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B7-1 
Considere o sistema com realimentação unitária cuja função de transferência de malha 
aberta é: 
 
Obtenha a resposta em regime estacionário desse sistema quando ele for submetido aos 
seguintes sinais de entrada: 
(a) r(t) = sen(t + 30°) 
(b) r(t) = 2 cos(2t – 45°) 
(c) r(t) = sen(r + 30°) – 2 cos(2t – 45°) 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down 
Dado o sistema linear e invariante no tempo, tem-se que as respostas às excitações 
senoidais serão a composição de tais excitações com o ganho e a fase do sistema. Mãos 
à obra! 
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down 
No sistema dado, a frequência determina a amplitude e a fase que serão relacionadas às 
entradas. Observa-se que dentre as entradas, há somente duas frequências 
distintas: e rad/s. Assim, antes de partir para a solução, obtêm-se pelo 
Matlab as grandezas relacionadas: 
num = 10; 
den = [1 1]; 
g = tf(num,den); 
%mag: amplitude em unidades arbitrárias 
%ph: fase em graus 
%w: frequência angular em radianos por segundo 
[mag,ph,w]=bode(g,[1 2]) 
Cuja saída é: 
mag(:,:,1) = 7.0711 
mag(:,:,2) = 4.4721 
ph(:,:,1) = -45 
ph(:,:,2) = -63.4349 
w = 1 2 
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down 
Por fim, calculadas as saídas do Matlab, temos que: 
(a) 
(b) 
(c) 
B7-2 
Considere o sistema cuja função de transferência de malha fechada é: 
 
Obtenha a resposta em regime permanente do sistema quando submetido a um sinal de 
entrada r(t) = R sen ωt. 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down 
Dado o sistema linear e invariante no tempo, tem-se que as respostas às excitações 
senoidais serão a composição de tais excitações com o ganho e a fase do sistema. 
Vamos lá! 
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down 
Temos que o módulo é: 
 
 
 
E a fase é: 
 
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down 
Por fim, a saída será: 
 
 
B7-3 
Utilizando o MATLAB, desenhe os diagramas de Bode das G1(s) e G2(s) dadas a 
seguir: 
 
 
onde G1(s) é um sistema de fase mínima e G2(s) é um sistema de fase não mínima. 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down 
Para resolver este problema, vamos utilizar os conhecimentos adquiridos neste capítulo. 
O enunciado nos pede para usar o Matlab para desenhar os diagramas de Bode de 
sistemas de fase mínima e não mínima. 
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down 
Vamos usar o seguinte código no Matlab para gerar a Figura 1 mais abaixo. 
num1 = [1 1]; 
den1 = [2 1]; 
num2 = [-1 1]; 
den2 = [2 1]; 
g1 = tf(num1,den1); 
g2 = tf(num2,den2); 
figure 
subplot(2,1,1) 
bode(g1) 
grid minor 
subplot(2,1,2) 
bode(g2) 
grid minor 
 
Figura 1: Curvas de Bode. 
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down 
E assim temos os diagramas de Bode de fase mínima e não mínima. 
B7-4 
Desenhe o diagrama de Bode de 
 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down 
Utilizaremos os conhecimentos adquiridos neste capítulo do livro para resolver este 
exercício. A seguir, será possível avaliar o diagrama de Bode da função de transferência 
do problema. 
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down 
A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. 
num1 = [10 4 10]; 
den1 = [1 0.8 9 0]; 
g1 = tf(num1,den1); 
figure 
bode(g1) 
grid minor 
 
Figura 1: Diagrama de Bode. 
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down 
E assim temos os diagramas de Bode. 
B7-5 
Dada 
 
mostre que 
 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down 
Dado o sistema de segunda ordem, podemos calcular o módulo de sua resposta ao 
impulso para a frequência natural de oscilação, conforme aprendemos neste capítulo do 
livro. Vamos lá! 
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down 
Temos que o módulo é dado por: 
 
 
 
 
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down 
Portanto 
B7-6 
Considere um sistema de controle com realimentação unitária que tem a seguinte função 
de transferencia de malha aberta: 
 
Este é um sistema de fase não mínima. Dois dos três polos de malha aberta estão 
localizados no semiplano direito do plano s, como segue: 
 
Desenhe o diagrama de Bode de G(s) com o MATLAB. Explique por que a curva de 
ângulo de fase começa em 0o e se aproxima de +180°. 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down 
A seguir, será possível avaliar o diagrama de Bode da função de transferência de fase 
não mínima do problema. Mãos à obra! 
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down 
A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. 
num1 = [0 0 1 0.5]; 
den1 = [1 1 0 1]; 
g1 = tf(num1,den1); 
figure 
bode(g1) 
grid minor 
 
