio de fretagem; 
2) Distorção da borracha e do aço; 
3) Redistribuição das tensões normais quando a rotação existente for inferior à rotação 
limite da borracha. 
Estes aparelhos de apoio oferecem acomodação de movimentos de translação e rotação, 
mantendo assim o equilíbrio de deslocamento de um componente estrutural a outro. Têm 
durabilidade proporcional à estrutura, podem suportar forças verticais muito elevadas e 
trabalham numa ampla faixa de temperatura (entre –25o C e 50o C). É importante saber que, 
 64 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
quando combinados com sistemas deslizantes ou sistema de restrição de movimentos, 
estendem seu campo de utilização. Algumas destas funções podem ser verificadas na figura 
7. No caso de estruturas pré-moldados nas ligações de vigas de prédio com dentes Gerber 
de pilares, devido o pequeno valor das cargas é possível o uso de neoprene sem fretagem. 
N
t
t
Htg .t M
a
a b
c
 
Figura 7. Deformações nos aparelhos de elastômero: Deslocamento 
horizontal; 
a) Rotação; Afundamento. 
 
Estes aparelhos, no caso de frenagem, podem promover uma distribuição mais 
uniforme deste esforço. Há uma tendência dos pilares mais curtos (portanto mais rígidos) 
absorverem esforços maiores. Ao se usar aparelhos de neoprene diminui-se a rigidez 
destes (em função é claro da espessura do neoprene) fazendo com que o mesmo possa 
absorver uma menor parcela da frenagem. 
Em relação aos esforços horizontais chamados parasitários, oriundos da variação de 
temperatura, da fluência e da retração do concreto a distorção do aparelho de neoprene, 
como já frisado anteriormente, permite que a superestruture tenha um deslocamento 
relativo ao pilar, diminuindo o esforço nos pilares. 
Hoje em dia praticamente só se usa aparelhos de neoprene e de neoprene com teflon. 
Neste trabalho será dada atenção especial a estes tipos de aparelho. 
 
 
2. AÇÕES HORIZONTAIS ATUANTES 
As ações horizontais atuantes em pontes podem ser separadas em dois tipos:1) as 
produzidas pelos veículos e 2) as produzidas por outras ações. Nos próximos itens 
descrevem-se sucintamente estas ações. 
 
5.1 AÇÕES HORIZONTAIS PRODUZIDAS PELOS VEÍCULOS EM PONTES 
 
 65 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 A aceleração e a frenagem estão relacionadas ao peso e velocidade dos veículos, porém 
sem impacto vertical. Devido à aceleração e à frenagem dos veículos móveis que ocorrem 
no uso das pontes, um esforço horizontal é transmitido para o pavimento e 
conseqüentemente para os aparelhos de apoios. O valor deste esforçoestá normalizado pela 
NBR 7187/2003 em: 
- Aceleração 
0,05 x P (5% da carga móvel sobre o tabuleiro) 
Onde P é a carga móvel aplicada sobre o tabuleiro. 
- Frenagem 
0,30 x P (30% do peso do veículo tipo) 
Onde P é o peso do veículo tipo. 
 
 Estes esforços longitudinais obedecem à fórmula fundamental da dinâmica. 
g
aQamF ×=×= 
Onde: m= massa do corpo móvel; 
 a= aceleração do veículo; 
 Q= peso do veículo; 
 g= aceleração da gravidade. 
 Notar que pela época em que as normas de pontes foram editadas não haviam os 
veículos que hoje transitam praticamente livremente nas principais estradas do país os já 
citados “rodotrens” e a velocidade dos veículos de hoje são muito superiores a de 20 anos 
atrás levando a crer que os valores das forças definidas anteriormente possam estar 
obsoletos. 
 Em pontes com mais de uma linha de tráfego, a força longitudinal é considerada em 
apenas duas delas. Em uma é considerada a frenagem e na outra é considerada a aceleração 
ou metade da frenagem, devendo-se adotar a maior destas. São consideradas atuando no 
mesmo sentido, nas duas linhas, pois, em geral, correspondem à situação mais desfavorável 
para o dimensionamento. 
 A aceleração e a frenagem provocam esforços horizontais longitudinais, porém os 
veículos também podem provocar esforços horizontais transversais quando, por exemplo, o 
veículo faz uma curva, gerando uma força centrífuga. 
Em pontes rodoviárias em curva, a força centrífuga normal ao seu eixo é considerada 
atuando na superfície de rolamento, onde este valor característico é determinado como uma 
fração (C) do peso do veículo tipo. Em pontes em curva com raio inferior a 300 m tem-se 
C=0,25 e para raios superiores a 300 m tem-se C= 0,75/R, onde R é o raio da curva em 
metros. Estes fatores já consideram o efeito dinâmico das cargas móveis. 
 
5.2 AÇÕES HORIZONTAIS PRODUZIDAS POR OUTRAS AÇÕES EM PONTES 
 Alguns elementos tais como água, vento, terra, em contato com as pontes exercem 
pressões sobre a estrutura que devem ser levadas em consideração no cálculo de pontes. 
Pontes com pilares muito altos têm grandes solicitações devido ao vento. A ação do vento é 
considerada dinâmica, pois é aplicada rapidamente. Enchentes também causam grande 
solicitação nas pontes, devendo ser considerada no cálculo de pontes. Há as solicitações 
devido ao empuxo de terra, provocado por aterros na cabeceira da ponte principalmente nas 
pontes curvas ou quando há empuxo em apenas uma cabeceira. 
 66 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 Os materiais estruturais também podem provocar esforços horizontais. Variações de 
temperatura, retração, fluência e deformação lenta do concreto são alguns causadores destes 
esforços existentes devido aos materiais. Estas ações são consideradas estáticas, pois 
ocorrem lentamente. 
 
5.2.1 AÇÃO DO VENTO 
 
 As considerações a serem feitas devido à ação do vento encontram-se na NBR 
6123/1988. 
A ação do vento poderá ser considerada através da expressão abaixo: 
Fv = A x p x Ca 
Onde: Fv – Força resultante do vento ou Força de arrasto; 
 p – pressão de obstrução do vento; 
 Ca – coeficiente de arrasto do vento. 
 Para calcular a força do vento pela expressão dada é necessário conhecer a pressão de 
obstrução e o coeficiente de arrasto. 
 A pressão de obstrução é dada pela fórmula abaixo: 
2613,0 kVp ⋅= (N/m2) 
Onde: vk – velocidade característica do vento. 
 Esta velocidade característica depende da velocidade básica que é obtida no gráfico de 
isopletas mostrado na figura 8, do fator topográfico (S1), do fator de rugosidade do terreno 
(S2) e do fator estatístico (S3), como pode ser observado na expressão abaixo. 
3210 SSSvv ×××= 
 
Figura 8. Gráfico de isopletas 
 O fator topográfico depende do tipo do terreno. Para terrenos planos S1= 1,0. Para 
taludes e morros considera-se o descrito a seguir: 
 67 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
S1(z)= 1,0 para θ<30 
S1(z)= 1,0+ ( ) 135,2 0 ≥−×⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ − θtag
d
z
 para 00 176 ≤≤θ 
S1(z)= 1,0+ 131,05,2 ≥×⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
d
z
 para 045≥θ . 
Para vales profundos, protegidos de ventos de qualquer direção S1= 0,9. 
O fator de rugosidade do terreno considera o efeito combinado da rugosidade do 
terreno, da variação da velocidade do vento com a altura acima do terreno e das dimensões 
da edificação. Esta norma estabelece cinco categorias: 
• Categoria I: Superfícies lisas de grande dimensão, com mais de 5 km de 
extensão, medida na direção do vento incidente. Exemplo: mar calmo, lagos e 
rios, pântanos sem vegetação. 
• Categoria II: Terrenos abertos em nível ou aproximadamente em nível, com 
poucos obstáculos isolados, tais como árvores e edificações baixas. Exemplos: 
zonas costeiras planas, pântanos com vegetação rala, campos de aviação, 
pradarias e charnecas, fazendas sem sebes ou muros. A cota média dos 
obstáculos é considerada inferior ou igual a 1 m. 
• Categoria III: Terrenos planos ou ondulados com obstáculos, tais como sebes 
e muros, pouco quebra-ventos de árvores, edificações baixas e esparsas. 
Exemplos: granjas e casas de campo, com exceção das partes com mato, 
fazendas com sebes e/ou muros, subúrbios a considerável distância do centro, 
com casas baixas e esparsas. 
• Categoria IV: Terrenos cobertos por obstáculos numerosos e pouco espaçados, 
em zona florestal, industrial ou urbanizada. Exemplos: zonas de parques e 
bosques com muitas árvores, cidades pequenas e seus arredores, subúrbios 
densamente construídos de grandes cidades, áreas industriais plena ou 
parcialmente desenvolvidas. A cota média dos topos dos obstáculos é 
considerada igual a 10 m. 
• Categoria V: Terrenos cobertos por obstáculos numerosos, grandes, altos e 
pouco espaçados. Exemplos: florestas com árvores altas, de copas isoladas, 
centros de grandes cidades, complexos industriais bem desenvolvidos. A cota 
média do topo dos obstáculos é considerada igual ou superior a 25 m. 
 A norma define três classes relacionadas a dimensões da edificação, cujo turbilhão 
deverá envolver toda a edificação, estas classes dizem o seguinte: 
• Classe A: Todas as unidades de vedação, seus elementos de fixação e peças 
individuais de estruturas sem vedações. Toda edificação ou parte dela na qual a 
maior dimensão horizontal ou vertical da superfície frontal não exceda 20 m. 
• Classe B: Toda edificação ou parte dela para a qual a maior dimensão horizontal ou 
vertical da superfície frontal esteja entre 20 e 50 m. 
• Classe C: Toda edificação ou parte dela para a qual a maior dimensão horizontal ou 
vertical da superfície frontal não exceda 50 m. 
 
