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MBA EM GESTÃO PÚBLICA 
CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO 
GUARANTÃ DO NORTE-MT/2015 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
Profª. Ma. Terezinha Márcia de Carvalho Lino 
 
SUMÁRIO 
 
PROGRAMA DA DISCIPLINA .............................................................................................. 4 
1.1 Ementa ............................................................................................................................ 4 
1.2 Objetivos ........................................................................................................................ 4 
1.3 Metodologia .................................................................................................................... 4 
CURRÍCULO RESUMIDO DA PROFESSORA ..................................................................... 4 
 
UNIDADE 1 – SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO .................................................................... 5 
1. INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 5 
2. CAPITALIZAÇÃO SIMPLES - JUROS SIMPLES ............................................................. 6 
2.1 Cálculo de juros simples ............................................................................................... 6 
2.2 Cálculo do valor futuro .................................................................................................. 6 
2.3 Cálculo da taxa de juros ................................................................................................ 6 
2.4 Cálculo do período ........................................................................................................ 7 
2.5 Homogeneidade entre taxa e tempo ............................................................................. 7 
2.6 Juros ordinários ou juros comerciais .......................................................................... 7 
2.7 Juros exatos ................................................................................................................... 7 
2.8 Juros bancários ............................................................................................................. 7 
2.9 Taxa proporcional .......................................................................................................... 8 
2.10 Cálculo de juros para períodos não inteiros .............................................................. 8 
3. CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA – JUROS COMPOSTOS .............................................. 10 
3.1 Equivalência de taxas de juros ................................................................................... 11 
 
UNIDADE II - DESCONTOS ................................................................................................ 17 
1. DUPLICATA .................................................................................................................... 17 
2. NOTA PROMISSÓRIA .................................................................................................... 17 
3. OPERAÇÕES COM DUPLICATAS ................................................................................. 18 
3.1 Cobrança simples de duplicatas ................................................................................ 18 
3.2 Desconto simples de duplicatas ................................................................................. 18 
3.2.1 Desconto racional ou desconto “por dentro” ................................................................ 19 
3.2.3 Desconto bancário ...................................................................................................... 22 
3.3 Aplicações práticas de desconto – Método Hamburguês......................................... 24 
 
UNIDADE III – FLUXO DE CAIXA ....................................................................................... 26 
1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 26 
2. FUNÇÃO DO FLUXO DE CAIXA .................................................................................... 26 
2.1 Fluxo de Caixa Realizado ............................................................................................ 26 
2.2 Fluxo de Caixa Projetado ............................................................................................ 26 
3. CARACTERÍSTICAS DO FLUXO DE CAIXA ................................................................. 27 
4. ESTRUTURA DO DEMONSTRATIVO DO FLUXO DE CAIXA ....................................... 27 
5. GERENCIANDO O FLUXO DE CAIXA ........................................................................... 28 
6. ELABORAÇÃO DO FLUXO DE CAIXA .......................................................................... 28 
6.1 Rotinas do Gerenciamento do Fluxo de Caixa ......................................................... 29 
6.2 Análise do Fluxo de Caixa ........................................................................................... 30 
6.2.1 Estouro de Caixa ....................................................................................................... 30 
7. CLASSIFICAÇÃO DOS FLUXOS DE CAIXA .................................................................. 31 
7.1 Fluxo de Caixa Operacional ........................................................................................ 32 
7.2 Fluxo de Caixa de Investimento .................................................................................. 34 
7.3 Fluxo de Caixa de Financiamento............................................................................... 34 
8. EQUIVALÊNCIA DE FLUXO DE CAIXA ......................................................................... 39 
8.1 Planos Equivalentes de Financiamento ..................................................................... 39 
8.1.1 Sistema Americano - Pagamento Final ...................................................................... 39 
8.1.2 Sistema Americano - Pagamento Periódico de Juros ................................................. 39 
8.1.3 Sistema Francês - Sistema Price ................................................................................ 40 
8.1.4 Sistema de Amortização Constante – SAC ................................................................. 40 
9. COEFICIENTE DE FINANCIAMENTO ............................................................................ 43 
REFERÊNCIAS ................................................................................................................... 55 
 
 
 
4 
PROGRAMA DA DISCIPLINA 
1.1 Ementa 
SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO: Capitalização simples - juros simples, Cálculo de 
juros simples, Cálculo do valor futuro, Cálculo da taxa de juros, Cálculo do período, 
Homogeneidade entre taxa e tempo, Juros ordinários ou juros comerciais, Juros 
exatos, Juros bancários, Taxa proporcional, Cálculo de juros para períodos não 
inteiros, Capitalização composta – juros compostos, Equivalência de taxas de juros. 
Fluxo de Caixa; Funções do Fluxo de Caixa; Gerenciamento do Fluxo de Caixa; 
Elaboração do Fluxo de Caixa; Fluxo de Caixa Operacional; Fluxo de Caixa de 
Financiamento; Fluxo de Caixa de Investimento; Planos de Financiamento: Price e 
SAC; Coeficiente de Financiamento. 
1.2 Objetivos 
Discutir os fundamentos de finanças e suas aplicações. Estudar Capitalização 
Simples e Composta, evidenciando a aplicabilidade na gestão financeira das 
empresas. Aprender sobre a utilização do Fluxo de Caixa como Ferramenta de 
Controle Financeiro. 
1.3 Metodologia 
Apresentação da fundamentação teórica com apoio de projeções e discussões com 
os alunos. Desenvolvimento de atividades práticas para aplicação e análise dos 
conceitos e ferramentas de estudados. 
CURRÍCULO RESUMIDO DA PROFESSORAÉ Mestre em Administração de Empresas - área de pesquisa Logística - pelas 
Faculdades Integradas de Pedro Leopoldo (2008), Especialista em Tecnologias de 
Informação e Comunicação no Ensino Fundamental (2011) pela Universidade 
Federal de Juiz de Fora, Especialista em Gestão Empresarial pela Fundação Getúlio 
Vargas (2000) e Graduada em Administração de Empresas pelo Unicentro Newton 
Paiva (1980). Atualmente, leciona na Faculdade de Ciências Contábeis e de 
Administração do Vale do Juruena (AJES), onde também atua como Diretora de 
Expansão Institucional. Tem experiência na área de Administração, atuando 
principalmente nos seguintes temas: Logística, Administração Financeira, Análise de 
Custos e Sistema de Informação Gerencial. e-mail: marcialino@ajes.edu.br. 
 
 
5 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
UNIDADE 1 – SISTEMA DE CAPITALIZAÇÃO 
 
1. Introdução 
 O sistema de capitalização possibilita conhecer o valor do dinheiro em 
determinado período no futuro, uma vez que o seu valor muda no tempo. 
Da mesma maneira utiliza-se a descapitalização para se conhecer o valor atual de 
uma quantia que seria resgatada ou paga em uma data futura. 
 
Exemplo: Capitalização 
 
 
 
Data 10/05/2015 10/07/2015 
 
Saldo de Aplicação R$10.000,00 R$12.000,00 
 
 Descapitalização 
 
 
 
NOMENCLATURAS 
 
PV = Valor Presente – valor atual; montante inicial; capital inicial; valor de 
aquisição; valor a vista; 
 
FV = Valor Futuro – montante final; valor nominal; valor de um título; valor do capital 
inicial mais juros; 
 
PMT = Pagamento – valor da prestação; valor de uma mensalidade; valor da 
parcela; 
 
n = Número de períodos – expressa sempre o número de períodos a que se refere 
a taxa; 
 
i = Taxa de Juro; 
 
j = Valor do Juros pagos durante um período. 
 
(KUHNEM, 2006, p. 4) 
 
 
 
6 
Juros = PV.i.n 
PV = Juros 
 ------------- 
 i.n 
FV = PV + PV .i.n VF = PV(1+i.n) 
 
 
2. Capitalização simples - juros simples 
 No sistema de capitalização simples a taxa de juros é aplicada ao final de 
cada período somente sobre o valor inicial (PV) da operação financeira. 
Exemplo: 
Aplicação R$1.000,00 - Taxa de juros = 10% 
 
Juros do 1º período R$ 100,00 
Juros do 2º período R$ 100,00 
Juros do 3º período R$ 100,00 
Juros do último período R$ 100,00 
 
2.1 Cálculo de juros simples 
 
 
 
 
 
2.2 Cálculo do valor futuro 
 
 
 ou 
 
 
 
2.3 Cálculo da taxa de juros 
 
 
 
 
 
 
i = juros 
 -------------- 
 PV n 
 
i = (FV – PV) 
 ------------------- 
 PV n 
 
PV = FV 
 ---------- 
 (1+i.n) 
FV = PV + Juros 
 
 
7 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
2.4 Cálculo do período 
 
 
 
 
 
 
2.5 Homogeneidade entre taxa e tempo 
Para efeito de cálculo, as grandezas de taxa e tempo deverão ser sempre 
iguais. 
Exemplo: Taxa: 1,5% ao mês e tempo de 12 meses 
 Taxa: 18% ao ano e tempo de 2 anos 
 
2.6 Juros ordinários ou juros comerciais 
São aqueles em que se utiliza o ano comercial para estabelecer a 
homogeneidade entre a taxa e o tempo. Logo, em juros ordinários todos os meses 
têm 30 dias e o ano 360 dias. 
 
