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Keglas de derivacih
,..
En &as fotografias se reprr-
sentan derivadas en varies
contextos. El conductor de
un automhil de carreras
desea conocer su velocidad
en un momenta determi-
nado. Debido a que la san-
gre fluye con mayor lentitud cerca de la pared en un vase sanguineo,
podriamos desear conocer la rapidez con que aumenta su velocidad con
respect0 a la distancia desde la pared. La rapider con que se esparce un
rumor depende de la cantidad de personas que intervienen y de la manera
en que reaccionan a la informacih. Todas &as razones de cambio son
cases especiales de una sola idea matemitica: la derivada.
rlemos visto c6mo interpretar las derivadas coma pendientes y razone~ de cambio.
Tarnbib” estudiamos c6mo estimar las derivadas de funciones dadas par medio de
tablas de valores. Aprendimos la manera de graficar las derivadas de funciones
que se define” gr5ficamente. Aplicamos la definici6n de derivada par3 calCUlal 1%
derivadas de funciones definidas mediante f6rmulas. Pero seria tedioso si Siempre
tuvi6rarnos que aplicar la definicibn, de modo que, en este capitulo, desarrollare~
mos reglas para hallar derivadas sin tener que war directamente esa definicibn.
Estas reglas de derivaci6n nos permiten calcular con relativa facilidad las derivadas
de polinomios, funciones rationales, algebraicas, exponenciales y logarftmicas, Y
trigonon+tricas, y trigonometric% inversas. A continuaci6n. usarerno~ &as reglas
para revolver problemas en que intervienen razones de cambio, Y la aproximaci6n
de funciones.
_x. 3.1 Derivadas de polinomios y de funciones exponenciales ‘S. es;* __*_ .“, .,.,.
&I &a sexi& aprenderemos la manern de derivar funciones constantes, funciones poten-
cias, polinomios y funciones exponenciales.
Yf Empecemos con la IISIS sencilla de todas las funciones, la funci6n Constantef (x) = c.
~,a gr~fica de &a funcibn es la recta horizontal y = c, la cual tiene pendiente 0, de modo
i
I
j-L quc debemos tenerf’(n) = 0 (Fig. 1). Una demostracidn formal, a partir de la definici6n de
pendiente = 0 derivada, tambikn es fkcil:
fb + h) -f(.4 = lfmc f’(x) = f; __
h 1x-o h
-+
0 x =p-$o=o
En la notaci6n de Leibniz, escribimos esta regla coma sigue:
La grtiica dcj(n) = c es la recta y = c;
par lo tanto f’(x) = n
$ (c) = 0
Funciones potencia
Enseguida, consideremos las funcionesf(x) = P, donde IZ es un enter0 positive. s1 )I = 1 S
la gr&ica de f (x) = x es la recta y =x, la cual time pendiente I (Fig. 2). De mudo We
(TambiCn puede comprobar la ecuac16n 1 a paw de la definici6n de derivada.) Ya hernub
investigado 10s cases n = 2 y II = 3. En efecto. en la secci6n 2.9 (ejercicios 17 y IX),
encontramos que
La grtiica de &) = x es la rectay = x
de WI suerte que f ‘(4 = 1
2 (2) = 2x $ (x’) = 3x2
REGLAS DE DERiVACldN
Pam n = 4, cnconrramos la daivada de f (x) = x’, corn” ague:
f’(x) = F$
f(x + h) -f(x)
h
= ,im b + w - x’
h-0 h
= lim x4 + 4x3h + 6x2hz + 4xh3 + h4 - x4
h-0 h
= lim
4x3h f 6x2h2 + 4xh3 + h4
h-0 h
= Ffn (4x’ + 6x’h + 4xh2 + h3) = 42
Par tanto,
Si se compamn las ecuaciones (l), (2) y (3), wmos surgir un modelo. Puece razonable
presumir que, cuando n es un entero positive, (d/dx)(Y’) = n.C’. Esto resulta c&to.
Si n es un enter0 positivo, entonces
La f6rmula
x” - .” = (x - (&-I + X”-2a + + *a”-” + a”-‘)
se puede verificar hacienda las multiplicaciones de1 Segundo miembro (o sumando el
Segundo factor coma en una serie geom&ica). Si f(x) = xn, podemos user la ecuaci6n 3
de la secci6n 2.8 para f’(a) y la ecuaci6n anterior para escribir
fya) = p2 f’“,’ 1 ;(a’ = lfm AlIs
IJU x-a
= !‘f? (x”-’ i- xn-%I + + xan-2 + a”-‘)
= a”-’ + a-za + + &-2 + a”-’
= &-I
f’(.d = jtJy f(x + h) - fb) h = lim b + h)” xn h-0 h
En ias guardas del frente se da al
tewana del binomio.
Al hallar la derivada de 2, tuvimos que desarrollar (x + h)‘. En este case, necesitamos
desanollar (x + h)” y, para hacerlo, aplicamos el teorema de1 binomio:
X” + nx”-‘h + dn - ‘) X”-2h2 + + ,&“-l + ,,”
2
- .”
f’(x) = !‘f
1
h
1.1..
h--t0 h
= p. n.x-’ +
-[
n(n ~ 1) X”-2h + 2 + nxh”-* + h”-’ 1
porque todos 10s tkminos, excepto el primero, tienen h como factor y, par lo tanto. tien-
den a 0.
En el ejemplo 1, ilustramos la regla de la potencia usando varias notaciones
(a) Si f(x) = x5, entonces f’(x) = 6.x’. (b) Siy=x’wo, entonces y’ = lllo0x999.
(c) Si y = f4, entonces s = 4f’. (d) $ (r’) = 3r2
~Quk se puede deck acerca de las funciones potencias con exponenres ~meroa ncga-
tivos? En el ejercicio 51 le pediremos al lector que compruebe, a partir de la definicidn de
derivada, que
d 1
0
1 -- (& * =-x2
Podemos volver a escribir esta ecuaci6n coma
$ (C’) = (-1)x-‘
y, por tanto, la regla de la potencia se cumple cuando n = -1. De hwho, en la seux5n SI-
guiente (Ejerc. 41), demostraremos que se cumple para todos 10s enteros negatives.
iQuB sucede si el exponente es una fraccibn? En el ejemplo de la secci6n 2.5, encon-
tram0s que
lo cual se puede escribir coma
Esto hate ver que la regla de la potencia es verdadera inclusu cuando n = j. De hccho, en
la secci6n 3.8, demostraremos que es verdadera para todos 10s tkneros reales n.
Si n es cualquier nhmero real, entonces
$ (A = n,“-l
En la flgura 3. se muestra la func16n
ydei ejemplo Zlbl y su derivada y’.
Advierta que y no es diferenciable en 0
ly’no estd definida allil. Observe que y’
es positiva cuando ycrece. y negativa
cuando ydecrece.
S(4 = 5 (b) y = @
En cada caso, volvemos a escribir la fun&k coma una potencm tie 1.
(x) = x-‘, aplicamos la regla de la potencia con n = -2:
fyn) = $ (y’) = -2y-’ = -zxm3 = -$
- ‘-‘IPLO 3 - Encuentre nna ecuaaon de la recta rangente a la cwa y = ,,r qx, en et
J (1, 1). Trace las gtificas de la curva y su recta tangents
La derivada de f(x) = xJ; = xx”’ = ~3’~ es
Par tanto, la pendiente de la recta tangente en (1, 1) es f’(1) = I. Por consiguiente, una
ecuacidn de la recta tangente es
y- 1 =3(x- 1) 0 ),z&;
En la figura 4, trazamos las gr&icas de la curva y su tangente.
3
y=x JG I
.I
y=;x-;
-1 3
-1
-. Nuevas derivadas a park de ant&ores
Cuando se forman nuevas funciones a partir de funciones antaiores por adickk, susuac-
cih o multipIicaci6n par una constante SW derivadas se pueden calcular en ttrrninos de
la derivada de las funciones anteriores. En particular, en la fhnula siguiente se alirma
que la derivada de una constants multiplicada par unafuncih es la constame multipli-
cada par la derivada de lafuncidn.
Si c es una constante yfes una limci6n diferenciable,
YA
/’ Y = Zf(N
i-
Y =fW
,
0 x
La muitipllcacldn par c = 2 e*t,ia ,a gra-
fica verticalmente en un factor de 2.
Todas las elevaciones se han
duplicado, pero 10s avarices
permanecen iguales. De donde las
pendientes tambi6n se duplican.
SI se mhza la notac~on de, ap0strofo.
podemos escrlblr la regla de la suma
corn0
=!‘yc
-[
fb + h) - f(4
h I
= c lfm fb + h) - f(4
h-0 h
,,J,11 IL “> i Ji :<I. llll,ll.>
= cjyx)
tJEMPL0 4
(a) $ (3x’) = 3 $ (2) = 3(4x3) = 12.x’
(b) $(-x) = $[(-1)x] = (-1)s (x) = -l(l) = ~1
La regla siguiente nos dice que la derivaaa de ma mma defuncronrs es 1~ sumu de las
derivadas.
8
$ [f(d + g(x)1 = &f(x) + $ g(x)
. . .x_^.,___ .-
iln~:::--,,~.r SeaF(x) =f(x) + g(x). Entonces
F’(x) = lim
F(n + h) - F(x)
h-0 h
= !‘y
[f(x + h) + sb + WI - [fLd + g(x)1
h
= li,,, fb + h) -f(x) + s(x + h) - cd.4
h-0 h h 1 = lf,,, fb + h) - f(x) + lim sb + h) - s(x) h-0 h h--r0 h ,,,,, ,_/ ‘>
= f’b) + SW
La regla de la suma se puede extender a la suma de cualquier nlimero de funones
Por ejemplo, si se aplicaate tcorema par dos veces, obtenemos
(j + g + h)’ = [(j + g) + h]’ = (j + g)’ + h’ = j’ + g’ + h’
Al escribirf-gcomof+ (-1)gy aplicar la regla de la suma y la de1 mtiltiplo constanre,
obtenemos la f6mula:
Lacurvay=$-6x'+4y
sus tangentes horizontales
Si tanto f como 9 son diferenciables, entonces
5 [f(x) - sb31 = $f(r) - $ g(x)
Estas tres reglas se pueden combiner con la regla de la potencia para derivar cualquier
polinomio, ccnno se demuestra en 10s ejemplos que siguen.
LJEN(p’j: r> ._.
$ (n” + 12x’ - 4.2 + 10x3 ~ 6.x + 5)
=-$x*) + 12$(x5) - 4$(x') + 10$(x') - 6% (x) + 2 (5)
= 8.x’ + 12(5x4) - 4(4x3) + 10(3x2) - 6(l) + 0
=8x'+ 60x" - 16x' + 30x2 - 6
t rEMPi ii 1; Encuentre 10s puntos sobre la cwva y =x1 - 62 + 4, dondr la recta
tang&e es horizontal.
Se tienen tangentes horizontales donde la derivada es cero. Entonces
$=$(x4) - 62(x2) + $4)
=4x" - 12x + 0 =4x(x2 - 3)
De donde, dyjdx = 0 six = 0 o x2 - 3 = 0, es decir, x = 28. Por tanto, la L‘UTYB
dada tiene tangentes horizontales cuando n = 0, 4, y -8. Los puntos correspon-
dientes son (0,4), (4, -5), y (-J?, -5). (V&se la figura 5.)
Funciones exponenciales
Intentemos calcular la derivada de la funci6n exponencial&) = a*, aphcandu la detim
ci6n de derivada:
El factor a” no depende de h, de mode que podemos llevarlo adelante de1 limitr
Advlefla que el linxte es el valor de la derivada defen 0; eato es,
Por lo tanto, hemos demostrado que, si la funci6n exponencial,t(x) = ai es dkrrenclable
en 0, entonces es diferenciable en todas panes y
f’(x) = f’(O)d
En esta ecuaci6n se atirma que la razdn de cambio de cualquierfuuncidn aponencml es
proportional a la propia jimidn. (La pendiente es proportional a la altura.)
En la tabla de la izquierda, se da widen& num&ica de la existencia def’(0) en 10s
cases a = 2 y a = 3. (Los valores sedan correctos hasta cuatro decimales. Respect0 al case
de a = 2, v&w tambikn el ejemplo 3, Sec. 2.8.) Parece que 10s limites existen y
para a = 2, f’(0) = lflf y = 0.69
pama=3, fYO’=~l&+ l.,”
DC hecho, se puede probar quk 10s kites exlsten y. correctos hasta seis deumatea, 10s ~a-
lores son
= 0.693147
x=0
Por tanto, de la ecuaci6n 4, tenemo~
$ (3") = 1.098612
x=0
$ (2") = (0.69)2' 2 (3^) = (1.10)3X
De todas las elecciones posibles para la base a de la ecuacidn 4, se tiene la f6rmula m&
xncilla de derivacidn cuandof’(0) = 1. En vista de las estimaciones def’(0) para a = 2 y
a = 3, parece razonable que exista un nlimero entre 2 y 3 para el quef’(0) = 1. Es tradi-
cional den&u este valor con la letra e. (De hecho, fue como presentamos e en la Sec. 1.5.)
Por tanto, tenemos la siguiente definici6n:
188 d I:APITULO 3 REGLAS DE DERIVACION
Geom&ricamente, esto significa que, de to&s las funciones exponcnciales posibles y =
a’, la funci6nf(x) = e’ es aquella cuya recta tangente en (0, 1) tiene una pendientef’(0)
que es exactamente 1. (Vtanse las Figs. 6 y 7.)
x
Si ponemos a = e y por lo tanto, f’(0) = I en la ecuziOn -1. se convwtc en Ih mipw
tank f6rmula de derivaci6n que se da a continuaci6n:
De donde, la funci6n exponencialf (x) = e” tiene la propiedad de que es su propia
derivada. El significado geomktrico de esto es que la pendiente de una recta tangente a la
curva y = ti es igual a la coordenada y, ordenada de1 punto (figura 7).
,c ;I, 1. .; Si f(x) = ex - x, encuentre f’. Compare las grzXcas defy f’
L Si se aplica la regla de la diferencia, tenemos
f’(x) = $ (e” - x) = $ (62”) - $ (x) = e” - I
La funcidn f y su derivada f” se muestran en la figura 8. Obscrvr que f txut WIIIU
tangente una recta horizontal en x = 0; corresponde al hecho que S’(O) = 0. Tamblen
vea que, para x > 0, f’(x) es positive y f es creciente. Cuando x < 0, f’(n) es negativa y
f es decreciente.
c,i~?l’p:,~g 8 j,En cuti punto de la curva y = ex la recta tang&e es par&la a la recta
y = 2x?
Coma y = e”, tenemos y’ = e”. Sea a la coordenada x de1 punto en cuesti6n.
Entonces, la pendiente de la recta tangente en ese punto es e”. Esta recta tangente s&
paralela a la recta y = 2~ si tiene la mimm pendiente: es de& 2. Si se igualan las
pendientes, obtenemos
e” = 2 a=ln2
Por lo tanto, el punto requerido es (a, e”) = (In 2, 2). (Fig. 9.)
1. (a) iC6mo se define el mimcro e?
ih) Use una calculadora para estimx 10s valores de
10s limiter
,im 2.7” ~- 1
Y
li,,, 2.8” - 1
if--o h h-0 h
AJI~~CIOS hasta dos decimales. iQu6 puede
mncluir acerca de1 valor de e?
2. ia) Grafique a mano la fun&n f (n) = 8, poniendo paticular
atenci6n a la forma en que esa grafica cruza el eje y. iQu&
hecho le permite hater esto
cb) iQu6 tipos de funciones son f (x) = 8 y g(x) = x’? Cornpax
las f&mulas de derivacihn para f y g.
s c.1 ~Cual de las dos funciones de1 incise b) crew con mayor
rapider cuando x es grandc?
Derive la funcihn.
3. j\xj=5n- I 4. F(x) = -4x’”
5. f(x) = 2 + 3x - 4 6. g(r) = 5x8 - 2x’ + 6
7, y = x~2ii 8. y = 5e” + 3
9. V(r) = ; d 10. R(l) = St-“5
11. Y(t) = 6~~’ 12. R(x) = @
x’
13. F(x) = (16x)’ 14. y=$
15. Y(X) = 2 + 1
2
16. f(t) = Ji - 5
,,, ) = L2 + 4x + 3 x1-2&
J; ‘8.y= x
19. , = ix + 2e’ 20. y=JF(x- I)
21. ” = 472 yj, y = x*/3 - x2/1
23. j = (ix2 + bx + c 24. ,=A+;
25. > = x + $7 26. u=+‘F+zfl
27. “=x>h++--
x&P
28. y = er+’ + 1
Encuentre~ ‘(x). Compare las gr&as defy f ’ y dselas
para exphcar por quB su respuesta es razonable.
29. f(x) = 2x* x4 30. f(x) = 3x1 20x” + 50x
31. f(l) _ 3x15 5x’ + 3 32. f(I) = x + +
33. f(x) = x -- 3.x”’ 34. f(x) = x2 + 2e
(a) Amplifique la gr&ica def(x) = ,F y estime el valor
def ‘(2).
@) Use la regla de la potencia para hallar el valor exacto
de f ‘(2) y comptielo con su estimacidn de1 incise a).
(a) Amplilique la gr6fica de f (x) =x2 2e’ y estime el valor de
f ‘(1).
(b) Encuentre el valor exacto de f ’ (1) y comptielo con su
estimaci6n de1 incise a).
,.: :‘I Encuentre una ecuaci6n de la recta ttmgente a la curva dada
en el punto especificado. Ilustre graficando la curva y la tangente en
la misma pantalla.
37.
38.
39.
40.
41.
y=.++, (2,4)
.__ 42.
43.
44.
45.
_$ 46.
47.
y = x5”, (4, 32)
y=x+J;, (La
y = 2 + 22, (0.2)
(a) Use ma caiculadora gratificadora o cumpuudora paia
graficar la funci6n cn la pantalla, f(x) = x4 3x1 - 6x’ i-
7x + 30 en la pantalla [m3, 51 por I-10, 501.
(b) Utdizando la grafica de la park (a) para estimar
pendientes haga un bosquejo dc la gr.&a de f ‘.
(ver el ejemplo 1 de la secciirn 2.9).
(c) Calcule f’(x) y user esta expreci6n con una grahcadurd
pam graficar / ‘. Compare con su bosquejo de la pate b)
(a) (a) Use una calculadora graiicadora o una computadora para
graticar la funcidn q(x) = rl 32 en la pantaila [m 1, 41 por
18, 81.
ib) Usando la g&c.? de la pa& (a) para estimar pendiente,
haga usted un bosquejo a mano de la g&ica de 9’ (v&se el
ejemplo 1 de la seccidn 2.9).
(c) Calcule q’(x) y use esta expresi6n junta con una graficadora
p.m graficar 9’ (compare con su bosquejo de1 incise (b)
Encuentre 10s puntos sobre la cuva y = x’ x2 x + I donde la
tangente es horizontal.
i,Para w&s valores de x la gr6fica de
f(x) = 2x3 3x2 - 6x + 87 tiene una tangente horizontal?
Demuestre que la CUIYB y = 6.S + 5x - 3 no tiene recta tangenre
con pendiente 4.
iEn cuti punto sobre la curva y = 1 + 2t? 3x la recta tangente
es paralela a la recta 3x-y = 5? Ilustre trazando las g&icas de
la curva y lx dos rectas.
Dibuje un diagrama pam mostril~ que hay dos recta tangentes a
la parabola y =x2 que pasan por el punto (0, -4). Encuentre las
coordenadas de 10s puntos donde estas rectas tangentes se
cmzan con la parttbola.
Encuentie las ecuaciones de las dos rectas que pasan por elpunto (2, -3) que son tangentes a la patbola y = x2 + x.
La recta normal a una mrva C, en un punto P, es, par defini-
cidn, la recta que pass por P y es perpendicular a la recta
tangente a C en P. Encuentre una ecuaci6n de la recta normal a
,a p&b&y = 1 - 9, en el punto (2, -3). Grafique la parttbo1.e
y S” recta normal.
&La recta normal a la parfibola y = x-x’ en el punto (I, O),
cmza con la misma par&b& una segunda vez? Ilustre con un
esquema.
Aplique la definici6n de derivada para demostrar que si
f(x) = l/x, entoncesf’(x) = - l/x’. (Con ato se prueba la regla
de la potencia para el case n = -1.)
Encuentre una par&b& que tenga la ecuaci6n, y = a9 + bx y
cuya tangente en (1, 1) tenga la ecuaci6n y = 3x - 2.
Sea
f(x) = 2 - x
i
sixS1
x2-2x+2 six>1
,,a, derivable en el valor l? Haga Ias @icas
defyf’.
En quC nlimero es derivable la funcidn g que sigue
g(x) =
i
-1-2.x six<-1
x2 si -lrzxSl
x si.r>l
De una fkmula para g’ y haga las .@icas de g y g’
55.
56.
51.
58.
59.
60.
61.
62.
f(x) = I 2 9 I? Encuentre una f6rmula pan f ‘.
