Ondas

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Ondas 
 
Definição de Onda: 
‘Onda é uma ‘perturbação’ que se propaga em meios materiais ou até mesmo no vácuo’. 
♠Tipos de Onda. As ondas existem de três tipos: 
♦Ondas Mecânicas - perturbação que se propaga apenas em meios materiais. Esses meios podem ser: 
sólidos, líquidos ou meios gasosos. 
♦Ondas Eletromagnéticas - perturbação que se propaga em meios materiais e também no vácuo (onde não 
existe matéria). Exemplo: luz, ondas de rádio, micro-ondas, etc. 
♦Ondas de Matéria - a matéria possui um comportamento dual. A matéria também se comporta como 
‘onda’. O caso inverso também é verdade; ora a onda se comporta como matéria, mas nunca as duas coisas ao 
mesmo tempo. Somente é possível observar o comportamento ondulatório da matéria a nível atômico. O elétron 
é um exemplo de partícula que se comporta como onda. Foi graças a essa propriedade ondulatória do elétron 
que surgiu o microscópico eletrônico. A luz, que é uma onda eletromagnética, também apresenta 
comportamento de partícula. A luz se propaga como onda, mas interage com a matéria como partícula. Lembre-
se, nunca as duas coisas ao mesmo tempo. 
Em um movimento ondulatório, o que se propaga é a perturbação, e não o meio material. As partículas 
do meio material oscilam em torno da sua posição de equilíbrio, análogo a um bloco anexado a uma mola, que 
oscila em torno da posição de equilíbrio. Portanto, durante a propagação de uma onda não envolve o transporte 
de ‘matéria’. O que é transportado é a energia da onda. Todo este capítulo de ondas é baseado apenas na 
propagação de onda em uma dimensão espacial (no eixo–x) e no tempo t. 
 
♠Classificação das Ondas. As ondas são classificadas de duas formas: 
♦Ondas transversais - são ondas em que a direção de propagação é perpendicular a direção de 
oscilação. A onda se propaga no eixo-x (↔), para direita (→) ou para esquerda (←) e as partículas do meio 
oscilam no eixo-y (↕), para cima (↑) e para baixo (↓). Na Figura 71, tem-se um exemplo de onda transversal. 
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Figura 71 – Exemplo de onda transversal. A direção de oscilação (eixo-y) é perpendicular à direção de propagação (eixo-
x). 
 
Você pode produzir uma onda transversal amarrando uma corda em um poste e a na outra extremidade 
da corda você ficar sacudindo esta para cima e para baixo essa corda. A frequência que você sacode a corda 
será a frequência f de oscilação temporal da onda. 
♦Ondas Longitudinais - são as ondas em que a direção de oscilação coincide com a direção de 
propagação. A onda se propaga no eixo-x (↔), para direita (→) ou para esquerda (←) e as partículas do meio 
oscilam também no eixo-x (↔), para frente (→) e para trás (←). Exemplos de onda longitudinais: ondas 
sonoras (o som); onda produzida em uma mola esticada e comprimida. Exemplo: você pode imaginar uma 
mola, na qual você faz um movimento para frente e para trás, então você vai obter uma onda longitudinal, cuja 
frequência de oscilação será o movimento que você faz de vai e vem. 
Você pode produzir uma onda longitudinal usando uma mola 
 
Figura 72 – Onda longitudinal produzida em uma mola. A direção de oscilação para frente e para trás no eixo-x coincide 
com a direção de propagação, cujo sentido pode ser para frente (para direita) ou para trás (para esquerda) no eixo-x. 
 
Para ondas mecânicas, as ondas longitudinais se propagam em meios sólidos, líquidos e gasosos. Já as 
ondas transversais se propagam apenas em meios sólidos. 
Equação matemática de uma onda transversal, periódica que se propaga apenas no eixo-x. 
Podemos representar a propagação no eixo-x (↔) e a evolução no tempo t, de uma onda progressiva de 
comprimento de onda λ, periódica de período constante T, que oscila no eixo-y (↕), pela equação 
 sen( )) ( (, )my ky x x t mt      (3.1) 
onde os parâmetros da equação da onda são definidos: 
133 
 
 
amplitude (m)
2 2número de onda= ( / ) , comprimento de onda (m) ,
2 2frequência angular= 2 ( / ) , Périodo da onda (s) , T=
1/ frequência da onda( ) número de ciclos que a onda reali
my
k rad m
k
f rad s T
T
f T Hz
  

  


  
  
   za em um segundo
 
Para uma onda de frequência f=2Hz, significa que a onda executa 2 ciclos (2 oscilações completas) em um 
segundo. Neste caso, se a onda executa 2 ciclos em um segundo, quanto tempo dura um ciclo? A duração de um 
ciclo é o período da onda T que pode ser calculado por T=1/f=1/(2s-1)=0.5s. 
Velocidade de propagação no eixo-x (↔) da onda (ʋx) 
A velocidade de propagação da onda pode ser obtida pela definição geral de velocidade, que é variação 
do espaço em função da variação de tempo. Neste caso, quando o espaço variar de λ comprimento de onda, o 
tempo terá variando de T período, portanto 
 ( / )
ou ou
x x x x
x f m s
t T T k
              

 (3.2) 
a velocidade de propagação da onda é sempre constante ao longo do movimento. A onda pode se propaga no 
eixo-x (↔), para direita→ ou para esquerda←, a depender do sinal que aparecer no argumento da função seno, 
ou seja: sen( )k x t   . Se aparecer o sinal negativo sen( )k x t   , o sentido de propagação é para 
direita→. Se o sinal for positivo sen( )k x t   , o sentido é para esquerda←. 
 
Figura 73 – Exemplo de uma onda se propagando para direita. 
 
A seguir, vamos exemplificar como obter a amplitude, o comprimento de onda, o período, velocidade e 
sentido de propagação, através da análise gráfica. 
Representação da onda sen( )) (, my x y k xt t    , no eixo do espaço x(m) e do tempo t(x). Vamos analisar a 
onda em separado. Fixamos o tempo t e variamos a posição x. Depois fixamos a posição x e variamos o tempo t. 
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Oscilação da onda em função do espaço (x). A 
distância entre dois pontos em que a onda começa a 
ser repetir é chamada comprimento de onda λ. 
 
Oscilação da onda em função do tempo (t). O intervalo 
de tempo em que a onda começa a ser repetir é o 
período T da onda. 
Exercícios 
E.1) Calcule a amplitude ym, o comprimento de onda λ, o período T e o sentido de propagação (para direita ou 
para esquerda) das ondas abaixo. Deixe as unidades no S.I.U. 
a) 1 1( , ) 0.05 (0.5 0.02 )y x t m sen m x s t      . 
b) 1 1( , ) 0.1 ( 0.125 0.3 )y x t m sen m x s t       . 
c) 1 1( , ) 3 ( 3 2.5 )y x t mm sen m x s t       . 
d) 1 1( , ) 450 ( 2 )y x t m sen m x s t         
e) 1 1( , ) 0.55 ( 2 )y x t m sen m x s t        
E.2) A partir dos gráficos (à esquerda e à direita), construa a equação da onda ( , ) ( )my x t y sen k x t     . 
Todas as unidades mostradas nos gráficos são as do S.I.U. 
a) A onda esta se propagando para direita. 
 
 
b) A onda esta se propagando para esquerda. 
 
 
135 
 
A função seno e a função cosseno são funções especiais em que o seu argumento não poder conter 
unidades, portanto, não existe sen(3m/s), pois o argumento da função seno não pode ter unidade, neste caso, de 
velocidade m/s. Normalmente o argumento da função seno e cosseno pode ser de dois tipos: o argumento na 
escala de grau (º) e o argumento na escala de radiano (rad). Tanto o grau (º), assim como o radiano (rad) são 
‘rótulos’, não são unidades. Em um círculo de raio unitário (R=1), a sua circunferência vale 2·π·1 rad 
(radianos), que corresponde a uma varredura de 360º. Portanto 2·π rad=360º ou π rad=180º. Portanto, é muito 
comum escrevermos: sen(7.3 rad)=0.85; cos(4.8π rad)= -0.81; cos(30º)=0.87, sen(67º)=0.92, e assim por 
diante. Você deverá se acostumar, pois vamos usar de agora em diante o ângulo medido em radianos (rad). 
Veja nas figuras, o gráfico da função seno e da função cosseno, assim como os pontos onde ocorrem os valores 
de máximos (+1 ou -1) e os pontos de zero (0). Esses gráficos serão usadoso tempo todo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Paridade de uma função 
Uma função ( )f x possui paridade bem definida, se 
 
( ) ( ) ( ) função par ,
 ou
( ) ( ) ( ) função impar .
f x f x f x
f x f x f x
    
    
 
Exemplos: 
1) Verifique quais funções abaixo possui paridade bem definida, caso sim, indique se a função é par ou impar. 


2 2
( )
( )
2 2
2
2
( ) ( ) ( ) ( ) função par
( ) 3 ( ) 3 ( ) ( ) função impar
( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) função sem parid
) ( )
) ( ) 3
) 4 a( de.)
f x
f x
a f x x
b f
f x x x f x f x
f x x x f xx f x
f x
x
c f x x x x x x f x f x f xx
        
 
             
 
  

 
              
 
d) f(x)=4x 
e) f(x)=x2+|x| 
f) f(x)=x3+x2 
 
 
 
 
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Paridade da função seno e da função cosseno 
 
A função seno é uma função impar, ou 
seja, ( ) ( )sen sen    . 
 
 
 
A função cosseno é uma função par, 
cos( ) cos( )   . 
 
 
 
Exercícios 
1) A equação de uma onda progressiva é dada por 1 1( , ) 0.08 (18 12 )y x t m sen m x s t    . Calcule a amplitude da 
onda, o período T, o comprimento de onda λ e a velocidade de propagação υ. 
2) Uma onda oscila na frequência de 180Hz. 
a) Quanto tempo dura uma oscilação? 
b) Quantas vezes a onda oscila em um segundo? 
c) Qual o valor da frequência angular dessa onda? 
 
3) Nos itens abaixo, calcule a velocidade de propagação da onda e responda se a onda está se propagando para 
direita ou esquerda. Lembre-se que ( ) ( )sen sen    . 
a) 1 1( , ) 0.9 (12 6 )y x t m sen m x s t     . 
b) 1 1( , ) 0.8 ( 18 3 )y x t m sen m x s t      . 
c) 1 1( , ) 0.6 (10 2 )y x t m sen m x s t    . 
d) 1 1( , ) 0.5 ( 8 24 )y x t m sen m x s t     . 
 
4) Uma onda se propaga seguindo a equação 1 1( , ) 0.3 ( 0.8 0.24 )y x t m sen m x s t     . Quanto tempo essa onda 
leva para percorrer uma distância de 1000m? Lembre-se que S
t
 

. 
5) Você envia uma onda sonora contra uma parede, localizada a 200m de distância de você. Após 1.166 
segundo você ouve o reflexo (eco) da onda que foi enviada por você. Qual é a velocidade de propagação da 
onda? 
6) As figuras abaixo representam a propagação, para direita, de uma mesma onda progressiva (y versus x e y 
versus t, respectivamente). 
 
137 
 
a) Calcule a amplitude, o comprimento de onda λ, o período T e a velocidade de propagação υ da onda, dado 
que as oscilações de y em função de x e de t são mostradas nas figuras abaixo; esquerda e direita, 
respectivamente. Extraia os parâmetros a partir dos gráficos. 
 
 
 
 
 
b) Agora escreva a equação da onda do item a, ( ( , ) ( )my x t y sen kx t   ). 
Respostas: 
1) ym=0.08m;T=0.52s;λ=0.35m, υ=0.67m/s 4) t=3333.3s 
2) a) 5.56.10-3s; b) 180vezes; c) 360πrad/s 5) 343m/s 
3) a) 0.5m/s, p/ direita; b) 0.167m/s, p/ direita; c) 
0.2m/s, p/ esquerda; d) 3.0m/s, p/ esquerda 
6) a) λ=5m, T=10s, υ=0.5m/s; b) 1 1( , ) 0.05 (1.26 0.63 )y x t m sen m x s t      
 
 
Iremos dividir o nosso estudo sobre ondas em três partes: A Parte I será dedicada a tratar de ondas 
mecânicas transversais (em uma corda esticada) e longitudinais (ondas sonoras). Na Parte II iremos estudar 
ondas eletromagnéticas. Já a Parte III, e mais curta, será a vez da chamada onda de matéria. 
 
Parte I- Ondas Mecânicas (propagação em meios materiais ‘elásticos’) 
 
Durante esta seção, vamos usar constantemente a função seno e a função cosseno, juntamente com os 
ângulos θ(rad) onde estas funções assumem os valores (±1) e (0). 
 
 
Valores máximos, mínimos e zeros da função seno. 
 sen(θ)=±1 para θ=n∙π/2, n=1,3,5,7,...(qualquer 
número inteiro impar). 
 sen(θ)=0 para θ=n∙π, n=0,1,2,3,4, ...(qualquer 
número inteiro). 
 
 
Valores máximos, mínimos e zeros da função cosseno. 
 cos(θ)=±1 para θ=n∙π, n=0,1,2,3,4,...(qualquer 
número inteiro). 
 cos(θ)=0 para θ=n∙π/2, n=1,3,5,7,...(qualquer 
número inteiro impar). 
 
