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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
UNESP - Campus de Bauru/SP 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
Departamento de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
Disciplina: 2133 - ESTRUTURAS DE CONCRETO III 
NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
SAPATAS DE FUNDAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS 
(wwwp.feb.unesp.br/pbastos) 
 
 
 
 
 
 
 
Bauru/SP 
Fevereiro/2016
 
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
 
 
 Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina 
2133 – Estruturas de Concreto III, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da 
Universidade Estadual Paulista - UNESP – Campus de Bauru. 
O texto apresenta o dimensionamento das sapatas de fundação, conforme os procedimentos 
contidos na NBR 6118/2014 - “Projeto de estruturas de concreto – Procedimento”. São estudados os 
seguintes tipos de sapatas: isoladas, corridas, com viga de equilíbrio e associadas. E segundo a 
classificação de rígidas ou flexíveis. 
Agradecimentos ao técnico Tiago Duarte de Mattos, pela confecção dos desenhos, e ao aluno 
Lucas F. Sciacca, pelo auxílio na digitação do texto. 
Críticas e sugestões serão bem-vindas. 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 1 .............................................................................................................................................................. 3 
1. SAPATAS DE FUNDAÇÃO .................................................................................................................................. 3 
1.1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................................... 3 
1.2 DEFINIÇÕES ....................................................................................................................................................... 4 
1.3 FUNDAÇÃO SUPERFICIAL ...................................................................................................................................... 5 
1.3.1 Bloco .......................................................................................................................................................... 5 
1.3.2 Sapata ....................................................................................................................................................... 6 
1.3.3 Radier ...................................................................................................................................................... 11 
1.4 CLASSIFICAÇÃO RELATIVA À RIGIDEZ ..................................................................................................................... 11 
1.5 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NO SOLO .................................................................................................................... 12 
1.6 PROJETO DE SAPATAS ISOLADAS .......................................................................................................................... 14 
1.6.1 Comportamento Estrutural ..................................................................................................................... 15 
1.6.1.1 Sapatas Rígidas ................................................................................................................................................ 15 
1.6.1.2 Sapatas Flexíveis .............................................................................................................................................. 17 
1.6.2 Detalhes Construtivos .............................................................................................................................. 20 
1.6.3 Estimativa das Dimensões de Sapatas com Carga Centrada .................................................................. 21 
1.6.3.1 Balanços (abas) Iguais nas Duas Direções........................................................................................................ 22 
1.6.3.2 Balanços Não Iguais nas Duas Direções ........................................................................................................... 22 
1.6.4 Verificação à Punção ............................................................................................................................... 23 
1.6.4.1 Tensão de Cisalhamento Solicitante em Pilar Interno com Carregamento Simétrico ..................................... 24 
1.6.4.2 Tensão de Cisalhamento Solicitante em Pilar Interno com Momento Fletor Aplicado ................................... 24 
1.6.4.3 Verificação de Tensão Resistente de Compressão Diagonal do Concreto na Superfície Crítica C ................... 25 
1.6.4.4 Tensão Resistente na Superfície Crítica C’ em Elementos Estruturais ou Trechos sem Armadura de Punção 26 
1.6.5 Projeto com Considerações do CEB-70 .................................................................................................... 28 
1.6.5.1 Dimensionamento e Disposições das Armaduras de Flexão ........................................................................... 28 
1.6.5.2 Verificação da Força Cortante ......................................................................................................................... 33 
1.6.5.3 Exemplo 1 – Sapata Isolada Rígida Sob Carga Centrada .................................................................................. 33 
1.6.5.4 Exercícios Propostos ........................................................................................................................................ 38 
1.6.6 Projeto Conforme o Método das Bielas ................................................................................................... 39 
1.6.6.1 Exemplo 2 - Sapata Isolada Rígida Sob Carga Centrada – Método das Bielas ................................................. 43 
1.6.7 Sapatas Sob Ações Excêntricas ................................................................................................................ 44 
1.6.7.1 Excentricidade em Uma Direção ..................................................................................................................... 45 
1.6.7.2 Excentricidade nas Duas Direções ................................................................................................................... 47 
1.6.7.3 Exemplo 3 – Sapata Isolada sob Força Normal e um Momento Fletor ............................................................ 51 
1.6.7.4 Exemplo 4 – Sapata Isolada Sob Flexão Oblíqua ............................................................................................. 58 
1.6.8 Sapata Flexível Sob Carga Centrada ........................................................................................................ 62 
1.6.8.1 Verificação de Sapata Flexível à Força Cortante quando bW ³ 5d ................................................................... 65 
1.6.8.2 Exemplo 5 – Sapata Flexível ............................................................................................................................ 66 
1.7 SAPATA CORRIDA ............................................................................................................................................. 71 
1.7.1 Sapata Rígida Sob Carga Uniforme ......................................................................................................... 72 
1.7.2 Sapata Flexível Sob Carga Uniforme ....................................................................................................... 73 
1.7.3 Exemplo 6 – Sapata Corrida Rígida Sob Carga Centrada ........................................................................ 75 
1.7.4 Exercício Proposto ................................................................................................................................... 77 
1.7.5 Exemplo 7 – Sapata Corrida Flexível Sob Carga Centrada.......................................................................77 
1.7.6 Exercício Proposto ................................................................................................................................... 79 
1.8 VERIFICAÇÃO DA ESTABILIDADE DAS SAPATAS......................................................................................................... 80 
1.9 VERIFICAÇÃO DO ESCORREGAMENTO DA ARMADURA DE FLEXÃO EM SAPATAS ............................................................. 81 
1.10 SAPATA NA DIVISA COM VIGA DE EQUILÍBRIO ......................................................................................................... 82 
 
1.10.1 Roteiro de Cálculo ............................................................................................................................... 84 
1.10.2 Esforços Solicitantes na Viga de Equilíbrio .......................................................................................... 84 
1.10.3 Recomendações para o Pré-dimensionamento de Viga de Equilíbrio ................................................. 87 
1.10.4 Dimensionamento da Sapata da Divisa .............................................................................................. 87 
1.10.5 Exemplo 8 – Sapata na Divisa com Viga Alavanca ............................................................................. 89 
1.10.6 Atividade ............................................................................................................................................. 94 
1.10.7 Viga Alavanca Não Normal à Divisa ................................................................................................... 95 
1.10.8 Exercício Proposto ............................................................................................................................... 95 
1.11 SAPATA EXCÊNTRICA DE DIVISA ........................................................................................................................... 96 
1.12 SAPATA ASSOCIADA ........................................................................................................................................ 100 
1.12.1 Sapata com Base Retangular ............................................................................................................ 100 
1.12.2 Verificações e Dimensionamento ...................................................................................................... 102 
1.12.3 Sapata Trapezoidal ........................................................................................................................... 104 
1.12.4 Sapata Conjunta com Viga de Rigidez .............................................................................................. 105 
1.12.5 Exemplo 9 – Sapata Associada.......................................................................................................... 105 
QUESTIONÁRIO ........................................................................................................................................................... 114 
REFERÊNCIAS .............................................................................................................................................................. 115 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 3 
 
 
CAPÍTULO 1 
 
 
 
1. SAPATAS DE FUNDAÇÃO 
 
 
 
 
1.1 Introdução 
 
 A subestrutura, ou fundação, é a parte de uma estrutura composta por elementos estruturais, 
geralmente construídos abaixo do nível final do terreno, e que são os responsáveis por transmitir ao solo 
todas as ações (cargas verticais, forças do vento, etc.) que atuam na edificação. 
 A estrutura posicionada acima e que se apoia na subestrutura é chamada superestrutura. As ações 
que atuam na superestrutura das edificações são transferidas na direção vertical geralmente por pilares ou 
paredes de concreto. Como o solo geralmente tem resistência muito inferior à do concreto do pilar, é 
necessário projetar algum outro tipo de elemento estrutural com a função de transmitir as ações ao solo. Os 
elementos mais comuns para cumprir essa função são as sapatas e os blocos, os quais atuam como elementos 
de transição das ações, dos pilares para as estacas ou tubulões (Figura 1.1). 
 
SUPERESTRUTURAVIGA
PILAR
LAJE
SAPATA
BLOCO BLOCO
SUB ESTRUTURA
TUBULÃO
ESTACAS
 
Figura 1.1 – Exemplos de elementos de fundação. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 4 
 
 
 Os elementos de fundação mais comuns são as sapatas (fundação direta) e os blocos assentados sobre 
estacas ou tubulões (fundação profunda). As sapatas são indicadas para os casos onde o solo apresenta 
resistência suficiente em baixa profundidade, e nada mais é do que um aumento da área da seção transversal 
do pilar, necessário pelo fato do solo geralmente ter resistência muito inferior ao do concreto. O estudo dos 
vários tipos de sapatas é o objetivo deste capítulo. 
 Blocos, estacas e tubulões são projetados para os casos onde o solo apresenta a resistência necessária 
somente em profundidades maiores, e são objeto de estudo no capítulo seguinte. 
 
1.2 Definições 
 
 A fundação superficial, também chamada fundação rasa ou direta, é definida no item 3.1 da NBR 
6122[1]1 como o “elemento de fundação em que a carga é transmitida ao terreno pelas tensões distribuídas 
sob a base da fundação, e a profundidade de assentamento em relação ao terreno adjacente à fundação é 
inferior a duas vezes a menor dimensão da fundação.” O elemento de fundação superficial mais comum é a 
sapata, que pela área de contato base-solo transmite as cargas verticais e demais ações para o solo, 
diretamente, conforme ilustrado na Figura 1.2, onde B é a menor dimensão em planta. 
 Além da fundação superficial, existe também a classe denominada fundação profunda (Figura 1.3) 
definida pela NBR 6122 (item 3.7) como “elemento de fundação que transmite a carga ao terreno ou pela 
base (resistência de ponta) ou por sua superfície lateral (resistência de fuste) ou por uma combinação das 
duas, devendo sua ponta ou base estar assente em profundidade superior ao dobro de sua menor dimensão 
em planta, e no mínimo 3,0 m. Neste tipo de fundação incluem-se as estacas e os tubulões.”2 
 
< 2B
B
 
> 2D e > 3m
D
 
Figura 1.2 – Sapata de fundação e a condição 
geométrica para a fundação superficial. 
Figura 1.3 – Condição geométrica para a 
fundação profunda. 
 
 A sapata é definida pela NBR 6122 (item 3.2) como o “elemento de fundação superficial, de 
concreto armado, dimensionado de modo que as tensões de tração nele resultantes sejam resistidas pelo 
emprego de armadura especialmente disposta para esse fim.” Na NBR 6118[2]3 (item 22.6.1), sapata é 
definida como as “estruturas de volume usadas para transmitir ao terreno as cargas de fundação, no caso 
de fundação direta.” 
Na superfície correspondente à base da sapata atua a tensão de tração máxima, que supera a 
resistência do concreto à tração, e por isso requer uma armadura resistente (Figura 1.4). Quando o próprio 
concreto é capaz de resistir às tensões de tração atuantes, a armadura não é necessária e neste caso tem-se o 
elemento chamado bloco. Este, por ter grande altura (h), faz com que as tensões de tração sejam diminuídas, 
tornando-se menores que a resistência do concreto à tração. 
 Quanto ao dimensionamento, as fundações superficiais devem ser definidas por meio de 
dimensionamento geométrico e de cálculo estrutural. 
 
1 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto e execução de fundações. NBR 6122, ABNT, 2010, 91p. 
2 Os tubulões serão estudados no Capítulo “Blocos de fundação”. 
3 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. NBR 6118, ABNT, 
2014, 238p. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 5 
 
 
As
 
Figura 1.4 – Sapata de fundação com a armadura principal. 
 
 
1.3Fundação Superficial 
 
 São basicamente três os tipos de fundação superficial: bloco, sapata e radier. Dentre eles a sapata é o 
tipo mais comum e de maior variação na forma e geometria. 
 
1.3.1 Bloco 
 
O bloco é um “elemento de fundação superficial de concreto, dimensionado de modo que as tensões 
de tração nele resultantes sejam resistidas pelo concreto, sem necessidade de armadura.” (NBR 6122, 3.3). 
 Para que as tensões de tração sejam resistidas pelo concreto, elas precisam ser baixas, de modo que a 
altura do bloco necessita ser relativamente grande. O bloco assim trabalhará preponderantemente à 
compressão. Para economia de concreto, os blocos têm geralmente a forma de pedestal, ou as superfícies 
laterais inclinadas (Figura 1.5). 
 
PILAR
BLOCO
REAÇÃO
DO
SOLO
 
Figura 1.5 – Bloco de fundação superficial. 
 
 
A NBR 6122 (7.8.2) estabelece que o ângulo β (Figura 1.6), expresso em radianos, satisfaça a: 
 
tg β
β
≥
σadm
fct
+1 
 
onde: sadm = tensão admissível do terreno, em MPa; 
 fct = 0,4fctk ≤ 0,8 MPa, onde fct é a tensão de tração no concreto; 
 fctk = resistência característica à tração do concreto. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 6 
 
 
b
 
Figura 1.6 – Ângulo β nos blocos de fundação superficial. 
 
1.3.2 Sapata 
 
 A sapata tem altura menor que o bloco, razão pela qual há a necessidade de armadura de flexão, 
posicionada próxima à superfície de apoio da sapata. 
 Devido à grande variabilidade possível da forma do elemento estrutural que se apoia na sapata, 
existem diversos tipos e configurações, sendo por isso as sapatas classificadas em isolada, corrida, associada, 
de divisa, com viga de equilíbrio, etc. 
 
Sapata Isolada 
 
 A sapata chamada isolada é a mais comum nas edificações, sendo aquela que transmite ao solo as 
ações de um único pilar. As formas que a sapata isolada pode ter, em planta, são muito variadas, mas a 
retangular é a mais comum (Figura 1.7). 
 
 
N
 
Figura 1.7 – Sapata isolada. 
 
 
As ações comuns de ocorrerem nas sapatas são a força normal (N), os momentos fletores (M), em 
uma ou em duas direções, e a força horizontal (H - Figura 1.8). 
 
h=cte h = var
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 7 
 
 
N
H M
PILAR
ELEMENTO DE
FUNDAÇÃO
(SAPATA)
REAÇÃO
DO
SOLO
 
Figura 1.8 – Sapata isolada de fundação superficial. 
 
 Um limite para a sapata retangular é que a dimensão maior da base não supere cinco vezes a largura 
(A ≤ 5B)[3], Figura 1.9. Quando A > 5B, a sapata é chamada corrida. 
 
B
A < 5B
 
Figura 1.9 – Limite para a sapata retangular (A ≤ 5B). 
 
 
 A recomendação para sapatas sob pilar de edifício é que a dimensão mínima em planta seja de 80 
cm.[3] Para a NBR 6122 (7.7.1), a menor dimensão não deve ser inferior a 60 cm. 
 O centro de gravidade do pilar deve coincidir com o centro de gravidade da base da sapata, para 
qualquer forma do pilar (Figura 1.10 e Figura 1.11). 
CG
B
2
B
2
A
2
A
2
B
A
B
A
A
/2
A
/2
B/2 B/2
CGPILAR
 
Figura 1.10 – Sapatas isoladas com o CG do pilar coincidente com o CG da sapata. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 8 
 
 
B
A
A
/2
A
/2
B/2 B/2
CGPILAR
 
 
Figura 1.11 – Sapata isolada com o CG do pilar coincidente com o CG da sapata. 
 
 Para o dimensionamento econômico é indicado que os balanços da sapata nas duas direções, as 
distâncias cA e cB , sejam iguais ou aproximadamente iguais (Figura 1.12). 
 
B
A
b
p
ap
C
B
CACA
C
B
 
Figura 1.12 – Sapata com balanços iguais (cA = cB). 
 
 No caso de sapata isolada sob pilar de divisa, e quando não se faz a ligação com um pilar interno, 
com viga de equilíbrio por exemplo, a flexão devido à excentricidade do pilar deve ser combatida pela 
própria sapata em conjunto com o solo. São encontradas em muros de arrimo, pontes, pontes rolantes, etc. 
(Figura 1.13). 
N
e
d
iv
is
a
 
Figura 1.13 – Sapata isolada de divisa. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 9 
 
 
Sapata Corrida 
 
 Conforme a NBR 6122 (3.6), sapata corrida é aquela “sujeita à ação de uma carga distribuída 
linearmente ou de pilares ao longo de um mesmo alinhamento.” Figura 1.14 e Figura 1.15. 
 As sapatas corridas são comuns em construções de pequeno porte, como casas e edificações de baixa 
altura, galpões, muros de divisa e de arrimo, em paredes de reservatórios e piscinas, etc. Constituem uma 
solução economicamente muito viável quando o solo apresenta a necessária capacidade de suporte em baixa 
profundidade. 
 
parede
sapata
PLANTA
ou
 
Figura 1.14 – Sapata corrida para apoio de parede. 
 
A > 5B
B
PILARES
 
Figura 1.15 – Sapata corrida para apoio de pilares em um mesmo alinhamento. 
 
 
 Para diferenciar da sapata isolada retangular, a sapata corrida é aquela com comprimento maior que 
cinco vezes a largura (A > 5B)[3], Figura 1.16. 
 
B
PAREDE
A > 5B
 
 
Figura 1.16 – Sapata corrida para apoio de parede. 
 
 
Sapata Associada 
 
 Conforme a NBR 6122 (3.5), sapata associada é aquela “comum a mais de um pilar”. Também é 
chamada sapata combinada ou conjunta Geralmente ocorre quando, devido à proximidade entre os pilares, 
não é possível projetar uma sapata isolada para cada pilar. Neste caso, uma única sapata pode ser projetada 
como a fundação para os pilares. 
 A sapata associada pode ser projetada com ou sem uma viga de rigidez, como indicada na Figura 
1.17 e na Figura 1.18. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 10 
 
 
P1 P2
A
B
N1 N2
p
l1 lcc l2
d
iv
is
a
h
 
Figura 1.17 – Sapata associada sem viga de rigidez. 
 
 
PLANTA
VR
A
A
P1 P2
ELEVAÇÃO CORTE A
 
Figura 1.18 – Sapata associada com viga de rigidez (VR). 
 
 
Viga Alavanca ou de Equilíbrio 
 
 Segundo a NBR 6122 (3.3.6), viga alavanca ou de equilíbrio é o “elemento estrutural que recebe as 
cargas de um ou dois pilares (ou pontos de carga) e é dimensionado de modo a transmiti-las centradas às 
fundações. Da utilização de viga de equilíbrio resultam cargas nas fundações diferentes das cargas dos 
pilares nelas atuantes.” 
 A viga alavanca é de aplicação comum no caso de pilar posicionado na divisa de terreno, onde 
ocorre uma excentricidade (e) entre o ponto de aplicação de carga do pilar (N) e o centro geométrico da 
sapata. O momento fletor resultante da excentricidade é equilibrado e resistido pela viga alavanca, que na 
outra extremidade é geralmente vinculada a um pilar interno da edificação, ou no caso de ausência deste, 
vinculada a um elemento que fixe a extremidade da viga (Figura 1.19). 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 11 
 
 
 
Figura 1.19 – Pilar de divisa sobre sapata combinada com viga alavanca (VA). 
 
 
1.3.3 Radier 
 
Segundo a NBR 6122 (3.4), o radier é um “elemento de fundação superficial que abrange parte ou 
todos os pilares de uma estrutura, distribuindo os carregamentos.” 
 
1.4 Classificação Relativa à Rigidez 
 
 A classificação das sapatas relativamente à rigidez é muito importante, porque direciona a forma 
como a distribuição de tensões na interface base da sapata/solo deve ser considerada, bem como o 
procedimento ou método adotado no dimensionamento estrutural. 
 A NBR 6118 (item 22.6.1) classifica as sapatas como rígidas ou flexíveis, sendo rígida a que atende 
a equação: 
 
 
3
 a -A 
h p³ 1.1 
 
onde: h = altura da sapata (Figura 1.20); 
 A = dimensão da sapata em uma determinada direção; 
 ap = dimensão do pilar na mesma direção. 
 
 A Eq. 1.1 deve também ser verificada relativamente às dimensões B e bp da outra direção da sapata, 
sendo que para ser classificada como rígida a equação deve ser atendida em ambas as direções. No caso da 
equação não se verificar, asapata será considerada flexível. 
 
sapata 2
VA
Viga alavanca (VA)
sapata 1
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 12 
 
 
h
A
ap Pilar
 
Figura 1.20 – Dimensões da sapata. 
 