Figura 1: Diagrama de Bode. 
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down 
O comportamento da fase pode ser avaliado por meio da análise de frequências. Para 
baixas frequências, próximas à zero, a contribuição angular dos pólos e do zero é de 0º. 
Para altas frequências, tendendo ao infinito, a contribuição do zero é +90º, do pólo no 
semi-plano esquerdo é -90º e dos pólos no semi-plano direito é +180º, totalizando 
+180º. 
B7-7 
Desenhe os diagramas polares da função de transferência de malha aberta 
 
para os seguintes dois casos: 
(a) Ta > T > 0, Tb > T > 0 
(b) T > Ta > 0, T > Tb > 0 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 1 keyboard_arrow_down 
A seguir, será possível avaliar o diagrama de Nyquist da função de transferência do 
problema, dados os possíveis casos representados nas letras (a) e (b). Vamos lá! 
A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. Em ambos os casos, foram 
arbitrados valores para exemplificar os diagramas. 
% (a) 
Ta = 2; Tb = 3; T = 1; 
num = conv([Ta 1],[Tb 1]); 
den = conv([1 0 0],[T 1]); 
ga = tf(num,den); 
figure 
nyquist(ga) 
hold on 
% (b) 
Ta = 2; Tb = 1; T = 3; 
num = conv([Ta 1],[Tb 1]); 
den = conv([1 0 0],[T 1]); 
gb = tf(num,den); 
nyquist(gb) 
grid minor 
legend('(a)','(b)') 
 
Figura 1: Diagramas de Nyquist. 
B7-8 
Desenhe o diagrama de Nyquist para o sistema de controle com realimentação unitária 
cuja função de transferência de malha aberta é: 
 
Utilizando o critério de estabilidade de Nyquist, determine a estabilidade do sistema de 
malha fechada. 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down 
A seguir, será possível avaliar o diagrama de Nyquist da função de transferência do 
problema. Mãos à obra! 
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down 
A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. 
num1 = [-1 1]; 
den1 = [1 1]; 
g1 = tf(num1,den1); 
figure 
nyquist(g1) 
grid minor 
 
Figura 1: Diagrama de Nyquist. 
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down 
Pelo Critério de estabilidade de Nyquist, os valores do ganho K devem estar entre 0 e 1, 
visto que a intersecção esquerda do diagrama de Nyquist com o eixo Real ocorre em –
K. Tal intersecção não pode ultrapassar o valor -1 para que o sistema seja estável. 
B7-9 
Um sistema com a função de transferência de malha aberta 
 
é inerentemente instável. Esse sistema pode ser estabilizado pela adição de um controle 
derivativo. Esboce os diagramas polares para a função de transferência de malha aberta 
com e sem o controle derivativo. 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 1 keyboard_arrow_down 
A seguir, será possível avaliar o diagrama de Nyquist da função de transferência do 
problema, dados os possíveis casos de presença ou ausência de controle derivativo. 
Vamos lá! 
A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. Nos casos, foram arbitrados 
valores para exemplificar os diagramas. 
% without control 
T1 = 1; 
num = 1; 
den = [T1 1 0 0]; 
g1 = tf(num,den); 
figure 
nyquist(g1) 
hold on 
% (b)T2 = 2; 
num = [T2 1]; 
den = [T1 1 0 0]; 
g2 = tf(num,den); 
nyquist(g2) 
hold on 
T2 = 0.5; 
num = [T2 1]; 
den = [T1 1 0 0]; 
g2 = tf(num,den); 
nyquist(g2) 
grid minor 
legend('without','2s+1','0.5s+1') 
 
Figura 1: Diagramas de Nyquist. 
B7-10 
Considere o sistema de malha fechada com a seguinte função de transferência de malha 
aberta: 
 
Desenhe os diagramas polares tanto diretos como inversos de G(s)H(s) com K = 1 e K 
= 10. Aplique o critério de estabilidade de Nyquist a esses diagramas e determine a 
estabilidade do sistema para esses valores de K. 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down 
A seguir, será possível avaliar o diagrama de Nyquist da função de transferência do 
problema, dados os casos do diagrama direto e inverso. 
A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. 
num1 = 10*[1 0.5]; 
den1 = conv([1 0 0],conv([1 2],[1 10])); 
num2 = 10*10*[1 0.5]; 
den2 = conv([1 0 0],conv([1 2],[1 10])); 
g1 = tf(num1,den1); 
g2 = 1/g1; 
g3 = tf(num2,den2); 
g4 = 1/g2; 
figure 
subplot(1,2,1) 
nyquist(g1,g3) 
legend('K=1','K=10'); 
subplot(1,2,2) 
nyquist(g2,g4) 
legend('K=1','K=10'); 
 
Figura 1: Diagramas de Nyquist. 
Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down 
Em ambos os casos, os sistemas são estáveis, visto que não há pólos no semi-plano 
direito, nem voltas em torno do ponto (-1,j0) 
B7-11 
Considere o sistema de malha fechada com a seguinte função de transferência de malha 
aberta: 
 