 
 
 
138 
 
Onda transversal produzida em uma corda esticada 
Nesta seção, vamos estudar a propagação de uma onda em uma corda esticada de comprimento L, massa 
total m, sujeita a uma força de tração F e com densidade linear de massa da corda dada por μ=m/L. 
 
Figura 74 – Propagação de uma onda transversal produzida em uma corda esticada (de densidade linear de massa μ=m/L) 
sobre uma força de tração F. 
Equação matemática de propagação da onda no eixo-x (ao longo do comprimento da corda) e no tempo 
t, cuja oscilação do meio (corda) é no eixo-y, 
 

amplitudeoscilação no propagação no eixo-x e 
da ondaeixo-y no tempo t
( , ) sen( ) ,
Com velocidade .
my x t y k x t
Ff
T k


  

     
    
 
 (3.3) 
A Figura 75 representa o gráfico em três dimensões (3D) da onda. Nesta figura, tanto o espaço x, assim como o 
tempo t, estão variando. Anteriormente fixamos o tempo t e analisamos o gráfico da oscilação da onda (no 
eixo-y) variando o espaço x. Depois, fixamos o espaço x e analisamos a oscilação da onda (eixo-y) no tempo t. 
Dessa forma, fica bem mais fácil analisar a onda na representação 2D (y versus x e y versus t) do que usar o 
gráfico 3D, mostrando na Figura 75. 
 
Figura 75 - Gráfico da evolução da onda no eixo-x e no tempo t. Veja que y(x,t) representa a oscilação (para cima e para 
baixo) da onda em uma posição x no espaço e em um instante de tempo t. 
 
 
139 
 
Velocidade de propagação de uma onda em uma corda esticada 
Podemos encontrar uma expressão para a velocidade de propagação da onda usando a segunda lei de 
Newton, impondo que o único movimento de um elemento da corda é na direção vertical (onda transversal). 
Portanto, para um movimento circular ‘ondulação da corda’ a força resultante é igual a força centrípeda (que 
aponta para o centro da curva). Na figura abaixo, representa uma região do elemento de corda ampliada. F é a 
força de tração na corda é dθ o elemento infinitesimal (muito pequeno) de ângulo em radianos (rad). A lembrar 
que um comprimento de um arco, de um círculo de raio R e ângulo dθ, é ∆s=R∙dθ. Também vamos usar a 
aproximação que sen(dθ)≈ dθ, que só é verdade se dθ for muito pequeno, que é o caso aqui. A aceleração 
centrípeta é igual ac=2/R. Por último, ∆m representa um elemento de massa da corda, que é ∆m=μ∙∆s, onde μ 
é a densidade linear de massa. 
 
Figura 76 – Elemento de massa de corda m para o 
cálculo da velocidade de propagação da onda. 
2
2
;
2
2 2 2
2
ext c y y
fazer
F m a F F m m s
R
d d dF sen m sen
R
 
   
           
               

dF  
2
R    
 
d
2
R

força de tração na corda em N.
 Densidade linear de massa
F
F
F
m kg
L m




 

       
 
 
Potência média da onda em uma corda esticada (energia por unidade de tempo) 
Durante a propagação da onda envolve o transporte de energia. Essa energia é a responsável por manter 
a onda se propagando. A energia de propagação da onda, por unidade de tempo, em uma corda esticada é 
devido a energia cinética e a energia potencial elástica da corda. A unidade de potência é o Watts W=J/s. 
 
2 21 ( ) Potência Média da Onda,
2
2 Frequência angular,
 Densidade linear de massa,
 = Força de tração na corda esticada ( ),
 Velocidade de propagação da 
m mP y W
radf
s
m kg
L m
F N
F m
s
  
 



    
    
    
    
onda,
 Amplitude da onda em metro (m).my
 (3.4) 
Exercícios 
1) Uma corda esticada,de comprimento L=1.2m e massa 30g, está tensionada de 230N. Calcule a velocidade de 
propagação da onda produzida nessa corda esticada. 
2) A velocidade de propagação de uma onda em uma corda esticada é de 80m/s para a esquerda. Sabendo que a 
tensão na corda é de 180N, calcule: 
a) A densidade linear μ de massa da corda. 
140 
 
b) Dado que a massa da corda é de 240g, qual é o seu comprimento? 
c) Qual é a equação da onda ( , ) ( )my x t y sen kx t   produzida na corda, sabendo que a frequência de 
oscilação é de 200Hz e a amplitude de oscilação da onda é de ym=0.03m? 
d) A energia, por unidade de tempo, transportada pela onda. (Potência média). 
3) Uma corda de violino de comprimento L e massa m=2g produz uma nota musical cuja frequência no 
terceiro harmônico é 300Hz com comprimento de onda λ=40cm. Calcule: 
a) O comprimento L da corda e a sua tensão F. 
b) A potência média da onda, dado que a sua amplitude é ym=0.001m. 
Respostas 
1) υ=95.9 m/s 2) (a) μ=0.028kg/m;( b) L=8.53m; (c) 1 1( , ) 0.03 (15.7 1256 )y x t m sen m x s t      ; (d) 1590.1 W 
 
Princípio da Superposição 
Quando se calcula a força resultante sobre uma partícula, que é o somatório de todas as forças externas, 
estamos aplicando o princípio da superposição, que declara que o efeito total é devido à soma do efeito 
individual provocado por cada força. Também vamos aplicar esse princípio para ondas. Quando duas ondas, ou 
mais, propagam em um meio, o que se mede ou se observa é a onda resultante, que é a soma algébrica de todas 
as ondas individuais. Para duas ondas, a resultante é yR=y1+y2. Já para N ondas, a onda resultante é 
yR=y1+y2+...+yN. 
Interferência entre duas ondas defasadas de φ 
Vamos calcular a Interferência entre duas ondas se propagando no eixo-x (↔), cujo sentido é para 
direita (→), mas defasada de (rad) uma da outra. Ambas as ondas possuem o mesmo comprimento de onda λ, 
mesmo período T e mesma amplitude ym. Portanto, a onda resultante é a superposição das duas ondas, ou 
yR(x,t)=y1(x,t)+y2(x,t), onde: 
1
2
( , ) sen( )
( , para direita) sen( ) 
para dire
 
itam
m
y x t y kx t
y x t y kx t
 

   
  


 
tal que a onda y1 esta atrasada de  radianos em relação a onda y2. Vamos, então, calcular a onda resultante 
usando a identidade trigonométrica eq.(iv) mostrada no Quadro de Identidade Trigonométrica I. 
 
Figura 77 – Interferência entre duas ondas se propagando no mesmo sentido (em uma corda esticada), mas defasadas de  
radianos. 
141 
 
Quadro de Identidade Trigonométrica I
eq.(i) ( ) ( ) cos( ) cos( ) ( ),
eq.(ii) ( ) ( ) cos( ) cos( ) ( ). Fazendo e - , então e .
2 2
eq.(iii)
sen a b sen a b a sen b
A B A Bsen a b sen a b a sen b a b A a b B a b
    
          
=eq.(i)+eq.(ii) ( ) ( - ) 2 ( ) cos( ) . eq.(iv) ( ) ( ) 2 cos
2 2
A B A Bsen a b sen a b sen a b sen A sen B sen                   
 
1 2
22
( , ) ( , ) ( , ) sen( ) sen( ) 2 sen( / 2) cos( / 2)R m m
B A BA A B
y x t y x t y x t y kx t kx t y kx t     

 
   
                    
 
  
 
, termo propagantey ( ) termo de amplitude
( , ) 2 cos( / 2) sen( / 2)
m R
R my x y y kx t

  

      (3.5) 
A onda resultante yR possui o mesmo comprimento de onda λ, mesmo período T, apenas a amplitude (
, ( ) 2 cos( / 2)m R my y    ) difere das ondas individuais ym. Agora podemos analisar a interferência que uma 
onda causa na outra, a partir da amplitude da onda resultante. A interferência pode ser de três tipos: 
 Interferência Construtiva - Ocorre quando a amplitude é máxima, ou seja, cos( / 2) 1   . Isso 
implica que 𝑦௠,ோ = 2 ∙ 𝑦௠ . Devemos encontrar quais são os ângulos em que esses pontos de máximos 
ocorrem. 
A partir do gráfico ao lado, a função cosseno assume os 
valores ±1, quando o argumento é θ=n·π, onde n=0,1,2,3,... 
qualquer número inteiro. Neste caso, dizemos que as ondas 
estão em fase. 
cos( / 2) 1 / 2 2
2 , 0,1,2,3,...
n
n
n n
n n
    
 
        
   
 
 
 
 
Figura 78 – Na Interferência construtiva as ondas se somam e a amplitude duplica ym,R=2∙y1, para y1=y2=1. 
 
 
 
 
142 
 
 Interferência Destrutiva - Ocorre quando a amplitude é zero 𝑦௠,ோ = 0 , ou seja, cos( / 2) 0  , 
devemos encontrar quais são os ângulos  que isso ocorre. 
A partir do gráfico ao lado, a função cosseno assume o 
valore 0, quando o argumento , 1,3,5,7,...
2
n n    , 
onde n=1,3,5,7,... qualquer número inteiro impar. 
cos( / 2) 0
2 2
1,3,5,7,...
n
n
n n
n n
   
 
      
  
 
 
Figura 79 – Interferência destrutiva ocorre com a ‘destruição’ da onda resultante. 
 Interferência intermediária entre a construtiva e a destrutiva - Neste caso, podemos ter duas 
situações em que a amplitude da onda resultante está compreendida no intervalo mostrado nas figuras 
abaixo. 
 
A amplitude da onda resultante está 
compreendida no intervalo: 𝑦௠ < 𝑦௠,ோ < 2 ∙ 𝑦௠. 
 
A amplitude da onda resultante está compreendida no 
intervalo: 0 < 𝑦௠,ோ < 𝑦௠. 
 
1) Duas ondas 1 11( , ) 0.3 (0.1 20 )y x t m sen m x s t    e 1 12 ( , ) 0.3 (0.1 20 )y x t m sen m x s t      estão se propagando 
em uma corda esticada, sob tração de 400N, no mesmo sentido, mas defasadas de ϕ uma da outra. Calcule: 
a) A onda resultante devido à superposição da onda y1 com a onda y2 ( 1 2( , ) ( , ) ( , )Ry x t y x t y x t  ). 
b) A amplitude da onda resultante. 
c) Os valores de ϕ para que a interferência seja totalmente construtiva. 
d) Os valores de ϕ para que a interferência seja totalmente destrutiva. 
e) A potência da onda resultante para ϕ=2.0rad 
 
Respostas (b) , ( ) 0.6 cos( / 2)m Ry m   ; (c) 2 , 0,1,2,3,...n n   (d) , 1,3,5,...n n   (e) 84.1W 
 
 
143 
 
Ondas Estacionárias em uma corda esticada 
Agora temos duas ondas se propagando em sentidos opostos, para direita (→) e para esquerda (←), ao 
longo de uma corda esticada, de comprimento L e massa total m. A onda resultante é a soma algébrica da onda 
y1 com a onda y2, ou yR(x,t)=y1(x,t)+y2(x,t), onde: 
1
2
 para direita( , ) sen(
 para esquerd
)
( , ) s ) aen(
m
m
y x t y kx t
y x t y kx t


  


  
 
 
Figura 80 – Superposição de duas ondas se propagando em sentidos opostos em uma corda esticada. 
 
Quadro de Identidade Trigonométrica I
eq.(i) ( ) ( ) cos( ) cos( ) ( ),
eq.(ii) ( ) ( ) cos( ) cos( ) ( ). Fazendo e - , então e .
2 2
eq.(iii)
sen a b sen a b a sen b
A B A Bsen a b sen a b a sen b a b A a b B a b
    
          
=eq.(i)+eq.(ii) ( ) ( - ) 2 ( ) cos( ) . eq.(iv) ( ) ( ) 2 cos
2 2
A B A Bsen a b sen a b sen a b sen A sen B sen                   
 
Onda resultante, usando as identidades trigonométricas, 
     1 2( , ) ( , ) ( , ) sen( ) sen( ) 2 ( ) cos( ) .R m m
A B A B A B
y x t y x t y x t y k x t k x t y sen k x t                           
 
 
termo oscilatoriotermo de amplitude
( , ) 2 ( ) cos( ) . Não representa uma onda propagante.R my x t y sen k x t      (3.6) 
A onda resultante não representa uma onda propagante, mas sim, algo que oscila no tempo t. Os instantes em 
que a corda vai estar completamente esticada, sem vibração, ocorrem quando cos(ω∙t)=0, ou seja, quando 
ω∙t=n∙π/2, n=1,3,5,..... Como ω=2∙π/T, os instantes de tempo são: tn=n∙T/4, n=1,3,5,... e T é o período. 
Potência média da onda resultante 
A potência média é a energia por unidade de tempo necessária paramanter a onda oscilando, é a energia 
gasta por tempo. Também podemos dizer que é a energia transportada pela onda. A energia é proporcional à 
amplitude ao quadrado e também a frequência ao quadrado (ω2=22∙π2∙f2 ). Ondas de alta frequência são ondas 
que requerem mais energia. Ondas de baixas frequências são ondas de baixa energia. 
 2 21 2 ( ) (Potência Média da Onda)
2m m
P y sen k x          
144 
 
2 2 2( ) 2 ( ) , para 0 .m mP x y sen k x x L           
Para x=0 (extremidade esquerda da corda) tem-se sen(0)=0 
(onda amarrada). Para x=L (extremidade direita da corda), 
devemos impor que sen(k·L)=0. Portanto, as extremidades da 
corda devem ser pontos de nó. Pontos de nó são pontos estáticos 
(veja figura ao lado), que não se movem nem no espaço y e nem 
no tempo t. Já os pontos de anti-nó oscilam para cima e para 
baixo com o passar do tempo t. 
 