Tabela 1. Parâmetros meteorológicos 
Categoria z (m) Parâmetro Classe 
 A B C 
 68 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
I 250 b 
p 
1,10 1,11 1,12 
0,06 0,0695 0,07 
 
II 300 b 
Pr 
p 
1,00 1,00 1,00 
1,00 0,98 0,95 
0,085 0,09 0,10 
 
III 350 b 
p 
0,94 0,94 0,93 
0,10 0,105 0,115 
 
IV 420 b 
p 
0,86 0,85 0,84 
0,12 0,125 0,135 
 
V 500 b 
p 
0,74 0,73 0,71 
0,15 0,16 0,175 
 
 
A expressão que calcula o S2 é mostrada a seguir: 
S2= bxFrx (z/10)p 
 Onde: z- altura acima do terreno; 
 Fr- fator de rajada correspondente a classe B, categoria II; 
 b- parâmetro de correção da classe da edificação; 
 p- parâmetro meteorológico. 
 O fator estatístico considera o grau de segurança e a vida útil da edificação. Para isto, 
esta norma considera que a probabilidade de que a velocidade básica seja excedida em 63% 
num período de 50 anos. 
 A tabela 2 mostra os valores mínimos de S3. 
 
Tabela 2. Valores mínimos do fator estatístico S3 
Grupo Descrição S3 
1 
Edificação cuja ruína total ou parcial pode afetar a segurança ou 
possibilidadede socorro a pessoas após uma tempestade destrutiva 
(hospitais, quartéis de bombeiros e de forças de segurança, centrais 
de comunicação, etc). 
1,10 
2 Edificações para hotéis e residências. Edificações para comércio e indústria com alto fator de ocupação. 1,00 
3 Edificações e instalações industriais com baixo fator de ocupação (depósitos, silos, construções rurais, etc). 0,95 
4 Vedações (telhas, vidros, painéis de vedação, etc). 0,88 
5 Edificações temporárias. Estruturas dos Grupos 1 a 3 durante a construção. 0,83 
 
Os coeficientes de arrasto são aplicáveis a corpos de seção de seção constante ou 
fracamente variável. Estes valores podem ser visualizados na figura 9, e são dados em 
função das relações h/I1 e I1/I2. 
 69 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
Figura 9. Coeficiente de arrasto, Ca, para edificações paralelepipédicas em ventos 
de baixa turbulência 
 Segundo a norma vigente, uma edificação pode ser considerada em vento de alta 
turbulência, quando sua altura não excede duas vezes a altura média das edificações nas 
vizinhanças, estendendo-se estas, na direção e sentido do vento incidente, a uma distância 
mínima de: 
• 500 m, para uma edificação de até 40 m de altura; 
• 1000 m, para uma edificação de até 55 m de altura; 
• 2000 m, para uma edificação de até 70 m de altura; 
• 3000 m, para uma edificação de até 80 m de altura. 
 Em edificações as excentricidades causadas por vento agindo obliquamente ou por 
efeitos da vizinhança devem ser consideradas, como mostrado a seguir: 
• Edificações sem efeito da vizinhança: 
ea= 0,075a e eb= 0,075b 
• Edificações com efeito da vizinhança: 
ea= 0,15a e eb= 0,15b 
Onde: ea é medido na direção do lado maior e eb medido na direção do lado menor. 
 
5.2.2 AÇÃO DA ÁGUA 
 
 As considerações a serem feitas devido ao empuxo d’água encontram-se na 
NBR 7187/2003. 
 70 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 O empuxo d’água e a subpressão devem ser consideradas nas situações mais 
desfavoráveis, sendo que geralmente isto é feito estudando os níveis máximos e mínimos 
dos cursos d’água e lençol freático. 
 Os muros de arrimo devem conter em toda sua altura uma camada filtrante contínua 
com um sistema de drenos na face que se encontra em contato com o solo, com o intuito de 
evitar o aparecimento de pressões hidrostáticas, se isto não ocorrer deverá ser calculado o 
empuxo d’água resultante. 
 Caso a estrutura possua aberturas com dimensões suficientes para resistir o empuxo 
d’água do lençol freático, água livre, acúmulo de chuva, não será necessário considerar este 
efeito, pois toda estrutura celular deve ser projetada com este objetivo. 
 Sobre os pilares e elementos de fundações há uma pressão da água em movimento que 
pode ser determinada pela expressão a seguir: 
2
avkp ×= 
Onde: p – pressão estática equivalente em kN/m2; 
 va – velocidade da água em m/s; 
 k – coeficiente dimensional (elementos com seção transversal circular 
k=0,34; elementos com seção transversal retangular k é função do ângulo de incidência do 
movimento das águas em relação ao plano da face do elemento, vide tabela 1). 
 
Tabela 1. Valores de k em função do ângulo de incidência (NBR 7187/2003) 
Ângulo de incidência K 
90° 0,71 
45° 0,54 
0° 0 
Notas 
1) Para situações intermediárias, o valor de k deve ser 
obtido por interpolação linear. 
2) A pressão p deve ser considerada sobre uma área igual à 
da projeção do elemento em um plano perpendicular à 
direção do movimento da água. Para elementos com 
outras seções transversais, consultar a bibliografia 
especializada para a determinação do fator k. 
 
5.2.3 VARIAÇÃO DE TEMPERATURA 
 
 As considerações a serem feitas devido a variações de temperatura são dadas pela 
norma NBR 6118/2003. 
 A variação de temperatura é considerada uniforme nas estruturas quando há insolação 
direta, sendo que depende do local da construção e das dimensões dos elementos estruturais 
que a constituem. 
• Elementos cuja menor dimensão seja inferior a 50 cm considerar uma oscilação de 
temperatura em torno de 10°C a 15°C; 
• Elementos estruturais maciços ou ocos com os espaços vazios inteiramente fechados 
onde a menor dimensão não seja superior a 70 cm considerar a oscilação de temperatura 
em torno de 5°C a 10°C; 
 71 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
• Elementos estruturais cuja menor dimensão esteja entre 50cm e 70 cm pode-se fazer 
uma interpolação linear entre os valores indicados acima. 
 A escolha de um valor entre os dois limites pode ser feita considerando 50% da 
diferença entre as temperaturas médias do de verão e inverno do local. 
 Nos elementos estruturais onde a temperatura tem distribuição diferente da uniforme, os 
efeitos devem ser considerados. Se a variação de temperatura entre uma face e outra da 
estrutura for superior a 5°C pode-se admitir uma variação linear entre os valores de 
temperatura adotados. 
 
5.2.4 FLUÊNCIA E RETRAÇÃO DO CONCRETO 
 
 Os efeitos de fluência e retração do concreto podem ser encontrados na NBR 
6118/2003. 
 Quando não é necessária grande precisão, os valores finais do coeficiente de fluência 
φ(t∞,t0) e da deformação específica de retração εcs(t∞,t0) do concreto, submetidos a tensões 
menores que 0,5 fc, pode-se utilizar interpolação linear pela tabela 3. Os valores dessa 
tabela referem-se a temperaturas do concreto entre 10°C e 20°C, porém pode-se utilizar 
temperaturas entre 0°C e 40°C. Tais valores valem para concretos plásticos e de cimento 
Portland comum. 
 
Tabela 3. Valores característicos superiores da deformação específica de retração 
εcs(t∞,t0) e do coeficiente de fluência φ(t∞,t0) (NBR 6118/2003) 
Umidade ambiente 
(%) 40 55 75 90 
Espessura fictícia 
2.Ac/u (cm) 
20 60 20 60 20 60 20 60 
φ(t∞,t0) 
t0 
(dias) 
5 4,4 3,9 3,8 3,3 3,0 2,6 2,3 2,1 
30 3,0 2,9 2,6 2,5 2,0 2,0 1,6 1,6 
60 3,0 2,6 2,2 2,2 1,7 1,8 1,4 1,4 
εcs(t∞,t0) 
(‰) 
5 -0,44 -0,39 -0,37 -0,33 -0,23 -0,21 -0,10 -0,09 
30 -0,37 -0,38 -0,31 -0,31 -0,20 -0,20 -0,09 -0,09 
60 -0,32 -0,36 -0,27 -0,30 -0,17 -0,19 -0,08 -0,09 
Onde: Ac - área da seção transversal; 
 u – perímetro da seção em contato com a atmosfera. 
 A deformação por fluência do concreto (εcc) pode ser rápida ou lenta, sendo que a 
deformação rápida (εcca), que ocorre nas primeiras 24 horas após a aplicação das cargas, é 
irreversível, e a deformação lenta pode ser tanto reversível (εccd) quanto irreversível (εccf). 
 No cálculo dos efeitos de fluência com tensões de serviço no concreto, deve-se 
considerar as seguintes hipóteses: 
• Deformação por fluência varia linearmente com a tensão aplicada; 
• Os efeitos de fluência se superpõem para acréscimos de tensões aplicados em 
momentos distintos; 
• Deformação rápida produz deformações constantes ao longo do tempo; os valores 
do coeficiente de deformação rápida (φa) dependem da resistência do concreto no 
momento da aplicação da carga e sua resistência final; 
 72 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
• Coeficiente de deformação lenta reversível (φd) depende apenas da duração do 
carregamento; 
• Coeficiente de deformação lenta irreversível (φf) depende da umidade relativa do 
ambiente, consistência do concreto no lançamento, espessura fictícia da peça, idade 
fictícia do concreto no instante da aplicação da carga e no instante considerado; 
• As curvas de deformação lenta irreversível em função do tempo, para o mesmo 
concreto, relacionadas a diferentes idades no momento do carregamento são obtidas 
umas em relação às outras por deslocamento paralelo ao eixo das deformações. 
 Já o valor da retração depende da umidade relativa do ambiente, consistência do 
concreto no lançamento e da espessura fictícia da peça. 
 