 As sapatas rígidas são aquelas com alturas “grandes”, comparativamente às dimensões em planta, e 
têm a preferência no projeto de fundações. As sapatas flexíveis são caracterizadas pela altura “pequena”, e 
segundo a NBR 6118 (item 22.6.2.3): “Embora de uso mais raro, essas sapatas são utilizadas para fundação 
de cargas pequenas e solos relativamente fracos.” 
 Segundo Montoya[4], é difícil estabelecer um limite para a classificação das sapatas, e de qual método 
deve-se empregar no projeto. Ele, por exemplo, classifica como sapata rígida aquela onde o ângulo β é igual 
ou superior a 45° (β ≥ 45°, ver Figura 1.21). Em caso contrário a sapata é tratada como flexível (β < 45°). 
 O critério do CEB-70[5] é diferente, e considera como sapata rígida quando o ângulo β (tg β = h/c) 
fica compreendido entre os limites: 
 
 0,5 ≤ tg β ≤ 1,5 (26,6° ≤ β ≤ 56,3°) 1.2 
 
 Se tg β < 0,5 a sapata é considerada flexível, e se tg β > 1,5 não é sapata, e sim bloco de fundação 
direta (aquele que dispensa armadura de flexão porque o concreto resiste à tensão de tração máxima existente 
na base do bloco). 
h
ap Pilar
b
C
Balanço
 
Figura 1.21 – Ângulo b e balanço c. 
 
1.5 Distribuição de Tensões no Solo 
 
 A tensão ou pressão de apoio que a área da base de uma sapata exerce no solo é o fator mais 
importante relativo à interface base-solo. Diversos estudos analíticos e de campo indicaram que a pressão 
exercida no solo não é necessariamente distribuída uniformemente, e depende de vários fatores, como:[6] 
 
- existência de excentricidade do carregamento aplicado; 
- intensidade de possíveis momentos fletores aplicados; 
- rigidez da fundação; 
- propriedades do solo; 
- rugosidade da base da fundação. 
 
 A Figura 1.22 e a Figura 1.23 mostram a distribuição de pressão no solo aplicada na base de uma 
sapata, carregada concentricamente, em função do tipo de solo e da rigidez, se rígida ou flexível. Sapatas 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 13 
 
 
perfeitamente flexíveis curvam-se e mantém a pressão uniforme no solo. Sapatas perfeitamente rígidas não 
se curvam, e o recalque, se ocorrer, é uniforme, porém, a pressão no solo não é uniforme. 
 
 
Figura 1.22 – Distribuição de pressão no solo em sapata sob carga centrada: a) sapata flexível sobre argila; 
b) sapata flexível sobre areia; c) sapata rígida sobre argila; d) sapata flexível sobre areia; 
e) distribuição simplificada. [6] 
 
 Devido à complexidade da análise ao se considerar a pressão como não uniforme, é comum assumir-
se a uniformidade sob carregamentos concêntricos, como mostrado na Figura 1.22e, e adicionalmente porque 
o erro cometido com a simplificação não é significativo.[6] 
 Sapatas apoiadas sobre solos granulares, como areia, a pressão é maior no centro e decresce em 
direção às bordas da sapata. No caso de solos argilosos, ao contrário, a pressão é maior nas proximidades das 
bordas e menor no centro. Essas características de não uniformidade da pressão no solo são comumente 
ignoradas porque sua consideração numérica é incerta e muito variável, dependendo do tipo de solo, e 
porque a influência sobre a intensidade dos momentos fletores e forças cortantes na sapata é relativamente 
pequena.[7] 
 No caso de radier, que é comumente flexível quando comparado às sapatas, devem ter uma avaliação 
das tensões de flexão e da distribuição da pressão no solo de maneira mais cuidadosa. 
 A NBR 6118 (item 22.6.1) permite que, no caso de sapata rígida, se possa “admitir plana a 
distribuição de tensões normais no contato sapata-terreno, caso não se disponha de informações mais 
detalhadas a respeito. Para sapatas flexíveis ou em casos extremos de fundação em rocha, mesmo com 
sapata rígida, essa hipótese deve ser revista.” E no item 22.6.2.3 relativo às sapatas flexíveis: “A 
distribuição plana de tensões no contato sapata-solo deve ser verificada.” 
 A NBR 6122 (7.6.1) recomenda que a “área da fundação solicitada por cargas centradas deve ser 
tal que as tensões transmitidas ao terreno, admitidas uniformemente distribuídas, sejam menores ou iguais à 
tensão admissível ou tensão resistente de projeto do solo de apoio.” No item 7.8.1: “As sapatas devem ser 
calculadas considerando-se diagramas de tensão na base representativos e que são função das 
características do solo (ou rocha).” 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 14 
 
 
RÍGIDA
(ARGILA)
RÍGIDA
(AREIA)
(ARGILA)
FLEXÍVEL
(AREIA)
FLEXÍVEL
 
Figura 1.23 – Distribuição de pressão no solo em sapata sob carga centrada: a) sapata flexível sobre argila; 
 
 
 Como se observou, a distribuição real não é uniforme, mas por simplicidade, na maioria dos casos, 
admite-se a distribuição uniforme, o que geralmente resulta esforços solicitantes maiores (Figura 1.24). 
 
Rígida
Areia
Flexível
Areia
 
Figura 1.24 – Distribuição de tensões no solo. 
 
 
1.6 Projeto de Sapatas Isoladas 
 
Neste item será estudado o dimensionamento estrutural de sapatas isoladas, com maior ênfase para as 
sapatas rígidas. No estudo das sapatas isoladas, os seguintes casos serão analisados, em função do tipo de 
solicitação: carga centrada ou excêntrica, com um ou dois momentos fletores solicitantes. A ênfase é para a 
sapata retangular ou quadrada, com o centro de gravidade da sapata coincidente com o centro de gravidade 
do pilar. Os métodos de projeto abordados são o do CEB[5] de 1970, do ACI 318[8] e o tradicional “Método 
das Bielas”, de Blévot. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 15 
 
 
 Os procedimentos de projeto de sapatas isoladas são largamente baseados nos resultados de 
investigações experimentais de Talbot[9] e Richart[10], e eles vêm sendo reavaliados em mais recentes 
pesquisas, com interesse nos efeitos da força cortante e da tração diagonal.[7] 
 O trabalho de Talbot em 1913, com ensaio experimental de 197 sapatas, representou o primeiro 
avanço para o entendimento do comportamento estrutural de sapatas, dos mecanismos de ruptura, e 
ressaltaram a importância da força cortante nas sapatas.[6] Richart apresentou em 1948 resultados de ensaios 
de 156 sapatas de várias formas e detalhes construtivos. 
 O relatório do ACI-ASCE[11] de 1962 apresentou uma síntese dos diversos dados experimentais e o 
desenvolvimento de análise e projeto de sapatas atualmente utilizadas nos Estados Unidos. Os modelos são 
simplificações do comportamento das sapatas, porém, são conservativos e seguros, sendo por isso utilizados 
até os dias de hoje, com várias justificativas, conforme apresentadas por Coduto.[6] 
O projeto da sapata isolada tem as seguintes fases: estimativa das dimensões da sapata, 
dimensionamento das armaduras de flexão, verificação da força cortante (e da punção quando for o caso), 
das tensões de compressão diagonais, da aderência da armadura de flexão e do equilíbrio referente ao 
tombamento e ao deslizamento. 
 
1.6.1 Comportamento Estrutural 
 
 A sapata isolada pode ser representada como tendo volumes de concreto em balanço que se projetam 
da seção transversal do pilar em ambas as direções, e submetidos à pressão do solo de baixo para cima. 
Assim, a sapata pode ser comparada a uma laje lisa invertida, em balanço ao redor do pilar, onde se apoia 
diretamente (Figura 1.25). 
PILAR DE
APOIO
LAJE LISA
SUPERFÍCIE DE
RUPTURA
PILAR
SAPATA
SUPERFÍCIE DE
RUPTURA
REAÇÃO DO SOLO
 
 a) laje lisa; b) sapata de fundação. 
Figura 1.25 – Analogia entre laje lisa e sapata. 
 
 Como a laje lisa, a sapata é submetida aos esforços solicitantes internos de momento fletor e força 
cortante. A sapata sujeita a elevadascargas verticais tem o projeto direcionado mais pela força cortante do 
que pelo momento fletor. 
 O mecanismo de ruptura da sapata por efeito de força cortante é semelhante ao da laje lisa, e a 
resistência da sapata é maior que a resistência de vigas, desde que a característica tridimensional da sapata 
contribui para esse fenômeno.[12] 
 Segundo o item 22.6.2 da NBR 6118, se eliminada a complexidade da interação solo-estrutura, o 
comportamento estrutural das sapatas pode ser analisado segundo a rigidez da sapata, se rígida ou flexível. 
 
1.6.1.1 Sapatas Rígidas 
 
 Conforme o item 22.6.2.2 da NBR 6118, o comportamento estrutural das sapatas rígidas pode ser 
descrito como: 
 
“a) trabalho à flexão nas duas direções, admitindo-se que, para cada uma delas, a tração na flexão seja 
uniformemente distribuída na largura correspondente da sapata. Essa hipótese não se aplica à compressão 
na flexão, que se concentra mais na região do pilar que se apoia na sapata e não se aplica também ao caso 
de sapatas muito alongadas em relação à forma do pilar; (Figura 1.26) 
 
b) trabalho ao cisalhamento também em duas direções, não apresentando ruptura por tração diagonal, e 
sim por compressão diagonal verificada conforme 19.5.3.1. Isso ocorre porque a sapata rígida fica 
inteiramente dentro do cone hipotético de punção, não havendo, portanto, possibilidade física de punção.” 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 16 
 
 
 
 A admissão da uniformidade da tensão de tração ao longo da largura da sapata, em cada direção, faz 
com que a armadura de flexão As,B , por exemplo, paralela à dimensão B da sapata, seja disposta constante ao 
longo de toda a dimensão A da sapata, e de modo semelhante quanto à armadura As,A na outra direção da 
sapata. As duas armaduras são perpendiculares e formam uma malha, posicionadas próximas à superfície da 
base da sapata (Figura 1.27). 
 
COMPRESSÃO
TRAÇÃO
REAÇÃO DO
SOLO
TENSÃO DE TRAÇÃO
( )sct,f
 
Figura 1.26 – Trajetórias das tensões principais e tensão de tração uniforme na sapata rígida não alongada. 
 
 
B
A
AS,A
AS,B
B
sct,f
sct,f
AS,B
AS,A
A
h
TENSÃO DE TRAÇÃO
AO LONGO DE B
 
Figura 1.27 – Armaduras positivas de flexão de sapata isolada. 
 
 
 No caso de sapatas alongadas, ou seja, onde a dimensão A é muito superior à dimensão B, a tração 
uniforme não deve ser admitida, e neste caso, o critério do CEB-70 pode ser aplicado como solução, para a 
distribuição da armadura. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 17 
 
 
 A possível ruptura devido às tensões de compressão diagonais (σII), deve ser verificada nas seções 
correspondentes ao perímetro do pilar (superfície crítica C conforme o item 19.5.3.1 da NBR 6118 (Figura 
1.28). 
Seção a ter compressão
verificada (item 19.5.3.1
da NBR6118)
sI
sII
 
Figura 1.28 – Tensões principais na sapata isolada. 
 
 O caso mais típico de possibilidade de ruptura por efeito de punção é aquele existente na ligação da 
laje lisa com o pilar de apoio (Figura 1.29). A sapata rígida, devido às dimensões em planta e à altura, não 
rompe por punção por estar inteiramente dentro do cone de punção (Figura 1.30). 
 
30°-35º
CONE DE
PUNÇÃO
PILARFISSURA POR
PUÇÃO
LAJE
 
Figura 1.29 – Laje apoiada diretamente em pilar (laje lisa). 
 
LIMITE DO CONE
DE PUNÇÃO
SAPATA
PILAR
 
Figura 1.30 – Sapata rígida e o cone de punção. 
 
1.6.1.2 Sapatas Flexíveis 
 
 Segundo a NBR 6118 (item 22.6.2.3), o comportamento estrutural das sapatas flexíveis pode ser 
descrito como: 
 
“a) trabalho à flexão nas duas direções, não sendo possível admitir tração na flexão uniformemente 
distribuída na largura correspondente da sapata. A concentração de flexão junto ao pilar deve ser, em 
princípio, avaliada; 
 
b) trabalho ao cisalhamento que pode ser descrito pelo fenômeno da punção (ver 19.5). 
 
A distribuição plana de tensões no contato sapata-solo deve ser verificada.” 
 
 A Figura 1.31 apresenta o diagrama de momentos fletores, que variam ao longo das sapatas flexíveis. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 18 
 
 
 A sapata flexível deve ter o comportamento à punção verificado, porque, devido à pequena altura h 
relativamente às dimensões da sapata em planta, há a possibilidade de ruptura por punção (Figura 1.30). 
 
N
p
M
(variável)
 
 
 
Figura 1.31 – Momento fletor na sapata flexível. 
 
 
POSSÍVEIS SUPERFÍCIES DE
RUPTURA POR PUNÇÃO
h
 
 
Figura 1.32 – Sapata flexível e possíveis superfícies de ruptura por punção. 
 
 A sapata pode romper por efeito de força cortante como uma viga larga (Figura 1.33a e Figura 1.34a) 
ou por puncionamento (Figura 1.33b, Figura 1.34b e Figura 1.35). 
 
SUPERFÍCIE DE
RUPTURA
d
d
 
 
SUPERFÍCIE DE
RUPTURA
d
2
d
2
d
2
d
2
AS
 
a) análise com viga; b) análise à punção. 
Figura 1.33 – Seções críticas na análise da viga à força cortante.[13] 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 19 
 
 
 
 
 
a) superfície de ruptura por efeito de 
força cortante, como viga; 
b) superfície de ruptura por punção. 
Figura 1.34 – Possíveis superfícies de ruptura de sapatas flexíveis.[13] 
 
 
 
 
Figura 1.35 – Superfície de ruptura por punção nas sapatas flexíveis.[13] 
 
 Os métodos normalizados de projeto das sapatas, nos Estados Unidos, enfatizam a possibilidade de 
ruptura por dois modos: por efeito de força cortante e por flexão. A Figura 1.36 mostra a ruptura por força 
cortante, considerada uma combinação de tensões inclinadas de tração com força cortante, evitada 
principalmente pela adequada altura da sapata. A ruptura por flexão (Figura 1.37) pode ser evitada pela 
adequada armadura de flexão, posicionada próxima à base da sapata. 
 
 
 
Figura 1.36 – Ruptura de sapata por efeito de força cortante. [6] 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 20 
 
 
 
Figura 1.37 – Ruptura de sapata por flexão. [6] 
 
 
1.6.2 Detalhes Construtivos 
 
 A NBR 6122 (item 7.7.3) estabelece que “Todas as partes da fundação superficial (rasa ou direta) 
em contato com o solo (sapatas, vigas de equilíbrio, etc.) devem ser concretadas sobre um lastro de concreto 
não estrutural com no mínimo 5 cm de espessura, a ser lançado sobre toda a superfície de contato solo-
fundação. No caso de rocha, esse lastro deve servir para regularização da superfície e, portanto, pode ter 
espessura variável, no entanto observado um mínimo de 5 cm.” 
 Segundo a NBR 6122 (item 7.7.2), “Nas divisas com terrenos vizinhos, salvo quando a fundação for 
assente sobre rocha, tal profundidade não deve ser inferior a 1,5 m. Em casos de obras cujas sapatas ou 
blocos estejam majoritariamente previstas com dimensões inferiores a 1,0 m, essa profundidade mínima 
pode ser reduzida.” O Anexo A da NBR 6122 apresenta procedimentos executivos relativos às fundações 
superficiais. 
 A superfície de topo da sapata deve ter um plano horizontal (mesa) maior que a seção transversal do 
pilar, com pelo menos 2,5 ou 3 cm, que facilita a montagem e apoio da fôrma do pilar (Figura 1.38). 
 Para evitar a possível ruptura nos lados da sapata é importante executar as faces extremas em 
superfície vertical, com a sugestão para ho :[14] 
 
 
î
í
ì
³
cm15
3/h
ho 1.3 
 
lastro de concreto simples
(> 5 cm, > )fck
>
 3
0
 c
m
ssolo, rocha
h
h
0
2,5 a 10 cm
a
 
Figura 1.38 – Detalhes construtivos para a sapata. 
 
 O ângulo a, de inclinação da sapata, deve ser preferencialmente igual ou menor que 30°, que é 
ângulo do talude natural do concreto fresco, a fim de evitar a necessidade de fôrma na construção da sapata. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 21 
 
 
 O posicionamento de outros elementos em relação à sapata pode variar caso a caso, comoas vigas 
por exemplo, conforme a Figura 1.39. 
 
VB
VB
Viga
baldrame
(VB)
 
Figura 1.39 – Posicionamento de viga em relação à sapata. 
 
 
1.6.3 Estimativa das Dimensões de Sapatas com Carga Centrada 
 
Observe na Figura 1.40 que cA e cB são distâncias da face do pilar à extremidade da sapata, em cada 
direção. Para obtenção de momentos fletores solicitantes e armaduras de flexão não muito diferentes nas 
duas direções da sapata, procura-se determinar as dimensões A e B de modo que os balanços sejam iguais ou 
semelhantes (cA » cB). 
B
A
b
p
ap
C
B
CACA
C
B
 
Figura 1.40 – Notações para as dimensões da sapata isolada. 
 
 Fazendo cA = cB tem-se: 
 
A – ap = B – bp 1.4 
 
A – B = ap – bp 1.5 
 
e consequentemente, As,A » As,B . 
 
A área de apoio ou da base da sapata pode ser determinada como: 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 22 
 
 
adm
qkgkmaj
sap
NNK
S
s
+
= 1.6 
 
onde: Ngk = carga vertical devida às ações permanentes, valor característico; 
 Nqk = carga vertical devida às ações variáveis, valor característico; 
 Kmaj = coeficiente majorador da carga vertical das ações permanentes; 
 σadm = tensão admissível do solo. 
 
O coeficiente Kmaj tem a finalidade de estimar o peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata. A 
NBR 6122 (item 5.6) recomenda considerar o peso próprio da sapata como no mínimo 5 % da carga vertical 
permanente. Campos[15] recomenda 1,05 para sapatas flexíveis e de 1,05 a 1,10 para sapatas rígidas, e quando 
as parcelas relativas às ações permanentes e variáveis (cargas acidentais sobre as lajes, etc.) não forem 
conhecidas, adotar 1,05 como fator multiplicador da carga total: 
 
adm
k,qg
sap
N05,1
S
s
= + 1.7 
 
1.6.3.1 Balanços (abas) Iguais nas Duas Direções 
 
 A área da base da sapata também pode ser definida por BASsap ×= , e: 
 
B
S
A sap= 1.8 
 
 Com balanços iguais (cA = cB) e considerando as Eq. 1.5 e 1.8, fica: 
 
 A – B = ap – bp ® pp
sap baB
B
S
-=- 
 
 Multiplicando por B e resolvendo a equação do segundo grau tem-se: 
 
 Ssap – B2 = (ap – bp) B 
 
( ) ( ) sap2pppp Sab4
1
ab
2
1
B +-+-= 1.9 
 
com Ssap definida pela Eq. 1.6 ou 1.7. 
 
 Os lados A e B devem ser múltiplos de 5 cm. No caso de sapata sob pilar de edifício, a 
recomendação é de que a dimensão mínima em planta seja de 80 cm.[3] Para a NBR 6122 (7.7.1), a menor 
dimensão não deve ser inferior a 60 cm. 
 
1.6.3.2 Balanços Não Iguais nas Duas Direções 
 
 Neste caso, onde cA ¹ cB (Figura 1.41), recomenda-se a seguinte relação entre os lados: 
 
 0,3
B
A
£ 
 
 Considerando R como a relação entre os lados tem-se: 
 
 RBAR
B
A
×=®= 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 23 
 
 
 Ssap = A . B ® Ssap = B . R . B 
 
R
S
B sap= 1.10 
 
 Deve-se definir um valor para R entre 1 e 3, e calcular a área da sapata (Ssap) com a Eq. 1.6 ou 1.7. 
Os lados A e B devem ser preferencialmente múltiplos de 5 cm. 
 
B
A
b
p
ap
C
B
CA CA
C
B
 
Figura 1.41 – Sapata isolada com balanços não iguais nas duas direções. 
 
1.6.4 Verificação à Punção 
 
 A verificação das sapatas à punção se faz conforme o item 19.5 da NBR 6118 - “Dimensionamento 
de lajes à punção”. A superfície de ruptura por punção está indicada na Figura 1.42. 
 
 
x
d
tg =a , fazendo a = 27° 
 
 d2
51,0
d
x
x
d
º27tg @=®= 
 
superfície de ruptura de
uma laje por efeito de
punção
a = 25º a 30º
d
As
x
pilar
-
laje
 
Figura 1.42 – Superfície de ruptura de uma laje por efeito de punção. 
 
 “O modelo de cálculo corresponde à verificação do cisalhamento em duas ou mais superfícies 
críticas definidas no entorno de forças concentradas. Na primeira superfície crítica (contorno C), do pilar 
ou da carga concentrada, deve ser verificada indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto, 
através da tensão de cisalhamento.” (NBR 6118, 19.5.1). A Figura 1.43 ilustra as superfícies críticas C e C’. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 24 
 
 
C
C'
C
C'
2d 2d
B
or
da
 li
vr
e
B. livre
 
 
Figura 1.43 – Superfícies críticas C e C’. 
 