 A extremidade esquerda da corda corresponde a x=0 e 
( 0) 0sen k   , a condição de nó já é satisfeita. Agora devemos 
impor a condição de nó para a extremidade direita da corda, 
correspondente a x=L e ( ) 0sen k L  . Portanto, devemos 
procurar os pontos onde a função seno é sempre igual a zero 
para o argumento θ=k∙L. Para isso, vamos analisar o gráfico 
ao lado da função seno. 
A partir do gráfico ao lado, a função sen(θ) assume os valores zero para , 1,2,3, 4,...n n    para qualquer 
número inteiro múltiplo de pi (π). Veja que n=0 já corresponde a extremidade esquerda (x=0), aqui estamos 
analisando a extremidade direita x=L. Portanto, k L n    e 𝑘 = ௡∙గ
௅
, onde n=1,2,3,...Agora podemos calcular 
o comprimento de onda λ em função do comprimento da corda L, pela relação 2 2 2 2 .Lk nk n
L
   
     
2 e , 1, 2,3,...
2n
L nL n
n
     
Podemos dizer que em L (comprimento da corda) cabe 
2
n  comprimento de onda. Veja que o comprimento de 
onda λ só depende do comprimento da corda L e nada mais. 
Na figura ao lado, veja os três primeiros valores de n. 
Para n=1, em L cabe λ/2 comprimento de onda. 
Para n=2, em L cabe λ comprimento de onda. 
Para n=3, em L cabe 3/2∙λ, e assim por diante. 
 
 
Como determinar o modo vibracional n de uma onda estacionária a partir da análise gráfica 
Para se determinar o modo vibracional n de uma onda estacionária, basta contar, a partir do zero da 
extremidade esquerda da corda, o número de pontos de nós dessa onda estacionária até a extremidade direita da 
corda. Este último número representa o modo vibracional da corda. Veja os três exemplos a seguir, como os 
seus respectivos modos n vibracionais. 
145 
 
 
 
 
Figura 81 – Na figura à esquerda, corresponde ao primeiro harmônico n=1. Na figura do meio, n=3 (terceiro harmônico). 
Já na figura à direita, tem-se o sexto harmônico n=6. O modo vibracional n é contado do nó esquerdo (correspondente a 
n=0) para o último nó à direita. 
 
Frequência de ressonância 
 Podemos agora calcular a frequência de ressonância, usando a relação 
isolar 
 e ,
nf
n n n
n
Ff f   
 
     
 1, 2,3,...
2n
n Ff n
L 
  (3.7) 
onde n é chamado modo vibracional, L é o comprimento da corda (em metro), μ=m/L é a densidade linear de 
massa da corda (kg/m) e F é a força de tração na corda (N). Para n=1 corresponde ao estado fundamental ou 
primeiro harmônico. Para n=2 corresponde ao segundo harmônico, para n=3 ao terceiro harmônico e assim por 
diante. A sequência das frequências é chamada de série harmônica {f1, f2, f3, f4, f5,...} onde 
1 1
1, .
2n
Ff n f f
L 
   Você pode mostrar que 1 1.n nf f f   Essas são as frequências de oscilação 
(vibração) na corda esticada. No entanto, para o violão, ouvimos o som porque a corda excita o ar (produzindo 
ondas sonoras) a vibrar na mesma frequência de oscilação da corda. 
 
Caso particular: o violão 
Normalmente a tensão na corda de violão é em torno de 50N, que corresponde a uma massa pendurada de 5kg. 
Para 6 cordas, o violão tem que suportar uma massa equivalente a 30kg (ou 300N). Para afinar o violão, é 
necessário aplicar uma força de tração F nas cordas, apertando ou folgando através das tarraxas (Figura 82.a). 
O violão normal possui seis cordas, que aumenta gradualmente de densidade linear de massa μ; da corda fina 
para a mais grossa. Para se produzir uma nota musical, coloca-se o dedo pressionando a corda de violão contra 
o traste (ou pestana), isso cria um ponto de nó e o comprimento da corda L passa ser a distância do cavalete 
(Figura 82.b). até o traste (Figura 82.c). Observe que tudo que foi citado contribui para variar a frequência 
produzida pelo violão e se obter um som harmonioso para os nossos ouvidos. 
(a)
 
(b) 
 
(c) 
 
Figura 82 – Variação da frequência produzida por uma corda de violão esticada. Em (a), as tarraxas são usadas para 
aumentar ou diminuir a tração na corda. Em (b), as pestanas são utilizadas para aumentar ou diminuir o comprimento da 
corda L em relação ao cavalete (c). 
Devido à fisiologia do ser humano, percebemos sons de maneira não linear. O intervalo de frequência 
que conseguimos distinguir os sons uns dos outros, não se mede pela diferença das frequências (fn+1-fn), mas 
146 
 
pela razão entre elas (fn+1/fn). Isso significa que os sons no intervalo de frequências entre 200Hz e 400Hz 
parecerão os mesmos para nossos ouvidos, ou seja, as frequências 205Hz, 238Hz, 280Hz, 320Hz, 379Hz, 
teremos a percepção de ser o mesmo som. Apenas quando as frequências aparecem da forma 200Hz, 400Hz, 
800Hz, 1600Hz, 3200Hz, etc, teremos a percepção de estarmos ouvindo sons diferentes. Por convenção, define 
uma oitava como sendo a razão entre frequências consecutivas como sendo igual a 2, ou seja, fn+1/fn=2 que é 
uma oitava. A escala musical utilizada é chamada de temperada. Esta divide cada oitava em 12 semitons. Como 
fn+1 =2∙ fn e este intervalo é dividido por 12 (logaritmicamente espaçados), então a razão m entre as frequências 
de semitons consecutivos é obtida fazendo m12∙ fn=2∙ fn, isolando m (elevando ambos os membros da igualdade 
a 1/12) temos 𝑚 = 2ଵ/ଵଶ. Portanto, cada pestana do violão irá estar separada uma da outra (seguinte pela 
anterior) por um fator 2ଵ/ଵଶ. A escala musical é construída a partir da frequência de referência 440Hz (Lá 
fundamental). Uma oitava é formada pela série harmônica {Dó, Dó#, Ré, Ré#, Mi, Fá, Fá#, Sol, Sol#, Lá, Lá#, 
Si}. 
 
Figura 83 – Ondas estacionárias produzidas na corda de violão. Na 
figura à direita, tem-se os quatro primeiro harmônicos (n=1,2,3 e 4). 
 
 
 
 
Para o primeiro harmônico (n=1), complete a tabela abaixo para a velocidade das ondas na corda de violão, que 
geraram a onda estacionária. 
Corda Nota Frequência F1 (Hz) 
Tensão F (N) Densidade linear μ (g/m) 
Velocidade 
(m/s) 
1ª (mais fina) mi 307 47 0.28 
2ª si 241 51 0.52 313.2 
3ª sol 192 46 0.74 
4ª Re 145 54 1.52 
5ª la 109 52 2.60 
6ª (mais grossa) mi 82 55 4.84 
Tabela 6 – Notas musicais produzidas no violão. 
Onda estacionária em uma membrana esticada (2D) 
Anteriormente estudamos uma onda estacionária em uma corda esticada, problema em uma dimensão 
(1D). O problema em duas dimensões (2D), o princípio é o mesmo da corda, só que agora temos uma superfície 
esticada. Como exemplo, temos os instrumentos de percussão; tais como tambores, pandeiros, etc. Observe nos 
instrumentos na Figura 84, a membrana também precisa ser esticada (afinar o instrumento) para produzir o som 
na frequência correta. Para ouvirmos o sim, batemos na membrana para esta vibrar e excitar a ar a oscilar 
147 
 
também na mesma frequência dando origem a onda sonora. O estetoscópio também utiliza uma membrana 
esticada para captar o som no interior do corpo humano. O nosso tímpano também é uma membrana que vibra 
na frequência das ondassonoras no interior do canal auditivo. 
 
Figura 84 - Instrumentos musicais de percussão que usam membrana esticada. O estetoscópio também usa uma 
membrana esticada para captar o som produzido no interior do corpo humano. 
 
Bioacústica 
A bioacústica é a ciência que estuda a produção, propagação e a captação de sons pelos animais. Os 
animais utilizam o som para emitir uma informação. Essa informação pode ser para coordenar um ataque, soar 
um alerta de defesa contra predadores, para impressionar uma fêmea para o acasalamento (o cantar dos 
passarinhos, o cantar das cigarras, etc). Todo o tipo de som envolve a oscilação ou vibração de alguma coisa. O 
violino envolve a vibração da corda de aço esticada. Os instrumentos de percussão envolvem a vibração de uma 
membrana esticada. O gafanhoto produz vibração esfregando a sua perna contra a sua asa. Essas vibrações 
propagam pelo ar via ondas sonoras, que será o tema da próxima seção. 
(a) 
 
(b) 
 
Figura 85 – Em (a), a corda esticada do violino excita o ar a vibrar na mesma frequência, assim como a asa do gafanhoto 
o faz, em (b). 
 
Exercícios 
1) A frequência de ressonância (1º harmônico) de uma onda estacionária em uma corda esticada é de 180hz. 
a) Qual o valor da frequência do 2º e do 3ª harmônico. 
b) Qual o valor da velocidade das ondas individuais, dado que o comprimento da corda é de 100cm? 
2) Duas ondas iguais, se propagando em sentidos opostos, com velocidade de 240m/s em uma corda esticada de 
comprimento L=80cm. Calcule: 
a) A frequência de ressonância no modo fundamental. 
b) A frequência de ressonância correspondente ao segundo harmônico. 
c) A frequência de ressonância geral para qualquer n harmônico. 
3) Uma corda esticada entre dois pinos fixos e separados por uma distância de 80cm, emite em um modo 
desconhecido n uma frequência de ressonância de 315Hz sendo que a frequência seguinte é de 420Hz. 
a) Determine a frequência de ressonância no modo fundamental. 
148 
 
b) A velocidade das ondas individuais. 
 
4) Nas figuras abaixo se têm duas ondas estacionárias em cordas diferentes e de mesmo comprimento L=10m. 
Qual é o modo n da frequência de oscilação da onda na figura à esquerda e na figura à direita? 
 
 
5) Uma corda presa a um oscilador senoidal no ponto P e apoiada em um 
suporte no ponto Q, é tensionada por um bloco de massa m. A distância 
entre P e Q é L=120cm e μ=1.6g/m (da corda) e a frequência do oscilador 
é 120Hz. Qual é o valor da massa m, sabendo que o oscilador gerou uma 
onda estacionária na corda (veja figura ao lado). 
 
 
Respostas: 
1) (a) 360hz, 540hz; (b) υ=360m/s 
2) (a) 150hz;( b) 300hz; (c) fn=n∙150hz, n=1,2,3,... 
3) (a) 105hz; (b) 168m/s 
4) n=3; n=6 5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
149 
 
Ondas sonoras (ondas longitudinais) 
 
Ondas sonoras são ondas mecânicas longitudinais que se propagam no ar (meio gasoso) cuja direção de 
oscilação coincide com a direção de propagação. A onda se propaga no eixo-x (↔), para direita (→) ou para 
esquerda (←) e as partículas do meio oscilam também no eixo-x (↔), para frente (→) e para trás (←). O som se 
propaga no ar com uma velocidade média de 343m/s ou 1231 km/h. O ser humano só consegue ouvir o som na 
faixa de frequência de 20Hz até 20000Hz. Para frequências menores que 20Hz chamamos de infrassom. Já para 
frequência superiores a 20000Hz é chamada de ultrassom. Para o som, a frequência de referência adotada é o 
1000Hz. Dessa forma, temos a série harmônica oitavas dentro da nossa faixa de audição: 31.25Hz, 62,5Hz, 
125Hz, 250Hz, 500Hz, 1000Hz, 2000Hz, 4000Hz, 8000Hz, 16000Hz. 
Equação da onda sonora em termos de variação de amplitude s das partículas do meio 
 ( , ) cos( ) .ms x t s k x t     (3.8) 
Equação da onda sonora em termos de variação de Pressão do ar (Pressão Manométrica) 
 ( , ) ( ) .mP x t P sen k x t       (3.9) 
A relação entre amplitude de oscilação das partículas do meio sm e a amplitude pressão manométrica Pm é 
dada por , 2m ar mP s f            . Para o ser humano, o menor valor da amplitude de pressão que 
consegue sensibilizar a audição é em torno de Pm,0=2.8∙10-5N/m2. 
 
Figura 86 – Propagação de uma onda sonora. As partículas do meio oscilam em torno da sua posição de equilíbrio. 
 
