ESTATICA DOS FLUIDOS001

Prévia do material em texto

Estática dos Fluidos 
e d r o F e r r e 
T h a i s C a v a l h e r i 
Estática dos Fluidos 
2 
Estática dos Fluidos 
BIOGRAFIA RESUMIDA DOS AUTORES 
Pedro Ferreira 
Possui graduação em Engenharia de Controle e Automação pela 
Universidade Paulista (UNIP) obtida em 2004. Após a graduação, cursou durante 
o período de 2006 a 2007 a pós-graduação lato sensu (especialização) em 
Formação de Professores para o Ensino Superior pela UNIP. Em 2009 ingressou 
no curso de Mestrado em Engenharia da Produção no Programa de Pós-
Graduação da UNIP, concluindo em 2011 . No período de 2004 a 2009 atuou 
como Engenheiro na Companhia Ultragaz S.A. Dentro do mercado de 
Engarrafamento de Gás Liquefeito do Petróleo (GLP ) , a s principais atividades 
desenvolvidas foram nas áreas de produção; manutenção; projetos de 
Engenharia; processos de pintura industrial; inspeção e manutenção de vasos de 
pressão; normatização, elaboração e acompanhamento de ensaios técnicos. 
Desde 2005 até o presente, atua como Professor Adjunto do curso de Engenharia 
do I C E T da UNIP. Juntamente como Professor do I CET , é coordenador do curso 
de Engenharia Básico desde 2008. Em 2012 torna-se responsável pelos 
laboratórios do I CET coordenando técnicos, compras, insumos para as 
engenharias, instalação e manutenção dos equipamentos. Desde 2014 até o 
presente é professor pesquisador do Grupo de Pesquisa em Ensino de Física 
para Engenharias ( G r u PEFE ) , certificado pela instituição UNIP e registrado no 
Conselho Nacional de Desenvolvimento e Científico e Tecnológico (CNPq) . Em 
junho de 2016 assume a liderança da disciplina de Estática dos Fluidos ( E F ) . 
Disciplinas lecionadas; Mecânica dos Fluidos (Laboratório), Estática dos Fluidos, 
Cinemática dos Sólidos, Dinâmica dos Sólidos, Mecânica da Partícula (Teoria e 
Laboratório), Tópicos de Física Geral e Experimental (Teoria e Laboratório), 
Eletricidade Básica (Laboratório), Tópicos de Informática, Desenho Técnico, 
Tópicos de Matemática Aplicada, Fenómenos de Transporte (Teoria e 
Laboratório), Instrumentação Industrial 
Thais Cavalheri 
Cursou o Bacharelado em Física Médica pela Universidade de São 
Paulo ( USP ) no período de 2001 a 2005. Em 2005 ingressou no curso de 
Mestrado em Ciências (Física) no Programa de Física Aplicada à Medicina e 
Biologia da U SP , concluindo em 2007. Juntamente com o curso de Mestrado, 
também cursou a pós-graduação lato sensu (especialização) Master in Business 
Administration - MBA em Gestão de Organizações Hospitalares e Sis temas de 
Saúde pela Fundação Getúlio Vargas - FGV . Em 2008 ingressa no curso de 
Doutorado em Ciências (Física) junto ao Programa de Tecnologia Nuclear do 
Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares da Comissão Nacional de Energia 
3 
Estática dos Fluidos 
Nuclear ( I PEN -CNEN /SP ) , programa este vinculado à Pós-Graduação da USP . 
Defende sua Tese de Doutorado em 2012. Após o final do doutorado, permanece 
ainda no I PEN -CNEN /SP como pesquisadora em pós-doutoramento até 2014. Em 
2011 é contratada pela Universidade Paulista (UNIP) junto ao Instituto de 
Ciências Exa tas e Tecnologia ( I CET ) com a titulação de Professor Titular. Desde 
janeiro de 2014 até o presente é professora líder da disciplina de Fenómenos de 
Transporte ( FT ) . Disciplinas lecionadas: Tópicos de Física Geral e Experimental 
(Teoria e Laboratório), Tópicos de Matemática Aplicada, Tópicos de Informática, 
Mecânica da Partícula (Teoria e Laboratório), Eletricidade Básica (Teoria e 
Laboratório), Complementos de Física (Teoria e Laboratório), Fundamentos da 
Termodinâmica, Cinemática dos Sólidos, Dinâmica dos Sólidos, Estática dos 
Fluidos, Fenómenos de Transporte, Mecânica dos Fluidos (Laboratório). Em 2014 
é contratada pela Universidade São Judas Tadeu ( US J T ) junto à Faculdade de 
Tecnologia e Ciências Exa tas ( F T C E ) com a titulação de Professor Adjunto. 
Disciplinas lecionadas: Física I - Mecânica Clássica, Laboratório de Física e 
Química, Física II - Oscilações e Ondas, Física III - Eletricidade e Magnetismo, 
Laboratório de Física e Eletricidade. Desde 2014 até o presente é professora 
pesquisadora líder do Grupo de Pesquisa em Ensino de Física para Engenharias 
( G r u PEFE ) , certificado pela instituição UNIP e registrado no Conselho Nacional 
de Desenvolvimento e Científico e Tecnológico (CNPq) . Em 2016 torna-se 
coordenadora do Curso de Física - Licenciatura, oferecido pela UNIP junto ao 
I CET , modalidade EAD (Educação à Distância). 
Estática dos Fluidos 
5 
Estática dos Fluidos 
SUMÁRIO 
Página 
1. O S ISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) E OUTROS S ISTEMAS 10 
1.1 S is temas de Unidades Físicas 10 
1.2 Unidades Fundamentais e Derivadas 10 
1.3 Tipos de Sis temas: MLT e F L T 10 
1.4 O Sistema Internacional de Unidades (S I ) 12 
1.5 O Sistema C G S 13 
1.6 O Sistema MKS 14 
1.7 O Sistema MKgfS 14 
1.8 Outros Sis temas 15 
1.9 Conversão de Unidades 17 
1.10 Exercícios Propostos 21 
T A R E F A S 2 3 
2. DEFINIÇÃO E PROPR IEDADES DE FLUIDOS 35 
2.1 Conceitos Fundamentais e Definição de Fluidos 35 
2.2 Pressão Média e Tensão de Cisalhamento Média 36 
2.3 Massa Específica 37 
2.4 Peso Específico 39 
2.5 Relação entre Massa Específica e Peso Específico 39 
2.6 Peso Específico Relativo 4 0 
2.7 Tipos de Fluido 4 0 
2.7.1 Fluido Ideal 40 
2.7.2 Fluido Incompressível 41 
2.7.3 Fluido Compressível 41 
2.7.4 Fluido Indilatável 41 
2.7.5 Fluido Dilatável 41 
2.8 Equação de Estado dos Gase s 41 
2.9 Tipos de Viscosidade 43 
2.9.1 Viscosidade Dinâmica ou Absoluta 43 
6 
Estática dos Fluidos 
2.9.2 Viscosidade Cinemática 46 
2.10 Pressão Hidrostática 47 
2.11 Exercícios Propostos 49 
T A R E F A S 51 
3. E SCALAS TERMOMÉTRICAS E DE PRESSÃO 63 
3.1 Esca l as Termométricas 63 
3.1.1 Esca l as Cels ius e Fahrenheit 63 
3.1.2 Esca l a Kelvin 64 
3.2 Esca l as de Pressão 66 
3.2.1 Pressão Atmosférica (Patm) 6 6 
3.2.2 Presão Efetiva e Pressão Absoluta 67 
3.3 Exercícios Propostos 73 
T A R E F A S 75 
4. ESTÁTICA DOS FLUIDOS 83 
4.1 Empuxo 83 
4.1.1 Princípio de Arquimedes 84 
4.1.2 Peso Rea l e Peso Aparente 84 
4.2 Pressão Média 86 
4.3 Lei de Stevin 87 
4.4 Vasos Comunicantes 89 
4.5 Lei de Pasca l 90 
4.5.1 Prensa Hidráulica 91 
4.6 Exercícios Propostos 95 
T A R E F A S 103 
5. MEDIDORES DE PRESSÃO 113 
5.1 Barómetro 113 
5.2 Manómetros 114 
5.2.1 Manómetro de Tubo Piezométrico, Piezômetro ou Coluna Piezométrica.. 115 
7 
Estática dos Fluidos 
5.2.2 Manómetro Metálico ou de Bourdon 115 
5.2.3 Manómetro de Tubo em U 117 
5.3 Equação Manométrica 121 
5.4 Exercícios Propostos 123 
T A R E F A S 129 
6. APÊNDICE: COMPORTA-SUPERF ÍC IE PLANA 141 
6.1 Força numa Superfície P lana Submersa 141 
6.2 Centro das Pressões 1 4 4 
6.3 Momento de Inércia 1 4 7 
T A R E F A S 151 
BIBLIOGRAFIA 157 
8 
Estática dos Fluidos 
9 
Estática dos Fluidos 
CAPITULO 1 
1. O S ISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) E OUTROS S ISTEMAS 
1.1 Sistema de Unidades Físicas 
Sistema de unidades físicas é o nome que se dá ao conjunto de 
unidades utilizadas para dimensionar toda a variedade de grandezas físicas. 
1.2 Unidades Fundamentais e Derivadas 
Atualmente, verificou-se que as unidades de um sistema podem ser 
definidas em função de seis unidades, convenientemente escolhidas. E s s a s seis 
unidades são consideradas fundamentais, primárias ou também unidades base do 
sistema. Todas as outras unidades são definidas em função das fundamentais, 
sendo assim consideradas unidades derivadas ou secundárias. 
Portanto, grandezas correspondentes às unidades fundamentais são 
conhecidas como grandezas fundamentais do sistema, enquanto que,as demais, 
grandezas derivadas. 
1.3 Tipos de Sistemas: MLT e FLT 
Um sistema de unidades físicas é constituído por unidades 
geométricas, cinemáticas, dinâmicas, térmicas, eletromagnéticas e éticas. E s s e s 
s istemas não necessitam de seis unidades fundamentais, podendo ser compostos 
somente por três dessas unidades. Dentre as três unidades que definem um 
sistema, uma deve ser geométrica, uma cinemática e uma dinâmica. Hoje, todos 
os s istemas usados adotam como grandeza geométrica fundamental o 
comprimento (L ) e como grandeza cinemática primária o tempo (T) . Entretanto, 
quanto à grandeza dinâmica fundamental, alguns sistemas escolheram a massa 
(M) e, outros definiram a força ( F ) . 
Sendo ass im, os s istemas podem ser agrupados em dois tipos: MLT, 
denominados inerciais ou físicos e F LT , denominados gravitacionais ou técnicos. 
Qualquer outra grandeza física (conhecida como grandeza derivada) que não faz 
parte da base pode ser relacionada com as grandezas fundamentais por meio das 
equações da Mecânica e, sua unidade será definida pelo produto de potência das 
três unidades fundamentais escolhidas para cada tipo de sistema. 
m 
Estática dos Fluidos 
Tabela 1.3.1: Tipos de s istemas e as grandezas fundamentais que os constitui. 
Tipo de 
Sistema 
Tipo de Grandeza 
Física 
Grandeza Fundamental 
(Base) Símbolo 
Dinâmica Massa M 
MLT Geométrica Comprimento L 
Cinemática Tempo T 
Dinâmica Força F 
FLT Geométrica Comprimento L 
Cinemática Tempo T 
Para S is temas de Unidades (os quais serão descritos a seguir) que 
adotam como grandezas fundamentais o terno MLT, a força é uma grandeza 
física derivada. A fim de definir a unidade de força, utiliza-se a 2 a Lei de Newton, 
também conhecida como Lei da Dinâmica de Newton. Portanto, para os s istemas 
do tipo MLT, a unidade de força será definida por: 
2* Lei de Newton: F = m • a 
•ando, aceleração = C O m p r Í m e " t o a = L T " 2 
tempo 
.. F = M• L• T " 2 
Da mesma forma, para S is temas de Unidades que adotam o terno F L T 
como grandezas fundamentais, a massa é uma grandeza física derivada. Sendo 
• • s im : 
2* Lei de Newton: F = m • a => m = — 
a 
fido, a = L • T~ 2 
.'. m = — ^ = F LT 1 T 2 
L T 
fxemp/o: 
Determinar a equação dimensional da massa específica p no sistema 
| 0 tipo F L T (base): 
1 I 
Estática dos Fluidos 
CAPITULO 1 
1. O S ISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) E OUTROS S ISTEMAS 
1.1 Sistema de Unidades Físicas 
Sistema de unidades físicas é o nome que se dá ao conjunto de 
unidades utilizadas para dimensionar toda a variedade de grandezas físicas. 
1.2 Unidades Fundamentais e Derivadas 
Atualmente, verificou-se que as unidades de um sistema podem ser 
definidas em função de seis unidades, convenientemente escolhidas. E s s a s seis 
unidades são consideradas fundamentais, primárias ou também unidades base do 
sistema. Todas as outras unidades são definidas em função das fundamentais, 
sendo ass im consideradas unidades derivadas ou secundárias. 
Portanto, grandezas correspondentes às unidades fundamentais são 
conhecidas como grandezas fundamentais do sistema, enquanto que, as demais, 
grandezas derivadas. 
1.3 Tipos de Sistemas: MLT e FLT 
Um sistema de unidades físicas é constituído por unidades 
geométricas, cinemáticas, dinâmicas, térmicas, eletromagnéticas e éticas. E s s e s 
s istemas não necessitam de seis unidades fundamentais, podendo ser compostos 
somente por três dessas unidades. Dentre as três unidades que definem um 
sistema, uma deve ser geométrica, uma cinemática e uma dinâmica. Hoje, todos 
os s istemas usados adotam como grandeza geométrica fundamental o 
comprimento (L) e como grandeza cinemática primária o tempo (T) . Entretanto, 
quanto à grandeza dinâmica fundamental, alguns sistemas escolheram a massa 
(M) e, outros definiram a força (F ) . 
Sendo ass im, os sistemas podem ser agrupados em dois tipos: MLT, 
denominados inerciais ou físicos e F LT , denominados gravitacionais ou técnicos. 
Qualquer outra grandeza física (conhecida como grandeza derivada) que não faz 
parte da base pode ser relacionada com as grandezas fundamentais por meio das 
equações da Mecânica e, sua unidade será definida pelo produto de potência das 
três unidades fundamentais escolhidas para cada tipo de sistema. 
10 
Estática dos Fluidos 
Tabela 1.3.1: Tipos de s is temas e as grandezas fundamentais que os constitui. 
Tipo de 
Sistema 
Tipo de Grandeza 
Física 
Grandeza Fundamental 
(Base) Símbolo 
MLT 
Dinâmica Massa M 
MLT Geométrica Comprimento L MLT 
Cinemática Tempo T 
FLT 
Dinâmica Força F 
FLT Geométrica Comprimento L FLT 
Cinemática Tempo T 
Para Sis temas de Unidades (os quais serão descritos a seguir) que 
adotam como grandezas fundamentais o terno MLT, a força é uma grandeza 
física derivada. A fim de definir a unidade de força, utiliza-se a 2 a Lei de Newton, 
também conhecida como Lei da Dinâmica de Newton. Portanto, para os sistemas 
do tipo MLT, a unidade de força será definida por: 
2 a Lei de Newton: F = m • a 
comprimento _ , 
sendo, aceleração = = — => a = L T 
tempo 
.. F = M L J-2 
Da mesma forma, para S is temas de Unidades que adotam o terno F L T 
como grandezas fundamentais, a massa é uma grandeza física derivada. Sendo 
ass im: 
2 a Lei de Newton: F = m a => m = 
a 
sendo, a = L • T 
F - 1 T 2 m = - , = F • L • T 
L - T 
Exemplo: 
Determinar a equação dimensional da massa específica p no sistema 
do tipo F L T (base): 
11 
Estática dos Fluidos 
m 
A massa específica é definida por: p = —-
V 
Sendo: m = massa ; 
V- volume. 
Sabendo que para o sistema do tipo F L T a massa é uma grandeza 
física derivada e deve ser relacionada com as grandezas fundamentais, pode-se 
definir pela 2 a Lei de Newton: 
F 
F = m a => m = 
a 
Por meio da cinemática, define-se a grandeza física aceleração: 
comprimento __ 2 
aceleração = ~ — => a = L • T 
t empo 2 
.. m = - - ^ = F . L - 1 - T 2 
L T " 2 
Segundo a geometria, sabe-se que o volume é definido por: 
volume = compr imento 3 => V = L 
m F • L T 1 • T 2 _ . _4 _ 2 
Sendo assim: p = — = = => p = r • L • l 
V L 
1.4 O Sistema Internacional de Unidades (SI) 
Quando se deseja medir uma grandeza física, é necessário selecionar 
uma unidade de medida. O Sistema Internacional de Unidades (S I ) consiste em 
unidades de medidas oficiais adotadas em todo o mundo para definir a s sete 
grandezas físicas descritas a seguir: 
Tabela 1.4.1: Unidades de grandezas físicas do S I . 