(b) Haga las &&as defy f ‘.
iEn qu6 valores es derivable la funci6n
h(x)=~x-l~+Ix+2~?D~unaf6~ulaparah’yhagalas
grtdicas de h y h’.
iPam qu6 valores de a y b es la recta, 2x + y = b tangme a la
par&b&, y = a.$ cuando x = 27
Sea
f(n) = xi
six<2
mx+b six>2
Encuentre 10s valores de m y b para que f sea derivable en
todos 10s puntos.
Encuentre una funci6n ctibica, y = ari + b xi + a + d
cuya grfifica tenga tangentes horinzontaies en 10s puntos
(236 Y (2,O).
Se traza una recta tangente a la hip&bola q = c, en un
punto P.
(a) Demuesue que el punto media de1 segmento rectilineo cor-
tado de esta tangente par 10s ejes coordenados es P.
(b) Demuestr? que el ui&ngulo formado por la recta tangente y
10s ejes coordenados siempre tienen la misma tiea, sin
importa en d6nd.e estk P sobre la hipkrbbnla
Dibuje un diagrama en que se muestren dos recta perpendxu~
lares que se cmcen sobre el eje y y que scan tangentes a la
pantbola y = x2. i,Dbnde se cortan estas rectas?
I “. 3.2 Reglas de1 product0 y el cociente .s.-A..>.,. ‘.‘.~j*.~~~“_,~~~/l_ _.*... 1 .,,. *. .a:_
Las f6rmulas de esta secci6n permiten derivar nuevas funciones formadas a partit de ante-
riores, por multiplicaci6n 0 divisi6n.
Geometria de la regla de1 producto
1, Regla de1 producto
Por analogia con las reglas de la suma y la diferencia, podria sentirse la tentaci6n de pre-
sumir, coma Leibniz lo hizo hate tres siglos, que la derivada de un producto es cl product0
de las derivadas. Sin embargo, podemos ver que eta suposici6n es err6nea al considera
un ejemplo particular. Sea f(x) = x y g(x) = x2. Entonces la regla de la potencia da
f’(x) = 1 y g’(x) = 2x. Per0 (fg)(x) = x3, de mode que (fg)‘(x) = 3.x’. Par tanto,
La f6rmula correcta fue descubierta por Leibniz (poco tiempo despu6s de su
false inicio) y se llama regla de1 producto.
Antes de enunciar la regla de1 producto, veamos c6mo podrfamos descubtila. En el
case donde tanto u = f (n) coma o = g(x) son funciones positivas, podemos interpreter el
producto uv coma un tiea de un rectingulo (Fig. 1). Six cambia una cantidad An, entonces
10s cambios correspondientes en u y v son
Au = f(x + Ax) -f(x) Au = g(n + Ax) - g(x)
y el nuevo valor de1 producto, (u + Au)(v + Av), se puede interpreter coma el tiea de1
recthngulo grande la figura 1 (siempre que Au y Au scan positives).
El cambio en el tiea de1 rectingulo es
A(u) = (u + Au)(v + Au) - cm = u Au + u nu + AU Au
= la suma de las tres tieas sombreadas
Si dividimos entre Ax, obtenemos
Hecue,& qtie en la notac16n de
Leibmz la definict6n de dewadas se
A(w) Au AU AL
~=u~+u~+Au~
AX
Si ahora hacemos que Ax + 0, obtenemos la derivada de uv:
(Advierta que AU ---f 0 cuando Ax + 0 puesto quefes derivable y. por lo tanto, continua.)
Aun cuando se parti de la hip6tesis (para la interpretaci6n geom&rica) de que todas
las cantidades son positivas, observamos que la ecuacidn 1 siempre es verdadera. (El age-
bra es v&lida si u, v, Au, y Au son positivas o negativas.) De mode que hemos probado la
ecuaci6n 2, conocida coma regla de1 producto, para todas las funciones derivables u y u.
l:, !, :;5, Si tanto f como 9 son diferenciables, entonces
$ Wdsb)l = f(x) $ [SC41 + SW $ [fb)l
En p&bras, la regla de1 producto cxpresa que la derivada de un products de dosfun-
ciones es la primera funcidn multiplicada par la derivada de la segunda. mds la segunda
funcidn multiplicada pm- la derivada de la primera.
EJEMPLO 1 Una compafiia telef6nica desea estimar el ntimero de lineas nuevas de
telkfonos residenciales que necesitan instalar durante el mes venidero. A principios de
enero de 1999, la compafifa tenia 100,000 suscriptores, cada uno con (en promedio) 1.2
lineas telef6nicas. La compaiifa estim6 que sus suscriptores es&ban aumentando a raz6n
de 1,000 menwales. Al hater un escmtinio entre SW suscriptores existentes, ha116 que
cada uno pretendfa instalar un promedio de 0.01 lfneas telef6nicas nuevas para fines de
enero. Estime el ndmero de lineas nuevas que la compatifa tendrri que instalar en enero,
1999, calculando la tasa de crecimiento de las lineas a principios de1 ma.
Sean s(t) 10s suscriptores y n(t) la cantidad de lfneas telef6nicas por suscriptor
en el tiempo t, donde t se mide en aios y t = 0 corresponde al inicio de 1999. Entonces
el nfimero total de lfneas se express por
L(t) = s(t)n(t)
tri lb +lgUla 2 be rnue*tian ,as grail-
cas de la funclbn f del ejemplo 2 y su
dewada /‘. Advierta que f’(x) es posi-
tiva cuando f crece y negativa cuando f
dism,nuye.
y deszamos halIar L’(O). Segtin la reglgla de1 producto, tenem~s
L’(t) = $ [s(t)n(t)] = s(t) $ n(t) + n(t) $ s(t)
Se nos da que s(O) = 100,000 y n(0) = 1.2. Las estimaciones de la comptiia referentes
a las tasas de incremento son que s’(O) = 1,000 y n’(O) = 0.01. Por consiguiente,
L’(0) = S(O)“‘(O) + n(O)s’(O)
= 100,000’ 0.01 + 1.2 1000 = 2200
La comptiia necesita instalar unas 2,200 lineas nuewx durante enero de 1999.
Advierta que 10s dos tkminos que surgen de la regla de1 producto vienen de diferentes
fuentes: suscriptores antiguos y snscriptores nuwos. Una contribucidn para L’ es el
nthnero de suscriptores existentes (10,000) multiplicado por la raz6n en que ordenan
nuevas lineas (alrededor de 0.01 por suscriptor mensuahnente). Una segunda contribuci6n
es el ntimero promedio de lineas por suscriptor (1.2 a principios de1 mes) mnltiplicado por
la tasa de incremento de 10s suscriptores (1,000 al mes).
EJEMPLO 2 Si f(x) = xe”, encuentre f’(n).
i’,. Por la regla de1 producto, tenemos
f’(x) = $ (xc”) = x; (e”) + e^ ; (1)
= xez + ez 1 = (x + 1)e’
tJEMPLO 3 Derive la funci6n f(t) = 4 (1 - r).
‘C,[^ 3, Si se aplica la regla de1 producto, tenemos
f,(t) = J; $ (1 - t) + (1 - t) 2 J;
= Ji(-1) + (1 - r) ‘it-“*
=-$+$LLL$L
‘_‘~ ‘: < Si, en primer lugar, usamos las leyes de 10s exponentea para volver a
escribirflr), entonces podcmos proceder directamente, sin aplicar la regla de1 producto.
f(t) = J; - tJ; = t’iZ - 912
f’@) = $I/2 - p/z
la cual equivale a la respuesta de la soluci6n 1.
En el ejemplo 3, se hate ver que a veces es miis ftkil simpliiicar un product0 de fun-
ciones que utilizer la regla de1 producto. Sin embargo, en el ejemplo 2, eta regla es el
dnico m&odo posible.
EJEMPLO 4 Si f(x) = &g(x), donde g(4) = 2 y g’(4) = 3, encuentre f’(4)
StCr,“n A.2 REGLAS DEL PRODUCT0 Y EL COCIENTE 0 18.3
SI se aplica la regla de1 producto, obtenemos
f’(x) = $ M s(x)1 = J; -$ rsb91 + g(x) 2 [&I
= J; g’(x) + g(x) ; x -m
s(x) = &g’(x) + -
245
Par lo tanto
f’(4) = dTg’(41 + $$ = L 3 + & = 6.5
Regla de1 cociente
Suponga que f y 9 son funcionesderivables. Si establecemos la hip&&s previa de que la
funci6n cociente F = f/g es diferenciable, entonces no es dificil hallar una fkmula para
F’ en tkminos de f’ y g’.
Dado que F(x) = f(x)/g(x), podemos escribir f(x) = F(x)g(x) y aplicar la regla de1
producto:
f’(x) = F(.M4 + g(W(x)
Si se resuelve esta ecuaci6n pam F’(x), obtenemos
F,(x) = f’(4 - F(&iM =
d-d s(x)
= sww -f(.dg'(x)
k7w
c > f(n)‘= s(.df'(d -f(dg'(x) s(x) klw
Aun cuando la f6rmula se. dedujo suponiendo que F es derivable, se puede probar sin
esta hip6tesis (v&w el Ejerc. 44).
Si tantofcomo g son derivables, entonces
En p&bras, en la regla de1 cociente se express que la derivada de un cocienre es el
denominador multiplicado par la derivada de1 numerador; menm el numerador multipli-
cadopor la derivada de1 denominadol; todo dividido entre el cuadrado de1 denominador.
La regla de1 cociente y las otras f6rmulas de derivacidn permiten calcular la derivada
de cualquier funci6n rational, coma se ilustra en el ejemplo que sigue.
= (x’ + 6)(2x + 1) - (x’ + x - 2)(3x’)
(x’ + 6)2
~ (2x4 + x3 + 12x + 6) (3x’ + 3x’ - 6~‘)
(x’ + 6)2
-xi 2x’ + 6x2 + 12x + 6
(x’ + 6)”
b Encuentre una ecuacidn de la recta tu~g~ntr: d la LXT\B y = r’/(l + x’)
. 0 (L42.
De acuerdo con la regla de1 cociente, tenemos
dr ~
(I + x’) $ (e”) ~ e=$ (1 + h‘)
dx (1 + x2)2
= (1 + n’)eX - 8(2x) e’(1 - 1)’
(1 + .y = (1 +x2)*
De modo que la pendiente de la recta tangente en (1, e/2) es
dy’ e.
dx 1=1
Esto significa que la recta tangente en (1, e/2) es horizontal y su ~~1acn51~ cs J = e/2. jV&sz
la Fig. 4. Advierta que la fun&n es creciente y que cmza su recta tangente en (I, e/2).1
NOTA q No utilice la regla de1 cociente cada vez que vea un cocmm A veces, tb m&
fkil volver a escribir un cociente pan ponerlo en una forma que sea m&s sencilla para 10s
fines de derivaci6n. Pot’ ejemplo, sun cuando es posible derivar la fun&n
F(n) =
3x2 + 2&
x
aplicando la regla de1 cociente, es mucho III& fkil dividir ptimero y esxbn la ~~ILXXI
corn0
F(x) = 3x + 2x-l”
antes de derivar.
32 Ejercicios
1. Encuentre ,a derivada de y = (x’ + 1)(x> + I) de dos maneras:
aplicando la regla de1 producto y efectuando primer0 la
multiplicacibn. iConcuerdan s”s resultados?
z. Encuentre la derivada de la funcidn
F(x) =
x-3x&
.h
de doa mancras: aplicando la regla de1 cociente y simplifictidola
primero. Muertre que concuerdan s”s respuestas. ~Quut mttodo
pretiere?
Derive la funci6n.
21. ,(I, = 2
X+4
x
ar+b
22. f(x) = cxfd
i: iii Escriba um ecuacx5n de la tangate a la cwva en cl punro
dado.
2x
23. y=-
x+ 1 (1, 1)
24. y=-, .vi;, (4,0.4)
25. ,b = he', [O,O) 26. y= $, (1,e)
27. (a) La CUIY~ y = l/(1 + x’) se llama bruja de Maha Agnesi.
Encuentre una ecuacidn de la recta tangente a esta c”rva en
elpunto(-1,;).
Lb) Ilustre el incise a) trazando las gr8icas de la c”nw. y la recta
tangente en la misma plantilla.
26.
26.
30.
31.
32.
33
34
(a) La CUIW y = x/(1 + x’) se llama serpentim. Encuentre
una ec”aci6n de la recta tang&e a esta c”rva en el punto
(3, 0.3).
(b) Ilustre el incise a) trazando las grticas de la c”rva y la recta
tangente en la misma pantalla.
(a) Si f(x) = e’/x’, halle f’(x).
(b) Compruebe que s” respuesta al incise a) es razonable, corn-
panmdo las graficas defy f'.
(a) Si f(x) = x/(x' - l),balle f'(x).
(b) Compmebe que s” respuesta al incise a) es razonable, com-
parando las g~ttficas de f y f '.
Suponga que f(5) = 1, f’(5) = 6, g(5) = -3, y g’(5) = 2.
Encuentre 10s valores de (a) (fg)‘(5), (b) (f/g)‘(S), y (c) @/f)‘(S).
Si f (3) = 4, g(3) = 2, f ‘(3) = -6, y g’(3) = 5, halle 10s
ndmeros siguientes:
(a) (f + d’(3) (b) (fg)‘(3)
(cl (fld’(3) f ‘(3) (d) f - 9 i )
Si f(x) = @q(x), donde g(0) = 2 y g’(0) = 5, halle f ‘(0).
Si h(2) = 4 y h’(2) = -3, encuenk
d h(x)
( )I dx x r=z
35. Si f y cj son las funciones cuyas gr&ficas be m”cstmn, Sean
44 = f (X)S(~) Y u(x) = f (add
(a) Encuentre u’(1). (b) Encuentre u’(5).
36.
37.
Si f es una funci6n derivable, encuentre “na expres~in pam la
derivada de cada ““a de la siguientes funciones:
(a) Y = x’f (x) (b) y = 9
En ate ejercicio, e~t~munos la tasa a que se esti elevando 21
ingreso personal total en el drea metropolitana de Miami-R
Lauderdale. En julio de 1993, la poblaci6n de esta tiesea era de
3,354,OOO y crecia a razdn de “nas 45,000 personas por 60. El
ingreso anual promedio fue de 21,107 d6lares per cdpita y ate
promedio aumentaba alrededor de 1,900 d6lares por afio (bien
por arriba de1 promedio national de alrededor de 660 ddlares al
aiio). Aplique la regla de1 producto y estos valores para &mar
ia ubd d id que .xccia 4 mgreso personal total en Miami-I+
Lauderdale, en julio de 1993. Explique el significado de cada
tCrmino en ,a regla de1 producto.
38. Un fabricante produce roll05 de una tzla con un ancho fijo. La
cantidad 4 de esta tela (medida en yardas) la vende en
funci6n del precio de venta p (en d6lares par yarda), de mode
que podemos escribir 4 = f (p). Entonces el ingreso obtenido
con el precio de ventap es R(p) = pf (p).
(a) i.Qd significa deck que S(20) = 10,000 y
f’(20) = -350?
(b) ~omr 10s valores que se dan en el incise a), encurntre R’(20)
e interprete S” iespuesta.
39. bCu<as rectas tangems a la C”rYa y = x/(x + 1) pasan por el
punt” (I, 2)? & cuBles puntos estas tangelm tocan la curva?
00. Encuentie las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva
y = (x - 1)/(x + 1) que Sean paralelas a la recta x - 5 = 2.
41. (a) Utilice la regla de1 product0 por dos veces para probar que si
f, y, y h son diferenciables, entonces
(fgh)’ =f& + fg’h + fgh’
ib) morns f = y = h en el incise a) y demuestre que
$ [f(r)J’ = 3wdl’f’(~,
42. (a) Aplique la definicihn de derivada para probar la &a de1
reciproco: Si 9 es diferenciable, entonces
(b) Aplique la regla de1 reciproco para deriva la iuncl6n do1
ejercicio 19.
43. Utilice la regla de1 reciproco para comprobar que la regla de
la potencia es vtiida para 10s enteros negatives; es deck
para todos 10s enteros positivos n.
44. Aplique las regias del producto y de1 reciprocu para probili La
regla de1 cocienfe.
3.3 Razones de cambio en las ciencias naturales y sociales ,,
Recuerde -pa lo vista en la secci6n 2.8- que si y = f(x). entonces la derivada dy/dx
se puede interpretar coma la ran511 de cambio de y con respecto an. En esta seccidn exa-
minaremos algunas de las aplicaciones de esta idea a la fisica, la quimica, la biologia, la
econoda y ottas ciencias.
Con base en la secci6n 2.7, recordemos la idea b&ica que se encuentra detras de la:
razones de cambio. Si x cambia de x1 a x1. entonces el cambio en x es
y el cambio correspondiente en y es
Ay =f(xd - fbi)
m,* = ran% promedio de cambio
n, = f’ (x,1 = rar6n inatadnea de
de cambio
El cociente de diferencias
ay = f(a) - SbJ
AX x2 - XI
es la ran511 promedio de cambio y con respecto ax sobre cl inrervalo [x,, xz] y be
puede interpreta come la pendiente de la recta secante PQ de la figura 1. Su limit%
cuando Ax + 0 es la derivada f’(xJ, la cual, par lo tanto, puede interpretarse coma la
ran511 insta&nea de cambio de y con respecto a x, o sea, la pendiente de la recta
tangente en P(x,,f(x,)). Si se usa la notaci6n de Leibniz, escribimos el proceso en la
forma
S:lempre que la funciCln y = ,f(x) tenga una interpretaciCln especifica en una dr las ciencias,
su derivada tendra una interpretaci6n especifica coma raz6n de cambio. (Coma se analir6
en la Sec. 2.7, las unidades de dy/dx son las unidadec correspondientes a y divididas entre
las de x.) Veamos ahora algunas de estas interpretaciones en las ciencias nanxales y
sociales.
FisicaSi s = f (t) es la funci6n de posici6n de una particula que se mueve en linea recta, enronces
As/At representa la velocidad promedio en un periodo At, y v = dsjdt representa la
velocidad instant&xa (la razbn de cambio de1 desplazamiento con respecto al tiempo).
Esto se vio en las secciones 2.1 y 2.8; pero ahora que conocemos las fCIrmulas de
derivacibn, somos capaces de resolver 10s problemas de velocidades con mayor facilidad.
“I,: j La ecuaci6n que sigue da la posicidn de una particula
s =f(r) = t3 - 6~’ + 9t
donde I se mide en segundos y s en metros.
(a)Encuenrre la velocidad en el instante t.
(b)iCuBl es la velocidad despuks de 2 y 4 S?
(c);Cuindo esti en repose la puticula?
(d)iCuBndo se mueve hack adelante (es decir, en direcci6n posiuvaj?
(e)Dibuje un diagrama que represente el movimiento de la particula.
(f) Encuentre la distancia total recorrida por la partfcula durante 10s cinco pnrncrub xgundus.
(a) La funcidn velocidad es la derivada de la funci6n de posici6n
s =f(t) = t' 6t2 + 91
(b) La vzlncidad despuCs de 2 .r significa la velocidad insranr.kea cuandr, I = 2. e\ dez~
42) = $ = 3(2)’ - 12(2) + 9 = -3 m/s
La velocidad a 105 4 segundos es
v(4) = 3(4y - 12(4J + Y = Y m/s
(c) La particula at8 en repose cuando u(t) = 0, esto es,
3t2 - 12t + 9 = 3(? - 4t + 3) = 3(t - l)(J 3) = 0
y esto se cumple cuando f = 1 o I = 3. De donde, la particula esta en repo\r> dcapu& de
1 s y despuCs de 3 s.
(d) La pakula se mueve en direccidn posit& cuando u(t) > 0, es deck
3f2 122 + 9 = 3(r I)@ - 3) > 0
Esta desigualdad se cumple cuando ambos factores son positives (r > 3) o cuandu Ia
dos son negatives (t < 1). Por tanto, la paxticula se mueve en direccidn positiva en
10s periodos t < 1 y f > 3. Se mueve hack at& cuando 1 < t < 3.
1=3
S=O
(e) En la figura 2, se esquemat,za el movmnento de la particula.
(f) En virtud de lo que vimos en 10s incises (d) y (e), necesitamos calcula las dx~~~ua~
recorridas durante 10s periodos [O, 11, [1, 31 y [3, 51, por separado.
La distancia recorrida en el primer Segundo es
t=o
s=o
if(l) -f(O) / = j 4 - 01 = 4 m
De f = 1 a t = 3 la distancia reconida es
/f(3) -f(l) 1 = 10 4 / = 4 “I
De t = 3 a f = 5 la distancia reconida es
lf(5) -f(3) = 120 - 01 = zom
La distancia total es 4 + 4 + 20 = 28 m.
: ), E (8, ,i ;. ; :? Si una vanilla o un trozo de alambre son homog6nneo.x entonctb su denw
dad lineal es unifomx y se define coma la mass por unidad de longitud (p = m/l) y se
mide en kilogramos pm metro. Pero suponga que la willa no es homogknea sino que su
masa medida desde su extrano izquierdo hasta un punto x es m = f (x) coma se muestra
en la figua 3.
