Integração e função de varias variaveis

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Coleção Lições de Matemática
C Á L C U L O
I N T E G R A L
e
F U N Ç Õ E S D E
V Á R I A S V A R I A V É I S
Christian Q. Pinedo
Milagros Q. Castillo
ii Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
“nas questões matemáticas não se compreende a incer-
teza nem a dúvida, assim como tampouco se podem estabe-
lecer distinções entre verdades médias e verdades de grau
superior.”
D. Hilbert (1862− 1943)
iii
iv Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Título do original
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis
Março de 2012
Direitos exclusivos para língua portuguesa:
UFT - CAMPUS DE PALMAS
Coordenação de Engenharia Civil/Elétrica - UFT
Departamento de Matemática - UDESC
512.8
Pinedo. Christian Quintana, 1954 - Castillo. Milagros Quintana 1983
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis / Christian José
Quintana Pinedo : Universidade Federal do Tocantins. Campus de Pal-
mas, Curso de Engenharia Civil/Elétrica, 2009. Milagros Q. Castillo:
Universidade do Estado de Santa Catarina - UDESC 211
390 p. il. 297mm
I. Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis. Christian Q. Pinedo.
II. Série. III. Título
CDD 512.8 ed. CDU
SUMÁRIO
PREFÁCIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
1 ANTIDERIVADAS 1
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Propriedades da integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 Integral imediata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Fórmulas elementares de integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Exercícios 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3 Métodos de integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1 Integração por substituição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Exercícios 1-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3.2 Método de integração por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Exercícios 1-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.3.3 Integração de funções trigonométricas e hiperbólicas . . . . . . . . . 41
1.3.4 Integração por substituição trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . 49
Exercícios 1-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.3.5 Integração de funções racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Exercícios 1-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.3.6 Integração de funções racionais trigonométricas . . . . . . . . . . . 75
1.3.7 Integração de funções irracionais elementares . . . . . . . . . . . . . 78
Exercícios 1-6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
1.4 Outros métodos de integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
1.4.1 Integrais do tipo:
∫
Pn(x)√
px2 + qx+ r
dx (1o de Ostrogradski) . . . . 90
1.4.2 Integrais do tipo:
∫
P (x)
Q(x)
dx (2o de Ostrogradski) . . . . . . . . . 91
1.4.3 Integração de diferenças binômias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
1.4.4 Integrais do tipo:
∫
P (x) exdx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1.4.5 Integrais dos tipos:
∫
P (x)sen bx dx e
∫
P (x) cos bx dx . . . . . . 93
v
vi Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Exercícios 1-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Miscelânea 1-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2 INTEGRAL DEFINIDA 101
2.1 Somatórios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Exercícios 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.2 Cálculo da área de uma região plana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.2.1 Partição de um intervalo fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.2.2 Aproximação da área de uma região por áreas de retângulos . . . . 109
Exercícios 2-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.3 Significado geométrico das somas: Inferior e superior . . . . . . . . . . . . 119
2.3.1 Propriedades das somas: Inferior e superior . . . . . . . . . . . . . . 119
2.4 Integrais: Inferior e superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
2.4.1 Propriedades da integral: Inferior e superior . . . . . . . . . . . . . 121
2.5 Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.5.1 Propriedades da integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.5.2 Teorema do Valor Médio para integrais . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.5.3 Teorema fundamental do cálculo integral . . . . . . . . . . . . . . . 126
Exercícios 2-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.6 Mudança de variável em uma integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . 137
2.7 Integração por partes em uma integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2.8 Integração de funções descontínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
Exercícios 2-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
2.9 Integrais impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
2.9.1 Integrais impróprias com limites infinitos. . . . . . . . . . . . . . . 153
2.9.2 Integrais impróprias com limites finitos . . . . . . . . . . . . . . . . 156
2.10 Critérios de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Exercícios 2-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Miscelânea 2-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA 173
3.1 Aplicações geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
3.1.1 Área de regiões planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
3.1.2 Comprimento de arco de uma curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Exercícios 3-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.1.3 Área de superfície de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Exercícios 3-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3.1.4 Volume de um corpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
Exercícios 3-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis vii
3.2 Aplicações à mecânica e física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
3.2.1 Momentos e centro de massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
Exercícios 3-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
3.2.2 Outras aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
3.2.3 Problemas na Física . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
Exercícios 3-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
Miscelânea 3-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
4 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 235
4.1 O espaço tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
4.1.1 Vetores no espaço tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
4.2 O espaço n-dimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
4.3 Superfícies quadráticas . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
4.3.1 Elipsóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
4.3.2 Parabolóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
4.3.3 Hiperbolóide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
4.3.4 O cone elíptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
4.3.5 Cilindros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
4.4 Superfícies de revolução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
4.5 Pares de planos e superfícies imaginárias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
4.5.1 Geometria das funções com valores reais . . . . . . . . . . . . . . . 251
Exercícios 4-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
4.6 Funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
4.6.1 Gráfico de funções de várias variáveis . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
4.6.2 Operações com funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
4.6.3 Conjuntos de nível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
4.7 Conjunto aberto. Conjunto fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
4.7.1 Ponto de acumulação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
Exercícios 4-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
4.8 Limite de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
4.8.1 Propriedades dos limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
4.8.2 Limites reiterados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
4.9 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
4.9.1 Teorema de continuidade da função composta . . . . . . . . . . . . 274
Exercícios 4-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
5 DERIVADAS 281
5.1 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
5.1.1 Incremento da função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
viii Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
5.1.2 A técnica de derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
5.2 Funções homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
5.2.1 Propriedades das funções homogêneas . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
5.3 Matriz jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
Exercícios 5-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
5.4 Interpretação geométrica da derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
5.4.1 Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
5.5 Derivadas parciais de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
5.6 Derivadas parciais como taxa de variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
Exercícios 5-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
5.7 Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
5.8 Diferenciabilidade, linearização e plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . 305
5.9 Diferencial total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
5.10 Diferenciabilidade e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
Exercícios 5-3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
5.11 Diferencial exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
5.12 Derivada de funções compostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
5.13 Derivada de uma função implícita de duas ou mais variáveis . . . . . . . . 323
5.13.1 Derivada da função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325
Exercícios 5-4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
5.14 Derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
5.14.1 Propriedades da derivada direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
5.14.2 Máximo da Derivada Direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
5.15 Gradiente de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
5.15.1 O Gradiente como vetor de incremento rápido . . . . . . . . . . . . 334
5.16 Plano tangente e reta normal a uma superfície . . . . . . . . . . . . . . . . 336
Exercícios 5-5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
Miscelânea 5-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
6 Aplicações das derivadas parciais 345
6.1 Máximos e Mínimos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346
6.1.1 Máximos e mínimos sobre conjunto compacto. . . . . . . . . . . . . 352
Exercícios 6-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
6.2 Multiplicadores de Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
6.2.1 Para funções de duas variáveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
6.2.2 Para funções de várias variáveis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
Exercícios 6-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
Miscelânea 6-1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis ix
Índice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
x Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
PREFÁCIO
Estas notas de aula de Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis é a continuação
e abordagem de conceitos e teorias novas, tais como “Integração em R” e o “Cálculo dife-
rencial com funções de várias variáveis” com aplicações aos diferentes ramos das ciências
úteis no estudo das equações diferenciais.
Esta obra é continuação do estudo do “Cálculo Diferencial em R” disciplina básica para
cursos de Engenharia, Matemática, Física, Química entre outros, este volume representa
o esforço de sínteses na seleção de um conjunto de problemas e temas que, com frequência
se apresenta quando um estudante continua com o estudo do cálculo diferencial. Estas
notas estão divididas em seis capítulos.
No primeiro capítulo, apresenta-se os métodos para o cálculo de integrais, faz-se uma
abordagem prática com grande variedade de exemplos e técnicas para a solução das mes-
mas.
No segundo capítulo, apresenta-se os conceitos de integral definida no estilo da “Inte-
gral de Riemann”, inicia-se os estudos com os conceito de somatório como interpretação
geométrica da integral.
O terceiro capítulo, está reservado para múltiplas aplicações em diferentes ramos do
conhecimento científico.
No quarto capítulo se apresenta o estudo das funções de várias variáveis, incluindo uma
pincelada ao estudo das quádricas, este capítulo termina com o estudo dos limites, conti-
xi
xii Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
nuidade e derivadas de funções. O penúltimo capítulo estuda as derivadas e diferenciais
com funções de várias variáveis.
O último capítulo está destinado à aplicação do cálculo diferencial, na procura de
pontos de extremo para funções de várias variáveis.
O objetivo deste trabalho é orientar a metodologia para que o leitor possa identificar e
construir um modelo matemático e logo resolvê-lo. A esta obra acompanha “Suplementos
II” (em edição) aqui se apresenta a solução integral de todos os exercíciospropostos nesta
obra.
Cada capítulo se inicia com os objetivos que se pretende alcançar, os exercícios apre-
sentados em quantidade suficiente, estão classificados de menor a maior dificuldade.
A variedade dos problemas e exercícios propostos pretende transmitir a experiência
dos autores com atuação profissional em diversas instituições do Brasil e do exterior.
Ficamos profundamente gratos pela acolhida desde trabalho e pelas contribuições e
sugestões dos leitores, as respostas ou indicações para a solução dos exercícios propostos
podem ser obtidos no endereço christianjqp@yahoo.com.br.
Christian Quintana Pinedo.
Brasil, março de 2012
“A Matemática é a honra do espírito humano”
Leibnitz
Capítulo 1
ANTIDERIVADAS
Riemann
Georg Friedrich Bernhard Riemann nasceu em Brese-
lenz, Hanover (Alemanha) em 17 de setembro de 1826 e morreu
em Selasca (Itália) em 20 de Julho de 1866.
Em 1840 entrou diretamente na terceira classe ao Lyceum em
Hannover. Trabalhou duro nos assuntos clássicos como o hebreu
e teologia. Riemann mostrou interesse particular pela matemá-
tica e o diretor do Ginásio permitiu Bernhard estudar textos de
matemática em sua biblioteca particular.
Em 1846 Riemann se matriculou na Universidade de Göt-
tingen para estudar teologia. Porém assistiu a algumas aulas de
matemática.
Riemann mudou-se de Göttingen para Universidade de Ber-
lin pela primavera de 1847 para estudar trabalhos de Jakob Stei-
ner, Carl G. Jacobi, Johann P. Dirichlet e Gotthold M. Eisenstein.
Em 1849 defendeu em Göttingen sua tese de doutorado supervisionada por Gauss. Nesta tese
estudou a teoria de variáveis complexas e, em particular, o que agora chamamos superfícies de
Riemann. Introduziu métodos de topologia em teoria de função complexa. O trabalho constrói
nas bases de Cauchy a teoria de variáveis complexas construídas durante muitos anos e também
nas idéias de Puiseux de pontos fixos. A tese de Riemann é notavelmente um trabalho original
que examinou propriedades geométricas das funções analíticas, além disso é um dos trabalhos
mais notáveis e originais a aparecer em uma tese doutoral. Foi examinado em 16 de dezembro
de 1851.
Recomendado por de Gauss, Riemann foi designado a um posto em Göttingen. Nomeado pro-
fessor nesta Universidade em 1854 apresentou um trabalho perante o corpo docente e que resultou
na mais célebre conferência da história da Matemática. Nele estava uma ampla e profunda visão
da Geometria e seus fundamentos que até então permanecia desconhecidos.
Riemann conseguiu muitos teoremas em Teoria dos Números, relacionando-os com Análise,
onde encontramos também a equação de Cauchy-Riemann que é uma concepção intuitiva e geo-
métrica da Análise, em contraste com a aritmetização de Weierstrass. Um de seus brilhantes
resultados foi perceber que a integral exigia uma definição mais cuidadosa do que a de Cauchy.
Em 1859, Riemann foi nomeado sucessor de Dirichlet na cadeira de Göttingen já ocupada
por Euler. Com seu estado de saúde sempre precário, acabou por morrer de tuberculose.
1
2 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
1.1 Introdução
Todo cálculo de uma derivada proporciona, devido ao segundo teorema fundamental do
cálculo infinitesimal [10], uma fórmula para integrais. Por exemplo, se f(x) = x(Lnx−1),
então f ′(x) = Lnx.
O conceito intuitivo de integrar corresponde a os seguintes significados:
• Dada uma função y = f(x) definida num intervalo A ⊆ R, determinar uma função
F (x) de modo que a derivada de F (x) seja a função f(x); isto é F ′(x) = f(x) ∀x ∈
A.
• Dada uma função y = f(x) definida num intervalo A ⊆ R, calcular o limite das
somas de determinado tipo, construídas para f(x) no intervalo A.
A operação em qualquer dos casos chama-se “integração”. No sentido matemático o
segundo caso é amplamente ilustrado para o cálculo de áreas limitadas por curvas, volume
do sólidos, comprimento de curva, trabalho de uma força e outras múltiplas aplicações.
Os dois tipos de integração são conhecidas como “integral indefinida” e “integral definida”
respectivamente.
1.2 Integral indefinida
Definição 1.1. Funções elementares.
São chamadas de “funções elementares” as três funções seguintes:
(1) y = x (2) y = ax, a > 0 (3) y = sen x
Elas se dizem elementares porque grande número de funções podem se expressar como
suas combinações, mediante as operações simples da aritmética ou da inversão (função
inversa!).
Exemplo 1.1.
1. A função y = xm provêem de (1), pois pode considerar-se como o produto de funções
do tipo (1). Um polinômio inteiro em x é uma combinação linear de funções do
tipo (1).
2. A função y = cosx provêem de (1) e (3), pois temos que cos x = sen (
pi
2
− x), e o
cosseno será o seno de certo polinômio em x
3. Por inversão, (2) e (3) dão ainda as funções da qual provêem novas funções como:
y = loga x, y = arctanx, y = arcsen
x√
1 + x2
, . . . etc.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 3
Definição 1.2.
Sejam f : A ⊆ R −→ R uma função. A função F : A −→ R tal que F ′(x) =
f(x) ∀ x ∈ A é chamada “Primitiva” ou “Antiderivada de f(x) em A” e escreve-se
F (x) = Ant(f(x)) em A.
Exemplo 1.2.
Se f(x) = 7x6 + 8 , então a função F (x) = x7 + 8x é uma antiderivada de f(x); isto
é F (x) = Ant(7x6 + 8).
Observe que outras antiderivadas para f(x) são: x7 + 8x + 3; x7 + 8x − 6; x7 +
8x− 8, . . . etc.
Observação 1.1.
• Se F (x) = Ant(f(x)) num intervalo A ⊆ R, então F (x)+C, onde C é uma constante
real é também antiderivada de f(x) em A. Logo a função f(x) tem um conjunto
infinito de primitivas [4]. Logicamente, uma função contínua f(x) sempre tem uma
primitiva.
• Em geral, não existe um método para o cálculo de primitivas das “funções elemen-
tares” ou das combinações destas. É incluso fácil formar funções cujas primitivas
não sejam expressas mediante “funções elementares‘ ”.
• Em geral não é possível achar primitivas elementares; por exemplo, não existe al-
guma função elementar F (x) de modo que F ′(x) = e−x2 para todo x.
A preocupação por funções elementares está justificado pelo seguinte:
a) A integração é um tema clássico do cálculo infinitesimal.
b) Pode acontecer que seja necessário calcular uma integral, em condições em que não
seja possível consultar tabelas de integração.
c) Os métodos mais úteis de integração são na verdade teoremas importantes (aplicáveis
a todas as funções, não somente as elementares).
Propriedade 1.1.
Considera as funções f : A −→ R e F : A −→ R, onde A ⊆ R e F (x) uma
antiderivada de f(x). Se F1 : A −→ R é também uma antiderivada de f(x), então
F1(x) = F (x) + C para alguma constante C
Demonstração.
Seja H(x) = F1(x) − F (x); derivando esta função temos: H ′(x) = F ′1(x) − F ′(x) =
f(x)− f(x) = 0; então H ′(x) = 0 logo H(x) = C.
Portanto F1(x) = F (x) + C.
4 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Definição 1.3.
Se F (x) é antiderivada de f(x) em A ⊆ R, a integral indefinida de f(x) é o conjunto
das antiderivadas de f(x) no intervalo A, denotado por
∫
f(x)dx ; isto é:
∫
f(x)dx = F (x) + C
onde C é uma constante que assume qualquer valor, o número C é chamado constante de
integração.
No que segue, escreveremos
∫
f(x)dx = F (x) + C, onde F ′(x) = f(x), a expressão
f(x) chama-se “integrando”, f(x)dx é chamado “elemento de integração” , o símbolo
a∫
b
denomina-se ”símbolo de integração no intervalo [a, b]”; a notação
a∫
b
f(x)dx é chamada
“integral definida no intervalo [a, b]”. A expressão
∫
f(x)dx lê-se “integral indefinida de
f(x) diferencial da variável x".
Propriedade 1.2.
Da Definição (1.3) deduz-se as seguintes propriedades:
a)
d
dx
(
∫
f(x)dx) = (
∫
f(x)dx)′ = (F (x) + C)′ = F ′(x) = f(x). Isto é, a derivada da
integral indefinida é igual ao integrando ou:
d
dx
(
∫
f(x)dx) = f(x).
b) d(
∫
f(x)dx) =
d
dx
(
∫
f(x)dx)dx = f(x)dx. Istoé, o diferencial da integral indefi-
nida, é igual ao elemento de integração ou: d(
∫
f(x)dx) = f(x)dx
c) Se f(x) é uma função derivável no intervalo A, então uma primitiva de f ′(x) é f(x)
e:
∫
f ′(x)dx = f(x) + C.
d) Sendo d(f(x)) = f ′(x)dx, do item c) deduz-se que:
∫
d(f(x))dx = f(x) + C
e)
∫
a.f(x)dx = a
∫
f(x)dx onde a é uma constante.
f) Se
∫
f(x)dx = F (x) + C e u = g(x), então
∫
f(u)du = F (u) + C.
De b) e d), a integral indefinida pode ser interpretada como uma operação inversa da
diferenciação.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 5
Exemplo 1.3.
i)
∫
e5xdx =
1
5
e5x + C ii)
∫
6x5dx = x6 + C
Exemplo 1.4.
Como d(x.Lnx−x) = Lnx.dx, então da Propriedade (1.2)-d) temos que
∫
d(x.Lnx−
x)dx =
∫
Lnx.dx = x.Lnx− x+ C.
Exemplo 1.5.∫
dx
9 + x2
=
1
3
arctan(
x
3
) + C , lembre que
d
dx
(arctan t) =
1
1 + t2
1.2.1 Propriedades da integral indefinida
Propriedade 1.3.
Se f(x) e g(x) são funções que admitem antiderivadas no intervalo A, e k é uma
constante real arbitrária, então:
i)
∫
[f(x)± g(x)]dx =
∫
f(x)dx±
∫
g(x)dx
ii)
∫
k.f(x)dx = k.
∫
f(x)dx
Demonstração. (i)
Pela Propriedade (1.2)-b) temos que:
d
dx
(
∫
[f(x)± g(x)]dx) = f(x)± g(x) (1.1)
Por outro lado, pela Propriedade (1.2)-b) como
d
dx
(
∫
f(x)dx) = f(x) e
d
dx
(
∫
g(x)dx =
g(x), somando (ou subtraindo) estas igualdades temos
d
dx
(
∫
f(x)dx)± d
dx
(
∫
g(x)dx) = f(x)± g(x)
Portanto, desta última igualdade e, de (1.1) segue que:
∫
[f(x)±g(x)]dx =
∫
f(x)dx±∫
g(x)dx �
Demonstração. (ii)
Exercício para o leitor.
6 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Exemplo 1.6.
Observe,
∫
[e5x − 6x5 + Lnx]dx =
∫
e5xdx−
∫
6x5dx+
∫
Lnx.dx =
=
1
5
e5x − x6 + x.Lnx− x+ C.
Logo, I =
∫
[e5x − 6x5 + Lnx]dx = 1
5
e5x − x6 + x.Lnx− x+ C.
1.2.2 Integral imediata
Se conhecemos f ′(x), pela Propriedade (1.2)-c) deduzimos
∫
f ′(x)dx = f(x) + C ou∫
d(f(x))dx = f(x) + C.
Estas integrais assim obtidas denominam-se “integral imediata”; por exemplo
∫
dx =
x+ C.
A continuação apresenta-se uma tabela de integrais imediatas, que contém além das
integrais de funções elementares outras que serão de muita utilidade. Por comodidade,
utilizamos ao invés da variável x a letra u que pode ser uma função da forma u = f(x).
1.2.3 Fórmulas elementares de integração
Considere-se o número real a > 0, e n ∈ Z
1.
∫
du = u+ C 2.
∫
du
u
= Ln | u | +C
3.
∫
undu =
un+1
n+ 1
+ C n 6= 1 4.
∫
eudu = eu + C
5.
∫
audu =
au
Lna
+ C 6.
∫
sen u.du = − cosu+ C
7.
∫
cosu.du = sen u+ C 8.
∫
cotu.du = Ln | sen u | +C
9.
∫
tanu.du = Ln | secu | +C 10.
∫
secudu = Ln | secu+ tanu | +C
11.
∫
cscu.du = Ln | cscu− cotu | +C 12.
∫
sec2 u.du = tanu+ C
13.
∫
csc2 u.du = − cotu+ C 14.
∫
secu tanu.du = sec u+ C
15.
∫
cscu cotu = − cscu+ C 16.
∫
senhu.du = coshu+ C
17.
∫
coshu.du = senhu+ C 18.
∫
tanhu.du = Ln | coshu | +C
19.
∫
sech2u.du = tanh u+ C 20.
∫
cosh2 u.du = − cothu+ C
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 7
21.
∫
sechu tanhu.du = −sechu+ C 22.
∫
cschu cothu.du = −cschu+ C
23.
∫
du
u2 + a2
=
1
a
arctan(
u
a
) + C 24.
∫
du
u2 − a2 =
1
2a
Ln | u− a
u+ a
| +C
25.
∫
du
a2 − u2 =
1
2a
Ln
∣∣∣∣u+ au− a
∣∣∣∣+ C 26. ∫ du√a2 − u2 = arcsen(ua ) + C
27.
∫
du√
u2 ± a2 = Ln(u+
√
u2 ± a2) +C 28.
∫
du
(u2 + a2)3/2
=
u
a2
√
u2 + a2
+ C
29.
∫
du
u2
√
u2 + a2
= −
√
u2 + a2
a2u
30.
∫
du
u
√
u2 − a2 = (
1
a
)arcsec
| u |
a
+ C
31.
∫
sen 2u.du =
1
2
[u− 1
2
sen 2u] + C 32.
∫
du
uLnu
= Ln(Lnu) + C
33.
∫
tan2 u.du = tan u− u+ C 34.
∫
cot2 u.du = − cotu− u+ C
35.
∫
sen 3u.du =
1
3
(2 + sen 2u) cos u+ C
36.
∫
unsen u.du = −un cosu+ n
∫
un−1 cosu.du
37.
∫
tan3 u.du =
1
2
tan2 u+ Ln | cosu | +C
38.
∫
cot3 u.du =
1
2
cot2 u− Ln | sen u | +C
39.
∫
tann u.du =
1
n− 1 tan
n−1 u−
∫
tann−2 udu
40.
∫
unLnu.du =
un+1
(n+ 1)2
[(n+ 1)Lnu− 1] + C
41.
∫
uneaudu =
1
a
uneau − n
a
∫
un−1eaudu
42.
∫
eausen bu.du =
eau
a2 + b2
(asen bu− b. cos bu) + C
43.
∫
du
u
√
u2 + a2
= −1
a
Ln
[√
u2 + a2 + a
u
]
+ C =
1
a
Ln
[
u√
u2 + a2 − a
]
+ C
44.
∫ √
a2 − u2 · du = 1
2
[u
√
a2 − u2 + a2arcsen(u
a
)] + C
45.
∫ √
u2 + a2 · du = 1
2
[u
√
u2 + a2 + a2Ln(u+
√
u2 + a2)] + C
46.
∫ √
u2 − a2 · du = 1
2
[u
√
u2 − a2 − a2Ln(u+
√
u2 + a2)] + C
47.
∫
u2
√
u2 + a2 · du = 1
8
[u(a2 + 2u2)
√
u2 + a2 − a2Ln(u+
√
u2 + a2)] + C
48.
∫
u
√
a+ bu · du = 2
15b2
[(3bu− 2a)
√
(a+ bu)3] + C
49.
∫
u√
a+ bu
· du = 2
3b2
(bu− 2a)√a+ bu+ C
50.
∫ √
a+ bu
u
· du = 2√a+ bu+ a
∫
du
u
√
a+ bu
+ C
51.
∫
sen nu · du = − 1
n
sen n−1 cosu+
n− 1
n
∫
senn−2u.du
8 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
52.
∫
cosn u · du = 1
n
cosn−1 usen u+
n− 1
n
∫
cosn−2 u.du
53.
∫
secn u.du =
1
n− 1 tanu sec
n−2 u+
n− 2
n− 1
∫
secn−2 u.du
54.
∫
cscn u.du =
−1
n− 1 cotu csc
n−2 u+
n− 2
n− 1
∫
cscn−2 u.du
55.
∫
sen (au)sen (bu) · du = sen (a− b)u
2(a− b) −
sen (a+ b)u
2(a+ b)
+ C
56.
∫
cos(au) cos(bu) · du = sen (a+ b)u
2(a+ b)
− sen (a− b)u
2(a− b) + C
57.
∫
sen (au) cos(bu) · du = −cos(a− b)u
2(a− b) −
cos(a+ b)u
2(a+ b)
+ C
Cada uma das fórmulas podem-se verificar mediante a derivação respeito da variável
u. Por exemplo observe, no caso da fórmula (25), temos quando a > 0:
d
dx
(
1
2a
Ln | u+ a
u− a |) =
1
2a
[
d
du
(Ln | u+ a | − | u− a |)] = 1
2a
[
1
u+ a
− 1
u− a ] =
1
u2 − a2
Portanto,
∫
du
a2 − u2 =
1
2a
Ln | u+ a
u− a | +C.
Exemplo 1.7.
Calcular I =
∫
(8x7 − 3x2 + 5)dx
Solução.
Aplicando a fórmula (3).
I =
∫
(8x7 − 3x2 + 5)dx =
∫
8x7dx−
∫
3x2dx+
∫
5dx = x8 − x3 + 5x+ C
Exemplo 1.8.
Calcular I =
∫
2(
√
x+
√
x3)
x
dx
Solução.
Aplicando a fórmula (3), temos: I =
∫
2(
√
x+
√
x3)
x
dx =
I = 2
∫
(x−1/2 + x−2/3)dx = 2
∫
x−1/2dx+ 2
∫
x−2/3dx = 4
√
x+ 6 3
√
x+ C
Exemplo 1.9.
Calcular I =
∫
x2
(a+ bx3)2
dx
Solução.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 9
Observe, I =
∫
x2
(a+ bx3)2
dx =
∫
(a + bx3)−2x2dx, multiplicando e dividindo por
3b, temos I =
1
3b
∫
(a+ bx3)−2(3bx2)dx.
Considere u = (a+bx3) então o diferencial du = 3bx2dx; aplicando a fórmula (3) segue
I =
1
3b
∫
(a+ bx3)−2(3bx2)dx =
1
3b
∫
u−2du = − 1
3b
u−1 = − 1
3b
(a+ bx3)−1 + C
Portanto, I =
∫
x2
(a+ bx3)2
dx = − 1
3b
(a+ bx3)−1 + C.
Exemplo 1.10.
Calcular I =
∫
dx
senh2x. cosh2 x
Solução.
Pela identidade conhecida para funções hiperbólicas cosh2 x− senh2x = 1, então:
1
senh2x. cosh2 x
=
cosh2 x− senh2x
senh2x. cosh2 x
= csch2x− sech2x
pelas fórmulas (19) e (20) resulta I =
∫
dx
senh2x. cosh2 x
=
∫
(csch2x − sech2x)dx =
− cothx− tanhx+ C.
Portanto, I =
∫
dx
senh2x. cosh2 x
= − cothx− tanh x+ C.
Exemplo 1.11.
Calcular I =
∫
(3 + 2ex)2
ex
dx
Solução.
Resolvendo o quadrado: I =
∫
(3 + 2ex)2
ex
dx =
∫
9 + 12ex + 4e2x
ex
dx =
I = 9
∫
e−xdx+ 12
∫
dx+ 4
∫
exdx = −9e−x + 12x+ 4ex + C
Exemplo 1.12.
Calcular I =
∫
ax(
b
2
)xdx.
Solução.
I =
∫
ax(
b
2
)xdx =
∫
(
ab
2
)xdx =
(ab
2
)x
Ln(ab
2
)
= (
ab
2
)x[Ln(a) + Ln(b)−Ln2]−1 + C
Portanto, I =
∫
ax(
b
2
)xdx = (
ab
2
)x[Ln(a) + Ln(b)− Ln2]−1 + C.
10 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Exemplo 1.13.
Calcular I =
∫
Lnx
x
dx
Solução.
Suponhamos que u(x) = Lnx, então du(x) =
1
x
· dx; assim podemos obter a integral
original
I =
∫
Lnx
x
dx =
∫
u.du =
1
2
(Lnx)2 + C
Exemplo 1.14.
Calcular I =
∫
dx
1 + e2x
.
Solução.
I =
∫
dx
1 + e2x
=
∫
e−2xdx
e−2x(1 + e2x)
=
∫
e−xdx
e−2x + 1
Suponha u(x) = e−2x + 1, então o diferencial du = −2e−2xdx; logo nossa integral.
I =
∫
e−xdx
e−2x + 1
= −1
2
∫
du
u
= −1
2
Ln(u(x)) + C = −1
2
Ln(e−2x + 1) + C
Exemplo 1.15.
Calcular I =
∫ √
cos x
sen5x
dx
Solução.
I =
∫ √
cos x
sen5x
dx =
∫ √
cosx
senx
· 1
sen4x
dx =
∫ √
cotx · csc4xdx =
∫ √
cotx · csc2x ·
dx
Supondo v(x) = cot x temos que, dv = −csc2x.dx.
Logo, I =
∫ √
cos x
sen5x
dx = −
∫ √
v · dv = −2
3
√
v3 + C = −2
3
√
cot3 x+ C.
Exemplo 1.16.
Calcular I =
∫
2x− 1
2x+ 3
dx
Solução.
A integral I =
∫
2x− 1
2x+ 3
dx =
∫
[1− 4
2x+ 3
]dx =
∫
dx− 2
∫
dx
x+ 3
2
=
I = x− 2Ln(2x+ 3)− 2Ln(2) = x− 2Ln(2x+ 3) + C
Exemplo 1.17.
Determine o valor da integral I =
∫
2x32x53xdx
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 11
Solução.
I =
∫
2x32x53xdx =
∫
(2 · 32 · 53)x · dx =
∫
2250x · dx = 2250
x
Ln2250
+ C
Portanto, I =
∫
2x32x53xdx =
2250x
Ln2250
+ C.
Exemplo 1.18.
Calcular I =
∫
x+ 2√
x
dx
Solução.
I =
∫
x+ 2√
x
dx =
∫
x√
x
dx+ 2
∫
dx√
x
=
∫ √
xdx+ 2
∫
x−1/2dx =
x3/2
3/2
+ 2
x1/2
1/2
=
2
3
√
x3 + 4
√
x+ C
Portanto, I =
∫
x+ 2√
x
dx =
2
3
√
x3 + 4
√
x+ C.
Exemplo 1.19.
Calcular I =
∫
sen (3x− 1) cos(2x+ 2)dx
Solução.
Lembre que, sen (A). cos(B) =
1
2
[sen (A+B) + sen (A−B)].
Sejam A = 3x− 1, B = 2x+ 2; então, A+B = 5x+ 1 e A−B = x− 3, logo
I =
∫
sen (3x− 1) cos(2x+ 2)dx = 1
2
∫
[sen (5x+ 1) + sen (x− 3)]dx =
=
1
2
∫
sen (5x+ 1)dx+
1
2
∫
sen (x− 3)dx
Suponhamos que u = 5x + 1, então du = 5dx ou
1
5
du = dx, de modo análogo,
suponhamos que v = x− 3 , então dv = dx assim:
I =
1
2
∫
sen (5x + 1)dx +
1
2
∫
sen (x − 3)dx = 1
10
∫
sen u · du + 1
2
∫
sen v · dv =
− 1
10
cosu− 1
2
cos v = − 1
10
cos(5x+ 1)− 1
2
cos(x− 3) + C.
Portanto, I =
∫
sen (3x− 1) cos(2x+ 2)dx = − 1
10
cos(5x+ 1)− 1
2
cos(x− 3) + C.
Exemplo 1.20.
Calcular I =
∫
1
1 + cos2 x
dx
Solução.
12 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Observe que
1
1 + cos2 x
=
1
1 + 1
sec2 x
=
sec2 x
sec2 x+ 1
=
sec2 x
tan2 x+ 2
=
sec2 x
tan2 x+ (
√
2)2
.
Aplicando a fórmula (23) temos que:
I =
∫
1
1 + cos2 x
dx =
∫
sec2 x
tan2 x+ (
√
2)2
dx =
1√
2
arctan[
tanx√
2
] + C
Exemplo 1.21.
Calcular I =
∫
dx
x4 − 16 .
Solução.
I =
∫
dx
x4 − 16 =
1
8
∫
[
1
x2 − 4 −
1
x2 + 4
]dx
Da fórmula (24) temos que I =
∫
dx
x2 − 4 =
∫
dx
x2 − 22 =
1
4
Ln | x− 2
x+ 2
|; e pela
fórmula (23) temos que,
∫
1
x2 + 4
dx =
∫
dx
x2 + 22
=
1
2
arctan
x
2
. Assim,
I =
∫
dx
x4 − 16 =
1
8
∫
[
1
x2 − 4 −
1
x2 + 4
]dx =
1
8
[
1
4
Ln | x− 2
x+ 2
| −1
2
arctan
x
2
]
Portanto, I =
∫
dx
x4 − 16 ==
1
32
[Ln | x− 2
x+ 2
| −2 arctan x
2
] + C.
Exemplo 1.22.
Calcular I =
∫
x2 + 13√
x2 + 9
dx
Solução.
I =
∫
x2 + 13√
x2 + 9
dx =
∫
x2 + 9 + 4√
x2 + 9
dx =
∫
[
√
x2 + 9 +
4√
x2 + 9
]dx.
Da fórmula (45) temos que a integral∫ √
x2 + 9dx =
∫ √
x2 + 32dx =
1
2
[x
√
x2 + 33 + 32Ln(x+
√
x2 + 32]
e, pela fórmula (27) temos que, a integral∫
4 · dx√
x2 + 9
= 4
∫
dx√
x2 + 32
= 4Ln(x+
√
x2 + 32) + C
Logo, I =
∫
x2 + 13√
x2 + 9
dx =
1
2
[x
√
x2 + 33+32Ln(x+
√
x2 + 32]+4Ln(x+
√
x2 + 32+C.
Portanto I =
∫
x2 + 13√
x2 + 9
dx =
1
2
[x
√
x2 + 9 + 17Ln(x+
√
x2 + 9)] + C.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 13
Exemplo 1.23.
Seja f : R −→ R uma função contínua em R, de modo que f(0) = 2 e sua função
derivada é representada por:
f ′(x) =