Determine o máximo valor de K para o qual o sistema é estável. 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down 
Em um sistema com atraso de transporte, pode-se avaliar a estabilidade e determinar o 
máximo ganho que o estabiliza, por meio do estudo de módulo e fase da função de 
transferência de malha aberta. 
Fase: 
 
 
 
 
A determinação do ganho máximo é realizada na frequência de limiar de estabilidade. 
Módulo: 
 
 
 
Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down 
Assim, o sistema é estável para ganhos K positivos menores que . 
B7-12 
Desenhe o diagrama de Nyquist para a seguinte G(s): 
 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down 
A seguir, será possível avaliar o diagrama de Nyquist da função de transferência do 
problema. Mãos à obra! 
Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down 
A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. 
num1 = 1; 
den1 = [1 0.8 1 0]; 
g1 = tf(num1,den1); 
figure 
nyquist(g1) 
 
Figura 1: Diagrama de Nyquist. 
B7-13 
Considere um sistema de controle dotado de realimentação unitária com a seguinte 
função de transferência de malha aberta: 
 
Desenhe o diagrama de Nyquist de G(s) e examine a estabilidade do sistema. 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 4 keyboard_arrow_down 
A seguir, será possível avaliar o diagrama de Nyquist da função de transferência do 
problema. 
Passo 2 de 4 keyboard_arrow_down 
A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. 
num1 = [1]; 
den1 = [1 0.2 1 1]; 
roots(den1) 
ans = 
Passo 3 de 4 keyboard_arrow_down 
0.2623 + 1.1451i 
0.2623 - 1.1451i 
-0.7246 + 0.0000i 
g1 = tf(num1,den1); 
figure 
nyquist(g1) 
grid minor 
 
Figura 1: Diagrama de Nyquist. 
Passo 4 de 4 keyboard_arrow_down 
O sistema possui dois pólos no semi-plano direito, na função de malha aberta. Como 
não há voltas no sentido anti-horário no ponto (-1,j0), a malha fechada possuirá também 
dois pólos instáveis. Assim, o sistema é instável para qualquer ganho K positivo. 
B7-14 
Considere um sistema de controle dotado de realimentação unitária com a seguinte 
função de transferência de malha aberta: 
 
Desenhe o diagrama de Nyquist de G(s) e examine a estabilidade do sistema de malha 
fechada. 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down 
A seguir, será possível avaliar o diagrama de Nyquist da função de transferência do 
problema. 
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down 
A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. 
num1 = [1 2 1]; 
roots(num1) 
ans = 
-1 
-1 
den1 = [1 0.2 1 1]; 
roots(den1) 
ans = 
0.2623 + 1.1451i 
0.2623 - 1.1451i 
-0.7246 + 0.0000i 
g1 = tf(num1,den1); 
figure 
nyquist(g1) 
grid minor 
 
Figura 1: Diagrama de Nyquist. 
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down 
O sistema possui dois pólos no semi-plano direito, na função de malha aberta. Como há 
duas voltas no sentido anti-horário em torno do ponto (-1,j0), a malha fechada não 
possuirá pólos instáveis. Assim, o sistema é estáve 
B7-15 
Considere o sistema de controle dotado de realimentação unitária com o seguinte G(s): 
 
Suponha que escolhamos o contorno de Nyquist mostrado na Figura 7.156. Desenhe o 
lugar geométrico correspondente de G(jω) no plano G(s). Utilizando o critério de 
estabilidade de Nyquist, determine a estabilidade do sistema. 
FIGURA 7.156 Contorno de Nyquist. 
 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down 
A seguir, será possível avaliar o diagrama de Nyquist da função de transferência do 
problema, levando-se em consideração um laço que contorna a singularidade da origem. 
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down 
A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. 
num1 = 1; 
den1 = conv([1 1e-3],[1 -1]); 
roots(den1) 
ans = 
1.0000 
-0.0010 
g1 = tf(num1,den1); 
figure 
subplot(2,1,1) 
nyquist(g1) 
subplot(2,1,2) 
nyquist(g1) 
xlim([-2 0]); 
 
Figura 1: Diagrama de Nyquist. 
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down 
Na Figura 1, tem-se um esboço do resultado para um da ordem de . Percebe-se 
que o raio do contorno no sentido horário será . No detalhe do gráfico, percebe-se 
que o ponto (-1,j0) é contornado uma vez no sentido horário. Assim, como há um pólo 
instável em malha aberta, o enlace adicional contribui com mais um pólo instável, de 
modo que tal sistema em malha fechada possuirá dois pólos no semi-plano direito. Por 
fim, o sistema é instável. 
B7-16 
Considere o sistema de malha fechada mostrado na Figura 7.157. G(s) não possui polos 
no semiplano direito do plano s. 
Se o diagrama de Nyquist for o indicado na Figura 7.158(a), esse sistema será estável? 
Se o diagrama de Nyquist for o indicado na Figura 7.158(b), esse sistema será estável? 
FIGURA 7.157 Sistema de malha fechada. 
 
