Fasores Teoria

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Associação Entre Funções Senoidais e Números Complexos:
Observe o n° complexo : 2 ℮jΦ (forma
 exponencial). Na forma polar: 2 Φ
Na figura 1, ao lado, verifique
 o fato de que ele muda de posição no 
plano complexo, à medida em que 
mudamos o valor do ângulo Φ. 
Agora, verifique a função a seguir:
 v(t) = VM cosωt. Você poderá
 interpretar esta função como a projeção 
no eixo real do n° complexo
VM ℮jΦ = VM Φ , onde o ângulo Φ 
é variável com o tempo, ou seja: Φ = ωt , 
 o que significa um n° complexo que 
que gira no plano, à velocidade angular 
constante ω. Na figura 2, por exemplo, admitimos que, em t=0s, a função passa pelo seu valor
máximo, VM , sua amplitude. 
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Figura 1
Se desejarmos generalizar o raciocínio anterior, para uma função cosseno de fase qualquer Φ, por
exemplo, basta pensarmos que, em t=0s, ela estará assumindo o valor VM cos Φ e o número
complexo que gira no plano, inicia seu giro, com ângulo Φ, em relação ao eixo real. Este nº
complexo que gira recebe o nome de FASOR GIRANTE. Sua projeção no eixo real é a função
cosseno v(t) = VM cos(ωt + Φ).
Aplicação dos Fasores Girantes a Circuitos Elétricos:
Seja um circuito linear, representado na figura 3, a seguir por um bloco. A entrada pode ser
uma tensão ou corrente senoidal. Por isso a representaremos como um sinal elétrico genérico x(t):
x(t) = Xmcos (ωt + Φ). Sabemos, da teoria estudada anteriormente que, em regime permanente, a
saída será também senoidal, de mesma freqüência angular que a entrada, com amplitude e fase
dependentes dos parâmetros do circuito. A saída também pode ser uma tensão ou corrente e, por
isso, será representada genericamente por y(t) = Ymcos (ωt + γ)..
 x(t) = Xmcos (ωt + Φ) y(t) = Ymcos (ωt + γ) 
A entrada pode ser associada a um fasor girante , pois, conforme vimos anteriormente, ela
pode ser interpretada como a parte real do nº complexo girante, no plano complexo:
XM (ωt + Φ) = XM℮j(ωt + Φ) = XMcos (ωt + Φ) + j XM sen (ωt + Φ) 
Analogamente, a saída também poderá ser associada a um fasr girante:
YM (ωt + γ) = YM℮ j(wt + γ ) = YM cos (ωt + γ) + j YM sen (ωt + γ)
Destaquemos, ainda, que podemos reescrever os fasores girantes na forma exponencial,
separando a parte constante daquela que varia com o tempo:
XM℮j (ωt + Φ) = XM℮ jΦ ℮ j ωt
e, analogamente:
YM℮ 
j (ωt + γ ) = YM℮ 
jγ ℮ j ωt
Observe que se “fotografarmos” os fasores girantes de entrada e de
saída, no instante t=0s, teremos : XM℮ 
jΦ℮ j 0 = XM℮ jΦ = XM Φ , o qual chamaremos
simplesmente de FASOR, e passaremos a designar como:
 X ou X ou 
 
e o FASOR saída será: Y ou Y ou 
 Agora, vamos experimentar utilizar os fasores girantes para análise de circuitos com
apenas um elemento. 
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Circuito LinearEntrada Saída
Aplicações a Circuitos de Um Elemento:
 
1-Capacitor
Admitindo que :
v(t) = VMcos (ωt + Φ), a corrente será:
 i  t  = C
d
dt
V M cos  t  
i t  = −C V M sen  t  
i t  = C V M cos  t    90 ° 
Usando o fasor girante correspondente:
 VM℮ j ωt ℮ j
Φ = V℮ j ωt
 IM℮ 
jγ℮ j ωt = I℮ j ωt 
Ie j t = C d
dt
[ V e j t ] = Vj  Ce j t
Uma vez que ambos os fasores girantes rodam
com a mesma velocidade angular ω, podemos
simplificar o termo ℮ jωt , em ambos os lados da
igualdade, o que resulta em:
 I = jωC V 
 
 V = 1
 I jωC
 Isso equivale a dizer que, tanto faz
relacionarmos fasores girantes ou apenas os
fasores, em t=0s, pois a relação entre eles é
constante.
 A razão entre o fasor tensão e o fasor
corrente é chamada de Impedância e a letra
símbolo é Z. Assim, para uma capacitor, a
impedância será: 
 Z= 1 = - jωC Ω
 jωC
 Observe que a conclusão obtida usando fasores
foi amesma anterior: o fasor V está atrasado, em
relação ao fasor I, no capacitor de 90º. 
Oserve que a conclusão obtida usando fasores foi a mesma: o fasor V está atrasado do fasor I,
no capacitor. 
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2- Indutor:
 v(t) = 
 ou 
 
Admitindo que v(t) = VMcos (ωt + Φ),
 a corrente será:
 
