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CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2001 
Primeira Prova – Data: 18/04/2001 – Duração: 2:30 hs – Sem Consulta 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama 
de momentos fletores do quadro hiperestático 
ao lado. Somente considere deformações por 
flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à 
flexão EI = 1,0 x 105 kNm2. 
 
 
 
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
Considere as duas estruturas mostradas abaixo. A da esquerda é um quadro isostático e a da direita 
é um quadro hiperestático. Os dois quadros sofrem a mesma solicitação: uma força horizontal de 
50 kN aplicada no apoio da direita e um recalque desse mesmo apoio de 6 mm para baixo. Todas 
as barras têm um material com módulo de elasticidade E = 1,0 x 108 kN/m2 e seções transversais 
com momento de inércia I = 1,0 x 10-3 m4. Considere válida a hipótese de pequenos deslocamen-
tos. 
 
 
 
Pede-se: 
(a) Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura isostática. 
(b) Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática. Deve-se utilizar o 
Método das Forças, adotando OBRIGATORIAMENTE como Sistema Principal a estrutura 
isostática da esquerda. Somente considere deformações por flexão. 
 (b.1) Dê a intepretação física do termo de carga δ10 do sistema de equações de compatibi- 
 dade do Método das Forças para esta solução. 
 (b.2) Mostre a dedução do termo de carga δ10 pelo Princípio das Forças Virtuais. 
(c) Considere que as colunas dos quadros acima tiveram a seção transversal modificada para 
uma com momento de inércia I = 2,0 x 10-3 m4 (a viga não se altera). Responda sem fazer 
nenhum cálculo: 
 (c.1) O diagrama de momentos fletores da estrutura isostática se altera? Por que? 
 (c.2) O diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática se altera? Por que? 
 
3ª Questão (1,0 ponto) 
Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
 
 
1ª Questão 
X1 X1 
X2 
Sistema Principal e Hiperestáticos 
(g=2) 
 
M0
Caso (0) – Solicitação externa isolada 
 no SP 
 
X1=1
X1=1 
1/6 
1/6
1/6
1/6 
1/4 
1/4 
1/4 
1/4 
M1 
. X1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
 
X2=1 
1/4 
M2 
1/4
. X2
Caso (2) – X2 isolado no SP 
 
 
Equações de Compatibilidade 



−=
+=
⇒






=












+






kNmX
kNmX
X
X
82.45
10.8
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
δδ
δδ
δ
δ
 
EIEI
546361
3
1691
3
11
10 −=



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=δ 
EIEI
3366721
2
14361
6
14721
3
11
20 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ
EIEI 3
20611
3
12411
3
12111 +=



⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=δ 
01221 == δδ 
EIEI 3
22611411
3
11
22 +=



⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ 
Diagrama de Momentos Fletores 
M = M0 + M1·X1 + M2·X2 
M 
(kNm) 
 
2ª Questão 
Item (a) 
M 
(kNm) 
ρ = 0.006m
 
Como a estrutura é isostática, o “pequeno” 
recalque de apoio não provoca deformações 
(só movimento de corpo rígido). Portanto, o 
recalque não provoca momentos fletores, que 
só são devidos à carga de 50 kN aplicada. 
Item (b) 
Caso (0) – Solicitação eterna isolada no SP 
 Idêntico ao item (a). 
X1=1
1/3
M1
. X1 
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1/3 
 
Item (b.1): Equação de compatibilidade 
011110 =⋅+ Xδδ 10δ é a rotação da seção do apoio da esquerda no caso (0) 
 
Item (b.2) – Cálculo de 10δ pelo Princípio das Forças Virtuais (PFV) 
Sistema Real 
(Estrutura da qual se quer calcular o desloca-
mento.) 
É o caso (0), que é idêntico ao item (a). 
Sistema Virtual 
(Estrutura com força unitária virtual na dire-
ção do deslocamento que se quer calcular.) 
É o caso (1) com 11 =X . 
PFV: UWE = 
→EW Trabalho das forças externas do sistema 
virtual com os correspondentes deslocamentos 
externos do sistema real. 
Neste caso, o trabalho externo virtual é igual 
ao produto de 11 =X por 10δ mais o produto 
da reação vertical no apoio direito do caso (1) – 
força de 1/3 para baixo – pelo recalque de a-
poio ρ : 
ρδ ⋅+⋅= )3/1(1 10EW . 
→U Energia de deformação interna virtual. 
Esta é a energia de deformação por flexão 
provocada pelos momentos fletores do sistema 
virtual 1MM = com as correspondentes rota-
ções relativas internas do sistema real 
dxEIMd )/( 0=θ . Deve ser observado que o 
recalque de apoio ρ não provoca deforma-
ções internas (só provoca movimento de corpo 
rígido). Portanto, θd é somente devido à car-
ga de 50 kN aplicada. Assim: 
dx
EI
MMdMdMU
estruturaestruturaestrutura
∫∫∫ ===
01
1 θθ 
 
Assim: 
ρδ ⋅−⋅= ∫ )3/1()/1(
.
0110 dxMMEI
estrut
 
006.0
3
121001
2
131001
2
11
10 ⋅





−



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅=
EI
δ
radx 310 105.4
−
−=δ 
kNmradx
EI
/103211311
3
11 5
11
−+=



⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ 
kNmXX 1500 111110 =⇒=⋅+δδ 
Diagrama de Momentos Fletores 
M = M0 + M1·X1 
M 
(kNm) 
 
 
Item (c.1) – Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fletores só depende dos valores da 
carga e reações, e da geometria da estrutura. Com a consideração da hipótese de pequenos des-
locamentos, as equações de equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (origi-
nal) da estrutura. Portanto, o diagrama de momentos fletores não se altera com a modificação 
do momento de inércia da seção transversal das colunas. 
Item (c.2) – Na estrutura hiperestática, por ter vínculos excedentes, os esforços internos depen-
dem da rigidez relativa entre as barras. Com as colunas mais rígidas do que a viga, as rotações 
das extremidades da vigas são menores do que no caso com todas as barras com rigidez iguais, 
se aproximando do caso de uma viga com extremidades engastadas. Portanto, o diagrama de 
momentos fletores fica alterado com a modificação do momento de inércia da seção transversal 
das colunas. 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2001 
Primeira Prova – Data: 19/09/2001 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama 
de momentos fletores do quadro hiperestático 
ao lado. Somente considere deformações por 
flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à 
flexão EI = 1,0 x 105 kNm2. 
 
 
 
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
Considere os quatro pórticos mostrados abaixo. Os pórticos do lado esquerdo são isostáticos e os do 
lado direito são hiperestáticos. Os pórticos superiores têm como solicitação uma carga uniformemen-
te distribuída aplicada na viga. As duas estruturas inferiores têm como solicitação um aumento uni-
forme de temperatura (∆T = 12 °C) na viga. Todas as barras têm um material com módulo de elasti-
cidade E = 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /°C. Todas a barras têm seções 
transversais com momento de inércia I = 1,0 x 10–3 m4. 
 
 
Pede-se: 
(a) Indique os aspectos das configurações deformadas (amplificadas) das quatro estruturas. 
(b) Determine os diagramas de momentos fletores das estruturas isostáticas e os aspectos (não pre-
cisa dos valores numéricos) dos diagramas de momentos fletores das estruturas hiperestáticas. 
(c) Determine o diagrama de momentos fletores (com valores numéricos) da estrutura hiperestática 
inferior (solicitada pela variação de temperatura). Deve-se utilizar o Método das Forças, ado-
tando obrigatoriamente como Sistema Principal a estrutura isostática da esquerda. Somente 
considere deformações por flexão. Sabe-se que o alongamento relativo interno de um elemento 
infenitesimal de barra devido a uma variação uniforme de temperatura é du = α ∆T dx. Neste 
caso não existe rotação relativa interna do elemento infinitesimal. 
(d) Considere que as colunas dos quadros acima tiveram aseção transversal modificada para uma 
com momento de inércia I = 2,0 x 10-3 m4 (a viga não se altera). Responda: 
 (d.1) Os diagramas de momentos fletores das estruturas isostáticas se alteram? Por que? 
 (d.2) Os diagramas de momentos fletores das estruturas hiperestáticas se alteram? Por que? 
 
3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
 
 
1ª Questão 
 Sistema Principal e Hiperestáticos 
(g = 2) 
X1 
X1 X2 X2 
 Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
M0
 
X1 = 1 
X1 = 1 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP
M1 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
. X1
 
X2 = 1
Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP 
M2
1/6 
. X2
1/6 
1/6 1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
X2 = 1 
 
Equações de Compatibilidade 



+=
−=
⇒






=












+






kNmX
kNmX
X
X
7.170
3.61
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
δδ
δδ
δ
δ
 
EIEI
129662881
3
162881
2
16721
3
11
10 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅=δ
EIEI
1440
31445.0
3
131445.0
3
1
34325.0
3
134325.0
3
1
62881
3
162881
3
16721
3
1
1
20 −=


















⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅=δ
EIEI
10611
3
1611611
3
11
11 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ 
EIEI
4611
3
1611
2
1611
6
11
2112 −=



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅== δδ 
EIEI
735.05.0
3
14611
3
13122 +=



⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=δ 
Momentos Fletores Finais 
M
M = M0 + M1·X1 + M2·X2 
[kNm] 
 
 
 
 
2ª Questão 
Item (a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Item (b) 
M 
[kNm] 
 
 
M
[kNm]
 
M=0 
 
 
M
[kNm]
(veja solução abaixo) 
 
 
Item (c) 
Caso (0) – Variação de temperatura no SP
δ10M0=0
 
 
mLT 5510 107261210
−−
⋅+=⋅⋅=⋅∆⋅=αδ 
 
Equação de compatibilidade 
kNXX 10 111110 −=⇒=⋅+δδ 
 
Momentos fletores finais (veja acima) 
11110 )1(0 MMXMMM −=−⋅+=⋅+= 
 
X1 = 1 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
M1
. X1
X1 = 1 
δ11 
( )




⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅== ∫ 6333333
121
2
1
11 EI
dx
EI
Mδ 
kNm/1072 511
−
⋅+=δ 
 
 
 
 
Item (d.1) – Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fletores só depende dos valores da 
carga e reações, e da geometria da estrutura. Com a consideração da hipótese de pequenos des-
locamentos, as equações de equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (origi-
nal) da estrutura. 
Portanto, o diagrama de momentos fletores não se altera com a modificação do momento de 
inércia da seção transversal das colunas. 
No caso da carga uniformente distribuída, a estrutura isostática terá sempre o diagrama de 
momentos fletores indicado no item (a) (diagrama parabólico no viga). No caso da variação de 
temperatura, a estrutura isostática terá sempre momentos fletores nulos. 
 
Item (d.2) – Na estrutura hiperestática, por ter vínculos excedentes, os esforços internos depen-
dem da rigidez relativa entre as barras. Com as colunas mais rígidas do que a viga, as rotações 
das extremidades da vigas são menores do que no caso com todas as barras com rigidez iguais, 
se aproximando do caso de uma viga com extremidades engastadas. 
Portanto, o diagrama de momentos fletores fica alterado com a modificação do momento de 
inércia da seção transversal das colunas. 
No caso da carga uniformente distribuída, a estrutura isostática terá como o mesmo aspecto do 
diagrama de momentos fletores indicado no item (a), mas os valores ficam alterados em relação 
ao diagrama com viga e colunas com mesma seção transversal. 
A solução da estrutura hiperestática pelo Método das Forças, para a solicitação de variação uni-
forme de temperatura na viga, demonstra que a os valores dos momentos fletores finais depen-
dem dos valores relativos entre momentos de inércia das seções transversais barras: 
O caso (0) mostrado no item (c) permanece inalterado, 
isto é: 
mLT 5510 107261210
−−
⋅+=⋅⋅=⋅∆⋅=αδ . 
O diagrama de momentos fletores M1 do item (c) é o 
mesmo, mas o valor do coeficiente de flexibilidade fica 
alterado: 
[ ] 



⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅= 333
3
121633111
colunaviga EIEI
δ 
kNm/10631091054 55511
−−−
⋅=⋅+⋅=δ 
Equação de compatibilidade 
kNXX 7
80 111110 −=⇒=⋅+δδ 
Momentos fletores finais ( )781110 −⋅=⋅+= MXMMM 
 
 
 
 
 
 
 
 
M 
[kNm] 
8/78/7 
24/7
24/7 24/7 
24/7
 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2002 
Primeira Prova – Data: 27/03/2002 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
1ª Questão (6,0 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama 
de momentos fletores do quadro hiperestático ao 
lado. Somente considere deformações por fle-
xão. Todas as barras têm a mesma inércia à fle-
xão EI = 4,0 x 104 kNm2. 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (3,0 pontos) 
Para a viga contínua com dois vãos mostrada abaixo pede-se o diagrama de momentos fletores utili-
zando o Método das Forças. As seguintes solicitações atuam na estrutura concomitantemente: 
· Uma carga concentrada de 40 kN no centro de cada vão. 
· Aquecimento das fibras superiores da viga de ∆Ts = 50 °C ao longo de toda a sua extensão (as 
fibras inferiores não sofrem variação de temperatura, isto é, ∆Ti = 0 °C). 
· Recalque vertical (para baixo) de 3 cm do apoio direito. 
 
 
Sabe-se: 
(a) A viga tem um material com módulo de elasticidade E = 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação 
térmica α = 10–5 /°C. 
(b) A viga tem seção transversal com área A = 1,0 x 10–2 m2 e momento de inércia I = 1,0 x 10–3 m4. 
A altura da seção transversal é h = 0,60 m e o seu centro de gravidade fica posicionado na meta-
de da altura. 
(c) O deslocamento axial relativo interno provocado pela variação de temperatura em um elemento 
infinitesimal de barra é 
duT = α ∆TCG dx, 
sendo ∆TCG a variação de temperatura na fibra do centro de gravidade da seção transversal. 
(d) O rotação relativa interna provocada pela variação de temperatura em um elemento infinitesimal 
de barra é 
( )dx
h
TTd siT ∆−∆= αθ . 
 
 
 
3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
1ª Questão 
X1 
X1 
X2 
Sistema Principal e Hiperestáticos 
 (g=2) 
X2 
Momentos Fletores Finais 
M
M = M0 + M1·X1 + M2·X2 
[kNm]
 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
 
M0 
 
 
X1=1 
M1 
. X1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1/3 
1/3 
1/3 
1/3 
1/3 1/3 
X1=1
X2=1 
M2 
. X2
Caso (2) – X2 isolado no SP 
1/3
X2=1 
1/3 1/3 1/3
1/3 1/3
1/3
1/3 
1/3 
1/3
 
 
Equações de Compatibilidade 



−=
−=
⇒






=












+






kNmX
kNmX
X
X
1.52
5.20
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
δδ
δδ
δ
δ
 
EIEI
3783361
2
13361
2
131801
2
11
10 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ 
EIEI
405
391
3
13361
3
1
3361
3
13361
2
131801
2
1
1
20 +=












⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
⋅=δ 
 
 
 
EIEI
7311
3
1311311111 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=δ 
EIEI 2
9311
2
131112112 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅== δδ 
EIEI
6311
3
13311122 +=



⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ 
2ª Questão 
X1 
Sistema Principal e Hiperestático
 (g=1) X1
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
M0 
[kNm] 
Como o Sistema Principal é isostático, a variação de tempe-
ratura e o recalque de apoio só provocam deslocamentos 
(não provocam esforços internos). Portanto,os momentos 
fletores só são devidos às cargas de 40 kN aplicadas. 
 
X1=1 
M1
. X1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1/3 
X1=1 
1/6 1/6
Equação de compatibilidade 
011110 =⋅+ Xδδ 
10δ é a rotação relativa entre as seções adja-
centes à rótula introduzida na criação do Sis-
tema Principal no caso (0). 
11δ é a rotação relativa entre as seções adja-
centes à rótula introduzida na criação do Sis-
tema Principal devido a 11 =X no caso (1). 
 
Cálculo de 10δ pelo Princípio das Forças Virtuais (PFV) 
Sistema Real 
(Estrutura da qual se quer calcular a rotação relativa.) 
É o caso (0). 
Sistema Virtual 
(Estrutura com momentos unitários virtuais na direção 
da rotação relativa que se quer calcular.) 
É o caso (1) com 11 =X . 
PFV: UWE = 
→EW Trabalho das forças externas do sistema virtual 
com os correspondentes deslocamentos externos do sis-
tema real. 
Neste caso, o trabalho externo virtual é igual ao produto 
de 11 =X por 10δ mais o produto da reação vertical no 
apoio direito do caso (1) – força de 1/6 para baixo – pelo 
recalque de apoio: 
)03.0()6/1(1 10 −⋅−+⋅= δEW . 
 
⇒=UWE 
∫∫ ⋅−
∆−∆⋅
+= 03.0
6
1)(
1
01
10 dxMh
TTdx
EI
MM siαδ 
EI
EI
18003.0
6
10.16
2
12
60.0
)50(
3600.1
6
13605.0
3
13605.0
3
12110
−=⋅−











⋅⋅−⋅⋅
−⋅
+












⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅=
α
δ
 
EIEI
460.10.1
3
12111 +=











⋅⋅⋅⋅⋅=δ 
kNmXX 450 111110 =⇒=⋅+δδ 
 
 Momentos Fletores Finais 
M M = M0 + M1·X1 
[kNm] 
 
→U Energia de deformação interna virtual. 
(Despreza-se a energia de deformação por cisalhamen-
to e, como o esforço normal no caso (1) é nulo, a ener-
gia de deformação axial é nula.) 
Portanto, a energia de deformação é somente devida à 
flexão, isto é, é a energia (virtual) provocada pelos 
momentos fletores do sistema virtual 1MM = com as 
correspondentes rotações relativas internas do sistema 
real θd . 
A rotação relativa interna real no caso (0) é devida às 
cargas de 40 kN aplicadas e devida à variação de tem-
peratura: 
TP ddd θθθ += 
Onde, dxEIMd P )/( 0=θ e dxhTTd siT ]/)([ ∆−∆⋅= αθ 
Deve ser observado que o recalque de apoio não pro-
voca rotação relativa interna (só provoca movimento 
de corpo rígido). 
Assim: 
∫∫∫∫ +===
estrutura
T
estrutura
P
estruturaestrutura
dMdMdMdMU θθθθ 111 
∫∫
∆−∆⋅⋅
+
⋅
= dx
h
TTMdx
EI
MMU si )(101 α 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2002 
Primeira Prova – Data: 04/09/2002 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
1ª Questão (6,0 pontos) 
Considere a estrutura hiperestática abaixo, onde também está indicado o seu diagrama de momentos 
fletores. Todas as barras têm a mesma inércia a flexão EI e pode-se considerar que não existem de-
formações axiais e de cisalhamento nas barras. 
 
 
M [kNm] 
 
 
Pede-se: 
Item (a) – (0,5 ponto) 
 Determine um possível sistema principal (Método das Forças) para o quadro acima. As incógni-
tas (hiperestáticos) também devem ser indicadas. Mostre a decomposição do sistema principal 
em quadros isostáticos simples (tri-articulados, bi-apoiados ou engastados e em balanço). 
Item (b) – (4,0 pontos) 
 Considerando o sistema principal encontrado no item anterior, indique o casos básicos – caso 
(0), caso (1), caso (2), etc. – utilizados para análise da estrutura pelo Método das Forças. De-
termine os diagramas de momentos fletores para todos os casos básicos. 
Item (c) – (1,0 ponto) 
 Escreva literalmente (somente símbolos, sem números) o sistema de equações finais da solução 
desta estrutura pelo Método das Forças. Escolha uma destas equações e indique as expressões 
numéricas envolvidas nos cálculos de cada um dos coeficientes da equação escolhida. Não é 
preciso completar as contas para calcular os coeficientes. Indique que tipo de condição que esta 
equação está impondo. Indique as interpretações físicas e unidades de todos os coeficientes que 
aparecem na equação escolhida. 
Item (d) – (0,5 ponto) 
 Com base no diagrama de momentos fletores fornecido para a estrutura hiperestática e no siste-
ma principal escolhido, determine os valores das incógnitas (hiperestáticos) que resultariam da 
solução da estrutura pelo Método das Forças. Demonstre que a superposição dos casos básicos, 
considerando os valores dos hiperestáticos encontrados, resulta no diagrama de momentos fleto-
res fornecido. 
 
 
2ª Questão (3,0 pontos) 
Considere os dois pórticos mostrados abaixo. As duas estruturas têm como solicitação o carregamen-
to uniformemente distribuído indicado e um aumento de temperatura ∆Ti = 16 °C nas fibras inferiores 
da viga. As fibras superiores da viga não sofrem variação de temperatura (∆Ts = 0 °C). Todas as bar-
ras têm um material com módulo de elasticidade E = 1,0 x 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmi-
ca α = 10–5 /°C. Todas a barras têm seções transversais com momento de inércia I = 1,0 x 10–3 m4, 
altura h = 0.60 m e centro de gravidade no meio de altura. Somente considere os efeitos axiais para a 
variação de temperatura. 
 
 
 
Sabe-se com respeito ao elemento infinitesimal de viga: 
dx 
dxTi∆α
dxTs∆α 
Tdu 
Tdθ 
h 
x 
y 
 
Deslocamento axial relativo interno provocado pela 
variação de temperatura: 
dxTdu CG
T ∆=α 
⇒∆ CGT variação de temperatura na fibra do centro 
de gravidade obtida por interpolação linear de iT∆ e 
sT∆ . 
 
Rotação relativa interna provocada pela variação de 
temperatura: 
dx
h
TT
d siT
)( ∆−∆
=
αθ 
 
 
Pede-se: 
Item (a) – (0,5 ponto) 
 Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura isostática. 
Item (b) – (1,5 pontos) 
 Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática. 
Item (c) – (1,0 ponto) 
 Considere que as colunas dos quadros acima tiveram a seção transversal modificada para uma 
com momento de inércia I = 2,0 x 10-3 m4 (a viga não se altera). Responda: 
 (c.1) Os diagramas de momentos fletores das estruturas isostáticas se alteram? Por que? 
 (c.2) Os diagramas de momentos fletores das estruturas hiperestáticas se alteram? Por que? 
 
 
 
3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
 
1ª Questão – Item (a) 
 
X1 
X1
X2 
Sistema Principal e Hiperestáticos 
 (g=3) 
X2
X3 
 
X1 
X1 
X2 
X2 
X3
 
 
 
1ª Questão – Item (b) 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
M0 
 
X1=1 
M1 
. X1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1/3
X1=1 
1/3 
1/3 
1/3
1/6
1/6
1/6 
1/6 
1/6 1/6
 
X2=1 
M2
. X2
Caso (2) – X2 isolado no SP 
X2=1 
1/3 
1/3 
1/3 1/3 
1/3
1/3 
 
X3=1
M3 
. X3
Caso (3) – X3 isolado no SP 
1/3 1/3
 
 
1ª Questão – Item (c) 
 
Equações de Compatibilidade 










=




















+










0
0
0
3
2
1
333231
232221
131211
30
20
10
X
X
X
δδδ
δδδ
δδδ
δ
δ
δ
 
 
Considere a primeira equação deste sistema: 
Esta equação impõe uma condição de compatibilidade interna: a rotação relativa entre as 
seções adjacentes à rótula associada a X1 é nula, isto é, no ponto onde foi introduzida a 
rótula a rotação da elástica é contínua. 
 
Termo de carga δ10 [rad] → rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula associada a 
X1 devida à solicitação externa no caso (0): 




⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅= 3725.0
3
131325.0
3
13725.0
3
131925.0
3
13601
3
16361
3
11
10 EI
δ 
 
Coeficiente de flexibilidade δ11 [rad/kNm] →rotação relativa entre as seções adjacentes à 
rótula associada a X1 devida a X1 = 1: 












⋅⋅⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅= 35.05.0
3
14311
3
12611
3
11
11 EI
δ 
 
Coeficiente de flexibilidade δ12 [rad/kNm] → rotação relativa entre as seções adjacentes à 
rótula associada a X1 devida a X2 = 1: 




⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅= 315.0
3
1315.0
3
1315.0
2
1311
6
1311
3
11
12 EI
δ 
 
Coeficiente de flexibilidade δ13 [rad/kNm] → rotação relativa entre as seções adjacentes à 
rótula associada a X1 devida a X3 = 1: 




⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅= 315.0
2
1315.0
3
11
13 EI
δ 
 
 
 
1ª Questão – Item (d) 
 
Os valores dos hiperestáticos podem ser ob-
tidos do diagrama de momentos fletores fi-
nais da estrutura que foi fornecido: 
 
M [kNm] 
X1 = +35.1 kNm 
X2 = +28.2 kNm
X3 = +89.1 kNm 
Demonstração de que a superposição dos casos 
básicos resulta nos momentos finais: 
 
M0 + M1·X1 + M2·X2 + M3·X3 = M 
 
Considere o momento fletor assinalado no dia-
grama. Observa-se que este valor pode ser ob-
tido pela superposição dos momentos fletores 
dos casos básicos nesta seção: 
 
+132 + 0.5·35.1 + (-1.0)·28.2 + (-1.0)·89.1 = +32.3 
 
O mesmo pode ser verificado para outras se-
ções. 
 
 
 
2ª Questão – Item (a) 
 
M [kNm] 
 
 
 
2ª Questão – Item (b) 
 
X1 
Sistema Principal e 
Hiperestático (g=1) 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
M0 
δ10 
 
 
X1=1 
M1
. X1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1 X1=11 
δ11 
N1= +1 
N1= 0 
N1= 0 
 
Equação de compatibilidade 
011110 =⋅+ Xδδ 
 
Sendo Tq 101010 δδδ += : 
→q10δ deslocamento horizontal da seção do 
apoio da direita devido à carga distribuída 
no caso (0). 
→T10δ deslocamento horizontal da seção do 
apoio da direita devido à variação de tem-
peratura no caso (0). 
m
EI
dx
EI
MMq 501
10 1086467233
21
−
⋅+=



⋅⋅⋅== ∫δ
 
∫∫ +=
viga
T
viga
TT duNdM 1110 θδ 
( ) dxdx
h
TTd siT
3
80⋅
=
∆−∆⋅
=
ααθ 
dxdxTdu GC
T
⋅⋅=⋅∆⋅= 8αα 
 
∫∫ ⋅+
⋅
=
vigaviga
T dxNdxM 1110 83
80
α
αδ 
mT 510 10528168363
80
−
⋅+=⋅⋅⋅+⋅⋅
⋅
= α
αδ 
 
 
 
( )




⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅== ∫ 6333333
121
2
1
11 EI
dx
EI
Mδ 
kNm/1072 511
−
⋅+=δ 
 
 
 
( )
kNX
X
X
3
58
0107210528864
0
1
1
55
11110
−=⇒
=⋅⋅+⋅+
→=⋅+
−−
δδ
 
 
Momentos fletores finais 
110 XMMM ⋅+= 
M [kNm] 
 
 
 
 
2ª Questão – Item (c) 
 
Item (c.1) – Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fletores só depende dos valores da 
carga e reações, e da geometria da estrutura. Com a consideração da hipótese de pequenos des-
locamentos, as equações de equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (origi-
nal) da estrutura. 
Portanto, o diagrama de momentos fletores não se altera com a modificação do momento de 
inércia da seção transversal das colunas. 
No caso da carga uniformente distribuída, a estrutura isostática terá sempre o diagrama de 
momentos fletores indicado no item (a) (diagrama parabólico na viga). Momentos fletores de-
vidos à variação de temperatura isolada na estrutura isostática são sempre nulos. 
 
Item (c.2) – Na estrutura hiperestática, por ter vínculos excedentes, os esforços internos depen-
dem da rigidez relativa entre as barras. Com as colunas mais rígidas do que a viga, as rotações 
das extremidades da viga são menores do que no caso com todas as barras com mesma rigidez 
à flexão EI, se aproximando do caso de uma viga com extremidades engastadas. 
Portanto, o diagrama de momentos fletores fica alterado com a modificação do momento de 
inércia da seção transversal das colunas. 
A solução da estrutura hiperestática pelo Método das Forças mostrada no item (b) demonstra 
que os valores dos momentos fletores finais dependem dos valores relativos entre momentos de 
inércia das seções transversais das barras. 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2003 
Primeira Prova – Data: 09/04/2003 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas 
as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 2,4 x 104 
kNm2. 
 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (2,5 pontos) – Provão de Engenharia Civil, 2002 
Em uma construção a meia encosta, a laje de piso foi apoiada em estruturas metálicas compostas de perfis I, 
colocados de modo a oferecer a maior resistência ao momento fletor atuante. Ao inspecionar a obra para rece-
bimento, você verificou a existência de um recalque vertical de 1 cm no engaste A de uma das estruturas metáli-
cas, cujo modelo estrutural é apresentado na figura abaixo (na esquerda). A fim de avaliar os esforços adicio-
nais nessa estrutura, ocasionados pelo recalque, você utilizou o Método das Forças e, para tanto, escolheu o Sis-
tema Principal (no qual foi colocada uma rótula no nó B) e o hiperestático X1 (carga momento em ambos os la-
dos da rótula inserida em B), mostrados na figura (no centro). A seção transversal do perfil e a orientação dos 
eixos x e y estão representadas na figura (na direita). 
 
 
A 
B C
laje 
encosta 
 
 
X1
X1
 
 
 
x 
y Módulo de elasticidade 
do material: 
 E = 2,0 x 108 kN/m2 
Momentos de inércia da 
seção transversal: 
 Jx = 5,1 x 10-5 m4 
 Jy = 8,4 x 10-6 m4 
 
Com base no exposto, pede-se o diagrama de momentos fletores, causado apenas pelo recalque em A. 
Despreze deformações axiais das barras. 
 
 
3ª Questão (1,0 ponto) 
Considerando que o material da estrutura abaixo tem um comportamento linear (relações lineares entre tensões 
e deformações), desenhe o aspecto do gráfico que relaciona a carga aplicada P e o deslocamento ∆ do nó inferi-
or para duas situações: 
(a) Deslocamento ∆ pode ser considerado pequeno em relação às dimensões da estrutura. 
(b) Deslocamento ∆ não pode ser considerado pequeno em relação às dimensões da estrutura. 
 
l 
∆ 
l 
h
P ∆
P
 
 
 
4ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
 
1ª Questão 
 
X1 
X1 
X2 
Sistema Principal e Hiperestáticos 
 (g=2) 
X2 
 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
M0 
 
 
M1
. X1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1/6 
1/6 
1/6 
1/4
1/4 
1/6 
X1=1 
X1=1 
M2
. X2
Caso (2) – X2 isolado no SP 
X2=1 
X2=1 
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4
1/4 
 
Equações de Compatibilidade 



+=
−=
⇒






=












+






kNmX
kNmX
X
X
6,60
0,13
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
δδ
δδ
δ
δ
 
EIEI
280
6451
3
141201
3
1
61201
2
16301
2
16301
3
1
1
10 −=












⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅
⋅=δ 
EIEI
43041201
3
161201
2
16301
2
11
20 −=



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=δ
EIEI 3
38
411
3
12
611611
3
12
1
11 +=


















⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅
⋅=δ 
EIEI 3
22411
3
161112112 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅== δδ 
EIEI 3
26411
3
12611122 +=











⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ 
 
 Momentos Fletores Finais 
M 
M = M0 + M1·X1 + M2·X2 
[kNm] 
 
 
2ª Questão 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
M0 = 0
01,0=ρ m
ρ
4/10 ρδ =
3
10 105,2
−
⋅+=δ rad 
 
 
M1 . X1 
Caso (1) – X1 isoladono SP 
1/4 
=AV 1/4
1
X1=1
X1=1
 
 
Equação de compatibilidade 
011110 =⋅+ Xδδ 
10δ é a rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula do Sistema Principal provocada 
pelo recalque de apoio no caso (0). 
11δ é a rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula do Sistema Principal provocada 
por 11 =X no caso (1). 
EIEI 3
10411
3
1211111 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ 
O enunciado diz que os perfis metálicos foram colocados de modo a oferecer a maior resis-
tência ao momento fletor atuante. Portanto, o momento de inércia da seção transversal a ser 
adotado é o maior momento de inércia da barra: I = Jx = 5,1 x 10-5 m4. 
 