x
| x | , se x < 1 e x 6= 0
ex, se x > 1
Determine a função f(x).
Solução.
Como d(| x |) = x| x | · dx se x 6= 0, então a função:
f(x) =
{
| x | +C1, se x < 1 e x 6= 0
ex + C2, se x > 1
Pela continuidade de f(x) temos que f(0) = f(0+) = f(0−) = 2, então C1 = 2; por
outro lado, f(1+) = f(1−) = e+ C2 = 1 + 2, logo C2 = 3− e.
Portanto, f(x) =
{
| x | +2, se x ≤ 1
ex + 3− e, se x > 1 .
Exemplo 1.24.
Calcular I =
∫
3ex√
1− e2xdx
Solução.
Suponha u = ex, então du = exdx.
I =
∫
3ex√
1− e2xdx = 3
∫
du√
1− u2 = 3arcsenx+ C = 3arcsen(e
x) + C
Exemplo 1.25.
Estima-se que, dentro de x semanas, a população de um certo tipo de gafanhotos
variará segundo a taxa (7+6x) insetos por semana. A população atual é de 500 gafanhotos.
Qual será a população dentro de nove semanas?
Solução.
Se P (x) é a população de gafanhotos dentro de x semanas, então a derivada de P (x)
é a taxa de variação da população em relação ao tempo; isto é, P ′(x) = (7 + 6x).
Por outro lado; P (x) =
∫
P ′(x)dx =
∫
(7 + 6x)dx = 7x+ 3x2 + C.
Quando x = 0 temos a população atual; assim P (0) = 7(0) + 3(02) + C = 500 então
C = 500 e P (x) = 7x+ 3x2 + 500.
Daqui a nove semanas a população será P (9) = 7(9) + 3(9)2 + 500 = 806 gafanhotos.
14 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Exemplo 1.26.
O lucro marginal de uma fábrica de calçados ao produzir q pares de unidades de cal-
çados é 200 − 4q reais por unidade. Se o lucro obtido com a produção de 100 pares de
unidades é R$500, 00, qual será o lucro máximo da fábrica?
Solução.
O lucro marginal, é a derivada do lucro L(q).
Sabe-se que o lucro marginal é L′(q) = 200− 4q então,
L(q) =
∫
L′(q)dq =
∫
(200− 4q)dq = 200q − 2q2 + C
Quando q = 100 temos que L(100) = 500 = 200(100) − 2(100)2 + C, onde C = 0;
assim, L(q) = 200q − 2q2.
Para calcular o lucro máximo, observe que L(q) = 200q − 2q2 = 2(100q − q2) =
2(502 − 502 + 100q − q2) = 2[2500 − (50 − q)2]; o que implica q = 50 para obter lucro
máximo.
Assim, quando q = 50 temos L(50) = 200(50)− 2(50)2 = 5.000, 00.
Portanto, o lucro máximo é R$5.000, 00.
Exemplo 1.27.
Calcular a equação da função f(x) cujo coeficiente angular da tangente em qualquer
ponto x, é m = 4x3 + 2 e seu gráfico passa pelo ponto (−2, 10).
Solução.
O coeficiente angular da tangente, é m = f ′(x) = 4x3 + 2 e f(x) é a primitiva; logo:
f(x) =
∫
f ′(x)dx =
∫
(4x3 + 2)dx = x4 + 2x+ C
Para o cálculo de C consideremos o fato que o gráfico de f(x) passa pelo ponto (−2, 10);
isto é f(−2) = (−2)4 + 2(−2) + C = 10 o que implica que C = −2.
Portanto a equação desejada é f(x) = x4 + 2x− 2.
Exemplo 1.28.
Determine a função cujo gráfico possui máximo relativo em x = 2 e mínimo relativo
em x = 6, e passa pelo ponto (0, −3)
Solução.
Pelas condições de extremos, sabemos que:
f ′(2+) < 0, f ′(2−) > 0, f ′(6+) > 0 e f ′(6−) < 0
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 15
então a derivada da função tem a forma f ′(x) = (x − 2)(x − 6), logo a antiderivada
f(x) =
∫
(x− 2)(x− 3)dx =
∫
(x2 − 8x+ 12)dx = 1
3
x3 − 4x2 + 12x+ C.
Observe que pelo fato o gráfico da função f(x) passar por (0, −3) temos que f(0) =
C = −3.
Portanto f(x) =
1
3
x3 − 4x2 + 12x− 3.
Exemplo 1.29.
Um fabricante de componentes eletrônicos constata que o custo marginal em reais (R$)
da produção de x unidades de uma peçade filmadora é dada por 40 − 0, 01x reais. Se
o custo de produção de uma unidade é 45 reais, determine a função custo, e o custo de
produção de 50 unidades.
Solução.
Seja C(x) a função de custo total, então a função de custo marginal é dada pela função
C ′(x); isto é C ′(x) = 40− 0, 01x. Logo∫
C ′(x)dx =
∫
(40− 0, 01x)dx = 40x− 0, 005x2 +K
para alguma constante K; assim C(x) = 40x− 0, 005x2 +K.
Quando x = 1 (uma unidade) temos C(1) = 45, logo 45 = C(1) = 40(1)−0, 005(12)+
K, onde K = 5, 005.
Portanto a função de custo total em reais é dada pela função C(x) = 40x− 0, 005x2+
5, 005.
Em particular, quando x = 50, temos C(50) = 40(50) − 0, 005(502) + 5, 005, o custo
de produção de 50 unidades é: R$1.992, 505.
Exemplo 1.30.
Seja f(x) =| x− 1 | +x. Mostre que
F (x) =
x se, x < 1x2 − x+ 1 se, x ≥ 1.
é uma antiderivada de f(x) no intervalo (−∞, +∞)
Solução.
Suponhamos x ≥ 1, então f(x) = x− 1 + x = 2x− 1, onde∫
f(x)dx =
∫
(2x− 1)dx = x2 − x+ C1
16 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Por outro lado, se x < 1 temos que f(x) = −(x− 1) + x = 1 onde∫
f(x)dx =
∫
(1)dx = x+ C2
onde C1 e C2 são constantes reais arbitrárias.
Em particular, quando C1 = 1 e C2 = 0 temos que:
F (x) =
x se, x < 1x2 − x+ 1 se, x ≥ 1.
é uma antiderivada de f(x) no intervalo (−∞, +∞).
Exemplo 1.31.
Considere a equação:
dy
dx
+ y = x+ 1, onde y = f(x) determine o seguinte:
a) Uma solução geral dessa equação (chamada equação diferencial).
b) Determine a solução y = f(x) que cumpra a condição inicial f(0) = 4.
Solução. a)
Seja y função de variável x, e consideremos a função implícita F (x, y) = y·ex; derivando
F implícitamente em relação à variável x temos que F ′(x, y) =
dy
dx
· ex + y · ex.
Com esta idéia, a equação original podemos escrever na forma:
dy
dx
· ex + y · ex = ex(x+ 1), de onde resulta d(y · e
x)
dx
= ex(x+ 1).
De onde,
∫
d(y · ex)
dx
dx =
∫
ex(x+ 1)dx ⇒ y · ex =
∫
ex(x+ 1)dx.
Portanto. uma solução geral à equação é: y = e−x ·
∫
ex(x+ 1)dx
Solução. b)
Como
∫
ex(x+ 1)dx = x · ex, da solução geral temos que
y = f(x) = e−x(x · ex) + C ⇒ f(x) = x+ C · e−x
onde C ∈ R é uma constante de integração.
Em particular quando x = 0, temos que 4 = f(0) = 0 + C · e−0 = C ⇒ C = 4.
Portanto, a solução particular à equação é: y = x+ 4e−x.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 17
Exercícios 1-1
1. Determine as funções primitivas para as seguintes funções:
1. 2x8 2.
5
x
+
8
x2
3.
x6 − 7x2 + 2
x
4. 1− 2sen 2x 5. 1√
a+ bx
6. e2−5x
7.
1
3
√
7x
8.
1
cos2 3x
9.
x6 − 1
x2 − 1
2. Determine a validade das seguintes igualdades:
1.
∫
dx
9 + x2
=
1
3
arctan
x
3
+ C 2.
∫
x
√
2x2 + 5dx =
√
(2x+ 5)3
6
+ C
3.
∫
x3 · dx√
a2 + x4
=
√
a2 + x4
2
+ C 4.
∫
dx
(a+ bx)3
= − 1
2b(a+ bx)2
+ C
5.
∫
6x.dx
(5− 3x2)2 =
1
5− 3x2 + C 6.
∫
x(a− bx2)dx = −(a− bx
2)2
4b
+ C
7.
∫
8x · dx
3
√
x2 + 8
=
8
√
x2 + 8
3
+ C 8.
∫
x.dx
(a+ bx2)3
= − 1
4b(a+ bx2)2
+ C
9.
∫
(a+ bx)2dx =
(a+ bx)3
3b
+ C 10.
∫
x.dx
(a+ bx2)2
=
(−1)
2b(a+ bx2)
+ C
11.
∫
tan2 x.dx = tan x− x+ C 12.
∫
x(x2 + 2)2dx =
(x2 + 2)3
6
+ C
13.
∫
(2x+ 3)dx√
x2 + 3x
= 2
√
x2 + 3x+ C 14.
∫
dx√
8− x2 = arcsen[
x
2
√
2
] + C
15.
∫
(
√
a−√x)2√
x
· dx = −2(
√
a−√x)3
3
+ C
16.
∫
(
√
a−√x)2dx = ax− 4x
√
ax
3
+
x2
2
+ C
17
∫
x(2x+ 1)2dx = x4 +
4
3
x3 +
1
2
x2 + C
18.
∫ √
x(
√
a−√x)2dx = 2
3
a
√
x3 − x2√a+ 2
5
√
x5 + C
19.
∫
x(a+ bx3)2dx =
a2x2
2
+
2abx5
5
+
b2x8
8
+ C
20.
∫
xn−1
√
a+ bxndx =
2
√
(a+ bxn)3
3nb
+ C
21.
∫
(
√
a−√x)4√
x
dx = −1
2
x2 + 2x
√
ax− 3ax+ 2a√ax+ C
22.
∫
dx
x2 − 10 =
1
2
√
10
Ln | x−
√
10
x+
√
10
| +C
18 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
3. Calcular as integrais dos seguintes exercícios.
1.
∫
5a2x2dx 2.
∫ √
2pxdx 3.
∫
x(x+ a)(x+ b)dx
4.
∫
(nx)
1−n
n dx 5.
∫
cot2 x.dx 6.
∫
(
√
x+ 1)(x−√x+ 1)dx
7.
∫
dx√
4 + x2
8.
∫
(xm − xn)2√
x
dx 9.
∫ √
2 + x2 −√2− x2√
4− x4 dx
10.
∫
dx
x2 + 7
11.
∫
a.dx
a− x 12.
∫
x2 + 5x+ 7
x+ 3
dx
13.
∫
ax+ b
αx+ β
14.
∫
1− 3x
3 + 2x
dx 15.
∫
(a+
b
x− a)
2dx
16.
∫
b.dy√
1− y 17.
∫
x.dx√
x2 + 1
18.
∫
(6x2 + 8x+ 3)dx
19.
∫
3xexdx 20.
∫
dx
3x2 + 5
21.
∫
(a+ bx3)2dx
22.
∫
1
n
√
x
dx 23.
∫
(
3
√
a2 − 3
√
x2)3dx 24.
∫
(x2 + 1)(x2 − 2)
3
√
x2
dx
4. Sejam a e b constantes reais tais que a 6= b, determine a antiderivada para as
seguintes funções:
1. sen (ax)sen (bx) 2. cos(ax) cos(bx) 3. sen (ax) cos(bx)
5. Mostre, calculando de duas maneiras, que:∫
tan x. sec2 x.dx =
1
2
tan2 x+ C1 =
1
2
sec2 x+ C2
6. Mostre, calculando de três maneiras distintas, que:∫
sen x. cosx.dx =
1
2
sen 2x+ C1 = −1
2
cos2 x+ C2 =
1
4
cos 2x+ C3
7. O preço de revenda de um carro decresce a uma taxa que varia com o tempo.
Quando o carro tiver x anos de uso, a taxa de variação de seu valor será 200(x− 9)
reais por ano. Se hoje o carro foi comprado por 12.000, 00 reais, qual será o custo
do carro dentro de cinco anos?
8. Determine uma função y = f(x) que cumpra
dy
dx
=
x+ 6x2√
y
e passe pelo ponto
(2, 4).
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 19
1.3 Métodos de integração
Antes do estudo dos métodos de integração, é bom notar a diferencia entre operações
de derivação e integração indefinida.
Dizemos que uma função elementar é aquela que se obtém mediante um número finito
de operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, e composição de funções como
por exemplo: as funções constantes; a função potência y = xn; a função exponencial
y = ax; as funções logarítmicas; trigonométricas e trigonométricas inversas.
Dada uma função elementar sua derivada conserva esta propriedade; isto é sua de-
rivada também expressa-se como uma função elementar, entanto na integral indefinida,
isto somente sucede em condições muito especiais. De fato é possível escrever integrais
relativamente simples como por exemplo:∫
ex
2
dx
∫
e−x
2
dx
∫
sen x
x
∫
tanx
x
dx∫
dx
Lnx
∫ √
1 + x3dx
∫
sen x2.dx
∫
cos x2.dx
as quais não podem ser expressas como “ combinações finitas” de funções elementares.
Do ponto de vista prático, a integração se apresenta como uma operação um tanto mais
complicada que a derivação; entanto tínhamos regras gerais de derivação, para a integração
somente é possível fazer artifícios que são válidos para grupos mais ou menos restritos de
funções. Para cada caso particular precisamos uma tentativa, um ensaio pelo que se
recomenda prática, mais prática e mais prática.
1.3.1 Integração por substituição
Algumas integrais inicialmente são difíceis de calcular. Uma idéia é transforma-as
mediante uma substituição algébrica com uma conveniente mudança de variável, que as
reduz em integrais muitas mais simples. Intuitivamente explicarei a técnica de substituição
mediante o seguinte roteiro:
1) Escreva a integral a calcular I =
∫
f(x)dx
2) Proponha uma substituição da forma u = u(x). Em geral é melhor escolher a parte
interna de uma função composta.
3) Depois nossa intenção será achar a função inversa de u(x), isto é temos que achar
x = x(u).
4) Calcular o diferencial dx = x′(u)du.
20 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
5) Escreva as substituições apropriadas
∫
f(x)dx =
∫
f(u(x))u′(x)dx.
6) Confira depois de simplificações algébricas que o cálculo da nova integral é mais simples
que a inicial 1). (Caso contrário proponha outrasubstituição em 2).
7) Não esqueça que a resposta para
∫
f(x)dx é uma função de variável x. Então uma
vez que você terminou seus cálculos, você deveria substituir parta obter na variável
inicial x.
Observação 1.2.
a) Em geral, se a substituição é boa, você pode não precisar de 3). Calcular o diferencial
de u = u(x), para obter du = u′(x)dx, logo substitua a variável u = u(x) na nova
integral. Você deveria ter certeza que a variável x desapareceu da integral original.
b) Uma boa substituição às vezes é difícil de achar no início. Então recomendamos não
perder muito tempo no passo 2). Depois de alguma prática você pode começar a
ter um bom palpite para a melhor substituição.
Exemplo 1.32.
Calcular I =
∫
x(x2 + 5)75dx
Solução.
Está claro que, se nós desenvolvemos o (x2 + 5)75 mediante a fórmula de binômio,
acharemos uma função polinomial fácil de integrar. Mas está claro, que isto levará muito
tempo com possibilidade de cometer erros de cálculo.
Consideremos a substituição u = x2 + 5 (a razão é a presença de x na integral).
Então temos du = 2xdx e I =
∫
x(x2 + 5)75dx =
∫
u75
2
du; podemos conferir que a
nova integral é mais fácil calcular, consequentemente
I =
∫
u75
2
du =
u76
152
+ C
que não completa a resposta desde que, a integral indefinida não é uma função de x é de
variável u = u(x).
Então, temos que substituir u através de u(x) ; onde
I =
∫
x(x2 + 5)75dx =
1
125
(x2 + 5)76 + C
O método de “integração por substituição”, também conhecida como o método da
“integração por mudança de variável" tem seu princípio fundamental na derivação da
função composta.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 21
Dada a função f : A ⊆ R −→ R, queremos calcular
∫
f(x)dx.
Propriedade 1.4.
Suponhamos que escrevemos x = h(t) onde h : B ⊆ R −→ A é uma função com
derivada h′(t) 6= 0 ∀ t ∈ B. Se a função g(t) = f(h(t)).h′(t) ∀ t ∈ B admite uma
primitiva G em B, isto é G′(t) = g(t) = f(h(t)).h′(t) então:∫
f(x)dx =
∫
f(h(t))h′(t)dt =
∫
g(t)dt = G(t) + C = G(h−1(x)) + C (1.2)
Demonstração.
Para mostrar, é necessário que as derivadas respeito da variável x, da igualdade (1.2)
sejam idênticas.
Com efeito, temos que:
d
dx
(∫
f(x)dx
)
= f(x)
Por outro lado, como h′(t) 6= 0 ∀ t ∈ B então h(t) > 0 ou h(t) < 0 logo h(t) é
estritamente crescente ou decrescente em B assim h(t) admite função inversa t = h−1(x)
onde h−1 : A −→ B e dt
dx
=
1
dx
dt
.
Pela regra da cadeia
dy
dx
=
dy
dt
· dt
dx
por tanto, na parte da direta da igualdade (1.2)
segue que:
d
dx
[
∫
f(h(t))h′(t)dt] =
d
dt
[
∫
f(h(t))h′(t)dt] · dt
dx
=
= f(h(t)) · h′(t) · dt
dx
= f(h(t)) · h′(t) · 1
dx
dt
=
= f(h(t)) · h′(t) · 1
h′(t)
= f(h(t)) = f(x)
As outras igualdades são evidentes.
Observação 1.3.
a) Resumindo, se na integral
∫
f(x)dx substituímos x = h(t) e como dx = h′(t)dt,
verifica-se
∫
f(x)dx =
∫
f(h(t))h′(t)dt.
b) Aqui entendemos que a função h(t) satisfaz as condições indicadas anteriormente e,
depois da integração a variável t será substituída por sua expressão na variável
original x, considerando que, x = h(t).
c) A eleição da função x = h(t) deve ser feita de modo que seja possível calcular a integral
indefinida em função da variável t.
22 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
d) Existem alguns casos onde é preferível utilizar a substituição t = g(x) e dt = g′(x)dx
como mostra o seguinte exemplo:
Exemplo 1.33.
Calcular I =
∫
5(x5 + 2)3x4dx
Solução.
Considere t = (x5 + 2), então dt = 5x4dx, logo
I =
∫
5(x4 + 2)3x4dx =
∫
t3.dt =
1
4
t4 + C =
1
4
(x5 + 2)4 + C
.
Portanto, I =
∫
5(x4 + 2)3x4dx =
1
4
(x5 + 2)4 + C.
Exemplo 1.34.
Calcular I =
∫
x
√
2x+ 2dx
Solução.
Considere u = 2x+ 2, então du = 2dx, e x =
u− 2
2
logo:
I =
∫
x
√
2x+ 2dx =
∫
[
u− 2
2
]
√
u
du
2
=
1
4
∫
[
√
u3 − 2√u]du =
I =
1
4
[
2
5
√
u5 − 4
3
√
u3
]
+ C
Substituindo u = 2x+ 2, temos I =
1
4
[
2
5
√
(2x+ 2)5 +
4
3
√
(2x+ 2)3
]
+ C.
Portanto, I =
∫
x
√
2x+ 2dx =
1
10
√
(2x+ 2)5 +
1
3
√
(2x+ 2)3 + C.
Exemplo 1.35.
Considere-se a 6= 0, calcular I =
∫
cos(ax+ b)dx
Solução.
I =
∫
cos(ax+ b)dx =
1
a
sen (ax+ b) + C.
Exemplo 1.36.
Calcular I =
∫
(2x+ 1)20dx
Solução.
I =
∫
(2x+ 1)20dx =
1
42
(2x+ 1)21 + C.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 23
Observação 1.4.
a) Considere a 6= 0, ao determinar a integral
∫
f(ax+b)dx podemos omitir a substituição
u = ax + b; é suficiente considerar dx =
1
a
d(ax + b) e deste modo obter a integral∫
f(ax+ b)dx =
1
a
F (ax+ b) + C onde F é a primitiva de f(x).
b) Em geral se temos que integrar o produto de duas funções, a qual uma delas é uma
certa função g(x) e a outra é a derivada de g(x) (com precisão até o fator constante),
então é conveniente efetuar a substituição g(x) = u.
Exemplo 1.37.
Calcular I =
∫
arcsen
√
x√
x− x2 dx
Solução.
I =
∫
arcsen
√
x√
x− x2 dx =
∫
arcsen
√
x√
x · √1− xdx
Seja a substituição u = arcsen
√
x, então du =
1√
1− (√x)2 ·
dx
2
√
x
Logo, I =
∫
arcsen
√
x√
x− x2 dx =
∫
arcsen
√
x√
x · √1− xdx =
I =
∫
2arcsen
√
x√
1− x · 2√xdx = 2
∫
u.du = u2 + C = (arcsen
√
x)2 + C
Portanto I =
∫
arcsen
√
x√
x− x2 dx = (arcsen
√
x)2 + C.
Exemplo 1.38.
Calcular I =
∫
[sen (e−x) + ex · cos(e−x)]dx
Solução.
Considere u = ex · cos(e−x), então du = [ex · cos(e−x) + (ex)sen (e−x) · (e−x)]dx =
[sen (e−x) + ex · cos(e−x)]dx, logo na integral original temos que
I =
∫
[sen (e−x) + ex · cos(e−x)]dx =
∫
du = u+ C = ex · cos(e−x) + C
Portanto, I =
∫
[sen (e−x) + ex · cos(e−x)]dx = ex · cos(e−x) + C.
Exemplo 1.39.
Calcular I =
∫
senhx · coshx
(1 + senh2x)3
dx
Solução.
24 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Considere u = (1 + senh2x), então du = 2senhx · coshx · dx; logo:
I =
∫
senhx · coshx
(1 + senh2x)3
dx =
1
2
∫
2senhx · coshx
(1 + senh2x)3
dx =
=
1
2
∫
du
u3
= − 1
4
u−2 + C = − 1
4(1 + senh2x)2
+ C
Portanto, I =
∫
senhx · coshx
(1 + senh2x)3
dx = − 1
4(1 + senh2x)2
+ C.
Exemplo 1.40.
Calcular I =
∫
sen 3
√
x
3
√
x2
dx
Solução.
Considere u = 3
√
x, isto é u3 = x então 3u2du = dx logo,
I =
∫
sen 3
√
x
3
√
x2
dx =
∫
3u2 · sen u
u2
du = − cosu+ C = − 3 cos 3√x+ C
Exemplo 1.41.
Calcular a integral: I =
∫
e2x√
1 + ex
dx.
Solução.
Suponhamos u = ex ⇒ du = exdx, logo na integral:
I =
∫
e2x√
1 + ex
dx =
∫
u√
1 + u
du =
∫
(1 + u)− 1√
1 + u
du =
I =
∫ √
1 + u du−
∫
du√
1 + u
= I1 − I2
Calculando cada uma destas últimas integrais:
I1 =
∫ √
1 + u du =
2
3
(
√
1 + u)3 =
2
3
(
√
1 + ex)3
I2 =
∫
du√
1 + u
= 2
√
1 + u = 2
√
1 + ex
Portanto, I =
∫
e2x√
1 + ex
dx =
2
3
(
√
1 + ex)3 − 2√1 + ex + C.
Exemplo 1.42.
Calcular I =
∫ √2 +√2 +√2 + 2 cos(5√x+ 1)
√
x
dx
Solução.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 25
Sabe-se que cos2 θ =
1 + cos 2θ
2
logo, 2 cos2 θ = 1 + cos 2θ. Observe que:
√
2 +
√
2 +
√
2 + 2 cos(5
√
x+ 1) =
√
2 +
√
2 +
√
2[1 + cos(5
√
x+ 1)] =
=
√√√√√2 +
√√√√2 +√4 cos2 [(5√x+ 1)
2
]
=
√
2 +
√
2 + 2 cos(
5
√
x+ 1
2
) =
=
√
2 +
√
2[1 + cos(
5
√
x+ 1
2
)] =
√√√√2 +√4 cos2 [5√x+ 1
4
]
=
=
√
2 + 2 cos(
5
√
x+ 1
4
) =
√
2[1 + cos(
5
√
x+ 1
4
)] =
=
√
4 cos2
[
5
√
x+ 1
8
]
= 2 cos(
5
√
x+ 1
8
)
Seja u =
5
√x+ 1
8
então, du =
5 · dx
16
√
x
, assim na integral original temos:
I =
∫ √2 +√2 +√2 + 2 cos(5√x+ 1)
√
x
dx =
32
5
∫
cosu · du = 32
5
sen u+ C
Portanto, I =
∫ √2 +√2 +√2 + 2 cos(5√x+ 1)
√
x
dx =
32
5
sen
[
5
√
x+ 1
8
]
+ C.
Exemplo 1.43.
Emmarço de 1987, a populaçãomundial atingiu 5.000.000.000, e estava crescendo à
taxa de 380.000 pessoas por dia. Assumindo-se taxas de natalidade e mortalidade cons-
tantes, para quando se deve esperar uma população mundial de 10.000.000.000?
Solução.
Consideremos 1987 como o início da observação, logo o tempo t = 0 (em anos) co-
rresponde a 1987, sendo a função população P (t) em função do tempo, temos então que
P (0) = 5× 109 habitantes.
Seja k a constante de proporcionalidade para o crescimento populacional, então no
instante t, temos
dP
dt
= k · P de onde
1
P
· dP = k · dt
∫
1
P
· dP =
∫
k · dt ⇒ LnP = kt+ C1
26 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
P (t) = Cekt, C = eC1
como P (0) = 5× 109 ⇒ 5× 109 = Cek·0 ⇒ P (t) = 5× 109ekt.
Assim,
dP
dt
(t) = k · P (t) ⇒ dP
dt
(t) = k · 5× 109ekt.
Quando t = 0 temos P (0) = 380.000× 365 = 38× 104 × 365, logo
38× 104 × 365 = k · 5× 109ek·0 ⇒ k = 38× 10
4 × 365
5× 109 =
38× 73
105
= 0, 02774
de onde k = 0, 02774
Assim, temos que P (t) = 5× 109e0,02774t
Queremos saber qual o valor de t quando P (t) = 10.000.000.000 = 1010, isto é
1010 = 5× 109e0,02774t ⇒ 2 = e0,02774t ⇒ 0, 02774t = Ln2 ⇒ t = 24, 98
A população atingirá 1010 habitantes em 2012.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 27
Exercícios 1-2
1. Determine se, as seguintes igualdades são verdadeiras:
1.
∫
(
√
x+ 5)dx =
2
3
√
x3 + 5x+ C 2.
∫
senhx.dx
(1 + coshx)4
= − 1
3(1 + cosh x)3
3.
∫
e
√
x · 3e
√
x
dx√
x
=
2(3e
√
x
)
Ln3
+ C 4.
∫
cos(7x+ 4)dx =
1
7
sen (7x+ 4) + C
5.
∫
e2x−5dx =
1
2
e2x−5 + C 6.
∫
18dx
9x2 − x4 = −
2
x
+
2
3
Ln[
x+ 3
x− 3] + C
7.
∫
4xex · dx = (4e)
x
1 + Ln4
+ C 8.
∫
7x2 + 16
x4 + 4x2
dx =
3
2
arctan[
x
2
]− 4
x
+ C
9.
∫
dx
1 + cos 10x
=
tan 5x
10
+ C 10.
∫
dx
cos2(1− 4x) = −
1
4
tan(1− 4x) + C
11.
∫
dx
xLn2x
= − 1
Lnx
+ C 12.
∫ 5√x2 − 2x+ 1
1− x dx = −
5
2
5
√
(x− 1)2 + C
13.
∫
[Lnx+ 1].ex.Lnxdx = xx + C 14.
∫
2x · 3x+1
5x+2
dx =
3
25
(
6
5
)x(
1
Ln6− Ln5) + C
15.
∫
sen x · etan2 x
cos3 x
dx =
1
2
etan
2 x + C 16.
∫ √
x(x+ 1)dx =
2
√
x5
5
+
2
√
x3
3
+ C
17.
∫
7dx√
5− x2 = 7arcsen[
x√
5
] + C 18.
∫
3dx
x2 + 4x− 5 =
1
2
Ln[
x− 1
x+ 5
] + C
19.
∫
dx
1 + sen x
= tan x− sec+C 20.
∫
xdx
x2(x2 − 8) = Ln
16
√
x2 − 8
x2
+ C
21.
∫
x2x(1 + Lnx)dx =
x2x
2
+ C 22.
∫
cos3 x.dx
1− sen x = sen x+
sen 2x
2
+ C
23.
∫
dx
sen 2x( 3
√
cotx− 1 =
−3 3√(cotx− 1)2
2
+ C
24.
∫
4 · dx√−4x2 − 20x− 9 = 2arcsen[
2x+ 5
4
] + C
25.
∫ √
−4x2 − 12x− 5 · dx = 1
4
[(2x+3)
√
−4x2 − 12x− 5+4arcsen(2x+ 3
2
)]+C
26.
∫
dx√
(1 + x2)Ln(x+
√
1 + x2)
= 2
√
Ln(x+
√
1 + x2) + C
27.
∫
earctanx + xLn(x2 + 1) + 1
1 + x2
· dx = earctanx + 1
4
Ln2(x2 + 1) + arctan x + C
28.
∫ √
2 + x2 −√2− x2√
4− x4 · dx = arcsen(
x√
2
)− arcsenh( x√
2
) + C
29.
∫
dx√
x− 1 +√x+ 1 =
1
3
[(
√
(x+ 1)3 −
√
(x− 1)3] + C
28 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
2. Calcular as seguintes integrais utilizando regras principais e fórmulas de integração.
1.
∫
sen 2x · dx 2.
∫
sec2(ax+ b)dx 3.
∫
tan
√
x√
x
dx
4.
∫
senh2x · dx 5.
∫
dx
coshx
6.
∫
tanhx · dx
7.
∫
dx
sen x
a
8.
∫
dx
sen (ax+ b)
9.
∫
xsen (1− x2)dx
10.
∫
tanx · dx 11.
∫
dx
sen x cos x
12.
∫
cot(
x
a− b)dx
13.
∫
sen 36x · cos 6x · dx 14.
∫
sen 2x · cos 6x · dx 15.
∫ √
tanx
cos2 x
dx
16.
∫
sen 3x · dx
3 + cos 3x
17.
∫
1 + sen 3x
cos2 3x
dx 18.
∫
csc2 3x
b− a · cot 3xdx
19.
∫
x
5
√
5− x2dx 20.
∫
x3 · dx
x8 + 5
21.
∫
3−√2 + 3x2
2 + 3x2
dx
22.
∫ √
a− bxdx 23.
∫
x2
x2 + 2
dx 24.
∫
x2 + 1
x− 1 dx
25.
∫
2x+ 3
2x+ 1
dx 26.
∫
x2 − 5x+ 6
x2 + 4
dx 27.
∫
dx√
7− 5x2
28.
∫
dx
7x2 − 8 29.
∫
x
(x+ 1)2
dx 30.
∫
3− 2x
5x2 + 7
dx
3. Determine o valor das seguintes integrais mediante mudança da variável apropriada:
1.
∫
sen ax · sen bx · dx 2.
∫
cos ax · cos bx · dx 3.
∫
sen ax · cos bx · dx
4.
∫
sen 3x · cos x · dx 5.
∫
x
ax+ b
dx 6.
∫
x
√
1 + x2dx
7.
∫
x2
x3 − adx 8.
∫
sen x
cos2 x
dx 9.
∫
x(a+ bx2)3dx
10.
∫
tanx
cos2 x
dx 11.
∫
(Lnx)p
x
dx 12.
∫
ex
1 + e2x
dx
13.
∫
ex
1 + ex
dx 14.
∫
cos x · dx
a+ bsen x
15.
∫
arcsenx√
1− x2dx
16.
∫
(3x− 1)dx
3x2 − 2x+ 5 17.
∫
dx
x(1 + Lnx)3
18.
∫
cos x
1 + sen 2x
dx
19.
∫
dx
x
√
1− Ln2x
20.
∫
dx√
x cos2(
√
x)
21.
∫
sen 2x
1 + cos2 x
dx
22.
∫
cos(Lnx)
x
dx 23.
∫
cos x · √1 + sen x · dx 24.
∫
sen x · cos x
1 + cos2 x
dx
25.
∫
cotx · dx 26.
∫
(3x2 − 6x)3(x− 1)dx 27.
∫
x · e1+x2dx
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 29
28.
∫
dx√
1 + x
29.
∫
sen x+ cos x
3 + sen 2x
dx 30.
∫
dx√
1− x2
31.
∫ √
x · dx√
a3 − x3 32.
∫
dx
(x+ 1)
√
x
33.
∫
x2√
1 + x6
· dx
34.
∫ √
a− x√
x
dx 35.
∫
x2 · dx
a6 − x6
4. Calcular as integrais dos seguintes exercícios:
1.
∫
x3
a2 − x2dx 2.
∫
dx√
7 + 8x2
dx 3.
∫
dx
(a+ b)− (a− b)x2 0 < b < a
4.
∫
2x− 5
3x2 − 2dx 5
∫
3x+ 1√
5x2 + 1
dx 6.
∫
x
x2 − 5dx
7.
∫
ax+ b
a2x2 + b2
dx 8.
∫
x2
1 + x6
dx 9.
∫ √
arcsenx
1− x2 · dx
10.
∫
x
√
e
x2
dx 11.
∫
a · e−mxdx 12.
∫
(et − e−t)dt
13.
∫
(ax − bx)2
ax · bx dx 14.
∫
x · e(x2+1)dx 15.
∫
x−√arctan 2x
1 + 4x2
dx
16.
∫
ex
ex − 1dx 17.
∫
ax · dx
1 + a2x
18.
∫
3
√
( a
√
ex + 1) · a√exdx
19.
∫
et
1− e2tdt 20.
∫
cos(
x√
5
)dx 21.
∫
(cos
√
x)√
x
dx
5. Resolver as seguintes integrais:
1.
∫
x− arctan 2x
1 + 4x2
dx 2.
∫
Ln(Lnx)
x · Lnx dx 3.
∫
dx
2x + 3
4.
∫
dx√
ex − 1 5.
∫
sen x · cosx · dx√
2− sen 4x 6.
∫
dx
4 + 5sen 2x
7.
∫
dx
4 + 5 cos2 x
8.
∫
dx
ex + 4
9.
∫
Ln3x · dx
x · Ln5x
10.
∫ √
Ln(x+
√
x2 + 1)
1 + x2
dx 11.
∫ √
1 + sen xdx 12.
∫ √
1 + cos xdx
13.
∫
dx
e−x + ex
14.
∫
dx√√
x+ 1
15.
∫
arctan
√
x√
x+ 2x2 + x3
dx
16.
∫
(x− 2)dx
x
√
x− 1 · √x2 − x+ 1 17.
∫
sen 8x · dx
9 + sen 44x
18.
∫
csc3 x · dx
19.
∫
(2ex + e−x)dx
3ex − 4e−x 20.
∫
Lnx · dx
x3(Lnx− 1)3 21.
∫
x · dx
(x− 1)5e4x
30 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
22.
∫
ex
√
ex + 2 · dx
6 + ex
23.
∫
cos2 x(tan2 x+ 1)
(sen x+ cos x)2
dx 24.
∫
(1 + tan x)dx
sen 2x
25.
∫
dx
eLn(2x)
√
Lnx+
√
Lnx+
√
Lnx+ . . .+∞ − x
26.
∫
sec3 x · dx
27.
∫
x2sen x−1(sen x+ x · cos x · Lnx)dx 28.
∫
x5 · dx
x3 − 8
29.
∫
(cos 6x+ 6 cos 4x+ 15 cos 2x+ 10)dx
cos 5x+ 5 cos 3x+ 10 cos x
6. Uma função contínua, real de variável real cumpre as seguintes condições : f(1) = 0
e f ′(x) =
x+ | 1− x |
x2 + 1
. Achar f(x).
7. Ache uma equação da curva que contém o ponto (2, 3) e tem declividade m =
7x2 + 3x− 5 em todo ponto (x, y).
8. Determine a equação da curva y = f(x) cuja tangente no ponto (0, 2) é horizontal
e tenha como ponto inflexão (−1, 2
3
) e satisfazy′′′ = 4 .
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 31
1.3.2 Método de integração por partes
Um estudante muitas vezes se engana, pensa que a solução da integral
∫
f(x) ·g(x)dx
é da forma
∫
f(x)dx ·
∫
g(x)dx; isto é, pensa que
∫
f(x) ·g(x)dx =
∫
f(x)dx ·
∫
g(x)dx.
Para se convencer que isto esta errado por um instante suponha que f(x) = x e
g(x) = 1 e você obterá um absurdo.
Uma resposta parcial para este problema é determinada pelo que é chamado de “inte-
gração por partes”. Para entender esta técnica, lembre a fórmula de derivação:
d(u(x) · v(x))
dx
=
du(x)
dx
· v(x) + u(x) · dv(x)
dx
aplicando diferenciais resulta: u(x) · v(x) =
∫
u′(x) · v(x)dx+
∫
u(x) · v′(x)dx
Então se uma das duas integrais
∫
u′(x)v(x)dx ou
∫
u(x)v′(x)dx é fácil calcular,
podemos usar este resultado para adquirir a outra. Esta é a idéia principal de “integração
por partes”. Intuitivamente explicarei esta técnica.
1) Escreva a integral a calcular: I =
∫
f(x)·g(x)dx onde você identifica as duas funções
f(x) e g(x). Note que somente uma função estará determinada (por exemplo
suponha f(x)), então fixe a segunda a ser determinada (neste caso sería g(x)).
2) Introduza as funções intermediárias u(x) e v(x) na forma u = f(x) e dv = g(x)dx.
Então precisamos da derivada de f(x) e de integrar g(x)dx para obter: du = f ′(x)dx
e v =
∫
g(x)dx . Note que neste passo, você tem a escolha se diferenciar f(x) ou
g(x).
3) Use a fórmula
∫
u(x)v′(x)dx = u(x) · v(x) −
∫
v(x)u′(x)dx
4) Temos que calcular a nova integral
∫
v(x)u′(x)dx
O primeiro problema que a pessoa enfrenta lidando com esta técnica é a escolha a ser
utilizada no passo 2); não há nenhuma regra geral para seguir; na verdade é uma questão
de experiência. Observe o seguinte exemplo:
Exemplo 1.44.
Calcular I =
∫
Lnx · dx
Solução.
Podemos supor u = Lnx e dv = dx, então du =
1
x
dx e v =
∫
1 · dx = x, logo
I =
∫
Lnx · dx = x · Lnx−
∫
1
x
dx = x · Lnx− x+ C.
32 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Portanto, I =
∫
Lnx · dx = x · Lnx− x+ C. �
Formalmente; sejam u e v duas funções definidas e deriváveis num intervalo da
reta R, pela regra do diferencial de um produto temos: d(u · v) = u · dv + v · du logo,
u · dv = u · v − v · du; integrando esta última expressão resulta:∫
u · dv = u · v −
∫
v · du
Esta fórmula é conhecida como “fórmula de integração por partes”. Na prática esta
fórmula é bastante útil e consiste em expressar o elemento de integração como o produto
de dois fatores; de uma função u = u(x) e do diferencial de uma função v = v(x) denotado
por dv, de modo que determina-se a função v do diferencial dv, e o cálculo da nova integral∫
v · du constituem em conjunto um problema simples que o cálculo da integral
∫
u · dv;
esta fórmula pode ser utilizada mais de uma vez na solução de uma integral.
Para decompor o elemento de integração dado em dois fatores u e dv, normal-
mente traba- lhamos com nossa função u = u(x) como aquela que simplifica-se com
a derivação; por exemplo, nais integrais que aparecem alguma destas funções xn (n ∈
N), Lnx, arcsenx, arcsenhx; etc., considera-las como u(x). Isto não é regra geral, na
prática a habilidade e a experiência de quem calcula é a melhor ferramenta.
Observação 1.5.
• Quando determinamos a função v do diferencial dv, não é necessário considerar a
constante de integração C, se ao invés da função v considera-se v + C onde C é
constante, então:∫
u · dv = u · (v + C) −
∫
(v + C) · du = u · v −
∫
v · du
Logo, não é necessário considerar essa constante C.
Exemplo 1.45.
Calcular I =
∫
(x2 + 3x− 1)e2xdx
Solução.
Seja u = x2 + 3x− 1 e dv = e2xdx, então du = (2x+ 3)dx e v = e2x, logo
I =
∫
(x2 + 3x− 1)e2xdx = (x2 + 3x− 1)e2x − 1
2
∫
e2x(2x+ 3)dx (1.3)
Considere-se em (1.3) a integral J =
∫
e2x(2x + 3)dx, u = 2x + 3 e dv = e2xdx,
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 33
então du = 2dx e v = 1
2
e2x, assim, J =
1
2
e2x(2x + 3) −
∫
e2xdx =
1
2
e2x(2x + 3) =
1
2
e2x(2x+ 3)− 1
2
e2x =
1
2
e2x(2x+ 2) = e2x(x+ 1).
Em (1.3) temos I =
1
2
(x2 + 3x− 1)e2x − 1
2
e2x(x+ 1) + C.
Portanto, I =
∫
(x2 + 3x− 1)e2xdx = 1
2
e2x(x2 + 2x+ 1) + C.
Exemplo 1.46.
Calcular I =
∫
x · Lnx · dx
Solução.
Considere-se u = Lnx e dv = x.dx; então du =
1
x
dx e v =
x2
2
; logo I =
x2
2
Lnx −∫
1
x
· x
2
2
· dx = x
2
2
Lnx− 1
2
∫
x · dx = 1
2
[x2Lnx− x
2
2
] + C.
Portanto, I =
1
2
[x2Lnx− x
2
2
] + C.
Exemplo 1.47.
Calcular I =
∫
x2 · ex · dx
Solução.
Seja u = x2 e dv = ex · dx; então du = 2xdx e v = ex; logo I =
∫
x2 · ex · dx =
x2 · ex− 2
∫
x · ex · dx. Conseguimos diminuir o grau do polinômio de x em uma unidade.
Para calcular J =
∫
x·ex ·dx aplicamos mais uma vez integração por partes. Considere-se
u = x e dv = exdx, então du = dx e v = ex; logo J = x · ex −
∫
ex · dx = x · ex − ex.
Portanto temos I =
∫
x2 · ex · dx = ex[x2 − 2x+ 2] + C.
Observação 1.6.
Suponha que temos uma integral da forma
∫
u · dv.
a) Para as integrais do tipo
∫
P (x)eaxdx,
∫
P (x)sen ax · dx,
∫
P (x) cos ax · dx onde
P (x) é um polinômio, recomenda-se considerar u = P (x) e dv = ? como uma das
expressões eaxdx, sen (ax)dx ou cos(ax)dx respectivamente.
b) Para as integrais do tipo
∫
P (x)Lnx · dx,
∫
P (x)arcsenax · dx,
∫
P (x) arccos ax · dx
recomenda-se considerar a função u como uma das funções Lnx, arcsenx ou arccosx
e dv = P (x)dx.
34 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Exemplo 1.48.
Calcular I =
∫
x · sen 2x · dx
Solução.
Seja u = x e dv = sen 2x · dx então du = dx e v =
∫
sen 2x · dx =
∫
1− cos 2x
2
dx =
x
2
− sen 2x
4
; logo I =
∫
x · sen 2x · dx = x[x
2
− sen 2x
4
] − [
∫
x
2
− sen 2x
4
dx] =
x
4
[2x −
sen 2x]− x
2
4
− cos 2x
8
=
1
8
[2x2 − x · sen 2x+ cos 2x] + C.
Portanto, I =
∫
x · sen 2x · dx = 1
8
[2x2 − x · sen 2x+ cos 2x] + C.
Exemplo 1.49.
Calcular I =
∫
x · sen x · dx
Solução.
Se u = x e dv = senx · dx, então du = dx e v = − cosx; logo I =
∫
x · sen x · dx =
−x · cos x+
∫
cosx · dx := −x · cos x+ sen x+ C.
Portanto, I =
∫
x · sen x · dx = − x · cos x+ sen x+ C.
Suponha a solução de outro modo, se escolhemos u = sen x e dv = x · dx então
du = cos x · dx e v = 1
2
x2 e
I =
∫
x · sen x · dx = 1
2
x2sen x− 1
2
∫
x2 cos x · dx
de onde teríamos a resolver uma integral mais complexa que a inicial, pois o grau de x
haveria sido aumentado em uma unidade.
Exemplo 1.50.
Calcular I =
∫
exsen x · dx
Solução.
Considere-se u = ex e dv = sen x · dx; então du = exdx e v = − cosx; logo
I =
∫
exsen x · dx = − ex cos x−
∫
ex(− cos x)dx = ex +
∫
ex · cosx · dx (1.4)
Observe em (1.4) que, J =
∫
exsen x · dx também é uma integral por partes; seja
u = ex e dv = cosx · dx, então u = ex e v = sen x. Assim a integral J =
∫
ex cosx · dx =
exsen x−
∫
exsen x · dx = exsen x− I
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 35
Em (1.4) temos que I =
∫
exsen x · dx = − ex cos x+ J = − ex cosx+ exsen x− I,
logo 2I = ex(senx− cosx).
Portanto, I =
∫
exsen x · dx = 1
2
ex(sen x− cos x) + C.
Exemplo 1.51.
Discuta a aplicação da fórmula de integração por partes na solução da seguinte integral:
Seja I =
∫
1
x
· dx, considere u = 1
x
e dv = dx, logo du = − 1
x2
dx e v = x, assim
I =
∫
1
x
· dx = 1
x
· x −
∫
x · (− 1
x2
) · dx = 1 +
∫
1
x
· dx = 1 + I
então I = 1 + I.
Portanto, 0 = 1 !
Exemplo 1.52.
Deduzir a fórmula de recorrência para a integral In =
∫
dx
(x2 + d2)n
Solução.
Observe que: In =
∫dx
(x2 + d2)n
=
1
d2
∫
(d2 + x2 − d2)dx
(x2 + d2)n
=
=
1
d2
∫
dx
(x2 + d2)n−1
− 1
d2
∫
x2 · dx
(x2 + d2)n
=
1
d2
In−1 − 1
d2
J
isto é:
In =
∫
dx
(x2 + d2)n
=
1
d2
In−1 − 1
d2
J (1.5)
onde J =
∫
x2 · dx
(x2 + d2)n
=
∫
x · x · dx
(x2 + d2)n
Seja u = x e dv =
x · dx
(x2 + d2)n
então du = dx e v = − 1
2(n− 1)(x2 + d2)n−1 logo
J = − x
2(n− 1)(x2 + d2)n−1 +
1
2(n− 1)
∫
dx
(x2 + d2)n−1
Em (1.5), In =
1
d2
In−1 − 1
d2
[
− x
2(n− 1)(x2 + d2)n−1 +
1
2(n− 1)
∫
dx
(x2 + d2)n−1
]
=
In =
1
d2
In−1 − 1
d2
[− x
2(n− 1)(x2 + d2)n−1 +
1
2(n− 1)In−1] =
=
x
2d2(n− 1)(x2 + d2)n−1 +
2n− 3
d2(2n− 2)In−1
36 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Portanto, In =
x
2d2(n− 1)(x2 + d2)n−1 +
2n− 3
d2(2n− 2)In−1
Quando n = 2 obtemos a integral I2 por meio de funções elementares. Quando n = 3
conseguimos a integral I3 que depende da integral já calculada I2. Em geral podemos
calcular In para qualquer inteiro n positivo.
Exemplo 1.53.
Suponha que a integral
∫
e2x cos 2x · dx = 1
4
e2x(cos 2x+sen 2x). Determine a integral
I =
∫
e2x cos2 x · dx.
Solução.
Considere-se a integral J =
∫
e2xsen 2x · dx, então temos que:
I + J =
∫
e2x cos2 x · dx+
∫
e2xsen 2x · dx =
I + J =
∫
e2x · dx = 1
2
e2x. (1.6)
Por outro lado do dado do problema temos que:
I − J =
∫
e2x cos2 x · dx−
∫
e2xsen 2x · dx =
∫
e2x cos 2x · dx =
I − J = 1
4
e2x(cos 2x+ sen 2x) (1.7)
De (1.6)) e (1.7) segue que I =
∫
e2x cos2 x · dx = 1
8
e2x(2 + cos 2x+ sen 2x).
Exemplo 1.54.
Determine se, a seguinte igualdade é verdadeira:∫
dx√
2x+ 1−√x = 2(
√
2x+ 1 +
√
x)− 2[arctan√2x+ 1 + arctan√x] + C
Solução.
Entanto estamos aprendendo a integrar, o melhor método é derivar a parta à direita
da igualdade. Sendo a derivada de uma soma de funções igual à soma das derivadas mas
mesmas temos:
f1(x) =
√
2x+ 1 +
√
x ⇒ f ′1(x) =
2
2
√
2x+ 1
+
1
2
√
x
=
2
√
x+
√
2x+ 1
2
√
x
√
2x+ 1
f2(x) = arctan
√
2x+ 1 ⇒ f ′2(x) =
1
(
√
2x+ 1)2 + 1
· 2
2
√
2x+ 1
=
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 37
=
1
2(x+ 1)
√
2x+ 1
f3(x) = arctan
√
x ⇒ f ′3(x) =
1
(
√
x)2 + 1
· 1
2
√
x
=
1
2(x+ 1)
√
x
Logo, se F (x) = 2(
√
2x+ 1+
√
x)− 2[arctan√2x+ 1+ arctan√x] +C, sua derivada
é:
F ′(x) = 2(
2
√
x+
√
2x+ 1
2
√
x
√
2x+ 1
)− 2
[
1
2(x+ 1)
√
2x+ 1
+
1
2(x+ 1)
√
x
]
Assim, F ′(x) =
2
√
x+
√
2x+ 1√
x
√
2x+ 1
− 1
(x+ 1)
[√
x+
√
2x+ 1√
x
√
2x+ 1
]
⇒
F ′(x) =
1√
x
√
2x+ 1(
√
x−√2x+ 1)
[
(2
√
x+
√
2x+ 1)(
√
x−√2x+ 1) + 1
]
F ′(x) =
√
x+
√
2x+ 1√
x
√
2x+ 1
[
1− 1
x+ 1
]
=
√
x+
√
2x+ 1√
x
√
2x+ 1
· x
x+ 1
De onde:
F ′(x) =
1√
2x+ 1−√x
Portanto, a igualdade∫
dx√
2x+ 1−√x = 2(
√
2x+ 1 +
√
x)− 2[arctan√2x+ 1 + arctan√x] + C
é verdadeira.
Exemplo 1.55.
Suponha n 6= 1 , deduzir a fórmula de recorrência para a integral
In =
∫
(a+ bxp)n · dx
logo mostre que satisfaz
(np+ 1)In = x(a+ bx
p)n + anp · In−1
Solução.
Sejam u = (a+ bxp)n e dv = dx, então
du = nbpxp−1(a+ bxp)n−1dx, v = x
38 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
logo integrando por partes
In = x(a+bx
p)n−
∫
[nbpxp(a+bxp)n−1]dx = x(a+bxp)n−np
∫
[(a+bxp−a)(a+bxp)n−1]dx
In = x(a+ bx
p)n − np
∫
(a+ bxp)ndx+ npa
∫
(a+ bxp)n−1dx
Assim, a fórmula de recorrência procurada é
In = x(a+ bx
p)n − np
∫
(a+ bxp)ndx+ npaIn−1
Por outro lado, da fórmula de recorrência segue
(1 + np)In = x(a+ bx
p)n + npaIn−1
Portanto, (1 + np)In = x(a+ bxp)n + anp · In−1.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 39
Exercícios 1-3
1. Mediante integração por partes, resolver as seguintes integrais indefinidas:
1.
∫
Lnx · dx 2.
∫
x2Lnx · dx 3.
∫
xpLnx · dx
4.
∫
Lnx
x3
dx 5.
∫
Ln(Lnx)
x
dx 6.
∫
Ln(x+
√
1 + x2)dx
7.
∫
x · Ln(x− 1
x+ 1
)dx 8.
∫
e−x cos2 x · dx 9.
∫
x · cosx
sen 2x
dx
10.
∫
x · sen x · dx 11.
∫
x · cos x · dx 12.
∫
sen (Lnx)dx
13.
∫
x · eaxdx 14.
∫
x · 2−xdx 15.
∫
x · sen x · cosx · dx
16.
∫
arcsenx · dx 17.
∫
arctanx · dx 18.
∫
coshx · senhx · dx
19.
∫
arcsenhx · dx 20.
∫
x2 arctanx · dx 21.
∫
x · arctanx · dx
22.
∫
e
√
xdx 23.
∫
x(arctanx)2dx 24.
∫
(x2 − 2x+ 5) · e−xdx
25.
∫ √
a2 − x2dx 26.
∫
arcsenx
x2
dx 27.
∫
cos x · Ln(1 + cosx) · dx
28.
∫
x · dx
cos2 x
29.
∫
x · tan2 x · dx 30.
∫
(x3 + 5x2 − 2)e2xdx
31.
∫ √
x2 + a2 · dx 32.
∫ √
x2 − a2dx 33.
∫ √
x2 + 2x+ 5 · dx
34.
∫ √
x(3x− 2)dx 35.
∫
x · sen (ax) · dx 36
∫
x2Ln(x6 − 1)dx
37.
∫
x2 · e2x · dx 38.
∫
x · cosh(x
2
) · dx 39.
∫
ex · cos2 x · dx
40.
∫
3x · cos x · dx 41.
∫
x2 · e−xdx 42.
∫
eax cos bx · dx
43.
∫
e2xsen 2x · dx 44.
∫
earcsenx · dx 45.
∫
senhx · cosx · dx
46.
∫
x2 · e3x · dx 47.
∫
x3 · e− x3 · dx 48.
∫
Lnx√
x
· dx
49.
∫
ex · sen x · dx 50.
∫
x · arcsenx · dx 51.
∫
(x2 + 5x+ 6) cos 2x · dx
52.
∫
(arcsenx)2dx 53.
∫
arcsen
√
x√
1− x · dx 54.
∫
Ln2x · dx
55.
∫
x3 · e−x2 · dx 56.
∫
Ln2x
x2
· dx 57.
∫
(x2 − 2x+ 3)Lnx · dx
58.
∫
sen 2x
ex
· dx 59.
∫
x · arctanx · dx 60.
∫
x2 · dx√
9− x2
40 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
61.
∫
x · dx
sen 2x
62.
∫
x2 · arctan 3x · dx
2. Se P (x) é um polinômio em x, e P ′, P”, P”′, . . . indicam as derivadas, mostre que:
1.
∫
P (x)eaxdx =
eax
a
(1− P
′
a
+
P ′′
a2
− P
′′′
a3
+ . . .)
2.
∫
P (x) cos(ax)dx =
sen (ax)
a
(1− P
′′
a2
+
P (4)
a4
− P
(6)
a6
+ . . .) +
+
cos(ax)
a
(
P ′
a
− P
′′′
a3
+
P (5)
a5
− . . .)
3. Suponha m 6= 1 e n 6= 1 deduzir a fórmula de recorrência para cada uma das
integrais:
1. In =
∫
xn · eax · dx satisfaz In = 1
a
· xn · eax − n
a
· In−1.
2. In =
∫
(Lnx)n · dx satisfaz In = x · (Lnx)n − n · In−1.
3. Imn =
∫
xm · (Lnx)n · dx satisfaz Imn =
xm+1
1 +m
· (Lnx)n − n
m+ 1
· Im−1n
4. In =
∫
ex
xn
· dx satisfaz In = − e
x
(n− 1)xn−1 +
1
n− 1 · In−1
4. Determine
∫
sen 4x · dx de dois modos diferentes: primeiro, utilizando a fórmula de
redução, e logo utilizando a fórmula do sen 2x.
5. Combine-se as duas soluções do exercício anterior para obter uma identidade im-
pressionante.
6. Expressar
∫
Ln(Lnx) · dx em função de,
∫
dx
Ln
(as duas integrais não são
possíveis expressar como combinação de funções elementares)
7. Mostre que a fórmula
∫
2g(x)f ′(x)− f(x)g′(x)
2[
√
g(x)]3
dx =
f(x)√
g(x)
+ C é válida.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 41
1.3.3 Integração de funções trigonométricas e hiperbólicas
É importante verificar e lembrar as seguintes identidades:
1) cos2 x+ sen 2x = 1 2) cosh2 x− senh2x = 1
3) sec2 x− tan2 x = 1 4) sech2x+ tanh2 x = 1
5) csc2 x− cot2 x = 1 6) coth2 x− csch2x = 1
7) sen 2x =
1− cos 2x
2
8) senh2x =
cosh 2x− 1
2
9) cos2 x =
1 + cos 2x
2
10) coshx =
cosh 2x+ 1
2
Apresentamos integrais e diversos tipos que envolvem funções trigonométricas e hiper-
bólicas.
1.3.3.1 Integrais do tipo:
∫
sen mx cosn x dx e
∫
senhmx coshn x dx
Aqui consideramos os seguintes casos para m e n inteiros:
Caso 1. a) Se m é ímpar positivo, então escreva sen m−1x em função de cos x e considere
a substituição cos x = t. De modo análogo para o caso da função hiperbólica;
utilizando a identidade sen 2x = 1− cos2 x (ou cosh2 x+ 1 = senh2x).
b) Se n é ímparpositivo, então escreva cosn−1 x em função de sen x e considere
a substituição sen x = t . De modo análogo para o caso da função hiperbólica;
utilizando a identidade cos2 x = 1− sen 2x (ou senh2x = cosh2 x+ 1).
Caso 2. Quando ambos os expoentes m e n são pares não negativos, recomenda-se usar
umas das identidades: sen 2x =
1− cos 2x
2
(ou senh2x =
cosh 2x− 1
2
) ou cos2 x =
cos 2x+ 1
2
(ou cosh2 x =
cosh2x+ 1
2
) . Se m+ n = −2k onde k ∈ N é conveniente
usar t = tanx ou t = cotx
Caso 3. Em geral se m e n são inteiros, calculamos a integral com ajuda das fórmulas
de recorrência, as que se deduzem mediante integração por partes.
Observação 1.7.
Temos a seguinte fórmula de recorrência:
I2k+1 =
∫
dx
cos2k+1 x
=
∫
sen 2x+ cos2 x
cos2k+1 x
dx =
∫
sen 2x
cos2k+1 x
dx+
+
∫
dx
cos2k−1 x
dx =
∫
sen x · sen x
cos2k+1 x
· dx + I2k−1.
42 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Suponhamos que, u = sen x e dv =
sen x
cos2k+1 x
dx, então du = cos x.dx e v =
1
2k. cos2k x
e mediante a integração por partes obtemos:
I2k+1 =
sen x
2k. cos2k x
− 1
2k
∫
dx
cos2k−1 x
dx + I2k−1 =
sen x
2k. cos2k x
+ (1− 1
2k
)I2k−1
Exemplo 1.56.
Calcular as integrais:
a) I =
∫
sen 3x · cos4 x · dx b) J =
∫
senh5x ·
√
coshxdx
Solução. a)
Temos que I =
∫
sen 3x·cos4 x·dx =
∫
sen 2x·cos4 x·sen x·dx, sendo sen 2x = 1−cos2 x
então I =
∫
(1 − cos2 x) cos4 x · sen x · dx como cos x = t e d(cosx) = − dt; na integral
original I =
∫
(t6 − t4)dt = 1
7
t7 − 1
5
t5 + C.
Portanto I =
∫
sen 3x · cos4 x · dx = 1
7
cos7 x− 1
5
cos5 x+ C.
Solução. b)
Seja coshx = t, então dt = senhx.dx, logo temos
J =
∫
senh5x ·
√
coshx · dx =
∫
senh4x
√
coshx · senhx · dx =
=
∫
(t2 − 1)2√t · dt =
∫
(
√
t9 − 2
√
t5 +
√
t)dt =
2
11
√
t11 − 4
7
√
t7 +
2
3
√
t3 + C
Portanto, J =
2
11
√
cosh11 x− 4
7
√
cosh7x+
2
3
√
cosh3 x+ C.
Exemplo 1.57.
Calcular as integrais:
a) I =
∫
sen 2x · cos4 x · dx b) J = ∫ senh4x · dx
Solução. a)
Temos que a integral I =
∫
sen 2x · cos4 x · dx =
∫
[
1− cos 2x
2
][
1 + cos 2x
2
]2 · dx,
efetuando operações resulta I =
1
8
∫
(1 + cos 2x− cos2 2x− cos3 2x)dx .
A integral
∫
cos2 2x · dx = 1
2
∫
(1 + cos 4x)dx =
1
2
x+
1
8
sen 4x.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 43
Por outro lado, a integral∫
cos3 2x ·dx =
∫
cos2 2x ·cos 2x ·dx =
∫
(1− sen 22x) ·cos 2x ·dx = 1
2
sen 2x− 1
6
sen 32x
Assim, I =
1
8
[x+
1
8
sen 2x− 1
2
x− 1
8
sen 4x− 1
2
sen 2x+
1
6
sen 32x].
Portanto, I =
∫
sen 2x · cos4 x · dx = 1
16
[x− 1
4
sen 4x+
1
3
sen 32x] + C
Observe que esta integral podemos resolver mediante a identidade 2sen x. cosx =
sen 2x.
I =
∫
sen 2x · cos4 x · dx = 1
4
∫
sen 22x · cos2 x · dx =
=
1
8
∫
sen 22x · (1 + cos 2x)dx = 1
8
∫
sen 22x · dx + 1
48
sen 32x
A integral
1
8
∫
sen 22x · dx = 1
16
∫
(1− cos 4x)dx = 1
16
[x− sen 4x
4
].
Portanto, I =
1
16
[
x− sen 4x
4
+
sen 32x
3
]
+ C.
Solução. b)
Mediante a identidade recomendada, temos que:
J =
∫
senh4x · dx =
∫
(
cosh 2x− 1
2
)2dx =
1
4
∫
(cosh2 x− 2 cosh 2x+ 1)dx =
=
1
4
∫
(
cosh 4x+ 1
2
− 2 cosh 2x+ 1)dx =
=
1
8
∫
(cosh 4x− 4 cosh 2x+ 3)dx = 1
8
[
senh4x
4
− 2senh2x+ 3x] + C
Portanto, J =
1
32
[senh4x− 8senh2x+ 12x] + C.
Exemplo 1.58.
Calcular as integrais:
a) I =
∫ 3√sen x
3
√
cos13 x
· dx b) J = ∫ dx
cos3 x
Solução. a)
Observe que
1
3
− 13
3
= −4, para o cálculo da integral a transformamos em função da
tangente.
Logo I =
∫
3
√
sen x
3
√
cos13 x
· dx =
∫
3
√
tanx · dx
cos4 x
=
=
∫
3
√
tanx(1 + tan2 x) sec2 x · dx = 3
4
3
√
tan4 x+
3
10
3
√
tan10 x+ C
44 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Solução. b)
Mediante a fórmula da Observação (1.7), temos que k = 1; logo
J =
∫
dx
cos3 x
= I3 =
sen x
2 cos2 x
+
1
2
∫
dx
cos x
=
sen x
2 cos2 x
+
1
2
Ln(tanx+ sec x) + C
Portanto, J =
sen x
2 cos2 x
+
1
2
Ln(tanx+ sec x) + C.
1.3.3.2 Integrais do tipo:
∫
tanm x secn x.dx e
∫
cotm x cscn x.dx
Também estes métodos são válidos para as integrais do tipo∫
tanhm x.sechnx.dx ou
∫
cothm x.cschnx.dx
Quando m é ímpar e n par, ambos positivos devemos utilizamos uma das seguintes
identidades: sec2 x − tan2 x = 1 ou sech2x + tanh2 x = 1 ou csc2 x − cot2 x = 1 ou
coth2 x− csch2x = 1.
Caso 1. Se m é ímpar positivo, na integral, isole o fator tanx. sec x.dx ou cotx. cscx.dx
ou tanh x.sechx.dx ou cothx.cschx.dx, e. O resto dos fatores expressar em função
de secx ou csc x, ou sechx, ou cschx respectivamente.
Caso 2. Se n é um inteiro par positivo, na integral, isole o fator sec2 x ou csc2 x ou sech2x
ou csch2x, e o resto dos fatores escreva em função de tanx ou cotx ou tanhx ou
coth x respectivamente.
Caso 3. Para os casos m e n negativos é melhor trabalhar com senos e cossenos.
Exemplo 1.59.
Calcular as integrais:
a) I =
∫
tan3 x
sec4 x
· dx b) J = ∫ tanh3 x · √sechx · dx
Solução. a)
Observe que:
I =
∫
tan3 x
sec4 x
· dx =
∫
tan2 x
sec5 x
· tanx · sec ·dx =
∫
(sec2 x− 1)
sec5 x
· tanx · sec x · dx
a mudança sec x = t permite escrever secx · tanx · dx = dt.
Logo I =
∫
(t2 − 1)
t5
dt = −1
2
t−2 +
1
4
t−4 + C = −1
2
sec−2 x+
1
4
sec−4 x+ C.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 45
Portanto I =
1
4
cos2 x(cos2 x− 2) + C
Solução. b)
Pelo Caso 1., temos que J =
∫
tanh3 x ·
√
sechx ·dx =
∫
tanh3 x√
sechx
· tanhx · sechx ·dx =∫
(1− sech2x)√
sechx
· tanhx · sechx · dx.
Fazendo t = sechx resulta dt = −sechx · tanhx · dx. Logo J = −
∫
(
√
t−1 −
√
t3)dt =
−[2√t− 2
5
√
t5] + C =
2
5
[
√
sech5x− 5
√
sechx] + C =
2
5
√
sechx[sechx− 5] + C
Portanto, J =
2
5
√
sechx [sechx− 5] + C.
Exemplo 1.60.
Calcular as integrais:
a) I =
∫
csch6x · dx b) J = ∫ sec4 x · √tan3 x · dx
Solução. a)
Seja cothx = t, então dt = −csch2x · dx e, a integral
I =
∫
csch6x · dx =
∫
csch4x · csch2 · dx =
∫
(coth2 x− 1)2 · csch2x · dx =
=
∫
(coth4 x− 2 coth2 x+ 1) · csch2x · dx = −
∫
(t4 − 2t2 + 1)dt =
− [1
5
coth5 x− coth3 x+ coth x] + C
Portanto, I = −1
5
coth5 x+ coth3 x− coth x+ C.
Solução. b)
J =
∫
sec4 x ·
√
tan3 x · dx =
∫
sec2 x ·
√
tan3 x · sec2 x · dx =
=
∫
(1 + tan2 x) ·
√
tan3 x · sec2 x · dx
considere t = tan x, então dt = sec2 x · dx, logo J =
∫
(
√
t3+
√
t7)dt =
2
5
√
t5+
2
9
√
t9+C.
Portanto, J =
2
5
√
tan5 x+
2
9
√
tan9 x+ C.
46 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
1.3.3.3 Integrais do tipo:
∫
sec2n+1 x dx e
∫
csc2n+1 x dx
Estas integrais de potências positivas ímpares da secante e cossecante, determinamos
mediante as fórmulas recorrentes:∫
sec2n+1 x · dx = sen x
2n · cos2n x + (1−
1
2n
)
∫
sec2n−1 x · dx∫
csc2n+1 x · dx = − cosx
2n · sen 2nx + (1−
1
2n
)
∫
csc2n−1 x · dx
Exemplo 1.61.
Calcular a integral: I =
∫
csc5 x · dx
Solução.
Observe que se 2n+ 1 = 5, logo n = 2, então
I =
∫
csc5 x · dx =
∫
csc2(2)+1 x · dx = − cos x
2(2) · sen 2(2)x + (1−
1
2(2)
)
∫
csc2(2)−1 x · dx
isto é
I = − cos x
4sen 4x
+
3
4
∫
csc3 x · dx
Aplicando novamente a fórmula à integral J =
∫
csc3 x · dx observe que aqui n = 1 e
temos:
J = − cos x
2sen 2x
+ (1− 1
2
)
∫
cscx · dx = − cos x
2sen 2x
+
1
2
Ln[tan(
x2
)]
Assim, I = − cos x
4sen 4x
+
3
4
[
− cos x
2sen 2x
+
1
2
Ln[tan(
x
2
)]
]
Portanto, I = − cos x
4sen 4x
− 3 cos x
8sen 2x
+
3
8
Ln[tan(
x
2
)] + C.
Observação 1.8.
No exemplo precedente, mostre que realmente
∫
csc x · dx = Ln[tan(x
2
)] + C, e deter-
mine fórmulas recorrentes para as funções hiperbólicas da secante e cossecante.
1.3.3.4 Integrais do tipo:∫
sen (mx) · cos(nx)dx,
∫
cos(mx) · cos(nx)dx e
∫
sen (mx) · sen (nx)dx
Este método também é válido para as funções hiperbólicas do seguinte tipo:
∫
senh(mx)·
cosh(nx) · dx,
∫
cosh(mx) · cosh(nx) · dx e
∫
senh(mx) · senh(nx) · dx.
Para calcular estas integrais as seguintes identidades possibilitam a representação do
produto em forma de soma.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 47
a) sen (mx). cos(nx) =
1
2
[sen (m− n)x+ sen (m+ n)x]
b) sen (mx).sen (nx) =
1
2
[cos(m− n)x− cos(m+ n)x]
c) cos(mx). cos(nx) =
1
2
[cos(m− n)x+ cos(m+ n)x]
d) senh(mx). cosh(nx) =
1
2
[senh(m− n)x+ senh(m+ n)x]
e) senh(mx).senh(nx) =
1
2
[cosh(m− n)x− cosh(m+ n)x]
f) cosh(mx). cosh(nx) =
1
2
[cosh(m− n)x+ cosh(m+ n)x]
Lembre que:
a) sen (−x) = −sen x b) cos(−x) = cosx
c) senh(−x) = −senhx d) cosh(−x) = cosh x
Exemplo 1.62.
Calcular as integrais:
a) I =
∫
senh4x · senh3x · dx b) J =
∫
cos 4x · cos 3x · dx
Solução. a)
Considere m = 4 e n = 3, então temos que
I =
∫
senh4x · senh3x · dx = 1
2
∫
(cosh 7x− coshx)dx = 1
2
[
1
7
senh7x− senhx] + C
Portanto, I =
1
14
senh7x− 1
2
senhx+ C.
Solução. b)
Considere m = 4 e n = 3, então temos que
J =
∫
cos 4x · cos 3x · dx = 1
2
∫
(cosx+ cos 7x)dx =
1
2
[sen x+
1
7
sen 7x] + C
Portanto, J =
1
2
sen x+
1
14
sen 7x+ C.
Exemplo 1.63.
48 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Calcular as integrais:
a) I =
∫
cosh 4x · senhx · dx b) J = ∫ sen 2x · cos 3x · dx
Solução. a)
A integral I =
∫
cosh 4x · senhx · dx =
∫
senhx · cosh 4x · dx , então m = 1 e n = 4
logo,
I =
1
2
∫
(senh5x− senh3x)dx = 1
2
[
1
5
cosh 5x− 1
3
cosh 3x] + C
Portanto, I =
1
10
cosh 5x− 1
6
cosh 3x+ C.
Solução. b)
Temos J =
∫
sen 2x · cos 3x · dx = 1
2
∫
[sen (2 − 3)x + sen (2 + 3)x]dx = 1
2
[cosx −
1
5
cos 5x] + C.
Portanto, J =
1
2
[cosx− 1
5
cos 5x] + C.
Exemplo 1.64.
Calcular as integrais:
a) I =
∫
sen 4x+ cos4 x
sen 2x− cos2 x · dx b) J =
∫
cosx · dx
3
√
(2sen x)7 · cos8 x
Solução. a)
Lembrar que: sen 2x = 2sen x · cos x e cos 2x = cos2 x− sen 2x.
I =
∫
sen 4x+ cos4 x
sen 2x− cos2 x · dx = −
∫
(sen 2x+ cos2 x)2 − 2sen 2x · cos2 x
sen 2x− cos2 x · dx =
= −1
2
∫
2− sen 22x
cos 2x
· dx = −1
2
∫
1 + cos2 2x
cos 2x
· dx = −1
2
∫
sec 2x+ cos 2x)dx =
= −1
4
[Ln(sec 2x+ tan 2x)− sen 2x] + C
Por tanto, I = −1
4
[Ln(sec 2x+ tan 2x)− sen 2x] + C.
Solução. b)
J =
∫
cos x · dx
3
√
(2sen x)7 · cos8 x =
∫
cosx · dx
3
√
27sen 7x · cos8 x =?
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 49
esta integral não é nenhum dos casos estudados; é conveniente transformar em outras
funções como por exemplo em tangente ou secante.
J =
∫
cosx · dx
3
√
(2sen x)7 · cos8 x =
1
3
√
27
∫
sec4 x
3
√
tan8 x
dx =
1
4 3
√
2
∫
1 + tan2 x
3
√
tan8 x
· sec2 x · dx
Considere t = tanx, então dt = sec2 x · dx; logo a integral original resulta em:
J =
1
4 3
√
2
∫
(
3
√
t−8 + 3
√
t−2)dt =
1
4 3
√
2
[− 3
5
3
√
t−5 + 3 3
√
t] + C
Portanto, J =
3
4 3
√
2
[
3
√
tanx− 1
5
3
√
cot5 x] + C.
Exemplo 1.65.
Calcular a integral: I =
∫
sen 2x
cos6 x
· dx.
Solução.
I =
∫
sen 2x
cos6 x
· dx
∫
tan2 x · sec4 x · dx =
∫
tan2 x(1 + tan2 x) sec2 x · dx =
∫
(t2 + t4)dt
onde t = tanx, e dt = sec2 x · dx. Logo, I = 1
3
t3 +
1
5
t5 + C.
Portanto, I =
1
3
tan3 x+
1
5
tan5 x+ C.
1.3.4 Integração por substituição trigonométrica
As integrais do tipo
∫
R(x,
√
px2 + qx+ r) · dx onde R é uma função racional nas
variáveis x e
√
px2 + qx+ r podem ser simplificadas mediante uma substituição trigono-
métrica adequada.
Observe que o trinômio px2 + qx + r, completando quadrados, pode ser escrito como
uma das formas: a2 − u2, u2 + a2, ou u2 − a2.
�
�
�
�
�
�
�
�
a u
√
a2 − u2
s t
Figura 1.1: Caso I
�
�
�
�
�
�
�
�
√
a2 + u2 u
a
s t
Figura 1.2: Caso II
50 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Caso I
Se o trinômio tem a forma a2 − u2, recomenda-se a substituição u = a · sen t, a > 0;
logo temos que du · t = a · cos t · dt, observe que √a2 − u2 = a · cos t.
Para voltar à variável original u utilizarmos as relações do triângulo da Figura (1.1).
Caso II
Se o trinômio tem a forma u2 + a2, recomenda-se a substituição u = a · tan t; logo
temos que, du = a · sec2 t · dt, observe que √a2 + u2 = a · sec t.
Para voltar à variável original u utilizarmos as relações do triângulo da Figura (1.2).
Caso III
�
�
�
�
�
�
�
�
u
√
u2 − a2
a
s t
Figura 1.3: Caso III
Se o trinômio tem a forma u2 − a2, recomenda-se
a substituição u = a · sec t, u > 0; logo temos que,
du = a·sec t·tan t·dt, observe que √u2 − a2 = a·tan t.
Para voltar à variável original u utilizarmos as re-
lações do triângulo da Figura (1.3).
Exemplo 1.66.
Calcular a integral: I =
∫ √
9− x2dx
Solução.
Consideremos a mudança de variável x = 3sen t, então:
I =
∫ √
9− x2dx =
∫ √
32 − 32sen 2tdt = 9
∫
cos2 t · dt =
=
9
2
∫
(1 + cos 2t)dt =
9
2
[t− sen 2t
2
] + C =
9
2
[t+ sen t · cos t] + C
Da Figura (1.4) resulta: I =
9
2
[arcsen(
x
3
) +
x
√
9− x2
9
] + C.
�
�
�
�
�
�
�
�
3 x
√
9− x2
s t
Figura 1.4:
�
�
�
�
�
�
�
�
x
√
x2 − 16
4
s t
Figura 1.5:
Exemplo 1.67.
Calcular a integral: I =
∫
x3 · dx√
x2 − 16
Solução.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 51
É uma integral do terceiro caso, seja x = 4 sec t, então dx = 4 sec t · tan t · dt, logo:
I =
∫
64 sec3 t · 4 · sec t · tan t · dt√
16 sec2 t− 16 = 64
∫
sec4 t · dt =
= 64
∫
(1 + tan2 x) sec2 x · dx = 64[tan t+ 1
3
tan3 t] + C
Da Figura (1.5) temos: I = 16
√
x2 − 16 + 1
3
√
(x2 − 16)3.
Portanto, I =
1
3
√
x2 − 16(x2 + 32) + C.
Exemplo 1.68.
�
�
�
�
�
�
�
�
√
x2 + 2x+ 1 x+ 1
3
s t
Figura 1.6:
Calcular a integral: I =
∫
x2 · dx√
x2 + 2x+ 10
Solução.
Observe que :
I =
∫
x2 · dx√
x2 + 2x+ 10
=
∫
x2 · dx√
(x+ 1)2 + 32
.
Seja x+ 1 = 3 tan t, então dx = 3 sec2 t · dt, logo:
I =
∫
x2 · dx√
x2 + 2x+ 10
=
∫
(3 tan t− 1)2 · 3 sec2 t · dt
3 sec t
=
=
∫
(3 tan t− 1)2 · sec t · dt =
∫
(9 tan2 t− 6 tan t+ 1) · sec t · dt =
= 9
∫ √
sec2 t− 1 · tan t · sec t · dt− 6
∫
tan t · sec t · dt+
∫
sec t · dt =
=
9
2
sec t · tan t− 3 sec2 t− 7
2
Ln(sec t− tan t) + C
Da Figura (1.6) temos que: 3 tan t = x+ 1 e 3 sec t =
√
x2 + 2x+ 10, assim:
I =
1
2
(x+ 1)
√
x2 + 2x+ 10− 1
3
(
√
x2 + 2x+ 10)2 − 7
2
Ln(
√
x2 + 2x+ 10 + x+ 1) + C
Portanto, I = − 1
6
√
x2 + 2x+ 10(2x2 + x+ 17)− 7
2
Ln(
√
x2 + 2x+ 10 + x+ 1) + C.
Observação 1.9.
Das propriedades de logaritmo, e para C1 constante temos que
Ln[f(x)] + C1 = Ln[f(x)] + LnC = Ln[C.f(x)]
52 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
onde C = LnC1 é constante.
Exemplo 1.69.
Calcular a integral: I =
∫
e−x · dx√
(9e−2x + 1)3
Solução.
Observe a Figura (1.7), podemos aplicar a substituição do segundo caso; isto é seja
tan t = 3 · e−x , então sec2 t.dt = −3 · e−x · dx e aintegral transforma-se em:
I = − 1
3
∫
sec2 t · dt
sec3 t
= −1
3
∫
cos t · dt = −1
3
sen t+ C =
−e−x√
9e−2x + 1
+ C
Portanto, I =
−e−x√
9e−2x + 1
+ C.
�
�
�
�
�
�
�
�
√
9e−2x + 1 3e−x
1
s t
Figura 1.7:
�
�
�
�
�
�
�
�
2x− 3 2√x2 − 3x+ 2
1
s t
Figura 1.8:
Exemplo 1.70.
Calcular a integral: I =
∫
x
√
1− x√
2− x dx
Solução.
I =
∫
x
√
1− x√
2− x dx =
∫
x
√
1− x · √1− x√
2− x · √1− x dx =
=
∫
x(1− x)√
x2 − 3x+ 2 =
∫
x(1− x) · dx√
(x− 3
2
)2 − (1
2
)2
Da Figura (1.8) temos x− 1
3
=
1
2
sec t, então dx =
1
2
sec t · tan t · dt, logo:
I =
∫
x(1− x) · dx√
(x− 3
2
)2 − (1
2
)2
=
∫
(1
2
sec t+ 3
2
)(1− 3
2
− 1
2
sec t) · 1
2
sec t · tan t · dt
1
2
tan t
=
=
1
4
∫
sec3 t+ 4 sec2 t+ 3 sec t)dt =
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 53
= − tan t− 3
4
Ln(sec t+ tan t)− 1
4
∫ √
1 + tan2 t · sec2 t · dt =
= − 1
8
tan t(8 + sec t)− 7
8
Ln(sec t+ tan t) + C1
Portanto I = −
√
x2 − 3x+ 2
4
(2x+ 5)− 7
8
Ln(2x− 3 + 2
√
x2 − 3x+ 2) + C.
Observação 1.10.
Quando o integrando apresenta expressões da forma
√
a2 − u2, √a2 + u2 , ou √u2 − a2
a substituição por funções hiperbólicas é recomendada.
Deste modo, para
√
a2 − u2 recomenda-se u = a · tanh t, onde √a2 − u2 = a · secht;
para
√
a2 + u2 recomenda-se u = a · senht, onde √a2 + u2 = a · cosh t e para √u2 − a2
recomenda-se u = a · cosh t, onde √u2 − a2 = a · senht.
Exemplo 1.71.
Calcular a integral: I =
∫
x2
√
x2 + 4 · dx
Solução.
Seja x = 2senht, então I =
∫
x2
√
x2 + 4 · dx =
∫
4senh2t · 2 cosh t · cosht · dt =
= 16
∫
senh2t · cosh2 t · dt = 4
∫
senh22t · dt = 2
∫
(cosh 4t− 1)dt =
=
1
2
senh4t− 2t+ C = 2senht · cosh t(senh2t+ cosh2 t)− 2t+ C =
=
1
2
x
√
x2 + 4(
x2
4
+
x2 + 4
4
)− 2senh−1(x
2
) + C
Portanto, I =
1
4
x
√
x2 + 4(x2 + 2)− 2senh−1(x
2
) + C.
Exemplo 1.72.
Resolver a integral: I =
∫
dx
x
√
x2 + x+ 1
Solução.
Temos que x2+x+1 = (x+
1
2
)2+(
√
3
2
)2, logo, nossa integral original podemos escrever
na forma: I =
∫
dx
x
√
x2 + x+ 1
= I1 − I2 − I3 onde I1 =
∫ √
x2 + x+ 1
x
dx,
I2 =
1
2
∫
1√
x2 + x+ 1
dx e I3 =
∫
(x+ 1
2
)dx√
x2 + x+ 1
54 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Temos que a solução da integral I1 é muito trabalhosa, por isso vamos omitir o seu
desenvolvimento, não acontecendo o mesmo com as outras duas integrais que são imediatas
usando as fórmulas da página 6. Assim:
I2 =
1
2
∫
1√
(x+ 1
2
)2 + (
√
3
2
)2
dx =
1
2
Ln
[
(x+
1
2
) +
√
x2 + x+ 1
]
I3 =
∫
(x+ 1
2
)dx√
(x+ 1
2
)2 + (
√
3
2
)2
=
√
(x+
1
2
)2 + (
√
3
2
)2 =
√
x2 + x+ 1
I1 =
√
x2 + x+ 1 +
1
2
arcsenh
[
2
3
√
3(x+
1
2
)
]
− arctan
[
(2 + x)
2
√
x2 + x+ 1
]
Portanto,
I =
1
2
arcsenh
[
2
3
√
3(x+
1
2
)
]
−arctan
[
(2 + x)
2
√
x2 + x+ 1
]
−1
2
Ln
[
(x+
1
2
) +
√
x2 + x+ 1
]
+C
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 55
Exercícios 1-4
1. Determine se, as seguintes igualdades são verdadeiras :
1.
∫
sen 2x · dx = 2x− sen 2x
4
+ C
2.
∫
cosh2(5x) · dx = 10x+ senh(10x)
20
+ C
3.
∫
sen 3x
cos4 x
· dx = 1
3 cos3 x
− sec x+ C
4.
∫
tanh4 x · dx = x− tanhx− tanh
3 x
3
+ C
5.
∫
dx
1− sen x = tan x+ sec x+ C
6.
∫
dx√
sen x · cos3 x = 2
√
tanx+ C
7.
∫
sen (3x) · sen (5x) · dx = sen 2x
4
− sen 8x
16
+ C
8.
∫
tanh6 x · sech4x · dx = 1
7
tanh7 x− 1
9
tanh9 x+ C
9.
∫ √
2 · dx
cos3 x · √sen 2x =
2
5
√
tanx(5 + tan2 x) + C
10.
∫
sen 52x · cos3 2x · dx = 1
12
sen 62x− 1
16
sen 82x+ C
11.
∫ √
(1 + cos 4x)3 · dx =
√
2sen 2x−
√
2
3
sen 32x+ C
12.
∫
tan3 3x · sec3 3x · dx = 1
15
sec5 3x− 1
9
sec3 3x+ C
13.
∫
cosh 3x · coshx · dx = 1
8
cosh 5x+
1
4
senh2x+ C
14.
∫
sen 3x · dx
3
√
cos4 x
= 3
√
secx(
3
5
cos2 x+ 3) + C
15.
∫ √
cotx · cos9 x · dx = 2√sen x− 4
5
√
sen 5x+
2
9
√
sen 9x+ C
16.
∫
sen 3x · cos x · dx = 3
16
cos 2x− 3
32
cos 4x+
1
48
cos 6x+ C
17.
∫
cos5 x
sen x
· dx = Ln(sen x)− sen 2x+ 1
4
sen 4x+ C
18.
∫
cos3 x · dx
sen 2x+ sen x
= Ln(sen x)− sen x+ C
19.
∫
tan4(
x
4
) · dx = 2
3
tan3(
x
2
)− 2 tan(x
2
) + x+ C
20.
∫
cos(
x
2
) · cos(x
3
) · dx = 3
5
sen (
5x
6
) + 3sen (
x
3
) + C
56 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
21.
∫
dx
x4
√
x2 + 3
=
√
x2 + 3
9x
−
√
(x2 + 3)3
27x3
+ C
22.
∫ √
4 + x2 =
1
2
[x
√
4 + x2 + Ln(x+
√
4 + x2)] + C
23.
∫
dx
(x+ 1)3
√
x2 + 2x
=
1
2
arcsec(x+ 1) +
√
x2 + 2x
2(x+ 1)2
+ C
24.
∫
sen x · dx√
cos2 x+ 4 cos x+ 1
= − Ln(cos x+ 2 +
√
cos2 x+ 4 cos x+ 1) + C
25.
∫
x2 − 3
x
√
x2 − 4 · dx =
1
2
[Ln(x2 +
√
x4 − 4) − 3
2
arcsec(
x2
2
)] + C
26.
∫
dx
(x2 − 3)√4− x2 =
1
2
Ln[
x−√3√4− x2
x+
√
3
√
4− x2 ] + C
27.
∫
dx
(x2 + 1)(x+
√
x2 + 1)
= Ln[
x+
√
x2 + 1√
x2 + 1
] + C
28.
∫
x5 · dx√
x2 − 9 =
x2 − 9
5
(x4 − 4x2 + 19) + C
29.
∫
x
√
1− x√
2− x · dx = −
√
x2 − 3x+ 2
4
(5 + 2x)− 7
8
Ln(2x− 3 + 2
√
x2 − 3x+ 2) + C
30.
∫
x2
√
x2 + 4 · dx =
√
x2 + 4
4
(x2 + 2)− senh−1(x
2
) + C
31.
∫
x2 · dx√
x2 + 4x− 5 =
√
x2 + 4x− 5
6
(x− 6) + 15
2
cosh−1(
x+ 2
3
+ C
32.
∫
e−x · dx√
[(3e−x)2 + 1]3
= − e
−x
√
1 + 9e−2x
+ C
33.
∫
(x2 − x)dx√
x2 + 3
=
√
x2 + 3
5
(x4 − 4x2 + 19) + C
2. Calcular as integrais de funções trigonométricas e hiperbólicas:
1.
∫
sen 4x · dx 2.
∫
cos5 x · dx 3.
∫
tan5 x ·
√
cos3 x · dx
4.
∫
tan6 x · dx 5.
∫
cos7 x · sen 3x · dx 6.
∫
sen 23x · cos4 3x · dx
7.
∫
cot5 x · dx 8.
∫
cos 2x · cos 7x · dx 9.
∫
sec4 x ·
√
cot3 x · dx
10.
∫
senh3x · dx 11.
∫
sen 3x · cos3 x · dx 12.
∫
senh2x · cosh 5x · dx
13.
∫
tan3 x · dx 14.
∫
sen 4x · cos 5x · dx 15.
∫
sen 8x · sen 3x · dx
16.
∫
sen 3x · dx 17.
∫
senh4xsenhxdx 18.
∫
sen xsen 2xsen 3xdx
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 57
19.
∫
sec4 x
tan4 x
dx 20.
∫
dx
sen 2x · cos4 x 21.
∫
cos2 xdx
sen 2x+ 4sen x cosx
22.
∫
cot2 x · dx 23.
∫
cos2 x · sen 24x · dx 24.
∫
sen 2(
x
4
) · cos2(x
4
) · dx
25.
∫
tan4(
x
2
) · dx 26
∫
dx√
sen 3x · cos5 x 27.
∫
dx
3 + 5sen x+ 3 cosx
28.
∫
sen 2(pix)
cos6(pix)
· dx 29.
∫
cot2 x · cscx · dx 30.
∫
sen 2x · dx
cos3 x− sen 2x− 1
3. Obter a fórmula
∫
secx · dx do modo seguinte:
1. Escrevendo:
secx =
1
cosx
=
cos x
cos2 x
=
cosx
1− sen 2x =
1
2
[
cosx
1 + sen x
+
cosx
1− sen x ]
2. Mediante a substituição t = tan(
x
2
)
4. Mediante substituição trigonométrica, calcular as seguintes integrais:
1.
∫
x2 · dx√
1− x2 2.
∫ √
x2 − 1
x
dx 3.
∫
x2
√
4− x2
4.
∫
dx
x2
√
1 + x2
5.
∫
dx
(x2 + 1)
√
1− x2 6.
∫
x3 · dx√
2x2 + 7
7.
∫
dx√
a2 − x2 8.
∫
(4x+ 5) · dx√
(x2 − 2x+ 2)3 9.
∫
(2x− 3) · dx√
(x2 + 2x− 3)3
10.
∫ √
x2 − 4x · dx
x3
11.
∫
x4 · dx√
(4− x2)7 12
∫ √
(x2 − 25)3 · dx
x6
13.
∫ √
1− 2x− x2dx 14.
∫
dx√
(x2 + 9)3
15.
∫
x3 · dx√
4− x2
16.
∫
2x2 − 4x+ 1√
3 + 2x− x2dx 17
∫ √
y2 − 4
y4
dy 18.
∫
dx√
(x2 −2x+ 5)3
19.
∫
dx
(x2 − 1)√x2 − 2 20.
∫
2x2 + 1
(x2 + 4)2
· dx 21.
∫
dx
(2x2 + 1)
√
x2 + 1
22.
∫
x2 · dx
(x2 − 1)4 23
∫
x2 · dx
(x2 + 4)3
24.
∫
x · dx
(x2 − 2)√x4 − 4x2 + 5
25.
∫
2x3 · dx
(x2 − 1)4 26.
∫
e2x · dx√
(e2x − 2ex + 5)3 27.
∫ √
(3− 2x− x2)3 · dx
28.
∫
x · dx√
x2 + 1
29
∫
dx√
x2 + px+ q
30.
∫ √
x2 + 2x+ 5 · dx
58 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
31.
∫
(2x− 8) · dx√
1− x− x2 32
∫ √
2− x− x2 · dx 33.
∫ √
1− cos2 x · dx√
4 cos x+ 1 + cos2 x
34.
∫
dx
x3
√
x2 − a2 35.
∫
dt
t · √16− t2 36.
∫
x2
√
(a2 − x2)3 · dx
37.
∫
x5 · 3
√
8 + x2 · dx 38.
∫ √
x+ 5
x
· dx 39.
∫
dx
9x2 − 6x+ 2
40.
∫
x2 + 1
x3 + 1
· dx 41.
∫
x3 · dx√
(ax+ b)3
42.
∫ √
(x4 + 1)3
x2
· dx
43.
∫ √
a+ x
a− x · dx 44.
∫ √
(2x2 + 7)7 · dx
x
45.
∫
x · Lnx · dx√
1− x2
46.
∫
x · dx√
1− 2x2 − x4 47.
∫
(2x+ 1) · dx√
(4x2 + 1− 2x)3
5. Mediante integração por partes, mostre as seguintes fórmulas de redução [16]:
1.
∫
sen nx · dx = − sen
n−1x · cos x
n
+
n− 1
n
∫
sen n−2x · dx
2.
∫
cosn x · dx = cos
n−1 x · sen x
n
+
n− 1
n
∫
cosn−2 x · dx
3.
∫
dx
(x2 + 1)2
=
x
2(n− 1)(x2 + 1)n−1 +
2n− 3
2(n− 1)
∫
dx
(x2 + 1)n−1
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 59
1.3.5 Integração de funções racionais
Chama-se função racional aquela do tipo f(x) =
P (x)
Q(x)
onde P (x) e Q(x) são
polinômios. Uma função racional chama-se própria, se o grau do polinômio P (x) for menor
que o grau do polinômio Q(x); no caso contrário a função racional chamasse imprópria.
São funções racionais elementares aquelas funções racionais impróprias dos seguintes
tipos:
a)
a
x− p
b)
a
(x− p)m onde m é um número inteiro maior que a unidade.
c)
ax+ b
x2 + px+ q
onde p2 < 4q , isto é, o denominador é sempre positivo (não tem raízes
reais).
d)
ax+ b
(x2 + px+ q)n
onde n é um número inteiro maior que a unidade e o denominador
é sempre positivo (não tem raízes reais).
Onde a, b, c, p e q são constantes reais.
Para as integrais do tipo a) e b), mediante mudança de variável mostra-se que:
1o
∫
a
x− p · dx = a · Ln | x− p | + C
2o
∫
a
(x− p)m · dx = −
a
(m− 1) ·
1
(x− p)m−1 + C; lembre que m > 1.
Para o caso particular de uma função racional elementar do tipo c), onde a = 0 e
b = 1 temos:
x2 + px+ q = x2 + 2 · p
2
x+ q = x2 + 2 · p
2
x+ q + (
p
2
)2 − (p
2
)2 =
(x+
p
2
)2 + q − (p
2
)2 = (x+
p
2
)2 +
4q − p2
4
=
= (x+
p
2
)2 + (
√
4q − p2
4
)2 = u2 + r2
desde que p2 < 4q, u = x+
p
2
e r =
√
4q − p2
4
.
Assim, a integral I =
∫
dx
x2 + px+ q
=
∫
du
u2 + r2
=
1
r2
arctan(
u
r
) + C.
Portanto:
3o I =
∫
dx
x2 + px+ q
=
2√
4q − p2 arctan[
2x+ p√
4q − p2 ] + C
60 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Para o caso geral de uma função racional elementar do tipo c), temos:
Escrevemos ax+ b sob a forma ax+ b =
a
2
(2x+ p) + (b− ap
2
) ; então a integral:
4o I =
∫
(ax+ b)dx
x2 + px+ q
=
a
2
∫
(2x+ p) · dx
x2 + px+ q
+ (b− ap
2
)
∫
dx
x2 + px+ q
Na primeira integral o numerador é a derivada do numerador. A segunda integral é
determinada pela fórmula estudada do caso 3o).
Para as integrais do tipo d), separemos o numerador da derivada do denominador
como segue:
I =
∫
ax+ b
(x2 + px+ q)n
=
∫ a
2
(2x+ p) + (b− ap
2
)
(x2 + px+ q)n
=
I =
a
2
∫
(2x+ p)dx
(x2 + px+ q)n
+ (b− ap
2
)
∫
dx
(x2 + px+ q)n
Portanto:
5o I =
∫
ax+ b
(x2 + px+ q)n
=
a
2
∫
(2x+ p)dx
(x2 + px+ q)n
+ (b− ap
2
)
∫
dx
(x2 + px+ q)n
A primeira integral do segundo membro resolve-se com a substituição u = x2 + px+ q
e a segunda integral J , do seguinte modo:
J =
∫
dx
(x2 + px+ q)n
=
∫
dx
[(x+ p
2
)2 + (4q−p
2
4
)2]n
, considerando u = x +
p
2
e r2 =
4q − p2
4
obtemos J =
∫
dx
(x2 + px+ q)n
=
∫
du
(u2 + r2)n
.
Deste modo, a integração de uma função racional do tipo d) pode resolve-se com ajuda
de uma fórmula de recorrência.
Observação 1.11.
Estudemos um caso particular da função racional elementar do tipo d).
Para a integral In =
∫
dx
(x2 + r2)n
onde n é um inteiro positivo, temos a seguinte
fórmula de recorrência:
In =
1
2r2(n− 1) ·
x
(x2 + r2)n−1
+
1
r2
· In−1 (1.8)
Esta fórmula (1.8) permite depois de aplicada n vezes, reduzir à integral dada In a
uma imediata.
Exemplo 1.73.
Calcular a integral I =
∫
dx
x2 + 6x+ 25
Solução.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 61
I =
∫
dx
x2 + 6x+ 25
=
∫
dx
(x+ 3)2 + 42
=
∫
d(x+ 3)
(x+ 3)2 + 42
=
1
4
arctan[
x+ 3
4
] + C
Portanto, I =
1
4
arctan[
x+ 3
4
] + C.
Exemplo 1.74.
Calcular a integral I =
∫
dx
2x2 − 2x+ 3
Solução.
I =
∫
dx
2x2 − 2x+ 3 =
1
2
∫
dx
x2 − x+ 3
2
=
1
2
∫
dx
(x− 1
2
)2 + (
√
5
2
)2
=
1
2
∫
d(x− 1
2
)
(x− 1
2
)2 + (
√
5
2
)2
=
1
2
· 2√
5
arctan[
x− 1
2√
5
2
] + C =
1√
5
arctan[
2x− 1√
5
] + C
Portanto, I =
1√
5
arctan[
2x− 1√
5
] + C.
Exemplo 1.75.
Calcular a integral I =
∫
3x− 1
x2 − 4x+ 8
Solução.
Temos I =
∫
3x− 1
x2 − 4x+ 8 =
∫ 3
2
(2x− 4)− 1 + 6
x2 − 4x+ 8 · dx =
=
3
2
∫
2x− 4
x2 − 4x+ 8 · dx+ 5
∫
dx
x2 − 4x+ 8 =
1
2
Ln[x2 − 4x+ 8] + 5
∫
dx
(x− 2)2 + 22 =
=
3
2
Ln[x2 − 4x+ 8] + 5
2
arctan[
x− 2
2
] + C
Portanto, I =
∫
3x− 1
x2 − 4x+ 8 =
3
2
Ln[x2 − 4x+ 8] + 5
2
arctan[
x− 2
2
] + C.
Exemplo 1.76.
Calcular as seguintes integrais:
a) I =
∫
3 · dx
4x2 + 4x− 3 b) J =
∫
dx
x2 − 2x+ 10
Solução. a)
I =
∫
3 · dx
4x2 + 4x− 3 =
3
4
∫
dx
x2 + x− 3
4
=
3
4
∫
dx
(x+ 1
2
)2 − 1 =
3
4
· 1
2
Ln
[
x− 1
2
x+ 1
2
]
+ C
Portanto, I =
3
8
Ln[
2x− 1
2x+ 1
] + C
Solução. b)
J =
∫
dx
x2 − 2x+ 10 =
∫
dx
(x− 1)2 + 32 =
1
3
arctan[
x
3
] + C.
Portanto, J =
1
3
arctan[
x
3
] + C.
62 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Exemplo 1.77.
Calcular a integral I =
∫
x. · dx
2x2 + 2x+ 5
Solução.
Observe que a derivada de (2x2 + 2x+ 5) é (4x+ 2); logo:
I =
∫
x. · dx
2x2 + 2x+ 5
=
∫ 1
4
(4x+ 2)− 1
2
2x2 + 2x+ 5
· dx = 1
4
∫
(4x+ 2)dx
2x2 + 2x+ 5
− 1
2
J (1.9)
Onde J =
∫
dx
2x2 − 2x+ 5 .
Para o cálculo da integral
∫
(4x+ 2)dx
2x2 + 2x+ 5
temos
∫
(4x+ 2)dx
2x2 + 2x+ 5
= Ln[2x2+2x+5];
e, o cálculo da integral J =
∫
dx
2x2 − 2x+ 5 =
1
2
∫
dx
x2 + x+ 5
2
=
1
2
∫
d(x+ 1
2
)
(x+ 1
2
)2 + (3
2
)2
=
1
2
· 3
4
arctan
[
x+ 1
2
3
2
]
=
1
3
· arctan(2x+ 1
3
.
Portanto em (1.9) segue:
I =
∫
x · dx
2x2 + 2x+ 5
=
1
4
Ln[2x2 + 2x+ 5]− 1
6
arctan(
2x+ 1
3
) + C.
Exemplo 1.78.
Calcular as seguintes integrais:
a) I =
∫
(3x− 5) · dx
x2 + 6x+ 18
b) J =
∫
(4x+ 5) · dx
x(x+ 3)
Solução. a)
Observe que 3x−5 = 3
2
(2x+6)−14, então I = 3
2
∫
(2x+ 6) · dx
x2 + 6x+ 18
−14
∫
dx
(x+ 3)2 + 9
=
3
2
Ln(x2 + 6x+ 18)− 14
3
arctan(
x+ 3
3
) + C.
Portanto, I =
∫
(3x− 5) · dx
x2 + 6x+ 18
=
3
2
Ln(x2 + 6x+ 18)− 14
3
arctan(
x+ 3
3
) + C.
Solução. b)
Observe que,
4 + 5x
x(x+ 3)
=
A
x
+
B
x+ 3
=
A(x+ 3) +Bx
x(x+ 3)
, como os denominadores são
iguais então 4 + 5x = x(A+B) + 3A, logo A =
43
e B =
11
3
assim,
J =
∫
(4x+ 5) · dx
x(x+ 3)
=
∫ 4
3
x
· dx+
∫ 11
3
x+ 3
· dx = 4
3
Lnx+
11
3
Ln(x+ 3) + C
Portanto, J =
4
3
Lnx+
11
3
Ln(x+ 3) + C.
Exemplo 1.79.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 63
Determine a integral I =
∫
2x3 + 3x
x4 + x2 + 1
· dx
Solução.
Seja u = x2, então du = 2x · dx e, I =
∫
2x3 + 3x
x4 + x2 + 1
· = 1
2
∫
(2x2 + 3) · 2x · dx
x4 + x2 + 1
=
1
2
∫
(2u+ 3)du
u2 + u+ 1
=
1
2
∫
(2u+ 1)du
u2 + u+ 1
+
∫
du
u2 + u+ 1
= Ln[u2+u+1]+
∫
d(u+ 1
2
)
(u+ 1
2
)2 + (
√
3
2
)2
=
1
2
Ln[u2 + u+ 1] +
2√
3
arctan(
2u+ 1√
3
) + C.
Portanto, I =
1
2
Ln[x4 + x2 + 1] +
2√
3
arctan(
2x2 + 1√
3
) + C.
Exemplo 1.80.
Calcular a integral I3 =
∫
dx
(x2 + 1)3
Solução.
Segundo a primeira aplicação da fórmula (1.8) da Observação (1.11) temos:
I3 =
∫
dx
(x2 + 1)3
=
1
2(1)2(3− 1) ·
x
(x2 + 12)3−1
+
1
(1)2
· (2(3)− 3
2(3)− 2) · I3−1
I ==
x
4(x2 + 1)2
+
3
4
I2;
aplicando a fórmula recorrente à integral I2 temos:
I2 =
∫
dx
(x2 + 1)2
=
1
2(1)2(2− 1) ·
x
(x2 + 12)2−1
+
1
(1)2
· (2(2)− 3
2(2)− 2) · I2−1
I2 =
x
2(x2 + 1)
+
1
2
∫
dx
x2 + 1
=
x
2(x2 + 1)
+
1
2
arctanx
Por último, I3 =
x
4(x2 + 1)2
+
3
4
[
x
2(x2 + 1)
+
1
2
arctanx] + C.
Portanto, I3 =
x
4(x2 + 1)2
+
3x
8(x2 + 1)
+
3
8
arctanx+ C.
Exemplo 1.81.
Calcular a integral I =
∫
(3x+ 2)dx
(x2 + 2x+ 10)2
Solução.
Temos I =
∫
(3x+ 2)dx
(x2 + 2x+ 10)2
=
∫ 3
2
(2x+ 2) + (2− 3)
(x2 + 2x+ 10)2
· dx, assim
I =
3
2
∫
(2x+ 2)dx
(x2 + 2x+ 10)2
−
∫
dx
(x2 + 2x+ 10)2
(1.10)
64 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Onde,
∫
(2x+ 2)dx
(x2 + 2x+ 10)2
=
∫
du
u2
= − 1
u
= − 1
x2 + 2x+ 10
; por outro lado, aplicando
a fórmula de recorrência (1.8) segue que a integral:∫
dx
(x2 + 2x+ 10)2
=
∫
dx
((x+ 1)2 + 32)2
=
=
1
2(3)2(2− 1) ·
(x+ 1)
((x+ 1)2 + 32)2−1
+
1
32
(
2(2)− 3
2(2)− 2
∫
dx
(x+ 1)2 + 32
=
=
(x+ 1)
18[(x+ 1)2 + 32]
+
1
18
.
1
3
arctan(
x+ 1
3
)
Em (1.10) segue, I =
∫
(3x+ 2)dx
(x2 + 2x+ 10)2
=
3
2
[− 1
x2 + 2x+ 10
] − 1
18
· (x+ 1)
x2 + 2x+ 10
+
1
18
· 1
3
arctan(
x+ 1
3
).
Portanto: I = − 3
2(x2 + 2x+ 10)
− (x+ 1)
18(x2 + 2x+ 10)
− 1
54
arctan(
x+ 1
3
) + C.
1.3.5.1 Método dos coeficientes indeterminados
Antes de proceder à integração de uma função racional é necessário efetuar as trans-
formações algébricas e seguintes cálculos:
1o Se a função racional é imprópria, escrever sob a forma:
P (x)
Q(x)
= M(x) +
P1(x)
Q1(x)
onde M(x) é um polinômio e
P1(x)
Q1(x)
é uma função racional própria.
2o Decompor o denominador Q(x) em produto de fatores lineares e quadráticos : Q(x) =
(x − a)m . . . (xn + px + q)n . . . onde p2 < 4q (isto é o trinômio: xn + px + q , tem
raízes complexas).
3o Desenvolver a função racional própria em funções simples:
P1(x)
Q1(x)
=
A1
(x− a)m+
A2
(x− a)m−1+
A3
(x− a)m−2+. . .+
Am
(x− a)+. . .+
B1x+ C1
(x2 + px+ q)n
+
+
B2x+ C2
(x2 + px+ q)n−1
+
B3x+ C3
(x2 + px+ q)n−2
+ . . .+
Bnx+ Cn
(x2 + px+ q)
4o Calcular os coeficientes A1, A2, . . . Am, B1, B2, . . . Bn, C1, C2, . . . Cn para o qual deve-se
reduzir a última igualdade a um denominador comum; logo agrupar os coeficientes
adjuntos de iguais potências de x e utilizar igualdade de polinômios.
Como resultado, a integração de uma função racional se reduz à determinação de
integrais de polinômio e das funções simples; e se apresentam os seguintes casos:
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 65
Caso I. Quando o denominador têm somente raízes reais diferentes sem multiplicidade;
isto é, o denominador podemos decompor como o produto de fatores distintos de
primeiro grau.
Caso II. Quando o denominador têm somente raízes reais diferentes algumas delas com
multiplicidade; isto é, o denominador podemos decompor como o produto de fatores
distintos de primeiro grau, e alguns deles se repetem.
Caso III. Quando entre as raízes do denominador existem algumas que são complexas e
não se repetem; isto é o denominador podemos escrever como o produto de fatores
de primeiro grau e quadráticos (que não se repetem).
Caso IV. Entre as raízes do denominador existem complexas e múltiplas, isto é o deno-
minador tem fatores quadráticos que se repetem.
Exemplo 1.82.
Calcular a integral I =
∫
x+ 3
x2 + 3x+ 2
· dx
Solução.
Observe que x2 + 3x+ 2 = (x+ 2)(x+ 1); então estamos no Caso I e,
x+ 3
x2 + 3x+ 2
=
A
x+ 2
+
B
x+ 1
=
A(x+ 1) +B(x+ 2)
x2 + 3x+ 2
onde:
x+ 3 = A(x+ 1) +B(x+ 2) = x(A+B) + (A+ 2B)
Podemos supor x = 0, então 0+3 = 0(A+B)+ (A+2B) , o que implica A+2B = 3;
e, quando consideramos x = 1, então 1 + 3 = 1(A+B) + (A+ 2B, então 2A+ 3B = 4.
Resolvendo o sistema A+ 2B = 3 e 2A+ 3B = 4 temos A = −1 e B = 2.
A integral I =
∫
x+ 3
x2 + 3x+ 2
·dx =
∫ −1
x+ 2
·dx+
∫
2
x+ 1
·dx = Ln(x+2)+2Ln(x+
1) + Const. = Ln[
(x+ 2)2
x+ 1
] + Const.
Portanto, I =
∫
x+ 3
x2 + 3x+ 2
· dx = Ln[(x+ 2)
2
x+ 1
] + Constante.
Exemplo 1.83.
Calcular a integral I =
∫
x2 + 2x+ 6
(x− 1)(x− 4)(x− 2) · dx
Solução.
É uma integral do Caso I, e podemos escrever:
x2 + 2x+ 6
(x− 1)(x− 4)(x− 2) =
A
x− 1 +
B
x− 4 +
C
x− 2 =
66 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
=
A(x− 4)(x− 2) +B(x− 1)(x− 2) + C(x− 1)(x− 4)
(x− 1)(x− 4)(x− 2) ;
por igualdade de polinômios, resulta:
x2 + 2x+ 6 = A(x− 4)(x− 2) +B(x− 1)(x− 2) + C(x− 1)(x− 4) =
x2(A+B + C) + x(−6A− 5B − 3C) + (8A+ 4B + 2C);
onde: 1 = A+B + C, 2 = −6A− 5B − 3C e 6 = 8A+ 4B + 2C.
Resolvendo o sistema temos A = 3, B = −7 e C = 5.
Logo I =
∫
x2 + 2x+ 6
(x− 1)(x− 4)(x− 2) · dx =
∫
3 · dx
x− 1 +
∫
(−7) · dx
x− 4 +
∫
5 · dx
x− 2 =
= 3Ln(x−1)−7Ln(x−4)+5Ln(x−2)+Constante. = Ln[(x− 1)
3(x− 2)5
(x− 4)7 ]+Constante.
Portanto, I =
∫
x2 + 2x+ 6
(x− 1)(x− 4)(x− 2) · dx = Ln[
(x− 1)3(x− 2)5
(x− 4)7 ] + Constante.
Exemplo 1.84.
Calcular a integral I =
∫
(x2 + 4x+ 4) · dx
x(x− 10)2
Solução.
Estamos a resolver uma integral do Caso II; a função
(x2 + 4x+ 4)
x(x− 10)2 é racional própria
e seu desenvolvimento é da forma:
(x2 + 4x+ 4)
x(x− 10)2 =
A
x
+
B
x− 1 +
C
(x− 1)2
onde x2 + 4x + 4 = A(x − 1)2 + Bx(x − 1) + Cx = x2(A + B) + x(−2A − B + C) + A;
logo, A = 4 e A+B = 1, onde B = −3; de −2A−B +C = 4 e dos valores calculados de
A e B, segue que C = 9.
Assim, I =
∫
(x2 + 4x+ 4) · dx
x(x− 10)2 =
∫
4 · dx
x
+
∫
(−3) · dx
x− 1 +
∫
9 · dx
(x− 1)2 = 4Lnx −
3Ln(x− 1)− 9
x− 1 + Constante.
Portanto, I =
∫
(x2 + 4x+ 4) · dx
x(x− 10)2 = Ln[
x4
(x− 1)3 −
9
x− 1] + Constante.
Exemplo 1.85.
Determine a integral I =
∫
x2 + 1
(x− 1)3(x+ 3) · dx
Solução.
É uma integral do Caso II; ao fator (x − 1)3 corresponde à soma de três funções
racionais simples
A
(x− 1)3+
B
(x− 1)2+
C
(x− 1) , e ao fator (x+3) corresponde
D
x+ 3
; assim,
do fato os denominadores serem iguais temos:
x2 + 1
(x− 1)3(x+ 3) =
A
(x− 1)3 +
B
(x− 1)2 +
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 67
C
(x− 1) +
D
x+ 3
; onde:
x2 + 1 = A(x+ 3) +B(x− 1)(x+ 3) + C(x− 1)2(x+ 3) +D(x− 1)3
Quando x = −3, temos (−3)2 + 1 = −64D então D = − 5
32
, e quando x = 1, temos:
12 + 1 = 4A, onde A =
1
2
.
Por outro lado, x2 + 1 = x3(C + D) + x2(B − 2C + 3D) + x(A + 2B − 5C + 3D) +
(A− 3B + 3C −D), então C +D = 0, onde C = 5
32
; e de A− 3B + 3C −D = 1 segue
que−3B = 1− 1
2
− 3( 5
32
) + (− 5
32
) onde B =
3
8
.
A integral I =
∫
x2 + 1
(x− 1)3(x+ 3) · dx =
∫
(1
2
) · dx
(x− 1)3 +
∫
(3
8
) · dx
(x− 1)2 +
∫
( 5
32
) · dx
x− 1 +∫
(− 5
32
) · dx
x+ 3
=
1
2
∫
dx
(x− 1)3+
3
8
∫
dx
(x− 1)2+
5
32
∫
dx
x− 1−
5
32
∫
dx
x+ 3
= − 1
4(x− 1)2−
3
8(x− 1) +
5
32
Ln(x− 1)− 5
32
Ln(x+ 3) + Constante.
Portanto, I =
∫
x2 + 1
(x− 1)3(x+ 3) · dx = −
1
4(x− 1)2 −
3
8(x− 1) +
5
32
Ln[
x− 1
x+ 3
] +
Constante.
Exemplo 1.86.
Calcular a integral I =
∫
dx
x5 − x2
Solução.
Es uma integral do Caso III; observe que x5 − x2 = x2(x2 + x+ 1)(x− 1), então
1
x5 − x2 =
1
x2(x2 + x+ 1)(x− 1) =
A
x2
+
B
x
+
C
x− 1 +
Dx+ E
x2 + x+ 1
como os denominadores são iguais temos
1 = A(x2 + x+1)(x− 1) +Bx(x2 + x+1)(x− 1) +Cx2(x2 + x+1)+ (Dx+E)x2(x− 1)
isto é:
1 = A(x3 − 1) +B(x4 − x) + C(x4 + x3 + x2) +Dx4 + Ex3 −Dx3 − Ex2
quando x = 0, então A = −1; e quando x = 1 então C = 1
3
.
Comparando coeficientes entre os dos polinômios: B+C+D = 0; A+C+E−D = 0
e C − E = 0 achamos que B = 0, D = −1
3
e E =
1
3
, logo integral
68 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
I =
∫
dx
x5 − x2 =
∫
(−1) · dx
x2
+
∫
0 · dx
x
+
∫
(1
3
) · dx
x− 1 +
∫ −1
3
+ 1
3
x2 + x+ x
· dx =
=
1
x
+
1
3
Ln(x− 1)− 1
3
∫
x− 1
x2 + x+ 1
=
=
1
x
+
1
3
Ln(x− 1)− 1
6
∫
2x+ 1− 3
x2 + x+ 1
· dx
=
1
x
+
1
3
Ln(x− 1)− 1
6
Ln(x2 + x+ 1) +
1
2
∫
dx
(x+ 1
2
)2 + 3
4
=
1
x
+
1
3
Ln(x− 1)− 1
6
Ln(x2 + x+ 1) +
1
2
· 2√
3
arctan[
2x+ 1√
3
] + Constante.
Portanto, I =
∫
dx
x5 − x2 =
1
x
+
1
6
Ln[
(x− 1)2
(x2 + x+ 1)
]+
1√
3
arctan[
2x+ 1√
3
]+Constante.
Exemplo 1.87.
Calcular a integral I =
∫
x · dx
x4 + 6x2 + 2
Solução.
Observe que x4 + 6x2 + 2 = (x2 + 5)(x2 + 1); e:
x
x4 + 6x2 + 2
=
Ax+B
(x2 + 5)
+
Cx+D
(x2 + 1)
então
x = (Ax+B)(x2+1)+(Cx+D)(x2+5) = (A+C)x3+(B+D)x2+(A+5C)x+(B+5D)
de onde obtemos o sistema
A+ C = 0, (B +D) = 0, (A+ 5C) = 1 e B + 5D = 0
onde A = −1
4
, C =
1
4
, B = D = 0.
Logo a integral I =
∫
x · dx
x4 + 6x2 + 2
= − 1
4
∫
x · dx
(x2 + 5)
+
∫
x · dx
(x2 + 1)
=
= − 1
8
Ln(x2 + 5) +
1
8
Ln(x2 + 1) + Constante
Portanto, I =
∫
x · dx
x4 + 6x2 + 2
=
1
8
Ln
[
x2 + 1
x2 + 5
]
+ Constante.
Exemplo 1.88.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 69
Calcular a integral I =
∫
(x3 − 2x)dx
(x2 + 1)2
Solução.
Esta integral corresponde ao Caso IV, pelo fato ser x2 + 1 é um fator dobre, então:
x3 − 2x
(x2 + 1)2
=
Ax+B
(x2 + 1)2
+
Cx+D
x2 + 1
eliminando denominadores x3− 2x = (Ax+B)+ (Cx+D)(x2+1) = Cx3+Dx2+x(A+
C) + (B +D); onde 1 = C, A+ C = −2, D = 0, B = 0 e A = −3. Logo
I =
∫
(x3 − 2x)dx
(x2 + 1)2
=
∫
(−3)x · dx
(x2 + 1)2
+
∫
x · dx
x2 + 1
=
=
−3
2
2x · dx
(x2 + 1)2
+
1
2
∫
2x · dx
x2 + 1
=
3
2(x2 + 1)
+
1
2
Ln(x2 + 1) + Constante.
Portanto, I =
∫
(x3 − 2x)dx
(x2 + 1)2
=
3
2(x2 + 1)
+
1
2
Ln(x2 + 1) + Constante.
Exemplo 1.89.
Calcular a integral I =
∫
x3 + 3x2 + 5x+ 7
x2 + 2
· dx
Solução.
Temos que separar a parte inteira da função racional imprópria dada, pelo algoritmo
da divisão para polinômios temos que
x3 + 3x2 + 5x+ 7 = (x2 + 2)(x+ 3) + (3x+ 1)
Assim,
x3 + 3x2 + 5x+ 7
x2 + 2
= x+ 3 +
3x+ 1
x2 + 2
e a integral original
I =
∫
x3 + 3x2 + 5x+ 7
x2 + 2
· dx =
∫
(x+ 3)dx+
∫
3x+ 1
x2 + 2
· dx =
= x2+3x+
3
2
∫
dx
x2 + 2
+
∫
dx
x2 + 2
= x2+3x+
3
2
·Ln(x2+2)+ 1√
2
·arctan[ x√
2
]+Constante.
Portanto: I =
∫
x3 + 3x2 + 5x+ 7
x2 + 2
·dx = x2+3x+ 3
2
·Ln(x2+2)+ 1√
2
·arctan[ x√
2
]+
Constante.
Exemplo 1.90.
Calcular a integral I =
∫
dx
x3 + 1
Solução.
70 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Temos a igualdade:
1
x3 + 1
=
1
(x+ 1)(x2 − x+ 1) =
A
x+ 1
+
Bx+ C
x2 − x+ 1
eliminando denominadores:
1 = A(x2 − x+ 1) + (Bx+ C)(x+ 1) =
= (A+B)x2 + (B + C − A)x + (A− C) (1.11)
igualando os coeficientes dos polinômios temos A+ B = 0, B + C − A = 0 e A+ C = 1
onde A =
1
3
, B = − 1
3
e C =
2
3
.
Logo, I =
∫
dx
x3 + 1
=
1
3
∫
dx
x+ 1
− 1
3
∫
x− 2
x2 − x+ 1 · dx.
Seja J =
1
3
∫
x− 2
x2 − x+ 1 · dx então
J =
1
6
∫
(2x− 1)− 3
x2 − x+ 1 · dx =
1
6
∫
2x− 1
x2 − x+ 1 · dx−
1
2
∫
dx
x2 − x+ 1
na integral original temos
I =
1
3
∫
dx
x+ 1
− 1
6
∫
2x− 1
x2 − x+ 1 · dx+
1
2
∫
dx
x2 − x+ 1 =
=
1
3
Ln(x+ 1)− 1
6
Ln(x2 − x+ 1) + 1
2
∫
dx
(x− 1
2
)2 + 3
4
=
=
1
3
Ln[
x+ 1
x2 − x+ 1] +
1
2
· 1√
3
arctan(
2x− 1√
3
) + Constante
Portanto, I =
∫
dx
x3 + 1
=
1
3
Ln[
x+ 1
x2 − x+ 1] +
1
2
√
3
arctan(
2x− 1√
3
) + Constante.
Observação 1.12.
a) A igualdade (1.11) é válida para qualquer x 6= −1. Consequentemente verifica-se
também para x = −1 desde que no primeiro membro tanto como no segundo temos
funções contínuas em x.
b) No princípio toda função racional é integrável em funções elementares. Na prática a
integração completa de funções do tipo
∫
P (x)
Q(x)
·dx é possível desde que se conheçam
todas as raízes de Q(x) assim como sua multiplicidade.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 71
Desde este ponto de vista merece grande atenção o método proposto por Ostrogradski
V. M. que exponho na última parte de este capítulo.
Exemplo 1.91.
Calcular:
a) I =
∫
3x2 + x− 2
4− 12x+ 9x2 − 2x3 · dx b) J =
∫
x · dx
x3 + 1
Solução. a)
Observe que: 4− 12x+ 9x2 − 2x3 = (x− 2)2(1− 2x).
Temos a igualdade:
3x2 + x− 2
4− 12x+ 9x2 − 2x3 =
A
(x− 2)2 +
B
x− 2 +
C
1− 2x
eliminando denominadores:
3x2 + x− 2 = A(1− 2x) + B(x− 2)(1− 2x) + C(x− 2)2
Por exemplo podemos supor que x = 2 então temos que 12 = −3A, ao supor que
2x = 1 temos que C = −1
3
onde calculando o valor para o coeficiente B temos B = −5
3
,
assim
I = −4
∫
dx
(x− 2)2 −
5
3
∫
dx
x− 2 −
1
3
∫
dx
1− 2x =
1
3
Ln[
√
1− 2x
(x− 5)2 ] +
4
x− 2 + C
Portanto, I =