 “Na segunda superfície crítica (contorno C’) afastada 2d do pilar ou da carga concentrada, deve ser 
verificada a capacidade da ligação à punção, associada à resistência à tração diagonal. Essa verificação 
também é feita através de uma tensão de cisalhamento, no contorno C’. Caso haja necessidade, a ligação 
deve ser reforçada por armadura transversal. A terceira superfície crítica (contorno C”) apenas deve ser 
verificada quando for necessário colocar armadura transversal.” (NBR 6118, 19.5.1). 
 No estudo aqui apresentado de punção, aplicado às sapatas, serão apresentados somente os itens 
relacionados à dispensa da armadura transversal. 
 A verificação é feita comparando a tensão de cisalhamento solicitante (τsd) nas superfícies críticas, 
com a tensão de cisalhamento resistente (τRd2), dada pela NBR 6118 para cada superfície crítica. Dispensa-se 
a armadura transversal para a punção quando τSd ≤ τRd2 . 
 
1.6.4.1 Tensão de Cisalhamento Solicitante em Pilar Interno com Carregamento Simétrico 
 
 A tensão de cisalhamento solicitante é (NBR 6118, 19.5.2.1): 
 
 
du
FSd
Sd ×
=t 1.11 
onde: 
( )
2
dd
d yx
+
= = altura útil da laje ao longo do contorno crítico C’, externo ao contorno C da área de 
aplicação da força e distante 2d no plano da laje; 
dx e dy são as alturas úteis nas duas direções ortogonais; 
 u = perímetro do contorno crítico C’; 
 u . d = área da superfície crítica; 
 FSd = força ou reação concentrada de cálculo. 
 
No caso da superfície crítica C, u deve ser trocado por u0 (perímetro do contorno C). “A força de 
punção FSd pode ser reduzida da força distribuída aplicada na face oposta da laje, dentro do contorno 
considerado na verificação, C ou C’.” 
 
1.6.4.2 Tensão de Cisalhamento Solicitante em Pilar Interno com Momento Fletor Aplicado 
 
“No caso em que, além da força vertical, existe transferência de momento da laje para o pilar, o 
efeito de assimetria deve ser considerado,” e a tensão de cisalhamento solicitante é: 
 
 
dW
MK
du
F
p
SdSd
Sd ×
×
+
×
=t 1.12 
 
sendo: 
 K = coeficiente que fornece a parcela do momento fletor MSd transmitida ao pilar por cisalhamento, 
dependente da relação C1/C2 (ver Tabela 1.1); 
 C1 = dimensão do pilar paralela à excentricidade da força, indicado na Figura 1.44; 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 25 
 
 
 C2 = dimensão do pilar perpendicular à excentricidade da força. 
 
Tabela 1.1 - Valores de K em função de C1 e C2 . 
C1/C2 0,5 1,0 2,0 3,0 
K 0,45 0,60 0,70 0,80 
 
 “Para pilares circulares internos, deve ser adotado o valor k = 0,6.” 
 
 Wp = módulo de resistência plástica do contorno C’. Pode “ser calculado desprezando a curvatura 
dos cantos do perímetro crítico” por: 
 
 ldeW
u
0
p ò= 1.13 
 
 dl = comprimento infinitesimal no perímetro crítico u; 
e = distância de dl ao eixo que passa pelo centro do pilar e sobre o qual atua o momento fletor MSd 
 
 1
2
221
2
1
p Cd2d16dC4CC2
C
W p++++= (para pilar retangular) 1.14 
 
 
 Wp = (D + 4d)2 (para pilar circular; D = diâmetro) 1.15 
 
Nota: para pilares de borda e de canto, ver a NBR 6118 (item 19.5.2.3 e 19.5.2.4). 
C'
e
e1
2dc1
c 2
dl
Msd
Fsd
º
Msd
Fsd
e1
Fsd
 
Figura 1.44 – Sapata submetida à força normal e momento fletor. 
 
1.6.4.3 Verificação de Tensão Resistente de Compressão Diagonal do Concreto na 
Superfície Crítica C 
 
“Esta verificação deve ser feita no contorno C, em lajes submetidas à punção, com ou sem 
armadura. Deve-se ter:” (NBR 6118, 19.5.3.1)tSd £ tRd2 1.16 
 
 tRd2 = 0,27av fcd 1.17 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 26 
 
 
onde ÷
ø
ö
ç
è
æ
-=a
250
f
1 ckv , com fck em MPa. 
 
 “O valor de tRd2 pode ser ampliado de 20 % por efeito de estado múltiplo de tensões junto a um pilar 
interno, quando os vãos que chegam a esse pilar não diferem mais de 50 % e não existem aberturas junto ao 
pilar.” 
 A superfície crítica C corresponde ao contorno do pilar ou da carga concentrada, e por meio da 
tensão de cisalhamento nela atuante verifica-se indiretamente a tensão de compressão diagonal do concreto 
(Figura 1.45). A tensão de cisalhamento solicitante é: 
 
 
du
F
o
Sd
Sd =t 1.18 
 
com: FSd = força solicitante de cálculo; 
 uo = perímetro de contorno crítico C; 
 uo = 2 (ap + bp) 
 uo d = área da superfície crítica C; 
 d = altura útil ao longo do contorno crítico C. 
 
C
d
Fsd
tsd
ap
b
p
 
Figura 1.45 – Tensão de cisalhamento na sapata. 
 
1.6.4.4 Tensão Resistente na Superfície Crítica C’ em Elementos Estruturais ou Trechos 
sem Armadura de Punção 
 
“A verificação de tensões na superfície crítica C’ deve ser efetuada como a seguir:” (NBR 6118, 
19.5.3.2) 
 tSd £ tRd1 1.19 
 
 ( ) cp3
1
ck1Rd 10,0f100d
20
113,0 s+×r÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+=t 1.20 
 
onde: 
 yx . rr=r ; 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 27 
 
 
( )
2
dd
d yx
+
= = altura útil da laje ao longo do contorno crítico C da área de aplicação da força (cm); 
 r = taxa geométrica de armadura de flexão aderente (armadura não aderente deve ser desprezada); 
 rx e ry = “taxas de armadura nas duas direções ortogonais assim calculadas; 
 
- na largura igual à dimensão ou área carregada do pilar acrescida de 3d para cada um dos lados; 
 - no caso de proximidade da borda, prevalece a distância até a borda, quando menor que 3d.” 
 
 fck em MPa. 
 
 No caso de sapatas de fundação, a tensão de cisalhamento resistente é: 
 
 2cd3 ck1Rd f5,0*a
d2
f100
d
20
113,0 £r÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+=t 1.21 
 
 fcd2 = resistência de cálculo do concreto à compressão para regiões não fissuradas. 
 
 a* £ 2d 
 
 cd
ck
2cd f250
f
16,0f ÷
ø
ö
ç
è
æ -= , com fck em MPa 1.22 
 
 u* = 2ap + 2bp + 2pa* 1.23 
 
Superfície C' 
(perímetro = u*)
d
ap
a
*
A
 
Figura 1.46 – Distância a*. 
 
 
 Para pilares com momento fletor solicitante, tSd é: 
 
 
dW
MK
d*u
F
p
SdSd
Sd +=t 1.24 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 28 
 
 
1.6.5 Projeto com Considerações do CEB-70 
 
 O método proposto pelo CEB-70[5] para o cálculo de sapatas e blocos4 sobre estacas foi traduzido 
pelo Professor Lauro Modesto dos Santos.[16] Para o método poder ser aplicado, as sapatas devem apresentar 
as seguintes características geométricas (Figura 1.47): 
 
h2c
2
h
££ (ou 2
h
c
2
1
££ ) 1.25 
 
 Se c > 2h, a sapata pode ser considerada como viga ou como placa, e calculada de acordo com a 
teoria correspondente. Se o balanço (aba) for pequeno (c < h/2) em qualquer direção, é admitido que se trata 
de bloco de fundação, e o método apresentado não é aplicável. 
h
CC
 
Figura 1.47 – Balanço c na sapata isolada. 
 
 “Admite-se que o comportamento do solo seja elástico e que a estabilidade seja assegurada 
unicamente pelas forças elásticas que ele transmite à sapata através da superfície de apoio.”[16] Portanto, a 
distribuição das tensões devidas às reações do solo sobre a superfície de apoio da sapata é plana (Figura 
1.48). Forças horizontais que atuem na sapata são equilibradas unicamente por forças de atrito desenvolvidas 
entre a superfície de apoio da sapata e o solo, e as forças de atrito não podem ser consideradas para reduzir a 
armadura principal. 
 
N
M("pequeno")
(LN fora da
seção)
Superfície
plana
N
M("grande")
x
Distribuição admitida para
quando existirem tensões de
tração na base da sapata
 
Figura 1.48 – Distribuição da reação do solo na base da sapata. 
 
1.6.5.1 Dimensionamento e Disposições das Armaduras de Flexão 
 
As metodologias para projeto de sapatas diferem quanto à seção para consideração dos momentos 
fletores. No caso do CEB-70, os momentos fletores são calculados, para cada direção, em relação a uma 
seção de referência (S1A ou S1B) plana, perpendicular à superfície de apoio, ao longo da sapata e situada 
internamente ao pilar, distante da face do pilar de 0,15ap , onde ap é a dimensão do pilar normal à seção de 
referência (Figura 1.49). 
 A altura útil d da seção de referência é tomada na seção paralela à S1 e situada na face do pilar e não 
deve exceder 1,5c. Para a sapata da Figura 1.49, d ≤ 1,5cA . 
 
 
4 Os blocos sobre estacas são apresentados em outra apostila. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 29 
 
 
ap
0,15ap
CA
d
1
S1A
A 
 
Figura 1.49 – Seção de referência S1A , relativa à dimensão A da sapata. 
 
 
 O momento fletor relativo a uma seção de referência S1 é calculado considerando a reação do solo 
que age na área da base da sapata, limitada pela seção S1 e a extremidade da sapata mais próxima de S1 
(Figura 1.50). 
 O cálculo da armadura de flexão que atravessa perpendicularmente a seção S1 é feito como nas vigas 
à flexão simples, considerando as características geométricas da seção de referência S1 . O menor momento 
fletor deve ser pelo menos 1/5 do maior momento fletor, isto é, a relação entre a armadura de flexão menor e 
a maior na direção ortogonal deve ser ≥ 1/5. 
S1
s1
s2
 
Figura 1.50 – Diagrama para cálculo do momento fletor na seção de referência S1 . 
 
 
 Na avaliação dos momentos fletores não devem ser considerados o peso da sapata e do solo acima 
dela, e se o momento fletor que resultar for negativo, deverá existir uma armadura negativa na parte superior 
da sapata. 
 Os momentos fletores são calculados nas seções de referência S1A e S1B , relativas respectivamente 
aos lados A e B da sapata. Os balanços cA e cb , como indicados na Figura 1.51, são: 
 
 
2
aA
c pA
-
= ; 
2
bB
c pB
-
= 1.26 
 
 A pressão que a sapata exerce sobre o solo, e que corresponde à reação do solo, é: 
 
 
B.A
N
p k= 
 
onde não é necessário considerar em Nk o peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata. 
 As distâncias xA e xB são: 
 
 xA = cA + 0,15ap 
 
 xB = cB + 0,15bp 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 30 
 
 
p
0
,1
5
ap
0,15ap
b
p
S1A
S1B
C
B
x B
B
CA xA
A 
b
p
N
S1A
 
Figura 1.51 – Notações e seções de referência S1A e S1B . 
 
 As áreas da base da sapata (Figura 1.52), a serem consideradas no cálculo dos momentos fletores 
são: 
A1A = xA B 
 
 A1B = xB A 
 
B
A
x B
xA
A1A
A1B
 
Figura 1.52 – Áreas de referência no cálculo dos momentos fletores. 
 
 Considerando a pressão no solo, atuante em cada área de influência, pode-se determinar a força 
resultante (Figura 1.53): 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 31 
 
 
 
 R1A = p . A1A = p . xA . B 
 
 R1B = p . A1B = p . xB . A 
 
xA
S1A
R1A
p
 
Figura 1.53 – Resultante da pressão no solo. 
 
 Os momentos fletores relativos às seções de referência S1A e S1B são: 
 
2
x
RM AA1A1 = e 2
x
RM BB1B1 = 
 
portanto: 
B
2
x
pM
2
A
A1 = 
 
A
2
x
pM
2
B
B1 = 
1.27 
 
 Nas sapatas com superfícies superiores inclinadas, a seção comprimida de concreto (A’c) tem a 
forma de um trapézio (Figura 1.54), e o cálculo exato das armaduras de flexão deve ter essa consideração. 
Como uma alternativa simplificada, Machado[17 ] considera o cálculo admitindo umaseção retangular com 
braço de alavanca z = 0,85d, e que neste caso o erro cometido não ultrapassa 10 %, e a área de armadura é: 
 
yd
d
s f.d85,0
M
A = 1.28 
As
A'c
LN
 
Figura 1.54 – Área comprimida pela flexão (A’c). 
 
 A fim de evitar possíveis problemas no preenchimento do concreto na fôrma e entre as barras, e 
diminuir a possibilidade de fissuras, recomenda-se que o espaçamento entre as barras da armadura de flexão 
esteja compreendido no intervalo de: 10 cm ≤ e ≤ 20 cm. 
 A armadura deve se estender, sem redução de seção, sobre toda a extensão da sapata, ou seja, de face 
à face, e deve terminar com gancho nas extremidades. A NBR 6118 (22.6.4.1.1) diz: “A armadura de flexão 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 32 
 
 
deve ser uniformemente distribuída ao longo da largura da sapata, estendendo-se integralmente de face a 
face da sapata e terminando em gancho nas duas extremidades.” 
 Nas sapatas de base quadrada, a armadura de flexão pode ser uniformemente distribuída, 
paralelamente aos lados da sapata. Nas sapatas de base retangular, a armadura paralela ao lado maior, de 
comprimento A, dever ser uniformemente distribuída sobre a largura B da sapata. No caso da armadura na 
outra direção, aquela paralela ao lado menor (B), são dois os critérios de distribuição da armadura: 
 
a) quando B ³ ap + 2h (Figura 1.55): 
 
 Deve-se concentrar uma parcela da armadura total As na extensão B sob o pilar, segundo a fração: 
 
sABA
B2
+
 1.29 
 
onde h é a altura da sapata. O restante da armadura deve ser distribuído nas duas faixas além da dimensão B. 
 
B Armadura
B
A 
ap
b
p
 
 
Figura 1.55 – Distribuição de As quando B ³ ap + 2h. 
 
b) se B < ap + 2h (Figura 1.56): 
 
 Deve-se concentrar uma parcela da armadura total As na extensão ap + 2h sob o pilar, segundo a 
fração: 
 
( )
s
p
p A
h2aA
h2a2
++
+
 1.30 
 
 Do mesmo modo que o caso anterior, o restante da armadura deve ser distribuído nas duas faixas 
além da dimensão ap + 2h. 
Armadura
B
A 
ap
b
p
 + 2hap
 
Figura 1.56 – Distribuição de As quando B < ap + 2h. 
 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 33 
 
 
1.6.5.2 Verificação da Força Cortante 
 
 O método do CEB-70[5] considera que a força cortante deve ser verificada nas duas direções da 
sapata, atuantes em uma seção de referência (S2) distante d/2 da face do pilar. A força cortante atuante deve 
ser menor que uma força cortante limite (máxima). Segundo Machado[17], a força cortante limite preconizada 
pelo CEB-70 é muito baixa e, portanto, muito conservadora, de modo que não deve ser considerada no 
projeto de sapatas rígidas. Nessas sapatas, a NBR 6118 (item 22.6.2.2) preconiza que não ocorre ruptura por 
tração diagonal, e sim a possibilidade de ruptura da diagonal comprimida, de modo que apenas a superfície 
crítica C necessita ser verificada (conforme 19.5.3.1). Portanto, a força cortante atuante na sapata rígida não 
será verificada. No caso das sapatas flexíveis, tanto as forças cortantes atuantes quanto a punção devem ser 
verificadas. 
 
1.6.5.3 Exemplo 1 – Sapata Isolada Rígida Sob Carga Centrada 
 
 Dimensionar uma sapata direta de fundação para um pilar com seção transversal 20 x 80 cm, que transfere à 
sapata uma carga vertical centrada total de 1.250 kN (Nk = valor característico), com armadura vertical no pilar 
composta por barras de 16 mm (fl,pil), tensão admissível do solo (σadm) de 0,26 MPa (2,6 kgf/cm2) e: 
 momentos fletores solicitantes externos inexistentes (Mx = My = 0); 
 coeficientes de ponderação da segurança: γc = γf = 1,4 ; γs = 1,15; 
 materiais: concreto C25, aço CA-50 (fyd = 43,48 kN/cm2); 
 cobrimento de concreto: c = 4 cm. 
 
Resolução 
 
a) Dimensões da sapata 
 
 Estimativa das dimensões da sapata em planta (Figura 1.57), considerando o fator majorador de carga (Kmaj) de 
1,10 a fim de levar em conta o peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata5 (Eq. 1.6): 
 
 2
adm
kmaj
sap cm885.52026,0
12501,1NK
S =
×
=
s
= 
 
 
80
 20B
A
b
p
ap
c B
c B
cAcA
 
 
Figura 1.57 – Dimensões (cm) da sapata. 
 
 Fazendo sapata com balanços iguais (cA = cB = c), a dimensão do menor lado da sapata em planta é (Eq. 1.9): 
 
 sap
2
pppp S)ab(4
1
)ab(
2
1
B +-+-= = 9,20152885)8020(
4
1
)8020(
2
1 2 =+-+- cm 
 
 
5 Essas cargas verticais e porventura outras previstas que atuarem sobre a sapata, que aumentam a pressão no solo, devem ser 
computadas no cálculo da área da base da sapata. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 34 
 
 
como as dimensões devem ser preferencialmente valores múltiplos de 5 cm, adota-se 205 cm para B. Com cA = cB , o 
lado maior da sapata é (Eq. 1.5): 
 
 A – B = ap – bp ® A – 205 = 80 – 20 ® A = 265 cm (ver Figura 1.59) 
 
 A área corrigida da base da sapata é: 
 
 Ssap = 265 . 205 = 54.325 cm2 > 52.885 cm2 ® ok! 
 
 Os balanços, iguais nas duas direções, resultam (Eq. 1.6): 
 
 5,92
2
80265
2
aA
cc pBA =
-
=
-
== cm 
 
 A altura da sapata, supondo-a como rígida conforme a NBR 6118, deve atender6 (Eq. 1.1): 
 
 7,61
3
80265
3
aA
h p ³
-
³
-
³ cm 
 
 Para possibilitar a ancoragem da armadura longitudinal do pilar dentro do volume da sapata, a altura útil d 
deve ser superior ao comprimento de ancoragem (lb) da armadura do pilar: d ³ lb (Figura 1.58). O comprimento de 
ancoragem, considerando região de boa aderência, concreto C25, fl,pil = 16 mm e ancoragem com gancho7, é lb = 42 
cm, conforme a Tabela A-7 anexa. Portanto, d ³ 42 cm. 
 Adotando h = 70 cm, a sapata é classificada como rígida, e para a altura útil d pode-se considerar: 
 
 d = h – (c + 1) = h – (4,0 + 1,0) = h – 5 cm = 70 – 5 = 65 cm ® d = 65 cm > lb = 42 cm ® ok! 
 
 Para a altura das faces verticais nas extremidades da sapata tem-se (Eq. 1.3): 
 
 
î
í
ì ==
³
cm15
cm3,233/703/h
ho ® ho = 25 cm (geralmente adota-se um valor múltiplo de 5 cm) 
d > b
 
Figura 1.58 – Altura útil mínima para a sapata. 
 
 O ângulo da superfície inclinada da sapata é: 
 
 
5,92
2570
c
hh
tg o
-
=
-
=a ® a = 25,9° 
 
a recomendação é de que o ângulo a seja inferior a 30°, para possibilitar construir a superfície inclinada sem a 
necessidade de colocação de fôrma. 
 
 
6 Sendo os balanços iguais, não é necessário verificar na direção do lado B da sapata. 
7 Porque a barra é ancorada com gancho vertical na extremidade da sapata. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 35 
 
 
S1A
S1A
a
 
80
 2
0B
2
0
5
 c
m
A
265 cm
p
 
92,5
 
92,5
 
9
2
,5
9
2
,5
b
p
ap
h
 =
 7
0
d
 =
 6
5
0,15 = 12,0ap
c B
c B
cAcA
 
104,5
xA
³ 
3
0
 
 
Figura 1.59 – Dimensões (cm) da sapata e seção de referência S1A . 
 
b) Determinação dos momentos fletores internos solicitantes 
 
 Os esforços solicitantes atuantes na sapata podem ser computados em função da pressão no solo calculada 
considerando as ações externas que atuam na sapata (forças e momentos fletores) já majoradas pelos coeficientes de 
ponderação das ações. A pressão no solo assim calculada é fictícia e não deve ser comparada à tensão admissível do 
solo. Isso permite que diferentes coeficientes de ponderação das ações (permanentes, variáveis, etc.) sejam considerados 
diretamente. A pressão no solo será um valor de cálculo, de modo que os esforços solicitantes decorrentes serão 
também valores de cálculo. As cargas relativas ao peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata devem ser excluídas 
no cálculo do momento fletor. A pressão8no solo é: 
 
 03221,0
205265
1250.4,1
BA
N
p dd =×
=
×
= kN/cm2 
 
 Nota-se que os limites impostos na Eq. 1.15 para aplicar o processo do CEB-70 são atendidos9: 
 
 702c
2
70
h2c
2
h
×££®££ ® 35 < c = 92,5 cm < 140 cm ® ok! 
 