2.7 Juros exatos 
 Os dias do mês são contados de acordo com o calendário do ano civil e o ano 
será de 365 dias ou 366 (ano bissexto). 
 
2.8 Juros bancários 
A taxa é calculada pelo ano comercial (360 dias), mas o tempo segue o 
princípio dos juros exatos, ou seja, segue o calendário do ano civil. 
 
 
 
n = juros 
 ----------- 
 PVi 
 
n = (FV – PV) 
 ---------------- 
 PVi 
 
 
 
 
8 
2.9 Taxa proporcional 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2.10 Cálculo de juros para períodos não inteiros 
 
Os juros de períodos não inteiros são calculados seguindo os seguintes critérios: 
 calcula-se os juros correspondentes ao período inteiro; 
 para o período fracionário, primeiramente, deve-se calcular a taxa 
proporcional ao período e em seguida utiliza-se essa taxa para calcular os 
juros correspondentes; 
 o juro total será a soma dos juros encontrados para o período inteiro e 
para o período fracionário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Duas taxas são proporcionais se o quociente das taxas for igual ao quociente 
dos respectivos períodos. 
 
 Fórmula: i1 = n1 
 -------- -------- 
 i2 n2 
(MATHIAS, 2010) 
 
 
9 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
 
 
 
1) Foi tomada emprestada uma quantia de R$1.000,00 pelo prazo de 2 anos com 
taxa de 10% a.a. Qual será o valor pago como juro? 
 
 
2) Quanto rende um principal de R$100,00 aplicado à taxa de 5% ao semestre e 
por um prazo de 2 anos? 
 
 
3) Qual o montante de um capital de R$1.000,00 aplicado à taxa de 10% a.a pelo 
prazo de dois anos? 
 
 
4) Em quanto tempo um capital de R$10.000,00 aplicado a 26,4% a.a: 
a) renderá R$4.620,00; 
b) elevar-se a R$16.160,00. 
 
 
5) Verificar se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais. 
 
 
6) Sendo dada a taxa de juros de 24% ao ano, determinar a taxa proporcional 
mensal. 
 
 
7) Sendo dada a taxa de 10% ao semestre, achar a taxa trimestral que lhe é 
proporcional. 
 
 
8) Calcular a taxa quadrimestral proporcional às seguintes taxas: 
a) 21% ao ano; 
b) 33% ao biênio; 
 
 
9) Determinar a taxa proporcional referente a 5 meses, dadas as taxas seguintes: 
a) 1% a.m; 
b) 2,5% ao bi; 
c) 12% a.s 
 
 
10) Calcular o juro simples comercial e o exato das seguintes propostas: 
a) R$800,00 a 20% a.a por 90 dias; 
b) R$1.100,00 a 27% a.a por 135 dias; 
c) R$2.800,00 a 30% a.a por 222 dias. 
 
Lista de exercícios – Capitalização Simples 
 
 
 
10 
Juros = FV – PV 
PV = FV/(1+i)n 
 
n = Ln (FV/PV) 
 --------------- 
 Ln (1+i) 
Juros = PVx(1+i)n – PV 
 
 
Juros = PV x [(1+i)n- 1] 
 
 n 
i = FV/PV - 1 
 
11) Qual o juro e qual o montante de um capital de R$1.000,00 que é aplicado à 
taxa de juros simples de 12% a.s, pelo prazo de 5 anos e 9 meses? 
 
 
12) Calcule o juro simples e o montante de: 
a) R$500,00 25%a.a por 8 meses; 
b) R$2.200,00 a 30,2% a.a por 2 anos e 5 meses; 
c) R$3.000,00 a 34% a.a por 19 meses. 
 
 
13) Qual a taxa de juro que, de um capital de R$1.200,00, gera um montante de: 
a) R$1.998,00 em 3 anos e 2 meses; 
b) R$1.470,00 em 10 meses; 
c) R$2.064,00 em 1 ano e 8 meses. 
 
 
14) Qual o capital que rende: 
a) R$150,00 a 18% a.a em 10 meses; 
b) R$648,00 a 21,6% a.a em 2 anos e 6 meses; 
c) R$1.500,00 a 30% a.a em 3 anos e 4 meses. 
 
 
15) Para uma taxa de 36% a.a, qual é a taxa proporcional de um dia: 
a)Pelo método dos juros exatos; 
b) Pelo método dos juros comerciais. 
 
3. Capitalização composta – juros compostos 
 É o método de juros sobre juros. A taxa de juros é aplicada ao final de cada 
período sobre o saldo devedor. Nesse regime os juros devidos e não pagos passam 
a ser capitalizados. 
 
Fórmulas utilizadas na capitalização composta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FV = PV (1 + i) n 
 
 
11 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
(1+im)12 = (1+ia) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3.1 Equivalência de taxas de juros 
 No regime de capitalização composta para alterar a unidade da taxa de juros 
a fim de compatilizá-la com a unidade do prazo, deve-se utilizar a seguinte fórmula: 
 
 
 
 
 Onde: im = taxa de juros mensal e ia = taxa de juros anual. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VF = FV = Valor Futuro ou Future Value (HP); 
VP = PV = Valor Presente ou Present Value (HP); 
i = Taxa de Juros ou Interest (juros em inglês); 
n = número de períodos envolvidos na operação. 
Ln = Logarítmo neperiano 
 DICA 
 
 
Duas taxas de juros são equivalentes quando, aplicadas ao mesmo Valor 
Presente durante períodos de tempos iguais conduzem ao mesmo valor 
futuro. 
 
 DICA 
 
 
 
12 
 
 
 
 
 
 
1) Uma pessoa toma emprestado R$1.000,00 a uma taxa de 2% a.m pelo prazo 
de 10 meses com capitalização composta. Qual o valor a ser devolvido? 
 
2) Um pessoa pretende compra uma casa por R$5.000,00 daqui a 6 anos. 
Quanto deve aplicar hoje para que possa comprar a casa no valor e prazo 
estipulados, se a taxa de juro for: 
a) 15% a.a. 
 
3) Qual o valor futuro gerado por um capital de R$ 1.000,00 aplicado pelos 
prazos e taxas abaixo: 
a) Taxa de 1% a.m por 12 meses; 
b) Taxa de 1,5% a.m por 3 anos; 
c) Taxa de 3% a.t por 18 meses; 
d) Taxa de 10% a.a por 120 meses. 
 
4) Que juro receberá uma pessoa que aplica R$1.000,00 conforme as hipóteses 
abaixo: 
a) Taxa de 2% a.m por um ano; 
b) Taxa de 1,5 % a.t por 2 anos; 
c) Taxa de 7% a.s por 36 meses. 
 
5) Para ter R$100.000,00 quanto devo aplicar hoje, se as taxas e prazos são os 
seguintes: 
a) Taxa de 1,5 a.m por um semestre; 
b) Taxa de 6% a.q por 4 anos; 
c) Taxa de 0,10% ao dia por 10 dias. 
 
6) O preço de um carro é de R$11.261,62 podendo este valor ser pago até o 
prazo máximo de 6 meses. O preço a vista é de R$10.000,00. Qual é a taxa 
mensal de juro cobrada nesta operação? 
 
7) Um banco anuncia que sua taxa para empréstimo é de 2,5% a.m 
(capitalização composta). Um cliente retirou R$20.000,00 e quando foi saldar 
sua dívida o gerente lhe disse que o valor era de R$ 31.193,17. Qual foi o 
tempo decorrente entre o empréstimo e a decisão de quitar a dívida? 
 
8) Para comprar determinado equipamento no valor de R$7.500,00 uma 
empresa aplicou R$6.000,00 a uma taxa de 3% a.m. Determine o tempo da 
operação. 
 
9) Qual é a taxa equivalente anual às seguinte taxas: 
a) 1% a.m; 
b) 2% a.b; 
c) 5% a.t; 
Lista de exercícios – Capitalização Composta 
 
 
13 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
d) 2,5% a.q; 
e) 8% a.s 
 
10) Em 200X a rentabilidade da caderneta de poupança foi de 31,66%. Qual a 
taxa de rentabilidade trimestral? 
 