∫
3x2 + x− 2
4− 12x+ 9x2 − 2x3 · dx =
1
3
Ln[
√
1− 2x
(x− 5)2 ] +
4
x− 2 + C
Solução. b)
Observe que x3 + 1 = (x+ 1)(x2 − x+ 1); estabelecemos a seguinte igualdade:
x
x3 + 1
=
Ax+B
x2 − x+ 1 +
C
x+ 1
, onde x = (Ax+B)(x+ 1) + C(x2 − x+ 1)
Resolvendo A =
1
3
, B =
1
3
, C = − 1
3
, logo
J =
1
3
∫
(x+ 1) · dx
x2 − x+ 1 −
1
3
∫
dx
x+ 1
=
1
6
Ln[
x2 − x+ 1
(x+ 1)2
] + arctan[
2x− 1√
3
] + C
Portanto, J =
1
6
Ln[
x2 − x+ 1
(x+ 1)2
] + arctan[
2x− 1√
3
] + C.
Exemplo 1.92.
72 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Calcular a integral I =
∫
(5x2 − 12) · dx
(x2 − 6x+ 13)2
Solução.
Podemos observar que (x2 − 6x + 13)2 tem raizes complexas de multiplicidade dois
logo
5x2 − 12
(x2 − 6x+ 13)2 =
Ax+B
x2 − 6x+ 13 +
Cx+D
(x2 − 6x+ 13)2 , então
5x2 − 12 = (Ax+B)(x2 − 6x+ 13) + Cx+D ⇒
5x2 − 12 = Ax3 + x2(B − 6A) + x(13A− 6B + C) + (D + 13B) ⇒
A = 0, 5 = B, C = 30, D = −77
Assim
I =
∫ [
0x+ 5
x2 − 6x+ 13 +
30x− 77
(x2 − 6x+ 13)2
]
dx
I = 5
∫ [
1
(x− 3)2 + 22dx+
∫
15(2x− 6) + 13
(x2 − 6x+ 13)2
]
dx
I =
5
2
arctan
x− 3
2
− 15
x2 − 6x+ 13 + 13
∫
1
((x− 3)2 + 22)2dx
Seja (x− 3) = 2 tanα ⇒ dx = 2 sec2 αdα ⇒ (x− 3)2 + 22 = 4 sec2α, logo∫
1
(x2 − 6x+ 13)2dx =
∫
2 sec2 α
16 sec4 α
dα =
2
16
∫
cos2 αdα =
1
16
∫
[1 + cos(2α)]dα =
=
1
16
[α +
1
2
sen (2α)] =
1
16
[α + sen α cosα] =
1
16
[
arctan
x− 3
2
+
2(x− 3)
x2 − 6x+ 13
]
Voltando a integral
I =
5
2
arctan
x− 3
2
− 15
x2 − 6x+ 13 +
13
16
[
arctan
x− 3
2
+
2(x− 3)
x2 − 6x+ 13
]
Portanto,
I =
∫
(5x2 − 12) · dx
(x2 − 6x+ 13)2 =
13x− 159
8(x2 − 6x+ 13) +
53
16
arctan(
x− 3
2
) + C
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 73
Exercícios 1-5
1. Determine a veracidade das seguintes igualdades:
1.
∫
dx
(x− 1)4 = −
1
3(x− 1)3 + C
2.
∫
dx
4x2 + 4x+ 5
=
1
4
arctan(
2x+ 1
2
) + C
3.
∫
dx
(2x+ 3)3
= − 1
4(2x+ 3)2
+ C
4.
∫
dx
x2 − 4x+ 2 = −
√
2
2
arctanh(
x− 2√
2
) + C
5.
∫
(x+ 2)dx
x(x− 3) =
1
3
Ln[
(x− 3)5
x2
+ C
6.
∫
x3 − 2
x3 − x2 · dx = x−
2
x
+ Ln[
x2
| x− 1 | ] + C
7.
∫
dx
x2 − 6x+ 18 =
1
3
arctan[
x− 3
3
] + C
8.
∫
dx
(x2 − 2x)3 =
1
4
Ln[
x
x+ 2
− x− 1
2x(x− 2) + C
9.
∫
(x+ 1)dx
(x2 + 1)(x2 + 9)
=
1
16
Ln[
x2 + 1
x2 + 9
] +
1
8
arctanx− 1
24
arccot(
x
3
) + C
10.
∫
x4dx
x4 − 16 = x +
1
2
Ln[
x− 2
x+ 2
] − arctan[x
2
] + C
2. Calcular as seguintes integrais, sabe-se que o denominador tem raízes reais distintas:
1.
∫
(x3 + x2)dx
x2 − 6x+ 5 2.
∫
x2 + 5x+ 7
x+ 3
· dx 3.
∫
x2dx
x2 − 4x+ 3
4.
∫
dx
(x+ a)(x+ b)
5.
∫
x · dx
(2x+ 1)(x+ 1)
6.
∫
(2x2 − 5)dx
x4 − 5x2 + 6
7.
∫
(x3 − 1)dx
4x3 − x 8.
∫
(x− 1)2dx
x2 + 3x+ 4
9.
∫
dx
6x3 − 7x2 − 3x
10.
∫
dx
x2 + 2x
11.
∫
5x3 + 2
x3 − 5x2 + 4x · dx 12.
∫
(x5 + x4 − 8)dx
x3 − 4x
13.
∫
x · dx
2x2 − 3x− 2 14.
∫
x · dx
x4 − 3x2 + 2 15.
∫
x2 · dx
(x2 − 4)(x+ 1)
16.
∫
(2x2 + 41x− 91) · dx
(x− 1)(x+ 3)(x− 4) 17.
∫
(x2 + 5x+ 6) · dx
(x− 1)(x+ 3)(x− 4)
18.
∫
(x6 − 2x4 + 3x3 − 9x2 + 4) · dx
x5 − 5x3 + 4 19.
∫
32x · dx
(2x− 1)(4x2 − 16x+ 15)
74 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
3. Calcular as seguintes integrais; o denominador tem raízes reais múltiplas.
1.
∫
(
x+ 2
x− 1)
2 · dx
x
2.
∫
(2x− 3) · dx
(x2 − 3x+ 2)2 3.
∫
(5x3 − 17x2 + 18x− 5) · dx
(x− 1)3(x− 2)
4.
∫
(x3 + 1) · dx
x3 − x2 5.
∫
(x2 − 3x+ 2) · dx
x(x2 + 2x+ 1)
6.
∫
(5x2 + 6x+ 9) · dx
(x− 3)2(x+ 1)
7.
∫
dx
x4 − x2 8.
∫
x2 · dx
(x+ 2)2(x+ 4)2
9.
∫
(x3 − 6x2 + 11x− 5) · dx
(x− 2)4
10.
∫
1
8
(
x− 1
x+ 1
)4 · dx 11.
∫
x2 · dx
x3 + 5x2 + 8x+ 4
12.
∫
(x2 − 2x+ 3) · dx
(x− 1)(x3 − 4x2 + 3x)
13.
∫
(3x2 + 1) · dx
(x2 − 1)3 14.
∫
(x3 − 2x2 + 4) · dx
x3(x− 2)2 15.
∫
(x3 − 6x2 + 9x+ 7) · dx
(x− 2)2(x− 5)
16.
∫
(7x3 − 9) · dx
x4 − 5x3 + 6x2 17.
∫
x5 · dx
(x− 1)2(x2 − 1) 18.
∫
dx
(x2 − 16)(x2 − 1)(x2 − 9)
4. Calcular as seguintes integrais; o denominador tem raízes complexas distintas.
1.
∫
dx
3x2 + 5
2.
∫
x · dx
x2 + x+ 1
3.
∫
(2x2 − 3x− 3) · dx
(x− 1)(x2 − 2x+ 5)
4.
∫
dx
x3 − 8 5.
∫
(x3 − 1) · dx
4x3 − 1 6.
∫
(2x2 + x+ 3) · dx
(x+ 2)(x2 + x+ 1
7.
∫
dx
x(x2 + 1)
8.
∫
(x2 + 2) · dx
x4 + 4
9.
∫
(x4 + 1) · dx
x3 − x2 + x+ 1
10.
∫
dx
x3 + 1
11.
∫
(x− 2) · dx
x2 − 4x+ 7 12.
∫
(3x2 + x+ 3) · dx
(x− 1)3(x2 + 1)
13.
∫
x · dx
x3 − 1 14.
∫
(x3 + x+ 1) · dx
x4 − 81 15.
∫
cos x · dx
sen 2x− 6sen x+ 12
16.
∫
x2 · dx
1− x4 17
∫
dx
(x+ 1)2(x2 + 1)
18.
∫
(3x3 + x2 + 5x+ 1) · dx
x3 + x
19.
∫
(x− 2) · dx
5x2 + 2x+ 1
20.
∫
(5x+ 3) · dx
x2 + 10x+ 29
21.
∫
(x5 + 2x3 + 4x+ 4) · dx
x4 + 2x3 + 2x2
22.
∫
dx
x4 + 1
23
∫
dx
(x2 + 1)(x2 + x)
5. Calcular as seguintes integrais; o denominador tem raízes complexas múltiplas.
1.
∫
dx
(x2 + 2)3
2.
∫
x2 · dx
x6 + 2x3 + 3
3
∫
(2x+ 3) · dx
(x2 + 2x+ 5)2
4.
∫
(x3 + x− 1) · dx
(x2 + 2)2
5.
∫
dx
(x2 + 9)3
6.
∫
dx
x(4 + x2)(x2 + x)
7.
∫
dx
(x2 + 1)4
8.
∫
(x+ 1)4 · dx
(x2 + 2x+ 2)3
9.
∫
(5x2 − 12) · dx
(x2 + 6x+ 13)2
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 75
1.3.6 Integração de funções racionais trigonométricas
Em geral, as funções que são combinações de funções trigonométricas não são integrá-
veis por métodos elementares. Estudaremos alguns caos nos quais a expressão a integra-se
pode ser racionalizado.
1.3.6.1 integrais do tipo
∫
R(cosx, sen x) · dx.
Onde R(cosx, sen x) é uma função racional de variáveis cosx e sen x. Das fórmulas:
cosx = cos2(
x
2
)− sen 2(x
2
) = cos2(
x
2
) · [1− tan2(x
2
)] =
1− tan2(x
2
)
1 + tan2(x
2
)
sen x = 2sen (
x
2
) cos(
x
2
) = cos2(
x
2
) · [2 · tan2(x
2
)] =
2 · tan2(x
2
)
1 + tan2(x
2
)
deduzimos pela substituição trigonométrica universal t = tan(
x
2
) que x = arctan(2t) e:
dx =
2dt
1 + t2
, cos x =
1− t2
1 + t2
, sen x =
2t
1 + t2
Portanto,
∫
R(cosx, sen x) ·dx =
∫
R(
1− t2
1 + t2
,
2t
1 + t2
) · 2 · dt
1 + t2
, observe que a integral
do segundo membro é a integral de uma função racional de variável t.
Exemplo 1.93.
Determine a integral I =
∫
dx
4sen x+ 3 cos x+ 5
Solução.
A função integrando depende das funções sen x e cosx, efetuamos a substituição t =
tan(
x
2
), então
I =
∫
dx
4sen x+ 3 cos x+ 5
=
∫ 2dt
1+t2
4[ 2t
1+t2
] + 3[1−t
2
1+t2
] + 5
⇒
I = 2
∫
dt
2t2 + 8t+ 8
=
∫
dt
(t+ 2)2
= − 1
t+ 2
+ C
Portanto, I = − 1
tan(x
2
) + 2
+ C.
Exemplo 1.94.
Determine a integral I =
∫
dx
cos x+ 2sen x+ 3
Solução.
76 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Temos
I =
∫
dx
cosx+ 2sen x+ 3
=
∫ 2dt
1+t2
[1−t
2
1+t2
] + 2[ 2t
1+t2
] + 3
=
∫
dt
t2 + 2t+ 2
⇒
I =
∫
dt
(t+ 1)2 + 1
= arctan(t+ 1) + C = arctan[1 + tan(
x
2
)] + C
Observação 1.13.
A substituição universal oferece a possibilidade de integrar qualquer função racional de
va- riável cos x e sen x; em alguns casos esta substituição conduz a cálculos complicados
de funções racionais de variável t2.
Propriedade 1.5.
Seja
∫
R(cosx, sen x) · dx então:
1o.- Se a função R é ímpar respeito da variável sen x; isto é, se R(cosx, −sen x) =
−R(cosx, sen x) recomenda-se a substituição t = cos x.
2o.- Se a função R é ímpar respeito da variável cos x; isto é, se temos R(− cos x, sen x) =
−R(cosx, sen x) recomenda-se a substituição t = sen x.
3o.- Se a função R é par respeito da variável cosx e sen x; isto é, se R(− cosx, −sen x) =
R(cosx, sen x) recomenda-se a substituição t = tan x.
Exemplo 1.95.
Calcular a integral J =
∫
(sen x+ sen 3x)dx
cos 2x
Solução.
Observe que
R(cosx, −sen x) = [(−sen x) + (−sen x)
3]
cos 2x
= −R(cosx, sen x)
é ímpar a respeito do sen x; logo t = cosx, onde sen x =
√
1− t2, −sen x · dx = dt e
cos 2x = 2 cos2 x− 1 = 2t2 − 1 , logo
J =
∫
(sen x+ sen 3x)dx
cos 2x
=
∫
(2− t2)(−dt)
2t2 − 1 =
1
2
∫
dt− 3
2
∫
dt
2t2 − 1 ⇒
J =
1
2
t− 3
2
√
2
Ln[
√
2t− 1√
2t+ 1
] + C
Portanto, J =
1
2
cos x− 3
2
√
2
Ln[
√
2 cos x− 1√
2 cos x+ 1
] + C.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 77
Exemplo 1.96.
Determine o valor da integral I =
∫
(cos3 x+ cos5 x)dx
sen 2x+ sen 4x
Solução.
Observe que a função é ímpar a respeito da variável cos x; considere t = sen x, então
dt = cos x · dx, cos2 x = 1− sen 2x.
I =
∫
(cos3 x+ cos5 x)dx
sen 2x+ sen 4x
=
∫
cos2 x(1 + cos2 x) cos x · dx
sen 2x(1 + sen 2x)⇒
I =
∫
(1− t2)(2− t2) · dt
t2(1 + t2)
=
∫
dt+ 2
∫
dt
t2
− 6
∫
dt
1 + t2
= t− 2
t
− 6 arctan t+ C
Portanto, I = sen x− 2 csc x− 6 arctan(sen x) + C.
Exemplo 1.97.
Calcular J =
∫
dx
sen 2x+ 2sen x cosx− cos2 x
Solução.
Observe que a função de integração é par a respeito das variáveis cosx e sen x; logo seja
t = tanx, então dt = sec2 x · dx, multiplicando por sec2 x o numerador e o denominador
temos:
J =
∫
dx
sen 2x+ 2sen x cos x− cos2 x =
∫
sec2 x · dx
tan2 x+ 2 tanx− 1 ⇒
J =
∫
dt
(t+ 1)2 − 2 =
1
2
√
2
Ln
[
t+ 1−√2
t+ 1 +
√
2
]
+ C
Portanto, J =
1
2
√
2
Ln
[
tanx+ 1−√2
tanx+ 1 +
√
2
]
+ C
Observação 1.14.
Em geral a substituição t = tan x recomenda-se quando as integrais são do tipo:
a)
∫
R(cosm x, sen nx) · dx sendo m e n inteiros pares.
b)
∫
R(tanx) · dx
Exemplo 1.98.
Calcular J =
∫
dx
3 + cos2 x
Solução.
78 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Podemos escrever J =
∫
dx
3 + cos2 x
=
∫
dx
3sen 0x+ cos2 x
, então m = 2 e n = 0.
Seja t = tanx, então dt = sec2 x · dx, e
J =
∫
dx
3 + cos2 x
=
∫
sec2 x · dx
3 sec2 x+ 1
=
∫
dt
3t2 + 4
=
1√
3
arctan
[√3t
2
]
+ C
Portanto, J =
∫
dx
3 + cos2 x
=
1√
3
arctan
[√3 tanx
2
]
+ C
Observação 1.15.
Se no exemplo precedente consideramos a substituição universal t = tanx, na integral
original teríamos J =
∫
2(1 + t2)dt
3t4 + 3t2 + 2
que, sua solução oferece uma dificuldade maior.
Exemplo 1.99.
Resolver I =
∫
tanx · dx
2 + tan2 x
Solução.
Seja t = tanx, então dt = sec2 x · dx; logo a integral:
I =
∫
tan x · dx
2 + tan2 x
=
∫
tanx · sec2 x · dx
sec2 x(2 + tan2 x)
⇒
I =
∫
t · dt
(1 + t2)(2 + t2)
=
∫
t · dt
t‘2 + 1
−
∫
t · dt
t2 + 2
⇒
I =
1
2
Ln(t2 + 1)− 1
2
Ln(t2 + 2) + C =
1
2
Ln
[
t2 + 1
t2 + 2
]
+ C
Portanto, I =
1
2
Ln
[
tan2 x+ 1
tan2 x+ 2
]
+ C =
1
2
Ln
[
sec2 x
secx+1
]
+ C.
1.3.7 Integração de funções irracionais elementares
Sejam a, b, p, q e r constantes reais; chamam-se funções irracionais elementares aquelas
funções dos seguintes tipos:
a) R(x, n1
√
(ax+ b)m1 , n2
√
(ax+ b)m2 , . . . , n1k
√
(ax+ b)m1k) onde R é uma função racional,
m1, m2, . . . ,mk, n1, n2, . . . , nk são números inteiros.
b)
1√
px2 + qx+ r
c)
ax+ b√
px2 + qx+ r
d)
1
(x− α)√px2 + qx+ r
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 79
e)
Pn(x)√
px2 + qx+ r
, onde Pn(x) é um polinômio de grau n.
Observe o seguinte:
1o - Para resolver integrais da forma da função racional do tipo:∫
R(x, n1
√
(ax+ b)m1 , n2
√
(ax+ b)m2 , · · · , n1k
√
(ax+ b)m1k)dx
temos que fazer a substituição ax + b = us , onde s é mínimo múltiplo comum
dos números n1, n2, · · · , nk. A integral a resolver transforma-se em uma integral
racional.
2o - Para resolver integrais do tipo
∫
dx√
px2 + qx+ r
, é suficiente completar quadrados
e aplicar fórmulas correspondentes (26) ou (27) da página 6.
3o - Para calcular integrais do tipo
∫
ax+ b√
px2 + qx+ r
, separamos o numerador em duas
parcelas; uma delas como a derivada do trinômio da parte interna da raiz do deno-
minador, logo representamos a integral como a soma de duas integrais, uma de elas
é resolvida com a fórmula (27). Isto é:
I =
∫
(ax+ b) · dx√
px2 + qx+ r
=
∫ a
2p
(2px+ q) + (b− aq
2p
)√
px2 + qx+ r
· dx =
=
a
2p
∫
(2px+ q) · dx√
px2 + qx+ r
+ (b− aq
2p
)
∫
dx√
px2 + qx+ r
4o - As integrais do tipo
∫
dx
(x− α)√px2 + qx+ r , são resolvidas com a substituição
x− α = 1
u
, que são reduzidas a tipos estudadas anteriormente.
5o - Por último uma integral do tipo I =
∫
Pn(x)√
px2 + qx+ r
, onde Pn(x) é um polinômio
de grau n; podemos resolver com o auxilio da seguinte identidade:
I =
∫
Pn(x)√
px2 + qx+ r
= Qn−1(x)
√
px2 + qx+ r + λ
∫
dx√
px2 + qx+ r
(1.12)
Onde Qn−1(x) é um polinômio de grau (n− 1) com coeficientes indeterminados
e, λ é um número. Derivando a identidade (1.12) e, reduzindo o resultado ao deno-
minador comum, obteremos a igualdade entre polinômios apartir do qual podemos
determinar os coeficientes do polinômio Qn−1(x).
80 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Exemplo 1.100.
Calcular I =
∫
dx
3
√
(2x+ 1)2 −√2x+ 1
Solução.
Observe que n1 = 3 e n2 = 2; logo s = 6 e consideramos 2x + 1 = u6; onde dx =
3u5 · du, 3√(2x+ 1)2 = u4 e √2x+ 1 = u3. Logo na integral original temos:
I =
∫
dx
3
√
(2x+ 1)2 −√2x+ 1 =
∫
3u5 · du
u4 − u3 ⇒
I = 3
∫
u2 · du
u− 1 = 3
∫
(u+ 1 +
1
u− 1)du = 3[
1
2
u2 + u+ Ln(u− 1)] + C
Portanto: I = 3[
1
2
3
√
2x+ 1 + 6
√
2x+ 1 + Ln( 6
√
2x+ 1− 1)] + C.
Exemplo 1.101.
Resolver a integral I =
∫
dx√
x2 + 2x+ 5
Solução.
Observe que x2 + 2x+ 5 = (x+ 1)2 + 22 , então
I =
∫
dx√
x2 + 2x+ 5
=
∫
dx√
(x+ 1)2 + 22
= Ln[x+ 1 +
√
x2 + 2x+ 5] + C
Portanto, I =
∫
dx√
x2 + 2x+ 5
= Ln[x+ 1 +
√
x2 + 2x+ 5] + C.
Exemplo 1.102.
Calcular a integral I =
∫
(5x− 3)dx√
2x2 + 8x+ 1
Solução.
Observe que a = 5, b = −3, p = 2, q = 8 e r = 1; então
I =
∫
(5x− 3)dx√
2x2 + 8x+ 1
=
5
2(2)
∫
2(2)x+ 8√
2x2 + 8x+ 1
· dx+ (−3− (5)(8)
2(2)
)
∫
dx√
2x2 + 8x+ 1
=
=
5
2
√
2x2 + 8x+ 1− 13√
2
∫
dx√
x2 + 4x+ 1
2
=
=
5
2
√
2x2 + 8x+ 1− 13√
2
Ln[x+ 2 +
√
x2 + 4x+
1
2
] + C
Portanto: I =
∫
(5x− 3)dx√
2x2 + 8x+ 1
=
5
2
√
2x2 + 8x+ 1− 13√
2
Ln[x+2+
√
x2 + 4x+
1
2
]+
C.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 81
Exemplo 1.103.
Calcular a integral I =
∫
dx
x
√
5x2 − 2x+ 1
Solução.
Seja x =
1
u
, então dx = − 1
u2
· du e
I =
∫ − 1
u2
· du
x
√
5x2 − 2x+ 1 =
∫
dx
1
u
√
5( 1
u
)2 − 2( 1
u
) + 1
= −
∫
du√
u2 − 2u+ 5 ⇒
I = −Ln[u+ 1 +
√
u2 − 2u+ 5] + C = −Ln[1
x
+ 1 +
√
1
x2
− 2
u
+ 5] + C
Portanto, I =
∫
dx
x
√
5x2 − 2x+ 1 = − Ln[
1− x+√5x2 − 2x+ 1
x
] + C.
Exemplo 1.104.
Determine o valor da integral I =
∫
x3 + 2x2 + 3x+ 4√
x2 + 2x+ 2
· dx
Solução.
Observe que n = 3; logo a identidade respectiva tem a forma:
I =
∫
x3 + 2x2 + 3x+ 4√
x2 + 2x+ 2
· dx = (b0x2 + b1x+ b2)
√
x2 + 2x+ 2 + λ
∫
dx√
x2 + 2x+ 2
Derivando ambos os membros da igualdade obtemos:
x3 + 2x2 + 3x+ 4√
x2 + 2x+ 2
= (2b0x+ b1)
√
x2 + 2x+ 2 +
+
(x+ 1)(b0x
2 + b1x+ b2)√
x2 + 2x+ 2
+
λ√
x2 + 2x+ 2
Eliminando o denominador:
x3 + 2x2 + 3x+ 4 = (2b0x+ b1)(x
2 + 2x+ 2) + (x+ 1)(b0x
2 + b1x+ b−2) + λ
isto é, x3 + 2x2 + 3x+ 4 = 3b0x3 + (5b0 + 2b1)x2 + (4b0 + 3b1 + b2)x+ (2b1 + b2 + λ).
Comparando os coeficientes dos polinômios:
3b0 = 1, 5b0 + 2b1 = 2, 4b0 + 3b1 + b2 = 3 e 2b1 + b2 + λ = 4
Onde b0 =
1
3
, b1 =
1
6
, b2 =
7
6
e λ =
5
2
.
Portanto, I = (
1
3
x2 +
1
6
x+
7
6
)
√
x2 + 2x+ 2 +
3
2
Ln[x+ 1 +
√
x2 + 2x+ 2] + C.
82 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
1.3.7.1 Integração de diferenças binômias
São as integrais do tipo
∫
xm(a + bxn)p · dx, onde m, n e p são números racionais.
Como demonstrou P. Chébishev, as integrais de diferenças binômias se expressam por
funções elementares somente em três casos:
1o Se p é um número inteiro, então a integral dada se reduz à integral de uma função
racional quando fazemos a substituição x = us, onde s é o mínimo múltiplo comum
das frações m e n.
2o Se
m+ 1
n
é um número inteiro, neste caso a integral dada transforma-se numa integral
racional mediante a substituição a+ bxn = us onde s é o denominador da fração p;
sendo p =
rs
e o máximo divisor comum de r e s igual à unidade.
3o Se
m+ 1
n
+ p é um número inteiro, a substituição apropriada é ax−n + b = us , onde s
é o denominador da fração p.
Exemplo 1.105.
Determine o valor da integral: I =
∫
dx√
x( 4
√
x+ 1)10
Solução.
Temos que I =
∫
dx√
x( 4
√
x+ 1)10
=
∫
x−
1
2 (x
1
4 +1)−10dx; observe que m = −1
4
, n =
1
4
e p = −10 logo é uma integral do 1o caso e s = m.m.c.{2, 4} = 4 .
Seja x = u4 , então dx = 4u3 · du e
I =
∫
(u4)−
1
2 ((u4)
1
4 + 1)−10(4u3)du = 4
∫
u · du
(u+ 1)10
⇒
I = 4
∫
u+ 1− 1
(u+ 1)10
· du = 4
∫
du
(u+ 1)9
+ 4
∫
du
(u+ 1)10
= − 1
2(u+ 1)8
− 4
9(u+ 1)9
+ C
Portanto, I =
∫
dx√
x( 4
√
x+ 1)10
= − 1
2( 4
√
x+ 1)8
− 4
9( 4
√
x+ 1)9
+ C.
Exemplo 1.106.
Determine o valor da integral: I =
∫
x3 · dx
(a2 − x2)√a2 − x2
Solução.
Observe que, I =
∫
x3 · dx
(a2 − x2)√a2 − x2 =
∫
x3(x2 − x2)− 32 , logo m = 3, n = 2 e
p = − 3
2
; como
m+ 1
n
é um inteiro, estamos no 2o caso.
Seja a2 − x2 = u2, temos que x · dx = −u · du, e
I =
∫
x3 · dx
(a2 − x2)√a2 − x2 =
∫
(a2 − u2)(u2)− 32 (−u · du) ⇒
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 83
I = −
∫
a2 − u2
u2
· du =
∫
du−
∫
a2 · du
u2
= u+
a2
u
+ C
Portanto, I =
∫
x3 · dx
(a2 − x2)√a2 − x2 = (a
2 − x2) + a
2
√
a2 − x2 + C.
Exemplo 1.107.
Determine o valor da integral: I =
∫
x
1
3 (2 + x
2
3 )
1
4 · dx
Solução.
Temos m =
1
3
, n =
2
3
e p = 1
4
onde
m+ 1
n
= 2, a substituição apropriada é 2+x
2
3 = u4
logo,
2
3
x−
1
3dx = 4u3du ou dx = 6x
1
3u3du.
A integral I =
∫
x
1
3 (2 + x
2
3 )
1
4 · dx =
∫
x
1
3 (u4)
1
4 · 6x 13u3du =
= 6
∫
x
2
3u4du = 6
∫
(u4 − 2)u4du = 6[u
9
9
− 2u
5
5
] + C =
u5
15
[10u4 − 36] + C
.
Portanto, I =
∫
x
1
3 (2 + x
2
3 )
1
4 · dx = (2 + x
2
3 )
5
4
15
[565 + 10x
2
3 ] + C.
Exemplo 1.108.
Calcular a integral J =
∫
dx
x6 6
√
(65− x6)
Solução.
Observe que m = −6, n = 6 e p = − 1
6
, como
m+ 1
n
+ p = −1 a substituição
recomendada é , 65− x6 = u6x6 isto é 65x− 6− 1 = u6, onde dx = − 1
65
x7u5du, então
J =
∫
dx
x6 6
√
(65− x6) =
∫
x−6(u6x6)
1
6 (− 1
65
x7u5 · du) = − 1
65
∫
u4 · du = − 1
325
u5 + C
Portanto, J =
∫
dx
x6 6
√
(65− x6) = −
6
√
(65− x6)5
325
+ C.
Exemplo 1.109.
Resolver I =
∫
dx√
x2
3
√
1 +
4
√
x3
Solução.
Seja x = y4, então dx = 4y3dy, logo
I = 4
∫
y−3(1 + y3)−
1
3dy
84 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
observe que m = −3, n = 3, p = − 1
3
e
m+ 1
n
+p = −1 (inteiro) consideramos y−3+1 = t3
então y = (t3 − 1)− 13 e dy = − t2(t3 − 1)− 43 · dt , a integral se reduz a
I = −4
∫
t · dt = − 2t2 + C
Substituindo as variáveis originais temos que I = −2 3
√
(x−
3
4 + 1)2 + C.
Portanto, I = −2 3
√
(x−
3
4 + 1)2 + C.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 85
Exercícios 1-6
1. Determine se as seguintes igualdades são verdadeiras:
1.
∫
3sen x+ 2 cos x
2sen x+ 3 cos x
· dx = 12x
13
− 5
12
Ln(3sen x+ 2 cos x) + C
2.
∫
dx
cos2 x+ 2sen x cos x+ 2sen 2x
= arctan(2 tanx+ 1) + C
3.
∫
dx
sen 2x+ 3sen x cosx− cos2 x =
1√
13
Ln[
2 tanx+ 3−√13
2 tan x+ 3 +
√
13
] + C
4.
∫
cos x · dx
sen 2x− 6sen x+ 5 =
1
4
Ln[
sen x− 5
sen x+ 1
] + C
5.
∫
sen x · dx
cos2 x− 2 cos x+ 5 = −
1
2
arctan[
cos x− 1
2
] + C
6.
∫
dx
sen 2x+ 8sen x cosx+ 12 cos2 x
=
1
4
Ln[
tanx+ 2
tanx+ 6
] + C
7.
∫
dx
secx+ 1
= x− tan(x
2
) + C
8.
∫
dx
2− 5sen x =
1√
21
Ln[
2 tan(x
2
)− 5−√21
2 tan(x
2
)− 5 +√21] + C
9.
∫
dx
cosx+ sen x
=
1√
2
Ln[
√
2− 1− tan(x
2
)√
2−+1− tan(x
2
)
] + C
10.
∫
dx
1− sen x+ cos x = Ln[
cos(x
2
)
cos(x
2
) − sen (x
2
)
] + C
11.
∫
x3 · dx√
(1 + 2x2)3
=
1 + x2
2
√
1 + 2x2
+ C
12.
∫
dx
x2 3
√
(2 + x3)5
= − 4 + 3x
3
8x · 3√(2 + x3)2 + C
13.
∫
dx
(x+ 1)
√
1 + x− x2 = arctan[
1 + 3x
2
√
1 + x− x2 ] + C
14.
∫
dx
1 + 3
√
x+ 1
= Ln(x+2)− 3
2
3
√
(x+ 1)2−3 3√x+ 1+3Ln[1+ 3√x+ 1]−Lnx+C
15.
∫ 3√(x+√1 + x2)5 · dx
√
1 + x2
=
3
5
3
√
(x+
√
1 + x2)5 + C
16.
∫
dx
x
√
x2 − 4x− 4 =
1
2
arctan[
2x− 4√
x2 − 4x− 4] + C
17.
∫
x
√
3
√
x2 + 2 · dx =
3
√
(
3
√
x2 + 2)7
7
−
12
√
(
3
√
x2 + 2)5
5
+ 4
√
(
3
√
x2 + 2)3 + C
18.
∫
dx
(x− 2)√5x− x2 − 4 =
1
2
Ln[
x− 4
3(2− x) ] + C
86 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
19.
∫
dx
(1 + x)
√
1 + x+ x2
= Ln[
√
1 + x+ x2−x−2]−Ln[
√
1 + x+ x2−x] = +C
20.
∫
2
(2− x)2 ·
3
√
2− x
2 + x
· dx = 3
4
3
√
(
2− x
2 + x
)2 + C
2. Calcular as seguintes integrais indefinidas :
1.
∫
dx
4 + 3 cosx
2.
∫
1 + tanx
1− tan x · dx 3.
∫
dx
2 + sen x+ 3 cos x
4.
∫
dx
5− 3 cos x 5.
∫
(1 + tanx) · dx
2sen x cosx
6.
∫
dx
sen 44x+ tan2 4x
7.
∫
sen 2x · dx
1 + cos2 x
8.
∫
(4 + cos x)dx
2 + 3 cos x
9.
∫
dx
3 + sen 2x− cos2 x
10.
∫
dx
3 cos x+ 2
11.
∫
sen 2x · dx
sen 4x+ cos4 x
12.
∫
dx
sen 2x− 5sen x cos x
13.
∫
sen x · dx
1 + sen x
14.
∫
dx
3sen 2x+ 5 cos2 x
15.
∫
dx
3− 2sen x+ cos x
16.
∫
dx
2 + sen x
17.
∫
dx
4 + 2 cos 3x
18.
∫
sen 2x− 2 cos2 x
sen 2x− cos2 x · dx
19.
∫
dx
2− sen x 20.
∫
sen x · tanx · dx
sen 3x− cos3 x 21.
∫
sen 4x+ cos4 x
sen 2x− cos2 x · dx
22.
∫
sen x · dx
1 + sen x
23.
∫
sen 2x · dx
1 + 4 cos2 x
24.
∫
senh2x cosh2 x · dx
25.
∫
senh32x 26.
∫
dx
coshx− 1 27.
∫
dx
senh2x · cosh2 x
28.
∫
cosh2 3x · dx 29.
∫
1 + cotx
1− cotx · dx 30.
∫
dx
4sen 2x− 7 cos2 x
31.
∫
cosh4 x · dx 32.
∫ √
coshx+ 1 · dx 33.
∫
(2 + 3 cosx)dx
cosx(1 + 4 cos x)
34.
∫
coth3 x · dx 35.
∫ √
sen x · dx
cos x
36.
∫
(2 + cos x)dx
sen x(1− cosx)
37.
∫
tanh4 x · dx 38.
∫
tanx · dx
1 + cosx
39.
∫
dx
b2sen 2x+ a2 cos2 x
40.
∫
x · dx
sen 2x
41.
∫
dx
sen x+ tanx
42.
∫
(1 + cos x)dx
1− 2a · cos x+ a2
43.
∫
dx
sen x− sen a 44.
∫
sen x · dx
cosx+ sen x
45.
∫
dx
1 + sen x+ cosx
46.
∫
dx
cos99 x+ 1
47.
∫
cotx · dx
sen 7x+ 1
48.
∫
dx
sen 5x(1 + cos 5x)
49.
∫
dx
12 + 5 tanx
50.
∫
tanx · dx
a+ b tan2 4x
51.
∫
dx
cos2 x+ 5 cos x+ 6
3. Calcular as seguintes integrais:
1.
∫
dx
4
√
1 + x4
2.
∫
dx
x4
√
1 + x2
3.
∫
dx√
(x2 + 2x+ 3)3
4.
∫
x3 · dx√
x− 1 5.
∫
dx
x · 3√1 + x2 6.
∫
dx√
x3 · 3
√
1 +
4
√
x3
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 87
7.
∫
dx√
x+ 3
√
x
8.
∫ √
x · dx
x+
5
√
x4
9.
∫
5x2 + 20x− 24√
x+ 5
· dx
10.
∫ √
x+ 1√
x3 + 1
· dx 11.
∫ √
1− x
x2
√
1 + x
· dx 12.
∫
8x+ 21
√
2x− 5
4 +
√
2x− 5 · dx
13.
∫
x3 · dx√
1− x2 14.
∫
3
√
x · dx
( 3
√
x+ 1)2
15.
∫
dx
4
√
(x+ 1)3 − 4√(x+ 1)5
16.
∫
dx
x2
√
(1 + x2)3
17.
∫
3
√
(x− 2)2 · dx
3
√
(x− 2)2 + 3 18.
∫
dx
(1 + x4)
√
1 + x4 − x2
19.
∫
dx
3
√
8x3 + 27
20.
∫
dx
x5 · 5√25− x5 21.
∫
x5 + 2x2√
(1 + x3)3
· dx
22.
∫
dx
x3 3
√
1 + x3
23.
∫
3
√
x · 4
√
2 +
3
√
x2 · dx 24.
∫
cos x · sen 7x · dx√
(1 + sen 4x)3
25.
∫ √
2− 3√x · dx
3
√
x
26.
∫ √
1 + 3
√
x
3
√
x227.
∫
x5 · 3
√
(1 + x2)2 · dx
28.
∫
x3 · dx√
1− x2 29.
∫
dx
x
√
(1 + x2)3
30.
∫
4
√
(1 +
√
x)3 · dx
31.
∫
dx√
(1 + x2)3
32.
∫
dx
3
√
x2(
3
√
x2 + 1)
33.
∫
dx
x7 3
√
(x−3 + 1)4
34.
∫
3
√
x · dx
( 3
√
x+ 1)2
35.
∫ √
3
√
x+ 1 · dx
3
√
x
36.
∫
dx√
e2x + 4ex − 4
37.
∫
dx
x · 3√1 + x5 38.
∫
x
√
x− 1
x+ 1
· dx 39.
∫
dx
x2 · 3√(2 + x3)2
40.
∫
dx
x4
√
1 + x2
41.
∫
dx√
x+ 1 +
√
(1 + x)3
42.
∫
ex · dx√
sec2 α− 2ex tanα
4. A partir da integral In =
∫
xn · cos(ax) · dx, mostre que:
In =
xn
a
sen (ax) +
n · xn−1
a2
cos(ax)− n(n− 1)
a2
In−2
.
5. Mostre que a integral In =
∫
sen (nx)
sen x
· dx cumpre a seguinte identidade:
In =
2
n− 1sen (n− 1)x+ In−2
6. Mostre que
∫
cos 8x− sen 7x
1 + cos 2x
· = sen 3x
3
− sen 2x
2
+C. Sugestão: sen 3x = sen x(1+
88 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
2 cos 2x).
7. O preço de revenda de um Fusca decresce a uma taxa que varia com o tempo de
uso. Quando a máquina tinha t anos, a taxa de variação por ano era −960 · 5√e− t
reais por ano. Se o Fusca foi comprado por R$5.000,00 quanto custará dentro de 10
anos?
8. Estima-se que a valorização de um objeto dá-se a uma taxa de
4x3
10
√
0, 2x4 + 8000
reais por ano. Se o valor desse objeto é R$500,00 quanto será o custo dentro de 10
anos?
9. Calcular
∫
(y + x) · dx sendo y3 − x3 + x4 = 0. Sugestão: considere y = tx.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 89
1.4 Outros métodos de integração
Existem outras técnicas para a solução de integrais as quais são úteis e não tem
fórmulas gerais, como mostram os seguintes exemplos:
Exemplo 1.110.
Calcular a integral I =
∫
sen x · dx
cosx+ sen x
Solução. .
Seja J =
∫
cosx · dx
cosx+ sen x
, observe que I + J =
∫
dx = x+ C1.
Por outro lado J−I =
∫
(cosx− sen x) · dx
cos x+ sen x
=
∫
(cos2 x−sen 2x)dx =
∫
cos 2x·dx =
1
2
sen 2x+ C2 = sen x · cosx+ C2.
Portanto I =
1
2
[x− sen x · cosx] + C.
Exemplo 1.111.
Calcular a integral J =
∫
cos3 x+ 2 cos x+ 1
cosx+ 2
· dx
Solução.
É conveniente efetuar a decomposição em frações simples a respeito do cos x e logo
integrar; isto é aplicando o algoritmo da divisão, temos:
J =
∫
cos3 x+ 2 cosx+ 1
cos x+ 2
· dx =
∫
(cos2 x− 2 cos x+ 6)dx−
− 11
∫
dx
cosx+ 2
=
13
2
x+
sen 2x
4
− 2sen x− 22√
3
arctan[
tan(x
2
)√
3
] + C.
Portanto J =
13
2
x+
sen 2x
4
− 2sen x− 22√
3
arctan[
tan(x
2
)√
3
] + C.
Observação 1.16.
Seja uma integral do tipo
∫
f(cosx, sen x)dx, onde f é uma função que em geral não
pode expressa com substituição das funções elementares.
Para calcular estas integrais, podemos considerar como variável sen x, cosx, tanx ou
tan(
x
2
).
Exemplo 1.112.
Calcular a integral I =
∫
sen 2x√
sen x
· dx
Solução.
Temos I =
∫
sen 2x√
sen x
· dx = 2
∫ √
sen x · cosx · dx = 2
∫ √
u · du = 4
3
√
u3 + C.
Portanto, I =
4
3
sen x · √sen x+ C.
90 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
1.4.1 Integrais do tipo:
∫
Pn(x)√
px2 + qx+ r
dx (1o de Ostrogradski)
No integrando Pn(x) é um polinômio de grau n. Esta integral é calculada com a ajuda
da identidade:
I =
∫
Pn(x)√
px2 + qx+ r
= Qn−1(x)
√
px2 + qx+ r + λ
∫
dx√
px2 + qx+ r
(1.13)
onde Qn−1(x) é um polinômio de grau (n− 1) com coeficientes indeterminados, e λ é um
número real.
Derivando a identidade (1.13) e reduzindo o resultado ao denominador comum, obtere-
mos a igualdade de dois polinômios do qual são determinados os coeficientes do polinômio
Qn−1(x) e o número λ.
Exemplo 1.113.
Calcular a integral J =
∫
x3 + 2x2 + 3x+ 4√
x2 + 2x+ 2
· dx
Solução.
Observe que o grau do numerador é n = 3, é devido a isso que a identidade (1.13) tem
a forma:
J =
∫
x3 + 2x2 + 3x+ 4√
x2 + 2x+ 2
= (b0x
2 + b1x+ b2)
√
x2 + 2x+ 2 + λ
∫
dx√
x2 + 2x+ 2
derivando ambos os membros, obtemos:
x3 + 2x2 + 3x+ 4√
x2 + 2x+ 2
= (2b0x+ b1)
√
x2 + 2x+ 2 +
(b0x
2 + b1x+ b2) · (x+ 1)√
x2 + 2x+ 2
+ λ · 1√
x2 + 2x+ 2
Eliminando o denominador:
x3 + 2x2 + 3x+ 4 = (2xb0 + b1)(x
2 + 2x+ 2) + (b0x
2 + bx + b2)(x+ 1) + λ
o bem, x3 + 2x2 + 3x+ 4 = 3b0x3 + (5b0 + 2b1)x2 + (4b0 + 3b1 + b2)x+ (2b1 + b2 + λ).
Comparando os coeficientes de potências iguais de x, obtemos o sistema:
3b0 = 1, 5b0 + 2b1 = 2, 4b0 + 3b1 + b2 = 3, 2b1 + b2 + λ = 4
resolvendo o mesmo, achamos b0 =
1
3
, b1 =
1
6
, b2 =
7
6
e λ = 5
2
.Logo:
∫
x3 + 2x2 + 3x+ 4√
x2 + 2x+ 2
· dx = (1
3
x2 +
1
6
x+
7
6
)
√
x2 + 2x+ 2 +
5
2
∫
dx√
x2 + 2x+ 2
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 91
Portanto, J = (
1
3
x2 +
1
6
x+
7
6
)
√
x2 + 2x+ 2 +
5
2
Ln[x+ 1 +
√
x2 + 2x+ 2] + C.
1.4.2 Integrais do tipo:
∫
P (x)
Q(x)
dx (2o de Ostrogradski)
Se Q(x) tem raízes múltiplas, esta integral calculasse com a ajuda da identidade:∫
P (x)
Q(x)
· dx = S(x)
Q1(x)
+
∫
T (x)
Q2(x)
· dx (1.14)
onde Q1(x) é o máximo divisor comum dos polinômios Q(x) e de sua derivada Q′(x); o
polinômio Q2(x) =
Q(x)
Q1(x)
; S(x) e T (x) são polinômios com coeficientes indeterminados,
cujos graus são menores em uma unidade que os Q1(x) e Q2(x) respectivamente.
Os coeficientes dos polinômios S(x) e T (x) calculam-se derivando a identidade (1.14).
Exemplo 1.114.
Calcular a integral J =
∫
dx
(x3 − 1)2
Solução.
Observe, Q(x) = (x3− 1)2 e Q′(x) = 6x2(x3− 1); logo o polinômio Q1(x) = (x3− 1).
Aplicando a identidade (1.14):
J =
∫
dx
(x3 − 1)2 =
b0x
2 + b1x+ b2
x3 − 1 +
∫
a0x
2 + a1x+ a2
x3 − 1 · dx
Derivando esta identidade, obtemos:
1
(x3 − 1)2 =
(2xb0 + b1)x
3 − 1)− 3x2(b0x2 + b1x+ b2)
(x3 − 1)2 +
a0x
2 + a1x+ a2
x3 − 1
o bem: 1 = (2xb0+b1)(x3−1)−3x2(b0x2+b1x+b2)+(x3−1)(a0x2+a1x+a2) igualando os
coeficientes das correspondentes potências de x, obteremos a0 = 0; a1− b0 = 0; a2−2b1 =
0; a0+3b2 = 0; a1+2b0 = 0 e b1+a2 = 0, onde b0 = 0; b1 = − 1
3
; b−2 = 0; a0 = 0; a1 = 0
e a2 = − 2
3
, consequentemente:
J =
∫
dx
(x3 − 1)2 = −
x
3(x3 − 1) −
2
3
∫
dx
x3 − 1 (1.15)
Para calcular a integral do segundo membro da igualdade (??), utilizamos o método
dos coeficientes indeterminados:
1
x3 − 1 =
A
x− 1 +
Bx+ C
x2 + x+ 1
; logo 1 = A(x2 + x+ 1)+
(Bx + C)(x − 1); quando x = 1 obtemos A = 1
3
; igualando os coeficientes das potências
92 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
iguais de x e resolvendo o sistema obtemos B = − 1
3
e C = − 2
3
. Na identidade (1.15)
J =
∫
dx
(x3 − 1)2 = −
x
3(x3 − 1) −
2
3
[
1
3
∫
dx
x− 1 −
1
3
∫
(x+ 2) · dx
x2 + x+ 1
]
.
Portanto: J =
1
3
Ln(x− 1)− 1
6
Ln[x2 + x+ 1]− 1√
3
arctan[
2x+ 1√
3
] + C.
1.4.3 Integração de diferenças binômias
As substituições indicadas na Seção 1.3.3.1 transformam a integral de diferenças binô-
mias em outra integral de diferenças binômias [17], de onde:∫
xm(a+ bxn)p := K
∫
um
′
(a′ + b′un
′
)p
′
du
os coeficientes K, m′, a′, b′, n′ e p′ poderão ser encontrados na seguinte tabela, para
cada substituição indicada, e na qual consideramos: α =
m+ 1
n
, β =
m+ 1
n
+ p, ω é o
denominador de p se
m+ 1
n
é inteiro, s é denominador de
m+ 1
n
se p é inteiro.
Para p ≥ 0 (inteiro), m+ 1
n
= 1 e
m+ 1
n
+ p = −1 logo, as integrais serão imediatas.
Caso Substituição K m′ a′ b′ n′ p′
p < 0 xn = us
s
n
sα− 1 a b s p
p < 0 xn = u−s − s
n
− sβ − 1 b a s p
m+ 1
n
≤ 1 a+ bxn = uω ω
nbα
ω(p+ 1)− 1 −a 1 ω α− 1
m+ 1
n
≤ 1 a+ bxn = u−ω − ωnbα
− ωβ − 1 1 − a ω α− 1
m+ 1
n
≥ 1 a+ bxn = u 1
nbα
p − a 1 1 α− 1
m+ 1
n
≥ 1 a+ bxn = u−1 − 1
nbα
− β − 1 1 − a 1 α− 1
m+ 1
n
+ p ≥ 1 a+ bxn = xnuω −ωa
β
n
ω(p+ 1)− 1 − b 1 ω − β − 1
m+ 1
n
+ p ≥ 1 a+ bxn = xnu−ω ωa
β
n
ωα− 1 1 − b ω − β − 1
m+ 1
n
+ p ≤ 1 a+ bxn = xnu − a
β
n
p − b 1 1 − β − 1
m+ 1
n
+ p ≤ 1 a+ bxn = xnu−1 a
β
n
α− 1 1 −b 1 −β − 1
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 93
1.4.4 Integrais do tipo:
∫
P (x) exdx
Onde P (x) é um polinômio inteiro racional em x de grau n.
Integrando por partes, considerando u = P (x) e dv = eaxdx temos∫
P (x) · eax · dx = P (x)1
a
eax − 1
a
∫
P ′(x) · eax · dx
onde a integral do segundo membro não difere da anterior exceto que porque P ′(x) tem
grau menor em uma unidade que P (x).
Repetindo a operação teremos:∫
P (x) · eax · dx = e
ax
a
[P (x)− P
′(x)
a
+
P ′′(x)
a2
− P
′′′(x)
a3
+ · · · ] + C
que escrevemos:
∫
P (x) · eax · dx = e
ax
a
n∑
k=0
(−1)kP
(k)(x)
ak
+ C, onde P (0)(x) ≡ P (x).
O somatório termina na derivada n-ésima, pois as derivadas de P (x), de ordem superior
a n são nulas.
1.4.5 Integrais dos tipos:
∫
P (x)sen bx dx e
∫
P (x) cos bx dx
Onde P (x) é um polinômio inteiro racional em x de grau n. Integrando por partes,
considerando u = P (x) e dv = sen (bx)dx temos:∫
P (x)sen bx · dx = − P(x)
b
cos bx+
1
b
∫
P ′(x) · cos bx · dx (1.16)
em virtude da identidade cos bx = sen (bx+
pi
2
) resulta em (1.16):
∫
P (x)sen bx · dx = − P(x)
b
cos bx+
1
b
∫
P ′(x) · sen (bx+ pi
2
) · dx (1.17)
observe a solução da última integral do segundo membro de (1.17):∫
P ′(x) · sen (bx+ pi
2
) · dx = − P
′(x)
b
cos(bx+
pi
2
) +
1
b
∫
P ′′(x) · sen (bx+ 2pi
2
) · dx
repetindo o processo teremos:∫
P ′′(x) · sen (bx+ 2pi
2
) · dx = − P
′′(x)
b
cos(bx+ 2
pi
2
) +
1
b
∫
P ′′′(x) · sen (bx+ 3pi
2
) · dx
94 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
por último quando tivermos que calcular a integral com derivada de ordem n de P(x)
teremos:
∫
P (n)(x)·sen (bx+npi
2
)·dx = −P
(n)(x)
b
cos(bx+n
pi
2
)+
1
b
∫
P (n)(x)·sen (bx+(n+1)pi
2
)·dx
como P (x) é um polinômio de grau n, P (n)(x) será nulo; por substituições sucessivas
resultará em (1.17).∫
P (x)sen bx · dx = −
n∑
k=0
P (k)(x)
bk+1
cos(bx+ k
pi
2
) + C
= −1
b
n∑
k=0
P (k)(x)
bk
sen (bx+ (k + 1)
pi
2
) + C
Análogamente obteríamos∫
P (x) cos bx · dx =
n∑
k=0
P (k)(x)
bk+1
sen (bx+ k
pi
2
) + C
= −1
b
n∑
k=0
P (k)(x)
bk
cos(bx+ (k + 1)
pi
2
) + C
Exemplo 1.115.
Resolver J =
∫
(x5 − 3x4 + 2x3− 5x2 + 6x + 2) · e7x · dx
Solução.
Temos uma integral a ser resolvida por partes.
Calculando as derivadas sucessivas do polinômio P (x) = x5−3x4+2x3−5x2+6x+2,
temos:
P ′(x) = 5x4 − 12x3 + 6x2 − 10x+ 6
P ′′(x) = 20x3 − 36x2 + 12x− 10
P ′′′(x) = 60x2 − 72x+ 12
P (iv)(x) = 120x− 72
P (v)(x) = 120
logo, aplicando a fórmula: J =
eax
a
5∑
k=0
(−1)kP
(k)(x)
ak
+ C.
Portanto, J =
eax
a
(x5 − 8x4 + 34x3 − 107x2 + 220x− 118) + C.
Exemplo 1.116.
Resolver I =
∫
x+ sen x
1 + cos x
· dx
Solução.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 95
I =
∫
x+ 2sen(x
2
) cos(x
2
)
2 cos2(x
2
)
· dx =
∫
x · dx
2 cos2(x
2
)
+
∫
sen (x
2
)
cos(x
2
)
=
=
1
2
∫
x · sec2 x · dx+
∫
tan(
x
2
) · dx =
= x · tan(x
2
)−
∫
tan(
x
2
) +
∫
tan(
x
2
) = x · tan(x
2
) + C.
Portanto, I =
∫
x+ sen x
1 + cos x
· dx = x · tan(x
2
) + C.
Exemplo 1.117.
Resolver J =
∫
x+ y
x− y · dx sendo y
2(x+ a) = x2(a− x)
Solução.
Da condição y2(x+a) = x2(a−x) temos y = x ·
√
a− x
a+ x
, logo substituindo na integral
J =
∫
x+ y
x− y · dx =
∫ √
a+ x+
√
a− x√
a+ x−√a− x · dx
Multiplicando pela conjugada resulta:
J =
∫
(
√
a+ x+
√
a− x)2
x
· dx =
∫
a · dx
x
+
∫ √
a2 − x2
x
· dx =
a · Lnx+
∫ √
a2 − x2
x
· dx
considerando x = a · sen z; dx = a · cos z · dz, logo
J = a · Lnx+
∫
cos z
sen z
a · cos z · dz = a · Lnx+ a
∫
(1− sen z) · dz
sen z
=
= a · Lnx+ a
∫
dz
sen z
− a
∫
sen z · dz =
= a·Lnx+a·Ln(csc z−cot z)+a·cos z+C = a·Lnx+a·Ln
[
1−√1− sen 2z
sen z
]
+a·cos z+C =
= a · Ln[1−
√
1− (x
a
)2]− a · Ln a+
√
a2 − x2 + C = a · Ln
[
x− y
x+ y
]
+
x
y
(a− y) + C1
onde C1 = a · Ln a+ C
Portanto, J = a · Ln
[
x− y
x+ y
]
+
x
y
(a− y) + C1.
96 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Exercícios 1-7
1. Resolver e, verificar as seguintes integrais:
1. I =
∫ √
sen x
cosx
· dx = 1
2
Ln[
1 +
√
sen x
1−√sen x ]− arctan
√
sen x+ C
2. I =
∫
a · cos x · dx√
(a · cos2 x+ b · sen 2x)3 =
sen x√
a · cos2 x+ b · sen 2x + C
3. I =
∫
e2x · dx√
ex + 1
=
2
3
(ex − 2)√ex + 1 + C
4. I =
∫ √
1− e−2x · dx = Ln(ex +
√
e2x − 1)−
√
1− e−2x + C
5. I =
∫
dx√
(1 + x2)3
=
x√
1 + x2
+ C. Sugestão:
√
1 + x2 = x+ t
6. I =
∫
dx
(2x+ 1)
√
x2 + 1
= − 1√
5
arctan[
2t− 1√
5
] + C. onde
√
1 + x2 = x+ t
7. I =
∫
dx
2
√
1− x2 + 1− x2 =
2
√
3
3
arctan[
2t+ 1√
3
] + C. onde t =
√
1 + x
1− x
8. I =
∫ √
tanx·dx =
√
2
2
[arccos(cosx−sen x)−Ln(cosx+
√
sen 2x+sen x)]+C
Sugestão: Considere
√
tanx = u.
2. Resolver utilizando a mudança de variável indicada.
1. I =
∫
(a− bx2) · dx
x
√
cx2 − (a+ bx2)2 t =
a
x
+ bx
2. I =
∫
dx
(1 + x) 3
√
1 + 3x+ 3x2
t =
x
1 + x
3. I =
∫
dx
3
√
1− x3 t =
3
√
1− x3
x3
4. I =
∫
dx
x
√
x2n + a2n
t = (
a
x
)n
3. Determine um polinômio quadrático P(x) tal que P(0) = 1, P’(0) = 0 de modo que∫
P(x) · dx
x3(1− x)2 seja uma função racional.
4. Resolver pelo primeiro método de Ostrogradski
1.
∫
6
√
x · dx
1 + 3
√
x
2.
∫
dx√
x2 − x− 1 3.
∫
dx√
1− 2x− 4√1− 2x
4.
∫
dx√−x2 − 2x+ 8 5.
∫
(5x+ 3) · dx√−x2 + 4x+ 5 6.
∫
(3x+ 2) · dx√
x2 + x+ 2
7.
∫
dx
(x+ 2)
√
x2 + 2x
8.
∫
dx
x
√
2x2 − 2x− 1 9.
∫
(x− 1) · dx
(x+ 1)
√
x2 + 1
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 97
10.
∫
(x2 + 2x+ 3)dx√−x2 + 4x 11.
∫
x · dx√
x+ 1
12.
∫
dx
x
√
2x+ 1
5. Resolver pelo segundo método de Ostrogradski.
1.
∫
dx
(x3 + 1)(x3 + 8)
2.
∫
x4 − 2x2 + 2
(x2 − 2x+ 2)2 · dx 3.
∫
dx
(x2 + 1)4
4.
∫
x6 + x4 − 4x2 − 2
x3(x2 + 1)2
dx 5.
∫
(x7 + 2) · dx
(x2 + x+ 1)2
6.
∫
dx
(x4 − 1)2
7.
∫
x2 + x+ 1
x5 − 2x4 + x2 · dx 8.
∫
(4x2 − 8x) · dx
(x2 + 1)2(x− 1)2 9
∫
(3x4 + 4) · dx
x2(x2 + 1)3
10.
∫
(x2 − 1)2 · dx
(x+ 1)(x2 + 1)2
11.
∫
(x+ 2) · dx
(x2 + 2x+ 2)3
12.
∫
dx
x4(x3 + 1)2
13.
∫
9 · dx
5x2(3− 2x2)3 14.
∫
x5 − x4 − 26x2 − 24x− 25
(x2 + 4x+ 5)2(x2 + 4)2
· dx
15.
∫
dx
(x2 + 2x10)3
16.
∫
5− 3x+ 6x2 + 5x3 − x4
x5 − x4 − 2x3 + 2x2 + x− 1 · dx
6. Resolver por distintos métodos.
1.
∫
x+ 3√
x2 − 4 · dx 2.
∫ √
x+ Lnx
x
· dx 3.
∫
x4 + x2 + 1
x− 1 · dx
4.
∫
x · dx
2x2 + 3
5.
∫
x3 − 1
x4 − 4x+ 1 · dx 6.
∫
x2 · dx√
x6 − 1
7.
∫
arctan(x
2
)
4 + x2
· dx 8.
∫
ex · √a− bex · dx 9.
∫
a2x − 1√
ax
· dx
10.
∫
x · 7x2 · dx 11.
∫
x · cot(x2 + 1) · dx 12.
∫
5
√
x · dx√
x
13.
∫
e−bx · dx
1 + e−2bx
14.
∫
sen (a+ bx) · dx 15.
∫
dx
sen (x
a
)
16.
∫
cos2 x · dx 17.
∫
(cos ax+ sen ax)2 · dx 18.
∫
sen (Lnx)
x
· dx
19.
∫
x · dx
cos2 x2
20.
∫
(
1
sen
√2x
− 1)2 · dx 21.
∫
cotx · dx
22.
∫
42−3x · dx 23.
∫
cos(
x
a
)sen (
x
a
) · dx 24.
∫
cot
x
5
· dx
25.
∫
x · dx√
a4 − x4 26.
∫
tan3(
x
3
) sec(
x
3
) · dx 27.
∫
cos ax
sen 2ax
· dx
28.
∫ √
tanx · dx
cos2 x
29.
∫
(cos ax+ sen ax)2
sen ax
· dx 30.
∫
coth x · dx
31.
∫
dx
senhx
32.
∫
(2senh5x− 3 cosh 5x)dx 33.
∫
dx
senhx · coshx
34.
∫
x3 · dx
x8 + 5
35.
∫
sen x · cos x · dx√
cos2 x− sen 2x 36.
∫
1− sen x
x+ cos x
· dx
98 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
37.
∫
x · e− x2 · dx 38.
∫
dx√
ex
39.
∫
x3 − 1
x+ 1
· dx
40.
∫
dx
x · Ln2x 41.
∫
tan 3x− x · cot 3z
sen 3x
· dx 42.
∫
asen x · cosx · dx
43.
∫
x2 · dx
3
√
x3 + 1
44.
∫
(2 +
x
2x2 + 1
)
dx√
2x2 + 1
45.
∫ [1− sen ( x√
2
)]2
sen ( x√
2
)
· dx
46.
∫
x · dx√
1− x4 47.
∫
sec2 x · dx√
4− tan2 x 48.
∫
tan2 ax · dx
49.
∫
dx
cos(x
a
)
50.
∫ 3√1 + Lnx
x
· dx 51.
∫
x2 · dx
x2 − 2
52.
∫
x · dx
sen (x2)
53.
∫
esen
2xsen 2x · dx 54.
∫
sen x− cos x
sen x+ cos x
· dx
55.
∫
(1 + x)2 · dx
x(1 + x2)
56.
∫
5− 3x√
4− 3x2 · dx 57.
∫
dx
ex + 1
58.
∫
e− tanx sec2 x · dx 59
∫
dx
sen ax · cos ax 60.
∫
ex · dx√
e2x − 2
61.
∫
dx
x(4− Ln2x) 62.
∫
arccos(x
2
)√
4− x2 · dx 63.
∫
arcsenx+ x√
1− x2 · dx
64.
∫
cos 2x · dx
4 + cos2 2x
65.
∫
3tanhx · dx
cosh2 x
7. Mostre a seguinte identidade:
I =
∫
x · dx√
x+ 2 +
√
x+ 1
=
2
5
(x+2)(3x− 4)√x+ 2− 2
15
(x+1)(3x− 2)√x+ 1+C
Sugestão: Multiplicar o numerador e denominador pela conjugada do denominador.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 99
Miscelânea 1-1
1. Determine as funções primitivas para as seguintes funções:
1. (cos2 x+ 2sen x · cos x− sen 2x)2.
2. cos(a+ x) · cos(a− x) + sen (a+ x) · sen (a− x).
2. Calcular as integrais seguintes com a mudança de variável indicada [1]:
1.
∫
x · dx√
x+ 1
t =
√
x+ 1 2.
∫
dx
x(axn + b)
t =
1
x
3.
∫
dx√
2ax− x2 t = a− x 4.
∫
sen x+ cos x
3 + sen 2x
· dx
5.
∫
(x2 + 1) · dx
x
√
x4 − x2 + 1 t = x−
1
x
6.
∫
dx
x
√
2x− 1 t =
√
2x− 1
3. Verifique o cálculo das seguintes integrais:
1. I =
∫ √
ex + 1 · earctanx + Ln[(x2 + 1)
√
x2ex−x2 ] +
√
ex − 1√
x2 + 1 · √ex + x2ex − x2 − 1 · dx =
= earctanx +
1
4
Ln2(x2 + 1) + arctanx+ C.
2. H =
∫
dx
(sen x+ 4)(sen x− 1) =
=
2
5(tan(x
2
)− 1) −
2
5
√
15
arctan[
4 tan(x
2
) + 1√
15
] + C.
Sugestão:
1
(sen x+ 4)(sen x− 1) =
(sen x+ 4)− (sen x− 1)
5(sen x+ 4)(sen x− 1)
3. J =
∫
ex
√
e2x − 4− 2e2x(ex + 2)
2(ex + 2)
√
e2x − 4 =
1
2
Ln(2 + ex)−
√
e2x − 4 + C.
4. Determine antiderivada de g(x) =
x2 +
√
1 + x
3
√
1 + x
, de modo que passe pelo ponto
P(0,
709
280
).
5. Se f ′′(x) = −a e g′′(x) = b · g(x) onde a e b são constantes positivas; achar o valor
da integral I =
∫
f(x) · g′′(x) · dx.
6. Substituindo tan θ =
b
a
, mostre a seguinte fórmula:
∫
eax cos bx · dx = 1√
a2 + b2
· eax cos(bx− θ)
100 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
7. Se y = f(x) e x = f(y), mostre que:
∫
f(x) · dx+
∫
f(y) · dy = xy + C.
8. Seja a integral I =
∫
u · v(n) · dx, onde v(n) é a derivada n−ésima da função v; qual
é a fórmula obtida após de n integrações por partes?. Calcular uma primitiva para
a expressão: u · v′′ − v · u′′.
9. Resolver por distintos métodos.
1.
∫
dx√
ex − 1 2.
∫
Ln2x · dx
x · Ln4x 3.
∫
e2x · dx√
ex + 1
4.
∫
sen 3x√
cosx
· dx 5.
∫
dx
x
√
x2 + 1
6.
∫
x3 · dx√
2− x2
7.
∫
dx
x2
√
4− x2 8
∫ √
1− x2 · dx 9.
∫ √
a2 + x2 · dx
10.
∫
dx
x · √x2 − 1 11.
∫ √
x2 + 1
x
· dx 12.
∫
dx
x · √x2 − 2
13.
∫
dx
x2 − 7x+ 13 14.
∫
sec x · tanx√
sec2 x+ 1
· dx 15.
∫
sec2 x · dx√
tan2 x− 2
16.
∫
(e
x
2 + e−
x
2 )2 · dx 17.
∫
cot2 ax · dx 18.
∫
dx
1 + cos2 x
19.
∫
dx
3 cos(5x− pi
4
)
20.
∫
x2 · dx√
x2 − a2 21.
∫
dx
x · √1− x2
22.
∫
dx
(x− 1)√x2 − 2 23.
∫
dx
sen 2x · cos2 x 24.
∫
x2 · dx√
1− x2
25.
∫ √
x2 − a2
x
· dx 26.
∫
x(5x2 − 3)7 · dx 27.
∫
x cosh(x2 + 3) · dx
10. As seguintes integrais requerem aplicação de métodos estudados; resolver cada uma
das mesmas.
1.
∫
arctanx
1 + x2
· dx 2.
∫
x · arctanx
(1 + x2)3
· dx 3.
∫
x · Ln(
√
1 + x2) · dx
4.
∫
dx
x6 + 1
5.
∫
Ln(
√
1 + x2) · dx 6.
∫
(x2 − 1) · dx
(x2 + 1)
√
1 + x4
7.
∫
x · dx
x+ sen x
8.
∫
arcsen
√
x · dx 9.
∫
esen x · [x cos
3 x− sen x
cos2 x
] · dx
Capítulo 2
INTEGRAL DEFINIDA
Leibnitz
Gottfried Wilhelm Leibnitz - (1646−1716) nasceu no dia
primeiro de julho, na cidade alemã de Leipzig. Era filho de um
professor de filosofia moral. .
Criança ainda, explorava a biblioteca do pai. Viu os autores
antigos e escolásticos. Tomou contato com Platão e Aristóteles.
Com quinze anos começou a ler os filósofos modernos da época:
Bacon, Descartes, Hobbes e Galileu.
Leibnitz foi de um espírito universal, muito inteligente, que
revelou aptidão e genialidade em diversos campos. Bertrand Rus-
sel fala que era admirável, mas não como pessoa; pois escreveu
para ser popular e agradar os príncipes. Cursou filosofia em sua
cidade natal, matemática em Jena com vinte anos e jurispru-
dência em Altdorf. Em 1663, aluno da faculdade de filosofia,
escreveu um trabalho sobre individualização.
Influenciado por Descartes a quiem mais tarde refutou, expôs suas idéias em um livro, onde
associava a filosofia e a matemática. Esboçou as primeiras considerações do que viria a ser sua
grande descoberta matemática: o cálculo infinitesimal.
Em Paris havia conhecido e ficado amigo do matemático Christiaan Huyghens, conheceu
também o filósofo Arnauld (1612 − 1694) e Malembranche. Viajou para Londres e entrou para
a Royal Society. Voltou para Paris e aprendeu francês perfeitamente. Quando voltava para a
Alemanha, passou de novo por Londres, onde conheceu Newton. Na Holanda, conheceu Spinoza
e conversaram sobre metafísica e Spinoza mostrou a Leibnitz os originais de “Ètica”..
Dentre as muitas obras de Leibnitz se destacam: “Discurso da Metafísica”; “Novos ensaios so-
bre o entendimento humano” (resposta a Locke); “Sobre a origem das coisas”; “Sobre o verdadeiro
método da filosofia”; “Teologia e correspondência”.
Leibnitz criticou a materialismo moderno, apesar disso, era um racionalista. Seu raciona-
lismo, como o de Zenão, chegava ao paradoxo.
Usando a teoria da causalidade, Leibnitz explica a existência de Deus. Diz que ele não faz
nada ao acaso, é supremamente bom. O universo não foi feito apenas pelo homem, mas o
homem pode conhecer o universo inteiro. Deus é engenhoso, é capaz de formar uma “máquina”
com apenas um simples líquido, sendo necessário apenas a interação com as leis da natureza para
desenvovê-la.
101
102 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
2.1 Somatórios
Considere m e n dois números inteiros tais que m ≤ n e f(x) uma função definida
para cada i ∈ Z , onde m ≤ i ≤ n. A expressão
n∑
i=m
f(i) representa uma soma da
seguinte forma: f(m) + f(m + 1) + f(m + 2) + · · · + f(n − 1) + f(n) ; isto é
n∑
i=m
f(i) = f(m) + f(m+ 1) + f(m+ 2) + · · · + f(n− 1) + f(n) .
A letra grega “sigma”
∑
é o símbolo do somatório, i é o índice ou variável, m é o
limite inferior e n é o limite superior.
Exemplo 2.1.
a) Seja f(i) = i+ 2 , então
5∑
i=1
f(i) = (1 + 2) + (2 + 2) + (3 + 2) + (4 + 2) + (5 + 2) = 20.
b) Seja g(i) = cos(ix) , então
n∑
i=1
g(i) = cos x+ cos(2x) + cos(3x) + · · ·+ cos(nx).
Observação 2.1.Na expressão
n∑
i=m
f(i) existem, (n−m+ 1) somandos.
Propriedade 2.1.
a)
n∑
i=m
K = (n−m+ 1)K.
b)
n∑
i=m
[f(i)± g(i)] =
n∑
i=m
f(i) ±
n∑
i=m
g(i). · · · distributiva
c)
n∑
i=m
[f(i)− f(i− 1)] = f(n)− f(m− 1) · · · telescópica
d)
n∑
i=m
[f(i+ 1)− f(i− 1)] = f(n+ 1) + f(n)− f(m)− f(m− 1) · · · telescópica
Demonstração.
A demonstração desta propriedade, é exercício para o leitor.
Exemplo 2.2.
Calcular o valor de S =
200∑
i=1
[
√
i+ 1−√i− 10].
Solução.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 103
Pela Propriedade (2.1) temos que: S =
200∑
i=1
[
√
i+ 1−√i] −
200∑
i=1
10 = [
√
201−√1]−
200(10) = −2001.
Portanto S =
200∑
i=1
[
√
i+ 1−√i− 10] = √201− 2001.
Exemplo 2.3.
Calcular uma fórmula para S =
n∑
i=m
[(i+ 1)2 − (i+ 1)2].
Solução.
Considere f(i) = i , segundo a Propriedade (2.1) d) segue:
S =
n∑
i=m
[(i+ 1)2 − (i+ 1)2] =
= f(n+ 1) + f(n)− f(1)− f(n− 1) + f(n+ 1)− f(n)− f(1)− f(0) =
= (n+ 1)2 + n2 − 1− 0 = 2n(n+ 1)).
De outro modo, observe que [(i + 1)2 − (i − 1)2] = 4i, assim temos que S =
n∑
i=m
[(i +
1)2 − (i+ 1)2] =
n∑
i=m
4i = 2n(n+ 1).
Portanto, S =
n∑
i=m
[(i+ 1)2 − (i+ 1)2] = 2n(n+ 1).
Exemplo 2.4.
Usando as propriedades do somatório, mostre as seguintes igualdades:
1. S =
n∑
i=1
i =
n(n+ 1)
2
2. T =
n∑
i=1
i2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
3. U =
n∑
i=1
i3 =
n2(n+ 1)2
4
4. V =
n∑
i=1
i4 =
n(n+ 1)(6n3 + 9n2 + n+ 1)
30
Solução. a)
É consequência do Exemplo (2.3), observe que
n∑
i=1
4i = 4
n∑
i=1
i = 2n(n + 1) então
S =
n∑
i=1
i =
n(n+ 1)
2
Solução. b)
Consideremos f(i) = i3, pela Propriedade (2.1) d) temos que a soma:
n∑
i=1
[(i+ 1)3 − (i+ 1)3] = (n+ 1)3 + n3 − 13 − 03 = 2n3 + 3n2 + 3n (2.1)
Por outro lado:
n∑
i=1
[(i+ 1)3 − (i+ 1)3] =
n∑
i=1
[6i2 + 2] = 6
n∑
i=1
[i2] + 2n (2.2)
104 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
De (2.1) e (2.2) segue que 6
n∑
i=1
[i2] + 2n = 2n3 + 3n2 + 3n.
Portanto,
n∑
i=1
i2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
Solução. c)
Consideremos f(i) = i4, pela Propriedade (2.1) d) temos que a soma:
n∑
i=1
[(i+ 1)4 − (i+ 1)4] = (n+ 1)4 + n4 − 14 − 04 = 2n4 + 4n3 + 6n2 + 4n (2.3)
Por outro lado, da parte a) deste exemplo,
n∑
i=1
[(i+ 1)4 − (i+ 1)4] = 8
n∑
i=1
i3 + 8
n∑
i=1
i =
8
n∑
i=1
[i3] + 4n(n+ 1).
Igualando a (2.3), temos 8
n∑
i=1
[i3] + 4n(n+ 1) = 2n4 + 4n3 + 6n2 + 4n.
Portanto, U =
n∑
i=1
[i3] =
n2(n+ 1)2
4
Solução. d)
Exercício para o leitor.
Exemplo 2.5.
Se a > 0, determine uma fórmula para a progressão geométrica
n∑
k=1
ak.
Solução.
Seja S =
n∑
k=1
ak = a+ a2 + a3 + a4 + · · ·+ an−2 + an−1 + an , se multiplicamos por −a
à soma S obtém-se −aS = −a2 − a3 − a4 − · · · − an−2 − an−1 − an − an+1; logo S - aS =
a− an+1 onde S(a− 1) = a(an − 1)
Portanto, S =
n∑
k=1
ak =
a(an − 1)
a− 1 .
Exemplo 2.6.
Achar uma fórmula para S =
n∑
k=1
6
2k−1
.
Solução.
Temos que S =
n∑
k=1
6
2k−1
= 6
n∑
k=1
2
2k
= 12
n∑
k=1
1
2k
; pelo Exemplo (2.5) concluímos:
S = 12(1− (1
2
)n].
Portanto, S =
n∑
k=1
6
2k−1
= 12[1− 1
2
)n].
Exemplo 2.7.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 105
Determine uma fórmula para
n∑
k=1
k
3k
.
Solução.
Aplicando a propriedade telescópica,
n∑
k=1
[
k
3k
− k − 1
3k−1
] =
n
3n
− 0.
Por outro lado,
n∑
k=1
k
3k
−
n∑
k=1
k − 1
3k−1
=
n∑
k=1
k
3k
− 3[
n∑
k=1
k
3k
−
n∑
k=1
1
3k
] =
= −2
n∑
k=1
k
3k
+ 3
n∑
k=1
1
3k
= −2
n∑
k=1
k
3k
+ 3 ·
1
3
[(1
3
)n − 1]
1
3
− 1 = −2
n∑
k=1
k
3k
+
3
2
[1− (1
3
)n]
logo −2
n∑
k=1
k
3k
+
3
2
[1− (1
3
)n] =
n
3n
− 0 onde
n∑
k=1
k
3k
=
3
4
− 3 + 2n
4(3)n
.
Portanto,
n∑
k=1
k
3k
=
3
4
− 3 + 2n
4(3)n
Exemplo 2.8.
Determine a soma S =
n∑
k=1
k · (k!).
Solução.
Considere f(k) = (k + 1)!, pela Propriedade (2.1) c) temos:
n∑
k=1
[(k + 1)!− k!] = (n+ 1)!− 1 ; isto é
n∑
k=1
[(k + 1) · k!− k!] =
n∑
k=1
k · (k!) = (n+ 1)!− 1.
Portanto S = (n+ 1)!− 1
Exemplo 2.9.
Achar uma fórmula para
n∑
k=1
sen (kx).
Solução.
Lembre a identidade cos(a+ b)− cos(a− b) = −2sen (a)sen (b).
Logo:
n∑
k=1
[−2sen x·sen (kx)] =
n∑
k=1
[cos(k+1)−cos(k−1)] então −2sen x
n∑
k=1
sen (kx) =
cos(n+ 1)x+ cos(nx)− cos x− 1.
Portanto,
n∑
k=1
sen (kx) = − cos(n+ 1)x+ cos(nx)− cos x− 1
2sen x
Exemplo 2.10.
Calcular a soma S =
n∑
k=1
sen 2n2x.
Solução.
106 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Aplicando a propriedade telescópica temos:
n∑
k=1
[sen 2k2x− sen 2(k−1)2x] = sen 2x− 1 (2.4)
Por outro lado,
n∑
k=1
[sen 2k2x− sen 2(k−1)2x]
n∑
k=1
sen 2k2x−
n∑
k=1
sen −22x · sen 2(k−1)2x =
[1− sen −22x]
n∑
k=1
sen 2k2x = [
sen 22x− 1
sen 22x
]
n∑
k=1
sen 2k2x = cot2 2x
n∑
k=1
sen 2k2x .
De (2.4) temos cot2 2x
n∑
k=1
sen 2k2x = sen 2n2x− 1.
Portanto, S = tan2 2x(sen 2n2x− 1)
Exemplo 2.11.
Calcular a soma T =
n∑
k=1
tanh(19kx)
sech(19kx)
.
Solução.
Observe que, T =
n∑
k=1
tanh(19kx)
sech(19kx)
=
n∑
k=1
senh(19kx) , análogo ao Exemplo (2.9) temos
da identidade para funções hiperbólicas cosh(a+ b)− cosh(a− b) = − 2senh(a)senh(b).
Logo
n∑
k=1
[− 2senh(19x)senh(19kx)] =
n∑
k=1
[cosh(19(k + 1)x) − cosh(19(k − 1))] então
−2senh(19x) ·
n∑
k=1
senh(19kx) = cosh(19(n+ 1)x) + cosh(19nx)− cosh(19x)− 1,
Portanto,
T =
n∑
k=1
tanh(19kx)
sech(19kx)
=
cosh(19(n+ 1)x) + cosh(19nx)− cosh(19x)− 1
2senh(19x)
Exemplo 2.12.
Determine o valor da seguinte soma T =
n∑
k=1
1
loga(2
2k) loga(2
2k+2)
Solução.
Temos que:
1
loga(2
2k) loga(2
2k+2)
=
1
loga(22)
[
1
loga(22x)
− 1
loga(22x+2)
]
Logo T =
n∑
k=1
1
loga(22)
[
1
loga(22k)
− 1
loga(22k+2)
]
Assim, T =
1
loga(22)
[
1
loga22
− 1
log2(22n+2)
]
.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 107
Exercícios 2-1
1. Escrever os seis primeiros termos das somas dadas.
1.
n∑
k=1
k
k + 1
2.
20∑
k=0
2k + 1
3k + 2
3.
10∑
k=1
k2 − 2k + 3
2k2 + k + 1
4.
n∑
k=1
(−1)k a
k
k3
5.
∞∑
k=1
(
3
2
)k 6.
30∑
k=1
sen (kpi) 7.
∞∑
k=1
Ln(
3
k
) 8.
n∑
k=1
k2
k + 1
2. Determinar uma fórmula para cada uma dos seguintes somatórios:
1.
n∑
i=1
[
√
2i+ 1−√2i− 1] 2.
n∑
k=1
4
(4k − 3)(4k + 1) 3.
100∑
k=1
Ln[
k
k + 2
]
4.
n∑
k=1
2k + k(k + 1)
2k+1(k2 + k)
5.
n∑
k=1
k
(k + 1)(k2 + 5k + 6)
6.
n∑
k=1
2k + 3k
6k
7.
n∑
k=1
[
√
k + 1−√k√
k2 + k
] 8.
n∑
k=1
Ln[(1 + 1
k
)k(1 + k]
(Lnkk)(Ln(k + 1))k+1
9.
n∑
k=1
ek + 2
3k
10.
n∑
k=1
1
2x2 + 6x+ 4
11.
n∑
k=1
1
k2 − 1 12.
n∑
k=1
2k + 1
k2(k + 1)2
13.
n∑
k=1
ek − [3sen a · cos a]k
3k
14.
n∑
k=1
16 csc5 kx
cot5 kx · sec9 kx 15.
n∑
k=1
cos(3kx)
16.
n∑
k=1
[
25
10k
− 6
100k
] 17.
n∑
k=1
sen 2k(2x) 18.
n∑
k=1
k
5k
19.
n∑
k=1
5k · sen (5k − x) 20.
n∑
k=1
k · xk+1 21.
n∑
k=1
k · 2k
22.
n∑
k=1
1
24 + 10k − 25k2 23.
n∑
k=1
cos2k 24.
n∑
k=1
[
√
3 + x]k
3. Determine a validade da igualdade:
n∑
k=1
Ln 2k =
n(n+ 1)
2
Ln2.
4. Mostre que a fórmula é evidente:
n∑
k=1
(m+ k)!
k!
=
(m+ n+ 1)!
(m+ 1)n!
.
5. Se X =
1
n
[
n∑
k=1
Xk] , mostre que
n∑
k=1
[Xk −X]2 =
n∑
k=1
X2k−X
n∑
k=1
Xk.
6. Determine o valor de n ∈ N , se:
n∑
k=1
(2 + k2) =
n∑
k=1
(k + k2).
108 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
7. Seja | a |< 1, mostre que : S =
n∑
k=0
ak =
a
1− a quando n→∞.
8. Nos seguintes exercícios expresse as dizimas periódicas dadas como series geométri-
cas e em seguida expresse as somas destas últimas como o quociente de dois inteiros.
1. 0, 6666 2. 0, 2323 3. 0, 07575 4. 0, 21515
9. Quando um determinado empregado recebe seu pagamento ao final de cada mês,
ele deposita P reais em uma conta especial para a aposentadoria. Esses depósitos
são feitos mensalmente, durante t anos e a conta rende juros anuais de r%. Se os
juros são capitalizados mensalmente, o saldo A na conta ao final de t anos é:
A = P + P (1 +
r
12
) + · · ·+ P (1 + r
12
)12t−1 = P (
r
12
)[(1 +
r
12
)12t − 1]
Se os juros são capitalizados continuamente, o saldo A ao final de t anos é: A =
P + Pe
r
12 + Pe
2r
12 + · · · + P · e (12t−1)r12 = P (e
n − 1)
e
r
12 − 1 . Use a fórmula para a n-ésima
soma parcial de uma série geométrica para provar que cada uma das somas acima
está correta.
10. Uma bola, jogada de uma altura de 6 metros, começa a quicar ao atingir o solo,
como indica a Figura (2.1). A altura máxima atingida pela bola após cada batida no
solo é igual a três quartos da altura da queda correspondente. Calcule a distância
vertical total percorrida pela bola.
-ff
6
?
0 x
y
6
4
2
C
C
C
C
C
C
C
CC
Tempo
u���
�
�
�
u
C
C
C
C
C
Cu���
�
u
C
C
CCu��uCCu��u
Figura 2.1:
11. Mostre que
n∑
k=1
Ln(k + 1) = Ln[(n+ 1)!].
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 109
2.2 Cálculo da área de uma região plana
2.2.1 Partição de um intervalo fechado
Definição 2.1.
Seja [a, b] um intervalo fechado, uma partição do intervalo [a, b] é o conjunto de
pontos P = {x0, x1, x2, x3, · · · , xn} tais que: a = x0 < x1 < x2 < x3 < · · · < xn = b.
Observação 2.2.
i) Toda partição P de [a, b] divide em n subintervalos o intervalo [a, b] .
ii) O comprimento de cada subintervalo [xi−1, xi] para i = 1, 2, 3, · · · n , denotamos com
∆ix = xi − xi−1 ; e verifica-se
n∑
i=1
∆ix =
n∑
i=1
[xi − xi−1] = b− a.
iii) Chamamos de norma ou diâmetro da partição P ao número ‖ P ‖= max .{∆ix /. i =
1, 2, 3, · · · , n}.
iv) Quando dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos do mesmo comprimento,
cada um deles tem como medida ∆x =
b− a
n
, neste caso os extremos do intervalo
são x0 = a, xn = b e xi = a+ i∆x. Observe que ‖ P ‖= ∆x.
2.2.2 Aproximação da área de uma região por áreas de retângulos
Consideremos f : [a, b] −→ R uma função contínua não negativa no intervalo [a, b] ;
seja D a região limitada pelas retas x = a, x = b , o eixo x e a função y = f(x) como
mostra a Figura (2.2) e P uma partição de [a, b] .
Como f(x) é contínua em [a, b] podemos considerar uma coleção de pontos u1, u2, u3, u4,
· · ·un em cada um dos n intervalos de P tais que f(u1) seja o valor mínimo em [x0, x1] ;
f(u2) seja o valor mínimo em [x1, x2] , e assim sucessivamente de modo que f(un) seja o
valor mínimo no intervalo [xn−1, xn] .
Construíamos n retângulos de bases os subintervalos de P cujas respectivas alturas
são f(u1), f(u2), f(u3), · · · , f(un). As áreas destes retângulos são:
f(u1)∆1x, f(u2)∆2x, f(u3)∆3x, · · · , f(un)∆nx, ;
estes n retângulos formam um conjunto poligonal chamado “polígono retangular inscrito
em D” como mostra a Figura (2.3)
A área desta região poligonal denotaremos por I(P); logo temos que: I(P) =
n∑
i=1
f(ui) ·
∆ix. De modo análogo podemos eleger v1, v2, v3, v4, · · · , vn nos subintervalos de P, tais
que f(v1) seja o valor máximo em [x0, x1] ; f(v2) seja o valor máximo em [x1, x2] , e
assim sucessivamente de modo que f(vn) seja o valor máximo no intervalo [xn−1, xn] .
110 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Figura 2.2: Figura 2.3:
Figura 2.4:
A região poligonal formada pelos retângulos
de base os subintervalos de P e altura f(v1),
f(v2), f(v3), · · · , f(vn) esta circunscrito à região
D Figura (2.4), e sua área é denotada por C(P);
logo
C(P) =
n∑
i=1
f(vi) ·∆ix
Observação 2.3.
Dada duas partições P1 e P2, considerando
I(P1) a área do polígono inscrito e C(P2) a área
do polígono circunscrito, verifica-se:
I(P1) ≤ C(P2) para toda partição P1, P2 de [a, b] (2.5)
Sejam L o conjunto de todas as áreas de polígonos retangulares inscritos à região
D e U o conjunto de todas as áreas de polígonos retangulares circunscritos a D; isto é
L = {I(P)/. P é partição de [a, b] } e U = {C(P)/. P é partição de [a, b] } tanto L
quanto U representam números reais.
Em virtude da desigualdade (2.5) cada número que representa o conjunto L é menor
que qualquer número que representa o conjunto U , logo L é limitado superiormente e U
é limitado inferiormente.
Seja AL = sup{L} e AU = inf{U}; por definição de ínfimo e supremo verifica-se que
I(P) ≤ AL ≤ AU ≤ C(P), onde AL ≤ AU .
Portanto, a área da região D denotada por A Figura (??), se existe deve encontra-se
entre AL e AU ; isto é AL ≤ A ≤ AU
Exemplo 2.13.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 111
Mediante retângulos inscritos e circunscritos, calcular a área da região D, limitada
pelos gráficos de y = x+ 1, x = 0, x = 3 e o eixo x.
Solução.
Observe, na Figura (2.5), temos que f(x) = x + 1, a = 0 e b = 3 ; como a função
y = f(x) é crescente no intervalo [0, 3], f(x) apresenta mínimo no extremo esquerdo de
qualquer subintervalo de uma partição P de [0, 3].
Seja ui = a+ (i− 1)∆x i = 1, 2, 3, · · · , n ; sendo é ∆x = 3− 0
n
=
3
n
então
ui = (i− 1) 3
n
e f(ui) = ui + 1 = (i− 1) 3
n
+ 1
A soma das áreas dos retângulos inscritos (Figura (2.5)) é:
I(P) =
n∑
i=1
f(ui) ·∆ix =
n∑
i=1
[
(i− 1) 3
n
+ 1
]
3
n
⇒
I(P) =
[
3
n
]2
·
n∑
i=1
i−
[
3
n
]2
·
n∑
i=1
1 +
[
3
n
]
·
n∑
i=1
1 ⇒
I(P) =
[
3
n
]2
· n(n+ 1)
2
−
[
3
n
]2
n+ 3 =
9n(n+ 1)
2n2
+
9
n
+ 3 ⇒
I(P) = 9n(n+ 1)
2n2
+
9
n
+ 3 (2.6)
-ff
6
?
0 · · · xi−1 xi · · · x
y
y = x+ 1
3
rr�����
��
��
��
�
Figura 2.5:
-ff
6
?
0 · · · xi−1 xi · · · x
y
y = x+ 1
3
rr�����
��
��
��
�
Figura 2.6:
Por outro lado, consideremos vi = a+ i∆x i = 1, 2, 3, · · · , n ; sendo ∆x = 3− 0
n
=
3
n
então vi = i e f(ui) = vi + 1 = i + 1; a soma das áreas dos retângulos circunscritos
(Figura (2.6)) à região D dada por:
C(P) =
n∑
i=1
f(ui) ·∆ix =
n∑
i=1
[
i
3
n
+ 1
]
3
n
112 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
=
[
3
n
]2
·
n∑
i=1
i+
[
3
n
]
·
n∑
i=1
1 =
[
3
n
]2
n(n+ 1)
2
+ 3 =
9n(n+ 1)
2n2
+ 3 ⇒
C(P) = 9n(n+ 1)
2n2
+ 3 (2.7)
De (2.6) e (2.7) segue:
I(P) = 9n(n+ 1)
2n2
+
9
n
+ 3 ≤ 9n(n+ 1)
2n2
+ 3 = C(P)
Supondo o número n de retângulos inscritos e circunscritos à região D seja suficien-
temente grande por exemplo n →∞ temos
lim
n→∞
I(P) = 15
2
≤ lim
n→∞
C(P) = 15
2
Portanto, a medida da área da região D é A =
15
2
unidades quadradas.
Exemplo 2.14.
Mediante área de retângulos, calcular a área da região D limitada por y = x2 , o eixo
x e a reta x = 2.
Solução. .
Da Figura (2.7) seja x0 = 0,∆x =
2− 0
n
=
2
n
, logo x1 = ∆x, x2 = 2∆x, · · · , xi = i∆x.
Como a curva é crescente a altura de cada um dos retângulos inscritos é ui = xi−1 , e
f(ui) = (ui)
2 = [(i− 1)∆x]2 onde :
I(P) =
n∑
i=1
f(ui)∆x =
n∑
i=1
[(i− 1)∆x]2∆x =
[
2
n
]3 n∑
i=1
[i2 − 2i+ 1] =
=
[
2
n
]3
[
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
+ n(n+ 1) + n]
logo
I(P) =
[
2
n
]3
[
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
+ n(n+ 1) + n]
no limite quando n → ∞ temos I(P) = 8
3
Por outrolado, a altura de cada um dos retângulos circunscritos (Figura (2.8)) é
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 113
Figura 2.7: Figura 2.8:
vi = xi , e f(vi) = (vi)2 = (i ·∆x)2 onde:
C(P) =
n∑
i=1
f(ui)∆x =
n∑
i=1
[i ·∆x]2∆x ⇒
C(P) =
[
2
n
]3
·
n∑
i=1
i2 =
[
2
n
]3
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
logo, C(P) = 8
3
+
4
n
+
4
3n2
no limite quando n → ∞ temos lim
n→∞
C(P) = 8
3
.
Portanto, a área pedida é A =
8
3
unidades quadradas (u2)
Exemplo 2.15.
Calcular a área da região D limitada pelos gráficos de y = x3 + x+ 3, x = −1, x = 2
e o eixo x.
Solução. .
Temos a = −1, b = 2, f(x) = x3 + x+ 3 e ∆x = 2− (−1)
n
=
3
n
Seja ui = 1 + i∆x = −1 + 3
n
i , logo
f(ui) =
[
−1 + 3
n
i
]3
+
[
−1 + 3
n
i
]
+ 3 =
27
n3
i3 − 27
n2
i2 +
12
n
i+ 1
I(P) =
n∑
i=1
f(ui)∆x =
81
n4
n∑
i=1
i3 − 81
n3
n∑
i=1
i2 +
36
n2
n∑
i=1
i+
3
n
n∑
i=1
1 =
=
81
n4
n2(n+ 1)2
4
− 81
n3
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
+
36
n2
n(n+ 1)
2
+
3
n
n
no limite quando n → ∞ temos lim
n→∞
I(P) = 57
4
.
De modo análogo obtemos no limite quando n → ∞ que lim
n→∞
C(P) = 57
4
.
114 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Portanto, a área pedida é
57
4
u2.
Exemplo 2.16.
Calcular a área da região D limitada pelos gráficos de y = 2
√
x , o eixo x, as retas
x = 0 e x = 9.
Solução. .
A função é crescente, como se observa na Figura (2.9) , a área da região D é igual a
área do retângulo de lados 9 e 6 menos a área da região E.
Seja f−1(x) =
y4
4
temos y ∈ [0, 6] por processo análogo para o eixo x temos para
retângulos inscritos que :
∆y =
6− 0
n
=
6
n
, yi = i
6
n
sendo i = 1, 2, 3, · · · e ui = yi
Logo
I(P) =
n∑
i=1
f−1(ui)∆y =
6
n
n∑
i=1
[
1
4
(i · 6
n
)2
]
=
I =
54
n3
n∑
i=1
i2 =
54
n3
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
Quando n → ∞ temos lim
n→∞
I(P) = 18 .
De modo análogo obtemos no limite quando n → ∞ que lim
n→∞
C(P) = 18 .
Coma a área da região D é área do retângulo menos a área da região E.
Portanto área da região D é 36u2.
Figura 2.9: Figura 2.10:
Exemplo 2.17.
Determine a área da região D, abaixo da curva y = senhx no intervalo [0, 1].
Solução. .
A região D mostra-se na Figura (2.10), temos
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 115
∆x =
1− 0
n
=
1
n
, ui = i
1
n
, f(ui) = senh(i
1
n
)
no limite quando n→∞ temos:
lim
n→∞
I(P) = lim
n→∞
C(P)
é suficiente calcular o limite:
A = lim
n→∞
[
1
n
n∑
i=1
senh(i · 1
n
)
]
que representa a área da região D.
Pelo Exemplo (2.13) sabemos que:
n∑
i=1
senh(i · 1
n
) =
cosh[(n+ 1) · 1
n
] + cosh(n · 1
n
)− cosh( 1
n
)− 1
2 · senh( 1
n
)
Logo,
A = lim
n→∞
[
1
n
] [
cosh[(n+ 1) · 1
n
] + cosh(n · 1
n
)− cosh( 1
n
)− 1
2 · senh( 1
n
)
]
=
2 · cosh(1)− 2
2
Portanto a área da região D é cosh(1)− 1 unidades quadradas.
Exemplo 2.18.
Calcular a área da região D, a direita da reta x = 1, limitada pela curva y = 4− x2.
Solução.
O gráfico de y = 4 − x2 mostra-se na Figura (2.11); temos ∆x = 2− 1
n
=
1
n
, x0 =
1, xi = 1 + i ·∆x ; logo a área da região D é
m
Figura 2.11:
116 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
A = lim
n→∞
[
n∑
i=1
f(vi)∆x] = lim
n→∞
{
n∑
i=1
[4− (1 + i ·∆x)]∆x} =
= lim
n→∞
{ 1
n
n∑
i=1
[
4− (1 + i · 1
n
)2
]
}
= lim
n→∞
n∑
i=1
[
3− 2i
n
− i
2
n
]
= lim
n→∞
10n3 − 9n2 − n
6n3
=
5
3
Portanto, a área da região D mede
5
3
u2.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 117
Exercícios 2-2
1. Determine a área da região D limitada por y = 2x2 , o eixo x e as reta x = 2 ,
utilizando retângulos inscritos e circunscritos.
2. Determine a área da região D limitada por y = 3x4 , o eixo x e as reta x = 1 ,
utilizando retângulos inscritos e circunscritos.
3. Calcular a área da região D limitada por y = x3 , o eixo-x e as retas x = −1 e
x = 2 utilizando retângulos inscritos e circunscritos.
4. Usando somatório, calcular a área do trapézio isósceles de bases B e b de altura h.
5. O gráfico de f(x) = 2− | x | , e o eixo x desde x = −2 até x = 2 formam um
triângulo. Utilizando somatório, achar a área desse triângulo.
6. Para cada um dos seguintes exercícios, desenhar a região de integração D, e deter-
mine sua área limitada pelos gráficos de:
1. y = cos x, x = −pi
6
, x =
pi
2
, y = 0 2. y = arctan x, y = arccos
3x
2
, y = 0
3. y = x3 + x, x = 0, y = 2, y = 0 4. y =
x2 − x
1 + x2
, y = 0, x = −1, x = 2
5. y = 3x− x2, y = x2 − x 6. y(x2 + 4) = 4(2− x), y = 0, x = 0
7. y = tan2 x, y = 0, x =
pi
3
, x = 0 8. y = arcsenx, y = arccos x, x = 1
9. y = Ln(x2), x = Ln4, x = e 10. y = x3 + x− 4, y = x, y = 8− x
11. y = tanx, x = 0, y =
2
3
cosx 12. y = x2 + 2x− 3, x = −2, x = 0, y = 0
13. x = ey, x = 0, y = 0, Ln4 14. y =
x2 − 4
x2 − 16 , x = −3, x = 3, y = 0
15. y = ex, y = e−x, x = 1 16. y2 − x = 0, y − x3 = 0, x+ y − 2 = 0
17. y = 9− x2, y = x2 + 1 18. y =
√
x2 − 3, y =| x− 1 |, y = 0
19. y = arcsenx, y = arccos x, x = 0 20. y =| x− 2 |, y + x2 = 0, x = 1, x = 3
21. y = 4− Ln(x+ 1), y = Ln(x+ 1), x = 0
22. y = x3 − 3x2 + 2x+ 2, y = 2x2 − 4x+ 2
23. y = 2x+ 2, x = y2 + 1, x = 0, y = 0, x = 2
24. y =| sen x | se x ∈ [0, 2pi], y = −x, x = 2pi
7. Determine a maior área da região D limitada pelas curvas: x2 − 2y3 = 0, y =
3, x2 − 8y = 0.
118 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
8. Determine a menor área da região D limitada pelas curvas: y2 = 2x3, x2+y2 = 20.
9. Determine a área da região D do primeiro quadrante, limitada pela elipse b2x2 +
a2y2 = a2b2.
10. Para cada um dos exercícios seguintes, determine a área da região dada, limitada
por:
1. y = x2, x = 0, x = 2, y = 0
2. y = 4− x2, y = 0
3. y = 2
√
x, eixo x, x = 0 e x = 4
4. y = x2, y = 4− 3x2
5. y = x3, x = −1, x = 1 e o eixo x
6. y = (x− 1)2, x = 3, x = 8 e o eixo x
7. y = 4− | x |, o eixo x, x = −4 e x = 4
8. y = 12− x2 − x, eixo x, x = −3 e x = −2
9. y = 2− | x |, o eixo x, x = −4 e x = 4
10. y = mx, m > 0, y = 0, x = a e x = b sendo 0 < a < b
11. y = x2 − 2x− 1, eixo x, x = 1 e x = 4
12. y = 3x− 3x2 − 4
3
x3, eixo x, x = 0 e x = 1
13. y = cosh x, x = 0, x = 1 e y = 0
14. y = cos x, x = −pi
2
, x =
pi
2
e o eixo x
15. 4y = (x− 4)2, 4y = (x+ 4)2, 4y = −(x− 4)2 e 4y = −(x+ 4)2
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 119
2.3 Significado geométrico das somas: Inferior e supe-
rior
Seja y = f(x) uma função limitada em R, e Ij = [xj−1, xj] ⊆ R um intervalo do domínio
de f(x) , definimos mj = inf.{ f(x) /. x ∈ [xj−1, xj] }, Mj = sup.{ f(x) /. x ∈ [xj−1, xj] }
e ∆jx como o comprimento do intervalo Ij .
O produto hj∆jx onde hj = mj ou hjMj e hj > 0 numericamente é a área do
retângulo da base Ij e altura hj ; se hj < 0 , a expressão hj∆jx representa a área do
retângulo da base Ij e altura hj multiplicada por −1 .
Na seção 2.2 deste Capítulo para uma determinada partição P do intervalo [a, b] ,
denotamos I(P) e C(P) a soma dos retângulos inscritos e circunscritos respectivamente
a uma região D; na verdade a notação correta para I(P) é S(f,P) e, para C(P) é S(f, P).
A condição de f(x) limitada no intervalo [a, b] é essencial para a existência de mj e
Mj (não precisamos de mínimo ou máximo pelo fato ser f(x) função contínua).
2.3.1 Propriedades das somas: Inferior e superior
Sendo y = f(x) limitado no intervalo I = [a, b] , existem números m e M tais que
m = inf.{ f(x)/. x ∈ I } e M = sup.{ f(x)/. x ∈ I }.
Propriedade 2.2.
Se y = f(x) é limitada no intervalo I = [a, b] e P = {x0, x1, x2, x3, · · · , xn } é uma
partição de I, entãom(b− a) ≤ S(f, P) ≤ S(f, P) ≤M(b− a).
Demonstração.
Para os números m, mj, M e Mj onde mj = inf.{ f(x)/. x ∈ [xj−1, xj]} e Mj =
sup.{ f(x)/. x ∈ [xj−1, xj] } temos a desigualdade: m ≤ mj ≤Mj ≤M .
Multiplicando todo os membros por ∆jx > 0 e somando as relações obtidas para
j = 1, 2, 3, · · · , n obtemos:
n∑
k=1
m ·∆jx ≤
n∑
k=1
mj ·∆jx ≤
n∑
k=1
Mj ·∆jx ≤
n∑
k=1
M ·∆jx
Isto é m ·
n∑
k=1
∆jx ≤ S(f,P) ≤ S(f,P) ≤ M ·
n∑
k=1
∆jx , como
n∑
k=1
m ·∆jx = b − a ,
então m(b− a) ≤ S(f,P) ≤ S(f,P) ≤M(b− a).
Portanto, m(b− a) ≤ S(f,P) ≤ S(f,P) ≤M(b− a)
Propriedade 2.3.
Se y = f(x) é uma função limitada no intervalo I = [a, b] , e se P1 e P2 são duas
partições de I tal que P2 é subconjunto de P1, então temos:
120 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
a) S(f,P1) ≤ S(f,P2) ≤ S(f,P2) ≤ S(f,P1)
b) Se P2 − P1 tem r pontos, então:
S(f,P2)− S(f,P1) ≤ R(m−M)· ‖ P1 ‖ e S(f,P1)−S(f,P2) ≤ R(m−M)· ‖ P1 ‖
Demonstração. .
Exercício para o leitor.
Propriedade 2.4.
Se f(x) é uma função limitada no intervalo I, P1 e P2 duas partições arbitrárias de
I, então S(f, P1) ≤ S(f, P2).
Demonstração.
Seja P = P1
⋃ P2 , como P1 j P e P2 j P .
Pela Propriedade (2.3) temos S(f,P1) ≤ S(f,P) e S(f,P) ≤ S(f,P2) .
Da Propriedade (2.2) segue S(f,P1) ≤ S(f,P2) .
Portanto, S(f,P1) ≤ S(f,P2).
2.4 Integrais: Inferior e superior
Denotemos com Ω o conjunto de todas as possíveis partições do intervalo I; se f(x)
é limitada em I.
Então a desigualdadem(b−a) ≤ S(f,P) ≤ S(f,P) ≤M(b−a) é verdadeira para todo
P j Ω e verifica que os conjuntos de números {S(f, P) /.P j Ω } e {S(f, P) /.P j Ω }
são limitados superiormente e inferiormente respectivamente.
Definição 2.2.
Se f(x) é função limitada no intervalo I, o número sup{S(f,P)/.P j Ω} denomina-se
integra inferior de f(x) em I e indica-se por J =
b∫
a
f(x) · dx .
O número inf{S(f, P)/.P j Ω} denomina-se integral superior de f(x) em I e indica-se
por J =
b∫
a
f(x) · dx .
Logo; J =
b∫
a
f(x) · dx = sup{S(f, P) /. P j Ω } e J =
b∫
a
f(x) · dx =
inf{S(f, P) /. P j Ω }
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 121
2.4.1 Propriedades da integral: Inferior e superior
a) Se f(x) é função limitada no intervalo I = [a, b], então:
b∫
a
f(x) · dx ≤
b∫
a
f(x) · dx.
b) Se f(x) é função limitada no intervalo I = [a, b], m = inf{ f(x) /. x ∈ I } e
M = sup{ f(x) /. x ∈ I } então: m(b− a) ≤
b∫
a
f(x) · dx ≤
b∫
a
f(x) · dx ≤M(b− a) .
c) Se f(x) é função limitada no intervalo I = [a, b], existem pontos c1 e c2 em I tais
que:
b∫
a
f(x) · dx = f(c1)(b − a) e
b∫
a
f(x) · dx = f(c2)(b − a) de modo que
m ≤ f(c1) ≤ f(c2) ≤M .
d) Se f(x) é função limitada no intervalo I = [a, b] e c ∈ (a, b) temos:
b∫
a
f(x)·dx =
c∫
a
f(x)·dx+
b∫
c
f(x)·dx e
b∫
a
f(x)·dx =
c∫
a
f(x)·dx+
b∫
c
f(x)·dx
2.5 Integral de Riemann
Definição 2.3.
Dizemos que a função f : R −→ R é integrável Riemann no intervalo I = [a, b]
quando a função f(x) for limitada e,
b∫
a
f(x) · dx =
b∫
a
f(x) · dx
Esta última igualdade recebe o nome de integral de Riemann de f(x) sobre [a, b] e
denota-se por:
b∫
a
f(x) · dx.
Logo,
a∫
b
f(x) · dx =
b∫
a
f(x) · dx =
b∫
a
f(x) · dx e por simplicidade diz-se: integral de
f sobre [a, b] , ou integral definida de f sobre I ou integral de a até b.
Em
b∫
a
f(x) ·dx o símbolo
∫
é um operador matemático (de integração) utilizado por
Leibnitz para representar a "soma", a função f(x) é chamada de integrando ; e f(x) · dx
é elemento de integração . A variável x que aparece em não tem significado especial, isto
122 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
é podemos escrever:
b∫
a
f(x) · dx =
b∫
a
f(t) · dt =
b∫
a
f(s) · ds =
b∫
a
f(pi) · dpi · · · etc
.
Exemplo 2.19.
Seja f(x) = K função constante no intervalo [a, b] , temos que S(f, P) = S(f, P) =
K(b− a) ; logo a função constante é integrável sobre [a, b] e,
b∫
a
f(x) · dx = K(b− a).
Exemplo 2.20.
Consideremos a função de Dirichlet f : [a, b] −→ R definida como segue :
f(x) =
{
0, se x é irracional
1, se x é racional
Para qualquer partição P de [a, b] temos S(f, P) = 0 e S(f, P) = 1 ; logo
b∫
a
f(x) · dx = 0 e
b∫
a
f(x) · dx = 1.
Portanto f(x) não é integrável em [a, b] .
Observação 2.4.
Do significado geométrico de soma inferior e soma superior deduzimos que se D é a
região plana limitado pelo gráfico de y = f(x) , as retas x = a, x = b e o eixo x; se A(D)
representa a área a região D, então:
i) Se f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b] , A(D) =
b∫
a
f(x) · dx.
ii) Se f(x) ≤ 0 ∀ x ∈ [a, b] , A(D) = −
b∫
a
f(x) · dx.
Propriedade 2.5.
Se f(x) é uma função limitada no intervalo I, uma condição necessária e suficiente
para que f(x) seja integrável em I é que, dado ε > 0 , exista uma partição P de I tal
que: S(f, P) − S(f, P) < ε .
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 123
Demonstração.
Condição necessária (⇒)
Por hipóteses f(x) é integrável em I, sendo J =
b∫
a
f(x) ·dx = sup{S(f, P)/.P ∈ Ω} ,
dado ε > 0 existe uma partição P1 de I tal que J − ε
2
< S(f, P1) isto é :
J − ε
2
< S(f, P1) (2.8)
Por outro lado J =
a∫
b
f(x) · dx = inf{ S(f, P) /. P ∈ Ω } , considerando o mesmo
ε > 0 existe uma partição P2 de I tal que S(f, P2) < J + ε
2
isto é:
S(f, P2) < J + ε
2
(2.9)
De (2.8) e (2.9) obtemos S(f, P) − S(f, P) < ε .
Considerando a partição P = P1
⋃ P2 (na verdade é um refinamento de P1 e P2 )
temos S(f, P) − S(f, P) < S(f, P2) − S(f, P1) < ε .
Condição suficiente (⇐)
Suponhamos que, dado ε > 0, exista uma partição P de I tal que (2.8) seja verdadeira,
como S(f, P1) ≤ J e J ≤ S(f, P2) então 0 ≤ S(f, P2)− S(f, P1) < ε e sendo ε
arbitrário segue que J − J = 0 ou J = J ; isto é f(x) é integrável em I = [a, b] .
Definição 2.4.
Se a < b , define-se
b∫
a
f(x) · dx = −
a∫
b
f(x) · dx sempre que a integral exista.
Definição 2.5.
Se f(x) esta definida em x = a , então
a∫
a
f(x) · dx = 0.
Propriedade 2.6.
Se f(x) é contínua em [a, b] , então f(x) é integrável em [a, b]
Demonstração. .
Exercício para o leitor.
2.5.1 Propriedades da integral definida
Propriedade 2.7.
124 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Sejam f(x) e g(x) funções integráveis no intervalo I = [a, b], então:
a) f(x) é integrável em qualquer intervalo [c, d] ⊆ I = [a, b] .
b) Para toda constante K, temos K · f(x) é integrável em I e:
b∫
a
K · f(x) · dx =
K ·
b∫
a
f(x) · dx.
c) Se f(x) + g(x) é integrável em I = [a, b] e:
b∫
a
[f(x)± g(x)] · dx =
b∫
a
f(x) · dx ±
b∫
a
g(x) · dx
d) Se f(x) é integrável nos intervalos [a, c] e [c, b] então f(x) é integrável no intervalo
I = [a, b] e:
c∫
a
f(x) ·dx+
b∫
c
f(x) ·dx =
b∫
a
f(x) ·dx (Propriedade aditiva a respeito
do intervalo de integração).
e) Se f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ [a, b] então
b∫
a
f(x) · dx ≥ 0.
f) Se f(x) ≥ g(x) ∀ x ∈ [a, b] então
b∫
a
f(x) · dx ≥
b∫
a
g(x) · dx
g) Existem números m e M tais que m ≤ f(x) ≤M então:
m(b− a) ≤
b∫
a
f(x) · dx ≤ M(b− a)
h)
∣∣∣ b∫
a
f(x) · dx
∣∣∣ ≤ b∫
a
| f(x) | ·dx.
A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.
Exemplo 2.21.
Estime a integral I =
1∫
0
dx√
1 + x4
.
Solução. .
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 125
Para x ∈ [0, 1] temos que 1 ≤ 1 + x4 ≤ 2 , logo m = 1√
2
≤ 1√
1 + x4
≤ 1 = M ,
conseqüentemente
1∫
0
1√
2
≤
1∫
0
1√
1 + x4
≤
1∫
0
1dx.
Portanto,
1√
2
≤
1∫
0
1√
1 + x4
≤ 1.
2.5.2 Teorema do Valor Médio para integrais
Teorema 2.1.
Se y = f(x) é integrável em I = [a, b] , então existe c ∈ (a, b) tal que
f(c) =
1
b− a ·
b∫a
f(x) · dx
O número f(c) recebe o nome de valor médio da função f(x) em [a, b] .
Demonstração.
Lembre o teorema do valor médio para funções contínuas:
Se f é contínua em [a, b] e se f é derivável em (a, b), então existe c ∈ (a, b)
tal que f ′(c) =
f(b)− f(a)
b− a .
Por hipótese, y = f(x) é integrável em I, pois f(x) é contínua e das Propriedade (2.6)-
g), assim temos m(b− a) ≤
b∫
a
f(x) · dx ≤M(b− a) . onde m e M são respectivamente o
mínimo e máximo absoluto de f(x) em I. Logo, existem xm, xM ∈ [a, b] onde m = f(xm)
e M = f(xM) e f(xm) ≤ 1
b− a ·
b∫
a
f(x) · dx ≤ f(xM) .
Pelo teorema do valor médio para funções contínuas, existe c ∈ (xm, xM) de onde
f(xm) ≤ f(c) ≤ f(xM) isto é f(c) = 1
b− a ·
b∫
a
f(x) · dx onde o ponto c ∈ [a, b] .
Propriedade 2.8.
Se f(x) é contínua e g(x) é integrável em [a, b] sendo g(x) ≥ 0 , existe um ponto
c ∈ (a, b) tal que verifica-se a igualdade:
b∫
a
f(x) · g(x) · dx = f(c) ·
b∫
a
g(x) · dx
126 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Esta propriedade é conhecida como o teorema generalizado do valor médio, sua de-
monstração é exercício para o leitor.
2.5.3 Teorema fundamental do cálculo integral
A propriedade a seguir, é conhecida como: Primeiro teorema fundamental do cálculo
integral ou Teorema de Barrow.
Teorema 2.2.
Seja y = f(x) uma função contínua em I = [a, b] e consideremos a função F (x) =
x∫
a
f(t) · dt, x ∈ [a, b] então temos: F ′(x) = d
dx
[
x∫
a
f(t) · dt] = f(x), ∀ x ∈ [a, b] .
Demonstração.
Pela definição de derivada, para x ∈ [a, b] e h > 0 tão pequeno quanto poder, temos:
F ′(x) = lim
h→ 0
F (x+ h)− F (x)
h
= lim
h→ 0
1
h
[
x+h∫
a
f(t) · dt−
x∫
a
f(t) · dt] =
= lim
h→ 0
1
h
[
x∫
a
f(t) · dt+
x+h∫
x
f(t) · dt−
x∫
a
f(t) · dt] = lim
h→ 0
1
h
[
x+h∫
x
f(t) · dt]
Pelo Teorema (2.1), para os números x, x + h em [a, b] existe c entre x e x + h tal
que:
x+h∫
x
f(t) · dt = f(c) · (x+ h− x) = h · f(c) ; logo
F ′(x) = lim
h→ 0
1
h
[
x+h∫
x
f(t) · dt] = lim
h→ 0
1
h
[h · f(c)] = lim
h→ 0
f(c) = f(x)
para c ∈ (x, x+ h) isto é F ′(x) = f(x) ∀ x ∈ [a, b].
Observação 2.5.
Esta propriedade estabelece um enlace entre os conceitos de integral indefinida e defi-
nida. Isto mostra que uma função contínua em I = [a, b] admite uma primitiva dada pela
integral F (x) =
x∫
a
f(t) · dt ; pois F ′(x) = f(x) ∀ x ∈ [a, b].(é um teorema de existência,
dada f(x) contínua, existe F (x) )
A propriedade a seguir, é conhecida como : Segundo teorema fundamental do cálculo
integral.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 127
Propriedade 2.9.
Seja y = f(x) uma função contínua em I = [a, b] e F (x) uma primitiva de f(x) em
I, isto é F ′(x) = f(x) ∀ x ∈ [a, b] então temos:
b∫
a
f(x) · dx = F (b)−F (a) = F (x)
∣∣∣b
a
Demonstração.
Pelo primeiro teorema fundamental do cálculo para todo x ∈ I, podemos definir outra
primitiva G(x) =
x∫
a
f(x) · dx para a função f(x) ; logo F (x) = G(x) +C (C constante).
Por outro lado, F (b) = G(b)+C =
b∫
a
f(t)·dt+C e F (a) = G(a)+
a∫
a
f(t)·dt+C = 0+C,
logo F (b)−F (a) = (
b∫
a
f(t)·dt+C)−C =
b∫
a
f(t)·dt. Como a variável t não tem significado
podemos escrever:
b∫
a
f(t) · dt = F (b)− F (a) = F (x)
∣∣∣b
a
Observação 2.6.
a) F (x)
∣∣∣b
a
= F (b)− F (a) somente é notação para F (b)− F (a).
b) A fórmula
b∫
a
f(t) · dt = F (b) − F (a) = F (x)
∣∣∣b
a
é conhecida de modo convencional
como “Fórmula de Newton - Leibnitz” ; devido a que estes matemáticos estabelece-
ram independentes um do outro, a relação intima entre a derivada e integral, porém;
eles não utilizaram a mesma.
c) Observe-se que a diferença F (b)− F (a) não depende da primitiva F , desde que todas
as primitivas são diferentes por uma constante.
Exemplo 2.22.
Seja a função F (x) =
x∫
0
dt
1 + t2
calcular:
i) F ′(x) ii) F”(x) iii) F ′(1)
Solução. i)
Desde que f(t) =
1
1 + t2
é contínua em R , pelo primeiro teorema fundamental do
cálculo temos F ′(x) =
1
1 + x2
∀ x ∈ R+ .
128 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Observe que F ′(x) ≥ 0 logo F (x) é crescente ∀ x ∈ R+.
Solução. ii)
Da fórmula de derivação F”(x) = − 2x
(1 + x2)2
, observe-se que F (x) apresenta ponto
de inflexão em x = 0.
Solução. iii)
Temos F ′(1) =
1
2
Por último, do fato F ′(x) =
1
1 + x2
segue que F (x) = arctan x+ C e sendo F (0) = 0
segue que 0 = arctan(0) + C , por tanto F (x) = arctan x.
Exemplo 2.23.
Calcular as seguintes integrais:
a)
1∫
−1
dx
1 + x2
b)
pi
2∫
0
sen x · dx c)
1∫
0
ex · dx d)
1∫
0
senhx · dx
Solução. a)
Uma antiderivada para f(x) =
dx
1 + x2
em [−1, 1] é F (x) = arctan x+ C ; logo
1∫
−1
dx
1 + x2
= [arctanx+ C]
∣∣∣1
−1
= [arctg(1) + C]− [arctg(−1) + C] = pi
4
− (−pi
4
) =
pi
2
Portanto,
1∫
−1
dx
1 + x2
=
pi
2
.
No que segue, pela Observação (2.6)-iii) não precisamos da constante de integração.
Solução. b)
pi
2∫
0
sen x · dx = − cosx
∣∣∣pi2
0
= −[cos pi
2
− cos 0] = 1 ⇒
pi
2∫
0
sen x · dx = 1
Solução. c)
1∫
0
ex · dx = ex
∣∣∣1
0
= e1 − e0 = e− 1 ⇒
1∫
0
ex · dx = e− 1
Solução. d)
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 129
1∫
0
senhx · dx = coshx
∣∣∣1
0
= cosh 1− cosh 0 = cosh 1− 1
Portanto,
1∫
0
senhx · dx = cosh 1− 1.
Exemplo 2.24.
Calcular a primeira derivada da função F (x) =
x2∫
2
sen t · dt.
Solução.
O procedimento é o seguinte: Utilizando a regra da cadeia, vamos substituir no inte-
grando o valor de t por x2; logo multiplicamos pela derivada de x2.
Observe, F ′(x) = [sen (x2)] · (2x) ⇒ F ′(x) = 2x · sen x2.
Exemplo 2.25.
Sejam G(x) =
x4∫
−3
dt
1 + 9sen 2t
e H(x) =
5∫
x3
dt
t+ 9sen 2t+ 10
calcular as derivadas G′(x)
e H ′(x).
Solução.
Pelo exemplo anterior temos G′(x) = [
1
1 + 9sen 2(x4)
] · (4x3) ; logo a derivada G′(x) =
4x3
1 + 9sen 2(x4)
].
Por outro lado, pela Definição (2.4) temos que a função H(x) =
5∫
x3
dt
t+ 9sen 2t+ 10
=
−
x3∫
5
dt
t+ 9sen 2t+ 10
, logoH ′(x) = −[ 1
(x3) + 9sen 2(x3) + 10
]·(3x2) = − 3x
2
(x3) + 9sen 2(x3) + 10
.
Portanto H ′(x) = − 3x
2
(x3) + 9sen 2(x3) + 10
.
Exemplo 2.26.
Determine a primeira derivada de F (x) =
x2∫
sen x
(cos t+ t2)dt
Solução.
Pelas propriedades de integrais temos: F (x) =
c∫
sen x
(cos t+ t2)dt+
x2∫
c
(cos t+ t2)dt para
130 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
algum número real c compreendido entre sen x e x2.
Da Definição (2.4) segue que F (x) = −
sen x∫
c
(cos t + t2)dt +
x2∫
c
(cos t + t2)dt ; logo
F ′(x) = −[cos(sen x) + (sen x)2][cosx] + [cos(x2) + (x2)2] · [2x].
Portanto, F ′(x) = cosx.[cos(sen x) + sen 2x] + 2x[cos(x2) + x4].
Exemplo 2.27.
Calcular o valor de: J =
1∫
−1
| x |
1 + x2
· dx.
Solução.
Temos que f(x) =
| x |
1 + x2
, da definição de valor absoluto, a função f(x) podemos
redefinir como f(x) =