FIGURA 7.158 Diagramas de Nyquist. 
 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down 
O problema permite avaliar a estabilidade de um sistema com realimentação unitária, 
por meio do Critério de Nyquist. 
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down 
Visto que o sistema não possui pólos no semi-plano direito em malha aberta, tem-se 
que: 
Pólos de malha fechada (MF) = Pólos de malha aberta (MA) + Enlaces em (-1,j0) (N) 
(a) 
(b) 
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down 
Logo, o sistema será estável em (a) e instável em (b), em que possuirá dois pólos no 
semi-plano direito. 
B7-17 
O diagrama de Nyquist de um sistema dotado de realimentação unitária tem a função de 
transferência G(s) no ramo direto mostrada na Figura 7.159. 
Se G(s) tiver um polo no semiplano direito do plano s, o sistema será estável? 
Se G(s) não tiver nenhum polo no semiplano direito do plano s, mas tiver um zero nesse 
semiplano, o sistema será estável? 
FIGURA 7.159 Diagrama de Nyquist. 
 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down 
O problema permite avaliar a estabilidade de um sistema com realimentação unitária, 
por meio do Critério de Nyquist. 
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down 
Do Critério de Nyquist, tem-se que: 
Pólos de malha fechada (MF) = Pólos de malha aberta (MA) + Enlaces em (-1,j0) (N) 
(a)(b) 
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down 
Logo, o sistema será instável em (a) e estável em (b). A presença de zeros de malha 
aberta no semi-plano direito não interfere na estabilidade do sistema em malha fechada 
B7-18 
Considere o sistema de controle com realimentação unitária com a seguinte função de 
transferência de malha aberta G(s): 
 
Desenhe o diagrama de Nyquist de G(s) para K = 1, 10 e 100. 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down 
A seguir, será possível avaliar o diagrama de Nyquist da função de transferência do 
problema. 
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down 
A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. 
figure 
for K = [1 10 100] 
num1 = K*[1 2]; 
den1 = conv([1 0],conv([1 1],[1 10])); 
g1 = tf(num1,den1); 
nyquist(g1) 
hold on 
end 
xlim([-2 0]); 
legend('K=1','K=10','K=100'); 
 
Figura 1: Diagrama de Nyquist. 
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down 
Percebe-se que o sistema é estável para os três valores do ganho K. 
B7-19 
Considere um sistema com realimentação negativa com a seguinte função de 
transferência de malha aberta: 
 
Desenhe o diagrama de Nyquist de G(s). Se o sistema tivesse realimentação positiva, 
mas com a mesma função de transferência de malha aberta G(s), como seria o diagrama 
de Nyquist? 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down 
A seguir, será possível avaliar o diagrama de Nyquist da função de transferência do 
problema, nos casos de feedback negativo e positivo. 
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down 
A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. 
num1 = 2; 
den1 = conv([1 0],conv([1 1],[1 2])); 
g1 = tf(num1,den1); 
nyquist(g1,-g1) 
hold on 
xlim([-1 1]); 
legend('Negative','Positive'); 
grid minor 
 
Figura 1: Diagramas de Nyquist. 
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down 
O diagrama de Nyquist para o feedback positivo é simplesmente o simétrico em relação 
ao eixo imaginário, do diagrama do feedback negativo. 
B7-20 
Considere o sistema de controle mostrado na Figura 7.160. Desenhe os diagramas de 
Nyquist de G(s), sendo 
 
para k = 0,3; 0,5; e 0,7. 
FIGURA 7.160 Sistema de controle. 
 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down 
A seguir, será possível avaliar o diagrama de Nyquist da função de transferência do 
problema, nos diferentes ganhos da malha interna. Vamos lá! 
Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down 
A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. 
for k = [0.3 0.5 0.7] 
num1 = 10; 
den1 = [1 6 5+10*k 0]; 
g1 = tf(num1,den1); 
nyquist(g1) 
hold on 
end 
xlim([-1 0]); 
ylim([-0.1 0.1]); 
legend('k=0.3','k=0.5','k=0.7','location','best'); 
 