65,7
101,51023
10105,20 1158
3
11110 −=⇒
⋅⋅⋅⋅
+⋅→=⋅+
−
− XXXδδ kNm. 
 
 
Cálculo de 10δ pelo Princípio das Forças Virtuais (PFV) 
Sistema Real 
(Estrutura da qual se quer calcular a rotação 
relativa.) 
 
É o caso (0). 
Sistema Virtual 
(Estrutura com momentos unitários virtuais 
na direção da rotação relativa que se quer cal-
cular.) 
É o caso (1) com 11 =X . 
 
PFV: UWE = 
→EW Trabalho das forças externas do sistema 
virtual com os correspondentes deslocamentos 
externos do sistema real. 
Neste caso, o trabalho externo virtual é igual 
ao produto de 11 =X por 10δ mais o produto 
da reação vertical no apoio esquerdo do caso 
(1) – força de 1/4 para cima – pelo recalque de 
apoio: 
ρδ ⋅+⋅= AE VW 101 
)01,0()4/1(1 10 −⋅++⋅= δEW 
→U Energia de deformação interna virtual. 
O recalque de apoio não provoca deformações 
internas (só provoca movimentos de corpo 
rígido das barras). Portanto: 
0=U 
 
 
 
⇒=UWE 0)01,0()4/1(10 =−⋅++δ 
3
10 105,24/01,0
−
⋅+==∴δ rad 
 
 Momentos Fletores Finais 
M
M = M0 + M1·X1 
[kNm] M0 = 0 X1 = –7,65 
 
 
 
 
 
3ª Questão 
 
Na configuração indeformada o ângulo entre as barras e o eixo vertical é θ, e na configuração 
deformada o ângulo é α, tal como indicado na figura abaixo: 
 
 
comprimento final: 
θ θ 
α α
h 
P
∆ 
comprimento original:
l l
 
 
Item (a) 
Considerando que o deslocamento ∆ é pequeno em relação às dimensões da estrutura, as equa-
ções de equilíbrio podem ser escritas para a geometria da estrutura na configuração indeforma-
da. Nesse caso, o ângulo α é aproximado por θ. Portanto, como o material tem um comporta-
mento linear, a relação entre a força P e o deslocamento ∆ é linear. 
 
Item (b) 
Considerando que o deslocamento ∆ não é pequeno em relação às dimensões da estrutura, as 
equações de equilíbrio têm que ser escritas nas configuração final (deformada) da estrutura. 
Isso acarreta em um comportamento não-linear para a relação entre P e ∆ . 
 
∆
P 
(a)
(b)
 
 
Observa-se na figura que o coeficiente angular da resposta linear do item (a) é igual à inclinação 
da curva carga-deslocamento não-linear para ∆ = 0. Isso mostra que a resposta linear é uma 
aproximação da resposta não-linear para pequenos deslocamentos. 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2003 
Primeira Prova – Data: 17/09/2003 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas 
as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 1,0 x 104 
kNm2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (2,5 pontos) 
Utilizando o Método das Forças, determine o dia-
grama de esforços normais para a treliça hiperestáti-
ca ao lado submetida ao carregamento indicado e a 
um aumento uniforme de temperatura de 50 °C em 
todas as barras. Todas as barras têm o mesmo valor 
para a inércia axial EA = 1,0 x 105 kN e para o coefi-
ciente de dilatação térmica α = 1,0 x 10-5 /°C. Sabe-
se que o deslocamento axial relativo interno para 
uma variação uniforme de temperatura T é igual a: 
duT = αTdx. 
 
 
 
 
 
 
 
3ª Questão (1,0 ponto) 
Uma estrutura situada em uma encosta sofre um 
recalque em um de seus apoios. O modelo estrutu-
ral é mostrado ao lado, onde é indicado que o apoio 
A tem um recalque vertical de 1 cm para baixo. Cal-
cule o deslocamento horizontal do apoio C utilizan-
do o Princípio das Forças Virtuais (PFV). Todos os 
passos devem ser mostrados e justificados. 
 
 
 
A
B C 
encosta 
 
 
 
 
 
4ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
1ª Questão 
 
 
X1 
X1 
X2 
Sistema Principal e Hiperestáticos 
 (g=2) 
X2 
 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
M0
 
 
M1 
. X1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1/3 
1/6 
X1=1 
X1=1 1/3 1/3 1/3 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 1/6 
 
. X2 
Caso (2) – X2 isolado no SP 
M2
1/3 
X2=1 
X2=1
1/3 1/3 
1/3 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
 
 
Equações de Compatibilidade 



−=
+=
⇒






=












+






kNm5,21
kNm8,6
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
X
X
X
X
δδ
δδ
δ
δ
 
EIEI
147
361
3
1361
2
1
6601
3
13181
3
13601
3
1
1
10 −=












⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
⋅=δ 
EIEI
156361
3
16601
3
13181
3
13601
3
11
20 +=



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=δ
EIEI
9
311311
3
12
611
3
12
1
11 +=












⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅
+





⋅⋅⋅⋅
⋅=δ 
EIEI
4611
3
1311
3
1212112 −=





⋅⋅⋅−





⋅⋅⋅−⋅⋅== δδ
EIEI
6311
3
12611
3
12122 +=











⋅⋅⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅⋅=δ 
 
 Momentos Fletores Finais 
M = M0 + M1·X1 + M2·X2 
M 
[kNm] 
 
 
2ª Questão 
 
X1
Sistema Principal e Hiperestáticos 
 (g=1) 
 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada
N0
(N0 só é devido à carga de 
50 kN pois a variação de 
temperatura não provoca 
esforços no SP isostático ) 
+25
225-
+25
225-0 
no SP
 
N1
. X1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
X1=1
1 
+1 +1 
0 0 
0 
 
Equação de Compatibilidade 
011110 =+ Xδδ 
Termo de carga: TP 101010 δδδ += 
→P10δ deslocamento horizontal no 
apoio da direita devido à carga P = 
50 kN no caso (0). 
→P10δ deslocamento horizontal no 
apoio da direita devido à variação 
uniforme de temperatura T = 50 °C 
no caso (0). 
( )[ ]
EAEA
dx
EA
NN
estrutura
P 2004251210110 +=⋅⋅⋅⋅== ∫δ 
( )[ ] ααααδ 4004125050 11110 +=⋅⋅⋅=⋅=== ∫∫ ∫ dxNTdxNduN
estrutura
TT 
( )[ ]
EAEA
dx
EA
N
estrutura
841121
2
1
11 +=⋅⋅⋅⋅== ∫δ 
kN75
010810)400200(
/101kN101
1
1
55
55
−=∴
=⋅+⋅+⇒
⋅=⋅=
−−
−
X
X
CEA �α
 
 Esforços Normais Finais 
N = N0 + N1·X1 
N 
[kN] 
–50 
225- 
–50 
225- 
0 
 
 
 
3ª Questão Cálculo do deslocamento horizontal HC∆ do apoio C pelo Princípio das Forças Virtuais (PFV) 
Sistema Real 
(Estrutura da qual se quer calcular o desloca-
mento.) 
ρ 
H
C∆ 
 
Sistema Virtual 
(Estrutura com carga virtual na direção do 
deslocamento que se quer calcular.) 
1/2 
=AV 1/2 
1 
=P 1 
 
PFV: UWE = 
→EW Trabalho das forças externas do sistema 
virtual com os correspondentes deslocamentos 
externos do sistema real. 
Neste caso, o trabalho externo virtual é igual 
ao produto de 1=P por HC∆ mais o produto 
da reação vertical no apoio esquerdo – reação 
2/1=AV para baixo – pelo recalque de apoio:
ρ∆ ⋅+⋅= AHCE VW 1 
)01,0()2/1(1 −⋅−+⋅= HCEW ∆ 
→U Energia de deformação interna virtual. 
O recalque de apoio não provoca deformações 
internas (só provoca movimentos de corporígido da estrutura). Portanto: 
0=U 
 
 
 
⇒=UWE 0)01,0()2/1( =−⋅−+
H
C∆ 
)(m1052/01,0 3 ←⋅−==∴ −HC∆ 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2004 
Primeira Prova – Data: 31/03/2004 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas as 
barras têm a mesma inércia à flexão EI = 105 kNm2. 
 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
Considere os pórticos planos mostrados abaixo sobre os quais atuam concomitantemente as seguintes solicitações: 
● Uma carga concentrada vertical de 48 kN no centro viga (barra horizontal). 
● Resfriamento das fibras superiores da viga de ∆Ts = –24 °C ao longo de toda a sua extensão (as fibras inferio-
res não sofrem variação de temperatura, isto é, ∆Ti = 0 °C). 
● Recalque horizontal (para a direita) de 1,8 mm (1,8 x 10–3 m) do apoio esquerdo. 
 
Sabe-se: 
(1) O material tem módulo de elasticidade E = 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /°C. 
(2) As barras da estrutura têm seção transversal com área A = 10–1 m2 e momento de inércia I = 10–3 m4. A altura 
da seção transversal é h = 0,60 m e o seu centro de gravidade fica posicionado na metade da altura. 
(3) O deslocamento axial relativo interno provocado pela variação de temperatura em um elemento infinitesimal 
de barra é 
duT = α ∆TCG dx, 
sendo ∆TCG a variação de temperatura na fibra do centro de gravidade da seção transversal. 
(4) O rotação relativa interna provocada pela variação de temperatura em um elemento infinitesimal de barra é 
( ) dx
h
TTd siT ∆∆αθ −= . 
 
Pede-se: 
(a) (0,5 ponto) Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura isostática da esquerda para as três soli-
citações concomitantes. 
(b) (2,5 pontos) Utilizando o Método das Forças, determine o diagrama de momentos fletores da estrutura hipe-
restática da direita para as três solicitações concomitantes. Utilize obrigatoriamente como Sistema Principal 
o pórtico isostático mostrado na figura da esquerda. No cálculo do termo de carga devido à carga aplicada e 
no cálculo do coeficiente de flexibilidade, considere apenas deformações por flexão. 
(c) (0,5 ponto) Considere que a viga (barra horizontal) da estrutura teve a seção transversal modificada para 
uma com momento de inércia I = 2,0 x 10–3 m4 (as outras barras não se alteram). Responda (não precisa fa-
zem nenhum cálculo): 
 (c.1) O diagrama de momentos fletores da estrutura isostática se altera? Por que? 
 (c.2) O diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática se altera? Por que? 
 
 
3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
1ª Questão 
 Sistema Principal (SP) e 
Hiperestáticos 
Equações de compatibilidade: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
XX
XX
δδδ
δδδ
 



−=
−=
⇒






=












+






⇒
kNm1,20
kNm9,36
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
X
X
X
X
δδ
δδ
δ
δ
 
EIEI
51061201
3
16301
2
161201
2
11
10 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅=δ 
EIEI
10611
3
12611111 +=











⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=δ 
EIEI
540
6451
3
16301
3
1
61201
3
16301
2
161201
2
1
1
20 +=












⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+
⋅=δ 
EIEI
14611
3
14611122 +=











⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=δ
 
EIEI
7611
6
1611
3
161112112 +=



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅== δδ 
Momentos Fletores Finais: 
22110 XMXMMM ⋅+⋅+= 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP 
x X2x X1M1 M2 
[kNm]
M
EI = 105 kNm2 
X1
X1
X2
X2
[kNm]M0 
1/6 
1/6 
1/6 1/6 
1/6 
1/6 X1 = 1 
X1 = 1 
1/6 
1/6 1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
X2 = 1
X2 = 1
 
 
2ª Questão – Item (a) 
 
M [kNm]
Como a estrutura é isostática, o 
diagrama de momentos fletores só 
é devido à carga concentrada de 48 
kN. Variação de temperatura e 
recalques de apoio não provocam 
esforços em estruturas isostáticas. 
EI = 105 kNm2 
α = 10–5 /°C 
 
 
 
2ª Questão – Item (b) 
 
X1 
Sistema Principal e 
Hiperestático (g=1) 
 
 
M0 [kNm] 
Igual ao diagrama do item (a):
O diagrama de momentos fletores 
só depende da carga aplicada. 
O termo de carga δ10 tem influência 
da carga concentrada, da variação 
de temperatura e do recalque de 
apoio. 
ρ = 1,8 x 10–3 m
δ10 ρ 
Caso (0) – Solicitações externas isoladas no SP
 
 
X1=1 
M1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1 X1 = 1
δ11 
N1 = +1 
N1 = 0 
N1 = 0 
x X1 
HA = 1 
 
 
 
Equação de compatibilidade 
011110 =⋅+ Xδδ 
 
Sendo ρδδδδ 10101010 ++= TP : 
→P10δ deslocamento horizontal da seção do 
apoio da direita devido à carga concentrada 
no caso (0). 
→T10δ deslocamento horizontal da seção do 
apoio da direita devido à variação de 
temperatura no caso (0). 
→ρδ10 deslocamento horizontal da seção do 
apoio da direita devido ao recalque de apoio 
no caso (0). 
m106483723
2
121 50110
−
⋅+=











⋅⋅⋅⋅== ∫ EIdxEI
MMPδ
(considerando apenas deformação por flexão) 
 
∫∫ += viga
T
viga
TT duNdM 1110 θδ 
( ) ( ) dxdxdx
h
TTd siT ⋅⋅=⋅=−⋅= 40
60,0
24
α
α∆∆αθ 
( ) dxdxTdu GCT ⋅−⋅=⋅⋅= 12α∆α 
∫∫ ⋅⋅−⋅⋅= vigaviga
T dxNdxM 1110 1240 ααδ 
m1064816123640 510
−
⋅+=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅= ααδ T 
 
01 10 =⋅−⋅ ρδ ρ AH 
m10180108,1 5310
−−
⋅+=⋅+=ρδ 
 
 
 
( )




⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅== ∫ 6333333
121
2
1
11 EI
dx
EI
Mδ 
(considerando apenas deformação por flexão) 
 
m/kN1072 511
−
⋅+=δ 
 
 
( )
kN5,20
0107210180648648
0
1
1
55
11110
−=⇒
=⋅⋅+⋅++
→=⋅+
−−
X
X
Xδδ
 
 
 
Momentos fletores finais 
110 XMMM ⋅+= 
M [kNm]
 
 
 
2ª Questão – Item (c) 
 
Item (c.1) – Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fletores só depende dos valores da carga e 
reações, e da geometria da estrutura. Com a consideração da hipótese de pequenos deslocamentos, as 
equações de equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (original) da estrutura. 
No caso da carga concentrada aplicada, a estrutura isostática terá sempre o diagrama de momentos fletores 
indicado no item (a) (diagrama triangular na viga). Momentos fletores devidos à variação de temperatura e 
ao recalque de apoio na estrutura isostática são sempre nulos. 
Portanto, o diagrama de momentos fletores não se altera com a modificação do momento de inércia da seção 
transversal da viga. 
 
Item (c.2) – Na estrutura hiperestática, por ter vínculos excedentes, os esforços internos dependem da rigidez 
relativa entre as barras. A solução da estrutura hiperestática pelo Método das Forças mostrada no item (b) 
demonstra que os valores dos momentos fletores finais dependem dos valores relativos entre momentos de 
inércia das seções transversais das barras. Por exemplo, o valor do coeficiente de flexibilidade 
m/kN1072 511
−
⋅+=δ corresponde ao caso de todas barras com mesma seção transversal. Esse valor seria 
diferente caso a viga tivesse uma seção transversal com o dobro do momento de inércia, alterando assim a 
resposta da estrutura. 
Portanto, o diagrama de momentos fletores fica alterado com a modificação do momento de inércia da seção 
transversal da viga. 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2004 
Primeira Prova – Data: 13/09/2004 – Duração: 2:45 hs– Sem Consulta 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas as 
barras têm a mesma inércia à flexão EI = 105 kNm2. 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
O pórtico ao lado sofreu um aquecimento interno de 20 °C (a 
temperatura externa não variou). Pede-se o diagrama de mo-
mentos fletores provocado por esta variação de temperatura. 
Considere que as barras do pórtico podem se deformar axial-
mente, isto é, não despreze a energia de deformação axial. 
 
Sabe-se: 
(1) O material tem módulo de elasticidade E = 108 kN/m2 e 
coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /°C. 
(2) As barras da estrutura têm a seção transversal retangular 
indicada abaixo, que foi posicionada de modo a oferecer 
a maior resistência ao momento fletor atuante: 
 
h = 0.50 m 
b = 0.20 m hbA ⋅= 12
3hbI ⋅= 
(3) O deslocamento axial relativo interno provocado pela 
variação de temperatura em um elemento infinitesimal 
de barra é 
duT = α ∆TCG dx, 
sendo ∆TCG a variação de temperatura na fibra do centro 
de gravidade da seção transversal. 
(4) O rotação relativa interna provocada pela variação de 
temperatura em um elemento infinitesimal de barra é 
( ) dx
h
TTd eiT ∆∆αθ −= 
sendo ∆Ti = +20 °C a variação de temperatura das fibras 
interiores e ∆Te = 0 °C a variação de temperatura das fi-
bras exteriores. Considere que dθT é positivo quando a-
longa as fibras interiores. 
(5) Considere que os momentos fletores são positivos quan-
do tracionam as fibras interiores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
1ª Questão 
 
Equações de compatibilidade: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
XX
XX
δδδ
δδδ
 



+=
+=
⇒






=












++
++
+






−
−
⇒
kNm2.74
kNm8.78
0
0
2014
1432
3
1
864
11881
2
1
2
1
X
X
X
X
EIEI
 
EIEI
1188
62161
3
141081
3
1
42161
3
141081
2
16541
3
1
1
10 −=












⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅=δ 
EIEI 3
14
611
3
1
411
3
12
1
2112 +=












⋅⋅⋅+






⋅⋅⋅⋅+
⋅== δδ 
EIEI
86462161
3
141081
3
142161
3
11
20 −=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅=δ 
EIEI 3
32411
3
12411611
3
12111 +=











⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅+⋅=δ 
EIEI 3
20411
3
12611
3
12122 +=











⋅⋅⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅+⋅=δ
Momentos Fletores Finais: 
22110 XMXMMM ⋅+⋅+= 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP 
EI = 105 kNm2 
Sistema Principal (SP) e 
Hiperestáticos 
X1
X1
X2 X2
[kNm] M0
M1 1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 X1 = 1 
X1 = 1 
1/4 
1/4 
1/4 
1/4 
x X1
M2
1/6 
1/4 
1/4 
1/4 
1/4 
1/6 
1/6 
1/6 
X2 = 1 X2 = 1 
x X2
[kNm]
M 
 
 
2ª Questão 
 
 
 
X1
Sistema Principal e 
Hiperestático (g=1) 
 
Caso (0) – Variação de temperatura isolada no SP
M0 = 0
δ10 
 
 
 
Caso (1) – X1 isolado no SP 
δ11 
N1 = –1/4 x X1
X1=1 M1
N1 = +1/4 
N1 = 0 
1/4 1/4 
 
Equação de compatibilidade 
011110 =⋅+ Xδδ 
 
∫∫ += estrutura
T
estrutura
T duNdM 1110 θδ 
 
( ) ( ) dx
EA
Ndx
EI
M
∫∫ +=
2
1
2
1
11δ 
(considerando também deformação axial) 
 
( ) ( ) dxdxdx
h
TTd eiT ⋅⋅+=+⋅=−⋅= 40
50.0
20
α
α∆∆αθ 
dxdxTdu GC
T
⋅⋅+=⋅⋅= 10α∆α 
∫∫ ⋅⋅+⋅⋅= estruturaestrutura dxNdxM 1110 1040 ααδ 
rad102003
4
1403
4
1104)1(
2
13)1(40 510
−
⋅−=





⋅





++⋅+⋅





−⋅⋅+



⋅−⋅+⋅−⋅⋅= ααδ 
 
( ) ( ) dxN
EA
dxM
EI ∫∫ +=
2
1
2
111
11δ 






⋅





+⋅





++⋅





−⋅





−⋅+



⋅−⋅−⋅+−⋅−⋅= 3
4
1
4
13
4
1
4
114)1()1(
3
13).1()1(111 EAEI
δ 
 
4
33
m
6
0125.0
12
50.020.0
12
=
⋅
=
⋅
=
hbI 2m10.0=⋅= hbA 28 kN/m10=E 
 
rad/kNm1008375.2 511
−
⋅+=δ 
 
kNm0.9601008375.2102000 11
55
11110 +=⇒=⋅⋅+⋅−→=⋅+
−− XXXδδ 
 
 
 
 
Momentos fletores finais 
110 XMMM ⋅+= 
 
(sendo 00 =M ) 
 
 
M [kNm]
 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2005 
Primeira Prova – Data: 04/04/2005 – Duração: 2:30 hs – Sem Consulta 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas as 
barras têm a mesma inércia à flexão EI = 105 kNm2. 
 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
A viga do pórtico ao lado sofreu um aquecimento na 
face superior de 12 °C e o engaste da direita sofreu um 
recalque rotacional de 0.001 rad no sentido horário. 
Pede-se o diagrama de momentos fletores provocado 
por estas duas solicitações atuando concomitantemente. 
Considere que as barras do pórtico podem se deformar 
axialmente, isto é, não despreze a energia de deforma-
ção axial. 
 
 
Obrigatoriamente utilize o seguinte Sistema Principal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabe-se: 
(a) O material tem módulo de elasticidade 
E = 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica 
α = 10–5 /°C. 
(b) As barras da estrutura têm a seção transversal 
retangular indicada abaixo, que foi posicionada 
de modo a oferecer a maior resistência ao mo-
mento fletor atuante: 
 
h = 0.60 m 
b = 0.20 m hbA ⋅= 12
3hbI ⋅= 
 
 
(c) O deslocamento axial relativo interno provocado 
pela variação de temperatura em um elemento 
infinitesimal de barra é 
duT = α ∆TCG dx 
sendo ∆TCG a variação de temperatura na fibra 
do centro de gravidade da seção transversal. 
(d) O rotação relativa interna provocada pela varia-
ção de temperatura em um elemento infinitesimal 
de barra é 
( ) dx
h
TTd siT ∆−∆= αθ 
sendo ∆Ti a variação de temperatura das fibras 
inferiores da viga e ∆Ts a variação de temperatu-
ra das fibras superiores. 
 
 
3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: 







−
−
=
−
−
=
⇒






=












+






bcad
afce
X
bcad
debf
X
X
X
dc
ba
f
e
2
1
2
1
0
0
 
 
1ª Questão 
 
Equações de compatibilidade: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
XX
XX
δδδ
δδδ
 



+=
−=
⇒






=












+−
−+
+






−
+
⇒
kNm7.29
kNm8.23
0
0
72/9
2/981
315
3241
2
1
2
1
X
X
X
X
EIEI
 
EIEI
324
31081
2
13901
2
1
3901
2
16541
3
1
1
10 +=












⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
⋅=δ 
EIEI
315
31081
2
13901
2
1
3901
3
16361
3
1
1
20 −=












⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+
⋅=δ 
( )
EIEI
83112611
3
11
11 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅=δ 
EIEI 2
9
311
311
2
1
1
2112−=







⋅⋅−
⋅⋅⋅−
⋅== δδ 
EIEI
7311611
3
1311
3
12122 +=





⋅⋅+⋅⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅+⋅=δ 
Momentos Fletores Finais: 
22110 XMXMMM ⋅+⋅+= 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP 
Sistema Principal (SP) e 
Hiperestáticos 
EI = 105 kNm2 
X1
X1X2
X2 [kNm] M0
M1 
1/6 
X1 = 1 
X1 = 1 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 1/6 
1 
x X1
M2
1/3 
1/6 
X2 = 1
X2 = 1
x X2
1/3 
1/3 
1/3 
1/3 
1/3 
1/6 
1/6 
1/6 
1 
[kNm]
M 
 
 
2ª Questão 
 
 
 
 
X1 
Sistema Principal e 
Hiperestático (g=1) 
 
Caso (0) – Variação de temperatura 
 isolada no SP 
M0 = 0 
δ10 
ρB0 = –0.001 rad
B A
 
 
 
Caso (1) – X1 isolado no SP 
N1 = –1 x X1
X1=1 
M1 N1 = +1 
N1 = 0 
1 
6 
δ11 
MB1 = +6 kNm/kN 
 
Equação de compatibilidade 
011110 =⋅+ Xδδ 
 
T
101010 δδδ ρ += 0110 BBM ρδ ρ ⋅−= 
 
∫∫ += viga
T
viga
TT duNdM 1110 θδ 
 
( ) ( ) dx
EA
Ndx
EI
M
∫∫ +=
2
1
2
1
11δ 
(considerando também deformação axial) 
 
( ) ( )[ ] m10600001.06 50110 −⋅+=−⋅+−=⋅−= BBM ρδ ρ 
 
( ) ( ) dxdxdx
h
TTd siT ⋅⋅−=−⋅=∆−∆⋅= 20
60.0
12
α
ααθ 
dxdxTdu GC
T
⋅⋅+=⋅∆⋅= 6αα 
∫∫ ⋅⋅+⋅⋅−= vigaviga
T dxNdxM 1110 620 ααδ 
[ ] m103606066)6(
2
120 510
−
⋅−=⋅⋅⋅+



⋅+⋅⋅⋅−= ααδ T 
 
m10240 5101010
−
⋅+=+= Tδδδ ρ 
 
( ) ( ) dxN
EA
dxM
EI ∫∫ +=
2
1
2
111
11δ 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]31131113).6()6(6)6()6(
3
11
11 ⋅+⋅++⋅−⋅−⋅+



+⋅++⋅+⋅+⋅⋅=
EAEI
δ 
 
4
33
m0036.0
12
60.020.0
12
=
⋅
=
⋅
=
hbI 2m12.0=⋅= hbA 28 kN/m10=E 
 
m/kN1005.501005.01050 55511
−−−
⋅+=⋅+⋅+=δ 
 
kN8.401005.50102400 11
55
11110 −=⇒=⋅⋅+⋅+→=⋅+
−− XXXδδ 
 
 
 
 
Momentos fletores finais 
110 XMMM ⋅+= 
 
(sendo 00 =M ) 
 
 
M [kNm]
 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2006 
Primeira Prova – Data: 05/04/2006 – Duração: 2:30 hs – Sem Consulta 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas as 
barras têm a mesma inércia à flexão EI = 105 kNm2. 
 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
O pórtico ao lado sofreu um aquecimento no seu interi-
or de 16 °C e o apoio da esquerda sofreu um recalque 
vertical de 8.4 mm para baixo. Pede-se o diagrama de 
momentos fletores provocado por estas duas solicita-
ções atuando concomitantemente. Considere que as 
barras do pórtico podem se deformar axialmente, isto é, 
não despreze a energia de deformação axial. 
 
 
 
 
 
 
Sabe-se: 
(a) O material tem módulo de elasticidade 
E = 107 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica 
α = 10–5 /°C. 
(b) As barras da estrutura têm a seção transversal 
retangular indicada abaixo, que foi posicionada 
de modo a oferecer a maior resistência ao mo-
mento fletor atuante: 
 
h = 0.60 m 
b = 0.20 m hbA ⋅= 12
3hb
I
⋅
= 
 
 
(c) O deslocamento axial relativo interno provocado 
pela variação de temperatura em um elemento 
infinitesimal de barra é 
duT = α ∆TCG dx 
sendo ∆TCG a variação de temperatura na fibra 
do centro de gravidade da seção transversal. 
(d) O rotação relativa interna provocada pela varia-
ção de temperatura em um elemento infinitesimal 
de barra é 
( )
dx
h
TT
d siT
∆−∆
=
αθ 
sendo ∆Ti a variação de temperatura das fibras 
inferiores da viga e ∆Ts a variação de temperatu-
ra das fibras superiores. 
 
 
3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: 







−
−
=
−
−
=
⇒






=












+






bcad
afce
X
bcad
debf
X
X
X
dc
ba
f
e
2
1
2
1
0
0
 
 
1ª Questão 
 
Equações de compatibilidade: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
XX
XX
δδδ
δδδ
 



+=
+=
⇒






=












+−
−+
+






−
−
⇒
kNm8.103
kNm9.111
0
0
3/323/29
3/29191
26
11221
2
1
2
1
X
X
X
X
EIEI
 
EIEI
1122
3362
2
1
31262
2
1
31861
3
1
3601
3
1
31861
3
1
32161
2
1
1
10 −=


















⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅=δ 
EIEI
26
336
3
4
2
1
3126
3
4
2
1
3186
3
1
3
1
3601
3
1
3186
3
1
3
1
3216
3
1
3
1
91621
3
1
1
20 −=


















⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
⋅=δ 
EIEI
19
322311
3
1
3311
1
11 +=





⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=δ 
EIEI 3
29
3
3
4
23
3
1
1
3
1
311
3
1
3
3
1
1
3
1
3
3
1
1
2
1
311
6
1
1
2112 −=












⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+
⋅== δδ 
EIEI 3
32
3
3
4
3
4
3
3
1
3
1
3
1
3311
3
1
2911
3
11
22 +=





⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP 
Sistema Principal (SP) e 
Hiperestáticos 
EI = 105 kNm2 
X2 
X2 
X1 
X1 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
[kNm] M0 
1/3 
1/3 
1/3 
1/3 
1/3 
1/3 1/3 
1/3 
1/3 
1/3 
2 
M1 
X1 = 1 
X1 = 1 
x X1 
X2 = 1 
X2 = 1 
1/3 1/3 
1/3 1/3 
1/3 1/9 
1/9 
1/9 
1/9 
1/9 
1/9 
1/3 
2/9 
2/9 
4/3 
M2 
x X2 
Momentos Fletores Finais: 
22110 XMXMMM ⋅+⋅+= 
[kNm] 
M 
 
 
2ª Questão 
 
 
 
 
X1 
Sistema Principal e 
Hiperestático (g=1) 
 
 
Caso (0) – Solicitações externas 
 isoladas no SP 
M0 = 0 
δ10 
ρA0 = –0.0084 m 
B 
A 
 
 
 
Caso (1) – X1 isolado no SP 
VA1 = –0.5 
N1 = +1 
N1 = +0.5 
X1=1 
δ11 
x X1 M1 
 
Equação de compatibilidade 
011110 =⋅+ Xδδ 
 
T
101010 δδδ ρ += 
 
01100110 01 AAAA VV ρδρδ ρρ ⋅−=⇒=⋅+⋅ 
 
∫∫ += estrutura
T
estrutura
TT duNdM 1110 θδ 
 
( ) ( )
dx
EA
N
dx
EI
M
∫∫ +=
2
1
2
1
11δ 
(considerando também deformação axial) 
 
( ) ( )[ ] m104200084.05.0 50110 −⋅−=−⋅−−=⋅−= AAV ρδ ρ 
 
( ) ( )
dxdxdx
h
TT
d siT ⋅⋅+=
+⋅
=
−⋅
=
3
80
60.0
16
α
α∆∆αθ 
dxdxTdu GC
T
⋅⋅+=⋅⋅= 8α∆α 
∫∫ ⋅⋅+⋅⋅+= estruturaestrutura
T dxNdxM 1110 8
3
80
ααδ 
[ ] m1042035.06183)3(
2
1
6)3(
2
1
3
80 5
10
−
⋅+=⋅+⋅⋅⋅+



⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+= ααδ T 
 
0101010 =+=
Tδδδ ρ 
 
( ) ( ) dxN
EA
dxM
EI ∫∫ += 212111
11δ 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]35.05.061113).3()3(
3
1
6)3()3(
3
11
11 ⋅+⋅++⋅+⋅+⋅+



+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅⋅=
EAEI
δ 
 
4
33
m0036.0
12
60.020.0
12
=
⋅
=
⋅
=
hb
I 2m12.0=⋅= hbA 27 kN/m10=E 
 
m/kN105625.75105625.01075 55511
−−−
⋅+=⋅+⋅+=δ 
 
00105625.7500 11
5
11110 =⇒=⋅⋅+→=⋅+
− XXXδδ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momentosfletores finais 
110 XMMM ⋅+= 
 
(sendo 00 =M ) 
 
 
M 
 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2006 
Primeira Prova – Data: 06/09/2006 – Duração: 2:30 hs – Sem Consulta 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas as 
barras têm a mesma inércia à flexão EI = 105 kNm2. 
 