x
1 + x2
, se, x ≥ 0
− x
1 + x2
, se, x < 0
.
Logo podemos escrever J =
0∫
−1
− x
1 + x2
· dx+
1∫
0
x
1 + x2
· dx = − 1
2
[Ln(1 + x2)]
∣∣∣0
−1
+
1
2
[Ln(1 + x2)]
∣∣∣1
0
= −1
2
([Ln(1)−Ln(2)]+[Ln(2)−Ln(1)]) ⇒ J =
1∫
−1
| x |
1 + x2
= Ln(2).
Exemplo 2.28.
Calcular o valor de: J =
4∫
−4
| x2 + x− 6 | dx
Solução.
A expressão dentro do valor absoluto podemos escrever: x2 + x− 6 = (x+ 3)(x− 2).
Da definição de valor absoluto, f(x) =| x2 + x− 6 | podemos redefinir como
f(x) =
{
x2 + x− 6, se, x ≤ −3 ou x ≥ 2
− (x2 + x− 6), se, − 3 < x < 2 ;
logo a integral original J =
−3∫
−4
(x2 + x − 6)dx −
2∫−3
(x2 + x − 6)dx +
4∫
2
(x2 + x − 6)dx =
[
1
3
x3 +
1
2
x2 − 6x]
∣∣∣∣−3
−4
− [1
3
x3 +
1
2
x2 − 6x]
∣∣∣∣2
−3
+ [
1
3
x3 +
1
2
x2 − 6x]
∣∣∣∣4
2
=
17
6
− (−125
6
)+
38
3
=
109
3
.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 131
Portanto J =
4∫
−4
| x2 + x− 6 | dx = 109
3
.
Exemplo 2.29.
i) Seja G(x) =
u∫
a
f(t) · dt , onde f : [a, b] ⊂ R −→ R é uma função contínua e u = u(x)
é função derivável u : I −→ [a, b] .
Mostre que G′(x) = f(u) · u′ , onde u′ = d
dx
u(x) .
ii) Seja H(x) =
a∫
u
f(t) · dt onde f e u cumprem as condições da parte i).
Mostre que H ′(x) = − f(u) · u′ onde u′ = d
dx
u(x) .
Solução. i)
Se F (x) =
x∫
a
f(t) ·dt e u = u(x), então F (u(x)) = (F ◦u)(x) =
u∫
a
f(t) ·dt , derivando,
pela regra da cadeia G′(x) = F ′(u(x)) · u′(x) = f(u(x)) · u′(x); isto é G′(x) = f(u) · u′ ,
onde u′ =
d
dx
u(x) .
Solução. ii)
Da Definição (2.4) temos que H(x) =
a∫
u
f(t)·dt = −
u∫
a
f(t)·dt; isto éH(x) = −G(x),
então pela parte i) H ′(x) = −G′(x) = −f(u) · u′ , onde u′ = d
dx
u(x) .
Exemplo 2.30.
Se
tanx∫
0
f(t) · dt = g(x) e f(x) = − 1
1 + x2
determine g(x).
Solução.
Derivando ambos os membros temos:
f(tan x) · sec2 x = g′(x); como f(x) = − 1
1 + x2
então g′(x) = − 1
1 + tan2 x
· sec2 x =
−1 ⇒ g′(x) = −1.
Portanto g(x) = C − x.
Propriedade 2.10. Cauchy - Buniakovski.
Se [f(x)]2 e [g(x)]2 são integráveis em [a, b] , então:
∣∣∣∣∣∣
b∫
a
f(x) · g(x) · dx
∣∣∣∣∣∣ ≤
√√√√√