I
Esta pate de la varilla tiene masa f(x)
I I I
x1 12
La mass de la pate de la varilla qne se encuentra entre x = n, y x = xz se cxpresa
con Am = f(x2) - f(xl), de modo que la densidad promedio de esa seccirin es
Am
coniente promedio = - =
f(n) - fbi)
AX x* ~ XI
Si ahora hacemos que Ax + 0 (es decir, x2 +x1), calculamos la densidad promedlo
sobre un intervalo cada vez m& pequefio. La densidad lineal p en x1 es el lfmite de
estas densidades promedios cuando Ax + 0, es decir, la densidad lineal es la r&n de
cambio de la masa con respecto a la longitud. En forma simbdlica,
Asi entonces, la densidad lineal de la varilla es la derivada de la mass con respecto a la
longitud.
Por ejemplo, si m = f(x) = &, en donde x se mide en metros y m en kilogramos,
entonces la densidad promedio de la pate de la vailla dada por 1 s x s 1.2 es
Am
AX
f(1.2) -f(l) = m - 1 ? o,48 kg,m
1.2- 1 0.2
en tanto que la densidad en x = 1 es
&?I 1
p=dr.=, I I =2J; ==, = 0.50 kg/m
EJtMPLU 3 Hay corriente siempre que la& cargas elkzricas se mueven. En la figura 4
se muestra pate de un alambre con electrones que cruan una superficie plana
sombreada. Si AQ es la carga neta que pasa por esta superficie durante un periodo At,
entonces la corriente promedio durante este intervalo se define coma
corriente promedio = 2 = 9: 1 f1
Si tomamos el limite de esta corriente promedio sobre lapsob n&s y ~a) brevea
obtenemos lo que se llama corriente I en un instante dado fi:
Par tanto, la corriente es la rapider con que la carga fluye pur una supcrtxx. SC tmdc en
unidades de carga por unidad de tiempo (a menudo coulombs por Segundo, llamados
amperes).
La velocidad, la densidad y la corrienre no son las umcas ruones de camblo de import
tancia para la ffsica. Otras incluyen la potencia (la rapidez a la curd se realiza trabajo), la
rar6n de flujo de calor, el gradiente de temperatura (la raz6n de cambio de la temperatura
con respecto a la posici6n) y la tasa de desintegracidn de una sustancia radiactiva en la
ffsica nuclear.
Quimica
EiErMI'LO 4 Una reacci6n quimica genera una o m&s SUS~~IC~I~ (Ilamada& pruducwb) a
partir de uno o m& materiales de arranque (reactivos). Por ejemplo, la “ecuaci6n”
2H2 + 02 --------) 2H20
indica que dos mol&ulas de hidr6geno y una de oxigeno forman dos moMc&s de aqua
Consideremos la reacci6n
A+B+C
donde A y B son 10s rcactivos y C es el producto. La concentracich dc UII r~a~‘t~u
A es el nlimero de moles (6.022 X 10” mokulas) por litro y se denota con [Al. La con-
centraci6n varfa durante una reacci6n, de modo que [A], [B] y [Cl son funciones
del tiempo (t). La velocidad promedio de reacci6n del producto C durante un periodo
fl s t s t2 es
NC1 _ [Cl(h) - [‘%I)
At t2 - t1
Pero 10s quimicos tienen m& inter& en la velocidad instantzinea de reacc%n, ia a~ai x
obtiene tornado el lfmite de la velocidad promedio de reacci6n conforme el intervalo Ar
tiende a 0:
UC1 ~ d[Cl velocidad insttitanea de reacci6n = lim ~ - -
I,-o Ar dt
Puesto que la concentraci6n de1 producto aumenta a medida que la reacci6n avanza, la
derivada d[C]/dr s&I positiva (Puede ver intuitivamente que la pendiente de la tangentc
a la gr&ica de una funci6n creciente es positiva.) Luego la velocidad de su acci6n de C
es posmva. Sin embargo, las concentracwnes de 10s rcactivos dismmuyen durante la
reacci6n; par lo tanto, para que las velocidades de reaccidn de A y B scan nfimeros
positives, ponemos signos negatives delante de las derivadas d[A]/dt y d[B]/dr. Dada
que [Al y [Bl disminuyen con la misma rapidez que [C] crece, tenemos
d[Cl d[Al d[Bl velocidad instant6nea de reacci6n = ~ = - - = ~ _
dt dr dt
De mode mb general, resulta que para una reacci6n de la forma
aA + bB -cC+dD
1 &Al 1 d[Bl 1 4’3 1 d[D] --~=-bdr=cd2=--
a dt d dt
La velocidad de reacci6n se puede determiner con mktodos grSicos (vbase cl
ejercicio 20). En algunos cases, podemos user la velocidad de reacci6n con el tin de
hallar fkmulas explicitas pam las concentraciones como funciones de1 tiempo
(v&me 10s Ejercs. 9.3).
‘rJEN’P?:: 5 Una de las cantidades de inter& en la terrnodin&nica es la
compresibilidad. Si una sustancia dada se mantiene a una temperatura constante,
entonces su volumen V depende de su presi6n P. Podemos considerar la r&n de
cambio de1 volumen con respecto a la presibn: a saber, la derivada dV / dP. Cuando P
wee, V decree, de modo que dV,dP < 0. La compresibilidad se define al
introducir un signo menus y dividir &a derivada entre el volume” K
compresibilidad intema = p = - $ g
Por lo tanto, /3 mide cuiin ripido, par unidad de volume& decrece el volumen dr una
sustancia a medida que la presi6n aumenta, a temperatnra constank.
Por ejemplo, se encontr6 que la ecuacidn relaciona el volumen V (en metros
chbicos) de una muestm de aire a 25 “C con la presi6n P (en kilopascales).
La raz6n de cambio de V con respecto a P, cuando P = 50 kPa, es
La compresibilidad a esa presi6n es
1 dV 0.00212
P=--- V dP p=so
= - = 0.02 (m3/kPa)/m’
5.3
lo
Biologia
Sea II = f(t) el nhmero de individuos de una poblaci6nde animales o
:U en el tiempo f. El cambio del tamaio de la poblaci6n entre 10s tiempos r = f, y
f = 11 es An = ,f(t:) -f(r)), de modo que la tasa promedio de crecimiento durante el
period” f, < f < f2 es
An
tasa promedio de crecimiento = I\t = f(h) -.fb)
12 - f,
La tasa instantha de crecimiento se obtiene a panir de esta tasa promedio al hater que
el period” At tienda a 0:
An dn
tasa instantkvsa de crecimiento = Jill, It = z
En tCnninos estrictos, esto no es muy exacto porque la gr&a real de una funcidn de
poblaci6n n = ,f(t) serfa una fun&n escaldn que es discontinua siempre que ocurre on na-
cimiento o una muene y, por lo tanto, no es diferenciable. Sin embargo, para una pohlacidn
grande de animales o plantas, podemos reemplazar la gr&ica con una curva lisa de aproxi-
maci6n (Fig. 5).
Una cum3 lisa es una aproxnnacidn
a una funckin de crecimiento
Para xr mzk especificos, considere una poblaciirn de bactenas en un medio nummvo
homogeneo. Suponga que. por media de la toma de muestras de la poblaci6n a ciertos
intervalos. se determina que esa poblaci6n ce duplica cada horn. Si la poblnci6n initial es
no y el tiempo f se mide en horas, entonces
f(I) = 2f(O) = 2rl”
f(2) = ?f(l) = 2%,1
f(3) = ?f(Z, = l’nrr
y en general,
f(r) = 2’no
La funcidn de pohlacidn es n = ni,Z’
202 3 ca
En la recciSn 1.1 analiramos lx derivadas de las funciones exponenciales y encon-
traln”S que
; (2’) = (0.69)2’
Por lo tanto, la tasa de crecimiento de la poblaci6n de bacteria. en el tiempo i. es
2 = i (~2’) = n,i(0.69)2’
Par ejemplo, suponga que se parte con una poblaci6n initial de nn = 100 bacterias.
Entonces. la tasa de crecimienro de?pu& de 4 horas es
dnl
dr Ii-,
= 100(0.69)2’ = I I04
Esto signitica que, despu& de 4 horas. la poblaci6n de bacterias crew a rar6n de unas
I IO0 bacterias por hon.
Cuando consideramoq el flujo de la sangre por un vase wnguineo. en
una vena o ma arteria. podemos tomar la forma de este vase corn” el de un tubo
cilindrico con radio R y longitud I (Fig.6).
Debido a la fricciSn en las paredch del tuba, la velocidad u de la \anyre es maxima
a lo lqo del eje central del propio tubo y decrece conforms aumenta la distancia r
del eje. hasta que v se vuelve 0 en la pared. La ley del flujo laminar dwxbierta por
el fisico franc& Poiseuille en 1840. express la relaciCln entre ~1 y I. En &I se afimu
ve
donde TJ e\ la viscosidad de la sangre y P es Ia diferencia en la presi6n entre lo\
extremes del tuba. Si P y I son conaantes, entonces II es funci6n de r. con dominio
[O. RI. [Para una infomxci6n mis detallada. v&w W. Nichol\ y M. O‘Rourke (edts.)
McDonuid’s Blood F/m in Arteries: Theoretrc. E.qrrinwntnl, md Cl~nicoi
Prin+ie.~. 3a. ed. (Filadeltia: Les & Febiger. 199tI.j
La raAn promedio de cambio de la velocidad. cuando nos movemos de r = r,
hacia afuera, hasta r = I: es
Arv u(c) - u(r,l
Ar i-2 - I,
y zi hacemos que Ar - 0, obtenemos el gradiente de velocidad, que es la rar6n
in\tantinea de cambio de la vclocidad con rapecto a r:
gradiente de velocidad = !f~,, $ = $
Con la ecuacidn I obtenemos
Para una de lx anerias humana, m& pequefias, podemos tomar 7 = 0.027, R = 0.008
cm, I = 2 cm. y P = 4,000. dinasicm*, lo cual de
4.000
= 4(0.027)2
(0.000064 - r2)
= 1.85 X lO’(6.4 X IO-‘ - r’)
En r = 0.002 cm. la sangre fluye a una velocidad de
~(0.002) = I.RS X lO’(64 X 10~” - 4 X 10~“)
= I.1 I cm/s
y el gradientc dc velocidad en ese punto e‘;
Para tener una idea de lo que e\lo significa. cambicmos nuestras unidades de cen-
timetros a micr6metros (I cm = IO.000 ,~rn). Entonces el radio de la nrteria es de 80 /~m.
La velocidad en et eje central e\ de I I.850 pm/s. la cual disminuye hasta I I, I IO pm/\ a
una distancia de r = 20 wm. El hecho de que dl’/ilr = -74 (p*m/\)/@m significa que
cuando I’ = 20 ~rn, la velocidad disminuyr a rardn de mjs o menor 74 &m/s par cada
micrdmetro que no~ alqjemos del centro.
Economia
Suponfa que Cki es el costo total en que una compafiia incurre al pro-
duck x unidades de cierto articulo. La funcikl C se llama funci6n de costo. Si el
nlimero de articulos producidos se incrementa de .I, hxta .x2, el costo adicional e\
AC = C(x:) - C(.r,). y la ran511 promedio de cambio drl costo es
[Coma x suele loo& ~610 \alorr\ enteros. quiG no tenga sentido hacrr que Ax tienda a
0, pero siempre podremo\ reemplazar C(x) con una funciSn lka de aproximacidn. coma
en el Ejem. 6.1
Si se toma AI = I y II grande (de mode que AY sea pequeiio en comparaciCln con n).
tenem”S
Entonces. el costo marginal de producir n unidades e\ aproxlmadamenre 1gua1 al costo de
elaborar una unidad m8s [la (n + I) .&ma unidad].
A menudo. resulta apropiado representa una funci6n de costo total con on polinomio
C(x) = a + b.r + cx' + dxx'
donde a representa el costo de 10s gastos generales (renta. calefaccidn. man~enmuenro~ 1
Ios dem& tCmkms. el costo de las materias prima, la mano de obra. etc&era. (El co\fo
de las materias prima puede ser proportional a I, pero 10s cows de la mano de obre
podrian depender parcialmente de potencia\ mayores de I, debldo a 10s costos del
tlempo extra y de las faltas de eticiencia relacionado~ con las operacioner a gran escala.)
Por ejemplo. suponga que una compafiia ha ertimado que el c~sto (en d&ares) de
producir .x aniculos es
C(x) = 1u.000 + sx - V.“,,,
Entonces la funcidn de co~o marginal es
C’(*i = 5 + O.O?,l
El COW marginal en el nivel de producci6n de 500 articulos es
C'i500) = 5 + 0.02(500) = S15/aniaula
Esto da la rar6n a la cual ,e incrementan 10s co~tos con respecto al nivel de pmduccidn.
cuando I = 500. y predxe el costo de1 SOI-kmo artfculo.
El cost” real para producir el 501.Csimo articulo es
C(501) - C(5OOI = [l0,000 f 5!5011 + 0.01(501)~]
[l0.000 + 5lSOO1 + 0.01(5001~]
= s15.01
Adkiena que C’iSllO) = C(SO1 C(SO0).
Lo\ economistas tambkn estudian la demanda. el mgreso 1 la utilidad marginal. que
son las derivadas de las funciones de demanda, ingrsso y utilidad. &la\ \e consideran en
el capitol” 3, despu& de desarrollar las tknica para hdllar lo\ ralore\ m8ximos y mini-
mos de funciones.
Otras ciencias
La\ razones de cambio se pre\entan en todz Ias clencias. Un g&logo se intere?a en cono-
cer la raz6n a la coal una mau intmsiva de rota fundida se enfria par conduccidn de1 calor
hack las roca~ que la rodean. Un ingeniero desea conocer la razdn a la cual el agua Ruye ha-
cia adentro o hacia afuera de un dep&l[o. Un gehgrato urbane \e interesa en la razdn de
cambio de la densidad de poblacilin en una c&dad. al aumenta~ la distanan al centro de la
propia ciudad. Un meteorfilogo \e interesa par la r&n de cambio de la presidn atmos-
fkrica con rapecto a la altora. (V&se el Ejerc. IS. de la Sec. 9.4.)
En psicologia. quienes se mteresan en la teoria del aprendiaje e\tudian la curia de1
aprendizaje, la cual presenta en forma de gr6tica el rendimiento t’(t) de alguien que apren-
de una habilidad. coma funcidn de1 tiempo de capacikSm r. Tiene on inter& particular la
r&n a la cual mejora el rendimirnto a medida que pasa el tiempo: e( deck, dPldi.
En wciologia, el cBlculo diferencial se aplica al anilisis del e?parcimiento de rumore$
(o de inno\acione\. novedades o modas). Si [J(I) denote la proporci6n de una poblacidn
que conoce un rumor en el moment” r. entonces la derivada dp I dr denota la velocidad de
esparcimiento de ese rumor. (V&w? el ejercicio xc&n. 3.5.)
Resumen
La velocidad, la densidad. la corriente, la potencia y el gradiente de temperaura. en fisica:
la velocidad de reaccicin y la compresibilidad. en quimica: la tasa de crecimiento y la ve-
locidad de la sangre. en biolo@a: el cost” mar&d y la utilidad marginal. en economia: la
ran% dc flujo del calor, en geologia; la razdnde mejora del rendimiento, en psicologia, y
la velocidad de esparcimiento de un rumor, en sociologia. son cases especiales de un con-
cept” matem8tico: la deriwtda.
&ta es una ilustraci6n de1 hecho de que pate de1 poder de las matemiticas se apoya en
su abstraccibn. Un solo concept” matemkico abstracto (corn” la derivada) puede tener
interpretaciones diferentes en cada ciencia. Cuando desarrollamos las propiedades del
concept” matemAtico, de una ver y par todas, podemos regresar y aplicar estos resultados
a to&as las ciencias. Esto es much” m& eficiente que desarrollar prop&dada de concep-
tos especiales en cada una por separado. El matem&tico franc& Joseph Fourier
(1768-1830) lo expres6 de manera sucinta: “Las matemAticas comparan 10s fen6menos
m8s diversos y descubren las analogias secretas que 10s unen”.
3.3 Ejercicios
P’na particula se muew seglin la ley de movimlent” .$ = t If).
r > 0. donde i w mide en \egundo\ y r en metros.
(a) Encuentre la velocidad en el mitnnte I.
(b) ~Cuji e\ la velocldad de\pu& de 3 \?
(c) ;Cubnd” e\tA la panicula en rep”\“?
(d) ;,Cu&nd” se mueve ha& adelante!
(ei Encuentre la dlrtancia total recorrida durante Ioc
pnmeros 8 \.
cfl Dibulr un diagrama. corn” el de la figura 2. para ilustrar
el movimiento de la particular.
1. f(I) = r? - 1or + I2 2. f(r) = f3 91: + 13 + 10
3. fir, = 1' - 12' + 361 4. f(t) = r4 - 4r + I
5. s=r
1: + 1
6. s = ,?(3r' - 35r + 90)
1. La funci6n de posici6n de una panicula esta dada par
5 = I1 - 4.51' - 7f f20
;CuBndo alcanz~ la panicula una velocidad de 5 m/s?
6. Si se lanza una pelota venicalmente hack arnba con una
veloadad de 80 pies/s, entonces su alum despues de f
segundos es 5 = 801 16t’.
(al ;CuAl es la altura mdnima que alcanza la pelota?
Cbi ,,CuBI es la \elocidad de la pelota cuando rsti 96 pies arribe
del pis” en w camno hack arriba’l y Juepo hacm abayP
9. (ai Una compaiiia fabrica cin,,r para computadora a party de
plaqutas cuadradas de silici”. Se daea con~eruc la long,-
tud del lad” de rsa? plaquta5 muy pr6xima a 15 mm y.
asimivn”. ,sber c6m” cambia cl Srea .4(a) de elIa\ cuando
cambia la longitud ‘i del lad”. Encuentre Al IS1 y sxpiique
su slgmficado en csta Gruac!hn.
tb) Demuestre que la rarbn de cambi” del Bra de “no de 1”s
cuadrados con respect” a la longitud de w lad” es la mitad
de w pertmetro. Explique geom~tticamente par que esto es
cirno, dibujand” un cuadrado cuya longitud x dci lad” se
mcremente en una cantidad AI. ;C6mo puede obtrner una
nproxunac%n del cambio resultante en cl &a. AA si .LY es
pequeflo’
10. (a) ES fkil hater crecer cristales de clorato de sodio en forma
de cubes dejando que una soluci6n de erta sal en agua sc
aapore con lentitud. Si Ves el volumen de un” de esos
cubos. con longitud x del lad”, calcule dVl dx cuando
x = 3 mm y explique su significado.
lb) Demuestre que la rank de cambio del volumen de un cube
con respect” a la Ion&d de su ari%a es igual a la mitad
del Area superficial de ese cub”. Explique geom&icamente
par quC este resultado es cieno: bkese en el ejercicio Yb)
para establecer una analogia.
11. (a) Encuentre la razdn promedio de cambio de1 Area de un
circuio con respect” a w radio r, cuando Cute cambia de
ii) 2 a 3 (iii 2 a 2.5 (iii) 2 a 2.1
(b) Encuentre la raz6n instantA”ea de cambi” cuando r = 2.
(cj Demuestrc que la rar6n de cambi” del tiea de on circulo con
rnpcct” a co radio (a cualquier I) es igual a la circunferencia
del circulo. lntente explicar geomCtricamente por quC est” es
cicno dibujando on circulo coy” radio w incrementa cn una
cantldad A,-. ;,C6mo puede “btener una apronmaci6n del
cambio resultante e” el Area. AA si Ares pequefio?
12. SC deja caet una pxdra en on lag” que crea una “nda crcu1.u
que vidja hacu afuera con una \elocidad de 60 cmls. Encuentre
la rarirn a la cual aumenta el irea dentro del circulo despuk de
(a, I s. (b, 3 s y (c) 5 \. ~Que puede conclu~r?
13. Se esti inflando un glob” esf.%co. Encuentre la ramn de
aumenfo del &XI wperhcial (S = 4nr’) con reipecto al radio r.
cuando &te e* de iu) I pie. (b) 2 pies y cc) 3 pies ,,A que
conclusiones llegia?
14. (al El volumende una ctlula e\f&ica en crecimxmo e\
I’ = t rrr’, donde cl radio I se mide en micrcimetros
(1 firn = 10 *m). Encuentre la ran% promedio dc cambx
de Vcon respecto a r. cuando Me cambia de
(ij 5 a 8 I*‘” (ii) 5 a 6 urn (iii) 5 a 5.1 pm
(h) Hall? la r&n ~nst;tnt~nea dc camhio de V con re\pecto a r.
cuando r = 5 pm.
ICI Demuestre que la rar6n de cambn del volumen de una
esfera con respecto a so radio es igual a w area wperIicial.
Enplique geometricamente par quC esto e5 &no. Argumenre
por analogia con el ejercicio I I(c).
15. La mara de la ptie de una varilla metztbca que se encucntrn
entre so extreme izquierdo y un punto I metros a la derecba es
3x’ kg. Encuentre la densidad Imeal (Ejem. 2) cuando .r es
(a, I m. (b) 2 m y (c, 3 m. ;,En d6nde cs m$ a,&, la densldad y
d6nde es m8s baJe’!
