Mecanica dos materiais 181 - 190

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3.53 O eixo composto mostrado consiste em uma jaqueta de latão de 5 mm de 
espessura (Glatão � 39 GPa) unido a um núcleo de aço de 40 mm de diâmetro (Gaço � 
77,2 GPa). Sabendo que o eixo está submetido a um torque de 600 N � m, determine 
(a) a tensão de cisalhamento máxima na jaqueta de latão, (b) a tensão de cisa lhamento 
máxima no núcleo de aço e (c) o ângulo de torção de B relativo a A.
3.54 Para o eixo composto do Problema 3.53, as tensões de cisalhamento 
admissíveis são: para o latão, 20 MPa e para o aço, 45 MPa. Determine (a) o maior 
torque que pode ser aplicado ao eixo composto e (b) o ângulo de torção correspon-
dente de B relativo a A.
3.55 Ao mesmo tempo em que a rotação da extremidade inferior de cada eixo 
é impedida, aplica-se um torque de 50 N � m à extremidade A do eixo AB. Sabendo 
que G � 77,2 GPa para ambos os eixos, determine (a) a tensão de cisalhamento má-
xima no eixo CD e (b) o ângulo de rotação em A.
3.56 Resolva o Problema 3.55 considerando que seja aplicado um torque de 
80 N � m à extremidade C do eixo CD.
3.57 e 3.58 Dois eixos sólidos de aço são ajustados com fl anges que em 
seguida são conectadas por parafusos como mostrado. Os parafusos são ligeiramente 
subdimensionados de modo que permitam uma rotação relativa entre as fl anges de até 
1,5° antes que ambas passem a girar juntas. Sabendo que G � 77,2 GPa, determine 
a máxima tensão de cisalhamento em cada eixo quando um torque T de intensidade 
igual a 474,5 N � m é aplicado na fl ange indicada.
3.57 O torque T é aplicado na fl ange B.
3.58 O torque T é aplicado na fl ange C.
3.59 O tubo de aço CD foi fi xado ao eixo de aço AE de 40 mm de diâmetro 
por meio de fl anges rígidas soldadas ao tubo e à barra. O diâmetro externo do tubo é 
de 80 mm e a espessura da parede é de 4 mm. Se forem aplicados torques de 500 N � m, 
como mostra a fi gura, determine a tensão de cisalhamento máxima no tubo.
2 m
40 mm
5 mm
B
A
Jaqueta de latão
Núcleo de aço
T
T'
15 mm18 mm
240 mm
C
B
D
A r 5 50 mm
r 5 75 mm
38,1 mm
31,75 mm
914,4 mm
609,6 mm
C
B
D
A
T 474,5 N · m
B
C
D
E
A
T
T'
Fig. P3.53 e P3.54
Fig. P3.57 e P3.58
Fig. P3.59
Fig. P3.55
Problemas 183
184 Torção 3.60 O momento de inércia de massa da engrenagem será determinado expe-
rimentalmente utilizando um pêndulo de torção que consiste em um fi o de aço com 
1829 mm de comprimento. Sabendo que G � 77,2 GPa, determine o diâmetro desse 
fi o para o qual a constante de mola torcional será igual a 5,789 N � m�rad.
3.61 Uma placa anular de espessura t e módulo de elasticidade transversal G é 
utilizada para conectar o eixo AB de raio r1 ao tubo CD de raio interno r2. Sabendo que 
é aplicado um torque T à extremidade A do eixo AB e que a extremidade D do tubo CD 
está engastada, (a) determine a intensidade e localização da tensão de cisa lhamento 
máxima na placa anular e (b) mostre que o ângulo pelo qual a extremidade B do eixo 
gira com relação à extremidade C do tubo é
 
fBC
T
4pGt
a 1
r21
1
r22
b
C
t
A
L2
L1
T
B
D
r1
r2
3.62 Uma placa anular de latão (G � 39 GPa), de espessura t � 6 mm, é utili-
zada para conectar o eixo de latão AB, de comprimento L1 � 50 mm e raio r1 � 30 mm, 
ao tubo de latão CD, de comprimento L2 � 125 mm, raio interno r2 � 75 mm e es-
pessura t � 3 mm. Sabendo que é aplicado um torque T de 2,8 kN � m à extremidade 
A do eixo AB e que a extremidade D do tubo CD está engastada, determine (a) a 
tensão de cisalhamento máxima no sistema eixo, placa e tubo, (b) o ângulo de giro da 
extremidade A. (Sugestão: Utilize a fórmula derivada do Problema 3.62 para resolver 
a parte b.)