Grandeza Física Unidade Símbolo 
Comprimento metro m 
Massa quilograma kg 
12 
Estática dos Fluidos 
Temp<o segundo s 
Corrente Eliétrica ampere A 
Temperaltura kelvin K 
Intensidade Liuminosa candeia cd 
Quantidade de» Matéria mol mol 
Qualquer outra grandeza física pode ser medida por meio das sete 
unidades que fazem parte do Sistema Internacional de Unidades (S I ) , 
apresentadas anteriormente. 
Na Tabela 1.4.2 a sçguir estão descritas grandezas físicas derivadas e 
suas respectivas unidades no s i que serão amplamente utilizadas no estudo da 
Mecânica dos Fluidos: 
Tabela 1.4.2: Unidades de grandezas físicas derivadas do S I . 
Grandeza Física Símbolo do 
Sistema Tipo MLT 
Unidade 
Velocidade L T 1 m/s 
Aceleração L.T 2 m/s* 
Força M.L.T * kg.m/s 2 = N* 
Densidade M.L ~3 kg/m 3 
Trabalho M.L^ .T - * N.m = J * 
Potência M i * .T 3 J / s = W* 
Pressão M.L - \ j N/m 2 = P a * 
*N = newton (unidade de força). 
* J = joule (unidade d e energia). 
*W = watt (unidade de potência). 
* P a = pascal (unidade de pressão). 
1.5 O Sistema CGS 
O Sistema C G S é Co tipo MLT e, suas unidades fundamentais estão 
descritas na Tabela 1.5.1 a seguir: 
Tabela 1.5.1: Unidades de grandezasfísicas do Sistema C G S . 
Grandeza Física Unidade Símbolo 
Massa grama g 
Comprimento centímetro cm 
Tempc segundo s 
I I 
Estática dos Fluidos 
Na Tabela 1.5.2 a seguir estão descritas algumas grandezas físicas 
derivadas e suas respectivas unidades no Sistema C G S : 
Tabela 1.5.2: Unidades de grandezas físicas derivadas do Sistema C G S . 
Grandeza Símbolo do Unidade 
Física Sistema Tipo MLT 
Unidade 
Velocidade L T "1 cm/s 
Aceleração L T " " cm/s* 
Força M.L.T * g.cm/s* = dyn* 
Densidade M.L 3 g/cm 3 
Trabalho M.L* .T J i dyn.cm = erg** 
Potência M.L* .T " J erg/s 
Pressão M . L \ T * dyn/cm* 
*dyn=dina = unidade de força. 
" e r g = 0,1 LIJ = unidade de energia/trabalho 
1.6 O Sistema MKS 
O Sistema MKS é do tipo MLT e atualmente é o sistema universal da 
Física. Suas unidades fundamentais estão descritas na Tabela 1.6.1 a seguir: 
Tabela 1.6.1: Unidades de grandezas físicas do Sistema MKS. 
Grandeza Física Unidade Símbolo 
Massa quilograma kg 
Comprimento metro m 
Tempo segundo s 
1.7 O Sistema MKgfS 
O Sistema MKgfS é do tipo F L T sendo muito utilizado em Engenharia, 
principalmente em obras e projetos técnicos. Suas unidades fundamentais estão 
descritas na Tabela 1.7.1 a seguir: 
Tabela 1.7.1: Unidades de grandezas físicas do Sistema MKgfS. 
Grandeza Física Unidade Símbolo 
Força quilograma-força kgf 
Comprimento metro m 
Tempo segundo s 
14 
Estática dos Fluidos 
Na Tabela 1.7.2 a seguir, estão descritas algumas grandezas físicas 
derivadas e suas respectivas unidades no Sistema MKgfS: 
Tabela 1.7.2: Unidades de grandezas físicas derivadas do Sistema C G S . 
Grandeza Física 
Símbolo do 
Sistema Tipo FLT 
Unidade 
Velocidade L T m/s 
Aceleração L T * m/s* 
Massa F .L " ' . T 2 kgf.s*/m = utm* 
Densidade F . L ^ . T * utm/m 3 
Trabalho F.L kgf.m 
Potência F . L . T - 1 kgf. m/s 
Pressão F . L * kgf/m* 
*utm = unidade técnica de massa . 
1.8 Outros Sistemas 
O Sistema MTS usado na França e o Sistema Inercial Inglês e Norte 
Americano usado na Inglaterra e nos Estados Unidos, são sistemas do tipo MLT. 
Suas unidades fundamentais estão descritas na Tabela 1.8.1 a seguir: 
Tabela 1.8.1: Unidades de grandezas físicas dos Sis temas MTS e o Inercial Inglês 
e Norte Americano. 
Sistema MTS 
Sistema Inercial Inglês e 
Norte Americano 
Grandeza Física Unidade Símbolo Unidade Símbolo 
Massa tonelada t libra Ib 
Comprimento metro m pé ft 
Tempo segundo s segundo s 
Na Tabela 1.8.2 a seguir, estão descritas algumas grandezas físicas 
derivadas e suas respectivas unidades no Sistema Inercial Inglês e Norte 
Americano: 
Tabela 1.8.2: Unidades de grandezas físicas derivadas do Sistema Inercial Inglês 
e Norte Americano. 
Grandeza Símbolo do 
Unidade Física Sistema Tipo MLT 
Unidade 
Velocidade L.T ft/s 
Aceleração L T * tt/s2 
15 
Estática dos Fluidos 
Força M.L.T - í Ib.ft/s* = pd\* 
Densidade M.L J lb/ftJ 
Trabalho M.L a . T * pdl.ft 
Potência M.L * . T J pdl.ft/s 
Pressão M . L V T * pdl/ft* 
*pdl = poundal (unidade técnica de força). 
O Sistema Gravitacional Inglês e Norte Americano usado na Inglaterra 
e nos Estados Unidos, são s istemas do tipo F L T . Sua s unidades fundamentais 
estão descritas na Tabela 1.8.3 a seguir: 
Tabela 1.8.3: Unidades de grandezas físicas do Sistema Gravitacional Inglês e 
Norte Americano. 
Grandeza Física Unidade Símbolo 
Força libra-força Ibf 
Comprimento pé ft 
Tempo segundo s 
Na Tabela 1.8.4 a seguir estão descritas grandezas físicas derivadas e 
suas respectivas unidades no Sistema Gravitacional Inglês e Norte Americano: 
Tabela 1.8.4: Unidades de grandezas físicas derivadas do Sistema Gravitacional 
e Norte Americano. 
Grandeza Física 
Símbolo do 
Sistema Tipo FLT 
Unidade 
Velocidade L T "1 ft/s 
Aceleração L.T * ft/s* 
Massa f . l V t * lbf.s*/ft = slug* 
Densidade F . L ^ . T ' slug/ft J 
Trabalho F.L Ibf.ft 
Potência F .L .T 1 Ibf.ft/s 
Pressão F . L * Ibf/ft* 
*slug = unidade de massa . 
/ " APROFUNDE-SE : ^ 
A primeira Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM) ocorreu em 1889. 
Para saber mais sobre as últimas recomendações aprovadas e a participação da 
delegação brasileira na conferência, acesse : INST ITUTO NACIONAL DE 
METROLOGIA , QUAL IDADE E TECNOLOG IA ( INMETRO) . Conferência Geral de 
Pesos e Medidas - CGPM . Inmetro, 2012. Disponível 
em:<http://www.inmetro.gov.br/metcientifica/comites/cgpm.asp>. 
V Acesso em: 29 abr. 2015. / 
16 
Estática dos Fluidos 
1.9 Conversão de Unidades 
Todas as medidas de qualquer que seja a grandeza física, possuem 
um módulo e uma unidade. Quando são realizadas operações matemáticas com 
essas grandezas, como somar, subtrair, multiplicar e dividir, a s unidades são 
tratadas como grandezas algébricas. Atente-se para o exemplo a seguir: 
Exemplo: 
Considere que um carro está a 90 km/h. Qual é a velocidade do carro 
em metros por segundo (m/s) e também em milhas por hora (mi/h)? 
1 o - A velocidade de 90 km/h será multiplicada por uma série de fatores 
de conversão que transformará km/h em m/s: 
90 km 1000 m 1 h 1 min 
x x x = 25 m / s 
h 1 km 60 min 60 s 
2° - A velocidade de 90 km/h será multiplicada somente por um fator de 
conversão que transformará km/h em mi/h, sabendo que 1 mi = 1,61 km: 
90 km 1 mi _ . . . 
. * A e < . = 55,9 m i / h 
h 1,61 km 
Os engenheiros devem saber trabalhar tanto com unidades no S I 
quanto com unidades no Sistema Inglês. E s s e conhecimento é importante 
principalmente em projetos que envolvem pessoas de diversas nacionalidades, já 
que, dependendo do projeto, um equívoco de conversão pode ocasionar uma 
grande catástrofe. 
Uma falha de conversão de unidades foi a causa da destruição da 
sonda Mars Climate Orbiter, lançada em 1999 pela Nasa para estudar o clima de 
Marte. Enquanto os engenheiros projetistas fizeram alguns cálculos com unidades 
do Sistema Inglês, a equipe de controle esperava valores com unidades do 
sistema internacional. 
' APROFUNDE-SE : 
Para saber mais sobre grandes desastres ocasionados por falhas de conversão 
de unidades acesse : MARQUES JÚNIOR, M.; KAMIYA, R. R. Antipadrão de 
desenvolvimento: desastre incomensurável. I M E - USP , 2006. Disponível em: 
<https://www.ime.usp.br/-kon/MAC5715/PLoP/2006/refact/Desastrelncomensurav 
. el-ref.pdf>. Acesso em: 29 abr. 2016. 
17 
Estática dos Fluidos 
A seguir estão descritas tabelas com os principais fatores de conversão 
utilizados atualmente para diferentes grandezas físicas: 
Comprimento 
pol 
1 metro (m) 1 39,37 3,281 6.214X10"4 
1 polegada (pol) 2,540x10 ' 1 8.333x10"' 1,578x10 5 
1 pó(ft) 0,3048 12 1 1,894x1o"4 
1 milha (mi) 1609,344 63360 5280 1 
in inch = polegada 1 in (ou pol) = 2,54 cm 
Tempo 
s min h d ano 
1 segundo (s) 1 1,667x10"' 2,778x10" 1,157x10 5 3,169x10"" 
1 minuto (min) 60 1 1,667x10"' 6,994x10"* 1,901x10"° 
1 hora (h) 3600 60 1 4,167x10"' 1.141x10 ^ 
1 dia (d) 8,640x10* 1440 24 1 2,738x10 -J 
1 ano 3,156x10 ' 5,260x10 5 8,766x10 J 365,242 1 
Massa 
kg utm slug 
1 quilograma (kg) 1 1,0197x10"' 6,852x10 ' 
1 unidade técnica d* massa (utm) 9,80665 1 0,67 
1 slug 14.59 1,4925 1 
* 1 ton (tonelada) = 1000 kg 
Area 
pol' ft' 
1 metro quadrado (m') 1 1550 10,76 
1 polegada quadrada (pol2) 6,452x10 " 1 6,944x10 J 
1 pé quadrado (ff1) 9,290x10"' 144 1 
Volume 
mJ 3 
cm 
I polJ ft" 
1 metro cúbico (mJ) 1 10" 10 J 6,102x10* 35,31 
1 centímetro cúbico (cm1) 10"" 1 10 "J 6,102x10' 3,531x10 a 
1 litro (I) 10 "J 10 J 1 61,02 3,531x10"' 
1 polegada cúbica (pol'*) 1,639x1o"5 16,39 1,639x10"' 1 5,787x10" 
1 pé cúbico (ftJ) 2,832x10"' 2,831x10" 28,32 1728 1 
* 1 metro cúbico (m 3 ) = 1000 decímetros cúbicos (dm 3 ) = 1000 litros (I) 
18 
Estática dos Fluidos 
Velocidadem/s km/h ft/s mi/h 
1 metro/segundo (m/s) 1 3,600 3,281 2,237 
1 quilómetro/hora (km/h) 0,2778 1 0,9113 0,6214 
1 pé/segundo (ft/s) 0,3048 1,097 1 0,6818 
1 milha/hora (mi/h) 0,4470 1,609 1,467 1 
1 newton (N) 
1 guilograma-força (kgf) 
1 poundal (pdl) 
1 libra-força (Ibf) 
1 dina 
1 
9,8065 
0,138 
4,448 
10 
Força 
"kgf 
0,102 
1 
1,41x10 ' 
0,454 
0,102x10" 
pdl 
7,233 
70,93 
Ibf 
0,2248 
2,205 
3,1x10"' 
32,17 
7,23x10 ' 
1 
2,248x10 ' 
dina 
10" 
980665^ 
13825 
4,448x10 
1 
W cal/s HP Ibf.ft/s | Btu/h 
1 watt (W) 1 0,2390 1,341x10 "J 0,7376 3,414 
1 caloria/segundo (cal/s) 4,184 1 5,611x10 J 3,086 14,29 
1 Horse Power (HP) 745,7 178,2 1 550 2544 
1 libra-força pé por 
segundo (Ibf.ft/s) 1,356 0,3240 1,818x10 "3 1 4,629 
1 Btu/hora (Btu/h) 0,2930 7,000x10 "' 3,928x10 " 0,2162 1 
Densidade 
kg/mJ g/cmJ lb/ftJ 
1 quilograma/metro cúbico (kg/mJ) 1 10 "J 6,243x10"' 
1 grama/cm' (kg/cmJ) 10 J 1 62,43 
1 libra/pé cúbico (lb/ftJ) 16,02 1,602x10 "' 1 
Pressão 
Pa dina/cm2 atm mmHg 
(torr) Ibf/pol 
I polegada 
de água 
1 pascal 
(N/m' = Pa) 
1 dina/cm' 
(dyn/cm2) 
1 atmosfera 
(atm) 
I milímetro de Hg 
(mmHg = torr) 
0.1 
1,01x10-
133,3 
10 9,87x10 6 
1,01x10' 
1,33x10 3 
9,87x10 7 
1,32x10 1 
19 
7,50x10 1,45x10 4,02x10 
7,50x10" 1,45x10 5 
760 
4,02x10 * 
14,70 406.8 
1,93x10 0,535 
Estática dos Fluidos 
1 libra-
força/polegada 
nuadrada (Ibf/pol2) 
6895 6,89x10* 0.068 51,72 1 
27,68 O j l 
1 polegada 
de água 
249,1 2491 2,46x10 3 1,87 3,61x10 2 
1 0.031 
1 metro de coluna 
de água (mca) 
9806,38 9,81.10* 0,1 73,55 1,42 
39,37 1 1 1 metro de coluna 
de água (mca) 
20 
Estática dos Fluidos 
1.10 Exercícios Propostos 
01 . Demonstre a transformação das unidades de comprimento, área e volume 
relacionadas a seguir para as respectivas unidades citadas. 
de para resposta 
2,5 km m 
5,0 m mm 
2,0 in cm 
1,0 m 2 cm 2 
100 cm 2 In 2 
1,0 m 3 1 
14501 m 3 
2,5 m 3 dm 3 
02. Demonstrar a conversão das unidades de pressão, relacionadas a seguir para 
as respectivas unidades citadas: 
de para respos ta 
0,8 kPa kgf/m 2 
10.000 N/m 2 kgf/m 2 
200 bar kgf/m 2 
200 kgf/m 2 bar 
* 1 ba r= 10 5 P a (Pasca l ) 
03. Escrever a s fórmulas dimensionais nas bases MLT e F L T das seguintes 
grandezas físicas: vazão, volume e pressão. 
04. Quando aplicamos uma força F em um corpo de massa m, é causada uma 
aceleração a e um deslocamento AS, e ass im, definimos a grandeza física 
trabalho realizado por uma força. O trabalho é definido pela equação a seguir: 
W = m • a • AS 
Pensando exclusivamente no Sistema Internacional de Unidades (S I ) , expresse a 
unidade de trabalho. 
21 
Estática dos Fluidos 
05. Considerando duas grandezas de dimensões X = M e Y = L T ' 2 , sendo M a 
dimensão de massa , L a dimensão de comprimento e T a dimensão de tempo, 
determine a grandeza definida por X .Y . 
06. Quando estamos dentro de uma piscina e tentamos levantar o corpo de uma 
pessoa, "sentimos" certa facilidade para levantar este corpo, que não é percebida 
quando estamos fora da água. Isso se deve a força de empuxo (E) , que é dada 
pelo produto da massa específica (p), pela gravidade (g) e pelo volume deste 
corpo (V) (E - p.g. V). Defina a fórmula dimensional do empuxo na base F LT . 
