Eletromag Aula 6

Prévia do material em texto

Notas de aulas de eletromagnetismo 6a Aula- “Lei de Gauss “ 1 
 
Neri Alves 
 
 
Campo elétrico em dielétricos 
Eletromagnetismo 2011 
Neri Alves 
20/09/2013 - 6a Aula 
Dielétrico Real 
• Cargas livres. Responsáveis pelos processos de condução. 
• Cargas ligadas. Polarização elétrica do meio. 
 
Momento de dipolo 
P��� � q�� 
 
O momento de dipolo tem unidades 
[P���]=Cm 
 
1. Quando se aplica um campo elétrico externo em um dielétrico, o campo polariza o 
meio, e esta polarização pode variar de ponto para ponto. 
Notas de aulas de eletromagnetismo 6a Aula- “Lei de Gauss “ 2 
 
Neri Alves 
 
 
2. O meio polarizado também produz um campo, pois as cargas se separam. 
3. O campo produzido pelo meio polarizado “altera” o campo externo que produziu a 
polarização. 
Como exemplos de momento de dipolo podem citar a polarização eletrônica que ocorre no 
átomo de hidrogênio e a polarização molecular que ocorre na molécula de água. 
 
Considere um volume Δv em um meio dielétrico eletricamente neutro. Ao ser polarizado as 
cargas se separam o que se caracteriza por um momento de dipolo elétrico. 
∆P��� � � r�dq′
∆�
 
 
 
Onde 
P��� � q�� 
Esta quantidade determina o campo elétrico produzido por um Δv em pontos distantes, 
comparados com as dimensões deste elemento Δv. No entanto ∆P��� depende do tamanho do 
elemento de volume. Por esta razão é mais conveniente usar a expressão 
P��� � ∆P���∆� 
ou melhor 
P��� � lim∆�→�
∆P���
∆� 
Notas de aulas de eletromagnetismo 6a Aula- “Lei de Gauss “ 3 
 
Neri Alves 
 
 
E desta forma P���	a polarização elétrica, ou simplesmente polarização do meio é uma função 
pontual onde 
P��� � P����x, y, z� 
 
Unidades 
 
[�P����� � ��� !" � 	 �
�
 #"	 
 
Dipolo molecular. Uma molécula é uma pequena Unidade eletricamente neutra, para a 
qual pode se escrever que 
P���� � � r�dq′�$%&'(%) 
Esta é a polarização na molecular (microscopia). Para um conjunto de moléculas num 
volume Δv, temos 
 
P��� � 1∆� + P����
,
-./
 
 
Notas de aulas de eletromagnetismo 6a Aula- “Lei de Gauss “ 4 
 
Neri Alves 
 
 
 
Dielétrico Polarizado 
 Um dielétrico é polarizado quando é colocado em um campo elétrico de tal forma que 
ocorre uma separação das cargas, e cada ponto r�, é caracterizado por uma polarização P����r��. 
 
O potencial de um dipolo é 
φ�r�� � p�� ∙ �r� 3 r�′�4πε�|�r� 3 r�′�|8 
no elemento de volume ΔV’ temos ∆P����r��, logo 
∆�′ → ∆P����r�� e assim a expressão acima pode ser reescrita como 
φ�r�� � ∆p�� ∙ �r� 3 r�′�4πε�|�r� 3 r�′�|8 
mas, como P��� � ∆9���∆�: temos que ∆P��� � P���∆�′, então reescrevendo 
φ�r�� � 9����;���∙�;��<;��:�∆=:>?@A|�;��<;��:�|! e no limite em que∆�′ → 0, temos φ�r�� e somando as contribuições de 
todo o volume temos 
φ�r�� � 14πε� lim∆�:→� +
P����r�� ∙ �r� 3 r�′�∆V′
|�r� 3 r�′�|8 
 
Então 
Notas de aulas de eletromagnetismo 6a Aula- “Lei de Gauss “ 5 
 
Neri Alves 
 
 
φ�r�) = 14πε� �
P���(r�) ∙ (r� − r�′)dV′
|(r� − r�′)|8 
 
onde |(r� − r�′)| = �(D − D′)E + (G − G′)E + (H − H′)E�I# 
 
 
∇:= −∇ 
∇:→Calculado em r� 
∇:→Calculado em r�’ 
Isto significa que o gradiente operador ∇ calculo em r� é igual ao negativo do mesmo 
operador calculado em r�’ onde 
∇= ı̂ ∂dy + kO
∂
dz 
 