5.2.4. EMPUXO DE TERRA 
 
 As considerações a serem feitas devido ao empuxo de terra encontram-se na NBR 
7187/2003.A mecânica dos solos determina o empuxo de terra nas estruturas, sendo que este 
depende de sua natureza, das características do terreno, inclinações dos taludes e dos 
paramentos. Supõe-se que o solo não tem coesão e que não haja atrito entre o terreno e a 
estrutura, porém as solicitações devem estar a favor da segurança.O peso específico é 
considerado no mínimo igual a 18 kN/m3 e o ângulo de atrito interno no máximo igual a 30 
º. Os empuxos ativo e de repouso são considerados na situação mais desfavorável. O 
empuxo passivo só deve ser considerado quando sua ocorrência for garantida durante toda a 
vida útil da obra. 
 Quando a superestrutura funciona como arrimo dos aterros de acesso, a ação do empuxo 
de terra originado pode ser considerada simultaneamente em ambas as extremidades 
somente no caso onde não hajam juntas intermediárias do tabuleiro e desde que haja, no 
entanto deve ser feita a verificação para a hipótese de existir esta ação apenas em uma das 
extremidades, sem outras forças horizontais, e para o caso da estrutura em construção. 
 Quando for mais desfavorável a atuação simultânea dos empuxos em ambas as 
extremidades deve ser considerada nos casos de tabuleiro em curva ou esconso. 
 Nos casos de pilares implantados em taludes de aterro, deve ser adotada uma largura 
fictícia igual a três vezes a largura do pilar, limitando esta à largura da plataforma do aterro. 
 Quando a largura fictícia obtida através do critério anterior for superior à distância 
transversal entre eixos de pilares para grupo de pilares alinhados transversalmente, a nova 
largura fictícia deve ser: 
• Para os pilares externos, a semidistância entre eixos acrescida de uma vez e meia a 
largura do pilar; 
• Para os pilares intermediários a distância entre eixos. 
A consideração da ação do empuxo de terra sobre os elementos estruturais 
implantados em terraplenos horizontais previamente executados pode ser 
prescindida, porém devem ser adotadas precauções especiais no projeto e na 
execução, tais como: compactação adequada, inclinações convenientes dos taludes, 
distâncias mínimas dos elementos às bordas do terreno, entre outras. 
 
 
5.2.5. EMPUXO DE TERRA PROVOCADO POR CARGAS MÓVEIS 
 73 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
 As considerações a serem feitas sobre o empuxo de terra provocado por cargas móveis 
encontram-se na NBR 7187/2003. 
 Os critérios para o cálculo são os mesmos do empuxo de terra, porém as cargas móveis 
no terrapleno devem ser transformadas em altura de terra equivalente. 
 Quando a superestrutura funciona como arrimo dos aterros de acesso, a ação deve ser 
considerada em apenas uma das extremidades, a não ser que a situação mais desfavorável 
seja considerá-la simultaneamente nas duas extremidades, como em casos de tabuleiros em 
curva horizontal ou esconsos. 
 
 
6. DISTRIBUIÇÃO DE ESFORÇOS NOS APARELHOS DE APOIO DE 
NEOPRENE DEVIDO A APLICAÇÃO DE ESFORÇOS HORIZONTAIS NO 
TABULEIRO 
 
Para a melhor compreensão dos conceitos apresentados, será dada a seguir uma 
explanação sobre rigidez e flexibilidade com base na figura 10. 
 
a cb
1 tf k F
 
Figura 10. a) esforço unitário aplicado no topo do pilar;b) deformação unitária 
aplicada no topo do pilar;c) esforço F aplicado no topo do pilar. 
 
A rigidez ou rijeza (k) de um pilar é o esforço que produz deformação unitária no topo 
do pilar, como apresentado na figura 5 b, a flexibilidade (δ) é o nome dado à deformação do 
topo do pilar quando submetido a um esforço unitário, como mostra a figura 5 a. Na figura 
5 c tem-se um pilar submetido a uma força F com uma deformação Δ que pode ser 
determinada a partir do coeficiente de flexibilidade e coeficiente de rigidez. 
Este item procura mostrar como variam os esforços nos neoprenes quando é aplicado 
um esforço horizontal no tabuleiro da ponte. Se o tabuleiro da ponte for ligado aos pilares, 
havendo um deslocamento horizontal do tabuleiro haverá também um mesmo deslocamento 
dos topos dos pilares, pois o tabuleiro é rígido em seu plano. 
O esforço originado no topo de cada pilar depende da rigidez, dada pelo coeficiente de 
rigidez do pilar (k), e do deslocamento deste, ou seja: 
 
Δ×= ii kF (1) 
Onde: Fi - esforço originado no topo de cada pilar; 
ki - coeficiente de rigidez do pilar; 
Δ - deformação do pilar. 
 74 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
F
Fi
 
Figura 11. Distribuição do esforço longitudinal aplicado ao estrado 
 
Somando-se os esforços dos pilares tem-se a força aplicada no tabuleiro. Assim: 
 
∑∑ ×Δ= ii kF (2) 
 
Onde: F – força aplicada no tabuleiro. 
Portanto, de (1) e (2) tem-se: 
 
∑
=Δ
ik
F (3) 
 
A partir da fórmula acima, sabe-se o deslocamento da ponte e conseqüentemente o 
deslocamento de cada pilar, portanto pode-se determinar a força (Fi) dos pilares. 
Combinando as equações (1) e (3) tem-se: 
 
∑
×
=
i
i
i k
Fk
F (4) 
k
FF =×=Δ δ (5) 
 
A partir da relação acima se chega à conclusão que o coeficiente de rigidez é o inverso 
do coeficiente de flexibilidade, como mostra a seguir: 
 
k
1
=δ (6) 
 
A flexibilidade pode ser determinada por integração numérica da expressão dos 
trabalhos virtuais ao longo do eixo do pilar. 
 
ds
IE
MM
×
×
∫=δ (7) 
 
Quando o pilar possui inércia constante, essa pode ser determinada como mostra a 
seguir: 
 
 75 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
3
1 3L
IE
×
×
=δ (8) 
 
Conhecendo-se a flexibilidade, pode-se determinar a rigidez a partir da relação (6) que 
resulta em: 
 
3
3
L
IEk ××= 
No caso estudado acima, o tabuleiro da ponte é ligado ao topo do pilar. Neste caso os 
pilares mais baixos recebem esforços maiores pois são mais rígidos. 
 
nh
L
H = 1 tf
n
p
 
Figura 12. Deformação de um pilar com aparelho de apoio de neoprene 
 
Aplicando uma força horizontal de 1tf no topo do aparelho de apoio de borracha 
(neoprene) ligado ao pilar como mostra figura 12, aparecerá uma deformação δp no topo do 
pilar, portanto o conjunto terá uma deformação total δt que é a soma das deformações do 
aparelho de apoio e pilar. 
 
npt δδδ += (9) 
Onde: δt - deformação total; 
 δp - deformação no topo do pilar; 
 δn - deformação no aparelho de apoio de neoprene. 
 
hn
a
b
 
Figura 13. Deformação transversal de um apoio de elastômero. 
 
A figura 13 mostra o aparelho de apoio com suas deformações depois de aplicada a 
força horizontal H. 
 76 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
A deformação angular do aparelho acima é dada por: 
 
n
n
h
δ
γ = (10) 
Onde: γ – deformação angular do aparelho de apoio de neoprene; 
 δn - deformação do aparelho de apoio de neoprene; 
 hn - altura do aparelho de apoio de neoprene. 
Para determinar a deformação do aparelho, utilizamos a expressão a seguir: 
 
nn
n
n AG
h
×
=δ (11) 
Onde: Gn - módulo de elasticidade transversal da borracha; 
 An - área do aparelho de apoio. 
Assim pode-se conhecer a deformação total do conjunto, que na verdade é a 
flexibilidade, como mostra a seguir: 
 
IE3
L
AG
h 3
nn
n
××
+
×
== tδδ (12) 
 
Utilizando-se a relação (6), pode-se determinar o coeficiente de rigidez. 
 
IE3
L
AG
h
1k 3
nn
n
××
+
×
= (13) 
 
Pode-se concluir então que o aparelho de apoio aumenta a flexibilidade do pilar, 
diminuindo assim sua rigidez. 
 
6.1 CÁLCULO DOS ESFORÇOS HORIZONTAIS NOS PILARES DE UMA 
PONTE DE ESTRADO CONTÍNUO 
 
Considerando a ponte ilustrada na figura 14, com pilares apoiados em tubulões a ar 
comprimido, serão calculados os esforços devido à aceleração e frenagem e variação de 
temperatura. 
 77 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHOFigura 14. Ponte considerada no cálculo dos esforços devido à aceleração, frenagem e 
variação de temperatura (Fonte: Walter Pfeil[ ] ) 
 
Os pilares 1 e 4 possuem aparelhos de apoio de neoprene fretados com chapas de aço, as 
dimensões destes aparelhos encontram-se na figura 15. 
3
12
12 3
3 mm 3 mm
2 mm 3 mm
250 mm
90
0 m
m
 
Figura 15. Isométrica do apoio de neoprene dos pilares P1 e P4, com seção 
transversal 
 
 78 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
Considerando o pilar 3 como origem das abscissas, calculou-se o centro de gravidade 
das rijezas, sendo a rijeza transversal de cada pórtico proporcional à rijeza relativa de seus 
respectivos pilares, o esquema encontra-se na figura 16. 
k1 k2 k3 k4
x
G
xg
 
Figura 16. Esquema para cálculo do centro de gravidade G das rijezas dos pilares 
 
O cálculo das rijezas são feitos a partir das fórmulas de rijezas obtidas na introdução 
deste item. 
k1= 
1 
0,024 + 83 
1000*2181,4*10-4 3*2,1*107*491*10-4 
k1= 3629,2 kN/m. 
 
K2= 
3*2,1*107*491*10-4 
103 
K2= 3093,3 kN/m. 
 
K3= 
3*2,1*107*491*10-4 
83 
K3= 6041,6 kN/m. 
 