11) A rentabilidade de uma aplicação é de 25% a.a. Sabendo-se que uma 
pessoa teve um ganho de R$980,00 por um período de 18 meses, quanto ela 
terá aplicado? 
 
12) Um terreno é vendido por R$200.000,00 a vista. A prazo e com uma taxa de 
2% a.m, o vendedor oferece dois planos: 
a) R$50.000,00 de entrada; R$55.181,96 em 6 meses e R$126.824,18 
em 12 meses; 
b) R$60.000,00 de entrada; R$102.480,77 em 6 meses e R$63.412,09 
em 12 meses; 
c) Qual será a melhor opção? 
 
13) Um sítio poderá ser pago com R$50.000,00 de entrada e R$100.000,00 em 
doze parcelas fixas, com taxa de juros de 2,5% a.m. Como opção o vendedor 
pede R$124.000,00 à vista. Qual a melhor alternativa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Adote a convenção comercial, ou seja, um mês = 30 dias; um ano = 360 dias 
 
Exercício 1 
Dada uma aplicação com rendimento de 10% ao mês, qual será o valor dos juros 
recebidos em função do investimento de R$1.000,00, durante um mês? 
 
Exercício 2 
Tendo um investidor aplicado R$1.000,00 a uma taxa de 10% ao mês, durante 1 
mês, qual deverá ser o valor de resgate da aplicação, ou seja, o Valor Futuro ao final 
da operação? 
 
Exercício 3 
Se você fizer uma aplicação de R$100,00, a uma taxa de juros simples de 3% ao 
mês, durante 2 anos, qual será o Valor Futuro a que terá direito ao final do seu 
investimento? 
 
Exercício 4 
Necessitando se capitalizar, você pegou um empréstimo de R$10.000,00. A linha de 
crédito por você escolhida cobra juros simples de 18% ao ano. Qual o valor que 
você deverá pagar para quitar o débito? 
a) No final de 1 ano; 
Lista de exercícios – Capitalização Simples e Composta 
 
 
 
14 
b) No final de 2 anos; 
c) Qual a melhor opção para a empresa? 
 
Exercício 5 
Calcular os juros de R$5.000,00, aplicados a juros simples durante 288 dias, à taxa 
de 250% a.a. 
 
Exercício 6 
Calcular o valor futuro do capital R$5.000,00, aplicado à taxa de 250% a.a em 288 
dias. 
 
Exercício 7 
Uma instituição financeira se propõe a lhe pagar, por uma aplicação de R$8.000,00, 
R$10.400,00, num prazo de 3 anos. Qual a taxa de juros simples praticada pela 
referida instituição? 
 
Exercício 8 
Por quanto tempo você deve manter R$10.000,00 aplicados a uma taxa de juros 
simples de 15% ao ano para atingir um valor de resgate igual a R$17.500,00? 
 
Exercício 9 
Suponha que você pegue um empréstimo pessoal no seu banco no valor de 
R$3.000,00, o qual será pago ao final de um período de 6 meses. Sabendo que o 
valor do empréstimo será capitalizado por meio de uma taxa de juros simples de 7% 
ao mês, qual será o valor dos juros que você deverá pagar? 
 
Exercício 10 
Pretendendo dispor de um capital de R$18.000,00 num prazo de 4 anos, quanto 
você deverá depositar em um aplicação cuja taxa de juros simples é de 20% ao 
ano? 
 
Exercício 11 
Dispondo hoje de R$5.000,00, você resolve aplicá-los a uma taxa de juros simples 
de 10% a.a . Quanto você terá daqui a 4 anos? 
 
Exercício 12 
Por quantos anos você deve manter R$1.000,00 aplicados a uma taxa de juros 
simples de 1% a.m, a fim de poder resgatar um valor total de R$1.300,00? 
 
Exercício 13 
Você tem uma obrigação de R$5.600,00 a vencer em 8 meses. Qual valor que você 
deverá aplicar hoje, a uma taxa de jurossimples de 18% a.a, para quitar esta 
obrigação? 
 
Exercício 14 
A que taxa de juros simples você aplicaria seu capital para atingir o objetivo de 
dobrar o seu valor num prazo de 5 anos? 
 
 
 
 
 
15 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
Exercício 15 
Você pretende realizar, hoje, um depósito em uma instituição financeira que lhe 
permita fazer duas retiradas de R$5.000,00, uma daqui a 6 meses e a outra ao final 
do 9º mês. Sabendo que a referida instituição irá remunerar o seu depósito com 
base em uma taxa de juros simples de 5% ao mês, qual deverá ser o valor do 
depósito? 
 
 
Exercício 16 
Dispondo de R$10.500,00, você decide investir todo o seu capital, distribuindo-o 
igualmente por três aplicações: 
Aplicação 1 i = 5% a.m n = 3 meses; 
 Aplicação 2 i = 7% a.m n = 2 meses; 
 Aplicação 3 i = 4% a.m n = 3 meses 
Pede-se: 
 A sua receita total referente aos juros ao final do terceiro mês. O valor resgatado 
no fim do segundo mês não poderá ser reaplicado. 
 
 
Exercício 17 
Suponha uma pessoa com R$100,00 de capital disponível. Se ela aplicar esse valor 
durante cinco meses em um banco, a uma taxa de 2% ao mês, quanto ela terá ao 
final do período se a instituição financeira fizer seus cálculos com base no regime de 
capitalização composto. 
 
 
Exercício 18 
Se eu quiser ter ao final de seis anos R$10.000,00, quanto devo aplicar hoje, pelo 
regime de capitalização composto, supondo uma taxa de juros anual de 10%. 
 
Exercício 19 
Você pegou emprestado R$2.000,00 hoje, para pagar este empréstimo com uma 
taxa de juros compostos de 10% ao ano. Sabendo que você terá que pagar 
R$2.928,20 para saldar sua dívida, qual será o prazo desse emprétimo? 
 
Exercício 20 
Você pegou um empréstimo de R$2.000,00 hoje. O regime de capitalização adotado 
nesse tipo de operação é o de juros compostos. A taxa aplicada sobre o valor do 
empréstimo é de 10% ao ano. Sabendo que você deverá pagar a dívida daqui a 4 
anos. Responda: 
a) Qual o valor que deverá ser pago no final dos 4 anos; 
b) Qual o valor dos juros. 
 
Exercício 21 
Utilizando a capitalização composta, calcule a taxa de juros que um banco está 
cobrando do seu cliente, se ele capta um valor hoje de R$500,00, para devolver em 
12 meses um montante de R$750,00? 
 
 
 
 
 
16 
Exercício 22 
Qual é a taxa anual equivalente a taxa mensal de 2%? 
 
Exercício 23 
Qual a taxa de juros mensal equivalente 12% a.a, pelo regime de capitalização 
composto? 
 
Exercício 24 
Qual o Valor Presente necessário para obter um Valor Futuro de R$1.500,00, após o 
período de 15 meses de aplicação a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês? 
 
 
Exercício 26 
Uma determinada aplicação paga juros anuais de 18%, no regime de capitalização 
composta. Como apresenta liquidez mensal, você resolve aplicar R$42.000,00 por 
um prazo de 4 meses. Qual será o saldo que você resgatará ao final deste prazo? 
Qual o valor dos juros recebidos? 
 
 
Exercício 27 
Qual a taxa mensal equivalente a 36% ao ano, para juros compostos? 
 
 
Exercício 28 
Você fez hoje um investimento de R$1.000,00 em títulos públicos que pagam uma 
taxa de 16% ao ano no regime de juros compostos. Qual será o valor deste seu 
investimento ao final de 10 meses? 
 
Exercício 29 
Qual é a taxa mensal equivalente (proporcional) a 36% ao ano, com capitalização 
simples? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
UNIDADE II - DESCONTOS 
1. Duplicata 
 A Duplicata é um título de crédito que pode ser emitido pelas empresas 
sempre que efetuarem vendas de mercadorias a prazo. 
 Vale destacar que a duplicata é um documento emitido pela empresa 
credora e enviado ao cliente para o aceite, e que é originária, exclusivamente, de 
atividades de compra e venda. 
 
2. Nota Promissória 
 A Nota Promissória é um título de crédito autônomo, próprio para operações 
financeiras realizadas entre empresas ou entre empresas e particulares, exemplo: 
empréstimos bancários, venda de imóveis e de veículos entre particulares. 
 Este documento é uma promessa de pagamento, que deve conter os seguintes 
requisitos essenciais, lançados por extenso em seu contexto 
 a denominação de Nota Promissória; 
 a soma do dinheiro a pagar; 
 o nome da pessoa a quem deve ser paga; 
 a assinatura do próprio punho do emitente; 
 o lugar do pagamento (a Nota Promissória que não indicar lugar do 
pagamento será pagável no domicílio do emitente). 
 