3.63 Considere dois eixos de mesmo material, mesmo peso e mesmo compri-
mento, um com seção transversal cheia e outro com seção transversal vazada. Cha-
mando de n a relação c1�c2, mostre que a relação Tc�Tv entre o torque Tc na seção 
transversal cheia e o torque Tv no eixo vazado é (a) 211 n22/ 11 n22 se a tensão 
de cisalhamento máxima for a mesma em cada eixo e (b) (1 � n)�(1 � n2) se o ângulo 
de torção for também o mesmo para cada eixo.
Fig. P3.60
Fig. P3.61 e P3.62
3.7. Projeto de eixos de transmissão
As principais especifi cações a serem observadas no projeto de um eixo 
de transmissão são a potência a ser transmitida e a velocidade de rotação do 
eixo. O papel do projetista é selecionar o material e as dimensões da seção 
transversal do eixo, de modo que as tensões de cisalhamento máximas admis-
síveis do material não sejam ultrapassadas quando o eixo estiver transmitindo 
a potência necessária com a velocidade especifi cada.
Para determinarmos o torque aplicado ao eixo, recordamos que no estudo 
da dinâmica ele mentar vimos que a potência P associada à rotação de um 
corpo rígido submetido a um torque T é
 P Tv (3.19)
em que v é a velocidade angular do corpo expressa em radianos por segundo. 
Contudo, v � 2pf, em que f é a frequência da rotação, isto é, o número de 
revoluções por segundo. A unidade de frequência é, então, 1 s�1 e é chamada 
de um hertz (Hz). Substituindo v na Equação (3.19), escrevemos
 P 2p f T (3.20)
Se forem utilizadas unidades SI, verifi camos que, com f expressa em Hz e 
T em N � m, a potência é expressa em N � m�s, ou seja, em watts (W). Da 
Equação (3.20), obtemos o torque aplicado T em um eixo, quando ele trans-
mite uma potência P a uma frequência de rotação f,
 T
P
2p f
 (3.21)
em que P, f e T são expressos nas unidades indicadas acima.
Após determinar o torque T que será aplicado ao eixo e tendo selecionado 
o material a ser utilizado, o projetista usará os valores de T e da tensão máxi-
ma admissível na fórmula da torção elástica (3.9). Resolvendo esta equação 
para J�c, temos
 J
c
T
tmáx
 (3.22)
e obtemos dessa maneira o valor mínimo admissível para o parâmetro J�c. 
Verifi camos que, se forem utilizadas unidades SI, T será expresso em N � m, 
tmáx em Pa (ou N�m2), e J�c será obtido em m3. No caso de um eixo circular 
cheio, J � 12 pc
4 e J�c � 12 pc
3 substituindo esse valor de J�c na Equação 
(3.22) e resolvendo-a para c, obtemos o valor mínimo admissível do raio do 
eixo. No caso de um eixo circular vazado, o parâmetro crítico é J�c2, em que 
c2 é o raio externo do eixo; o valor desse parâmetro pode ser calculado da 
Equação (3.11) da Seção 3.4 para determinar se uma dada seção transversal 
será aceitável.
Quando forem utilizadas unidades inglesas, a frequência geralmente 
será expressa em rpm e a potência, em hp. É necessário então, antes de 
aplicar a fórmula (3.21), converter a frequência em rotações por segundo 
3.7. Projeto de eixos de transmissão 185
186 Torção (isto é, hertz) e a potência em pé � lb�s ou pol � lb�s com o uso das se-
guintes relações:
 1 hp 746 N m/s 746 kN mm /s
1 rpm
1
60
 s 1
1
60
 Hz
Se expressarmos a potência em N � m�s, a Equação (3.21) dará o valor do 
torque T em N � m. Usando esse valor de T na Equação (3.22), e expressando 
tmáx em N�m2, obtemos o valor do parâmetro J�c em m3.