 
 
150 
 
Velocidade de propagação da onda sonora em função do meio material 
A velocidade de propagação do som (em 3D, três dimensões) no meio material pode ser calculada por 
uma relação análoga a anterior em uma corda esticada (em 1D, uma dimensão). A expressão para velocidade da 
onda sonora no meio material é dada pela relação 
 , meiosom meio
meio
B

 (3.10) 
onde Bmeio é coeficiente de incompressibilidade, é a resistência à compressão que o meio material oferece 
[B]=N/m2 e ρmeio é a densidade volumétrica do meio material de propagação do som [ρ]=kg/m3. 
Exemplo 
E.1) Calcular a velocidade de propagação do som na água. Dado: Bagua=2.2∙109N/m2 e ρ=1000kg/m3. 
9 2
, 3
2.2 10 / 1483 / 1480 / .
1000 /som agua
N m m s m s
kg m
    
A velocidade de propagação da onda sonora sempre depende do meio material. Quando o som passa do 
meio ar (=343m/s) para a água (=1480m/s) a velocidade muda e o comprimento de onda também. Quando 
estamos mergulhados em uma piscina, de dentro d’água conseguimos ouvir as pessoas que estão na superfície 
conversando e até podemos distinguir as vozes das pessoas. Isso acontece porque a frequência sonora quando 
passa do meio ar para a água não sofre alteração, embora o comprimento de onda sim, devido à mudança na 
velocidade do som, pois esta depende do meio de propagação. Veja que υ= λ∙f, se f é mantida constante, então 
temos υ ~ λ, a velocidade é proporcional ao comprimento de onda. Se a velocidade υ aumenta, o comprimento 
de onda λ também deve aumentar para manter constante a frequência sonora f. E se a velocidade υ diminui, o 
comprimento de onda λ também diminui. A frequência sonora só muda quando existe um movimento relativo 
entre a fonte sonora e o detector, que é chamado efeito Doppler. 
 
Figura 87 – Quando a frequência sonora passa de um meio material (ar) para outro meio diferente (água, por exemplo), 
essa frequência sonora não se altera, somente a velocidade υ e o comprimento de onda λ mudam de valores. A velocidade 
do som sempre depende do meio de propagação. 
151 
 
Impedância acústica é definida como Z=υ∙ρ (densidade 
volumétrica do meio vezes a velocidade do som nesse meio) é 
a resistência que o meio oferece a passagem do som. Quando o 
som passa de um meio para outro com mesma impedância 
acústica Z, toda a intensidade I onda incidente é transmitida 
para o segundo meio. Já quando os meios possuem 
impedâncias acústicas diferentes (com o ar e água, por 
exemplo), parte da intensidade I da onda incidente será 
refletida na interface entre os dois meios e a outra parte 
transmitida para o segundo meio, obedecendo à conservação da 
energia na interface entre os meios, ou seja, 
Iincidente=Irefletido+Itransmitido. Os ângulos de incidência, reflexão e 
transmissão obedecem a lei de Snell, veja figura ao lado. 
 
Zar=343m/s∙1.2kg/m3=411.6kg/(m2∙s) e 
Zagua=1480m/s∙1000kg/m3=1.48∙106 kg/(m2∙s) 
 
Ensaio de compressão para medir o coeficiente de incompressibilidade B (módulo de elasticidade 
volumétrico). Você pode fazer uma analogia de B (em 3D, três dimensões) com a constante elástica k de uma 
mola sob ensaio de compressão em (em 1D, uma dimensão). 
 
;V FP B P
V A
     
 
B=coeficiente de 
incompressibilidade volumétrico, 
é a resistência à compressão que 
um material oferece. É uma 
espécie de ‘constante elástica k’ 
do meio. 
 
Para se medir o coeficiente de incompressibilidade B, 
aplica-se uma força de compressãonas três direções (x,y 
e z) sobre o material e aumenta gradualmente essa força 
e mede a diminuição do volume relativo (-V/V). A 
inclinação entre a força aplicada (por unidade de área 
P) e a variação do volume relativo (-V/V), fornece o 
valor de B. 
 
 
Em analogia com a 
compressão de uma mola, 
a inclinação da reta entre a 
força elástica Fe e o 
deslocamento z é a 
constante elástica k. 
 
Para meios idealizados, que são chamados de rígidos ou incompressíveis, teríamos um B infinito. Nestes 
meios idealizados não existe propagação de ondas sonoras. Ondas mecânicas se propagam apenas em meios 
‘elásticos’, que se deformam. Veja alguns valores para a velocidade do som em meios matérias sólidos, líquidos 
e gasosos , na Tabela 7. 
 Elemento  (m/s) 
Sólidos 
Alumínio 6400 
Granito 6000 
Aço 5941 
Líquidos 
 
Água salgada 
 
1522 
Água (20ºC) 1483 
Água (0ºC) 1402 
Gases 
 
Hidrogênio 
 
1284 
Hélio 965 
Ar (20ºC) 343 
Ar (0ºC) 331 
Tabela 7 – Velocidade do som em alguns meios materiais sólidos, líquidos e gasosos. 
 
152 
 
Intensidade sonora (energia por unidade de tempo e de área) 
Anteriormente estudamos a potência média da onda, agora vamos examinar a potência por unidade de 
área, que é a intensidade da onda, (Intensidade=Potência/Área). Essa intensidade sonora é calculada pela soma 
da energia cinética das partículas do meio mais a energia potencial elástica de oscilação das partículas do meio. 
Intensidade da onda Sonora 
 
Para o ar Para a água 
♣ Intensidade sonora I em termos da amplitude (sm) de oscilação das partículas 
do meio de propagação da onda 
=343m/s 
ρ=1.2kg/m3 
ω=2∙π∙f 
=1480m/s 
ρ=1000kg/m3 
ω=2∙π∙f 
 2 2 21 ( / ) .
2 m
I s W m      (3.11) 
A intensidade é proporcional ao quadrado da amplitude (𝑠௠ଶ ) e ao quadrado da frequência f 2 2( (2 ) )f  . 
Ondas de alta frequência são ondas altamente energéticas. E as ondas de baixa frequência são as ondas de baixa 
energia. 
♣ Intensidade Sonora I em termos de variação de pressão do meio (pressão manométrica) 
 
2
2( / ) .
2
mPI W m
 

 
 (3.12) 
A relação entre amplitude de pressão Pm e oscilação das partículas do meio sm é: m mP s       e 
também Pm=ʋ2∙ρ∙ sm∙k ou Pm=ρ∙ ʋ ∙ sm∙ω. A lembrar que 𝑘 = ଶగఒ =
ఠ
ʋ
 e ʋ=f∙λ. 
Quando você ouve musica e decide aumentar o volume do som, você está aumentando a amplitude de 
vibração das partículas do meio sm ou aumenta a amplitude de pressão do meio Pm, pois a frequência f não 
pode mudar, pois isso alteraria a ‘voz’ do cantor. Em resumo, você aumenta a intensidade sonora I que chega 
até os seus ouvidos. E quando você decide diminuir o volume do som, você está diminuído a intensidade 
sonora, que pode chegar ao ponto de você não mais escutar a música, se I estiver abaixo de 10-12 W/m2, que é o 
limiar da audição humana para frequência de 440Hz. Esse limiar depende da frequência da onda sonora. 
Escala Decibel (β) 
 A escala decibel é baseada na fisiologia do ser humano. O ouvido humano começa a perceber o som 
para intensidades sonoras superiores a I0=10-12W/m2. Já o limite da dor em nossos ouvidos ocorre para 
intensidades acima de 1W/m2. Devido a essa enorme diferença entre o mínimo e o máximo (um trilhão) para os 
valores da intensidade sonora, foi necessário definir uma escala logarítmica de intensidade. Essa escala é 
chamada de Decibel, ou 
 10 0
12 2
0
10 log ,
10 / (Limiar da audição).
IdB
I
I W m


 
   
 

 (3.13) 
Danos a audição já começam a acontecer para intensidades superiores a 85dB (que depende do tempo de 
exposição). A lei federal (LEI Nº 11.291, DE 26 DE ABRIL DE 2006) estabelece que todo equipamento 
eletrônico que emita som contenha um aviso de advertência que ouvir som acima de 85dB é prejudicial a 
audição. Veja na Tabela 8 alguns ruídos na escala decibel. 
Ruído β (dB) 
Limiar da audição 0 
Ruído de folhas de arvores 10 
153 
 
Conversa baixa 60 
Prejudicial à audição a partir de 85 
Show de rock 110 
Limiar da dor 120 
Turbina de avião a jato 130 
Tabela 8 – Alguns ruídos típicos na escala decibel . 
 
 
 
Exercícios 
1) Qual é a intensidade na escala decibel (β) para I=10-5W/m2. 
2) A lei federal (LEI Nº 11.291, DE 26 DE ABRIL DE 2006) estabelece que todo equipamento eletrônico que 
emita som contenha um aviso de advertência que se ouvir som acima de 85dB é prejudicial a audição. Calcule a 
intensidade sonora (I em W/m2) equivalente a 85dB. 
3) Sons acima de 160dB podem danificar o tímpano. Calcule: 
a) A amplitude de pressão (∆Pm) de uma onda sonora no ar com um nível de intensidade de 160dB. Considere a 
densidade do ar como sendo ρ=1.2kg/m3 e a velocidade do som no ar ϑ=343m/s. 
b) A força exercida sobre um tímpano de área 5.5.10-5m2, por causa dessa onda ( )m tímpanoF P A   . 
4) A Diferença entre os níveis sonoros de dois sons é de 50.0dB (βShow de rock -βconversa). Calcule a razão entre a 
intensidade maior e a intensidade menor (Ishow_rock/Iconversa). 
5) Uma onda sonora com uma frequência de 5000Hz tem uma intensidade de 5.0∙10-6W/m2. Calcule as 
amplitudes das oscilações (∆Pm e sm) do ar causado por essa onda. 
6) Complete a tabela abaixo, convertendo a intensidade na escala decibel β para I em W/m2, para Pm em N/m2 
e calcule a amplitude sm de oscilação das partículas do meio (ar), para uma onda com λ=0.686m. Dados para o 
ar: =343m/s e ρ=1.2kg/m3. 
Ruído β (dB) I (W/m2) ∆Pm (N/m2) sm (m) 
Limiar da audição 0 
Ruído de folhas 10 10-11 9.07∙10-5 7.02∙10-11 
Conversa baixa 60 
Show de rock 110 
Limiar da dor 120 
Turbina a jato de 
avião 
130 
 
Respostas: 
1) 70dB 4) 100000=105 
2) 3.16.10-4W/m2 5) (a) ∆Pm=0.064 N/m2; sm=4.96.10-9m 
3) (a) ∆Pm=2.87.103N/m2; (b) F=0.16N 
 
 
 
 
154 
 
Interferência entre duas ondas sonoras devido a uma diferença de caminho 
Vamos analisar a interferência entre duas fontes sonoras sobre um ouvinte em um ponto P. Esse ponto P 
está a uma distância L1 da fonte sonora 1 e a uma distância L2 da fonte sonora 2, veja ilustração abaixo. 
 
 A fonte sonora 1 está a uma 
distância L1 do ponto P. E a fonte sonora 
está a uma distância L2 do ponto P. 
Vamos assumir que estas duas ondas 
saem em fase e no mesmo instante de 
tempo e vamos calcular a interferência 
entre as ondas exatamente no ponto P. 
Basicamente, as ondas se somam no 
ponto P. Vamos calcular a onda 
resultante, devido a soma da onda 1 com 
a onda 2, no ponto P. Essa onda 
resultante não mais depende do espaço 
(pois o espaço já tá fixo, que é o ponto 
P), apenas do tempo t. 
 
 
Quadro de Identidade Trigonométrica II
eq.(i) cos( ) cos( ) cos( ) ( ) ( ),
eq.(ii) cos( ) cos( ) cos( ) ( ) ( ). Fazendo e - , então e .
2 2
.( )
a b a b sen a sen b
A B A Ba b a b sen a sen b a b A a b B a b
eq iii
    
          
.( ) .( ) cos( ) cos( - ) 2 cos( ) cos( ) . eq.(iv) cos( ) cos( ) 2 cos cos
2 2
A B A Beq i eq ii a b a b a b A B                     
 
Ondas 1 e 2, que chegam no ponto P, enviadas pelas fontes sonoras 1 e 2, respectivamente. 
1 1 1
2 2 2
( , ) cos( ) no ponto P,
( , ) cos( ) no ponto P.
m
m
s x L t s k L t
s x L t s k L t


    
    
 
Calcular a onda resultante no ponto P, 
1 1 2 2 1 2
1 2 1
( ) ( , ) ( , ) cos( ) cos( )
( ) ( ) ( = 2 cos cos
2
R m
A B
A B A
m
s P s x L t s x L t s k L t k L t
k L t k L t k L ts
 
  
 
             
 
          
 
 
 
  
2) ( )
2
B
k L t
      
  
  
  
 
 1 21 2( )( ) 2 cos cos
2 2R m
L LL Ls P s k t k               
 
 1 2 1 2
termo oscilatório temporal em Ptermo de amplitude em P
( )( ) 2 cos cos
2 2R m
L L L Ls P s k k t                
 (3.14) 
155 
 
Agora vamos analisar a ocorrência de interferência construtiva e destrutiva a partir do termo de amplitude da 
onda resultante . ( ) 2 cos 2m R m
L
s L s k
  
     
 
, onde 1 2L L L   é a diferença de caminho. Podemos usar o 
módulo |...| porque cos(-)=cos(). 
 Interferência Construtiva - Ocorre quando a amplitude é máxima sm,R=2∙sm (que corresponde a máxima 
intensidade sonora) e acontece quando cos 1
2
L
k
  
   
 
. Portanto, devemos encontrar quais são os ‘ângulos’ 
em radianos em que esses pontos de máximos ocorrem. 
A partir do gráfico ao lado, cos(θ)= ±1 
quando θ=n·π, onde n=0,1,2,3,... qualquer 
número inteiro. 
cos 1
2 2
2 2
L L
k k n
nL
k


   
       
 
    n  
2 
, 1,2,3,...
n
n
L n n



 
 
 
 
   
 
tal que n=0 é a situação para L1=L2. 
Quando a diferença de caminho entre as 
fontes sonoras for um múltiplo inteiro do 
comprimento de onda λ das fontes sonoras, 
teremos interferência construtiva. 
 