16. SI un ranque cuntiene 5.OOOgalones de agua.iacual\r drrna
dc\de el fond” del tanque en 40 min. enfoncc\ la ley de
Torricelli da el bolumen 1/de agua que queda en el tanque
desPu& de r minutw coma
Encuentre la raz6n de drenado de\pu& de (a) S min. lb)
IO min. (c) 20 min y (d) 40 min. iEn que momenro Ruye cl
agua m&rapid” hacia afuera? ;,Con mayor lenritud? Resuma
S”S hallazgos.
17. La cantidad de carga. Q, en coulombs (Cl que ha pasado par un
punto de un alambre hasta el tiempo I (medido en qegundos) se
express con Q(r) = r’ - 21’ + 61 + 2. Encuentre la cornrn,r
cuando (a1 f = 0.5 s y (b) t = I s. [V&se el Ejem. 3. La umdad
de coniente es el ampere (1 A = 1 C/s).] ;,En qut momemo la
corriente es m& baja?
18. La icy de Newton de la gravitaciirn &ma que la magnirud F
de la fuerza ejercida por un cuerpo de mass m hobre otro de
mass M es
GmM F=-
2
donde G es la constante gravitational y I es la distancia entre IOF
C”Wp”S.
(a) Si 10s cuerpoc estin moviendose. encuentre dFldr y explique
su significado. ioue indica el sign” menos?
(b) Suponga que se sabe que la Tiena atrae un ohjeto con una
fuerra que dirninuye B la rardn de 2 N/km. cuandrr
r = 20 000 km. ;,Con que rapida cambia rsta fuer/e wand”
I = 10 000 km7
19. La ley de Boyle enpresa que cuundo se comprime una mue~trn
de gas a una temperafura constente. el producto de la prcsidn y
el volumen se mantiene consrante: PV = C.
(a) Encuentre la r&n de cambio del volumen en relacilin con
la presi6n.
(bl Una muesua de gas exa en un reapxnw a ha,” presmn y se
Ic comprime paulatinamente a temperature constantr durante
IO rmnuto<. ;,El volumen disminuye con mayor rapider al
prmcipio o al tinal de 10s 10 mmutos? Enplique.
(c) Pmebe que la compresibilidad isottrmica (v&se el Ejem. 5)
se express co” p = I/P.
20. Los dams de la tabId se relieren a la lactonizaci6n del aado
hldronivalCrico a 25°C. y dan la concentrac~bn C(t) de este dcido
en moles par lifro derpues de f mmutos.
(a) Encuenlre la velocidad promedlo de reaccidn para 10s inter-
~10s de tiempo ciguientes:
(1) 2 5 , s 6 (ii) 2 S I G 4 (iii) 0 s f s 2
(b) Sitlie en una grhfica 10s puntos de la tabla y dlhuje una
curve li\a que pax por ellos. como una aproximaciiin para
la gr5fica de la funcidn de concentraci6n. Luego trace la fan-
gate en f = 2 y lisela para estmxu la velocidad instanttmea
de reaccilin cuando r = 2.
2: 21. La tabla proporciona la poblacirin en el siglo XX.
I
I
(al Estime la tasa de crecimienfo de la poblaci6n en 1920 yen
1980 promediando las pendientes de 2 rectas secantes.
(b) Use una calculadora graiicadora o una computadora para
encontrar una funcidn clibica (es de&, un polinomio de tercer
grad”) que srxa pan mod&x lo? dates (ver la secci6n I .2).
(c) Use el modelo de la pate (b) para encontrar un modelopara
la ma de crecimiento de la poblacidn en el siglo XX.
(d) Use la pate (cj para estnna las tasas de crecimxnto en
1920 y 1980. Compare con sus estimaciones de la pate (a).
le) Estime la tasa de crecimienlo en 1985.
‘;; 22 La tasa de imeres sobre 10s bones de1 Tesoro de 10s E.U. es una
funci6n del tiempo. La tabla siguiente de 10s valores a medio
ario de esta funci6n. I(r) a lo lxgo de on perfodo de 9 ai~os
(cum0 un porcentaje anual).
(ii) USC una calculadora grahcadma o una computadora para (ij Cuando se disminuye la longltud efectiva de una
mod&r e\tos dates con on polinomm de cuano grade. cuerda colocando un dedo sobre &a de modo que
(b) Use la pane (a) para encontra un modelo para /‘(rl. vibre una ptie m& cona de la misma.
(cl Mime la usa de cambio de Ia> rasas de inter& en 1988 ! (ii) Cuando se aumenta la tensi6n haclendo girar una de las
1991. clavijas.
(iii) Cuanda se aumenta la densidad lineal cambiando a otra
cuerda.
23. Si cn el ejcmplo 4 \e forma una molCcula del producto C a partir
de und molecula del reactiao A y una mol&ula del reactive 6 y
la\ conccntrac~ones m~~ale$ de A y B tienen un valor corntin
[A] = [B] = n moles/l. entonces
21.
28.
2;
29.
30.
El costo. en d6lares. para producirr pares de jeans er
fxr) = 2000 4 3x + 0.01.x’ + 0.0002.r’
[C] = ‘i’kI/kJkI + 1)
donde k es una comtante.
ia) Encuentre In wlocidad de reaccidn en el instante r.
,b) Drmue\tre que ?i r = [C]. entonce,
(a) Encuentre la Sunci6n de costo marginal.
(b) Halle C’(lW) y explique su significado. iQuC pronostica?
(c) Compare C’(lO0) con el costo de fabricaci6n de la
101 &ma yarda.
La fun&n de costo para un articulo Ed
C(I) = 84 + 0.16x - 0.0006x~ + 0.000003.r‘
,c, ;,Qu6 Swede a la concenrrac16n cuando I -+ x !
cd1 i.QoC wcede a la wlocldad de rencci6n cuando i - x’?
Ce) i,Que \ignifican en tCrminos practices 10s resultados de 10s
mcisos (cl 1 (d)?
24. Suponga que una poblaa6n de bacteria5 se m~ta con SO0 y que
w triplica cada hors.
(a, ;Cdl es la poblau6n de\puCc de 3.4 y i horas?
(b) Use el resultado de (5~ de la recciirn 3.1 con el kin de
estimar la r&n de ilumemc de la poblaci6n de bactcna\
de,pu& de 6 horas.
25. Vea a la ley del Aujo lammar de1 ejemplo 7. Considere un YBW
sanguineo con radio de 0.01 cm. longitud de 3 cm. diferencia de
pres%in de 3.000 dmasicm’ y \iscosidad 7 = 0.027.
(a, Encuentre la relocidad de la sangre a IO Iargo de la linea
central I = 0. en el radio r = 0.005 cm y en la pared
I = R = 0.01 cm.
(b) Halle el gradiente de xlocidad en I = 0. I = 0.005 y I =
0.01.
(cl ;,Ddnde es maxima la vslocidad’? iD6nde cambia m& la
velocidad’
26. La frecuencia de las vibracionec de una cuerda vibrante de un
wolin se enpreu medxtme
donde L er la longjtud de la cuerda. Tes su tensiCln y p e\ su
dens,dad lineal. [V&se el Cap. I I en D. E. Hall. ,Mucrcui
Acourrirs, 2a. ed. (Pacific Grove. CA: Brooks/Cole. 1991J.I
(d) Encuentre la rarrin de camblo de la frecuencia con respect” a
(11 Ld longitud (cuando T) p &on constantes).
01) La tens16n (cuando I. y p son constane\,. y
(111, La densidad I’neal (cuando L y 7 son conslanresi.
(b) La Srecuencia/(entre in& alta es la frecuencia. mayor es la
altura) determina la altwa de una nota lcu;ln alto o U&I
bajo ~%a). Use 10s slgnos de las derivadas de1 inci\o a)
pan, hallar que sucedc a la altura de una nota
5:
31
,a, Encuentre e lnterprete c’(lO0).
(bl Compare C’I 1001 con cl co\to para producir el 101 &imo
articulo.
(c) Grafique la fun&n de costo y estime cl pumo de inRexi6n.
(d) Calcule el valor de x pan el cual C tiene un punto de
inflexirin. ;,CuSl es el significado de este valor de x?
Si p(x) es el valor total de 18 produc&n. cuando se tienen .t tra-
bajadores en una planta. enfonces la produ tividad pmmrdio de
la fuerra de trabdjo en la planra es
(a) Encuentre A’(s). ;,Por quC la compaiua aesea con~rarar mas
trabajadores SI Xix) > O!
(b) Demuestre que A’(x) > 0 SI p’(l) es mayor que la produc-
tividad promedio.
SI R denota la reacci6n de1 cuerpo a algunos estimulos de inten-
sidad x, la srnsibilidad S se define corn” la raz6n de cambio de
Id reaccl6n con respect” ax. Un ejemplo particular es que
cuando se aumenta la briilanter de una fuente luminosa. el ojo
reacciond di\mmuyendo el drea R de la pupila. Se ha uwdo la
f6rmula experimental
40 + 24x””
R=
I + 4x””
para mod&r la dependencla de R rerpecto ax. cuando R se
mide en mllimetros cuadrados y I en unidades apropladas de
bnllanru
(a) Encuentre la senubilidad.
(b) Ilustrc cl in&o (a) trazando las gr%~as de R y S coma
funciones de I. Comente 10s valo~e~ de R y S con bajor
nixleA dc brillanter. ;Es lo que usted e$peratia?
La Icy de lo\ gases pam un gas ideal a la temperatura absoluta T
(en kelvinsj ) la presi6n P (en atmbsferas). con un volumen V
(en litros), es PI/ = NRT, donde >I es el mimer” de moles del gas
y R = 0.0821 e\ la constante de los gases. Suponga que en cieno
mstante. P = X.0 am y nunenta a rarh de 0.10 atmlmin. )
V = 10 L y disminuye a r&m de 0.15 L/mm Encuenrre la
r&n de cambio de 7 con respecto al tiempo, en ese instame. si
n = IO mol.
32. En una gan,a piscicola. se introduce una poblaci6n de peces
en un estanque y se cosechan con regulatidad. Un modelo
para la rar6n de cambio de la poblacidn se enpresa con la
ecuachl
donde r,, es la tasa de nacimientos. P, es la poblaci6n m&kna
que et estanque puede sostener (Ilamada capacidad dr
mnrencidn) y p es el porcentaje de la poblacihn que se cosecha.
(a) ;,CuSl valor de dP/dr corresponde a una poblacidn estable?
(bl Si cl estanque puede sostener 10,000 peces, la tasa de
nacimxnto eb de 5% y la tasa de cosecha es de 4%.
encuentre el nivel estable de la poblaci6n.
33. En el estudio de 10s ecosiatemas, a menudo se usan 10s modelos
depredador-presu para estudiar la interacci6n entre las especies.
ConGdere una poblaci6n de lobes de la tundra. dada por W(r). y
de caribtis, dada par C(r), en el none de Canad. La mreracckin
se ha modelado por las ecuaciones
% = aC - bCW $=-cW+dCW
(ai i.Cu8les valores de dCldr y dWldr corresponden a
poblaciones estables?
(b) ;Chmo se representark matrm&ticamente la afirmacihn “10s
caibljs fan ha& la extinci6n”?
(cl Supongaquen=0.05, b= 0.001,c=O.O5 y d=O.OQOl
Encuentre todas las pxejas de poblaciones (C, WJ que con-
ducen a poblaclones ambles. De acuerdo con este modelo,
ies posible que las especies vivan en armonia o una de elks,
o ambas. se entinguir&n?
3.4 Derivadas de las funciones trigonometricas
Antes de iniciar esta secci6n. quiz3. podria necesitar repasar las funciones trigcnom&icas.
En particular, es importante recordar que cuando hablamos de la funci6n f definida para
todos 10s nlimeros reales x por
f(x) =senx
se entiende que sen I significa el sent de1 ingulo cuya medida en radianes es x. Se cumple
una convenci6n similar para las danas funciones trigonom&icas: cos, tan, csc, set y cot.
Recuerde, por lo vista en la secci6n 2.4. que todas las funciones trigonomttricas son con-
tinuas en cada nlimero en sus dominios.
Si bacemos la gr8ica de la funci6n f(.k) = sen x y utilizamos la interpretaci6n de f’(x)
entonces coma la pendiente de la tangente a la curva seno para trazar la grifica de f
(v&se el Eierc. 14, Sec. 2.9), parece que la gtifica de esta liltima es la misma que la cur%+
coseno (Fig. 1).
.r N 3 DERIVADAS DE LAS FUNClONES TRIGONOM6TRICAS 0 209
Hemos usado la f6rmul.a de la
adlcldn ,,ara el seno Vea el
aohdice D
.XB
G
E
0 -A
b)
htentemOS conlirmar nuestra conjetwa de que si f (x) sen x, entonces f'(x) = cos X. A
panir de la definici6n de derivada, tenemos
f'(l) = lim f(x + h) -f(x)
h-0 h
= lim~en(~ + h) - senx
h-O h
= lim senxcm h + cos x senh- senx
h-0 h
senx cos h - senx
= lfm senx . lim
cm h - 1 se” h
+ limcosx. lim-
DOS de estos cuatro limites son fkiles de evaluar. f’uesto que considframos x cotno cons-
tante cuando calculamos un limite cuando h + 0, tenemm
lim senx =senx
h-0
y rrn, cos x = cos x
El limite de (senh)/h no es tan obvio. Con base en la evidencia numtrica y gr&fica. en el
ejemplo 3 de la seccidn 2.2, conjeturamos que
sen e
lim- =
0-o f?
1
Ahora, usaremos un argumento geomCtrico para probar la ecuaci6n 2. Suponga primer0
que 8 se encuentra entre 0 y 7~12. En la figura 2(a) se muestra “n sector de circulo co” cen-
tro en 0, dngulo central 8, y radio 1. EC se tram perpendicular a OA. Por la definici6n de
radik, tenemos arc AB = 0. Asimismo, /EC 1 = 1 OB / sen 0 = sen 0. Con base en el dia-
grama, “emOS que
Pa lo tanto, sen e < e de modo que
se” e
-<l
8
Sup6ngase que la tangentes en A y B se cmzan en E. Puede ver, con base en la figura 2(b)
que la circunferencia de un circulo es menor que la longitud de un poligono circunscrito,
de modo que arc AB < I AE I + I EB /. Por lo tanto,
O=arcAB< IAEI + lEBl
< JAEI + IEDl
=IADI=IOA/tanfI
= tan e
(En el apkndice F se demuestra directamente la desigualdad 0 S tan tJ apatir de la delinicidn
de longitud sin recunir intenci6n geomCtrica que verernw aqui.) AG que
de mode que
Sabrmos que Km R+ I = I y lfm, .,, co5 0 = I, por lo tanto, por el teorema de In corn-
presiirn, tenemos
se” 0
Km _ = l
H-l,- (j
Pero la fun&k (sen HI/H eh una funci6n par. de werte que su? Ifmites par la derecha y la
irquierda dehen ser iguala. De donde tenemos
sen H
lim-= I
H.,, 0
de tomu que hemos probado la ecuaci6n 2.
Podemos deducir el valor del limire restanre en (11, coma vgue:
lim
co\ 0 I
= Km
L
co\ 0 - I COY 0 + I co?0 - I
s-0 n N-ii 0 cos n + 1 I= ~QB(C”SH+ I)
= lim
-WI’0 sen H WI0
n-0 Hlcos 0 + I, -2 * co.5 H + I
sen 0
=-limp- Km
sen 0
cl-t> 0 ” ‘0 cos H + I
0 =-I. ~ =
i J I+1
0
lil l l
cos 0 - I =
“~-0 0
0
Si ahora ponemos Ios limites (2) y (3) en (I ), obtenemos
= (smxi 0 + (cm 1) I = cos x
Por tanto. hemos probado la f6rmula para la derivada de la funci6n seno:
Derive y = x2 sen x.
Con la regla del product0 y la f6rmula 4, tenemos
SI se aplican 10s rmxnos m&ados que en la demostracmn de la tormula 4, se puede pro-
bar (&se el Ejerc. 20) que
2 (cos x) = -sen x
TambiCn se puede derivar la funci6n tangente aplicando la detinici6n de derivada, pero
es m&s fkil war la regla del cociente con las fdnulas 4 y 5:
d d
cos x dr (sen x) - senx d, (cos x)
=
cos2x
COSX’COSX-ssenx(-senx)
co&x
= cos’x +sen2x
cos5
$ (tan x) = set**
Tambien es fkil hallar lx derivadas de las funciones trigonom&ica\: restantes, csc, \ec
y cot, aplicando la regla de1 cociente (vkmsc 10s Ejercs. 17.19). En la tabla que sigue,
reunimos todas las f&m&s de derivaci6n dc Ias funciona trigonom&ricas:
Cuando memor~ce esta tabla. resulta
tit11 nota‘ que IX slgms me”05 “an
con las dewadas de las
“cofunc~ones”. es dew coseno, cose-
came y cotangente
3
sell x) = cos x $ (csc x) = --csc .rcot x
2 (cos x) = -sen x 2 (set x) = xc x tan x
2 (tan x) = se& $ (cot x) = -c&
3
I
-3 5
FIGURA 5
FIGURA E
xc .r
Derive f(.Y) =
rite honrontal’?
, + tan ., ;,Para cu5les \alores de .x la @ica deftiene
La re& de1 cocicnte da
f’(.r, =
(1 + tan*)~!sec.il - se+ + tanx)
(1 + tan xy
(I + tan x) set x tan * - xc x . 9x5
(I + tan x)2
xc x [tan * + tan% - sec’x]
(I + tan *I?
set x(tanx - I)
(1 + tan.+
Al simplificar la respuesta, hemos usado la identidad tan’\- + I = xc%
Como w I nunca es 0, vemos que f’(x) = 0 cuando tan x = I, y esto sucede cuando
I = HOT + ~14, dnnde n es un entero. (Fig. 4.).
Las funciones trigonom&icas SC usan con frecucncla en el mod&do de fen6menos del
mundo real. En particular. Ias vibraciones, las ondas, 10s movimientos ekticos y otras
cantidades que varian de manera peri6dica se describen con funciones trigonom&ricas.
Un objet” que se rncuentra en el extremo de un resorte venical se
.~laza ha& abajo 4 cm m& all6 de su posici6n de repose. para estirar el resorte, y se
deja en libatad en el instante f = 0. (V&se la Fig. 5 y note que la direcci6n hack abajo
es positiva.) Su posici6n en el instante f es
Encuentre la velocidad y la aceleraci6n en el instante r y iiselas pan analirar el
movimiento del objet”.
La velocidad y la aceleracidn son
El objet” oscila desde rl punto m& bajo (S = 4 cm) hasta el punt” m8s alto
(5 = -4 cm). El period” de la oscilaci6n es 277, el period” de cos f.
La rapider (magnitud de la velocidad) es 1 L’ 1 = 41 sent 1, la cual es mkima cuando
1 sen f 1 = I, es deck, cuando cos r = 0. De modo que el objet” se mueve con la mayor
rapider cuando pass por su posici6n de equilibrio (s = 0). Su rapidez es 0 cuando
serif = 0 , esto Ed. en 10s puntos alto y bajo. (Fig. 6.)
Nuestro no primordial del limite de la ecu&k 2 ha sido en la demostraci6n de la f6r-
mula de derivaci6n de la fun&n cero. Pero ate limite tambien sine para calcular otro
limite trigonom&icc coma se ve ahore en el ejemplo.
DERIVADAS DE LAS F”NCiONES TRlGONOMETRlCAS 7 213
Para ampliar la ecuacih 2 primero reescribimos la funcidn multiplicando y
dividiendo par 7,
Observe que cuando x + 0. tenemos que 7x + 0, con 0 = lx, y, par lo tanto. par la
ecuaci6n 2.
Del tal mode
Aqui dividimos el numerador y el denominador par x:
lim cos x
= lirn cosx = 1 ./I
IS 3m4 Ejercicios
11. y= I ,z, \' = ran r '
Se" I + CO\ 'i set .,
13. 1 = y 14. Y = tan R, cm" + co\ H,
15. > = csc I cot 2 16. ) = r senr co\ 1
17. Pmeoe que 6 (csc 1) = --csc x C”, .r.
20. Aplique la definicih de derivada y pruebe que si f (.r) = cos .A.
enf”“CeS f’(x, = -se,, x.
Encuenue ,a ecuadn de la recta tangenre a la curva ddda
en el punto especificado.
21. ? = tan .\. i?r/J. I) 22 > = 2\en i. iii/h. II
(a) Encuentre una ecuaci6n de la recta tangente a la CUN~
y = x co.5 x en el punt0 (77, Tr).
(b) liustre el incise (a) graficando la cuva y la recta tangente en
la misma pantalla.
(a) Encuentre una ecuaci6n de la recta fangente a la curva
y = set x - 2 cos x en el punto (114, I).
(b) llustre el incise (a) graficando la cuwa y la recta tangente en
I+ misma pantalla.
(a) Si f(x) = 2x + cot ~,encuentre f'(x).