K4= 
1 
0,024 + 53 
1000*2181,4*10-4 3*2,1*107*491*10-4 
K4= 6647,6 kN/m. 
A tabela 4abaixo mostra os valores encontrados. 
Tabela 4. Rijezas 
Pilar k (kN/m) 
k 
∑k 
 
1 3629,2 0,19 
2 3093,3 0,16 
3 6041,6 0,31 
4 6647,6 0,34 
∑ 1,00 
 
 79 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
A tabela 5 abaixo mostra as distâncias de cada pilar ao centro de gravidade. 
Tabela 5. Centro de gravidade das rijezas 
Pilar Rijeza relativa k 
Distância ao 
pilar P3 
x (m) 
k.x k.x2 
Distância 
ao ponto G 
(m) 
1 0,19 45,0 8,55 384,75 39,25 
2 0,16 25,0 4,00 100,00 19,25 
3 0,31 0 0 0 -5,75 
4 0,34 -20,0 -6,80 136,00 -25,75 
∑ 1,00 5,75 620,75 
 
6.1.2. FORÇA LONGITUDINAL DEVIDO À FRENAGEM E ACELERAÇÃO 
 
A ponte da figura 9 tem uma pista de rolamento de 12,20 m de largura. O carregamento 
total do estrado admite uma faixa de 3,00 m de largura com 3 kN/m2 e o restante da pista 
(9,2 m de largura) com 5 kN/m2, estes valores estão de acordo com a NBR 7188/1984. O 
veículo tipo que será considerado a seguir é o da classe I, constituído por um caminhão com 
peso de 450 kN. 
Os valores da força longitudinal encontram-se a seguir: 
• Para estrado com carga uniformemente distribuída:] 
0,05*(5*9,2+3*3)*75= 206,25 kN. 
• Para estrado com a carga do veículo tipo isolado: 
0,30*450= 135 kN. 
Portanto para o dimensionamento dos pilares será considerado 206,25 kN, pois é o valor 
mais desfavorável. 
 
6.1.3. EFEITO DE TEMPERATURA 
 
A fórmula abaixo calcula o esforço recebido por um pilar devido a uma variação de 
temperatura (ΔT(ºC)). 
F= k. αt. ΔT. X 
Onde: F- esforço recebido por um pilar; 
 k- rijeza do pilar; 
 αt - coeficiente de dilatação térmica; 
 ΔT- variação de temperatura; 
 x- distância do pilar ao ponto indeslocável da estrutura. 
Para uma variação de ±15ºC, citada na NBR 6118/2003, chega-se aos esforços 
correspondentes que podem ser vistos na tabela 6. O coeficiente de dilatação térmica é 10-5 
ºC. 
Tabela 6. Esforços provocados por variação de temperatura 
Pilar x (m) k (kN/m) F (kN) 
1 39,25 3629,2 21,37 
2 19,25 3093,3 8,93 
3 -5,75 6041,6 -5,21 
4 -25,75 6647,6 -25,68 
∑ -0,59 
 80 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
A soma dos esforços provocados pela temperatura juntamente com a retração é nula, 
pois estes esforços são produzidos por ações internas, sem interferência de solicitações 
externas. 
 
7. CONCEITOS FUNDAMENTAIS PARA O CÁLCULO DE APARELHOS 
DE NEOPRENE 
Para se fazer o dimensionamento e as verificações dos aparelhos de neoprene é preciso 
mostrar como antes como será a deformação do aparelho sob as ações das cargas usuais 
• Compressão 
Aplicando-se uma força perpendicular ao plano de fretagem do aparelho de apoio 
através de superfícies indeformáveis, o elastômero se deforma, surgindo então tensões 
normais (σx, σy e σz) e tensões de cisalhamento (τzy e τzx) para os devidos carregamentos. 
Mesmo as superfícies sendo planas, a distribuição de tensões não se dá uniformemente nos 
diferentes pontos. O elastômero oferece pouca resistência próxima às faces livres, sendo 
praticamente nulo o valor das tensões. No centro a fretagem cria um estado triplo de 
tensões, conferindo alta resistência às deformações. É como se o módulo de elasticidade 
fosse variável ao longo do comprimento e altura do aparelho de apoio. 
Estando a força aplicada, o elastômero tende a expandir, gerando tensões, sendo que 
estas são máximas junto às chapas de fretagem, surgindo resultantes de tração. 
Para que se possa fazer o dimensionamento do aparelho de apoio elastomérico, é 
utilizada uma tensão média σm, para isso um módulo de elasticidade fictício é definido para 
o elastômero fretado, como é mostrado a seguir: 
h
hE
m
Fr Δ
σ
= (14) 
Onde: Efr - módulo de elasticidade fictício; 
 σm - tensão média; 
 h - altura do aparelho de apoio. 
 
• Distorção 
 
Com uma força H aplicada horizontalmente aparece uma distorção dada a seguir: 
h
tg δ=γ (15) 
Onde: δ – deslocamento; 
 γ – distorção. 
Para que os cálculos sejam feitos, será considerada a hipótese de cisalhamento puro, 
pois os elementos em contato com o elastômero são rígidos e a espessura do aparelho é 
pequena. Indicaremos as tensões τzy e τzx por τh. 
h
GtgG
A
H
0
h
γ
×=γ×==τ (16) 
Onde: H – força aplicada; 
 A0 - área do aparelho de apoio; 
 G – módulo de elasticidade transversal equivalente. 
 81 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
O diagrama das tensões τ podem ser aproximados a um retângulo. 
 
• Rotação α 
Sob uma rotação o aparelho também se deforma, surgindo tensões normais e de 
cisalhamento. Assim como no caso de uma força aplicada perpendicularmente ao plano do 
aparelho, a distribuição de tensões não é linear. 
 
8. DIMENSIONAMENTO/VERIFICAÇÃO DO APARELHO DE NEOPRENE 
 
O dimensionamento do aparelho de apoio se confunde com a sua verificação pois em 
geral é difícil obter todas as dimensões do mesmo sendo em geral mais prática adotar 
algumas dimensões e depois verificar se as condições de funcionamento e segurança ao 
colapso estão verificadas. 
De uma maneira geral as condições a serem verificadas em um aparelho de apoio de 
neoprene são:Verificações de deformação, verificações de tensões, verificações de 
descolamento e as condições de estabilidade do mesmo. 
A seguir apresentam-se as diversas verificações a serem feitas. 
 
7.1 Verificação da Tensão de cisalhamento 
 Podem ocorrer três tipos de tensões de cisalhamento no neoprene: 
 
a) As devido as forças verticais (normais ao aparelho) representada por Nτ 
a) As devido as forças horizontais representada por Hτ 
b) As devido as rotações representadas por ατ 
 
Experimentalmente observou-se que o comportamento do aparelho de apoio fretada está 
ligado a grandeza denominada fator de forma dada pela expressão: 
( )001
00
f bah2
ba
k
×××
×
= (17) 
Com 
h1 -a espessura de uma camada de neoprene 
a0 e b0 – as dimensões do neoprene contidos pela placa de aço 
 Define-se ainda um módulo de elasticidade fictício dado pela expressão: 
m2
2
f1
i
i
m
fr kkGk
h
h
E σ×+××=
Δ
σ
= (19) 
Onde k1 e k2 são coeficientes adotados iguais a 2 e a 3 respectivamente. Para a a expressão 
da temsão de cisalhamento devido os esforços normais tem-se: 
 
 
f
m3
N k
k σ×
=τ (20) 
 
Com 
 k3 variando de 1,5 a 2,0 conforme b0 seja muito maior ou não que a0 
 82 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 −σm tensão média dada por N/(a0×b0) 
Para apoios muito alongados, fazendo o valor de b tender ao infinito chega-sea: 
 m
0
11
máx.N a
hc
σ×
×
=τ (21) 
Com c1 um coeficiente que varia de 4,8 a 3,0 dependendo da relação das dimensões do 
neoprene. 
 Para a tensão de cisalhamento devido a rotação a expressão a ser usada é: 
 
nh2
aG
2
1
2
0 α×
×
×
=τα (22) 
Com n- o número de camadas de neoprene 
 α - rotação imposta ao aparelho de apoio 
O valor da tensão de cisalhamento devido aos esforços horizontais é calculada 
considerando-a uniforme: 
 
00
H ba
H
×
=τ (24) 
No caso das ações dinâmicas a área pode ser multiplicada por 2. 
 Conhecida as tensões de cisalhamento deve-se obedecer a expressão: 
 
G5HN ×≤τ+τ+τ α (25) 
 
 
7.2 Verificação do abaixamento da articulação 
 
 A verificação do abaixamento da articulação sob cargas verticais é feita pela 
condição: 
 
 h15,0
3kG4
hnh '
m
2
f
1
'
m
f
×≤
σ÷+××
×σ
×=Δ (26) 
Com 
'
0
'
m A
N
=σ e )a(bA 00
'
0 δ−×= com δ o deslocamento na horizontal do aparelho. 
 
 
 
7.3 Verificação para limite de distorção 
A distorção fica limitada pela expressão: 
 
 7,0
h
tg ≤δ=γ (27) 
 
 
7.4 Verificação ao deslizamento. 
 83 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 Para evitar o deslizamento do aparelho de apoio deve-se garantir uma pressão média 
mínima em duas situações: uma em que só atuam as cargas estáticas e outra em que atuiam 
as cargas estáticas e dinâmicas dadas pelas expressões: 
 Ação estática Hest ≤ ×µest Nest (27) 
 
 Ação estática e dinâmica Hest + Hdin ≤ ×µ (Nest + Ndin ) (28) 
 
Com os valores dos coeficientes estático estµ e o coeficiente dinâmico µ dados por: 
 
 estµ = '
est,m
6,010,0
σ
+ (29) 
 
 µ= '
m
6,010,0
σ
+ (30) 
Os valores de tensão média nas expressões anteriores devem ser usados em MPa 
 
 
7.5 Verificação da segurança contra o levantamento da borda menos carregada 
 Esta condição é atendida se as duas expressões forem satisfeitas: 
 
 estα
0
est
a
h6 Δ×
≤ (31) 
 
 α
0a
h6 Δ×
≤ (32) 
 
7.6 Verificação da estabilidade 
 A estabilidade do aparelho está atendida quando: 
 h
5
a 0≤ (33) 
 No caso da altura não atender esta relação a tensão média de compressão deve 
atender a condição: 
 
 f
0'
m kGh3
a2
××
×
×
<σ (34) 
 
7.7 Verificação das chapas de aço 
 A espessura das chapas de aço deve atender a expressão 
s
'
m
f
0
s k
a
h
σ
σ
×≥ (35) 
 