Figura 1: Diagramas de Nyquist. 
B7-21 
Considere o sistema definido por 
 
Há quatro diagramas de Nyquist distintos nesse sistema. Desenhe dois diagramas de 
Nyquist para a entrada u1 em um gráfico e dois diagramas de Nyquist para a 
entrada u2 em outro gráfico. Escreva um programa em MATLAB para obter esses dois 
gráficos. 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down 
A seguir, será possível avaliar o diagrama de Nyquist das funções de transferência do 
problema. Mãos à obra! 
Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down 
A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. 
A = [-1 -1; 6.5 0]; 
B = [1 1; 1 0]; 
C = eye(2); 
D = zeros(2,2); 
[num1, den1] = ss2tf(A,B,C,D,1); 
[num2, den2] = ss2tf(A,B,C,D,2); 
g11 = tf(num1(1,:),den1); 
g12 = tf(num1(2,:),den1); 
g21 = tf(num2(1,:),den2); 
g22 = tf(num2(2,:),den2); 
figure 
subplot(1,2,1) 
nyquist(g11,g12) 
legend('u1->y1','u1->y2'); 
subplot(1,2,2) 
nyquist(g21,g22) 
legend('u2->y1','u2->y2'); 
 
Figura 1: Diagramas de Nyquist. 
B7-22 
Com relação ao Problema B.7.21, é desejável traçar apenas Y1(jω)/U1(jω) para ω > 0. 
Escreva um programa em MATLAB para gerar esse diagrama. 
Se for desejável traçar Y1(jω)/U1(jω) para – ∞ < ω < ∞, que mudanças devem ser feitas 
no programa em MATLAB? 
Problema B.7.21 
Considere o sistema definido por 
 
Há quatro diagramas de Nyquist distintos nesse sistema. Desenhe dois diagramas de 
Nyquist para a entrada u1 em um gráfico e dois diagramas de Nyquist para a 
entrada u2 em outro gráfico. Escreva um programa em MATLAB para obter esses dois 
gráficos. 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down 
A seguir, será possível avaliar o diagrama de Nyquist da função de transferência do 
problema. Mãos à obra! 
Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down 
A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. Percebe-se que o gráfico 
referente às frequências negativas é o simétrico do gráfico das frequências positivas, em 
relação ao eixo real. Assim, para obter os resultados de ambas as frequências – 
negativas e positivas – basta plotá-los separada ou conjuntamente, tal como no código 
ilustrado. 
A = [-1 -1; 6.5 0]; 
B = [1 1; 1 0]; 
C = eye(2); 
D = zeros(2,2); 
[num1, den1] = ss2tf(A,B,C,D,1); 
g11 = tf(num1(1,:),den1); 
figure 
[re,im,w]=nyquist(g11); 
plot(squeeze(re),squeeze(im),squeeze(re),-squeeze(im),'--') 
xlabel('Real'); 
ylabel('Imaginary'); 
grid minor 
legend('\omega > 0','\omega < 0') 
 
Figura 1: Diagramas de Nyquist. 
B7-23 
Considere o sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência 
de malha aberta é 
 
Determine o valor de a de forma que a margem de fase seja 45°. 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 5 keyboard_arrow_down 
Pode-se especificar uma margem de fase ao sistema e impô-la por meio de ajuste 
adequado dos parâmetros. Vamos, então, utilizar estes conhecimentos para resolvermos 
esta questão. Mãos à obra! 
Passo 2 de 5 keyboard_arrow_down 
O módulo da função de malha aberta é dado por: 
 
 
Passo 3 de 5 keyboard_arrow_down 
A fase da função de malha aberta é dada por: 
 
Sendo a frequência aquela que fornece a requerida margem de fase, temos: 
 
 
 
Passo 4 de 5 keyboard_arrow_down 
O módulo da função nessa frequência deve ser unitário, então: 
 
 
 
Passo 5 de 5 keyboard_arrow_down 
Assim, 
 
 
B7-24 
Considere o sistema mostrado na Figura 7.161. Desenhe o diagrama de Bode da função 
de transferência de malha aberta G(s). Determine a margem de fase e a margem de 
ganho. 
FIGURA 7.161 Sistema de controle. 
 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down 
Conforme aprendemos, por meio do diagrama de Bode é possível determinar as 
margens de fase e de ganho de um sistema. E é exatamente isto que faremos nesta 
questão. Vamos lá! 
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down 
O diagrama de Bode e as margens de fase e de ganho são obtidos por meio do programa 
Matlab abaixo. 
num = 25; 
den = conv([1 0],conv([1 1],[1 10])); 
g = tf(num,den); 
bode(g) 
grid minor 
[GM,PM,~,~]=margin(g); 
GM = 20*log10(GM); 
 
Figura 1: Diagrama de Bode. 
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down 
Portanto as margens de fase (PM) e de ganho (GM) são: 
 
 dB 
B7-25 
Considere o sistema da Figura 7.162. Desenhe o diagrama de Bode da função de 
transferência de malha aberta G(s). Determine a margem de fase e a margem de ganho 
com o MATLAB. 
FIGURA 7.162 Sistema de controle. 
 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down 
Conforme estudamos, por meio do diagrama de Bode é possível determinar as margens 
de fase e de ganho de um sistema. E é exatamente isto que faremos neste exercício. 
Vamos lá! 
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down 
O diagrama de Bode e como as margens de fase e de ganho são obtidos por meio do 
programa Matlab abaixo. 
num = 20*[1 1]; 
den = conv([1 0],conv([1 5],[12 10])); 
g = tf(num,den); 
bode(g) 
grid minor 
[GM,PM,~,~]=margin(g); 
GM = 20*log10(GM); 
 