(b) Compruebe que su respuesta al incise a) razonables trazando
las grAficas de f y f’ para 0 < x < ?i.
(a) Si f(x) = J; sax, encuentre f’(x),
(b) Compmebe que su respuesta al in&o a) es razonable
trazando las grztficas defy f’ para 0 s x s 2,r.
i,PWa CURIES YBIOT~S de x la grili~a def (x) =X + 2 hen x tiene
una tangente horizontal‘?
Encuenue 10s puntos sobre la curva y = (cos x)/(2 + se,, x) en los
cuales la tangente es horizontal.
Una masa en un resorte vibra horizontalmente sobre una superfi-
tie l&y nix&da. (V.&se la Fig.) Su ecuaci6n del movimiento
es x(f) = 8 en f, donde I est& en segundos y x en centimetros,
(a) Encuentre la velocidad en el instante 1.
(b) Halle la posici6n, la velocidad de la masa en el instante
e = 2~13. iEn quC direccidn se mueve en ese instante?
Una banda elAstica cuelga de un gancho, con una mnsa sujeta en
su extreme inferior Cuando se tirade la mass ha& abajo y,
luego, se deja en libertad, vibra venicalmenre en un movimienro
m6nico simple. La ecuaci6n del movimiento es
s = 2 cos r + 3 serif, f > 0. donde s se mide en centimetros y f
en segundos. * (Tomemos la direcci6n positiva la correspondienle
ha& abajo.)
(a) Encuentre la velocidad en el instame 1.
(b) Grafique las funciones velocidad y posici6n.
(0 ;,CuBndo pasa la mass por la posici6n de equilibria por
primeraver?
(d) ;,CuBn lejos de w posicihn de equilibria viaja la masa?
(e) i,Cusndo es mAxima la magnitud de la velocidad?
Una escalera de IO pies de largo est& apoyada en una pared ver-
tical. Sea y el Bngulo enve la pane superior de la escalera y la
pared, y .li la distancia del extrano inferior de aquClla hasta la
pared. Si el extreme inferior de la escalera se desliza alejtidose
de la pared, i,con quC rapidez camhia x con respecto a 0 cuando
0 = T/3?
34. Un objet” con peso W es arrastrado a 10 large de un piano how
zontal por una fuerza que act& a lo largo de una cuerda sujeta al
propio objet”. Si la cuerda forma un dngulo 0 con el piano,
entonces la magnitud de la fuerza es
F= PW
psen 0 + cos 0
donde & es una constame llamada coefcirnre de fricridn.
(a) Encuentre la raz6n de cambio de F con respecto a 0.
(b) iCu&ndo es igual a 0 esta w&n de camhio?
(c) Si W = 50 lb y fi = 0.6, dibuje la gr.%fica de F corm
funci6n de 0 y lisela para localizar el valor de esta liltima
para el cual dF/dO = 0. ;Resulta coherente el valor con su
respuesta al in&o (b)?
Halle el limite.
35.
se” 5r
lim __
t-0 f
36, lim ~
r-o sen9t
37, lim sen(cos 0)
8-D set 0
J8, ,im C”S 0 1
e-0 0 se”
39.
SdO
lim -
e-0 0
42, lim se” * - co.5 x
j - r,Y cos2.r
43. lim senO
8-0 0 + tan 0
44, ,im sedx - II
z-1 2 +x - 2
45. Derive cada identidad trigonom&ica para obtener una identidad
nueva o conocida.
(a) tan x = =
cos *
I
(b) set x = ~
CO) x
46. Un semicfrculo con di&metro PQ descansa sobre un triAngulo
is&c&s PQR para forma una regidn somhreada semejanfe a
8
R
3.5
Vea la section I 3 par.3 repasar el
tema de funciones compuestas.
8. Encuentre
Regla de la cadena
Suponga que se le pide derivar la funciSn
F(x) = .‘r’
Las f6mxulas de derivaci6n quc aprendi6 en las recciones anteriora de ate capitulo no lo
capacitan para calcular F’(x).
Observe que F es una fur&n compuesta. Si hacemos ? = f (11) = >; J eablccemo\
u = g(x) = I’ + 1, entonces podemos escribir v = F(T) =.f(q(.rJI. es deck. F = fo q.
Sabemos c6mo derivar tanto ,f coma CJ, de modo que vria htil contar con una regla que
nos diga c6mo hallar la derivada de F = ,fo y en tbminos dc Ia? derivedas de f y q.
Resulta que la derivada de la funcidn compuesta fm yes rl producto de Ia\ dcrivadas de
f y 9. Este hecho e\ uno de 105 m6s importantes de las reglas de deriraci6n y se llama rqlcl
de lo cadenn. Parece plausible, si interpretamos las derivadas coma ra~onrs de cambio.
Considere dujdr coma la razh de cambio de u con respecto a x. dy/drt corm la rar6n de
cambio de J en relaci6n a II y d\ldl coma la r&n de cambio de v con recpecto de \. Si M
cambia el doble de rkipido que x y y tres veers tnis rapid” que u. emonce\ resulta won-
able que J cambie seis veces m& ripido que .r y. por consiguieme. esperarmx que
d? dy du
dx du dr
Si tantof cwno g son funciones derivnbles y F = ,fa 9 es la
funci6n compursta definida por F(x) = f(y(xJ). emonce\ F c\ derivable y F’ se
express mediante el producto
I- ‘(xl = j ‘1 I$ YJJcjl i)
En la notaci6n de LeibniL. 51 ~imto y =.f(u) coma u = g(s) son funcnvzs derlra
bles entonces
Sea Au el cambio en u corre-
spondiente a un cambio de Ax en x, es deck,
Au = g(x + Ax) - g(x)
Entonces el cambio correspondiente en y es
Ay = f(u + Au) - f(u)
Resulta tentador escribir
dy du
du dx
El tinico defecto de este razonamiento es que, en (l), podrfa suceder que Au = 0 (incluso
cuando Ax # 0) y, por supuesto, no podemos dividir entre 0. No obstante, este razona-
miento por lo menos sugiere que la regla de la cadena es verdadera. Al final de la secci6n
se da una demostraci6n completa de la Regla de la Cadena.
La regla de la cadena se puede escribir con apdstrofes
(fo sH4 = f’Md)g’(x)
o bien. si y = f(u) y u = g(x), en la notaci6n de Leibniz:
dy _ dy du
dx du dx
La ecuaci6n 3 es f&i1 de recorder porque, si dyldu y duldx fueran cocientes, entonces
podtiamos cancelar du. Sin embargo, recuerde que du no se ha definido y no debe conce-
bir dub coma un cociente real.
FJFMPLO 1 Encuentre F’(x) si F(x) = m
(con la EC. 2): al principio de esta secc1611, expresamos F coma
F(x) = (fo g)(x) = f(g(.x)) donde f(u) = ,/; y g(x) = x2 + I. Dado que
I
f+) = iu-1!2 = ~ )’ g’(x) = 2x
(con la EC. 3): si hacemos u = x2 + I y J = &, entonces
F’(x) = !g = +$2x)
Al utilizar ta fkmula 3, debemos tener presente que +/d.x se refiere a la derivada de y
cuando t%ta se considera coma funci6n de x (Ilamada derivada de y con respecto u x). en
tanto que dyldu se refiere a la detivada de y cuando se considera como funci6n de u (la
derivada de y respecto de u). Verbigracia. en el ejemplo I y se puede considerar coma fun-
ci6n de x ( y = m) y como funci6n de u ( y = A). Note que
$ = ‘q) = ,yL
V’X’ + I
en tanto que 2 = J’(u) = $
NOTA i En la aplicacilin de la regla de la cadena, trabajamos del exterior hack el inte-
rior. La f6mnda 2 express que deriwmos /u,firnci6n erteriorf [en /uJimcidn interior g(x)]
y, a continuacidn. mdtipiicumos pm la drrivndn de lu funrih interior.
d
dx J
(g(x)) = f' (s(x)) . S'(l)
1 ,I :,*.., i. . Derive (a) y =sen(x’) y (b) y =wI’~T.
(a) Si y =Fen( 1’). entonces la funci6n exterior es la funcidn seno y la interior es la
funci6n de elevar al cuadrado. de modo que la regla de la cadena da
dy d
dx dx
se” (.I?) = cos (2) . 2r
= Lx cos(x’)
(b) Note que sen’x = (wn x)‘. En ate case. la tunctCln extenor es la de ele~ar al
cuadrado y la interior es la fun&n wno. Par tanto.
La respuesta w puede dejar coma 2 sen x cos x. o bien. escribirw como sat 2-r (par una
identidad trigonomktrica conocida coma la fkmula del 6ngulo doble).
En el ejemplo 2(a). combinamos la regla de la cadena con la regla para derivar la fun-
ci6n seno. En general, si y = WI u, donde II e\ una funcidn diferenciable de x. entonces,
por la regla de la cadena,
& dv du du do =--=c”?,i~
du dA
De donde
du
senu) = cos u ix
De manera semejante, todas las fhmulas para derivar funciones trigonomhica se
pueden combinar con la regla de la cadena.
Hagamos explfcito el case especial de la regla de la cadena donde la funcih exterior /
es ma funcidn potencia. Si y = [g(x)]“, entonces podemos escribir x =f(u) = u” donde
u = g(x). Si aplicamos la regla de la cadena y, a continuacih. la regla de la potencia.
obtenemos
dy dy du
z=dz=nU
”
u
’ $ = n[g(x)]“-‘g’lx,
_
4 Regla de la potencia combinada con la regla de la catleua Sin es cualquier
, nlimero real y u = g(x) es diferenciable. entonces
De modo altemativo, 6 [y(*)]” = n[g(x)]“~ ’ y’(.d
Advierta que la derivada del ejemplo I pudo calcularse al tomar n = i en la regla 4
Si en (4), se toma u = g(.r) = .r’ I y II = 100, tenemos
= lOO(r’ I)” 3x’ = 300x’(n’ - 1y
Encuentre f’(r) si ,f(x) =
I
$‘x’+x+ I
En primer lugar, volvemos a eqcribir .f: f(x) = (xz + x + I)-’ ‘. De exe
modo
f’(x) = -:(x2+x + I)P$ ix:+x+ I)
= -i(P + .r + I) “‘(2X + I)
Encuentre Ia derivada de la funci6n
Si se combinan la regla de la potmcia, la de la cadena y la del cociente.
obtenemos
Derive y = (2x + I)‘(x’ - x + I)‘.
En ate ejemplo debemos aplicar la regla del product” antes de aplicar la regla
de la cadena:
!g = (2x + I)‘$ (x3 - I + I)’ + (x.1 - 1 + I)‘$ (21 + 1)’
= (2x + I)’ . 4(x2 - x + I )’ & (I’ - x + I)
+ (1’ - x + I)‘. 5(2x + I)’ $ (21. + 1)
= 4(2x + l)‘(x’ - x + 1)‘(3x’ - I) + 5(x’ - x + l)‘(Zx + I)’ 2
Si se uan lo\ factores comune\, podrinmo? escribir la rapuesta corm, 2(2x + Ii’ i I’ - 1
+ I)’ podemos factorizarlos y escribimos la respuea coma
2 = 2(2x + l)J( x7 -x + l)‘(l7x’ + 6x’ - Yx + 3)
En este caso, la funci6n interior e\ q(x) = sax y la exterior esla funciirn
exponential f(x) = et. Por lo tanto, por la regla de la cadena.
Podemos aplicar la regla de la cadena pan derivar una funci6n exponential con base
a > 0. Recuerde, por la viyto en la seccidn I .6, que a = e’““. De ate modo
y la regla de la cadena da
porque In (I es ““a constame. Asi entonces, tenemos la fi5mula
En particular, SI a = 2, obtrnemoc
En la secci6n 3. I, dimes la estmxxmn
$ (2”) = (C).69)2’
Esto resulta coherente con la fkmula exacta (6), porque In 2 = 0.693147.
En el ejemplo 6 de la secci6n 3.3, consideramos una poblaci6n de cClulas de bactenas
que se duplica cada hors y vimos que la poblaci6n despuks de f horas es n = n,)Z’. donde
no es la poblaci6n initial. La f&mula 6 nos permite hallar la tasa de crecimiento de la
poblaci6n de bacterias:
dn
~ = no2’ln 2
dr
Queda clam la rank del nombre “@a de la cadena“ cuando alqamos una cadena,
agregando otro eslabirn. Suponga que y = f(u). u = g(x), y ,I = h(r), donde .f, g y h son
funciones diferenciables. Entonces, para calcular la derivada de y con respecto a f, apli-
camos dos veces la re& de la cadena:
dy dy dx dy du dx
dt dx dt du dx dr
Si f(x) =sen (cos(tan xi), entonces
f’(*) = cos(cos(tan x)) $ cos(tan x)
= c0s(c0s(tan I))[-sen(tan x,] $ (tan x)
= -c”S(COS(tan .r))sen(tan x) &,I
Advierta que la regla de la cadena se ha aplicado dos veces.
Defive v = e’\- in,
La funcidn exterior es la funci6n exponential, la funci6n intermedia es la
funci6n secante y la funci6n interior es la funcidn triplicada.
C6mo se demuestra la regla de la cadena
Recuerde que si J =.f(x) y .r cambia de n a a + Ax, hemos delinido el increment” de ?
corn0
Ax =f(u + Ax) -f(n)
De acuerdo con la detenninaci6n de la derivada, tenemos
REGLA DE LA CADENA 0 221
De manem que si denotamw mediante E la diferencia entre el cociente de diferencia y la
derivada tenemos
,I!?“:, = ji,($ -f,Ca)) =f’(d - f’(a) = 0
Per0 F = $ - ,f'(a) 3
x
Ay = f'(a) Ax + E Ax
De manera que para una funci6n derivablefpodemos escribir
A)’ = f’(a) Ax + E Ax don& E + 0 cuando AT + 0
Esta propiedad de lx funciones derivables es la que permite demostrar la regla de la
cadena.
tli.r;,,,s!,.*. t1/- 1,. ,I? .‘i. ,I,/ :q C<r,r:;- Suponga que u = y(x) es derivable en a y
y = f(u) es derivable en h = y(a). Si Ax es un incremento x y Au y Ay y son 10s corres-
pondientes incrementos en u y y, entonces podemos user la ecuacih 7 pan escribir
8 Au = g’(a) Ax + E, Ax = [g’(ai + E,] Ax
donde E, + 0 cuando Ax--f 0. De forma semejante
!I Ay =f'(b) Au + EZ Au = [f'(b) + Q] Au
Donde E, + 0 wando Au + 0. Si ahora sustituimoc la expresidn pan Au de la .xuaci&
8 en la ecuacih 9, obtendremos.
Ay = [f'(b) + &z][g'(a) + E,] Ax
de modo que 2 = [f'(b) + dg’kd + c,l
Cuando Ax + 0, la ecuacih 8 muestra que Au - 0. Par lo tanto ambos E, - 0 y
EZ + 0 cuando Ax + 0. Por lo tanto
2 = ,lh~ = l&[f'(b) + e>][g'(a) + c,]
=,f'(b)g'kd =f'(gkd)g'kd
Esto demuestra la regla de la cadena.
-3’5 I icios
Escriba la funcidn composicirh en la forma f (g(x)). [Identi-
fique la funci6n interior u = g(x) y la exterior y = f(u).] Luego.
encuentre la derivada dy/dx.
Halle la derivada de la funci6n.
7. F(x) = (xi + 4x)’ 6. F(r) = (.P - x + I)’
1. v = (.I’ + 41 + 6)’ 2. \‘ = tan 3.x 9. y(l) = ,I?=%
I
3. ? = codtan r) 4. ?‘ = Jl + x’
'0. f(r) = (p _ 2, _ 5)'
5, v = ?'; 6. y =sen(e’l 1-r
12. f(r) = ;T+tant
20. J = (.r? + l)ylxl+
22. Y = Pcos 31
39. y = senml(senx))
40, ; = q'x + Jx+v:
42, ,, = 2“'
Encuentre una ecuaci6n de la recta tangente a la cuwa en el
punt” dad”.
30. y=Jl+2ta"x
32. y = cd (cos kr)
34. y = xsen~
I
8
43. 1 = -, (4,2)
J4f
44. ? = senx + cos 2x, (7116, 1)
45. y = sen(senx), (T,O)
46. y = 10’. (1. 10)
47. (a) Encuentre una ecuacidn de la recta tangente a la curva
y = 2/(1 + e? en el punto (0, I).
z (h) Ilustre el incise a) graficando la cur-a y la recta tangente en
la misma pantalla.
44. (a) La CUIW y = 1 xi/J= se conoce coma cum de nariz
de bala. Encuentre una ecuaci6n de la recta tangente a esta
curw, en el punt0 (I, I ).
EZ (b) llustre el incise a) graficando la cuwa y la recta langate en
la misma pantalla.
49. (a) Si ,f(.r) = +/1-11/v. encuentre ,f’(x).
“.: (h) Compruebe que w respuesta al in&so a) es razonahle
comparando lab &&as de f y f ‘.
50. (a) Sif(.r) = I/(cos'm +9 sen'rrx),encuentre/'(x).
rm (h) kiiique que su reapueata de la pane (a) resulta razonable al
cornpam las grfdkas de f y f ‘.
51. Halle todos 10s punros de la granca de la funclan
f(x) = 2 sen.r +sent’.r en 10s que la recta tangente es horizontal
52. Halle las ahcisas de todos 10s puntos de la CUIW
? = sen 2x 2 sen x en lo que la recta tangente es horizontal.
53. Suponga que F(.rI =.f(gCx)) y g(3) = 6. g’(3) = 4, f’(3) = 2, y
.f'(61 = 7. Halle F’(3).
54. Suponga que w = u 0 ” y u(0) = I, u(0) = 2, u’(O) = 3.
u'(2) = 4, v'(O) = 5, y v'(2) = 6. Halle w’(O).
55. Se da una tahla de valores para f. g, /‘. y g’ halle.
(a) Si h(x) =f(g(xl). halle h’(l).
(b) Si H(x) = g(.f(xl), halle H’(I).
56. Seanf y g Ins funciones de1 ejercicios 5.5.
(a) Si F(x) = f(f(x)), halle F’(2).
(h) Si G(x) = g(g(x,), halle G’(3).
57. Si .f y g son Las funciones cuyas gr&ficas se muestran, scan
ulx) = f(g(,x)), v(x) = g(f(x)), y W(I) = g(g(x)). Encuentre
cada derivada, si la hay. Si no existe, explique por que.
(a) u’(l) (b) u’(l) Cc) w’(l)
Y
\ 1
\
c
t
.+-
/
/
9
I x
59. Si f es la funcidn cuya grUxa se muestra, sea h(x) = f(f(x)) y
g(x) = f(2). Use la grAfica de jpara estimar el valor de cada
derivada.
(a) h’(2) (b) g’(2)
59. Utilice la tabla para esfimar el valor de h’(0.5). donde
h(r) =ilq(.rJ).
66 Si g(l) = f(f(x)), use la tabla para estimar el valor de q’( I j.
61. Suponga que / eb dilerenciablc en R. Sean F(k) = j’(e’I y
Ci.r) = e”“. Encuentre expre+ones para (aI F’(L) y (b) G’(x).
62. Suponga qur ,f e\ dlferenciahlr en R y a e\ un nlimero real.
Sean F(I) =f(.r”) y G(I) = [,fix)]“. Encuentre expresione\
para Cdl F’(r) y (b) G’(xl.
63. El desplaamiento de una panicula en una currda que vibra 10
representa la ecuaci6n
5(t) = IO + ;se”(lOmj
donde 7 se mlde en centrimetros y fen segundos. Encuentre la
veloadad y la aceleraci6n de la particula despuCs de r segundos.
64 SI r = A cos(wf + 61, enprese la ecuaci6n del movimlento de
una panicula, se dice que esa particula describe un mowmw~m
nrmdnico ~intple.
(a) Encuentre la velucidad de la particula en el instante r.
(b) ;,Cu&Ido la velocidad es O?
65. Una estrella variable Cefeida tiene brillantez que aumenta y dw
minuye de manera altemada. La ectrella de ese tipo m& visible
es la Delta Cefelda, para la cual el intervals entrc los mementos
de mAxima brillantez es de 5.4 dias. La brillantez promedio de
esta estrella es de 4.0 y su brillantez cambia en k0.35. En vista
de estos dates, la brillantez de la Delta Cefeida en ei tiempo r,
donde Cste se mide en dfa?. se ha mod&do par la funcidn
B(t) = 4.0 + 0.35sen(27rr/5.4J
(a) Halle la razhn de cambio de la brillantez despu.& de r dias.
(b) Encuentre, correcta hasta dos decimales. la rarhn de cambm
del aumenm despuk de un dia.
66. En el ejemplo 4 de la secciiin 1.3 se kg6 a un modelo para la
duracl6n de la IUL del dia (en horas) en la ciudad de Filadelfia el
dia f del aim.