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
Modelo de Nota Promissória 
 
N° 1 / 02 Vencimento, 05 de Abril de 2015 
Valor R$ ***100,00*** 
A (os): cinco dias do mês de abril do ano de dois mil e dez*** 
 *** pagarei por esta única via de N O T A P R O M I S S Ó R I A 
 À Viagem Ltda. - CPF/CNPJ: 45.627.004-36 
OU À SUA ORDEM A QUANTIA DE: ***cem reais*** EM MOEDA CORRENTE 
NACIONAL. 
Pagável em: Juína 
Emitente: José da Silva Juína, 3 de Abril de 2015 
CPF/CNPJ: 402.126.324-02 
Endereço: Rua Luar, 22 Assinatura: José da Silva 
 
 
3. Operações com Duplicatas 
 As empresas efetuam transações junto aos bancos com as duplicatas emitidas. 
 As mais comuns são: 
a) cobrança simples de duplicatas; 
b) descontos de duplicatas. 
 
3.1 Cobrança simples de duplicatas 
 A cobrança simples consiste na remessa de títulos ao banco para que este 
efetue a cobrança aos respectivos devedores, na data do vencimento. 
 Para remeter os títulos ao Banco, a empresa os relaciona através de um borderô, 
ao qual anexa os respectivos títulos. 
 
3.2 Desconto simples de duplicatas 
 Se por algum motivo, a empresa precisar se capitalizar, poderá se dirigir a um 
banco e solicitar o adiantamento dos valores que tem a receber. A empresa 
possuidora do título de crédito transfere a propriedade do mesmo para o Banco. O 
Banco adianta hoje os pagamentos à empresa vendedora e no futuro, mais 
 
 
19 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
especificamente na data do vencimento, recebe diretamente do cliente (comprador 
da mercadoria). 
 Esse processo recebe o nome de Desconto de Duplicata. Para realizar tal 
operação o Banco cobra uma taxa, e cobra adiantado, liberando para o vendedor da 
mercadoria que está descontando a duplicata, um valor menor do que o valor 
nominal do título. A diferença entre o valor liberado hoje e o valor nominal são os 
juros da operação de desconto. Este é o retorno que o Banco obtém por adiantar 
recursos a quem deles está necessitando. 
 Os Descontos Simples são obtidos com cálculos lineares (análogo ao método 
de juros simples), ou seja, a taxa de desconto incide sobre o valor futuro ou 
montante. Esse é o método mais utilizado no Brasil. Para se obter o valor do 
desconto, multiplica-se o valor do título ou duplicata pela taxa de desconto e pelo 
prazo que antecede o seu vencimento. Os prazos de uma operação podem ser 
dados tanto em termos comerciais quanto em termos do calendário civil. O mês 
comercial tem, sempre, 30 dias. O ano comercial tem 360 dias, ao invés dos 365 
constantes do calendário anual. 
3.2.1 Desconto racional ou desconto “por dentro” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desconto obtido pela diferença entre o FV (valor nominal) e o PV 
(valor atual) de uma duplicata que seja paga “n” períodos antes do seu 
vencimento. 
 (MATHIAS, 2010) 
 
INFORMAÇÕES IMPORTANTES 
 
 Valor Nominal = Valor Futuro = Valor de Face = é o valor de 
um títulona data do vencimento (FV); 
 
 Valor Atual = Valor Presente é o Valor Descontado (PV); 
 
 Desconto = quantia a ser diminuída do do FV. 
 
 DICA 
 Os 
prazos de 
uma 
operação 
podem ser 
dados tanto 
em termos 
comerciais 
quanto em 
termos do 
calendário 
civil. O mês 
comercial 
tem, 
sempre, 30 
 
 
 
20 
 Desconto (D) = FV - FV 
 -------- 
 1 +id.n 
 
id = FV 
 --------- - 1 x ------- 
 PV n 
 Desconto (D) = FV - PV 
 
Valor Descontado (PV) = FV 
 ----------- 
 (1+id.n) 
 Desconto (D) = FV.i.n 
 ------------ 
 1 +id.n 
 
Fórmulas Para Desconto Racional ou por Dentro 
 
1) Equação do Valor Descontado (PV) 
 
 
 
 
 
 
 
2) Equação do Valor do Desconto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Taxa de Desconto 
 
 
 1 
 
 
 
 
 
3.2.2 Desconto comercial ou desconto “por fora” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Equação do Valor do Desconto 
 
 
 
 
 
É o valor resultante do cálculo dos juros simples sobre o FV (valor nominal) 
da duplicata que será paga “n” períodos antes de seu vencimento. 
 (MATHIAS, 2010) 
Desconto (D) = FV.if.n 
 
Id = FV – PV 
 ------------ 
 PV.n 
 
 
21 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
If = 1 - PV 1 
 --------- x ------- 
 FV n 
 
2) Equação do Valor Descontado (PV) 
 
 
 
 
 
 
3) Taxa de desconto por fora 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Relação entre as Taxas de Desconto “por dentro” e “por fora” 
 
a) De posse dos dados da taxa de desconto “por dentro” obtêm-se a taxa de 
desconto “por fora” utilizando a seguinte fórmula: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) De posse dos dados da taxa de desconto “por fora” obtêm-se a taxa de 
desconto “por dentro” utilizando a seguinte fórmula: 
 
 
 
 
Valor Descontado (PV) = FV - D Valor Descontado (PV) = FV(1 – if.n) 
 
 A taxa de desconto “por fora” é aplicada sobre o FV para produzir o 
PV. 
 A taxa de desconto “por dentro” é aplicada sobre o PV para produzir o 
FV. 
 
(PUCCINI, 2006) 
 
If = id 
 -------------- 
 1 – id . n 
 
Id = if 
 -------------- 
 1 – if . n 
If = FV – PV 
 ------------- 
 FV.n 
 DICA 
 
 
 
22 
3.2.3 Desconto bancário 
 
 Corresponde ao desconto comercial acrescido de uma taxa profixada cobrada 
sobre o valor nominal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desconto Bancário = Desconto Comercial + (FVxTaxa Depesa Administrativa) 
Desconto Bancário = (FV.if.n) + (FV x Taxa Depesa Administrativa) 
PV = FV – Desconto Bancário 
 
 
23 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
 
Execício 1 
Uma duplicata com valor nominal de R$5.500,00 que irá vencer em 3 meses foi 
descontada em um Banco a uma taxa de 3% ao mês. O Banco cobra como taxa 
administrativa 2%. Quanto o proprietário do título irá receber? 
 
Exercício 2 
Devido a um estouro de caixa, não previsto, o Administrador Financeiro decidiu 
descontar títulos no Banco onde normalmente opera. A soma do valor nominal dos 
títulos que possuía em carteira era de R$1.450,00, todos com vencimento para 
daqui a 3 meses. Após a finalização da operação foi creditado em sua conta 
corrente R$1.000,00. 
Calcule: 
a) Taxa de desconto racional ou “por dentro”; 
b) Taxa de desconto comercial. 
 
Exercício 3 
Suponha que você tenha vendido hoje um lote de mercadorias no valor de 
R$1.000,00. O pagamento referente a tal venda deverá ser efetuado num prazo de 
90 dias. Porém, necessitando cumprir alguns compromissos de ordem financeira, 
você decide ir ao banco descontar a duplicata relativa a esta venda. A informação 
que você recebe do gerente do banco é que a taxa de desconto praticada pela 
instituição é de 4% ao mês. Sendo assim, que valor você receberá se descontar a 
duplicata? A taxa de despesa administrativa é de 2%. 
 
Exercício 4 
Um título de R$1.100,00 com vencimento previsto para daqui a um mês foi 
descontado em um banco. O valor resultante da operação foi de R$1.000,00. Qual 
foi a taxa de desconto praticada pelo banco? 
 
Exercício 5 
Um empresário descontou uma duplicata com valor nominal de R$12.000,00, com 
vencimento em 5 meses. Determinar a taxa mensal de desconto racional, sabendo-
se que o desconto aplicado foi de R$2.400,00. 
 
Exercício 6 
Uma loja procurou um banco para descontar uma nota promissória com valor 
nominal de R$65.000,00, com vencimento em 8 meses a uma taxa racional simples 
de 3% a.m. Pede-se: 
a) O valor recebido pela loja; 
b) O valor do desconto. 
 