Figura 1: Diagrama de Bode. 
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down 
Portanto as margens de fase (PM) e de ganho (GM) são: 
 
 dB 
thumb_up 
B7-26 
Considere o sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência 
de malha aberta é: 
 
Determine o valor do ganho K tal que a margem de fase seja de 50°. Qual é a margem 
de ganho com esse mesmo valor de K? 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down 
Por meio do diagrama de Bode é possível determinar o ganho em malha aberta que 
fornece uma margem de fase especificada. 
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down 
O código Matlab responsável pelo cômputo do ganho K pode ser visualizado abaixo. 
Ademais, tem-se o diagrama de Bode resultante. 
K=0.005; 
num = 1; 
den = conv([1 0],[1 1 4]); 
g = tf(num,den); 
[~,PM,~,~]=margin(K*g); 
while(PM>=50) 
K=K+0.005; 
[~,PM,~,~]=margin(K*g); 
end 
K=K-0.005; 
bode(K*g) 
grid minor 
[GM,PM,~,~]=margin(K*g); 
GM = 20*log10(GM); 
 
Figura 1: Diagrama de Bode. 
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down 
A margem de ganho (GM) e o ganho são: 
 dB 
 
B7-27 
Considere o sistema da Figura 7.163. Desenhe o diagrama de Bode da função de 
transferência de malha aberta e determine o valor do ganho K para que a margem de 
fase seja de 50°. Qual é a margem de ganho desse sistema com esse valor de K? 
FIGURA 7.163 Sistema de controle. 
 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 3 keyboard_arrow_down 
Por meio do diagrama de Bode é possível determinar o ganho em malha aberta que 
fornece uma margem de fase especificada. 
Passo 2 de 3 keyboard_arrow_down 
O código Matlab responsável pelo cômputo do ganho K pode ser visualizado abaixo. 
Ademais, tem-se o diagrama de Bode resultante. 
K=0.005; 
num = 10*[1 0.1]; 
den = conv([1 1 0],[1 0.5]); 
g = tf(num,den); 
[~,PM,~,~]=margin(K*g); 
while(PM>=50) 
K=K+0.005; 
[~,PM,~,~]=margin(K*g); 
end 
K=K-0.005; 
bode(K*g) 
grid minor 
[GM,PM,~,~]=margin(K*g); 
GM = 20*log10(GM); 
 
Figura 1: Diagrama de Bode. 
Passo 3 de 3 keyboard_arrow_down 
A margem de ganho (GM) e o ganho são: 
 dB 
 
B7-28 
Considere o sistema de controle com realimentação unitária cuja função de transferência 
de malha aberta é: 
 
Determine o valor de K tal que o valor do pico de ressonância na resposta em frequência 
seja de 2 dB ou Mr = 2 dB. 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down 
Por meio do diagrama de Bode, é possível determinar o ganho do ramo direto capaz de 
produzir o pico de ressonância desejado em malha fechada. 
O código Matlab responsável pelo cômputo do ganho K pode ser visualizado abaixo. 
step = 0.001; 
K = step; 
num = 1; 
den = [1 1 0.5 0]; 
g = tf(num,den); 
[mag,~,~]=bode(K*g/(1+K*g)); 
mag = 20*log10(squeeze(mag)); 
Mr = max(mag); 
while(Mr<=2); 
K = K+step; 
[mag,~,~]=bode(K*g/(1+K*g)); 
mag = 20*log10(squeeze(mag)); 
Mr = max(mag); 
end 
K=K-step; 
bode(K*g/(1+K*g)) 
grid minor 
Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down 
O ganho K para o qual dB é: 
 