 
Isso significa que se você estivesse parado no ponto P ouviria o 
som equivalente a 4 vezes a intensidade sonora das fontes 
individuais. 

,
2
2 2 21 12 4
2 2
m R
P ar m ar m
s
I s s     
                 
 
 
 Interferência Destrutiva - ocorre quando a amplitude é zero, ou seja, cos( ) 0
2
L
k

  , devemos encontrar 
quais são os ângulos que isso ocorre. 
A partir do gráfico ao lado, cos(θ)=0 para 
θ=n∙π/2, onde n=1,3,5,7,... qualquer número 
inteiro impar. 
cos( ) 0
2 2
L L
k k
 
   
2
n
2 2
n n nL
k

  


     
 
  
 
 
 
1,3,5,7,...
2
nL n    Quando a diferença de caminho entre as fontes sonoras for metade de um número 
impar do comprimento de ondas λ das fontes sonoras. Se você estivesse parado no ponto P não ouviria nenhum 
som vindo das fontes sonoras, pois a intensidade da onda resultante é 

,
2
21 0 0.
2
m R
P ar
s
I   
 
       
 
Exemplos 
E.1) Na figura abaixo, dois altos falantes emitem sons na mesma frequência (68.6Hz ) e em fase (os sons saem 
no mesmo instante de tempo), através de um cano (1 e 2). Calcule: 
156 
 
a) Todos os valores de R(raio de um semicírculo) para 
que a interferência seja totalmente construtiva. Qual é 
o menor valor de R? 
b) Todos os valores de R para que a interferência seja 
totalmente destrutiva. Qual é o menor valor de R? 
Solução: 
a) Para que se tenha interferência construtiva, a diferença de caminho deve ser , 1,2,3,...
n
L n n    .O 
comprimento de onda 343 / 5
68.6
m s m
f Hz
    . A diferença de caminho entre os altos falantes e o ouvinte é 
 2 ( 2)n
diâmetrosemi círculo
L R R R 

     . Portanto, ( 2) .R n    Isolando R: , 1, 2,3,...
( 2)n
nR n

 

O menor 
valor de R é 1
1 5 4.39
( 2) ( 2)
mR m
 
  
 
. 
b) Para que se tenha interferência destrutiva, a diferença de caminho deve ser , 1,3,5,...
2n
nL n    .O 
comprimento de onda λ=5m (igual ao anterior). A diferença de caminho entre os altos falantes e o ouvinte 
também é a mesma do item anterior ( 2)
n
L R    . Portanto, ( 2)
2
nR     isolando R: 
, 1,3,5,...
2 ( 2)n
nR n

 
 
O menor valor de R é 1
5 2.19
2 ( 2) 2 ( 2)
mR m
 
  
   
 
Exercícios 
1) Calcular o maior comprimento de onda λ emitido pelos altos falantes 1 e 2, que emitem sons na mesma 
frequência e em fase, para que se tenha no ponto onde se localiza o ouvinte as situações: 
a) Interferência totalmente construtiva 
b) Interferência totalmente destrutiva. 
 
 
2) Dois altos falantes, 1 e 2, emitem sons com mesmo comprimento de onda λ=10m e estão apontando em 
sentidos opostos. Entre os altos falantes existe um ouvinte. Calcule o menor comprimento L2(≠0) para que a 
interferência no ouvinte seja: 
a) Totalmente construtiva 
b) Totalmente destrutiva. 
 
 
3) Na figura ao lado, dois altos falantes emitem sons na mesma frequência e em fase (os 
sons saem no mesmo instante de tempo), através de dois canos de comprimento L1=100m e 
L2=102m. Calcule o menor valor da frequência sonora para que a interferência em P seja: 
a) Totalmente construtiva. 
b) Totalmente destrutiva. 
 
Respostas: 
1) 
2) 
 
157 
 
Batimento (*Opcional) 
Anteriormente vimos interferência espacial, que ocorre devido a uma diferença de caminho. Agora 
vamos investigar somente a interferência temporal, ocasionada por duas ondas sonoras, s1 e s2, com frequências 
diferentes (mas, amplitudes iguais sm). Nesta análise, vamos desprezar o termo k∙x da variação espacial da onda, 
pois podemos imaginar este termo igual a zero ou uma constante qualquer, k∙x=constante ou k∙x=0. Vamos 
considerar as ondas 
1 1
2 2
( ) cos( ),
( ) cos( ),
m
m
s t s t
s t s t


  
  
 
e calcular a onda resultante, que é a soma algébrica, em qualquer posição,
 1 2 1 2
1
( ) ( ) ( ) cos( ) cos( ) = 2 cos cos
2 2
 = 2 cos
R m m
A B
m
A B A Bs t s t s t s t t s
s
 

                                    
 
 
.
2 1 2
termo de amplitude= termo oscilatório
cos .
2 2
m Rs
t t                         
 
Veja que a nossa onda resultante pode ser escrita como  .( ) ( ) cos .R m R ms t s t t   Quando dois sons com 
frequências diferentes chegam aos nossos ouvidos simultaneamente, temos a percepção de estarmos ouvindo 
apenas uma frequência, que é a frequência média 𝜔௠ =
ఠభାఠమ
ଶ
, que a aparece no termo oscilatório da onda 
resultante. Agora vamos analisar o termo de amplitude da onda resultante, 1 2. ( ) 2 cos ,2m R m
s t s t        
 que 
é também é oscilante com o tempo t. Quando 𝜔ଵ = 𝜔ଶ, implica que a amplitude é sempre constante, 
sm,R(t)=2∙sm, como esperado, pois cos(0)=1. Podemos usar o módulo ቚ
ఠభିఠమ
ଶ
ቚ, porque a função cosseno é uma 
função par, relembrando, cos(-)=cos(). 
 
Figura 88 – A curva em linha preta representa a superposição de duas ondas com frequências f1=25Hz e f2=15Hz. A 
frequência de batimento é o módulo da diferença entre as frequências f1 e f2, ou seja, fb=10Hz. Essa frequência de 
batimento significa que o ‘volume’ do som irá aumentar e diminuir 10 vezes em um segundo (bolas verdes). A percepção 
do som é a frequência média fm=20Hz. As linhas tracejadas representam as ondas individuais, s1 e s2. 
 
 
158 
 
A intensidade sonora I será máxima (maior volume do som) quando a amplitude for máxima, ou seja, 
±2∙sm, que irá ocorrer duas vezes, em +2∙sm e -2∙sm, ao longo de um período. Portanto, chamamos o termo 
ቚఠభିఠమ
ଶ
ቚ ∙ 2 de frequência de batimento 𝜔௕ = |𝜔ଵ − 𝜔ଶ|, ou 𝑓௕ = |𝑓ଵ − 𝑓ଶ|. O termo 2 aparece multiplicando o 
módulo da frequência porque a intensidade sonora é máxima duas vezes em um período. A intensidade sonora é 
dada pela expressão 2 2 ,
1
2 m R
I s      . Substituindo a termo de amplitude 1 2. ( ) 2 cos 2m R m
s t s t           
 e 
a frequência média 𝜔௠ =
ఠభାఠమ
ଶ
 na equação da intensidade I, temos a expressão final2 2 2 1 2( ) 2 cos ,
2m m
I t s t               
 (3.15) 
 que também é dependente do tempo. Portanto, o volume do som irá diminuir e aumentar, diminuir e aumentar, 
criando o efeito de batimento. Veja na figura abaixo, a curva para a intensidade sonora usando as frequências 
f1=25Hz e f2=15Hz, cuja frequência de batimento é fb=25Hz-15Hz=10Hz. 
 
Figura 89 – Dependência do cosseno ao quadrado da intensidade sonora da onda resultante, devido a soma da onda s1 
com a onda s2, com frequência f1=25Hz e f2=15Hz, respectivamente. A frequência de batimento é fb=25Hz-15Hz=10Hz, o 
volume do som é máximo e nulo 10 vezes em um segundo. 
 
O ser humano consegue perceber frequências de batimento menores ou igual a aproximadamente 10Hz 
(que o ‘volume’ do som aumenta e diminui 10 vezes em um segundo), a partir deste valor, nossa percepção é 
que a intensidade sonora não mais aumenta nem diminui, ela se mantém constante em torno de um valor médio. 
Os pinguins imperadores possuem a habilidade de 
produzir dois sons simultâneos (na siringe que é o órgão de 
produção do som nas aves) com frequências diferentes, 
criando o efeito de batimento para quem ouve. Essa é uma das 
formas em que os pais conseguem distinguir a voz dos filhos 
entre as vozes de milhares de outros pinguins em volta. 
Experiências mostram que os pinguins imperadores 
conseguem o distinguir frequências de batimento de até 
120Hz. Atenção, nem todas aves produzem dois sons 
simultâneos. 
 
 
Fonte: http://horizontegeografico.com.br/exibirMateria/81/terra-de-pinguins 
 
 
 
159 
 
Ondas estacionárias em tubos (fonte de sons musicais) 
 
Agora vamos estudar as ondas sonoras produzidas em tubos. Esses tubos possui uma propriedade de 
atuarem como filtros de frequências. Somente algumas frequências poderão ressoar dentro desses tubos. Vamos 
ver dois tipos de tubos. O tubo aberto (na extremidade esquerda) e fechado (na extremidade direita); e o tubo 
aberto e aberto em ambas as extremidades. 
Quadro de Identidade Trigonométrica II
eq.(i) cos( ) cos( ) cos( ) ( ) ( ),
eq.(ii) cos( ) cos( ) cos( ) ( ) ( ). Fazendo e - , então e .
2 2
.( )
a b a b sen a sen b
A B A Ba b a b sen a sen b a b A a b B a b
eq iii
    
          
 .( ) .( ) cos( ) cos( - ) 2 cos( ) cos( ) . eq.(iv) cos( ) cos( ) 2 cos cos
2 2
A B A Beq i eq ii a b a b a b A B                    
 
Vamos considerar duas ondas sonoras se propagando em sentidos contrários dentro de um tubo de 
comprimento L. Temos uma onda se propagando para esquerda 1( , ) cos( )ms x t s k x t     e a outra onda se 
propagando para direita 2 ( , ) cos( )ms x t s k x t     . Vamos calcular a onda resultante devido à superposição 
dessas:      1 2( , ) ( , ) ( , ) cos( ) cos( ) 2 cos( ) cos( )R m m
A B A B A B
s x t s x t s x t s k x t k x t s k x t                           
. 
 
. termo oscilantetermo de amplitude= temporal
( , ) 2 cos( ) cos( ) , 0 .
m R
R m
s
s x t s k x t x L        (3.16) 
A onda resultante, equação (3.16), não representa uma onda propagante, mas sim, uma onda estacionária. 
Agora nossa análise será feita no termo de amplitude . 2 cos( )m R ms s k x    da onda resultante. Para x=0, 
extremidade esquerda do tubo, tem-se cos(0)=1 que corresponde a extremidade aberta do tubo (deve ser um 
ponto de anti-nó na borda do tubo). Para x=L, extremidade direita do tubo, temos duas situações: extremidade 
aberta e extremidade fechada. Vamos estudar as duas situações em separado. 
 
Extremidade direita (x=L) aberta (ponto de anti-nó) 
 
Extremidade direita (x=L) aberta. 
 
 
 
 
160 
 
cos( ) 1 1,2,3,...
, 1, 2,32 2 , ou 
2
...n
k L k L n
L nL L
n
nn
n
   

      
    
 
 
Frequência de Ressonância 
Podemos agora calcular as frequências de 
ressonâncias, usando a relação 
isolar 
 e .
f
n
n
Bf f   
 
     
1,2,3,...
2n
nf n
L
  
onde =343m/s se o meio de propagação for o ar e 
=1480m/s se o meio for a água. Para n=1 
corresponde ao estado fundamental ou primeiro 
harmônico. Para n=2 corresponde ao segundo 
harmônico, para n=3 ao terceiro harmônico e assim 
por diante. A sequência das frequências {f1, f2, f3, f4, 
f5,...} é chamada de série harmônica onde 
1 1
1,
2n
f n f f
L
   . 
Os pontos de nós podem ser localizados fazendo 
cos(k∙x)=0, onde 0≤x≤L. A solução é k∙x=mπ/2, com 
m=1,3,5,7,... e o valor de k já foi calculado k=nπ/L, 
n=1,2,3,4,..... Logo, ቀ௡గ
௅
ቁ ∙ 𝑥 = ௠గ
ଶ
, isolando x: 
 𝑥௡௠ =
௠
ଶ௡
𝐿 para ௠
ଶ௡
≤ 1, 
com n=1,2,3,4,... e m=1,3,5,7,....O sub índice n em 
𝑥𝒏௠ representa o modo vibracional da onda e o super 
índice m 𝑥௡𝒎 representa a localização do m´enésimo 
nó. Devemos impor a condição que ௠
ଶ௡
≤ 1, pois x≤L, 
n=1,2,3,4,... e m=1,3,5,7,... . 
Caso geral L=n∙λ/2, n=1,2,3,... 
Para n=1, em L cabe λ/2 comprimento de onda. 
Para n=2, em L cabe λ comprimento de onda. 
Para n=3, em L cabe 3/2∙λ, e assim por diante. 
 