 
 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
 
 
24 
3.3 Aplicações práticas de desconto – Método Hamburguês 
 
 Esses procedimentos de cálculo de descontos de títulos de crédito (duplicatas e 
promissórias, por exemplo), utilizando o regime de juros simples, são amplamente 
utilizados nas relações estabelecidas entre as empresas e os bancos no seu dia-a-
dia. Portanto, o real entendimento e domínio desse tipo de operação são de grande 
valia para aqueles que, em suas atividades cotidianas, estão em contato com o 
mercado. 
 O Método Hamburguês pode ser aplicado também nas operações de descontos 
de títulos de Crédito. 
 Nas operações de desconto que envolvem vários títulos, as instituições 
financeiras, mais especificamente os bancos comerciais, trabalham com um tipo de 
documento chamado Bordereaux ou “Borderô”, que nada mais é que uma listagem 
das duplicatas e/ou promissórias envolvidas na operação, contendo as respectivas 
datas de vencimento e valores nominais. É importante observar que todos os títulos 
constantes de um Borderô devem estar sujeitos à mesma taxa de desconto. 
Abaixo se encontra um exemplo simplificado de um Borderô. 
 
 
BORDERÔ DE DESCONTO 
CEDENTE: Casa do Construtor Data: 20 de janeiro 
Nº. DP Sacado Vencimento Valor 
1001 Construtora X 10/02 1.000,00 
1002 Casa Nova 20/02 2.000,00 
1004 José da Silva 10/03 1.500,00 
1006 Sebastião Dias 20/03 2.000,00 
1007 Carlos Batista 30/03 6.000,00 
1009 Vai Vai Construtora 02/04 4.000,00 
1011 Casas Novo Mundo 10/04 3.500,00 
 
 Fórmula: 
 
 Desconto = ∑Nos x id 
 -------------- 
 3.000 
 
 
Onde, o ∑Nos é obtido pela soma dos produtos (valor x nº. de dias até o vencimento) 
para cada título descontado, e id, é a taxa mensal de desconto simples da operação. 
 
 
25 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
 
Exercício 1 
Encontre o valor total do desconto e o valor descontado, ou seja, o valor que a 
empresa Casa do Construtor receberá do Banco, se a taxa de desconto aplicada for 
de 3% ao mês. Vamos considerar a data da negociação sendo dia 20 de janeiro de 
2015, e o mês comercial, isto é com 30 dias. 
 
 
Nº. deDP Vencimento Valor Nº. de Dias de Desconto 
1001 10 de fev 1.000,00 
1002 20 de fev 2.000,00 
1004 10 de março 1.500,00 
1006 20 de março 2.000,00 
1007 30 de março 6.000,00 
1009 2 de abril 4.000,00 
1011 10 de abril 3.500,00 
 
 
Exercício 2 
Calcular, pelo Método Hamburguês, o valor total do desconto e o valor descontado 
(valor líquido) do borderô abaixo, sabendo que a taxa de desconto é de 3% ao mês. 
 
Prazo do 
Vencimento (dias) 
Valor 
30 200.000,00 
60 200.000,00 
90 300.000,00 
120 100.000,00 
 
 
Exercício 3 
Sua empresa está com caixa baixo. Precisando de capital de giro, para financiar 
suas atividades, você decide se dirigir ao banco, com o intuito de descontar alguns 
títulos resultantes de algumas operações mercantis anteriores. Sua carteira de 
títulos passíveis de descontos é constituída de: R$142.000,00 vencíveis em 30 dias, 
R$185.000,00 vencíveis em 60 dias e R$173.000,00 com vencimento num prazo de 
90 dias, todos a contar a partir da operação. Assuma que a taxa de desconto de 
duplicatas usada pelo seu banco é de 48% ao ano. Sendo assim, qual será o valor 
creditado na conta corrente da sua empresa em função desta operação? 
 
 
Exercício 4 
Você tem em seu poder uma única promissória com valor de face igual a 
R$2.800,00, e vencimento previsto para daqui a 3 meses. Suponha que você tenha 
uma dívida que deve ser paga integralmente hoje no valor de R$1.800,00. 
Chegando ao banco, você toma conhecimento de que a taxa de desconto simples é 
de 15% ao mês. Neste caso, sabendo que esta é a única opção para quitar o débito, 
você descontaria a promissória? Explique sua resposta. 
LISTA DE EXERCÍCIOS 
 
 
 
26 
UNIDADE III – FLUXO DE CAIXA 
1. Introdução 
O fluxo de caixa é um instrumento gerencial de grande importância na tomada 
de decisões empresariais, possuindo como objetivos básicos: 
 coletar dados; 
 organizar dados; 
 gerar subsídios (dados, informações) para previsões. 
 
2. Função do Fluxo de Caixa 
 O Fluxo de Caixa visa o controle rígido dos recursos financeiros da empresa, 
de forma a permitir antecipadamente a decisão quanto ao destino a ser dado aos 
recursos, bem como determinar como serão pagos os desembolsos. 
 
O Fluxo de Caixa é um instrumento de Gestão que provém da 
integração do contas a receber com o contas a pagar, podendo se 
referir ao passado (fluxo realizado) ou ao futuro (fluxo projetado). 
 
 2.1 Fluxo de Caixa Realizado 
 Quando se olha para o passado e se comparam as contas recebidas com as 
contas pagas. 
2.2 Fluxo de Caixa Projetado 
Quando se compara o contas a receber com o contas a pagar. 
O fluxo de caixa projetado permite visualizar, simultaneamente, o contas a pagar e 
o contas a receber e, conseqüentemente, decidir sobre: 
 o melhor momento da compra; 
 o melhor momento da venda à vista; 
 os momentos mais “carregados” do contas a pagar; 
 projetar “estouros / sobras” de caixa; 
 
 
27 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
3. Características do fluxo de caixa 
 O fluxo de caixa possui as seguintes características: 
 é imediato – o que indica que deva ser atualizado diariamente – 
garantindo assim uma visão realistas da situação financeira da empresa; 
 permite olhar tanto para o passado quanto para o futuro - o que 
possibilita ao administrador projetar, dia-a-dia dentro de determinados 
limites, a evolução de seu disponível. Dessa forma ele poderá tomar, com 
a devida antecedência, as medidas que se façam necessárias para 
enfrentar a escassez ou excesso de recursos; 
 de fácil análise - ou o dinheiro entrou ou não entrou. Ou saiu ou não 
saiu. 
 
4. Estrutura do Demonstrativo do Fluxo de Caixa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A- Entradas 
 Discriminação de todos os ingressos 
 
B- Saídas 
 Discriminação de todos os desembolsos 
 
C- Saldo no Período (A-B) 
 
D- Saldo Acumulado Anterior 
 
E- Saldo Acumulado Atual (C+D) 
 
 
 
 
 
 
 
Fluxo de Caixa ou Fluxo Financeiro 
 
 
 
28 
5. Gerenciando o Fluxo de Caixa 
 
 
 
+ 
 
 
 
- 
 
 
 
 = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. Elaboração do Fluxo de Caixa 
 
 O fluxo de caixa, a primeira vista, é uma ferramenta simples de ser utilizada, 
o que dificulta a sua elaboração é o levantamento dos dados referentes às entradas 
e saídas do caixa. Principalmente, quando se trata de pequenas empresas, pois 
seus empreendedores adotam procedimentos nem sempre recomendáveis no trato 
dessas contas. Dessa maneira, algumas dicas são fundamentais para a elaboração 
do fluxo de caixa, para que este forneça informações confiáveis à tomada de 
decisão: 
 todos os pagamentos deverão ser feitos em cheque - evitar os 
pagamentos em dinheiro, isto porque se perde o histórico da operação; 
 criar um fundo de troco para as pequenas despesas - passar para esse 
fundo, no início da semana, valor suficiente para despesas como 
condução e café e prestar contas no final da semana; 
Saldo Inicial 
Entradas 
Saídas 
Saldo Final 
- + 
 
Aporte de recursos 
próprios 
ou de terceiros 
Aplicação no 
negócio 
Aplicação 
Financeira 
 
 
29 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 não confundir pessoa física com pessoa jurídica - evitar sempre que 
possível o pagamento de contas da empresa com cheque do sócio e vice-
versa; 
 não confundir pró-labore com lucro - pró-labore é a retirada do sócio que 
trabalha na empresa, enquanto que o lucro é a remuneração do capital 
investido; 
 realizar sempre a conciliação bancária - é importante lembrar que o saldo 
da empresa não vai coincidir com o do banco, em função do período de 
tempo existente entre o recebimento/emissão do cheque e a operação 
bancária, daí a importância da conciliação bancária, no mínimo 
semanalmente; 
 documentar todas as operações com cópias - todo o cheque emitido 
deverá ser acompanhado de cópia. Igual procedimento se aplica a 
contratos e recibos. Enfim, o arquivo das informações é muito importante 
para futuras consultas. 
 