 Cálculo dos momentos fletores nas seções de referência S1A e S1B (Eq. 1.17): 
 
 xA = cA + 0,15ap = 92,5 + 0,15 . 80 = 104,5 cm 
 
 xB = cB + 0,15bp = 92,5 + 0,15 . 20 = 95,5 cm 
 
 
8 A pressão no solo é uniforme porque a carga na sapata é centrada, devida unicamente a N. 
9 No caso de balanços não iguais (cA ≠ cB), a verificação deve ser feita nas duas direções da sapata. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 36 
 
 
 053.36205
2
5,104
03221,0B
2
x
pM
22
A
dd,A1 === kN.cm 
 
 924.38265
2
5,95
03221,0A
2
x
pM
22
B
dd,B1 === kN.cm 
 
 A Figura 1.60 ilustra os momentos fletores solicitantes na sapata. 
 
M
1
A
,d 38924
3
6
0
5
3
M1B,d
A = 265
B
 =
 2
0
5
S1A
M = 360531A,d
M = 389241B,d
 
Figura 1.60 – Momentos fletores atuantes na sapata. 
 
 As armaduras de flexão segundo os lados A e B da sapata, considerando γs = 1,15, e fyd = 50/1,15 = 43,48 
kN/cm2 para o aço CA-50, são (Eq. 1.18): 
 
 
2
yd
d,B1
B,s
2
yd
d,A1
A,s
cm20,16
48,43.65.85,0
38924
f.d85,0
M
A
cm01,15
48,43.65.85,0
36053
f.d85,0
M
A
===
===
 
 
A escolha das armaduras pode ser feita com auxílio da Tabela A-11 (ver anexo A) de armadura em cm2/m. É 
necessário transformar a armadura de cm2 para cm2/m: 
 
Na dimensão A10: 32,7
05,2
01,15
= cm2/m ® na Tabela A-11: f 10 mm c/10 cm (8,00 cm2/m) 
 
Na dimensão B: 11,6
65,2
20,16
= cm2/m ® na Tabela A-11: f 10 mm c/13 cm (6,15 cm2/m) 
 
Para a armadura de flexão, na prática recomenda-se que o espaçamento entre as barras esteja compreendido 
entre os valores: 10 cm ≤ e ≤ 20 cm. 
“Para barras com f ≥ 25 mm, deve ser verificado o fendilhamento em plano horizontal, uma vez que pode 
ocorrer o destacamento de toda a malha de armadura.” (NBR 6118, 22.6.4.1.1). Esta verificação está apresentada no 
item 1.9 deste texto. Como o diâmetro das barras de flexão neste exemplo é 10 mm, essa verificação não necessita ser 
feita. 
 O detalhamento das armaduras está mostrado na Figura 1.62. A NBR 6118 não especifica uma armadura 
mínima de flexão para as sapatas. Alguns autores aplicam a armadura mínima especificada pela norma para as vigas, o 
que geralmente resulta armadura mínima maior que a calculada no caso das sapatas rígidas, devido à sua grande altura. 
Outros autores adotam a armadura mínima de lajes, de 0,0010bw d. O ACI 318 (item 10.5.1) recomenda a armadura 
 
10 Observe na Eq. 1.17 que o momento fletor M1A,d é relativo à pressão do solo atuante ao longo do lado B da sapata, de modo que a 
área As,A deve ser distribuída em B (205 cm). 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 37 
 
 
mínima especificada para os elementos fletidos, sendo que a armadura mínima especificada para as lajes com altura 
uniforme pode ser muito pequena e insuficiente, e que não é uma boa situação na combinação de altas tensões de 
cisalhamento e baixas taxas de armadura de flexão (r). Desse modo, recomendam armaduras mínimas de 0,0018bw d ou 
0,0020bw d, dependendo do tipo de aço. 
 No caso por exemplo de se utilizar a armadura mínima do ACI, de 0,0018bw d = 0,0018 . 205 . 65 = 23,99 cm2 
(relativa ao lado A da sapata – momento fletor M1A,d), tem-se uma armadura mínima muito superior à armadura 
calculada, de 15,01 cm2, pois é um valor muito conservador. Desse modo, não será aplicada a armadura mínima até que 
a NBR 6118 defina o seu valor. 
 
 
c) Verificação da diagonal comprimida 
 
 Como a sapata é rígida, não ocorre a ruptura por punção, por isso basta verificar a tensão na diagonal de 
compressão, na superfície crítica C. 
 
 uo = 2 (20 + 80) = 200 cm (perímetro da superfície crítica C = perímetro do pilar - Figura 1.61) 
 
 Fazendo o cálculo da força FSd sem considerar a possível redução devida à reação de baixo para cima na base 
da sapata, proveniente do solo: 
 
 FSd = NSd = γf N = 1,4 . 1250 = 1.750 kN 
ap
b p
80
20
C
 
 
Figura 1.61 – Superfície crítica C – contorno do pilar. 
 
 Tensão de cisalhamento atuante (Eq. 1.14): 
 
135,0
65200
1750
du
F
o
Sd
Sd =×
==t kN/cm2 = 1,35 MPa 
 
 Tensão de cisalhamento resistente (Eq. 1.131.14): 
 
43,0
4,1
5,2
250
25
127,0f27,0 cdV2,Rd =÷
ø
ö
ç
è
æ
-=×a=t kN/cm2 = 4,3 MPa 
 
τSd = 1,35 MPa < τRd,2 = 4,3 MPa ® ok! 
 
 Portanto, não irá ocorrer o esmagamento do concreto na diagonal comprimida. Verifica-se que a sapata tem 
uma grande folga neste quesito. 
 As sapatas devem ter o equilíbrio verificado, quanto à possibilidade de tombamento e escorregamento, 
conforme apresentado no item 1.8. No caso de armaduras de flexão compostas por barras de diâmetro 20 mm ou 
superior é importante também verificar o possível descolamento ou escorregamento das armaduras, conforme 
apresentado no item 1.9. Essas verificações não estão apresentadas neste exemplo. 
 
d) Detalhamento das armaduras (Figura 1.62) 
 
 A NBR 6118 (item 22.6.4.1.1) especifica que a armadura de flexão deve ser uniformemente distribuída ao 
longo da largura da sapata (ver item 1.6.5.1 deste texto), sem maiores detalhes. O ACI 318 e o CEB-70 apresentam 
prescrições detalhadas quanto à distribuição da armadura, dependendo das dimensões dos lados A e B da sapata. No 
item 1.6.5.1 está apresentado o procedimento do CEB-70. Nota-se que: ap + 2h = 80 + 2 . 70 = 220 cm, é maior que a 
largura B (205 cm), e pelo CEB-70 a armadura deve ter uma parte concentrada sob o pilar. No entanto, neste exemplo, a 
sapata não é muito retangular, sendo a diferença dos lados de apenas 29 % (265/205 = 1,29), o que justifica distribuir as 
barras uniformemente em toda a sapata, como preconizado pela NBR 6118. Na dúvida, pode-se seguir o recomendado 
pelo ACI 318 ou pelo CEB-70. 
 Considerando f 10 mm, C25, região de boa aderência e ancoragem sem gancho, o comprimento de ancoragem 
(lb) na Tabela A-7 é de 38 cm. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 38 
 
 
 A NBR 6118 especifica que as barras das armaduras de flexão sejam estendidas até as faces nas extremidades 
da sapata, e terminadas em gancho. A consideração aqui será de que as barras devem se estender com o comprimento de 
ancoragem básico (lb), a partir da extremidade da sapata. Como o cobrimento de concreto da armadura é de 4 cm e ho é 
25 cm, pode-se considerar que o gancho vertical nas extremidades das barras seja: ho – 10 cm = 25 – 10 = 15 cm. O 
comprimento do ganho inclinado então é a diferença entre o comprimento de ancoragem básico e o comprimento do 
gancho vertical11: 
 
 lgancho,incl = 38 – 15 = 23 cm 
 
 Portanto, pode-se arredondar lgancho,incl para 25 cm (preferencialmente um valor múltiplo de 5 cm). 
 
B
205
A = 265
20 N2 20 N1
2
5
N
1
 -
 2
0
 c
/1
0
(2
0
5 
- 
8)
/1
0 
=
 1
9
,7
N2 - 20 c/13
(265 - 8)/13 = 19,8
92,5
6
5
Øl,pil
N1 - 20 Ø10 C = 337
1
5
1
5257
N
2
 -
 2
0
 Ø
1
0
 C
 =
 2
7
7
1
9
7
15
15
As,B
A
s,
A
³ 23 
As,A
A
s,
B
25
25
25 25
 
 
Figura 1.62 – Detalhamento das armaduras de flexão da sapata. 
 
1.6.5.4 Exercícios Propostos 
 
1o) Dimensionar e detalhar as armaduras da sapata isolada apresentada em Alonso[18] (pg. 14), para um pilar 
de seção 30 x 100 cm, com carga vertical característica de 3.000 kN, com: 
 σadm = 0,3 MPa Mx = My = 0 
 C25 fl,pilar = 22,5 mm 
 
2o) Resolver oExercício 1 fazendo o pilar circular com diâmetro de 60 cm, e com a sapata de base circular. 
 
 
 
 
 
 
11 A NBR 6118 não especifica o gancho inclinado; informa apenas que a barra deve terminar em gancho nas duas 
extremidades. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 39 
 
 
1.6.6 Projeto Conforme o Método das Bielas 
 
 O Método das Bielas para o projeto de sapatas foi proposto por Lebelle (1936, Figura 1.63), tendo 
sido elaborado com base nos resultados de numerosos ensaios experimentais. Aplica-se às sapatas corridas 
ou isoladas, com o seguinte limite para a altura útil: 
 
 
4
aA
d p
-
³ 1.31 
 
 Como a NBR 6118 classifica a sapata rígida conforme a relação h ≥ (A – ap)/3 - ver Eq. 1.1, nota-se 
que o limite de Lebelle corresponde à sapata flexível para a NBR 6118, de modo que existe uma faixa de 
valores para d que, se adotados, resultarão na sapata flexível para a NBR 6118. 
 A carga é transferida do pilar para a base da sapata por meio de bielas de concreto comprimido, que 
induzem tensões de tração na base da sapata (Figura 1.64), que devem ser resistidas por armadura. 
 
 
 
 
 
Figura 1.63 – Início do texto de Lebelle onde apresenta a teoria das bielas para sapatas corridas ou isoladas. 
 
 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 40 
 
 
Biela de compressão
Armadura necessária para
resistir à força de tração
 
Figura 1.64 – Caminhamento da carga do pilar em direção à base da sapata. 
 
 Segundo Gerrin[19] (1955), os ensaios mostram que não ocorre ruptura por compressão das bielas de 
concreto, e sua verificação pode ser dispensada. 
 A Figura 1.65 mostra as forças atuantes na sapata, de acordo com o método das bielas. 
 
P
0
y
x
AB
d
0
dT x
d x
d
y
dT
dN
dT y
p d
 dx 
y
 
Figura 1.65 – Esquema de forças segundo o método das bielas. 
 
 Considerando somente a direção x, como se fosse uma sapata corrida (Figura 1.66), tem-se as 
equações: 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 41 
 
 
ap
P
d
 
 
=
 
A
 .
 d
(A
 -
 
 
 )
d
 0
b
dxAs
a
p
a
d s
 
 
p
A
2
A
2
2dP
d
 
a
dT
x
p d x = dP
d
0
A
0
a
dN
dT
dP
 
 
Figura 1.66 – Forças na direção x da sapata. 
 
 
 dT = dN cos α ; dP = dN sen α 
 
 
0d
x
dxp
tg
dP
cos
sen
dP
dT ×=
a
=a
a
= 
 
 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-
×
-
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
-=×= ò
2
2
p
x
2
2
0
2
A
x
0
x
x
4
A
dA
)aA(p
2
1
T
x
4
A
d
p
2
1
dxx
d
p
T
 
 Para x = 0, Tx = Tmáx ® 
4
A
dA
)aA(
A
P
2
1
T
2
p
x ×
-
= 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 42 
 
 
 
d
)aA(
8
P
T px
-
= 1.32 
 
 De forma análoga para a direção ݕ da sapata isolada: 
 
 
d
)bB(
8
P
T py
-
= 1.33 
 
 A tensão máxima na biela de compressão é obtida das relações: 
 
 
s
c d
dN
=s , onde 
a
=
sen
dx
ds 
 
 A máxima compressão ocorre nas bielas mais inclinadas (a = ao)ሺȽ ൌ Ƚ଴ሻ e a tensão máxima ocorre 
no ponto A, onde a seção da biela é a mínima. A tensão máxima resulta: 
 
 
( )
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
-
-
+=s
2
0
2
p
p
c
d4
aA
1
a
P
 1.34 
 
 A Figura 1.67 mostra as armaduras de flexão da sapata, conforme o Método das Bielas. 
 
B
A
x
y
P
h
d
 ³
 1 4
 (
A
 -
 
 
)
a
p
Asx ou As,A
P
Asy ou As,B
d ³ 14 (B - )bp
ap
b
p
 
Figura 1.67 – Armaduras de flexão da sapata. 
 
 As armaduras são: 
 
 
yd
xd
A,ssx f
T
AA == 1.35 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 43 
 
 
 
yd
yd
B,ssy f
T
AA == 1.36 
 
 Levando-se em consideração as duas direções, a tensão máxima na biela é: 
 
 
( ) ( )
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
l-
-+-
+
××l
=s
2
0
2
2
p
2
p
pp
máx,c
d
1
1
4
bBaA
1
ba
p
 1.37 
 
onde 
B
b
A
a Pp ==l (áreas hometéticas). 
 
 No caso particular de sapatas (e pilares) quadradas: 
 
 
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
÷
÷
÷
÷
ø
ö
ç
ç
ç
ç
è
æ
l-
-
+
××l
=s
2
0
p
p
máx,c
d
1
1
aA
2
1
1
aA
p
 1.38 
 
1.6.6.1 Exemplo 2 - Sapata Isolada Rígida Sob Carga Centrada – Método das Bielas 
 
 Calcular as armaduras de flexão da sapata do Exemplo 1 pelo “Método das Bielas”. Os dados necessários do 
Exemplo 1 são: ap = 80 cm, Nk = P = 1.250 kN, A = 265 cm, B = 205 cm (Figura 1.68). 
 
 
80
 20B
A
b
p
ap
c B
c B
cAcA
 
 
Figura 1.68 – Dimensões (cm) da sapata. 
 
Resolução 
 
 No Exemplo 1 a sapata foi projetada como rígida conforme o critério da NBR 6118 (Eq. 1.1): 
 7,61
3
80265
3
aA
h p ³
-
=
-
³ cm 
 
 Pelo “Método das Bielas” deve-se ter (Eq. 1.22): 
 3,46
4
80265
4
aA
d p ³
-
=
-
³ cm 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 44 
 
 
 Considerando que a altura útil d é apenas um pouco inferior a h, nota-se que o valor limite da NBR 6118 para 
sapata rígida sempre atenderá ao valor limite do “Método das Bielas”. A sapata foi considerada com altura de 70 cm, e 
d = h – 5 cm = 70 – 5 = 65 cm > 46,3 cm, de modo que o método pode ser aplicado. 
 O ângulo β de inclinação da sapata é: 
 
 7027,0
)80265(
2
1
65
)aA(
2
1
d
tg
p
=
-
=
-
=b ® β = 35,1°(12) 
 
 Forças de tração na base da sapata (Eq. 1.23 e 1.24): 
 
 7,444
65
)80265(
8
1250
d
)aA(
8
P
T px =
-
×=
-
= kN 
 
 7,444
65
)20205(
8
1250
d
)bB(
8
P
T py =
-
×=
-
= kN 
 
 Como a sapata tem balanços iguais (cA = cB), as forças de tração resultaram iguais (Tx = Ty), de modo que as 
armaduras são também iguais nas duas direções: As,A = As,B . Com γf = 1,4 e Eq. 1.26 e 1.27: 
 
 32,14
15,1
50
7,4444,1
f
T
AA
yd
xd
B,sA,s =
×
=== cm2 
 
 Com o “Método das Bielas” a armadura de flexão resultou um pouco inferior à calculada no Exemplo 1 (As,A = 
15,01 e As,B = 16,20 cm2), conforme o método do CEB-70. A NBR 6118 recomenda verificar a tensão na diagonal 
comprimida (item 19.5.3.1), como demonstrado no Exemplo 1. 
 As sapatas devem ter o equilíbrio verificado, quanto à possibilidade de tombamento e escorregamento, 
conforme apresentado no item 1.8. No caso de armaduras de flexão compostas por barras de diâmetro 20 mm ou 
superior é importante também verificar o possível descolamento ou escorregamento das armaduras, conforme 
apresentado no item 1.9. 
 
1.6.7 Sapatas Sob Ações Excêntricas 
 
 Excentricidades nas sapatas podem ser causadas pela existência de momentos fletores ou força 
horizontal no pilar, como também pela carga vertical, quando aplicada fora do centro de gravidade da base 
da sapata, como as sapatas de divisa (Figura 1.69 e Figura 1.70). 
 
A
A/2 A/2
N e
d
iv
is
a
 
N
H
M
 
Figura 1.69 – Sapatas isoladas sob ações excêntricas. 
 
 
12 Montoya[4] recomenda que o ângulo b seja igual ou superior a 45° para classificar a sapata como rígida. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 45 
 
 
N
MA
HA
A
BN
M
B
H
B
 
Figura 1.70 – Sapata isolada sob ações excêntricas. 
 
1.6.7.1 Excentricidade em Uma Direção 
a) Ponto de aplicação da força dentro do núcleo central de inércia ÷
ø
ö
ç
è
æ <
6
A
e (Figura 1.71) 
 Ocorre quando 
6
A
e < . Tem-se: 
 
 
I
yM
BA
N×
±
×
=s 
 
 ÷
ø
ö
ç
è
æ +
×
=s
A
e6
1
BA
N
máx ; ÷
ø
ö
ç
è
æ
-
×
=s
A
e6
1
BA
N
mín 1.39 
 
A
B
A
6
B
6
e
N
smáx
smín
Nnúcleo
 
Figura 1.71 – Ponto de aplicação da força dentro do núcleo central de inércia. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 46 
 
 
b) Ponto de aplicação da força no limite do núcleo central ÷
ø
ö
ç
è
æ =
6
A
e (Figura 1.72) 
 
BA
N
2máx ×
=s 1.40 
 
A
A
6
smáx
N
 
 
Figura 1.72 – Ponto de aplicação da força no limite do núcleo central. 
 
c) Ponto de aplicação da força fora do núcleo central ÷
ø
ö
ç
è
æ >
6
A
e (Figura 1.73) 
 
 Parte da base da sapata (e solo) fica sob tensões de tração (smín < 0). ɐÀ ൏ ͲሻǤNeste caso, um novo 
diagrama triangular é adotado, excluindo-se a zona tracionada, e com o CG (CP) do triângulo coincidente 
com o limite do novo núcleo central. A tensão de compressão máxima aumenta para: 
 
 
÷
ø
ö
ç
è
æ -
=s
e
2
A
B3
N2
máx 1.41 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 47 
 
 
A
A
6
smáx, 1
N
e
B
LNsmín
 
6
A0
smáx
LN
3(A/2 - e)
A0
 
Figura 1.73 – Ponto de aplicação da força fora do núcleo central. 
 
1.6.7.2 Excentricidade nas Duas Direções 
 
A Figura 1.74 mostra o desenho em planta de uma sapata com excentricidades nas duas direções. 
y
xe
B
eA
A
B
N
 
Figura 1.74 – Sapata com excentricidade nas duas direções. 
 
 O equilíbrio é obtido com as pressões atuando em apenas uma parte da área da base da sapata, e: 
 
 
I
xM
I
yM
BA
N AB ×±
×
±
×
=s 1.42 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 48 
 
 
N
MB
HB
B
N
MA
HA
A
 
Figura 1.75 – Forças e momentos fletores atuantes na sapata. 
 
 
 MA’base = MA + HA . h ; MB’base = MB + HB . h 
 
 
N
M
e AA = , N
M
e BB = 
 
a) Quando 
6
1
B
e
A
e BA £+ (Figura 1.76) 
 
y
xe
B
eA
A
B
N
CG
s má
x
s mí
n
 
Figura 1.76 – Tensões na sapata para 
6
1
B
e
A
e BA £+ . 
 