 
Aplicação na Biologia 
 
Nos mamíferos, o som é produzido na laringe (veja figura ao lado e 
acima). Já nas aves, o som é produzido na siringe (veja figura ao lado e 
abaixo), que fica entre a traqueia e os brônquios. Em qualquer situação, a 
traqueia pode ser modelada como um tubo aberto e aberto, cuja 
frequência de produção da fala é dada por 1,2,3,...
2n
nf n
L
  . É 
por isso que criança possui a voz bem mais fina que um adulto, por causa 
do comprimento L da sua traqueia. Se você diminuir o comprimento L a 
frequência aumenta. Alta frequência produz som bem ‘fino=agudo’ e 
som de baixa frequência é mais ‘grosso=grave’. Alguns pássaros 
cantores e até mesmo o pinguim imperador, possuem a habilidade de 
gerar simultaneamente dois sons com frequências diferentes em cada 
lado da siringe, produzindo o efeito de batimento, que pode ser 
imperceptível para o ser humano, mas muito bem distinguido pelos seres 
da espécie animal. 
 
 
 
 
 
 
161 
 
 
Instrumentos musicais 
 
 Os Instrumentos musicais de sopro também são modelados como tubos (aberto e aberto). É possível 
variar a frequência sonora produzida no interior do instrumento aumentando ou diminuindo o seu comprimento 
L ou criando regiões de anti-nó, que são orifícios abertos, como no saxofone ou na flauta, por exemplo. 
Extremidade direita (x=L) fechada (ponto de nó) 
 
cos( ) 0 , 1,3,5,...
2 ou , 1,3,5,...
2
2
4
4n
k L k L n
nL
n
n
n nL L  



     
    
 
 
 
 
 
tubo aberto fechado 
 
Frequência de Ressonância 
Podemos agora calcular a frequência de ressonância, 
usando a relação 
isolar 
 e .
f
n
n
Bf f   
 
     
1,3,5,...
4n
nf n
L
  
onde =343m/s se o meio de propagação for o ar, 
=1480m/s se o meio for a água e L é o 
comprimento do tubo. Para n=1 corresponde ao 
estado fundamental ou primeiro harmônico. Para 
n=3 corresponde ao segundo harmônico, para n=5 
ao terceiro harmônico e assim por diante. A 
sequência das frequências é chamada de série 
harmônica {f1, f3, f5,...} onde 1 1
1,
4n
f n f f
L
   . 
 Os pontos de nós podem ser localizados fazendo 
cos(k∙x)=0, onde 0≤x≤L. A solução é k∙x=mπ/2, com 
m=1,3,5,7,... e o valor de k já foi calculado k=nπ/2L, 
n=1,3,5,7,..... Logo, ቀ௡గ
ଶ௅
ቁ ∙ 𝑥 = ௠గ
ଶ
, isolando x: 
 𝑥௡௠ =
௠
௡
𝐿 para ௠
௡
≤ 1, 
com n=1,3,5,7... e m=1,3,5,7,....O sub índice n em 
𝑥𝒏௠ representa o modo vibracional da onda e o super 
Caso geral L=n∙λ/4, n=1,3,5,... 
Para n=1, em L cabe 1∙λ/4 comprimento de onda. 
Para n=3,em L cabe 3∙λ/4 comprimento de onda. 
Para n=5, em L cabe 5∙λ/4, e assim por diante. 
 
 
 
162 
 
índice m 𝑥௡𝒎 representa a localização do m´enésimo 
nó. Devemos impor a condição que ௠
௡
≤ 1, pois x≤L, 
n=1,3,5,7,... e m=1,3,5,7,... . 
 
Aplicação na Biologia 
 
Na maioria dos animais, o canal auditivo pode ser modelado como um 
tubo aberto e fechado (pelo tímpano). Em média, o nosso canal auditivo 
possui um comprimento de 2.5cm e a frequência que mais sensibiliza os 
nossos ouvidos é em torno de 3500Hz. Esta é, aproximadamente, a 
frequência fundamental (n=1) para o nosso canal auditivo. Veja que as 
frequências de ressonâncias do canal L são 1,3,5,...
4n
nf n
L
  
No final do canal auditivo se localiza o tímpano, que é uma membrana 
que irá oscilar na frequência das ondas estacionárias no interior do canal. 
 
 
 
 
 
Instrumentos musicais 
 
Os Instrumentos musicais de percussão são modelados como tubos aberto e fechado. É possível variar a 
frequência sonora produzida no interior do instrumento aumentando ou diminuindo o seu comprimento L ou 
variando a espessura da membrana esticada, por exemplo. 
 
 
Variação da frequência f com a massa m do animal 
 
Na natureza, observa-se que 
quanto maior for a massa do 
animal, menor é a frequência 
de comunicação/audição. 
 
 
 
 
 
Podemos relacionar a frequência f com a 
massa m do animal usando as relações de 
ondas sonoras estacionárias em tubos e a 
definição de densidade volumétrica ρ. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A frequência f decresce com a massa m 
elevado ao expoente 1/3. 
 
 
Gráfico experimental, na escala log-
log, da frequência f em função da 
massa m do animal. A frequência em 
função da massa é dada pela relação 
f(m)~1/m1/3. Quanto maior for a 
massa do animal, menor é a 
frequência produzida por este. 
3 1/3 1/3
3
1 1/3
1/3 1/3
1( ) ~
2
2
volume
traqueia
L
m m m L L m
V L
f f m
L m
m
  
 



     
  
 
   

163 
 
O mesmo é verdade para os animais 
marinhos. Neste caso, a velocidade 
do som no meio é em torno de 
1480m/s, bem maior que a 
velocidade do som no ar de 343m/s. 
Veja ao lado, para o golfinho e a 
baleia jubarte. 
 
O golfinho emite sons 
na frequência de 
150kHz. A massa 
média do golfinho 
pintado pantropical é 
120kg. 
 
A baleia jubarte, também conhecida como baleia 
cantora, emite sons na frequência de 10kHz. A 
massa média da baleia adulta é 30000kg. 
 
Atenuação da Intensidade Sonora (*Opcional) 
À medida que a onda sonora se propaga em um meio material, sua energia é dissipada ao longo da 
distância x. Essa dissipação é dada por um decaimento exponencial, 
( )( ) x xo
o
I xI x I e e
I
        
onde Io é a intensidade sonora na posição x=0m e μ é 
chamado coeficiente de atenuação linear, que depende 
de cada meio atenuador (ar, água, etc) e aumenta com 
o aumento da frequência sonora. Veja na figura ao 
lado, quanto maior for o valor de μ, maior é a 
atenuação da intensidade sonora. Observe que para um 
meio com μ=0.10m-1(baixa frequência) chega na 
posição x=9m o equivalente a 0.4∙Io(40% de Io) e 60% 
de Io foi dissipada. Já para μ=0.15m-1 (alta 
frequência), na mesma distância de x=9m somente 
chega 0.25∙Io(25% de Io) e 75% de Io foi dissipada ao 
longo do caminho. 
 
 
 
 
 
Figura 90 – Atenuação da intensidade sonora para frequências 
diferentes. Quanto maior é a frequência, maior é a atenuação. 
É por isso que sons de baixa frequência varrem uma distância bem maior, pois possui um menor valor de μ, se 
comparado com sons de alta frequência, que possui um alto valor de μ. A atenuação da intensidade sonora 
explica porque quando estamos muito distante de uma fonte sonora, não conseguimos ouvir o som. E quando 
nos aproximamos, passamos a ouvi-lo. 
 
 O Elefante 
 Os elefantes precisam se comunicar com outros 
elefantes que estão muito distantes. Essa 
comunicação só é possível porque o elefante se 
comunica em baixa frequência devido a sua grande 
massa. Se a frequência é baixa, a atenuação da 
intensidade I sonora é mais lenta e as ondas sonoras 
viajam longas distâncias antes de serem dissipadas no 
ar. Os animais pequenos já não precisam se comunica 
a longas distâncias. 
 
 
Fonte da imagem: http://www.explorasafaris.com/ 
 
164 
 
O Rato 
 Os ratos por possuírem uma pequena massa, emitem sons de alta frequência. A 
intensidade sonora I do som de alta frequência é rapidamente dissipada ao longo do 
caminho. Mas os animais pequenos não precisam se comunicar a longas distâncias. A 
comunicação a curta distancia já é suficiente entre eles. E tudo na natureza se encaixa 
perfeitamente. 
 
Imageamento por Ultrassom (*Opcional) 
A formação de imagem do interior do corpo humano, veja figura abaixo, por ondas sonoras na faixa do 
ultrassom é muito usada na medicina. A qualidade da imagem depende de vários fatores, aqui vamos comentar 
a resolução do ultrassom. Normalmente é adotado que o ultrassom deve ter uma resolução de 0.1mm(10-4m), ou 
seja, para obstáculos com dimensões superiores a esse valor terão uma boa resolução. Já para objetos com 
dimensões inferiores (uma célula, por exemplo), não serão detectados na imagem do ultrassom. Devemos ter 
que o comprimento de onda do ultrassom deve ser λ=10-4m (dimensão mínima do objeto a ser detectado na 
imagem). Como o corpo humano é composto em grande porcentagem de água, o ultrassom irá ser propagar no 
interior do corpo com velocidade de υ=1480m/s. Agora podemos calcular a frequência que o ultrassom deve 
ter, e para isso, vamos usar a relação υ=λ∙f, isolando f: 𝑓 = జ
ఒ
= ଵସ଼଴௠/௦
ଵ଴షర௠
= 14.8𝑀𝐻𝑧 (M=106). Esta á a 
frequência ideal para a resolução de 0.1mm. No entanto, às vezes não é necessária alta resolução e a frequência 
do ultrassom utilizada no exame é um pouco menor que os 14.8MHz. Por outro lado, quanto maior for a 
frequência, maior é o coeficiente de atenuação μ da intensidade onda sonora que volta para o equipamento de 
medida (eco). Quando a frequência é alta, a resolução é alta, mas o eco é baixo e se perde noção de 
profundidade do meio atenuante (interior do corpo). Quando a frequência é baixa, a resolução também é baixa, 
mas se ganha precisão em profundidade do meio. 
 
 
 
Transformada de Fourier e as Ondas Cerebrais (*Opcional) 
 
A transformada de Fourier () é uma ferramenta matemática de grande utilidade para análise de séries 
temporais continuas ou discretas. Aqui vamos citar exemplos de séries temporais discretas, ou seja, o tempo 
aparece em quantidades discretas, como por exemplo, t={1s, 2s, 3s, 4s, ...} e assim por diante. 
Na figura (a), temos uma onda resultante composta pela soma de três ondas com frequências e 
amplitudes diferentes. Aqui usamos as frequência de 1Hz, 2Hz e 3Hz, com amplitudes 5, 10 e 15, 
respectivamente. Na figura (b), tem-se a transformada de Fourier da onda resultante, que revela (no eixo-x) as 
frequências das ondas individuais pelos valores de picos (eixo-y) que nada mais é do que as amplitudes das 
ondas individuais. Para ler as frequências dominantes, deve-se olhar os pontos de máximos no eixo-y da 
transformada de Fourier, cujos correspondentes valores no eixo-x (eixo da frequência) são as frequências 
dominantes. 
 
165 
 
 
 
 
 
Considere a série Y composta por 6 elementos 1 2 3 4 5 6{ , , , , , }Y y y y y y y , onde o sub índice representa o 
contador, ou até mesmo o tempo. Podemos representar essa série de uma forma mais compacta, da forma 
{ , 1, 2,....,6}iY y i  . Para N elementos, abreviamos para 1 2{ , , ..., }NY y y y ou { , 1, 2, ... , }iY y i N  . 
Exemplos, a série Y={2, -6, 4, 9, 5, 12}, contém 6 elementos, sendo y1=2 o primeiro elemento, y2=-6 osegundo elemento, e assim por diante. Podemos também representar qualquer série em forma gráfica, 
colocando o valor do elemento yi no eixo-y e o contador i no eixo-x, onde i varia de 1 até 6 ou i=1,2,...,6. 
 
 
 
O Eletroencefalograma (EEG) é um exame que registra a atividade elétrica do cérebro em função do 
tempo. Essa atividade elétrica é devida a comunicação entre neurônios (sinapses) e também ao fluxo de íons 
Na+ e K+, principalmente. Eletrodos são colocados em regiões especifica na cabeça do paciente para captar o 
sinal elétrico, que é a diferença de potencial V. Os dados são captados por um equipamento próprio para tal 
finalidade e armazenados em um computador, assim como ilustrado na figura x. Normalmente os exames de 
EEG utilizam uma taxa de amostragem de f=200Hz, isso significa que em um segundo (1s) 200 pontos (V) 
são registrados. Se você gravar um minuto (=60s), então a sua série será do tamanho N=60∙200=12000 
elementos ou N=12000. Portanto, exames de EEG lidam com séries da forma 1 2{ , ,..., }NV v v v     , tal que o 
tempo total da série, em segundo, pode ser obtido por N/f, sendo f a taxa de amostragem utilizada. 
 