6.1 Rotinas do Gerenciamento do Fluxo de Caixa 
 
Elaboração 
 verificar o saldo inicial; 
 obter previsão do contas a receber; 
 obter previsão do contas a pagar; 
 atualizar diariamente o movimento do caixa, lançando na planilha de 
trabalho (ou no sistema) as informações obtidas em seus respectivos 
campos e datas. 
 
Monitoramento 
 providenciar extratos bancários; 
 conciliar os extratos bancários com seus lançamentos e identificar os 
depósitos; 
 atualizar os saldos; 
 comparar campos de “previstos” com “realizado”; 
 analisar os saldos para aporte de recursos ou para direcionar as 
aplicações; 
 
 
 
30 
 analisar as contas problemáticas e as contas que superam as previsões 
(gráficos); 
 tomar medidas preventivas e corretivas para a saúde do caixa. 
6.2 Análise do Fluxo de Caixa 
 
 A análise é feita depois do lançamento dos dados. Deve-se verificar a relação 
das entradas com as saídas de dinheiro. Se houver um equilíbrio entre essas 
contas, significa que o valor de dinheiro que entrou foi suficiente para pagar todos os 
compromissos assumidos. 
 Duas situações demonstradas pelo fluxo irão exigir mais atenção do gerente 
financeiro: 
 quando as entradas forem inferiores às saídas – estouro de caixa; 
 quando as entradas forem superiores às saídas – excedente de caixa. 
 
6.2.1 Estouro de Caixa 
 
 Existem momentos que, por vários motivos, o famoso “estouro de caixa” 
acontece. O contas a pagar é superior ao contas a receber e osaldo é insuficiente 
para pagar os compromissos assumidos pela empresa. No quadro abaixo tem-se um 
resumo dos possíveis sintomas de um estouro de caixa, as causas prováveis que 
levaram a essa situação e algumas sugestões de como melhorar esse desempenho. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
31 MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. Classificação dos Fluxos de Caixa 
 Os fluxos de caixa podem ser classificados em: 
 Fluxo de caixa operacional; 
 Fluxo de caixa de investimento; 
 Fluxo de caixa de financiamento. 
 
Sintomas 
 
 Insuficiência 
crônica de 
caixa; 
 
 Captação 
sistemática de 
recursos 
através de 
empréstimos; 
 
 Sensação de 
esforço 
desmedido. 
Causas 
 
 Vendas baixas; 
 Excesso de 
investimentos 
em estoque; 
 Excesso de 
imobilizações; 
 Excesso de 
retirada dos 
sócios; 
 Descompasso 
negativo entre 
recebimento e 
pagamento; 
 Recessão 
econômica. 
Decisões 
 
 Aumento de Capital 
Próprio (aporte de 
capital pelos sócios 
ou ingresso de novos 
sócios); 
 Adequação do nível 
de operações e 
recursos 
disponíveis; 
 Contenção de custos 
e despesas; 
 Venda de ativos; 
 Geração de novas 
receitas e maior 
controle do contas a 
receber (redução da 
inadimplência). 
 Alterações nas datas 
dos desembolsos; 
 Vendas a vista; 
 Operações 
financeiras para 
reforçar o caixa, 
arcando com os 
custos. 
 
 
 
 
32 
7.1 Fluxo de Caixa Operacional 
 É aquele que mostra a movimentação financeira relacionada com a atividade 
principal da empresa. Exemplos: Compra de material, pagamento de pessoal, 
Receitas resultantes de vendas etc. 
33 
 
 
 
 FLUXO DE CAIXA - Exercício 1 
 
Realizado Projetado 
mar/09 01/abr a 08/abr 09/abr a 15/abr 16/abr a 22/abr 23/abr a 30/abr abr/09 
E
N
T
R
A
D
A
S
 
Vendas a Vista 
4.850,00 1.200,00 1.200,00 1.200,00 1.400,00 5.000,00 
Cobrança Duplicatas 65.899,05 18.150,90 17.145,44 18.120,40 34.150,20 87.566,94 
Resgate - aplicações financeiras 
 17.899,00 5.400,00 5.400,00 
Empréstimos 10.100,00 10.000,00 10.000,00 
Aluguéis Recebidos 2.500,00 2.500,00 
2.500,00 
Outras Entradas 150,00 
0,00 
A – TOTAL DOS RECEBIMENTOS 
 
S
A
ÍD
A
S
 
Fornecedores 45.005,20 15.165,04 12.190,40 9.805,40 18.167,80 55.328,64 
Compras á Vista 
 1.990,00 1.000,00 500,00 400,00 300,00 2.200,00 
Tributos 
 7.155,90 1.765,00 5.190,00 159,00 270,00 7.384,00 
Folha de Pagamento 
 15.190,00 10.155,00 1.500,00 5.400,00 500,00 17.555,00 
Despesas Gerais 
 7.199,05 2.150,00 4.005,00 1.100,00 1.050,00 8.305,00 
Amortização Empréstimos 
 11.420,50 - 5.155,00 5.188,00 10.340,00 20.683,00 
Outras Saídas 3.450,20 1.000,00 1.050,00 1.000,00 1.000,00 4.050,00 
B – TOTAL DOS PAGAMENTOS 
S
A
L
D
O
 
SALDO ANTERIOR 
 
SALDO SEMANA/MÊS 
 
SALDO ACUMULADO 
 
 
 
34 
7.2 Fluxo de Caixa de Investimento 
 São as saídas monetárias da empresa destinadas à aquisição de ativos 
permanentes (terreno, maquinário, equipamento), assim como as entradas de 
recursos financeiros provenientes da venda destes mesmos ativos. 
 
7.3 Fluxo de Caixa de Financiamento 
 Decorrentes de decisões de captação de recursos junto aos acionistas e às 
instituições financeiras, para pagamento de dividendos, juros, amortizações de 
empréstimos e para suprir a necessidade da empresa face aos fluxos operacionais e 
de investimento. 
 
7.3.1 Representação Gráfica do Fluxo de Caixa de Financiamento/Empréstimo 
 
O fluxo de caixa de um financiamento, normalmente, contém entradas e saídas de 
capital, indicadas em uma linha de tempo que tem início no instante zero (t=0). 
 Abaixo tem-se a representação da movimentação financeira de uma pessoa 
física que realizou um empréstimo no banco. 
 
 Fluxo de Caixa da Pessoa 
 
 
 E0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 0 1 2 3 .... n -1 n 
 
 S1 S2 S3 ..... Sn-1 Sn 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
35 
 
Fluxo de Caixa do Banco 
 
 
 
 
 E1 
 
 E2 
 
 E3 
 
 
 
 
 En-1 
 
 En 
 
 0 1 2 3 .... n -1 n 
 
 S0 
 
O fato de cada seta indicar para cima (positivo) ou para baixo (negativo), é assumido 
por convenção, e o fluxo de caixa dependerá de quem recebe ou paga o capital num 
certo instante, sendo que: 
 t= 0 indica o dia atual; 
 Eo indica a Entrada de Capital num momento atual; 
 So. indica a Saída da Capital no momento atual. 
 
 
Exercícios gráficos de Fluxos de Caixa: 
Na seqüência apresentam-se algumas situações. Construa os fluxos de caixa das 
mesmas (do ponto de vista da pessoa). 
 
 
Exercício 1 
Uma pessoa tomou emprestado R$10.000,00 hoje e pagará R$11.000,00 daqui a 
um mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Responda 
a. Qual o Valor Presente? 
b. Qual o Valor Futuro? 
 
 
 
0 1 
 
 
 
 
 
36 
 
 VP = R x [(1+i)n -1] 
 ---------------------- 
 [i.(1+i)n] 
 
 
 
 
Exercício 2 
Uma pessoa tomou emprestado R$10.000,00 hoje e pagará em duas parcelas iguais 
e seguidas de R$6.000,00 a partir do próximo mês. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Responda 
a. Qual o Valor Presente? 
b. Qual o Valor Futuro? 
c. Quais os Valores das Parcelas? 
 
 
Exercício 3 
Uma pessoa comprou um carro por R$16.000,00 hoje e pagará em 24 parcelas 
de R$876,54 a partir do mês seguinte. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Responda 
a.Qual o Valor Presente? 
b.Qual o Valor Futuro? 
c.Quais os Valores das Parcelas? 
 