 
 
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
Considere o pórtico mostrado abaixo sobre o qual atuam concomitantemente as seguintes solicitações: 
● Carga uniformemente distribuída de 9 kN/m na viga (barra horizontal). 
● Aquecimento das fibras inferiores da viga de ∆Ti = +16 °C ao longo de toda a sua extensão (as fibras superio-
res não sofrem variação de temperatura, isto é, ∆Ts = 0 °C). 
● Recalque vertical (para baixo) de 3.2 mm (3.2 x 10–3 m) do apoio simples na esquerda. 
Pede-se o diagrama de momentos fletores do pórtico utilizando o Método das Forças. Considere deformações por 
flexão e deformações axiais. Adote o Sistema Principal e o Hiperestático indicados na figura da direita. 
 
 
 
 
X1 
X1 
Sistema Principal (SP) e 
Hiperestático 
 
 
Sabe-se: 
(a) O material tem módulo de elasticidade 
E = 107 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica 
α = 10–5 /°C. 
(b) As barras da estrutura têm a seção transversal 
retangular indicada abaixo: 
 
h = 0.40 m 
b = 0.15 m hbA ⋅= 12
3hb
I
⋅
= 
 
(c) O deslocamento axial relativo interno provocado 
pela variação de temperatura em um elemento 
infinitesimal de barra é 
duT = α ∆TCG dx 
 
 
sendo ∆TCG a variação de temperatura na fibra 
do centro de gravidade da seção transversal. 
 
 (d) O rotação relativa interna provocada pela varia-
ção de temperatura em um elemento infinitesimal 
de barra é 
( )
dx
h
TT
d siT
∆−∆
=
αθ 
sendo ∆Ti a variação de temperatura das fibras 
inferiores da viga e ∆Ts a variação de temperatu-
ra das fibras superiores. 
 
 
3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: 







−
−
=
−
−
=
⇒






=












+






bcad
afce
X
bcad
debf
X
X
X
dc
ba
f
e
2
1
2
1
0
0
 
 
1ª Questão 
 
 
Equações de compatibilidade: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
XX
XX
δδδ
δδδ
 



−=
+=
⇒






=












+−
−+
+






+
−
⇒
kNm9.53
kNm3.43
0
0
3/323/20
3/203/321
864
3/24641
2
1
2
1
X
X
X
X
EIEI
 
EIEI 3
2464
4161
3
1
61201
3
1
4161
3
2
41201
2
1
41281
2
1
4161
3
1
41281
3
11
10 −=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅=δ 
EIEI
864
4161
3
1
61201
3
1
4161
3
2
41201
2
1
41281
2
1
4161
3
1
41281
3
11
20 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅=δ 
EIEI 3
32
611
3
1
2
411411
3
1
2
1
11 +=


















⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅+
⋅=δ 
EIEI 3
32
611
3
1
2
411411
3
1
2
1
22 +=


















⋅⋅⋅⋅+
⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅+
⋅=δ 
EIEI 3
20
411
6
1
611
3
1
411411
3
11
2112 −=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅== δδ 
Sistema Principal (SP) e 
Hiperestáticos 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
Momentos Fletores Finais: 
22110 XMXMMM ⋅+⋅+= [kNm] 
M 
EI = 105 kNm2 
X2 
X2 
X1 
X1 [kNm] 
M0 
1/6 
X1 = 1 
X1 = 1 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/4 1/4 
1/4 
1/4 
1/4 
1/4 
1/4 
1/4 
1/6 1/6 
X2 = 1 
X2 = 1 
M1 M2 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP 
x X1 x X2 
 
 
2ª Questão 
 
 
 
 
X1 
Sistema Principal e 
Hiperestático (g=1) 
X1 
 
 
Caso (0) – Solicitações externas isoladas no SP 
M0 
δ10 
ρA0 = –0.0032 m 
B 
A 
[kNm] 
(provocado somente 
pela carga) 
N0 = 0 
N
0 
=
 
–
18
 
kN
 
 
 
 
Caso (1) – X1 isolado no SP 
VA1 = +0.25 
N1 = 0 
X1=1 
x X1 
M1 
X1=1 
N
1 
=
 
+
0.
25
 
 ( ) ( )
∫∫ +=
estruturaestrutura
dx
EA
N
dx
EI
M 21
2
1
11δ 
(considerando também deformação axial) 
Equação de compatibilidade 
011110 =⋅+ Xδδ 
 
Tq
10101010 δδδδ ρ ++= 
 
∫∫ +=
estruturaestrutura
q dx
EA
NN
dx
EI
MM 0101
10δ 
(considerando também deformação axial) 
 
01100110 01 AAAA VV ρδρδ ρρ ⋅−=⇒=⋅+⋅ 
 
∫∫ += viga
T
viga
TT duNdM 1110 θδ 
 
 
27 kN/m10=E C/10-5 o=α 
4
33
m0008.0
12
40.015.0
12
=
⋅
=
⋅
=
hb
I 2m06.040.015.0 =⋅=⋅= hbA 
( ) rad105.298218
4
11
4)18()1(
3
11 5
10
−
⋅+=





⋅−⋅





+⋅+



⋅+⋅+⋅⋅=
EAEI
qδ 
( ) ( )[ ] rad10800032.025.0 50110 −⋅+=−⋅+−=⋅−= AAV ρδ ρ ( ) ( )
dxdxdx
h
TT
d siT ⋅⋅+=
⋅
=
∆−∆⋅
= 40
40.0
16
α
ααθ 
dxdxTdu GC
T
⋅⋅+=⋅⋅= 8α∆α 
∫∫ ⋅⋅+⋅⋅+= vigaviga
T dxNdxM 1110 840 ααδ 
( )[ ] rad10804084)1(
2
1
40 510
−
⋅+=⋅⋅⋅+



⋅+⋅⋅⋅+= ααδ T 
rad105.458 510101010
−
⋅+=++= Tq δδδδ ρ 
 
( ) ( )[ ]225.025.012)1()1(4)1()1(
3
11
11 ⋅+⋅+⋅+



⋅+⋅++⋅+⋅+⋅⋅=
EAEI
δ 
rad/kNm106875.41 511
−
⋅+=δ 
 
0106875.41105.4580 1
55
11110 =⋅⋅+⋅+→=⋅+
−− XXδδ 
kNm111 −=⇒ X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momentos fletores finais 
110 XMMM ⋅+= 
 
 
M 
[kNm] 
 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2007 
Primeira Prova – Data: 04/04/2007 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas as 
barras têm a mesma inércia à flexão EI = 105 kNm2. 
 
 
 
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
Considere os dois pórticos mostrados abaixo. O pórtico do lado esquerdo é isostático e o do lado direito é hiperes-
tático. As duas estruturas têm como solicitação o carregamento uniformemente distribuído indicado e um aumento 
de temperatura ∆Ti = +16 °C nas fibras inferiores da viga. As fibras superiores da viga não sofrem variação de 
temperatura (∆Ts = 0 °C). As colunas (barras verticais) não sofrem nenhuma solicitação. Todas as barras têm um 
material com módulo de elasticidade E = 1 x 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 1 x 10–5 /°C. Todas a 
barras têm seções transversais com área A = 0.012 m2, momento de inércia I = 0.001 m4, altura h = 0.60 m e centro de 
gravidade no meio de altura. 
 
 
Pede-se: 
(a) Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura isostática. (0,5 ponto) 
(b) Determine o diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática. Deve-se utilizar o Método das For-
ças, adotando obrigatoriamente como Sistema Principal a estrutura isostática da esquerda. Considere os efei-
tos de deformação axial no cálculo dos termos de carga e dos coeficientes de flexibilidade. (1,5 pontos) 
(c) Dê a interpretação física do termo de carga δ10 do sistema de equações de compatibilidade do Método das 
Forças para esta solução. (0,5 ponto) 
(d) Considere que as colunas (barras verticais) dos pórticosacima tiveram a seção transversal modificada para 
uma com momento de inércia I = 0.002 m4 (a viga não se altera). Responda sem fazer nenhum cálculo: 
 (d.1) O diagrama de momentos fletores da estrutura isostática se altera? Por que? (0,5 ponto) 
 (d.2) O diagrama de momentos fletores da estrutura hiperestática se altera? Por que? (0,5 ponto) 
 
Sabe-se: 
(i) O deslocamento axial relativo interno provocado 
pela variação de temperatura em um elemento 
infinitesimal de barra é 
duT = α ∆TCG dx 
sendo ∆TCG a variação de temperatura na fibra 
do centro de gravidade da seção transversal. 
 
 (ii) O rotação relativa interna provocada pela varia-
ção de temperatura em um elemento infinitesimal 
de barra é 
( )
dx
h
TT
d siT
∆−∆
=
αθ 
sendo ∆Ti a variação de temperatura das fibras 
inferiores da viga e ∆Ts a variação de temperatu-
ra das fibras superiores. 
 
 
3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: 







−
−
=
−
−
=
⇒






=












+






bcad
afce
X
bcad
debf
X
X
X
dc
ba
f
e
2
1
2
1
0
0
 
 
1ª Questão 
 
 
Equações de compatibilidade: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
XX
XX
δδδ
δδδ
 



−=
+=
⇒






=












++
++
+






+
−
⇒
kNm0.30
kNm5.22
0
0
62
241
135
301
2
1
2
1
X
X
X
X
EIEI
 
EIEI
30
65.221
3
1
6601
6
1
65.221
3
1
6601
3
11
10 −=



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅=δ 
EIEI
135
3601
3
1
65.221
3
1
6601
3
11
20 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅=δ 
EIEI
4
611
3
1
2
1
11 +=











⋅⋅⋅⋅+⋅=δ 
EIEI
2
611
3
11
2112 +=



⋅⋅⋅+⋅== δδ 
EIEI
6
311
3
1
2611
3
1
2
1
22 +=











⋅⋅⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅+⋅=δ 
EI = 105 kNm2 
X2 
X2 
X1 X1 
Sistema Principal (SP) e Hiperestáticos 
[kNm] 
M0 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
1/6 
X1 = 1 
X1 = 1 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1/3 
1/3 
1/3 
M1 
x X1 
Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP 
1/3 
1/3 
1/3 
1/6 
1/6 
X2 = 1 
X2 = 1 M2 
x X2 
1/3 1/6 
1/6 
Momentos Fletores Finais: 22110 XMXMMM ⋅+⋅+= 
[kNm] 
M 
 
 
2ª Questão – Item (a) 
 
M [kNm] 
 
O diagrama de momentos fletores da 
estrutura isostática só depende do 
carregamento (cargas aplicadas) e de 
suas reações de apoio. Isto é, a 
variação de temperatura, embora 
deforme a estrutura isostática, não 
provoca esforços internos e reações 
de apoio. 
 
2ª Questão – Item (b) 
 
Sistema Principal e 
Hiperestático (g=1) 
X1 
X1 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
 
 
M0 
N0= –48 
N0= 0 
N0= –48 
N0 
 
 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
 
 
M1 
x X1 
1/3 1/3 
N1= –1/3 
N1= 0 N1= 0 
X1=1 
X1=1 
N1 
M1= –1 
 
 
Equação de compatibilidade 
011110 =⋅+ Xδδ 
 
Sendo T
q
101010 δδδ += : 
 
∫∫ +=
estruturaestrutura
q dx
EA
NN
dx
EI
MM 0101
10δ 
∫∫ +=
viga
T
viga
TT duNdM 1110 θδ 
 
[ ] rad1028801672)1(
3
21 5
10
−
⋅−=+



⋅⋅−⋅=
EAEI
qδ 
 
( ) ( )
dxdxdx
h
TT
d siT
3
80
60.0
016
⋅+=
−⋅
=
−⋅
= α
α∆∆αθ 
dxdxTdu GC
T
⋅⋅+=⋅⋅= 8α∆α 
∫∫ ⋅+
⋅
=
vigaviga
T dxNdxM 1110 8
3
80
α
αδ 
rad10176)3/1(68)1(6
3
80 5
10
−
⋅−=−⋅⋅⋅+−⋅⋅
⋅
= α
αδ T 
 
 
 
 
 
 
∫∫ +=
estruturaestrutura
dx
EA
NN
dx
EI
MM 1111
11δ 
 






⋅





−⋅





−⋅
+





⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅⋅=
6
3
1
3
11
611311
3
1
2
1
11
EA
EI
δ
 
rad/kNm10
18
145
10
18
1
108 55511
−−−
⋅+=⋅+⋅+=δ 
 
 
( )
kNm6.57
010
18
145
10176288
0
1
1
55
11110
+=⇒
=⋅⋅+⋅−−
→=⋅+
−−
X
X
Xδδ
 
 
 
 
Momentos fletores finais 
110 XMMM ⋅+= 
 
 
M [kNm] 
 
 
2ª Questão – Item (c) 
→+= Tq 101010 δδδ rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula introduzida no SP provocada pelas 
solicitações externas no caso (0). 
→q10δ rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula introduzida no SP provocada pela carga 
distribuída da viga no caso (0). 
→T10δ rotação relativa entre as seções adjacentes à rótula introduzida no SP provocada pela variação de 
temperatura da viga no caso (0). 
 
 
2ª Questão – Item (d) 
 
Item (d.1) – Na estrutura isostática, o diagrama de momentos fletores só depende do carregamento (cargas 
aplicadas) e de suas reações de apoio. Com a consideração da hipótese de pequenos deslocamentos, as 
equações de equilíbrio podem ser escritas para a geometria indeformada (original) da estrutura. 
Portanto, o diagrama de momentos fletores não se altera com a modificação do momento de inércia da seção 
transversal das colunas. 
No caso da carga uniformente distribuída atuando na viga, a estrutura isostática terá sempre o diagrama de 
momentos fletores indicado no item (a) (diagrama parabólico na viga). Momentos fletores devidos à 
variação de temperatura isolada na estrutura isostática são sempre nulos. 
 
Item (d.2) – Na estrutura hiperestática, por ter vínculos excedentes, os esforços internos dependem da rigidez 
relativa entre as barras. Com as colunas mais rígidas do que a viga, as rotações das extremidades da viga 
são menores do que no caso com todas as barras com mesma rigidez à flexão EI, se aproximando do caso de 
uma viga com extremidades engastadas. 
Portanto, o diagrama de momentos fletores fica alterado com a modificação do momento de inércia da seção 
transversal das colunas. 
A solução da estrutura hiperestática pelo Método das Forças mostrada no item (b) demonstra que os valores 
dos momentos fletores finais dependem dos valores relativos entre momentos de inércia das seções 
transversais das barras. 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2008 
Primeira Prova – Data: 08/09/2008 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas as 
barras têm a mesma inércia à flexão EI = 105 kNm2. 
 
Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: 







−
−
=
−
−
=
⇒






=












+






bcad
afce
X
bcad
debf
X
X
X
dc
ba
f
e
2
1
2
1
0
0
 
 
 
 
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
Para o pórtico plano mostrado abaixo pede-se o diagrama de momentos fletores utilizando o Método das Forças. O 
pórtico tem um material com módulo de elasticidade E = 107 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /°C. 
As barras do pórtico têm uma seção transversal com área A = 0.18 m2, momento de inércia I = 0.0054 m4, altura h = 
0.60 m e centro de gravidade no meio de altura. As seguintes solicitações atuam no pórtico concomitantemente: 
 
• Carga concentrada horizontal de 30 kN atuando no ponto do apoio da direita. 
• Aquecimento da face inferior da viga do pórtico de ∆Ti = +30 °C. A face superiorda viga não sofre variação de 
temperatura, isto é, ∆Ts = 0 °C. Os pilares não sobrem variação de temperatura. 
• Recalque vertical (para baixo) de 6 mm (0.006 m) do apoio direito. 
 
Considere que as barras do pórtico podem se deformar axialmente, isto é, não despreze a energia de deformação 
axial. 
 Adote o seguinte Sistema Principal e Hiperestático: 
 
 
 
X1 
 
 
Sabe-se: 
(i) O deslocamento axial relativo interno provocado 
pela variação de temperatura em um elemento 
infinitesimal de barra é 
duT = α ∆TCG dx 
sendo ∆TCG a variação de temperatura na fibra 
do centro de gravidade da seção transversal. 
 
 (ii) O rotação relativa interna provocada pela varia-
ção de temperatura em um elemento infinitesimal 
de barra é 
( )
dx
h
TT
d siT
∆−∆
=
αθ . 
 
 
 
 
 
3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
1ª Questão 
 
 
X1 
X1 
X2 
Sistema Principal e Hiperestáticos 
(g=2) 
 
 
M0 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
 
 
 
X1=1 
X1=1 
M1 
. X1 
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1/4 
1/6 
1/4 
1/6 
1/4 1/4 
1/6 1/6 
 
 
X2=1 1/4 
M2 
1/4 
. X2 
Caso (2) – X2 isolado no SP 
 
 
Equações de Compatibilidade 



+=
+=
⇒






=












+






kNm8.45
kNm1.8
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
X
X
X
X
δδ
δδ
δ
δ
 
EIEI
54
6361
3
1
691
3
11
10 −=



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=δ 
EIEI
336
6721
2
1
4361
6
1
4721
3
11
20 −=



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅=δ 
EIEI 3
20
411
3
1
2611
3
1
2
1
11 +=



⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=δ 
01221 == δδ 
EIEI 3
22
411
3
1
611
1
22 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ 
Diagrama de Momentos Fletores 
M = M0 + M1·X1 + M2·X2 
 
 
M 
(kNm) 
 
 
 
2ª Questão 
 
Caso (0) – Solicitação eterna isolada no SP 
 Idêntico ao item (a). 
 
M0 
(kNm) 
N0 = + 30 kN 
N
0 
=
 0
 
N
0 
=
 0
 
ρB0 = –0.006 m 
 
Como o Sistema Principal é isostático, a variação de temperatu-
ra na viga e o “pequeno” recalque de apoio não provocam es-
forços internos. Portanto, os momentos fletores e os esfoços 
normais só são devidos à carga de 30 kN aplicada. 
 
X1=1 
1/3 
M1 
. X1 
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1/3 
N1 = 0 
N
1 
=
 –
1/
3 
N
1 
=
 +
1/
3 
VB1 = –1/3 VA1 = +1/3 
 
 
Equação de compatibilidade 
011110 =⋅+ Xδδ 
10δ é a rotação absoluta da seção do apoio da esquerda do Sistema Principal provocada pela car-
ga concentrada, pela variação de temperatura e pelo recalque de apoio, atuando concomitante-
mente no caso (0): 
ρδδδδ 10101010 ++= TP 
11δ é a rotação absoluta da seção do apoio da esquerda do Sistema Principal provocada por 
11 =X no caso (1): 
 
 
∫∫ +=
pórticopórtico
P dx
EA
NN
dx
EI
MM 0101
10δ 
[ ]012601
2
1
3601
2
11
10 ⋅+



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅=
EAEI
Pδ 
I = 0.0054 m4 A = 0.18 m2 E = 107 kN/m2 
rad10
9
2500 5
10
−
⋅−=
Pδ 
 
∫∫ += viga
T
viga
TT duNdM 010110 θδ 
h = 0.60 m 
( ) ( )
dxdxdx
h
TT
d siT ⋅⋅+=
−+⋅
=
∆−∆⋅
= 50
60.0
030
0 α
ααθ 
dxdxTdu GC
T
⋅⋅+=⋅∆⋅= 150 αα 
∫∫ ⋅⋅+⋅⋅= vigaviga
T dxNdxM 1110 1550 ααδ 
[ ]0153)1(
2
1
5010 ⋅⋅+



⋅−⋅⋅⋅= ααδ T 
rad 1075 510
−
⋅−=
Tδ 
 
01100110 01 BBBB VV ρδρδ ρρ ⋅−=⇒=⋅+⋅ 
( ) ( )[ ] rad10200006.03/1 50110 −⋅−=−⋅−−=⋅−= BBV ρδ ρ 
 
rad10
9
4975 5
10101010
−
⋅−=++= ρδδδδ TP 
( ) ( )
∫∫ +=
pórticopórtico
dx
EA
N
dx
EI
M 21
2
1
11δ 
( ) ( ) ( ) ( )






⋅




+⋅




++⋅





−⋅





−⋅
+



⋅−⋅−+⋅−⋅−⋅⋅=
2
3
1
3
1
2
3
1
3
11
211311
3
11
11
EA
EI
δ
 
rad/kNm10
81
452 5
11
−
⋅+=δ 
 
 
 
kNm1.990 111110 +=⇒=⋅+ XXδδ 
 
 
 
 
Momentos fletores finais 
110 XMMM ⋅+= 
 
 
M [kNm] 
 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2009 
Primeira Prova – Data: 01/04/2009 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
1ª Questão (6,0 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas as 
barras têm a mesma inércia à flexão EI = 105 kNm2. 
 
Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: 







−
−
=
−
−
=
⇒






=












+






bcad
afce
X
bcad
debf
X
X
X
dc
ba
f
e
2
1
2
1
0
0
 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (1,5 pontos) 
Utilizando o Método das Forças e adotando o Sistema Principal indicado, determine o esforço normal na viga abai-
xo, com comprimento ℓ [m], submetida a um aquecimento uniforme de temperatura ∆T [°C]. A viga tem uma se-
ção transversal com área A [m2] e centro de gravidade no meio de altura. O material da viga tem módulo de elasti-
cidade E [kN/m2] e coeficiente de dilatação térmica α [1/°C]. Sabe-se que a variação de comprimento dessa viga 
submetida ao aquecimento, sem restrições a deformações, é α⋅∆T⋅ℓ. Considere que os deslocamentos são pequenos, 
isto é, não considere efeitos de segunda ordem tais como flambagem. 
 
 
l
∆T [°C] 
∆T [°C] 
l
Sistema Principal 
 
 
 
 
3ª Questão (1,5 pontos) 
Determine o diagrama de momentos fletores para a viga abaixo, com comprimento ℓ [m], utilizando o Método das 
Forças e adotando o Sistema Principal indicado. A viga está submetida a um pequeno recalque ρ [m] vertical para 
baixo no apoio da direita. A viga tem uma seção transversal com momento de inércia I [m4] e tem um material com 
módulo de elasticidade E [kN/m2]. Considere que os deslocamentos são pequenos a tal ponto que ângulos em ra-
dianos podem ser aproximados por suas tangentes. Também está indicada a convenção de sinais para rotações 
relativas ∆θ quando se impõe perdas de continuidade de rotação. 
 
 
l
ρ
0>θ∆ 
θ∆ 
0<θ∆ 
θ∆ 
l
Sistema Principal 
 
 
 
 
4ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
1ª Questão 
 
 
1ª Questão (cont.) 
 
 
 
2ª Questão 
 
 
l 
∆T [°C] 
∆T [°C] 
l 
Sistema Principal 
e Hiperestático X1 
 
 
 
l 
∆T [°C] 
∆T [°C] l 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
10δ 
l⋅⋅+= T∆αδ10 
00 =N 
 
 
 
X1=1 
. X1 
Caso (1) – X1 isolado no SP 
l 
11δ 
dx
EA
N
∫=
l
0
2
1
11δ 
11 +=N 
EA
l
+=11δ N1 
1 
 
Equações de Compatibilidade 
 
EATXX ⋅⋅−=⇒=⋅+ ∆αδδ 111110 0 
 
 
Esforço normal final 
 
110 XNNN ⋅+= 
 
EATN ⋅⋅−= ∆α 
 
 
3ª Questão 
 
l
ρ
l
Sistema Principal 
e Hiperestático X1 
 
 
 
l 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
00 =M 
ρ 
010 <δ 
10δ 
1010 tanδδ ≈
l
ρδ −=10 
 
 
 
X1=1 
. X1 
Caso (1) – X1 isolado no SP 
dx
EI
M
∫=
l
0
2
1
11δ 
EI3
11
l
+=δ 
M1 
1/ l 1/ l 
–1 
l 
11δ 
 
Equações de Compatibilidade 
 
ρδδ
2111110
3
0
l
EI
XX +=⇒=⋅+ 
 
Momentos Fletores Finais 
 
110 XMMM ⋅+= 
 
 ( ) ρ⋅− 2/3 lEI 
M 
 
 
 
Solução da P2 –CIV 1127 Análise de Estruturas II – PUC-Rio – 2000.2 – Prof. Luiz Fernando Martha
1
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2000
Segunda Prova – Data: 13/11/2000 – Duração: 2:30 hs – Sem Consulta
1ª Questão (5,0 pontos)
Empregando-se o Método dos Desloca-
mentos, obter o diagrama de momentos
fletores e o esforço normal na barra ver-
tical extensível para o quadro ao lado.
barra infinitamente
rígida
barra extensível
(A = 0.006 m2)
barras inextensíveis
(I = 0.0216 m4)
Módulo de Elasticidade: E = 106 kN/m2
2ª Questão (2,0 pontos)
Considere a viga ao lado com uma inércia
à flexão EI constante. O apoio da direita
impede a rotação e o deslocamento hori-
zontal do ponto B, mas libera o seu deslo-
camento vertical. Utilizando a Analogia
da Viga Conjugada, determine o diagrama
de momentos fletores e o deslocamento do
ponto B em função de P, L e EI.
L
P
A B
VIGA
REAL
VIGA
CONJUGADA
Carregamento q(x) qc(x) = M(x)/EI
Esforço Cortante Q(x) Qc(x) = q(x)
Momento Fletor M(x) Mc(x) = v(x)
Rotação q(x)
Deslocamento v(x)
3ª Questão (2,0 pontos)
Empregando-se o Método das Forças, obter
os diagramas de momentos fletores e mo-
mentos torçores para a grelha ao lado. A
relação entre a rigidez à torção e a rigidez à
flexão é GJ t = 6EI, para todas as barras.
4ª Questão (1,0 ponto)
Grau vindo do segundo trabalho (nota do trabalho x 0,1).
Solução da P2 – CIV 1127 Análise de Estruturas II – PUC-Rio – 2000.2 – Prof. Luiz Fernando Martha
2
1ª Questão
Sistema Hipergeométrico (SH) caso (0) – Solicitação externa isolada no SH
1
2
 
0
0 00
0
–36
b10 = +42 kN
b20 = 0
–36 +36
N0 = 0 M0 [kNm]
caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH
K11 = 1000 + 1500 + 1800 = +4300 kN/m
K21 = –EA/4 = –1500 kN/m
0
0 00
0
(4EI/6)q1 + (6EI/6
2)D1
+10EI/62 +8EI/62–10EI/62
q1 = 1/6 D1 = 1
10EI/63 = 1000
D1 = 1
q1 = 1/6
M1
x D1
N1 = –EA/4 = –1500
(10EI/62 + 8EI/62).(1/6) = 1800
(2EI/6)q1 + (6EI/6
2)D1
caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH
0
0
0
0
0
+3EI/62
M2
x D2
0 0
K22 = 1500 + 300 = +1800 kN/m
K12 = –EA/4 = –1500 kN/m
D2 = 1
K22 = +EA/4 + 3EI/6
3
N2 = +EA/4 = +1500
Sistema de Equações de Equilíbrio
î
í
ì
=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
b
b
þ
ý
ü
î
í
ì
=
þ
ý
ü
î
í
ì
ú
û
ù
ê
ë
é
+-
-+
+
þ
ý
ü
î
í
ì+
0
0
1815
1543
10
0
42
2
12
D
D
î
í
ì
-=
-=
Þ
-
-
mxD
mxD
2
2
2
1
10148.1
10377.1
Solução da P2 – CIV 1127 Análise de Estruturas II – PUC-Rio – 2000.2 – Prof. Luiz Fernando Martha
3
Momentos Fletores finais
22110 DMDMMM ++=
0
0
+46.6
0
0
–20.7
M [kNm]
–46.6 –102.1
Esforço Normal final na barra vertical
( ) ( ) kNEAEADNDNNN 44.3148.1
4
377.1
4
022110 +=-÷
ø
ö
ç
è
æ++-÷
ø
ö
ç
è
æ-+=++=
2ª Questão
MA
MB
–MA
+MBM(x)
x
–
+
Diagrama de momentos fletores:
VIGA REAL VIGA CONJUGADA
MB
c
MB
c
MA/EI
MB/EIMA/EI
MB/EI
MB
c
MAL/2EI
MBL/2EI
MA = vA = 0
c
QA = qA = 0
c
MB = vB ¹ 0
c
QB = qB = 0
c
åFy = 0 Þ MA = MB Þ
P
P
åMo = 0 Þ (MA + MB) = PL
MA = MB = PL/2
åMo = 0 Þ (MAL/2EI).(L/3) = MB Þ
L/3 L/3 L/3
c vB = MB = – PL
3/12EI
c
3ª Questão
Sistema Principal (SP) e Hiperestático
X1
Solução da P2 – CIV 1127 Análise de Estruturas II – PUC-Rio – 2000.2 – Prof. Luiz Fernando Martha
4
caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
120
M0
[kNm]
240
0
T0
[kNm]
+120
0
caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP
M1
–3
T1
0 x X1
3 6
3
3
–6
X1 = 1 X1 = 1
Equação de Compatibilidade
011110 =+ Xdd
[ ]
tGJEI
1
120)6(6
1
24036
3
1
24036
6
1
12066
3
1
10 ××-×+×úû
ù
êë
é ×××-×××+×××-=d
EIEIEI
2880
6
43202160
10 -=--=d
[ ]
tGJEI
1
)6()6(6)3()3(6
1
666
3
1
333
3
1
333
3
1
333
3
1
11 ×-×-×+-×-×+×úû
ù
êë
é ×××+×××+×××+×××=d
EIEIEI
144
6
27099
11 +=+=d
Þ X1 = 20 kN
Momentos Fletores e Momentos Torçores finais
110 XMMM += 110 XTTT +=
60
M
[kNm]
180
–60
T
[kNm]
0
60
0
0
 1 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2001 
Segunda Prova – 13/06/2001 – Duração: 2:30 hs – Sem Consulta 
 
 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Empregando-se o Método dos Deslocamentos, ob-
ter o diagrama de momentos fletores para o quadro 
ao lado (barras inextensíveis). Todas as barras têm 
a mesma inércia à flexão EI = 24x104 kNm2, com 
exceção da barra horizontal inferior da direita que é 
infinitamente rígida à flexão. 
 