 
 úû
ù
êë
é
++
×
=s
B
e6
A
e6
1
BA
N BA
máx ; úû
ù
êë
é --
×
=s
B
e6
A
e6
1
BA
N BA
mín 1.43 
 
 (toda seção seta comprimida) 
 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 49 
 
 
b) Quando 
6
1
B
e
A
e BA >+ (Figura 1.77) 
 
y
x
e
B
eA
A
B
N
2
1
4
3
s má
x
s mí
n
a
seção
comprimida
 
Figura 1.77 – Tensões na sapata para
6
1
B
e
A
e BA >+ . 
 
 
BAK
N
1
1máx ××
=s=s 1.44 
 
 smín = s4 = K4 s1 (fictício, não considerado) 1.45 
 
 smín = s4 < 0 1.46 
 
 K1 e K4 são determinadas no ábaco mostrado na Figura 1.78. Num ponto qualquer de coordenadas 
(x, y) a tensão é: 
 
 ( )
a+
úû
ù
êë
é a+
s-s+s=s
tg
A
B
1
tg
A
B
B
y
A
x
414mín 1.47 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 50 
 
 
 
 
Figura 1.78 – Ábaco para determinação das tensões máximas nas sapatas retangulares rígidas para 
ação com dupla excentricidade (Montoya[4]). 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 51 
 
 
Notas: 
- em todos os casos analisados deve-se ter, para a combinação de carregamento mais desfavorável, 
σmáx = 1,3σadm ; 
- para as cargas permanentes atuantes sobre a sapata, a base da sapata deve estar inteiramente comprimida, 
isto é: 
 
6
1
B
e
A
e g,Bg,A £+ 1.48 
 
 (G = peso próprio e solo sobre a sapata - Figura 1.79). 
 
Gs2
Gb2
Gs1
Gb1
 
Figura 1.79 – Forças representativas do peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata. 
 
- Para garantir a segurança contra tombamento da sapata, na condição mais desfavorável, pelo menos a 
metade da base da sapata deve estar comprimida, o que se consegue fazendo: 
 
 
9
1
B
e
A
e
2
B
2
A £÷
ø
ö
ç
è
æ
+÷
ø
ö
ç
è
æ
 1.49 
 
 
1.6.7.3 Exemplo 3 – Sapata Isolada sob Força Normal e um Momento Fletor 
 
 Para um pilar de 20 x 100 cm submetido a uma força de compressão (Nk) de 1.600 kN e um momento fletor 
(Mk) de 10.000 kN.cm, atuando em torno do eixo paralelo ao menor lado do pilar (Figura 1.80), dimensionar a fundação 
em sapata isolada, sendo conhecidos: concreto C25, aço CA-50, σadm = 0,030 kN/cm² (0,30 MPa), armadura 
longitudinal do pilar composta por barras de fl,pil = 20 mm. 
b
p
ap
k
kN
100
2
0 B
A
M
 
Figura 1.80 – Notação das dimensões e ações aplicadas na sapata. 
 
Resolução 
 
1) Cálculo das dimensões (em planta) da sapata, sem considerar o efeito do momento fletor. 
 
 Área de apoio da sapata, considerando Kmaj = 1,05 como estimativa do peso próprio da sapata e do solo sobre a 
sapata: 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 52 
 
 
 000.56
030,0
160005,1NK
S
adm
maj
sap =
×
=
s
= cm2 
 
 Dimensão B da sapata em planta (Eq. 1.9), com balanços (c) iguais nas duas direções (Figura 1.81): 
 
 ( ) ( ) sap2pppp Sab4
1
ab
2
1
B +-+-= = ( ) ( ) 0,2005600010020
4
1
10020
2
1 2 =+-+- cm 
 
que já é um valor múltiplo de 5 cm, de modo que B = 200 cm.13 Para balanços iguais (cA = cB) tem-se (Eq. 1.5): 
 
 A – ap = B – bp 
 
 A = B – bp + ap = 200 – 20 + 100 = 280 cm 
 
e a área da base da sapata passa a ser: Ssap = A . B = 280 . 200 = 56.000 cm2, que corresponde à área mínima para 
atender a tensão admissível do solo. 
B 2
0
0
A
280
 2
0
 
100
b
p
ap
 
Figura 1.81 – Dimensões da sapata (cm). 
 
2) Verificação das tensões na base da sapata 
 
 O cálculo da tensão no solo será feito considerando a estimativa do peso próprio da sapata e do solo sobre a 
sapata, pelo fator Kmaj de 1,05. Tensões na base da sapata (Figura 1.83): 
 
 
I
yM
BA
N ×
±
×
=s 
 
 
2
A
y = ; 
12
AB
I
3×
= 
 
 95,5
160005,1
10000
NK
M
e
maj
=
×
== cm ; 7,46
6
280
6
A
== cm 
 
 7,46
6
A
95,5e =<= cm ® a força N está aplicada dentro do núcleo central de inércia (ver Figura 1.71) 
 
 A tensão máxima é (Eq. 1.39): 
 
 
13 Como a sapata tem um momento fletor externo solicitante, que não foi previsto no cálculo da estimativa da dimensão B, convém 
adotar um valor superior ao calculado (200 cm). No entanto, a título de exemplificação para mostrar o que pode ocorrer, será adotado 
o valor calculado de 200 cm. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 53 
 
 
 ÷
ø
ö
ç
è
æ
+
×
=s
A
e6
1
BA
N
máx 
 
 0338,0
280
95,56
1
200280
160005,1
máx =÷
ø
ö
ç
è
æ ×
+
×
×
=s kN/cm2 > σadm = 0,030 kN/cm2 ® não ok! 
 
 Neste caso deve-se aumentar a seção da base da sapata. Fazendo o lado A = 300 cm e com a Eq. 1.9 tem-se o 
lado B e a nova área da base da sapata: 
 
 B = A – ap + bp = 300 – 100 + 20 = 220 cm 
 
 Ssap = A . B = 300 . 220 = 66.000 cm2 
 
 A excentricidade (e) não se altera, de modo que com as novas dimensões a tensão máxima é: 
 
 0285,0
300
95,56
1
220300
160005,1
máx =÷
ø
ö
ç
è
æ ×
+
×
×
=s kN/cm2 < σadm = 0,030 kN/cm2 ® ok! a tensão admissível do solo 
não foi ultrapassada. 
 
3) Altura da sapata 
 
 Fazendo como sapata rígida, conforme o critério da NBR 6118 (Eq. 1.1): 
 
 7,66
3
100300
3
aA
h p ³
-
³
-
³ cm , e como cA = cB , não é necessário verificar na direção do lado B. 
 
 É importante definir a altura da sapata também em função do comprimento de ancoragem da armadura 
longitudinaldo pilar (f 20 mm). Considerando situação de boa aderência, com gancho, C25, CA-50 (nervurado) tem-se 
o comprimento de ancoragem lb = 53 cm na Tabela A-7. 
 Adotando h = 80 cm tem-se a altura útil é: 
 
 d = h – 5 cm = 80 – 5 = 75 cm > lb = 53 cm ® ok! 
 
 A altura da face vertical nas extremidades da sapata é (Eq. 1.3): 
 
 
ïî
ï
í
ì ==
³
cm15
cm7,26
3
80
3
h
ho ® adotado ho = 30 cm 
 
 O balanço c da sapata, com balanços iguais (ver Figura 1.82), é (Eq. 1.16): 
 
 100
2
100300
2
aA
ccc pBA =
-
=
-
=== cm 
 
 O ângulo da superfície inclinada da sapata é: 
 
 
100
3080
c
hh
tg o
-
=
-
=a ® a = 26,6° ≤ 30° ® ok! 
 
a recomendação é de que o ângulo a seja inferior a 30°, para possibilitar a superfície inclinada sem a necessidade de 
colocação de fôrma. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 54 
 
 
B 2
2
0
A
300
 
1
0
0
 2
0
 
1
0
0
 
100
 
100
 
100
c B
c B
cA cA
b
p
ap
 
Figura 1.82 – Dimensões e balanços da sapata (cm). 
 
 
4) Cálculo dos momentos fletores segundo o CEB-70 
 
 Verificação se o processo do CEB-70 pode ser aplicado: 
 
 802c
2
80
h2c
2
h
×££®££ ® 40 £ c = 100 £ 160 cm ® ok! 
 
 Para cálculo dos esforços solicitantes atuantes na sapata (V e M), não é necessário considerar o peso próprio da 
sapata e do solo sobre a sapata, pois não influenciam nesses esforços solicitantes, de modo que o cálculo será refeito 
desconsiderando o fator Kmaj = 1,05, e com as ações externas majoradas por coeficientes de ponderação, neste caso γf = 
1,4: 
 25,6
1600.4,1
10000.4,1
N
M
e
d
d === cm 
 
 Tensão máxima teórica14 é (Eq. 1.39): 
 
 ÷
ø
ö
ç
è
æ
±
×
=s
A
e6
1
BA
N
máx 
 
 03818,0
300
25,66
1
220300
1600.4,1
d,máx =÷
ø
ö
ç
è
æ ×
+
×
=s kN/cm2 
 
 02970,0
300
25,66
1
220300
1600.4,1
d,mín =÷
ø
ö
ç
è
æ ×
-
×
=s kN/cm2 > 0 (como esperado, porque a força N aplicada está dentro 
do núcleo central de inércia) 
 
 Conforme o CEB-70, o momento fletor M1A,d deve ser calculado na seção de referência S1A (Figura 1.84). O 
cálculo deve compreender o diagrama de reações no solo compreendido entre a seção de referência e a extremidade da 
sapata, onde ocorre a tensão máxima (0,03818 kN/cm2). 
 A distância entre a extremidade da sapata e a seção de referência S1A é (Eq. 1.17): 
 
 xA = cA + 0,15ap = 100 + 0,15 . 100 = 115 cm 
 
 A tensão no solo na posição da seção de referência S1A é: 
 
 
( )
03493,0115
300
02970,003818,0
03818,0p A,1 =
-
-= kN/cm2 (ver Figura 1.84) 
 
 
14 A tensão máxima real aplicada no solo é de 0,0285 kN/cm2. O valor de 0,03818 kN/cm2 é teórico, serve apenas para 
calcular os esforços solicitantes na sapata, e considera o coeficiente de ponderação majorador das ações. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 55 
 
 
100
2
0
2
20
300
N
M
M
0,03818
0,02970
Nd
A . B
M yd
I
 
Figura 1.83 – Dimensões da sapata e esquema de tensões do solo. 
 
 
 
B 2
2
0
A
300
0,03818
0,02970
h 8
0 d 7
5
 
1
0
0
 2
0
 
1
0
0
 
100
 
100
 
100
c B
c B
cA cA
b
p
ap
S1A
p1,A
xa
 
115
0,15 = 15ap
 
p1,A
P1
P2
0,03818
0,03493
S1A 115
57,5
76,7 38,3
57,5
0,
194,
02
 
Figura 1.84 – Seção de referência S1A e valores das tensões do solo (kN/cm2). 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 56 
 
 
 As forças resultantes das tensões no solo, para o diagrama de tensões mostrado na Figura 1.84, são: 
 
 P1 = 0,03493 . 115 = 4,02 kN 
 
 P2 = (0,03818 – 0,03493) . 115/2 = 0,19 kN 
 
 M1A,d = (4,02 . 57,5 + 0,19 . 76,7) 220 = 54.059 kN.cm 
 
 Na dimensão B o momento fletor M1B,d deve ser calculado na seção de referência S1B (ver Figura 1.85). 
Considerando a tensão média entre as tensões mínima e máxima tem-se: 
 
 03394,0
2
02970,003818,0
pméd =
+
= kN/cm2 
 
 A distância entre a extremidade da sapata e a seção de referência S1B é (Eq. 1.17): 
 
 xB = cB + 0,15bp = 100 + 0,15 . 20 = 103 cm 
 
 010.54300
2
103
03394,0A
2
x
pM
22
B
médd,B1 === kN.cm 
0,02970
S 1A
S
1B
p
1A = 0,03493 0,03818
0,03818
0,03394
(valor médio)
0,02970
0,02970
 
Figura 1.85 – Esquema de reações do solo na base da sapata. 
 
 
 Armaduras de flexão (Eq. 1.18): 
 
yd
d
s fd85,0
M
A = ® 50,19
48,437585,0
54059
A A,s =××
= cm2 
 
86,8100
220
50,19
= cm2/m ® na Tabela A-11: f 10 mm c/9 cm (8,89 cm2/m) 
 
49,19
48,437585,0
54010
A B,s =××
= cm2 
 
50,6100
300
49,19
= cm2/m ® na Tabela A-11: f 10 mm c/12 cm (6,67 cm2/m) 
 
 Para a armadura de flexão recomenda-se que o espaçamento entre as barras esteja compreendido entre os 
valores: 10 cm ≤ e ≤ 20 cm. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 57 
 
 
5) Verificação da diagonal comprimida na superfície crítica C 
 
 O perímetro do pilar é: 
 
 uo = 2(ap + bp) = 2(20 + 100) = 240 cm (Figura 1.86) 
 
100
ap
2
0bp
 
Figura 1.86 – Perímetro do pilar – superfície crítica C. 
 
 A força aplicada pelo pilar, sem considerar a possível redução devida à reação de baixo para cima na base da 
sapata, proveniente do solo, é: 
 
 FSd = NSd = γf . N = 1,4 . 1600 = 2.240 kN 
 
 Tensão de cisalhamento atuante (Eq. 1.14): 
 
124,0
75240
2240
du
F
o
Sd
Sd =×
==t kN/cm2 = 1,24 MPa 
 
 Tensão de cisalhamento resistente (Eq. 1.13): 
 
43,0
4,1
5,2
250
25
127,0f27,0 cdv2,Rd =÷
ø
ö
ç
è
æ
-=a=t kN/cm2 = 4,3 MPa 
 
τSd = 1,24 MPa < τRd,2 = 4,3 MPa ® ok! 
 
 Portanto, não irá ocorrer o esmagamento das bielas comprimidas. 
 
 As sapatas devem ter o equilíbrio verificado, quanto à possibilidade de tombamento e escorregamento, 
conforme apresentado no item 1.8. No caso de armaduras de flexão compostas por barras de diâmetro 20 mm ou 
superior é importante também verificar o possível descolamento ou escorregamento das armaduras, conforme 
apresentado no item 1.9. 
 
6) Detalhamento das armaduras (Figura 1.87) 
 
 As armaduras serão distribuídas uniformemente nas direções A e B, conforme a NBR 6118 (22.6.4.1.1), a qual 
especifica que as barras das armaduras de flexão sejam estendidas até as faces das extremidades da sapata, e terminadas 
em gancho. Como o cobrimento de concreto é 4,0 cm e ho é 30 cm, pode-se considerar que o gancho vertical nas 
extremidades das barras seja: ho – 10 cm = 30 – 10 = 20 cm. 
 O comprimento de ancoragem das barras de flexão, considerando f 10 mm, C25, boa aderência, sem gancho, 
na Tabela A-7 é lb = 38 cm. O comprimento do ganho inclinado então é a diferença entre o comprimento de ancoragem 
(lb) e o gancho vertical: 
 
 lgancho,incl ≥ 38 – 20 ≥ 18 cm 
 
 Portanto, pode-se arredondar o lgancho,incl para 20 cm (preferencialmente um valor múltiplo de 5 cm). 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 58 
 
 
20 20
20
20
80
30
N
1
 -
 2
4
 c
/9
N2 - 24 c/12
100
ØlØ,pil
24 Ø10
24 Ø10
N1 - 24 Ø10 C = 372
2
0 2
0292
N
2
 -
 2
4
 Ø
1
0
 C
 =
 2
9
2
2
1
2
20
20
 
 
Figura 1.87 – Detalhamento das armaduras de flexão da sapata. 
 
 
1.6.7.4 Exemplo 4 – Sapata Isolada Sob Flexão Oblíqua 
(Exemplo de Edja L. Silva[20], Dissertação de Mestrado, 1988, EESC-USP, São Carlos/SP) 
 
 Dimensionar a sapata isolada de um pilar considerando: 
 
 - seção transversal do pilar: 40 x 60 cm ; fl,pilar = 22 f 20 mm (parte tracionada); 
 - força normal característica Nk = N = 1.040 kN; 
 - concretoC20 ; aço CA-50 ; c = 4,5 cm; 
 - tensão admissível do solo σadm = 500 kN/m2; 
 - momentos fletores solicitantes característicos: Mx = 280 kN.m ; My = 190 kN.m. 
 
Resolução 
 
a) Estimativa das dimensões da base da sapata 
 
 Considerando o fator Kmaj = 1,1 para estimar o peso próprio da sapata e do solo sobre ela, bem como outras 
eventuais cargas sobre o pavimento acima da sapata, tem-se: 
 
 288,2
500
10401,1N1,1
S
adm
sap =
×
=
s
= m2 = 22.880 cm2 
 
 Fazendo abas (balanços) iguais (cA = cB = c): 
 
 ( ) ( ) sap2pppp Sab4
1
ab
2
1
B +-+-= = ( ) ( ) m42,1288,26,04,0
4
1
6,04,0
2
1 2 =+-+- 
 
adotado B = 140 cm. 
 
 A – ap = B – bp ® A = B – bp + ap = 140 – 40 + 60 = 160 cm (Figura 1.88) 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 59 
 
 
 
 A área da base da sapata é: Ssap = A . B = 160 . 140 = 22.400 cm2 ≥ 22.880 cm2 ® ok! 
 
B
1
4
0
cm
A
160cm
x
y
60
40
N
N
Mx
N
My
 
Figura 1.88 – Dimensões e esforços solicitantes na sapata. 
 
b) Verificação das tensões na base da sapata 
 
 Em função da força normal e dos momentos fletores solicitantes: 
 
 N = 1.040 kN ; Mx = 280 kN.m ; My = 190 kN.m 
 
as excentricidades da força vertical são: 
 cm27m270,0
1040
280
ex === e cm3,18m183,01040
190
ey === 
 
 Cálculo da tensão máxima s1 com auxílio do ábaco da Figura 1.78: 
 
 
13,0
140
3,18
B
e
17,0
160
0,27
A
e
y
y
x
x
===h
===h
 ® ábaco (Figura 1.78) ® l1 = 0,34, zona C 
 
 6505003,13,1
BA
F
adm
1
V
1 =×£s£××l
=s kN/m2 
 
 Considerando o fator Kmaj = 1,1 para estimar o peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata, a tensão é: 
 
 502.1
4,16,134,0
10401,1
1 =××
×
=s kN/m2 >> 1,3σadm = 650 kN/m2 ® não ok! 
 
 As dimensões da sapata devem ser aumentadas! Nova tentativa com A = 220 cm, B = 200 cm e cA = cB = c = 
80 cm: 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 60 
 
 
 12,0
220
0,27
x ==h ; 09,0200
3,18
y ==h 
 
 Verifica-se que: 
 
6
1
21,0
B
e
A
e
yx
yx >=h+h=+ (há tração na base) 
 
no ábaco (Figura 1.78): l1 = 0,44, a = 36°, l4 = 0,10 e zona C. 
 
 Tensões nos vértices da sapata (Figura 1.89): 
 
 591
0.2.2,2.44,0
1040.1,1
1 ==s kN/m2 < 1,3σadm = 650 kN/m2 ® ok! 
 
 σ4 = – λ4 σ1 = – 0,10 . 591 = – 59,1 kN/m2 (fictícia) 
 
 
°+°
°
+-=
a+a
a
s-s-s=s
36cos36sen
36sen
)1,59591(591
sensen
sen
)( 4112 
 
 s2 = 317,4 kN/m2 
 
 
°+°
°
+-=
a+a
a
s-s-s=s
36cos36sen
36sen
)1,59591(591
sensen
sen
)( 4113 
 
 s3 = 214,5 kN/m2 
215
591
-59
317
LN
 
Figura 1.89 – Tensões nos vértices da sapata. 
 
c) Verificação do tombamento da sapata 
 
 111,0
9
1
9
1
B
e
A
e 2
y
2
x
2
y
2
x
££h+hÞ£÷
ø
ö
ç
è
æ
+÷
ø
ö
ç
è
æ
 
 
 0,122 + 0,092 = 0,023 < 0,111 ® ok! 
 
 Deve ainda ser verificada a equação: 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 61 
 
 
6
1
B
e
A
e g,yg,x £+ 
 
d) Determinação da altura da sapata como rígida 
 
 Pelo critério da NBR 6118: 
 
3,53
3
60220
3
aA
h
p
³
-
³
-
³ cm 
 
 Para a armadura do pilar (22 f 20 mm) será utilizado o gancho a fim de diminuir o comprimento de ancoragem 
e a altura necessária para a sapata. Para f 20, C20, boa aderência, com gancho, resulta lb = 61 cm, e: 
 
 d ≥ lb = 61 cm 
 
 Será adotado h = 75 cm, e d = 75 – 5 = 70 cm. 
 
 cm35hadotado
cm15
cm25
3
75
3
h
h oo =®
ïî
ï
í
ì ==
³ 
 
e) Determinação dos momentos fletores conforme o CEB-70 
 
 Verificação: 75280
2
75
h2c
2
h
×££®££ 
 
 37,5 ≤ c = 80 ≤ 150 cm ® ok! o método do CEB-70 pode ser aplicado. 
 