07. Como exemplificado na teoria do Capitulo 1, no Sistema Internacional de 
Unidades (S I ) possuímos 7 unidades de medidas oficiais, a s quais são: o metro 
(m), o quilograma (kg), o segundo (s), o kelvin (K), o ampere (A), a candeia (cd) 
e o mol (mol). O número de Reynolds (Re) é um número adimensional utilizado 
na Mecânica dos Fluídos, para o cálculo do regime de escoamento. Utilizando 
unidades no S I e a equação a seguir, demonstre que o número de Reynolds é um 
número adimensional. 
u 
Sendo: p - massa específica; 
v = velocidade média de escoamento do fluído; 
D - diâmetro do conduto; 
p = viscosidade dinâmica do fluído. 
* Consulte no Capítulo 2 do livro a unidade da grandeza física viscosidade 
dinâmica do fluido. 
22 
Estática dos Fluidos 
TAREFA - 1 
NOME: 
TURMA: R.A: 
Demonstrar a conversão das unidades de pressão, relacionadas a 
seguir, para as respectivas unidades citadas: 
de para resposta 
1,3 MPa kgf/m 2 
20.000 N/m 2 kgf/cm 2 
135 bar kgf/m 2 
200 kgf/cm 2 bar 
10 mca Pa 
23 
Estática dos Fluidos 
24 
Estática dos Fluidos 
T A R E F A - 2 
NOME: 
TURMA: R A : 
Escrever a s equações dimensionais das grandezas a seguir 
•presentando as justificativas adequadas: 
Grandeza MLT FLT 
Pressão 
Força 
Potência 
Velocidade angular 
Massa 
Frequência 
2!. 
Estática dos Fluidos 
26 
Estática dos Fluidos 
TAREFA - 3 
NOME 
INUMA: R A : 
Considerando duas grandezas X e Y , respectivamente de dimensões 
M l T 2 e L 2 , sendo M a dimensão de massa , L a dimensão de comprimento e T a 
dimensão de tempo, determine a grandeza definida por X /Y . 
27 
Estática dos Fluidos 
T A R E F A - 4 
NOMt 
TURMA: R A : 
Segundo o site da íio\(http://carros.hsw.uol.com.br/aerodinamica2.htm), 
0 Volvo seda 960, no período de 1970/1980, possuía coeficiente de arrasto (cd) 
0,36. Os Volvos mais recentes, mais curvilíneos, possuem coeficiente de arrasto 
k, I) 0,28; uma demonstração da preocupação da indústria com a eficiência 
tnergética. A tabela a seguir apresenta o coeficiente de arrasto (cd) de alguns 
Vtlculos: 
Veículo Coeficiente de Arrasto (cd) 
Saveiro 0,378 
Gol 0,340 
Fonfe:http://autoentusiastas. blogspot.com. br/2011/07/aerodinamica-no-dia-
día.html 
Sabendo que o coeficiente de arrasto (C<Í) é expresso pela equação a 
•eguir, verifique utilizando os dados oferecidos, se o veículo testado em túnel de 
vento é competitivo frente aos dados apresentados anteriormente na tabela. 
0 , 5 - p - v A 
Dados provenientes do ensaio em túnel de vento: 
massa específica ar (p) - 1,22 kg/m 3; 
érea frontal (A) = 1,35 m 2 ; 
velocidade (v) = 90km/h; 
força de arrasto (Fd) = 320 N. 
Estática dos Fluidos 
30 
Estática dos Fluidos 
T A R E F A - 5 
NOME: 
TOHMA: R.A: 
O Instituto Nacional de Eficiência Energética ( I NEE ) promove 
t iminár ios para discutir aumento da eficiência energética em veículos pela 
f tdução da resistência do ar. A força de arrasto é a força que os veículos têm que 
íiUncer para se movimentar e, essa grandeza aumenta conforme a velocidade do 
Corpo aumenta. A redução do consumo de combustível não é somente uma 
questão económica, mas também uma questão ambiental, pois quem 
•fetivamente consome menos, polui menos. Utilizando unidades no Sistema 
Inirinacional (S I ) e a equação a seguir, demonstre que o coeficiente de arrasto 
(d*) é uma grandeza física adimensional. 
0,5 p v 2 
Estática dos Fluidos 
32 
Estática dos Fluidos 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 
xercícios Propostos 
de para resposta 
2,5 km m 2.500 
5,0 m mm 5.000 
2,0 in cm 5,08 
1,0 m 2 cm 2 10.000 
100 cm 2 In 2 15,5 
1,0 m 3 1 1.000 
14501 m 3 1,45 
2,5 m 3 dm 3 2.500 
de para resposta 
0,8 kPa kgf/m 2 81,58 
10.000 N/m 2 kgf/m 2 1019,72 
200 bar kgf/m 2 2.039.432 
200 kgf/m 2 bar 0,02 
03. Vazão: MLT = L 3 . T " 1 e F L T = L 3 . T " 1 
Volume: MLT = L 3 e F L T = L 3 
Pressão: MLT = M.L " 1 .T 2 e F L T = F .L" 2 
. W = N.m = J 
. A grandeza definida por X . Y é força cuja unidade, em S I , é newton (N). 
06. [E] = F 
Estática dos Fluidos 
Tarefas 
de para resposta 
1,3 MPa kgf/m 2 1,326.1o 3 
20.000 N/m 2 kgf/cm 2 0,204 
135 bar kgf/m 2 1,38.10° 
200 kgf/cm 2 bar 196,13 
10 mca Pa 9,81.10" 
Grandeza MLT F L T 
Pressão FL< 
Força MLT * F 
Potência ML*T ' J F L T 1 
Velocidade angular r T 1 
Massa M F L n r 
Frequência T 1 r 1 
03. A grandeza definida por X /Y é pressão. 
04. Não é competitivo. Cd = 0,622. 
34 
Estática dos Fluidos 
CAP I TULO 2 
DEFINIÇÃO E PROPR IEDADES DE FLUIDOS 
,1 Conceitos Fundamentais e Definição de Fluidos 
Fluidos são substâncias que têm a capacidade de escoar e não 
•suem uma forma própria, tomando o formato do recipiente que os contém, 
ortanto, a capacidade de escoar distingue o fluido de um sólido. Sendo ass im, 
fluidos são os líquidos e os gases. Ainda, por meio da observação prática da 
xperiência das Duas P lacas , compara-se o comportamento entre um fluido e um 
Ido na aplicação de uma força tangencial. 
Na descrição da Experiência das Duas P lacas , considere um sólido 
so entre duas placas planas, cuja placa inferior encontra-se fixa e a superior 
•tá sujeita a aplicação de uma força tangencial F t constante. Observe a Figura 
1.1: 
p» Placa Superior 
• Placa Inferior Fixa 
igura 2 .1 .1 : (a) Sólido entre duas placas e, (b) Sólido deformado angularmente 
vido à aplicação de uma F t aplicada sobre a placa superior. 
Devido à aplicação da força tangencial F t constante sobre a placa 
uperior nota-se uma deformação angular no sólido, o qual alcança uma nova 
posição de equilíbrio estático. 
Em um segundo momento, a mesma experiência é realizada 
locando-se um fluido entre as placas: inferior fixa e a superior sujeita a uma 
rça tangencial F, constante (Fig. 2.1.2). 
[-» Placa Suprior 
|D C 
• Placa Inferior Fixa (a) 
Figura 2.1.2: (a) Fluido entre duas placas e, (b) Fluido deformado continuamente 
devido à aplicação de uma F, aplicada sobre a placa superior. 
35 
Estática dos Fluidos 
Primeiramente nota-se o princípio da aderência, o qual descreve que 
os pontos do fluido em contato com uma superfície sólida aderem aos pontos da 
mesma, com os quais se encontram em contato. Sendo assim, considerando o 
volume ABCD do fluido sob a ação da F t , ele deforma-se continuamente e não 
alcança uma nova posição de equilíbrio estático. 
Portanto, analisando a Experiência das Duas P lacas aplicada para um 
sólido e um fluido conclui-se que o sólido deforma-se limitadamente sob a ação 
de uma força tangencial constante, enquanto que, o fluido é uma substância que 
se deforma continuamente quando submetido a uma F t constante, não atingindo 
uma nova configuração de equilíbrio estático. 
2.2 Pressão Média e Tensão de Cisalhamento Média 
Considere uma superfície de área A submetida à ação de uma força F 
(Fig. 2.2.1). Decompondo essa força F em componentes tangencial ( F t ) e normal 
(F„): 
Figura 2 .2 .1 : Superfície de área A submetida á ação de uma força F . 
Define-se Pressão Média (P) como sendo a razão entre o módulo d a ' 
componente normal da força (|Fn| = F„) (Fig.2.2.1) e a área sobre a qual está 
aplicada: 
p _ I " I _ " n 
" A A 
36 
Estática dos Fluidos 
| Ainda, por meio da Figura 2 .2 .1 , define-se a Tensão de Cisalhamento 
Média (r) como o quociente entre o módulo da componente tangencial da força 
(|Ft| = Ft) (Fig.2.2.1) e a área sobre a qual está aplicada: 
Portanto, sendo Pressão (P) e Tensão de Cisalhamento ( r ) grandezas 
definidas por força sobre unidade de área, as unidades mais utilizadas para e s sas 
grandezas, de acordo com o Sistema de Unidades, estão descritas na Tabela 
1,2.1 a seguir: 
Tabela 2 .2 .1 : Unidades de Pressão (P) e Tensão de Cisalhamento ( r ) para os 
t ls temas de Unidades: MKgfS, C G S e MKS (S I ) . 
Sistema Unidade de P e/ou r 
MKgfS kgf/m* 
C G S dina/cm* 
MKS (S I ) N /m* (Pa) 
* 1 N/m 2 = 1 pascal (Pa ) 
2.3 Massa Específica 
A Massa Específica (p) de uma substância é a razão entre a massa (m) 
de uma quantidade da substância e o correspondente volume do fluido (V) 
ocupado por e s sa quantidade: 
Ass im, sendo Massa Específica (p) a grandeza física definida por 
massa sobre unidade de volume, as unidades mais utilizadas para e s sa grandeza 
de acordo com o Sistema de Unidades utilizado, estão descritas na Tabela 2.3.1 a 
leguir. 
Tabela 2.3 .1 : Unidades de Massa Específica (p) para os Sis temas de Unidades: 
MKgfS, C G S e MKS (SI ) . 
Sistema Unidade de p 
MKgfS utm/m J 
C G S g /cm 3 
MKS (SI ) kg/m 1 
37 
Estática dos Fluidos 
Na tabela 2.3.2 estão mostradas o valor da Massa Específica (p) para 
alguns fluidos: 
Tabela 2.3.2: Valor da Massa Específica (p) para diferentes fluidos 
Fluido 
Massa Específica 
(p) (kg/m 3) 
Água destilada 1000 
Água do mar 1030 
Álcool etílico 800 
Glicerina 1260 
Mercúrio 13600 
Óleo diesel 890 
Óleo lubrificante 910 
Óleo de soja 950 
Petróleo 880 
Ar (15,6 °C; P = 1 atm) 1,2 
Metano (15,6 °C; P = 1 atm) 0,6 
Exemplo: 
Misturam-se volumes iguais de dois líquidos de massas específicas p^ 
= 0,50 g/cm 3 e & = 0,90 g/cm 3 . Determinar a massa específica pu da mistura. 
Como os dois líquidos possuem volumes iguais: V-, = V2 = V, portantoJ 
o volume da mistura é 2 V. A massa da mistura é igual à soma das massas dosj 
dois líquidos: mu = m« + m2. 
m w 
Da definição de massa específica: p = — , temos que: m = p • V 
V 
m M = rn 1 + m 2 
p M - 2 V = p 1 V + p 2 V => p M - 2 = P l + p 2 => p M = 
0,50 + 0,90 
P1 + P2 
Pm = p M = 0,70 g / c m J 
* Nota: A densidade (d) de um corpo (porção limitada da matéria) é a razão entr 
a massa (m) do corpo e o correspondente volume (V). A densidade (d) (term 
mais utilizado para objetos sólidos) possui as mesmas unidades da mas " 
específica (p) (de modo geral, nomenclatura utilizada para fluídos e substâncias). 
d = 
m 
38 
Estática dos Fluidos 
; A Ccso Especí f ico 
O Peso Específico (y) de uma substância é a razão entre a força peso 
B ) de uma quantidade da substância e o correspondente volume do fluido (V) 
1 i.ido por e s sa quantidade: 
G 
Y = — 
V 
Desta maneira, sendo Peso Específico (y) a grandeza física definida 
Mor força peso sobre unidade de volume, as unidades mais utilizadas para essa 
Lfrandeza de acordo com o Sistema de Unidades utilizado, estão descritas na 
Tabela 2.4.1 a seguir: 
• b e l a 2.4 .1 : Unidades de Peso Específico (y) para os Sis temas de Unidades: 
MK.jfS. C G S e MKS (SI ) . 
Sistema Unidade de y 
MKgfS kgf/m 3 
C G S dina/cm 3 
MKS (S I ) N/m 1 
1,5 Relação entre Massa Específica e Peso Específico 
Por meio da 2 a Lei de Newton, a qual relaciona as grandezas físicas 
terça (F), massa (m) e aceleração (a), pode-se determinar a força peso (G): 
F = m a => G = m g 
•endo: g = aceleração da gravidade. 
Utilizando a equação que determina a força peso (G) e dividindo-a pelo 
volume: 
G m 
g 
V V 
Sabendo que massa específica (p) é determinada por: p = — e que o peso 
V 
G 
específico (y) é determinado por: y = , é possível relacionar as grandezas 
v 
físicas pe ypor meio da equação apresentada anteriormente: 
39 
Estática dos Fluidos 
Y = p .g 
2.6 Peso Especif ico Relativo 
O Peso Específico Relativo do fluido (yr) é determinado pela razão 
entre o peso específico do fluido em questão (y) e o peso específico do fluido 
referência (ynf). Para líquidos, o fluido considerado como referência é a água 
(mo = 1 000 kgf/m 3 = 10.000 N/m 3); enquanto que o fluido referência para osj 
gases é o ar. 
É importante notar que Peso Específico Relativo (yr) é uma grandeza 
adimensional, ou seja, o seu valor será o mesmo independente do sistema de 
unidades adotado. 
Exemplo: 
Considere um fluido (líquido) com massa específica p - 80 utm/m 3. 
Determine o seu peso específico (y) e o peso específico relativo (yr). 
Dados: ynio = 1 000 kgf/m 3 
g = 10 m/s 2 
Y = p g ^ y = 80 10 => y = 800 k g f / m 3 (s istema M 
yr =^ - = ^ - ^ 8 0 0 k 9 f / m 3 3 ^ Y r = 0 , 8 
Yref YH2D 1000 k g f / m 3 
2.7 Tipos de Fluido: 
2.7.1 Fluido Ideal 
Um fluido é considerado ideal quando sua viscosidade é nula. Admite-
se que o atrito de camadas do fluido deslizando sobre as vizinhas é a força 
responsável pela viscosidade. S e o fluido ideal não possui viscosidade, conclui-se 
que durante o seu escoamento não há nenhuma perda de energia por atrito. 
40 
Estática dos Fluidos 
i lindo Incompressíve l 
O fluido é considerado incompressível se o seu volume não varia ao 
Icar a pressão. Como consequência, se o fluido for incompressível, a sua 
I específica não varia com a pressão. 
Ma: De acordo com as propriedades físico-quimicas da água, há uma 
nulçBo no seu volume no intervalo de temperatura de 0 a 4 °C. Sendo assim, 
i intervalo de temperatura, a massa especifica da água é maior. Portanto, a 
•e ra considerada um fluido incompressível para temperaturas superiores a 
|,7.3 Fluido Compressível 
O fluido é considerado compressível se o seu volume varia com a 
• sVa çdo da pressão, ou seja, não apresenta volume próprio, dependendo 
^ H | n l o da pressão que está submetido. 
• j . 4 Fluido Indilatável 
O fluido é considerado indilatável se o seu volume não varia ao 
Md l f i ca r a temperatura, ou seja, apresenta volume próprio. Todos os líquidos são 
^ H h p l o s de fluidos indilatáveis. 
I luido Dilatável 
Ao contrário da afirmação anterior, o fluido é considerado dilatável se o 
volume varia com a alteração da temperatura, não apresentando volume 
"Mio. Os gases são exemplos de fluido dilatável. 
Equação de Estado dos Gases 
Quando o fluido não puder ser considerado incompressível nem 
datável, ou seja, quando houver efeitos no volume do fluido devido à variação 
da pressão e temperatura, será necessário determinar as variações na massa 
• jpec i f ica (p) em função da pressão (P) e da temperatura (T). 