EXEMPLO 3.6
Qual a dimensão do diâmetro do eixo que deverá ser utilizado 
para o rotor de um motor de 5 hp que opera a 3 600 rpm, se a ten-
são de cisalhamento não deve exceder 60 MPa no eixo?
Primeiro expressamos a potência do motor em m � N�s e sua 
frequência em ciclos por segundo (ou hertz).
f 13 600 rpm2 1 Hz
60 rpm
60 Hz 60 s 1
P 15 hp2 a746 N m/s
1 hp
b 3 730 N m/s
O torque aplicado ao eixo é dado pela Equação (3.21):
T
P
2p f
3 730 N m/s
2p 160 s 12 9,89 N m.
Substituindo T e tmáx na Equação (3.22), escrevemos
J
c
T
tmáx
9,89 N m
60 106 N/m2
0,165 10 6 m3
Contudo, J c 12pc
3 para um eixo sólido. Temos, portanto,
 d 2c 9,4 mm
 c 4,7 10 3 m
1
2pc
3 0,165 10 6 m3
Deverá ser utilizado um eixo de 9,4 mm.
EXEMPLO 3.7
Um eixo que consiste em um tubo de aço com 50 mm de diâme-
tro externo deve transmitir 100 kW de potência girando a uma 
frequência de 20 Hz. Determine a espessura do tubo que deverá 
ser utilizado de modo que a tensão de cisalhamento não exceda 
60 MPa.
O torque aplicado ao eixo é dado pelaEquação (3.21):
T
P
2p f
100 103 W
2p 120 Hz2 795,8 N m
Da Equação (3.22) concluímos que o parâmetro J�c2 deve ser 
pelo menos igual a
 
J
c2
T
tmáx
795,8 N m
60 106 N/m2
13,26 10 6 m3 (3.23)
Contudo, da Equação (3.10), temos
 
J
c2
p
2c2
 1c42 c412 p0,050 3 10,02524 c41 4 (3.24)
Igualando os membros da direita das Equações (3.23) e (3.24):
c1 20,6 10
3 m 20,6 mm
c41 390,6 10
9 211,0 10 9 179,6 10 9 m4
10,02524 c41 0,050p 113,26 10 62
A espessura correspondente do tubo é
c2 c1 25 mm 20,6 mm 4,4 mm
Deverá ser utilizado um tubo com espessura de 5 mm.
3.8. Concentração de tensões em eixos circulares
A fórmula da torção tmáx � Tc�J foi deduzida na Seção 3.4 para um eixo 
circular de seção transversal uniforme. Além do mais, consideramos ante-
riormente, na Seção 3.3, que o eixo estava carregado em suas extremidades 
por placas rígidas presas a ele solidamente. No entanto, na prática, os torques 
são geralmente aplicados ao eixo por meio de acoplamentos com fl ange (Fig. 
3.30a) ou de engrenagens conectadas ao eixo por chavetas que se encaixam 
em cortes (Fig. 3.30b). Em ambos os casos espera-se que a distribuição de 
tensões na seção e proximidades, em que os torques são aplicados, seja dife-
rente daquela dada pela fórmula de torção. Por exemplo, ocorrerão altas con-
centrações de tensões nas proximidades do corte da chaveta mostrada na Fig. 
3.30b. A determinação dessas tensões localizadas pode ser feita por métodos 
experimentais de análise de tensão ou, em alguns casos, por meio da teoria 
matemática da elasticidade.