Else este modelo para cumparar c6mo aumenta el mimero de
horas de IUL de1 dia en Filadelfia ei 21 de mnrzo y el 21 de
mayo.
ze 67. El movimiento de un resone sujeto a una fuerza de fricci6n o
una fuerza de amortiyuamiento (coma es el amoniguador de un
aurom6vil) suele modelarse con el producto de una funci6n
rnpunencial y una fimci6n sent 0 coseno. Suponga que la
ecuaci6ndel movimiento de un punto de este resone es
s(r) = 2e-’ 5 sen2nr
Donde s se mide en centimetros y fen segundos. Encuentre la
velocidad a 10s f segundos y grafique tanto la funci6n de
posici6n coma la funci6n velocidad. 0 s f s 2.
66. En cienas circunstancias, un rumor se esparce seghn la
ecuac,6n
I
Pl,, =
I + ae k’
donde p(t) es la proporci6n de la poblaci6n que lo conoce en el
tnnpo f, y LI y k son constanfes positivas. [En la Sec. 9.5 verc-
mos que 6s~ es una ecuac,h rarunable para p(r).]
(al Encuentre limp(t). I+-
(b) Halle la velocidad de esparcimiento del mmo~.
Cc) Grafique p para el cas, en que o = 10. k = 0.5 con, en
horas. Use la gr&fica para estimar cukxo tiempo transcunir~
para que el 80% de 18 poblaci6n eccuche el mmor.
69. Elflash (unidad de destello) de una c&man opera par el almace-
namiento de carga en un capautor y FU liberacidn repentina
cuando se lanza el destello. Los dates riguientes describen 18
cargo que queda en cl capacitor (en microcoulomh~ NC) en PI
msfante I (en segundos).
(a) Use una calculadora graficadora o computadora para
encontrar un modelo enponencial para la carga. (Vea ia
secci6n 1.2.)
(b) La derivada Q’(r) representa la corriente ektrica (en
m~roamperei. fiA) que fluye del capacitor hacla el bulb,,
de la Mmpara de destello. Con ei resultado del in&so a),
ertime la corriente cuando f = 0.04 S. Compare la respuesta
con el resultado de1 ejemplo 2 de la secciirn 2.1.
En la tabla se da la poblacidn estadounidense. desde ,790 hasta
1860.
(a) Por media de un calculadora graficadora o una
computadore. ajuste una funcidn enponencial a 10s dams.
Sitlie 10s puntos dam en una gr&ica y grafique el modelo
exponential correspondiente. (,CU&I bueno es el ajucte?
(b) Estime las tasas de crecimiento de la poblan6n en I KW y
1850. promediando las pendientes de recta secantes.
(c) Use el modelo exponential de1 incise a) para esrimar lar
tasas de crecimiento en 1800 y 1850. Compare estas estima-
ciones con las de1 incise b).
(d) Utilice el modelo enponenc~al para predecir la poblacihn en
1870. Compare con la poblaci6n real de 3X.588,000. LPuede
explicar la discrepancia?
71. Los sistemas algebraicos para computadora (SAC) tienen coman-
dos que derivan funciones, pero la forma de la respursta quizi
no convenga, coma consecuencia. pueden ser necesanos otros
comandos pua slmplificarla.
(a) Use on SAC para hallar la derivada de1 ejemplo 5 y
comp~rela con la respuesta en ese ejemplo. Enseguida, use
el comando de simplificaci6n y vuelva a comparar.
(b) Utilice un SAC para derivar la funci6n de1 ejemplo 6. ;QuC
sucede si usa el comando de simplificacibn? iQuC ocurre si
emplea el comando de factorizaci6n? ;Cusl forma de la
respuesta se& la mejor para localize las tangentes horizon-
tales
72. (a) Use un SAC pxa derivar la funci6n
J(x) = \i’:rI:;:
y simplificar el resultado.
(b) ;En d6nde la gr&a tiene tangenter horiLontales?
(c) Trace la gr&ficas de,fy J’ en la misma pantalla. ;Son
coherenres las gr&icas con so respuesta al incise a)?
73. Use la regla de la cadena para demostrar lo siguiente:
(ai La derivada de una funci6n par es una funci6n impar.
(b) La derivada de una funci6n imps es una fun&n par.
74.
75.
76.
77.
78.
Use la @a de la cadena y la @a de, producto para dar otra
demostraci6n de la regla del cociente.
[Sugerenria: Escriba f(x)/g(x) = J(x)[g(~)]~‘.]
(a) Si n es un entero positive, pruebe que
$ (se”” x CO? nx, = n *en”-’ xc”s(n+ I)*
(b) Encuentre una f6rmula para la derivada de y = cosl cos IU
que sea semejante a la de1 incise a).
Suponga que ? = J(x) s una curva simpre situada por arriba del
eje de las abcisas y que en ninghn punto tiene una tangenre
horizontal. siendo J derivable en todo punto. iPara qut valor de
P, la r&n de cambio de y’ con respecto a x veces mayor que la
rar6n de cambio de J con respecto ax?
Use la regla de la cadena para demos&u que si 0 se mide en
grades, entonces
$ (ren0) = & cos 0
(Esto da una raxin para la convenci6n de que siempre se use
radios cuando se manejen funciones trigonom&icas en el
cSlculo: las f6rmulas de derivaci6n no serfan tan sencillas si
usiramos grandes.)
(a) Escriba / x 1 = J? y aplique la @a de la cadena pxa
demosvar que
$lA=fi
(b) Si J(x) = /se,, x 1, encuentre J’(x) y trace las @kas de Jy
f I ;En d6nde no es diferenciable f?
(c) Si g(x) = sen 1 x 1, halle g’(x) y gratique g y 9’. iEn d6nde
no es diferenciable g?
3.6 Frivacih implicita
funciones que hemos encontrado hasta ahora se pueden describir expresando una ~a-
riable explicitamente en t&minos de otra variable; por ejemplo,
y=&77 0 y = x senx
o, en general, y = f(x). Sin embargo, algunas funciones se definen implicitamente par
media de una relacidn entre x y y coma
12 + y: = 25
En algunos cases, es posible resolver una ecuaci6n de ese tipo paray coma una funci6n (o
varias funciones) explicita de x. Par ejemplo, si resolvemos la ecuaci6n 1 para y, obtene-
mos y = Z%/m, de modo que dos funciones determinadas par la ecuacidn implicita
I son f(x) = ym y g(x) = -,m. Las gr4ficas de f y g son 10s semicfrculos
superior e inferior de1 cfrculo x2 + J* = 25 (v&se la figura I).
Y
I
)
0 x t
I
x 0 x
No es f&A resolver a mano la ecuacidn 2 para y explicitamente coma funcidn de x.
(Con un sistema algebraico para computadora no hay dificultad, pero las expresiones que
se obtienen son muy complicadas.) Pero (2) es la ecuaci6n de una curva llamada folio de
Descartes, (Fig. 2) y, de manera implicita, define y como varias funciones de x. En la
figura 3 se mue~tran las grificas de tres de esas funciones. Cuando decimos que f es una
funci6n defmida implicitamente por la ecuaci6n 2. queremos dar a entender que la
x1 + [f(x)]’ = 6xf(x)
es verdadera para todos 10s valores de x en el dominio de f.
f
I 0 0’ I x
v
L 0 *
Folio de Descartes Grfdicas de tres tunc~ones detin,das par et toho de “escartes
Por fortuna, no es necewio resolver una ecuaci6n para conocer y en t&minos de x con
el fin de hallar la derivada de y. En luger de ello, podemos aplicar el mktodo de derivacih
implicita. he consiste en derivar ambos miembros de la ecuaci6n con respecto ax y. a
continuaci6n. resolver la ecuaci6n resultante en y’. En 10s ejemplos y ejercicios de esta
secci6n, siempre se supone que la ecuaci6n dada determina y implicitamente ccnno una
funci6n diferenciable de x, de modo que puede aplicarse el mCtodo de derivaci6n implicita.
\“I Si x2 + y* = 25, encuentre 2
(b) Encuentre la ecuacidn de la tangente al cfrculo x2 + y* = 25 en el punto (3,4).
(a) Derive ambos mlembros de la ecuaci6n x2 + y’ = 25:
2 (x2 + y*) = $ (25)
$ (2) + $ (y2) = i-j
226 :;
Kecuerde que v es ““a funci6n de x. aplique la regla de la cadena y tendra
Por lo t3”10, 2.r + 2x $ = 0
Ahora. resolvemos e.a ecuxi6n para dr/d.r:
d) A
d\ Y
(b) En el punt” (3.4) tenemos \ = 3 y y = 4, de mod” que
d> 3
dx 4
Por lo tanto, ““a ecuaciirn de la tangente al circulo en (3, 4) es
v - 4 = -:(x - 3) 0 3i + 4) = 25
(b) Al resolver la ecuaci6n 1’ t v’ = ?S. obtrnemoc y = Z,,?S - 12 El punto (3.4)
se encuentra en el semicirculo superior J = 425 - .x2 y. par consiguiente, consideramos
I” funcidn ,f(.r) = ,‘%?. Al derivar f pw la regla de 13 cadena tenemos
Luega
ys coma en la solucidn I, la ecuaci6n de la tangente es 3x + 4~ = 25
NOTA 1 n En cl ejemplo I se iluvtre que. in&so cuando es posible resolver ““a ecua-
cidn de manera explicita para ?’ en tPrminos de x, pucde wr mk fkil aplicar la derivacicin
implicita.
NOTA 2 - La expresi6n dy/dx = --r/y da la derivada en tkrminos tanto de x coma de
?. Esto es corrects sin importar curl f”nci6n \‘ queda drterminada par la ecuacid” dada.
Por ejemplo,para y = f( a) = $K77 tenemos
d\ 1 I --~
r/x ? ,25 - .xJ
en tantO que para v = g(x) = -,‘?5- resulta
(a) Encuentre y’ si x3 + y’ = 6ry.
(b) Halle la tangente al folio de Descartes x3 + y’ = 6.~ en el punto (3, 3).
(c) i,En cu&s puntos de la curva se tiene que la recta tangente es horizontal o vertical?
(a) Si se derivan ambos miembros de x’ + y’ = 6xy con respecto ax, considerando y
coma funci6n I y usando la regla de la cadena en el t&mino y’ y la regla de1 product” en
el tCnnino 6xy, obtenemos
3x’ + 3y’y’ = 6y + 6.4
0
Ahora despejamos y’:
2 + y2y’ = 2y + 2x4”
(y2 - 2x)y’ = 2y - x*
?
t
y un vistazo a la figura 4 confirma que Cste es un valor razonable para la pendiente en
(3, 3). De ate mod”, una ecuaci6n de la recta tangente al folio en (3, 3) es
y-3=-1(*-3) 0 x+y=6
(c) La recta tangente es horizontal si y’ = 0. Si se utiliza la expresi6n para y’ de1 incise
a), vemos que y’ = 0 cuando 24‘ - x2 = 0. Al sustituir y = fx’ en la ecuaci6n de la
CUTYB, obtenemos
lo cual se simplifica para quedar x6 = 16.2. De modo que .x = 0 o bien ,$ = 16. Si
.r = 16”’ = 2’“. entonces y = $2”‘) = 2”‘. Por lo tanto, la tangente es horizontal en
(0. 0) y en (24”. ?i” ). lo cual es aproximadamente (2.5198.3.1748). Al estudiar la figura 5,
vemos que nuestra respuesta es razonable.
La recta tangente es vertical cuando el denominador en la expresi6n pan dyldr es 0.
Otro mktodo es observar que la ecuaci6n de la curva no cambia cuando se intercambian x
y y, de modo que la curva es simktrica respect0 a la recta y =x. Esto significa que las tan-
gems horizontales en (0, 0) y (2’!‘, 2”‘) corresponden a tangentes venicales en (0, 0) y
(2”‘. 2”‘). (V&se Figura 5.)
NOTA 7 Exist? una fckmula pan las tres rakes de una ecuaci6n ctibica. que es seme-
jante a la fkmula cuadratica pero mucho m&s complicada. Si usamos esta fkmula (o un
SAC) para resolver la ecuacidn x’ + y’ = 6q para y en tCrminos de 1, obtenemos tres
funciones determinadas por la ecuaci6n:
FIGURA 6
FIGURA 7
Encurntre v’ sisen(.r + ?) = ?.‘cos x.
Si deriva implici~amente con respecto ax y recuerde que y es una funci6n 1,
obtiene
COS(.\ + ?) . (I + ?.‘, = 2yJ’c”s x + y-sen.r)
(Note que en el primer miemhro aplicamo\ Ia regla de la cadena y, en el Segundo, la regla
de la cadena y la del pmducto.) Si agrupamo~ 10s tkrminos que contienen ?.‘, ohtenemos
Por lo que
En la figura 6 Aihujada con el comando de construir gtificas en forma implicita
de un SAC--. se muatra parte de la curw senjx + ?) = J’ cos x. Como comprohaci6n
de nuestro cSlculo. adviena quc v’ = I cuando x = \’ = 0 y en la grSica parece que la
pendiente es alrededor de -I en el origen.
Se dice que do\ curvas son ortogonales SI en cada punto de intersecci6n sus rectas tan-
gates son perpendicularrs. En el ejemplo que sigue, aplicamos la derivaci6n implicita
para demostrar que dos familias de curvas wn trayectorias ortogonales una de la otra; es
deck. cada curva de una de las familias es onogonal a cada una de Ias curvas de la otra
familia. En varias &as de la fisica surgen Ias familias ortogonales. Pm ejemplo, en un
campo electrostkico las lineas de fuerra son ortogonales a las lineas de potential cons-
tank En termodirGmica, lx isotermas (curvas de temperatura igual) son ortogonales alas
linear de flujo del calor. En aerodin&mica, Las lineas de coniente (curvas de direcci6n del
Sujo de aire) son las trayectorias ortogonales de las cuwas equipotenciales de las veloci-
dada
La ecuaci6n
“? = c cf0
representa una familia de hiperbolac. (Lo\ diferentes valores de la constank c dan hipk-
holas diferentes. V&se la Fig. 7.) La ecuaci6n
x2 p = k k#O
representa otra ramilia de hiptrholas con asintotas y = Z-r. Demuestre que cada curva de
la familia (3) es ortogonal a cada curva de la familia (4); esto es. las familias son trayec-
toria ortogonales entre si.
s 0 ! La *rrlYaCl”” de 18 ecuacl”” 3 da
J+*$=” de modo que
La derivaci6n implicita de la ecuacidn 4 da
Con hase en (5) y (6) vem”~ que, en cualquier punt” de interseccicin de las tunas de
cada familia, lx pendientes de las tangentes son reciprocas negativas una de la otra. Por lo
tanto. las curvas intersecan a dngulos rectos.
Derivadas de las funciones trigonomh4cas inversas
Podemos utilizar la derivaci6n implicita para hallx lx derivadas de las funciones trig”-
nomt%icas inversas. Recuerde que
Si se deriva se” \ = r implicitamcnte con respect” ax, se ohtiene
Ahora bien cos y > 0, ya que r/2 S v S ~/2. de mod” que
PO1 lo tanto
La Crmula para la derivada de la funci6n arco tangente se “htiene de manern semejante.
Si y = tan %, entonces tan v = x. Si se derive esta filtima ecuaci6n implicitamente con
respect” a 1. tenemo\
FIGURA 8
3.6 Ejercicios
1
Derive (a) y = __
Se”-‘x
y (b) f(x) = x tan-’ J;.
(a)
dy d _=-
dr dr
(sen?x)-’ = -(sdx)-Z $ (sen-‘x)
(b) f’(x) = tan-‘& + x , + ;A,? (ix-+)
tan-‘q5 + & =
2(1 + x)
Las funciona trigonom&icas inverhas m8s utiliradas son las que discutimos anterior
mente. Las deriudas de las cuntro restantes se dan en la tabla que sigue. Las demostra-
ciones de estas f&mulas se deja coma ejercicio.
(a) Encuentre y’ par derivaci6n ~mplicita.
(b) Resuelva la ecuacidn en forma explicita para y y derive pan
obtener y’ en tCtinos de x.
(c) Compruebe que us soluciones para 10s incuos (a) y (b) son
consistentes, sustituyendo la expresi(m para y en su soluci6n del
incise (a).
1. xy + 2r + 3x’= 4 2. 4x’ + 9~’ = 36
3. ‘+I=, 4 &+Jy=4
x Y
Encuentre dyldx par derivaci6n implicita.
5. 2 + yz = I 6. 2 - y? = I
7. .I’ + xiy + 4$ = 6 6. .x2 - 2xy + ?’ = c
9. x*y + xy* = 3.x 19. 4.5 + x53 = 1 + Ye’2
11. 2 = xi + I
x-y
12. m+J;s=6
13. J;; = I + x?y 14. &Tp = 2X?
15. 4 cos x se” y = I 16. x se” y + coszy = cos )’
17. cos(x - y) = xe’ 16. xcosy+ycosx= I
19. xy = cdxy) M. senx+cosy=senxcosy
21. Si x[f(x)]’ + x/(x) = 6 y f(3) = I, halle f’(3).
22. Si [g(~)]~ + 12x = x’g(.r) y g(4) = 12. halle q’(4)
Considere Y c~mo la variable independiente y x coma la
variable drpendiente y utilice la derivaci6n implicita pan hallar
dxldy.
23. y’+xy+u’=y+, 24. (2 + ??)Z = ax?)’
II. 1)
(piriforme)
Cc) Hallc Ia; coordenadas I exaclas de 10s punros mencionado<
en cl inck (a).
(d) Cree c”rva in&so mis caprichosas modificando la
couacih dcl incise (a).
34. (a, La CUIVH UL,” ecuacii,n
\c ha ligado n “n carret6” que rebota. Utilicc “n SAC para
graficarla y dexubra par q”C.
(h) ;En cuintos punt”* Gene tmgentea horizontalcs estil c”rv;1”
Encurntre ias coordenada .r de c\,o\ punt”,.
35. Hallc 10s puntos de la lemniscata del ejercicio 29 donde la
tangenre sea horizonral.
36. Dcmuc~c por Jrrwacidn implicila q”c la rangcntr a la cltp\e
37. Encuentre ““a ecuacilin de la recta tanfente a Ia hitirbola
XI-i=
u1 h’ ’
cn el punt0 ,.r,,, I”).
39. Demuewe. empirando la denvacidn implicita, quc ualquier
recta tangcotc II 1,” circula. con CCIBKO 0. 2” et punt0 P. es per-
pend,cular al r:rdru OP
40. La regla de la potcnc~~ se puedc demostrar “tilirando la
deri\acidn implicita cuando n es “n nlimero r”cional. n = p/q. y
si de ~ntemano ,e supone que > = ft.<) = X” es derivahlc. Si
v = xi ‘I, enlonces y(’ = .r”. Utilice la denvaci6n irnplicila pard
dem”\lrx que
63. Demuestre la f6rmula para (d/dr)(cosC’x) coo el mismo metodo
que el de (sen~‘/dr)(sen~‘x).
54. (a) ha manera de dehnir sec-‘x es deck que
y = seC'x W set y = x y 0 =S y < 7112 o bien,
w S y < 3?r/2. Demuesve que, si se emplea esta defmicihn,
e”t”tlCeS
(b) Otra manera de definir xc-lx que se emplea algunas veces
esdecirquey=sec~‘~Qsecy=xyO~y~~,y#O.
Demuestre que si se ufiliza esta definicibn, entonces
L,. ‘I‘ Demuestre que las cwvas dadas son onogonales55. 2x2 + y2 = 3, x = y?
56. x2 - y? = 5. 4x' + 9y' = 72
51. Las cuws de nivel en un mapa de una regi6n monttiosa son
cwvas que unen puntos con la misma elevacihn. Una pelota que
suede hacia abajo de una colina sigue una curve de1 descenso
m& pronunciado. la cual es ortogonal alas cowas de nivel.
Dad” el mapa de curvas de nivel de una colina que se muestm en
la figura. grafique las trayectorias de las pelotas que paian de las
posiciones A y B.
8~ A
600
‘loo
30”
20”
B
400
56. A menudo, 10s meteordlogos que aparecen en la TV presentan
mapas en que se muestran frentes de presihn. En esos mapas se
enhiben las isobaras: cunw a lo Iargo de las cuales la presi6n
del axe es consranre. Considere la familia oe Isobaras de la
figura. Trace las gr.&as de varies miembros de la familia de
trayectorias ortogonales de las isobaras. Dad” qoe el viento
sopla de las regiones de alta presi6n de1 aire hack las de baja
presidn, indique qu& representa la familia ortogonal.
Demuestre que las familias dadas de CUIWS son trayectorias
ortogonales en&e si. Grafique ambas familias de curvas usando 10s
mismos ejes de coordenadas.
59. x2 + y2 = r’, M + by = 0
66. x2 + y’= ar. x2 + y’= by
61. y = cx2, .x2 + 24' = k
62. y=lLr’, x2 + 3~' = b
63. La ecuaci(m x1 - xy + y2 = 3 representa una “elipse girada”;
es deck. una elipse cuyos ejes no son paralelos a 10s ejes de
coordenadas. Encuentre 10s puntos en qoe esta elipse cm~a el eje
x y demuesne que las recta tangentes en estos puntos son pan-
lelas.
64. (a) iD)bnde la recta normal a la elipse x2 - xy + y2 = 3 en el
punto (-I, I) la cruza por segunda ver?