O estudo a ser desenvolvido relaciona-se às três grandezas 
macroscópicas: a pressão (P), a temperatura (T) e a massa específica (p), que 
lerá anal isada devido à variação do volume (V). Em função dessas grandezas 
físicas, será analisado o comportamento de um gás ideal ou perfeito. 
Considere a Equação de Estado. 
41 
Estática dos Fluidos 
P _ ___ P 
- - R . T o u p - — 
sendo: R = constante dos gases que depende do gás em estudo e, como] 
exemplo, para o ar o valor da constante R - 287 m 2 / s 2K. 
T = temperatura absoluta na esca la kelvin. 
Considerando uma mudança de estado de um gás: 
1 _ 
Pi • T1 P2 • T2 
sendo o estado inicial do gás representado por (1) e o estado final representada] 
por (2). 
No processo do tipo isotérmico, durante a mudança de estado do gás.i 
não há variação de temperatura, ou seja, T f = T2. Portanto: 
Pi P2 * 
- i = = cte 
Pi P2 
No processo isobárico, durante a transformação de estado do gás, nâV 
há variação de pressão, ou seja, Pi = P2. Sendo ass im: 
Pi T1 = P2 • T2 = C t e 
No processo chamado isocórico ou isométrico, durante 
transformação de estado do gás, não há variação do volume, ou seja, não h 
variação na massa especif ica. Desta maneira, pi = p2. 
? l = ^ = cte 
\2 
No processo do tipo adiabático, durante a mudança de estado do gás 
não há trocas de calor entre o sistema estudado e o meio externo. Nesse caso: 
P 1 P, 
J ^ = ^ = C t e 
Pi P2 
sendo: k = constante adiabática que depende do gás em estudo e, co 
exemplo, para o ar o valor da constante k = 1,4. 
42 
Estática dos Fluidos 
pio: 
Numa tubulação escoa o gás hidrogénio. Numa secção (1), a pressão 
J • 4 .10 5 N/m 2 e a temperatura T t = 40 °C. Ao longo de toda a tubulação, a 
^Bpe r a t u r a mantem-se constante. Determine a massa especif ica do gás {p2) 
H m a secção (2), sabendo que a pressão nessa secção é P2 = 2 .10 5 N/m 2. 
Bpns idere a constante dos gases para o hidrogénio: R = 4122 m 2 / s 2K. 
• P i = r \P1 = 4122 4 ( 40 ° 5 +273 ) ^ P l = ° ' 3 1 ^ ' ^ 
Admitindo o processo do tipo isotérmico onde durante a mudança de 
Ido do gás não há variação de temperatura, ou seja, 7"< = T2. Portanto: 
P1 P2 P2 
n n = > P 2 = P1 ^ 
Pi P2 P1 
p 2 = 0 , 3 1 — ^ 5 =>p2 =0 ,155 k g / m 3 
| 0 T i p o s de Viscosidade: 
De uma maneira simples, pode-se definir viscosidade como sendo a 
lifopriedade que indica a maior ou menor dificuldade em o fluido escoar. No 
is ludo da viscosidade, ela pode ser definida por dois diferentes tipos: a 
Micosidade dinâmica ou absoluta e a viscosidade cinemática. 
1.9.1 Viscosidade Dinâmica ou Absoluta 
Durante a análise do Experimento das Duas P lacas (item 2.1), foi 
Considerado o Princípio da Aderência, o qual descreve que os pontos do fluido em 
OOntato com uma superfície sólida aderem aos pontos da mesma, com os quais 
se encontram em contato. Devido à aplicação de uma força tangencial F t 
constante sobre a placa superior (Fig.2.9.1), a s partículas do fluído que se 
•ncontram junto a esta placa (representadas pelos pontos A e B), terão 
velocidade diferente de zero e, a s partículas do fluido que estão junto à placa 
Inferior (representadas pelos pontos C e D), terão velocidade nula. 
Desta maneira, entre as partículas de cima e as debaixo existirá a força 
do atrito que, por se tratar de uma força tangencial, dará origem a tensões de 
cisalhamento, com sentido contrário ao do movimento devido á ação contrária da 
força de atrito (Fig.2.9.1.1). 
43 
Estática dos Fluidos 
|—> Placa Superior F, =cte 
> Placa Inferior Fixa (•) (b> 
Figura 2.9.1.1: (a) Fluido entre duas placas e, (b) Fluido deformadoj 
continuamente devido à aplicação de uma F t aplicada sobre a placa superior. 
Tensões de Cisalhamento (r ) devido à força de atrito entre as partículas do fluido. 
Por meio da Figura 2.9.1.2 a seguir, observa-se que para u 
deslocamento dy haverá uma correspondente variação dv na velocidade: 
- P laca Inferior Fixa 
Figura 2.9.1.2: Gradiente da velocidade: variação da velocidade (dv) de acord 
com a posição dy. 
A Lei de Newton para a viscosidade considera uma relação d 
proporção entre a tensão de cisalhamento ( r ) e o gradiente da velocidade (dv/dy): 
dv 
T = | i - — -
dy 
sendo o coeficiente de proporcionalidade n denominado viscosidade dinâmica ou 
absoluta. A viscosidade dinâmica (//) é uma grandeza que depende de cada fluido 
e das condições sob as quais está submetido, como pressão e temperatura. 
Após um determinado intervalo de tempo em que a força tangencial F t 
está aplicada sobre a placa superior, esta passará a desenvolver um movimento 
uniforme com velocidade v 0 . Considerando e uma distância pequena, pode-se 
admitir a simplificação prática descrita na Figura 2.9.1.3 a seguir: 
44 
Estática dos Fluidos 
| f l 2.9.1.3: Simplificação prática para a determinação da viscosidade dinâmica 
Considerando a semelhança entre os triângulos da Figura 2.9.1.3: 
A A BC « A A ' B ' C .-. ~ = ^ ° . e de forma geral: — = *L 
dy e dy Ay 
Portanto, a Lei de Newton para viscosidade: 
dv Av 
dy ^ Ay 
Av v 0 
Ay e 
Por meio da análise dimensional da Lei de Newton para a viscosidade 
.1'lotando o sistema do tipo F L T , obtém-se as unidades da viscosidade 
i Mm l c a : 
dv T 
t « | l « — - => P = 3 — 
dy ^ dv dy 
T = Força F p L _ 2 
Area L 
dv 
dy 
F L 2 
45 
Estática dos Fluidos 
Ass im, as unidades mais utilizadas para Viscosidade Dinâmica (p) 
acordo com o Sistema de Unidades, estão descritas na Tabela 2.9.1.1 a seguir: 
Tabe la 2.9.1.1: Unidades de Viscosidade Dinâmica (p) para os S is temas 
Unidades: MKgfS, C G S e MKS (S I ) . 
Sistema Unidade de p 
MKgfS kgf.s/m z 
C G S dina.s/cm* (poise) 
MKS (S I ) N.s/m' 
* 1 centipoise ( cP) = 0,01 Poise. 
2.9.2 Viscosidade Cinemática 
A Viscosidade Cinemática (v) é determinada pela razãoentre a 
viscosidade dinâmica (p) e a massa específica (p) do fluido em estudo. 
Por meio da análise dimensional e, adotando o sistema do tipo F L | 
obtém-se as unidades da viscosidade cinemática: 
[m ] = F L " 2T 
V = 
F L T 
F L ^ T 2 
2T -1 [v] = L 2T 
Ass im, as unidades mais utilizadas para Viscosidade Cinemática (v) d 
acordo com o Sistema de Unidades utilizado, estão descritas na Tabela 2.9.2.1 
seguir: 
46 
Estática dos Fluidos 
.9.2.1: Unidades de Viscosidade Cinemática (v) para os Sistemas de 
i: MKgfS, C G S e MKS (S I ) . 
Sistema 
untistoke (cSt) = 0,01 St. 
Unidade de v 
MKgfS m 2 /s 
C G S cm^/s (stoke_St) 
MKS (SI ) m 7 /s 
O nome viscosidade cinemática se deve ao fato da grandeza em 
itflo não envolver nenhuma força, somente comprimento e tempo, que são 
dezas fundamentais da cinemática. 
H O Pressão Hidrostática 
Um fluido estará em equilíbrio quando as forças de cisalhamento sobre 
• l »âo nulas. Em outras palavras, isso significa que qualquer superfície em 
^ H | t o com o fluido exerce sobre ele forças que em cada ponto são normais à 
•yperfície. Considerando a Lei da Ação e Reação, o fluido em equilíbrio também 
Hirce sobre a superfície forças normais a ela. A Figura 2.10.1 ilustra as forças 
•Nereidas nas paredes de um recipiente por um gás (Fig.2.10.1_a) e por um 
Muldo (Fig.2.10.1_b) em estado de equilíbrio. 
í í T T T 
Gás 
4f X X Jf Jr 
Líquido 
J> ^ ^ i 
( a ) (b) 
figura 2 .10.1 : (a) Forças exercidas por um gás sobre seu recipiente, (b) Forças 
exercidas por um líquido sobre seu recipiente. 
Ass im, considera-se que a pressão de um fluido em equilíbrio em um 
dado ponto é a mesma em todas as direções. E s s e tipo de pressão, que pode 
variar de acordo com o ponto estudado, mas em cada ponto é a mesma em todas 
ns direções, é denominada de Pressão Hidrostática. Desta forma, a pressão de 
um fluido em equilíbrio é sempre hidrostática. 
47 
Estática dos Fluidos 
|n«rcicios Propostos 
A fim de verificar a massa específica (p) de alguns líquidos, um aluno de 
Hi||*'i'h.in.i utilizou um reservatório de vidro padrão com volume controlado de 
B O ml i le preencheu o reservatório com cada um dos líquidos e, logo após 
uiou a massa de cada um desses fluidos, obtendo a tabela a seguir: 
Liquido Massa (g) 
A 94,68 
B 120,00 
C 106,08 
B B l f l i n e a massa especif ica (p) de cada um dos líquidos em g/cm 3 
f j Um reservatório com capacidade volumétrica de 2 m 3 armazena uma massa 
i >'>0 kg de óleo solúvel. Determine a massa específica (p) e o peso específico 
iniae óleo. 
H V f J m fluido possui viscosidade dinâmica p- 1.03.10' 3 N.s/m' e massa 
Hjtclflca p~ 1000 kg/m 3. Determine sua viscosidade cinemática (v). 
|4 '..ihcndo que a pressão (P) pode ser medida por meio da altura da coluna de 
H ) liquido, um encanador irá instalar um chuveiro e, no manual do aparelho está 
N»»i nlo a especificação de pressão mínima (Pmi„) e pressão máxima (Pm„) para 
§ bom funcionamento do chuveiro. Sendo a pressão mínima ( P m / n ) de 7 mca 
HMros de coluna dagua) , a pressão máxima (Pm„) de 40 mca e P = p g h 
V»iilK|oi • se a pressão de 98.000 N/m 2 é apropriada para o equipamento. 
H n : Consulte o item 1.9 Conversão de Unidades do Capítulo 1. 
N I oram misturados dois fluidos homogéneos de massas iguais e massas 
»«l>i><.ificas de 1 g/ml e 0,86 g /ml. Demonstre os cálculos para determinar a 
H l i a específica da mistura. 
0 t Uma joia de prata maciça possui massa (m) de 200g e volume (V) 20ml. 
0el«rmine a densidade (d) da prata utilizada na confecção da joia. 
07. Um objeto feito em ouro possui massa (m) de 1000 g e densidade (cr) de 20 
Q / cm 3 Determine o volume desse objeto. 
49 
Estática dos Fluidos 
50 
Estática dos Fluidos 
- 1 
R A : 
A densidade (d) é a grandeza física determinada pela relação entre a 
de um corpo e o seu volume. Os corpos que apresentam maior densidade 
queles que possuem grande concentração de massa em um pequeno 
TH, tais como o ouro e a prata. Um ourives deseja verificar se as barras, 
das a seguir, são realmente compostas por ouro e prata e, para isso, ele 
| Um experimento simples, que comprovará a verdadeira composição de cada 
|oe materiais. O profissional primeiramente realizará a medição da massa de 
uma das barras com uma balança analítica de precisão. Utilizando um 
llmetro, ele executará a medição das dimensões geométricas necessárias 
calcular o volume de cada sólido. A partir das medições descritas 
fermente, os dados obtidos estão apresentados a seguir: 
Barra B 
Raio: 50,00 mm 
Altura: 100,00 mm 
Massa: 15.307,5 g 
Raio: 60,00 mm 
Altura: 50,00 mm 
Massa: 5.759,39 g 
Com base nas medições do ourives e, sabendo que a densidade do 
(d 0 ) e da prata (d p ) são respectivamente, 19,5 g/ml e 10,20 g/ml, determine 
barra é de ouro e qual barra é de prata. 
Estática dos Fluidos 
52 
Estática dos Fluidos 
Htm 
> ' II i M •• 
i - 2 
RA : 
Um encanador irá instalar um chuveiro e, no manual do aparelho está 
• especificação de pressão mínima (P m ; „ ) e pressão máxima (Pmax) para 
jncionamento do chuveiro. Logo a seguir está apresentada a página do 
\ue trata do assunto em questão. 
Verifique a altura 5 ^ da coluna d água 
do aparelho em í r > s i relação a caixa 
d agua e siga as 
instruções abaixo. A 
H p t proteção do equipamento e redução do 
H f e t o de água. mantenha o redutor indicado 
fjMMki • pressão (P) for maior que 50.000 Pa 
• P l M t a o mínima (Pmm) de funcionamento: 12 mca 
BjPrMtto máxima (P«u>) de funcionamento: 50 mca 
Máximo 50 mca 
5 _ 
Sabendo que a pressão (P) no local de instalação é de 20.000 Pa e 
f IH P p g h determine se o chuveiro pode ser instalado, de acordo com as 
HjtOlflcações do manual. Considere pa massa específica do fluido em questão. 
H 'i iiiura da coluna do fluido e g a aceleração da gravidade igual a 10 m/s 2 . 
Estática dos Fluidos 
54 
Estática dos Fluidos 
^ • t f A - 3 
ME: 
IIINMA: R.A: 
Um Engenheiro acaba de reformar uma casa e deseja substituir a caixa 
água atual por uma de maior capacidade. E le espera que o novo reservatório 
capaz de atender a demanda de água dos equipamentos que serão 
lados. Após realizar alguns cálculos, o profissional verificou que o melhor 
I para colocar esta caixa de água é sobre o forro do quarto, o qual suporta, 
segurança, uma carga de até 3.000 kg. A caixa de água escolhida possui a s 
nsões indicadas na figura a seguir. Sendo ass im, determine se o forro do 
H t o pode receber a carga proveniente do armazenamento de água, sabendo 
k a massa específica da água ( p ^ o ) 8 de 1 9 m " l l -
Estática dos Fluidos 
56 
Estática dos Fluidos 
IUMMA RA : 
Foram misturados dois fluidos homogéneos, fluido A e fluido B, de 
guais (ITIA = mg) e massas específicas respectivas PA = 0,75 g/ml e pe = 
I. Determine a massa específica da mistura demonstrando os cálculos. 
5 / 
Estática dos Fluidos 
5 8 
Estática dos Fluidos 
- 5 
R.A: 
A fim de verificar a massa específica (p) de alguns líquidos, um aluno 
•nhar ia utilizou um reservatório de vidro padrão com volume controlado de 
Ele preencheu o reservatório com cada um dos líquidos e, logo após 
lurou a massa de cada um desses fluidos, obtendo a tabela a seguir: 
Líquido Massa (g) 
A 100 
B 150 
C 80 
Determine a massa específica (p) de cada um dos líquidos em g/cm 3 
5<l 
Estática dos Fluidos 
60 
Estática dos Fluidos 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 
H H m I O B Propostos 
I • 0,79 g/cm 3 , ps = 1 g/cm 3 e pc = 0,88 g/cm 3 . 
kg/m 3 e y = 8250 N/m 3. 
03 . 10 " 6 m 2 /s . 
'M r I H m , a - sim, é apropriada. 
L « 0,925 g/ml. 
- 10 g/ml. 
^ H f t f c * * 50cm 3 . 
«rra A: Ouro (d„ = 19,5 g/ml)e Barra B: Prata ( d p = 10,19 g/ml). 
•# n h, | ii IIS P - 2 mca 
•4 *.M|.. irta. m = 1800 kg. 
• 4 = 0,850 g/ml. 