b∫
a
[f(x)]2dx


b∫
a
[g(x)]2dx
 (2.10)
132 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Demonstração. .
Exercício para o leitor.
Exemplo 2.31.
Aplicando a Propriedade (2.9) estime a integral:
1∫
0
√
(4 + x3)x · dx.
Solução. .
Sejam f(x) =
√
4 + x3 e g(x) =
√
x , temos [f(x)]2 = 4 + x3 e [g(x)]2 = x, da
desigualdade (2.10) temos
1∫
0
√
(4 + x3)x · dx ≤
√√√√√

1∫
0
[
√
4 + x3]2dx


1∫
0
[
√
x)]2dx
 = 14
√
17
2
= 0, 72
Por outro lado, como 0 ≤ x ≤ 1 segue que 0 ≤ √(4 + x2)x ≤ 5, então 0 ≤
1∫
0
√
(4 + x3)x · dx ≤
1∫
0
5 · dx = 5.
Portanto é melhor a estimativa 0 ≤
1∫
0
√
(4 + x3)x · dx ≤ 0, 72.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 133
Exercícios 2-3
1. Determine quais das seguintes funções são integráveis no intervalo [0, 2], e calcule
a integral caso seja possível.
1. f(x) =
{
x, se 0 ≤ x < 1
x− 2, se 1 ≤ x ≤ 2 2. f(x) =
{
x, se 0 ≤ x ≤ 1
x− 2, se 1 < x ≤ 2
3. f(x) = x+ ‖ x ‖
2. Para cada um dos seguintes exercícios calcular a primeira derivada:
1. F (x) =
2x∫
1
cosh(2t2 + 1) · dt 2. F (x) =
sen x∫
a
dt
arcsent
3. F (x) =
x∫
2

y∫
5
dt
1 + t2 + sen 2t
 dy 4. F (x) =
x2∫
0
dt
1+sen 2t∫
a
cos2(y2 + 4) · dy
5. F (x) = sen

x∫
0
sen
 y∫
0
sen 3t · dt
 dy

3. Sejam H(x) =
f(2)∫
g(x)·(1−√1−x2)
dt
t2
e
sen x∫
√
2
g(t) · dt = Ln(1− cos x) , calcular H ′(x) .
4. Seja F (x) =
x2∫
x3
t6 · dt
1 + t4
, calcular F ′(x) .
5. G(x) =
x+x2∫
x2+1
2− t
2
dt , calcular G′(x) e G”(x).
6. Se F (x) =
ex∫
x2
x(t2 + 1) · dt , calcular F ′(x).
7. Seja G(x) =
g2(x)∫
g1(x)
f(t) · dt , onde f : I −→ R é uma função contínua e, as funções
deriváveis g1, g2 J → R . Mostre que G′(x) = f(g2(x)) · g′2(x)− f(g1(x)) · g′1(x) .
134 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
8. Mostre que se f(x) é contínua, então:
x∫
0
f(t)(x − t) · dt =
x∫
0

t∫
0
f(s) · ds
 dt.
Sugestão: Considerar F (x) =
x∫
0
f(t)(x− t) · dt , logo F ′(x) =
x∫
0
f(t) · dt .
9. Aplicar o exercício anterior para mostrar que:
x∫
0
f(t)(x− t)2dt = 2
x∫
0

t∫
0

z∫
0
f(u) · du
 dz
 dt
10. Determine f(x), se f ′′′(x) =
1√
1 + sen 2x
, x ≥ 0.
11. Se
1
3x+1∫
5
f(t) · dt = 2
ax
+ ax , determine valores de a de modo que f(
1
4
) =
16
3
.
12. Suponhamos f e g funções contínuas no intervalo [a, b] tais que cumpram a desi-
gualdade:
b∫
a
f(x) · dx >
b∫
a
g(x) · dx. Responda as seguintes questões justificando
sua resposta.
1. Sempre
b∫
a
[f(x)− g(x)]dx > 0 ?
2. Necessariamente f(x) > g(x) x ∈ [a, b] ?
3. Necessariamente f(x) > g(x) para algumx ∈ [a, b] ?
4. Sempre
∣∣∣∣∣∣
b∫
a
f(x)dx
∣∣∣∣∣∣ >
∣∣∣∣∣∣
b∫
a
g(x)dx
∣∣∣∣∣∣ ?
5. Necessariamente
b∫
a
| f(x) | dx >
b∫
a
g(x)dx ?
6. Sempre
b∫
a
| f(x) | dx >
b∫
a
| g(x) | dx ?
13. Determine F ′(x) , se F (x) =
x∫
0
x · f(t)dt.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 135
14. Mostre que se f é contínua em [a, b] e
b∫
a
| f(x) | dx = 0, então f(x) = 0 ∀x ∈ [a, b].
15. Calcular F ′(x) para a função F (x) =
{
x∫
a
dt
1+cos2 t
}∫
a
dt
1 + sen 2t
.
16. Determine [F−1(x)]2 , onde F (x) =
x∫
1
dt
t
.
17. Análogo ao exercício anterior para a função:
x∫
1
dt√
1− t2
18. Suponhamos que f seja contínua em [a, b] e que
b∫
a
f(x) · dx = 0. Responda as
seguintes questões justificando sua resposta.
1. Sempre f(x) = 0 ∀ x ∈ [a, b] ?
2. Sempre f(x) = 0 para algum x ∈ [a, b] ?
3. Necessáriamente
∣∣∣∣∣∣
b∫
a
f(x)dx
∣∣∣∣∣∣ = 0
4. Sempre
b∫
a
| f(x) | ·dx = 0 ?
5. Sempre
b∫
a
| f(x) |2 ·dx = 0 ?
6. Necessáriamente
b∫
a
| f(x) + 1 | ·dx = 0 ?
19. Determine g(x), se
1
sec x∫
1
g(t) · dt = senx− x.
20. Se
1
csc x∫
5
f(t) · dt = − 2√1− sen x , determine f(x).
21. Se
cos 2x∫
1
f(t) · dt = g(x) e f(x) = 1√
x− 1 determine, g(
pi
2
).
136 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
22. Se
tanx∫
a
f(s) · ds = g(x) e f(x) = x2 − 1 determine g(pi
6
).
23. Determine o valor das seguintes integrais:
1.
2∫
2
x3 · dx 2.
2∫
1
(x+ 1)3dx 3.
1
2∫
0
dx√
1− x2
4.
2∫
1
x · dx
1 + x2
5.
1∫
−1
x · dx
1+ | x | 6.
5∫
3
∣∣∣∣ 5x− 20(2− x)(x2 + 1)
∣∣∣∣ dx
7.
pi∫
0
| cos x | ·dx 8.
1∫
0
x2
x+ 1
· dx 9.
1∫
0
Lnx · dx
24. Se
cosx∫
a
f(w) · dw = x− 1
2
tanx , calcular f(
1
2
).
25. Se
x2+1∫
√
2
f(t) · dt = √x+
√
3 determine f(17).
26. Dado
x2(x+1)∫
arcsen6
f(t) · dt = x , determine f(2).
27. Seja
x+2∫
2,5
f(w) · dw = x− 6 . Calcular f(3).
28. Se
pi∫
0
[f(t) + f ′′(t)] · sen t · dt = 5 e f(pi) = 2. Calcular f(0).
29. Se
pi
2∫
0
[f(sen x) + f”(sen x)
sen 2x
2
] · cos x · dx = 3
2
e f ′(1) = 1. Calcular f(1).
30. Determine todas as funções f(t) que verificam a relação:
x∫
0
f(t) · dt = x
3
f(x)
31. Calcule a área limitada por os eixos de coordenadas e a parábola
√
x+
√
y =
√
a
32. Calcule a área compreendida entre as parábolas y2 = 2px e x2 = 2qy.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 137
2.6 Mudança de variável em uma integral definida
Propriedade 2.11.
Se f(x) é uma função contínua no intervalo I = [a, b] e se substituímos a variável x
por g(t), onde g : [c, d] −→ [a, b] tem derivada contínua no intervalo [c, d] sendo g(c) = a
e g(d) = b, então:
b∫
a
f(x) · dx =
d∫
c
f(g(t)) · g′(t) · dt
Demonstração.
Seja F (y) =
y∫
a
f(x) ·dx, pelo primeiro teorema fundamental do cálculo integral, temos
F ′(y) = f(y) ∀ y ∈ I = [a, b] .
Por outro lado, pela regra da cadeia, para a função composta F (g(t)) temos [F (g(t))]′ =
F ′(g(t)) · g′(t) = f(g(t)) · g′(t) ; isto é F (g(t)) é uma antiderivada de f(g(t)) · g′(t).
Pelo segundo teorema fundamental do cálculo temos:
d∫
c
f(g(t)) · g′(t) · dt = F (g(t))
∣∣∣d
c
=
F (g(d))− F (g(c)) = F (b)− F (a) =
b∫
a
f(x) · dx
Portanto,b∫
a
f(x) · dx =
d∫
c
f(g(t)) · g′(t) · dt.
Observação 2.7.
i) Se a função g : [c, d] −→ [a, b] tem derivada contínua em [c, d] sendo g(c) = b e
g(d) = a, então:
b∫
a
f(x) · dx =
d∫
c
f(g(t)) · g′(t) · dt.
ii) Se efetuamos a mudança de variável aplicando a fórmula da Propriedade (2.11), não
precisamos voltar à variável original.
Exemplo 2.32.
Calcular a integral J =
3∫
2
x2 · dx
(1 + x3)3
.
Solução.
138 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Considere t = 1 + x3, logo x = g(t) = 3
√
t− 1 ⇒ dx = g′(t) = dt ; g(9) = 2 e
g(28) = 3, sendo g e g′ contínuas em [9, 28] temos que,
J =
3∫
2
x2 · dx
(1 + x3)3
=
28∫
9
3
√
(t− 1)2
t3
· dt
3 · 3√(t− 1)2 =
1
3
28∫
9
t−3 · dt = − 1
6
t−2
∣∣∣28
9
=
703
127.008
Portanto, J =
3∫
2
x2 · dx
(1 + x3)3
=
703
127.008
Propriedade 2.12.
a) Se f é contínua em [0, a], então
a∫
0
f(x) · dx =
a∫
0
f(a− x) · dx .
b) Se f é par e contínua em [−a, a], então
a∫
−a
f(x) · dx = 2 ·
a∫
0
f(x) · dx
c) Se f é função ímpar e contínua em [−a, a], então
a∫
−a
f(x) · dx = 0
d) Se f é contínua, então
pi∫
0
x · f(sen x) · dx = pi
2
pi∫
0
f(sen x) · dx
e) Se f é função par e contínua, então
pi∫
0
x · f(cosx) · dx = pi
2
pi∫
0
f(cosx) · dx.
Demonstração. a)
Para a integral
a∫
0
f(a−x) · dx considere a−x = z, então quando x = a , temos z = 0
e quando x = 0 , temos z = a além disso dx = −dz, logo:
a∫
0
f(a− x) · dx =
0∫
a
f(z) · (−dz) = −
0∫
a
f(z) · dz =
a∫
0
f(x) · dx
isto último aplicando a Definição (2.4) e do fato ser a integral independente da variável
de integração.
Demonstração. b)
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 139
Observe:
a∫
−a
f(x) · dx =
0∫
−a
f(x) · dx +
a∫
0
f(x) · dx; considere x = −y em [−a, a] logo
y ∈ [−a, a] e sendo f função par então f(−y) = f(y).
Efetuando mudança de variável na integral
0∫
−a
f(x) ·dx temos:
0∫
−a
f(x) ·dx =
0∫
a
f(−y) ·
(−dy) =
0∫
a
f(y) · (−dy) = −
0∫
a
f(y) · (dy) =
a∫
0
f(x) · (dx).
Isto último aplicando a Definição (2.4) e do fato ser a integral independente da variável
de integração.
Portanto,
a∫
−a
f(x) · dx =
a∫
0
f(x) · dx+
a∫
0
f(x) · dx = 2
a∫
0
f(x) · dx
Demonstração. c)
Temos
a∫
−a
f(x) · dx =
0∫
−a
f(x) · dx +
a∫
0
f(x) · dx; considere x = −y em [−a, a] logo
y ∈ [−a, a] e sendo f função ímpar então f(−y) = −f(y).
Efetuando mudança de variável na integral
0∫
−a
f(x) ·dx temos:
0∫
−a
f(x) ·dx =
0∫
a
f(−y) ·
(−dy) = −
0∫
a
f(y) · (−dy) =
0∫
a
f(y) · (dy) = −
a∫
0
f(x) · (dx)
Portanto,
a∫
−a
f(x) · dx =
0∫
−a
f(x) · dx+
a∫
0
f(x) · dx = 0.
Demonstração. d)
Considerando a mudança x = p−y, temos dx = −dy e
pi∫
0
x ·f(sen x) ·dx =
0∫
pi
(pi−y) ·
f(sen (pi− y)) · (−dy) = −
0∫
pi
(pi− y) · f(sen (pi− y)) · dy =
pi∫
0
(pi− y) · f(sen (pi− y)) · dy =
pi∫
0
pi · f(sen (pi− y)) · dy−
pi∫
0
y · f(sen (pi− y)) · dy =
pi∫
0
pi · f(sen y · dy−
pi∫
0
y · f(sen y) · dy,
isto último do fato sen (pi − y) = sen y.
Logo,
pi∫
0
x · f(sen x) · dx+
pi∫
0
y · f(sen y) · dy = pi
pi∫
0
x · f(sen x) · dx.
Portanto,
pi∫
0
x · f(sen x) · dx = pi
2
pi∫
0
f(sen x) · dx
Demonstração. e)
140 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Exercício para o leitor.
Exemplo 2.33.
Calcular a integral J =
1∫
0
Ln(1 + x)
1 + x2
· dx
Solução.
Seja x = tan y , então dx = sec2 y · dy; logo a integral:
J =
1∫
0
Ln(1 + x)
1 + x2
· dx =
pi
4∫
0
Ln(1 + tan y)
1 + tan2 y
· sec2 y · dy =
pi
4∫
0
Ln(1 + tan y) · dy (2.11)
Lembrando que tan(
pi
4
− y) = tan y e tan(a− b) = tan a− tan b
1 + tan a · tan b
Em (2.11) segue J =
pi
4∫
0
Ln(1 + tan(
pi
4
− y)) · dx =
pi
4∫
0
Ln(1 +
tan pi
4
− tan y
1 + tan pi
4
· tan y ) · dy =
pi
4∫
0
Ln(1 +
1− tan y
1 + tan y
) · dy =
pi
4∫
0
Ln(
2
1 + tan y
) · dy =
pi
4∫
0
2 · dy +
pi
4∫
0
Ln(1 + tan y)dy =
pi
4
Ln2− J .
Portanto, J =
1∫
0
Ln(1 + x)
1 + x2
· dx = pi
8
Ln2.
Exemplo 2.34.
Calcular a integral J =
pi∫
0
x · sen x
1 + cos2 x
· dx
Solução.
Aplicando identidade sen 2x+cos2 x = 1, temos J =
pi∫
0
x · sen x
1 + cos2 x
·dx =
pi∫
0
x · sen x
2− sen 2x ·
dx, a função a integral nesta última integral é da forma x · f(sen x).
Pela Propriedade (2.12) d) segue J =
pi
2
pi∫
0
sen x
2− sen 2x · dx =
pi
2
pi∫
0
sen x
1 + cos2 x
· dx =
= −pi
2
[
arctan(cos x)
]∣∣∣pi
0
= −pi
2
[−pi
4
− pi
4
] =
pi
4
2
.
Portanto, J =
pi∫
0
x · sen x
1 + cos2 x
· dx = pi
4
2
.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 141
2.7 Integração por partes em uma integral definida
Propriedade 2.13.
Se u = u(x) e v = v(x) são funções com derivadas contínuas em [a, b], então:
b∫
a
u · dv = u · v
∣∣∣b
a
−
b∫
a
v · du
Demonstração.
Pela fórmula do diferencial de um produto temos d(u · v) = u · dv + v · du; logo
b∫
a
d(u · v) =
b∫
a
u · dv +
b∫
a
v · du.
Portanto,
b∫
a
u · dv = u · v
∣∣∣b
a
−
b∫
a
v · du.
Exemplo 2.35.
Calcular a integral J =
3∫
1
x2 · Lnx · dx.
Solução.
Suponhamos u = Lnx e dv = x2 · dx, ⇒ du = 1
x
· dx e v = x
3
3
.
Logo J =
x3
3
Lnx
∣∣∣3
1
− 1
3
3∫
1
x2 ·dx =
[
x3
3
· Lnx− 1
9
x3
]
x3
3
Lnx
∣∣∣3
1
= (9Ln3−Ln1)− (27−
1) = 9Ln3− 26
9
.
Portanto, J =
3∫
1
x2 · Lnx · dx = 9Ln3− 26
9
.
Exemplo 2.36.
Calcular a integral J =
16∫
1
arctan
√√
x− 1 · dx
Solução.
Seja z = arctan
√√
x− 1, então sec2 z = √x ⇒ x = sec4 z e dx = 4 sec4 z · tanx ·
dz, se x = 1 ⇒ z = 0, se x = 16 ⇒ z = pi
3
; a integral J =
16∫
1
arctan
√√
x− 1 · dx =
pi
3∫
0
z · 4 sec4 z · tan z · dz, integrando por partes; considere u = z e dv = 4 sec4 z · tan z · dz;
logo du = dx e v = sec4 z
142 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Temos J = z · sec4 z
∣∣∣pi3
0
−
pi
3∫
0
sec4 z · dz = z · sec4 z
∣∣∣pi3
0
−
pi
3∫
0
(1 + tan2 z) sec2 z · dz =
16pi
3
− [tan z + 1
3
tan3 z]
∣∣∣pi3
0
=
16pi
3
− 2
√
3
Portanto, J =
16∫
1
arctan
√√
x− 1 · dx = 16pi
3
− 2
√
3.
2.8 Integração de funções descontínuas
Definição 2.6.
Seja f : [a, b] −→ R uma função limitada e consideremos a partição P = {x0, x1, x2, x3,
· · · , xn } do intervalo I = [a, b] ; sejam c1, c2, c3, · · · , cn pontos de I tais que cj ∈ Ij =
[xj−1, xj] j = 1, 2, 3, · · · , n.
A soma S(f, P ) =
n∑
j=1
é chamada soma de Riemann de f com respeito à partição P.
Sendo mj = inf .{ f(x) /. x ∈ [xj−1, xj] } e Mj = sup .{ f(x) /. x ∈ [xj−1, xj] }, então
mj ≤ f(cj) ≤Mj, j = 1, 2, 3, ·, n ainda
S(f, P) ≤ S(f, P) ≤ S(f, P)
A soma de Riemann, é um tipo de somas que não necessáriamente é uma soma inferior
ou superior estudadas anteriormente, porém está compreendida entre elas.
Definição 2.7.
Dizemos que S(f, P) tem soma igual a J ∈ R, quando ‖ P ‖→ 0 e se escreve
lim
‖P‖→0
S(f, P) = J
Quando, dado ε > 0, (arbitrário), existe δ > 0, tal que para toda partição P com
0 <‖ P ‖< δ e para qualquer cj temos ‖ P ‖< ε.
Propriedade 2.14. Darboux.
Se f é função limitada no intervalo I, uma condição necessária e suficiente para que
f seja integrável em I é que exista J ∈ R tal que lim
‖P‖→0
S(f, P) = J .
Demonstração.
Exercício para o leitor.
Propriedade 2.15.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 143Sejam f, g : I = [a, b] −→ R, duas funções tais que f(x) = g(x), ∀ x ∈ I, exceto
um número finito de pontos. Se g é integrável em I, então f é integrável em I e temos:
b∫
a
f(x) · dx =
b∫
a
g(x) · dx
Demonstração.
Se g é integrável em I e
b∫
a
g(x) · dx = J , pela Propriedade (2.13), dado ε > 0,
(arbitrário), existe δ1 > 0, tal que para toda partição P de [a, b] com 0 <‖ P ‖<
δ1, ∀ cj ∈ Ij = [xj−1, xj] , temos ‖ S(f, P) − J ‖< ε
2
.
Por outro lado, se A = { x ∈ I /. f(x) 6= g(x) } possui r pontos (r é finito) e
L = sup{ | f(x)− g(x) | /. x ∈ I }, para toda partição P de I com ‖ P ‖< ε
2rL
temos:
| S(f, P) − S(g,P) |= |
∑
cj∈A
[f(cj)− g(cj)]∆jx | ≤ r · L· ‖ P ‖< r · L · ε
2r · L =
ε
2
.
Portanto, se δ = min{ δ1, ε
2r · L } temos | S(f, P) − J | ≤ | S(f, P) − S(g,P) | + |
S(g,P)− J |< ε
2
+
ε
2
= ε.
Em resumo, para toda partição P de [a, b] com | P | < δ e ∀ cj ∈ Ij verifica-se
| S(f, P) − J |< ε.
Portanto, pela Propriedade (2.13) (teorema de Darboux), f é integrável em [a, b] e;
b∫
a
f(x) · dx =
b∫
a
g(x) · dx..
Propriedade 2.16.
Se f é contínua em [a, b] exceto nos pontos a ou b para os quais existam f(a+) =
lim
x→a+
f(x) e f(b−) = lim
x→b−
f(x) então f é integrável; em I, e existe uma função F , sendo
F ′(x) = f(x) ∀ x ∈ (a, b) tal que:
b∫
a
f(x) · dx = F (b)− F (a).
Demonstração.
Exercício para o leitor.
Definição 2.8. Função seccionalmente contínua.
Diz-se que a função f : I −→ R é seccionalmente contínua no intervalo I, quando f é
contínua para todo x ∈ I, exceto possívelmente para um número finito de pontos cj, j =
1, 2, 3, · · · , n para os quais existem os limites f(c−j ) = lim
x→c−j
f(x) e f (c+j ) = lim
x→c+j
f(x).
Se cj = a ou b, deve existir f(a+) ou f(b−), respectivamente.
144 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Propriedade 2.17.
Se f é seccionalmente contínua em I = [a, b], então f é integrável em I = [a, b].
Demonstração.
Exercício para o leitor.
Exemplo 2.37.
Seja f(x) =

−2, se, − 2 ≤ x < −1
x3, se, − 1 ≤ x ≤ 1
2, se, 1 < x ≤ 2
a) Desenhar o gráfico de f(x). b) A função f(x) é integrável em [−2, 2] ? Justificar
sua resposta. c) Calcular
2∫
−2
f(x) ·dx. d) Calcular F (x) =
x∫
−2
f(x) ·dx x ∈ [−2, 2]. e)
Esboçar o gráfico de F (x). f) Determine um conjunto onde F (x) seja derivável; determine
F ′(x).
Solução. a)
Figura 2.12:
O gráfico da função f(x) mostra-se na Figura
(2.12).
Solução. b)
A função f é integrável em [−2, 2], pelo fato ser
seccionalmente contínua.
Solução. c)
2∫
−2
f(x) · dx =
−1∫
−2
f(x) · dx+
1∫
−1
f(x) · dx+
+
2∫
1
f(x) · dx =
=
−1∫
−2
(−2) · dx+
1∫
−1
x3 · dx+
2∫
1
(2) · dx =
= −2x
∣∣∣−1
−2
+
1
4
x4
∣∣∣∣1
−1
+ 2x
∣∣∣2
1
= −2 + 0 + 2 ⇒
2∫
−2
f(x) · dx = 0.
Solução. d)
Observe, se x ∈ [−2, −1] ⇒ F (x) =
x∫
−2
(−2) · dt = −2t
∣∣∣x
−2
= −4 − 2x; se
x ∈ [−1, 1] ⇒ F (x) =
x∫
−1
t3 · dt = 1
4
t4
∣∣∣∣x
−1
=
x4
4
− 1
4
.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 145
Por último, se x ∈ [1, 2] ⇒ F (x) =
x∫
1
2 dx = 2t
∣∣∣x
1
= 2x− 2
Figura 2.13:
Assim, F (x) =
x∫
−2
f(x) ·dt =
x∫
−2
(−2) ·dt+
x∫
−1
t3 ·
dt+
x∫
1
(2) · dx
Portanto,
F (x) =