 
 
2ª Questão (1,5 pontos) 
Considere a viga abaixo com uma inércia à flexão 
EI constante. Utilizando a Analogia da Viga Con-
jugada (vide tabela ao lado), determine o diagrama 
de momentos fletores em função de P, a, b e EI. 
 
a 
P 
b 
A B C 
 
 
 
 
Analogia da Viga 
Conjugada 
VIGA 
REAL 
VIGA 
CONJUGADA 
Carregamento q(x) qc(x) = M(x)/EI 
Esforço Cortante Q(x) Qc(x) = θ(x) 
Momento Fletor M(x) Mc(x) = v(x) 
Rotação θ(x) 
Deslocamento v(x) 
 
 
3ª Questão (2,0 pontos) 
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-
gramas de momentos fletores e momentos torçores 
para a grelha ao lado. A relação entre a rigidez à 
torção e a rigidez à flexão é GJt = 3EI, para todas 
as barras. 
 
 
 
 
 
 
4ª Questão (1,0 ponto) 
Grau vindo do segundo trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 2 
1ª Questão 
Sistema Hipergeométrico (SH) 
 
 1 
2 
caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
0
β10 = – 24 kNm 
β20 = + 30 kN 
M0 
[kNm] 
0
-24
0 0 0
0
00
0
18 kN
(sentido 
positivo)
 
 
 
caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
x D1 
M1 
3EI/42 3EI/42 3EI/42 3EI/42 
3EI/42 
3EI/4 3EI/4
K11 = 3EI/4 + 3EI/4 + 4EI/6 
D1 = 1
+3EI/4 
+3EI/4 
+4EI/6 
4EI/6
+2EI/6 
2EI/6 2EI/6 
–2EI/6 
K21 = –EI/12 
6EI/62
6EI/62
6EI/62
6EI/62 
2EI/6·4 2EI/6·4
0
0
0
0 
0 
3EI/42 – 2EI/6·4
ΣFy = 0 ⇒ K21 + 3EI/42 – (3EI/42 – 2EI/6·4) = 0 
K11 
K11 = +13EI/6 
(sentido positivo) 
 
 
caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
x D2 M2 
3EI/43 
θ2 = 1/4 
D2 = 1 
K22 = +EI/6 
0 
ΣFy = 0 ⇒ K22 – 3EI/43 – (7EI/6·42+ 3EI/43) = 0 
K12 
3EI/43
3EI/43 3EI/43 
3EI/43
3EI/42 3EI/42 
2EIθ2/6 
4EIθ2/6 
3EIθ2/6 4EIθ2/6 
3EIθ2/6 
6EIθ2/62
6EIθ2/62
9EI/62·4 
3EIθ2/62
3EIθ2/62 
7EIθ2/6·4
7EIθ2/6·4 
9EI/62·4
7EI/6·42+ 3EI/43
0
0
–3EI/42 +3EI/42 
–2EI/6·4 
K12 = –3EI/42 + 3EI/42 
 – 2EI/6·4 
K12 = –EI/12 
–3EI/6·4
–4EI/6·4 
+4EI/6·4 
+3EI/6·4 
(sentido positivo) 
 
 3 
Sistema de Equações de Equilíbrio 





⋅−=
⋅+=
⇒






=






⋅





+−
−+
⋅+






+
−
⇒



=++
=++
EI
D
EI
D
D
D
EI
DKDK
DKDK
1
17
3024
1
17
72
0
0
6/112/1
12/16/13
30
24
0
0
2
1
2
1
22212120
21211110
β
β 
 
Momentos Fletores finais 
22110 DMDMMM ++= 
 
 
M [kNm] 
0 0 –30.2 +12.5 
0 +17.7 
+31.1 
–31.1 –22.2 
+22.2
 
 
 
 
2ª Questão 
 
Diagrama de momentos fletores: 
VIGA REAL VIGA CONJUGADA 
P 
MA 
VA 
vA = 0 
VB 
θA = 0 
vB = 0 
θB = θB dir esq 
vC ≠ 0 
θC ≠ 0 
x 
M(x) 
–MB = –P⋅ b 
+MA 
–
+ 
– 
MA/EI 
MB/EI 
MA = 0
QA = 0 
MB = 0 
QB = QB dir esq 
MC ≠ 0 
QC ≠ 0 
c 
c 
c 
c c 
c 
c 
MA/EI
MB/EI 
MB= 0 ⇒ MA = MB / 2 
c 
MA = P⋅ b / 2
MB = P⋅ b 
∴∴∴∴
MA⋅ a /2EI 
MB⋅ a /2EI 
2a/3 
a/3 
 
 
 
 4 
3ª Questão 
Sistema Principal (SP) e Hiperestático 
 
 
X1 
caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
 
24 kN
12 kN 12 kN
M0
[kNm] 
T0 
[kNm] 
 
 
 
caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
 
M1 T1 x X1 
X1 = 1 X1 = 1 
3 
–3
–3
0 
0 3 3 
3 
2 1 
 
 
 
Equação de Compatibilidade 
011110 =+ Xδδ 
 
[ ]
EIEIEIGJEI t
351
3
3242431)36()3(313633
3
1933
3
13633
3
1
10 +=+=⋅−⋅−⋅+⋅





⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+=δ 
 
[ ]
EIEIEIGJEI t
54
3
54361)3()3(3)3()3(31333
3
1333
3
1333
3
1333
3
1
11 +=+=⋅−⋅−⋅+−⋅−⋅+⋅





⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ 
 
⇒ X1 = –6.5 kN 
 
 
Momentos Fletores e Momentos Torçores finais 
 
110 XMMM += 
 
24 kN 
5.5 kN 1 kN 
M 
[kNm] 
6.5 kN 
110 XTTT += 
T 
[kNm] 
 
 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2001 
Segunda Prova – 14/11/2001 – Duração: 2:30 hs – Sem Consulta 
 
 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Empregando-se o Método dos Deslocamentos, ob-
ter o diagrama de momentos fletores para o quadro 
ao lado (barras inextensíveis). Todas as barras têm 
a mesma inércia à flexão EI = 2,4x104 kNm2, com 
exceção da barra vertical da esquerda que é infini-
tamente rígida à flexão. 
 
 
 
2ª Questão (1,5 pontos) 
Considere a viga abaixo com uma inércia à flexão 
EI = 2,0x104 kNm2 constante. O apoio C da direita 
sofre um recalque de rotação θC = 2,1x10-3 rad no 
sentido anti-horário. Utilizando a Analogia da Viga 
Conjugada (vide tabela ao lado), determine o dia-
grama de momentos fletores. 
 
θC = 2,1x10-3 rad
A B C 
 
 
 
 
Analogia da Viga 
Conjugada 
VIGA 
REAL 
VIGA 
CONJUGADA 
Carregamento q(x) qc(x) = M(x)/EI 
Esforço Cortante Q(x) Qc(x) = θ(x) 
Momento Fletor M(x) Mc(x) = v(x) 
Rotação θ(x) 
Deslocamento v(x) 
 
 
3ª Questão (2,0 pontos) 
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-
gramas de momentos fletores e momentos torçores 
para a grelha ao lado. A relação entre a rigidez à 
torção e a rigidez à flexão é GJt = 3EI, para todas 
as barras. 
 
 
 
 
 
 
4ª Questão (1,0 ponto) 
Grau vindo do segundo trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
1ª Questão 
Sistema Hipergeométrico (SH) 
 
1 
2 
 
caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
 
β10 = – 36.0 kNm 
β20 = – 22.5 kN 
M0
[kNm] 
0 
0 
0 
0 
–54 +54 
–36 
–36 +36 
0 
 
 
caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
M1 
K11 = 4EI/6 + 
 3EI/4 + 
 3EI/4 
D1 = 1 +3EI/4 +2EI/6 –2EI/6 
K21 = +5EI/48 
6EI/62 
6EI/62 
0 
0 
0 
0 
2EI/6·4 + 
3EI/42 – 
3EI/42 = 
2EI/6·4 K11 = +13EI/6 
0 2EI/6·4 
+4EI/6 
+3EI/4 
3EI/42 
2EI/6
2EI/6·4 
K21 = 3EI/42 – 
 2EI/6·4 
6EI/62 
6EI/62 
3EI/42 
3EI/42 
3EI/42 
3EI/42 
3EI/4 
3EI/4 2EI/6
4EI/6 x D1 
 
 
caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
M2 
K22 = (7EI/6·4)·θ2 
 + 3EI/43 
D2 = 1 
K12 = +5EI/48 
0 
(7EI/6·4)·θ2 
+ 3EI/43 
= 23EI/192 
K22 = +23EI/192
+3EI/42 K12 = –(2EI/6)·θ2 
 + 3EI/42 
3EI/43 
3EI/43 
3EI/42 
x D2 
θ2 = 1/4 
–(3EI/6)·θ2 
+(3EI/6)·θ2 
θ2 
θ2 
–(4EI/6)·θ2 +(4EI/6)·θ2 
–(2EI/6)·θ2 
0 
0 
0 
(4EI/6)·θ2 
(7EI/6·4)·θ2
(3EI/6)·θ2 
(7EI/6·4)·θ2
(4EI/6)·θ2 
(2EI/6)·θ2 
(6EI/62)·θ2
(6EI/62)·θ2
(3EI/6)·θ2 
(3EI/62)·θ2
(3EI/62)·θ2
(9EI/62)·θ2 
(9EI/62)·θ2 
 
 
Sistema de Equações de Equilíbrio 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





++
++
⋅+






−
−
0
0
192/2348/5
48/56/13
5.22
0.36
2
1
D
D
EI 





⋅+=⋅+=
⋅+=⋅+=
⇒
−
−
m
EI
D
rad
EI
D
3
2
3
1
10539.71
191
34560
10330.01
191
1512
 
Momentos Fletores finais 
22110 DMDMMM ++= 
 
M [kNm] 
0 
–31.4 
+31.4
0 
0 
–8.5 
+8.5 
–45.8 +39.9
+5.9 
 
 
2ª Questão 
 
Diagrama de momentos fletores: 
VIGA REAL VIGA CONJUGADA 
MC 
x 
M(x) 
–MB 
+MC 
– 
+ 
MC/EI 
MB/EI 
MA = 0
QA ≠ 0 
MB = 0 
QB = QB dir esq 
MC = 0 
QC = θC 
c 
c 
c 
c c 
c 
c 
MC/EI 
MB/EI 
MB = 0 ⇒ (MB 3/EI) 2 – (MC 3/EI) 4 + θC 6 = 0 
c 
MC = 4⋅MB = 24 kNm 
MB = θC EI/7 = 6 kNm ∴∴∴∴
MB 3/EI
θC = 2,1x10-3 rad 
A B C 
vA = 0 
θA ≠ 0 
vB = 0 
θB = θB dir esq 
vC = 0 
θC ≠ 0 
θC 
θC 
MB 3/EI 
MC 3/EI 
MA = 0 ⇒ (MB 3/EI) 4 + (MB 3/EI) 8 – (MC 3/EI) 10 + θC 12 = 0
c 
EI = 2,0x10-4 kNm2 
 
 
 
3ª Questão 
Sistema Principal (SP) e 
Hiperestático 
 
 
X1 
caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
 M0 [kNm] 
T0 [kNm] 
 
 
caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
 
M1 T1 x X1 
X1 = 1 X1 = 1 
3 
–3 
–3 
0 
0 3 3 
3 
6 
 
Equação de Compatibilidade: 011110 =+ Xδδ ⇒ X1 = +10.25 kN 
[ ]
EIGJEI t
11071336)3(1393
3
13363
3
13723
6
13363
3
131083
6
13366
6
131086
3
1
10 −=⋅⋅⋅−+⋅





⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=δ
( )[ ]
EIEIEIGJEI t
108
3
549013)3()3(21333
3
13333
3
1363
6
1336
6
1366
3
1
11 +=+=⋅⋅−⋅−⋅+⋅











⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ 
 
Momentos Fletores e Momentos Torçores finais 
110 XMMM += 
 M [kNm] 
30.75 
5.25 9 
30.75 
72 
46.5 
5.25 
 
110 XTTT += 
 T 
[kNm] 
–30.75 
–72 
0 +5.25 
 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2002 
Segunda Prova – 22/05/2002 – Duração: 2:30 hs – Sem Consulta 
 
 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Empregando-se o Método dos Deslocamentos, ob-
ter o diagrama de momentos fletores para o quadro 
ao lado (barras inextensíveis). Todas as barras têm 
a mesma inércia à flexão EI = 3,6x104 kNm2, com 
exceção da barra horizontal da esquerda que é infi-
nitamente rígida à flexão. 
 
 
 
 
2ª Questão (1,5 pontos) 
Considere a viga abaixo com uma inércia à flexão 
EI constante. Utilizando a Analogia da Viga Con-
jugada (vide tabela ao lado), determine o diagrama 
de momentos fletores. 
 
A B C
 
 
 
 
 
Analogia da Viga 
Conjugada 
VIGA 
REAL 
VIGA 
CONJUGADA 
Carregamento q(x) qc(x) = M(x)/EI 
Esforço Cortante Q(x) Qc(x) = θ(x) 
Momento Fletor M(x) Mc(x) = v(x) 
Rotação θ(x) 
Deslocamento 
Transversal v(x) 
 
 
 
3ª Questão (2,0 pontos) 
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-
gramas de momentos fletores e momentos torçores 
para a grelha ao lado. A relação entre a rigidez à 
torção e a rigidez à flexão é GJt = 3EI, para todas 
as barras. 
 
 
 
 
 
 
4ª Questão (1,0 ponto) 
Grau vindo do segundo trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
 
1ª Questão 
Sistema Hipergeométrico (SH) 
 
1 
2 
caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
β10 = – 16 kNm 
β20 = + 83 kN 
[kNm] 
–16+16–16
M0
0
0
0
0
0 –54
(16÷2=8)
(ΣFy=0)⇒
(12·6·(5/8)=45)
0
 
 
caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
K21 = +EI/4 
0 
K11 = +2EI 
x D1
M1 
(ΣFy=0)⇒
0 
0
0 
0 0
+4EI 
4 
+3EI 
3 2EI 
4·2 
–2EI 
4 
+2EI 
4 D1 = 1 
 
 
caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
M2 
D2 = 1 θ2 = 1/2 
(ΣFy=0)⇒
+4EI 
4 
·θ2 –4EI 
5 
+2EI 
4 
·θ2 
+3EI 
5 
·θ2 
4EI 
5·2 
3EI 
63 
K12 = +EI/4 
K22 = +149EI/360
0
0
0 
0 
+3EI 
62 
x D2
 
Sistema de Equações de Equilíbrio


=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





++
++
⋅+






+
−
0
0
360/1494/1
4/12
83
16
2
1
D
D
EI 





⋅−=−=
⋅+=+=
⇒
−
−
m
EI
D
rad
EI
D
3
2
3
1
10171.6142.222
10994.0768.35
 
 
Momentos Fletores finais 
22110 DMDMMM ++= 
 
M [kNm]
–66.6 
+143.8 –77.2 –35.8 
+35.8 
–72.5
0 
0 
0
0 
 
M [kNm]
 
 
 
 
2ª Questão 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
VIGA REAL 
VIGA CONJUGADA 
–MB
–
MB/EI 
MA = 0 
QA ≠ 0 
MB = 0 
QB = QB dir esq 
MC = 0
QC = θC
c 
c 
c 
c c 
c 
c 
MB = 0 ⇒ – (MB/EI)·(6/2)·2 + (36/EI)·6·(2/3)·3 + VC·6 = 0 
c 
MB = 27 kNm ∴∴∴∴
(MB/EI)·(3/2) 
A
B
C 
vA = 0 
θA ≠ 0 
vB = 0 
θB = θB dir esq 
vC = 0 
θC ≠ 0 
MA = 0 ⇒ – (MB/EI)·(3/2)·2 – (MB/EI)·(6/2)·5 + 
c 
9 36
A
B
C 
MB/EI 
36/EI 
9/EI 
A
B
C 
(MB/EI)·(6/2)
(9/EI)·3·(2/3) VC
c 
c 
(9/EI)·3·(2/3)·1.5 + (36/EI)·6·(2/3)·6 + VC·9 = 0 
c 
1.5 
2 1 2 
+
1.5 3 3 
(36/EI)·6·(2/3)
 
 
3ª Questão 
Sistema Principal (SP) e Hiperestático 
 
 
X1 
 
 
caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
 M0 [kNm] T0 [kNm] 
20 
20 20
20 
120 
120 
0 0 
0 
20
20 20 
20 
+120
0 
0 
0 
0 
 
 
caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
1/2 
0 0 
0 0 
M1 T1
x X1X1 = 1 X1 = 13 +3 
1/2 3 
3 3 
+3
1/2
1/2
 
 
Equação de Compatibilidade: 
[ ]
EIGJEI t
36010161203
6
1
10 −=⋅+⋅





⋅⋅⋅−=δ
[ ]
EIEIEIGJEI t
81
3
815416)3()3(3)3()3(1633
3
12333
3
1211 +=+=⋅⋅+⋅++⋅+⋅++⋅











⋅⋅⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅=δ 
011110 =+ Xδδ ⇒ X1 = +4.4 kN 
 
Momentos Fletores e Momentos Torçores finais 
 
M [kNm] T [kNm] 
120 
120 
+120
0 
0 
110 XMMM += 110 XTTT +=
13.3 13.3 
13.3
13.3 
+13.3
+13.3 
 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2002 
Segunda Prova – 30/10/2002 – Duração: 2:30 hs – Sem Consulta 
 
 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Empregando-se o Método dos Deslocamentos, 
obter o diagrama de momentos fletores para o 
quadro ao lado (barras inextensíveis). Todas as 
barras têm a mesma inércia à flexão EI = 3,6x104 
kNm2, com exceção da barra vertical superior que 
é infinitamente rígida à flexão. 
 
 
 
 
 
2ª Questão (1,5 pontos) 
Considere a viga abaixo cujo apoio da esquerda 
sofreu um recalque vertical de 4 cm para baixo. 
As barras têm inércia à flexão EI = 3,6x104 
kNm2. Utilizando a Analogia da Viga Conjugada 
(vide tabela ao lado), determine o diagrama de 
momentos fletores. 
 
 A CB 
 
 
 
 
 
Analogia da Viga 
Conjugada 
VIGA 
REAL 
VIGA 
CONJUGADA 
Carregamento q(x) qc(x) = M(x)/EI 
Esforço Cortante Q(x) Qc(x) = θ(x) 
Momento Fletor M(x) Mc(x) = v(x) 
Rotação θ(x) 
Deslocamento 
Transversal v(x) 
 
 
 
3ª Questão (2,0 pontos) 
Empregando-se o Método das Forças, obter os 
diagramas de momentos fletores e momentos tor-
çores para a grelha ao lado. A relação entre a ri-
gidez à torção e a rigidez à flexão é GJt = 6EI, 
para todas as barras. 
 
 
 
 
 
 
4ª Questão (1,0 ponto) 
Grau vindo do segundo trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
 
1ª Questão Sistema Hipergeométrico (SH) 
 
1 
2 
 
 
caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
 
β20 = – 12 kN 
β10 = + 36 kNm 
[kNm] 
+36 –36 
M0
(36÷3=12)
(ΣFx=0) 
0 
+36 
0 
0 
0 
0 
⇑ 
 
caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
 
M1 
(ΣFx=0)
0 
0 
0 
⇑ 
K21 = +7EI/9
K11 = +2EI
x D1
+4EI
6
+4EI
3
2EI
6·3
–2EI
6
+2EI 
6 
D1 = 1
+2EI
3
6EI
32
 
caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
 
M2 
(ΣFx=0) 
0
0 
⇑ 
K22 = +26EI/27 
x D2
8EI
9·3
D2 = 1 
+6EI 
32 
θ2 = 1/3 
+2EI 
6 
θ2
+6EI 
32 
+4EI 
6 
θ2 +3EI
3
θ2 3EI
32+
–8EI
9
+3EI 
32 
θ2 3EI 
33 + 
12EI 
33 
K12 = +7EI/9 
 
Sistema de Equações de Equilíbrio 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





++
++
⋅+






−
+
0
0
27/269/7
9/72
12
36
2
1
D
D
EI 





⋅+=+=
⋅−=−=
⇒
−
−
m
EI
D
rad
EI
D
3
2
3
1
10093.1364.39
10925.0308.33
 
 
Momentos Fletores finais 
22110 DMDMMM ++= 
 
[kNm] 
+18.2 
M 
0 
0
+26.2 
–38.3 
–18.2 
+4.0 
+12.1 
 
 
[kNm]
M
 
 
 
 
2ª Questão 
 
Diagrama de momentos fletores: 
VIGA REAL VIGA CONJUGADA 
MC
VA 
vA =-ρ 
VB 
θA ≠ 0 
vB = 0 
θB = θB dir esq 
vC = 0
θC = 0 
x
M(x) 
–MB 
+MC 
–
+
– 
MC/EI
MB/EI 
MA =-ρ 
QA ≠ 0 
MB = 0 
QB = QB dir esq 
MC = 0
QC = 0
c
c 
c 
c c 
c 
c 
MC/EI
MB/EI 
MB = 0 ⇒ MC = MB / 2 c 
MB = 80 kNm
MC = 40 kNm∴∴∴∴ 
MC⋅b/2EI 
MB⋅b/2EI 
2b/3 
b/3 
VC
ρ = 0.04 m ρ 
ρ 
ΣMA = 0 ⇒c
MB⋅a/2EI 
2a/3
a = 6 m b = 4 m 
0
3
2
2323
2
2
=





+⋅+





+⋅−⋅−
ba
EI
bMba
EI
bMa
EI
aM CBBρ
EI = 3.6x104 kNm2
ρ = 0.04 m a = 6 m b = 4 m 
a
 
 
3ª Questão 
 
Sistema Principal (SP) e 
Hiperestático (g = 1) 
 
X1 
caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
 
M0 [kNm] T0 [kNm]
20 
20 
20 
20 
180
60 
60 
60 
60 
+180 
0 
180
+60 
+60 
 
caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
0 
M1 T1
x X1 X1 = 1 –6 
–3 
3 
3 
6 
0 
3 
X1 = 10 
 
 
Equação de Compatibilidade: 
[ ]
EIEIEIGJEIGJ
EI
tt
3960
6
756027007560270016)180)(6(6)60()3(
161803
3
161803
6
16603
6
16603
3
161806
3
16606
6
13603
3
1
10
−=−−=−−=⋅⋅−+⋅⋅−+
⋅



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=δ
[ ]
EIEIEIGJEIGJEI tt
144
6
270992709916)6()6(6)3()3(1666
3
1333
3
1311 +=+=+=⋅⋅−⋅−+⋅−⋅−+⋅





⋅⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅=δ 
011110 =+ Xδδ ⇒ X1 = +27.5 kN 
 
Momentos Fletores e Momentos Torçores finais 
 
M [kNm] T [kNm]
15 
60 
60 
22.5 
+15 
0 
97.5
+60 
–22.5
110 XMMM += 110 XTTT +=
22.5
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2003 
Segunda Prova – 04/06/2003 – Duração: 2:30 hs – Sem Consulta 
 
 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Empregando-se o Método dos Deslocamentos, obter 
o diagrama de momentos fletores para o quadro ao 
lado (barras inextensíveis). Todas as barras têm a 
mesma inércia à flexão EI = 1,2x104 kNm2, com exce-
ção da barra horizontal superior na esquerda que é 
infinitamente rígida à flexão. 
 
 
 
 
 
2ª Questão (1,5 pontos) 
Considere a viga abaixo cujas barras têm inércia à flexão EI = 3,6x104 kNm2. Utilizando a Analogia da Viga 
Conjugada (vide tabela anexa), determine o diagrama de momentos fletores. 
 
 
A C
B
D
 
 
 
 
3ª Questão (2,0 pontos) 
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-
gramas de momentos fletores e momentos torçores 
para a grelha ao lado. A relação entre a rigidez à 
torção e a rigidez à flexão é GJt = 6EI, para todas as 
barras. 
 
 
 
 
 
4ª Questão (1,0 ponto) 
Grau vindo do segundo trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
 
1ª Questão 
 
1
Sistema Hipergeométrico
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





++
++
⋅+






+
+
⇒
0
0
96/176/1
6/115/29
83
20
2
1
D
D
EI 





−=
+=
⇒
EI
D
EI
D
44,499
712,32
2
1
 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
[kNm] 
M 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
x D2
β20 
β10 
[kNm] 
M0
0 –12 
β20 = + 83 kN
β10 = + 20 kNm
0 0 
–12 +12 
0 
0 
0 
0 
ΣFy = 0
M1 
K11 = +29EI/15 
x D1
0 
0 
0 
+2EI/3 
+4EI/3 
0 
K21
K11 
K21 = +EI/6 
D1 = 1
–2EI/3 
0 
0 
+3EI/5 2EI/(3⋅4) 
ΣFy = 0 
M2
0 
0 
–3EI/42
K22 
K12
K22 = +17EI/96
+(4EI/3)⋅θ2 
0 
0 
3EI/43
D2 = 1θ2 = 1/4
+(2EI/3)⋅θ2 
+(3EI/4)⋅θ2 
–(25EI/12)⋅θ2
3EI/42
0 
K12 = +EI/6
(25EI/12)⋅θ2/4
ΣFy = 0
+226,3 0 
0 
0 0 
–93,6 
–132,7 
+93,6 
–51,6 
+19,6 
+32,0 
2
SH
18
8 
 
 
2ª Questão 
 
Diagrama de momentos fletores: 
VIGA REAL VIGA CONJUGADA 
MB/EI 
MA = 0 
QA ≠ 0 
MC = 0 
QC = QC dir esq 
MD = 0 
QD ≠ 0 
C 
C 
C 
C C 
C 
C 
MC = 0 ⇒ – (3MC/EI)⋅2 + VD⋅6 = 0 C 
MB = 270 kNm ∴∴∴∴
vA = 0 
θA ≠ 0 
vC = 0 
θC = θC dir esq 
vD = 0 
θD ≠ 0 
MA = 0 ⇒ + (3MB/EI)⋅4 + (3MB/EI)⋅8 + 
C
C
– (3MC/EI)⋅10 – (3MC/EI)⋅14 + VD⋅18 = 0
C 
A 
B 
C D A B
C 
D
–MC 
– 
+ 
+MB 
MC/EI 
3MC/EI 
2 4 
3MC/EI
2 4 
3MB/EI
2 4 
3MB/EI
2 4 
A B
C 
D360 = 120⋅12/4 
–MC/2 
MB = 360 – MC/2
VD 
C 
MC = 180 kNm 
 
 
 
3ª Questão 
 
Equação de compatibilidade: 
011110 =+ Xδδ 
EI
13363
3
13183
3
13363
3
13363
3
1
10 ⋅



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+=δ
 [ ]
EIGJEIGJ tt
162016213)36)(3(3)36()3( +=++=⋅⋅+++⋅+⋅−+
[ ]
tGJEI
13)3()3(3)3()3(1333
3
1411 ⋅⋅+⋅++⋅−⋅−+⋅











⋅⋅⋅+⋅=δ
EIEIEIGJEI t
45
6
54365436
11 +=++=++=δ 
045162 1 =⋅+⇒ XEIEI
 kN6,31 −=∴X 
Momentos Fletores Finais: 
110 XMMM ⋅+= 
[kNm] 
M 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
Caso (1) – Hiperstático X1 isolado no SP 
[kNm]
M0
x X1
X1 = 1 
SP
Sistema Principal e 
Hiperestático (g = 1) 
X1 [kNm]
T0
M1 
T1 
0 
–3 
12 
12 
24 
18 
36 
36 
36 
36 
0 
0 
0 
+36 
+36 
1 
2 
3 3 
3 
+3 
0 
0 0 
0 
Momentos Torsores Finais: 
110 XTTT ⋅+= 
[kNm]
T18 
46,8 
36 
10,8 
25,2 25,2 
0 0 
0 
+25,2 
+46,8
EIGJt 6= 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2003 
Segunda Prova – 12/11/2003 – Duração: 2:30 hs – Sem Consulta 
 
 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Empregando-se o Método dos Deslocamentos, obter 
o diagrama de momentos fletores para o quadro ao 
lado (barras inextensíveis). Todas as barras têm a 
mesma inércia à flexão EI = 4x104 kNm2, com exce-
ção da barra vertical inferior na esquerda que é infi-
nitamente rígida à flexão. 
 
 
 
 
 
2ª Questão (1,5 pontos) 
Considere a viga abaixo cujas barras têm inércia à flexão EI = 2,1x104 kNm2. Após a aplicação do carrega-
mento foi verificado que a seção do apoio B sofreu uma plastificação parcial, provocando uma rotação relati-
va entre as seções adjacentes ao apoio. Observou-se também que a seção plastificada ainda tem capacidade 
de transmitir momento fletor. A rotação relativa entre as seções adjacentes ao apoio B foi medida e o valor 
encontrado foi θ = θdir – θesq = –1x10–2 rad. Utilizando a Analogia da Viga Conjugada, determine o diagrama 
de momentos fletores na viga após a plastificação da seção. 
 
 
A C
B
θ = –1x10–2 rad 
B
 
 
 
 
3ª Questão (2,0 pontos) 
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-
gramas de momentos fletores e momentos torçores 
para a grelha ao lado. Todas as barras têm a relação 
indicada entre a rigidez à torção GJt e a rigidez à 
flexão EI. 
 
