ResmatI Torcao

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Profa. Tereza Denyse de Araújo
Abril / 2018
Roteiro de aula
▪ Torção de eixos circulares
▪ Deformação por torção de eixos circulares
▪ Fórmula da torção
▪ Ângulo de torção
▪ Elementos estaticamente indeterminados (com torque)
▪ Torção em outras seções
▪ Torção em tubos de paredes finas
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Torção de Eixos Circulares
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Torção de Eixos Circulares
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Torção de Eixos Circulares
5
← antes de deformar
após a deformação →
Torção de Eixos Circulares
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← antes de deformar
após a deformação →
Torção de Eixos Circulares
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Deformação por Torção de Eixos Circulares
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Deformação por Torção de Eixos Circulares
9
Deformação por Torção de Eixos Circulares
10
Deformação por Torção de Eixos Circulares
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A deformação por cisalhamento do material aumenta
linearmente de acordo com ρ, isto é, ɣ = (ρ/c)ɣmax
Fórmula da Torção
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Fórmula da Torção
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J
T
 
Fórmula da Torção – eixo maciço
14
4
2
cJ


Fórmula da Torção – eixo maciço
15
Falhas por Torção – eixo maciço
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Fórmula da Torção – eixo tubular
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 44
2
io
ccJ 

Exemplo
▪ Um tubo de aço (Gaço = 78 GPa) deve ser fabricado como uma barra
circular sólida ou como um tubo circular. Deseja-se que o eixo
transmita um torque de 1.200 N·m sem exceder a tensão de
cisalhamento admissível de 40 MPa. Determine (a) o diâmetro
necessário d do eixo sólido; (b) o diâmetro externo necessário d2 do
tubo se a espessura t do eixo seja 1/10 do diâmetro externo; (c) a razão
entre os diâmetros (d2/d) e a razão dos pesos vazado e sólido.
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Exemplo 5.2
▪ O eixo maciço de raio c é submetido a um torque T (ver figura).
Determine a fração de T à qual resiste o material contido no
interior da região externa do eixo, que tem raio interno c/2 e
raio externo c.
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Exemplo 5.4
▪ O tubo mostrado na figura tem diâmetro interno de 80 mm e
diâmetro externo de 100 mm. Se sua extremidade for apertada
contra o apoio em A usando-se uma chave em B, determine a
tensão de cisalhamento desenvolvida no material nas paredes
interna e externa ao longo da porção central do tubo quando são
aplicadas forças de 80 N à chave.
20
Exemplo 5.4
21
Exemplo 5.23
▪ Os eixos de aço estão interligados por um filete de solda (ver
figura). Determine a tensão de cisalhamento média na solda ao
longo da seção a-a se o torque aplicado aos eixos for T = 60 N·m.
Obs.: A seção crítica onde a solda falha encontra-se ao longo da
seção a-a.
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Exemplo 5.29
▪ O eixo tem diâmetro de 80 mm e, devido ao atrito na superfície
no interior do furo, está sujeito a um torque variável descrito
pela função 𝑡 = 25𝑥𝑒𝑥
2
N·m/m, onde x é dado em metros.
Determine o torque mínimo To necessário para vencer o atrito e
fazer o eixo girar. Determine também a tensão máxima absoluta
no eixo.
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Ângulo de Torção
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Ângulo de Torção
25
 