−2x− 4, se, − 2 ≤ x < −1
x4 − 1
4
, se, − 1 ≤ x ≤ 1
2x− 2, se, 1 < x ≤ 2
Solução. e)
O gráfico de F (x) mostra-se na Figura (2.13)
Exemplo 2.38.
Calcular a integral J =
pi∫
0
dx
a2 cos2 x+ sen 2x
Solução.
A função tangente é descontínua em x =
pi
2
, então podemos calcular:
J =
pi
2∫
0
dx
a2 cos2 x+ sen 2x
+
pi∫
pi
2
dx
a2 cos2 x+ sen 2x
=
1
a
arctan(
tanx
a
)
∣∣∣∣pi2
0
+
1
a
arctan(
tanx
a
)
∣∣∣∣pi
pi
2
=
pi
2a
− 1
a
(
pi
2
) =
pi
a
Portanto, J =
pi∫
0
dx
a2 cos2 x+ sen 2x
=
pi
a
.
Exemplo 2.39.
Queremos calcular J =
pi∫
0
sen x · dx mediante a substituição x = arcsent. Como
devemos aplicar a fórmula fundamental ?
Solução.
Não é possível determinar um intervalo [c, d] para t no qual x varie de modo contínuo
de 0 até pi.
146 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Em primeiro lugar t cresce de 0 até 1, e depois decresce de −1 até 0. Dividimos o
intervalo (0, pi) nos intervalos: (0,
pi
2
) e (
pi
2
, pi).
No intervalo (
pi
2
, pi), x = arcsent, então dx = − t · dt√
1− t2 ; logo temos que resolver as
integrais:
J1 =
pi
2∫
0
sen x dx =
1∫
0
t · dt√
1− t2 , e; J2 =
pi∫
pi
2
sen x · dx = −
0∫
1
t · dt√
1− t2 .
Disto resulta J = 2
1∫
0
t · dt√
1− t2 = 2.
Portanto, J =
pi∫
0
sen x · dx = 2
Exemplo 2.40.
Determine o valor da integral J =
1∫
−1
dx√
1 + x2 +
√
1− x2 .
Solução.
Observando que a função f(x) =
dx√
1 + x2 +
√
1− x2 é par no intervalo simétrico
[−1, 1], pela Propriedade (2.11)-b) temos:
J = 2
1∫
0
dx√
1 + x2 +
√
1− x2 =
1∫
0
{√
1 + x2 −√1− x2
x2
}
·dx ; as funções
√
1 + x2
x2
e
√
1− x2
x2
não são contínuas em x = 0, porém sua diferença é contínua, logo
J = [arcsenhx−
√
1 + x2
x2
+
√
1− x2
x2
+ arcsenx]
∣∣∣∣1
0
=
pi
2
+ arcsenh1−
√
2
Portanto, J =
1∫
−1
dx√
1 + x2 +
√
1− x2 =
pi
2
+ arcsenh1−√2
Exemplo 2.41.
Seja K =
1∫
0
ex · dx
x+ 1
; expressar a integral
1∫
0
ex · dx
(x+ 1)2
em função de K.
Solução.
Considerando u =
1
x+ 1
e dv = ex · dx logo integrando por partes a primeira integral,
temos que K =
1∫
0
ex · dx
x+ 1
=
ex
x+ 1
∣∣∣∣1
0
+
1∫
0
ex · dx
x+ 1
2
⇒ K = (e
2
− 1) +
1∫
0
ex · dx
x+ 1
2
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 147
Portanto,
1∫
0
ex · dx
(x+ 1)2
= K + 1− e
2
.
Exemplo 2.42.
Determine o valor da seguinte integral: I =
3∫
−3
∣∣∣∣ x2 − 4x2 − 25
∣∣∣∣ · dx
Solução.
Observe que f(x) =
∣∣∣∣ x2 − 4x2 − 25
∣∣∣∣ é função par e contínua no intervalo [−3, 3], logo pela
Propriedade (2.12) temos que I =
3∫
−3
∣∣∣∣ x2 − 4x2 − 25
∣∣∣∣ · dx = 2 ·
3∫
0
∣∣∣∣ x2 − 4x2 − 25
∣∣∣∣ · dx
No intervalo [0, 2] temos que a função f(x) ≥ 0 e no intervalo [2, 3] temos que f(x) ≤ 0.
Logo I = 2 ·
3∫
0
∣∣∣∣ x2 − 4x2 − 25
∣∣∣∣ · dx = 2[
2∫
0
x2 − 4
x2 − 25 · dx+
3∫
2
−(x2 − 4)
x2 − 25 · dx
]
=
2
{
[ x+
21
10
Ln
(x− 5
x+ 5
) ∣∣∣∣2
0
− [x+ 21
10
Ln
(x− 5
x+ 5
) ∣∣∣∣3
2
}
= 2.
Portanto, I =
3∫
−3
∣∣∣∣ x2 − 4x2 − 25
∣∣∣∣ · dx = 2.
Exemplo 2.43.
Determine o valor da seguinte integral: I =
pi
3∫
pi
6
√
secx · dx√
secx+
√
csc x
Solução.
Temos:
I =
pi
3∫
pi
6
√
secx · dx√
secx+
√
csc x
=
pi
3∫
pi
6
(1−
√
cscx√
sec x+
√
csc x
)dx (2.12)
Por outro lado, na integral
pi
3∫
pi
6
√
cscx√
secx+
√
csc x
dx, considere x =
pi
2
−u, logo dx = −du,
lembrando que no primeiro quadrante temos que csc(
pi
2
−x) = sec x e sec(pi
2
−x) = cscx,
além disso; quando x =
pi
2
temos que u =
pi
6
, e quando x =
pi
6
temos que u =
pi
2
, segue
que:
148 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
pi
3∫
pi
6
√
csc x√
sec x+ csc x
dx = −
pi
6∫
pi
3
√
csc(pi
2
− u)√
sec(pi
2
− u) +√csc(pi
2
− u)du =
pi
3∫
pi
6
√
cscu√
secu+
√
cscu
du
Assim, na igualdade (2.12) segue que:
I =
pi
3∫
pi
6
√
secx · dx√
secx+
√
csc x
=
pi
3∫
pi
6
(1−
√
cscx√
sec x+
√
csc x
)dx = x
∣∣∣pi3
pi
6
−
pi
3∫
pi
6
√
secu · du√
secu+
√
cscu
Então 2 ·
pi
3∫
pi
6
√
secu · du√
secu+
√
cscu
=
pi3
− pi
6
.
Portanto, I =
pi
3∫
pi
6
√
secu · du√
secu+
√
cscu
=
pi
12
.
Exemplo 2.44.
Calcular o valor da integral: I =
4∫
−2
∣∣∣∣x+ 1x+ 6
∣∣∣∣ · dx
Solução.
Temos que x ∈ [−2, 4], porém a função f(x) = x+ 1
x+ 6
é positiva para todo x ∈ [−2, 4],
logo a podemos escrever:
I =
4∫
−2
∣∣∣∣x+ 1x+ 6
∣∣∣∣ · dx =
4∫
−2
x+ 1
x+ 6
· dx
De onde I =
4∫
−2
[1− 5
x+ 6
] · dx = [x− Ln(x+ 6)]
∣∣∣4
−2
= 6 + Ln2− Ln5.
Portanto, I = 6 + Ln2− Ln5.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 149
Exercícios 2-4
1. Desejamos calcular a integral evidente J =
2∫
0
dx mediante a mudança x = −t2 +
5t− 4. Quais são os possíveis valores dos limites da integral?. Mostre que em todos
os casos, sempre voltamos a calcular J .
2. Calcular as seguintes integrais mediante a substituição indicada:
1.
6∫
1
dx
1 +
√
3x− 2 3x− 2 = t
2 2.
Ln8∫
Ln3
dx√
ex + 1
ex + 1 = t2
3.
senh1∫
0
√
x2 + 1 · dx x = senht 4.
pi
2∫
0
dx
2 + 2 cos x
tan
x
2
= t
5.
pi
4∫
0
dx
1 + 2sen 2x
tanx = t 6.
1∫
−1
√
3− 2x− x2 · dx x+ 1 = 2sent
3. Verifique se a fórmula é verdadeira
b∫
a
f(x) · dx =
b∫
a
f(a+ b− x) · dx .
4. Aplicando o exercício (3), mostre que:
1.
2a∫
0
√
(2ax− x2)3 ·arccos(1−x
a
)dx =
3pi2a4
16
2.
pi
2∫
0
cos3 x · dx
cos3 x+ sen 3x
=
pi
4
5. Mostre que:
1.
1∫
√
2
2
dx
arcsenx
=
pi
2∫
pi
4
cos x
x
· dx 2.
e2∫
e
dx
Lnx
=
2∫
1
ex · dx
x
6. Mostre que
pi
2∫
0
Ln(tanx) · dx = 0.
7. Sem calcular a integral, verificar que: J =
2∫
−2
3x7 − 2x5 + x3 − x
x4 + 3x2 + 1
· dx = 0.
8. Determine se a identidade
2a∫
0
f(x) · dx =
a∫
0
[f(x) + f(2a − x)] · dx é verdadeira.
Obtenha uma identidade quando f(x) = f(2a− x).
150 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
9. Se f(a+ b− x) = f(x), mostre que:
b∫
a
x · f(x) · dx = a+ b
2
b∫
a
f(x) · dx.
10. Mostre que:
1.
b∫
a
f(x) · dx =
b+c∫
a+c
f(x− c) · dx 2.
a∫
1
dt
t
+
b∫
1
dt
t
=
ab∫
1
dt
t
3.
bc∫
ac
f(x) · dx = c
b∫
a
f(x.c) · dx
11. É possível calcular J =
2∫
0
x · 3
√
1− x2 · dx mediante a substituição x = sen t ?
Justificar sua resposta.
12. Calcule as seguintes integrais pelo método de integração por partes:
1.
1∫
0
x · ex · dx 2.
1∫
0
arcsenx√
1 + x
· dx 3.
pi
2∫
pi
6
x · dx
cos2 x
4.
e∫
1
Ln2x · dx 5.
pi
4∫
0
e3αsen 4α · dα 6.
2
√
3∫
2
√
x2 + 4
x2
· dx
7.
e∫
1
x · Lnx · dx 8.
1∫
0
x · arctanx · dx 9.
pi
4∫
0
α2 · cos 2α · dα
10.
pi
2∫
0
ex · cos x · dx 11.
pi
2∫
− pi
2
x · sen x · dx 12.
pi
2∫
− pi
2
x81 · cos(x9) · dx
13. Prove que a integral: I =
1∫
0
xp · dx
1 + xq
=
pi
q(sen [p+1
q
])
. Sugestão. 1 + xq =
1
t
.
14. Mostre que, para a integral In =
pi
2∫
0
sen nx · dx =
pi
2∫
0
cosn x · dx n ∈ N , é válida a
fórmula In = In−2. Calcule I7.
15. Mostre que, para a integral In =
1∫
0
xn · e−x · dx n ∈ N, é válida a fórmula
In = − 1
e
+ n · In−1.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 151
16. Suponha que
pi∫
0
cos x
(x+ 2)2
· dx = a, calcular o valor da integral
pi
2∫
0
sen x · cos x
x+ 1
· dx
em função de a.
17. Calcular as seguintes integrais:
1.
2∫
0
dx√
2− x2 2.
0∫
−1
dx
4x2 + 8x+ x
3.
pi∫
0
senhx · sen x · dx
4.
2∫
1
dx
x2 − 4x− 5 5.
1∫
0
x8 · e−x3 · dx 6.
1∫
0
x4 · 4
√
(1− x3)5 · dx
7.
3∫
1
dx
x6 · 6√65− x6 8.
2∫
0
x5 · dx√
(1 + x3)3
9.
0∫
1
x8 · 4
√
(1− x3)5 · dx
10.
pi
3∫
− pi
3
tan7 x · dx 11
a∫
0
√
x5√
a− x · dx 12.
1∫
0
√
x · √2− x · dx
13.
1∫
0
√
1− x√
2− x · dx 14.
1∫
0
x · ex · dx
1 + x2
15.
2pi∫
0
| sen x− cosx | ·dx
16.
1
2∫
− 1
2
√
1 + x
1− x · dx 17.
pi
4∫
− pi
4
| tan5 x | ·dx 18.
pi
3∫
pi
4
cotx · Ln(sen x) · dx
19.
pi∫
0
x · sen x
1 + cos2 x
· dx 20.
1∫
0
Ln(
√
2− x) · dx 21.
pi
3∫
pi
6
√
tanx · dx√
tanx+
√
cotx
18. Calcular as seguintes integrais:
1.
pi
4∫
− pi
4
[x14sen (x7) + 6] · dx 2.
2∫
−2
[(x5 + x3 + x)
√
1 + x4] · dx
3.
1∫
0
ex · Ln(1 + x) · dx 4.
1
2∫
− 1
2
[cos(sen x) · Ln(1 + x
1− x) + 3x+ 4] · dx
19. Calcular o valor de
pi
3∫
pi
6
5
√
cos x · dx
5
√
cosx+ 5
√
sen x
. Sugestão x =
pi
2
− t.
20. Calcular f(0), se f(pi) = 2 e
pi∫
0
[f(x) + f ′′(x)]sen x · dx = 5.
21. Determine a área da figura limitada por:
152 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
1. O gráfico das curvas f(x) = x2 e g(x) =
x2
2
+ 2.
2. Os gráficos de f(x) = x2, g(x) = −x2, x = −1 e x = 1.
3. Os gráficos de f(x) = x2, g(x) = x2 − 2x+ 4 e o eixo vertical.
22. Calcule as seguintes integrais definidas:
1.
1∫
0
dx
x2 + 4x+ 5
2.
1∫
0
z3 · dz
z8 + 1
3.
√
2
2∫
0
dx√
1− x
4.
1∫
0
y2 · dy√
y6 + 4
5.
pi
2∫
0
sen 3x · dx 6.
e∫
1
sen (Lnx)
x
· dx
7.
pi
3∫
pi
6
cot2 x · dx 8.
1∫
0
coshx · dx 9.
pi∫
0
senh2x · dx
10.
2∫
−1
dx
x
11.
3∫
0
dx
(x− 1)2
23. Se f(x) =

x2, se, x < − 2
2, se, − 2 ≤ x < 0
x2
1 + x5
, se 0 ≤ x
, calcular
1∫
−3
[f(x)− x] · dx.
24. Aplicando o segundo teorema fundamental do cálculo, calcular as seguintes integrais:
1.
4∫
1
(x3 − 2)dx 2.
4∫
0
x · dx√
x2 + 9
3.
3∫
1
y(y2 − 4)2dy
4.
pi
6∫
0
sen 2(3x) · dx 5.
1∫
−1
√
1− z · dz 6.
4∫
1
v + 1
v
· dv
25. As funções f e sua inversa f−1 são contínuas, se f(0) = 0; mostre que:
5∫
0
f(x) ·
dx+
f(5)∫
0
f−1(t) · dt = 5f(5).
26. Seja f uma função contínua, tal que f ′(x) < 0 em [1, 4] , 1 = f−1(−2), 4 = f−1(−6)
e
4∫
1
f(x) · dx = −10. Calcular o valor de
−2∫
−6
f−1(x) · dx .
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 153
2.9 Integrais impróprias
Na definição da integral definida
b∫
a
f(t) · dt, foram expostas as seguintes restrições:
1o O intervalo I = [a, b] tinha que ser limitado.
2o A função f(x) tinha que ser limitada. Quando estas restrições são modificadas de
modo que os extremos b = +∞ (ou a = −∞), e; [a, b] seja limitado porém f(b−) =
lim
x→b−
f(x) = ∞ (ou f(a+) = lim
x→a+
f(x) = ∞ ), então as integrais são chamadas de
"integrais impróprias". Estas integrais são de dois tipos:
Tipo I Integrais impróprias com limites infinitos.
a)
+∞∫
a
f(t) · dt b)
b∫
−∞
f(t) · dt
Tipo II Integrais impróprias com limites finitos.
a)
b∫
a
f(t) · dt (f(b−) =∞) b)
b∫
a
f(t) · dt (f(a+) =∞)
2.9.1 Integrais impróprias com limites infinitos.
Sejam I = [a, +∞) e f : I −→ R uma função integrável em [a, t] para todo t ∈ I.
Consideremos a função contínua F (t) =
t∫
a
f(x) · dx, t ∈ I.
Definição 2.9.
Diz-se que a integral imprópria
+∞∫
a
f(x) · dx é convergente, quando existe e, o número
lim
t→+∞
F (t) é finito. Caso contrário, isto é, se o limite não existe ou é infinito, dizemos
que a integral imprópria é divergente.
Escrevemos:
+∞∫
a
f(x) · dx = lim
t→+∞
F (t)
Observação 2.8.
Como estudado anteriormente, se f(x) ≥ 0, a integral
b∫
a
f(x) · dx representa a área
da região D limitada pelo gráfico de f(x), as retas x = a, x = b e o eixo x.
154 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Logo quando a integral imprópria
+∞∫
a
f(x) · dx é convergente, ela representa a área
infinita da região plana compreendida entre o gráfico de f(x), a reta x = ae o eixo x,
como indica a Figura (2.14).
Sejam I = (−∞, b] e g : I −→ R uma função integrável em [t, b] para todo t ∈ I.
Consideremos a função contínua G(t) =
b∫
t
g(x) · dx, t ∈ I.
Definição 2.10.
Diz-se que a integral imprópria
b∫
−∞
g(x) · dx é convergente, quando existe, e o número
lim
t→−∞
G(t) é finito .
Caso contrário, isto é se o limite não existe ou é infinito, dizemos que a integral
imprópria é divergente.
Escrevemos:
b∫
−∞
g(x) · dx =
b∫
t
g(x) · dx.
Figura 2.14:
m
Figura 2.15:
Quando a integral imprópria
b∫
−∞
g(x) · dx é convergente, ela representa a área infinita
da região plana compreendida entre o gráfico de g(x), a reta x = b e o eixo x, como indica
a Figura (2.15).
Exemplo 2.45.
Calcular a integral J =
+∞∫
−∞
dx
1 + x2
, caso existir.
Solução.
A Figura (2.16) mostra que podemos escrever:
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 155
J =
0∫
−∞
dx
1 + x2
+
+∞∫
0
dx
1 + x2
Figura 2.16:
Logo, temos:
J = lim
t→+∞
t∫
0
dx
1 + x2
+ lim
s→−∞
0∫
s
dx
1 + x2
=
=
[
lim
t→+∞
arctan(t)− arctan 0
]
+
+
[
arctan 0− lim
s→−∞
arctan(s)
]
=
= (
pi
2
− 0)− (− pi
2
− 0) = pi
Portanto, J =
+∞∫
−∞
dx
1 + x2
= pi é convergente (converge para pi).
Exemplo 2.46.
Calcular as seguintes integrais: I =
1∫
0
x · Lnx
(x2 + 1)2
· dx e J =
+∞∫
0
x · Lnx
(x2 + 1)2
· dx
Solução.
Mediante integração por partes, temos que I = − Lnx
2(x2 + 1)
∣∣∣∣1
0
+
1∫
0
dx
x(x2 + 1)
; estas
duas expressões não tem sentido para x = 0; calculando a última integral temos:
I = [
x2 · Lnx
2(x2 + 1)
− 1
4
Ln(x2 + 1)]
∣∣∣∣1
0
= −1
4
Ln2.
De modo análogo, obtemos que J = 0. Portanto, I = −1
4
Ln2, e J = 0.
Exemplo 2.47.
Mostre que a integral imprópria J =
+∞∫
1
dx
xp
converge se p > 1, e diverge se p ≤ 1.
Solução.
Para qualquer p 6= 1, temos
t∫
1
dx
xp
=
x1−p
1− p
∣∣∣∣t
1
=
1
1− p
[
1
tp−1
− 1
]
; logo quando
156 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
p > 1 e t → +∞ vem
t∫
1
dx
xp
→ 1
p− 1 , logo a integral converge. Por outro lado, se
p < 1 e t → +∞ segue
t∫
1
dx
xp
→ +∞ (a integral diverge).
Se p = 1 e t → +∞ vem
t∫
1
dx
x1
= Lnt → +∞.
Portanto, J =
+∞∫
1
dx
xp
=

1
p− 1 , se p < 1 converge
+∞, se p ≤ 1 diverge
2.9.2 Integrais impróprias com limites finitos
Definição 2.11.
Sejam I = [a, b) e f : I −→ R uma função integrável em [a, t] para todo t ∈ I.
Consideremos a função H(t) =
t∫
a
f(x)dx e, seja t ∈ I; se a integral imprópria
t∫
a
f(x) · dx, t ∈ I é convergente e o limite lim
t→b−
t∫
a
f(x) · dx, t ∈ I é finito, escreve-se:
t∫
a
f(x) · dx = lim
t→b−
t∫
a
f(x) · dx, t ∈ I.
Esta definição é equivalente a:
t∫
a
f(x) ·dx = lim
ε→0+
b−ε∫
a
f(x) ·dx. Se f(x) ≥ 0, a integral
representa a área infinita da região D limitada pelo gráfico de f(x), as retas x = a, : x = b
e o eixo-x (Figura (2.17)).
Figura 2.17: Figura 2.18:
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 157
Sejam I = (a, b] e f : I −→ R uma função integrável em [t, b] para todo t ∈ I.
Consideremos a função contínua G(t) =
b∫
t
f(x) · dx, t ∈ I.
Definição 2.12.
Diz-se que a integral imprópria
b∫
a
f(x) · dx é convergente, quando existe e é finito o
número lim
t→ a+
G(t). Caso contrário, isto é se o limite não existe ou é infinito, dizemos
que a integral imprópria é divergente.
Esta definição é equivalente a:
b∫
a
f(x) · dx = lim
ε→ 0+
b∫
a−ε
f(x) · dx.
Se f(x) ≥ 0, a integral representa a área infinita da região D limitada pelo gráfico de
f(x), as retas x = a, x = b e o eixo x (Figura (2.18)).
Exemplo 2.48.
Calcular a integral imprópria I =
+∞∫
0
cosx · dx
Solução.
Temos que I =
+∞∫
0
cosx · dx = lim
t→+∞
t∫
0
cos x · dx = lim
t→+∞
[sen t− sen 0] = lim
t→+∞
sen t.
Este último limite não existe. Portanto, I =
+∞∫
0
cos x · dx não existe (é divergente)
Exemplo 2.49.
Calcular a integral I =
pi
4∫
− pi
4
cotx · dx.
Solução.
Observe que f(x) = cot x, não esta definida em x = 0; pela definição podemos escrever
I =
pi
4∫
− pi
4
cotx · dx =
0∫
− pi
4
cotx · dx+
pi
4∫
0
cotx · dx sempre que as duas últimas integrais sejam
convergentes.
Por outro lado, a integral
pi
4∫
0
cotx · dx = lim
ε→0+
pi
4∫
0+ε
cotx · dx = lim
ε→0+
Ln(sen x)
]pi
4
0+ε
=
Ln(
√
2
2
)− (−∞) = +∞.
158 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
De modo análogo, mostra-se que
0∫
− pi
4
cotx ·dx = lim
ε→0+
0−ε∫
− pi
4
cot x ·dx = −∞−Ln(
√
2
2
) =
−∞
Portanto, I =
pi
4∫
− pi
4
cotx · dx = +∞ é divergente
Exemplo 2.50.
Determine se existe o valor da integral J =
0∫
−1
x
√
e
x3
· dx
Solução.
Temos J =
0∫
−1
x
√
e
x3
·dx = lim
ε→0+
0−ε∫
−1
x
√
e
x3
·dx = lim
ε→0+
[ x
√
e−
x
√
e
x
]
∣∣∣0−ε
−1
= lim
ε→0+
x
√
e− lim
ε→0+
x
√
e
x
−
2e−1 = 0+2e−1 = 2e−1 = 0−2e−1. Neste último limite aplicamos a regra de L’Hospital.
Portanto, J =
0∫
−1
x
√
e
x3
· dx = − 2e−1.
Exemplo 2.51.
Calcular a integral I =
+∞∫
−∞
dx
x(x− 2) .
Solução.
Temos: I =
+∞∫
+∞
dx
x(x− 2) =
− 1∫
−∞
dx
x(x− 2) +
0∫
− 1
dx
x(x− 2) +
2∫
0
dx
x(x− 2) +
+∞∫
2
dx
x(x− 2) .
Por outro lado,
0∫
− 1
dx
x(x− 2) = limε→0+
0−ε∫
− 1
dx
x(x− 2) =
1
2
lim
ε→0+
Ln[
x− 2
x
]F (x)
∣∣∣0−ε
−1
=
=
1
2
[
lim
ε→0+
Ln(
−ε− 2
ε
)− Ln3
]
=
1
2
lim
ε→0+
Ln
[−ε− 2
3 · ε
]
= +∞.
Deste fato temos que quaisquer seja o valor das outras integrais, sempre teremos uma
expressão que não representa um número real.
Portanto, I =
+∞∫
−∞
dx
x(x− 2) diverge.
Exemplo 2.52.
Determine n ∈ Q, para que a integral J =
+∞∫
1
[
n
x+ 1
− 3x
2x2 + n
] · dx seja convergente.
Solução.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 159
Podemos escrever I =
+∞∫
−∞
[
n
x+ 1
− 3x
2x2 + n
] · dx = lim
t→+∞
t∫
1
[
n
x+ 1
− 3x
2x2 + n
] · dx .
Calculando a integral deste último limite, temos lim
t→+∞
t∫
1
[
n
x+ 1
− 3x
2x2 + n
] · dx =
= lim
t→+∞
[
Ln(
(t+ 1)n
4
√
(2t2 + n)3
)
]
− Ln
[
2n
4
√
(2 + n)3
]
Observe que o limite existe se os graus da expressão algébrica na fração do logaritmo
forem iguais; isto é se n = 2(
3
4
) =
3
2
; calculando,
lim
t→+∞
[
Ln(
(t+ 1)n
4
√
(2t2 + n)3
)
]
− Ln
[
2n
4
√
(2 + n)3
]
=
3
4
Ln(
7
8
)− 3
2
Ln2
Para o caso n >
3
2
, temos lim
t→+∞
[
Ln(
(t+ 1)n
4
√
(2t2 + n)3
)
]
= lim
s→+∞
Ln(s) = +∞, e quando
n <
3
2
temos lim
t→+∞
[
Ln(
(t+ 1)n
4
√
(2t2 + n)3
)
]
= lim
s→0+
Ln(s) = −∞
Portanto quando n =
3
2
a integral existe e, I =
+∞∫
1
[
n
x+ 1
− 3x
2x2 + n
] · dx = 3
4
Ln(
7
32
).
2.10 Critérios de convergência
Para as seguintes propriedades, considere b = +∞ ou b ∈ R e f(b−) = +∞. Também
são válidas as proposições análogas para a = −∞ ou a ∈ R e f(a+) = +∞.
Propriedade 2.18. ‘
Seja f(x) função não negativa no intervalo [a, b) (isto é f(x) ≥ 0) e integrável em
[a, t] para todo t ∈ [a, b). Se a função F (t) =
t∫
a
f(x) · dx é limitada em [a, b), então
b∫
a
f(x) · dx é convergente.
Demonstração.
Do fato f(x) ≥ 0 em [a, b) vem que F (t) =
t∫
a
f(x) · dx é crescente em [a, b); sendo
F (t) limitada, F (t) admite limite finito quando t→ b− ; logoé convergente.
160 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Portanto,
b∫
a
f(x) · dx é convergente.
Propriedade 2.19. Critério de comparação.
Sejam f e g funções tais que 0 ≤ f(x) ≤ g(x), ∀ x ∈ [a, b) e integráveis em
[a, t], t ∈ [a, b) então:
i) Se
t∫
a
g(x) · dx é convergente, então
t∫
a
f(x) · dx é convergente.
ii) Se
t∫
a
f(x) · dx é divergente, então
t∫
a
g(x) · dx é divergente.
Demonstração.
É imediata; aplicar a Propriedade (2.18) e a desigualdade 0 ≤
t∫
a
f(x) · dx ≤
t∫
a
g(x) ·
dx, ∀ t ∈ [a, b)
Exemplo 2.53.
Estudar a convergência de J =
+∞∫
2
dx
x4 · √1 + x4
Solução.
Para todo x ≥ 2 temos sabemos que 0 < 1
x4 · √1 + x4 ≤
1
x6
.
Pelo Exemplo 2.45 a integral
+∞∫
2
dx
x6
é convergente. Logo
+∞∫
2
dx
x4 · √1 + x4 é conver-
gente.
Exemplo 2.54.
Estudar a convergência da integral I =
1∫
0
dx√
x2 + 2x
Solução.
Como 0 <
1√
x2 + 2x
≤ 1√
x
∀ x ∈ [0, 1) e
1∫
0
dx√
x
é convergente, então pelo Exemplo
(??) a integral 0 <
1√
x2 + 2x
≤ 1√
x
é convergente.
Exemplo 2.55.
Examinar a convergência de J =
−3∫
−∞
dx√
x2 + 3x+ 2
Solução.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 161
Para todo x ≤ −3 temos que 0 < − 1
x
≤ dx√
x2 + 3x+ 2
é como examinar a convergência
de J =
−3∫
−∞
− dx
x
é divergente, segue que J =
−3∫
−∞
dx√
x2 + 3x+ 2
é divergente.
Definição 2.13.
Diz-se que a integral
b∫
a
f(x) · dx é absolutamente convergente, se a integral
b∫
a
| f(x) |
·dx for convergente.
Propriedade 2.20.
Se
b∫
a
f(x) · dx é absolutamente convergente, então
b∫
a
f(x) · dx é convergente.
Demonstração.
Pelas propriedades do valor absoluto temos 0 ≤ |f(x)| − f(x) ≤ 2|f(x)| e, pelo cri-
tério de comparação a integral
b∫
a
[|f(x)| − f(x)]dx é convergente; logo b∫
a
f(x)dx =
b∫
a
|f(x)|dx−
b∫
a
[|f(x)| − f(x)]dx é convergente.
Exemplo 2.56.
Examinar a convergência de J =
+∞∫
1
cos(x2) · dx
x2
Solução.
Observe que
∣∣∣∣cos(x2) · dxx2
∣∣∣∣ ≤ 1x2 ∀ x ∈ [1, +∞) e a integral
+∞∫
1
dx
x2
é convergente,
logo a integral
+∞∫
1
∣∣∣∣cos(x2)x2
∣∣∣∣ · dx é convergente; pela Propriedade (2.20) segue que J =
+∞∫
1
cos(x2) · dx
x2
é convergente.
Propriedade 2.21. Critério do limite.
Sejam f e g funções positivas integráveis em [a, t], ∀ t ∈ [a, b) e suponhamos que
lim
x→b−
f(x)
g(x)
= r, temos:
162 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
i) Se 0 < r < +∞ , então as integrais impróprias
b∫
a
f(t) · dt e
b∫
a
g(t) · dt são ambas
convergentes ou ambas são divergentes.
ii) Se r = 0 e
b∫
a
g(t) · dt converge, então
b∫
a
f(t) · dt converge.
ii) Se r = ±∞ e
b∫
a
g(t) · dt diverge, então
b∫
a
f(t) · dt diverge.
Demonstração.
Exercício para o leitor.
Propriedade 2.22.
Seja f função integrável em [a, t], ∀ t ∈ [a,+∞) e suponhamos que lim
x→+∞
xp·f(x) =
r < +∞, temos:
i) Se p > 1, então
+∞∫
a
f(t) · dt converge.
ii) Se r 6= 0 e 0 < p < 1, então
+∞∫
a
f(t) · dt diverge.
Propriedade 2.23.
Seja f função integrável em [a, t], ∀ t ∈ [a, b) e suponhamos que lim
x→b−
(b−x)p·f(x) =
r < +∞, temos:
i) Se 0 < p < 1, então
+∞∫
a
f(t) · dt converge.
ii) Se Se r 6= 0 e p ≥ 1, então
+∞∫
a
f(t) · dt diverge.
Exemplo 2.57.
Análise a convergência da integral J =
+∞∫
2
dx
x3 · √4x5 + x3 − 1
Solução.
Considerando que lim
x→+∞
x
11
2 · 1
x3 · √4x5 + x3 − 1 =
1
2
e neste caso p =
3
2
> 1, pela
Propriedade (2.22) temos que a integral J =
+∞∫
2
dx
x3 · √4x5 + x3 − 1 é convergente.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 163
Exemplo 2.58.
Estudar a convergência da integral I =
5∫
2
dx√
(x2 − x− 2)3
Solução.
Observando o limite: lim
x→2+
(x− 2) 32 · 1√
(x2 − x− 2)3 =
√
3
9
, neste caso p =
3
2
> 1.
Pela Propriedade (2.23) a integral I =
5∫
2
dx√
(x2 − x− 2)3 é divergente.
Exemplo 2.59.
Determine a convergência de J =
0∫
−∞
x · dx
3
√
2x9 + 8x− 10
Solução.
Temos o limite lim
x→−∞
x2 · x
3
√
2x9 + 8x− 10 =
1
3
√
2
, neste caso p = 2 > 1; logo a integral
J =
0∫
−∞
x · dx
3
√
2x9 + 8x− 10 converge.
Exemplo 2.60.
Mostre que a integral I =
+∞∫
0
e−x
2
dx converge.
Solução.
Podemos escrever I =
+∞∫
0
e−y
2
dy, logo I2 = (
+∞∫
0
e−x
2
dx)(
+∞∫
0
e−y
2
dy), isto é:
I2 =
+∞∫
0
+∞∫
0
e−(x
2+y2)dxdy (2.13)
A região de integração é o primeiro quadrante do plano cartesiano. Sejam x =
r cos θ e y = sen θ onde 0 ≤ r < +∞ e 0 ≤ θ ≤ pi
2
; além disso temos que dx =
dr · cos θ − r · sen θ · dθ e dy = dr · sen θ + r · cos θ · dθ.
Substituindo em (2.13) resulta:
I2 =
pi
2∫
0
+∞∫
0
e−r
2
r · drdθ =
pi
2∫
0
(− 1
2
e−r
2)∣∣∣+∞
0
.dθ =
1
2
pi
2∫
0
dθ =
pi
4
Portanto, I =
√
pi
2
164 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Exemplo 2.61.
Determine a convergência das integrais:
1.
1∫
0
Lnxdx 2.
+∞∫
2
log x
x
dx
Solução. 1.
O integrando Lnx tem uma singularidade em x = 0. A integral imprópria de segunda
espécie I =
1∫
0
Lnxdx é, por definição, o limite I = lim
ε→0+
1∫
ε
Lnxdx. Integrando por
partes
I = lim
ε→0+
1∫
ε
Lnxdx = lim
ε→0+
[xLnx]
∣∣∣1
ε
− lim
ε→0+
1∫
ε
x · 1
x
dz = − lim
ε→0+
ε · Lnε− 1 = −1
Como I = −1, então a integral converge.
Solução. 2.
A integral
+∞∫
2
log x
x
dx é divergente para a > 0, p ≤ 1, como se pode mostrrar sem
dificuldade.
Aplicamos o critério do limite as funções f(x) =
Lnx
x
e g(x) =
1
x
, temos
f(x)
g(x)
=
Lnx
x
· x = Lnx→∞, quando x→∞
Tanto como são funções não negativas em [2, +∞).
Dado que
+∞∫
2
g(x)dx =
+∞∫
2
1
x
dx é divergente, também o é
+∞∫
2
f(x)dx =
+∞∫
2
Lnx
x
dx.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 165
Exercícios 2-5
1. Calcular os seguintes limites:
1.
+∞∫
1
dx
xp
2.
+∞∫
−∞
dx
x2 + 2x+ 2
3.
1
2∫
0
dx
x · Lnx
4.
+∞∫
a
dx
x · Lnx a > 1 5.
pi
2∫
0
cot x · dx 6.
+∞∫
0
arctanx · dx
x2 + 1
7.
1∫
0
dx
1 + x
8.
8∫
0
(
√
2x+ 3
√
x) · dx 9.
x∫
−x
et · dt
10.
+∞∫
1
x · dx
(1 + x2)2
11.
+∞∫
0
dx
(1 + x2)2
12.
2∫
0
x2 · dx√
4− x2
13.
+∞∫
1
dx
x4 + x2
14.
+∞∫
0
e−x · dx 15.
+∞∫
1
4
x3
· dx
16.
+∞∫
0
sen x · dx 17.
+∞∫
−∞
dx
4x2 + 1
18.
+∞∫
0
dx√
ex
19.
+∞∫
−∞
| x | e−x2 · dx 20.
2∫
0
dx
5
√
(x− 2)3 21.
1∫
−2
dx
x3
22.
3∫
0
dx√
9− x2 23.
pi∫
0
dx
1 + cos x
24.
+∞∫
0
x · dx
(x2 + 9)2
25.
0∫
−2
dx
3
√
x+ 1
26.
+∞∫
0
e−ax · sen x · dx 27.
1∫
0
x
√
e · dx
x3
28.
+∞∫
0
e−ax · cosx · dx 29.
+∞∫
1
x5 · dx
4
√
(1 + x3)7
30.
pi
2∫
0
dx
1− sen x
31.
0∫
−∞
arctanx · dx
x2 + 1
32.
+∞∫
0
dx
x3 + 1
33.
+∞∫
−∞
e−|x| · dx
34.
+∞∫
1
dx
x
√
x2 − 1 35.
1∫
−1
√
1 +
9
√
x−2 36.
1∫
0
dx
x3 − 5x2
37.
+∞∫
0
−(1 + 2x) · dx
3 · 3√x2(x− 1)2 38.
+∞∫
−∞
x2 · e−x2 · dx 39.
0∫
−2
dx
3
√
1 + x
40.
−1∫
−2
dx
x3 · 3√(1 + x3)4 41.
+∞∫
−∞
dx
ex + e−x
42.
+∞∫
−∞
x · dx
1 + x4
166 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
43.
1∫
−1
3n
√
1− x3
x5
· dx 44.
+∞∫
1
√
x2 − 1 · dx
x 4
45.
+∞∫
1
dx
x
√
1 + x3
46.
+∞∫
0
dx
(a2 + b2)(b2 + x2)
47.
a∫
0
a2 − e2x2√
a2 − x2 · dx 48.
+∞∫
−∞
ex−e
x · dx
49.
4∫
0
dx√
4x− x2 50
pi∫
0
senx · dx√
1 + cos x
51
1∫
0
dx√
x− x2
52.
5∫
0
dx
(x− 1)(x2 − 8x+ 15) 53.
+∞∫
9
dx√
(x2 − 6x)3 54.
+∞∫
1
x5 · dx√
1 + x3
55.
4∫
0
x · dx√
16− x2 56.
2∫
1
x5 · dx√
x− 1 57.
+∞∫
0
x2 · e−3x · dx
58.
2∫
1
dx
x2 − 4 59.
+∞∫
0
xn · e−x · dx
2. Sabendo que :
+∞∫
0
cos x · dx√
x
=
√
pi
2
, determine se existe o valor de J =
+∞∫
0
sen x · dx√
x3
.
3. Se H(a) =
+∞∫
0
dx
(1 + xa)(1 + x2)
, determine H(0), H(1) e H(2).
4. Sabendo que
+∞∫
0
sen x · dx
x
=
pi
2
, calcular o valor de J =
+∞∫
0
sen (x2) · dx
x2
.
5. Seja f(x) =
{
mx2, se | x |≤ 3
0, se | x |> 3 , determine m de modo que
+∞∫
−∞
f(x) · dx = 1.
6. Determine o valor de a para que a integral J(a) =
+∞∫
a
4x · dx
x4 − 1 ; exista.
7. Uma bola cai de uma altura de 4, 6 metros. Cada vez que ela cai de h metros, ela
quica e sobe até uma altura de 0, 81hmetros da altura anterior. Encontre a distância
total percorrida pela bola. Encontre o tempo que a bola do leva para parar.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 167
8. Seja K =
1∫
0
ex · dx
x+ 1
; expressar cada uma das seguintes integrais em função de K.
1.
1∫
0
x · ex2 · dx
1 + x2
2.
a∫
a−1
ex · dx
x− a− 1
3.
1∫
0
ex · dx
(x+ 1)2
4.
1∫
0
ex · Ln(1 + x) · dx
9. Estudar a convergência das seguintes integrais:
1.
+∞∫
2
dx
x2 + 2x− 3 2.
1∫
−∞
dx
x2 + 3x+ 4
3.
+∞∫
1
(x+ 1) · dx
x3 − 1
4.
+∞∫
1
(x+ 3) · dx
x4 − 1 5.
+∞∫
1
dx
x3 + x2
6.
+∞∫
−∞
dx
x3 · 3√x2 + 4
7.
+∞∫
2
x3 + 1√
x2 − 1 · dx 8.
+∞∫
1
e−2x · dx
x2 + 3x+ 5
9.
+∞∫
0
dx
x2 · 3√x2 + x+ 1
10.
+∞∫
0
e−x · sen (x2)dx 11.
+∞∫
0
e−x
2 · dx 12.
+∞∫
1
dx
x2(1 + ex)
13.
5∫
4
dx
x
√
25− x2 14.
1∫
0
x · sen 2( 1
x2
) · dx 15.
3∫
1
(x3 + 1) · dx√
x2 − 1
10. Calcular as seguintes integrais:
1.
2pi∫
0
[| sen x | +x] · dx 2.
e2+1∫
0
[4− 2Ln(x+ 1)] · dx
3.
5∫
−1
| x3 − 4x | ·dx 4.
1∫
− 1
dx
(1 + x2)4
5.
√
3
3∫
0
dx
(2x2 + 1)
√
x2 + 1
6.
3∫
−3
x2 − 4
| x2 − 16 | · dx
168 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
11. Calcular o valor das seguintes integrais.
1. lim
x→1
x∫
1
sen (t− 1)2 · dt
(1− x)3 2.
pi
2∫
0
dx
1 + [tanx]
√
2
12. Se n ∈ N é qualquer número, determine o valor de: I =
pi∫
0
sen (n+ 1
2
)x
sen (x
2
)
· dx
13. Calcular a área do segmento da parábola y = x2 que corta a reta y = 3− 2x.
14. Limitar as seguintes integrais:
1.
1∫
0
dx
x3
2.
2pi∫
0
dx
10 + 3 cos x
3.
pi
3∫
pi
4
sen x
x
· dx
15. Calcule as seguintes integrais definidas:
1.
−1∫
−2
dx
x3
2.
x∫
0
cos t · dt 3.
2∫
1
(x2 − 2x+ 3)dx
4.
4∫
1
1 +
√
y
y
· dy 5.
−3∫
0
dx√
25 + 3x
6.
1∫
0
x · dx
x3 + 3x+ 2
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 169
Miscelânea 2-1
1. Seja uma sucessão Sn definida por: S1 = a, S2 = b, S3 =
S1 + S2
2
, · · · Sn =
Sn−1 + Sn−2
2
onde a e b são números reais quaisquer. Associamos un = Sn − Sn−1.
Mostre que un é a expressão geral de uma progressão geométrica. Calcular sua soma
quando n → +∞.
2. Determine o valor do limite L = lim
n→+∞
[
12 + 22 + 32 + · · ·+ n2
n3
]
3. Mostre que:
n∑
k=1
cos(3 + kx) =
(1− cosx)[cos(3 + nx)− sen 3]
2(1− cosx) −
sen x[sen (3 + nx)− sen 3]
2(1− cosx)
4. Mostre que lim
n→+∞
[1 +
1
2
cos x+
1
4
cos 2x+ · · ·+ 1
2n
cosnx] =
2(2− cos x)
5− 4 cos x
5. Determine se a soma representa um número real ou não: 1 +
1
3
√
4
+
1
3
√
49
+
1
3
√
16
+
1
3
√
25
+ · · · . Justificar sua resposta.
6. Determine o valor das seguintes somas:
1.
n∑
k=1
4k
3k
2.
n∑
k=1
2
5k
3. pi +
pi
2
+
pi√
22
+ · · · pi√
2n−1
4.
n∑
k=1
5
7k−1
5.
n∑
k=1
1
22k+1
6.
n∑
k=1
2k + 3k
5k
7. Mostre que
b∫
a
x3 · dx = b
4
4
, considerando partições em n subintervalos iguais e
usando a fórmula
n∑
i=1
i3.
8. Estime a integral
1∫
0
√
(1 + x)(1 + x3) · dx mediante a desigualdade de Cauchy -
Buniakovski.
9. É verdade que, se f(x) =
x∫
0
f(t) · dt então f(x) = 0?
170 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
10. Determinar os valores médios das seguintes funções nos intervalos indicados::
1. f(x) = x2 0 ≤ x ≤ 1 2. f(x) = sen 2x 0 ≤ x ≤ pi
3. f(x) = a+ b · cos x − pi ≤ x ≤ pi 4. f(x) = sen 4x 0 ≤ x ≤ pi
11. Limitar as seguintes integrais:
1.
1∫
−1
dx
8 + x3
2.
pi
4∫
0
x · √tanx · dx
12. Mostre que:
1.
pi
2∫
0
sen (2px) · sen (qx) · dx = (−1)
p−12p
4p2 − q2 sen (q
pi
2
).
2.
pi
2∫
0
sen (2px) · sen (qx) · dx = 2p
4p2 − q2 [1− (−1)
p cos(q
pi
2
)]
13. Para cada uma das seguintes funções, calcular g(2) se g(x) é contínua para todo
x ≥ 0.
1.
x∫
0
g(t) · dt = x2(1 + x) 2.
x2∫
0
g(t) · dt = x2(1 + x)
3.
g(x)∫
0
t2 · dt = x2(1 + x) 4.
x2(1+x)∫
0
g(t) · dt = x
14. Mostre que
coshx∫
1
√
t2 − 1 · dt = coshx · senhx
2
− x
2
15. Determine os pontos de extremo para a função: F (x) =
coshx∫
a
cos t
t
·dt quando x > 0
e 0 < a <
pi
2
16. Aplicando indução matemática ∀n ∈ N, e integração por partes, mostre a igualdade:
x∫
0
f(u)(x− u)n
n!
· du =
x∫
0

un∫
0
· · ·

u1∫
0
f(t) · dt
 du1 · · ·
 dun−1
 dun
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 171
17. Determine todas as funções f(x) que cumpram f ′(t) = f(t) +
1∫
0
f(t) · dt.
18. Determine uma fórmula para as seguintes somas:
(a) 1 + a · cosx+ a2 cos 2x+ a3 cos 3x+ ·+ an cosnx.
(b) sen x+ a · sen (x+ h) + a2sen (x+ 2h) + · · ·+ ansen (x+ nh).
(c)
1
2
+ cosx+ cos 2x+ · · ·+ cosnx
19. Mostre que
b∫
a
dx
(b− x)p converge se 0 < p < 1 e, diverge se p ≥ 1.
20. Estudar a convergência das seguintes integrais.
1.
1∫
0
dx
x2 + x4
2.
2∫
0
x · dx
5
√
(x2 − 1)4 3.
4∫
2
dx√
6x− x2 − 8
4.
e∫
1
dx
x · Ln3x 5.
2∫
0
x3 · dx√
4− x2 6.
2
3∫
1
3
dx
x · √9x2 − 1
7.
e2∫
1
dx
x · √Lnx 8.
1∫
0
dx√
x(x− 1) 9.
2
pi∫
0
cos(
1
x2
) · (dx
x3
)
10.
1∫
0
cos( 1
x
)
3
√
x
· dx 11.
1∫
0
x2 · dx√
1− x4 12.
1∫
0
Ln(1 +
3
√
x2)
ex − 1 · dx
13.
1∫
0
dx
tan x− x 14.
1∫
0
dx
ex − cosx 15.
1∫
0
sen (x3) · dx√
x
16.
1∫
0
dx√
x+ 4x3
17.
+∞∫
0
x · cosx · dx 18.
1∫
−1
dx
3
√
x2 − 1 · 5√x4 − 1
19.
+∞∫
1
sen x
x3
dx 20.
+∞∫
0
dx
x4 + 5x3 + x2 + x+ 1
21. Provar que I =
pi
2∫
0
sen x·Ln(sen x)·dx = Ln2−1; e que, J =
pi
2∫
0
cos x·Ln(tanx)·dx =
Ln2
172 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
22. Calcular a área da figura limitada entre a hipérbole equilátera x2− y2 = 9, o eixo x
e o diâmetro que passa pelo ponto (5, 4).
23. Determine a área das duas partes em que a parábola y2 = 2x divide o círculo
x2 + y2 = 8.
24. Calcular a área da região R limitada pelas retas x = 1, x = 2, y = 3x e a curva
y = x2.
25. Calcular a área da figura limitada pela parábola y = 4x− x2 e o eixo das abscissas.
26. Determinar a área da figura limitada pela curva y3 = x, a reta y = 1 e a vertical
x = 8.
27. Calcular a área da figura compreendida entre a curva y = tanx , o eixo x e a reta
x =
pi
3
.
28. Achar a área da figura limitada pelas parábolas y2 = 2px e x2 = 2py.
29. Mostre que, para α > 0, a integral de Euler Γ(α) =
+∞∫
0
e−x · xα−1 · dx que define a
função gamma Γ(α), converge e estabeleça as seguintesrelações:
(a) Se α é um número inteiro, então Γ(α+ 1) = n!.
(b) Γ(α + 1) = α · Γ(α) para qualquer α > 0.
(c) Γ(
1
2
) =
√
pi.
(d) Γ(
3
2
) =
√
pi
2
(e) Γ(n+
1
2
) = (1)(3)(5)(7) · · · (2n− 1)
√
pi
2n
30. Mediante a substituição u = tx, mostre que Γ(x) =
1
x
+∞∫
0
e−u
1
x · du
31. Mostre que a integral de Fresnel
+∞∫
0
sen (x2) · dx é convergente.
Capítulo 3
APLICAÇÕES DA INTEGRAL
DEFINIDA
Newton
Isaac Newton nasceu em 25 de dezembro de 1642 em Wo-
olsthorpe, Inglaterra. Desde criança mostrava uma incrível ha-
bilidade para construir istrumentos mecânicos e objetos de ma-
deira, porém seu primeiro contato com a matemática ocorreu
apenas quando tinha 20 anos de idade e já estava em Cambridge.
Newton teria menosprezado os teoremas de Euclides, achando-os
auto-evidentes. Aparentemente a paixão de Newton pela mate-
mática só foi despertada com a Geometria de Descartes, ele era
auto-didata.
Os anos de 1664 a 1666 ficaram conhecido como Anni Mi-
rabiles. Em pouco tempo Newton devorara toda a matemática
conhecida na época e passara a criar. Descobriu a expansão do
binômio que leva seu nome e desenvolveu um método para a so-
lução de problemas com grandezas variáveis denominado por ele “método das fluxões”, conhecido
hoje como cálculo diferencial e integral. Desvendou a natureza da luz através de experimentos
engenhosamente concebidos com prismas, fendas e anteparos.
Deduziu a fórmula da aceleração centrípeta e através dela comparou a aceleração necessária
para manter a lua na sua órbita com a aceleração com que os objetos caem na superfície da terra,
chegando a conclusão que uma mesma força que fosse inversamente proporcional ao quadrado das
distâncias poderia ser a responsável. Em 1669 Newton assume a cadeira lucasiana de matemática
do Trinity College da Universidade de Cambridge, sucedendo a Isaac Barrow.
Nesta época ele inventou o telescópio de reflexão. A dedicação de Newton à matemática e
a filosofia natural nunca mais seria a mesma dos Anni Mirabiles, pois agora ele estava dividido
com outras paixões, como a alquimia e os estudos bíblicos. Mas ele continuava refinando suas
descobertas, e em 1672 publicou um artigo sobre a natureza das cores que foi muito mal aceito.
Newton, se retraiu ainda mais e desistiu de publicar outras descobertas, que talvez ainda
julgasse incompletas ou imperfeitas. Este retraimento custou caro quando Leibnitz publicou antes
dele sua descoberta independente do cálculo diferencial e integral. Newton ressentiu-se desse
episódio até o fim da vida, tentando a todo custo provar que Leibnitz havia roubado suas idéias.
173
174 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
3.1 Aplicações geométricas
3.1.1 Área de regiões planas
Consideremos os seguintes casos:
Caso I Seja f : I −→ R, I = [a, b] uma função contínua tal que f(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, : b],
a área da região D limitada pelo gráfico de f , o eixo-x e as retas x = a e x = b
(Figura (3.1)) aqui denotamos por A(D) e é definido como
A(D) =
b∫
a
f(x) · dx unidades quadradas (3.1)
Figura 3.1: Figura 3.2:
Caso II Sejam f e g funções contínuas em [a, b] tais que f(x) ≥ g(x) ∀ x ∈ [a, b],
a área da região D limitada pelos gráficos de f(x), g(x) e as retas x = a e x = b
(Figura (3.2)) é definido como
A(D) =
b∫
a
[f(x)− g(x)] · dx (3.2)
A definição na igualdade (3.1) é natural, deduzimos da interpretação geométrica da
função f(x) no intervalo [a, b].
Para demonstrar a fórmula dada em (3.2) consideremos o número real k tal que k ≤
g(x) ∀ x ∈ [a, b], efetuando uma translação de eixos cujo origem seja 0′(0, k) as novas
equações das curvas y = f(x) e y = g(x) e das retas x = a e y = b são respectivamente
y1 = f(x)− k, y1 = g(x)− k, x = a e x = b.
Portanto no novo sistema cartesiano X10Y1 verificamos:
0 ≤ g(x)− k ≤ f(x)− k ∀ x ∈ [a, b]
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 175
Logo, considerando a fórmula (3.1) temos:
A(D) =
b∫
a
[f(x)− k] · dx−
b∫
a
[g(x)− k] · dx
isto é A(D) =
b∫
a
[f(x)− g(x)]dx.
Observação 3.1.
Se a região D estiver limitada pelo gráfico de x = f(y), x = g(y), as retas y = c e y = d
(Figura (3.3)) onde f e g são funções contínuas em [c, d] sendo g(y) ≤ f(y) ∀y ∈ [c, d],
a área da região D é dada por: A(D) =
b∫
a
[f(x)− g(x)] · dx.
Figura 3.3: Figura 3.4:
Exemplo 3.1.
Calcular a área da região limitada pelas curvas y = sen x, x = 0, x =
pi
2
e y = 0.
Solução.
O gráfico da região D mostra-se na Figura (3.4).
A(D) =
pi
2∫
0
sen x · dx = − cos x
∣∣∣pi2
0
= −[cos pi
2
− cos(0)] = 1.
Exemplo 3.2.
Determine a área da região D limitada pelo gráfico de y =
2 | x |
1 + x2
, o eixo-x e as retas
x = −2, e x = 1.
Solução.
O gráfico da região D, mostra-se na Figura (3.5); sua área é:
A(D) =
1∫
−2
2 | x | ·dx
1 + x2
= −2
0∫
−2
2x · dx
1 + x2
+ 2
1∫
0
2x · dx
1 + x2
⇒
176 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
A(D) = −[Ln(1 + x2)]
∣∣∣0
−2
+ Ln(1 + x2)
∣∣∣1
0
= Ln5 + Ln2 = Ln(10)
Portanto a área da região D mede Ln(10).
Figura 3.5:
Exemplo 3.3.
Calcular a área da região D, limitada pela parábola y = x2 + 4x, o eixo-x e as retas
x = −2 , e x = 2.
Solução.
Figura 3.6:
O gráfico da região D mostra-se na Figura (3.6);
temos a regiãoD1 quando f(x) ≤ 0 no intervalo [−2, 0]
e a regiãoD2 quando f(x) > 0 no intervalo [0, 2]. Logo
a área temos que escrever na forma A(D) = A(D1) +
A(D2):
A(D) = −
0∫
−2
(x2 + 4x) · dx−
2∫
0
(x2 + 4x) · dx =
−
[
(
x3
3
+ 2x2)
] ∣∣∣0
−2
+
[
(
x3
3
+ 2x2)
] ∣∣∣2
0
=
16
3
+
32
3
= 16
Portanto, a área da região D mede 16.
Exemplo 3.4.
Achar a área da região D limitada pelo gráfico das curvas y = x2 e y = x3 e as retas
x = −1 e x = 2.
Solução.
Segundo o gráfico da Figura (3.7), observe que x3 ≤ x2 no intervalo [−1, 1] e x2 ≤ x3
no intervalo [1, 2]; logo a área da região D é:
A(D) =
1∫
−1
(x2 − x3) · dx+
2∫
1
(x2 − x3) · dx = 8
12
+
17
12
=
25
12
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 177
Portanto, a área da região D mede
25
12
.
Exemplo 3.5.
Determine a área da região D limitada pelo gráficos de y = arcsenx, y = arccos x, e
y = 0.
Solução.
O gráfico da região D mostra-se na Figura (3.8), considerando y como variável inde-
pendente, temos sen y ≤ cos y ∀y ∈ [0, pi
4
]; logo: A(D) =
pi
4∫
0
(cos y− sen y) ·dy =
√
2−1.
Figura 3.7: Figura 3.8:
De outro modo, ao resolver este problema considerando x como variarei independente,
temos que:
A(D) =
√
2
2∫
0
arcsenx · dx+
0∫
√
2
2
arccos x · dx =
√
2− 1
É evidente que a esta integral é resolvida com a técnica de integração por partes.
Portanto a área da região D mede (
√
2− 1).
Exemplo 3.6.
Achar a área da região D limitada pelos gráficos de y = 4−x2, y = Ln(2x−3) e y = 1.
Solução.
O gráfico da região D mostra-se na Figura (3.9); escolhamos y como variável indepen-
dente, logo:
A(D) =
1∫
0
[
ey + 3
2
−
√
4− y
]
· dy =
[
ey
2
+
3y
2
+
2
√
(4− y)3
3
] ∣∣∣1
0
=
e
2
+ 2
√
3− 13
2
Portanto a área da região D mede [
e
2
+ 2
√
3− 13
2
].
178 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Exemplo 3.7.
Calcular a área da região D limitada pelos gráficos de y =| x3−4x2+x+6 |, 3y+x2 =
0, x = 0 e x = 4.
Solução.
O gráfico da região D mostra-se na Figura (3.10); como | x3 − 4x2 + x + 6 |=| (x +
1)(x− 2)(x− 3) |, da definição de valor absoluto podemos escrever:
f(x) =
{
(x+ 1)(x− 2)(x− 3), se x ∈ [0, 2] ⋃ [3, 4]
− (x+ 1)(x− 2)(x− 3), se x ∈ (−∞, 0) ⋃ (2, 3) ⋃ (4, +∞)
logo a área pedida é: A(D) =
4∫
0
[
| x3 − 4x2 + x+ 6 | −(− x
2
2
)
]
· dx =
=
2∫
0
(x3−4x2+x+6) ·dx−
3∫
2
(x3−4x2+x+6)·dx+
4∫
3
(x3−4x2+x+6) ·dx+
4∫
0
x2
2
·dx =
= (
22
3
+
7
2
+
47
2
) +
64
9
=
455
18
Portanto, área da região D mede
455
18
.
Figura 3.9: Figura 3.10:
Exemplo 3.8.
Determine a área da região D do primeiro quadrante, limitada pelas curvas xy =
1, xy = 3, x− xy = 1 e x− xy = 3
Solução.
O gráfico da região D, mostra-se na Figura (3.11).
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 179
Calculando os pontos de interseções obtemos: A(2,
1
2
), B(6,
1
2
), N(4,
1
4
) e M(4,
3
4
).
Logo a área é dada pela integral:
A(D) =
4∫
2
[(1− 1
x
)− 1
x
]dx+
6∫
4
[
3
x
− (1− 3
x
)]dx =
= (2− Ln4) + [6(Ln3− Ln2)− 2] = Ln729
256
Portanto, a medida da área da região D, é Ln
729
256
.
Exemplo 3.9.
Achar a área da região D, no primeiro quadrante, limitado pelas curvas y = x2, x2 = 4y
e x+ y = 6.
Solução.
Figura 3.11: Figura 3.12:
Pelo gráfico das curvas ( Figura (3.12)), podemos observar que a interseção de x+y = 6
com y = x2 é o ponto (2, 4); e o ponto de interseção de x + y = 6 com 4y = x2 é,
(2
√
7− 2, 8− 2√7) logo a área da região D é dada pela integral:
A(D) =
2∫
0
(x2 − x
2
2
) · dx+
2
√
7−2∫
2
(6− x− x
2
2
) · dx = (2− Ln4) + [6(Ln3− Ln2)− 2]
= Ln
729
256
= 2 +
1
3
(28
√
7− 68) = 2
3
(14
√
7− 31)
Portanto a área da região D mede
2
3
(14
√
7− 31).
Exemplo 3.10.
A região D limitada pela curva y = 10x− 5x2 e pelo eixo-x, é dividida em duas partes
iguais por uma reta que passa pela origem de coordenadas. Determine a equação dessa
180 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
reta.
Solução.
Figura 3.13:
Quando x = a, na parábola y = 10x−5x2 temos
que y = 10a− 5a2, logo (a, 10a− 5a2) é um ponto
na parábola.
Suponhamos que a reta L (a calcular) passe pe-
los pontos (0, 0) e (a, 10a−5a2) então seu coeficiente
angular m é da forma: m =
10a− a2
a
= 10− a .
Quando a 6= 0 , a equação da reta L é: L :
y − 0 = m(x− 0) = (10− a)x.
Para o cálculo de x = a, observando a Figura
(3.13) temos que:
A(D) =
2∫
0
(10x− 5x2) · dx = 20
3
A área de uma das partes é
10
3
; logo
10
3
=
a∫
0
[(10x− 5x2)− (10− 5a)] · dx = 5
6
a3 ⇒
a =
3
√
4 .
Portanto, a equação da reta é L : y = 5(2− 3√4)x.
Exemplo 3.11.
Uma parábola de eixo vertical corta à curva y = x3 + 2 nos pontos (−1, 1) e (1, 3).
Sabendo que as curvas mencionadas limitam uma região de área 2. Determine a equação
da parábola.
Solução.
O problema tem duas interpretações:
1o No intervalo (−1, 3), o gráfico da parábola, abaixo de y = x3 + 2.
2o No intervalo (−1, 3) a parábola, acima de y = x3 + 2.
Primeiro caso: Considerando y = Ax2 + Bx + C e como os pontos (−1, 1) e (1, 3)
pertencem à parábola, temos 1 = A − B + C e 3 = A + B + C ; sendo a área 2
(Figura (3.14)), segue:
2 =
1∫
−1
(x3 + 2− Ax2 −Bx− C) · dx = A+ 3C
resolvendo o sistema obtemos,A =
3
2
, B = 1 e C =
1
2
.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 181
Portanto a equação da parábola é: 2y = 3x2 + 2x+ 1.
Segundo caso: Tínhamos 1 = A− B + C e 3 = A+ B + C, como por hipóteses a área
é 2 (Figura (3.15)), segue:
2 =
1∫
−1
(Ax2 +Bx+ C − x3 − 2) · dx
onde obtemos A+ 3C = 9.
Resolvendo o sistema achamos que a equação da parábola 2y = 7 + 2x− 3x2.
Portanto, a equação da parábola é 2y = 7 + 2x− 3x2.
Figura 3.14: Figura 3.15:
Exemplo 3.12.
Calcular a área, se existe da região infinita compreendida entre a curva (2a−x)y2 = x3
e sua assíntota vertical , (a > 0)
Solução.
A assíntota vertical da curva é: x = 2a. A Figura (3.16) mostra o gráfico da região
infinita. Logo
A(D) = 2
2a∫
0
√
x3
2a− x · dx = 2 limt→2a
t∫
0
√
x3
2a− x · dx =
= 2 lim
t→2a
a3
[
3
2
arcsen(
x− a
a
)− 1
2a2
(x− 5a)
√
x(2a− x)
] ∣∣∣t
0
=
= 2 lim
t→2a
a3
[
3
2
arcsen(
t− a
a
)− 1
2a2
(t− 5a)
√
t(2a− t)− 3pi
4
]
= 2a2(
3pi
4
+
3pi
4
) = 3pia2
Portanto, a área mede 3pi.
182 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Exemplo 3.13.
Dada a região D limitada superiormente por xy = 1, inferiormente por yx2+y−x = 0
e à esquerda por x = 1; calcular sua área, caso exista.
Solução.
O gráfico da região D mostra-se na Figura (3.17); sua área caso exista é dada pela
integral:
A(D) =
+∞∫
1
(1
x
− x
x2 + 1
)
· dx = 2 lim
t→+∞
t∫
1
(
1
x
− x
x2 + 1
) · dx =
= lim
t→+∞
1
2
Ln
( x2
x2 + 1
)∣∣∣t
1
=
1
2
lim
t→+∞
Ln
( t2
t2 + 1
)
− Ln
(1
2
)
= Ln
√
2
Portanto a área existe e é Ln
√
2 .
Figura 3.16: Figura 3.17:
3.1.2 Comprimento de arco de uma curva
Seja f : [a, b] −→ R uma função com derivada contínua em [a, b]; seja P =
x0, x1, x2, x3, · · · xn uma partição de [a, b], esta partição define uma poligonal consti-
tuída pelos segmentos retilíneos desde Qi−1(xi−1, f(xi−1)) até Qi(xi, f(xi)) para i =
1, 2, 3, 4, · · · , n como observamos na Figura (3.18)
Figura 3.18:
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 183
O comprimento da poligonal definida pela partição P é:
L(P) =
n∑
i=1
| Qi−1Qi |=
n∑
i=1
√
(xi − xi−1)2 + (f(xi)− f(xi−1))2
Se existe o número lim
‖P‖→0
L(P), denotamos L, e recebe o nome de comprimento da
curva do gráfico de f(x) desde o ponto (a, f(a)) até o ponto (b, f(b)).
Propriedade 3.1.
O número L sempre existe.
Demonstração.
Como f é derivável e contínua em [a, b] , em particular o é no intervalo [xi−1, xi], i =
1, 2, 3 : · · · , n; pelo teorema do valor médio para funções contínuas, existe ti ∈ (xi−1, xi)
tal que f(xi)−f(xi−1) = f(ti)(xi−xi−1), i = 1, 2, 3·, n, considerando∆ix = (xi−xi−1), i =
1, 2, 3, · · · , n temos que o comprimento da poligonal definida pela partição P é:
L(P) =
n∑
i=1
√
(xi − xi−1)2 + (f(xi)− f(xi−1))2 =
n∑
i=1
√
(∆ix)2 + [f ′(ti]2(∆ix)2 =
n∑
i=1
√
1 + [f ′(ti)]2 · (∆ix)
Logo, L = lim
‖P‖→0
L(P) = lim
‖P‖→0
n∑
i=1
√
1 + [f ′(ti)]2 · (∆ix) =
b∫
a
√
1 + [f ′(x)]2 · dx.
Observação 3.2.
i) O comprimento da curva x = g(y) compreendida entre as retas y = c e y = d, onde g
é função com derivada contínua em [c, d] é dada por:
L =
d∫
c
√
1 + [g′(y)]2 · dy =
d∫
c
√
1 +
[dx
dy
]2
· dy
ii) Se a equação de uma curva suave C é dada em forma paramétrica, mediante um par
de funções com derivadas contínuas; isto é C : x = x(t) e y = y(t), t ∈ [α, β] ,
então o comprimento da curva é:
L =
β∫
α
√[
dx
dt
]2
+
[
dy
dt
]2
· dt
184 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
iii) Se a equação da curva suave C é dada em coordenadas polares r = r(θ) , com
α ≤ θ ≤ β tem-se:
L =
β∫
α
√
[r(θ)]2 +
[
dr
dθ
]2
· dθ
Exemplo 3.14.
Determine o comprimento da curva C descrita pela equação:
y =
√
sec2 x+ 1− Ln
[
1 +
√
sec2 x+ 1
secx
]
desde x =
pi
4
até x =
pi
3
.
Solução.
Aplicando as regras de derivação temos: y′ = tan x · √sec2 x+ 1; logo da fórmula:
L =
pi
3∫
pi
4
√
1 + [y′]2 · dx =
pi
3∫
pi
4
√
1 + [tanx ·
√
sec2 x+ 1]2 · dx =
=
pi
3∫
pi
4
(1 + tan2 x) · dx = (
√
3− 1)
unidades lineares.
Portanto o comprimento da curva é (
√
3− 1) u.
Exemplo 3.15.
Determine o comprimento da curva de equação y =
1
2x3
+
x4
16
desde x = −2 até
x = −1.
Solução.
Como y =
1
2x3
+
x4
16
, então y′ =
dy
dx
=
x3
4
− 1
x3
, logo:
L =
−1∫
−2
√
1 + [y′]2 · dx =
−1∫
−2
√
1 +
[
x3
4
− 1
x3
]2
· dx =
−1∫
−2
1 + x6
4x3
· dx = 27
32
u
Portanto o comprimento da curva é
27
32
u.
Exemplo 3.16.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 185
Determine o comprimento de arco da parábola semi-cúbicay2 = x3, desde a origem
de coordenadas até o ponto (4, 8).
Solução.
Tem-se y =
√
x3, y′ =
3
2
√
x
, logo L =
4∫
0
√
1 +
[
3
√
x
2
]2
· dx =
4∫
0
√
1 +
9x
4
· dx =
8
27
(10
√
10− 1).
Portanto o comprimento mede
8
27
(10
√
10− 1)u.
Exemplo 3.17.
Calcular o comprimento da curva cuja equação é: y =
pi
2∫
−pi
2
√
cos t · dt
Solução.
Seja f(x) =
x∫
−pi
2
√
cos t · dt, onde D(f) = [−pi
2
,
pi
2
], então f ′(x) =
√
cosx.
Logo, L =
pi
2∫
−pi
2
√
1 + cos x · dx =
pi
2∫
−pi
2
√
2 · cos2(x
2
) · dx =
√
2
pi
2∫
−pi
2
cos2(
x
2
) · dx = 4.
Portanto o comprimento do arco é 4 u.
Exemplo 3.18.
Determine o comprimento da cardióide r = a(1− cos θ)
Solução.
O gráfico mostra-se na Figura (3.19), como r = a(1−cos θ), então dr
dθ
= a · sen θ, logo:
L = 2
pi∫
0
√
[a(1− cos θ)]2 + [a · sen θ]2 · dθ =
= 2a
pi∫
0
sen (
θ
2
) = 2
√
2a
Portanto, o comprimento da cardióide mede 2
√
2a.
Exemplo 3.19.
Determine o perímetro do triângulo curvilíneo limitado pelo eixo- x, e pelas curvas de
equações: y = Ln(cos x) se x ∈ [−pi
2
,
pi
2
] e y = Ln(sen x) se x ∈ [0, pi].
Solução.
186 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Figura 3.19: Figura 3.20:
Observando a Figura (3.20), são vértices do triângulo os pontos O(0, 0), A(
pi
2
, Ln
√
2
2
)
e B(
pi
2
, 0); lembre que Ln
√
2
2
é negativo. O perímetro a calcular é: L = OB +OA+AB.
L =
pi
2
+
pi
4∫
0
√
1 + tan2 x · dx+
pi
2∫
pi
4
√
1 + cot2 x · dx =
=
pi
2
+ Ln(
√
2 + 1)− Ln(
√
2− 1)
O perímetro é P =
pi
2
+ Ln(3 + 2
√
2).
Exemplo 3.20.
Determine o comprimento da curva r = sen 3(
θ
3
) desde θ = 0, até θ =
pi
2
Solução.
Temos que r′(θ) = sen 2
θ
3
· cos θ
3
, logo:
L =
pi
2∫
0
√
sen 6(
θ
6
) +
[
(sen 2(
θ
3
) · cos(θ
3
)
]2
· dθ =
=
pi
2∫
0
sen 2(
θ
3
) · dθ =
pi
2∫
0
[1− cos(2θ
3
)] · dθ = 1
8
(2pi − 3
√
3)
O comprimento da curva é
1
8
(2pi − 3
√
3) unidades lineares.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 187
Exercícios 3-1
1. Calcular a área da figura limitada pela curva y = x(x− 1)(x− 2) e o eixo-x.
2. Calcular a área da figura compreendida entre uma semi-onda da sinusóide y = sen x
e o eixo-x.
3. Achar a área da figura compreendida entre a hipérbole xy = m2, as verticais x = a
e x = 3a (a > 0) e o eixo-x.
4. Calcular a área da figura limitada pela curva y = x3, a reta y = 8 e o eixo-y.
5. Calcular a área da figura limitada pelas parábola y = 2x− x2 e a reta y = −x.
6. Calcular a área da figura compreendida entre as parábolas y = x2, y = e a reta
y = 2x.
7. Achar a área da figura compreendida entre a curva de Agnesi y =
1
1 + x2
. E a
parábola y =
x2
2
.
8. Calcular a área da figura limitada pela hipérbole
x2
a2
+
y2
b2
= 1 e a reta y = 2a.
9. Determine m de modo que a região acima de y = mx e embaixo da parábola
y = 2x− x2 tenha área igual a 36.
10. A área da região compreendida entre a parábola y = 12x− 6x2 e o eixo-x é dividida
em duas partes iguais por uma reta de passa pela origem. Achar a equação de tal
reta.
11. O gráfico de x2 − y2 = 8, divide em três regiões a circunferência x2 + y2 = 16.
Determine a área da cada uma das regiões.
12. Para cada um dos seguintes exercícios, desenhar a região D, e determine a área da
mesma, se D esta limitada pelos gráficos de:
1. x = 0, y = tanx, y =
2
3
cosx 2. y2 − x = 0, y = x3, x+ y = 2
3. y = 9− x2, y = x2 + 1 4. y = x
2 − x
1 + x2
, y = 0, x = −1, x = 2
5. y = 3x− x2, y = x2 − x 6. y = arcsenx, y = arccos x, x = 1
7. y = Ln(x2), y = Ln4, x = 0 8. y = x3 + x, x = 0, y = 2, y = 0
9. x = ey, x = 0, y = 0, y = Ln4 10. y = arctan x, y = arccos
3x
2
, y = 0
11. y = cosx, x =
pi
6
, x =
pi
2
, y = 0 12. y = ex, y = e−x, x = 1
188 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
13. y =
1
1 + x2
, 2y = x2 14. y = x2, 2y = x2, y = 2x
15. y = sec2 x, y = tan2 x, x = 0 16. x = 4y − y2, x+ 2y = 5
17. y = x2, y = 8− x2, y = 4x+ 12 18. y = x3 + 3x2 + 2, y = x3 + 6x2 − 25
19. y = x3 − x, y = sen (pix) 20. x2y = 2, x+ y = 4, x = 1, x = 2
21. y = x4, y = 8x
22. D é a região de menor área limitada pelas curvas x2 − 2y2 = 0, x2 − 8y =
0, y = 3.
23. y = 4− Ln(x+ 1), y = Ln(x+ 1), x = 0.
24. D é a região de menor área, limitada pelas curvas x2 + y2 = 20, y2 = 2x3.
25. D é a região interior da elipse b2x2 + a2y2 = a2b2.
26. D é a região de maior área, limitada pelas curvas 5x2−4y = 0 e a elipse com
focos nos pontos (0, 6) e (0, −6) e cujo comprimento do eixo menor é 6.
27. y = 2x− 3 + x2, x = −2, x = 0, y = 0.
28. y =