 
EIGJt ⋅= 2
3
 
 
 
4ª Questão (1,0 ponto) 
Grau vindo do segundo trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
 
1ª Questão 
 Sistema Hipergeométrico
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





+−
−+
⋅+






−
−
⇒
0
0
40/2340/23
40/235/14
5,48
25
2
1
D
D
EI 





+=
+=
⇒
EI
D
EI
D
38,117
034,33
2
1
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
x D2x D1
0 
–25 
+25 
0 
0 
0 
0 
–25 0 0 
[kNm] 
β20 
β10 
M0 
β20 = – 48,5 kN
β10 = – 25 kNm
ΣFx = 0 ⇒ β20 + 36 + 12,5 =0
60 kN
36 kN
48 kN
1
2
SH 
12,5 kN12,5
12,5
25 
+4EI/4 
2EI/(5⋅2) 
D1 = 1 
0 0 
M1 
+3EI/3 +2EI/5 
–2EI/5 
+4EI/5 
+2EI/4 
K21 
0 
0 
6EI/42 
K11 = +14EI/5 
K21 = –23EI/40 
ΣFx = 0 
M2
–6EI/42 
K22 
K12 
K22 = +23EI/40
–(4EI/5)⋅θ2 
0 
0 
12EI/43
D2 = 1 
θ2 = 1/2
–(2EI/5)⋅θ2 
–(3EI/4)⋅θ2 
+(31EI/20)⋅θ2
0 
K12 = –23EI/40
(31EI/20)⋅θ2/2 
ΣFx = 0
–6EI/42 
0 
[kNm]
M
0 
0 
0 –8,8 
–44,0 +52,8 
–27,5
+33,0 
–11,0
–22,0 
K11 
 
2ª Questão 
 
Diagrama de momentos fletores:
VIGA REAL VIGA CONJUGADA
MA = 0 
QA ≠ 0 
MB = 0 
QB ≠ QB diresq 
MC = 0 
QC ≠ 0 
C 
C 
C 
C C 
C
C
MB = 0 ⇒ – (3MB/EI)⋅2 + (216/EI)⋅3 + VC⋅6 = 0 C 
MB = 33 kNm ∴∴∴∴
vA = 0 
θA ≠ 0 
vB = 0 
θB ≠ θB dir esq 
vC = 0 
θC ≠ 0 
MA = 0 ⇒ – (4MB/EI)⋅16/3 – (3MB/EI)⋅10 – θ ⋅8 C 
C 
+ (512/EI)⋅4 + (216/EI)⋅11 + VC⋅14 = 0 
C
θ = –1x10–2 rad 
B 
A 
B
C 
θB – θB =θ = –1x10–2 rad dir esq 
–MB 
+ 96 + 54 
A
B 
C 
MB/EI 
QB – QB =θ dir esq
C C
θ = –1x10–2 rad 
A
B
C 
VC 
C 
3MB/EI
2 
4MB/EI
8/316/3 4
54/EI 96/EI 
3 4 3 4 
512/EI 216/EI
θ 
 
 
 
3ª Questão 
 
Equação de compatibilidade:
011110 =+ Xδδ 
[ ]
tGJEI
13)72(616726
3
13186
3
13726
3
1
10 ⋅⋅−⋅+⋅



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=δ 
EIGJEIGJEI tt
2268
3
12962140412961404
10 −=
⋅
⋅
−−=−−=δ 
[ ]
tGJEI
16663661666
3
12366
3
1211 ⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅











⋅⋅⋅+⋅+





⋅⋅⋅+⋅=δ
EIEIEIGJEI t
432
3
3242216324216
11 +=
⋅
⋅
++=++=δ 
04322268 1 =⋅+−⇒ XEIEI
 kN25,51 +=∴X 
Momentos Fletores Finais: 
110 XMMM ⋅+= 
[kNm]
M 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
Caso (1) – Hiperstático X1 isolado no SP 
[kNm] 
M0 
x X1 
X1 = 1 
SP 
Sistema Principal e 
Hiperestático (g = 1) X1
[kNm] 
T0 
M1 
T1 
0
+6 
48
12
18
72
72
0 0
0
–72
1 
2 
6 
6 
6 
+6 
0 0 
Momentos Torsores Finais:
110 XTTT ⋅+= 
[kNm]
T
18 
40,5 
40,5 
31,5 
31,5 
0
0
+31,5
–40,5
EIGJt ⋅= 2
3
 
12
6 
0
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2004 
Segunda Prova – 02/06/2004 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Empregando-se o Método dos Deslocamentos, obter 
o diagrama de momentos fletores para o quadro ao 
lado (barras inextensíveis). Todas as barras têm a 
mesma inércia à flexão EI = 4x104 kNm2, com exce-
ção da barra vertical inferior que é infinitamente rí-
gida à flexão. 
 
Dica: para pequenos deslocamentos, considereque a 
relação entre ∆ e δ mostrada abaixo é válida. 
∆ 
∆ 
δ = 3∆/4
 
 
 
 
2ª Questão (1,5 pontos) 
Considere a viga abaixo cujas barras têm inércia à flexão EI = 2.4x104 kNm2. O apoio engaste da esquerda 
sofreu uma rotação como recalque, cujo valor foi avaliado em θA = +6x10–3 rad. Utilizando a Analogia da 
Viga Conjugada, determine o diagrama de momentos fletores na viga provocado apenas pelo recalque de 
apoio. 
 
 
A CB
θA = +6x10–3 rad
 
 
 
 
3ª Questão (2,0 pontos) 
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-
gramas de momentos fletores e momentos torçores 
para a grelha ao lado. Todas as barras têm a relação 
indicada entre a rigidez à torção GJt e a rigidez à 
flexão EI. 
 
 
EIGJt ⋅= 2
9
 
 
 
4ª Questão (1,0 ponto) 
Grau vindo do segundo trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
 
1ª Questão 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





++
++
⋅+






+
+
⇒
0
0
64/4316/13
16/132
18
16
2
1
D
D
EI 





−=
+=
⇒
EI
D
EI
D
644.33
668.5
2
1
 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
 
Sistema Hipergeométrico Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH
[kNm]
β20 
β10 
M0 
β20 = +18 kN 
β10 = +16 kNm 
ΣMA = 0 ⇒ –β20⋅4 – 8⋅5 + β10 + (12⋅4)⋅(4÷2) = 0 
ΣFx = 0 
⇑ 
–16 +16 
0 
0 
0 
0 
0 
16÷2 = 8 ⇒ A
+16 
+4EI/4 
2EI/(4⋅2) 
D1 = 1 
0 
0 
M1
+3EI/3 
–2EI/4 
+2EI/4 
K21 
0 
K11 = +2EI 
K21 = +13EI/16 
K11 
ΣFx = 0 
⇑ 
x D1
–K21⋅4 + (2EI/8)⋅5 + K11 = 0 
A ΣMA = 0 
⇓ 
 
2EI/(4⋅2) M2 
K22
K12
K22 = +43EI/64
0 
D2 = 1 
θ2 = 3/8
0 
K12 = +13EI/16
+3EI/4 
0 
x D2D2 = 1
∆2 = 3/4
0 
(6EI/42)⋅D2 + (4EI/4)⋅θ2 
(6EI/42)⋅D2 + (2EI/4)⋅θ2 
+9EI/16
–3EI/4
3EI/(4⋅2) 
3EI/(4⋅2)
ΣFx = 0 
⇓ 
A 
+(3EI/32)⋅∆2
+EI/4
θ2 = ∆2/2
ΣMA = 0 ⇒ –K22⋅4 + (3EI/8)⋅5 + K12 = 0 
[kNm]
M
0 
+38.4 
–2.7 0 
0 
0 
+2.7 –38.4 
1 
2
SH
B 
A
C
D 
0 
D2 
D2 
∆2 = 3D2/4∆2 = 3D2/4 
 
 
1ª Questão (outra opção para Sistema Hipergeométrico) 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





+−
−+
⋅+






−
+
⇒
0
0
36/4312/13
12/132
24
16
2
1
D
D
EI 





+=
+=
⇒
EI
D
EI
D
236.25
668.5
2
1
 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
Sistema Hipergeométrico Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH
[kNm]
β20 
β10 
M0 
β20 = –24 kN β10 = +16 kNm 
ΣMC = 0 ⇒ –HD⋅3 – HA⋅2 + β10 + (12⋅4)⋅(4÷2) = 0 
ΣFx = 0 
⇓ 
–16 +16 
0 
0 
0 
0 
0 
16÷2 = 8 ⇒ 
+16 
+4EI/4 
2EI/(4⋅2) 
D1 = 1 
0 
0 
M1
+3EI/3 
–2EI/4 
+2EI/4 
K21 0 
K11 = +2EI K11 
ΣFx = 0 ⇒ 
x D1
ΣMC = 0 ⇒ –HD⋅3 + HA⋅2 + K11 = 0 
C 
 
5EI/6 
M2 
K22
K12
K22 = +43EI/36
0 
0 
K12 = –13EI/12
0 
x D2
D2 = 1
∆2 = 4/3
0 
–(6EI/42)⋅∆2 – (4EI/4)⋅θ2 
–(6EI/42)⋅∆2 – (2EI/4)⋅θ2
–3EI/4 
EI/2
25EI/36
C 
–3EI/32 +EI
θ2 = 1/2 
ΣMC = 0 ⇒ –HD⋅3 – HA⋅2 + K12 = 0 
[kNm]
M
0 
+38.4 
–2.7 0 
0 
0 
+2.7 –38.4 
ΣFy = 0 
⇑ 
1 
2 
SH
B 
C
D 
A
HD =
HA =
0 
0 
HD = 
0 
0 
HA = 1 
1 1 
1 
K21 = –13EI/12
D2 D2
∆2 = 4D2/3 
∆2 = 4D2/3 
C
∆2 = 4/3 
D2 = 1
HD =2 
2 2 
–EI 
HA = 2 
ΣFx = 0 ⇒
0 
 
2ª Questão 
Diagrama de momentos fletores: 
VIGA REAL VIGA CONJUGADA 
MA = 0 
QA ≠ 0 
MB = 0 
QB = QB dir esq 
MC = 0 
QC ≠ 0 
C
C
C
C C 
C 
C 
MB = 0 ⇒ + θA⋅8 – (4MA/EI)⋅16/3 + (4MB/EI)⋅8/3 = 0 C 
vA = 0 
θA ≠ 0 
vB = 0 
θB = θB dir esq
vC = 0 
θC ≠ 0 
MC = 0 ⇒ + θA⋅14 – (4MA/EI)⋅34/3 + (4MB/EI)⋅26/3 + (3MB/EI)⋅4 = 0 C 
θA = +6x10–3 rad 
A B 
C
A
B C 
MB/EI θA = +6x10–3 rad 
A
B
C 
4MA/EI
–MA 
– 
+ 
+MB 
MA/EI
θA = +6x10–3 rad MB/EI 
MA/EI
8/3 16/3
2 8/316/3 4 
3MB/EI 4MB/EI
x
M(x) 
6 
MA 
MB = 18 kNm 
MA = 63 kNm ∴∴∴∴ 
EI = 2.4x104 kNm2 
 
 
3ª Questão 
 
Equação de compatibilidade:
011110 =+ Xδδ 
[ ]
tGJEI
16)144()9(1
62883
3
162883
6
16363
3
1
6369
3
161449
3
161443
6
1
10 ⋅⋅−⋅++⋅












⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
=δ 
EIEIEIGJEI t
4752
9
77762302477763024
10 −=
⋅
⋅
−−=−−=δ 
tGJEI
1
6)9()9(
6)3()3(3)3()3(1
699
3
1639
6
12
633
3
1333
3
14
11 ⋅





⋅+⋅++
⋅+⋅++⋅−⋅−
+⋅












⋅⋅⋅+





⋅⋅⋅+⋅+
⋅⋅⋅+





⋅⋅⋅+⋅
=δ
EIEIEIGJEI t
396
9
5672270567270
11 +=
⋅
⋅
++=++=δ 
03964752 1 =⋅+−⇒ XEIEI
 kN121 +=∴X 
Momentos Fletores Finais: 
110 XMMM ⋅+= 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
Caso (1) – Hiperstático X1 isolado no SP 
x X1 
Sistema Principal e 
Hiperestático (g = 1) 
Momentos Torsores Finais:
110 XTTT ⋅+= 
SP 
X1
M1 
9 
3 3 
3 
3 
3 
X1 = 1 
0 –3 
+3 
T1 +9 
X1 = 1 
[kNm] 
M 
36 
36 36 
36 
252 
0 
–36 [kNm]
T
–36 
+36 
0 
–144 
0 
[kNm] 
M0 
[kNm] 
T0 
0 
0 
0 
EIGJt ⋅= 2
9
 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2004 
Segunda Prova – 08/11/2004 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Empregando-se o Método dos Deslocamentos, obter 
o diagrama de momentos fletores para o quadro ao 
lado (barras inextensíveis). Todas as barras têm a 
mesma inércia à flexão EI = 3x104 kNm2, com exce-
ção da barra horizontal superior que é infinitamente 
rígida à flexão. 
 
 
 
2ª Questão (1,5 pontos) 
Considere a viga abaixo cujas barras têm inércia à flexão EI = 2.4x104 kNm2. Utilizando a Analogia da Viga 
Conjugada, determine o diagrama de momentos fletores na viga provocado pela carga indicada. 
 
 
A C
B
D
 
 
 
 
3ª Questão (2,0 pontos) 
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-
gramas de momentos fletores e momentos torçores 
para a grelha ao lado. Todas as barras têm a relação 
indicada entre a rigidez à torção GJt e a rigidez à 
flexão EI. 
 
 
EIGJt ⋅= 2
5
 
 
 
4ª Questão (1,0 ponto) 
Grau vindo do segundo trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
 
 
 
 
Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: 







−
−
=
−
−
=
⇒






=












+






bcad
afce
D
bcad
debf
D
D
D
dc
ba
f
e
2
1
2
1
0
0
 
 
1ª Questão 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





++
++
⋅+






+
−
⇒
0
0
6/148/5
48/512/17
76
24
2
1
D
D
EI 





−=
+=
⇒
EI
D
EI
D
06.489
90.52
2
1
 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada noSH 
Sistema Hipergeométrico Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH
 
2
1
SH 
β20 = +76 kN 
β10 = –24 kNm –24 +24 
0 0 
0 
0 
0 
0 
0 0 
[kNm]
M0
2EI/6 
2EI/(6⋅4) 
2EI/(6⋅4) 
K21 = + 3EI/42 – 2EI/(6⋅4) 
K11 = + 4EI/6 + 3EI/4
M1 x D1
D1 = 1 +4EI/6 
+3EI/4 
–2EI/6 
+2EI/6 
0 
0 
0 
0 0 0 
K21 = +5EI/48
K11 = +17EI/12
M2
D2 = 1
θ2 = 1/4 
7EI/(6⋅4⋅4) 
+3EI/42 
D2 = 1
–(4EI/6)⋅θ2 
–(3EI/6)⋅θ2
+(4EI/6)⋅θ2 
+(3EI/6)⋅θ2
–(2EI/6)⋅θ2 
(3EI/6)⋅θ2 
(4EI/6)⋅θ2 7EI/(6⋅4⋅4) 
–3EI/42
K12 = + 3EI/42
 – 2EI/(6⋅4)
K12 = +5EI/48
7EI/(6⋅4⋅4)
+ 3EI/43 
3EI/43
K22 = + 7EI/(6⋅4⋅4) +3EI/43 + 3EI/43 
0 
x D2
0 0 
K22 = +EI/6 
3EI/42 
–2EI/(6⋅4) 
–76.0 
0 
+115.7 
[kNm]
M
0 0 
+76.0 
–61.1 –99.1 
+61.1 
+99.1 
 
2ª Questão 
Diagrama de momentos fletores: 
VIGA REAL VIGA CONJUGADA 
MA = 0 
QA ≠ 0 
MC = 0 
QC = QC dir esq
MD = 0 
QD = 0 
C
C
C
C C 
C 
C 
MC = 0 ⇒ – (4MC/EI)⋅8/3 + (4MD/EI)⋅16/3 = 0 C 
vA = 0 
θA ≠ 0 
vC = 0 
θC = θC dir esq
vD = 0 
θD = 0 
MA = 0 ⇒ + (1800/EI)⋅6 – (6MC/EI)⋅8 – (4MC/EI)⋅44/3 + (4MD/EI)⋅52/3 = 0 
C 
MC⋅6/EI MC/EI 
MD/EI 
1800/EI 
MD = 75 kNm 
MC = 150 kNm ∴∴∴∴ 
A 
B 
C
MD
D
–MC 
– 
+ 
+MB 
x
M(x) 
+MD
300 
MB = – MC/2 + 300 
MD/EI 
MC/EI 
MB/EI 
A
C
C
A
MC⋅4/EI 
MD⋅4/EI 
8 
8/3 16/3 
4 8/3 16/3 
6 6 
MB = 225 kNm 
300/EI 
 
 
3ª Questão 
 
Equação de compatibilidade: 
011110 =+ Xδδ 
tGJEI
1
35043
31443
3723
1
67203
3
161443
6
1
67203
6
161443
3
1
6723
3
165043
3
16723
6
1
6723
3
165043
6
16723
3
1
31443
3
13183
3
13723
3
1
10 ⋅










⋅⋅−
⋅⋅−
⋅⋅−
+⋅




























⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−
=δ 
EIEIEIGJEI t
8.9838
5
1231224914123124914
10 −=
⋅
⋅
−−=−−=δ 
tGJEI
1
6)3()3(
6)3()3(3)3()3(1333
3
1611 ⋅





⋅−⋅−+
⋅−⋅−+⋅−⋅−
+⋅











⋅⋅⋅+⋅=δ
EIEIEIGJEI t
108
5
13525413554
11 +=
⋅
⋅
++=++=δ 
01088.9838 1 =⋅+−⇒ XEIEI
 kN1.911 +=∴X 
Momentos Fletores Finais: 
110 XMMM ⋅+= 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
Caso (1) – Hiperstático X1 isolado no SP 
x X1 
Sistema Principal e 
Hiperestático (g = 1) 
Momentos Torsores Finais: 
110 XTTT ⋅+= 
EIGJt ⋅= 2
5
 
SP 
X1 
[kNm] 
M0 
+144 
[kNm] T0
0 +504 +72 
M1 
X1 = 1 
T1 
X1 = 1 
[kNm] 
M 
[kNm] T
0 +230.7–201.3 
–129.3 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2005 
Segunda Prova – 25/05/2005 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Empregando-se o Método dos Deslocamentos, obter 
o diagrama de momentos fletores para o quadro ao 
lado (barras inextensíveis). Todas as barras têm a 
mesma inércia à flexão EI = 2.4x104 kNm2, com exce-
ção da barra vertical que é infinitamente rígida à 
flexão. 
 
 
 
 
2ª Questão (1,5 pontos) 
Utilizando a Analogia da Viga Conjugada, calcule as reações de apoio MA, VA e VB que aparecem na viga 
abaixo quando esta é submetida a um movimento vertical de apoio ∆A, de baixo para cima. A seção trans-
versal da primeira metade da viga tem um momento de inércia igual a 2I e a seção transversal da segunda 
metade tem um momento de inércia igual a I. O módulo de elasticidade E é constante para toda a viga. As 
reações devem ser calculadas em função dos parâmetros apresentados e os seus sentidos corretos devem ser 
indicados. 
 
 
A B
L
L/2 L/2
∆A 2I I
 
 
 
 
3ª Questão (2,0 pontos) 
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-
gramas de momentos fletores e momentos torçores 
para a grelha ao lado. Todas as barras têm a relação 
indicada entre a rigidez à torção GJt e a rigidez à 
flexão EI. 
 
 
EIGJt = 
 
 
4ª Questão (1,0 ponto) 
Grau vindo do segundo trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
 
 
 
 
Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: 







−
−
=
−
−
=
⇒






=












+






bcad
afce
D
bcad
debf
D
D
D
dc
ba
f
e
2
1
2
1
0
0
 
 
1ª Questão 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





++
++
⋅+






+
−
⇒
0
0
12/16/1
6/115/22
5.67
9
2
1
D
D
EI 





−=
+=
⇒
EI
D
EI
D
12.1064
06.127
2
1
 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
Sistema Hipergeométrico 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
 
2 
1 
SH 
β20 = +67.5 kN
β10 = –9 kNm 
–27 +27 
0 0 
[kNm] 
M0 0 
0 0 
0 
0 
0 
+18 –18 
ΣFy = 0 ⇒ β20 +6⋅18 – 22.5 – 18.0 = 0 
⇑ β10 = – 27 + 18 = –9 
⇑ 
ΣFy = 0 ⇒ K21 – 6EI/62 = 0 
K11 = + 3EI/10 + 3EI/6 + 4EI/6
M1 
D1 = 1 
+4EI/6 
0 
K21 = +EI/6 
K11 = +22EI/15 
0 
0 
0 
0 0 +2EI/6 
2EI/6
+3EI/10 0 
0 
+3EI/6
6EI/62
x D1
M2 
D2 = 1 +6EI/62 
K12 = +EI/6 
12EI/63
ΣFy = 0 ⇒ K22 = +3EI/63 +3EI/63 + 12EI/63 
K22 = +EI/12
0 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
+6EI/62 
6EI/62
+3EI/62
–3EI/62
–3EI/62
K12 = + 6EI/66 
3EI/63
3EI/63
x D2
3EI/62
0 
0 0 
[kNm]
M–88.7 
+115.7
0 +88.7 
0 
–74.6 
+38.1 
+36.5 
–153.0
 
2ª Questão 
 
Diagrama de momentos fletores: 
VIGA REAL VIGA CONJUGADA 
MA = ∆A
QA = 0 
MB = 0 
QB ≠ 0 
C 
C
C
C vA = ∆A 
θA = 0 
vB = 0 
θB ≠ 0 
∴∴∴∴
L 
∆A 
MA 
VA VB 
–MA 
– 
x 
M(x) 
L/2 L/2 
∆A 
MA/2EI MA/2EI 
A
B 
∆A 
MA/2EI MA/4EI 
A
B 
∑MB = 0 ⇒ 0
3443
2
22
=−⋅⋅+⋅⋅ A
AA LL
EI
MLL
EI
M ∆ C 
AA L
EIM ∆⋅⋅= 23
16 
∑MA = 0; ∑Fy = 0 ⇒ LMV
LMV
AB
AA
/
/
−=
+=
 
AA L
EIV ∆⋅⋅+= 33
16
AB L
EIV ∆⋅⋅−= 33
16 
 
 
3ª Questão 
 
Equação de compatibilidade: 
011110 =+ Xδδ [ ] EIGJEI t
1584016120661206161206
3
16120661206
3
1
10 −=⋅⋅⋅−⋅⋅−+⋅



⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−=δ 
[ ]
EIGJEI t
115216)6()6(31666
3
1411 +=⋅⋅−⋅−⋅+⋅











⋅⋅⋅+⋅=δ 0115215840 1 =⋅+−⇒ XEIEI
 kN75.131 +=∴X 
Momentos Fletores Finais: 110 XMMM ⋅+= 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
Sistema Principal e Hiperestático (g = 1) 
Momentos Torsores Finais: 110 XTTT ⋅+= 
EIGJt = 
SP
X1
[kNm]M0
0 
0 
120 
120 
120 
120 
+120 
[kNm] T0 
0 0 0 
+120 
x X1
–6 T1 
0 0 
–6 
X1 = 1 1 
1 1 
M16 
6 
6 
6 6 
–6 
[kNm] M 
37.5 
37.5 
82.5 
37.5 
82.5 
37.5 
[kNm]T
+37.5
0 0 
+37.5
–82.5
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2006 
Segunda Prova – 07/06/2006 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Empregando-se o Método dos Deslocamentos, obter 
o diagrama de momentos fletores para o quadro ao 
lado (barras inextensíveis). Todas as barras têm a 
mesma inércia à flexão EI = 3.0x104 kNm2, com exce-
ção da barra vertical da direita que é infinitamente 
rígida à flexão. 
 
 
 
2ª Questão (1,5pontos) 
Considere a viga abaixo cujas barras têm inércia à flexão EI = 3.0x104 kNm2. Utilizando a Analogia da Viga 
Conjugada, determine o diagrama de momentos fletores na viga provocado por um recalque vertical 
ρ = 4 cm, de cima para baixo, do engaste C na direita. 
 
 A B C 
ρ =
 
 
 
 
 
3ª Questão (2,0 pontos) 
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-
gramas de momentos fletores e momentos torçores 
para a grelha ao lado. Todas as barras têm a relação 
indicada entre a rigidez à torção GJt e a rigidez à 
flexão EI. 
 
 
 
EIGJt 3
2= 
 
 
 
4ª Questão (1,0 ponto) 
Grau vindo do segundo trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
 
 
 
Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: 



−
−=
−
−=
⇒



=





+




bcad
afce
D
bcad
debf
D
D
D
dc
ba
f
e
2
1
2
1
0
0
 
 
1ª Questão 
 
Equações de equilíbrio: 


=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 


=



⋅


++
++⋅+




+
+⇒
0
0
6/148/5
48/512/17
5.22
36
2
1
D
D
EI 



−=
−=
⇒
EI
D
EI
D
86.124
231.16
2
1
 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
 
Sistema Hipergeométrico 
2 
1 
SH 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
β20 = +22.5 kN 
β10 = +36 kNm 
–36 
0 
[kNm] 
M0 
0 
–54 
0 
0 
0 
+36 
+54 
+36 
36 
54 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
M1 
D1 = 1 
0 
K21 = +5EI/48 
K11 = +17EI/12 
0 
0 
+3EI/4 
x D1 
+4EI/6 
+2EI/6 
–2EI/6 2EI/6 
2EI/(6⋅4) 
2EI/(6⋅4) 
0 
0 
K21 = +3EI/42 – 2EI/(6⋅4) 
Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
M2 
D2 = 1 
0 
0 0 
–3EI/42 3EI/43 
x D2 θ2 = 1/4 
+3EI/42 
–(3EI/6)⋅θ2 
+(3EI/6)⋅θ2 
–(4EI/6)⋅θ2 
–(2EI/6)⋅θ2 +(4EI/6)⋅θ2 
3EI/42 
K22 = +EI/6 
K22 = +3EI/43 + 3EI/43 + (7EI/6⋅4)⋅θ2 
K12 = +5EI/48 
K12 = +3EI/42 – (2EI/6)⋅θ2 
(3EI/6)⋅θ2 
(4EI/6)⋅θ2 
(7EI/6⋅4)⋅θ2 
(7EI/6⋅4)⋅θ2 
–20.6 
0 
[kNm] 
M 
–38.40 
0 
+35.6 
+38.4
+20.6 –35.6 
+23.4 
 
2ª Questão 
 
Diagrama de momentos fletores: 
VIGA REAL VIGA CONJUGADA 
MA = 0 
QA ≠ 0 
MB = 0 
QB = QB dir esq 
MC = –ρ 
QC = 0 
C 
C 
C 
C C 
C 
C 
vA = 0 
θA ≠ 0 
vB = 0 
θB = θB dir 
vC = –ρ 
θC = 0 
3MC/EI 
–MB 
+ 
+MC 
x 
M(x) 
A C 
A B C 
ρ =
 
ρ 
MB/EI 
MC/EI 
B 
– 
esq 
ρ 
MB/EI 
MC/EI 
3MB/EI 3MB/2EI 
MB = 0 ⇒ – (3MB/EI)⋅2 + (3MC/EI)⋅4 – ρ = 0 C 
MC = 160 kNm 
∴ MB = 120 kNm 
MA = 0 ⇒ – (3MB/2EI)⋅2 – (3MB/EI)⋅5 + (3MC/EI)⋅7 – ρ = 0 C 
EI = 3.0x104 kNm2 
A C 
B 
 
 
3ª Questão 
 
Equação de compatibilidade: 
011110 =+ Xδδ [ ]
tGJEI
14)128()4(14324
3
141284
3
141284
3
1
10 ⋅⋅−⋅++⋅

 ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=δ 
 
EIEIEIGJEI t 3
12800
2
20483
3
35842048
3
3584
10 −=⋅−−=−−=δ 
[ ]
tGJEI
14)2()2(4)4()4(1222
3
1422
3
1444
3
1211 ⋅⋅−⋅−+⋅+⋅++⋅

 ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+

 ⋅⋅⋅+⋅=δ
EIEIEIGJEI t 3
512
2
803
3
15280
3
152
11 +=⋅+=+=δ 03
512
3
12800
1 =⋅+−⇒ XEIEI kN251 +=∴X 
Momentos Fletores Finais: 110 XMMM ⋅+= 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
Sistema Principal e Hiperestático (g = 1) 
Momentos Torsores Finais: 110 XTTT ⋅+= 
EIGJt 3
2= 
SP 
X1 
0 
0 
[kNm] M0 
32 128 
128 
[kNm] T0 
0 
0 
0 
–128 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
x X1 
X1 = 1 
3/2 
1 3/2 
M1 
2 2 
4 
4 
T1 
–2
0 
0 
+4
[kNm] M 
32 
28 28 
50 50 
[kNm] T 
–50 
0 
0 
–28 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2006 
Segunda Prova – 01/11/2006 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Empregando-se o Método dos Deslocamentos, obter 
o diagrama de momentos fletores para o quadro ao 
lado (barras inextensíveis). Todas as barras têm a 
mesma inércia à flexão EI = 1,2x104 kNm2, com exce-
ção da barra horizontal superior na direita que é in-
finitamente rígida à flexão. 
 
 
 
2ª Questão (1,5 pontos) 
Considere a viga abaixo cujas barras têm inércia à flexão EI = 3.0x104 kNm2. Utilizando a Analogia da Viga 
Conjugada, determine o diagrama de momentos fletores na viga provocado por um recalque rotacional 
ρ = 0.004 rad, no sentido anti-horário, do engaste C na direita. 
 
 A B C 
ρ = 
 
 
 
 
3ª Questão (2,0 pontos) 
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-
gramas de momentos fletores e momentos torçores 
para a grelha ao lado. Todas as barras têm a relação 
indicada entre a rigidez à torção GJt e a rigidez à 
flexão EI. 
 
 
 
EIGJt 12= 
 
 
 
4ª Questão (1,0 ponto) 
Grau vindo do segundo trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
 
 
 
Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: 







−
−
=
−
−
=
⇒






=












+






bcad
afce
D
bcad
debf
D
D
D
dc
ba
f
e
2
1
2
1
0
0
 
 
1ª Questão 
 
Sistema Hipergeométrico 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





+−
−+
⋅+






+
−
⇒
0
0
96/176/1
6/115/29
83
20
2
1
D
D
EI 





−=
−=
⇒
EI
D
EI
D
44.499
712.32
2
1
 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
[kNm] 
M 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
x D2 M1 
K11 = +29EI/15 
x D1 
0 
0 
0 
+2EI/3 +4EI/3 
0 
K21 
K11 
K21 = –EI/6 
D1 = 1 
–2EI/3 
0 
0 
+3EI/5 
2EI/(3⋅4) 
ΣFy = 0 
M2 
0 
0 
+3EI/42 
K22 
K12 
K22 = +17EI/96 
–(4EI/3)⋅θ2 
0 
0 
3EI/43 
D2 = 1 
θ2 = 1/4 
–(2EI/3)⋅θ2 
–(3EI/4)⋅θ2 
+(25EI/12)⋅θ2 
3EI/42 
0 
K12 = –EI/6 (25EI/12)⋅θ2/4 
ΣFy = 0 
–226.3 0 
0 
0 0 
+93.6 
+132.7 
–93.6 
+51.6 
–19.6 
–32.0 
18 
8 
1 
2 
SH 
β20 
β10 
[kNm] 
M0 
0 
–12 
β20 = + 83 kN 
β10 = – 20 kNm 
0 
0 
+12 
+12 
0 
0 
0 
0 
ΣFy = 0 
0 –32 
 
2ª Questão 
 
Diagrama de momentos fletores: 
VIGA REAL VIGA CONJUGADA 
MA = 0 
QA ≠ 0 
MB = 0 
QB = QB 
dir esq 
MC = 0 
QC = +ρ 
C 
C 
C 
C C 
C 
C vA = 0 
θA ≠ 0 
vB = 0 
θB = θB dir 
vC = 0 
θC = +ρ 
3MC/EI 
–MB 
+ 
+MC 
x 
M(x) 
A 
C A B C 
ρ MB/EI 
MC/EI 
B 
– 
esq 
ρ MB/EI 
MC/EI 
3MB/EI 3MB/2EI 
MB = 0 ⇒ – (3MB/EI)⋅2 + (3MC/EI)⋅4 – ρ⋅6 = 0 C 
MC = 72 kNm 
∴∴∴∴ MB = 24 kNm 
MA = 0 ⇒ – (3MB/2EI)⋅2 – (3MB/EI)⋅5 + (3MC/EI)⋅7 – ρ⋅9 = 0 C 
EI = 3.0x104 kNm2 
A 
C 
B 
ρ = 0.004 rad 
 
 
 
3ª Questão 
 
Equação de compatibilidade: 
011110 =+ Xδδ 
EI
1
3363
3
1
3183
3
1
3363
3
1
3363
3
1
10 ⋅



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+=δ 
 [ ]
EIGJEIGJ tt
16201621
3)36)(3(3)36()3( +=++=⋅⋅+−+⋅+⋅++ 
[ ]
tGJEI
1
3)3()3(3)3()3(
1
333
3
1
411 ⋅⋅−⋅−+⋅+⋅++⋅











⋅⋅⋅+⋅=δ 
EIEIEIGJEI t 2
81
12
54365436
11 +=++=++=δ 
0
2
81162
1 =⋅+⇒X
EIEI
 kN41 −=∴X 
Momentos Fletores Finais: 
110 XMMM ⋅+= 
[kNm] 
M 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
Caso (1) – Hiperstático X1 isolado no SP 
x X1 
SP 
Sistema Principal e 
Hiperestático (g = 1) 
X1 [kNm] 
T0 
0 
0 
0 
+36 
+36 
X1 = 1 
M1 
1 
2 
3 
3 
3 
0 
T1 
–3 
+3 
0 
0 
0 
Momentos Torsores Finais: 
110 XTTT ⋅+= 
[kNm] 
T 
18 48 36 
12 
24 24 
[kNm] 
M0 
18 36 36 
36 36 
0 
0 0 
+24 
+48 
EIGJt 12= 
12 
12 
24 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2007 
Segunda Prova – 30/05/2007 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Empregando-se o Método dos Deslocamentos, obter 
o diagrama de momentos fletores para o quadro ao 
lado (barras inextensíveis). Todas as barras têm a 
mesma inércia à flexão EI = 1.2x104 kNm2, com exce-
ção da barra vertical inferior na esquerda que é infi-
nitamente rígida à flexão. 
 