 
7.3.2 Cálculo do Valor Presente 
Fórmula para Pagamento sem entrada 
 
 
 
 
 
0 1 2 
 
 
 
 
 
 
 
 0 1 2 ... 23 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37 
 
R = VP [i.(1+i)n-1] 
 ------------- 
 [(1+i)n -1] 
R = VP x [i.(1+i)n] 
 ----------------- 
 [(1+i)n-1] 
 
 
VP = R x [(1+i)n – 1] 
 ---------------- 
 [i(1+i)n-1] 
 
 
 
 
Fórmula para Pagamentos com Entrada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7.3.3 Cálculo do Valor da Prestação 
 
Fórmula para Pagamento sem Entrada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fórmula para Pagamento com Entrada 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
VP = Valor Presente; 
R = Valor da Parcela ou 
Prestação; 
I =Taxa de juros; 
n = Número de parcelas ou 
períodos 
 
 
 
 
 
38 
 
 
 
 
 
 
 
Execício 1 
Uma pessoa financia um objeto em 5 parcelas iguais e seguidas de R$1.000,00 a 
partir do próximo mês (ou seja, sem entrada). Se a taxa bancária de juros é de 7% 
ao mês, qual é o Valor Presente (VP) deste objeto? 
 
 
Exercício 2 
Considere o problema do exemplo anterior e uma nova alternativa. Refinanciar a 
compra do objeto que custa o Valor Presente em 5 parcelas iguais e seguidas a 
partir do mês inicial. Considere a mesma taxa bancária de juros. Qual deverá ser o 
valor de cada nova parcela R? 
 
Exercício 3 
O gerente da empresa Alfa detectou a necessidade da aquisição imediata de 4 
computadores. Analisando o seu fluxo de caixa projetado ele percebeu que haverá 
uma sobra de caixa mensal de R$1.800,00 nos próximos 6 meses. Ele poderá 
utilizar este dinheiro para aquisição das máquinas. Ele recebeu algumas propostas 
de financiamento. Analise a melhor opção. 
Valor do Financiamento = R$6.000,00 
Taxa de juros mensal = 6% 
 
1a. Opção – pagamento de 6 parcelas fixas, sem entrada; 
2a. Opção – pagamento em 4 parcelas fixas, sem entrada; 
3a. Opção – pagamento em 3 parcelas fixas, com entrada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
L I S T A DE E X E R C Í C I O S 
 
 
 
39 
8. Equivalência de Fluxo de Caixa 
 
 Dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes a uma determinada taxa de 
juros, se os seus valores atuais, calculados com essa mesma taxa, forem iguais. O 
estudo da equivalência se faz no regime de juros compostos. 
 Convém ressaltar que se os fluxos de caixa tiverem o mesmo valor atual a 
uma determinada taxa de juros, então os seus montantes após n períodos, obtidos 
com essa mesma taxa, serão necessariamente iguais. 
 É importante destacar que a equivalência de fluxos de caixa depende da taxa de 
juros. Assim, se dois fluxos são equivalentes a uma certa taxa, essa equivalência 
deixará de existir se a taxa for alterada. 
 
8.1 Planos Equivalentes de Financiamento 
8.1.1 Sistema Americano - Pagamento Final 
 O financiamento feito pelo Plano de Pagamento Final implica que o valor 
financiado é pago de uma só vez, no final do período. Os juros são capitalizados ao 
final de cada período (mês ou ano). Esta modalidade de pagamento é utilizada em: 
 Papéis de Renda Fixa (Letras de Câmbio ou Certificado de Depósito com 
renda final) 
 Títulos descontados em banco comercial; 
8.1.2 Sistema Americano - Pagamento Periódico de Juros 
 É realizado o pagamento somente de juros ao final de cada período. No final 
do prazo do empréstimo é pago, além dos juros do último período, também o 
principal integral. Esta modalidade é utilizada em - Papéis de Renda Fixa, com renda 
paga periodicamente (letras de câmbio com renda mensal, certificado de depósito 
com renda mensal, trimestral). 
 
 
 
 
40 
8.1.3 Sistema Francês - Sistema Price 
 A parcela periódica de pagamentos compreende os juros do período mais 
amortização de parte do principal. Esta modalidade é utilizada em: financiamento 
imobiliário, crédito direto ao consumidor: automóveis, eletrodomésticos: 
Como Calcular: 
 Cálculo do valor da prestação; 
 Cálculo dos juros do período pela aplicação da taxa do contrato sobre os 
valores do saldo (remanescente do principal) no início do período; 
 Cálculo da amortização do principal, pela diferença entre o valor da 
prestação e o valor dos juros do período. 
 
 
 
 
Observa-se que os juros de cada prestação vão diminuindo com o tempo, 
pois o principal remanescente vai se tornando cada vez menor. Como o 
valor da prestação é constante, a parcela de amortização de cada prestação 
vai aumentando ao longo do tempo. 
 
 
8.1.4 Sistema de Amortização Constante – SAC 
 O financiamento é pago em prestações decrescentes. Cada parcela 
compreende pagamento de juros e da amortização de parte do principal. 
Esta modalidade é utilizada em: financiamentos imobiliários e em financiamentos à 
empresa, por parte de entidades governamentais. 
Como cálcular: 
 Cálculo da amortização do principal, que tem valor constante em todas as 
prestações, por meio da divisão do principal pelo número de prestações; 
 Cálculo dos juros do período, pela aplicação da taxa do contrato sobre o 
valor do saldo (remanescente do principal) no início do período; 
 Cálculo do valor da prestação pela soma da amortização do principal com 
os juros do período. 
DICA 
 
 
 
41 
 
Em cada período, o principal remanescente decresce do valor de uma 
amortização. Como todas as amortizações são iguais esse decréscimo será 
uniforme, e, portanto os juros dos períodos também serão uniformemente 
decrescentes ao longo do tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
DICA 
 
 
 
42 
 
 
Exercício 1 
Financiamento de R$1.000,00 sobre o qual incidam juros de 8% a.a e que o prazo 
do empréstimo seja de 4 anos. 
Faça os Planos Equivalentes de pagamento nos seguintes Sistemas de Pagamento: 
a) Pagamento Final; 
b) Pagamento Periódico de Juros; 
c) PRICE, pagamento sem entrada; 
d) SAC 
 
Fórmula a ser usada: J = PV.i.n 
 
Exercício 2 
Desenvolver uma tabela de planos equivalentes de financiamentos, de acordo com 
as seguintes condições: 
Principal Financiado = R$1.000,00; 
Prazo de Financiamento = 5 trimestres; 
Taxa de Juros = 5% ao trimestre; 
Regime de Juros = Composto 
 
Os Planos a serem considerados são os seguintes: 
Plano A = Pagamento Final; 
Plano B = Pagamento Periódico de Juros; 
Plano C = Prestações iguais de R$230,97 – Sistema PRICE; 
Plano D = Sistema de Amortização Constante – SAC 
 
Exercício 3 
A empresa Modelo adquiriu um veículo no plano de financiamento de prestação fixa. 
A taxa de juros contratada foi de 1,67% ao mês, resultando em 24 parcelas fixas de 
R$1.170,60. O valor do bem à vista era de R$23.000,00. 
Após ter quitado 10 prestações do financiamento, a empresa percebeu uma sobra 
de caixa de R$10.000,00 e que pagar algumas prestações. O problema é que ela 
não sabe quanto do principal já foi pago e se ela conseguiria pagar o restante, 
depois de abater os R$10.000,00, em 4 parcelas sem comprometer o seu fluxo de 
caixa. O pagamento do novo financiamento seria no mês seguinte ao mês do 
pagamento da amortização dos R$10.000,00. 
Ela pede a sua ajuda para calcular: 
a) Valor do Saldo depois do pagamento da 10ª parcela; 
b) Valor restante a ser financiado depois de quitado os R$10.000,00; 
c) Valor da nova prestação. 
 
 
L I S T A DE E X E R C Í C I O S 
 
 
 
43 
9. Coeficiente de Financiamento 
 Um gerente de uma agência de automóveis quer calcular coeficientes para 
financiamentos, por unidade de capital emprestado. Estes coeficientes quando 
aplicados ao total do capital darão como resultado a prestação. Sabendo-se que a 
agência cobra 5% de juros ao mês, calcule o coeficiente para 6 e 12 meses. 
 