 As seções de referência S1 estão indicadas na Figura 1.90. Para simplificação pode-se admitir uma tensão 
uniforme de referência como: 
 
 
ïî
ï
í
ì
s
s
³s
méd
máx
ref 3
2
 
 
 Como simplificação a favor da segurança será considerada a maior tensão entre aquelas na metade dos lados A 
e B. 
 Dimensão A (S1A): 0,2
2
89,0
0,454B
2
x
pM
22
A
A == 
 
 0,454
2
317591
p =
+
= kN/m2 
 
 MA = 359,61 kN.m = 35.961 kN.cm 
 
 MA,d = 1,4 . 35961 = 50.346 kN.cm 
 
 Dimensão B (S1B): 2,2
2
86,0
0,403A
2
x
pM
22
B
B == 
 
 0,403
2
215591
p =
+
= kN/m2 
 
 MB = 327,86 kN.m = 32.786 kN.cm 
 
 MB,d = 1,4 . 32786 = 45.901 kN.cm 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 62 
 
 
215
591
-59
317
403 439
E
F
G
H
D
B
C
A
45
4
x B
86
B =
 20
0
165
xA
89
A = 220
47
3
97
S
1B
S 1A
302
 
 
Figura 1.90 – Tensões na base da sapata e seções de referência S1 . 
 
 
Atividade: fazer os demais cálculos, verificações e o detalhamento final das armaduras. 
 
 
1.6.8 Sapata Flexível Sob Carga Centrada 
 
 Segundo o critério da NBR 6118, sapatas flexíveis são aquelas que: 
 
 
3
a -A 
 <h p 1.50 
 
 As sapatas flexíveis são menos utilizadas que as sapatas rígidas, e são indicadas para cargas verticais 
baixas e solos relativamente fracos (NBR 6118, item 22.6.2.3). A verificação da punção é obrigatória, pois o 
cone de punção pode ficar dentro da sapata. 
 Conforme Andrade[14], os momentos fletores e as forças cortantes podem ser calculados segundo dois 
critérios: 
 
a) “independentes” segundo cada direção, desprezando o fato que a sapata trabalha como laje armada em 
cruz (Figura 1.91a); 
b) segundo cada direção com um determinado quinhão de carga, determinados geometricamente e 
empiricamente, repartindo-se a área da sapata em “áreas de influência”, que podem ser triangulares ou 
trapezoidais (Figura 1.91b e Figura 1.91c). 
 
 Os momentos fletores são calculados segundo as duas direções da sapata, nas seções correspondentes 
ao seu centro. As forças cortantes são calculadas nas seções de referência 1 e 2, nas faces do pilar, conforme 
a Figura 1.91. 
 Os momentos fletores calculados com área triangular e trapezoidal são praticamente idênticos, e com 
área retangular são mais elevados. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 63 
 
 
2 2
1
1
N
2
N
2
A2
A1
 
2 2
N
4
1
1
A1
A3
A2
A4
N
4
 
N
4
1
2 2
A1
A3
A2
A4
N
4
2 2
1
1
 
a) Primeiro critério: áreas 
compostas por retângulos; 
b) Segundo critério: áreas 
compostas por triângulos; 
c) Segundo critério: áreas composta 
 por trapézios. 
 
Figura 1.91 – Áreas relativas aos quinhões de carga. 
 
 A tensão aplicada pela sapata no solo é: 
A
N
p = 
 A tensão atuante na área do pilar devida à força vertical centrada é: 
pp
pil ba
N
p = 
 
a) Áreas compostas por retângulos (Figura 1.92) 
 
 O momento fletor máximo relativo ao lado A (lado maior) da sapata é: 
 
p
2
p
pil
2
A b2
a
p
2
1
-B
2
A
p
2
1
 = M ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ 
 
 )a -(A 
8
N
 = M pA 1.51 
 
 Analogamente para o lado B da sapata: 
 
 )b - (B 
8
N
 = M pB 1.52 
2 2
1
1
N
2
N
2
A2
A1
 
Figura 1.92 – Quinhões de carga por área retangular. 
 
 A força cortante para o lado A da sapata é: 
 
 ( )pA a-Ap2
1
 = V 
 
 ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
A
a
-1
2
N
 = V pA 1.53 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 64 
 
 
 Analogamente para o lado B: 
 
 ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
B
b
-1
2
N
 = V pB 1.54 
 
b) Áreas compostas por triângulos (Figura 1.93) 
 
 Momento fletor máximo relativo ao lado A: 
 
 
2
a
32
 
4
N
- 
2
A
3
2
4
N
 = M pA ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷
ø
ö
ç
è
æ 
 
 )a -(A 
12
N
 = M pA 1.55 
 
2 2
N
4
1
1
A1
A3
A2
A4
N
4
 
Figura 1.93 – Quinhões de carga por área triangular. 
 
 Força cortante relativo ao lado A: 
 
 )a -(A 
2
1
 )b + (B 
2
1
 p = V ppA 
 
 ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
A
a
1 
B
b
1 
4
N
 = V ppA 1.56 
 
 Analogamente para o lado B: 
 
 )b - (B 
12
N
 = M pB 
 
 ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
A
a
1 
B
b
1 
4
N
 = V ppB 
1.57 
 
b) Áreas compostas por trapézios (Figura 1.94) 
 
 A carga N/4 é aplicada no centro de gravidade do trapézio, com: 
 
 
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
p
pp
CG b + B
b + 2B
 
6
a -A 
 = x 1.58 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 65 
 
 
N
4
1
2 2
A1
A3
A2
A4
N
4
2 2
1
1
 
Figura 1.94 – Quinhões de carga por área trapezoidal. 
 
 O momento fletor no centro da sapata relativo ao lado A é: 
 
 
2
a
3
2
4
N
2
a
bB
bB2
6
aA
4
N
 = M pp
p
pp
A -
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+
÷÷
ø
ö
çç
è
æ -
 
 
 E finalmente, para os dois lados: 
 
 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+
÷÷
ø
ö
çç
è
æ -
6
a
bB
bB2
6
aA
4
N
 = M p
p
pp
A 
 
 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+
÷÷
ø
ö
çç
è
æ -
6
b
aA
aA2
6
bB
4
N
 = M p
p
pp
B 
1.59 
 
 A força cortante na seção 1 relativo ao lado A é: 
 
 ( ) ( )ppA aA2
1
 bB 
2
1
p = V -+ 
 
 E finalmente, para os dois lados: 
 
 ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
A
a
1 
B
b
1 
4
N
 = V ppA 
 
 ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
A
a
1 
B
b
1 
4
N
 = V ppB 
1.60 
 
1.6.8.1 Verificação de Sapata Flexível à Força Cortante quando bW ³ 5d 
 
 A força cortante nas sapatas pode ser verificada como nas lajes quando bw ³ 5d (NBR 6118, item 
19.4), onde bw é a largura da sapata na direção considerada. As lajes não necessitam de armadura transversal 
à força cortante quando: 
 
 VSd £ VRd1 1.61 
 
com: 
 
 VRd1 = [τRd k(1,2 + 40ρ1) + 0,15σcp] bw d 1.62 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 66 
 
 
onde: tRd = tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento; 
k = coeficiente igual a 1 para elementos onde 50 % da armadura inferior não chega até o apoio; 
para os demais casos k = | 1,6 – d | > 1, com d em metros; 
 
 0,02 
db
A
 = 
w
s1
1 £r 1.63 
 
c
Sd
cp A
N
 = s 1.64 
 
NSd = força longitudinal na seção derivada à protensão ou carregamento (compressão positiva); 
As1 = área da armadura de flexão que se estende pelo menos d + lb,nec além da seção considerada. 
 
1.6.8.2 Exemplo 5 – Sapata Flexível 
 
 Resolver a sapata do Exemplo 3 fazendo a sapata como flexível. 
 
Resolução 
 
 As dimensões da sapata em planta estão indicadas na Figura 1.95. Como apresentado na resolução do Exemplo 
3, a sapata foi resolvida como rígida, com h = 80 cm. Pelo critério da NBR 6118 a sapata será flexível se h < 66,7 cm. 
Como a armadura principal do pilar tem lb = 53 cm, deve-se atender esse valor. A sapata será flexível adotando h = 60 
cm, e: 
 d = h – 5 cm = 60 – 5 = 55 cm > lb = 53 cm ® ok! 
 
B 2
2
0
A
300
 
1
0
0
 2
0
 
1
0
0
 
100
 
100
 
100
c B
c B
cA cA
b
p
ap
 
Figura 1.95 – Dimensões da sapata (cm). 
 
a) Momentos fletores e forças cortantes 
 
a.1) Área por triângulos (Figura 1.97) 
 
 As fórmulas desenvolvidas são para sapata com carga centrada. Para aplicação neste exemplo, onde ocorre 
momento fletor e a tensão no solo na base da sapata não é uniforme (Figura 1.96), é necessário adotar um critério de 
modo a uniformizar a tensão. Um critério simples é: 
 
 
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
+
=
s+s
=×=s
³s=
03394,0
2
03818,002970,0
2
03054,003818,08,08,0
p
mínmáx
máx
d,based ® pd = 0,03394 kN/cm2 (ver Figura 1.97) 
 
 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 67 
 
 
100
2
0
2
20
300
N
M
M
0,03818
0,02970
Nd
A . B
M yd
I
 
Figura 1.96 – Tensões (valores de cálculo) no solo na base da sapata. 
 
 
2
3
100
p = 0,03394d
N
4 
100
ap
 2
0
b
pB 2
2
0
A
300
A
2
0,03818 KNcm²
0,02970
 
Figura 1.97 – Área de um triangulo, dimensões da sapata e reação do solo. 
 
 Com pd pode-se determinar Nd : 
 
 
BA
N
 = p dd ×
 ® Nd = pd . A . B = 0,03394 . 300 . 220 = 2.240 kN 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 68 
 
 
 Os momentos fletores são: 
 
 37.333 = 100) (300
12
2240
 = )aA (
12
N
 =M p
d
dA, -- kN.cm 
 
 333.37)20220(
12
2240
)bB(
12
N
M p
d
d,B =-=-= kN.cm 
 
 As forças cortantes atuantes são: 
 
 ÷
ø
ö
ç
è
æ -×÷
ø
ö
ç
è
æ -=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-×÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-==
300
100
1
220
20
1
4
2240
A
a
1
B
b
1
4
N
VV ppdd,Bd,A = 339,4 kN 
 
 A verificação da sapata à força cortante pode ser feita conforme indicado no item 1.6.8.1. 
 
a.2) Área por trapézios (Figura 1.98) 
 
 Os momentos fletores são: 
 
 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+
×÷÷
ø
ö
çç
è
æ -
=
6
a
bB
bB2
6
aA
4
N
M p
p
ppd
d,A = ú
û
ù
ê
ë
é
+÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+×
×÷
ø
ö
ç
è
æ -
6
100
20220
202202
6
100300
4
2240
= 45.111 kN.cm 
 
 
ú
ú
û
ù
ê
ê
ë
é
+÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
+
×÷÷
ø
ö
çç
è
æ -
=
6
b
aA
aA2
6
bB
4
N
M p
p
ppd
d,B = 533.346
20
100300
1003002
6
20220
4
2240
=ú
û
ù
ê
ë
é
+÷
ø
ö
ç
è
æ
+
+×
×÷
ø
ö
ç
è
æ -
kN.cm 
 
N
4 
100
ap
 2
0
b
pB 2
2
0
A
300
0,03394 KNcm²p =d
 
Figura 1.98 – Área de um trapézio e reação do solo. 
 
 As forças cortantes atuantes são (Figura 1.99): 
 
 kN4,339
A
a
1
B
b
1
4
N
VV ppdd,Bd,A =÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-×÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-== (igual à área por triângulos) 
 
MB
MA
B
A 
Figura 1.99 – Indicação dos momentos fletores solicitantes. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 69 
 
 
b) Armaduras de flexão 
 
 Adotando os momentos fletores calculados para as áreas de trapézios, tem-se: 
 
 2
yd
d
A,s cm18,225,435585,0
45111
fd85,0
M
A =
××
=
×
= 
 
 08,10100
220
18,22
= cm2/m ® na Tabela A-11: f 10 c/8 cm (10,00 cm2/m) 
 
 2B,s cm98,165,435585,0
34533
A =
××
= 
 
 66,5100
300
98,16
= cm2/m ® na Tabela A-11: f 10 c/14 cm (5,71 cm2/m) 
 
 Taxas de armadura, considerando as armaduras efetivas: 
 
 01818,0
55100
00,10
d100
As
A =×
==r 
 
 00104,0
55100
71,5
d100
As
B =×
==r 
 
c) Verificação da punção 
 
c1)Verificação da superfície crítica C’ (Figura 1.100) 
 
 Os balanços da sapata são iguais, cB = cA = 100 cm. 
 
 2d = 2 . 55 = 110 cm > cA = cB = 100 cm. Se 2d > cA ou 2d > cB , deve-se adotar para a* o menor valor entre cA 
e cB , portanto, neste caso a* = cB = cA = 100 cm. 
B 2
2
0
A
300
a*
a
*
C
C'
 
Figura 1.100 – Superfície critica C’ e distância a*. 
 
 Tensão de cisalhamento solicitante(τSd) para sapata com um momento fletor externo solicitante (Eq. 1.12 ou 
Eq. 1.24): 
 
 
dW
MK
d*u
F
p
SdSd
Sd +=t 
 
 Área limitada pelo contorno C’: 
 
 Acont,C’ = ap . bp + 2a*ap + 2a* bp + p(a*)2 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 70 
 
 
 Acont,C’ = 100 . 20 + 2 . 100 . 100 + 2 . 100 . 20 + p(100)2 = 57.415 cm2 
 
 Com a tensão média na base da sapata de pd = 0,03394 kN/cm2, a força na área Acont, C’ devida à tensão (reação) 
do solo é: 
 7,948.157415.03394,0ApF 'C,contdSd ==×=D kN 
 
 Força sobre a sapata reduzida da reação do solo: 
 
 FSd,red = FSd – ∆FSd = (1,4 . 1600) – 1948,7 = 291,3 kN 
 
 Perímetro u* do contorno C’: 
 
 u* = 2ap + 2bp + 2pa* ® u* = 2 . 100 + 2 . 20 + 2p . 100 = 868,3 cm 
 
 Parâmetro K, dependente de C1 e C2 (Figura 1.101): 
 
C
a
C1
ap
C bC
2
b
p
e
N
e1
Msd
 
Figura 1.101 – Parâmetros C1 e C2 . 
 
 C1 = ap = 100 cm ; C2 = bp = 20 cm ® 5
20
100
C
C
2
1 == ® na Tabela 1.1, K = 0,80 
 1
2
221
2
1
p Cd2 + 16d d4C CC 2
C
 W ××p+×+×+= (para pilar retangular) 
 
com d = a* = 100 cm: 
 
 0100102 + 01016 010024 02100 
2
010
 W 2
2
p ××p×+××+×+= = 237.830 cm
2 
 
 
25237830
)100004,1(8,0
253,868
3,291
dW
MK
du
F
p
Sd
*
Sd
Sd ×
×
+
×
=+=t = 0,0153 kN/cm2 = 0,153 MPa 
 
onde d = h0 – 5 = 30 – 5 = 25 cm (d é a altura útil em C’). 
 
 Tensão de cisalhamento resistente (τRd1) na superfície C’, com d = 25 cm (h0 – 5): 
 
 2cd3 ck1Rd f5,0*a
d2
f100
d
20
113,0 £r÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+=t 
 =ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
-= cd
ck
2cd f250
f
16,05,0f5,0
4,1
5,2
250
25
16,05,0 ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ - = 0,480 kN/cm2 
 
 0,5fcd2 = 4,82 MPa 
 
 169,0
100
252
2500104,0100
25
20
113,0 31Rd =
×
××÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+=t MPa (utiliza-se a menor taxa de armadura ρ) 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 71 
 
 
 τRd1 = 0,169 MPa ≤ 0,5fcd2 = 4,82 MPa ® ok! 
 
 Não é necessário colocar armadura para punção, pois: 
 
 τSd = 0,153 MPa < τRd1 = 0,169 MPa 
 
 Quando ocorre a necessidade geralmente aumenta-se a altura da sapata para eliminar tal necessidade, a fim de 
simplificar a execução da sapata. 
 
c2) Verificação da superfície crítica C 
 
 Não ocorrendo punção na superfície crítica C’, dificilmente ocorrerá problema na superfície C. 
 
1.7 Sapata Corrida 
 
 Sapata corrida é aquela destinada a receber cargas lineares distribuídas, possuindo por isso uma 
dimensão preponderante em relação às demais. Assim como as sapatas isoladas, as sapatas corridas são 
classificadas em rígidas ou flexíveis, conforme o critério da NBR 6118 já apresentado. 
 Como as bielas de compressão são íngremes, surgem tensões de aderência elevadas na armadura 
principal As (Figura 1.102), que provocam o risco de ruptura da aderência e ruptura do concreto de 
cobrimento por fendilhamento, que pode ser evitada com diâmetro menores para as barras e espaçamentos 
menores. 
 Nas sapatas corridas flexíveis, especialmente, a ruptura por punção deve ser obrigatoriamente 
verificada. 
45
°
fissura
A
(principal)
Asbiela
comprida
armadura
secundária
 
Figura 1.102 – Armaduras, biela de compressão e fissuração na sapata corrida. 
 
 
Recomenda-se adotar para a altura 
(Figura 1.103): 
 
 h ≥ 15 cm (nas sapatas retangulares) 
 
 ho ≥ 10 ou 15 cm 
h
h
h
0
 
Figura 1.103 – Altura h da sapata corrida. 
 
 
 A distribuição de pressão no solo depende principalmente da rigidez da sapata e do tipo de solo. No 
cálculo prático são adotados diagramas simplificados, como os indicados na Figura 1.104: 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 72 
 
 
N N NA) B) C)
 
 
Figura 1.104 – Distribuição de pressão no solo. 
 
 A indicação de Guerrin[19] é: 
 
a) solos rochosos 
 - sapata rígida: diagrama bi triangular (a); 
 - sapata flexível: diagrama retangular (b); 
 
b) solos coesivos: diagrama retangular (b) em todos os casos; 
 
c) solos arenosos 
 - sapata rígida: diagrama retangular (b); 
 - sapata flexível: diagrama triangular (c). 
 
1.7.1 Sapata Rígida Sob Carga Uniforme 
 
 As sapatas corridas rígidas são utilizadas geralmente sob muros ou paredes com cargas relativamente 
altas e sobre solos com boa capacidade de suporte. 
 As sapatas corridas rígidas15 podem ter os momentos fletores (M) calculados na seção de referência 
S1 , conforme o CEB-70. As verificações necessárias e o dimensionamento das armaduras pode ser feito de 
modo semelhante às sapatas isoladas rígidas, fazendo B = 1 m. 
 O “Método das Bielas” também pode ser utilizado, em opção ao CEB-70, obedecido o limite para a 
altura útil (Eq. 1.31): 
 
 
4
aA
d p
-
³ 
aap
A
hb
 
Figura 1.105 – Notação da sapata. 
 
A armadura principal deve ser dimensionada para a força Tx (Figura 1.106): 
 
 ÷÷
ø
ö
çç
è
æ -
=
d
aA
8
N
T px ® Txd = γf Tx 1.65 
 
 
yd
xd
A,ssx f
T
AA == 1.66 
 
 
15 Conforme a NBR 6118 a sapata é rígida quando h ≥ (A – ap)/3. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 73 
 
 
 O fenômeno da punção não ocorre, porém, conforme a NBR 6118 (19.5.3.1), a tensão de compressão 
na diagonal comprimida deve ser verificada na superfície crítica C (item 19.5.3.1). 
 
aap
A
db
Tx
N
dd
0
p
 
Figura 1.106 – Força Tx conforme o Método das Bielas. 
 
 
1.7.2 Sapata Flexível Sob Carga Uniforme 
 
 A sapata tem duas armaduras, uma considerada principal, posicionada na direção do lado A, e outra 
secundária ou de distribuição, perpendicular à principal e disposta ao longo do comprimento da sapata. A 
armadura principal é dimensionada para o momento fletor solicitante máximo, na seção do eixo da parede 
(Figura 1.107). A força cortante máxima é considerada atuando na seção correspondente à face da parede 
apoiada na sapata. Esses esforços solicitantes são calculados sobre faixas unitárias (B = 1 m) ao longo do 
comprimento da sapata. 
hd
ØlØ , pilar
p
N
A
As,princA 
hh0
As,secA 
p
M
V
 
Figura 1.107 – Sapata corrida flexível. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 74 
 
 
 Pressão no solo: 
A
N
p = 
 Pressão sob a parede: 
p
par a
N
p = 
 
 Força cortante (máxima) na seção correspondente à face da parede: 
 
 ( )paA
2
1
V p-= 
 
 ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-=
A
a
1
2
N
V p 1.67 
 
 Momento fletor (máximo) no centro da sapata: 
 
 
8
a.p
8
pA
2
a
p
2
1
2
A
p
2
1
M
2
ppar
22
p
par
2
-=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-÷
ø
ö
ç
è
æ= 
 
 ( )paA8
N
M -= 1.68 
 
 A armadura secundária (As,sec), também chamada armadura de distribuição, deve ter área: 
 
 
ï
î
ï
í
ì
³
m/cm9,0
A
5
1
A
2
princ,s
sec,s 1.69 
 
 As bordas da sapata (balanço) podem ser reforçadas com barras construtivas, como indicado na 
Figura 1.108. 
 