Considerando na expressão anterior que =σs 150 MPa 
 84 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
9. PRÉ-DIMENSIONAMENTO DE APARELHOS DE NEOPRENE 
 
O dimensionamento de um aparelho de apoio de neoprene e sua verificação são 
processos iterativos pois, não há em geral expressões analíticas em numero suficiente para 
levantar todas as incógnitas, ou seja é preciso escolher algumas dimensões do aparelho e 
verificar se são atendem as condições de funcionamento e colapso, caso isto não ocorra 
modifica-se as dimensões refazendo-se as verificações até que se obtenha resultados 
satisfatório. 
De uma maneira geral o pré-dimensionamento do aparelho é feito determinando valores 
para as dimensões em planta do mesmo e a sua altura. A condição do aparelho se será 
fretado ou não fica estabelecida pela intensidade da força vertical a ser transmitida que 
resultará numa tensão admissível máxima de 7 MPa para aparelhos sem fretagem e até 15 
MPa para aparelhos com fretagem. Para as as pontes, excetuando-se as de pequenos vãos 
(da ordem de 10m), empregam-se sempre os aparelhos fretados. 
Assim de maneira simplista como pode ser visto em EL DEBS [2000] e BRAGA [1984] 
pode-se determinar a área do neoprene em planta (axb) por: 
m
Nba
σ
=× (16) 
com 
a e b - as dimensões em planta do aparelho de apoio e sendo a≤ b 
N -máxima força vertical a transmitir 
mσ -tensão média máxima no neoprene podendo ser considerada de 10 a 15 MPa 
 
 Como em geral deseja-se que o aparelho de neoprene permita a rotação recomenda-
se que o valor de b seja o menor possível estando limitado a, segundo Braga [1984] a cerca 
de 30 cm, porem em alguns casos permite-se superiores a este. Assim, escolhendo um valor 
para b e conecido o produto a ba× da equação 16 determina-se o valor de a.. 
 A altura total do neoprene pode ser considerada igual a 
 
 lim,2 hah ×= 
 
com: 
 h – altura total do neoprene 
lim,ha -deslocamento horizontal devido às ações de longa duração 
 
 
 
10. EXEMPLOS NUMÉRICOS 
 
Detalhar e verificar os aparelhos de apoio de neoprene das pontes usadas nos 
exemplos do primeiro relatório descritas a seguir: 
PONTE 1 – Ponte em concreto armado com seção transversal com duas vigas, 
largura total de tabuleiro de 10m. Dados geométricos nos desenhos da figura n,n+1..... 
 85 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
PONTE 2 – Ponte em concreto armado com seção transversal com três vigas 
(múltiplas), largura total de tabuleiro de 10m. Dados geométricos nos desenhos da figura 
n,n+1..... 
PONTE 3 – Ponte em concreto armado com seção transversal celular, largura total 
de tabuleiro de 10m. Dados geométricos nos desenhos da figura n,n+1..... 
 
Dados Gerais comuns a todas as pontes: 
concreto fck=20 MPa, abatimento de 5 a 9cm 
Umidade Relativa média 70% 
Tipo de Cimento de endurecimento normal 
Aço CA50 
Aparelhos de neoprene fretado Dureza E G 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 86 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
36
0
36
0
36
0
36
0
36
0
36
0
36
0
36
0
36
0
36
0
S1
0
S9
S8
S7
S6
S5
S4
S3
S2
S1
S0
M
EI
A
 V
IS
TA
M
EI
O
 C
O
R
TE
PL
A
N
TA
 D
A
PO
N
TE
 3
 - 
SE
Ç
Ã
O
 C
EL
U
LA
R
50
40
36
0
36
0
36
0
36
0
36
0
36
0
36
0
36
0
36
0
36
0
S1
0
S9
S8
S7
S6
S5
S4
S3
S2
S1
S0
M
EI
A
 V
IS
TA
M
EI
O
 C
O
R
TE
V
IS
TA
 L
A
TE
R
A
L 
D
A
PO
N
TE
 3
 - 
SE
Ç
Ã
O
 C
EL
U
LA
R
Pi
la
r
C
or
tin
a
C
ur
so
 d
´á
gu
a 
D
ef
en
sa
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 87 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.1. CÁLCULO DAS CARGAS 
 
Neste item serão calculados os carregamentos provenientes da carga permanente, 
sobrecarga permanente e carga acidental para seções transversais diferentes, sendo estas de 
duas vigas, três vigas e seção caixão. 
A carga permanente se constitui do peso próprio da estrutura de concreto armado. 
A sobrecarga permanente se constitui do peso do asfalto e guarda corpo. 
A carga acidental é constituída do peso dos veículos das pontes rodoviárias, sendo neste 
caso calculada para o trem tipo normativo e para o rodotrem de 74 toneladas. 
 
Onde: g1 e g1*- carga permanente; 
g2- sobrecarga permanente; 
Ac- área de concreto; 
 88 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
γc= massa específica do concreto; 
Pti- peso da transversina intermediária; 
Pta- peso da transversina do apoio; 
B- dimensão horizontal da transversina; 
H- dimensão vertical da transversina; 
Ati- área da transversina intermediária; 
e- espessura da transversina; 
Pabas- peso das abas; 
Mabas- momento das abas; 
h- altura do guarda corpo; 
b- base do guarda corpo; 
γasf- massa específica do asfalto; 
RA- reação de apoio. 
 
Duas vigas 
 
• Carga permanente 
 
cc1 γA2
1g ××= ⇒ m63,5625kN/255,085
2
1g1 =××= 
ccapoio
*
1 γA2
1g ××= ⇒ m97,4375kN/257,795
2
1g1 =××= 
cti γeHBP ×××= ⇒ kN922525,020,360,4Pti =×××= 
P2
P3
P1
 
Figura 17: Aba 
kN26252,06,22P1 =×××= 
kN5,2252,00,15,0P2 =×××=kN75,3252,0
2
5,11P3 =××
×
= 
kNm375,30)5,05,1
3
1(75,325,05,2126Maba =+××+×+×= 
cabaaba eAP γ××= ⇒ kN25,32252,0)2
5,16,32(Paba =××−×= 
 89 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
2
P2)AHB(e
P abasccapoiota
×+γ×−××
= ⇒ 
kN53125,208
2
25,32225)795,760,310(5,0Pta =
×+×−××
= 
A figura 18 ilustra o carregamento devido à carga permanente e suas respectivas reações 
de apoio. 
30,375 kNm30,375 kNm
92kN92kN92kN
208,53125kN208,53125kN
97,4375 kN/m97,4375 kN/m 63,5625 kN/m
178,056 kN 178,056 kN
 
Figura 18: Carga permanente 
 
• Sobrecarga permanente 
 
casfalto2 bhe2
lg γ××+γ××= ⇒ m/kN892,9252,05,02207,0
2
lg2 =××+××= 
 
A figura 19 ilustra o carregamento proveniente da sobrecarga permanente e suas 
respectivas reações de apoio. 
178,056 kN178,056 kN
9,892 kN/m
 
Figura 19: Sobrecarga permanente 
 
• Carga acidental 
 
A figura 20 ilustra a linha de influência de reação de apoio do trem tipo normativo. 
 
 90 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
172,5172,5
0,92
0,961
172,5
 
Figura 20: Linha de influência de reação de apoio do trem tipo normativo 
 
A figura 21 ilustra o carregamento proveniente da carga de passeio que se encontra na 
ponte rodoviária junto com o trem tipo normativo. 
10,125 kN/m
42,71 kN 42,71 kN
 
Figura 21: 
28,125 kN/m
387,6 kN 498,34 kN
 
Figura 22: Trem tipo 
 
RA (trem tipo normativo)= 172,5× (1+0,96+0,92)+387,6+42,71= 927,11 kN 
 91 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
47,63 kN47,63 kN
2,646 kN/m
 
Figura 23: Rodotrem de 74 t 
 
P1 P1 P1 P1 P1 P1 P1 P1 P2 P1 P1 P1 P1 P1 P1 P1 P1 P2
P1= 176,4 kN
P2= 111,72 kN
1 0,96
0,9 0,87
0,77 0,74
0,66 0,63
0,56
0,45 0,41
0,36 0,32
0,22 0,19
0,110,08
0,01
 
Figura 24: Linha de influência de reação de apoio do rodotrem de 74 toneladas 
 
RA (rodotrem de 74 toneladas) = 176,4 × (1+ 0,96+ 0,9+ 0,87+ 0,77+ 0,74+ 0,66+ 0,63+ 
0,45 +0,41 +0,36+ 0,32+ 0,22+ 0,19+ 0,11+ 0,08) + 111,72 × (0,56+ 0,01) + 47,63= 1640,7 
kN 
 
Três vigas 
 
• Carga permanente 
 
cc1 γAg ×= ⇒ 42,125kN/m25685,1g1 =×= 
ccapoio
*
1 γAg ×= ⇒ kN/m625,6825745,2g1 =×= 
ciiti γeHBP ×××= ⇒ kN5,452525,080,260,2Pti =×××= 
2
)AHB(e
P ccapoiota
γ×−××
= ⇒ kN8438,1572
25)745,280,210(5,0Pta =
×−××
= 
A figura 25 ilustra o carregamento devido à carga permanente e suas respectivas reações 
de apoio. 
 92 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
157,8438kN 157,8438kN
45,5kN 45,5kN 45,5kN
42,125 kN/m68,625 kN/m 68,625 kN/m
899,97 kN 899,97kN
 
Figura 25: Carga permanente 
 
• Sobrecarga permanente 
 
asfalto2 elg γ××= ⇒ m/kN62,42207,03g2 =××= 
A figura 26 ilustra o carregamento proveniente da sobrecarga permanente e suas 
respectivas reações de apoio. 
4,62 kN/m
83,16 kN 83,16 kN
 
Figura 26: Sobrecarga permanente 
 
• Carga acidental 
 
292,18 kN227,25kN
16,49 kN/m
 
Figura 27: 
 93 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
2,06 kN30,96 kN
7,34 kN/m
 