 
 
 
 
166 
 
Um sinal captado pelo eletrodo tem a forma mostrada na figura abaixo. Quando feita a transformada de Fourier, 
as frequências dominantes são reveladas e com isso podemos caracterizar o estado de consciência do paciente. 
Para o ser humano, são quatro principais faixas de frequências (=delta, =teta, =alfa e =beta) que 
caracterizam o estado de consciência (ou vigília), que serão descritas a seguir. 
=delta [0.1 a 4] Hz → frequências associadas ao sono profundo, sem sonhos. É nesta fase que o organismo 
libera os homônimos responsáveis pela manutenção do nosso corpo. 
 = teta [4 a 7] Hz → é o estado mental que é atingido quando se está dormindo com sonhos ou até mesmo em 
um estado de meditação profunda. 
 = alfa [7 a 13] Hz → quando a pessoa se encontra em um estado relaxado ou em meditação com os olhos 
fechados. 
 = beta [13 a 30] Hz → quando uma pessoa está em estado de atenção, por exemplo, lendo este texto agora. 
Esta é a condição normal do nosso cotidiano. Você agora deve, provavelmente, estar em estado . 
Quando o paciente se encontra em um estado de sono profundo sem sonhos, as frequências das ondas 
cerebrais são as menores. E estas vão aumentando de acordo com seu estado mental, alcançando grandes 
valores quando o paciente se encontra em um alto estado de concentração como, por exemplo, resolvendo 
problemas do cotidiano. Um paciente em estado de coma profundo, no exame EEG observa-se uma linha reta 
na diferença de potencial, ou seja, não há mais variação temporal em V. 
 
 
 
 
Exercícios 
1) O comprimento da traqueia de um adulto é em torno de L=15cm. 
a) Calcule o primeiro e o segundo harmônico produzido por essa traqueia, considerando esta um tubo aberto em 
ambas as extremidades. 
b) Em crianças, o comprimento da traqueia é a metade de um adulto. Você percebe porque criança tem a voz 
mais fina (maior frequência) que um adulto? 
2) A crista do crânio do um dinossauro parasaurolophus continha uma 
passagem nasal na forma de um tubo longo aberto nas duas extremidades 
(similar a traqueia). 
 
a) Sabendo que o comprimento do tubo do dinossauro era de 2.0m, 
calcule o valor da frequência fundamental produzida por esse dinossauro. 
 
b) Para um animal com frequências audíveis no intervalo de 70Hz a 
500Hz, quais as frequências emitidas pelo dinossauro que esse animal 
poderia ouvir? 
 
 
3) Um alto-falante pode variar sua frequência continuamente de 200Hz até 1300Hz. 
167 
 
a) Escreva a expressão geral para as frequências de ressonâncias que podem ressoar dentro de um tubo de 
comprimento L=60cm, aberto em ambas as extremidades. 
 
b) Quantas e quais são as frequências de ressonâncias que o alto-falante pode produzir no interior do tubo? 
c) Agora considerando o tubo fechado em uma das extremidades, calcule a frequência de ressonância f1 e a 
equação geral para as frequências (fn) geradas dentro do tubo e quais são as frequências que podem ressoar 
dentro desse tubo devido ao alto-falante. 
4) Nosso canal auditivo externo pode ser modelado como um tubo aberto e fechado. 
Dado que o comprimento médio do canal auditivo é de 2.5cm, calcule a frequência 
fundamental (f1) e a equação geral (fn) para todas as frequências que podem ressoar 
dento desse canal. 
 
 
5) Um tubo com 100cm de comprimento é fechado na extremidade direita. Uma corda esticada emite uma nota 
musical perto da extremidade esquerda aberta do tubo. A corda tem 80cm de comprimento, 5g de massa e oscila 
no modo fundamental (n=1). Devido à ressonância, a corda esticada faz a coluna de ar dentro do tubo oscilar 
também no modo fundamental (n=1). Determine: 
a) A expressão geral para a frequência de ressonância no interior do tubo. 
b) A tensão na corda esticada. 
 
6) No alto de uma montanha, encontra-se um poço com paredes verticais e água no fundo, 
que ressoa a uma frequência fundamental de 8Hz. O ar no interior do poço tem uma 
densidade de 0.95kg/m3 e o coeficiente de incompressibilidade do ar vale B=0.8.105N/m2. 
Calcule a que profundidade se localiza a superfície livre da água L (ver figura ao lado), 
sabendo que o poço se comporta como um tubo aberto e fechado. 
 
 
 
Respostas: 
1) 1143.3Hz ; 2286.6 Hz 
2) a) f1=85.75Hz b) 85.75Hz, 171.5Hz, 275.25Hz, 343Hz, 428.75Hz 
3) a) fn=n.285.8Hz(n=1,2,3,...) b) 285.8Hz, 571.6Hz, 857.4Hz, 1143.2Hz 
c) f1=142.9Hz; fn=n.142.9Hz(n=1,3,5,...); 428.7Hz, 714.5Hz, 1000.3Hz, 1286.1Hz 
4) a) f1=3430Hz, fn=n. 3430Hz (n=1,3,5,...) 
5) a) fn=n.85.75Hz (n=1,3,5,...) b) 117.6N 
6) L=9.1m 
 
 
L=60cm 
168 
 
Efeito Doppler 
 
Quando o som passa de um meio material para outro, sua velocidade e o comprimento de onda mudam, 
mas a frequência permanece inalterada. A frequência só depende da fonte que a produziu. O único caso em que 
a frequência muda é quando existe um movimento relativo entre a fonte sonora e o detector. Este é o chamado 
efeito Doppler. 
Aqui vamos representar o nosso referencial como sendo a massa de ar, meio de propagação das ondas, e 
vamos considerar o ar em repouso em relação ao solo. O movimento é medido em relação ao detector (D), 
quem mede o som emitido por uma fonte sonora (S) na frequência fS. A frequência relativa 'Df medida pelo 
detector (D) é 
 ' '
'D
f 

 
onde ʋ’ é a velocidade relativa do detector (D) em relação ao som e λ’ é o comprimento de onda medido pelo 
detector (D). 
1º Caso: Detector (D) em movimento ʋD e a fonte sonora (S) em repouso ʋS=0. Neste caso, à medida que o 
detector (D) se aproxima ou se distancia da fonte (S), o comprimento de onda λ’ não muda. Já sua velocidade 
relativa ʋ’, aumenta ou diminui. Essa variação é dada pela relação ' ,D    
a) Detector (D) se aproximando da fonte sonora (S) 
 
 
 
 
 
169 
 
b) Detector (D) se afastando da fonte sonora (S) 
 
' '' ' , onde e ' .
'D D DS
f f
f
     
 
      
' ' .D DD D S
S
f f f
f
   
 
     
Usa-se o sinal (+) para o detector se aproximando da fonte (S) e usa-se o sinal (-) caso o detector (D) esteja se 
afastando da fonte (S). 
2ºCaso: Detector (D) em repouso ʋD=0 e a fonte sonora (S) em movimento ʋS. Para este caso, a velocidade 
relativa ʋ’ não muda (pois o detector está parado). No entanto, à medida que a fonte sonora (S) se aproxima ou 
se distancia do detector (D), este sente o comprimento de onda diminuindo ou aumentando, respectivamente. 
a) Fonte sonora (S) se aproximando do detector (D) 
 
 
b) Fonte sonora (S) se afastando do detector (D) 
 
Essa variação é dada pela relação ' ,S T     onde 
1 e 
S S
T
f f
   . Substituindo' .S
S Sf f
   Usa-se o 
sinal (+) quando a fonte (S) estiver se distanciando do detector (D), neste caso, o comprimento λ’ de onda 
aumenta. E usa-se o sinal (-) quando a fonte sonora(S) estiver se aproximando do detector (D), agora o 
comprimento de onda λ’ diminui. 
não muda
' '' 1, onde e .
' 'D D S S S
f f T
T f f
   
   
     
 
 
170 
 
' ' .D D S
S D
S S
f f f
f f
 
  
   

 
A seguir, mostramos a equação para o caso geral do efeito Doppler, considerando o movimento da fonte 
sonora (S) e do detector (D). Na Figura 91 é exibida a variação da frequência relativa 𝑓஽ᇱ (medida pelo detector 
D) em função da velocidade do detector υD e da velocidade da fonte sonora υS para uma frequência absoluta 
fixa de 1000Hz (que é emitida pela fonte sonora S) 
 ' DD S
S
f f  
 


. (3.17) 
Nomenclaturas: 
som,ar som,agua
' frequência relativa medida pelo Detector (D)
frequência absoluta emitida pela Fonte Sonora (S)
 velocidade do som no meio ( =343m/s, =1480m/s)
 velocidade do Detector (D)
 ve
D
S
D
S
f
f
  






 locidade da fonte Sonora (S) 
 Convenção de Sinais (+ ou -)
Numerador : Detector (D) se aproximando da Fonte (S)
 - Detector (D) se afastando da Fonte (S)
Denominador: + Fonte (S) se afastando do Detector (D)
 

 - Fonte (S) se aproximando do Detector (D).
 
Quando a frequência sonora aumenta, a intensidade sonora I também aumenta e ouvimos o som mais alto, pois 
a intensidade é proporcional à frequência ao quadrado, 𝐼~ 𝜔ଶ 𝑜𝑢 𝐼~ 𝑓ଶ. E quando a frequência diminui, a 
intensidade também. A equação(3.17) é válida quando o meio que o som se propaga está em repouso. Caso o 
meio esteja se movendo também, deve-se trocar υ por υ±υmeio (neste curso, vamos considerar apenas o meio no 
qual o som se propaga em repouso). 
 
Figura 91 - Frequência relativa medida por um detector (D) com movimento relativo entre a fonte sonora (S). 
Exemplos 
E.1) Uma ambulância se move com velocidade de 20m/s e com a sirene ligada emitindo som na frequência de 
f=1000Hz. Calcule a frequência sonora medida por uma pessoa parada, devido a som emitido pela sirene da 
ambulância, nas seguintes situações: 
a) A ambulância está se aproximando da pessoa. 
 
 
171 
 
b) A ambulância está se afastando da pessoa. 
 
Solução: 
a) Numerador: Detector (D) = Pessoa parada, portanto D=0. 
 Denominador: Fonte (S) = Ambulância se aproximando (-) do Detector (D) com velocidade S=20m/s e 
emitindo som na frequência fS=1000Hz. Logo 
343 / 0' ' 1000 1062 .
343 / 20 /
D
D S D
S
m sf f f Hz Hz
m s m s
 
 
        
 
b) Numerador: Detector (D) = Pessoa parada, portanto D=0. 
 Denominador: Fonte (S) = Ambulância se afastando (+) do Detector (D) com velocidade S=20m/s e 
emitindo som na frequência fS=1000Hz. Logo 
343 / 0' ' 1000 945 .
343 / 20 /
D
D S D
S
m sf f f Hz Hz
m s m s
 
 
        
 
 
 
E.2) Um trem A se move com velocidade A=50m/s e o trem B com velocidade de B=60m/s. O trem B apita 
na frequência de 2000Hz. 
a) Calcule a frequência sonora medida por um passageiro no trem A quando os trens estão se aproximando e 
quando eles estão se afastando. 
 
Trens se aproximando 
 
Trens se afastando 
 
b) Calcule a frequência sonora medida por um passageiro no trem B (devido ao apito do trem B) quando os 
trens estão se aproximando e quando eles estão se afastando. 
Solução: 
a) 
Trens se aproximando: 
Numerador: Detector (D) = Pessoa no trem A se aproximando (+) do trem B, Fonte(S), com velocidade 
D=50m/s. 
 Denominador: Fonte (S) = Trem B se aproximando (-) do detector (D) com velocidade S=60m/s e emitindo 
som na frequência fS=2000Hz. Logo 
343 / 50 /' ' 2000 2777.4 .
343 / 60 /
D
D S D
S
m s m sf f f Hz Hz
m s m s
 
 
        
 
Trens se afastando: 
Numerador: Detector (D) = Pessoa no trem A se afastando (-) do trem B, Fonte(S) com velocidade D=50m/s. 
 Denominador: Fonte (S) = Trem B se afastando (+) do detector (D) com velocidade S=60m/s e emitindo som 
na frequência fS=2000Hz. Logo 
343 / 50 /' ' 2000 1454.1 .
343 / 60 /
D
D S D
S
m s m sf f f Hz Hz
m s m s
 
 
        
 
b) A frequência medida por um passageiro no trem B, devido ao apito do trem B, é 2000Hz, pois não existe 
movimento relativo entre o passageiro no trem B e o próprio trem B. 
E.3) Um trem A se move com velocidade A=40m/s e um trem B com uma velocidade desconhecida B e na 
mesma direção do trem A. O trem B apita na frequência de 1000Hz. Um passageiro no trem A mediu a 
frequência do trem B como sendo 1200Hz. Calcule a velocidade do trem B. 
 