H p « • 0,833 g/cm 3 , pe = 1,25 g/cm 3 e p c = 0,667 g/cm 3 
l i l 
Estática dos Fluidos 
CAPITULO 3 
^ H a l a s TERMOMÉTRICAS E DE PRESSÃO 
• alua Termométricas 
A necessidade de se quantificar o calor devido ás sensações de quente 
^^H^M>u a construção de termómetros e, o aperfeiçoamento das medidas de 
in l i i i . i deu origem às diversas esca las termométricas. No século XVIII foram 
diversas esca las termométricas, dentre elas, a Fahrenheit e a Celsius 
^^Hri** como esca las efetivas ou relativas. A escala absoluta de temperatura 
' I tnl proposta em 1848. 
r m iilas Cels ius e Fahrenheit 
A fim de caracterizar cada escala termométrica dois pontos específicos 
^ ^ B p j d o K o ponto de fusão do gelo e o ponto de ebulição da água. 
Na esca la Celsius, o valor zero foi adotado para o ponto de fusão do 
tf«i>< a o valor 100 para o ponto de ebulição da água. O intervalo entre os dois 
H | fixos foi dividido em 100 partes iguais, com cada parte correspondendo a 
iiii"i i I.ide da escala denominada grau Celsius (°C). 
Quando os pontos fixos da esca la Cels ius são projetados para a esca la 
• 'ithmlt, obtém-se 32 para o ponto de fusão do gelo e o valor 212 para o 
• d» ebulição da água. O intervalo entre os dois pontos fixos foi dividido em 
^ ^ H n iguais, sendo que cada parte corresponde a uma unidade da esca la 
HWnada grau Fahrenheit (°F) (Fig.3.1.1.1). 
100 °C 212 °F 
Esca l a Ce ls ius Esca l a Fahrenheit 
tpura 3.1.1.1: Esca las Cels ius e Fahrenheit com seus respectivos pontos fixos 
I n t e n t a d o s . 
63 
Estática dos Fluidos 
A fim de realizar conversões de temperaturas entre as esca las Cels) 
e Fahrenheit, são feitas comparações entre os segmentos aeb representadol j 
Figura 3.1.1.1: 
a T C - 0 T F - 3 2 
' C _ J F T P - 3 2 
b 1 0 0 - 0 2 1 2 - 3 2 
T C = | ( T F - 3 2 ) o u T f = | t c + 3 2 
3.1.2 Esca la Kelvin 
Como já dito anteriormente, a esca la Kelvin é conhecida como e s c * 
absoluta de temperatura O limite inferior de temperatura da escala Kelvin (0" 
corresponde ao zero absoluto (0 K = -273 °C). A variação da esca la Kef 
corresponde à mesma variação da esca la Cels ius (Fig.3.1.2.1). 
100 °c 373 K 
273 K 
Esca l a Ce ls ius Esca l a Kelvin 
Figura 3.1.2.1: Esca l a s Cels ius e Kelvin com seus respectivos pontos flj 
representados. 
A fim de realizar conversões de temperaturas entre as esca las Celsí 
e Kelvin, são feitas comparações entre os segmentos representados na Figil 
3 .1.2.1: 
T K = T C + 2 7 3 
T C = T K - 2 7 3 
A T C = A T K 
64 
Estática dos Fluidos 
Para calibrar um termómetro, um estudante coloca-o em equilíbrio 
• r tme i ro com gelo fundente e, depois com água em ebulição, tudo sob 
fel normais de pressão. A figura a seguir representa os resultados obtidos. 
( 0 termómetro encontra-se em equilíbrio térmico com o ar ambiente do 
Ho. a altura da coluna de mercúrio é de 24,4 cm. Sendo ass im, determine 
M u r a do laboratório na escala Cels ius. 
0 °C 
24,4 cm 
Escala Celsius 
|_20I0_cm_ 
Altura da Coluna 
de Mercúrio 
A fim de determinar a temperatura do laboratório na esca la Cels ius, 
:ltas comparações entre os segmentos aeb representados na Figura 
a = T A - 0 2 4 , 4 - 2 0 , 0 
b 1 0 0 0 4 0 , 0 2 0 , 0 
65 
1 0 0 2 0 
Estática dos Fluidos 
=> 2 0 T A = 4 , 4 1 0 0 => T A = 2 2 ° C 
3.2 Esca l as de Pressão 
3.2.1 Pressão Atmosférica (Patm) 
Considera-se um líquido em equilíbrio dentro de um recipiente, 
atmosférico exerce uma pressão constante, chamada de pressão atmoslH 
(Pam), sobre todos os pontos livres da superfície do líquido, tornando as 
superfície do fluido horizontal. 
A pressão atmosférica é constituída por vários gases que exercem] 
pressão sobre a superfície terrestre. E s s a pressão atmosférica varia co) 
altitude e as condições climatológicas do local. A medida que se afastl 
superfície da Terra, o ar torna-se mais rarefeito, exercendo uma pressão cadj 
menor; aproximadamente 85 mmHg para cada 1000 m de altitude. 
A fim de determinar a pressão atmosférica, Torricelli r ea l i zo^ 
experimento demonstrado pela figura a seguir (Fig.3.2.1.1): 
76 cm 
Mercúrio 
Figura 3.2.1.1: Experimento de Torricelli realizado em 1643 para detern 
medida da pressão atmosférica ( P a í m ) . 
A pressão no ponto A (PA) corresponde à pressão da colui 
mercúrio dentro do tubo e a pressão no ponto B (PB) corresponde à p| 
atmosférica ao nível do mar. Sabendo que a pressão no ponto A é igual à | 
no ponto fi por estarem na mesma altura, então: 
Estática dos Fluidos 
Por meio da Figura 3.2.1.1, observa-se que 76 cm de mercúrio 
I pressão atmosférica ao nível do mar, em outras palavras, 76 cm de Hg 
' ssão atmosférica ao nível do mar. No Capítulo 4 e também um 
H p Item a seguir, será descrito de forma detalhada como se calcula a 
«An iIr» pressão entre dois pontos que se encontram em alturas distintas. 
| Knnim aqui só será anunciado que: 
AP = p g h 
Considerando a s grandezas a seguir no S I de unidades: png = IO du'm', g = 9,8 m/s 2 e hHg - 0,76 m 
A P = Pcoluna(Hg) = Patm •'• Patm = P ' 9 ' ^ 
P . t m = 13600 9,8 0,76 => P a t m = 1,01x10 5 N / m 2 
Na tabela a seguir nota-se que à medida que s e afasta do nível do mar, 
l i o iitmosférica diminui, como já dito anteriormente. 
A Pressão atmosférica t a m h ó 
•Dores de 
• " ' " " ' " • " " • ' " ' « • ' " l eum barómetro 
Pressão EfetiVa 
uiusiraao na Tabela « < v 7 ^ ^ r ome t r 
P^ssão atmosférica a P 1 ) ' ° S b a r °m e t r o s 
F |gu ra 3.2.1.1 
rica e 
são 
representa 
P A = P R coluna 
66 
(Hg) - Patm 
e Pressão Absoluta 
A medida 
i'nl,i(| ( ) p e ) o Q u e se aprofunda 
Ponto B na Fig.3.2.2.1). 
67 
no "quido, Pressão 
O aumento da ^líãT^ 
P ressâo do ponto A 
Estática dos Fluidos 
para o ponto B , depende da massa especif ica (p) do líquido em questão, 
aceleração da gravidade (g) e da diferença de cotas entre os dois pontos (/?). 
importante lembrar que: o peso específico (y) é determinado pelo produto 
massa específica (p) do fluido pela aceleração da gravidade (g) (y = p.g). 
A equação que determina a variação de pressão AP entre os ponto! 
e B (Fig.3.2.2.1) é chamada de pressão hidrostática, ou também de p r e» 
efetiva, a qual representa a pressão exercida somente pela coluna de fluido! 
cota h: 
AP = y h = p g h 
Figura 3.2.2.1: Líquido em equilíbrio (em repouso) em um recipiente aberto pa 
atmosfera. 
Medidores de pressão, como por exemplo, os manómetros utilizam 
pressão atmosférica como referência, medindo, portanto, a diferença entoa 
pressão do sistema e a pressão atmosférica. A pressão manométrica (pret 
medida pelo manómetro) pode ser positiva ou negativa, dependendo de eà 
acima ou abaixo da pressão atmosférica. S e for medida pressão negativa 
manómetro é chamado de manómetro de vácuo ou também vacuômdj 
Manómetros e manómetros de vácuo medem somente pressões efetivas. 
Na Figura 3.2.2.2, por meio da ilustração de um manómetro conte 
um reservatório e um tubo em U, pode-se entender como esse medidor 
pressão determina a pressão manométrica do sistema (Pma„) contido 
reservatório: 
68 
Estática dos Fluidos 
Liquido. 
^ B , 2 2 2 Esquema de um manómetro de tubo em U aberto. 
Sabendo que os pontos A e B apresentam a mesma pressão por 
H | • uma mesma altura, a pressão manométrica (Pmmn) será determinada 
0Mlii ii nquação a seguir: 
P A = P B 
P*lstema — Patm + Pcoluna ^ Psistema Patm — P ' 9 ' ^ 
Pman = P 9 h 
Retomando a Figura 3.2.2.1, considera-se que o ponto C encontra-se 
jyperflcie do líquido, portanto a pressão no ponto C (P c ) pode ser consideradaÍ A (missão atmosférica (P«m) Sendo ass im, calcula-se a pressão no ponto B 
\ iiin.i profundidade h: 
P C=Patm => P B=Patn, + P 9 h 
A pressão no ponto B (PB) representa a pressão total ou pressão 
• /nu om um determinado ponto a uma profundidade h dentro de um líquido. 
De forma resumida, pode-se escrever que: 
P. Absoluta (Pressão Total) = P. Efetiva (Pressão Manométrica) + P. 
Atmosférica 
P - P + P abi rman T "atm 
P»latema = Patm + Pcoluna • * P«l»t»ma ~ Patm = P ' 9 ' ^ 
<i'i 
Estática dos Fluidos 
APROFUNDE -SE 
Na condição de vácuo, ocorrem fenómenos físicos emblemáticos para a ciênci 
inclusive, a expansão do Universo pode estar associada às propriedades do 
vácuo. Para obter mais informações sobre o tema, leia: 
MATSAS , G . E . A.; VANZELL.A, D. A. T . O vácuo quântico cheio de surpresas, 
Scientific American Brasi l , ago. 2003. Disponível em: 
<http://www.ift.unesp.br/users/matsas/sab.pdf>. Acesso em: 3 maio 2016. 
Exemplo: 
A figura a seguir representa um manómetro contendo gás, conectad 
um tubo preenchido com mercúrio e aberto para a atmosfera. Considere qu: 
sistema encontra-se em equilíbrio. Determine a pressão total (pressão absol' 
exercida pelo gás em mmHg e também em N/m2. Dados: pHg = 13600 kg/m 3 ; i 
9,8 m/s ' e P a ( m = 760 mmHg. 
P.^ - 760 mmHg 
Resolução: 
Sabendo que os pontos A e S possuem a mesma pressão por estar»] 
no mesma altura: 
P a — P B ^ P A _ Pgás ^ P B _ Patm + PcolunaHg 
P — P 4- P 
•gás "atm ~ "colunaHg 
Pgás = 7 6 0 mmHg+ 320 mmHg => 1080 mmHg 
Em N/m' 
70 
Estática dos Fluidos 
— H 4- P 
gás "atm T 1 colunaHg 
+ P h 9 9 hHg => 1,01.10 5 +13600 9,8 0,32 
P g á 8 =1,44.10 5 N / m 2 
IO a seguir serão feitas algumas observações para se entender 
• diagrama esquemático que relaciona pressão efetiva com pressão 
l|l Hjura 3.2.2.3). 
^ H t H " Inferior de qualquer pressão é zero, ou seja, vácuo perfeito. 
H | Vácuo perfeito é a pressão mais baixa possível Sendo assim, uma 
ireaníVi absoluta (PBbs) será sempre positiva. 
IIIMÍI piossao efetiva que se encontra acima da pressão atmosférica (P a „ „ ) 
A | positiva e medida por um manómetro (Pma„). 
llimi | in",sao efetiva que se encontra abaixo da pressão atmosférica ( P a f m ) 
•mu ni'i|,itiva e medida por um manómetro de vácuo ou também conhecido 
vacuômetro (P„«). 
Pressão Efetiva 
(Pt > 0) (manómetro) 
Pressão Atmosférica (Barómetro) 
Pressão Efetiva 
(P„ <0) (vacuômetro) 
Pressão Absoluta 
(P.*.>0) 
Pressão Absoluta 
(P«.>0) 
Referência: zero absoluto (vácuo absoluto) 
3,2.2.3: Diagrama esquemático relacionando as pressões efetivas e 
As unidades de pressão e suas transformações foram discutidas no 
• 1 Vale ressaltar, que dentre a s unidades de pressão mais utilizadas está 
71 
Estática dos Fluidos 
a unidade atmosfera (atm), que corresponde a pressão responsável por elevar 
760 mm uma coluna de mercúrio. Portanto: 
1 atm - 760 mmHg = 101.325 P a (101,32 kPa) = 10.332 kgf/m 2 (1,033 kgf/ 
1 01 bar = 14,7 psi (Ibf/pol2) (pound force per square inch - l.bra-força 
polegada quadrada) = 10,33 mca (metro de coluna de agua). 
72 
Estática dos Fluidos 
I t to* Propostos 
iquecedores de resistência residenciais podem atingir temperaturas 
*C . Determine o valor dessa temperatura nas esca las Fahrenheit e 
nnliqa escala de temperatura, proposta por um físico, utilizava como 
fa lo fundente o valor de 10 °D e, a temperatura da água em ebulição o 
10 "D. Determine a indicação nessa antiga esca la D da temperatura 
(dente a 40 °C? 
|Ttlne a pressão de 5 atm, em escala efetiva, nas unidades de pressão: 
/in bar; cmHg e mca. Considerando que a pressão atmosférica em 
I seja de 713 mmHg, determine a pressão absoluta (em Campinas) em 
ii IH i.ides de pressão citadas anteriormente. 
adida de uma determinada pressão, uma coluna de mercúrio (yng = 
l /m) , como a representada a seguir, apresentou altura de 300 mm. Na 
Itrada ao lado, utilizou-se como fluido a água (yH2o = 10.000 N/m 3), 
a altura da coluna de água que representa a mesma pressão medida 
a de mercúrio. 
300 mm 
Mercúrio 
73 
Estática dos Fluidos 
74 
Estática dos Fluidos 
R A : 
Émi um determinado processo de fabricação de uma peça, um 
I f JMe ja realizar um procedimento de têmpera (tratamento térmico) com 
MI água. A temperatura do material deverá ser elevada até 780 °C 
IPIM noutra, a fim de evitar a descarbonetação. utilizando-se água ou 
l o Mllna para o resfriamento. Sabe-se que, nas condições descritas, é 
ndurecimento superficial de 2,5 mm e que, se aumentar a 
In pura 870 °C, pode-se obter um endurecimento superficial de 
^ B n t e 5 mm. No forno disponível para o tratamento térmico da peça, 
^ H f c a r a leitura da temperatura em Fahrenheit (°F). Determine se a 
hcada no forno é possível a obtenção de, pelo menos, 2,5 mm de 
Mltli i.il 
Forno 
Tanque de Resfriamento 
1454 "F 
tu 
Estática dos Fluidos 
RA : 
Termometria é o segmento da física que estuda os fenómenos 
ilor, às mudanças de estado físico da matéria e à temperatura. O 
• Utilizado para medir temperatura é denominado termómetro, o qual 
•o. pontos fixos que servem como referência. Na esca la Cels ius, estão 
Moa os pontos de fusão do gelo e de ebulição da água. Determine para 
Ht arbitrária, chamada UNIP, a equação que relaciona a temperatura 
p i a arbitrária com a temperatura na esca la Cels ius. 
Temp. Ebulição 100 °C 
Escala Celsius 
290 °UNIP 
Escala UNIP 
77 
Estática dos Fluidos 
R.A: 
Ine a pressão de 10 atm, em escala efetiva, nas unidades de 
; kgf/m 2 e mca. Considerando que a pressão atmosférica local seja 
, determine a pressão absoluta (local) em todas as unidades de 
• anteriormente. 
Estática dos Fluidos 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 
.tos 
IN I lK 393 K. 
| t tm = 506.624,98 N/m 2 = 51661 kgf/m 2 = 5,07 bar = 380 cmHg 
| Nlm • 601.870,48 N/m 2 = 61.373,71 kgf/m 2 = 6,02 bar = 451,3 cmHg 
' 4 um m 
i i + aproximadamente 2,5 mm de dureza superficial. 
Í ,7 ,Tc + 20 
la tm = 1013.249,97 N/m 2 = 103.322,74 kgf/m 2 = 103,33 mca. 
7 nlm « 1.111.908,82 N/m 2 = 113.383,14 kgf/m 2 = 113,39 mca. 