Figura 28: 
 
134,81
134,81
0,92
0,961
134,81
 
Figura 29: Linha de influência de reação de apoio do trem tipo normativo 
 
RA (trem tipo normativo)= 134,81× (1+0,96+0,92) + 227,25+ 30,96= 646,4628 kN 
 
P1 P1 P1 P1 P1 P1 P1 P1 P2 P1 P1 P1 P1 P1 P1 P1 P1 P2
P1= 114,84 kN
P2= 72,73 kN
1 0,96
0,9 0,87
0,77 0,74
0,66 0,63
0,56
0,45 0,41
0,36 0,32
0,22 0,19
0,110,08
0,01
 
Figura 30: Linha de influência de reação de apoio do rodotrem de 74 toneladas 
 
 94 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
21,132 kN21,132 kN
1,174kN/m
 
Figura 31: Rodotrem de 74 toneladas 
 
RA (rodotrem de 74 toneladas) = 114,84 × (1+ 0,96+ 0,9+ 0,87+ 0,77+ 0,74+ 0,66+ 0,63+ 
0,45 +0,41 +0,36+ 0,32+ 0,22+ 0,19+ 0,11+ 0,08) + 72,73 × (0,56+ 0,01) + 21,132= 
1058,2509 kN 
 
Seção caixão 
 
• Carga permanente 
 
cc1 γA2
1g ××= ⇒ kN/m25,76255,38
2
1g1 =××= 
ccapoio
*
1 γA2
1g ××= ⇒ 5kN/m2,88257,06
2
1g1 =××= 
ctiti γeAP ××= ⇒ kN562525,096,8Pti =××= 
P3P2
P1
 
Figura 32: Aba 
kN14252,04,12P1 =×××= 
kN5,2252,00,15,0P2 =×××= 
kN75,3252,0
2
5,11P3 =××
×
= 
kNm375,18)5,05,1
3
1(75,325,05,2114Maba =+××+×+×= 
cabaaba eAP γ××= ⇒ kN25,20252,0)2
5,14,22(Paba =××−×= 
2
P2)AHB(e
P abasccapoiota
×+γ×−××
= ⇒ 
kN125,126
2
25,20225)06,740,210(5,0Pta =
×+×−××
= 
 95 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
A figura 33 ilustra o carregamento devido à carga permanente e suas respectivas reações 
de apoio. 
18,375 kNm18,375 kNm
56kN56kN56kN
126,125kN126,125kN
88,25 kN/m88,25 kN/m 67,25 kN/m
1647,425 kN 1647,425kN
 
Figura 33: Carga permanente 
• Sobrecarga permanente 
 
casfalto2 bhe2
lg γ××+γ××= ⇒ m/kN892,9252,05,02207,0
2
lg2 =××+××= 
A figura 34 ilustra o carregamento proveniente da sobrecarga permanente e suas 
respectivas reações de apoio. 
178,056 kN178,056 kN
9,892 kN/m
 
Figura 34: Sobrecarga permanente 
• Carga acidental 
 
885,94 kN689,06 kN
50 kN/m
 
Figura 35: 
 
 96 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
2,06 kN30,96 kN
35 kN/m
 
Figura 36: 
 
150150
0,92
0,961
150
 
Figura 37: Linha de influência de reação de apoio do trem tipo normativo 
 
RA (trem tipo normativo)= 150×(1+0,96+0,92)+689,06+30,96= 1152,02 kN 
P1 P1 P1 P1 P1 P1 P1 P1 P2 P1 P1 P1 P1 P1 P1 P1 P1 P2
P1= 90 kN
P2= 57 kN
1 0,96
0,9 0,87
0,77 0,74
0,66 0,63
0,56
0,45 0,41
0,36 0,32
0,22 0,19
0,110,08
0,01
 
Figura 38: Linha de influência de reação de apoio do rodotrem de 74 toneladas 
198 kN198 kN
11kN/m
 
Figura 39: Rodotrem de 74 toneladas 
 
RA (rodotrem de 74 toneladas) = 90 × (1+ 0,96+ 0,9+ 0,87+ 0,77+ 0,74+ 0,66+ 0,63+ 0,45 
+0,41 +0,36+ 0,32+ 0,22+ 0,19+ 0,11+ 0,08) + 57 × (0,56+ 0,01) + 198= 1010,79 kN 
 
 97 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
Tabela 7: Valores de reações de apoio em kN 
 Seção de 2 vigas 
Seção de 3 
vigas Seção caixão 
Carga 
permanente 1330,34 899,97 1647,425 
Sobrecarga 
permanente 178,056 83,16 178,056 
Carga acidental 
(trem tipo 
normativo) 
927,11 646,4628 1152,02 
Carga acidental 
(rodotrem de 
74 toneladas) 
1640,7 1058,2509 1010,79 
 
9.2. CÁLCULO DAS FORÇAS NORMAIS 
 
• Duas vigas 
 
Trem tipo normativo: 
Nmáx= 1330,34+178,056+1,148×927,11= 2572,718 kN 
Nmín= 1330,34+178,056= 1508,396 kN 
 
Rodotrem de 74 toneladas 
Nmáx= 1330,34+178,056+1,148×3467,7= 3391,92 kN 
Nmín= 1330,34+178,056= 1508,396 kN 
 
• Três vigas 
 
Trem tipo normativo: 
Nmáx= 899,97+83,16+1,148×646,4628= 1725,27 kN 
Nmín= 899,97+83,16= 983,13 kN 
 
Rodotrem de 74 toneladas 
Nmáx= 899,97+83,16+1,148×1058,2509= 2198 kN 
Nmín= 899,97+83,16= 983,13 kN 
 
• Seção caixão 
 
Trem tipo normativo: 
Nmáx= 1647,425+178,056+1,148×1152,02= 3148 kN 
Nmín= 1647,425+178,056= 1825,481 kN 
 
Rodotrem de 74 toneladas 
Nmáx= 1647,425+178,056+1,148×3467,7= 2985,8679 kN 
Nmín= 1647,425+178,056= 1825,481 kN 
 
 98 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
 
Tabela 8: Valores de forças normais em kN 
 Seção de 2 vigas 
Seção de 3 
vigas Seção caixão 
Nmáxima 
Trem tipo 
normativo 4670,1143 1725,27 3148 
Rodotrem 
de 74 
toneladas 
5489,3156 2198 2985,8679 
Nmínima 
Trem tipo 
normativo 1508,396 983,13 1825,481 
Rodotrem 
de 74 
toneladas 
1508,396 983,13 1825,481 
 
Tabela 9: Valores de rotações máximas 
 Carga permanente Carga acidental 
 Trem tipo normativo 
Rodotrem de 
74 toneladas 
Seção duas vigas 0,0019717 0,0003469 0,0019692 
Seção três vigas 0,0031385 0,0005504 0,0031255 
Seção caixão 0,0030869 0,0008887 0,0017280 
 
9.3. CÁLCULO DA RETRAÇÃO 
 
Duas vigas 
 
Ac= 2,5975 m2 
Até t0⇒ Uar= 11,99 cm 
Após t0⇒ Uar= 11,99 + 5,2= 17,19 cm 
ar
c
fictíciaU
A2
h
×
×γ= 
)U1,08,7( ar.rele1 ×+−+=γ 
45,1e1 )701,08,7( =+=γ ×+− 
Até t0⇒ m63,0
99,11
5975,2245,1hfictícia =
×
×= 
Após t0⇒ m35,0
99,17
5975,2245,1hfictícia =
×
×= 
m49,0
2
35,063,0h diafictíciamé =
+
= 
4
s1 102,3
−×−=ε (abatimento 5 a 9 cm- tabela A.1 da NBR 6118/2003) 
fictíia
fictícia
s2 h38,20
h233
×+
×+
=ε 
 99 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
7807,0
4938,20
49233
s2 =×+
×+
=ε 
( ) [ ])t()t( 0sscst,tcs 0 β−β×ε=ε ∞ 
05,0)14(
0,1)(
1,c
s
=β
=∞β
 
( ) 000237,0)05,01(7807,0102,3
4
14,0cs =−×××=ε
− 
ll ×ε=Δ 
cm4266,0m004266,018000237,0l ==×=Δ 
 
Três vigas 
 
Ac= 1,6850 m2 
Até t0⇒ Uar= 8,1866 cm 
Após t0⇒ Uar= 8,1866 + 3= 11,1866 cm 
ar
c
fictícia U
A2
h
×
×γ= 
)U1,08,7( ar.rele1 ×+−+=γ 
45,1e1 )701,08,7( =+=γ ×+− 
Até t0⇒ m597,0
1866,8
685,1245,1hfictícia =
×
×= 
Após t0⇒ m437,0
1866,11
685,1245,1hfictícia =
×
×= 
m517,0
2
437,0597,0h diafictíciamé =
+
= 
4
s1 102,3
−×−=ε (abatimento 5 a 9 cm- tabela A.1 da NBR 6118/2003) 
fictíia
fictícia
s2 h38,20
h233
×+
×+
=ε 
7754,0
7,5138,20
7,51233
s2 =×+
×+
=ε 
( ) [ ])t()t( 0sscst,tcs 0 β−β×ε=ε ∞ 
05,0)14(
0,1)(
1,c
s
=β
=∞β
 
( ) 000236,0)05,01(7754,0102,3
4
14,0cs =−×××=ε
− 
ll ×ε=Δ 
cm425,0m004248,018000236,0l ==×=Δ 
 
Seção caixão 
 
Ac= 5,38 m2 
 100 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
Até t0⇒ Uar= 14,327cm 
Após t0⇒ Uar= 24,327 cm 
ar
c
fictícia U
A2
h
×
×γ= 
)U1,08,7( ar.rele1 ×+−+=γ 
45,1e1 )701,08,7( =+=γ ×+− 
Até t0⇒ m09,1
327,14
38,5245,1hfictícia =
×
×= 
Após t0⇒ m64,0
327,24
38,5245,1hfictícia =
×
×= 
m86,0
2
64,009,1h diafictíciamé =
+
= 
4
s1 102,3
−×−=ε (abatimento 5 a 9 cm- tabela A.1 da NBR 6118/2003) 
fictíia
fictícia
s2 h38,20
h233
×+
×+
=ε 
7353,0
8638,20
86233
s2 =×+
×+
=ε 
( ) [ ])t()t( 0sscst,tcs 0 β−β×ε=ε ∞ 
05,0)14(
0,1)(
1,c
s
=β
=∞β
 
( ) 0002235,0)05,01(7353,0102,3
4
14,0cs =−×××=ε
− 
ll ×ε=Δ 
cm40,0m004023,0180002235,0l ==×=Δ 
 
9.4. CÁLCULO DA VARIAÇÃO DE TEMPERATURA 
 
Tll Δ×α×=Δ 
cm18,0m0018,0101018l 5 ==××=Δ − 
 
9.5. CÁLCULO DO DELOCAMENTO DA ESTRUTURA 
 
Duas vigas 
 
cm61,018,043,0est =+=δ 
Três vigas 
 
cm6,018,042,0est =+=δ 
 
Seção caixão 
 
 101 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
cm58,018,04,0est =+=δ 
 
DIMENSÕES 
 
Duas vigas 
σ
≥× máx
N
ba 
2m311,0
15000
1143,4670ba =≥× 
Considerando a= 0,30 m. 
m04,1
3,0
311,0b =≥ 
Será adotado b= 1,05 m. 
cm22,161,022h estrneoprene =×=δ×= 
Será adotado hneoprene= 2 cm. 
 