Usando a HP: Para 6 meses 
Pela HP Visor 
Limpe as memórias:[F][REG] 0.00 
Entre com a taxa de juros: 5[i] 5.00 
Entre com o número de meses:6[n] 6.00 
Entre com a unidade de capital emprestado:1[PV] 1.00 
Calcule o coeficiente para as prestações:PMT -0.19702 
 
Desconsidere o sinal negativo. Ele só representa a direção de saída do fluxo. Neste 
caso, para um financiamento de R$10.000,00, em 6 meses, as prestações devem 
ser de: 
10.000,00 x 0,19702 = 1.970,20 
Para 12 meses 
Pela HP Visor 
Limpe as memórias:[F][REG] 0.00 
Entre com a taxa de juros: 5[i] 5.00 
Entre com o númerode meses:12[n] 12.00 
Entre com a unidade de capital emprestado:1[PV] 1.00 
Calcule o coeficiente para as prestações:[PMT] -0.11283 
Empregando a Fórmula: 
 
PMT = PV x i(1+i)n 
 --------------------- 
 (1+i)n – 1 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
Exercício 1 
Um aposentado comprou um imóvel no valor de R$60.000,00 hoje, com pagamentos 
em 4 prestações anuais postecipadas (após o período), a uma taxa de juros de 6% 
ao ano. Montar as tabelas de amortização e determinar os valores das prestações, 
juros, saldos, nos seguintes sistemas: Pagamento Final, Pagamento Periódico de 
Juros, PRICE e SAC. 
 
 
Exercício 2 
Um estudante adquiriu um computador por R$4.000,00 hoje, com pagamentos em 6 
parcelas mensais postecipadas, a uma taxa de juros de 2% ao mês. Montar as 
tabelas de amortização e determinar os valores das prestações, juros, saldos, nos 
sistemas PRICE e SAC. 
 
 
Exercício 3 
Um empresário adquiriu um equipamento por R$42.000,00 hoje, com pagamentos 
em 5 prestações trimestrais postecipadas, a uma taxa de juros de 4% ao trimestre. 
Se o empresário decidir quitar o financiamento no final do terceiro trimestre (após 
efetuar o terceiro pagamento), qual será o valor pago para resgatar a dívida nesta 
data? Fazer os cálculos assumindo que o empresário contraiu o financiamento nos 
seguintes sistemas: PRICE e SAC. 
 
 
Exercício 4 
Uma empresa adquiriu um financiamento no valor de R$185.000,00 em um Banco 
de Desenvolvimento, se comprometendo a pagar em 4 prestações anuais, a uma 
taxa de juros de 8% ao ano. No entanto, a empresa só começará a pagar as 
prestações no final do terceiro ano, pois conseguiu negociar com o Banco esse 
período de carência. Montar as tabelas de amortização e determinar os valores das 
prestações, juros e saldos, nos seguintes sistemas: PRICE e SAC. 
OBS: Durante o período de carência a empresa não paga a prestação, mas o valor 
financiado é acrescido dos juros correspondente a este período. 
 
 
Exercício 5 
Um empresário adquiriu uma frota de caminhões por R$300.000,00 hoje, com 
pagamentos em 6 prestações mensais a uma taxa de juros de 1,5% ao mês. Sendo 
que a primeira prestação ocorre somente no final do 3º mês após a compra. Se o 
empresário decidir quitar o financiamento após efetuar o quarto pagamento, qual 
será o valor pago para resgatar a dívida nesta data? Fazer os cálculos, assumindo 
que o empresário contraiu o financiamento os seguintes sistemas: PRICE e SAC. 
 
 
 
 
 
 
 
L I S T A DE E X E R C Í C I O S 
 
 
 
45 
 
 
 
 Matemática Financeira - Professora Márcia Lino 
 Fluxo de Caixa - Planos Equivalentes de Pagamentos de Financiamentos 
 
Plano 
 
Período 
 
Saldo Inicial 
no Período 
Juros do 
Período 
Saldo Final do 
Período 
antes do 
Pagamento 
Pagamento Final (prestação) 
Saldo Final no Período 
depois do pagamento Total Juros Amortização 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
46 
 
 
 
 
 Matemática Financeira - Professora Márcia Lino 
 Fluxo de Caixa - Planos Equivalentes de Pagamentos de Financiamentos 
 
Plano 
 
Período 
 
Saldo Inicial 
no Período 
Juros do 
Período 
Saldo Final do 
Período 
antes do 
Pagamento 
Pagamento Final (prestação) 
Saldo Final no Período 
depois do pagamento Total Juros Amortização 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
47 
 
 
 
 
 Matemática Financeira - Professora Márcia Lino 
 Fluxo de Caixa - Planos Equivalentes de Pagamentos de Financiamentos 
 
Plano 
 
Período 
 
Saldo Inicial 
no Período 
Juros do 
Período 
Saldo Final do 
Período 
antes do 
Pagamento 
Pagamento Final (prestação) 
Saldo Final no Período 
depois do pagamento Total Juros Amortização 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
 
 
 
 
 Matemática Financeira - Professora Márcia Lino 
 Fluxo de Caixa - Planos Equivalentes de Pagamentos de Financiamentos 
 
Plano 
 
Período 
 
Saldo Inicial 
no Período 
Juros do 
Período 
Saldo Final do 
Período 
antes do 
Pagamento 
Pagamento Final (prestação) 
Saldo Final no Período 
depois do pagamento Total Juros Amortização 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
 
 
 Matemática Financeira - Professora Márcia Lino 
 Fluxo de Caixa - Planos Equivalentes de Pagamentos de Financiamentos 
 
Plano 
 
Período 
 
Saldo Inicial 
no Período 
Juros do 
Período 
Saldo Final do 
Período 
antes do 
Pagamento 
Pagamento Final (prestação) 
Saldo Final no Período 
depois do pagamento Total Juros Amortização 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50 
 
 
 
 
 
 Matemática Financeira - Professora Márcia Lino 
 Fluxo de Caixa - Planos Equivalentes de Pagamentos de Financiamentos 
 
Plano 
 
Período 
 
Saldo Inicial 
no Período 
Juros do 
Período 
Saldo Final do 
Período 
antes do 
Pagamento 
Pagamento Final (prestação) 
Saldo Final no Período 
depois do pagamento Total Juros Amortização51 
 
 
 
 Matemática Financeira - Professora Márcia Lino 
 Fluxo de Caixa - Planos Equivalentes de Pagamentos de Financiamentos 
 
Plano 
 
Período 
 
Saldo Inicial 
no Período 
Juros do 
Período 
Saldo Final do 
Período 
antes do 
Pagamento 
Pagamento Final (prestação) 
Saldo Final no Período 
depois do pagamento Total Juros Amortização 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52 
 
 
 
 
 Matemática Financeira - Professora Márcia Lino 
 Fluxo de Caixa - Planos Equivalentes de Pagamentos de Financiamentos 
 
Plano 
 
Período 
 
Saldo Inicial 
no Período 
Juros do 
Período 
Saldo Final do 
Período 
antes do 
Pagamento 
Pagamento Final (prestação) 
Saldo Final no Período 
depois do pagamento Total Juros Amortização 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
53 
 
 
 
 Matemática Financeira - Professora Márcia Lino 
 Fluxo de Caixa - Planos Equivalentes de Pagamentos de Financiamentos 
 
Plano 
 
Período 
 
Saldo Inicial 
no Período 
Juros do 
Período 
Saldo Final do 
Período 
antes do 
Pagamento 
Pagamento Final (prestação) 
Saldo Final no Período 
depois do pagamento Total Juros Amortização 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Matemática Financeira - Professora Márcia Lino 
 
 
 
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 Fluxo de Caixa - Planos Equivalentes de Pagamentos de Financiamentos 
 
Plano 
 
Período 
 
Saldo Inicial 
no Período 
Juros do 
Período 
Saldo Final do 
Período 
antes do 
Pagamento 
Pagamento Final (prestação) 
Saldo Final no Período 
depois do pagamento Total Juros Amortização 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
55 
REFERÊNCIAS 
 
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Qualitymark Editora Ltda. 
 
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Editora Harper & Row do Brasil Ltda, 1978. 
 
GROPPELLI, A.A. & NIKBAKHT, Administração Financeira. São Paulo. Editora 
Saraiva, 2002. 
 
KUHNEN, Osmar Leonardo. Matemática Financeira Empresarial. São Paulo. 
Editora Atlas, 2006. 
 
MATHIAS, W.F; GOMES, J.M. Matemática Financeira. São Paulo. Editora Atlas, 
2010. 
 
PAXSON, Dean e WOOD, Douglas. Dicionário Enciclopédico de Finanças. São 
Paulo. Editora Atlas, 2001. 
 
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira: objetiva e aplicada. São 
Paulo. Editora Saraiva, 2006. 
 
SEIFFERT, Peter Quadros. Empreendendo Novos Negócios em Corporações. 
São Paulo. Editora Atlas, 2005. 
 
TPD/IOB. Treinamento Programado a Distância. São Paulo. IOB. 
 
VIEIRA, Marcos Villela. Administração Estratégica do Capital de Giro. São Paulo, 
Editora Atlas, 2005.