B7-29 
A Figura 7.164 mostra o diagrama de Bode da função de transferência de malha 
aberta G(s) de um sistema de controle com realimentação unitária. Sabe-se que a função 
de transferência de malha aberta é de fase mínima. Pelo diagrama, pode-se ver que há 
um par de polos complexos conjugados em ω = 2 rad/s. Determine o cocficientc de 
amortecimento do termo quadrático que envolve os dois polos complexos conjugados. 
Determine também a função de transferência G(s). 
FIGURA 7.164 Diagrama de Bode da função de transferência de malha aberta de um 
sistema de controle com realimentação unitária. 
 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 9 keyboard_arrow_down 
Por meio do diagrama de Bode, é possível estimar a função de transferência geradora do 
diagrama. Utilizaremos os conhecimentos adquiridos neste capítulo do livro para 
resolver esta questão. Vamos lá! 
Do diagrama de Bode, é possível perceber: 
Passo 2 de 9 keyboard_arrow_down 
1. Para baixas frequências, a magnitude decai com 20 dB por década e a fase é -180º. 
Tal comportamento pode ser devido a dois pólos na origem; 
2. Para altas frequências, a magnitude decai em 60 dB por década e a fase é -270º. Há 
três pólos a mais que zeros; 
3. Por volta de 0,5 rad/sec a magnitude e a fase aumentam. Presença de um zero; 
4. Ressonância em 2 rad/sec. Presença de um par de pólos complexos; 
Passo 3 de 9 keyboard_arrow_down 
Visto que o sistema é de fase mínima, uma possível função de transferência pode 
envolver: um par de pólos na origem, um zero em 0,5 rad/sec e um par de pólos 
complexos em 2 rad/sec. Assim, tem-se o seguinte formato: 
Passo 4 de 9 keyboard_arrow_down 
 
Passo 5 de 9 keyboard_arrow_down 
Além disso, 
Passo 6 de 9 keyboard_arrow_down 
 
 dB 
 
 
Passo 7 de 9 keyboard_arrow_down 
Pela magnitude do pico de ressonância, temos que: 
Passo 8 de 9 keyboard_arrow_down 
 
Passo 9 de 9 keyboard_arrow_down 
Por fim, uma possível função de transferência em malha aberta é: 
 
 
B7-30 
Desenhe os diagramas de Bode para o controlador PI dado por 
 
e para o controlador PD dado por 
 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down 
A seguir, será possível avaliar os diagramas de Bode das funções de transferência dos 
controladores PI e PD. Mãos à obra! 
Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down 
A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. 
s = tf('s'); 
gPI = 5*(1+1/2/s); 
gPD = 5*(1+0.5*s); 
bode(gPI,gPD) 
legend('PI','PD'); 
grid minor 
 
Figura 1: Diagramas de Bode. 
B7-31 
A Figura 7.165 mostra o diagrama de blocos do controle de atitude de um veículo 
espacial. Determine o ganho constante proporcional Kp e o tempo derivativo Td, de 
forma que a banda passante do sistema de malha fechada seja de 0,4 a 0,5 rad/s. (Note 
que a banda passante de malha fechada é próxima à frequência de ganho de 
cruzamento.) O sistema deve ter uma margem de fase adequada. Trace as curvas de 
resposta em frequência de malha aberta e de malha fechada em diagramas de Bode. 
FIGURA 7.165 Diagrama de blocos do sistema de controle de atitude de um veículo 
espacial. 
 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 4 keyboard_arrow_down 
Dada uma planta a ser controlada, computam-se os ganhos proporcional e derivativo do 
controlador, tendo em vista os requisitos do projeto. 
Passo 2 de 4 keyboard_arrow_down 
É necessário que o sistema tenha uma largura de faixa entre 0,4 e 0,5 rad/sec. Assim, 
escolhe-se o zero em 0,35 rad/sec e um ganho tal que a curva em malha aberta 
intercepte a linha de 0 dB em 0,4 rad/sec. 
Passo 3 de 4 keyboard_arrow_down 
A Figura 1 exibe o resultado do código Matlab abaixo. É possível visualizar os passos 
seguidos no projeto: primeiro alocou-se o zero, segundo ajustou-se o ganho. 
figure 
subplot(121) 
bode(g,g*(1+s/0.3),g*(1+s/0.3)*10^(-20/20)) 
legend('g','g*(1+Tds)','g*(1+Tds)*K','location','best'); 
grid minor 
gma = g*(1+s/0.3)*10^(-20/20); 
gmf = gma/(1+gma); 
subplot(122) 
bode(gmf) 
legend('closed loop'); 
grid minor 
 
Figura 1: Diagramas de Bode. 
Passo 4 de 4 keyboard_arrow_down 
Logo, um controlador capaz de atender aos requisitos possui a seguinte função de 
transferência: 
 