Øl
 
Figura 1.108 – Reforço das bordas com barras adicionais. 
 
 
 A punção, conforme já estudada, deve ser sempre verificada nas sapatas corridas flexíveis (Figura 
1.109). 
45
°45°
superfície de ruptura por
punção, segundo Leonhardt
 
Figura 1.109 – Superfície de ruptura por punção na sapata flexível. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 75 
 
 
1.7.3 Exemplo 6 – Sapata Corrida Rígida Sob Carga Centrada 
 
 Dimensionar a sapata rígida pelo “Método das Bielas” sob uma parede corrida de concreto de 20 cm de largura 
com carga vertical N = 200 kN/m (20 tf/m). Dados: 
 
 C20; σadm = 1,1 kgf /cm2 = 11 tf /m2 = 0,011kN /cm2 = 0,11 MPa 
 d = h – 5 cm ; CA-50 ; c = 4,5 cm 
 
a = 20ap
A
db
N
h
p
hh0
c
90
 
Figura 1.110 – Sapata rígida conforme o Método das Bielas. 
 
Resolução 
 
a) Largura da sapata 
 
 A área da base da sapata é: Ssap = A . B = (Kmaj . N)/sadm . Considerando que a sapata seja calculada como faixa 
de 1 m ao longo do comprimento da sapata, tem-se que B = 1 m = 100 cm e com N = 2,0 kN/cm: 
 
 
011,0
0,205,1NK
1.A
adm
maj ×=
s
= = 190,9 cm ® adotado A = 190 cm 
 
 Os balanços têm o valor: 
 
 85
2
20190
2
aA
c p =
-
=
-
= cm 
 
b) Altura da sapata 
 
- pelo critério da NBR 6118 (Eq. 1.1): cm56,7
3
20)(190
3
)a(A
h p ³
-
³
-
³ 
 
- para aplicar o Método das Bielas no cálculo deve-se ter (Eq. 1.31): 
 
 5,42
4
20190
4
aA
d p ³
-
³
-
³ cm 
 
 Adotando h = 60 cm e d = h – 5 = 55 cm, verifica-se que o “Método das Bielas” pode ser aplicado e a sapata é 
classificada como rígida conforme a NBR 6118. 
 
c) Armadura de flexão 
 
 Força de tração na armadura principal: 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 76 
 
 
 3,77
55
20190
8
200
d
aA
8
N
T px =÷
ø
ö
ç
è
æ -=÷÷
ø
ö
çç
è
æ -
= kN/m 
 
com γf = 1,4 e CA-50 (fyd = 43,48 kN/cm2), a armadura principal é: 
 
 49,2
48,43
3,774,1
f
T
AA
yd
xd
A,sx,s =
×
=== cm2/m = 0,0249 cm2/cm 
 
para f 8 mm (1 f 8 ® 0,50 cm2) tem-se: 0249,0
s
5,0
= ® s = 20,1 cm 
 
 s = 20 cm £ 20 ou 25 cm (indicação prática como espaçamento máximo para as barras) 
 
 Como alternativa, considerando f 6,3 mm (0,31 cm2): 
 
 4,12
0249,0
31,0
s == cm £ 20 cm ® ok! 
 
 Portanto: 
 
 As,A = As,princ : f 8 c/20 cm (2,50 cm2) ou f 6,3 c/12 cm (2,58 cm2) 
 
 Para a armadura de distribuição pode-se considerar: 
 
 m/cm9,0A
m/cm50,0
5
49,2
m/cm9,0
A
5
1
m/cm9,0
A 2distr,s2
2
princ,s
2
distr,s =®
ï
î
ï
í
ì
=
³
ï
î
ï
í
ì
³ 
 
 f 5 c/20 cm (1,00 cm2/m) 
 
 sdist ≤ 33 cm, mas na prática: sdistr £ 20 ou 25 cm 
 
Nota: conforme a NBR 6118, a superfície crítica C deve ter a tensão de compressão diagonal verificada (item 19.5.3.1). 
 
d) Detalhamento 
 
 A ancoragem da armadura principal pode ser feita estendendo-se as barras às bordas da sapata, fazendo o 
gancho vertical com ho – 10 cm. 
 
 cm20h
cm15
cm20
3
60
3
h
h oo =®
ïî
ï
í
ì ==
³ 
d
 =
 5
5
h
 =
 6
0
h = 20h0
Ø 6,3 c/12 Ø5 c/ 20
 
Figura 1.111 – Esquema indicativo do detalhamento das armaduras. 
 
 As sapatas devem ter o equilíbrio verificado, quanto à possibilidade de tombamento e escorregamento, 
conforme apresentado no item 1.8. No caso de armaduras de flexão compostas por barras de diâmetro 20 mm ou 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 77 
 
 
superior é importante também verificar o possível descolamento ou escorregamento das armaduras, conforme 
apresentado no item 1.9. 
 
1.7.4 Exercício Proposto 
 
 Dimensionar a sapata corrida rígida para uma parede de largura 20 cm, com: 
 
 c = 4,0 cm ; N = 300 kN/m (30 tf/m); σadm = 2,0 kgf/cm2 ; C25 ; CA-50 
 
1.7.5 Exemplo 7 – Sapata Corrida Flexível Sob Carga Centrada 
 
 Dimensionar a sapata do Exemplo 6 como sapata flexível. Dados: a`p = 20 cm ; N = 200 kN/m ; C20 ; 
σadm = 0,011 kN/cm2. São conhecidos: largura da sapata A = 190 cm, balanços c = 85 cm. 
 
Resolução 
 
a) Altura da sapata 
 
 Critério da NBR 6118 para sapata flexível: 
 
 cm7,56
3
)20190(
3
)aA(
h p <
-
<
-
< 
 
 Será adotado h = 50 cm, considerando que esta altura seja suficiente para a ancoragem da armadura do pilar. 
 
b) Esforços solicitantes e armadura de flexão 
 
 5,89
190
20
1
2
200
A
a
1
2
N
V p =÷
ø
ö
ç
è
æ -=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-= kN/m (V na face da parede) 
 
 250.4)20190(
8
200
)aA(
8
N
M p =-=-= kN.cm/m (M no centro da parede) 
 
 Os esforços solicitantes V e M ocorrem em 1 m de comprimento da sapata corrida. 
 
Dimensionamento à flexão: 
 
 58,3
48,43.45.85,0
42504,1
fd85,0
M
A
yd
d
s =
×
== cm2/m 
 
 Na Tabela A-11 tem-se: f 6,3 mm c/8 cm (3,94 cm2/m), ou f 8 mm c/14 cm (3,57 cm2/m). 
 
com s ≤ 20 ou 25 cm (valores da prática) 
 
 Armadura de distribuição: 
 
 
ï
î
ï
í
ì
==
³
m/cm72,0
5
58,3
A
5
1
m/cm9,0
A
2
princ,s
2
distr,s 
 
As,distr = 0,90 cm2/m ® f 5 c/20 cm (1,00 cm2/m) 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 78 
 
 
h
 =
 5
0
d
 =
 4
5
 a = 20ap
N
A = 190
h = 20h0
r
M
V
C
85
V
+
1
0
0
20
C
 
Figura 1.112 – Dimensões e diagramas de esforços solicitantes na sapata. 
 
 
d) Verificação da diagonal comprimida 
 
 Verificação da superfície crítica C, considerando 1 m de comprimento da sapata: 
 
 uo = 2 (20 + 100) = 240 cm 
 
 FSd = NSd = 1,4 . 200 = 280 kN/m (desprezando-se a ação contrária proporcionada pela reação do solo) 
 
 Tensão de cisalhamento atuante: 
 
 0259,0
45240
280
du
F
o
Sd
Sd =×
=
×
=t kN/cm2/m 
 
 Tensão de cisalhamento resistente: 
 
 tRd2 = 0,27av fcd = 355,0
4,1
0,2
250
20
127,0 =÷
ø
ö
ç
è
æ
- kN/cm2 
 
 tSd = 0,259 MPa < tRd2 = 3,55 MPa ® ok! 
 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 79 
 
 
e) Verificação da força cortante 
 
 A verificação da força cortante será feita como nas lajes maciças, conforme o critério da NBR 6118, 
apresentado no item 1.6.8.1, com bw ³ 5d (ver item 1.6.8.1 deste texto), onde bw é o comprimento da sapata paralelo à 
parede. Deve-se ter VSd £ VRd1 para se dispensar a armadura transversal. 
 
 VRd1 = [tRd k (1,2 + 40r1) + 0,15scp] bw d 
 
 0008,0
45100
58,3
1 =×
=r 
 
 k = |1,6 – d| > 1 = |1,6 – 0,45| = 1,15 > 1 
 
 tRd = 0,25 fctd = 276,0
4,1
203,07,0
25,0
3 2
=
×
MPa 
 
 VRd1 = [0,0276 . 1,15 (1,2 + 40 . 0,0008)] 100 . 45 
 
 VRd1 = 175,9 kN/m 
 
 VSd = 1,4 . 89,5 = 125,3 kN/m < VRd1 = 175,9 kN/m 
 
 ® ok! não é necessário colocar armadura transversal. 
 
 Comparação com o Exemplo anterior (item 1.7.3): 
 
 Sapata rígida Sapata flexível 
As 2,49 3,58 
h 60 50 
 
f) Detalhamento (Figura 1.113) 
 
Ø6,3 c/ 8 Ø5 c/ 20
h
 =
 5
0
d
 =
 4
5
h = 20h0
 
Figura 1.113 – Detalhamento indicativo das armaduras. 
 
 As sapatas devem ter o equilíbrio verificado, quanto à possibilidade de tombamento e escorregamento, 
conforme apresentado no item 1.8. No caso de armaduras de flexão compostas por barras de diâmetro 20 mm ou 
superior é importante também verificar o possível descolamento ou escorregamento das armaduras, conforme 
apresentado no item 1.9. 
 
1.7.6 Exercício Proposto 
 
 Projetar a sapata corrida para a fundação de um muro. São conhecidos: 
 
- C25 ; CA-50 ; hmuro = 3,0 m ; σadm = 2,0 kgf/cm2 
- emuro = largura do bloco de concreto de vedação = 19 cm (aparente, sem revestimento de argamassa); 
- muro em alvenaria de blocos de concreto; 
- blocos enrijecedores a cada 5 m, perpendiculares ao muro; 
- considerar ação do vento para a cidade de São Paulo; 
- fazer verificações da estabilidade da sapata; 
- tipo de solo = argila rija. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 80 
 
 
3
,0
m
m
u
ro
 
Figura 1.114 – Sapata corrida sob muro. 
 
 
1.8 Verificação da Estabilidade das Sapatas 
 
 Nas sapatas submetidas a forças horizontais e/ou momentos fletores é importante verificar as 
possibilidades de escorregamento e tombamento. 
 
a) Segurança ao tombamento 
 
 A verificação ao tombamento é feita comparando-se os momentos fletores, em torno de um ponto 1 
(Figura 1.115).P
N
M
FH
h
A
2
A
2
1
 
Figura 1.115 – Forças atuantes na sapata. 
 
 Momento de tombamento: 
 
 Mtomb = M + FH . h 1.70 
 
 Momento estabilizador: 
 
 Mestab = (N + P) A/2 1.71 
 
 O peso do solo sobre a sapata pode também ser considerado no Mestab . O coeficiente de segurança 
deve ser ³ 1,5: 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 81 
 
 
 5,1
M
M
tomb
estab
tomb ³=g 1.72 
 
b) Segurança ao escorregamento (deslizamento) 
 
 A segurança é garantida quando a força de atrito entre a base da sapata e o solo supera a ação das 
forças horizontais aplicadas. 
 O efeito favorável do empuxo passivo pode ser desprezado, por não se ter garantia de sua atuação 
permanente. Da Figura 1.115 tem-se: 
 
 (N + P) tg φ = FH . γesc 1.73 
 
onde: tg j = m = coeficiente de atrito; 
φ = ângulo de atrito entre os dois materiais em contato (concreto x solo), não maior que o ângulo de 
atrito interno do solo. 
 
 Um outro modelo que pode ser adotado é: 
 
 Festab = atrito + coesão 
 
 ( ) ÷
ø
ö
ç
è
æ+÷
ø
ö
ç
è
æ f+= c
3
2
A
3
2
tgPNFestab 1.74 
 
onde: f = ângulo de atrito interno do solo; 
 c = coesão do solo; 
 A = dimensão da base em contato com o solo. 
 
 5,1
F
F
H
estab
esc ³=g 1.75 
 
1.9 Verificação do Escorregamento da Armadura de Flexão em Sapatas 
 
 No caso de armadura, com barras de diâmetro 20 mm ou superior (25 mm segundo a NBR 6118), e 
de feixes de barras, é importante verificar a aderência com o concreto, a fim de evitar o escorregamento. 
 O esquema de forças entre a armadura e o concreto é como indicado na Figura 1.116: 
Dx
Rc
Rs
V
M z
d
ØØ
l
Rc + RcD
Rs + RsD
C
M + DM
 
Figura 1.116 – Esforços atuantes no elemento de comprimento Dx. 
 
 Tem-se que: M = Rs ∙ z = Rc ∙ z, daí: 
 
 
z
M
Rs
D
=D 
 ΔRs = fb ∙ u ∙Δx 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 82 
 
 
onde: fb = resistência de aderência; 
 u = perímetro de fl . 
 
 
{
zuf
x
M
xuf
z
M
b
v
b ××=D
D
®D××=
D
 
 V = fb . u . z 
 
tomando z @ 0,87d e fazendo valores de cálculo: 
 
 Vd ≈ 0,87fbd . u . d 
 
fazendo o perímetro como u = n π fl d, com n sendo o número de barras da armadura de flexão: 
 
 Vd = 0,87fbd . n p f1 d 1.76 
 
com: Vd = força cortante de cálculo nas seções de referência S1A e S1B, por unidade de largura. 
 Vd = V1dA na seção de referência S1A ; 
 Vd = V1dB na seção de referência S1B . 
 
 Se Vd for maior haverá o escorregamento. 
 
1.10 Sapata na Divisa com Viga de Equilíbrio 
 
 A viga de equilíbrio (VE) também é comumente chamada “viga alavanca” (VA - Figura 1.117). 
 Os pilares posicionados na divisa do terreno ficam excêntricos em relação ao centro da sapata, o que 
faz surgir um momento fletor, que pode ser absorvido por uma “viga de equilíbrio”, vinculada à sapata de 
um outro pilar, interno à edificação. A viga também atua transferindo a carga do pilar para o centro da sapata 
de divisa (Figura 1.118). 
 
divisa
V. 
E.
 
Figura 1.117 – Sapata sob pilar de divisa e associada à viga de equilíbrio. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 83 
 
 
2,5cm
b aA
b
B
A
b
aA
1
b
w a
p
1
bp1
bp2
a
p
2
A
2
B2
N1
N2
VE
BB1
VE
R1
R2p1
p2h
h
h
h
0
h
1h
v ee1
z
divisa
N1
N2
R2
R1
ee1
z
 
Figura 1.118 – Notações da sapata com viga de equilíbrio. 
 
 Área da sapata de divisa sob o pilar P1: 
 
 S1 = A1 . B1 
 
 Considerando o fator Kmaj para estimar o peso próprio da sapata e do solo sobre a sapata: 
 
 
adm
1
maj1
R
KS
s
= 
 
 Excentricidade e1 e reação R1: 
 
 S M (N2) = 0 ® N1 z = R1 (z – e1) 
 
 
1
1
1 ez
zN
R
-
×
= 1.77 
 
 Da geometria da sapata de divisa: 
 
 
2
b
2
B
e 1p11 -= 1.78 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 84 
 
 
1.10.1 Roteiro de Cálculo 
 
O roteiro tem a finalidade de estimar as dimensões A1 e B1 da sapata de divisa. 
 
1) Assumir um valor para R1’: 
 
 R1’ = 1,2 N1 
 
2) Calcular a área de apoio da sapata de divisa (1): 
 
 
adm
1
maj1
'R
K'S
s
= 
 
3) Escolher as dimensões da sapata de divisa: 
 
 3
B
A
1
1 £ 
 
 Adotando-se A1 = 2B1 e com S1’ = A1’ . B1’ tem-se: 
 
 S1’ = 2B1’ . B1’ ® 
2
'S
'B 11 = ® adotar B1’ com valor inteiro e múltiplo de 5 cm. 
 
4) Cálculo da excentricidade e1 : 
 
 
2
b
2
'B
'e 1p11 -= 
 
5) Cálculo do R1’’ : 
 
 
'ez
z
N''R
1
11 -
= 
 
6) Comparar R1’ e R1’’ 
 
6.1) Se R1’ = R1’’, fazer R1 = R1’ ® B1 = B1’ e 
1
1
1 B
'S
A = 
6.2) Se 0,95R1’’ ≤ R1’ ≤1,05R1’’ 
 
 B1 = B1’ 
1
1
1
adm
1
maj1 B
S
A
''R
KS =®
s
=® 
 
6.3) Se R1’ ¹ R1’’ e não atender a tolerância de 6.2: 
 
 Retornar ao item 2 fazendo R1’ = R1’’ 
 
 
1.10.2 Esforços Solicitantes na Viga de Equilíbrio 
 
A Figura 1.119 mostra o esquema estático e os diagramas de esforços solicitantes (V e M) na viga de 
equilíbrio. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 85 
 
 
N2
R2
p1
q1 (pilar 1)
bbp1
(1)
BB1
(2) (3)
-
V1L
M1L Vmáx
-
M2L
V2L
M
V
x
 
Figura 1.119 – Diagramas de esforços solicitantes na viga de equilíbrio e seções transversais de referência 1, 2, e 3. 
 
 
 A carga q1 aplicada pelo pilar de divisa, na sua largura, é: 
 
 
1p
1
1 b
N
q = 
 
 A reação da base da sapata de divisa é: 
 
 
1
1
1 B
R
p = com 
1
1
1 ez
zN
R
-
= 
 
a) Para o trecho (0 ≤ x ≤ bp1) e considerando a seção 1 - Figura 1.120 
p1
q1
V1
M1
q1x
x
r1x
 
 
Figura 1.120 – Trecho (0 ≤ x ≤ bp1) e seção 1. 
 
 Somatório de forças verticais: 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 86 
 
 
 S Fv = 0 
 
 q1 x + V1 – p1 x = 0 ® V1 = x (p1 – q1) 
 
 Somatório de momentos fletores em torno da seção 1: 
 
 S M = 0 ® 0
2
x
p
2
x
qM
2
1
2
11 =-+ 
 ( )11
2
1 qp2
x
M -= 
 
 para x = bp1 (limite do trecho): 
 
 V1L = bp1 (p1 – q1) 
 
 ( )11
2
1p
L1 qp2
b
M -= 
 
b) Trecho considerando a seção 2 (bp1 ≤ x ≤ B1), Figura 1.121 
 
V2
seção 2
p1
q1
bp1q1
M2
x
p . x1
 
Figura 1.121 – Trecho (bp1 ≤ x ≤ B1) e seção 2. 
 
 S Fv = 0 
 
 V2 + q1 bp1 – p1 x = 0 ® V2 = p1 x – q1 bp1 
 
para V2 = 0 ® 
1
1p1
máx p
bq
x
×
= , que mostra a posição onde ocorre o momento fletor máximo. 
 
 Somatório de momentos fletores em torno da seção 2: 
 
0
2
x
p
2
b
xbqM
2
1
1p
1p12 =-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-×+ 
 
 ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-×-=
2
b
xbq
2
x
pM 1p1p1
2
12 
 
no limite do trecho, com xmáx = x: 
 
 ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-×-=
2
b
xbq
2
x
pM 1pmáx1p1
2
máx
1máx 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 87 
 
 
 Para x = B1 tem-se ® V2L = p1 B1 – q1 – bp1 
 
 ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-×-=
2
b
Bbq
2
B
pM 1p11p1
2
1
1L2 
 
c) Trecho ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+££
2
b
zxB 1p1 e considerando a seção 3 - Figura 1.122 
p1
q1
bbp1
B
x
B1
V3
M3
 
Figura 1.122 – Trecho ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+££
2
b
zxB 1p1 e seção 3. 
 S Fv = 0 
 
 V3 + q1 bp1 – p1 B1 = 0 ® V3 = p1 B1 – q1 bp1 = DN = cte 
 
 Somatório de momentos fletores em torno da seção 3: 
 
 
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-×-÷
ø
ö
ç
è
æ -×=
=÷
ø
ö
ç
è
æ -×-÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-×+
2
b
xbq
2
B
xBpM
0
2
B
xBp
2
b
xbqM
1p
1p1
1
113
1
11
1p
1p13
 
 
 
1.10.3 Recomendações parao Pré-dimensionamento de Viga de Equilíbrio 
 
a) largura: bw ≥ ap1 + 5 cm; 
 
b) altura: hv ≥ h1 (h1 = altura da sapata de divisa - 1); 
 
 dv > lb (lb = comprimento de ancoragem da armadura longitudinal do pilar). 
 