 
 
2ª Questão (1,5 pontos) 
Considere a viga abaixo com rigidez à flexão EI constante. Utilizando a Analogia da Viga Conjugada, de-
termine as reações de apoio na viga provocadas por um recalque rotacional θ, no sentido anti-horário, do 
engaste A na esquerda. 
 
 
A B 
l 
θ 
 
 
 
 
3ª Questão (2,0 pontos) 
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-
gramas de momentos fletores e momentos torçores 
para a grelha ao lado. Todas as barras têm a relação 
indicada entre a rigidez à torção GJt e a rigidez à 
flexão EI. 
 
 
 
EIGJt 6=
 
 
 
4ª Questão (1,0 ponto) 
Grau vindo do segundo trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
 
 
 
Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: 







−
−
=
−
−
=
⇒






=












+






bcad
afce
D
bcad
debf
D
D
D
dc
ba
f
e
2
1
2
1
0
0
 
1ª Questão 
 Sistema Hipergeométrico 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





+−
−+
⋅+






+
+
⇒
0
0
96/176/1
6/115/29
48
50
2
1
D
D
EI 





−=
−=
⇒
EI
D
EI
D
48.321
576.53
2
1
 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
[kNm] 
M 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
1 
2 
SH 
[kNm] 
M0 
β20 = + 48 kN 
β10 = + 50 kNm 
0 
0 
+50 0 
0 
0 
ΣFx = 0 0 
0 
0 
0 
x D2 
M2 
0 
0 
+3EI/42 
K22 
K12 
K22 = +17EI/96 
0 
0 
3EI/43 
D2 = 1 
θ2 = 1/4 
–(2EI/3)⋅θ2 
–(4EI/3)⋅θ2 
+(25EI/12)⋅θ2 
3EI/42 
0 
K12 = –EI/6 
(25EI/12)⋅θ2/4 
ΣFx = 0 
K11 = +29EI/15 
x D1 
0 
0 
0 
+2EI/3 
+4EI/3 
0 K21 
K11 
K21 = –EI/6 
D1 = 1 
–2EI/3 
0 
0 
+3EI/5 
ΣFx = 0 
2EI/3 
2EI/(3⋅4) 2EI/(3⋅4) 
M1 
–(3EI/4)⋅θ2 
(25EI/12)⋅θ2 
(25EI/12)⋅θ2/4 
–131.7 0 0 
0 
+60.3 
+71.4 
–60.3 
+17.9 
–17.9 
0 
2ª Questão 
 
Diagrama de momentos fletores: 
VIGA REAL VIGA CONJUGADA 
MA = 0 
QA = +θ 
MB = 0 
QB = 0 
C 
C 
C 
C 
vA = 0 
θA = +θ 
vB = 0 
θB = 0 
–MA 
+ +MB 
x 
M(x) 
A 
θ 
MA/EI 
MB/EI 
B 
– 
MAl/2EI 
MA = 0 ⇒ M B = M A/2 
C 
∴∴∴∴ 
∑Fy = 0 ⇒ θ – (MAl/2EI) + (MBl/2EI) = 0 C 
A B 
l 
θ 
2l/3 
2l/3 l/3 
l/3 
MBl/2EI 
θ 
MA 
MB 
VA VB 
A B 
∑MA = 0; ∑Fy = 0 ⇒ 
( )
( ) lMMV
lMMV
BAB
BAA
/
/
+−=
++=
 
θθ
θθ
22
66
24
l
EI
V
l
EI
V
l
EI
M
l
EI
M
BA
BA
−=+=
+=+=
 
 
 
 
3ª Questão 
 
Equação de compatibilidade: 
011110 =+ Xδδ 
[ ]
tGJEI
1
6)120()6(
1
62403
3
1
62403
6
1
61206
3
1
10 ⋅⋅−⋅++⋅



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−=δ ⇒
 
EIEIEI
2880
6
43202160
10 −=−−=δ 
[ ]
tGJEI
1
6)6()6(6)3()3(
1
666
3
1
333
3
1
333
3
1
333
3
1
11 ⋅⋅+⋅++⋅+⋅++⋅



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ ⇒ 
EIEIEI
144
6
27099
11 +=+=δ 0
2
1442880
1 =⋅+−⇒ X
EIEI
 kN201 +=∴X 
Momentos Fletores Finais: 
110 XMMM ⋅+= 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
Caso (1) – Hiperstático X1 isolado no SP 
Sistema Principal e Hiperestático (g = 1) 
Momentos Torsores Finais: 
110 XTTT ⋅+= 
EIGJt 6= 
SP 
X1 
120 
240 
0 
–120 
0 
[kNm] 
M0 
[kNm] 
T0 
x X1 
X1 = 1 
M1 
3 
3 
3 
T1 
+3 
0 
+6 
X1 = 1 
6 
[kNm] 
M 
60 
0 
60 
180 
[kNm] 
T 
+60 
0 
0 
 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2007 
Segunda Prova – 29/10/2007 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Empregando-se o Método dos Deslocamentos, obter 
o diagrama de momentos fletores para o quadro ao 
lado (barras inextensíveis). Todas as barras têm a 
mesma inércia à flexão EI = 2.4x104 kNm2, com exce-
ção da barra horizontal superior que é infinitamente 
rígida à flexão. 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (2,0 pontos) 
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-
gramas de momentos fletores e momentos torçores 
para a grelha ao lado. Todas as barras têm a relação 
indicada entre a rigidez à torção GJt e a rigidez à 
flexão EI. 
 
 
 
EIGJt
3
2
= 
 
 
 
3ª Questão (1,5 ponto) 
Desenhe os aspectos das configurações deformadas (de forma exagerada) e dos diagramas de momentos fle-
tores para cada uma das estruturas abaixo. 
(a) força aplicada 
 
(b) 
 
 
recalque de apoio para baixo 
 
(c) força aplicada 
 (todas as barras 
 são inextensíveis) 
 
(d) 
 força aplicada 
 (todas as barras 
 são inextensíveis) 
(barra infinitamente rígida) 
 
 
4ª Questão (1,0 ponto) 
Grau vindo do segundo trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
 
Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: 







−
−
=
−
−
=
⇒






=












+






bcad
afce
D
bcad
debf
D
D
D
dc
ba
f
e
2
1
2
1
0
0
 
1ª Questão 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅










+
+
⋅+










+
+
⇒
0
0
144
11
0
0
2
3
3
70
52
2
1
D
D
EI 





−=
−=
⇒
EI
D
EI
D
11
3360
3
104
2
1
 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
Sistema Hipergeométrico 
1 
2 
SH 
0 
0 0 
16 60 
(16+60)/6 = 38/3 
–16 
+16 
β20 = + 70/3 kN 
[kNm] 
M0 
β10 = + 52 kNm 
–60 
–36 +36 
+16 +60 
2·(8·6·3/8) – 38/3 = +70/3 
0 
0 
0 0 
0 
0 
K11 = +3EI/2 
x D1 
+2EI/4 
+4EI/4 
K21 = +2EI/(4⋅6) – 3EI/62 
D1 = 1 
–2EI/4 
+3EI/6 
2EI/4 
2EI/(4⋅6) 
M1 
K21 = 0 
0 
0 
0 
x D2 M2 
–3EI/62 
3EI/63 
D2 = 1 
θ2 = 1/6 
+(2EI/4)⋅θ2 
–(4EI/4)⋅θ2 
3EI/62 
K12 = 0 
–(3EI/4)⋅θ2 
+(4EI/4)⋅θ2 
+(3EI/4)⋅θ2 
+3EI/62 
K22 = +11EI/144EI/6 EI/8 
7EI/144 
7EI/144 
K22 = +7EI/144 + 3EI/63 + 3EI/63 
K12 = (2EI/4)⋅θ2 – 3EI/62 
7EI/144 + 3EI/63 
[kNm] 
M 
–61.5 +44.1 
0 
0 0 
–98.2 
+98.2 +84.2 
–84.2 
–44.1 
 
 
 
2ª Questão 
 
Equação de compatibilidade: 
011110 =+ Xδδ [ ]
tGJEI
1
4)80()4(
1
4804
3
1
4804
3
1
10 ⋅⋅−⋅++⋅



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=δ 
 
EIEIEIGJEI t 3
8320
2
12803
3
25601280
3
2560
10 −=
⋅
−−=−−=δ 
[ ]
tGJEI
1
4)2()2(4)4()4(
1
222
3
1
422
3
1
444
3
1
211 ⋅⋅−⋅−+⋅+⋅++⋅





⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+





⋅⋅⋅+⋅=δ
EIEIEIGJEI t 3
512
2
803
3
15280
3
152
11 +=
⋅
+=+=δ 0
3
512
3
8320
1 =⋅+−⇒ X
EIEI
 kN25.161 +=∴X 
Momentos Fletores Finais: 110 XMMM ⋅+= 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
Sistema Principal e Hiperestático (g = 1) 
Momentos Torsores Finais: 110 XTTT ⋅+= 
EIGJt
3
2
= 
SP 
X1 
[kNm] M0 
0 
0 
80 80 
[kNm] T0 
0 
0 
0 
–80 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
x X1 
X1 = 1 
3/2 
1 3/2 
M1 
2 2 
4 
4 
T1 
–2 
0 
0 
+4 
[kNm] M 
15 15 
32.5 32.5 
[kNm] T 
–32.5 
0 
0 
–15 
20 20 
20 
 
 
3ª Questão 
(a) (b) 
 força aplicada 
Configuração Deformada 
Diagrama de momentos fletores 
pontos de inflexão 
 
 
recalque de apoio para baixo 
Configuração Deformada 
ponto de inflexão 
Diagrama de momentos fletores 
 
 
 
(c) 
 
 (todas as barras 
 são inextensíveis) 
Diagrama de momentos fletores 
pontos de inflexão 
 força aplicada Configuração Deformada 
 
 
(d) 
 Diagrama de momentos fletores Configuração Deformada 
 força aplicada 
 (todas as barras 
 são inextensíveis) 
(barra infinitamente rígida) 
pontos de inflexão 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2009 
Segunda Prova – 20/05/2009 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Empregando-se o Método dos Deslocamentos, obter 
o diagrama de momentos fletores para o quadro ao 
lado (barras inextensíveis). Todas as barras têm a 
mesma inércia à flexão EI = 105 kNm2, com exceção 
da barra horizontal superior que é infinitamente rí-
gida à flexão. 
 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (1,5 pontos) 
Considere a viga abaixo com dois vãos. As barras têm inércia à flexão EI = 105 kNm2. Utilizando a Analogia 
da Viga Conjugada, determine o diagrama de momentos fletores na viga provocado pelas forças concentra-
das de 40 kN atuando nos centros dos vãos e pelo recalque vertical ρ = 6 mm, de cima para baixo, do apoio 
simples E na direita. 
 
 
A 
B C D 
E 
ρ = 0.006 m 
EI = 105 kNm2 
 
 
 
 
3ª Questão (2,0 pontos) 
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-
gramas de momentos fletores e momentos torçores 
para a grelha ao lado. Todas as barras têm a relação 
indicada entre a rigidez à torção GJt e a rigidez à 
flexão EI. 
 
 
 
EIGJt 3= 
 
 
 
4ª Questão (1,0 ponto) 
Grau vindo do segundo trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
 
 
 
Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: 







−
−
=
−
−
=
⇒






=












+






bcad
afce
D
bcad
debf
D
D
D
dc
ba
f
e
2
1
2
1
0
0
 
1ª Questão 
 
2ª Questão 
 
Diagrama de momentos fletores: 
VIGA REAL VIGA CONJUGADA 
MA = 0 
QA ≠ 0 
MC = 0 
QC ≠ QC dir esq 
ME = –ρ 
QE ≠ 0 
C 
C 
C 
C C 
C 
C 
MC = 0 ⇒ –(3MC/EI)⋅2 + (180/EI)⋅3 + VE⋅6 – ρ = 0 C 
MC = 70 kNm ∴∴∴∴ 
vA = 0 
θA ≠ 0 
vC = 0 
θC ≠ θC dir 
vE = –ρ 
θE ≠ 0 
ΣMA = 0 ⇒ –(3MC/EI)⋅4 – (3MC/EI)⋅8 + (180/EI)⋅3 C 
C 
+ (180/EI)⋅9 + VE⋅12 – ρ = 0 C 
A 
B C D 
E 
–MC 
+MB +MD 
Configuração deformada (elástica): 
ρ 
MB = MD = 60 – MC/2 
A B 
C 
D 
E 
MC/EI 
A 
B C D 
E 
ρ 
3MC/EI 
180/EI 180/EI 
A 
B C D 
E 
MC/EI 
60/EI 60/EI 
ρ 
ρ 
3MC/EI 
VE 
C VA 
C 
VE 
C VA 
C 
VE 
C 
MB = MD = 25 kNm 
esq 
VA 
C 
VE = +8.0⋅10–4 rad 
C 
ρ = 0.006 m 
EI = 105 kNm2 
 
 
 
3ª Questão 
 
EIGJt 3= 
 
 
 
Sistema Principal (SP) e Hiperestático 
 
 
X1 
 
caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
 
24 kN 
12 kN 12 kN 
M0 
[kNm] 
T0 
[kNm] 
 
 
caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
 
M1 T1 
x X1 
X1 = 1 X1 = 1 
3 
+3 
+3 
0 
0 3 
3 
3 
2 1 2 1 
 
 
Equação de Compatibilidade 
011110 =+ Xδδ 
[ ]
EIEIEIGJEI t
297
3
324189
3)36()3(
1
3363
3
1
393
3
1
3363
3
11
10 −=−−=⋅−⋅+⋅+



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅=δ 
[ ]
EIEIEIGJEI t
54
3
5436
3)3()3(3)3()3(
1
333
3
1
333
3
1
333
3
1
333
3
11
11 +=+=⋅+⋅++⋅+⋅+⋅+



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ 
⇒ X1 = +5.5 kN 
 
Momentos Fletores e Momentos Torçores finais 
110 XMMM += 
 
M 
[kNm] 
5.5 kN 
24 kN 
1 kN 6.5 kN 
110 XTTT += 
 T 
[kNm] 
–19.5 
+16.5 0 
0 
5.5 kN 1 kN 6.5 kN 
24 kN 
 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2003 
Terceira Prova – 03/12/2003 – Duração: 2:30 hs – Sem Consulta 
 
1ª Questão (4,0 pontos) 
O Processo de Cross também pode ser aplicado a estruturas com des-
locabilidades externas, isto é, com translações nodais. Isso é feito a-
plicando-se a metodologia do Método dos Deslocamentos conside-
rando como incógnitas apenas as deslocabilidades externas. Isso re-
sulta em uma série de casos básicos, sendo cada um deles resolvido 
pelo Processo de Cross. Aplique esta metodologia para determinar o 
diagrama de momentos fletores da estrutura ao lado pelo Processo de 
Cross. Conforme indicado abaixo, o caso (0) isola a solicitação externa 
para a estrutura com a deslocabilidade externa impedida e o caso (1) 
considera o efeito isolado da deslocabilidade externa. Todas as barras 
são inextensíveis e têm a mesma inércia à flexão EI = 24000 kNm2. 
Utilize duas casas decimais para os coeficientes de distribuição de 
momentos, precisão de 1 kNm para momentos fletores no caso (0) e 
precisão de 10 kNm/m para momentos fletores no caso (1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caso (0) Caso (1)
10β 11K 
x D1
D1 = 1 
 
 
2ª Questão (1,5 pontos) 
Abaixo estão mostradas as linhas de influência de momentos fletores na seção S5 e na seção S11 de uma ponte. 
Calcule a ordenada da LI MS5 na seção que está indicada. 
 
 
LI MS5 
S5 
valor pedido
LI MS11
S11 
 
 
3ª Questão (3,5 pontos) 
Você está envolvido no projeto de uma estrutura, mas perdeu o desenho do modelo estrutural. Felizmente, vo-
cê encontrou o arquivo de dados de entrada e saída para o programa de computador que foi utilizado para fa-
zer a análise estrutural. Este arquivo está reproduzido na folha seguinte. Os esforços internos nas extremidades 
das barras são fornecidos nos sistemas de eixos locais das barras com a convenção de sinais do Método dos 
Deslocamentos: esforços normais são positivos no sentido do eixo local x e negativos no sentido contrário; 
esforços cortantes são positivos no sentido do eixo local y e negativos no sentido contrário; e momentos fletores 
são positivos quando têm o sentido anti-horário e negativos no sentido contrário. Observe que os valores dos 
esforços internos da barra 2 não puderam ser recuperados do arquivo. 
Pede-se: 
(a) Com base nos valores dos deslocamentos e rotações nodais fornecidose nos coeficientes de rigidez locais 
da barra 2, determine os valores dos esforços internos que estão faltando para essa barra (1,0 ponto). 
(b) Desenhe os diagramas de esforços normais, esforços cortantes e momentos fletores fornecidos pelo mode-
lo estrutural. Esforços normais de tração são positivos e de compressão são negativos. Esforços cortantes 
são positivos quando, entrando com as forças à esquerda de uma seção transversal (de quem olha da fibra 
inferior para a fibra superior, considerando que para barras verticais a fibra inferior é a da direita), a re-
sultante das forcas na direção transversal à barra for para cima. O diagrama de momentos fletores é 
sempre desenhado do lado da fibra tracionada (1,5 pontos). 
(c) Ao verificar os diagramas desenhados no item (b), pode-se constatar que existem três erros nos resultados 
fornecidos pelo programa de computador para os esforços internos. Indique esses três erros (1,0 ponto). 
 
 
 
Dados de Entrada e Resultados do Modelo Computacional
Coordenadas Nodais e Condições de Suporte
Nó X Y Desl.X Desl.Y Rot.Z Mola X Mola Y Mola Z
(m) (m) (kN/m) (kN/m) (kNm/rad)
1 5.0 -8.0 Fixo Fixo Fixo 0.0e+00 0.0e+00 0.0e+00
2 2.0 -4.0 Livre Livre Livre 0.0e+00 0.0e+00 0.0e+00
3 5.0 -4.0 Livre Livre Livre 0.0e+00 0.0e+00 0.0e+00
4 2.0 0.0 Livre Livre Livre 0.0e+00 0.0e+00 0.0e+00
5 0.0 0.0 Fixo Livre Livre 0.0e+00 1.0e+04 1.0e+03
Dados das Barras
Barra Nó Nó Rótula Rótula Mod.Elast. Área Seção Mom.Inércia
inicial final inicial final (kN/m2) (m2) (m4)
1 2 3 Não Não 2.0e+08 0.001 0.00024
2 3 1 Não Sim 2.0e+08 0.001 0.00024
3 4 2 Não Não 2.0e+08 0.001 0.00024
4 4 3 Não Não 2.0e+08 0.001 0.00024
5 5 4 Não Não 2.0e+08 0.001 0.00024
Dados de Carregamentos Uniformente Distribuídos em Barras
Barra Direção Qx (kN/m) Qy (kN/m)
4 Local 0.0 -24.0
Resultados de Deslocamentos e Rotações Nodais
Nó Desloc. X (m) Desloc. Y (m) Rotação Z (rad)
1 0.000e+00 0.000e+00 0.000e+00
2 -4.490e-03 -1.490e-03 -4.956e-04
3 -4.437e-03 -1.649e-03 +6.822e-04
4 -9.216e-04 -1.303e-03 -1.485e-03
5 0.000e+00 +1.045e-03 -1.008e-03
Resultados de Esforços nas Barras (direções locais)
Barra Normal Normal Cortante Cortante Momento Momento
Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final
(kN) (kN) (kN) (kN) (kNm) (kNm)
1 -3.5 +3.5 +9.4 -9.4 -4.8 +32.9
2 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx
3 -9.4 +9.4 -3.5 +3.5 +19.0 +4.8
4 +73.3 -73.3 +64.7 -55.3 +40.9 -17.5
5 +92.2 -92.2 +10.5 -10.5 +1.0 -21.9
 
 
4ª Questão (1,0 pontos) 
Grau vindo do segundo trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
 
1ª Questão 
 Sistema Hipergeométrico
(Processo de Cross) 
1
SH 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
[kNm] 
β10M0 
β10 = –120 – 154/3 + 269/3 = –245/3 kNm 
0,43 
0,
57
 0,5 
0,
5 
0 
–240 +240 
0 
0 
0 
–120 
–120 
–60 
+129 +171 +64 
–32 –32 
+85 
–16 
+7 
+9 
+3 
+4 
–2 
–1 
+154 
–154 
–180 
+180
+89
154 
154/3 120 
154/3
180 
89 
269/3
269/3 
β10 
269/3
0 
K110,43
0,
57
 0,5 
0,
5 
0 
0 0
+8000 
+16000
+16000
–3440 –6880 
–1140 
+240 +490 
–60 –120
–5590
–9120
–2280 
–4560
+650 
+320 
–120 
+30 
+30
+10 
+10
0
–10 
+5590 
–7560 
+7560
+11770
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
–2280
x D1
M1 +3EI/32 
+6EI/32
+6EI/32
K11 = +5590/3 + 19330/3 = +24920/3 kNm/m
5590/3 5590 
5590/3 
7560 
11770 19330/3 
19330/3 
Equação de equilíbrio: 
011110 =+ DKβ ( ) ( ) 03/249203/245 1 =⋅+−⇒ D m1083,9 31 −⋅+=⇒D 
Momentos Fletores Finais: 
110 DMMM ⋅+= 
[kNm]
M
0 
–99 
+99 
+254 
+205 
–254 360 
154/3
ΣFx = 0 
ΣFx = 0 
5590/3 19330/3 
K11
 
 
 
2ª Questão 
 MS11 = – 1,060 
(obtido da LI MS11) 
P = 1
MS5 (valor solicitado) 
VA = MS11 / 10 = – 0,106 
MS5 = VA x 4 = – 0,424 Ordenada solicitada = – 0,424 m
 
 
 
3ª Questão 
 
 
N 
[kN] 
Q 
[kN] 
M
[kNm]
Modelo estrutural 
Item (b) – Diagramas de esforços internos 
Item (a) – Determinação dos esforços internos na barra 2 a partir dos 
 deslocamentos do nó 3 
3
x∆
3
zθ
Qf 
Nf
Mf
3
y∆
Ni
Mi
Qi
Deformada da barra 2 e esforços 
internos com sentidos positivos 
(nas direções dos eixos locais) 
Ni = +(EA/4) 3y∆ = + 82,5 kN 
Nf = –(EA/4) 3y∆ = – 82.,5 kN 
E = 2,0x108 kN/m2
I = 2,4x10-4 m4 
3
y∆ = –1.649x10-3 m
3
x∆ = –4,437x10-3 m
3
zθ = +6,822x10-4 rad
3
x∆ 
(3EI/43) 3x∆ 
(3EI/43) 3x∆ 
Isolando efeito do deslocamento 
horizontal do nó 3 (esforços 
indicados nos sentidos físicos) 
3
zθ
Isolando efeito da rotação 
do nó 3 (esforços indicados 
nos sentidos físicos) 
(3EI/42) 3zθ
(3EI/4) 3zθ
(3EI/42) 3zθ
Qi = –(3EI/43) 3x∆ + (3EI/42) 3zθ = –3,8 kN 
Qf = +(3EI/43) 3x∆ – (3EI/42) 3zθ = +3,8 kN 
Mi = –(3EI/42) 3x∆ + (3EI/4) 3zθ = –15,4 kNm 
Mf = 0
A = 1,0x10-3 m2 
(3EI/42) 3x∆ 
Item (c) – Erros nos diagramas:
 
(c.1) – Como o deslocamento vertical do 
nó 5 é positivo (para cima), a reação 
vertical da mola tem que ter o sentido 
para baixo. O cortante na barra 5 está 
inconsistente com este sentido de reação. 
 
(c.2) – Esforço cortante na barra 4 está 
inconsistente com a carga distribuída e 
com o diagrama de momentos fletores na 
barra. 
 
 (c.3) – Momentos fletores no nó 4 não 
estão equilibrados. 
c.1
c.3
c.2
 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2005 
Terceira Prova – 06/12/2005 – Duração: 2:30 hs – Sem Consulta 
 
 
1ª Questão (3,0 pontos) 
Empregando-se o Processo de Cross, obter o diagrama de momentos fletores para o quadro abaixo. Todas as 
barras são inextensíveis e têm a mesma inércia à flexão EI. Utilize duas casas decimais para os coeficientes de 
distribuição de momentos e uma precisão de 1 kNm (nenhuma casa decimal) para momentos fletores. 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (1,5 pontos) 
Abaixo estão mostradas as linhas de influência de momentos fletores na seção S16 e de esforços cortantes nas 
seções A e D de uma ponte. Calcule a ordenada da LI MS16 na seção que está indicada. 
 
 
LI MS16 
S16 
valor pedido 
LI QA 
A D 
LI QD 
B C 
 
 
 
3ª Questão (2,5 pontos) 
Você está envolvido no projeto de uma estrutura, mas perdeu o desenho do modelo estrutural. Felizmente, 
você encontrou o arquivo de dados de entrada e saída para o programa de computador que foi utilizado para 
fazer a análise estrutural. Este arquivo está reproduzido abaixo. Os esforços internos nas extremidades das 
barras são fornecidos nos sistemas de eixos locais das barras com a convenção de sinais do Método dos Deslo-
camentos: esforços normais são positivos no sentido do eixo local x e negativos no sentido contrário; esforços 
cortantes são positivos no sentido do eixo local y e negativos no sentido contrário; e momentos fletores são 
positivos quando têm o sentido anti-horário e negativos no sentido contrário. 
Pede-se: 
(a) Desenhe o modelo estrutural e a sua configuração deformada (exagerando os valores dos deslocamentos 
e rotações) (1,0 ponto). 
(b) Desenhe os diagramas de esforços normais, esforços cortantes e momentos fletores fornecidos pelo mo-
delo estrutural. Esforços normais de tração são positivos e de compressão são negativos. Esforços cor-
tantes são positivos quando, entrando com as forças à esquerda de uma seção transversal (de quem olha 
da fibra inferior para a fibra superior), a resultante das forcas na direção transversal à barra for para ci-
ma. O diagrama de momentos fletores é sempre desenhado do lado da fibra tracionada (1,5 pontos). 
 
 
 
Dados de Entrada e Resultados do Modelo Computacional 
 
Coordenadas Nodais e Condições de Suporte 
Nó X YDesl.X Desl.Y Rot.Z 
 (m) (m) 
 1 2.0 0.0 Fixo Fixo Livre 
 2 14.0 0.0 Fixo Fixo Fixo 
 3 0.0 6.0 Livre Livre Livre 
 4 2.0 6.0 Livre Livre Livre 
 5 14.0 6.0 Livre Livre Livre 
 6 0.0 12.0 Livre Livre Livre 
 7 2.0 12.0 Livre Livre Livre 
 8 14.0 12.0 Livre Livre Livre 
 9 22.0 12.0 Fixo Fixo Livre 
 
Dados das Barras 
Barra Nó Nó Rótula Rótula Mod.Elast. Área Seção Mom.Inércia 
 inicial final inicial final (kN/m2) (m2) (m4) 
 1 1 4 Não Não 1.2e+08 0.006 0.0006 
 2 2 5 Não Sim 1.2e+08 0.006 0.0006 
 3 3 4 Não Não 1.2e+08 0.006 0.0006 
 4 4 5 Não Não 1.2e+08 0.006 0.0006 
 5 4 7 Não Não 1.2e+08 0.006 0.0006 
 6 5 8 Sim Não 1.2e+08 0.006 0.0006 
 7 5 9 Não Não 1.2e+08 0.006 0.0006 
 8 6 7 Não Não 1.2e+08 0.006 0.0006 
 9 7 8 Não Não 1.2e+08 0.006 0.0006 
10 8 9 Não Não 1.2e+08 0.006 0.0006 
 
Dados de Cargas Nodais 
Nó Fx (kN) Fy (kN) Mz (kNm) 
 3 0.0 -30.0 0.0 
 6 0.0 -30.0 0.0 
 
Dados de Carregamentos Uniformemente Distribuídos em Barras 
Barra Direção Qx (kN/m) Qy (kN/m) 
 2 Local 0.0 -12.0 
 4 Global 0.0 -12.0 
 9 Global 0.0 -12.0 
10 Global 0.0 -12.0 
 
(continua na próxima folha) 
 
Resultados de Deslocamentos e Rotações Nodais 
Nó Desloc. X (m) Desloc. Y (m) Rotação Z (rad) 
 1 +0.000e+00 +0.000e+00 +1.069e-04 
 2 +0.000e+00 +0.000e+00 +0.000e+00 
 3 +1.366e-03 -1.076e-03 -6.346e-05 
 4 +1.366e-03 -1.759e-03 -8.968e-04 
 5 +1.716e-03 -1.786e-03 +3.006e-03 
 6 +6.356e-04 -1.832e-03 -1.136e-04 
 7 +6.356e-04 -2.615e-03 -9.469e-04 
 8 +2.182e-04 -2.831e-03 +1.152e-03 
 9 +0.000e+00 +0.000e+00 +4.586e-04 
 
Resultados de Esforços nas Barras (direções locais) 
Barra Normal Normal Cortante Cortante Momento Momento 
 Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final Nó inicial Nó final 
 (kN) (kN) (kN) (kN) (kNm) (kNm) 
 1 +211.1 -211.1 -4.0 +4.0 0.0 -24.1 
 2 +214.3 -214.3 +46.7 +25.3 +64.3 0.0 
 3 0.0 0.0 -30.0 +30.0 0.0 -60.0 
 4 -21.0 +21.0 +78.3 +65.7 +158.6 -82.5 
 5 +102.7 -102.7 -25.0 +25.0 -74.5 -75.7 
 6 +125.4 -125.4 +5.4 -5.4 0.0 +32.5 
 7 +21.7 -21.7 +12.8 -12.8 +82.5 +45.9 
 8 0.0 0.0 -30.0 +30.0 0.0 -60.0 
 9 +25.0 -25.0 +72.7 +71.3 +135.7 -127.1 
10 +19.6 -19.6 +54.1 +41.9 +94.6 -45.9 
 
 
 
 
 
 
4ª Questão (2,0 pontos) 
Utilizando a Analogia da Viga Conjugada, determine os valores e 
sentidos dos momentos MA, MB e das forcas VA e VB para impor à 
barra ao lado uma configuração deformada tal que a extremidade 
da esquerda da barra sofre uma rotação ρ no sentido anti-horário. 
A barra tem uma inércia à flexão EI constante. As forças e momen-
tos estão indicados com seus sentidos positivos. O sinal negativo 
de um valor encontrado indica que o sentido é contrário ao que 
está desenhado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
MB A B 
l 
VB 
MA 
VA 
θA = ρ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5ª Questão (1,0 ponto) 
Grau vindo do terceiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
1ª Questão 
 
 
 
 
 
2ª Questão 
 
MB = VA x 20 – 1 x 12 = – 1.560
MB 
P = 1 
(obtido da LI QA = LI VA) 
VA = 0.5220 
MS16 = (MB + MC)/2 ⇒ Ordenada solicitada = – 0.507 m
VD = 0.0455 
MS16 
(valor solicitado) 
MC 
MC = VD x 12 = + 0.546 
(obtido da LI QD = –LI VD) 
 
3ª Questão 
Item (a) 
 
 
 
Configuração deformada 
 
 
 
 
Diagrama de Esforços Normais 
 
 
 
 
N 
[kN] 
 
 
Diagrama de Esforços Cortantes 
 
Q 
[kN] 
 
 
Diagrama de Momentos Fletores 
 
M 
[kNm] 
 
 
 
4ª Questão 
 
 
Diagrama de momentos fletores: 
VIGA REAL VIGA CONJUGADA 
MB 
x 
M(x) 
–MA 
+MB 
– 
+ 
MB/EI 
MA/EI 
MB = 0 
QB = 0 
MA = 0 
QA = +ρ 
C 
C 
C 
C 
A B 
vB = 0 
θB = 0 
vA = 0 
θA = +ρ 
ρ 
l 
VB 
MA 
VA 
θA = ρ 
l 
qc(x) = M(x)/EI 
MB/EI 
MA/EI 
MA = 0 ⇒ MB = MA/2 C 
MA = (4EI/l)·ρ 
MAl/2EI 
ΣFy = 0 ⇒ C 
ρ 
MBl/2EI 
l 
2l/3 
l/3 
MB = (2EI/l)·ρ ΣM = 0 ⇒ VA = –VB = (MA+MB)/l 
ΣFy = 0 ⇒ VB = –VA 
VA = –VB = (6EI/l2)·ρ 
 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2002 
Prova Final – 04/12/2002 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
 
 
1ª Questão (4,5 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas as 
barras têm a mesma inércia à flexão EI = 1,0 x 105 kNm2. 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (4,0 pontos) 
Pelo Método dos Deslocamentos, obter o diagrama de 
momentos fletores para o quadro ao lado (barras 
inextensíveis). Todas as barras têm a mesma inércia à 
flexão EI = 7,2x104 kNm2, com exceção da barra 
vertical da direita que é infinitamente rígida à flexão. 
 
