Aplicações do TVM e TVI

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Lista de Exerc´ıcios - Aplicac¸o˜es do TVM e TVI - Professor Roney Rachide Nunes
(roneyrnuness-cefet@yahoo.com.br)
Aplicac¸o˜es do TVM e TVI
1. Verifique se as afirmativas abaixo sa˜o verdadeiras ou falsas. Se verdadeiras, justifique sua resposta. Se
falsa, apresente pelo menos um contra-exemplo.
(a) Seja f um polinoˆmio deriva´vel em (a, b). Se f(a) = f(b), enta˜o existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
(b) Seja f uma func¸a˜o deriva´vel em (a, b). Se f(a) = f(b), enta˜o existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
(c) Seja f uma func¸a˜o cont´ınua em (a, b). Se f(a) = f(b), enta˜o existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
(d) Se f e´ uma func¸a˜o deriva´vel, e f ′(x) = 0, para todo x em seu domı´nio, enta˜o f e´ constante. (dica:
use seu domı´nio como (1, 2) ∪ (3, 4).)
(e) Seja f(x) =
x2 + 1
x− 1 . Temos que f(0) = −1 e f(2) = 5. Enta˜o, pelo teorema do valor inter-
media´rio, existe c ∈ (0, 2) tal que f(c) = 0.
(f) Seja f(x) =
x2 + 1
x− 1 . Temos que f(0) = −1 e f(2) = 5. Enta˜o, pelo teorema do valor me´dio,
existe c ∈ (0, 2) tal que f ′(c) = 3.
(g) Todo polinoˆmio de grau ı´mpar tem pelo menos uma raiz real.
(h) Todo polinoˆmio de grau maior que 3 tem pelo menos uma raiz real.
(i) A func¸a˜o f(x) = senx + x possui pelo menos uma raiz real.
(j) Se f e´ uma func¸a˜o diferencia´vel, com domı´nio real, e f(a) = f(b), enta˜o existe c ∈ (a, b) tal que
f ′(c) = 0.
(k) Se f e´ uma func¸a˜o diferencia´vel, e f(a) = f(b), enta˜o existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.
2. Para cada um dos casos abaixo, encontre pelo menos um valor de c ∈ (a, b), satisfazendo o teorema
do valor me´dio.
(a) f(x) = x2 + 2x + 1, a = 0, b = 1.
(b) f(x) = x
2
3 , a = 0, b = 1.
(c) f(x) = x +
1
x
, a =
1
2
, b = 2.
(d) f(x) =
√
x + 1, a = 0, b = 3.
3. Seja f uma func¸a˜o de deriva´vel, satisfazendo f ′(x) = 2, ∀x ∈ R, e f(0) = 5.
Mostre que f(x) = 2x + 5, ∀x ∈ R. (dica: use o teorema do valor me´dio)
4. Mostre que a func¸a˜o f(x) = e−x + sen (10x) possui pontos cr´ıticos.
5. Cite uma aplicac¸a˜o do TVI.
6. Cite um importante resultado sobre derivadas que e´ consequeˆncia do TVM.
7. Os pontos em que f esta´ definida sa˜o importantes na aplicac¸a˜o do TVI e do TVM? Justifique.
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