Três vigas 
σ
≥× máx
N
ba 
2m115,0
15000
27,1725ba =≥× 
Considerando a= 0,30 m. 
m38,0
3,0
115,0b =≥ 
Será adotado b= 0,40 m. 
cm2,16,022h estrneoprene =×=δ×= 
Será adotado hneoprene= 2 cm. 
 
Seção caixão 
σ
≥× máx
N
ba 
2m210,0
15000
3148ba =≥× 
Considerando a= 0,30 m. 
m70,0
3,0
210,0b =≥ 
Será adotado b= 0,70 m. 
cm16,158,022h estrneoprene =×=δ×= 
Será adotado hneoprene= 2 cm. 
 
DUAS VIGAS 
 
 102 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
• Trem tipo normativo 
 
kN396,1058056,17834,1330Nest =+= 
kN11,927Ndin = 
kN25,155)35,172(3,0Hdin =××= 
rad0019717,0est =α 
rad0003469,0din =α 
G=1 MPa 
 
Coeficiente de forma: 
67,11
)05,13,0(01,02
05,13,0
)ba(h2
ba
k
001
00
f =+××
×
=
+××
×
= 
 
Deslocamento total: 
m01103,0
315,010002
02,025,1550061,0h
AG2
H
0
din
estr =××
×
+=×
××
+δ=δ 
Área útil: 
2
000 m303,005,1)01103,03,0(b)a('A =×−=×δ−= 
 
Tensão normal na área útil: 
2
0
dinest
m m/kN97,8037303,0
11,927396,1508
'A
NN
' =+=
+
=σ 
m1082,2
97,8037367,1110004
01,097,80372
3kG4
h'n
h 42'
m
2
f
1m −×=
×+××
××
=
σ×+××
×σ×
=Δ 
%15%41,1100
102
1082,2%100
h
h
2
4
<=×
×
×
=×
Δ
−
−
⇒OK 
 
Limite para distorção: 
7,055,0
02,0
011,0
h
tg <==δ=γ ⇒ OK 
 
Limitação das tensões de cisalhamento: 
2
0f
dinest
N m/kN95,1182315,067,11
)11,9275,1396,1508(5,1
Ak
)N5,1N(5,1
=
×
×+×
=
×
×+×
=τ 
kN075,96
02,0
0061,0315,01000
h
AG
H estr0est =
××
=
δ××
= 
2
0
dinest
H m/kN86,797315,0
25,155075,96
A
HH
=
+
=
+
=τ 
2
2
2
dinestr
2
1
2
0 m/kN685,521
2
)0003469,00019717,0(
01,02
3,01000
nh2
aG
=
+
×
×
×
=
α+α
×
×
×
=τα 
 103 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
G5HN ≤τ+τ+τ α 
22 m/kN5000m/kN495,2502685,52186,79795,1182 <=++ ⇒OK 
 
Segurança contra deslizamento: 
estestest NH ×µ≤ 
212,0
2817,0
508,1
6,010,06,010,0 '
est,m
est =+=σ
+=µ 
kN075,96kN78,319396,1508212,0Nestest >=×=×µ ⇒OK 
)NN(HH dinestdinest +×µ≤+ 
175,0
038,8
6,010,06,010,0 '
m
est =+=σ
+=µ 
kN32,25125,155075,96HH dinest =+=+ 
kN32,251kN21,426)11,927396,1508(175,0)NN( dinest >=+×=+×µ ⇒OK 
 
Segurança contra levantamento da borda menos carregada: 
0
est
est a
h6 Δ×
≤α 
m1091,1
2817,0
396,1508367,1110004
01,0
2817,0
396,15082
3kG4
h'n
h 4
2
'
est,m
2
f
1est,m
est
−×=
×+××
××
=
σ×+××
×σ×
=Δ 
rad0019717,000382,0
3,0
1091,16 4
>=
×× −
⇒OK 
0a
h6 Δ×
≤α 
rad0023186,000564,0
3,0
1082,26 4
>=
×× −
⇒OK 
 
Estabilidade: 
5
a
h 0≤ 
cm6
5
30
5
a 0 == 
cm6cm2h <= ⇒OK 
 
Verificação das chapas de aço: 
Para uma chapa interna: 
 104 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
s
'
m
f
0
s k
a
h
σ
σ
×≥ 
m003,0m1038,1
150
038,8
67,11
3,0
k
a 3
s
'
m
f
0 <×=×=
σ
σ
× − ⇒OK 
 
• Rodotrem de 74 toneladas 
 
kN396,1058056,17834,1330Nest =+= 
kN7,1640Ndin = 
kN912,807)72,1112144,176(3,0Hdin =×+××= 
rad0019717,0est =α 
rad0019692,0din =α 
G=1 MPa 
 
Coeficiente de forma: 
67,11
)05,13,0(01,02
05,13,0
)ba(h2
ba
k
001
00
f =+××
×
=
+××
×
= 
 
Deslocamento total: 
m0317,0
315,010002
02,0912,8070061,0h
AG2
H
0
din
estr =××
×
+=×
××
+δ=δ 
Área útil: 
2
000 m2817,005,1)0317,03,0(b)a('A =×−=×δ−= 
 
Tensão normal na área útil: 
2
0
dinest
m m/kN9,111782817,0
7,1640396,1508
'A
NN
' =+=
+
=σ 
m1087,3
9,11178367,1110004
01,09,111782
3kG4
h'n
h 42'
m
2
f
1m −×=
×+××
××
=
σ×+××
×σ×
=Δ 
%15%94,1100
102
1087,3%100
h
h
2
4
<=×
×
×
=×
Δ
−
−
⇒OK 
 
Limite para distorção: 
7,058,1
02,0
0317,0
h
tg >==δ=γ ⇒ não está OK 
 
Limitação das tensões de cisalhamento: 
2
0f
dinest
N m/kN72,1619315,067,11
)7,16405,1396,1508(5,1
Ak
)N5,1N(5,1
=
×
×+×
=
×
×+×
=τ 
 105 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
kN075,96
02,0
0061,0315,01000
h
AG
H estr0est =
××
=
δ××
= 
2
0
dinest
H m/kN82,2869315,0
92,807075,96
A
HH
=
+
=
+
=τ 
2
2
2
dinestr
2
1
2
0 m/kN685,521
2
)0019,00019717,0(
01,02
3,01000
nh2
aG
=
+
×
×
×
=
α+α
×
×
×
=τα
 
G5HN ≤τ+τ+τ α 
22 m/kN5000m/kN24,537670,88682,286972,1619 >=++ ⇒ não está OK 
 
Segurança contra deslizamento: 
estestest NH ×µ≤ 
212,0
2817,0
508,1
6,010,06,010,0 '
est,m
est =+=σ
+=µ 
kN415,92kN78,319396,1508212,0Nestest >=×=×µ ⇒OK 
)NN(HH dinestdinest +×µ≤+ 
154,0
178,11
6,010,06,010,0 '
m
est =+=σ
+=µ 
kN987,903912,807075,96HH dinest =+=+ 
kN987,903kN96,484)7,1640396,1508(154,0)NN( dinest <=+×=+×µ ⇒ não está OK 
 
Segurança contra levantamento da borda menos carregada: 
0
est
est a
h6 Δ×
≤α 
m1091,12817,0
396,1508367,1110004
01,0
2817,0
396,15082
3kG4
h'n
h 4
2
'
est,m
2
f
1est,m
est
−×=
×+××
××
=
σ×+××
×σ×
=Δ 
rad0019717,000382,0
3,0
1091,16 4
>=
×× −
⇒OK 
0a
h6 Δ×
≤α 
rad0019692,000774,0
3,0
1087,36 4
>=
×× −
⇒OK 
 
Estabilidade: 
5
a
h 0≤ 
 106 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
cm6
5
30
5
a 0 == 
cm6cm2h <= ⇒OK 
 
Verificação das chapas de aço: 
Para uma chapa interna: 
s
'
m
f
0
s k
a
h
σ
σ
×≥ 
m003,0m1092,1
150
178,11
67,11
3,0
k
a 3
s
'
m
f
0 <×=×=
σ
σ
× − ⇒OK 
 
TRÊS VIGAS 
 
• Trem tipo normativo 
 
kN13,98316,8397,899Nest =+= 
kN4628,646Ndin = 
kN656,118)384,131(3,0Hdin =××= 
rad0031385,0est =α 
rad0005504,0din =α 
G=1 MPa 
 
Coeficiente de forma: 
57,8
)4,03,0(01,02
4,03,0
)ba(h2
ba
k
001
00
f =+××
×
=
+××
×
= 
 