H l 
Estática dos Fluidos 
CAPITULO 4 
A DOS FLUIDOS 
Ij i i . ini ln um corpo é colocado totalmente imerso em um liquido, ele fica 
• forças: a força peso ( P ) e a força de empuxo ( E ) devido à 
Corpo com o líquido. 
4 I I I orças peso (P) e empuxo ( E ) que atuam sobre um corpo 
Hl) mu um liquido. 
i nino i onsequência da atuação dessas duas forças sobre o corpo, três 
In» nidações podem ser observadas: 
^ H o permanece parado no ponto onde foi colocado, a intensidade da 
1 tmpuxo é igual á intensidade da força peso (E = P ) , sendo ass im, o 
am uiili.i em equilíbrio estático ( ^ F = 0 ) Para que esta situação 
* um nssiirio que a densidade do corpo (d) seja igual à massa especif ica 
Í o (/») (Flg.4.1.2_a). 
iiuipii afunda, a intensidade da força de empuxo é menor do que a 
POt da força peso ( E < P ) , ficando sujeito a uma força resultante (FR) 
• para baixo (d>p) ( F R = P -E ) ( F i g . 4 . 1 . 2 _b ) . 
i i i ipi i lui levado a superfície, a intensidade da força de empuxo é maior 
nlniiMilaile da força peso ( E > P ) , durante a ascensão, ficando sujeito a 
(,!» mmiltfinte (F«) orientada para cima (d <p) ( F R = E - P )(Fiq 4.1 2 c) 
H.l 
Estática dos Fluidos 
i 
/ 
/ 
/ 
/ 
/ ¥ 
Figura 4.1.2: (a) Corpo em equilíbrio; (b) corpo afundando; (c) corpo levad l 
superfície. 
4.1.1 Princípio de Arquimedes 
Arquimedes viveu na Grécia no século III A .C . e durante um dos 
banhos constatou que um corpo imerso na água torna-se "mais leve" devi 
certa força, vertical para cima, exercida pelo líquido sobre o corpo, a qual "alr 
peso do corpo. E s sa força a qual Arquimedes se referia é denominada Empu( 
E ) . A vista disso, o Princípio de Arquimedes enuncia: 
'Todo corpo mergulhado em um fluido sofre, por parte deste, uma força veri 
para cima, cuja intensidade é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo." 
Se ja Vf o volume do fluido deslocado pelo corpo. Portanto, a massa 
fluido deslocado (mf) será, lembrando que pt é a massa específica do fluido: 
Pf = w => m f = P f V f 
Segundo o Princípio de Arquimedes, o empuxo é igual ao peso dal 
massa de fluido deslocada: 
E = m f g => E = pf • V f • g 
4.1.2 Peso Real e Peso Aparente 
Considera-se um experimento: uma esfera de alumínio ( d = 2,7 g/c 
maciça, imersa no ar, pendurada em um dinamômetro que indica um valor P p 
o peso da esfera (Fig.4.1.2.1_a). Em seguida, a esfera é imersa em um liqul 
por exemplo, água. Se ja Pa a nova indicação do dinamômetro para o peso 
esfera (Fig.4.1.2.1_b). 
84 
Estática dos Fluidos 
la» • 
( 3 ) 
1 J I )bjeto imerso no ar: (b) objeto imerso em água. 
jeso P quando a esfera encontra-se imersa no ar é chamado de 
íquanto que o peso Pa quando o objeto encontra-se imerso em água 
i a de Peso Aparente. A diferença entre o Peso Real e o Peso 
•aponde ao empuxo exercido pelo líquido: 
P ) P a => E = P r e a l - P aparente => E = P - P a 
ii. 1 
APROFUNDE -SE 
que o rei Hieron II, desconfiado de que o ourives que havia fabricado 
havia utilizado em substituição ao ouro que lhe havia sido confiado 
Arquimedes foi escolhido para comprovar cientificamente que o rei 
ali In mubado. Saiba como este grande cientista desvendou este dilema 
indo C ENTRO DE ENSINO E P ESQU I SA APL ICADA. Arquimedes. E -
física, 2007a. Disponível em: 
Íp://aflsica.if.usp.br/mecanica/ensinomedio/empuxo/arquimedes/>. 
Acesso em: 3 maio 2016. J 
Um Objeto de massa 10 kg e volume 0.002 m . é imerso em água [p -
t s ) . Considere g = 10 m/s 2 . Determine: 
Mdade da força de empuxo que a água exerce sobre o objeto; 
raal a o peso aparente do objeto; 
ração do objeto, desprezando o atrito com a água. 
Hf) 
Estática dos Fluidos 
Resolução: 
a ) Como o objeto está totalmente imerso, o volume de água deslocado é ig 
volume do objeto: 
E = p.VQ.g -> £ = 1000.0,002.10 -> E = 20 N 
b) Peso Rea l : P = m.g -> P = 10.10 -> P = 1 0 0 N 
Peso Aparente: P a = P - E - * P a = 1 0 0 - 2 0 -» P a = 80 N 
c) Observando que a intensidade do peso real é maior que a intensidadel 
empuxo, então o objeto acelera verticalmente para baixo. 
FR - P - E -> FR = m.a -> m.a = P - E 
10.a = 100 - 20 -> a = 8 m/s 2 
4.2 Pressão Média 
Conforme descrito no Capítulo 2, uma força aplicada sobre (C 
superfície pode ser decomposta em duas situações: uma tangencial, que origl 
tensões de cisalhamento e, outra normal, que originará as pressões Sabe 
que F„ representa a força normal que age sobre a superfície de área A , a pre t 
uniforme (P) sobre toda a área, ou a pressão média (P) é definida por: 
"5 
F, • 100 N Fi' 100 N 
Ai » 20 m1 
A2 = I I 
P , = f L = l ° ° = 5N /m ' = 5P a P2 = 5 ? L = ^ =8,33 N/m'=8,33 Pa 
A, 20 * 2 
Figura 4 .2 .1 : (a) Pressão P , exercida sobre o recipiente í; (b) pressão P2 exer 
sobre o recipiente 2. 
86 
Estática dos Fluidos 
Mortante notar que a força em ambos os recipientes é a mesma ( F f 
H em áreas diferentes (A, * A 2 ) . Portanto, a pressão exercida em 
l l en i diferente (P, * P 2 ) (Fig.4.2.1). 
Mn 
"Miii.indo alguns conceitos sobre medidas de pressão, vistos no 
tor Considera-se um líquido em equilíbrio dentro de um recipiente 
ar atmosférico exerce uma pressão constante, chamada de pressão 
sobre todos os pontos livres da superfície do líquido 
I pelo ponto A na Fig.4.3.1). Á medida que se aprofunda no líquido, 
menta (representado pelo ponto B na Fig.4.3.1). O aumento da 
H iii i A para o ponto B , depende da massa específica (p) do líquido 
|t aceleração da gravidade (g) e da diferença de cotas entre os dois 
Importante lembrar que: o peso específico (y) é determinado pelo 
l i a a específica (p) do fluido pela aceleração da gravidade (g) (y = 
tu i/i' Stevin pode ser enunciada como: a diferença de pressão (AP) 
Noa de um fluido em equilíbrio (em repouso) é igual ao produto do 
to (y) pela diferença de cotas dos dois pontos (h) (Fig.4.3.1). 
1 
» A P = y.h = p.g.h 
|,1 l iquido em equilíbrio (em repouso) em um recipiente aberto para a 
Hl / M' i | u e o fluido está em repouso (equilíbrio) quando a pressão em 
um ponto for a mesma em qualquer direção. S e a pressão fosse 
t m alguma direção, haveria um desequilíbrio num ponto, fazendo com 
•n dnslocasse nessa direção e ass im, tirando o fluido da situação de 
Bando AP - PB - PA. e considerando que PA = Patm, a pressão no ponto 
KMRnntn a pressão total (ou pressão absoluta) em um determinado ponto 
iluiiilnl.iili' h dentro de um líquido 
| F - p g h => p B - P A = p g h => P B = P a l m + p g h 
87 
Estática dos Fluidos 
A variação de pressão (AP) entre dois pontos do liquido é deno 
de pressão hidrostática ou também pressão efetiva. 
A respeito da Lei de Stevin são necessárias algumas consideraçõeâ 
- Em um líquido, todos os pontos à mesma profundidade (num mesmo nf 
horizontal) apresentam a mesma pressão; 
- Na diferença de pressão entre dois pontos, não interessa a distância entre « 
mas sim a diferença de cotas; 
- Não importa o formato do recipiente para o cálculo da pressão em 
determinado ponto; 
- Para os gases , o peso específico (y) é muito pequeno. Portanto, se a diferi 
de cota entre dois pontos (h) de interesse for pequena, a diferença de prei 
entre esses pontos pode ser desprezada. 
Exemplo: 
Uma piscina com 5,0 m de profundidade está cheia com água (1 
10 3 kg/m 3). Considere g = 10 m/s 2 e P,tm = 1,0.10 5 N/m 2. Determinar: 
a) a pressão hidrostática (zlP ou Ph) a 3,0 m de profundidade; 
b) a pressão total (P ) no fundo da piscina; 
c) a diferença de pressão entre dois pontos quaisquer, dentro da piscinaj 
separados verticalmente por 80 cm. 
Resolução: 
a) A pressão hidrostática a 3,0 m de profundidade é dada por: 
P h = p g h => P h = 10 3 10 3 ,0 => Ph = 3 ,0 .10 4 N / m 2 
= 3 , 0 . 10 4 Pa 
b) A pressão total no fundo da piscina: 
P = P a tm+P 9 h => P = 1 ,0 .10 5+10 3 10 5,0 
=> Ph = 1,5.10 5 N /m 2 ( Pa ) 
c) A diferença de pressão entre dois pontos quaisquer, dentro da pisei 
separados verticalmente por 80 cm: 
88 
Estática dos Fluidos 
. AP = 10 3 10 0,80 => Ph = 8,0.10 3 N /m 2 ( P a ) 
I • MIIIIIIIK . lutes 
Bm t t em - se dois líquidos 1 e 2, não miscíveis. colocados em vasos 
Me» (I Ki <1 4 1) Os pontos A e B encontram-se no mesmo líquido e na 
|M)n l * l Assim, escreve-se: 
PA = PB 
Patm * Pl-ght = Patm + p2.g.h2 
pi.ht - p2.h2 
F'"i la ' 'quação anterior, tem-se que as alturas medidas a partir 
fv nwparaçào entre os dois líquidos (h-, e h>) são inversamente 
Ml* d-, ni,iwas especificas dos líquidos (p1 e p2). 
I ' Ion líquidos 1 e 2 não miscíveis colocados em vasos comunicantes. 
' v.t-,,. , nmumeantes podem ser utilizados para estabelecer relações 
p j tM especificas (p) de dois. três ou mais líquidos 
1 , 6 | U , d 0 8 n â 0 ^ e i v e i s 1. 2 e 3 estão colocados em vasos 
•'•»'"«' 0.50 g/cm' o 2.50 , , / , : , „ ' . determine a massa 
t«) ll(|iildo 3 (pj). 
Estática dos Fluidos 
Resolução: 
Os pontos A e B encontram-se no mesmo líquido e na rr*| 
horizontal. Ass im, escreve-se: 
PA=PB 
Patm * pi-g.h, + p2.g.h2 = Patm + p3.g.h3 
0,50.7,0 + 2,50.2,0 = ^ .5 ,0 
p3 = 1,70 g/cm3 
APROFUNDE - S E 
É possível demonstrar por um ensaio simples, que a pressão de um fluida] 
aumenta conforme aumenta-se a coluna de líquido, saiba mais em : 
C EN TRO DE ENS INO E P ESQU I SA APL ICADA. E-física, 2007b. Disponivelf 
<http://efisica.if.usp.br/mecanica/basico/pressao/experimento/>.Acesso em: 3 maio 2016. 
4.5 Lei de P a s c a l 
A lei de Pasca l enuncia que: o acréscimo de pressão produzidol 
fluido em equilíbrio se transmite integralmente a todos os pontos do fluido. 
90 
Estática dos Fluidos 
M u r a 4.5.1 admitem-se as pressões 0,7 atm e 0,3 atm nos pontos 
• v ãmen t e . S e por meio de um êmbolo comprime-se o fluido 
ÉMquentemente um acréscimo de pressão de 0,2 atm, todos os 
MO em repouso sofrerão esse mesmo acréscimo de pressão. 
M ios AeB apresentarão pressões de PA = 0,9 atm e PB = 0,5 atm, 
Acráscimo de pressão sobre o fluido sendo transmitido a todos os 
Hidráulica 
lura 4.5.1.1 é mostrado um esquema de uma prensa hidráulica 
) frequência para levantar objetos pesados, como automóveis, a s 
M - s istemas multiplicadores de forças - são construídas com 
da Pasca l . 
A, 
1 
D(Q>-
1 1 
A, 
Prensa hidráulica. 
91 
Estática dos Fluidos 
Por meio do Princípio de Pasca l , ao se aplicar uma força no 
estreito, esta produz um acréscimo de pressão (zIP) que será transm 
integralmente para o tubo largo, o qual se encontra o automóvel. Ass im, p' 
afirmar que o acréscimo de pressão no lado 1 (zIPi) será igual ao acresci 
pressão no lado 2 (ZIP2). Observando a relação a seguir, nota-se que a f 
diretamente proporcional à área do tubo (Fig.4.5.1.1). 
AP 1 = AP 2 => AP = ^ => ^ = ^ 
M M 2 
Admitindo que não existam perdas de energia durante a aplicaçã 
forças na prensa hidráulica, conclui-se que os deslocamentos do automóvel 
nível do óleo são inversamente proporcionais às áreas dos tubos (Fig.4.5.1.2 
t 1 = x 2 Fj • d) = F 2 • d 2 
F j ^ J í ^ F 1 = A 1 = d 2 
A2 2^ ^2 1^ 
F| 
Figura 4.5.1.2: Prensa hidráulica. Os deslocamentos di e d 2 são inversaríí 
proporcionais a s intensidades das forças F1 e F2. 
Exemplo: 
Considere uma prensa hidráulica com diâmetros dos tubos l l 
medindo 6 cm e 20 cm respectivamente. Se ja a massa do carro igual a 120É 
determine: 
a ) a intensidade da força a ser aplicada no tubo 1 para equilibrar o carro; 
b) o deslocamento no nível de óleo no tubo 1 considerando que o carro I 
10 cm. 
92 
Estática dos Fluidos 
A, 
• área do tubo é: A = n-R2, sendo R o raio do tubo e valendo 
Ri = 3cm e R 2 =10cm 
A , = n.(3) 2 A 1 = 9.71 
A 2 = 7t.(10)2 => A 2 = 100.7t 
F1 = F 2 
A, A 2 
F, 1200.10 
9 ^ = l õ õ ^ T ^ F ' = 1 Í 8 0 N 
igualdade a seguir: 
A 1 = d 2 
2 d, 
9TT 10 
100TC ~ d. d, = 111,11 cm = 1,11 
APROFUNDE -SE 
...Idades de Blaise Pascal provocaram admiração geral em seu tempo. 
PMla a respeito desse importante cientista em: MELLO, P. P. Pascal, 
PfjOUldade de Engenharia Mecânica da Unicamp, [s.d] Disponível em: 
liltp //www.fem.unicamp.br/-em313/paginas/person/pascal.htm>. 
Acesso em: 5 maio 2016. 
Estática dos Fluidos 
apostos 
Mlrt mpresentada uma prensa hidráulica. Sobre a plataforma 1, de 
i encontra se uma pessoa de massa 92 kg. Considerando a 
I yfp.viil.iilc g = 10 m/s 2 e A 2 = 15 m 2 . determine: 
•de na plataforma 2; 
l i|m> deslocará a plataforma 2 para cima quando a plataforma 1 
Plataforma 1 
-»• w»»»»»»»»»»m 
Plataforma 2 
! ) ! . 
Estática dos Fluidos 
02. A partir do sistema representado na figura a seguir, determinar o peso 
pode ser suportado pelo pistão 1, desprezando os atritos. 
Dados: P3 = 0,1 kPa ; Patm = 0; A , = 60 m 2 ; A2 = 25 m 2 e A3 = 20 m 2 . 
96 
Estática dos Fluidos 
nassa que poderá ser suportada em equilíbrio no cilindro A 
> I30 N está sendo aplicada na alavanca CD? 
15 cm; RB = 3 cm; g = 10 m/s 2 . 