∇ P 1|(r� − r�′)|Q =? 
∇|(r� − r�′)|</ = �(D − D′)E + (G − G′)E + (H − H′)E�</E 
SejaS = (D − D′)E + (G − G′)E + (H − H′)E, então 
∂|(r� − r�′)|</
dx =
1
2 �d�
<8E 2(x − x:) = −(x − x:)�d�<8E 
Similarmente 
∂|(r� − r�′)|</
dy = −(y − y′)�d�
<8E
 
e 
∂|(r� − r�′)|</
dz = −(z − z′)�d�
<8E
 
Logo 
Inserção 
Notas de aulas de eletromagnetismo 6a Aula- “Lei de Gauss “ 6 
 
Neri Alves 
 
 
∇ P 1|�r� − r�′)|Q = −U(x − x:)ı̂ + (y − y:)ȷ̂ + (z − z:)kOW�d�
<8E
 
Ou 
∇ P 1|(r� − r�′)|Q = −
(r − r′)
|(r − r′)|8 
Refazendo os cálculos para r�′ temos o mesmo resultado com o sinal trocado. Veja: 
X|(;��<;��:)|YI
Z[ = −
/
E �d�<
!
# 2(x − x:)(−1) = (x − x:)�d�<!# e assim por diante. Então temos que 
∇:= −∇ 
Ou 
∇′ P 1|(r� − r�′)|Q =
(r − r′)
|(r − r′)|8 
 
 
 
Reescrevendo o integrando 
P��� ∙ (r� − r�′)
|(r� − r�′)|8 = P��� ∙ ∇′ P
1
|(r� − r�′)|Q 
 
 
 
\ ⟹ 1|(r� − r�′)| 
A��� ⟹ P��� 
 
P��� ∙ ∇: P 1|(r� − r�:)|Q = ∇: ∙ P
1
|(r� − r�′)| P���Q −
1
|(r� − r�′)| ∇: ∙ P��� 
Então 
Fim da Inserção 
∇ ∙ _\A���` = \∇ ∙ A��� + A��� ∙ ∇\ 
Notas de aulas de eletromagnetismo 6a Aula- “Lei de Gauss “ 7 
 
Neri Alves 
 
 
P��� ∙ (r� − r�′)
|(r� − r�′)|8 = ∇: ∙ P
1
|(r� − r�′)| P���Q −
1
|(r� − r�′)| ∇: ∙ P��� 
Finalmente 
φ(r�) = 14πε� � P∇
: ∙ P 1|(r� − r�′)| P���Q −
1
|(r� − r�′)| ∇: ∙ P���Q dV=
 
ou 
φ(r�) = 14πε� � ∇
: ∙ P���|(r� − r�:)| dV:=
− 14πε� �
∇: ∙ P���
|(r� − r�′)| dV′=
 
Aplicando o teorema d divergência, a primeira integral pode ser reescrita como 
� ∇: ∙ P���|(r� − r�:)| dV:=
= a P��� ∙ nc|(r� − r�:)| dA:d
 
Assim 
 
φ(r�) = 14πε� a
P��� ∙ nc
|(r� − r�:)| dA:d
+ 14πε� �
_−∇: ∙ P���`
|(r� − r�′)| dV′=
 
 
Onde P��� ∙ nc é a projeção de P��� na direção de ne , normal à superfície e lembrando que 
�P���� = ��#, tem unidade de carga por unidade de superfície podemos afirmar que a grandeza 
P��� ∙ ncrepresenta uma densidade superficial de carga de polarização. Daí 
σ9 ≡ P��� ∙ nc 
Onde siga é a densidade superficial de carga de polarização. 
Como ∇: ∙ P��� é um escalr e tem Unidade ��!, então 
ρi ≡ −∇: ∙ P��� 
Observação se P��� for uniforme não teremos ρi. De forma que : 
Notas de aulas de eletromagnetismo 6a Aula- “Lei de Gauss “ 8 
 
Neri Alves 
 
 
φ(r�) = 14πε� a
σ9dA:
|(r� − r�:)|d
+ 14πε� �
ρidV′
|(r� − r�′)|=
= 14πε� �
dq′
|(r� − r�′)|=
 
 
No s dielétricos a polarização tem origem nas cargas ligadas (que não se separa). 
A polarização é produzida por dipolos e portanto 
Qk$l)% = 0 
 
Qk$l)% = a σ9dA:
d
+ � ρidV:
=
= a P��� ∙ ncdA:
d
+ �_−∇: ∙ P���`dV:
=
 
Onde pelo Teorema da divergência 
� ∇: ∙ P��� dV: =
=
a P��� ∙ ncdA:
d
 
Então 
Qk$l)% = a P��� ∙ ncdA:
d
− a P��� ∙ ncdA:
d
= 0 
ρi e σ9 são grandezas macroscópica (Superfície e volume) e P��� é uma grandeza 
microscópica relativa à molécula. 
 
 
Notas de aulas de eletromagnetismo 6a Aula- “Lei de Gauss “ 9 
 
Neri Alves 
 
 
O Campo Elétrico 
 
E��� = −∇φ 
Deve-se usar ∇(sem linha) pois estamos analisando no ponto P. Sabendo que 
∇′ P 1|(r� − r�′)|Q = −∇ P
1
|(r� − r�′)|Q 
e 
∇′ P 1|(r� − r�′)|Q =
(r − r′)
|(r − r′)|8 
Temos finalmente que: 
E���(r�) = a σ9 (r − r′)|(r − r′)|8 dA:d
+ � ρi (r − r′)|(r − r′)|8 dV:=
 
 
 