B7-33 
Considere o sistema mostrado na Figura 7.167. Deseja-se projetar um compensador com 
erro estático de velocidade constante de 4,0 s–1, margem de fase de 50° e margem de 
ganho de 8 dB ou mais. Trace as curvas de resposta ao degrau unitário eà rampa 
unitária do sistema compensando, utilizando o MATLAB. 
FIGURA 7.167 Sistema de controle. 
 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down 
A partir de uma planta a ser controlada, é preciso computar os parâmetros do 
controlador lead, tendo em vista os requisitos do projeto. No caso deste problema, é 
necessário que o sistema tenha um margem de fase de 50º, margem de ganho não menor 
que 8 dB e . 
Veja a resolução! 
Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down 
A Figura 1 exibe o resultado do código MATLAB abaixo. É possível visualizar os 
passos seguidos no projeto: cálculo do zero e do pólo e ajuste do ganho. 
s = tf('s'); 
% Kv = lim(s->0)s*g*gc 
% 4 = lim(s->0)s*(2*s+0.1)/(s^2+0.1*s+4)/s*Kc*alpha*(T*s+1)/(alpha*T*s+1) 
% Kc*alpha = 160 
K = 160; 
g = K*(2*s+0.1)/(s^2+0.1*s+4)/s; 
[~,pm,~,wcg]=margin(g); 
phi = 50-pm+5; 
phi = phi/180*pi; 
alpha = (1+sin(phi))/(1-sin(phi)); 
glead = (s+wcg/sqrt(alpha))/(s+wcg*sqrt(alpha)); 
[magwcg,~,~]=bode(g*glead,wcg); 
Kc = 1/magwcg; 
glead = Kc*glead; 
[mag1,ph1,w]=bode(g);[mag2,ph2,~]=bode(g*glead,w); 
mag1 = squeeze(mag1); mag2 = squeeze(mag2); 
ph1 = squeeze(ph1); ph2 = squeeze(ph2); 
figure 
subplot(221) 
semilogx(w,20*log10(mag1),w,20*log10(mag2)) 
legend('g','g*gc'); grid minor 
xlabel('Frequência (rad/s)'); ylabel('Amplitude (dB)'); 
subplot(223) 
semilogx(w,ph1,w,ph2) 
legend('g','g*gc'); grid minor 
xlabel('Frequência (rad/s)');ylabel('Fase (graus)'); 
subplot(222) 
[y3,t]=step(g*glead/(1+g*glead),0:0.01:60); 
plot(t,y3,t,t*0+1); 
legend('Saída','Entrada');grid minor 
xlabel('Tempo (s)');ylabel('Amplitude'); 
subplot(224) 
[y4,~]=step(g*glead/(1+g*glead)*1/s,t); 
plot(t,y4,t,t); legend('Saída','Entrada');grid minor 
xlabel 
thumb_up 
B7-34 
Considere o sistema mostrado na Figura 7.168. Projete um compensador por atraso e 
por avanço de fase com erro estático de velocidade constante Kv de 20 s-1, margem de 
fase de 60° e margem de ganho de pelo menos 8 dB. Trace as curvas de resposta ao 
degrau unitário e à rampa unitária do sistema compensando, utilizando o MATLAB. 
FIGURA 7.168 Sistema de controle. 
 
Solução passo-a-passo 
Passo 1 de 2 keyboard_arrow_down 
A partir de uma planta a ser controlada, é preciso computar os parâmetros do 
controlador lead/lag, tendo em vista os requisitos do projeto. No caso deste problema, é 
necessário que o sistema tenha um margem de fase de 60º, margem de ganho não menor 
que 8 dB e . 
Veja a resolução! 
Passo 2 de 2 keyboard_arrow_down 
A Figura 1 exibe o resultado do código MATLAB abaixo. É possível visualizar os 
passos seguidos no projeto: cálculo do zero e do pólo e ajuste do ganho. 
s = tf('s'); 
% Kv = lim(s->0)s*g*gc 
glag = s+1/(s+0.5); 
% gc = glag*glead; 
% 20 = lim(s->0)s*g*2*Kc*alpha*(T*s+1)/(alpha*T*s+1) 
% Kc*alpha = 10 
K = 10; 
g = K/s/(s+1)/(s+5); 
[~,pm,~,wcg]=margin(g); 
phi = 60-pm+5; 
phi = phi/180*pi; 
alpha = (1+sin(phi))/(1-sin(phi)); 
glead = (s+wcg/sqrt(alpha))/(s+wcg*sqrt(alpha)); 
[magwcg,~,~]=bode(g*glead,wcg); 
Kc = 1/magwcg; 
glead = Kc*glead; 
gc = glag*glead; 
[mag1,ph1,w]=bode(g);[mag2,ph2,~]=bode(g*gc,w); 
mag1 = squeeze(mag1); mag2 = squeeze(mag2); 
ph1 = squeeze(ph1); ph2 = squeeze(ph2); 
figure 
subplot(221) 
semilogx(w,20*log10(mag1),w,20*log10(mag2)) 
legend('g','g*gc'); grid minor 
xlabel('Frequência (rad/s)'); ylabel('Amplitude (dB)'); 
subplot(223) 
semilogx(w,ph1,w,ph2) 
legend('g','g*gc'); grid minor 
xlabel('Frequência (rad/s)');ylabel('Fase (graus)'); 
subplot(222) 
[y3,t]=step(g*gc/(1+g*gc),0:0.01:20); 
plot(t,y3,t,t*0+1); 
legend('Saída','Entrada');grid minor 
xlabel('Tempo (s)');ylabel('Amplitude'); 
subplot(224) 
[y4,~]=step(g*gc/(1+g*gc)*1/ 
thumb_up