Deslocamento total: 
m0159,0
12,010002
02,0656,118006,0h
AG2
H
0
din
estr =××
×
+=×
××
+δ=δ 
Área útil: 
2
000 m1136,04,0)0159,03,0(b)a('A =×−=×δ−= 
 
Tensão normal na área útil: 
2
0
dinest
m m/kN01,143451136,0
4628,64613,983
'A
NN
' =+=
+
=σ 
m1052,8
01,14345357,810004
01,001,143452
3kG4
h'n
h 42'
m
2
f
1m −×=
×+××
××
=
σ×+××
×σ×
=Δ 
%15%26,4100
102
1052,8%100
h
h
2
4
<=×
×
×
=×
Δ
−
−
⇒OK 
 
Limite para distorção: 
 107 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
7,0795,0
02,0
0159,0
h
tg >==δ=γ ⇒ não está OK 
 
Limitação das tensões de cisalhamento: 
2
0f
dinest
N m/kN34,284812,057,8
)4628,6465,113,983(5,1
Ak
)N5,1N(5,1
=
×
×+×
=
×
×+×
=τ 
kN36
02,0
006,012,01000
h
AG
H estr0est =
××
=
δ××
= 
2
0
dinest
H m/kN8,128812,0
656,11836
A
HH
=
+
=
+
=τ 
2
2
2
dinestr
2
1
2
0 m/kN830
2
)0005504,00031385,0(
01,02
3,01000
nh2
aG
=
+
×
×
×
=
α+α
×
×
×
=τα 
G5HN ≤τ+τ+τ α 
22 m/kN5000m/kN15,49678308,128834,2848 <=++ ⇒OK 
 
Segurança contra deslizamento: 
estestest NH ×µ≤ 
169,0
1136,0
983,0
6,010,06,010,0 '
est,m
est =+=σ
+=µ 
kN36kN15,16613,983169,0Nestest >=×=×µ ⇒OK 
)NN(HH dinestdinest +×µ≤+ 
142,0
345,14
6,010,06,010,0 '
m
est =+=σ
+=µ 
kN66,154656,11836HH dinest =+=+ 
kN66,154kN4,231)4628,64613,983(142,0)NN( dinest >=+×=+×µ ⇒OK 
 
Segurança contra levantamento da borda menos carregada: 
0
est
est a
h6 Δ×
≤α 
m104,5
1136,0
136,983367,1110004
01,0
1136,0
13,9832
3kG4
h'n
h 4
2
'
est,m
2
f
1est,m
est
−×=
×+××
××
=
σ×+××
×σ×
=Δ 
rad0031385,00108,0
3,0
104,56 4
>=
×× −
⇒OK 
0a
h6 Δ×
≤α 
 108 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
rad0036889,001704,0
3,0
1052,86 4
>=
×× −
⇒OK 
 
Estabilidade: 
5
a
h 0≤ 
cm6
5
30
5
a 0 == 
cm6cm2h <= ⇒OK 
 
Verificação das chapas de aço: 
Para uma chapa interna: 
s
'
m
f
0
s k
a
h
σ
σ
×≥ 
m003,0m1035,3
150
345,14
57,8
3,0
k
a 3
s
'
m
f
0 >×=×=
σ
σ
× − ⇒ não está OK 
A verificação da chapa de aço interna não foi atendida, devendo-se mudar as dimensões 
do aparelho de apoio, porém neste trabalho não será feito, pois o valor ultrapassado não 
chega a 1 mm e este estudo tem como objetivo comparar os resultados do trem tipo 
normativo com o rodotrem de 74 toneladas, sendo possível verificar esta diferença sem 
precisar recalcular o aparelho de apoio. 
 
• Rodotrem de 74 toneladas 
 
kN13,98316,8397,899Nest =+= 
kN2509,1058Ndin = 
kN656,118)384,131(3,0Hdin =××= 
rad0031385,0est =α 
rad0031255,0din =α 
G=1 MPa 
 
Coeficiente de forma: 
57,8
)4,03,0(01,02
4,03,0
)ba(h2
ba
k
001
00
f =+××
×
=
+××
×
= 
 
Deslocamento total: 
m0498,0
12,010002
02,097,525006,0h
AG2
H
0
din
estr =××
×
+=×
××
+δ=δ 
Área útil: 
2
000 m1,04,0)0498,03,0(b)a('A =×−=×δ−= 
 
 109 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
Tensão normal na área útil: 
2
0
dinest
m m/kN8,204131,0
25,105813,983
'A
NN
' =+=
+
=σ 
m1015,1
8,20413357,810004
01,08,204132
3kG4
h'n
h 32'
m
2
f
1m −×=
×+××
××
=
σ×+××
×σ×
=Δ 
%15%75,5100
102
1015,1%100
h
h
2
3
<=×
×
×
=×
Δ
−
−
⇒OK 
 
Limite para distorção: 
7,049,2
02,0
0498,0
h
tg >==δ=γ ⇒ não está OK 
 
Limitação das tensões de cisalhamento: 
2
0f
dinest
N m/kN28,374912,057,8
)25,10585,113,983(5,1
Ak
)N5,1N(5,1
=
×
×+×
=
×
×+×
=τ 
kN36
02,0
006,012,01000
h
AG
H estr0est =
××
=
δ××
= 
2
0
dinest
H m/kN08,468312,0
97,52536
A
HH
=
+
=
+
=τ 
2
2
2
dinestr
2
1
2
0 m/kN4,1409
2
)0031255,00031385,0(
01,02
3,01000
nh2
aG
=
+
×
×
×
=
α+α
×
×
×
=τα 
G5HN ≤τ+τ+τ α 
22 m/kN5000m/kN77,98354,140908,468328,3749 >=++ ⇒ não está OK 
 
Segurança contra deslizamento: 
estestest NH ×µ≤ 
169,0
1136,0
983,0
6,010,06,010,0 '
est,m
est =+=σ
+=µ 
kN36kN15,16613,983169,0Nestest >=×=×µ ⇒OK 
)NN(HH dinestdinest +×µ≤+ 
129,0
414,20
6,010,06,010,0 '
m
est =+=σ
+=µ 
kN97,56197,52536HH dinest =+=+ 
kN97,561kN34,263)25,105813,983(129,0)NN( dinest <=+×=+×µ ⇒ não está OK 
 
Segurança contra levantamento da borda menos carregada: 
0
est
est a
h6 Δ×
≤α 
 110 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
m104,5
1136,0
136,983367,1110004
01,0
1136,0
13,9832
3kG4
h'n
h 4
2
'
est,m
2
f
1est,m
est
−×=
×+××
××
=
σ×+××
×σ×
=Δ 
rad0031385,00108,0
3,0
104,56 4
>=
×× −
⇒OK 
0a
h6 Δ×
≤α 
rad006364,0023,0
3,0
1015,16 3
>=
×× −
⇒OK 
 
Estabilidade: 
5
a
h 0≤ 
cm6
5
30
5
a 0 == 
cm6cm2h <= ⇒OK 
 
Verificação das chapas de aço: 
Para uma chapa interna: 
s
'
m
f
0
s k
a
h
σ
σ
×≥ 
m003,0m1076,4
150
414,20
57,8
3,0
k
a 3
s
'
m
f
0 >×=×=
σ
σ
× − ⇒ não está OK 
 
Não será feita a verificação do aparelho de apoio para seção caixão, pois a carga 
acidental do trem tipo normativo é superior à do rodotrem de 74 toneladas, pois se o 
aparelho for verificado para o trem tipo normativo, consequentemente será verificado para o 
rodotrem de 74 toneladas. 
 
11. ANÁLISE DOS RESULTADOS 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
 
Bibliografia 
AASHTO - American Associaton of State Highway and Transportation Officials, 2001. 
 
ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas, NBR6118, Projeto de estruturas de 
concreto. Rio de Janeiro, 2004. 
 
 111 PONTES 
ROBERTO CHUST CARVALHO 
ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas, NBR7187, Projeto de pontes de 
concreto armado e de concreto protendido. Rio de Janeiro, 2003. 
 
ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas, NBR7188, Carga móvel em ponte 
rodoviária e passarela de pedestre. Rio de Janeiro, 1984. 
 
ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas, NBR6123, Forças devido ao vento 
em edificações. Rio de Janeiro, 1988. 
 
BRAGA, WALTER DE ALMEIDA. Aparelhos de apoio das estruturas. Editora Edigard 
Blucher Ltda, São Paulo, 1986. 
 
CORRÊA, M. R. S.; RAMALHO, M. A. Sistema laser de análise estrutural. In: V 
SIMPÓSIO NACIONAL DE TECNOLOGIA DE CONSTRUÇÃO: SOFTWARE PARA O 
PROJETO DE EDIFÍCIOS, 1997, São Paulo. Anais. 
 
DEBS, MOUNIR KHALIL EL. Concreto Pré-Moldado: Fundamentos e Aplicações. 
Departamento de Engenharia de Estruturas. Escola de Engenharia de São Carlos. 
Universidade de São Paulo. 
 
LEONHARDT, FRITZ. Construções de Concreto: Princípios Básicos da Construção de 
Pontes de Concreto- vol. 6. Editora Interciência Ltda. 1979.LIMA VANESSA DOS SANTOS- Estudo comparativo do efeito das ações acidentais 
usuais móveis com as ações de cálculo em pontes e viadutos de concreto- relatório 1 
de iniciação científica -– processo 05/50662-3 São Carlos Dezembro de 2005 
 
MULLER J. Design of Box Girder Bridges Journal of Precast Concrete Institue (1976). 
 
PFEIL, WALTER. Pontes em concreto armado: elementos de projeto, solicitações, 
superestrutura – vol.1. 3ª. Edição. Livros Técnicos e Científicos Editora S.A . Rio de 
Janeiro, 1983. 
 
SAN MARTIN F. J. – Cálculo de Tabuleiros de pontes- Livraria Ciência e Técnicologia 
São Paulo 1981 
 
VASCONCELOS C. A. – Emílio Baumgart suas realizações e recordes. – Edição 
comemorativa dos 70 anos da Otto Baumgart Industria e Comércio. São Paulo 2005