 
Lei de Gauss em um dielétrico (Deslocamento Elétrico) 
 Considere um dielétrico com cargas q1, q2 e q3 imersas em seu volume. Sejam q1, q2 
e q3 corpos condutores carregados e S1, S2 e S3 as superfícies destes corpos e S uma 
superfície Gaussiana envolvendo todas as cargas de polarização. Admita-se que QP seja a 
carga de polarização e as cargas reais (excesso de carga e carga externa) Q= q/ + qE + q8 
 
Lei de Gauss 
Notas de aulas de eletromagnetismo 6a Aula- “Lei de Gauss “ 10 
 
Neri Alves 
 
 
a E���
d
∙ ncdA = Qk$l)%ε� 
 
Onde nopqrs = Q9 + Q 
 
a E���
d
∙ ncdA = Q9 + Qε� 
 
Mas 
Q9 = a σ9dA:
dItd#td!
+ � ρidV:
=
 
Ou 
Q9 = a P��� ∙ nc dA:
dItd#td!
+ � _−∇: ∙ P���`dV:
=
 
a E���
d
∙ ncdA = Qε� + a P��� ∙ nc dA
:
dItd#td!
+ �_−∇: ∙ P���`dV:
=
 
A primeira integral não se aplica a superfície de Gauss (S) pois esta foi escolhida no 
dielétrico.Usandoo Teorema da divergência 
 
 
 
Então 
 
� ∇: ∙ P��� dV:
=
= a P��� ∙ nc
dt dItd#td!
 dA 
Notas de aulas de eletromagnetismo 6a Aula- “Lei de Gauss “ 11 
 
Neri Alves 
 
 
a E���
d
∙ ncdA = Qε� +
1
ε� a P��� ∙ nc dA
:
dItd#td!
− 1ε� a P��� ∙ ncdt dItd#td!
 dA 
Ou 
a E���
d
∙ ncdA = Qε� +
1
ε� a P��� ∙ nc dA
:
dItd#td!
− 1ε� a P��� ∙ ncdt dItd#td!
 dA − 1ε� a P��� ∙ ncd dA 
 
Então 
a E���
d
∙ ncdA = Qε� −
1
ε� a P��� ∙ ncd dA 
 
Ou 
a ε�E���
d
∙ ncdA + a P��� ∙ nc
d
 dA = Q 
O que pode ser escrito como: 
a (ε�E��� + P���) ∙ ncd dA = Q 
Se definirmos u��� = v�E��� + P���, sendo u��� o vetor deslocamento elétrico, podemos reescrever a 
integral como: 
a u��� ∙ nc
d
 dA = Q 
Onde Q é a carga Real. Esta é a Lei de Gauss no dielétrico na forma integral. 
 
 
Notas de aulas de eletromagnetismo 6a Aula- “Lei de Gauss “ 12 
 
Neri Alves 
 
 
Exercícios 
1. Mostrar que o ∇´ = ∇´ 
2. Partindo da relação do potencial para um dipolo elétrico φ(r�) = i���∙(;��<;´���)>?@Ax(;��<;´���)x! 
demonstre que a expressão produzido por o potencial num meio polarizado 
qualquer numa posição r� é dado por φ(r�) = />?@A P∮
z{ Z)´
x(;��<;´���)xd + |
}{ Z�´
x(;��<;´���)x= Q. 
3. Mostrar que a carga total de polarização em dielétrico é nula. 
4. Sabendo o potencial produzido por um meio polarizado na posição r� exercício 2, 
calcule o campo elétrico nesta posição.Demonstre a lei de Gauss na forma integral 
para um meio dielétrico. 
5. Uma barra de dielétrico de secção reta A estende-se ao longo do eixo de x=0 a x=L. A 
polarização da barra dá se ao longo de seu comprimento e é dada por baxPx +=
2
. 
Encontre a densidade volumétrica de carga de polarização e a carga superficial de 
polarização em cada extremidade. Demonstre explicitamente que a carga total de 
polarização se anula neste caso. 
6. Um cubo dielétrico de lado L tem uma polarização radial dada por rAP r
r
= , onde A é uma 
constante e kzjyixr ˆˆˆ ++=r . A origem do sistema de coordenadas se situa no centro do 
cubo. Encontre todas as densidades de carga de polarização (densidade da carga de volume 
e de cada superfície) e demonstre explicitamente que a carga total de polarização se anula. 
7. Uma barra de dielétrico com a forma de um cilindro circular reto de comprimento L e raio 
R se polariza na direção de seu comprimento. Se a polarização for uniforme e de modulo P, 
calcule o campo elétrico resultante desta polarização num ponto sobre o eixo da barra. 
8. Demonstre a seguinte relação entre a polarização , e as densidades de carga de polarização 
ρ9 e σ9 para uma amostra de dielétrica de volume V e superfície S. | P���dV= | ρ9r�dV +=
| σ9r�dad . Onde r� = xı̂ + yȷ̂ + zkO é o vetor p osição a partir de qualquer origem fixa. 
Sugestão desenvolva ∇ ∙ x′r� conforme a identidade vetorial ∇ ∙ _\A���` = \∇ ∙ A��� + A��� ∙ ∇′\