C S 
B 
15 cm . 30 cm 
F - 130N 
07 
Estática dos Fluidos 
04. Na figura a seguir, sabendo que o fluido A é água e o fluido B mero< 
determinar a pressão P 2 
Dados: = 136000 N/m 3 ymo ' 10000 N/m 
Estática dos Fluidos 
'fOm o sistema ilustrado a seguir, determine o peso G, o qual é 
H t t â o 5. Desprezar os atritos e desconsiderar o desnível entre os 
maflo imposta P i por um compressor possui o valor de 800 kPa . 
) OnV, A2 = 5 cm 2 ; A3 = 10 cm 2 ; A< = 15 cm 2 ; As = 40 cm 2 ; AH = 
« 136.000 N/m 3. 
n -S , 
n A . hH 
n -S , í, E y , 
jm^s—ii V 
J A „ ff " W\T 
F 
i H X 
Estática dos Fluidos 
06. O sistema ilustrado a seguir encontra-se estático. Considere que pres 
aplicada no sistema possui o valor de 200 kPa e que a mola está comprim 
4 cm. Sabendo-se que a constante elástica da mola vale 160 N/cm e que o 
manométrico é o mercúrio, determine o valor da cota h. Dados: Ai - 20 cm ! 
1 0 cm 2 e > í < 9 = 136.000 N/m 3. 
100 
Estática dos Fluidos 
4 c m de d V T ( * ~ = 8 0 0 0 N / m 3 ) C O m d i m e n s õ < * de 
3 d , t m e , r 0 e n c o n t r a - s e i ^ rso em um fluido de peso 
2 T S e n d ° 9 S S Í m ' ^ é a ^ *> cilindro { H S J Q U ° E 
M Ill L 
101 
Estática dos Fluidos 
RA : 
rtar um tanque de guerra de uma margem à outra do rio, 
zaram uma plataforma com dimensões indicadas na figura a 
|0 que tal plataforma é constituída de um material cuja densidade é 
Ujunndn o tanque encontra-se sobre ela 30% a mais do seu volume 
, determine a massa do tanque (mlanque) de guerra. 
KM 
Estática dos Fluidos 
104 L 
Estática dos Fluidos 
t i 
i<Mineiro deseja elevar uma carga de 12000 kg utilizando um 
ilii o como o representado logo a seguir. A razão entre o diâmetro 
|êV) e o diâmetro do pistão ( d» sobre o qual será aplicada a força 
In i >«8prezando os atritos, qual será a força F ( necessária para 
tf 
Estática dos Fluidos 
106 
Estática dos Fluidos 
RA : 
Pasca l foi um físico e matemático francês que enunciou o 
t aa emprega aos elevadores e aos freios hidráulicos. A seguir é 
Ttaneira esquemática o funcionamento do freio de um automóvel 
ti No momento do acionamento do pedal, é empurrado o fluido 
•enche o cilindro 1 e é transferido para o cilindro 2, acionando o 
>bre o disco. 
i . 
10 cm 
I 
U//////////A 
I 
Fluido I 
tndo-se que o raio 1 (/?») e o raio 2 (R2) valem 2 cm e 4 cm 
In ti que, o motorista acionou o pedal aplicando uma força de 75 N. 
ii,ii qiin o cilindro 2 exerce sobre a pastilha. 
10/ 
Estática dos Fluidos 
RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS 
P , I 6 N . b)h2= 1,5 cm. 
i (• i '.i 
t At" 0,92 m. 
111 
Estática dos Fluidos 
C A P I T U L O 5 
• l D E P R E SSÃO 
p t t r o 
Nu i .ipitulo 3. definiu-se que os barómetros são instrumentos que se 
I M medir a pressão atmosférica. A Figura 5.1.1 representa 
• M i n u t e um barómetro de coluna ou barómetro de mercúrio. 
I ^Hn t lde ra -se um líquido em equilíbrio dentro de um recipiente. O ar 
• exerce uma pressão constante, chamada de pressão atmosférica 
Mim liidii', os pontos livres da superfície do líquido, tornando assim, a 
• lio fluido horizontal. 
A fim de determinar a pressão atmosférica, Torricelli realizou um 
|MJ0 demonstrado pela figura a seguir (Fig.5.1.1). 
A fiqui,) 5 I 1 representa o desenho esquemático de um barómetro de 
i|in< 11nr.iste de um tubo comprido fechado em uma extremidade e que 
PHe está preenchido de mercúrio (Hg). A extremidade aberta é submersa 
Ih In iin irservatorio cheio de mercúrio até que a coluna de Hg dentro do 
N iiiilibrio Na parte superior do tubo produz-se vácuo muito 
i|n viii nu perfeito contendo vapor de mercúrio Como a pressão 
• o vapor de mercúrio é muito pequena em temperatura ambiente, 
la e assim, a pressão atmosférica é determinada diretamente em 
i da coluna de mercúrio. 
Mercúrio 
ho esquemático de um barómetro. Experimento de Torricelli 
ara determinar a medida da pressão atmosférica (P,»™). 
113 
Estática dos Fluidos 
A pressão no ponto A (PA) corresponde à pressão da 
mercúrio dentro do tubo e a pressão no ponto B (PB) corresponde à 
atmosférica ao nivel do mar. Sabendo que a pressão no pontoA é igual à 
no ponto B por estarem na mesma altura, então: 
P — P 
rcoluna(Hg) ratm 
Torricelli observou que 76 cm de mercúrio, ou seja, a coluna h 
é devida à pressão atmosférica ao nível do mar, em outras palavras, 76 cm 
equivale à pressão atmosférica ao nível do mar e tem-se: P a t m = y h. 
pressão atmosférica padrão é muito utilizada, mais uma vez registra-se: 
atm 760 mmHg = 10.330 k g f / m 2 = 101,3 kP« 
De forma geral, o líquido utilizado é o mercúrio, uma vez qi 
peso específico é suficientemente elevado de tal maneira a formar uma 
coluna h e, portanto, podendo ser usado tubos relativamente curtos. 
APROFUNDE-SE 
Em 1643, foi conduzido um experimento que culminou no desenvolvim 
barómetro, instrumento em que o ar atmosférico exerce uma força s~ 
superfície livre do mercúrio. Para mais informações sobre o assunto, a 
CÁLCULO. Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São 
Evangelista Torricelli (1608-1647). [s.d.]. Disponível em: 
<http://ecalculo.if.usp.br/historia/torricelli.htm>. 
k Acesso em: 6 maio 2016. 
5.2 Manómetros 
Manómetro é o instrumento utilizado para medir a pressão de 
contidos em recipientes fechados. Como já descrito no capítulo 3. os manôc' 
utilizam a pressão atmosférica como referência, medindo, portanto, a difej 
entre a pressão do sistema e a pressão atmosférica. A pressão manorlf 
(pressão medida pelo manómetro) pode ser positiva ou negativa, depende 
estar acima ou abaixo da pressão atmosférica. S e for medida pressão netjf 
manómetro é chamado de manómetro de vácuo ou também vacuôí 
Manómetros e manómetros de vácuo medem somente pressões efetivas. 
Existem alguns tipos de manómetros, dentre os quais serão dei" 
Manómetro Metálico ou de Bourdon; Manómetro de Tubo Piezomótnl 
Manómetro com Tubo em U. 
114 
Estática dos Fluidos 
ri* Tubo Piezométrico, Piezômetro ou Coluna Piezométrica 
ômetro de tubo piezométrico, também conhecido como 
^rno coluna piezométrica, é constituído de um tubo aberto na 
i tiniu Lulo a um reservatório contendo fluido com uma pressão a 
l f . 1 . 1 ) . Sabendo que o tubo está aberto à atmosfera, a pressão 
• a iilmosféríca. 
ma de um manómetro de tubo piezométrico. 
MuiiiAmriio de tubo piezométrico apresenta algumas limitações: 
j e um tubo aberto, o piezômetro não pode medir pressão de 
guir conter o fluido; 
llin\fl<> um que se deseja medir pressões efetivas negativas, haverá 
MI |iw(M o reservatório, impossibilitando esse tipo de medida; 
um que se deseja medir pressões elevadas ou mesmo pressões 
num pequeno peso específico, o uso do piezômetro não e adequado. 
• altura da coluna h será muito alta. Sendo ass im, a coluna 
m'i i'i Indicada para medidas de pequenas pressões 
Iro Metálico ou de Bourdon 
Manómetro Metálico, patenteado em 1852 e registado por E . 
largamente utilizado na indústria nas medidas de pressões ou 
Estática dos Fluidos 
A medida da pressão ocorre de forma indireta por meio de 
metálico. Um sistema possuindo uma engrenagem acoplada à extreM 
fechada do tubo curvado metálico, transmite o movimento a um ponteiroJ 
se desloca sobre uma esca la . E s s e movimento é devido à deformação da] 
sobre o efeito da mudança de pressão pela tomada de pressão (Fig.5.2.2.%m 
Considerando que a parte externa do manómetro encontra-se i r 
à pressão atmosférica, o mostrador indicará a leitura direta da pressão na 
efetiva. 
Figura 5.2 .2 .1 : Manómetro de Bourdon. 
Considere a Figura 5.2.2.2. As regiões interna e extern? 
metálico estão sujeitas às pressões P» e P j , respectivamente, 
manómetro indicará a diferença P» - P * 
P r e s s ã o i n d i c a d a = P r e s s ã o t o m a d a - P r e s s ã o a m b i e n t e 
116 
Estática dos Fluidos 
p, 
UM da pressão por meio de um manómetro de Bourdon. 
da Tubo em U 
|Ura 5 2 .3 .1 , por meio da ilustração de um manómetro contendo 
I um tubo em U, pode-se entender como esse medidor de 
ln« a pressão manométrica do sistema (Pnw,) contido no 
|Ura mostra a inclusão de um fluido manométrico que geralmente 
Utdo hachurado). A determinação da medida da pressão do gás 
VHtniKi so c possível devido à presença do fluido manométrico 
*i itp" do gás 
ma de um manómetro de tubo em U aberto. 
no nos barómetros, na maioria das vezes, utiliza-se como 
0 mercúrio, pois devido ao seu elevado peso especifico 
1 coluna que se forma. 
que os pontos A e B apresentam a mesma pressão por 
n a altura, a pressão manométrica (Pm«n) será determinada 
seguir: 
117 
Estática dos Fluidos 
P A = P B 
Psistema = Patm Pcoluna ~^ Psistema — Patm = Y ' ^ 
P = v h 
' man í 1 1 
Retomando a Figura 5.2.3.1, considera-se que o ponto A encaf 
na superfície do líquido, portanto a pressão no ponto A (PA) pode ser consr 
igual à pressão atmosférica (Patm)- Sendo assim, calcula-se a pressão no 
(PB) a uma profundidade h: 
P A - Patm P B = P a t m + Y - h 
A pressão no ponto B (PB) representa a pressão total ou 
absoluta em um determinado ponto a uma profundidade h dentro de um I 
De forma resumida, pode-se escrever que: 
P. Absoluta (P. Total) = P. Efetiva (P. Manométrica) + P. Atmosfé 
P — P -t-P ' abs rman T ratm 
sistema P -+- P •atm T r coluna 
P - P - v • h 
1 sistema 1 atm i " 
Exemplo: 
A figura a seguir representa um manómetro contendo gás, cone 
um tubo preenchido com mercúrio e aberto para a atmosfera. Considere 
sistema encontra-se em equilíbrio. Determine a pressão total (pressão a1" 
exercida pelo gás em mmHg e também em N/m2 
Pam = 760 mmHg. 
Dados: /«„ = 136000 
118 
Estática dos Fluidos 
P m • 760 mmHg 
Hg 
A 
32 cm 
que os pontos A e B possuem a mesma pressão por estarem 
B - "atm "colunaHg 
Pgás Patm + PcolunaHg 
760 mmHg + 320 mmHg => 1080 mmHg 
Ml II 
Pgás ~ Patm + PcolunaHg 
K*» ' Patm + YHg ' ^Hg => 1,01.10 5 + 136000 0,32 
p g à s =1,44.10 5 N /m 2 
'i> ot manómetros de tubo em U podem conter dois reservatórios, 
WUundo reservatório encontra-se no ramo antes aberto â atmosfera 
r-»»riN dispositivos com dois reservatórios chamam-se Manómetros 
I l'i 
Estática dos Fluidos 
Figura 5.2.3.2: Figuras ilustrativas de manómetros diferenciais. 
f A P RO FUNDE - S E 
Os medidores de pressão são muito utilizados na indústria. Es t e s equi 
são calibrados frequentemente para garantir a segurança do procs 
qualidade dos produtos. Saiba mais a respeito do processo de calibra 
medidores em: UNIÃO DAS TECNOLOG I AS DA UNICAMP. Calibra 
Disponível em: 
<http://www.fem.unicamp.br/~instrumentacao/pressao/calibracao01, 
\o em: 6 maio 2016. 
120 
Estática dos Fluidos 
• Manométrica 
•M iUe re o manómetro ilustrado a seguir. Por meio da Equação 
Hft possível determinar a pressão de um dos reservatórios ou a 
m pressão entre os dois reservatórios. Utilizando a Lei de Stevin e 
| f i de Pasca l , anal isa-se o sistema para determinar, nesse caso, a 
fetmvHtório B ( P B ) : 
YB 
fMlilnmndo que o sistema esteja em equilíbrio, portanto a pressão 
" • i • ' i < mesma Sendo assim, calcula-se a pressão no fundo do 
iln «• • • 111«• 111<> e também do lado direito, finalmente igualando essas 
• •An no fundo do s i s tema jado esquerdo: 
p f . = PA + Y A ( h i - h 2 ) + Y M h 2 
•An no fundo do s i s tema jado direito: 
P f d = P B + Y B - ( h 4 - h 3 ) + YM h 3 
Fluido em equilíbrio: .'. = P f d 
TA ( h i - h 2 ) + Y M h 2 = P B + y B ( h 4 - h 3 ) - i - Y M h 3 
121 
Estática dos Fluidos 
Fluido h 2 
- 1 
Manométrico (YJ 
- 1 
Fluido 
Manométrico 
(TJ 
t 
Figura 5.2.3.2: Figuras ilustrativas de manómetros diferenciais. 
APROFUNDE-SE 
Os medidores de pressão são muito utilizados na indústria. Es tes equipa" 
são calibrados frequentemente para garantir a segurança do processoj 
qualidade dos produtos. Saiba maisa respeito do processo de calibração 
medidores em: UNIÃO DAS TECNOLOG I AS DA UNICAMP. Calibração. 
Disponível em: 
<http://www.fem. unicamp.br/~instrumentacao/pressao/calibracao01.h 
L Acesso em: 6 maio 2016. 
120 
Estática dos Fluidos 
•Jnétrlca 
no o manómetro ilustrado a seguir. Por meio da Equação 
im«ivi'l determinar a pressão de um dos reservatórios ou a 
VMaOu nutre os dois reservatórios. Utilizando a Lei de Stevin e 
• • • • c a l , anal isa-se o sistema para determinar, nesse caso, a 
j fe tôr ln 8 ( P B ) : 
que o s.stema esteja em equilíbrio, portanto a pressão 
nesma. Sendo assim, calcula-se a pressão no fundo do 
o e também do lado direito, finalmente igualando essas 
• • A n nu lundo rio s i s tema jado esquerdo: 
P f . = P A + Y A - ( h i - h 2 ) + Y M - h 2 
•«An no fundo do s i s tema jado direito: 
P f d = P B + Y B - ( h 4 - r > 3 ) + YM h 3 
Fluido em equilíbrio: P j , = P f d 
1 r A h 2 ) + y M h 2 = P B + y B ( h 4 - h 3 ) + Y M h 3 
Estática dos Fluidos 
P B = P A + Y A ( h 1 - h 2 ) + Y M h 2 - Y B ( h 4 - h 3 ) - Y M h 3 
Rearranjando a equação, obtém-se a pressão no reservatório 
P B = P A + Y A - ( h l - h 2 ) - Y B - ( h 4 - h 3 ) - Y M - ( h 3 - h 2 ) 
122 
Estática dos Fluidos 
tos 
do manómetro A sabendo que os cilindros encontram-se em 
\ - 40 cm 2 ; ^ „ = 136.000 N/m 3. 
Estática dos Fluidos 
02. Determinar a 
a seguir. 
leitura do manómetro metálico, conforme os dados da i lutf 
15 cm 
30 cm 
Água 
y M = 7.500 N/m' 
Y*g"»=10 
45 cm 
124 
Estática dos Fluidos 
Ttiinni ,i perda de carga distribuída em um trecho de um tudo de 
Énhelro utilizou-se de um tubo em U para definir a perda de 
| l pontos. A água ( j f«o = 10.000 N/m 3) foi usada como fluido 
| , De acordo com as condições descritas e também ilustradas 
Quli determine a diferença de pressão entre os pontos 1 e 2. 
12!. 
Estática dos Fluidos 
04. Determinar a pressão no reservatório 1, sabendo que na a lavanca 
se uma força d e F = 100 N. 