Conforme indicamos na Seção 3.4, a fórmula da torção também pode ser 
utilizada para um eixo de seção transversal variável. No entanto, no caso de 
um eixo com uma mudança abrupta no diâmetro de sua seção transversal, 
as concentrações de tensões ocorrerão próximas da descontinuidade, com as 
mais altas tensões ocorrendo em A (Fig. 3.31). Essas tensões podem ser redu-
(a)
(b)
zidas com o adoçamento do ângulo, e o valor máximo da tensão de cisalha-
mento no adoçamento pode ser expresso como
 tmáx K
Tc
J
 (3.25)
em que a tensão Tc�J é a tensão calculada para o menor diâmetro de eixo, 
e na qual K é o coefi ciente de concentração de tensão. Como o coefi ciente 
K depende somente da relação entre os diâmetros e da relação entre o raio 
do adoçamento e o menor diâmetro, ele pode ser calculado e registrado na 
forma de uma tabela ou gráfi co, como mostra a Fig. 3.32. Devemos notar, 
no entanto, que esse procedimento para determinar tensões de cisalhamen-
to localizadas é válido somente quando o valor de tmáx, dado pela Equação 
(3.25), não exceder o limite de proporcionalidade do material. Isso ocorre 
porque os valores de K representados grafi camente na Fig. 3.32 foram obtidos 
admitindo-se a hipótese de que a relação tensão-deformação no cisalhamento 
é linear. Se ocorrerem deformações plásticas, elas resultarão em valores de 
tensão máxima menores do que aqueles indicados pela Equação (3.25).
A
d
D
Fig. 3.30
Fig. 3.31
Fig. 3.32 Coefi cientes de concentração de 
tensão para adoçamentos em eixos circulares.†
1,8
1,7
1,6
1,5
K
D
r
1,4
1,3
1,2
1,1
1,0
0 0,05 0,10 0,200,15 0,25 0,30
r/d
D
d � 1,111
D
d � 1,25
D
d � 1,666
D
d � 2
D
d � 2,5
d
† PILKEY, W. D. Petersons stress concentration factors. 2. ed. Nova York: John Wiley & Sons, 
1997.
 1873.8. Concentração de tensões em 
eixos circulares
188
PROBLEMA RESOLVIDO 3.6
O eixo de seção variável mostrado deve girar a 900 rpm transmitindo potência de uma 
turbina para um gerador. A classe do aço especifi cado no projeto tem uma tensão de 
cisalhamento admissível de 55 MPa. (a) Para o projeto preliminar mostrado, deter-
mine a potência máxima que pode ser transmitida. (b) Se no projeto fi nal o raio do 
adoçamento for aumentado de modo que r � 24 mm, qual será a variação percentual 
em relação ao projeto preliminar, na potência que pode ser transmitida?
SOLUÇÃO
a. Projeto preliminar. Usando a notação da Fig. 3.32, temos D � 190 mm, 
d � 95 mm, r � 14 mm.
D
d
190 mm
95 mm
2 
r
d
14 mm
95 mm
0,15
Da Fig. 3.32 foi encontrado um coefi ciente de concentração de tensão K � 1,33.
Torque. Usando a Equação (3.25), escrevemos
 tmáx K
Tc
J
 T
J
c
 
tmáx
K
 (1)
em que J�c refere-se ao diâmetro menor do eixo:
J c 12pc
3 1
2p 147,5 10 3 m22 1,68 10 4 m3
e em que 
tmáx
K
55 MPa
1,33
41,4 MPa
Substituindo na Equação (1), encontramos T � (1,68 
 10�4 m3)(4,14 MPa) �
6 955 N � m.
Potência. Como f 1900 rpm2 1 Hz
60 rpm
15 Hz 15 s 1, escrevemos
Pa 878 hp Pa 1655 493 N m/s2 11 hp 746 N m/s2Pa 2p f T 2p115 s
12 16 955 N m2 655 493 N m/s
b. Projeto fi nal. Para r � 24 mm
D
d
2 
r
d
24 mm
95 mm
0,253 K 1,19
Seguindo o procedimento utilizado acima, escrevemos
Pb 1731 552 N m/s2 11 hp 746 N m/s2 981 hpPb 2p f T 2p 115 s
12 17 762 N m2 731 552 N m/s
T
J
c
 
tmáx
K
11,68 10 4 m32 146,2 MPa2 7 762 N m
tmáx
K
55 MPa
1,19
46,2 MPa
Variação percentual na potência
 12% Variação percentual 100 
Pb Pa
Pa
100 
981 878
878
95 mm
r � 14 mm
190 mm
máxt
Km
t 5 5 41,4 MPa
Ta 5 6 955 N · m r 5 14 mm
Tb 5 7 762 N · m r 5 24 mm
máxt
Km
t 5 5 46,2 MPa
PROBLEMAS
3.64 Determine a tensão de cisalhamento máxima em um eixo de seção trans-
versal cheia, de 38 mm de diâmetro, quando ele transmite 75 hp a uma velocidade de 
(a) 750 rpm e (b) 1 500 rpm.