 
dx
xGJ
xT

Ângulo de Torção
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GJ
TL

Ângulo de Torção – Convenção de sinal
27
Ângulo de Torção – Convenção de sinal
28
Ângulo de Torção – Convenção de sinal
29
Exemplo 5.9
▪ O poste maciço de ferro fundido (G = 40 GPa) com 50 mm de diâmetro
(ver figura) está enterrado no solo até 600 mm de seu comprimento
total. Se for aplicado um torque em sua parte superior com uma chave
de torque rígida, determine a tensão de cisalhamento máxima no
poste e o ângulo de torção na parte superior. Considere que o torque
estaria prestes a girar o poste e que o solo exerce uma resistência
uniforme à torção t N·mm/mm ao longo dos 600 mm de comprimento
que estão enterrados.
30
Exemplo 5.9
31
Exemplo 5.10
▪ O eixo cônico (ver figura) é feito de um material com módulo de
cisalhamento G. Determine o ângulo de torção de sua
extremidade B quando submetido ao torque.
32
Exemplo 5.10
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Exemplo 5.45
▪ Um eixo é submetido a um torque T. Compare a efetividade da
utilização do tubo mostrado na figura com a de uma seção
maciça de raio c. Para isso, calcule o aumento percentual na
tensão de torção e no ângulo de torção por unidade de
comprimento para o tubo em comparação com o da seção
maciça.
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Exemplo 5.51
▪ O eixo de aço A-36 (E = 200 GPa e G = 75 GPa) de 20 mm de
diâmetro é submetido aos torques mostrados na figura.
Determine o ângulo de torção da extremidade B.
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Exemplo 5.62
▪ O eixo maciço de 60 mm de diâmetro é feito de aço A-36 (E =
200 GPa e G = 75 GPa) e está sujeito aos carregamentos de
torção distribuídos e concentrados mostrados na figura.
Determine o ângulo de torção da extremidade livre A do eixo
devido a esses carregamentos.
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Exemplo AP1 (04/06/2013)
▪ Um orifício é perfurado em A em uma folha de plástico pela aplicação
de uma força P = 600 N na extremidade D da alavanca CD, que está
rigidamente ligada ao eixo cilíndrico BC. Quando a carga é aplicada, a
alavanca CD está na horizontal e a folha de plástico está em contato
com o perfurador, sem tensão. Até o momento da penetração,
especificações de projeto exigem que o deslocamento de D não deve
exceder 15 mm. Determinar o diâmetro necessário do eixo BC, se este
é feito de aço com G = 77 GPa e adm = 80 MPa.
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Elementos Estaticamente Indeterminados 
(com torque)
38
Exemplo 5.11
39
▪ O eixo de aço maciço (ver figura) tem um diâmetro de 20 mm.
Se ele for submetido aos dois torques indicados, determine as 
reações nos apoios fixos A e B.
Exemplo 5.11
40
Exemplo 5.12
▪ O eixo mostrado na figura é composto por um tubo de aço (Gaço
= 80 GPa) unido a um núcleo de latão (Glat = 36 GPa). Se um
torque de T = 250 N·m for aplicado em sua extremidade, faça
uma representação gráfica da distribuição da tensão de
cisalhamento ao longo da linha radial de sua área de seção
transversal.
41
Exemplo 5.12
42
Exemplo
▪ A barra ACB está engastada em ambas as extremidades e
carregadas por um torque T0 no ponto C. Os segmentos AC e CB
da barra têm diâmetros dA e dB, comprimentos LA e LB e momentos
de inércia polar JA e JB, respectivamente. O material da barra é o
mesmo ao longo dos dois segmentos. Obtenha fórmulas para (a)
os torques de reação TA e TB; (b) as tensões de cisalhamento
máximas AC e CB; e (c) o ângulo de torção C na seção transversal
em que a carga T0 é aplicada.
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Exemplo 5.83
▪ O eixo de aço (Gaço = 80 GPa) é composto por dois segmentos:
AC, com diâmetro de 10 mm e CB, com diâmetro de 20 mm. Se o
eixo estiver engastado em suas extremidades A e B e for
submetido a um torque distribuído uniforme de 300 N·m/m ao
longo do segmento CB, determine a tensão de cisalhamento
máxima absoluta.
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AP1 SC (17/06/2016)
▪ Uma barra circular AB com extremidades fixas contra a rotação tem um
furo que se estende para a metade do seu comprimento. O diâmetro
externo da barra é d2 = 76,2 mm e o diâmetro o furo é d1 = 60,96 mm.
O comprimento total da barra é L = 1270 mm. Em qual distancia x
medida a partir da extremidade esquerda da barra deve ser aplicado o
torque T0 tal que os torques de reação nos apoios sejam iguais?
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Torção em outras seções
46
Torção em outras seções
47
Torção em outras seções
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Torção em Tubos de Paredes Finas (seções 
fechadas)
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Torção em Tubos de Paredes Finas
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Torção em Tubos de Paredes Finas
51
Torção em Tubos de Paredes Finas
52
2
2
2 tr
T
rA
m





bht
T
bht
T
bhA
h
v
m
2
1
2
2







Torção em Tubos de Paredes Finas
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 t
ds
GA
TL
m
24