(b) Ilusue el incise (a) graficando la elipse y la recta normal.
65. Encuenve todos 10s puntos de la curva x2$ + xy = 2 donde la
pendiente de la recta tangente es -I.
66. Halle las ecuaciones de la dos recta tangentes a la elipse
x2 + 41.2 = 36 que pasen por el punto (12, 3).
61. (a) Suponga que f es una funcihn diferenciable biunivoca y que
so funci6n inversa f ’ tambiCn es diferenciable. Utilice la
derivackin implicita pan demos&u que
(f ')'(d = f,(,f!,(x,,
siempre que el denominador no sea 0.
(b) Si f(4) = 5 y f'(4) = 1, halle (f m’)‘(5).
68. (a) Demuestre que f(x) = 2r + cos r es biunivoa
(b) iCuSl es el valor de f '(I)?
(c) Use la f6mula del ejercicio 6.47a) para hallar (f m')'(l)
69. En la figura se muestra una Mmpara colocada ues unidades
ha& la derecha de1 eje y y una sombra creada por la regi6n
eliptica x2 + 4y’ =Z 5. Si el punto (-5.0) estt4 en el horde de la
sombra. jcuh aniba del eje x est& la Mmpara?
1
t
f’
f
-3-3
La grAfica de f(x)= 'L cosx y su
primera y segunda derivadas.
3.7 Derivadas de orden superior
Sifes una funci6n derivable, su derivada f’ Iambi& es una func%n, asi que f’ puede tener
una derivada por derecho propio. Dicha derivada se representa coma (.f’)’ = f”. Esta
nueva funcidn, f” se llama segunda derivada de f, por ser la derivada de fi usando la
notaci6n de Leibnir escribimos la segunda derivada de ? = f(x) coma
Otra notaci6n es f”(x) = @f(x).
Si f(x) = x cos x, halle e interprete f "(xi
Por la regla del product” tenem”\
d d
f’(x) = .x d, (cm .x) + cm x dx (xi
= -x sen I + cos x
Para obrener ,f”(x) derivamos f'(r):
d
.f"I.t) = z c-x senr + cosr)
= -x $ (sen x) t StT"l$ (-x) t 2 (cos x)
= -.x cosx - senr - Sal
Las gr~ficas de f, f ‘, y .f” x mueman en la figura I.
Podemos interpreta ,f”( c) coma la pendiente de la CUIYB y = .f’(x) en el punto
(x,f’(x)). En otras palabras. es la ruirn de cambio de la pendiente de la curva original
y = f(.r).
Observese en la tigura I quc f”(1) = 0 siempre que y = f’c.r) time una tangente
positiva y es negativa cuando. f”(x) tiene pendiente negativa J = ,f’(x). Asi pues, las
grfiticas no5 sirven para veriiicar nwst~os c5lculos.
En general. podemos interpreter una segunda derivada coma la razdn de cambio de una
raz6n de cambio. El ejemplo m8s famoso de esto es la acelrracidn que detiniremos coma
sigue.
Si s = s(f) es la funcidn de posici6n de un objeto que se mueve en linea recta, sabemos
que su primera derivada presenta la velocidad u(t) de1 objet” como una funcicin del tiempo:
v(r) = s’(t) = J$
La ran511 instantjnea de cambio de la velocidad con respecto al tiempo se llama ace-
leraci6n a(t) del objeto. Asi, la funci6n aceleraci6n es la derivada de la funci6n velocidad
y. par tanto, es la segunda derkada de la funci6n de posicibn:
n(r) = U’(f) = J”(f)
, ,.Z”L La posicidn de una particula estj por la ecuacibn
s =fCt) = f' - 6t' + 91
donde r se mide en segundos y s en metros.
(a) Hallr la aceleraci6n en el instante t. iQu6 valor tiene la acsleraci6n a 10s 4
segundos?
(b) Gratique la posicidn, la velocidad y la aceleraci6n para 0 s f s 5.
cc) LOAndo va aumentando la rapider de la panicula’? ;CuAndo va perdiendo rapidrl?
(a) La funciSn dc velocidad es la derivuda de la funci6n de posicidn:
J =f(ri = f' 6r' + 9f
La aceleracidn ec la derivada de la funcidn velocidad:
n(4) = 6(4) - 12 = I2 m/?
(b) La tigura 2. muestra la\ ~r~ticas dc s. 1). y (1.
(cl La particula gana rapldrz cuando la wlocidad es po\itiw y crrcirnte (u y u son posi-
tins) y tambi& cuando 11 \elocidad es negativa y decreciente Iv y n son ambas nrgati-
US). Dicho de otro modo. la particula aument~ w rapider cuando la velocidad y la
aceleracidn tienen el mi\mo cigno. (La particula es rmpujada en la direccidn en que ya
\e mueve,. En la tigura 2 \ernos que esto “cure cuando I < f < 2 y cuando f > 3. La
particula pierde rapidez cuando t’ y N son de ?ignos contwius. e\ decir. cuando
0 s f < I 1 cuando 2 < f c 3. La figure 3 representa un rc~~~en del movimiento de la
pxticula.
t
La tercera derivada .f”’ es la derivada de la segunda derivade: f”’ = if”)‘. De mode
que f”‘(x) se puede interpretar coma la pendiente de la curva y = f “(x), o coma la ran%
de cambio de f”(xi. Si ? = f(x), las siguientes son altemativas pan denotar la tercera
derivada.
\.“’ =f’yx) = $ !!f$ = 2 = o’f(x)
i J
El proceso puedc continuar. La cuarta derivada f”” suele denotarse f”‘. En general, la
n-t%ima derivada de f se denota con f’“’ y se obtiene derivando n veces la funci6n f Si
J = f(x), escribimos
Se puede interprets la tercera derivada fisicamente en el case de que la funci6n qea la
funcicin de posici6n de un objeto, s = s(r) en movimiento sobre una linea recta. Dedo que
,$” = CT”) = a’, la tercem derivada de la funci6n de posici6n es la derivada de la funciirn
aceleraci6n y se llama tirSn fen ingl&, jerk):
da d ‘s
J=z=x
Asi. tir6n es la raz6n de cambio de la aceleracibn. El nombre es apropiado porque un valor
grade de tir6n significa un cambio siibito en la aceleraci6n. que cause un movitniento
abrupto en un vehiculo.
y. de hecho, y”’ = 0 para todo n a 4.
Si [(rr = +, determine .f’“‘(x).
f’“‘(x) = (FI)“n(n -- I)(n - 2) “. 2 . I ‘i-1,
En este case hemos empleado el simbolo factorial n para representax el producto de 10s
primeros n enteros positivos.
I “!=l.z.j. .(“-I).” I
El ejemplo que sigue se muestra c6mo encontrar la segunda derivada de una funci6n
definida implicitamente.
Determine y” si x1 + yJ = 16.
5;) ~’ U? Al derivar implicitamente la ecuaci6n con respecto ax obtenemos
4x” + 4v’y’ = 0
Al despejx J’ llegamos a
Para halIar y” derivamos esta expresi6n de y’ mediante la regla del cociente y recordando
que y es funci6n de x:
y’ (d/d,+‘) x1 (d/dx)(y’)
(Y’T
Si ahora sustituimos la ecuaciirn (I) en esta expresi6n. Obtendremos
3(.2y’ + x”) 3x’(y’ + x’)
?.’ ).:
Pero 10s valores de x y y deben satisfacer la ecuaci6n original, x1 + ?.’ = 16. Entonces. la
respuesta se simplifica 23
Determme U”cos x.
I 1, h: Las primeras derivaciones de cos .r son:
D cos 1 = - senrD’cos x = --cos x
D’cos .r = senx
Las derivadas sucesivas se repiten en un ciclo de longitud 4 y, en parwwar,
D”cos x = cos .r cuando n es mtiltiplo de 4. Asi,
y derwmdo tres veces m&, llegamos a la respuesta
Hemos vista que una aplicaci6n de las derivadas segunda y tercera surge al analirar el mo-
vimiento de objetos en thminos de aceleraci6n y tirh. Integraremos otra aplicaci6n de las
segundas derivadar en el Ejer. 62 y en la Sec. 4.3, dondc mostramos c6mo el conocimiento
de f” puede darnos informackh respecto 3 la forma de la grBfica de,f En el capitulo I I
vemos de que manera es que las derivudas segunda y tercera y subsiguientrs nos permiten
representar las funcionec coma juegos de wies infinitas.
3.7 Ejercicios
1. Esta figura tnuestra las gr&ficas de f. ,f’, y ,f”. ldentifique,
cada CUN~ y exphque sus eleci,,nes.
?
,:
/’
‘~ -----_“----~
/ I h
/’
2. La figura nuestra tas graficas def, f ‘, , “, y f”. Identlque
cada cwva y enplique sus respuestas.
>
t a
4. La figura muestra las gr%cas de cuatm funciones. Una es la
funci6n de poslcih de un autom6vi1, ~tra es su velocidad.
la tercera es su aceleracidn y la riltima, es su tirh ldentitique
cada cuwa y explique sus respuestas.
3. La tigura que sigue presenta Ias gr&ticas de tres funciones. 7. y = co\ 28
Una es la funcidn de posich de un automtivil: otra, la
velocidad del mismo. y otra, su aceleraci6n. ldentifique, cada.
9. h(x) = ,m
C”rw y exphque S” elec1bn. 11. F(s) = (35 + 5)”
17. H(r) = tan 31 18. g(s) = sjcos s
19. g(r) = fqe5’ 20. ii(X) = tan li.r’J
21. (a) Si f(r) = 2 cot .‘i + s&, halle f’lx) y ,f”(r).
ib) Compmebe que sus respuestas del incise (a) scan raronable~
comparando Ias grtficas de 1. f’, y f”.
22. (a) Si f(x) = P’ 11’. calcule .f’(.r) y J”(x).
(b) Compruebe que sus respuestas a la pane (a) sea” raronable\
comparando las gr&ficas de ,f. f’, y ,f”
Detennme ?“”
23. ? = j2x
I -x
24. y = ~
1 + .r
25. Si f(x) = (2 - 3x) ’ ‘, determine j(O). f'(Oi, f"(0J.y f"(O).
26. Si g(f) = (2 f’)‘. determine g(O), g’(0). g”(O), y g”‘(0).
27. Si f(S) = cot 0, encuentre f”‘(r/h).
7.0. Si g(x) = ret x, halle 9”‘~71/4).
Calcule y” median@ derivaci6n implicita.
29. *‘+,‘=I 30. \;:+\/?=I
Encuentre una f6rmula para f’“‘(x).
33 f(.r) = *I
1
34. f(x) = 1
(I 5).
35. f(l) = e”
36. f(x) = ;;
37. f(x) = $
38-40 Determine la derivada que se pide a partir de las primeras
derivadas, observando el model”.
38. DWsen r
39. D"'co, 2.x
40. P"'.,r '
41. U” auto parado iilTanca y ,a gratlca de S” *““aOn de povc,on se
muestrn en la tigura. donde .\ es su medida en pies y I en
segundos. dsela para @icar la velocidad y estimar la
aceleraci6n de f = 2 see de la grSca de velocidad. De\pu&
trace una gr.Uica de la funci6n de aceleraci6n.
.T t
i2”
I “,I
8” I
6”
42. (a) La @fica de la fun&k de poslci6n de un auto se muestra
m& abajo. donde s es la medida en pies y I en segundos.
irsela para graticar la velocidad y aceleraci6n del auto.
iCuAl es la aceleraci6n a t = 10 seg?
‘I
(bi Use la cuwa de aceleraciirn de1 incise a) para esfimar el
tirhn a f = 10 seg. ~Cu~les son las unidades del tirbn?
Se da la ecuaci6n de movimiento, donde .r at& en metros
y fen segundos. Determine a) cuindo la aceleraci(m es 0 y b)
icuAnto valen el desplazamiento y la velocidad en esos mementos?
43. s = r3 - 3r
44. .x=r:-fi I
45. s = se” 27if
46. s = 21’ 7r’ + 41 + I
Se da una ecuacihn de movimiento donde 5 esta en metlos
y fen segundos. Encuentre (a) las veces en que la aceleraci6n es 0 y
(b, el desplaxmuento y la velocidad en esas veces.
47. .r = I* 4r’ + 2
49.
50.
tina parmuM se mueve de aouerdo con un3 ley de movimiento
x =f(l) = I’ - 12r‘ + 36r, f 2 0, don&f es la medida en
segundos y s en metros.
(a) Encuentre la sceleraci6n en un tiempo r y despu& de 3s.
(b) Grafique las funciones de po\ici6n. velocidad y aceleraci6n
deOStS8.
Cc) ;C&ndo ~“menta la panicuia su velocidad? ;CuSndo la
reduce!
Una particule se mueve a lo lar~ro dcl eje x. su po\ickin en el
rwnpo i c5ri dada par ~(0 = t/l 1 + I’ 1, I a 0. dondc I es la
medida cn segundo\ y .t en metro\.
(a) Encuentre la aceleracilin en cl tiempo 1. ;Cuindo es O?
d,vmnuye?
(bi Grafiqur las Sunciones de poiicihn. velocidad 1 aceieraciSn
para 0 s , s 4.
(bj Demurwe que la acelerauih r\ proporc~onal al
de~pluamiento v.
52 Una panicula se mueve a lo Iargo de una linea recta con un
despluamiento s(f). una velocidad v(t), y una aceleraci6n a(r).
MU~WZ que
Explique la diferencia entre las derivadas dvjdr y du1d.r.
53. Deduca un polinomio de seeundo grad” P tal que P(2) = 5.
P’(2) = 3. y P”(2) = 2.
54. Dedurca un polinomio de tercer erado, Q tal que Q(I) = 1.
Q’il, = 3. Q”(l) = 6, y Q”‘(l, = 12.
55. tina ecuam% Y” + ?’ - 2v = sen.x se llama ccuaci6n diferen-
cial porque imolucra una funci6n dexonocida y y ws derivadas
v’ y y”. Encuentre kc consfantc~ A y B con lx cualeb la Sunci6n
.v = A sen r + B cm .r satisfagan c\ta ecuacih (Las ecuaciones
diferenciales se estudiarjn con detallc en el capitulo. 9.)
54. Encuentre las con~tantes A, B y C con las que la funci6n
? = A.r’ + Br + C sa&face la ecuacuk diferencial
*,I * v, - 2v = 11.
56. Ecuentre 10s valores de A para Ios cuales y = c*l satisface ,a
ecuaci6n y + y’ = y”.
La funci6n g es diferenciable dos veces. Determine f" en
t&mum de g, g’, y g”.
59. f (1) = xqw )
fjQ. fCx) =d2
.'i
61. f(x) = s(A)
62. Si J’(s) = 31’ 1O.r' + 5. grafica f y f". ;,En quk intewalos
cc ,f”(ri > (I? En esos intervalos, i,ctrno *e relaciona la grfifica
de/ con su< tan~entcs? ;,QuC hay dc lo\ intcnalor en que
f”(I) < O’?
63. (a) Derive vaias veces la funci(ln f(x) = I/(x’ + x) basta que
las opemciones algebraicas se vuelvan casi inmanejables.
(b) Con la identidad
I I I
x(r+H x Ifl
determine las derivadas. A continuaci6n dedurca una
ecuaciirn de f ‘“I( r). Este m&do de descomponer una f&c-
cih en thunos de otras m& sencillas. llamadas frarcionrs
prrriales, se deuibiri con mB detalle en la cecci6n 7.4.
64. (a1 Si F(x) =f(.rlqCr). en donde ,f y q tienen derivadas de
todos 10s 6rdenes. demuestre que
F” = .f”g + 2.f’g’ + fq”
(b) Deduzca f&mulaa semejanfes pan F y F’“!
(cl Trate de proponer una fkmula para F’“‘.
65. Si ? = f(u) y u = q(x), en donde f y q son funciones derivables
dos veces. demuesue que
66. Si y =.fh) y u = g(x), en donde f y q tienen tcrce~a
denvada. deduzca una fdrmula para d’v1d.r’ semejante a la del
ejercicio 65.
iD6nde debe iniciar el descenso el piloto?
En la tigura se muestra una trayectoria de aproximacihn de un avi6n hacia la pista de aterrizaje.
SatisSace las condiciones:
(i) La altitud de1 avidn es h cuando inicia el descenso a una distancia horizontal e hasta que
foca la tier03
(ii) El pilot” debe mantener su xl&dad horizontal constante v durante todo el descenso.
(iii) El valor absolute de la aceleraci6n vertical no debe exceder la constante k (que es much”
menor que la aceleracidn debida a la gravedad).
1. Halle un polinomio de terce~ grade P(x) = ax’ + bx’ + TX + d que satisfaga (i) poniendo
condiciones apropiadas sobre P(x) y P’(x) en el instate de inicia el descenso y el de tocar
tiara.
2. Use Ias condiciones (ii) y (iii) pan mostrar que
6hv’
y:=k
3. Suponga que una aerolfnea decide no pemitir que la aceleraci6n vertical exceda a k = 860
mi/h’. Si la altitud de cmcero de un avi6n es de 35,COO pies y la velocidad de 300 mi/h.
~,a qut daxncia de1 aeropuerto debera inick el descenso el pilot”?
i 4. Grafique la trayectoria de aproximaci6n si las condiciones del problema 3 se satisfacen.
3.8 Derivadas de funciones logaritmicas
En esta secci6n usaremo~ la deri\acZmimplicita para hallar Ias derivadas de las funciones
logarftmicas y = log, x en particular. de la funcidn logatitmica natural y = In x.
Demostra Sea y = log, 1. Entonces
a’ =x
Si se deriva esta ecuaci6n implicitamente con respecto ax, con la fkmula 5 de la seccidn
3.5 obtenemos
a’(ln a) $ = I
y por conslguiente.
dy 1 1
dx a’lna x In a
Si en la fbmula I ponemos n = e entonces el factor In a del Segundo miembro se con-
vierte en In e = I y obtenemw la fkmula para la derivada de la funci6n logarftmica na-
tural log, r = In x:
J
t
se concluye que
Por IO tanto. {‘Lx) = I/\ parll U,d(l .\ # 0.
We Ia pena recordar el rrcultado del ejemplo 6:
Derivacih logaritmica
Con frecuencia. el c6lculo de drrivada\ de funcioncs complicada\ que comprenden pro-
ductos. coc~nte\ o potenciar he pucdc \impliticar tomando lo@tmos. El m&do que \e
aplica cn el cjcmplu \iguirnte \e lhna derivacih loparitmica.
mwmas DE ~~JNES mxRiTMicbs ; 243
Tomamos logaritmos de ambos miembros de la ecuaci6n y aplicamos laq
leyes de 10s logaritmos para simplificar:
In? = 3 In x + ; In(x2 + I) 5 ln(3x + 2)
Al derivar implicitamente con respecto a 1, resulta
5, x = 0. po’+?mos demmtral que
f’,O, = 0 para n > I de mode directo a
part,, de ,a defl”lcl6” de dfxvad.3
1dJ 3 I 2.x 3 rz=-l.r++.-- .__
x?+l 5 3.x + 2
Resolvemos para d\ldx, y obtenemo?
X”“,?TT 3
= (3x + 2)5 i
15
4x+
x
x1 + I 3x + 2 !
1. Tome logaritmos naturales de ambos miembros de una ecuaci6n y = ,f(x) y
utilice las leyes de 10s logaritmos para simplificar.
2. Derive implicitamente con respecto ax
3. Resuelva la ecuacidn resultante para obtener ?’
Si f(x) < 0 para algunos valores de x entonces Inf(x) no es16 definida, pero podemos
escribir 1 y / = 1 f’(l) 1 y pl d icar la ecuaci6n 4. Ilustraremos ate procedimiento probando la
versidn general de la regla de la potencia. segtin prometimo$ en la seccicin 3. I.
Si n es cualquier mimer0 real y f(x) = xn, entonces
f’(x) = nxli-’
Sea y = X” y apliquemos la derivacidn logaritmica:
Par lo tanto.
De donde,
244
El nhmero e coma limite
Hemos demostrado qur si flr) = In I. enhances f’(t) = I/\. Par lo kmto. f’(l) = I.
Apliquemoc ahora e’ito para expreur el nlimero 6’ CONKS un limite.
A partir de la detinicinn de derivada coma un limite. tenemw
,f ‘,,, = yp + y _ ,(“, fll + .y -f(l)
I ~.,I
li,n Inll + .\I In I
= lirn~l”(l + .,,
I .,/ r
= lillIl”( I + \.I1 x = In lllll , I + \)I B
, .,/ (:.I, -I’ 1 ]
Debido a que f ‘( I 1 = I. emonce\
In [yl + .\I’ ‘1 = I
Por tann
3’8 Ejercicios
13. F(x) = ~'ln.r
In I
15. v=-
I *.
246 0 REGLAS DE DERIVACION
Derivefy encuentre su dominio.
25. f(x) = ln(2x + I) 26. f(x) = &
21. ,f(.YJ = *‘Ml x’) 20. f (xl = In In In x
29. SI f(x) = &, halle f’(e).
30. Si f(x) = x’ In x, halle f’ili.
Halle una ecuaci6n de la recta tangente a la curva en el
punto que se da.