4x− x2
4
, se, x ≥ 0
x, se, 0 < x
, y =

x2 + 8x− 48
16
, se, x > 0
−3x− 3, se, x ≤ 0
.
29. y(x2 + 4) = 4(2− x), y = 0, x = 0.
30. y = tan2 x, y = 0, x =
pi
3
, x = 0.
31. y = x3 + x− 4, y = x, y = 8− x.
32. y = x3 − 3x2 + 2x+ 2, y = 2x2 − 4x+ 2.
33. y = 2x+ 2, x = y2 + 1, x = 0, y = 0, x = 2.
34. y =| x− 2 |, x = y2 + 1, x = 0, x = 1, x = 3.
35. y =
√
x2 − 3, y =| x− 1 |, y = 0.
36. y =| sen x | x ∈ [0, 2pi], y + x = 0, x = 2p.
37. y =
x2 − 4
x2 − 16 , x = −3, x = 3, y = 0.
38. y = arcsenx, y = arccos x, x = 0.
39. y = arcsenx, y = arccos x, y = 0.
40. y + x = 0, y =
x∫
0
f(t) · dt, onde f(x) =
{
3x2, se, x < 2
2x− 1, se, x > 2 .
13. Determine a área (caso exista) da região ilimitada D.
1. y = sechx, e sua assíntota.
2. y =
64
x2 + 16
, e sua assíntota.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 189
3. (4− x2)y2 = x4, e suas assíntotas verticais.
4. y = arctan x, 2y = pi, x = 0.
5. y = senh−1x e sua assíntota vertical.
6. y =
2 | x |
1 + x4
, y = − 4 | x |
1 + x4
.
14. Determine a área da figura limitada pela(s):
1. Curva y = Lnx e as retas x = e, x = e2 e o eixo-x.
2. Interior à elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
3. Parábolas y2 = 4x e x2 = 4y.
4. Parábola y = x2 + 2x e a reta y = x+ 2.
5. Curvas y =
27
x2 + 9
e y =
x2
6
.
6. Curvas: y2 = 2px e y2 =
4
3
(x− p)3, p > 0.
7. Circunferências x2 + y2 = a2, x2 + y2 − 2ay = a2 e a reta y = a.
8. Curvas: y =
a3
a2 + x2
, y =
a2x
a2 + x2
e o eixo-y.
9. Parábola (x− a)2 = 2p(y− b) pelo eixo-y, e a tangente à mesma no ponto de
abscissa x = c (c > p > 0.
10 Curvas y = ex − 1, y = e2x − 3, x = 0.
11. Parábola y = 3 + 2x− x2 e o eixo-x.
12. y = arcsenx, e as retas x = 0, y =
pi
2
.
13. Circunferências x2 + y2 = a2, x2 + y2 + 2ay = a2 a > 0.
14. Curvas (x− 1)(y + 2) = 2 e x+ y = 2.
15. A curva y = Lnx, e sua tangente no ponto x = e; e o eixo-x.
15. Para os seguintes exercícios, determine o comprimento de arco da curva descrita
pela função indicada:
1. f(x) =
x4 + 3
6x
, x ∈ [1, 3] 2. f(x) = √x−
√
x3
3
, x ∈ [0, 1]
3. x =
3
5
3
√
y5 − 3
4
3
√
y, y ∈ [0, 1] 4. y =
√
(9− 3√x2)3, x ∈ [1, 2]
5. f(x) =
x3
6
+
1
2x
, x ∈ [2, 5] 6. f(x) = Ln(−x), x ∈ [−√8, −√3]
7. f(x) = a · Ln(a+
√
a2 − x2
x
)−
√
a2 − x2, x ∈ [a
6
,
a
4
].
190 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
8. f(x) = −√e2x − 1− arcsen(ex)− 1, x ∈ [0, 4].
9. f(x) =
1
4
arcsenx− x
4
√
1− x2, x ∈ [0,
√
3
2
].
10. f(x) =
1
2
[
x ·
√
x2 − 1− Ln(x+
√
x2 − 1)
]
, x ∈ [3, 5].
11. f(x) =
1
2
x+
3
2
arcsen(
√
3x
2
), x ∈ [0, 1].
12. f(x) = 1− Ln(cos x), x ∈ [0, pi
4
].
13. f(x) = arcsen(e−x), x ∈ [0, 1].
14. f(x) = a · cosh(x
a
), x ∈ [0, b].
15. x =
y2
4
− 1
2
Lny, y ∈ [1, e].
16. Determine o comprimento do arco das curvas indicadas:
1. O comprimento total da circunferência x2 + y2 = a2.2. O comprimento total da astróide x = a · cos3 t, y = a · sen 3t.
3. O comprimento do arco da parte direita da “tratriz ” x =
√
a2 − y2 + a ·
Ln[
a+
√
a2 − y2
y
] desde y = a até y = b onde 0 < a < b.
4. O comprimento da curva 3
√
(
x
a
)2 + 3
√
(
y
b
)2 = 1 do primeiro quadrante.
5. O comprimento total da curva de equação: 4(x2 + y2)− a2 = 3 3√a4 3√y2.
6. O comprimento total da curva 8y2 = x2 − x4.
7. O comprimento da curva 9y2 = 3x2 + x3, desde x = −3 até x = 0.
8. O comprimento do arco da parábola semi-cúbica 5y3 = x2 compreendida dentro
da circunferência x2 + y2 = 6.
9. Calcular o perímetro da região de menor área limitada pelos gráficos de y2 = 2x3
e x2 + y2 = 20.
10. Da curva y =
x2
2
− Ln√x, desde x = 2 até x = 3.
11. Da curva y =
√
x− x2 + arcsen√x.
12. O comprimento total da curva dada por (y − arcsenx)2 = 1− x2.
13. O comprimento do arco da curva y2 =
2
3
(x − 1)3 compreendida dentro da
parábola y2 =
x
3
.
14. O comprimento do arco da curva dada por x = (t2 − 2)sen t + 2t · cos t, y =
(2− t2) cos t+ 2t · sen t, desde t = 0 até t = pi.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 191
3.1.3 Área de superfície de revolução
Seja f : [a, b] −→ R uma função não negativa, com derivada contínua em [a, b];
fazendo girar y = f(x) no intervalo [a, b], em torno do eixo-x, obtemos uma superfície de
revolução como mostra a Figura (3.21). Mostra-se que a área desta superfície é dada pela
fórmula:
A(S) = 2pi
b∫
a
f(x) ·
√
1 + [f ′(x)]2 · dx (3.3)
Figura 3.21:
Observação 3.3.
Se o gráfico da função não negativa é dada na forma paramétrica mediante um par de
funções com derivadas contínuas em [α, β], isto é x = x(t) e y = y(t), t ∈ [a, b] , então
a área da superfície gerada ao girar o gráfico da curva em torno do eixo-x é dada por:
A(S) = 2pi
β∫
α
y(t) ·
√
[x′(t)]2 + [y′(t)]2 · dt
Observação 3.4.
Seja f : [a, b] −→ R uma função não negativa, com derivada contínua em [a, b]; tal que
seu gráfico esta do mesmo lado de uma reta y = c. Fazendo girar y = f(x) no intervalo
[a, b], em torno da reta y = c, obtemos uma superfície de revolução como mostra a Figura
(3.22). Mostra-se que a área desta superfície é dada pela fórmula:
A(S) = 2pi
b∫
a
| f(x)− c | ·
√
1 + [f ′(x)]2 · dx
192 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Figura 3.22:
Observação 3.5.
Se a equação do arco da curva C é dada por x = g(y) ∀ y ∈ [c, d], onde g é uma
função com derivada contínua em [c, d] e S é a superfície de revolução que se obt em ao
girar a curva C em torno da reta x = a (Figura (3.23) ). A área da superfície S é dada
por:
A(S) = 2pi
d∫
c
| g(y)− a | ·
√
1 + [g′(y)]2 · dy (3.4)
Figura 3.23:
Se a equação de C é dado em forma paramétrica por x = x(t), y = y(t) t ∈ [t1, t2],
então fórmula (3.4) transforma-se em:
A(S) = 2pi
t2∫
t1
| x(t)− a | ·
√
[x′(t)]2 + [y′(t)]2 · dt (3.5)
Observação 3.6.
Se a equação do arco C é definido em coordenadas polares r = r(θ) , sendo θ ∈ [α, β]
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 193
e gira em torno do eixo polar, então a fórmula é:
A(S) = 2pi
β∫
α
r · sen θ ·
√
[r(θ)]2 + [r′(θ)]2 · dθ
Exemplo 3.21.
Achar a área da superfície de revolução engendrada pela revolução em torno do eixo-x,
do arco y = sen 2x desde x = 0 até x =
pi
2
.
Solução.
Obtemos y′ = 2 cos2 x, então, de (3.3) como a área da superfície é A(S) = 2pi
b∫
a
f(x) ·
√
1 + [f ′(x))]2 · dx segue que A(S) = 2pi
2pi∫
0
sen 2x ·
√
1 + 4 cos2 2x · dx .
Para o cálculo da integral consideremos t = 2 cos 2x, logo dt = −4sen 2x · dx; quando
x = 0 temos t = 2 e quando x =
pi
2
, temos t = −2. Deste modo:
A(S) = 2pi
2pi∫
0
sen 2x ·
√
1 + 4 cos2 2x · dx = 2pi
2∫
−2
√
1 + t2(−1
4
)dt =
pi
2
2∫
−2
√
1 + t2dt =
pi
2
[
1
2
√
1 + t2 +
1
2
Ln(t+
√
1 + t2)
] ]
2
−2 =
pi
2
[
2
√
5 +
1
2
Ln
(√5 + 2√
5− 2
)]
Portanto a área da superfície é: A(S) =
pi
2
[
2
√
5 +
1
2
Ln(
√
5 + 2√
5− 2)
]
.
Exemplo 3.22.
Calcular a área da superfície formada pela revolução da astróide 3
√
x2 + 3
√
y2 =
3
√
a2
em torno do eixo-x.
Solução.
O gráfico da astróide mostra-se na Figura (3.24).
Temos que:
y′ =
3
2
√
3
√
x2 − 3
√
a2
(
− 2
3
3
√
x−1
)
= −
√
3
√
x2 − 3√a2
3
√
x
Por outro lado:
√√√√1 + [√ 3√x2 − 3√a2
3
√
x
]2
=
3
√
a
3
√
x
.
194 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Figura 3.24:
Assim:
A(S) = 2
2pi a∫
0
√
(
3
√
a2 − 3
√
x2)3
[
3
√
a
3
√
x
]
· dx
 =
= −4pi3
2
√
(
3
√
a2 − 3√x2)5
5
2
∣∣∣a
0
=
12
5
pia2
Portanto a área da superfície é
12
5
pi · a2·.
Exemplo 3.23.
Determine a área da superfície gerada fazendo girar o gráfico da função f(x) =√
24− 4x, x ∈ [3, 6].
Solução.
Temos que f ′(x) =
−1√
6− x , logo:
A(S) = 2pi
6∫
3
f(x) ·
√
1 + [f ′(x)]2 · dx =
= 2pi
6∫
3
√
24− 4x ·
√
1 +
1
6− x · dx = 2pi
6∫
3
√
7− x · dx = 56pi
3
Portanto a área A(S) =
56pi
3
.
Exemplo 3.24.
Calcular a área da superfície formada pela revolução de uma onda da ciclóide x =
a(t− sen t), y = a(1− cos t) em torno do eixo-x.
Solução.
Temos, x′ = a(1−cos t), y′ = a·sen t por outro lado, [x′(t)]+[y′(t)]2 = [a(1−cos t)]2+
[a · sen t]2 = a2 · 2(1− cos t) =
[
2a · sen t
2
]2
.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 195
Logo a área, A(S) = 2pi
β∫
α
y(t)
√
[x′(t)]+[y′(t)]2 · dt =
= 2pi
2pi∫
0
[a · (1− cos t) · 2a · sen t
2
]dt = 8pia2
2pi∫
0
sen 3
t
2
· dt =
8pi · a2
2pi∫
0
(1− cos2 t
2
)sen
t
2
· dt = −16pi · a2(cos t
2
− cos3 t
2
)
∣∣∣2pi
0
=
64
3
pi · a2
Portanto a área A(S) =
64
3
pi · a2.
Exemplo 3.25.
Determine a área do elipsóide de revolução que se obtém ai girar a elipse
x2
s2
+
y2
42
= 1
em torno do eixo-x.
Solução.
Considere y = f(x) =
4
5
√
25− x2, x ∈ [−5, 5], logo a área do elipsóide gerado é:
A(S) = 2pi
5∫
−5
√
25− x2 ·
√
1 +
16
25
√
25− x2 · dx = 2pi
(
16 +
100
3
· arcsen3
5
)
.
Portanto, área A(S) = 2pi(16 +
100
3
· arcsen3
5
).
Exemplo 3.26.
Determine a área de uma superfície formada pela revolução da cardióide r = 2a(1 +
cos θ) em torno do eixo polar.
Solução.
Temos que r′(θ) = −2a·sen θ e r2+(r′)2 = [2a(1+cos θ)]2+[−2a·sen θ]2 = {4a · cos θ}2,
logo:
A(S) = 2pi
β∫
α
rsen θ ·
√
[r(θ)]2 + [r′(θ)]2 · dθ =
pi∫
0
2a(1 + cos θ)sen θ · 4a · cos θ
2
· dθ ⇒
A(S) = 64pia2
pi∫
0
cos4
θ
2
· sen θ
2
· dθ = 128
5
pia2
Exemplo 3.27.
Calcular área da superfície de revolução que se obtém ao girar o arco da curva y =
2− ex, desde x = 0 até x = 3 em torno da reta y = 2.
Solução.
196 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Pela Observação (3.4) temos a área
A(S) = 2pi
3∫
0
(2− f(x))
√
1 + [f ′(x)]2 · dx ⇒
A(S) = 2pi ·
3∫
0
ex
√
1 + (ex) 2 · dx = pi
[
e3
√
1 + e6 −
√
2 + Ln
ex +
√
1 + e6√
2 + 1
]
Portanto, área A(S) = pi
[
e3
√
1 + e6 −
√
2 + Ln
ex +
√
1 + e6√
2 + 1
]
.
Exemplo 3.28.
Achar a área da superfície gerada pela revolução, em torno do eixo- y do arco da curva
y =
1
4
[x2 − 2Lnx], x ∈ [1, 4].
Solução.
Representando na forma paramétrica a curva temos: x(t) = t, y(t) =
1
4
[t2 −
2Ln(t)], t ∈ [1, 4] onde x′(t) = 1 e y′(t) = 1
2
(t− 1
t
).
Pela fórmula (3.5) segue:
A(S) = 2pi
4∫
1
x(t)
√
[x′(t)]2 + [y′(t)]2 · dt = 2pi
4∫
1
t ·
√
[1]2 +
[
1
2
(t− 1
t
)
]2
· dt =
= pi
4∫
1
t(t+
1
t
) · dt = 24pi
Portanto, a área pedida mede 24piunidades quadradas.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 197
Exercícios 3-2
1. No tempo t, uma partícula encontra-se no ponto P (cos t+ t · sen t, sen t− t · cos t).
Achar a distância recorrida desde o tempo t = 1 até o instante t = pi.
2. No instante t, a posição de uma partícula é x = 1 + arctan t, y = 1 − Ln√1 + t2.
Achar o recorrido desde o instante t = 0 até t = 2pi.
3. Para cada um dos seguintes exercícios, achar a área da superfície de revolução que
se obtém ao girar em torno do eixo-x, a curva dada por:
1. y = 2 cosh(
x
2
) desde x = 0 até x = 2.
2. y = x3 desde x = 0 até x =
1
2
.
3. b2x2 + a2y2 = a2b2.
4. x = t− sen t, y = 1− cos t, (área engendrada pela revolução de um arco).
5. f(x) =
1
3
x3, x ∈ [0, 2].
6. f(x) = cosx, x ∈ [−pi
2
,
pi
2
].
7. Um laço da curva 8a2y2 = a2x2 − x4.
8. 6a2xy = x4 + 3a4 desde x = a até x = 2a.
9. y2 + 4x = 2Lny desde y = 1 até y = 2.
10. x = a · cos3 t, y = a · sen 3t.
11. x = et · sen t, y = et · cos t de t = 0 até t = pi
2
.
12. y = e−x, x ≥ 0.
13. x = a[cos t+ Ln(tan
t
2
)], y = a · sen t.
14. y = tanx desde (0, 0) até (
pi
4
, 1).
15. O laço da curva 9ay2 = x(3a− x)2.
16. x2 + (y − b)2 = a2, 0 < a < b (toro de revolução)
17. y =
x3
6
+
1
2x
, x ∈ [1, 3].
18. y = 2x, x ∈ [0, 2].
19. y2 = 4ax desde x = 0 até x = 3a.
20. y = x43, x ∈ [1, 8].
4. Achar a área a superfície gerada pela rotação em torno do eixo-y, de cada uma das
seguintes curvas:
198 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
1. x = y3, y ∈ [0, 3].
2. 6a2xy = x4 + 3a4, desde x = a até x = 2a.
3. 2y = x
√
x2 − 1 + Ln(x−√x2 − 1), x ∈ [2, 5].
4. x2 + 4y2 = 16.
5. y = x3, x ∈ [1, 2].
6. y = 3
√
x4, x ∈ [1, 8].
5. Achar a área da superfície de revolução formada quando, a curva indicada gira em
torno do eixo dado.
1. y =
√
x3, x ∈ [1, 8] em torno de y = 1.
2. y =
x3
3
+
1
4x
, x ∈ [1, 2] , em torno de y = 1.
3. y = x3, x ∈ [1, 2] em torno de y = −1.
4. y = Ln(x− 1), x ∈ [2, 1 + e2], em torno de x = 1.
5. y = 4 + ex, x ∈ [0, 1] em torno de y = 4.
6. y = 2x, x ∈ [0, 2] em torno de y = −1.
6. Achar a área da superfície (chamada catenóide) engendrada pela de revolução do
arco da catenária 2y = cosh 2x, 0 ≤ x ≤ 3, em torno do eixo-x.
7. Determine a área da superfície da elipsóide formada pela revolução da elipse 4x2 +
y2 = 4 em torno do eixo-x.
8. Determine a área da superfície formada pela revolução em torno do eixo-x do arco
da curva 3y = x3 compreendida entre x = −1 e x = 1.
9. Mostre que o comprimento do arco da espiral logarítmica r = emθ é L = r ·√
1 +m2
m
+ C, onde C depende da origem do arco. Se consideramos este ponto
como a origem de coordenadas, mostre que L =
√
1 +m2
m
.
10. Determine o comprimento da curva y = 2
√
2[
√
x+ 1 +
√
1− x].
11. Determine o comprimento da espiral de Arquimedes r = a · θ desde a origem até a
ponto A(θ = 2pi).
12. Calcular o arco da curva x = f ′ · sen θ + f” · cos θ, y = f ′ · cos θ − f” · sen θ, onde
f(q) designa uma função dada.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 199
3.1.4 Volume de um corpo
Definição 3.1.
O sólido de revolução obtido ao girar uma região plana em torno de uma reta fixa
contida no plano da região. A reta fixa é chamada eixo de revolução.
Existem alguns métodos que permitem calcular o volume do sólido.
3.1.4.1 Método das áreas transversais
Seja S o sólido limitado no espaço; sob certas condições é possível calcular o volume
V (S) deste sólido.
Denotemos Sx0 a seção plana do sólido S determinado ao traçar um plano perpendi-
cular a um eixo (por exemplo ao eixo x) no ponto x0, como se observa na Figura (3.25).
Suponhamos que existe um intervalo [a, b] tal que S =
⋃
x∈[a, b]
Sx e que ∀x ∈ [a, b], a
seção plana Sx tem área conhecida A(Sx), de modo que a função x ∈ [a, b] → A(Sx), seja
contínua, logo temos: V (S) =
b∫
a
A(Sx) · dx unidades cúbicas.
Figura 3.25: Figura 3.26:
Exemplo 3.29.
A base de um sólido é a região limitada pela elipse b2x2+a2y2 = a2b2. Achar o volume
do sólido S supondo que as seções transversais perpendiculares ao eixo-x são:
a) Triângulos retângulos isósceles, cada um de eles com hipotenusa sobre o plano xy.
b) Quadrados. c) Triângulos de altura 2.
Solução. a)
Um esboço do gráfico do sólido mostra-se na Figura (3.26).
O sólido é descrito pela união dos Sx, x ∈ [−a, a], onde Sx é o triângulo retângulo
isósceles de área A(Sx) = y2 =
b2
a2
(a2 − x2).
200 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Logo, o volume pedido é V (S) =
a∫
−a
b2
a2
(a2 − x2) · dx = 4
3
ab2 (unidades cúbicas)
Solução. b)
Figura 3.27: Figura 3.28:
Figura 3.29:
Se, as seções transversais Sx são quadradas
como mostra a Figura (3.27).
O sólido é descrito pela união dos Sx, x ∈
[−a, a], onde Sx é um quadrado de lado 2y =
2b
a
√
a2 − x2, logo a área de cada quadrado é:
A(Sx) = 4
b2
a2
(a2−x2); e, o volume pedido V (S) =
a∫
−a
4
b2
a2
(a2 − x2) · dx = 16
3
ab2.
Solução. c)
Se o sólido é descrito pela união dos Sx, x ∈
[−a, a], onde Sx é o triângulo de altura 2 e base
2y =
2b
a
√
a2 − x2 (Figura (3.28)), então a área de cada triângulo é: A(Sx) = 4b
a
√
a2 − x2
e o volume pedido é V (S) =
a∫
−a
4b
a
√
a2 − x2 · dx = piab.
Exemplo 3.30.
Uma reta movimenta-se paralelamente ao plano y0z cortando as elipses: b2x2+a2y2 =
a2b2 e c2x2 + a2y2 = a2c2, que se encontram nos planos x0y e x0z respectivamente.
Calcular o volume do corpo assim engendrado.
Solução.
Neste sólido, as seções transversais Sx são losangos de diagonais 2y e 2z como mostra
a Figura (3.29); logo a área de cada um deles é A(Sx) = 2zy, como y =
b
a
√
a2 − x2 e
z =
c
a
√
a2 − x2 quando x ∈ [−a, a], então A(Sx) = 2 bc
a2
(a2 − x2) quando x ∈ [−a, a].
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 201
O volume procurado é V (S) = 2
bc
a2
a∫
−a
(a2 − x2) · dx = 8
3
abc.
3.1.4.2 Método do disco circular e do anel circular
Seja f : [a, b] −→ R uma função contínua em [a, b] e S o sólido de revolução obtido
pela rotação em torno do eixo- x, da região plana D limitada pela curva y = f(x), o
eixo-x e as retas x = a e x = b (Figura (3.30)).
Figura 3.30: Figura 3.31:
Observe que a região transversal Sx , (Figura (3.31)), obtida pela interseção do sólido
S com o plano perpendicular ao eixo-x, que passa por x ∈ [a, b] é um círculo de raio
| y |=| f(x) | (disco circular), temos: A(Sx) = piy2 = pi[f(x)]2, x ∈ [a, b]
Logo pelo método das seções transversais, o volume do corpo S é dado pela expressão:
V (S) = pi
b∫
a
[f(x)]2 · dx.
Observação 3.7.
Seja g função contínua em [c, d] , e S o sólido obtido pela rotação em torno do eixo-y,
da região plana D limitada pela curva x = g(y), o eixo-y e as retas y = c e y = d (Figura
(3.32)).
O volume do sólido S é dado pela expressão: V (S) = pi
d∫
c
[g(y)]2 · dy.
Observação 3.8.
Sejam f e g : [a, b] −→ R funções contínuas cujos gráficos encontram-se de um mesmo
lado do eixo-x, e | g(x) | ≤ | f(x) | ∀ x ∈ [a, b].
Seja S o sólido de revolução obtido pela rotação em torno do eixo- x da região D
limitada pelas curvas y = f(x), y = g(x) e as retas verticais x = a e x = b como se
mostra na Figura (3.33).
202 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Figura 3.32: Figura 3.33:
Como a seção transversal Sx, é obtida pela interseção de S com o plano perpendicular
ao eixo-x que passa por x ∈ [a, b] é um anel circular, temos: A(Sx) = pi[f(x)]2 − [g(x)]2, x ∈
[a, b]; logo o volume é dada pela expressão: V (S) = pi
b∫
a
{[f(x)]2 − [g(x)]2} · dx.
Uma regra prática para lembrar esta fórmula é:
V (S) = pi
b∫
a
{R2 − r2} · dx (3.6)
onde R é o raio do círculo maior e r é o raio do círculo menor; se r = 0 a fórmula que se
obtém é pelométodo do disco.
Observação 3.9.
Sejam f e g : [a, b] −→ R funções contínuas cujos gráficos encontram-se de um mesmo
lado de uma reta y = c, e | g(x)− c | ≤ | f(x)− c | ∀ x ∈ [a, b].
Seja S o sólido de revolução obtido pela rotação em torno da reta y = c da região D
limitada pelas curvas y = f(x), y = g(x) e as retas verticais x = a e x = b como mostra
a Figura (3.34), então o volume do sólido é: V (S) = pi
b∫
a
{[f(x)− c]2 − [g(x)− c]2} · dx.
Observação 3.10.
Sejam f e g : [c, d] −→ R funções contínuas cujos gráficos encontram-se de um mesmo
lado de uma reta x = a, e | g(y)− a | ≤ | f(y)− a | ∀ x ∈ [c, d].
Seja S o sólido de revolução obtido pela rotação em torno da reta x = a da região D
limitada pelas curvas x = f(y), x = g(y) e as retas verticais y = c e y = d, então o
volume do sólido é: V (S) = pi
d∫
c
{[f(y)− a]2 − [g(y)− a]2} · dy.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 203
Figura 3.34: Figura 3.35:
Exemplo 3.31.
Calcular o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo-x, da região D
limitada pelas retas x = 0, x = 1, y = 1 e a curva y = ex.
Solução.
O gráfico da região D mostra-se na Figura (3.35). Aplicando o método do disco temos
V = pi
1∫
0
e2x · dx = pi
3
(e3 − 1)
Portanto, o volume do sólido mede
pi
2
(e3 − 1).
Exemplo 3.32.
Figura 3.36:
A região limitada pelos gráficos de y =
arcsenx, y = 0, x = −1, gira em torno do eixo-
y. Calcular o volume do sólido engendrado.
Solução.
Sendo o eixo de rotação, o eixo-y, consideramos
x como variável dependente. O gráfico da região
mostra-se na Figura (3.36). Como x = −1 e x =
sen y aplicando a fórmula (3.5), consideramos R =
1 e r = −sen y; logo o volume é:
V = pi
0∫
− pi
2
(12 − sen 2y) · dy = pi(pi + 0)
4
Portanto, o volume mede
pi2
4
.
Exemplo 3.33.
204 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
A região limitada pelos gráficos de y = x2, y =
√
x, x = 2 gira em torno do eixo-x.
Calcular o volume do sólido.
Solução.
O gráfico da região mostra-se na Figura (3.37); pelo gráfico da região a girar em torno
do eixo-x temos: V = pi{
1∫
0
[(
√
x)2 − (x2)2] · dx+
2∫
1
[(x2)2 − (√x)2] · dx} = pi{
1∫
0
(x− x4) ·
dx+
2∫
1
(x4 − x) · dx} = 3pi
10
+
47pi
10
.
Portanto o volume do sólido engendrado pela rotação é 5pi.
Figura 3.37:
-ff
6
?
x
y
−a a
b
−b
Figura 3.38:
Exemplo 3.34.
A região limitada pela elipse b2x2+ a2y2 = a2b2 sendo 0 < b < a, gira em torno de seu
eixo maior. Determine o volume do sólido engendrado.
Solução.
Observe na Figura (3.38) que a elipse é simétrica respeito de seu eixo maior; podemos
considerar o sólido gerado pela região sombreada.
Logo, V = pi
a∫
−a
b2
a2
(a2 − x2) · dx = 4pi
3
ab.
Portanto o volume mede
4pi
3
ab.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 205
Exercícios 3-3
1. A base de um sólido é um círculo da raio r. Todas as seções transversais do sólido,
perpendiculares a um diâmetro fixo da base são quadrados. Determine o volume do
sólido.
2. Um sólido tem, como base um círculo de raio r = 1 e sua intersecções com planos
perpendiculares a um diâmetro fixo da base são triângulos retângulos isósceles cujas
hipotenusas são as respectivas cordas dos círculos. Determine o volume do sólido.
3. Achar o volume do sólido S que é a parte comum aos cilindros circulares retos de
raio r, supondo que seus eixos cortam-se perpendicularmente.
4. A base de um sólido é uma elipse cujos eixos medem 20 e 10 unidades. A interseção
desse sólido com um plano perpendicular ao eixo maior da elipse é um quadrado.
Calcular o volume do sólido.
5. Achar o volume do sólido S, cuja base é um círculo de raio 3 e cujas seções planas
perpendiculares a um diâmetro fixo são triângulos equiláteros.
6. A base de um sólido é a região entre as parábolas x = y2 e x = 3 − 2y2. Achar o
volume do sólido se as seções transversais perpendiculares ao eixo-x são quadrados.
7. Um cilindro circular reto de raio r é cortado por um plano que passa por um diâmetro
da base sob um ângulo a respeito do plano da base. Achar o volume da parte
separada.
8. Para cada um dos seguintes exercícios, calcular o volume do sólido gerado pela
rotação da região D, em torno da reta L indicada:
1. L : eixo-x; D : limitado pelos gráficos de y = x2 e y = 4x.
2. L : y = 0; D : y = (x− 1)−3, x = −1, x = 0 e y = 0.
3. L : y = 0; D : y = x3 − 5x2 + 8x− 4 e y = 0.
4. L : y = 0; D : x2 + (y − 3)2 = 1.
5. L : eixo-x; D : x2 + y2 − 2by + b2 − c2 = 0, b > c > 0.
6. L : eixo-x; D : y = sen x
1− cos x, x =
pi
2
e x =
2pi
3
.
7. L : eixo-x; D : y = exsen (ex), x = 0 e x = Ln(pi
4
).
8. L : y = 4, D : y2 = 4(2− x) e x = 0.
9. L : eixo-x; D : y = sen x, y = 0, x = 0 e x = pi
2
.
206 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
10. L : x = 4; D : x2 + y2 = 1.
11. L : x = −2; D : y2 = x e x2 = y.
12. L : y = −1; D : y = arccos x, y = arcsenx e x = 1.
13. L : x = 0; D : y2 = x2 + 10, x = 3, x = 4 e y ≥ 0.
14. L : x = 0; D : y = cos x, y = 0, x = 0 e x = pi
2
.
15. L : y = 0, D : y = √x− 1√
x
, x = 1, x = 4 e y = 0.
16. L : y = 0; D : y = 0, y = 2, x = 0 e x =√y2 + 4 .
17. L : y = −1; D : y = arcsenx, y = 0 e x = pi
2
.
18. L : y = −1; D : y = √x2 − 3, y = x− 1 e y = 0.
19. L : x = 0; D : y = 1
cosx2
, x = 0, x =
√
pi
4
e y = 0.
20. L : x = 0; D : y = x3 + x, x = 1 e x = 0.
21. L: x = 1; D : y =| x2 − 2x− 3 |, y + 1 = 0, x = 2 e x = 4.
22. L : y = 0; D : y = x+ 2 e y2 − 3y = 2x.
23. L : eixo-y ; D : y =| sen x |, 2x = pi, 2x = 3pi e y = 0.
24. L : y = 0; D : y = √4− x2, y = 1, x = 0 e x = √3.
9. O triângulo de vértices O(0, 0), A(a, b) e B(0, b) gira em torno do eixo-y. Achar o
volume obtido.
10. A base de um sólido é um círculo de raio 3. Todo plano perpendicular a um diâmetro
intercepta ao sólido em um quadrado que tem um lado na base do sólido. Calcular
o volume do sólido.
11. A base de um sólido é a região limitada por y = 1 − x2, y = 1 − x4. As seções
transversais do sólido determinadas pelos planos perpendiculares ao eixo-x são qua-
drados. Achar o volume do sólido.
12. Em um certo sólido, as seções transversais perpendiculares ao eixo-y são círculos
cujos diâmetros estendem-se sobre a curva x = √y e a reta x = y. Calcular seu
volume.
13. A base de um sólido é um círculo limitado por x2+ y2 = 25, e as seções transversais
perpendiculares ao eixo-y são triângulos equiláteros. Calcular seu volume.
14. Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação em torno do eixo-x,
da região infinita compreendida entre a curva y = 0, y 3
√
x2 = 1, e x ≥ 1.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 207
3.2 Aplicações à mecânica e física
3.2.1 Momentos e centro de massa
O momento de massa de uma partícula respeito a uma reta L define-se como o produto
de sua massa vezes sua distância perpendicular à reta L; logo, se m é a massa da partícula
e d a distância à reta L (Figura (3.39)) o momento da partícula respeito à reta L é dado
por ML = md.
�
�
�
�
�
�
�
��
L
m
S
S
S
S
d��
SS
Figura 3.39:
-
6
?
ff
(x, y)· · · · · · · · ·............
0 X
Y
x
y
Figura 3.40:
É conveniente considerar a partícula localizada num sistema de coordenadas e deter-
minar o momento da partícula respeito a um eixo de coordenadas (ou a uma reta paralela
a um eixo); neste caso utilizamos distâncias dirigidas, logo o momento poderá ser positivo,
negativo ou nulo, segundo a posição da partícula.
Por exemplo, se a partícula da massa esta no ponto (x, y) (Figura (3.40)) então os
momentosMx e My respeito dos eixos-x e y respectivamente sãoMx = m.y eMy = m.x.
Se um sistema (conjunto) de n partículas com massas m1, m2, m3, m4, · · · ,mn estão
situados nos pontos (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), · · · (xn, yn) respectivamente, os momentosMx e My do sistema de n partículas define-se como:
Mx =
n∑
i=1
mi · yi e My =
n∑
i=1
mi · xi (3.7)
O centro de massa ou centro de gravidade de um sistema de n partículas é um ponto
P (x, y) tal que, supondo que a massa total do sistema esta situado no ponto P , os
momentos de P e do sistema coincidam.
Consideremos o sistema de n partículas com massas m1, m2, m3, m4, ·mn situados nos
pontos (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), · · · , (xn, yn) respectivamente, se P (x, y) é o centro de
gravidade do sistema e a massa total dos sistema é m =
n∑
i=1
mi, os momentos Mx e My
de P estão dados por Mx = m · y e My = m · x.
208 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Considerando a fórmula (3.7) verificamos que
Mx =
n∑
i=1
mi · yi = m · y e My =
n∑
i=1
mi · xi = m · x
onde x =
n∑
i=1
mi · xi
m
e y =
n∑
i=1
mi · yi
m
.
Portanto, se Mx e My são os momentos de um sistema de partículas respeito dos
eixos-x e y respectivamente e P (x, y) o centro de gravidade ou centro de massa do
sistema, então:
x =
My
m
e y =
Mx
m
(3.8)
Exemplo 3.35.
Quatro partículas encontram-se nos pontos P1(−1, −2), P2(1, 3), P3(0, 5) e P4(2, 1) e
suas massas são m1 = 2, m2 = 3, m3 = 3 e m4 = 4 respectivamente; determine o centro
de gravidade do sistema formado por essas quatro partículas.
Solução.
Temos Mx = 2(−2) + 3(3) + 3(5) + 4(1) = 24; My = 2(−1) + 3(1) + 3(0) + 4(2) = 9 e
como m = 2 + 3 + 3 + 4 = 12 resulta da fórmula (3.7):
x =
My
m
=
9
12
e y =
Mx
m
=
24
12
= 2
Portanto, o centro de gravidade esta em P (
9
12
, 2)
3.2.1.1 Momentos e centro de massa de regiões planas
Devemos considerar o seguinte:
i) Uma lâmina é chamada homogênea se duas partes dela da mesma área tem pesos iguais.
ii) A densidade ρ de uma lâmina é a massa de uma unidade quadrada de lâmina. Se uma
lâmina é homogênea, então sua densidade (de área) ρ é constante e se A é a área de
tal lâmina, então sua massa é m = ρ · A.
iii) O centro de massa de uma lâmina homogênea, podemos pensar como o ponto de
equilíbrio dessa lâmina, e; se esta tem um centro geométrico, este ponto será o
centro de massa ou centro de gravidade .
Por exemplo o centro de massa de uma lâmina circular homogênea é o centro do
círculo; de uma lâmina retangular homogênea é o ponto de interseção das diagonais.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 209
Define-se o momento de uma lâmina de massa m, respeito a uma reta, como o
momento de uma partícula de massa situado no centro da lâmina.
iv) Se uma lâmina cortamos a várias partes, o momento da lâmina é a soma dos momentos
dessas partes.
Exemplo 3.36.
Determine o centro de massa de uma lâmina homogênea de densidade ρ, da Figura
(3.41); as medidas estão em centímetros.
Solução.
-
6
?
ff
· · · · · · ·R1
7
R2 12
0
Y
X
3
6
6
R3
4
· · · ·
Figura 3.41:
A área total da lâmina é 93cm2, está formada por
três retângulos.
Considerando os eixos coordenados como indica a
figura, os centros de massa de cada dos retângulos
R1, R2 e R3 são: (
13
2
,
21
2
), (5, 6) e (8,
3
2
) respectiva-
mente. Logo:
Mx = (21ρ)(
21
2
) + (60ρ)(6) + (12ρ)(
3
2
) =
1197
2
ρ
My = (21ρ)(
13
2
) + (60ρ)(5) + (12ρ)(8) =
1065
2
ρ.
Portanto, o centro de massa (x, y) é dado por:
x =
My
m
=
1065
2
ρ
93ρ
= 5, 72 · · · ;e
y =
Mx
m
=
1197
2
ρ
93ρ
= 6, 43 · · ·
Observação 3.11.
Figura 3.42:
Seja D uma lâmina homogênea com
densidade constante ρ; suponhamos que
D seja a região limitada pelos gráficos de
y = f(x), y = g(x), x = a e x = b;,
onde f e g são funções contínuas em [a, b]
e g(x) ≤ f(x) ∀ x ∈ [a, b]. Considere-
mos uma partição P = x1, x2, x3, x4, ·xn
de [a, b] e ci o ponto médio de [xi−1, xi],
então temos que: mi = ρ[f(ci)−g(ci)] ·∆ix
é a massa do i-ésimo retângulo (Figura
(3.42)), onde ∆ix = [xi−1, xi].
O centro de gravidade de cada i-ésimo retângulo encontra-se no ponto (ci,
f(ci) + g(ci)
2
);
substituindo cada retângulo por um ponto material e localizado a massa de cada retângulo
210 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
em seu centro de gravidade obtemos que os momentos dos n retângulos, determinados pela
partição, respeito dos eixos-x e y são:
Mx =
n∑
i=1
mi · yi =
n∑
i=1
ρ[f(ci)− g(ci)] ·∆ix
{
f(ci) + g(ci)
2
}
My =
n∑
i=1
mi · xi =
n∑
i=1
ρ[f(ci)− g(ci)] ·∆ix · xi
Logo, o centro de gravidade (x, y) está aproximadamente no centro de gravidade dos
retângulos determinados pela partição; isto é:
x ≈ My
m
=
ρ
n∑
i=1
xi · [f(ci)− g(ci)] ·∆ix
ρ
n∑
i=1
·[f(ci)− g(ci)] ·∆ix
y ≈ Mx
m
=
1
2
·
ρ
n∑
i=1
{[f(ci)]2 − [g(ci)]2} ·∆ix
ρ
n∑
i=1
·[f(ci)− g(ci)] ·∆ix
no limite quando ‖ P ‖→ 0 obtemos que as coordenadas do centro de gravidade estão
dadas por:
x =
My
m
=
b∫
a
x · [f(x)− g(x)] · dx
b∫
a
·[f(x)− g(x)] · dx
e y =
1
2
·
b∫
a
{[f(x)]2 − [g(x)]2} · dx
b∫
a
·[f(x)− g(x)] · dx
Como podemos observar, as coordenadas do centro de massa de uma lâmina homogê-
nea não dependem de sua densidade ρ; só depende de sua forma. O centro de, massa de
uma lâmina homogênea é também chamado de centro de gravidade ou centróide, reser-
vando o término centro de massa para um sólido.
Observação 3.12.
i) Se a região plana F é simétrica com respeito à reta x = x0, então x = x0.
ii) Se a região plana F é simétrica com respeito à reta y = y0, então y = y0.
Observação 3.13.
Se a região plana D está limitada pelos gráficos de x = f(y), x = g(y), y = c e y = d
onde f e g são funções contínuas em [c, d] e g(y) ≤ f(y) ∀ y ∈ [c, d], o centro de
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 211
gravidade (x, y) está dado por:
x =
1
2
·
d∫
c
{[f(y)]2 − [g(y)]2} · dy
d∫
c
[f(y)− g(y)] · dy
e y =
d∫
c
y · [f(y)− g(y)] · dy
d∫
c
[f(y)− g(y)] · dy
Exemplo 3.37.
Determine o centróide da região limitada pelas curvas y = x3, y = 4x no primeiro
quadrante.
Solução.
A região limitada pelas curvas dadas mostra-se na Figura (3.43).
Temos A(D) =
2∫
0
(4x− x3)dx = 4
My =
2∫
0
x[f(x)− g(x)] · dx =
2∫
0
x(4x− x3)dx = 64
15
Mx =
1
2
2∫
0
{[f(x)]2 − [g(x)]2} · dx = 1
2
2∫
0
(16x2 − x6) · dx = 256
21
Logo, x =
My
m
=
64
15
4
=
16
15
e y =
Mx
m
=
256
21
4
=
64
21
.
Portanto o centróide está no ponto P (
16
15
,
64
21
).
Exemplo 3.38.
Determine o centro de gravidade da região D limitada pelas curvas x2 − 8y = 0, x2 +
16y = 24.
Solução.
Como a região D é simétrica respeito do eixo-y, (Figura (3.44)) temos que x = 0.
Por outro lado, sua área é:
A =
√
8∫
−√8
[
24− x2
16
− x
2
8
] · dx = 4
√
2
Mx =
1
2
√
8∫
−√8
{
[
24− x2
16
]2 − [x
2
8
]2
}
dx =
16
√
2
5
212 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
então y =
Mx
m
=
4
5
.
Portanto, o centro de gravidade é (0,
4
5
).
Figura 3.43: Figura 3.44:
Exemplo 3.39.
Achar o centróide da região limitada pelas curvas x = 2y − y2, x = 0.
Solução.
Observando a Figura (3.45), deduzimos que a região é simétrica à reta y = 1; logo
y = 1.
Aplicando as fórmulas dadas na Observação (3.13) tem-se:
x =
1
2
2∫
0
(2y − y2)2dx
2∫
0
(2y − y2)dy
=
8
15
4
3
=
2
5
Portanto, P (
2
5
, 1) é o centróide.
Exemplo 3.40.
Determine o centro de gravidade da região plana limitada pelas curvas: y = f(x), y =
−x2, x = −1 e x = 2 onde:
f(x) =
{
1− x, se; x ≤ 0
x3 + 1, se, x > 0
Solução.
A região D mostra-se na Figura (3.46); sua área é:
A =
0∫
−1
(1− x− x2)dx+
2∫
0
(x2 + 1 + x2)dx =
11
6
+
21
3
=
53
6
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis213
Mx =
1
2
0∫
−1
[(1− x)2 − x4]dx+ 1
2
2∫
0
[(x2 + 1)2 − x4]dx = 16
15
+
11
3
=
71
15
My =
0∫
−1
x(1− x+ x2)dx+
2∫
0
x(x2 + 1 + x2)dx = −13
12
+ 10 =
107
12
Logo x =
107
12
53
6
e y =
71
15
53
6
, onde o centróide é P (
107
6
,
142
265
)
Figura 3.45: Figura 3.46:
Teorema 3.1. Teorema de Pappus para volumes.
Se, um sólido S é obtido ao fazer girar uma região plana D em torno de uma reta do
mesmo plano, que seja não secante à região D, então o volume de S é igual à área da
região D multiplicada por 2pir, sendo r o raio da circunferência descrita pelo centro de
gravidade da região D; isto é: V = 2pir · A. Onde A é a área da região D.
A demonstração deste teorema é exercício para o leitor.
Figura 3.47: Figura 3.48:
Exemplo 3.41.
214 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Calcular o volume do sólido gerado pela rotação da região D, limitada pela parábola
y = x2 e a reta y = x+ 2 em torno desta última.
Solução.
Determinemos o centro de gravidade da região D que mostramos na Figura (3.48).
Temos A =
2∫
−1
(x+ 2− x2)dx = 9
2
; os momentos são:
My =
2∫
−1
x(x+ 2− x2)dx = 9
4
,Mx =
1
2
2∫
−1
[(x+ 2)2 − (x2)2]dx = 36
5
Logo, x =
My
m
=
1
2
y =
Mx
m
=
8
5
, e o centro de gravidade é o ponto P (
1
2
,
8
5
).
Sabe-se que a distância do ponto P à reta y = x + 2, é dada pela fórmula r =
x− y + 2√
1 + 1
=
9
√
2
20
; assim o volume do sólido S é V = 2pir.A = 2pi
9
√
2
20
· 9
2
=
81
√
2
20
pi.
Exemplo 3.42.
Figura 3.49:
A regiãoD, limitada pelos gráficos de y = x2, y = 5
gira em torno de uma reta oblíqua que passa pelo
ponto A(1, 0). Determine a equação dessa reta,
quando; o volume do sólido gerado é 40pi .
Solução.
O gráfico da região D ilustra-se na Figura (3.49).
Como a região é simétrica ao eixo-y então x = 0.
Por outro lado, A =
√
2∫
−√2
(5 − x2)dx = 20
√
5
3
e
Mx
1
2
√
2∫
−√2
[52 − (x2)2]dx = 20
√
5.
Logo y =
Mx
m
= 3, o centro de gravidade encontra-se no ponto P (0, 3).
Considerando que a área da região D é A =
20
√
5
3
e como dado do problema temos
o volume V = 40
√
5pi = 2pir · A = 2pir · 20
√
5
3
, então r = 3.
Se m é o coeficiente angular da reta L (eixo de rotação), sua equação é dada por
y − 0 = m(x− 1) ou mx− y −m = 0 logo:
3 =
| mx− y −m |√
m2 + 1
=
| −3−m |√
m2 + 1
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 215
onde m = 0 ou m =
3
4
; sendo a reta oblíqua seu coeficiente é m =
3
4
.
Portanto a equação da reta é 3x− 4y − 3 = 0.
3.2.1.2 Momentos e centro de massa das curvas planas
Se o arco de uma curva vem dada pela função y = f(x) a ≤ x ≤ b, e tem densidade
ρ = ρ(x), os momentos estáticos de tal arco Mx e My respeito dos eixos coordenados Ox
e Oy são:
Mx =
b∫
a
ρ(x)f(x)
√
1 + [f ′(x)]2 · dx My =
b∫
a
ρ(x) · x ·
√
1 + [f ′(x)]2dx
Os momentos de inércia Ix e Iy respeito dos eixos coordenados Ox e Oy calculam-se
mediante as fórmulas:
Ix =
b∫
a
ρ(x)[f(x)]2
√
1 + [f ′(x)]2 · dx Iy =
b∫
a
ρ(x) · x2 ·
√
1 + [f ′(x)]2dx
As coordenadas do centro de massa x e y estão dadas segundo as fórmulas:
x =
My
L =
1
L
b∫
a
ρ(x)f(x)
√
1 + [f ′(x)]2 · dx e y = MxL =
1
L
b∫
a
ρ(x) ·x ·
√
1 + [f ′(x)]2dx
onde L é a massa do arco; isto é L =
b∫
a
ρ(x)
√
1 + [f ′(x)]2 · dx.
Exemplo 3.43.
Determine os momentos estáticos e os momentos de inércia respeito dos eixos-x e y
do arco da catenária y = cosh x, para 0 ≤ x ≤ 1.
Solução.
Temos y = cosh x, logo
dy
dx
= senhx,
√
1 + (y′)2 =
√
1 + senh2x = cosh x.
Logo Mx =
1∫
0
cosh2 x ·dx = 1
2
1∫
0
(1+cosh 2x)dx =
1
4
(2+senh2) , e My =
1∫
0
x · coshx ·
dx = senh1− cosh 1 + 1.
Ix =
1∫
0
cosh3 x · dx =
1∫
0
(1 + senh2x) cosh x · dx = senh1 + senh
31
3
216 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Iy =
1∫
0
x2 coshx · dx = 3senh1− 2 cosh 1
Portanto, Mx =
1
4
(2 + senh2), My = senh1 − cosh 1 + 1, Ix = senh1 + senh
31
3
e
Iy = 3senh1− 2 cosh 1.
Exemplo 3.44.
Determine as coordenadas do centro de massa do arco da circunferência de equação
x = a · cos t, y = a · sen t situado no primeiro quadrante.
Solução.
Temos que o comprimento é L = 1
4
(2pia) =
pia
2
, 0 ≤ t ≤ pi
2
, x′ = −a · sen t, y′ =
a · cos t,
√
(x′)2 + (y′)2 =
√
a2sen t + a2 cos2 t = a.
Logo, Mx = a2 =
pi
2∫
0
cos t · dt = a2, My = a2
pi
2∫
0
sen t · dt = a2, x = MyL =
a2
pia
2
=
2a
pi
, e
y =
Mx
L =
a2
pia
2
=
2a
pi
, .
Portanto, o centro de gravidade do arco é (
2a
pi
,
2a
pi
).
Teorema 3.2. Teorema de Guldin.
A área da superfície engendrada pela revolução do arco de uma curva plana em torno a
um eixo situado no mesmo plano que o arco, porém que não a intercepta, é igual ao produto
do comprimento desse arco pelo comprimento da circunferência descrita pelo centro de
gravidade desta.
A demonstração deste teorema é exercício para o leitor.
Exemplo 3.45.
Determine as coordenadas do centro de gravidade da semicircunferência y =
√
a2 − x2.
Solução.
Devido à simetria x = 0. Ao girar a semicircunferência em torno do eixo-x obtemos
uma esfera; a área da superfície desta esfera é 4pia2 e o comprimento desde semicircunfe-
rência é pia.
De acordo com o Teorema (3.2) temos: 4pia2 = pia · 2piy onde y = 2a
pi
; isto é o centro
de massa tem como coordenadas P (0,
2a
pi
).
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 217
Exercícios 3-4
1. Para cada um dos gráficos, achar o centróide da lâmina homogênea de densidade ρ
segundo a forma mostrada.
-
6
?
ff
...............
X
Y
0 (10, 0)
(0, 8)
(14, 12)
Figura 3.50:
-
6
?
ff
x
y
0
44
44
10 10
66
22
Figura 3.51:
-
6
x
y
(8, 6)
Figura 3.52:
Equação da elipse
16x2 + 25y2 = 400
Figura 3.53:
2. Determine o centro de gravidade de cada uma das regiões limitada pelas seguintes
curvas:
1. y = x2 − 4, y = 2x− x2 2. y = 3x, y = x2, y = 1, y = 2
3. y =
√
a2 − x2, y = 0 4. y = Lnx, y = 4, y = 4− 4x2
5. y = x2, y = x− x2 6. y = x2 + 1, y = x3 − 1, x = 0, x = 1
7. x = 4y − y2, y = x 8. y2 = 4− 2x, o eixo− y, y = 3
9. y2 = 20x, x2 = 20y 10. y = −x, y =
{
x, se, x ≤ 1
x2, se, x > 1
11.
√
x+
√
y = 3, y = 0, x = 0 12. y =| x |3 +1, x = −1, x = 2, y = 0
13. x+ xy2 − 2 = 0, x− y2 = 0
14. y = sen x, y = cos x, y = 0 desde x = 0 até x =
pi
2
.
218 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
15. x− 2y + 8 = 0, x+ 3y + 5 = 0, x = −2, x = 4.
3. O centro de gravidade da região limitada pelas curvas x2 = 4y, y = mx é um ponto
de abscissa igual 2. Determine o valor de m.
4. Os vértices de um triângulo são A(0, 0), B(a, 0) e C(0,
a
2
) com a > 0. Calcular o
volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta y = x−a, da região limitada
pelo triângulo.
5. A região limitada pelos gráficos de y = x2, y = 5 gira em torno de uma reta oblíqua
que passa pelo ponto (−1, 0). Determine a equação da reta si, o volume do sólido
gerado é igual 40pi.
6. Para os seguintes exercícios determine:
1. O momento estático da sinusóide y = sen x (0 ≤ x ≤ 1), respeito do eixo-x.
2. O momento estático e momento de inércia respeito do eixo-x do arco da curva
y = ex (0 ≤ x ≤ 1).
3. O momento estático e momento de inércia respeito do eixo-x de uma onda da
ciclóide x = a(t− sen t), y = a(1− cos t).
4. Omomento estático e momento de inércia da semicircunferência de raio a respeito
de seu diâmetro.
5. Os momentos estáticos respeito dos eixos-x, y do arco da semicircunferência
r = 2a cos t, situado acima do eixo polar.
6. O centro de gravidade do arco dacatenária y = a · cosh 0 ≤ x ≤ a.
7. O centro de gravidade da astróide x = a · cos 3t, y = a · sen 3t situado acima do
eixo-x.
8. As coordenadas do centro de gravidade de um arco da cardióide r = a(1 +
cos θ) 0 ≤ θ ≤ pi.
9. O centro de gravidade da curva y =
√
a2 − x2.
7. Mediante o Teorema de Guldin, determine o centro de gravidade do arco da astróide
x = a · cos 3t, y = a · sen3t, situada no primeiro quadrante.
8. Mediante o Teorema de Guldin, mostre que o centro de gravidade de um triângulo
está afastado de sua base a uma terceira parte de sua altura.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 219
3.2.2 Outras aplicações
3.2.3 Problemas na Física
O conceito de força podemos entender como ação física para movimentar um objeto;
por exemplo é necessário uma força para empurrar ou puxar um objeto ao longo de um
plano horizontal.
Se aplicamos uma força constante F a um objeto, fazendo-o movimentar numa dis-
tância d na direção da força, então por definição estamos realizando trabalho W ; sendo
este uma grandeza escalar (na verdade estão envolvidas vetores), podemos escrever como
o produto seguinte: W = F · d.
A unidade N ·m para o trabalho é o mewton · metro. Uma quantidade usada com
tamanha frequência recebe o nome de joule (abreviação J). No sistema inglês a unidade
para o trabalho é pé ∗ libra (abreviação ft ∗ lb). A relação entre as grandezas é:
1 joule = 1 J = 1N ∗ m = 1 kg · m2/s2 = 0, 738 ft · lb
Exemplo 3.46.
Um estudante de matemática, levanta uma mochila do assoalho de massa m = 10kg,
e eleva com aceleração desprezível até uma altura d = 0.8m para colocá-lo na carteira.
Desejamos determinar as forças que atuam sobre a mochila, e o trabalho que elas realizam.
Solução.
Atuam duas forças sobre a mochila, seu peso m · g agindo para baixo e a força F
agindo para cima.
Pelo fato a mochila não estar acelerada a força resultante que age sobre ela é zero.
O módulo comum destas forças é F = m · g = (10kg)(9, 8m/s2) = 98N .
Por outro lado, sendo a força F e o deslocamento apontados para uma mesma direção,
temos que o trabalho W = F.d = (98N)(0, 8m) = 78, 4J .
Definição 3.2.
Seja f(x) uma força variável que atua no sentido do eixo-x sobre o segmento [a, b].
O trabalho realizado para deslocar um objeto do ponto a até o ponto b, podemos expressar
mediante a integral:
W =
b∫
a
f(x) · dx
Exemplo 3.47.
Um bloco de massa igual 5kg, move-se em linha reta sobre uma superfície horizontal
o sob influência de uma força que varia com a posição conforme mostra a Figura (3.54).
220 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Qual é o trabalho realizado pela força, quando o bloco se move da origem até x = 8m?
Solução.
Segundo o gráfico, temos que a força variável
f(x) =