Exemplo
▪ Calcule a tensão de cisalhamento máxima de um tubo circular de
paredefina e compare o resultado com a tensão calculada pela
fórmula da torção.
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Exemplo
▪ Um tubo circular e um tubo quadrado são construídos do
mesmo material e submetidos ao mesmo torque. Ambos os
tubos têm o mesmo comprimento, mesma espessura de parede
e mesma área de seção transversal. Quais as razões de suas
tensões de cisalhamento e ângulo de torção. (Despreze a
concentração de tensão nos cantos do tubo quadrado).
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Exemplo 5.15
▪ Um tubo é feito de bronze C86100 (G = 38 GPa) e tem seção
transversal retangular (ver figura). Se for submetido a dois
torques, determine a tensão de cisalhamento média no tubo nos
pontos A e B. Determine também o ângulo de torção da
extremidade C. O tubo é fixo em E.
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Exemplo 5.17
▪ Um tubo fino é composto por três chapas de aço A-36 (G = 75
GPa) de 5 mm de espessura, de tal modo que sua seção
transversal é triangular (ver figura). Determine o torque máximo
T ao qual ele pode ser submetido se a tensão de cisalhamento
admissível for adm = 90 MPa e a torção no tubo estiver restrita a
não mais do que  = 2 x 10-3 rad.
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Exemplo AP1 (24/04/2014)
▪ O eixo de aço de comprimento L = 1,5 m e diâmetro d = 25 mm
está ligado a paredes rígidas em ambas as extremidades. Um
torque distribuído de intensidade t = tA(L – x)/L está atuando no
eixo, onde tA = 200 N·m/m. Determine a tensão máxima de
cisalhamento no eixo.
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Exemplo AP1 SC (14/05/2014)
▪ Um eixo de aço (Gaço = 80 GPa) de comprimento total L = 3,0 m é encamisado em
1/3 de seu comprimento por um tubo de latão (Glatão = 40 GPa) que é firmemente
ligado ao eixo de aço (ver figura). Os diâmetros externos do eixo e do tubo são d1 =
70 mm e d2 = 90 mm, respectivamente. (a) Determine o torque admissível T1 que
pode ser aplicado às extremidades do eixo se o ângulo de torção entre as
extremidades é limitado a 8.0°. (b) Determine o torque admissível T2 se a tensão de
cisalhamento no latão é limitada a 70 MPa. (c) Determine o torque admissível T3 se
a tensão de cisalhamento no aço é limitada a 110 MPa. (d) Qual é o torque máximo
admissível Tmax se todas as três condições anteriores devem ser satisfeitas.
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Exemplo AP1 (11/05/2016)
▪ Um tubo de alumínio (Gal = 28 GPa) tem seção transversal
semicircular e 1,2 m de comprimento. Se a concentração de
tensões é desprezada nos cantos, determine (a) o torque que
causa a máxima tensão de cisalhamento de 40 MPa, e (b) o
ângulo de torção correspondente.
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Exemplo AP1 (15/05/2017)
▪ Um tubo de magnésio (Gmag = 18 GPa) está unido a um eixo de
aço (Gaço = 75 GPa). Se as tensões de cisalhamento admissíveis
para o magnésio e o aço são 45 MPa e 75 MPa, respectivamente,
determine o máximo torque admissível que pode ser aplicado
em A. Encontre também o ângulo de torção correspondente.
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Exemplo AP1 SC (01/06/2017)
▪ Um eixo sólido de aço (Steel na figura – Gaço = 80 GPa) está
firmemente preso ao eixo sólido de bronze (Gbronze = 40 GPa). Se
a seção em B rotaciona 0,05 rad, determine a deformação por
cisalhamento máxima no eixo e o torque aplicado Text.
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