3.65 Determine a tensão de cisalhamento máxima em um eixo de seção trans-
versal cheia, de 12 mm de diâmetro, quando ele transmite 2,5 kW a uma frequência 
de (a) 25 Hz e (b) 50 Hz.
3.66 Utilizando um valor de tensão de cisalhamento admissível igual a 50 
MPa, projete um eixo de seção transversal cheia, feito de aço, para transmitir 15 kW 
à frequência de (a) 30 Hz e (b) 60 Hz.
3.67 Utilizando uma tensão de cisalhamento admissível de 31 MPa, pro-
jete um eixo de seção transversal cheia feito de aço para transmitir 12 hp na 
velocidade de (a) 1 200 rpm e (b) 2 400 rpm.
3.68 Enquanto o eixo vazado de aço rotaciona a 180 rpm, uma medida estro-
boscópica indica que o ângulo de torção é igual a 3°. Sabendo que G � 77,2 GPa, 
determine (a) a potência transmitida e (b) a máxima tensão de cisalhamento no eixo.
3.69 O eixo de seção vazada de aço mostrado (G � 77,2 GPa, tadm � 50 MPa) 
rotaciona a 240 rpm. Determine (a) a maior potência que pode ser transmitida e (b) o 
correspondente ângulo de torção do eixo.
3.70 Um dos dois eixos de acionamento de um navio tem 38,1 m de com-
primento e seção vazada; seus diâmetros, externo e interno, são, respectivamente,
406,4 mm e 203,2 mm. O eixo é feito de um aço para o qual tadm � 58,6 MPa e G � 77,2 GPa. 
Sabendo que a rotação máxima do eixo é de 160 rpm, determine (a) a potência máxi-
ma que pode ser transmitida pelo eixo para a hélice e (b) o ângulo de torção corres-
pondente do eixo.
3.71 Um eixo de aço com seção vazada (G � 77,2 GPa) tem 2 438 mm de 
comprimento e seus diâmetros externo e interno são respectivamente iguais a 63,5 mm e 
31,8 mm. Sabendo que o eixo transmite uma potência de 200 hp enquanto rotaciona a 
1 500 rpm, determine (a) a máxima tensão de cisalhamento e (b) o ângulo de giro do eixo.
5 m
60 mm
25 mm
T
T'
Fig. P3.68 e P3.69
 189
190 Torção 3.72 Um tubo de aço de 72 mm de diâmetro externo deve ser utilizado para 
transmitir um torque de 2 500 N � m sem exceder a tensão de cisalhamento admissí-
vel de 55 MPa. Há disponível para uso uma série de tubos com diâmetro externo de 
72 mm. Sabendo que as espessuras da parede dos tubos disponíveis variam de 4 mm a 
10 mm em incrementos de 2 mm, escolha o tubo mais leve que pode ser utilizado.
3.73 O projeto de um elemento de máquina especifi ca um eixo com diâmetro 
externo de 40 mm para transmitir 45 kW. (a) Se a rotação for de 720 rpm, determine a 
tensão de cisalhamento máxima no eixo a. (b) Se a rotação do eixo pode ser aumenta-
da em 50% passando a 1080 rpm, determine o maior diâmetro interno do eixo b para 
o qual a tensão de cisalhamento máxima será a mesma em cada eixo.3.74 Um eixo de aço de seção transversal cheia de 1,5 m de comprimento e 
22 mm de diâmetro deve transmitir 12 kW. Determine a frequência mínima na qual o 
eixo pode girar, sabendo que G � 77,2 GPa, que a tensão de cisalhamento admissível 
é de 30 MPa e que o ângulo de torção não deve exceder 3,5°.