10, se, 0 ≤ x ≤ 2
−5(x− 4), se, 2 ≤ x ≤ 4
0, se, 4 ≤ x ≤ 6
−2, 5(x− 6), se, 6 ≤ x ≤ 8
logo o trabalho realizado:
W =
2∫
0
10 · dx+
4∫
2
−5(x− 4)dx+
6∫
4
0 · dx+
8∫
6
−2, 5(x− 6)dx = 25 J
Portanto, o trabalho realizado é 25 J .
Exemplo 3.48.
Calcular o trabalho a realizar, para elevar um corpo de massam da superfície da Terra,
cujo raio é R, até uma altura h.
Solução.
De acordo com a lei de gravitação universal, a força F que atua sobre um corpo de
massa m é igual a F = k · mM
r2
, M é a massa da Terra, r é a distância da massa m desde
o centro da Terra e k é a constante de gravitação universal.
Quando o objeto está na Terra temos que r = R; logo F = m · g, podemos então
escrever F = m · g = k · mM
r2
, onde kM = gR2 pelo que F = mg
R2
r2
.
O trabalho, procurado é: W =
R+h∫
R
F · dr =
R+h∫
R
mgR2 · dr
r
= mgR
h
R + h
.
-ff
6
?
0 2 4 6 8
10
5
−5
x
y
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
A
A
A
AA
A
A
A
AA
A
A
A
AA
@
@
@
@
@
@
@
@
@
Figura 3.54: Figura 3.55:
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 221
Exemplo 3.49.
Um tanque em forma de cone circular reto, de altura 10m e raio da base 5m, tem
seu vértice no solo e eixo vertical. Se o tanque está cheio de água, determine o trabalho
realizado para bombear a água pelo topo do tanque.
Solução.
O gráfico que representa o tanque, mostra-se na Figura (3.55)
Pela forma do tanque, temos que o volume de cada fatia é Vi = pix2i∆yi = pi(
yi
4
)2∆yi;
supondo a água pese K quilos por metro cúbico, o peso de cada fatia é aproximadamente
Kpi(
yi
4
)2∆yi; o trabalho para elevar a i-ésima fatia é: (10− yi)Kpi∆yi.
Portanto W =
10∫
0
(10− yi)Kpi · y
2
42
· dy = Kpi
16
10∫
0
(10− y)y2dy = 625
12
Kpi.
Observação 3.14.
A força necessária para distender uma mola x unidades além de seu comprimento
natural é dada pela lei de Hooke: f(x) = k ·x onde k é uma constante chamada constante
da mola.
Exemplo 3.50.
Exige-se uma força de 9kg para distender até 8cm uma mola cujo comprimento natural
é 60cm.
a) Determinar o trabalho realizado ao distender a mola até um comprimento de 70cm.
b) Determinar o trabalho realizado ao distender a mola até um comprimento de 65cm.
Solução.
Figura 3.56:
Suponha a posição da mola no eixo-x como in-
dica a Figura (3.56); como f(x) = k · x então
9 = 8 · k ⇒ k = 9
8
; assim a força para movi-
mentar x unidades é f(x) =
9
8
x.
O trabalho realizado para distender a mola até
70cm é W =
10∫
0
9
8
x · dx = 225 kg/cm.
O trabalho realizado para distender a mola até
65cm é W =
5∫
0
9
8
x · dx = 225
4
kg/cm.
Observação 3.15.
• A noção de pressão, ao igual que a de trabalho, depende da noção de força.
222 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
• Para calcular a força da pressão P de um líquido, se utiliza o princípio de Pascal de
acordo com o qual a pressão exercida por um líquido sobre uma plataforma é igual
a sua área S multiplicada pela profundidade de submersão h, a densidade ρ (peso
por unidade de volume), e a aceleração da gravidade; isto é P = ρ · g · h · S.
• A pressão em todo ponto de um líquido sempre é a mesma em todas as direções. Por
exemplo, queremos determinar a pressão no fundo de um tanque retangular cheio
de água de 4m de altura e com base 10m2.
Se consideramos se a densidade da água como r kg por m3 então a pressão a uma
profundidade de 4m é 4ρ kg/m2 e a força de pressão que atua no fundo do tanque é
(4ρ kg/m2)(10m2) = 40ρ kg.
Definição 3.3.
A força F exercida por um líquido de densidade constante ρ sobre uma região como
mostra a Figura (3.57) (s é a superfície da água) onde x = f(y) e x = g(y) são funções
contínuas em [c, d] é dada pela fórmula: F =
d∫
c
ρ(s− y)[f(y)− g(y)]dy
É conveniente utilizar a fórmula seguinte para especificar a força sobre um retângulo
horizontal (retângulo escuro na Figura (3.57)
(força sobre um retângulo) = (ρ)(profundidade)(área do retângulo)
Figura 3.57:
Exemplo 3.51.
A parte lateral de um aquário adjacente ao nível da água é vertical e tem a forma de
um retângulo de 15pés de altura, 200pés de comprimento e profundidade 10pés. Determine
a força, total da água devido à pressão do líquido.
Solução.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 223
Segundo a fórmula da Definição (3.3) temos que
F =
10∫
0
200ρ(10− y)dy = 1000ρ.
Sabe-se que a densidade ρ da água é 62, 5pés.
Portanto, a força total devido ao líquido é 625.000 lbs.
Exemplo 3.52.
As extremidades de um depósito de água de 10m de comprimento têm a forma de um
trapézio isósceles de base menor 6 m, base maior 8m e altura 4 m. Determine a força
sobre uma extremidade quando o recipiente esta cheio de água.
Solução.
O gráfico da Figura (3.58) mostra as extremidades do deposito.
A equação da reta que passa pelos pontos (4, 4) e (3, 0) é y = 4(x − 3), onde
x =
1
4
(y + 12); o retângulo sombreado tem como área
2xi∆iy ≈ 2[1
4
(yi + 12)] ·∆iy
se a densidade da água é ρ kg por m3,a força exercida pelo líquido sobre este retângulo
é:
ρ(4− yi)2[1
4
(yi + 12)] ·∆iy
somando e, no limite a força total é F =
1
2
4∫
0
ρ(4− y)(y + 12)dy = 232ρ
3
kg.
Logo, a força exercida pelo líquido é F =
232ρ
3
kg.
-ff
6
?
x
y
0 3−3
J
J
J
J
J
J
(−4, 4) (4, 4)
y
4− y
∆iy
Figura 3.58:
224 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Exemplo 3.53.
Determine a força de pressão que a gasolina que está em um depósito cilíndrico, cuja
altura h = 3, 5m e o raio da base r = 1, 5m exerce sobre as paredes do mesmo; considere-
se ρ = 900 kg/m3.
Solução.
Neste exemplo temos que a área de um disco paralelo à base
S = 2pir; r = 900 kg/m3, h = 3.5m, g = 9.8m/seg2
e r = 1.5m.
O elemento da pressão que se exerce sobre a parede é:
dP = r · g · h · S = r · g · 2piry · dy
logo P = 2pirρg
h∫
0
y · dy = (9.8)pi(1.5)(900)(3.5)2 = 161.000pi.N
Portanto, a força de pressão que a gasolina exerce sobre a parede é 161.000pi.N �
A probabilidade de um evento resultante de uma experiência aleatória, é um número
esperado compreendido no intervalo fechado [0, 1]. A probabilidade de que o evento seja
certo sempre é 1 (um), e que, não ocorra é 0 (zero).
Se x é uma variável (em anos) que representa a vida útil de um computador entre 5 e 10
anos, sua respectiva probabilidade é representada por P (5 ≤ x ≤ 10). A função densidade
de probabilidade de uma variável aleatória contínua x, é uma função não negativa f(x),
tal que sua probabilidade:
P (a ≤ x ≤ b) =
b∫
a
f(x) · dx
Exemplo 3.54.
A função densidade de probabilidade da duração de CDs produzidas por uma deter-
minada companhia é f(x) = 0.01e−0.01x, donde x representa a duração (em meses) de
um CD selecionado aleatoriamente. a) Qual é a probabilidade que a duração de um CD
selecionada aleatoriamente seja de 50 a 60 meses?. b) Qual é a probabilidade que a
duração de um CD selecionada aleatoriamente seja igual o menor de 60 meses?. c) Qual
é a probabilidade que a duração de um CD selecionada aleatoriamente seja igual o maior
de 60 meses?.
Solução.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 225
a) P (50 ≤ x ≤ 60) =
60∫
50
0, 01e− 0,001x · dx = 0, 0577.
b) P (x ≤ 60) =
60∫
0
0, 01e− 0,001x · dx = 0.4512
c) P (x ≥ 60) =
+∞∫
60
0, 01e− 0,001x · dx = 0.5488
Exemplo 3.55.
Uma partícula movimenta-se em linha reta de modo que sua posição está dada pela
expressão x = S(t) = x0+ v0t+ bt2+ ct3m/s onde x0 é o espaço inicial, v0 é a velocidade
inicial, sendo b e c constantes. Calcule a velocidade média entre os 6 e 8 primeiros
segundos.
Solução.
É um problema típico de aplicação do valor médio para integrais.
Velocidade média =
1
8− 6
8∫
6
(x0 + v0t+ bt
2 + ct3)dt =
1
2
[2x0 + 14v0 +
296
3
b+ 700c] =
x0 + 7v0 + b+ 350c.
Portanto, a velocidade média = x0 + 7v0 +
148
3
b+ 350c m/s.
Exemplo 3.56.
Sejam y = f(x) função contínua em [0, 2] e y′ + y = x + 1 uma equação. Determine
a função y = f(t) que satisfaz y = 1 quando x = 0.
Solução.
Temos a equação: y′ + y = x+ 1, multiplicando esta igualdade por ex, resulta ex(y′ +
y) = ex(x+ 1).
Observe que esta última igualdade podemos escrever na forma
d
dx
(ex · y) = ex(x+ 1);
logo ex · f(x) = C +
x∫
0
et(t + 1)dt , do fato ser x + 1 contínua no intervalo [0, 2]; assim,
f(x) = e−x · [C +
x∫
0
et(t+ 1)dt] = e−x · [C + x · ex].
Por outro lado, y = 1 = f(0) = e−0[C + 0 · e0] onde C = 1. Portanto y = f(x) =
e−x · [1 + x · ex] é solução da equação.
Observação 3.16.
Se um ponto movimenta-se sob uma curva, e o valor absoluto de sua velocidade v =
f(t) é uma função conhecida do tempo t; o espaço recorrido por tal ponto em um intervalo
de tempo [a, b] é igual a: s =
b∫
a
f(t) · dt.
226 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Exemplo 3.57.
Se a velocidade de um ponto é v = 0, 2t3m/s. Determine o espaço s recorrido durante
os 10 primeiros segundos. Qual é sua velocidade média neste intervalo de tempo?.
Solução.
Temos s =
10∫
0
0, 2t3 = 500m, sua velocidade média é:
500
10
m/s = 50m/s
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 227
Exercícios 3-5
1. Suponhamos que um corpo se movimento no eixo-x desde x = 2 até x = 5 (unidades
em metros) e suponha que a força exercida segue a lei f(x) = x2 + x. Determine o
trabalho total realizado.
2. Determinar o trabalho realizado ao empurrar um automóvel ao longo de uma estrada
plana desde um ponto M a um ponto N , distante 20m de M , exercendo una força
constante de 300 kg.
3. Determine o trabalho realizado para extrair água de um recipiente cônico, cuja base
é horizontal e encontra-se embaixo do vértice, sendo o raio da base r e sua altura h.
4. Uma piscina cheia de água e tem a forma de um paralelepípedo reto de 5 pés
de profundidade, 15 pés de largura e 25 pés de comprimento. Achar o trabalho
necessário para bombear a água ate o nível de 1 pé por encima da superfície da
piscina. (Sug.: w = peso de 1pé3 de água)
5. Um tanque que tem a forma de um cilindro circular reto de 8 pés de alto e 5 pés de
raio basal está cheio de água. Achar o trabalho realizado ao bombear toda a água
do tanque ate uma altura de 6 pés por encima da parte superior do tanque.
6. Um elevador de 3.000 lbs. de peso acha-se suspenso num cabo de 12 pés de compri-
mento, pesando 15 lbs por pé linear. Determine o trabalho necessário para elevá-lo
de 10 pés, enrolando-se o cabo numa roldana.
7. Um tanque cilíndrico vertical de 1m de diâmetro e 2m de altura está cheio de água.
Ache o trabalho necessário para bombear toda a água: a) pela parte superior do
tanque; b) através de um tubo que se eleva a 1, 20m acima da parte superior do
tanque.
8. Um elevador que pesa 1, 380kg pende de um cabo de 3, 65m que pesa 21kg por
metro linear. Aproxime o trabalho necessário para fazer o elevador subir 2, 75m.
9. Um aquário tem base retangular de 0, 6m de largura e 1.2m de comprimento, e lados
retangulares de 0.9m de altura. Se o aquário está cheio de água pesando 1.000kg/m,
determine o trabalho realizado ao bombear toda a água pela parte de cima do balde.
10. Um balde de água é içado verticalmente a razão constante de 45cm/s por meio de
uma corda de peso desprezível. À medida que o balde sobe, a água vaza à razão
de 100gr/s. Se o balde cheio de água pesa 11kg no momento em que começa a ser
içado, determine o trabalho necessário para iça-o a uma altura de 3, 6m.
228 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
11. Um bote está ancorado de modo que a ancora encontra-se 100 pés diretamente
embaixo do cabrestante em que sua cadeia está enrolada. A ancora pesa 3, 000lbs e
a cadeia 20 lbs/pé. Qual é o trabalho necessário para levantar a ancora?.
12. A face de una represa adjacente à água tem forma de trapézio isósceles de uma altura
20 pés, base superior 50 pés e base inferior 40 pés. Achar a força total exercida pela
água sobre a face se a profundidade da água é 15 pés.
13. Um gorila de 180kg de peso sobe em uma árvore de 5m de altura. Determine o
trabalho realizado se ele chega ao topo da árvore em: a) 10 segundos; b) 5 segundos.
14. Exige-se uma força de 9 libras para distender até 8 polegadas uma mola cujo com-
primento natural é 6 polegadas. a) Determinar o trabalho realizado ao distender
a mola até um comprimento de 10 polegadas. b) Determinar o trabalho realizado
ao distender a mola de um comprimento de 7 polegadas até um comprimento de 9
polegadas.
15. Se uma mola tem 30cm de comprimento, compare o trabalho W1, realizado ao
distendê-la de 30 para 32.5cm, com o trabalho W2, realizado ao distendê-la para
35cm.
16. Uma mola de 25cm de comprimento natural sofre uma distensão de 3.8cm sob o peso
de 35N . Ache o trabalho realizado ao distender a mola. a) De seu comprimento
natural para 35, 5cm; b) De 28cm para 33cm.
17. Uma mola tem comprimento natural de 12 polegadas.Quando se estica x polegadas,
puxa para atrás com una força kx, pela lei de Hooke. A constante k depende do
material, do arame, etc. Se são necessárias 10 libras de força para mantê-o esticado
em 1/2 polegada, quanto é o trabalho realizado para esticá-lo desde seu comprimento
natural até um comprimento de 16 polegadas?.
18. As extremidades de um cocho de água de 2, 5m de comprimento são triângulos
equiláteros de 0, 6m de lado. Se o cocho está cheio de água, ache o trabalho realizado
ao bombear toda a água pela parte superior do cocho.
19. Determine a força de pressão que exerce a água sobre uma placa triangular vertical
de base a e altura h, submersa na água, com o vértice para abaixo, de forma que
sua base se encontre na superfície da água.
20. Um tanque de vidro, para ser usado como aquário, têm 3 pés de comprimento e
extremidades quadradas de 1 pé de lado. Estando o tanque cheio de água, determine
a força exercida pela água: a) sobre uma extremidade; b) sobre um lado.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 229
21. A face de uma represa em contato com a água é vertical e de forma retangular com
50 pés de largura e 10 pés de altura. Achar a força exercida pelo líquido sobre esta
face quando a superfície do líquido esta a rãs da parte superior da represa.
22. Supondo que v e p estão relacionadas pela equação p · v41 = C onde C é constante,
e que p = 60 lb/pul2, quando v = 10 pés3, achar : a) v quando p = 15lbs/pulg2; b)
o trabalho realizado pelo gás ao expandir-se ate que sua pressão alcança este valor
(15lbs/pul2).
23. Uma chapa com a forma de trapézio isósceles de base superior 4 pés e base inferior 8
pés, acha-se submersa verticalmente na água de tal forma que as bases têm posição
paralela à superfície. Se as distâncias da superfície da água as bases superior e
inferior são 10 pés e 6 pés respectivamente, determine a força exercida pela água
sobre um lado da chapa.
24. Um tanque cilíndrico de 6 pés de diâmetro e 10 pés de comprimento acha-se apoiado
(deitado) sobre sua superfície lateral. Se o tanque está cheio até a metade de óleo
pesando 58 libras por pé cúbico, determine a força exercida pelo óleo sobre a parte
lateral do cilindro.
25. A taxa de depreciação de certa peça de equipamento, no intervalo [0, 3] pode ser
aproximada por g(t) =
1− t2
9
com t dado em anos e g(t) em R$100.00. Determine
a depreciação total ao final dos seguintes períodos: a) 6 meses b) 1 ano c) 18 meses
26. Duas cargas opostas de e1 y e2 unidades eletrostáticas atraem-se com uma força
e1e2
r
, sendo r a distância entre ambas (em unidades apropriadas).
-
carga e1= +7
P 4
carga e2= -1
20
r
Figura 3.59:
A carga positiva e1 de 7 unidades mantém-se fixa num certo ponto P (ver Figura
(3.59)). Qual é o trabalho realizado ao mover uma carga negativa e2 de 1 unidade
desde o ponto situado a 4 unidades da carga positiva até um ponto situado a 20 pés
dessa carga ao longo de uma reta r em sentido oposto ao da carga positiva.
27. Uma companhia estima que a venda anual de um produto novo será de 8.000 uni-
dades. Suponha que todo ano 10% das unidades (independentemente de quanto
forem produzidas) param de funcionar. Quantas unidades estarão em uso após de
n anos ?. Supondo que 25% das unidades param de funcionar a cada ano qual é sua
resposta?.
230 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
28. Determine o trabalho necessário para distender uma mola até 5cm, se a força de 1N
o distende em 1cm.
29. Um foguete levanta-se verticalmente; supondo que, a força de atrito é constante, e
a aceleração aumenta por causa da diminuição do seu peso segundo a lei j =
A
a− bt
onde a > bt. a) Achar a velocidade do foguete em qualquer instante t, se sua
velocidade inicial é t = 0. b) determine a altura que alcança o foguete no instante
t = t1.
30. A velocidade de movimento de um corpo é v = t · e−0,01tm/s. Calcular o caminho
recorrido pelo ponto desde que começo a movimenta-se até ficar quieto por completo.
31. Se aos x anos de idade, una máquina industrial gera ingressos a razão de R$ R(x) =
6025− x2 por anos e seus gastos acumulam-se a razão de R$ C(x) = 400 + 15x2 ao
ano. a) Por quantos anos o uso da máquina es lucrativo? b) Qual é o lucro líquido
gerado pela máquina ao longo do período encontrado no item a)?
32. Um tanque tem a forma de cone circular reto invertido com eixo vertical, se sua
altura é 20 pés e raio da base 5 pés. Determine o trabalho realizado para bombear
a água pelo topo do tanque sabendo que o tanque está cheio de água.
33. As extremidades de um depósito de água de 8 pés de comprimento, tem a forma
de um trapézio isósceles de base menor 4 pés, base maior 6 pés e altura 4 pés.
Determine a força total sobre uma extremidade quando o recipiente esta cheio de
água.
34. Um cilindro reto cuja base é uma elipse esta cortada por um plano inclinado que
passa pelo eixo maior da elipse. Calcular o volume do corpo engendrado, sabendo
que o comprimento do eixo menor da elipse é 8 e o compreendo do semi-eixo maior
é 10.
35. Em uma una fábrica de rádios, depois de t horas de trabalho, um operário produz
Q1(t) = 60− 2(t− 1)2 unidades por hora, entanto que um segundo operário produz
Q2(t) = 50−5t unidades por hora. a) Se ambos chegam ao trabalho as 8hs, quantas
unidades o primeiro operário terá produzido a mais que o segundo até as 12hs.?.
b) Interprete a resposta encontrada em a) como a área compreendida entre as duas
curvas.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 231
Miscelânea 3-1
1. Para cada um dos seguintes exercícios, desenhar a região D, e determine a área da
mesma, se D esta limitada pelos gráficos de:
1. 3
√
x2 + 3
√
y2 =
3
√
a2.
2. x2 = 4ay, y =
8a3
x2 + 4a2
.
3. y =| 20x+ x2 − x3 |, y = 0.
4. x = y3 − 2y2 − 5y + 6, x = 2y2 + 5x− y3 − 6.
5. y = arcsen2x, x =
√
3
2
.
6. y = x · e8−2x2 , y = x.
7. y =
8
x4 + 4
, y = 0, x = 0, x = 4.
8. y = x · e8−2x2 , y = 4x.
9. y =| x− 1 |, y = x2 − 2x, x = 0, x = 2.
10. y = 3
√
x+ 1− 3√x− 1, x = −1, x = 1.
2. A curva y = Lnx corta o eixo-x em a. Determine o comprimento da curva AM ,
sendo M o ponto de abscissa x.
3. Seja f contínua no intervalo [0, 1] ∀ t > 0, e suponha que existem constantes
M > 0 e γ > 0 tais que, ∀ t ∈ 0 | f(t) |≤ M · rγt. Mostre que
+∞∫
0
e−stf(t) · dt é
convergente para s > g.
4. Determine a área da figura limitada pela(s):
1. Curvas y = Ln(x+ 2), y = 2Lnx, y = 0.
2. De cada uma das partes do círculo x2 + y2 ≤ 2ax dividido pela parábola
y2 = 2ax− a2.
5. Para os seguintes exercícios, determine o comprimento de arco da curva descrita
pela função indicada:
1. f(x) = Ln(coth(
x
2
), x ∈ [a, b] a > 0.
2. f(x) =
x3
3
+
1
4x
, x ∈ [1, 2].
3. x =
√
(
3
√
a2 − 3√y2)3, x ∈ [−a, a].
232 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
4. x = t− 1, y = 1
2
t2, t ∈ [0, 1].
5. x = et · sen t, y = et · cos t, t ∈ [0, pi].
6. Determine o comprimento do arco das curvas indicadas:
10. Da curva y =
x2
2
− Ln√x, desde x = 2 até x = 3.
1. Da curva y =
√
x− x2 + arcsen√x
2. O comprimento total da curva dada por (y − arcsenx)2 = 1− x2.
3. O comprimento do arco da curva y2 =
2
3
(x−1)3 compreendida dentro da parábola
y2 =
x
3
.
4. O comprimento do arco da curva dada por x = (t2 − 2)sen t + 2t · cos t, y =
(2− t2) cos t+ 2t · sen t, desde t = 0 até t = pi.
5. O comprimento da curva y = Ln(1− x2) desde x = 0 até x = 1
2
.
7. Calcule a área da superfície formada pela revolução em torno do eixo-x do arco da
curva 6y =
√
7(x− 12) entre os pontos de interseção da curva citada com o eixo-x.
8. Achar a área da superfície formada pela revolução do bucle da curva x = a(t2+1), :
y = (3− t2) em torno do eixo-x.
9. Determine a área da superfície formada pela revolução do arco da curva x = a(3 ·
cos t − cos 3t), y = a(3sen t − sen 3t), 0 ≤ t ≤ pi
2
, em tornodo: i) eixo-x; ii)
eixo-y.
10. Calcular o volume do sólido gerado pela rotação da região D, em torno da reta L
indicada: L : y = 0; D : x+ y = 1,√x+√y = 1.
11. Determine um limite superior e inferior para I =
pi
2∫
0
dx
(3 + 2 cosx)2
.
12. Mostre que
pi
2∫
0
sen x
x
· dx >
0∫
pi
2
sen x
x
· dx Sugest. Na última integral x = pi − u.
13. Estabeleça uma fórmula de recorrência para a integral In =
1∫
0
xn · sen (pix)dx.
Mostre que In → 0 quando n → +∞.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 233
14. Para os seguintes exercícios, determine o comprimento de arco da curva descrita
pela função:
1. x =
t∫
1
sen z
z
dz, y =
t∫
1
cos z
z
dz, desde a origem de coordenadas até o ponto mas
próximo onde a tangente é vertical.
2. x = a(cos t+ t · sen t), y = a(sen t− t · sen t), t ∈ [0, a].
15. Determine o centro de gravidade de cada uma das regiões limitada pelas seguintes
curvas:
16. y = 3 + 2x − x2, e os eixos coordenados limitam duas regiões. Determine o
centróide da região de menor área.
17. y(x2 + 4a2) = 8a3 e o eixo-x (região infinita)
18. A região limitada pelo laço de y2 = x(x− 4)2.
19. A região limitada pelo laço de y2 = x4(3− x).
20. y = arcsenx, y = 0, x = 1.
21. y2 = 4x2 − x3, y = 0, no primeiro quadrante.
22. y = x2 − 2x− 3, y = 6x− x2 − 3.
23. y = x3 − 3x, y = x, sobre o lado direito do eixo-y.
24. A região limitada por b2x2 + a2y2 = a2b2, no primeiro quadrante.
25. y = sen x (0 ≤ x ≤ pi), y = 0.
26. y = cosh x, y = 0, x = −1, x = 1.
27. y = arccos x, y = pi, x = 1.
16. Seja D a região do plano limitado pela parábola y = x2 − 1 e a reta y = x − 1.
Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região D em torno da reta y
= x - 1.
17. A região limitada pelos gráficos de y2 = 20x, x2 = 20y gira em torno da reta
3x+ 4y + 12 = 0. Calcular o volume do sólido gerado.
18. Demonstre o Teorema de Pappus.
19. Demonstre o Teorema de Guldin.
20. No ponto (3, 3) da curva √xy − 2x + 3y − 6 = 0, temos reta tangente e normal.
Calcular o volume do sólido gerado pela rotação em torno das reta y = −3, da
região limitada pela tangente, a normal e o eixo-y.
234 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
21. No ponto de abscissa 6 da parábola y2 = 12x, existe uma reta tangente. Calcular
o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo-x da região limitada pela
tangente traçada, o eixo-x e a parábola.
22. A função densidade de probabilidade da duração de chamadas telefônicas de uma
determinada cidade é f(x) = 0.5e−0.5x, onde x representa a duração (em minutos)
de uma chamada selecionada aleatoriamente. a) Qual é a porcentagem de chamadas
que deve durar de 2 a 3 minutos?. b) Qual é a porcentagem de chamadas que deve
durar 2 minutos ou menos? c) Qual é a porcentagem de chamadas que deve durar
mais de 2 minutos?.
23. Dentro de x anos, um plano de investimentos estará gerando um lucro em razão de
R1(x) = 100 + x
2 reais por ano, e um segundo plano a razão de R2(x) = 220 + 2x
reais por ano: a) Por quantos anos o segundo plano será más lucrativo?. b) Qual é
o lucro excedente que se ganhará investindo no segundo plano, ao invés do primeiro,
por um período igual ao de a)?. c) Interprete o lucro excedente encontrado em b)
como a área compreendida entre as dos curvas.
24. A base de um sólido é a região entre as parábolas y = x2, y = 3 − 2x2. Achar o
volume do sólido, se as seções transversais perpendiculares ao eixo-y são triângulos
retângulos isósceles, cada um deles com hipotenusa sobre o plano xy.
25. O ponto de interseção das diagonais de um quadrado (de lado variável) movimenta-
se ao longo do diâmetro (fixo) de uma circunferência de raio 3; o plano do quadrado
permanece sempre perpendicular ao plano da circunferência, entanto os vértices
opostos do quadrado se movimentam pelas circunferência. Achar o volume do corpo
assim gerado.
26. Um pequeno fabricante de componentes eletrônicos estima que o tempo necessário
para que um operário construa um determinado item depende do número de items
construídos por ele. Se o tempo (em minutos) necessário para construir o n-ésimo
item esta dado pela função f(x) = 20(n + 1)−0.4 + 3, determine aproximadamente
o tempo (em minutos) necessário para construir as seguintes quantidades: a) 1; b)
4; c) 8; d) 16.
Capítulo 4
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
Leonhard Euler
Leonhard Euler, (1707−1783) nasceu em Basiléia (Suíça)
em 15 de abril de 1707. Físico - Matemático um dos mais bri-
lhantes gênios da matemática pura e aplicada de todos os tempos.
De uma família tradicionalmente dedicada á pesquisa científica,
filho de um pastor luterano e foi aluno de Jacques Bernoulli,
mas seu pai preferia que o filho seguisse a carreira teológica e
o enviou para a Universidade de Basiléia para prepará-lo para
o ministério, porém geometria se tornou seu assunto favorito.
Na universidade estudou teologia e a língua hebraica, e atendia
a uma aula de uma hora por semana com Johannes Bernoulli
onde terminuou o mestrado aos 17 anos.
Por intercessão de Bernoulli, Euler obteve o consentimento
do seu pai para mudar para a matemática. Depois de não con-
seguir uma posição de físico na Basiléia em 1726. Aos dezenove anos, Euler recebeu menção
honrosa por uma solução que enunciou a um problema proposto pela academia de Paris. Mais
tarde, ele ganhou o primeiro prêmio nesta mesma competição doze vezes.
A precocidade e o brilhantismo do seus primeiro trabalhos o converteram aos vinte anos, em
membro associado da Academia de Ciências de São Petersburg, para onde se transferira. Por
meio de livros e monografias que apresentou à Academia, Euler aperfeiçoou os conhecimentos
da época sobre cálculo integral, desenvolveu a teoria das funções trigonométricas e logarítmica
e simplificou operações relacionadas à análise matemática. Sua contribuição para a geometria
analítica e para a trigonométria é comprável a de Euclides para a geometria plana.
Ele teve uma memória prodigiosa e pode ditar tratados em óptica, álgebra e movimento lu-
nar (mares). “A teoria matemática do investimento” (seguros, anuidades, pensões), bem como
essencialmente todas as áreas da matemática que existiam na época.
Na Rússia, Euler tornou-se quase completamente cego depois de uma operação de catarata e
seu outro olho começo a deteriorar, mas ele continuou escrevendo suas pesquisas.
Em sua morte ocorrida o 18 de setembro de 1783, ele deixo uma reserva vasta de artigos.
O trabalho ativo de Euler provocou tremenda demanda da Academia de São Petersburg, que
continuou publicando seus trabalhos por mais de 50 anos depois de sua morte.
235
236 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
4.1 O espaço tridimensional
A maioria das relações que ocorrem nos diferentes ramos da atividade social da hu-
manidade, como por exemplo na economia, a biologia, a física, etc. é traduzida mediante
funções de mais de duas variáveis reais, isto justifica o estudo minucioso das funções de
várias variáveis.
Iniciaremos este capítulo com o estudo do espaço tridimensional, como uma extensão
do espaço de duas dimensões estudado numa primeira disciplina de cálculo.
Definição 4.1.
O conjunto de todas as triplas ordenadas de números reais é chamado de espaço nu-
mérico tridimensional, sendo denotado por R3.
Cada tripla ordenada é chamada “um ponto no espaço numérico tridimensional ”.
Para representar R3 no espaço geométrico tridimensional, considera-se as distâncias
orientadas de um ponto a três planos mutuamente perpendiculares (Figura (4.1)).
-
6
ff
?
z
−z
y−y ��
�
��>
�
�
�
��=
−x
x
Figura 4.1:
-
6
ff
?
z
−z
y−y ��
��>
�
�
�
��=
−x
x
�
��
�
��
�
��
P
(3, 4, 0)
Figura 4.2:
A cada tripla de ordenada de números reais (x, y, z) podemos associar a um ponto P
do espaço geométrico tridimensional. A distânciaorientada de P até o plano coordenado-
yz é chamada de coordenada x, a distância orientada de P até o plano-xz é chamada de
coordenada y e a coordenada z é a distância orientada de P ao plano-xy.
Estas três coordenadas são chamadas de “coordenadas cartesianas retangulares do
ponto P ”, e existe uma correspondência biunívoca entre todas as triplas ordenadas de
números reais e os pontos do espaço tridimensional geométrico
O ponto (3, 4, 5) está representado na Figura (4.2). Os três planos coordenados
dividem o espaço R3 em oito partes, denominadas “oitantes”.
Propriedade 4.1.
a) Uma reta é paralela ao plano-yz se, e somente se, todos os pontos da reta tiverem a
mesma ordenada x.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 237
b) Uma reta é paralela ao plano-xz se, e somente se, todos os pontos da reta tiverem a
mesma ordenada y.
c) Uma reta é paralela ao plano-yx se, e somente se, todos os pontos da reta tiverem a
mesma ordenada z.
No espaço tridimensional R3, se uma reta for paralela a dois planos que se interceptam,
ela será paralela à reta de interseção dos dois planos.
Propriedade 4.2.
Sejam P (x1, y1, z1) e Q(x2, y2, z2) dois pontos no espaço tridimensional.
a) Se os pontos estão sobre uma reta paralela ao eixo-x, então a distância orientada de
P a Q denotada
−→
PQ, será dada por
−→
PQ = x2 − x1
b) Se os pontos estão sobre uma reta paralela ao eixo-y, então a distância orientada de
P a Q denotada
−→
PQ, será dada por
−→
PQ = y2 − y1
c) Se os pontos estão sobre uma reta paralela ao eixo-z, então a distância orientada de
P a Q denotada
−→
PQ, será dada por
−→
PQ = z2 − z1
Definição 4.2.
A distância não orientada entre os pontos P (x1, y1, z1) e Q(x2, y2, z2) é dada por
‖ PQ ‖=√(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2
Exemplo 4.1.
A distância não orientada entre os pontos P (−2, 1, 5) e Q(2, 4, 2) é dada por
‖ PQ ‖=√(−2− 2)2 + (1− 4)2 + (5− 2)2 = √34
Propriedade 4.3.
As coordenadas do ponto médio do segmento de reta com extremos P (x1, y1, z1) e
Q(x2, y2, z2) são dadas por:
x =
x2 + x1
2
, y =
y2 + y1
2
, z =
z2 + z1
2
Exemplo 4.2.
As coordenadas do ponto médio do segmento da reta que une os pontos do Exemplo
(4.1) é dada por
x =
−2 + 2
2
= 0, y =
1 + 4
2
=
5
2
, z =
5 + 2
2
=
7
2
Definição 4.3.
O gráfico de uma relação em R3 é o conjunto de todos os pontos (x, y, z) cujas
coordenadas são números que satisfazem a relação.
238 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Definição 4.4.
Uma esfera é o conjunto de todos os pontos no espaço tridimensional, equidistantes
de um ponto fixo. O ponto fixo é chamado “centro da esfera”, e a medida da distância
constante é chamada de “raio da esfera”.
A equação da esfera de raio r e centro (h, k, l) é: (x− h)2 +(y− k)2 +(z− l)2 = r2
Propriedade 4.4.
A equação de segundo grau da forma x2+y2+z2+Gx+Hy+Lz+J = 0 representa
uma esfera, (equação geral), um ponto ou um conjunto vazio.
Exemplo 4.3.
Determine o raio e centro da esfera: x2 + y2 + z2 − 4x− 4x− 2z = 2.
Solução.
Completando quadrados, podemos escrever na forma: (x−2)2+(y−3)2+(z−1)2 = 42.
Assim, o gráfico é uma esfera de centro (2, 3, 1) e raio r = 4.
Exemplo 4.4.
Ache uma equação da esfera tendo os pontos P (9,−4, 0) e Q(−5, 6,−2) como extremos
de um diâmetro.
Solução.
Pelos dados do problema temos que o centro da esfera é o ponto médio do segmento
não orientado PQ isto é, o centro é o ponto C(2, 1, −1) e o raio da esfera é
CQ =
√
(−5− 2)2 + (6− 1)2 + (−2 + 1)2 =
√
75
isto é o raio é r =
√
75.
Assim a equação pedida é (x− 2)2 + (y − 1)2 + (z + 1)2 = 75.
4.1.1 Vetores no espaço tridimensional
Definição 4.5.
Um vetor ~u no espaço tridimensional é uma tripla ordenada de números reais (a1, a2, a3).
Os números a1, a2 e a3 são chamados de componentes do vetor ~u = (a1, a2, a3).
Um vetor em R3 pode ser representado como o feito para R2 por um segmento de reta
orientado.
Se ~u = (a1, a2, a3) é um vetor em R3 então, ele representa um segmento orientado
de ponto inicial P (x, y, z) e extremo Q(x + a1, y + a2, z + a3). Quando P (0, 0, 0) é a
origem de coordenadas, temos que o ponto Q(a1, a2, a3) pode ser representado pelo vetor
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 239
~u = (a1, a2, a3) chamado de “representação posicional ”, assim temos que qualquer ponto
do espaço R3 está associado biunívocamente a um vetor de origem (0, 0, 0) e extremo
Q(a1, a2, a3).
6
�
�
�
�
��=
-
z
y
x
�
�
�
��
P (x, y, z)
Q(x+ a1, y + a2, z + a3)
~u = (a1, a2, a3)
Figura 4.3:
O “módulo” de um vetor ~u = (a1, a2, a3) é o comprimento de sua representação
posicional e será denotado por ‖ ~u ‖=
√
a21 + a
2
2 + a
2
3.
O vetor nulo é da forma ~u = (0, 0, 0).
A direção e o sentido de um vetor não nulo em R3 são dados por três ângulos chamados
ângulos de direção de um vetor.
Definição 4.6.
Os ângulos de direção de um vetor não nulo ~u = (a1, a2, a3) são os três ângulos que
têm a menor medida não negativa em radianos α, β e γ medidos a partir dos eixos
positivos x, y e z respectivamente, até a representação posicional do vetor.
6
�
�
�
�
��=
-0
z
y
x
a2
a1
P (a1, a2, a3)
�
���
(a1, a2, 0)
�
�
�
�
Z
ZZ
a3
Figura 4.4:
A medida em radianos de cada ângulo de um
vetor, é maior ou igual a zero, e menor ou igual
a pi. Os ângulos de direção α, β e γ do vetor
~u = (a1, a2, a3) da Figura (4.4) são:
α = ](P0a1), β = ](P0a2) e γ = ](P0a3)
Na Figura (4.4) observamos que o triângulo
POa1 é retângulo, logo, cosα =
a1
‖ ~u ‖ .
Expressões análogas podem ser encontradas
para cos β e cos γ, e temos que cos β =
a2
‖ ~u ‖
e cos γ =
a3
‖ ~u ‖ . Estes cossenos assim obtidos são
chamados de “cossenos diretores do vetor ~u ”.
O vetor nulo não tem ângulos de direção, e portanto, não possui cossenos diretores
240 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Definição 4.7. Produto escalar.
Dados dois vetores ~u = (a1, a2, a3) e ~v = (b1, b2, b3), o produto escalar de ~u e ~v
denotado ~u · ~v, é definido pelo número real
~u · ~v = a1b1 + a2b2 + a3b3
Definição 4.8. Ângulo entre dois vetores.
Dados dois vetores ~u = (a1, a2, a3) e ~v = (b1, b2, b3), o cosseno do ângulo θ entre
eles é dado por:
cos θ =
~u · ~v
‖ ~u ‖ · ‖ ~v ‖ =
a1b1 + a2b2 + a3b3√
a21 + a
2
2 + a
2
3
√
b21 + b
2
2 + b
2
3
Definição 4.9. Produto vetorial.
Dados dois vetores ~u = (a1, a2, a3) e ~v = (b1, b2, b3), o produto vetorial de ~u e ~v,
denotado ~u× ~v é definido pelo vetor
~u× ~v =
∣∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣∣
onde ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) e ~k = (0, 0, 1) (base canônica de R3).
Propriedade 4.5.
Dados dois vetores ~u = (a1, a2, a3) e ~v = (b1, b2, b3):
a) Dizemos que são paralelos, se ~u = k~v para algum k ∈ R.
b) Dizemos que são ortogonais, se ~u · ~v = 0.
c) O produto vetorial ~u× ~v, sempre é ortogonal a −→u e −→v .
4.2 O espaço n-dimensional
Todo conjunto ordenado de n números x1, x2, x3, · · · , xn denota-se (x1, x2, x3, · · · , xn)
ou P (x1, x2, x3, · · · , xn) e chama-se ponto do espaço aritmético n-dimensional Rn, os nú-
meros x1, x2, x3, · · · , xn são denominados “coordenadas do ponto” P = P (x1, x2, x3, · · · , xn).
Todo vetor no espaço Rn é caracterizado por dois pontos, um P (x1, x2, x3, · · · , xn)
chamado “ponto inicial ” e outro Q(y1, y2, y3, · · · , yn) chamado “ponto final ”; além disso
o que também caracteriza um vetor em Rn é a direção que ela representa. Assim o vetor
~v ∈ Rn podemos escrever como: ~v = −→PQ = Q−P = (y1−x1, y2−x2, y3−x3, · · · , yn−xn).
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 241
Se P é o ponto da origem de coordenadas, então
~v =
−→
PQ = Q− P = (y1, y2, y3, · · · , yn) .= Q ∈ Rn
Isto quer dizer que todo vetor com “pontoinicial ” na origem de coordenadas pode ser
tratado como um ponto do espaço Rn.
A distância não orientada entre os pontos P (x1, x2, x3, · · · , xn) e Q(y1, y2, y3, · · · , yn)
é determina pela fórmula
d(P, Q) = ‖PQ‖ =
√
(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2 + · · ·+ (xn − yn)2 (4.1)
Seja A ⊆ Rn um conjunto arbitrário de n pontos do espaço n-dimensional. Se a cada
ponto P (x1, x2, x3, · · · , xn) ∈ A corresponde um único número real f(A) ∈ B ⊆ R
bem determinado (relacionado) por f(P ) = f(x1, x2, x3, · · · , xn), dizemos que sobre o
conjunto A está definida uma relação numérica f : A ⊆ Rn −→ B ⊆ R de n variáveis:
x1, x2, x3, · · · , xn.
O conjunto A ⊆ Rn é chamado domínio da relação f e denotado D(f), e o conjunto
B = {u ∈ R /. u = f(P ), P ∈ A } é chamado imagem ou campo de valores da relação
u = f(P ).
Para o caso particular n = 2, a relação de duas variáveis z = f(x, y) pode-se considerar
como uma relação entre os pontos do plano-xy no espaço geométrico tridimensional. O
gráfico de z = f(x, y) é o conjunto dos pontos Gf = { (x, y, z) ∈ R3 /. z = f(x, y) }
é o gráfico de uma relação, em geral é uma superfície em R3.
Ao definir uma relação f sobre um conjunto A com imagem no conjunto B, denotado
por f : A −→ B, estamos associando a cada a ∈ A um elemento b ∈ B para todos os
elementos de A.
O que caracteriza o nome de uma relação é o contradomínio B da mesma.
Se B é um conjunto de:
• números reais, então teremos uma relação real;
• vetores, então teremos uma relação vetorial;
• matrizes, então teremos uma relação matricial;
• números complexos, então teremos uma relação complexa.
Quando tivermos uma relação real, e o conjunto A for subconjunto de Rn, resulta uma
relação de n variáveis.
242 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
4.3 Superfícies quadráticas
Suponhamos A, B, C, D, E, G, H, I, e , J sejam números reais fixos.
No plano, toda equação da forma
Ax2 +Bxy + Cy2 +Dx+ Ey + F = 0 (4.2)
representa uma curva (cônica).
Mostra-se que a circunferência, parábola, elipse e hipérbole, estão representadas por
estas equações (4.2) de segundo grau.
No espaço, a equação mais geral de segundo grau
Ax2 +By2 + Cz2 +Dxy + Exz + Fyz +Gx+Hy + Iz + J = 0 (4.3)
determina uma superfície.
Existem alguns casos especiais na equação (4.3) que a superfície representa uma esfera,
ou cilindro. Toda equação da forma (4.3) que não se reduz a um cilindro, plano, reta ou
ponto, corresponde a uma superfície chamada quádrica.
4.3.1 Elipsóide
Figura 4.5:
A equação analítica do elipsóide com centro no
ponto (0, 0, 0) é
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1.
Supondo que as constantes a, b e c são todas po-
sitivas. Estas constantes são as medidas dos semi-
eixos das três elipses obtidas no corte do elipsóide
pelos planos coordenados:
• x
2
a2
+
y2
b2
= 1 no plano-xy quando z = 0
• x
2
a2
+
z2
c2
= 1 no plano-xz quando y = 0
• y
2
b2
+
z2
c2
= 1 no plano-xyz quando x = 0
No primeiro octante, os pontos de cortes do elipsóide com os eixos coordenados são
os pontos (a, 0, 0), (0, b, 0) e (0, 0, c); na Figura (4.5) aparecem estes pontos junto com os
cortes do elipsóide com os planos coordenados no primeiro octante.
O elipsóide nunca é o gráfico de uma função real de duas variáveis reais, pois geralmente
ocorrem dois cortes por retas verticais.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 243
No entanto, podemos separá-lo em dois gráficos, dados pelas duas funções
z = f(x, y) = c
√
1− x
2
a2
− y
2
b2
ou z = g(x, y) = −c
√
1− x
2
a2
− y
2
b2
A equação do elipsóide com centro no ponto (x0, y0, z0) é
(x− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
+
(z − z0)2
c2
= 1
desta igualdade, podemos obter outra similar à equação geral (4.3).
Exemplo 4.5.
Identificar a superfície dada por: 2x2 + 4y2 + 6z2 − 2x+ 4y − 15z = 10.
Solução.
Da equação 2x2 + 4y2 + 6z2 − 2x+ 4y − 15z = 10 tem-se;
2(x− 1
2
)2 + 4(y +
1
2
)2 + 6(z − 5
4
)2 =
167
8
(x− 1
2
)2
167
16
+
(y +
1
2
)2
167
32
+
(z − 5
4
)2
167
48
= 1
A superfície é uma elipsóide.
4.3.2 Parabolóide
Parabolóide elíptico
A equação analítica do parabolóide elíptico com centro no ponto (0, 0, 0) é
x2
a2
+
y2
b2
±
z = 0 supondo as constantes a > 0 e b > 0.
Figura 4.6:
Não há cortes do parabolóide elíptico com os eixos coor-
denados, exceto pela origem: tomando duas variáveis nulas
na equação do parabolóide elíptico, obtemos sempre a origem
(0, 0, 0), que é o vértice do parabolóide; o mesmo ocorre com
o corte do parabolóide elíptico com o plano coordenado z = 0,
que é só a origem (0, 0, 0).
Já os cortes com planos paralelos ao plano-xy, quando não-
vazios, são as elipses dadas por
x2
a2
+
y2
b2
= k
O corte do parabolóide elíptico com os planos coordenados
244 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
verticais y = 0 e x = 0, são as parábolas dadas por
z = ± 1
a2
x2, z = ± 1
b2
y2
Convém observar que o que é exibido nos gráficos de parabolóides é só uma parte do
parabolóide elíptico que se estende indefinidamente “ para cima” (ou em alguma direção),
como ocorre com a parábola, no entanto, basta entender o comportamento do parabolóide
na vizinhança do vértice, pois o resto é bastante previsível.
Além do elipsóide (que é limitado nos seis sentidos do espaço tridimensional), o pa-
rabolóide elíptico é a única quádrica que tem algum dos seis sentidos limitados, no caso,
“para baixo” (ou em alguma direção). Também observamos que tomando a = b na equa-
ção analítica (padrão), obtemos um parabolóide circular, que sempre é uma superfície de
revolução.
O parabolóide elíptico evidentemente é o gráfico da função real
z = f(x, y) =
x2
a2
+
y2
b2
de duas variáveis reais obtida da equação analítica.
A equação do parabolóide elíptico com centro no ponto (x0, y0, z0) é
(x− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
± (z − z0) = 0
Exemplo 4.6.
Identificar a superfície dada por: 2x2 + 3y2 + 6x+ 12y − 4z = 0.
Solução.
Escrevemos a equação 2x2 + 3y2 + 6x+ 12y − 4z = 0 na forma:
2(x+
3
2
)2 + 3(y + 2)2 − 4z = 66
4
(x+
3
2
)2
1
2
+
(y + 2)2
1
3
− (z + 33
8
) = 0
A superfície é um parabolóide elíptico .
Parabolóide hiperbólico
A equação analítica do parabolóide elíptico com centro (0, 0, 0) é
x2
a2
− y
2
b2
± z = 0
supondo as constantes a > 0 e b > 0.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 245
Figura 4.7:
Não há cortes do parabolóide hiperbólico com
os eixos coordenados, exceto pela origem: tomando
duas variáveis nulas na equação do parabolóide hi-
perbólico, obtemos sempre a origem (0, 0, 0), que é
o ponto de sela do parabolóide.
Já o corte do parabolóide hiperbólico com o
plano-xy é o par de retas concorrentes dadas por
a|y| = b|x| e o corte do parabolóide hiperbólico
com os planos coordenados verticais y = 0 e x = 0,
são as parábolas dadas por
z =
1
a2
x2, z = − 1
b2
y2
Convém observar que o que é exibido nos gráficos desta superficie é só uma parte
do parabolóide hiperbólico, que se estende indefinidamente em todos os seis sentidos do
espaço tridimensional; no entanto, basta entender o comportamento do parabolóide na
vizinhança do ponto de sela, pois o resto tem um comportamento semelhante.
Também observamos que o parabolóide hiperbólico nunca é uma superfície de revolu-
ção.
O parabolóide hiperbólico evidentemente é o gráfico da função real
z = f(x, y) =
x2
a2
− y
2
b2
Por outro lado, os cortes por planos verticais paralelos aos eixos coordenados, sempre
resultam em parábolas.
A equação do parabolóide hiperbólico com centro no ponto (x0, y0, z0) é
(x− x0)2
a2
− (y − y0)
2
b2
± z = 0
Exemplo 4.7.
Identificar a superfície dada por: 2x2 − 3y2 + 6x− 12y − 4z = 0.
Solução.
Escrevemosa equação 2x2 − 3y2 + 6x− 12y − 4z = 0 na forma:
2(x+
3
2
)2 − 3(y + 2)2 − 4z = −15
2
2(x+
3
2
)2 − 3(y + 2)2 − 4(z − 15
8
) = 0
246 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
(x+
3
2
)2
2
− (y + 2)
2
4
3
− (z − 15
8
) = 0
A superfície é um parabolóide hiperbólico.
4.3.3 Hiperbolóide
O Hiperbolóide elíptico de uma folha
Figura 4.8:
A equação analítica do hiperbolóide elíptico de uma
folha com centro no ponto (0, 0, 0) é
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 1,
sendo convencionado que as constantes a, b e c são todas
positivas.
As constantes a e b são os comprimentos dos semi-
eixos da elipse obtida no corte deste hiperbolóide pelo
plano coordenado z = 0, dada pela equação
x2
a2
+
y2
b2
= 1
que está no “gargalo” do hiperbolóide elíptico de uma
folha como mostra a Figura (4.8).
Os cortes do hiperbolóide elíptico de uma folha com
os planos coordenados verticais são as hipérboles.
Estas hipérboles, tem como equações:
x2
a2
− z
2
c2
= 1,
y2
b2
− z
2
c2
= 1
O hiperbolóide elíptico de uma folha nunca é o gráfico de uma função real de duas
variáveis reais pois quase sempre ocorrem dois cortes por retas verticais. No entanto,
podemos separá-lo em dois gráficos, dados pelas duas funções
z = f(x, y) = c
√
x2
a2
+
y2
b2
− 1 e z = g(x, y) = −c
√
x2
a2
+
y2
b2
− 1
cujo domínio é o anel plano ilimitado exterior ao “gargalo” do hiperbolóide.
As curvas de nível de cada uma destas funções aparecem na figura: são as elipses
vistas acima, dadas pelos cortes por planos horizontais, sendo que o “gargalo” sempre é a
elipse mínima.
A equação do hiperbolóide elíptico com centro no ponto (x0, y0, z0) é
(x− x0)2
a2
+
(y − y0)2
b2
− (z − z0)
2
c2
= 1
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 247
Exemplo 4.8.
Identificar a superfície dada por: 4x2 + y2 − 4z2 − 16x− 6y − 16z + 9 = 0.
Solução.
Escrevemos a equação 4x2 + y2 − 4z2 − 16x− 6y − 16z − 7 = 0 na forma:
4(x− 2)2 + (y − 3)2 − 4(z + 2)2 = 16
(x− 2)2
4
+
(y − 3)2
16
− (z + 2)
2
4
= 1
A superfície é um hiperbolóide de duas folhas, cujo eixo é paralelo com o eixo-z
O Hiperbolóide elíptico de duas folhas
Figura 4.9:
A equação analítica do hiperbolóide elíptico de
duas folhas com centro em (0, 0, 0) é
x2
a2
− y
2
b2
−
z2
c2
= 1
Supondo que as constantes a, b e c são todas
positivas. A constante c tem uma imediata iden-
tificação geométrica, pois os dois pontos (0, 0,±c)
são os vértices do hiperbolóide elíptico de duas fo-
lhas; além disto, são os únicos pontos de corte deste
hiperbolóide com os eixos coordenados.
Para observar isto, consideremos x = 0 na equa-
ção analítica acima e obtemos
y2
b2
+
z2
c2
= −1 que não possui solução (real) e portanto não
há cortes nem com o plano-yz nem com os eixos y ou z; no entanto, considerando y = 0
e z = 0 na equação analítica acima, resulta x2 = a2 e obtemos os dois pontos de vértice.
Os cortes do hiperbolóide elíptico de duas folhas com os planos coordenados verticais
são hipérboles.
Na Figura (4.9) o plano-xy interseção com o hiperbolóide determina a curva de equação
x2
a2
− y
2
b2
= 1
ela é um hipérbole. Já a interseção com o plano-xz determina a curva
x2
a2
− z
2
c2
= 1
que também é um hipérbole.
O hiperbolóide elíptico de duas folhas nunca é o gráfico de uma função real de duas
variáveis reais; no entanto, como sempre ocorrem dois cortes por retas verticais, podemos
248 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
separá-lo em dois gráficos, dados pelas duas funções
z = f(x, y) = c
√
1− x
2
a2
+
y2
b2
e z = g(x, y) = −c
√
1− x
2
a2
+
y2
b2
Exemplo 4.9.
Identificar a superfície dada por: 4x2 − 3y2 + 12z2 + 12 = 0.
Solução.
Escrevemos a equação 4x2 − 3y2 + 12z2 + 12 = 0 na forma:
4x2
12
− 4y
2
12
+ z2 = −1
−x
2
3
+
y2
3
− z2 = 1
A superfície é um hiperbolóide de duas folhas, cujo eixo coincide com o eixo-y .
4.3.4 O cone elíptico
A equação analítica do cone elíptico com centro no ponto (0, 0, 0) é da forma
x2
a2
+
y2
b2
− z
2
c2
= 0. Mais precisamente, dizemos que é uma superfície cônica de duas folhas, já
que o termo “cone” costuma ser usado para o sólido que esta superfície limita junto com
um, ou dois, planos.
Figura 4.10:
Supondo que as constantes a, b e c são todas
po- sitivas. As razões a/c e b/c destes parâme-
tros proporcionam os coeficientes ângulares da ge-
ratriz deste cone nos planos coordenados verticais,
ou seja, das retas concorrentes obtidas no corte
deste cone pelos planos coordenados y = 0 e x = 0
de equações, respectivamente,
z = ±a
c
x, z = ±b
c
y
Observe que o único corte do cone elíptico com
o plano-xy é dado pela origem, já que substituindo
z = 0 na equação-padrão do cone elíptico obtemos
x2
a2
+
y2
b2
= 0, cuja única solução é a
origem (x, y) = (0, 0).
Em particular, a origem é o único ponto de corte do cone elíptico com os eixos coor-
denados.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 249
O cone elíptico nunca é o gráfico de uma função real de duas variáveis reais; no entanto,
como sempre ocorrem dois cortes por retas verticais, podemos separá-lo em dois gráficos,
dados pelas duas funções
z = f(x, y) = c
√
x2
a2
+
y2
b2
e z = g(x, y) = −c
√
x2
a2
+
y2
b2
Concluímos este estudo resumido do cone elíptico observando que ao considerar a = b
na equação analítica, obtemos um cone circular, que sempre é uma superfície de revolução.
Esta superfície é usualmente utilizada para definir as curvas cônicas geometricamente: o
corte de qualquer plano com o cone circular é sempre uma cônica.
É interessante observar, entretanto, que o mesmo ocorre estudando um cone elíptico
qualquer.
Exemplo 4.10.
Identificar a superfície dada por: 4x2 − 3y2 + 2z2 + 8x+ 18y − 8z = 15.
Solução.
Escrevemos a equação 4x2 − 3y2 + 2z2 + 8x+ 18y − 8z = 15 na forma:
4(x+ 1)2 − 3(y − 3)2 + 2(z − 2)2 = 0
(x+ 1)2
1
4
+
(z − 2)2
1
3
=
(y − 3)2
1
3
A superfície é um cone elíptico.
4.3.5 Cilindros
Considera-se uma curva plana C. Todas as linhas retas que passam por C e são
perpendiculares ao plano de C formam uma superfície (cilindro). As linhas perpendiculares
são chamadas “geratrizes do cilindro”.
Se a linha curva C se encontra no plano-xy (ou num plano paralelo ao plano-xy) então
as geratrizes do cilindro são paralelas ao eixo-z e a equação do cilindro só tem como
variáveis x e y.
As equações dos cilindros com curva C nos plano-xy são:
• Cilindro parabólico x2 = 4cy
• Cilindro elíptico x
2
a2
+
y2
b2
= 1
• Cilindro hiperbólico x
2
a2
− y
2
b2
= 1
250 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
Os cilindros quádricos são o lugar geométrico tridimensional de equações de segundo
grau em duas variáveis, ou então, o que é mesma coisa, de equações de segundo grau em
três variáveis em que uma não aparece explícitamente.
Figura 4.11: Cilindro parabólico Figura 4.12: Cilindro elíptico
Figura 4.13: Cilindro hiperbólico
Nenhum valor da variável que não aparece deixa
de satisfazer a equação e, assim, fazem parte da su-
perfície cilíndrica todas as retas perpendiculares ao
plano determinado pelas duas variáveis que apare-
cem na equação, sempre que o pé da perpendicular
satisfaz a equação nas duas variáveis deste plano.
Com uma variável a menos, a equação de se-
gundo grau determina uma curva plana que, em
geral, é uma cônica não-degenerada deste plano;
assim obtemos, entre outros, os cilindros elípticos,
hiperbólicos e parabólicos.
Exemplo 4.11.
• Cilindro parabólico x2 − 8x+ 4y + 16 = 0
• Cilindro elíptico x
2
5
+
y2
7
= 1
• Cilindro hiperbólico x
2
7
− y
2
9
= 1
4.4 Superfíciesde revolução
Algumas quádricas podem ser superfícies de revolução, para isto basta que exibam uma
simetria em relação a algum eixo. Geometricamente, isto significa que são círculos todos
os cortes da superfície por uma família de planos paralelos; algebricamente, em termos
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 251
das equações analíticas apresentadas na classificação, isto ocorre quando pelo menos duas
das três constantes a, b ou c são idênticas.
No caso do elipsóide, por exemplo, sempre resulta uma superfície de revolução, bas-
tando para isso a igualdade de duas quaisquer destas constantes; assim obtemos os esfe-
róides e a esfera. No caso dos hiperbolóides e do parabolóide elíptico, a simetria axial só
ocorre quando a = b.
O parabolóide hiperbólico nunca apresenta simetria axial e portanto nunca é uma
superfície de revolução.
4.5 Pares de planos e superfícies imaginárias
Em certos casos, o lugar geometrico determinado por uma equação do segundo grau
nas três variáveis x, y e z não é uma das seis quádricas não-degeneradas nem um cilindro,
mas sim dois planos, reais ou imaginários, ou então uma superfície imaginária. (Situação
análoga ocorre em duas variáveis, originando as cônica degeneradas.)
Por exemplo, o par de planos verticais dados por x = 0 e x = 1, paralelos ao plano-
yz, é determinado pela equação do segundo grau nas três variáveis x, y e z dada por
x2 − x = 0
Quando a equação analítica dada na classificação não apresenta soluções reais não-
triviais, falamos exageradamente em superfícies imaginárias, o que significa que estas su-
perfícies só podem ser pensadas no espaço tridimensional complexo C3, de seis dimensões
reais; por exemplo, a equação x2 + 1 = 0 representa os dois planos paralelos imaginários
dados por x = i e x = −i e a equação
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
+ 1 = 0
que só tem soluções complexas, representa um elipsóide imaginário cujos seis vértices são
dados pelos pontos (±ia, 0, 0), (0, ±ib, 0) e (0, 0, ±ic) de C3.
4.5.1 Geometria das funções com valores reais
Sabemos que existem funções reais de uma variável real, f : A ⊂ R −→ B ⊂ R.
Também existem relações do tipo g : Rn −→ Rm, m, n ∈ N, no caso m = n = 1
coincidem com as relações reais de variável real.
Definição 4.10.
Sejam m, n ∈ N
1. Dizemos função vetorial de uma variável real a uma função do tipo f : R −→ Rm,
m > 1
252 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
2. Dizemos campo escalar a uma função do tipo f : Rn −→ R, n ≥ 1
3. Dizemos campo vetorial a uma função do tipo f : Rn −→ Rm, m > 1, n ≥ 1
Podemos observar que o que faz a diferencia entre campo escalar e vetorial, é seu
conjunto imagem. Se a imagem é um subconjunto de R será campo escalar, para o caso
no ser campo escalar, então será um campo vetorial.
Em qualquer dos dois casos, se o domínio de definição de f for um subconjunto A ⊂ Rn,
dizemos que f é uma função de várias variáveis.
Exemplo 4.12.
1. A função que a cada ponto do espaço associa sua temperatura é um campo escalar.
2. A função que a cada ponto do plano associa a velocidade do vento nesse ponto, é um
campo vetorial.
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 253
Exercícios 4-1
1. Achar a distância não orientada entre os pontos P e Q, e o ponto médio do segmento
de reta que os une:
1. P (3, 4, 2) eQ(1, 6, 3) 2. P (4, −3, 2) eQ(−2, 3, −5)
3. P (2, −4, 1) eQ(1/2, 2, 3) 4. P (−2, −1/2, 5) eQ(5, −1, 4)
5. P (−5, 2, 1) eQ(3, 7, −2) 6. P (2,−1, 5) eQ(−5, 1, 4)
7. P (3, 7, 2) eQ(4, 3, −1) 8. P (−√5, 2√3, 1) eQ(3, 7√3, −2√5)
9. P (−1, 3, 4) eQ(√2, 1
2
, −2)
2. Mostre que os três pontos P (1, −1, 3), Q(2, 1, 7) eR(4, 2, 6) são os vértices de um
triângulo retângulo e ache sua área.
3. 2. Determine se os três pontos P (3, 1,−1), Q(7, 2, 1) e R(6, 4, 2) são os vértices de
um triângulo retângulo e ache sua área.
4. Uma reta é traçada pelo ponto (6, 4, 2) ao plano perpendicular yx .Ache as coor-
denadas do ponto sobre a reta a uma distância de 10 unidades do ponto (0, 4, 0).
5. Resolva o exercício anterior se a reta for perpendicular ao plano-yz.
6. Uma reta é traçada pelo ponto (4, 2, 0) ao plano perpendicular yx . Ache as coor-
denadas do ponto sobre a reta a uma distância de 8 unidades do ponto (0, 2, 0).
7. Prove que os três pontos P (−3, 2, 4), Q(6, 1, 2) e R(−12, 3, 6) são colineares.
8. Ache os três vértices do triângulo cujos lados tem os pontos médios em (3, 2, 3), (−1, 1, 5)
e (0, 3, 4).
9. Para o triângulo com vértices em P (2, −5, 3), Q(−1, 7, 0) e R(−4, 9, 7), ache: 1.)
o comprimento de cada lado. 2.) o ponto médio de cada lado.
10. Mostre que toda equação da forma x2 + y2 + z2 +Gx+Hy + Jz + L = 0 pode ser
posta da forma (x− h)2 + (y − k)2 + (z − l)2 = K.
11. Mostre que toda equação da forma Ax2 +By2 +Bz2 +Gx+Hy+ Jz+L = 0 pode
ser posta da forma
(x− h)2
a
+
(y − k)2
b
+
(z − l)2
c
= 1.
12. Nos seguintes exercícios determine o gráfico da equação dada:
1. x2 + y2 + z2 − 8y + 6z − 25 = 0 2. x2 + y2 + z2 − 8x+ 4y + 2z − 4 = 0
3. x2 + y2 + z2 − x− y − 3z + 2 = 0 4. x2 + y2 + z2 − 6z + 9 = 0
5. x2 + y2 + z2 − 8x+ 10y − 4z + 13 = 0 6. x2 + y2 + z2 − 6x+ 2y = 4z + 19 = 0
254 Pinedo C. J. Q. & Castillo M. N.Q.
13. Nos seguintes exercícios ache a equação da esfera satisfazendo as condições dadas:
1. Um diâmetro é o segmento de reta tendo extremidades nos pontos P (6, 2, −5)
e Q(−4, 0, 7)
2. Ela é concêntrica com a esfera de equação x2 + y2 + z2 − 2y + 8z − 9 = 0.
3. Ela contêm os pontos (0, 0, 4), (2, 1, 3) e (0, 2, 6) e tem seu centro no plano-yx.
14. Prove analíticamente que as quatro diagonais unindo vértices opostos de um para-
lelepípedo retangular se interceptam ao meio.
15. Prove analíticamente que as quatro diagonais de um cubo têm o mesmo compri-
mento.
16. Nos seguintes exercícios ~u = (1, 2, 3), ~v = (4,−3,−1), ~w = (−5,−3, 5) e ~x =
(−2, 1, 6). Ache:
1. ~u+ 5~v, 7~w − 5~x, ||7~w|| − ||5~v||, ||7~w − 5~v||| .
2. 2u¯− ~w, 4~v + 6~w − 2~x, ||2~u|| − ||~w||, ||4~v + 6~w − 2~x||.
3. Ache os escalares a e b tais que a(~u+ ~v) = b(~x+ ~w).
4. Ache os escalares a, b e c tais que a~u+ b~v + c~w = ~x.
17. Para os seguintes pontos, ache os cossenos diretores do vetor ~u =
−→
PQ e teste a
resposta verificando que a soma dos seus quadrados é 1 (um).
1. P (3,−1, 4) e Q(7, 2, 4) 2. P (−2, 6, 5) e Q(2, 4, 1)
3. P (4,−3,−1) e Q(−2,−4,−8) 4. P (1, 3, 5) e Q(2,−1, 4)
18. Utilizar os pontos do exercícios anterior e ache o ponto R, tal que
1.
−→
PQ = 3
−→
PR. 2.
−→
PR = −2−→QR
19. Dados P (3, 2,−4) e Q(−5, 4, 2) ache o ponto R tal que 4−→PQ = −3−→PR.
20. Dados P (5,−4,−2) e Q(−3, 2, 4) ache o ponto R tal que 3−→PQ = −4−→PR.
21. Para os seguintes exercícios ache o cosseno do ângulo entre os dois planos dados:
1. 3x− 2y − 3z − 8 = 0 e 7x− 8y + 9z + 4 = 0
2. x− 9y + 4z − 4 = 0 e 8x− 6y + 8 = 0
3. 2x− 7y + 4z − 6 = 0 e 5x+ y + 5z + 12 = 0
22. Ache uma equação do plano satisfazendo as condições dadas:
Cálculo Integral e Funções de Várias Variáveis 255
1. Perpendicular á reta que passa pelos pontos (5, 1,−2) e (6, 2,−3) e contendo o
ponto (2,−2,−4).
2. Paralelo ao plano x− 4y + 2z = 1 e contendo o ponto (12, 5,−2).
3. Perpendicular ao plano 2x + 7y − 3z = 8 e contendo os pontos (−1, 2, 4) e
(1, 2,−3).
4. Perpendicular a cada um dos planos 2x− 3y + 4z = 10 e 4x+ 2y − 5z − 9 = 0 e
contendo o ponto (−4, 1, 2) .
5. Perpendicular ao plano-xy, contendo o ponto (−2,−1, 1) e fazendo um ângulo
com o plano 3x− 2y + 4z − 8 = 0 com mediada de arccos(1/3) radianos.
23. 8. Ache a distância entre as duas retas reversas:
x− 1
5
=
y − 2
3
=
z + 1
2
e
x+ 2
4
=
y + 1
2
=
z − 3
−3
24. Identifique geometricamente as superfícies definidas pelas equações:
1. x2 + y2 = 4 (em R2 e em R3) 2. x2 + 2y2 = 9 (em R2 e em R3)
3. 2x2 − y2 = 0 (em R2 e em R3) 4. 2x2 − z2 = 1 (em R2 e em R3)
5. x2 + 2y2