prova e gabarito de variaveis complexas

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01. Se f é periódica, f ´ (a derivada de f) também o é. 
 
DEM. Se f é periódica de período T, f(z+T) = f(z). Assim, temos que provar que f ´(z+T = f ´(z). 
 
)´(
)()()()()()(
)´( limlimlim
000
zf
z
zfzzf
z
TzfTzzf
z
TzfzTzf
Tzf
zzz











. 
 
 
02. Analisar a analiticidade de 
 
(a) f(z) = cos(Re(z)) 
 Se z = x+iy, f(z) = cos x e, portanto, u(x,y) = cosx e v(x,y) = 0 
 Verificando Cauchy-Riemann temos que 
0 senx
, o que acontece se x = 
k
, para k inteiro. Assim, a derivada de f(z) só existe para os 
números complexos cuja parte real é 
k
 e cuja parte imaginária é y real (qualquer). Isto é, a derivada de f só existe nos pontos que estão sobre as retas 
verticais que formam um feixe (as distâncias entre essas retas é sempre 

). Mas f(z) não será analítica em nenhum ponto de nenhuma dessas retas, pois toda 
vizinhança centrada nesses pontos conterá pontos fora dessas retas, nos quais f não tem derivada. Portanto, a derivada de f existe para uma infinidade de 
pontos, mas em nenhum deles f é analítica. 
 
(b) f(z) = 
ize 
 
 
)(cos)( isenxxeeeee yixyyixiyxiiz  
. Disso, temos que u(x,y) = 
xe y cos
 e v(x,y) = 
senxe y
. Fazendo as derivadas parciais de u 
e v em relação a x e y e verificando se elas satisfazem Cauchy-Riemann, veremos que não há nenhum z para o qual isso acontece. Portanto, ize  não é 
derivável (e, portanto, não é analítica) em nenhum ponto do plano complexo. 
 
 
03. Se f(z) é uma função inteira cuja parte real é constante, mostre que f(z) é constante. 
 
DEM. f(z) = u(x,y) + iv(x,y), mas pelo enunciado, sabemos que u(x,y) é constante. Assim, f(z) = K + iv(x,y). 
 Como f(z) é inteira, Cauchy-Riemann é satisfeito para todos os pontos do plano complexo. Assim, 
 
y
v
x
u





0
 e , portanto, como 
0


y
v
, temos que v é constante em relação à variável y 
Verificando a outra igualdade das condições de Cauchy-Riemann, temos que 
x
v
y
u





0
, ou seja, 
0


x
v
 e, portanto, v é constante 
também em relação à variável x. Assim, v(x,y) = K1, constante e, portanto, f(z) = K + K1i, que é uma constante complexa. Assim, f(z) é uma 
função constante. 
 
 
04. Considerando 
 ln),( u
 
(a) U é harmônica pois 
0
2
2
2
2






y
u
x
u
 (basta derivar e comparar as derivadas de segunda ordem em relação à x e à y). 
(b) 
2
2
2
2
y
u
x
u





 se e somente se 
2222 xyyx 
 (para x e y diferentes de zero, pois para x = y = 0 as derivadas parciais não existem). Assim, 
resolvendo a equação, temos que x = y ou x = -y, ou seja, as duas retas que dividem os quadrantes em duas partes iguais (as bissetrizes dos 
quadrantes), à exceção da origem. 
 
 
05. (a) Se 
1)(  izzf
, determinar a parte imaginária de 
)( if 
 
 iiiLnii eeiif 2
3
)1(
)()1(1)()(


 
 (Lembrando que o módulo de -i é 1 e seu argumento é 
2
3
. Assim, 
iiiLn
2
3
2
3
1ln)(


) 
Continuando: iii ee 232323)1(    (que, aplicando a definição de exponencial, gera 
2
3
2
3
)
2
3
2
3
(cos
  
 ieisene
 e, portanto, a parte 
imaginária de 
1 ii
 é 23 e . A parte real é zero. 
 
05. (b) Determinar, se existir(em) a(s) raíz(es) de f(z) = Lnz 
 
Supondo 
)(cos  isenz 
, temos que 
 iLnz  ln
 que deve ser igual a zero para encontrarmos as raízes de Lnz. 
Assim, 
00ln0ln   eseeiLnz , portanto, 01   e e 1)00(cos1  isenz é a única raiz de Lnz