3.75 Um eixo de aço com seção transversal cheia de 2,5 m de comprimento 
deve transmitir 10 kW a uma frequência de 25 Hz. Determine o diâmetro necessário 
para o eixo, sabendo que G � 77,2 GPa, que a tensão de cisalhamento admissível é de 
30 MPa e que o ângulo de torção não deve exceder 4°.
3.76 Os dois eixos de seção cheia e as engrenagens mostrados são utilizados 
para transmitir 16 hp do motor em A operando a uma rotação de 1 260 rpm, para uma 
máquina-ferramenta em D. Sabendo que a tensão de cisalhamento máxima admissível 
é de 55,2 MPa, determine o diâmetro necessário (a) do eixo AB e (b) do eixo CD.
3.77 Os dois eixos de seção cheia e as engrenagens mostrados são utilizados 
para transmitir 16 hp do motor em A operando a uma rotação de 1 260 rpm, para uma 
máquina-ferramenta em D. Sabendo que cada eixo tem diâmetro de 25 mm, determine 
a tensão de cisalhamento máxima (a) no eixo AB e (b) no eixo CD.
3.78 O sistema eixo-disco-correia mostrado na fi gura é utilizado para trans-
mitir 3 hp do ponto A ao ponto D. (a) Usando um valor de tensão de cisalhamento 
admissível de 65,5 MPa, determine a velocidade necessária para o eixo AB. (b) Resol-
va a parte a considerando que os diâmetros dos eixos AB e CD são, respectivamente, 
19,1 mm e 15,9 mm.
72 mm
t
d240 mm
(a) (b)
C
125 mm
75 mm
D
B
B
C
D
A
19,1 mm
15,9 mm
r 5 114,3 mm
r 5 28,58 mm
Fig. P3.72
Fig. P3.73
Fig. P3.76 e P3.77
Fig. P3.78
3.79 Um eixo de seção transversal cheia feita de aço com 1 524 mm de com-
primento e 22,2 mm de diâmetro deve transmitir 18 hp. Determine a velocidade míni-
ma na qual o eixo pode girar, sabendo que G � 77,2 GPa, que a tensão de cisalhamento 
admissível é de 31 MPa e que o ângulo de torção não deve exceder 3,5°.
3.80 Um eixo de aço de 2,5 m de comprimento e 30 mm de diâmetro gira a 
uma frequência de 30 Hz. Determine a potência máxima que o eixo pode transmitir, 
sabendo que G � 77,2 GPa, que a tensão de cisalhamento admissível é de 50 MPa e 
que o ângulo de torção não deve exceder 7,5°.
3.81 Um eixo de aço deve transmitir 150 kW à velocidade de 360 rpm. Sa-
bendo que G � 77,2 GPa, projete um eixo de seção transversal cheia de modo que a 
tensão máxima não exceda 50 MPa e que o ângulo de torção em um comprimento de 
2,5 m não exceda 3°.
3.82 Um eixo de aço tubular de 1,5 m de comprimento, com diâmetro externo 
d1 de 38 mm e diâmetro interno d2 de 30 mm, deve transmitir 100 kW entre uma tur-
bina e um gerador. Determine a frequência mínima na qual o eixo pode girar, sabendo 
que G � 77,2 GPa, que a tensão de cisalhamento admissível é 60 MPa e que o ângulo 
de torção não deve exceder 3°.
3.83 Um eixo de aço tubular de 1,5 m de comprimento e diâmetro externo 
d1 de 38 mm deve ser feito de um aço para o qual tadm � 65 MPa e G � 77,2 GPa. 
Sabendo que o ângulo de torção não deve exceder 4° quando o eixo é submetido a 
um torque de 600 N � m, determine o maior diâmetro d2 que pode ser especifi cado no 
projeto.