 Solução: Como a frequência medida pelo passageiro no trem A é maior que a frequência absoluta emitida pelo 
trem B, então os trens estão se aproximando. 
Numerador: Detector (D) = Pessoa no trem A se aproximando (+) do trem B (Fonte(S)) com velocidade 
D=40m/s, que mede uma frequência relativa de ' 1200Df Hz . 
172 
 
 Denominador: Fonte (S) = Trem B se aproximando (-) do detector (D) com velocidade S e emitindo som na 
frequência absoluta de fS=1000Hz. Logo, a expressão é 
 ' 343 / 40 /' 343 / 23.8 / .' 1200
1000
S Sisolar isolar
D D D D
D S S
DS S S
S
f m s m sf f m s m sf Hzf
Hzf
       
   
                            
 
 
E.4) Um radar antigo utiliza ondas mecânicas 
ultrassónicas de frequência 0.5MHz para calcular 
velocidades. Um super carro em alta velocidade se 
aproxima do radar (veja figura ao lado). Sabendo que 
a frequência medida pelo radar foi de 0.83MHz, 
calcule a velocidade do carro em m/s e km/h. 
 
Os radares modernos utilizam ondas eletromagnéticas. 
 
 
 
 
Primeira fase: Onda emitida pelo radar 
Identificar: Detector (D) = Carro | Fonte (S) = Radar 
 υD=υcarro | υS=0 (parado) 
' carroD Sf f
 

 . A 𝑓஽ᇱ é frequência relativa medida 
por uma pessoa no interior do carro e 𝑓ௌ = 0.5𝑀𝐻𝑧 e a 
frequência absoluta emitida pelo radar. Essa frequência 
será refletida para o radar. Agora, na segunda fase, o carro 
irá se comportar como a fonte sonora (S) emitindo a 
frequência 𝑓஽ᇱ e o radar o detector (D), que irá medir a 
frequência 𝑓஽ᇱᇱ. 
 
 
Segunda fase: Onda refletida pelo carro e medida pelo radar 
Identificar: Detector (D) = Radar | Fonte(S) = Carro 
 υD = 0 (parado) υS= υcarro 
'''D S
carro
f f 
 


. A frequência 𝑓஽ᇱᇱ(= 0.83𝑀𝐻𝑧) é a 
medida pelo radar, que foi refletida pelo carro. E a 
frequência 𝑓ௌᇱ é a frequência emitida pela fonte sonora 
(carro), que foi calculada na primeira fase, ou seja, 𝑓ௌᇱ = 𝑓஽ᇱ . 
Portanto, vamos substituir 𝑓ௌᇱ = 𝑓஽ᇱ em 𝑓஽ᇱᇱ: 
 
'' carroD Sf f
 


'Df
 
 
  carro 
 
  
. Agora isolar υcarro: 
 
   
'' 0.831 1
'' '' 0.5343 / 85.1 /'' 0.83 11
0.5
D
ScarroD D
carro carro carro carro
DS carro S
S
f MHz
ff f MHzm s m sf MHzf f
MHzf
        
 
                        
 
υcarro=85.1m/s ou 306.4km/h 
 
O som pode ser produzido por uma frequência contínua ou pulsada. Som pulsado pode ser imaginado 
como estalidos ou “clicks”, em que o som é ligado, desligado, ligado, desligado, e assim por diante (ver Figura 
92). Na natureza, é muito comum alguns animais usar o efeito Doppler para caçar alimentos ou se guiar. Esse 
efeito é chamado de ecolocalização, é um tipo de visão auditiva. Algumas espécies que usam aecolocalização 
são: 
 Os vertebrados aquáticos, como os golfinhos, as baleias. 
 Os pássaros, como o Steatornis caripensis, o Collocalia brevirostris unicolor. 
 Os mamíferos, como o porco da Guiné, os morcegos. 
 Os insetos, como o Prodenio, o Gyrinus. 
 
173 
 
 
Figura 92 – Pulso sonoro. 
 
Exemplo de como os morcegos usam a ecolocalização para detecção de osbstáculos 
 
E1) Fazer em Sala 
Primeira fase: Onda emitida pelo morcego (ida). 
 
Identificar: Detector (D) = Parede | Fonte (S) = Morcego 
 υD=0(arada) | υS= υM= υ/30; 
 (parada) | (se aproximando [-] ) 
'D S
M
f f 
 


. A 𝑓஽ᇱ é frequência relativa medida por 
uma pessoa parada na parede, e 𝑓ௌ = 0.1𝑀𝐻𝑧 e a 
frequência absoluta emitida pelo morcego. Essa 
frequência será refletida pela parede, que agora irá se 
comportar como uma fonte sonora S e o morcego o 
detector D. 
 
 
Segunda fase: Onda refletida pela parede (volta) 
 
Identificar: Detector (D) = Morcego | Fonte(S) = Parede 
 υD = υM= υ/30 | υS= 0 (parada) 
 (se aproximando [+] ) | (parada) 
''' MD Sf f
 

 . A frequência 𝑓஽ᇱᇱ é o eco detectado pelo 
morcego. E a frequência 𝑓ௌᇱ é a frequência refletida pela 
parede, que foi calculada na primeira fase, ou seja, 𝑓ௌᇱ = 𝑓஽ᇱ . 
Portanto, vamos substituir 𝑓ௌᇱ = 𝑓஽ᇱ em 𝑓஽ᇱᇱ: 
 
'
''
D
M
D S
M
f
f f  
  
     
. 
 
Exemplo de como os morcegos usam a ecolocalização para caçar 
 
E.2) Fazer em Sala 
Primeira fase: Onda emitida pelo morcego (ida). 
 
Identificar: Detector (D) = Inseto | Fonte (S) = Morcego 
 υD= υI (incógnita) | υS= υM= υ/30; 
 (se afastando [-] )| (se aproximando [-] ) 
' ID S
M
f f  
 


. A 𝑓஽ᇱ é frequência relativa medida por 
uma pessoa parada na parede e 𝑓ௌ = 0.1𝑀𝐻𝑧 é a 
frequência absoluta emitida pelo morcego. Essa frequência 
será refletida pela parede, que agora irá se comportar como 
uma fonte sonora S e o morcego o detector D. » 
 
 
 
Segunda fase: Onda refletida pelo inseto (volta) 
 
Identificar: Detector (D) = Morcego | Fonte(S) = Inseto 
 υD = υM= υ/30 | υS= υI (incógnita) 
 (se aproximando [+] ) | (se afastando [+]) 
''' MD S
I
f f  
 


. A frequência 𝑓஽ᇱᇱ é o eco detectado pelo 
morcego. E a frequência 𝑓ௌᇱ é a frequência refletida pela 
parede, que já foi calculada na primeira fase, ou seja, 
𝑓ௌᇱ = 𝑓஽ᇱ . Portanto, vamos substituir 𝑓ௌᇱ = 𝑓஽ᇱ em 𝑓஽ᇱᇱ: 
'
''''
D
I M D I M
D S
M I S M I
f
ff f
f
       
       
                    
 
174 
 
'' ou '' D M I I
S M I I
D M
S M
ff
f f
      
      
 
 
                 
» 
 
   
 Iisolar
I
I I
I
k k
     
 
       
 » ou » 
 
Vamos chamar 
''D M
S M
fk
f
 
 
    
, portanto » 
 
(1 )( 1) (1 ) (velocidade do inseto).
( 1)I I
kk k
k
         

Agora é só substituir os valores numéricos. 
 
Efeito Doppler na Medicina 
 
O efeito Doppler também é usado na medicina para calcular a velocidade do fluxo sanguíneo. O 
transdutor, que é um emissor e, ao mesmo tempo, um receptor de ondas ultrassónicas fica encarregado de emitir 
a onda e captar o eco. Esse transdutor é colocado a uma inclinação  com a direção do fluxo sanguíneo. 
Conhecendo a frequência de eco, a velocidade do fluxo sanguíneo pode ser escrita em termos da diferença de 
frequência |f| entre a frequência da onda emitida fS e a refletida f ’’, usando o efeito Doppler. O transdutor 
emite na frequência fS e capta a frequência de eco f ’’. Então, ora o transdutor se comporta como um emissor, ora 
como um receptor. 
 
 
 
   
2 1'' cos( )2 1
fluxoisolar
fluxo fluxo
S S S S fluxo
Sfluxo fluxovolta ida ida
volta
f f f f f f f
f
  
  
   
 
                  

 
o termo cos() é a decomposição da velocidade na direção do fluxo sanguíneo, e υ é a velocidade do som no 
meio (interior do corpo). 
 
Exercícios 
1) Você está parado em uma esquina e uma ambulância com a sirene ligada emitindo som na frequência de 
3000Hz se move na sua direção com velocidade de 80km/h. Calcule: 
a) A frequência sentida por você quando a ambulância está se aproximando. 
b) A frequência sentida por você quando a ambulância está se distanciando. 
 
2) Um ônibus toca a buzina ao se aproximar do ponto de parada. Um passageiro parado nesse ponto de ônibus 
afirma que a frequência da buzina do ônibus é de 600Hz, enquanto que o motorista afirma que a buzina é de 
560Hz. Calcule a velocidade do ônibus. 
 
3) Dois trens (A e B) estão viajando na mesma direção e em sentidos opostos. O trem B se move com 
velocidade de 70km/h e apita na frequência de 1000Hz. Frequência medida por um passageiro no trem A, 
devido ao apito do trem B, foi de 1100Hz. Calcule: 
a) A velocidade do trem A. Os trens estão se afastando ou se aproximando? 
175 
 
b) A frequência medida por um passageiro no trem B, devido ao apito do trem A, foi de 1400Hz. Calcule a 
frequência com que um passageiro no trem A ouve o apito emitido pelo trem A. 
 
4) Um morcego voa dentro de uma caverna, orientando-se mediante a utilização de bips ultrassónicos (de curta 
duração; menos de 1ms e repetidas vezes por segundo). O morcego emite um som de 40kHz durante uma 
arremetida veloz contra a superfície de uma parede e desloca-se a 1/40 da velocidade do som no ar. Calcule: 
a) A frequência da onda incidente sobre a parede. 
b) A frequência com que o morcego ouve o som refletido pela parede (eco). 
 
5) Dois trens A e B estão se movendo com velocidades desconhecidas. Sabe-se que o trem A apita na 
frequência de 1500Hz e o trem B apita na frequência de 2500Hz. Quando os trens estão se aproximando, a 
frequência sonora medida por um passageiro no trem A, devido ao apito do trem B, é 3077.6Hz. Já quando os 
trens estão se afastando, o mesmo passageiro no trem A mede 2043.1Hz a frequência emitida pelo trem B. 
a) Calcule a velocidade do trem A (A) e a do trem B (B). 
Trens se aproximando 
 
Trens se afastando 
 
b) Calcule a frequência medida por um passageiro no trem B, devido ao apito do trem A, quando os trens estão 
se aproximando e quando os trens estão se afastando. 
 
6) O efeito Doppler é usado para examinar o movimento das paredes do coração (batidas), principalmente dos 
fetos. Para isso, ondas ultrassônicas de comprimento de onda de 0.3mm são emitidas por uma sonda na direção 
do movimento da parede cardíaca. Se as velocidades do movimento da parede cardíaca e do ultrassom no 
interior do corpo forem, respectivamente, 7.5cm/s e 1500m/s, calcule o módulo da variação da frequência 
observada na sonda (onda refletida) devido ao efeito Doppler nas situações: 
a) a parede cardíaca (expansão do coração) está se aproximando da sonda. 
b) a parede cardíaca (contração do coração) está se afastando da sonda. 
 
7) A fonte sonora do sonar de um navio ancorado em alto mar opera com uma frequência igual a 22kHz. A 
velocidade do som na água é 1480m/s, calcule: 
a) O comprimento de onda das ondas emitidas pelo navio. 
b) O módulo da diferença entre a frequência das ondas irradiada diretamente (22kHz) e a frequência das ondas 
refletidas por uma baleia que se aproxima na direção do navio comvelocidade de 5m/s. 
b) O módulo da diferença entre a frequência das ondas irradiada diretamente (22kHz) e a frequência das ondas 
refletidas por um tubarão que se distancia na direção do navio com velocidade de 6m/s. 
8) Um morcego voa dentro de uma caverna, orientando-se mediante a utilização de bips ultrassónicos. O 
morcego emite sons de 50kHz e desloca-se a 1/30 da velocidade do som no ar. Calcule: 
a) A frequência com que o morcego ouve o som refletido (eco) durante uma arremetida veloz contra a 
superfície da parede da caverna. 
b) A velocidade de um inseto que está sendo perseguido pelo morcego, dado que o eco sentido pelo morcego 
foi de 50.2kHz (frequência refletida pelo inseto) 
9) Deseja-se medir a velocidade do fluxo sanguíneo na artéria aorta de uma pessoa saudável. Para tal objetivo, 
usa-se a técnica Doppler de ultrassom. Coloca-se o transdutor (que emite e capta a onda ultrassônica) fazendo 
um ângulo de 35º com a direção do fluxo sanguíneo. A frequência emitida pelo ultrassom é de 5MHz e o 
176 
 
módulo da diferença máxima entre a frequência emitida e a recebida é de 3kHz. Sabendo que a velocidade do 
ultrassom no sangue é de 1500m/s, calcule velocidade do fluxo sanguíneo medido na artéria aorta. 
Respostas: 
1) (a) 3207.6Hz; (b) 2817.6Hz 6) (a) 500Hz; (b) 500Hz 
2) 22.87m/s 7) (a) 0.0673m; (b) 74.32 Hz; (c) 89.19 Hz 
3) (a) 12.92m/s (ou 46.51km/h) (b) 1275Hz 8) (a) 53.45kHz; (b) 10.79m/s 
4) (a) 41.03kHz; (b) 42.06kHz (k=103) 9) 0.37m/s 
5) (a) υA=30m/s; υB=40m/s