31. P = In In x, k, 0) 32. v = II&r’ + 11, (I, In 2)
15 33. Si ,f(x) = sen x + In x. encuentre f’(r). Compmebe si su
respuesm es raronable comparando las gr&icas defy f I
g: 34. Encuenue ecuaciones de las tangente a la cuwa y = (In x)/x en
10s puntos (I, 0) y k. l/e). llustre graticando la curva y SW rec-
tas tangenm
Aplique la derivaci6n logatitmica para hallar la derivada de
la funciirn.
35. ” = (?I + l)W - 3)” 36. y = &e’:(x2 + I)“’
3.9
47. Encuentre y’ SI Y = ln(x’ + v’)
48. Halle ,v’ si r’ = v’.
49. Encuentre una f6rmula pan fin'(~) \i .((I) = In(x I).
54. Hallc++lnr,.
51. Use la definic16n de derivaaa para probu que
lim Ml + XJ
i-0 ‘I
52. Demuexre que Km
! i
1 + x = c’ para cualquier I > 0 )/-I n
Funciones hiperbblicas
Cienas combinaciones de las funciones exponenciales r’ y I~’ se presentan con fanta fre-
cuencia en las matem,ilicas y EUS aplicaciones. que merecen identiticarse con nombres
especiales. En muchos aspectos son an&gas a las funciones trigonom&tricas y estin rela-
cionadas con la hipkrbola de la misma manera qur las funciones trigonom&icas con el
circulo. Por ate motive se les llama, en conjunto. funciones hiperh6licas e individual-
mate, se Irs denomina seno hiperb6lico. coseno hiperb6lico. et&era.
senh x =
e’+e t I
2
csch x = ~
senh x
I
sech x = ~
cash 1
ienh x
tanh x = ~-
cash x
coth I = ~
cash x senh x
Las grbficas de1 seno y coseno hiperb6licas se pueden traznr empleando la suma gti-
fiGI. comcl en las liguras I y 2.
‘t
Notarj que \enh tiene dominio W y la imagen R. mientras que cash tiene dominio W e
imagen [I. ~1. En la tiyum 3 w muestril Ia gr6fica de tanh. Tiene la asintotas horuontak
F = 11. (Ejer. ?3l.
Algunas aplicaciones mntem;iticas de Ins funcionr? hiperh6licas he dewihen cn el capi-
rule 7. En las ciencias y en la ingenieria se prcscntan kmpre que una entidad como la IUL.
la velocidad. la rlestricidnd o la radiactividad se ahsorhe o extingue en forma gradual.
porque el decaimiento w puedr reprewxar con funciones hiperh6lica\. LB aplicac~rin m6s
famo\a es el empleo del co\eno hiperb6lico paru dexrihir la tarma de un cable colgante.
Se pwde drmo\kr quc hi ye \uprndr un cable prsado y Rexihle. coma el de una linsa
telrf6nica o de una linsa de tr:mxmiGm. entrr do\ puntox a la mi\ma altuw. adopta? la
forma de una cur\a cuya ecuacihn e\ J = c + LI cosh(x/o;lrr) y Eva cuwa he lla~ uifwwr~~~
(Fig. 1). I,a palabra ~~rre~w. en Min. quiere deck “cadena”.
Las funcione\ hiperh6licar \ari\faccn \xiit\ identidades. que son an~loys a las cono-
cida\ identidada trigonom6tricas. A conrinuxi6n mencionaremo$ algwnas y dejaremos la
mayor pane de SK demostracione~ wnw e.jercicios.
:
senhl-r, = -wnh.~ co>h(kr) = co\h .I
co\h’r - \cnh’ I = I I tanh’r = sech’.r
enh I I + \.I = ,cnh I co\h \’ + cash I \enh J
cr,\h( x + \) = coch I co\h J + senh \ \enh \
Demwxre que \a) co&h-r - cenh’ I = I y (h) I tanh’.t = \ech’.r.
248
/
I
7 It
x + ,!1- + I i
x
--i .x2+ I
\!iTT + .\
= (.r + ,:rz + I),:$ + I
Determine $ [tanh ’ (\en L)].
Si rmpleamo\ la labia (6) y la rrgla de la cadena.
; 3.9 Ejercicios
Calcule el valor numCrico ds cada expreGn
1. (a, senhO lb) cu\hO
2. (a, tanhO ib) tanh I
3. (a, senh (In 2) (h) sent, 2
4. (81 ash3 lh, coshiln 31
5. (a) sech0 (b) co\h ’ I
6. (a, senh 1 (h) \enh~’ I
Demuewe cada una de la\ idsntldades Gpienre\:
1. senh(4 = -senh I
(Con MO queda clam que wnh a una funcicin impa /
0. coshl+ = cash .I;
tanh x + tanh \
14. IanhI, + v, =
I + tanh \ tanh ,
52. E\:,I”c lim ~
wnh,
>. <’
3.10 Tasas relacionadas
iii d,
-=? I\\\ I /)
A
LX
di
FIGURA 2
Si en e\ta ecuaci6n w\tituimo\ I = 25 y rlV/dr = 100 obtendremo\
Una escalera de IO pies de longitud se apoya en un mum vertical. Si w
rxtrcmo inferior se rehbala y aleja de la pared a una velocidad de I pie/s, i,con qu6
wlocidad \e desliza el rxtremo superior par el muro cuando el extreme inferior at5 a
\ei\ pie\ de la pared?
Primcro trwiltno~ y etlquetamo5 un dngrama. coma en la tigura I. Sean .r
pie\ la di%mcia del extreme inferior al muro y ?’ pies la del extremo superior al piw
Vemn que .I ) 1 wn funcioneq de f. cl tiempo.
Se nos dice quc ~li/dt = I pit/\, y se nos pide calculnr d\ldr cuando I = 6 pies IFig
2). En ale wo. Iii relaci6n entrc J y y la exprea el feorema de PitQoras
Al dcnvx cada lad” con respecto a i y aplicar la regla de la cadena, tenemos que
y al dapejar de e\ta ecuacii,n la rapidcz o tilsa que buscamo\. obtenemos
cp 1 d\
<ii J c/t
Cuando .r = 6. el teorema de PitQoras da come rrsultado ? = 8 y asi. al \ustituir ews
\alores en ~lr/dr = I. Ilepamo5 a
El hccho de quedvirlr sea negatko Ggnitica que la distancia del extremo superior de
la escalera al p,ro dwr(ic<~ :I un rang” de : pies/s, es deck que el extreme superior de la
escdera x re\bala par la pared a un rang, de 1 pies/s.
Un tanqur de apua tiene forma de con” circular invenido, con radio de la
base igual ‘I 2 m y 4 m de altura. Si \c le hombea agua. con un gasto de 2 m’/min.
calcule la vrlocidad con que wbe el nivel del aqua cuando la profundidad alcanza tres
metros.
51 ‘>‘AI\~ Primau cyucmatiramos el cone y adopramos la nomenclatura de la figura 3.
Sean V. r. y 11 el volumen del agua. el radio de la superlick y la altura. cuando el tiempo
es f. con f e praado en minutes. 4
Se nos die; que A’/dr = 2 m’jmin y w no\ pide calcular d/~/r/t cuando 11 es 3 m. Las
cantidades 1’ y ir \e relacionan mediantr 13 rcuaci6n
pero e\ litil expraar a V fan ~610 en funci6n de II. Para elimmar I recummos a 10s
FIGURA 4
Ya podemoc diterenciar amho\ lada con rapecto it f:
de mode que
ES iitil recordx algunw de lo\ princlpios de la soluci6n de problema\ de la
.a pigina 59 para adaptarlos a las taws relacionadas, en vista de lo que tuvimo\ cn
10s ejemplos I a 3:
Lea con cuidado el pmhlema.
Trace, si es posihle, un diagrama.
Adopte una notaciirn. Asigne simholos a todas las cantidades que wan fimciones
de tiempo.
Exprese la infomnci6n dada y la tasa requerida en tkminos de daivadas.
Deduzca una ecuacihn quc relacione Ia\ d~versa\ cantidades del prohlema. Si es nece-
\ario. we la geomctria del caw que x vc para eliminnr una dc Ias variable\ pnr w\ti-
tuci6n (coma en el l3jem. 3).
Utilice la regla de la cadena para derivar amhos lados de la ecuaci6n. con respecto a f.
Sutituya la informaci6n dada en la ecuaci6n rewltante y despeje Ia rapidw o tail
desconocida
El autombvil A viaja hack el oe\te. a SO m par h
k.
Imph), y el auto
B hack el norte, a 60 mph. Los dos se &rigen al truce de lx 1 ‘ras. ;,A quk
wlocidad se acercan entrr pi. cuando A estj a 0.3 mi!]as y B a 0.4 m?t@del truce’?
,. ..‘
SOLUCION Tratamos la tigura 4. en onde C es el cna.dek$ cai&@s. En&p
mommto i. hea I la distancia del a & -,+ a C; x, dektuto B a c. y ; la’di&@$ em&~
whicukx: .x 1 y ; se expresan en millaS.‘.,
-% f Se nos dice que &/-ldr = -SO mijh y qu?&& = -60 @/h. (La\+t+vadas x /
negativas. porque x y ?‘ est6n disminuyendo.) Se no~&Ie cak@ark/dr. La ecuaci&u$e
relaciona .\. y y ; se deduce con el te~rema de PitBgoras\,. ‘. ,’ -..
;1 = g + \.1 --%.
1.‘
P
‘a.
‘1 /’
-3.10 Ejercicios
en funairn de d.rfdr.
2. Cal Si A es cl tiea de un circulo con radio r. y cl cfrculo se
expande al pasar cl txmpo, halle dA/dr en thmino? de dr/dr.
(h) Suponga qur un harco de van\portc de prw6leo se ha
averiado y cl petr6leo sale y sc euirnde circularmeme. S1 el
mdio de la man& crew a \elocidad constnnte de Imls:
;,&I es la wlocidad de crecimiento de la mancha cuando cl
radio cs 30 m?
3. Si v = .I’ + 2.~ y dl/dr = 5, halle d?/dr cuando .I = 2.
4. Una panicula sc ~o,“cve sobre la awn? = \ I+r’. Al Ilcgar a,
punt” (2. 31. Ia ordeoada CXC~ il rarSo de 4 CITI/S. i.Coo q&
rupidu cambia la absciaa co esc instante”
ia) ;.Cu;lles con las cantidades que se dan en el problema?
(b) ;,Cuil es la mc6gnita?
(cl Haga un dihujo de la situaci6n para cualquicr ticmpo r.
cd) Escriba una ecuacih que rclacione las cantidades.
(el Termine de rcsohcr cl problema.
5
6
7
9
9
10
11
12
Un xroplano vuela horirontalmente a una altua de 1 mi y con
vclocidad de SO0 mv’h. Para dircctamentc sobre una eslaci6n de
radar. Calcule la veloadad con que dumentn la distancia del
aniin a la cstaciiin. cuando sc rncucnfra a 2 mi de clla
Si una bola de nieve se liclia de tal sucne que su area superficial
diqminuye con una tasa de I cm’/min, calcule la tau con quc se
reduce cl diametro en cl momenfo en que mide 10 cm.
Un semAforo cd en el extreme de un postc de 15 pies de altura.
Un hombre. de 6 pies de Ma. \e alcja de &I con una velocidad
de 5 pies/s en linea recta. icon quC rapider se rclaja la pane
superior de su sombra cuando Cl se encuentra a 40 pies de
distancia del poste?
A mediodia cl barco A e$t& a 150 km al oeste de1 barco B. La
embarcaci6n A navega hacia cl we a 35 km/by B hacia el none
a 25 km/h. ;,Con quC velocidad cambia la diancia entrc ambos
a las 4:OO PZP
DOS autom6vilcs pancn del mismo punto. Uno \a hacia cl sur a
60 mi/h y cl ouo hacia cl oeste, a 25 miih. ;,Con qui velocidad
aumcnta 18 distancia cntrc ~110s despu& de dos horas?
Un reHector en cl piso alumbra un muro a I2 m de distancia. Si
un hombre de 2 m de altura carnina del rcHector hacia cl mum a
una belocidad de I.6 m/s, icon quC velocidad disminuye la
altura de su sombra en el cdificio cuando esta a 4 m de la pared?
Una persona comienra a caminar hacia cl none a 4 pies/s desde
un punt” P. Cinco minutes despu& una seriora empxra a
dirigrw hdcia cl sur, a 5 pnls, pxtiendo de un punto a 500 pier
hacia el ate de P. ;,Con qut velocidad se sepamn los dos a 10s
IS rmn de que la seiiora mici6 su caminata?
Un diamantc de beisbol es un cuadrado de 90 pies de lad”. L’n
bateador ie pega a la hola ) corrc hacia la primcra base a una
velocidad de 24 pies/r.
13
14.
15.
16.
17.
16.
19.
(a) i,Con quC velocldad disminuye so distancia a la segunde
base cuando esti a la mitad del amino a la primera?
lb) i,Con que velocidad aumenta su distancia a la tercera base en
csc m”mc”t”‘~
La altura de un tridngulo aumenta con una velocidad de I
cmimin. mienlras quc w area lo hate a una veiocidad dc
2 cm’jmin. ;,Con qui velocidad aumenfa la base del tndngulo
cuando la altura es IO cm y e, tiea er I00 cm’!
Una Ian& es remolcada hacia on muellc con una cuerda fija a
su proa que pass por una polea en cl muelle. &a polea esti I m
mis alla que la proa del bow. SI se corre la cuerda a una beloci-
dad de I m,\, i,con que veloaddd se acerca la lancha al muclle
cuando estj a 8 m de distancia de el’!
Al mediodia, cl barco A se encucntra al ocsw del harco B a ona
diatancia de 100 kms. A navega al sur a 35 km/h y B al none a
25 km& ;Con que rapider cambn la di,tancia entre A y B a las
4 de la mde?
Una particula se mucvc por la curra J = \ ;. Al paw por cl
punt” (4.2), s” ahcisa crcce a raz6n de 3 cm,s. <,Qut tan rgpido
cambia la distancia de la panicule al or&en en ese instate?
Un tanque c6nico mvertido sale del agua con un gasto de IO.000
cm’/min y al mismo tiempo se bombea agua al lanque con un
gasto con~tante. Ese tanque tiene 6 m de altura y 4 m de
dismetro en la pane cuperior. Si cl nix1 de agua rc clew a una
velocidad de 20 cmlmin cuando la altura del nivel es 2 m,
calcule cl Hujo de agua ha& cl tanque.
Un canal tiene 10 pxs de Iargo y us extrcmos presentan la
forma de tri&wlos is6sceles. de 3 pies transversaies en la pane
superior y una altura de I pie. Si cl canal se llenn con agua a un
Rujo de I2 pies’/min, icon quC velocidad cambla el nivcl del
agua cuando hay seir pulgadas de profundidad’?
Un canal de agua tiene IO m de Ion&d y su secc16n transverwl
posee la forma de un traperoide isbsceles. de 30 cm de awho en
cl rondo, 80 cm de ancho en la pate superior y 50 cm de
22.
23.
24.
25.
26.
l’na cometa a IO0 pw del welo xc mue\e hnrirontalmcnte con
““a velOCIdad de 8 ple\/~. i,Con q”C \eli,cldad camhia el jneuln
formado por el hilu y la horizontal. cuando se han \ohado 200
p,es de cuerda?
DOS Iados de un tri&,ln ,mden 1 m y 5 m. > el &,@,, entrc
ello? aumenta con una rapida de 0.06 rails. Calcule la rapidw
con que el Area del tri&ulo se incrementa cuando el 6n,oulo
rntre 10s Iado\. de longitud fi~a, es dc 7i/j
DOS Iados de un trizbyulo tiene longitudes de I2 m ) IS m. El
Angulo que fomlan numenta con una velocidad de2 T/mm ;,Can
que rapider crece cl tercer lad” cuando cl Bnpulo entre 10, de
bngitud fija e\ de 60 prados’?
La Icy de Boyle estahlccc que cuando una mue\tra de ga, SC
cornprune a tempera,ura con\t2l”te. la pre,iSn P y cl \oiu”,e” I
iatisfacen la ecuaci6in PI/ = C. dondc C CI una constants. En
detcrminudo irwante el wlumen ec 600 cm’. la prewiin c\ 150
kPa y crece a una razdn de oamhio de 20 kPa/min. ;Crm quC
veloudad dicminuye el wlumen cn c\te momemu”
28
29
30.
34. DOS personas panen del mismo puma tine carnina haaa el ate
a 3 mfi y la atra hacia 4 noreste. a 2 miib i.Con qu6 velocldad
cambia la dictancia entre ellas despuk de 15 minutes?
36. El minutero de un reloj mide 8 mm de longwd 1 el horano.
4 mm. i,Con quC vclocldad camhia la distancid cntre la pumas
de las manecilIa\ a la una en punto”
3.11 Aproximaciones lineales y diferenciales
Hsmor vi\to qur una curva estj muy crrca de su recta tangente en la vecindad de1 punto
de tangencia. De hecho. al hazer una aproximaci6n hacia un punto en la grjfica de una fun-
ci6n vemx qur la curva se parece mAs y mBs a su tangente (v&se la tigura 2 dc la seccidn
2.7 y la figurer .i de la sscci6n 2.81. Estn observaci6n es la base de un m6todo para la aproxi-
maci6n de valores funcionales.
y=f1r,
La idea es que podria ser f&i1 calcular un valor .fCa) de una funci6n. pero diffcil o sun
imposible calcular 10s valores cercano\ de f De mancra que nos conformamos con 10s ~a-
lore\ f~cilmmtr culculable> de ia fimci6n lineal L que riene coma @ica a la recta tan-
grnte de / en el punto (0. f(a)). (V&se la figura I .)
?‘= LIX) En otras palabras. ucamos la recta tangente en el punto (rr,f(u)l como una aproxima-
ci6n a la curva > = j(x) cuando .r estj cerca de (1. Una rcuacidn de esta recta tangente es
y la aproximaci6n
/(.I) = j%i + .f’(uh 0)
ec denominada la aproximacih lineal o aproximacih par la recta tangente def en n.
La funci6n lineal quc tiene coma grfifica a esta recta tangente, es decir
L(x) =,f(a) + f’(a)(.r - ii)
se llama la linealizaci6n de fen a.
El siguiente cjemplo es tipico de las situaciones en donde usamos una aproximaci6n li-
neal para predecir el comportamiento future de una funci6n de la que me tienen datos
empiricos.
Supongamoc que luego de rellenar un paw cu temperatura Ed de SO “F y
entonces lo mete a un home ii 325 “F. Pasada una hors el temx5metro de came indica
que el paw esta a 93 “F y despuCs de dos horas indica 129 “F. Prediga la temperatura del
paw a lx trrs hors\.
Si T(r) representa la temperatura del pave a las f horas. sabemos que
T(O) = 50, T(I) = Y3 y 7’(21 = 129. Para hazer una aproximacidn lineal con a = 2 nece-
sitamos una estimaci6n de la derivada T’(2). Puesto que
T’(2) = ljm m) - T(2)
1-2 r-2
FiGURA 2
podriamw estimar T’IZI por msdio del cocicnte de diferencias con f = I:
Ti.il = T(2) + T’i2)(3 2)
= I?‘) + 36. I = 165
Entonccs. nuectra aproximaciGn lineal vicne a ser
T(i) = 7(2J T T’(Zi. I = 129 * 33 = I62
y nuesrro pronli\tico me,jorado de la temperaturn e\ 162 “F.
Dado que Ia curva de temperntura est5 por deba,jo de la recta tanfente parece que lil
temperatura real a Ia\ tre\ hors\ L’S nleo mcn”r de I62 “F, tal ve,! m8s crrca de 160 “F.
1, por consiguiente, fc I) = 2 y I”( I) = i. Al intmducir e\tos ~aIorc\ en la ecuaciirn (2).
la linealiraci6n e,
Ll*l =fil, + f’(l)ir I) = 2 + :iv - I) = $ +;
l,F,,
En particular.
-
\ 3.9x = 1 + I’,” = l.YY5
-
y \ 1.05 = ; + 1:” = 2.0125
En la iigura 3 \emo\ la sproximaciSn lineal del ejemplo 2. Se pucde observar que la
aproximncihn par la recta tangente a la fimcii,n dada es buena cuando .v es cai I. TambiGn
vrmos qur hemox hecho whrce\timnciunes porqus la recta tangente va por arriha de la
C”TVB.
PORTADA
Cálculo . Cuarta Edición
Prefacio
Al alumno
Contenido
Presentación preliminar del cálculo
Capitulo 1. Funciones y modelos
Capitulo 2. Límites y derivadas
Capitulo 3. Reglas de derivación
Capitulo 4. Aplicaciones de la derivación
Capitulo 5. Integrales
Capitulo 6. Aplicaciones de la integración
Capitulo 7. Técnicas de integración
Capitulo 8. Otras aplicaciones de la integración
Capitulo 9. Ecuaciones diferenciales
Apéndices
Indice
Tablas
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