Dados: P M = 8 kPa ; h = 0,25 m. 
10 cm 
5 cm 
Ar (2) ^ 
0 
Ar 
(D 
i Água 
> 
h 
D = 30 cm * Y*gu.= 10-000 N/m' 
126 
Estática dos Fluidos 
• •fWNiêo no manómetro B para que o cilindro forneça a força F 
MM flijuni ,i seguir. Considere P a tm = 1 atm. 
D = 80 mm 
M " 2 k P a 
127 
Estática dos Fluidos 
06. Para determinar a pressão atmosférica local, ufhzo -se n b a r ô 
mercúrio ( m = 136.000 N/m 3), e a leitura do instrumento fo, dada co 
r s " a ção arguir. Calcule a pressão atmosférica loca, em Pa. 1 
n 
730 mm 
1U Mercúrio 
(Hg) 
128 
Estática dos Fluidos 
R.A. 
Ilustrado a seguir, o qual se mantém em equilíbrio, a leitura 
40 kPa . De acordo com as condições descritas e também 
a, determine a pressão D (PD) na esca la absoluta. 
Aj - 40 cm 2 ; AH - 5 cm 2 ; Pressão atmosférica local: Patm = 
u* A 
Estática dos Fluidos 
RA : 
iiiiinfimetros são instrumentos comumente utilizados na indústria 
mʧ pressão. A medição dessa grandeza f isica é relativamente 
• • d a quando ocorre a deformação do tubo metálico no interior do 
Recordo com as condições apresentadas no desenho esquemático 
•nine a leitura do manómetro. 
131 
Estática dos Fluidos 
132 
Estática dos Fluidos 
IM* R.A: 
No sistema ilustrado a seguir, uma força F = 70 N é aplicada na 
tom o objetivo de levantar a carga G. De acordo com os dados 
t Ot fornecidos, determine o peso G e a leitura do manómetro. 
I • 10 cm 2 ; A2 = 50 cm 2 ; ymo = 10.000 N/m 3; P„ = 6 kPa . 
• i<nt 
Ar 
1 n 
loular a leitura da pressão no manómetro A, sabendo que o fluido 
é o mercúrio (ytig = 136.000 N/m 3). 
137 
tstaticfl aos r-iu 
RESPOSTAS DOS EX 
h l * l'llt|M)StOS 
- M l . ' K C . 
1476 N/m2. 
«V - /?».(> M';i 
/ i i /1 .1 Pa 
• p a 17,984 kPa . 
f Ul».28kPa. 
• 
149 172 Pa . 
*»„ • 600 Pa . 
- 1050 N e P M = 204 kPa . 
M,P,= 3.03 kPa . 
06 PmA = 49.600 N/m2. 
139 
I sliltll .1 (los I lindos 
APÊNDICE 
I l iMCi >l< I A SUPERFÍCIE P LANA 
Pode-se entender comporta como sendo uma porta que controla o 
lamnnto de um fluido. Como exemplo, a s represas, usinas hidroelétricas e 
• sAo dotados de comportas. 
Nos itens a seguir serão descritos os princípios físicos de 
nnmento de uma comporta. 
1 Força numa Superfície Plana Submersa 
Devido à ausência de tensões de cisalhamento (Capítulo 2) , o fluido 
exclusivamente uma força perpendicular nas superfícies submersas 
I^ Ho está em repouso, e a pressão varia linearmente com a profundidade, 
Kmldnrando o fluido incompressível (Capítulo 2). 
• igura 6.1.1: Distribuição da pressão sobre a superfície plana inferior do tanque. 
Considerando uma distribuição uniforme da pressão sobre a superfície, 
0 módulo da força resultante (FR) sobre a superfície inferior do tanque (superfície 
submersa horizontal) do fluido (Fig.6.1.1) é dado por: 
sendo P a pressão que o fluido exerce sobre a superfície inferior do tanque e A a 
Area dessa superfície. 
A força resultante F« atua no centro de gravidade (CG ) da área da 
superfície inferior porque a pressão é constante e está distribuída uniformemente 
nesta superfície. 
— => F R = 
A R 
P A 
141 
Se o fluido em questão for gás, mesmo quando a superfície ô 
variação da pressão nessa direção é muito pequena devido a inex 
variação do seu peso específico. Sendo assim, para os gases, qualquei q 
a posição da superfície (horizontal, vertical ou mesmo inclinada), 
resultante exercida sobre e s sa superfície será determinada pela equação d 
anteriormente, ou se ja , o produto da pressão pela área. Caso o fluido seja I 
somente se a superfície submersa for horizontal é que a distribuição de p 
será uniforme. 
Portanto, logo a seguir serão descritas as distribuições de força 
pressão que um fluido, sendo este líquido, exerce sobre uma superfície sub 
plana vertical (Fig.6.1.2). 
Superfície Livre 
Figura 6.1.2: Distribuição da força e da pressão sobre uma superfície p 
vertical submersa em líquido. 
Considere o plano perpendicular QM. A pressão efetiva pode variai 
desde zero (superfície livre) até MN => P = y • h . Seguindo o plano vertical, a 
pressão sofrerá uma variação linear desde a superfície livre até o fundo do plano 
pois devido à Lei de Stevin (Capítulo 4) sabe-se que a pressão é diretamen' 
proporcional à profundidade. Sendo assim, a pressão varia de ponto a ponto, n 
sendo possível obtê-la por meio da equação P = ~ . 
A 
Do lado do plano vertical em que está contido o líquido, a for 
resultante (FR) será determinada como descrito a seguir: 
F R = Z P dA 
142 
I luid 
0a dA a área elementar da superfície plana vartloal em que age determinada 
«An P A força resultante agirá no centro da pressões (OP), 0 qual se localiza 
Imiiio das maiores pressões e encontra-se abaixe de oentro de gravidade 
t ) A modida que se afunda no plano vmln ,il .ilinqiniln Q'M" o C P aproxima-
do CO, uma vez que as pressões atingem valoras mais uniformes. 
Num segundo momento, na Figura 6.1.3 a superfície plana submersa 
1 estudo), antes vertical, encontra-se Inclinada de ff em relação à superfície 
fc, A análise a seguir permite determinar a força resultante das pressões no 
|pTK) em estudo. 
Q Superfície Livre 
0, h C G / 
/» 
£ G / 
^ ^ A P 
Figura 6.1.3: Inclinação do plano em estudo em relação à superfície livre. 
Na Figura 6.1.4 observa-se a projeção vertical da inclinação do plano 
. m estudo em relação à superfície livre. Considere h uma profundidade qualquer 
e y sua distância até a superfície livre. 
Superfície Livre 
"CP 'CG 
dA 
h = y.sen 6 
_ 
— — 
1 ; S 
• CG 
• CP 
Figura 6.1.4: Projeção vertical da inclinação do plano em estudo emrelação à 
superfície livre (Fig 6.1.3). 
143 
No elemento de área dA, a pressão (P) é constante, ( 
consequência, determina-se o módulo da força (F) resultante na supfj 
somando-se todas as forças diferenciais que atuam na superfície: 
dF = P • dA sendo P = y h e h = y- sen0 
dF = y • h • dA => dF = y y s e n G d A 
J d F = J y y s e n G d A => F = y s e n G - J y d A 
Por definição do centro de gravidade (CG): 
y c G = x J y d A y c G - A = J y d A 
J 
Combinando a equação da força, obtida anteriormente, com a definlçèl 
do centro de gravidade, tem-se: 
F = y • s e n G • y C G • A 
Sabendo que: h C G = y C G . s e n 9 e P C G = y • h C G 
•'• F = P C G A 
A vista disso, a força resultante (F) é determinada pelo produto 
pressão no centro de gravidade ( P C G ) pela área da superfície plana submersa (A 
, m P ° r t a " t e ressaltar que F independe da inclinação entre a superfície livre e 
superfície plana submersa, desde que C G se mantenha fixo 
6.2 Centro das Pressões 
Define-se centro das pressões (CP), já citado anteriormente, como 
sendo o ponto de aplicação da força resultante das pressões sobre uma 
determinada área. Como já definido anteriormente, a força elementar é dada por: 
dF = y • y • s e nG dA 
144 
l mutuando que o momento de m i n Ion. Ind. 
i | iistância perpendicular ao eixo (y), conaldarandt 
iflg.e.1.3): 
lie produto da força 
) , nmo o ponto lixo 
y dF = y (Y • y • sen9 dA) =^ y dF - y y2 eenG dA 
Considerando que a resultante das forças de pressão seja F e a 
l iam i.i ilo ponto de aplicação até o pólo s e | a ycr. portanto 
y C P dF = y y 2 s e n G dA => J y C P d F = J y y 2 s e n G d A 
y c p J d F = y s e n G - J y 2 d A => y C P F = Y senG J y 2 d A 
• f y 2 • dA é definido como sendo o momento de inércia (lo) da área A em 
i o ao eixo formado pela intersecção do plano que contém a superfície plana 
li i i inrsa e a superfície livre (eixo O). 
y c p F = Y - s e n G - J y 2 dA => y C P F = y senG l Q 
y • senG • l D 
y c p F = Y s e n e , o VCP = ^ 
Lembrando que: F = y • senG • y C G A 
y • senG • l G y • senG • l Q 
ycp = p y c p " v . M n f l . w — y • s e n G • y C G • A y C G ' A 
Interpretando a equação obtida, tem-se que para obter a distância do 
centro das pressões (ycp) ao eixo de intersecção da superfície plana imersa com 
a superfície livre, divide-se o momento de inércia da área A, em relação ao 
mesmo eixo, pelo produto da distância do centro de gravidade (yCG) pela área da 
superfície plana imersa (A). 
Utilizando-se o Teorema dos E ixos Paralelos, o momento de inércia da 
área A (lo), pode ser expresso por: 
l 0 = l CG + y C G A 
145 
sendo / C G O momento de inércia da área A calculado em relação ao eixo i 
passa pelo seu centro de gravidade (CG). 
YCP = 
Y C G - A 
_ k c + YCG • A 
° P Y c o - A 
YCP = 
CG 
Y C G - A + Yco 
Por meio da equação determinada anteriormente, conclui-se qim • 
força resultante não passa através do centróide (centro de gravidade ( /CG ) ) e Ojj^jfl 
o centro das pressões (ycp), onde a força resultante atua, encontra-se abaixo dfl 
centro de gravidade ( /CG ) - Além disso, à medida que aumenta-se a profundida^B 
menor se torna o termo adicional a / C G e, consequentemente, os pontos ycp e y f l 
se aproximam. 
S e a área submersa é simétrica em relação ao eixo que passa pafl 
centro de gravidade (CG) e paralela a um dos eixos (x ou y ) , a força resultante ( * • 
precisa atuar ao longo da linha O, pois nesse caso, lXYCG é nulo. Sendo assim, x f i» 
= 0. 
No caso em que a área submersa não é simétrica em relação ao eixal 
que passa pelo centro de gravidade (CG), a coordenada xCp do ponto 
aplicação da força resultante pode ser determinada de forma análoga, ou sej 
somando-se os momentos em relação ao eixo y. 
x c p • F = y • senG • J x • y • dA 
'xy = J x ' Y ' dA é definido como sendo o produto de inércia ( / x y ) da área A e 
relação aos eixos x e y. 
x c p - F = y - s e n 6 - J x - y d A => x C P • F = y • senG• l x y 
X C P -
y s e n G l x v 
x C P F = Y s e n 0 l x y => x C P = - — *• 
Lembrando que: F = y • senG 
y • s enG • I 
y C G A : 
•xy y s e n G l x y 
X C P = ~ 
í 'xy 'xy 
— — 1 ycp = 
y • s e n G - y C G • A y C G A 
146 
Utllizando-se novamente o Teorema dot I taH WWMoa. o momento 
sla da área A (lxy), pode ser expresso por: 
'xy = 'xyCO + X C O • Y C O • A 
do I„CG o produto de inércia da área A calculado em relação ao sistema de 
rdenadas ortogonal que passa pelo seu centro de gravidade (CG) e criado por 
;i translação do sistema de coordenadas x-y . 
•xy 
ycc 
_ 'xyCG + X C G • Y CG - A 
X c p = y ^ A -
•xyCG 
6.3 Momento de Inércia 
Como conceito adicional, serão relembradas algumas propriedades 
geométricas de figuras comumente encontradas no nosso dia a dia. Além disso, 
por s e tratar de um conceito necessário para a análise do princípio de 
funcionamento de uma comporta, também serão descritos os momentos de 
Inércia de corpos com es sas geometrias. 
O momento de inércia pode ser definido, de forma sucinta, como sendo 
a medida da resistência que um corpo oferece às modificações do seu movimento 
de rotação e depende da distribuição de massa no interior do corpo em relação ao 
eixo de rotação. Sendo ass im, o momento de inércia depende do corpo e da 
localização do eixo de rotação. 
b/2 
a/2 
A = a.b 
1 
i „ — a 3 b 
'xCG 'yCG ^ 
xyCG 
147 
Exemplo: 
A figura a seguir mostra o desenho esquemático de uma comporta 
circular inclinada, localizada em um grande reservatório de água (y = 9,8 kN/m 3) . 
O eixo da comporta está localizado a 12 m da superfície livre. De acordo com a 
figura e as informações, determine: 
a ) o módulo e o ponto de aplicação da força resultante} na comporta: 
148 
HHimonto que deve ser aplicado no eixo para abrir a OOmportN 
toSQluçâo: 
a) Para determinar a força resultante: F R = y • h C G • A 
Sendo a distância vertical entre o centro de gravidade (CG) e a superfície livre da 
água é de 12 m: 
F R = ( 9 , 8 X 1 0 3 ) - 1 2 ( TC ( 2 ) 2 ) => 1,48 x 1 0 6 N => 1,48 MN 
A fim de localizar o ponto de aplicação da força resultante (FR), OU se ja, 
o centro das pressões (ycp)'. 
_ 'xyCG 
X C P - A + X C G 
Y C G - A 
Para o sistema de coordenadas mostrado na figura anterior, XCR = 0, 
pois a superfície da comporta é simétrica e o centro de pressão (CP) está 
localizado ao longo do eixo y (paralelo ao eixo y). 
O momento de inércia para a comporta esférica em relação ao eixo que 
passa no centro de gravidade (CG) e paralelo ao eixo x: 
'CG - •CG -
rc(2) 4 
149 
(ycp): 
y c p = y c f ^ + y c G 
7T(2)4 
4 12 
( 1 2 / s e n 6 0 ° ) ( 4 T C ) s en 6 0 o 
y C P = 0 , 0 7 2 2 + 1 3 , 8 5 6 8 = 1 3 , 9 3 m 
A distância entre o eixo da comporta ( / C G ) e o centro das press 
y C P - y C G = 1 3 , 9 3 - 1 2 , 0 0 = 1 ,93 m 
A força que atua perpendicularmente sobre a comporta apresenta 
módulo igual 1,48 MN, aplicada num ponto localizado a 1,93 m abaixo do centro! 
de gravidade (CG ) . 
b) A fim de encontrar o momento capaz de abrir a comporta: 
M = F ( y C P - y C G ) => M = ( 1 , 48 x 1 0 6 ) - ( 1 , 9 3 ) = 2 , 8 6 x 1 0 6 N.m 
150 
•aãWA 1 
IMI 
| IIMM A 
quadra^ 3 é u t | | i z a d a p a r H ( ; o n t H r H á g u a armazenada 
Uma c o m p o r f n f o r m e l l u . j J J ^ g s j j g u l r A c Q m p o r t a A D e s t a e m 
m U"1 reservatório, o- . a ç f l f f d£ d a força p p o ( j e n d o e 8 t g g j r a r e m t o r n o d o 
«•'!' " " - s , a t l c o d _ f % os dacT f o r n ( ; ( ; K k ) S | M ! „ , desenho esquemático, 
• l o D De acordo e 3 l ) l i c a , . . . 
1 . . . H o # Ç a P ) cada pelo cilindro. 
, , „ , , „ , , „ „ , .< . modulo da V 
y»20= 10000N/m 3 
26000 C , m m 3 
151 
152 
I -.I.• r«< ,| dos I luiilir. 
A - 2 
I IMA RA: 
Uma comporta quadrada é utilizada para contar a água armazenada 
i um reservatório, conforme ilustrado a seguir. A comporta AD está em 
^iilllhrlo estático devido à ação da força F, podendo esta, girar em torno do 
Bonin D. De acordo com os dados fornecidos pelo desenho esquemático, 
•atermlne o módulo da força F aplicada na comporta. 
y H 2 0= 10.000 N/m3 
y m = 20.000 N/m* >t 
153 
RESPOSTAS DOS E XERC l C I O i 
( / - 3.833 N. 
| t ~ HM N. 
I 
155