Fasorialmente, temos: 
 VM℮ j ωt ℮ j
Φ = V℮ j ωt e, neste caso,
a corrente também será um fasor girante:
IM℮ 
jγ℮ j ωt = I℮ j ωt 
Sabendo que :
I℮ j ωt = 
I℮ j ωt = 
Uma vez que ambos os fasores girantes rodam
com a mesma velocidade angular ω, podemos
simplificar o termo ℮ j ωt, em ambos os lados
da
igualdade, o que resulta em:
I = ou, ainda, conceituando impedância
como a razão entre o fasor tensão e o fasor
corrente, teremos concluído que a impedância
do indutor é 
ZL = V = jωL Ω
 I
Isto significa que o fasor I, no indutor, está
atrasado do fasor V de um ângulo de 90º. 
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3-Resistor
Para o resistor, sabemos que: v=Ri 
Admitindo que v(t) = VMcos (ω
t + Φ), 
i(t) = 
assim, dizemos que, no resistor, a corrente e a
tensão estão em fase: observe que o ângulo Φ é
o mesmo em ambas.
 
 e, neste caso, VM℮ j ωt ℮ j
Φ = V℮ j ωt
a corrente também será um fasor girante:
IM℮ 
jγ℮ j ωt = I℮ j ωt 
No resistor, verificamos que a razão entre os
fasores V e I, que é sua impedância, será: 
ZR = V = R Ω
 I
Verificamos que, no resistor, a corrente e a
tensão estão em fase. 
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 Análise de Circuitos Usando Fasores: 
Verificamos que utilizar fasores corresponde a criar uma espécie de “mundo virtual”, onde uma
entrada complexa será aplicada ao circuito. Neste mundo, no qual o tempo está “congelado”, vale o
conceito de impedância para cada elemento passivo. A impedância assemelha-se à resistência, pois
trata-se da razão entre o fasor tensão e o fasor corrente, sobre cada elemento. Assim, temos a
chamada forma complexa da Lei de Ohm e, este “mundo virtual” chama-se de domínio da
frequência. No domínio da frequência, as leis de Kirchhoff são válidas para fasores, tanto para
correntes quanto para tensões. Tal fato permite seguirmos o método de análise de circuitos em
regime permanente senoidal, usando fasores:
1°- Passe o circuito ao “Domínio da Frequência”, segundo a tabela a seguir:
 
“Domínio do Tempo: “Domínio da Frequência”
Elemento 
Passivo
R R
Impedância (Ω)L jωL
C 1/jωC = - j/ωC
Tensões v(t) = VM cos (ωt + Θv)
 (V)
FASORES
CORRESPONDENTES
Correntes i(t) = VM cos (ωt + Θi) 
 (A)
2° - Aplicar leis, métodos e teoremas, já estudados para circuitos resistivos, e que permanecem
válidos no domínio da frequência, para calcular o fasor correspondente á resposta desejada.
3°- Voltar ao chamado domínio do tempo, escrevendo a função senoidal correspondente ao fasor
encontrado, conforme os exemplos que passaremos a fazer.
Impedância Equivalente:
Qualquer associação de impedâncias ou de impedâncias e de fontes controladas equivale a uma só
impedância definida como a razão entre ao fasor tensão e o fasor corrente que uma fonte “veria” se
fosse aplicada àqueles terminais. 
Portanto, o conceito é semelhante ao de resistência equivalente já estudado. Logo, podemos ter:
1- Associações em série:
Ex: Calcule a impedância equivalente de cada
associação a seguir, para a frequência. da
tensão de entrada e use-a para calcular a
corrente no circuito, em regime permanente
senoidal: 
 
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2- Associações em Paralelo: 
Ex 3: Calcule a impedância equivalente do circuito a seguir.Calcule a corrente i1(t) e a tensão v0(t).
Ex 4: Repita para o circuito a seguir: 
3- Associações Mistas (Série e Paralelo):
Ex 5: Calcule a impedância equivalente da associação a seguir, vista pela fonte e calcule a corrente
i0 (t), em regime permanente senoidal
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Ex 6: Calcule a impedância da associação a seguir, vista pela fonte. Calcule a tensão v0(t), em
regime permanente senoidal.
Conversões Δ- Y e Y- Δ (ou Π – T e T - Π )
Vimos, em Circuitos Elétricos I, que há situações em que as associações de resistores não recaem
nos três tipos anteriores.Duas configurações típicas em que isso ocorre, tanto em circuitos resistivos
como, em regime permanente senoidal, com impedâncias são as associações conhecidas como Delta
(Δ) ou pi ( Π) e Y(ípsilon) ou (estrela). A figura a seguir mostra os dois tipos de configurações. O
teorema de Kenelly estabelece as expressões que permitem converter uma configuração para a
outra, pois, usando as expressões apresentadas na figura (demonstradas neste teorema) ambas as
configurações são equivalentes:
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Exemplos de Conversões Delta- Estrela e Estrela- Delta:
 Os circuitos a seguir já estão representados no domínio da frequência, para uma determinada
frequência de operação. Calcule a impedância equivalente vista entre os termoinais A e B da figura
a seguir, usando transformação delta estrela.
Ex.1- Calcule a impedância equivalente vista entre os terminais A e B da figura a seguir, usando
transformação delta estrela.
Ex. 2- Usando transformação delta-estrela ou estrela-delta, calcule
a) A impedância equivalente vista pela fonte;
b) O fasor I.
 
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