 
 
 
 
3ª Questão (1,5 pontos) 
Considere o quadro ao lado onde a força P é aplicada 
lentamente. A viga horizontal é infinitamente rígida e 
as barras verticais (colunas) extensíveis têm seção 
transversal com área A = 1,0 x 10-3 m2 e momento de 
inércia I = 1,0 x 10-4 m4. O módulo de elasticidade é E 
= 2,4 x 107 kN/m2, constante para toda a estrutura. 
Desenhe um gráfico relacionando a força aplicada P e o 
deslocamento vertical, ∆, do seu ponto de aplicação. O 
gráfico Px∆ deve corresponder a valores para ∆, no 
eixo horizontal, entre 0,000 m e 0,004 m. Indique o 
valor de P para ∆ igual a 0,004 m. 
 
 
P 
 
 
 
 
 
1ª Questão 
 
 Sistema Principal e Hiperestáticos
(g = 2) 
X1 X1 X2 X2 
 
 Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
M0 
 
 
 
 
X1 = 1 
X1 = 1 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
M1 . X1 
1/3 1/3 
1/3 
1/3 
 
X2 = 1
Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP 
M2 . X2 
X2 = 1
1/61/6
1/6
1/6
1/61/6
1/3
1/3
1/3 1/3
 
 
 
Equações de Compatibilidade 



−=
+=
⇒






=












+






kNmX
kNmX
X
X
8.43
6.14
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
δδ
δδ
δ
δ
 
EIEI
2703181
3
16721
2
13721
3
11
10 −=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅=δ 
EIEI
270
3181
3
16721
3
13721
3
1
31805.0
3
131805.0
3
1
3365.0
3
13365.0
3
1
1
20 +=


















⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
⋅=δ 
EIEI
8311
3
1611311
3
11
11 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ 
EIEI 2
7311
6
1611
2
1311
3
11
2112 −=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅== δδ 
EIEI
5611
3
1311
3
1235.05.0
3
14122 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=δ 
 MomentosFletores Finais 
M
M = M0 + M1·X1 + M2·X2 
[kNm]
 
 
 
 
 
2ª Questão 
 
Sistema Hipergeométrico (SH) 
 
1 
2 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
 
 
β20 = + 6 kN 
β10 = + 4 kNm 
[kNm]
–36 
M0
(36÷6=6) 
(ΣFx=0) 
+36 
0 
⇑ 
+36 –32 
0 
0 
 
 
 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
 
 
M1 
(ΣFx=0) 
⇑ 
0 
K21 = +EI/4K11 = +2EI 
+4EI 
4 
2EI 
4·6 
+2EI 
4
D1 = 1 
3EI 
32 
0 
0 +3EI 
3 
x D1
–2EI
4
 
Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
 
M2
(ΣFx=0)
⇑ 
0 
K12 = +EI/4
K22 = +5EI/36
D2 = 1 
+3EI
32
0 
0 
x D2
θ2 = 1/6 
+4EI 
4 
θ2 
–2EI
4
θ2 –4EI 4 
θ2 
3EI
33
4EI
4·6
θ2 
 
 
 
Sistema de Equações de Equilíbrio 
 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





++
++
⋅+






+
+
0
0
36/54/1
4/12
6
4
2
1
D
D
EI 





⋅−=−=
⋅+=+=
⇒
−
−
m
EI
D
rad
EI
D
4
2
5
1
10097.7097.51
10093.6387.4
 
Momentos Fletores finais 
 
22110 DMDMMM ++= 
[kNm]
+44.6
M
–32.0 
+25.3–12.6 
–25.3 
0 
0 
 
 
 
 
3ª Questão 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
 
 P β10 = –P 
 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
 
 
K11 = 3⋅EA/3 
D1 = 1 
x D1
 
 
 
 Equação de Equilíbrio 
 
EA
P∆∆EAP
DK
=⇒=⋅+−
=+
0
3
3
011110β
 
31024 ⋅
=∴
P∆ 
P
∆ 
[kN]
[m] 
96
0,004 
1 
24·103 
 
 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2003 
Prova Final – 15/12/2003 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
 
 
1ª Questão (4,5 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de momentos 
fletores do quadro hiperestático ao lado. Somente considere 
deformações por flexão. Todas as barras têm a mesma inér-
cia à flexão EI = 9,6 x 104 kNm2. 
 
 
 
 
 
2ª Questão (4,5 pontos) 
Pelo Método dos Deslocamentos, obter o diagrama de mo-
mentos fletores para o quadro ao lado (barras inextensíveis). 
Todas as barras têm a mesma inércia à flexão EI = 9,6x104 
kNm2, com exceção da barra horizontal superior que é infini-
tamente rígida. 
 
 
 
 
 
 
3ª Questão (1,0 ponto) 
Considere o quadro ao lado com barras inextensíveis. Sabe-
se que o coeficiente de distribuição de momentos de uma 
barra com relação a um nó é a razão entre o coeficiente de 
rigidez à rotação da barra e o somatório dos coeficientes de 
rigidez à rotação de todas as barras que convergem no nó. 
Demonstre, através da solução pelo Método dos Desloca-
mentos, que o momento aplicado MA é distribuído nas bar-
ras por momentos fletores nas seções adjacentes ao nó que 
são proporcionais aos coeficientes de distribuição de mo-
mentos no nó. 
 
 
 
l1 
l2
l3
l4 
MA 
EI = const.
 
 
 
 
1ª Questão 
 
X1 
X1
X2 
X2 
Sistema Principal e 
Hiperestáticos (g=2) 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP
M1
x. X1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1/6 
X1=1 
1/3 
1/6 
X1=1 
1/3 
1/3 
1/3 1/3 
1/3 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
1 
M2
Caso (2) – X2 isolado no SP 
X2=1
X2=1
1/3 
1/6 
1 
1/6 
1/6 
1/6 
1/3 1/3 
1/3 1/3 
1/3 
Equações de compatibilidade: 



−=
+=
⇒






=












+






kNm7,29
kNm6,60
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
X
X
X
X
δδ
δδ
δ
δ
 
EIEI
528
31801
2
13601
2
1
3601
3
16541
3
1
1
10 −=












⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅=δ 
EIEI
42031801
2
13601
2
13601
3
11
20 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅=δ 
EIEI
7311311
3
1311
3
1611
3
11
11 +=



⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅=δ 
EIEI 2
7311311
3
1311
6
11
2112 −=



⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅== δδ 
EIEI
7311311
3
1611
3
1311
3
11
22 +=



⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅=δ 
Momentos fletores finais: 
M = M0 + M1·X1 + M2·X2 
M 
[kNm] 
x. X2
 
 
2ª Questão 
 Sistema Hipergeométrico
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





++
++
⋅+






+
−
⇒
0
0
192/6148/1
48/112/37
50
24
2
1
D
D
EI 





−=
+=
⇒
EI
D
EI
D
92,157
853,8
2
1
 
Momentos fletores finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
x D2x D1
M1 
1
2
Caso (0) – Solicitação externa
 isolada no SH 
0 
–24 
[kNm] 
β20 
β10 
M0 
β20 = + 50 kNβ10 = – 24 kNm 
ΣFy = 0 ⇒ β20 – 20 – 48 + 18 =0 
0 
0 
0 
0 0 0 
+4EI/3 
D1 = 1 
–2EI/3 
+2EI/3 
6EI/42
K11 = +37EI/12 
K11
+4EI/4 
+2EI/4 +3EI/4 
2EI/4
3EI/42 
2EI/(3⋅4)
K21 
0 
K21 = +EI/48 
ΣFy = 0 
0 
M2
K22 
K12
K22 = +61EI/192 
–(4EI/3)⋅θ2 
12EI/43 
θ2 = 1/4 
–(2EI/3)⋅θ2 
0 
(4EI/3)⋅θ2/4 
ΣFy = 0
0 –3EI/42
+6EI/42 
+6EI/42 
3EI/43 
+(4EI/3)⋅θ2 
6EI/42
K12 = +EI/48
D2 = 1
[kNm]
M
0 –54,8 
+58,6 
0 –58,6 
–50,4
+38,1 
+12,3 
 
 
3ª Questão 
l1 
l2 
l3 
l4 
MA 
EI = const. 
1
Sistema Hipergeométrico
Caso (0) – Solicitação externa
 isolada no SH 
1 
β10 = – MA 
M0 = 0MA 
1
∑
=
=
4
1
11
i
iKK 
M1 
0 x D1
D1 = 1
2EI/l1
2EI/l2
2EI/l3
K1 = 4EI/l1
K4 = 3EI/l1 K2 = 4EI/l2
K3 = 4EI/l3 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
 (Ki → coeficiente de rigidez à rotação da barra i) 
Equações de equilíbrio: 
011110 =+ DKβ 
∑
=⇒
i
A
K
MD1 
 
Momentos fletores finais: 
110 DMMM ⋅+= 
 
→iγ coeficiente de distribuição de momento da barra i 
∑
=
i
i
i K
Kγ 
Vê-se que o momento aplicado MA é distribuído nas barras 
por momentos fletores nas seções adjacentes ao nó que são 
proporcionais aos coeficientes de distribuição de momentos 
no nó. 
M 
0 
MA·γ1/2
MA·γ2/2 MA·γ3/2 
MA·γ1 
MA·γ4 MA·γ2 
MA·γ3 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2004 
Prova Final – 05/07/2004 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
 
 
1ª Questão (4,5 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama 
de momentos fletores do quadro hiperestático 
ao lado. Somente considere deformações por 
flexão. Todas as barras têm a mesma inércia à 
flexão EI = 4,0 x 104 kNm2. 
 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (4,5 pontos) 
Pelo Método dos Deslocamentos, obter o dia-
grama de momentos fletores para o quadro ao 
lado (barras inextensíveis). Todas as barras têm 
a mesma inércia à flexão EI = 9,6x104 kNm2, 
com exceção da barra horizontal inferior da es-
querda que é infinitamente rígida. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3ª Questão (1,0 ponto) 
Faça uma comparação conceitual entre o Método das Forças e o Método dos Deslocamentos. Esta comparação de-
ve abordar, pelo menos, os seguintes pontos para cada método: 
• Idéia básica. 
• Metodologia. 
• Tipos de incógnitas. 
• Número de incógnitas. 
• Tipo de estrutura auxiliar utilizada nas soluções básicas. 
• Imposições feitas pelas equações finais. 
• Interpretação física dos termos de carga das equações finais. 
• Interpretação física dos coeficientes das equações finais. 
 
 
 
 
1ª QuestãoEquações de Compatibilidade 



+=
+=
⇒






=












+






kNmX
kNmX
X
X
1.52
5.20
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
δδ
δδ
δ
δ
 
EIEI
37831801
2
13361
2
13361
2
11
10 −=



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅=δ 
EIEI
405
31801
2
13361
2
1
3361
3
13361
3
1391
3
1
1
20 −=












⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−
⋅=δ 
EIEI
7311311311
3
11
11 +=



⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ 
EIEI 2
9311311
2
11
2112 +=



⋅⋅+⋅⋅⋅⋅== δδ 
EIEI
6311311
3
13122 +=



⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=δ 
Momentos fletores finais: 
M = M0 + M1·X1 + M2·X2 
M
[kNm]
X1
X1
X2
Sistema Principal e Hiperestáticos 
 (g=2) 
X2
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
M0
M1 
X1=1 x X1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1/3 
X1=1 
1/3 
1/3 
1/3 
1/3 
1/3 
M2 
X2=1
x X2
Caso (2) – X2 isolado no SP 
1/3 
X2=1 
1/3 1/3 
1/3 
1/3 
1/3 
1/3 1/3 
1/3 
1/3 
 
 
2ª Questão 
 
Sistema Hipergeométrico
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





+−
−+
⋅+






+
−
⇒
0
0
192/6124/5
24/515/44
78
16
2
1
D
D
EI 





−=
−=
⇒
EI
D
EI
D
73.253
57.12
2
1
 
Momentos fletores finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
x D2x D1
Caso (0) – Solicitação externa 
 isolada no SH 
[kNm]
M
1
2
–24 
[kNm] 
M0
β20 = + 78 kN
β10 = – 16 kNm
ΣFy = 0 ⇒ β20 + 24 – 6 – 2⋅48 = 0
0 
0 
0 
0 
0 0 +24 
24/4 = 6 
–16 +16 
M1 +4EI/3 
D1 = 1 
–2EI/3 
6EI/42 
K11 = +44EI/15
+4EI/4 
+2EI/3 
+3EI/5 
2EI/4 
2EI/(3⋅4) 
0 
K21 = –5EI/24 
ΣFy = 0 
0 
0 0 
+2EI/4 
0 M2
K22 = +61EI/192 
+(4EI/3)⋅θ2 
12EI/43
θ2 = 1/4
+(2EI/3)⋅θ2 
ΣFy = 0
0 
–6EI/42 –6EI/42
–(25EI/12)⋅θ2
6EI/42 K12 = –5EI/24 
D2 = 1 
0 
0 
D2 = 1+(3EI/4)⋅θ2 
((25EI/12)⋅θ2)/4) = 25EI/192 
0 
–59.0
+116.5 
–93.0 
–7.5 +104.9 +66.5 
0 
0 –23.5 
 
 
3ª Questão 
 
 
Método das Forças 
 
Idéia básica: 
Determinar, dentro do conjunto de soluções em forças 
que satisfazem as condições de equilíbrio, qual a solução 
que faz com que as condições de compatibilidade 
também fiquem satisfeitas. 
 
Metodologia: 
Superpor uma série de soluções estaticamente 
determinadas (isostáticas) que satisfazem as condições 
de equilíbrio da estrutura para obter uma solução final 
que também satisfaz as condições de compatibilidade. 
 
 
Tipos de incógnitas: 
Hiperestáticos: forças e momentos associados a vínculos 
excedentes à determinação estática da estrutura. 
 
 
Número de incógnitas: 
É o número de incógnitas excedentes das equações de 
equilíbrio, denominado grau de hiperestaticidade. 
 
Tipo de estrutura auxiliar utilizada nas soluções básicas: 
Sistema Principal (SP): estrutura estaticamente 
determinada (isostática) obtida da estrutura original 
pela eliminação dos vínculos excedentes associados aos 
hiperestáticos. Essa estrutura auxiliar viola condições de 
compatibilidade da estrutura original. 
 
 
Imposições feitas pelas equações finais: 
São equações de compatibilidade expressas em termos 
dos hiperestáticos. Essas equações recompõem as 
condições de compatibilidade violadas nas soluções 
básicas. 
 
Interpretação física dos termos de carga das equações finais: 
Deslocamentos e rotações nos pontos dos vínculos 
liberados no SP devidos à solicitação externa 
(carregamento). 
 
Interpretação física dos coeficientes das equações finais: 
Coeficientes de flexibilidade: deslocamentos e rotações 
nos pontos dos vínculos liberados no SP devidos a 
hiperestáticos com valores unitários atuando 
isoladamente. 
 
 
Método dos Deslocamentos 
 
Idéia básica: 
Determinar, dentro do conjunto de soluções em 
deslocamentos que satisfazem as condições de 
compatibilidade, qual a solução que faz com que as 
condições de equilíbrio também fiquem satisfeitas. 
 
Metodologia: 
Superpor uma série de soluções cinematicamente 
determinadas (configurações deformadas conhecidas) 
que satisfazem as condições de compatibilidade da 
estrutura para obter uma solução final que também 
satisfaz as condições de equilíbrio. 
 
Tipos de incógnitas: 
Deslocabilidades: componentes de deslocamentos e 
rotações nodais que definem a configuração deformada 
da estrutura. 
 
Número de incógnitas: 
É o número de incógnitas excedentes das equações de 
compatibilidade, denominado grau de hipergeometria. 
 
Tipo de estrutura auxiliar utilizada nas soluções básicas: 
Sistema Hipergeométrico (SH): estrutura 
cinematicamente determinada (estrutura com 
configuração deformada conhecida) obtida da estrutura 
original pela adição dos vínculos necessários para 
impedir as deslocabilidades. Essa estrutura auxiliar viola 
condições de equilíbrio da estrutura original. 
 
Imposições feitas pelas equações finais: 
São equações de equilíbrio expressas em termos das 
deslocabilidades. Essas equações recompõem as 
condições de equilíbrio violadas nas soluções básicas. 
 
 
Interpretação física dos termos de carga das equações finais: 
Forças e momentos (reações) nos vínculos adicionados 
no SH devidos à solicitação externa (carregamento) 
 
 
Interpretação física dos coeficientes das equações finais: 
Coeficientes de rigidez: forças e momentos nos vínculos 
adicionados no SH para impor configurações 
deformadas com deslocabilidades isoladas com valores 
unitários. 
 
 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2005 
Prova Final – 04/07/2006 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
 
 
1ª Questão (4,0 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o dia-
grama de momentos fletores do quadro hi-
perestático ao lado. Todas as barras têm a 
mesma inércia à flexão EI = 1.0x105 kNm2. 
Somente considere deformações por flexão. 
 
 
 
2ª Questão (4,5 pontos) 
Empregando-se o Método dos Deslocamen-
tos, obter o diagrama de momentos fletores 
para o quadro ao lado (barras inextensíveis). 
Todas as barras têm a mesma inércia à fle-
xão EI = 3.6x104 kNm2, com exceção da barra 
vertical que é infinitamente rígida à flexão. 
 
 
 
 
 
3ª Questão (1,5 pontos) 
Considere o modelo estrutural de uma ponte submetida a uma carga concentrada, tal como mostrado abaixo. 
Também estão mostradas as linhas de influência das reações de apoio VA e VD da ponte. Determine o dia-
grama de momentos fletores para a carga concentrada indicada. A questão deve ser respondida com base 
nas linhas de influência fornecidas. Se resolver a questão pelo Método das Forças, pelo Método dos Deslo-
camentos ou pelo Processo de Cross, somente 0,5 ponto será considerado. 
 
 
LI VA 
VA 
A 
VD 
B C D 
LI VD 
 
 
 
 
1ª Questão 
X1 
X1 
X2 
Sistema Principal e Hiperestáticos 
(g=2) 
 
M0
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
 
 
X1=1 
X1=1 
1/6 
1/4
M1 
. X1
Caso (1) – X1 isolado no SP 
1/4 
1/4 1/4 
1/6 1/6 1/6 
 
X2=1
1/4
M2
1/4
. X2 
Caso (2) – X2 isolado no SP 
 
 
Equações de Compatibilidade 



+=
−=
⇒






=












+






kNmX
kNmX
X
X
82.45
10.8
0
0
2
1
2
1
2221
1211
20
10
δδ
δδ
δ
δ
 
EIEI
54691
3
16361
3
11
10+=



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=δ 
EIEI
3364361
6
14721
3
16721
2
11
20 −=



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅=δ
EIEI 3
20411
3
12611
3
12111 +=



⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅=δ 
01221 == δδ 
EIEI 3
22411
3
1611122 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=δ 
Diagrama de Momentos Fletores 
M = M0 + M1·X1 + M2·X2 
 
M
(kNm)
 
 
 
2ª Questão 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





+−
−+
⋅+






+
+
⇒
0
0
72/314/3
4/320/61
84
24
2
1
D
D
EI 





−=
−=
⇒
EI
D
EI
D
262.365
687.97
2
1
 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
Sistema Hipergeométrico 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
 
[kNm]
M
EI = 3.6x104 kNm2 
2 
1 
SH 
[kNm]
M0
+24 
–36 
0 
0 
0 
0 0 
β20 = + 84 kN
+36 
–36 
(ΣFy=0) ⇒ 
β10 = + 24 kNm
0 
M1 
K11 = +61EI/20 
+4EI 
5 
D1 = 1 
0 0 
0 
0 
+2EI
5 
+3EI 
4 
–2EI 
5 
0 
+3EI 
2 
K21 = –3EI/4(ΣFy=0) ⇒ 
3EI 
22 
x D1 M2 
D2 = 1 
–3EI
22
3EI
23
0 
0 
0 
0 
0 
0 
12EI 
63 
+6EI 
62 
–6EI 
62 
K12 = –3EI/4
K22 = +31EI/72 (ΣFy=0) ⇒ 
+6EI 
62 
x D2
–49.3 
–96.9 
0 
–78.1 
–39.1 
0 
0 
–24.9 
+64.0 
+127.4 
 
 
3ª Questão 
 
P = 100 kN
(obtido da LI VA) 
VA = 0.399 x 100.0 = 39.9kN 
MB = VA x 20 – 100.0 x 10 = – 202.0 kNm
MB 
MC
MC = VD x 20 = + 40.6 kNm
VA x 10 = + 399.0 kNm
[kNm] M 
(obtido da LI VD) 
VD = 0.014 x 100.0 = 1.4kN
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2007 
Prova Final – 08/12/2007 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
 
 
1ª Questão (3,5 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o dia-
grama de momentos fletores do quadro hi-
perestático ao lado. Somente considere de-
formações por flexão. Todas as barras têm a 
mesma inércia à flexão EI = 7.2 x104 kNm2. 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
Empregando-se o Método dos Deslocamen-
tos, obter o diagrama de momentos fletores 
para o quadro ao lado (barras inextensíveis). 
Todas as barras têm a mesma inércia à fle-
xão EI = 7.2 x 104 kNm2, com exceção da bar-
ra horizontal superior, que é infinitamente 
rígida à flexão. 
 
 
 
 
 
 
 
3ª Questão (3,0 pontos) 
Empregando-se o Processo de Cross, obter o 
diagrama de momentos fletores para o qua-
dro ao lado (barras inextensíveis). Adote 
uma precisão de 1 kNm, isto é, não utilize 
casas decimais para momentos fletores. 
 
 
 
 
EI = 60000 kNm2 EI = 60000 kNm2 
EI = 80000 kNm2 
EI = 40000 kNm2 
EI = 30000 kNm2 
K = 36000 
kNm/rad 
 
 
 
 
 
 
 
Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: 







−
−
=
−
−
=
⇒






=












+






bcad
afce
X
bcad
debf
X
X
X
dc
ba
f
e
2
1
2
1
0
0
 
 
 3ª Questão 
 
ENG 1204 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2010 
Primeira Prova – Data: 19/04/2010 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de 
momentos fletores do quadro hiperestático ao lado. 
Somente considere deformações por flexão. Todas as 
barras têm a mesma inércia à flexão EI = 105 kNm2. 
 
 
 
 
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
Para o pórtico plano mostrado abaixo, pede-se o diagrama de momentos fletores utilizando o Método das Forças. 
O material tem módulo de elasticidade E = 2x108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /°C. As barras 
do pórtico têm uma seção transversal momento de inércia I = 0.0001 m4, altura h = 0.60 m e centro de gravidade no 
meio de altura. As seguintes solicitações atuam no pórtico concomitantemente: 
 
• Carregamento com força vertical uniformemente distribuída de 10 kN/m atuando na viga do pórtico. 
• Aquecimento da face inferior da viga de ∆Ti = +20 °C. A face superior da viga não sofre variação de tempera-
tura, isto é, ∆Ts = 0 °C. Os pilares não sofrem variação de temperatura. 
• Recalque vertical (para baixo) de 3 mm (0.003 m) do apoio esquerdo. 
 
Considere que as barras do pórtico podem se deformar axialmente somente para a solicitação de variação de tem-
peratura, isto é, para os efeitos do carregamento aplicado, do recalque de apoio e do hiperestático despreze a ener-
gia de deformação axial. 
 
 
 
Sabe-se: 
(i) O deslocamento axial relativo interno provocado 
pela variação de temperatura em um elemento 
infinitesimal de barra é 
duT = α ∆TCG dx 
sendo ∆TCG a variação de temperatura na fibra 
do centro de gravidade da seção transversal. 
 
(ii) O rotação relativa interna provocada pela varia-
ção de temperatura em um elemento infinitesi-
mal de barra é 
( )
dx
h
TT
d siT
∆−∆
=
αθ 
sendo ∆Ti a variação de temperatura das fibras 
inferiores da viga e ∆Ts a variação de tempera-
tura das fibras superiores. 
 
 
3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: 







−
−
=
−
−
=
⇒






=












+






bcad
afce
X
bcad
debf
X
X
X
dc
ba
f
e
2
1
2
1
0
0
 
1ª Questão 
 
 
Equações de compatibilidade: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
XX
XX
δδδ
δδδ
 




−=
+=
⇒








=
















+−
−+
+








+
−
⇒
kNm8.67
kNm9.14
0
0
127
781
918
5941
2
1
2
1
X
X
X
X
EIEI
 
EIEI
594
3361
3
1
6181
3
2
61261
2
1
6361
2
11
10 −=



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅=δ 
EIEI
918
6181
3
1
3361
3
1
6181
3
1
61261
3
1
6181
3
2
61261
2
1
6361
2
11
20 +=



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅=δ 
EIEI
8
311
3
1
2611
1
11 +=











⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=δ 
EIEI
7
311
3
1
611
1
2112 −=



⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅== δδ 
EIEI
12
311
3
1
2611
3
1
2611
1
22 +=











⋅⋅⋅⋅+





⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅=δ 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP 
Momentos Fletores Finais: 
22110 XMXMMM ⋅+⋅+= 
[kNm] 
M 
EI = const. 
Sistema Principal (SP) e Hiperestáticos (g = 2) 
X2 
X2 
X1 
X1 
[kNm] 
M0 
1/3 
X1 = 1 
X1 = 1 
1/3 
1/3 
1/3 
1/3 
1/3 
M1 
x X1 X2 = 1 
X2 = 1 
1/6 
1/3 
1/6 
1/6 
M2 
1/6 
1/3 
x X2 
 
 
2ª Questão 
 
 
EI = 2x104 kNm2 
α = 10–5 /°C 
Seção transversal 
h = 0.60 m 
y = 0.30 m 
 
 
 
Sistema Principal e 
Hiperestático (g=1) 
X1 
 
 
Caso (0) – Solicitações externas isoladas no SP 
M0 
δ10 
ρA0 = –0.003 m 
B A 
[kNm] 
(provocado somente pela 
força uniformemente 
distribuída)
Configuração deformada 
 
 
 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
VA1 = +1/6 
N1 = 0 
X1=1 
x X1 M1 
N
1
 
=
 
+
1/
6 
VB1 =–1/6 
N
1 
=
 
–
1/
6 
–1 
–
1 
 ( )
∫=
estrutura
dx
EI
M 21
11δ 
(desconsiderando deformação axial) 
Equação de compatibilidade 
011110 =⋅+ Xδδ 
 
Tq
10101010 δδδδ ρ ++= 
 
∫=
estrutura
q
dx
EI
MM 01
10δ (desconsiderando deformação axial) 
 
01100110 01 AAAA VV ρδρδ ρρ ⋅−=⇒=⋅+⋅ 
 
∫∫ += viga
T
viga
TT duNdM 1110 θδ (considerando deformação axial) 
 
rad10456451
3
11 4
10
−×−=



⋅⋅⋅−⋅=
EI
qδ 
 
( )[ ] rad105003.06/1 40110 −×+=−⋅−=⋅−= AAV ρδ ρ 
 
( ) ( )
dxdxdx
h
TT
d siT ⋅⋅+=
⋅
=
−⋅
=
3
100
60.0
20
α
α∆∆αθ 
dxdxTdu GC
T
⋅⋅+=⋅⋅= 10α∆α 
∫∫ ⋅⋅+⋅⋅+= vigaviga
T dxNdxM 1110 20
3
100
ααδ 
( )[ ] rad101060106)1(
2
1
3
100 4
10
−×−=⋅⋅⋅+



⋅−⋅⋅⋅+= ααδ T 
 
rad1050 410101010
−×−=++= Tq δδδδ ρ 
 




⋅−⋅−+⋅−⋅−⋅⋅= 3)1()1(6)1()1(
3
11
11
EI
δ 
rad/kNm105.2 411
−×+=δ 
 
0105.210500 1
44
11110 =⋅×+×−→=⋅+
−− XXδδ 
kNm201 +=⇒ X 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Momentos fletores finais 
110 XMMM ⋅+= 
 
 
M [kNm] 
–20 
–
20
 45 
 
 
 
 
ENG 1204 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2012 
Primeira Prova – Data: 12/09/2012 – Duração: 2:30 hs – Sem Consulta 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Determine pelo Método das Forças o diagrama de mo-
mentos fletores do quadro hiperestático ao lado. Somen-
te considere deformações por flexão. Todas as barras têm 
a mesma inércia à flexão EI = 1.0x104 kNm2. 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (3,5 pontos) 
Para o pórtico mostrado abaixo, pede-se o diagrama de momentos fletores utilizando o Método das Forças. O ma-
terial tem módulo de elasticidade E = 108 kN/m2 e coeficiente de dilatação térmica α = 10–5 /°C. As barras do pór-
tico têm uma seção transversal com área A = 0.12 m2, momento de inércia I = 0.0036 m4, altura h = 0.60 m e centro 
de gravidade no meio de altura. As seguintes solicitações atuam no pórtico concomitantemente: 
• Aquecimento de ∆Ti = +15 °C no interior e nenhuma variação de temperatura no exterior. 
• Recalque vertical, para baixo, de 3 mm (0.003 m) do apoio da esquerda. 
 