3.84 O eixo de seção variável mostrado gira a 450 rpm. Sabendo que 
r � 5,08 mm, determine a potência máxima que pode ser transmitida sem exceder a 
tensão de cisalhamento admissível de 51,7 MPa.
3.85 O eixo de seção variável da fi gura gira a 450 rpm. Sabendo que r � 
12,7 mm, determine a potência máxima que pode ser transmitida sem exceder a tensão 
de cisalhamento admissível de 51,7 MPa.
3.86 O eixo de seção variável mostrado na fi gura deve rotacionar com uma 
frequência de 50 Hz. Sabendo que o raio do adoçamento é r � 8 mm e que a tensão 
de cisalhamento admissível é de 45 MPa, determine a potência máxima que pode ser 
transmitida.
3.87 Sabendo que o eixo de seção variável mostrado na fi gura deve transmitir 
45 kW na velocidade de 2 100 rpm, determine o raio r mínimo do adoçamento para 
que a tensão de cisalhamento admissível de 50 MPa não seja excedida.
3.88 O eixo de seção variável mostrado na fi gura deve transmitir 45 kW. Sa-
bendo que a tensão de cisalhamento admissível no eixo é de 40 MPa e que o raio do 
adoçamento é r � 6 mm, determine a rotação mínima possível no eixo.
d1 � 38 mm d2
150 mm125 mm
r
T'
T
60 mm
30 mm
Fig. P3.82 e P3.83
Fig. P3.84 e P3.85
Fig. P3.86, P3.87 e P3.88
Problemas 191
192 Torção 3.89 No eixo de seção variável mostrado na fi gura, que tem um adoçamento 
de um quarto de circunferência completa, a tensão de cisalhamento admissível é de 
80 MPa. Sabendo que D � 30 mm, determine o maior torque admissível que pode ser 
aplicado ao eixo se (a) d � 26 mm e (b) d � 24 mm.
3.90 O eixo de seção variável mostrado na fi gura tem um adoçamento de 
um quarto de circunferência completa, D � 31,8 mm e d � 25,4 mm. Sabendo que 
a velocidade do eixo é 2 400 rpm e que a tensão de cisalhamento admissível é de 
51,7 MPa, determine a potência máxima que pode ser transmitida pelo eixo.
3.91 Um torque de intensidade T � 22,6 N � m é aplicado ao eixo de seção 
variável mostrado na fi gura, que tem um adoçamento de um quarto de circunferência 
completa. Sabendo que D � 25,4 mm, determine a tensão de cisalhamento má xima 
no eixo quando (a) d � 20,3 mm e (b) d � 22,9 mm.
*3.9. Deformações plásticas em eixos circulares
Quando deduzimos as Equações (3.10) e (3.16), que defi nem, respectiva-
mente, a distribuição de tensão e o ângulo de torção de um eixo circular sub-
metido a um momento torçor T, consideramos que a lei de Hooke se aplicava 
ao eixo todo. Se a tensão de escoamento for excedida em uma parte do eixo, 
ou se o material envolvido for um material frágil com um gráfi co tensão-
-deformação não linear no cisalhamento, essas relações deixam de ser váli-
das. A fi nalidade dessa seção é desenvolver um método mais geral, que pode 
ser utilizado quando a lei de Hooke não pode ser aplicada, para determinar a 
distribuição de tensões em um eixo de seção circular cheia, e para calcular o 
torque necessário para produzir um ângulo de torção.
Primeiro lembramos que nenhuma relação entre a tensão e a deforma-
ção específi ca foi considerada na Seção 3.3, quando provamos que a defor-
mação de cisalhamento g varia linearmente com a distância r do centro do 
eixo (Fig. 3.33).
r �
D
(D � d)12
d
O adoçamento de um quarto de
circunferência completa estende-se
até a borda do eixo maior.
Assim, podemos ainda usar essa propriedade em nossa análise atual e 
escrever
 g
r
c
 gmáx (3.4)
em que c é o raio do eixo.
O
�
�
c
máx�
Fig. P3.89, P3.90 e P3.91
Fig. 3.33