 
28 kN/m10=E C/10 o-5=α 
20.12 mA = 40.0036 mI = 
m0.60=h 0.30 my = 
∆Ti = +15 °C 
∆Ts = 0 °C 
 
 
Atenção: no cálculo do coeficiente de flexibilidade, considere somente deformação por flexão. 
 
Sabe-se: 
(i) O deslocamento axial relativo interno provocado 
pela variação de temperatura em um elemento 
infinitesimal de barra é 
duT = α ∆TCG dx 
sendo ∆TCG a variação de temperatura na fibra 
do centro de gravidade da seção transversal. 
 
 
(ii) O rotação relativa interna provocada pela varia-
ção de temperatura em um elemento infinitesi-
mal de barra é 
( )
dx
h
TT
d siT
∆−∆
=
αθ 
sendo ∆Ti a variação de temperatura das fibras 
inferiores (face interna) e ∆Ts a variação de tem-
peratura das fibras superiores (face externa) do 
pilar na esquerda. 
 
 
3ª Questão (1,0 ponto) – Grau vindo do primeiro trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
 
Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: 







−
−
=
−
−
=
⇒






=












+






bcad
afce
X
bcad
debf
X
X
X
dc
ba
f
e
2
1
2
1
0
0
 
 
1ª Questão 
 
 
Equações de compatibilidade: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
XX
XX
δδδ
δδδ
 
1 1
2 2
870 8 2 0 78.2 kNm1 1
1380 2 10 0 122.4 kNm
X X
X XEI EI
+ + + = −        
⇒ + = ⇒       + + + = −        
 
10
1 1 1 1 870
1 45 6 1 240 6 1 240 6
3 3 3EI EI
δ  = ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = + 
 
 
20
1 1 1 1 1380
1 240 6 1 180 6 1 180 6
3 3 2EI EI
δ  = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = + 
 
 
11
1 1 8
4 1 1 6
3EI EI
δ   = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = +  
  
 22
1 1 10
2 1 1 6 1 1 6
3EI EI
δ   = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = +  
  
 
12 21
1 1 2
1 1 6
3EI EI
δ δ  = = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = + 
 
 
X2 X2 
X1 
X1 
Sistema Principal (SP) e 
Hiperestáticos 
[kNm] 
M0 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
1/6 X1 = 1 
X1 = 1 
1/6 1/6 
1/6 
M1 x X1 
1/6 
1/6 
1/6 
1/6 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP 
1/6 
1/6 
X2 = 1 
X2 = 1 
M2 
x X2 
1/6 
1/6 
Momentos Fletores Finais: 
22110 XMXMMM ⋅+⋅+= 
[kNm] 
M 
 
2ª Questão 
 
 
28 kN/m10=E 
C/10 o-5=α 
20.012 mA = 40.0036 mI = 
m0.60=h 0.30 my = 
∆Ti = +15 °C 
∆Ts = 0 °C 
 
 
Sistema Principal e 
Hiperestático (g = 1) 
X1 
 
 
Caso (0) – Solicitações externas isoladas no SP 
M0 = 0 
[kNm] 
ρA0 = –0.003 m 
(variação de temperatura e recalque de apoio não 
provocam esforços internos no SP isostático) 
 
 
 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
x X1 
X1 = 1 
N1 = 0 
1/6 
1/6 
M1 
VB1 = –1/6 
VA1 = +1/6 
N
1 
 =
 –
1/
6 
 
 
( )21
11
estrutura
M
dx
EI
δ = ∫ 
(considerando somente 
deformação por flexão) 
Equação de compatibilidade 
011110 =⋅+ Xδδ 
 
10 10 10
T ρδ δ δ= + 
10 1 0 1 0
T T T
estrutura estrutura
M d N duδ θ= +∫ ∫ 
10 1 0 10 1 01 0A A A AV V
ρ ρδ ρ δ ρ⋅ + ⋅ = ⇒ = − ⋅ 
 
 
( ) ( )
0
15 0
25
0.60
i sT
T T
d dx dx dx
h
α α
θ α
⋅ ∆ − ∆ ⋅ + −
= = = + ⋅ ⋅ 
0 7.5
T
CGdu T dx dxα α= ⋅ ∆ ⋅ = + ⋅ ⋅ 
10 1 0 1 0 1 1
1 1
25 7.5 25 ( 1) 4 ( 1) 6 7.5 4
2 6
T T TM d N du M dx N dxδ θ α α α α     = + = + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅   
    
∫ ∫ ∫ ∫ 
 
5
10 180 10 rad
Tδ −= − × 
 
( )10 1 0 ( 1/6) 0.003A AVρδ ρ  = − ⋅ = − + ⋅ −  510 50 10 radρδ −= + × 
 
 510 10 10 130 10 rad
T ρδ δ δ −= + = − × 
 
2
1
11
1 1 6
( 1) ( 1) 4 ( 1) ( 1) 6
3
M
dx
EI EI EI
δ  = = ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ = + 
 ∫ 511
5
10 rad/kNm
3
δ −= + × 
 
5
1 10 11 5
( 130) 10
/
(5/3) 10
X δ δ
−
−
− ×
= − = −
×
 1 78 kNmX = + 
 
Momentos fletores finais : 110 XMMM ⋅+= 
 
M [kNm] 
 
 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2009 
Segunda Prova – 18/11/2009 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Empregando-se o Método dos Deslocamentos, obter 
o diagrama de momentos fletores para o quadro ao 
lado (barras inextensíveis). Todas as barras têm a 
mesma inércia à flexão EI = 105 kNm2, com exceção 
das barras verticais da esquerda, que são infinita-
mente rígidas à flexão. 
 
 
 
 
 
 
2ª Questão (1,5 pontos) 
Considere a viga abaixo com inércia à flexão EI constante O apoio na esquerda é um engaste e o apoio na 
direita impede a rotação mas libera o deslocamento transversal. Utilizando a Analogia da Viga Conjugada, 
determine o diagrama de momentos fletores na viga em função do valor da taxa de carregamento transversal 
uniformemente distribuído q e do vão l. 
 q 
l 
 
 
 
3ª Questão (2,0 pontos) 
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-
gramas de momentos fletores e momentos torçores 
para a grelha ao lado. Todas as barras têm a relação 
indicada entre a rigidez à torção GJt e a rigidez à 
flexão EI. 
 
 
 
EIGJt
3
2
= 
 
 
 
4ª Questão (1,0 ponto) 
Grau vindo do segundo trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
 
Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: 







−
−
=
−
−
=⇒






=












+






bcad
afce
D
bcad
debf
D
D
D
dc
ba
f
e
2
1
2
1
0
0
 
 
1ª Questão 
 
 Sistema Hipergeométrico 
Equação de equilíbrio: 
011110 =+ DKβ 0)4/9(30 13 =⋅⋅+⇒ DEI 
EI
D
3
440 2
1
⋅
−=⇒ 
Momentos Fletores Finais: 
110 DMMM ⋅+= 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
1 SH β10 = + 30 kN [kNm] 
M0 
0 
0 0 0 
0 
0 
0 
0 0 0 
0 
0 
ΣFx = 0 ⇒ 
D1 D1 
θ1 
θ1 
θ1 
θ1 
D1 = 1 
θ1 = 1/4 
D1 = 1 
θ1 = 1/4 
θ1 = 1/4 
K11 
K11 
(3EI/4)⋅θ1 
(3EI/4)⋅θ1 
(3EI/4)⋅θ1 
(3EI/42)⋅θ1 (3EI/42)⋅θ1 
(3EI/42)⋅θ1 
(3EI/42)⋅θ1 
(6EI/42)⋅θ1 (3EI/42)⋅θ1 (3EI/42)⋅θ1 
3EI/43 
3EI/43 
(3EI/4)⋅θ1 
3EI/43 
(3EI/42)⋅θ1 
(6EI/42)⋅θ1 
3EI/43 
(6EI/42)⋅θ1 
(6EI/42)⋅θ1 
x D1 
3EI/43 
3EI/42 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
+3EI/42 
–3EI/42 
–3EI/42 
+3EI/42 
(3EI/42)⋅θ1 
(6EI/4)⋅θ1 
(6EI/4)⋅θ1⋅(1/4) = 6EI/43 
–3EI/42 
+6EI/42 
M1 
K11 = +9EI/43 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
–40 
+40 
+40 
–40 
+40 
–80 [kNm] 
M 
 
 
 
2ª Questão 
 
Diagrama de momentos fletores: 
VIGA REAL VIGA CONJUGADA 
MA = 0 
QA = 0 
MB ≠ 0 
QB = 0 
C 
C 
C 
C 
A 
MA/EI 
MB/EI 
B 
∑Fy = 0 ⇒ – MAl/2EI + MBl/2EI + (ql2/8EI)⋅2l/3 = 0 
C 
∴∴∴∴ 
∑Fy = 0; ∑M = 0 ⇒ AB M
ql
M −=
2
2
 
63
22 ql
M
ql
M BA +=+= 
qC(x)= M(x)/EI 
A B 
l 
MA MB 
VA = ql 
q 
vA = 0 
θA = 0 
vB ≠ 0 
θB = 0 
–MA 
+ 
+MB 
x 
M(x) 
– 
ql2/8 
MAl/2EI 
2l/3 
2l/3 l/3 
l/3 
MBl/2EI 
A B 
l/2 
(ql2/8EI)⋅2l/3 
 
 
 
 
 
3ª Questão 
 
Equação de compatibilidade: 
011110 =+ Xδδ 0
3
640
3
9280
1 =⋅+−⇒ X
EIEI
 
kN5.141 +=→ X 
[ ]
EIGJEIGJ
EI
tt 3
92801280
3
35201
4)80()4(
1
4806
3
1
4802
6
1
4804
3
1
10
−=−−=⋅⋅−⋅+
+⋅



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=δ
 
[ ]
tGJ
EI
1
4)4()4(4)2()2(
1
466
3
1
426
6
1
462
6
1
422
3
1
444
3
1
222
3
1
11
⋅⋅+⋅++⋅−⋅−
+⋅












⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+
=δ
 
EIEIEIGJEI t 3
640
2
803
3
28080
3
280
11 +=
⋅
++=++=δ 
Momentos Fletores Finais: 
110 XMMM ⋅+= 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
Momentos Torsores Finais: 
110 XTTT ⋅+= 
EIGJt
3
2
= 
SP 
Sistema Principal e 
Hiperestático (g = 1) 
X1 
[kNm] M0 
80 
80 
0 
–80 
[kNm] T0 
0 
0 
Caso (1) – Hiperstático X1 isolado no SP 
M1 
4 
+4 
T1 
0 
–2 
X1 = 1 X1 = 1 
2 
6 
2 
x X1 
29 
22 
7 
29 
[kNm] 
M 
–22 
0 
–29 
[kNm] 
T 
 
CIV 1127 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2010 
Segunda Prova – 09/06/2010 – Duração: 2:45 hs – Sem Consulta 
 
 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Empregando-se o Método dos Deslocamentos, obter 
o diagrama de momentos fletores para o quadro ao 
lado (barras inextensíveis). Todas as barras têm a 
mesma inércia à flexão EI = 1.2x105 kNm2, com exce-
ção da barra horizontal inferior na esquerda, que é 
infinitamente rígida à flexão. 
 
 
 
 
 
2ª Questão (1,5 pontos) 
Considere a viga abaixo com inércia à flexão EI = 2.4x104 kNm2 constante O apoio na esquerda sofre um re-
calque vertical para baixo de 3 cm. Utilizando a Analogia da Viga Conjugada, determine o diagrama de 
momentos fletores na viga. 
 
 
 
 
 
3ª Questão (2,0 pontos) 
Empregando-se o Método das Forças, obter os dia-
gramas de momentos fletores e momentos torçores 
para a grelha ao lado. Todas as barras têm a relação 
indicada entre a rigidez à torção GJt e a rigidez à 
flexão EI. 
 
 
 
 
EIGJ t 3=
 
 
 
4ª Questão (1,0 ponto) 
Grau vindo do segundo trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
 
Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: 







−
−
=
−
−
=
⇒






=












+






bcad
afce
D
bcad
debf
D
D
D
dc
ba
f
e
2
1
2
1
0
0
 
 
1ª Questão 
 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 








=








⋅








+−
−+
⋅+








+
−
⇒
0
0
192/10748/5
48/512/17
58
24
2
1
D
D
EI 





−=
+=
⇒
EI
D
EI
D
31.102
418.9
2
1
 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
1 
2 
SH 
Sistema Hipergeométrico 
β20 = +58 kN 
β10 = –24 kNm 
–16 
0 
[kNm] 
M0 0 –24 
0 
+16 
16 
0 
–16 
0 
0 
4 4 
M1 
D1 = 1 
0 
K21 = –5EI/48 
K11 = +17EI/12 
0 
0 
+3EI/4 
x D1 
+4EI/6 
+2EI/6 –2EI/6 
2EI/6 
2EI/(6⋅4) 
2EI/(6⋅4) 
0 
0 
K21 = –3EI/42 + 2EI/(6⋅4) 
0 
M2 
D2 = 1 
0 
0 
–3EI/42 
x D2 
θ2 = 1/4 
–EI/8 
+(3EI/6)⋅θ2
= +EI/8
+(4EI/6)⋅θ2 
= +EI/6 
+EI/12 =
+(2EI/6)⋅θ2
–19EI/24 = 
–EI/6 
–5EI/8 
K22 = +107EI/192 
K22 = +53EI/192 + 9EI/32 
K12 = –5EI/48 K12 = –3EI/42 + EI/12 
11EI/48 = 
(EI/8 + 19EI/24)/4 
+(2EI/4)⋅θ2 
+6EI/42 
= +EI/2 
+5EI/8 = 
+(4EI/4)⋅θ2 
+6EI/42 
EI/8 19EI/24 
11EI/48 
9EI/32 = 
(5EI/8 + 
EI/2)/4 
53EI/192 = 
3EI/43 + 
11EI/48 
–67.2 
0 
0 
–2,2 
+61.8 
–12.8 
+2,2 
–47.9 +12.8 
–13.9 
[kNm] 
M 
 
2ª Questão 
 
Diagrama de momentos fletores: 
VIGA REAL VIGA CONJUGADA 
MC = 0 
QC ≠ 0 
MB = 0 
QB = QB 
dir esq 
MA = –ρ 
QA = 0 
C 
C 
C 
C C 
C 
C 
vC = 0 
θC ≠ 0 
vB = 0 
θB = θB dir 
vA = –ρ 
θA = 0 
3MA/EI 
–MB 
+ 
+MA 
x 
M(x) 
A C 
A B C 
ρ 
=
 
ρ 
MB/EI 
MA/EI 
B 
– 
esq 
ρ 
MB/EI 
MA/EI 
3MB/EI 3MB/2EI 
MB = 0 ⇒ + ρ + (3MB/EI)⋅2 – (3MA/EI)⋅4 = 0 C 
MB = 72 kNm 
∴∴∴∴ MA = 96 kNm 
MC = 0 ⇒ + ρ + (3MB/EI)⋅5 + (3MB/2EI)⋅2 – (3MA/EI)⋅7 = 0 C 
EI = 2.4x104 kNm2 
A C 
B 
 
 
3ª Questão 
 
EIGJ t 3=
 
 
Sistema Principal (SP) e Hiperestático 
 
X1 
 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SP 
 
24 kN 
12 kN 
12 kN 
M0 
[kNm] 
T0 
[kNm] 
 
Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP 
 
M1 T1 
x X1 
X1 = 1 X1 = 1 
3 
+3 
+3 
0 
0 3 3 
3 
2 
1 
2 
1 
 
 
Equação de Compatibilidade: 011110 =+ Xδδ ⇒ X1 = +5.5 kN 
[ ]
EIEIEIGJEI t
297
3
324189
3)36()3(
1
3363
3
1
393
3
1
3363
3
11
10 −=−−=⋅−⋅+⋅+



⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅=δ 
[ ]
EIEIEIGJEI t
54
3
5436
3)3()3(3)3()3(
1
333
3
1
333
3
1
333
3
1
333
3
11
11 +=+=⋅+⋅++⋅+⋅+⋅+



⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=δ 
 
Momentos Fletores e Momentos Torçores finais: 110 XMMM += 110 XTTT += 
 
M 
[kNm] 
5.5 kN 
24 kN 
1 kN 
6.5 kN 
 
 
T 
[kNm] –19.5 
+16.5 
0 
0 5.5 kN 
1 kN 
6.5 kN 
24 kN 
 
 
ENG 1204 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 1º Semestre – 2011 
Segunda Prova – 01/06/2011 – Duração: 2:30 hs – Sem Consulta 
 
 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Empregando-se o Método dosDeslocamentos, obter 
o diagrama de momentos fletores para o quadro ao 
lado (barras inextensíveis). Todas as barras têm a 
mesma inércia à flexão EI = 7.2x104 kNm2, com exce-
ção da barra horizontal na esquerda, que é infinita-
mente rígida. 
 
 
 
 
 
2ª Questão (2,5 pontos) 
Faça uma análise qualitativa dos cinco pórticos com barras inextensíveis mostrados na figura abaixo. Para 
cada pórtico, indique os aspectos das configurações deformadas e dos diagramas de momentos fletores. As 
colunas dos cinco pórticos têm uma rigidez à flexão de referência (EI = EIr). A viga do pórtico (a) é infinita-
mente rígida e a viga do pórtico (e) tem articulações nas extremidades e, por isso, tem rigidez à flexão nula. 
Nas situações intermediárias, a rigidez à flexão da viga varia da seguinte maneira: a viga do pórtico (b) tem 
rigidez à flexão grande (EI = EIg > EIr); a viga do pórtico (c) tem rigidez intermediária e igual ao valor de re-
ferência (EI = EIr); e a viga do pórtico (d) tem rigidez pequena (EI = EIp < EIr). As intensidades relativas das 
configurações deformadas e dos diagramas de momentos fletores devem considerar as variações da rigidez à 
flexão da viga. Pontos de inflexão devem ser indicados nas configurações deformadas, nas seções transver-
sais onde ocorre alternância de curvatura. 
 
 P 
(a) (b) (c) 
EIg EIr EIp P P P P 
(d) (e) 
EIr EIr EIr EIr EIr EIr EIr EIr EIr 
EI = ∞ EI = qualquer 
h 
 
 
3ª Questão (1,0 ponto) 
Obter os diagramas de momentos fletores e momen-
tos torçores para a grelha ao lado. Todas as barras 
têm a relação indicada entre a rigidez à torção GJt e a 
rigidez à flexão EI. Não está faltando nenhum apoio 
na grelha. 
 
 
 
EIGJt 6= 
 
 
 
4ª Questão (1,0 ponto) 
Grau vindo do segundo trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
 
Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: 







−
−
=
−
−
=
⇒






=












+






bcad
afce
D
bcad
debf
D
D
D
dc
ba
f
e
2
1
2
1
0
0
 
 
1ª Questão 
 
 
Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





++
++
⋅+






+
+
⇒
0
0
27/29/2
9/23/4
5.33
51
2
1
D
D
EI 





−=
+=
⇒
EI
D
EI
D
675
25.74
2
1
 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
–123.7 
0 
–27.0 
+27.0 
–65.2 
+65.2 
[kNm] 
M 
Sistema Hipergeométrico 
2 
SH 
1 β20 = +33.5 kN 
β10 = +51 kNm 
–36 
0 
[kNm] 
M0 
–15 
+36 
+15 
+15 
2.5 
15 
2.5 
β20 
β10 
Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
M1 
2EI/6 
D1 = 1 
K21 = +2EI/9 
K11 = +4EI/3 
x D1 
+4EI/6 
+2EI/6 
–2EI/6 
2EI/(6⋅6) 2EI/(6⋅6) 
0 
K21 = +6EI/62 
 +2EI/(6⋅6) 
K11 = +4EI/6 
 + 4EI/6 
EI/18 
+2EI/6 
+4EI/6 EI/3 
6EI/62 
Caso (1) – Deslocabilidade D1 isolada no SH 
Caso (2) – Deslocabilidade D2 isolada no SH 
M2 
D2 = 1 
0 
+6EI/62 
x D2 
θ2 = 1/6 
+(4EI/6)⋅θ2 
= +EI/9 
+EI/18 =
+(2EI/6)⋅θ2
K22 = +2EI/27 
K22 = +EI/54 + 12EI/63 
K12 = +2EI/9 
K12 = +6EI/62 + EI/18 
θ2 –EI/9 
+6EI/62 
EI/6 
12EI/63 
EI/9 
EI/(9⋅6) EI/(9⋅6) 
EI/54 
 
2ª Questão 
As figuras (a), (b), (c), (d) e (e) abaixo indicam as configurações deformadas e os diagramas de momentos 
fletores dos cinco pórticos. 
 
M 
M 
h 
P 
(a) 
(b) 
(c) 
Ph/4 
EIg 
EIr 
EIp 
P 
P 
P 
P 
M 
M 
M 
(d) 
(e) 
Ph/4 
Ph/4 
Ph/4 
Ph/4 Ph/4 
Ph/2 Ph/2 
h/2 
h 
h 
h 
h 
EIr EIr 
EIr EIr 
EIr EIr 
EIr EIr 
EIr EIr 
EI = ∞ 
EI = qualquer 
 
Considerando que as colunas do pórtico da figura (a) são inextensíveis, os nós superiores nas extremidades 
da viga só podem se deslocar na direção horizontal. Isso impede a rotação da viga como um corpo rígido. 
Portanto, o único movimento que a viga infinitamente rígida pode ter é o deslocamento horizontal mostrado 
na figura. Vê-se, na configuração deformada, que os nós da viga não sofrem rotações, pois a viga se desloca 
horizontalmente mantendo-se reta (é uma barra que não pode se deformar). Portanto, a elástica das colunas 
é tal que não existe rotação nas seções transversais do topo e da base. Dessa maneira, a elástica tem na base 
uma concavidade voltada para a direita e, no topo, uma concavidade para a esquerda, sendo que o ponto de 
inflexão fica localizado exatamente no meio da altura do pórtico, como indicado na figura (a). Essa 
informação é suficiente para determinar o valor do momento fletor na base das colunas. Como o momento 
fletor no meio da coluna é nulo (ponto de inflexão) e o esforço cortante em cada coluna é P/2 (devido à 
simetria), determina-se o momento fletor na base a partir do equilíbrio da porção da coluna isolada abaixo 
de seu ponto médio, o que resulta no valor de Ph/4 tracionando as fibras da esquerda. O valor do momento 
fletor no topo da coluna também é Ph/4, mas tracionando as fibras da direita, porque o diagrama de 
momentos fletores varia linearmente ao longo da coluna e o ponto de inflexão está localizado no meio. Na 
viga infinitamente rígida, os momentos fletores nas extremidades são iguais aos dos topos das colunas, 
sempre tracionando fibras do mesmo lado: de dentro na esquerda e de fora na direita. O diagrama de 
momentos fletores resultante está mostrado na figura (a). 
Na outra situação extrema da figura (e), em que a viga não tem rigidez à flexão, o ponto de inflexão da 
coluna coincide com o ponto da articulação no topo, onde o momento fletor é nulo. Os momentos fletores na 
viga são nulos e o diagrama de momentos fletores na coluna varia linearmente com um valor Ph/2 na base, 
resultante do produto da metade da força P que atua no topo de cada coluna pela altura h do pórtico. 
Observa-se, nas situações intermediárias das figuras (b), (c) e (d), que o ponto de inflexão na coluna se move 
para cima à medida que a rigidez da viga diminui. Observa-se que o ponto de inflexão sempre se move na 
direção de locais com rigidez reduzida. 
Os diagramas de momentos fletores das figuras (b), (c) e (d) são semelhantes e consistentes com a posição 
modificada do ponto de inflexão na coluna. Na viga, pela simetria, o ponto de inflexão está sempre 
localizado na posição média. Também se observa que os momentos fletores na viga diminuem à medida que 
sua rigidez à flexão é reduzida. Isso é um exemplo de que elementos estruturais mais rígidos tendem a 
atrair mais esforços internos. 
 
 
 
3ª Questão 
 
 
EIGJt 6= 
 
 
A grelha é isostática. Por isso, os diagramas de momentos fletores e momentos torçores independem da 
relação entre a rigidez à flexão e a rigidez à torção. Os diagramas estão indicados abaixo. 
 
 
M [kNm] T [kNm] 
20 
20 20 
180 
60 
60 
60 
0 
180 
+60 
–60 
20 
–180 
 
 
ENG 1204 – ANÁLISE DE ESTRUTURAS II – 2º Semestre – 2011 
Segunda Prova – 09/11/2011 – Duração: 2:30 hs – Sem Consulta 
 
 
1ª Questão (5,5 pontos) 
Empregando-se o Método dos Deslocamentos, obter 
o diagrama de momentos fletores para o quadro ao 
lado (barras inextensíveis). Todas as barras têm a 
mesma inércia à flexão EI = 104 kNm2, com exceção 
da barra horizontal inferior na direita, que é infini-
tamente rígida. 
 
 
 
 
2ª Questão (2,0 pontos) 
Faça uma análise qualitativa dos três pórticos com barras inextensíveis mostrados na figura abaixo. Para 
cada pórtico, indique os aspectos da configuraçãodeformada e do diagrama de momentos fletores. Na figu-
ra (a), as colunas do pórtico são muito mais rígidas do que a viga. Na figura (c), a viga é muito mais rígida 
do que as colunas. O pórtico da figura (b) apresenta um caso intermediário. As intensidades relativas dos 
diagramas de momentos fletores devem considerar as variações da rigidez à flexão relativa das barras do 
pórtico. Pontos de inflexão devem ser indicados nas configurações deformadas, nas seções transversais onde 
ocorre alternância de curvatura. 
 
(a) (b) 
b/2 
P 
b/2 
P 
b/2 b/2 
(c) 
b/2 
P 
b/2 
h 
 
 
3ª Questão (1,5 ponto) 
Obter os diagramas de momentos fletores e momen-
tos torçores para a grelha ao lado. Todas as barras 
têm a relação indicada entre a rigidez à torção GJt e a 
rigidez à flexão EI. Não está faltando nenhum apoio 
na grelha. 
 
 
 
EIGJt 6= 
 
 
 
4ª Questão (1,0 ponto) 
Grau vindo do segundo trabalho (nota do trabalho x 0,1). 
 
 
Solução de um sistema de 2 equações a 2 incógnitas: 







−
−
=
−
−
=
⇒






=












+






bcad
afce
D
bcad
debf
D
D
D
dc
ba
f
e
2
1
2
1
0
0
 
 
1ª Questão 
 
 
2 
SH 
1 
2.5 
15 
2.5 
0 0 0 
–15 
+15 
–12 +12 
–15 
β20 
β10 
β20 = +9.5 kN 
β10 = –3 kNm 
[kNm] 
M0 
Sistema Hipergeométrico Caso (0) – Solicitação externa isolada no SH 
 
 
 
 Equações de equilíbrio: 



=++
=++
0
0
22212120
21211110
DKDK
DKDK
β
β
 






=






⋅





++
++
⋅+






+
−
⇒
0
0
216/289/1
9/13/4
5.9
3
2
1
D
D
EI 





−=
+=
⇒
EI
D
EI
D
81
9
2
1
 
Momentos Fletores Finais: 
22110 DMDMMM ⋅+⋅+= 
–22.5 
0 
–40.5 
+27.0 
–4.5 
+4.5 
0 
+13.5 
[kNm] 
M 
 
2ª Questão 
As figuras (a), (b), e (c) abaixo indicam as configurações deformadas e os diagramas de momentos fletores 
dos três pórticos. Intuitivamente, é fácil verificar que os sentidos das reações horizontais da estrutura 
hiperestática são “para dentro” do pórtico. Se o apoio da direita fosse do 1º gênero, existiria uma tendência 
desse apoio se deslocar para a direita, isto é, existiria uma tendência de o pórtico “abrir”. Como esse apoio 
tem seu movimento horizontal restrito, a reação associada a essa restrição vai “fechar” o pórtico, isto é, tem 
sentido “para dentro”. 
 
Hb Hb 
Hc Hc 
Ha Ha 
P/2 P/2 
P/2 P/2 
P/2 P/2 
(a) 
(b) 
b/2 
h 
P 
b/2 
P 
Hb⋅h 
Hb⋅h 
Hb⋅h 
Hb⋅h 
(P⋅b/4 – Hb⋅h) 
P P 
b/2 b/2 
(c) 
b/2 
P 
b/2 
P 
Hc⋅h 
Hc⋅h 
Hc⋅h 
Hc⋅h 
(P⋅b/4 – Hc⋅h) 
h 
h 
Ha⋅h Ha⋅h 
Ha⋅h Ha⋅h 
(P⋅b/4 – Ha⋅h) 
M 
M 
M 
 
Na figura (a), as colunas são muito mais rígidas do que a viga, fazendo com que as rotações das 
extremidades da viga sejam muito pequenas, se aproximando do caso de uma viga com extremidades 
engastadas. Na figura (c), por outro lado, a viga é muito mais rígida do que as colunas, a ponto de elas não 
oferecerem impedimento às rotações das extremidades da viga, que se aproxima do comportamento de uma 
viga simplesmente apoiada. A figura (b) apresenta um caso intermediário. Isso também pode ser observado 
nas elásticas de cada uma das situações. Os círculos pretos nas elásticas das vigas indicam os chamados 
pontos de inflexão, onde existe uma mudança na concavidade da curva elástica. Nas seções transversais 
correspondentes a esses pontos, o momento fletor é nulo. Observa-se que, à medida que se aumenta a 
rigidez da viga em relação à das colunas, os pontos de inflexão se movem para as extremidades da viga, 
tendendo a uma situação de viga biapoiada. Pode-se concluir que os diagramas de momentos fletores da 
viga podem ser alterados, de um comportamento quase biengastado para um quase biapoiado, com a 
variação da rigidez relativa entre os elementos estruturais. Observa-se, também, que as reações de apoio 
horizontais do pórtico têm valores distintos para cada uma das situações, sendo que Ha > Hb > Hc. 
A variação de esforços internos e reações de apoio em uma estrutura em função da rigidez relativa entre os 
seus membros só ocorre para estruturas hiperestáticas. O analista estrutural pode explorar essa 
característica da estrutura hiperestática minimizando ao máximo, dentro do possível, os esforços internos na 
estrutura. Isso não pode ser feito em uma estrutura isostática. 
 
 
 
3ª Questão 
 
 
[kNm] 
T 
0 
0 
0 
+6 
+66 
A grelha é isostática. Por isso, os diagramas de 
momentos fletores e momentos torçores independem 
da relação entre a rigidez à flexão e a rigidez à torção. 
Os diagramas estão indicados abaixo. 
EIGJt 6= 
[kNm] 
M 
2 
12 
44 
18 
6 6 
36 
30