 Podem também serem deduzidas equações para bw em função de V1L e Mmáx . 
 
 
1.10.4 Dimensionamento da Sapata da Divisa 
 
 Um modelo para cálculo dos esforços solicitantes na sapata de divisa é aquele proposto pelo CEB-
70, já apresentado. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 88 
 
 
a) Momento fletor na seção de referência S1A - Figura 1.123 
 
AA
1
b
w
a
p
1
bp1
0
,1
5
bb
wS1A
BB1
A
A
0,15bbw
d
1
S
1
A
bbw
aap1
h
h
h
0
h
1
h
v
A1
xA
p
CORTE A
 
Figura 1.123 – Sapata sob o pilar da divisa e seções de referência S1 e S2 . 
 
 Resultante da reação do solo na base da sapata (F1A): 
 
 F1A = p1 B1 xA 
 
sendo: 
11
1
1 BA
R
p
×
= 
 
 w
w1
A b15,02
bA
x +
-
= 
 
Momento fletor: 
 
 
2
x
BpM
2
x
FM
2
A
11A1
A
A1A1 ×=®= 
 
b) Altura da sapata 
 
 Pode ser definida em função do critério da NBR 6118: 
 
 
3
bA
h w11
-
³ ® para sapata rígida; 
 
 d1 = h1 – 5 cm 
 
c) Armadura à flexão 
 
 Armadura principal: 
 
 
yd1
d,A1
A1,s fd85,0
M
A
×
= 
 
 A armadura é disposta uniformemente distribuída na dimensão B1 . 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 89 
 
 
 Armadura de distribuição (paralela à dimensão B1): 
 
 
ï
î
ï
í
ì
³
m/cm9,0
A
5
1
A
2
A1,s
distr,s , com s ≤ 33 cm. 
 
1.10.5 Exemplo 8 – Sapata na Divisa com Viga Alavanca 
(Exemplo de FERRO[21], N.C.P., Notas de Aula, 2005) 
 
 Dimensionar uma sapata para pilar de divisa, fazendo a viga de equilíbrio ou alavanca (Figura 1.124). 
 Dados: C20 ; CA-50 ; N1 = 550 kN ; N2 = 850 kN ; sadm = 0,02 kN/cm2 ; c = 4,0 cm 
 Armadura longitudinal do pilar = 10 f 12,5 mm; 
 γc = γf = 1,4 ; γs = 1,15 
30
2
0
2,5
400cm
30
3
0
divisa
 
Figura 1.124 – Esquema dos pilares. 
 
 
Resolução 
 
1) Dimensionamento das dimensões em planta da sapata de divisa 
 
1.1) Assumir um valor para R1’ 
 
 R1’ = 1,2N1 = 1,2 . 550 = 660 kN 
 
1.2) Área de apoio da sapata 
 
 Estimando em 10 % o peso da sapata e do solo sobre a sapata (Kmaj = 1,1): 
 
 2
adm
1
maj1 cm300.3602,0
660
1,1
'R
K'S ==
s
= 
 
1.3) Largura da sapata 
 
 cm7,134
2
36300
2
'S
'B 11 === 
 
 Adotado B1’ = 135 cm 
 
1.4) Excentricidade e1 
 
 cm505,2
2
30
2
135
f
2
b
2
'B
'e 1p11 =--=--= 
 
 f = distância da face do pilar à linha de divisa, geralmente em torno de 2,5 ou 3 cm. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 90 
 
 
1.5) Cálculo de R1’’ 
 
 kN6,628
50400
400
550
'ez
z
N''R
1
11 =-
=
-
= 
 
1.6) Comparação entre R1’ e R1’’ 
 
 R1’ = 660 kN ≠ R1’’ = 628,6 kN 
 
 Verificação da tolerância: 0,95R1’’ ≤ R1’ ≤ 1,05R1’’ 
 
 0,95 . 628,6 ≤ R1’ ≤ 1,05 . 628,6 ® 597,1 ≤ R1’≤ 660 ® ok! 
 
 Se não atender a tolerância, refazer com R1’ = R1’’ 
 
 Calcula-se a área da base da sapata de divisa, com R1’’: 
 
 2
adm
1
maj1 cm573.3402,0
6,628
1,1
''R
KS ==
s
= 
 
 Fazendo B1 = B1’ = 135 cm tem-se o comprimento da base da sapata: 
 
 cm1,256
135
34573
B
S
A
1
1
1 === ® adotado A1 = 260 cm 
 
 Verifica-se que 293,1
135
260
B
A
1
1 »== 
 
2) Esforços máximos na viga alavanca 
 
2.1) Esforços solicitantes na seção x = bp1 
 
 V1L = bp1 (p1 – q1) ; )qp(
2
b
M 11
2
1p
L1 -= ; bp1 = 30 cm 
 
 656,4
135
6,628
B
R
p
1
1
1 === kN/cm 
 
333,18
30
550
b
N
q
1p
1
1 === kN/cm 
 
 ( ) 155.6333,18656,4
2
30
M
2
L1 -=-= kN.cm 
 
 V1L = 30 (4,656 – 18,333) = – 410,3 kN 
 
2.2) V2L e M2L (seção x = B1) e momento fletor máximo 
 
 V2L = p1 . B1 – q1 . bp1 = 4,656 . 135 – 18,333 . 30 = 78,6 kN 
 
 cm1,118
656,4
30333,18
p
bq
x
1
1p1
máx =
×
=
×
= 
 
 ÷
ø
ö
ç
è
æ -×-=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-×-=
2
30
1,11830333,18
2
1,118
656,4
2
b
xbq
2
x
pM
2
1p
máx1p1
2
máx
1máx 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 91 
 
 
 Mmáx = – 24.234 kN.cm 
 
 ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-×-=
2
b
Bbq
2
B
pM 1p11p1
2
1
1L2 
 
 571.23
2
30
13530333,18
2
135
656,4M
2
L2 -=÷
ø
ö
ç
è
æ
-×-= kN.cm 
 
 Diagrama de esforços solicitantes na viga alavanca (Figura 1.125): 
 
xmáx
N2
R2
p1
q1
30
bp1
 = 135B1
(3)
-
-
V (KN)
 = 118,1
 = 18,333 KNcm
 = 4,656
410,3
78,6
6.155 24.234 23.571 M ( 
KNcm )
 
Figura 1.125 – Diagramas e esforços solicitantes na viga de equilíbrio. 
 
3) Largura da viga alavanca 
 
 bw = ap1 + 5 cm = 20 + 5 = 25 cm ® será adotado bw = 35 cm (ver Figura 1.126) 
 
4) Altura da sapata da divisa 
 
 Para sapata rígida: 
 
 NBR 6118 ® h1 ³ (A1 – bw)/3 ³ (260 – 35)/3 ³ 75 cm ® adotado h1 = 75 cm 
 
 5,112
2
35260
2
bA
c w1 =
-
=
-
= 
 
 A altura da viga alavanca será feita igual à da sapata: hv = h1 = 75 cm 
 
 d1 = dv = 75 – 5 = 70 cm 
 
 O pilar tem armadura f 12,5 mm e considerando concreto C20, região de boa aderência, com gancho, na 
Tabela A-7 tem-se o comprimento de ancoragem lb = 38 cm, e: 
 
 d1 = 70 cm > lb = 38 cm ® ok! 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 92 
 
 
 
 =
 2
6
0
A
1
P1 P2
 = 135B1
VE
h
= 7
5
h
0
h
1
C
 =
1
1
2
5
C
 =
1
1
2
5
sapata 2
sapata 1
h
v
 = 35bw
 
Figura 1.126 – Dimensões da sapata sob o pilar de divisa. 
 
5) Dimensionamento da viga alavanca 
 
 A armadura longitudinal superior da viga alavanca na região da sapata de divisa pode ser calculada fazendo-se 
a analogia da viga com um consolo curto, ou segundo a teoria de viga fletida. 
 
5.1) Armadura de flexão no trecho da sapata de divisa (B1) 
 
 São conhecidos os valores: bw = 35 cm, hv = h1 = 75 cm, dv = d1 = 70 cm e Md,máx = 1,4 . 24234 = 33.928 
kN.cm. 
 1,5
33928
7035
M
db
K
2
d
2
c =
×
== ® na Tabela A-1: bx = 0,22 ≤ 0,45 (ok!), domínio 2 e Ks = 0,025 
 
 12,12
70
33928
025,0As == cm
2 ® 6 f 16 mm (12,00 cm2) 
 
 Como esta armadura não é muito alta, ela pode ser estendida até o pilar P2, sem corte. 
 
 Armadura mínima (Tabela A-6, concreto C20): As,mín = 0,15 % bw hv = 0,0015 . 35 . 75 = 3,94 cm2 
 
 Para a armadura longitudinal inferior pode-se adotar a armadura mínima (2 f 16 ou 5 f 10 ® 4,00 cm2). 
 
5.2) Armadura transversal 
 
 No trecho da sapata de divisa (B1): Vk = V1L = 410,3 kN ® VSd = 1,4 . 410,3 = 574,4 kN 
 
 Para cálculo de Asw , conforme as equações simplificadas do Modelo de Cálculo I16, com concreto C20 e dv = 
70 cm (ver Tabela A-4 anexa): 
 
 
16 Ver BASTOS, P.S.S. Dimensionamento de vigas de concreto armado à força cortante. Disciplina 2123 – Estruturas de Concreto 
II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista (UNESP), abr/2015, 74p. 
Acesso em: http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 93 
 
 
 VRd2 = 0,35bw d = 0,35 . 35 . 70 = 857,5 kN > VSd ® ok! 
 
 VSd,mín = 0,101bw d = 0,101 . 35 . 70 = 247,5 kN < VSd 
 
 97,143517,0
70
4,574
55,2b17,0
d
V
55,2A w
Sd
sw =×-=-= cm
2/m 
 
 mcm09,335
5010
)203,0(20
b
f
f20
A 2
3 2
w
ywkm,ct
mín,sw =×
×
== 
 
 Com Asw = 14,97 cm2/m, fazendo estribo com quatro ramos tem-se Asw,1,ramo = 14,97/4 = 3,74 cm2/m, e na 
Tabela A-11 (ver tabela anexa), encontra-se: f 8 mm c/13 cm (3,85 cm2/m). 
 
 Espaçamento máximo: 0,67VRd2 = 0,67 . 857,5 = 574,5 kN 
 
 s £ 0,6d £ 30 cm ® s £ 0,6 . 70 = 42 cm £ 30 cm 
 
 \ s £ 30 cm 
 
 0,2 VRd2 = 171,5 kN < VSd ® st £ 0,6d £ 35 cm 
 
 st £ 0,6 . 70 £ 42 cm £ 35 cm ® ok! 
 
 No trecho da viga coincidente com a sapata de divisa (B1) convém colocar a armadura calculada para a força 
cortante máxima. No trecho além da sapata, a armadura deve ser calculada para a menor seção transversal, 35 x 40 na 
união com a sapata 2 (pilar interno): 
 
 VSd = 1,4 . 78,6 = 110,0 kN 
 
 VRd2 = 0,35bw d = 0,35 . 35 . 35 = 428,8 kN > VSd ® ok! 
 
 VSd,mín = 0,101bw d = 0,101 . 35 . 35 = 123,7 kN > VSd ® Asw,mín 
 
 mcm09,335
5010
)203,0(20
b
f
f20
A 2
3 2
w
ywk
m,ct
mín,sw =×
×
== 
 
 Na Tabela A-11 tem-se estribo f 6,3 mm c/20 cm (1,58 cm2/m) com 2 ramos (2 . 1,58 = 3,16 cm2/m): 
 
 0,67VRd2 = 287,3 kN > VSd ® s ≤ 0,6 d ≤ 30 cm 
 
 s = 0,6 ∙ 35 = 21 cm ≤ 30 ® \ smáx = 21 cm 
 
 0,2VRd2 = 85,8 kN < VSd ® st ≤ 0,6 d ≤ 35 cm ® \ st,máx = 21 cm 
 
 Para a viga com bw = 35 cm a largura do estribo com dois ramos resulta 26,4 cm (35-4,3-4,3), maior que o 
valor st = 21 cm. Portanto, o estribo deve ter mais de dois ramos. Por exemplo, estribo com quatro ramos f 5 mm: 
 
 0309,0
s
20,04
=
×
 ® s = 25,9 cm > smáx = 21 cm 
 
 Então: estribo f 5 mm c/21 cm 4 ramos (3,81 cm2/m) 
 
5.3 Armadura de pele 
 
 De acordo com a NBR 6118, é obrigatória a armadura de pele quando a altura da viga supera 60 cm (h > 60 
cm): 
 Asp = 0,10% bw h = 0,0010 . 35 . 75 = 2,63 cm2 por face 
 
 5 f 8 mm (2,50 cm2) por face da viga, ao longo do comprimento. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 94 
 
 
5.4 Armadura de costura 
 
 A armadura de costura é colocada na extensão da largura da sapata de divisa (B1), abaixo da armadura 
longitudinal negativa e ao longo da altura da viga, e tem a finalidade de aumentar a resistência e ductilidade da viga 
alavanca. 
 Pode ser adotada como: �ୱǡୡ୭ୱ୲ ൌ ͲǡͶǤ �ୱ stcos,s A4,0A = 
 
 As,cost = 0,4 . 12,12 = 4,85 cm2 ® 10 f 8 mm (5,00 cm2) 
 
6. Detalhamento das armaduras na viga de equilíbrio (Figura 1.127) 
 
 
N5 - 10 c/ 13 N6 - c/20
N1 - 6 Ø16A
A
N3
N2
N3
5N4
6N1
CORTE AA
N1 - 2 x 3 Ø16 C = (em laço)
N2 - 2 x 5 Ø8 C = (arm. costura - em laço)
N3 - 2 x 5 Ø8 C = VAR (arm. pele)
N4 - 5 Ø10 C = 
3 laços (6N1)
N5 - 10 x 2 Ø8 C =
N6 - x 2 Ø5 C = VAR.
Detalhe dos laços sob
o pilar P1
 
Figura 1.127 – Detalhamento das armaduras na viga de equilíbrio (viga alavanca). 
 
Notas: a) em distâncias pequenas entre os pilares a viga alavanca pode ser feita com altura constante; 
 b) a armadura N1 pode ter parte interrompida antes do pilar P2, conforme o diagrama de momentos fletores. 
 
1.10.6 Atividade 
 
a) Dimensionar e detalhar as armaduras da sapata sob o pilar P1; 
b) Idem para a sapata isolada sob o pilar P2 ; 
c) Se a sapata sob o pilar da divisa (P1) tiver a largura B1 diminuída e o comprimento A, aumentado, quais as 
implicações que essas alterações resultam para a viga alavanca? 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 95 
 
 
1.10.7 Viga Alavanca Não Normal à Divisa 
 
a) O centro geométrico da sapata 1 deve estar sobre o eixo da viga alavanca; 
b) As faces laterais da sapata devem ser paralelas ao eixo da viga alavanca para minimizar o efeito do 
momento de torção; 
c) Recomenda-se que as cotas sejam tomadas nas projeções (direção normal à divisa). 
 
B 1
e 1
P1
P2
CGsap
e1h
B1R
d
iv
is
a
eix
o d
a v
iga
 ala
van
ca
 
Figura 1.128 – Viga alavanca não normal à divisa. 
 
Área da Sapata Sob o Pilar Interno (P2) 
 
 Pode ser considerado parte do alívio proporcionado pelo pilar da divisa. 
 
N1 N2
R2R1
P1 pilar P2
 
Figura 1.129 – Forças atuantes na viga alavanca não normal à divisa. 
 
 N1 + N2 = R1 + R2 → N2 – R2 = R1 – N1 
 
 R1 – N1 = ∆N 
 
 Ssap = 1,1 (N2 - ∆N/2) 
 
 
1.10.8 Exercício Proposto 
 
 Dimensionar e detalhar as armaduras das sapatas e da viga alavanca dos pilares P1 e P2, sendo 
conhecidos: σadm = 0,018 kN/cm2 ; C20 ; CA-50 ; NP1 = 520 kN ; NP2 = 970 kN ; fl,pil = 12,5 
mm. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 96 
 
 
40
20
8
0
P1
P2
2,5 285
40
20
d
iv
is
a
 
Figura 1.130 – Dimensões a serem consideradas. 
 
 
1.11 Sapata Excêntrica de Divisa 
 
 Quando a sapata de divisa não tem vinculação com um pilar interno, com viga de equilíbrio por 
exemplo, a flexão devido à excentricidade do pilar deve ser combatida pela própria sapata em conjunto com 
o solo. São encontradas em muros de arrimo, pontes, pontes rolantes, etc. 
 A reação do solo não é linear, mas por simplicidade pode-se adotar a distribuição linear na maioria 
dos casos. 
bp
B
D
iv
is
a
não linear
N
 
Figura 1.131 – Sapata excêntrica sob pilar de divisa. 
 
 
 Para não ocorrer tração na base da sapata, a largura B deve ser escolhida de tal forma que: 
B ≤ 1,5bp . Recomenda-se também que A ≤ 2B. 
 Em função do valor da excentricidade da força vertical N, os seguintes casos são considerados: 
 
a) B < 1,5bp (e < B/6) - Figura 1.132 
 
 
admmáx 3,1B
e6
1
BA
N
p s£÷
ø
ö
ç
è
æ +
×
=
 
 
 
÷
ø
ö
ç
è
æ -
×
=
B
e6
1
BA
N
pmín
 
1.79 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 97 
 
 
bp
A
6
B
6e
A
B
pmín.
pmáx.
N
 
 
Figura 1.132 – Caso onde B < 1,5bp (e < B/6). 
 
b) B = 1,5bp (e = B/6) - Figura 1.133 
 
 
admmáx 3,1BA
N2
p s£
×
=
 
1.80 
 
B
6e
A
B
pmáx.
N
 
Figura 1.133 – Caso onde B = 1,5bp (e = B/6). 
 
c) B > 1,5bp (e > B/6) - Figura 1.134 
 
 
admmáx 3,1
e
2
B
A3
N2
p s£
÷
ø
ö
ç
è
æ -
=
 
1.81 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 98 
 
 
B
6e
A
B
pmáx.
N
3 ( B 2 - e )
 
 
Figura 1.134 – Caso onde B > 1,5bp (e > B/6). 
 
 
 A sapata de divisa pode ter altura constante (geralmente para alturas baixas e cargas pequenas) ou 
variável. 
N
d
iv
is
a
d
iv
is
a
viga
enrijecedora
 
Figura 1.135 – Sapata isolada sob pilar de divisa. 
 
 Para casos onde resulte A > 2B pode-se criar viga associada à sapata excêntrica de divisa, como 
ilustrado nos exemplos mostrados na Figura 1.135 e Figura 1.136. Para não ocorrer torção na viga convém 
coincidir o centro da viga com o centro do pilar. A viga pode ser projetada na direção perpendicular à divisa 
(Figura 1.136). 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 99 
 
 
h
viga
 
Figura 1.136 – Sapata excêntrica na divisa com viga de reforço. 
 
 
 A estrutura deve oferecer uma reação horizontal, para equilibrar a excentricidade do pilar/sapata. 
 
H
H
l
P
pilar
flexível
e
R
M H
H
P pilar
rígido
M
e R
 
 
Figura 1.137 – Estrutura para absorver forças horizontais. 
 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 100 
 
 
1.12 Sapata Associada 
 
 As sapatas associadas são também chamadas conjuntas ou conjugadas. No Projeto de fundações de 
um edifício com sapatas, o projeto mais econômico é aquele com sapatas isoladas. Porém, quando as sapatas 
de dois ou mais pilares superpõem-se, é necessário fazer a sapata associada. 
 Há várias possibilidades para a sapata associada, que pode receber carga de dois ou mais pilares, de 
pilares alinhados ou não, com cargas iguais ou não, com um pilar na divisa, com desenho em planta 
retangular, trapezoidal, etc. 
 Dependendoda capacidade de carga do solo e das cargas dos pilares, a sapata associada pode ter 
uma viga unindo os pilares (viga de rigidez), sendo essa a sapata mais comum no Brasil. 
 
1.12.1 Sapata com Base Retangular 
 
 O centro geométrico da sapata deve coincidir com o centro de carga dos pilares, e deste modo a 
pressão no solo pode simplificadamente ser considerada uniforme. 
 A sapata pode ter a altura determinada segundo os critérios já mostrados e resultar flexível ou rígida. 
 Os seguintes casos podem ser considerados: 
h
1 cc 2
c1
c2
P1 P2
B
2
B
2
A
B
N1 N2
c1 c2ap2ap1
x
R
p @ sadm
q1 N1
ap1
= ____ q2 N2
ap2
= ____
p = RA.B.
V
M
 
Figura 1.138 – Sapata conjunta. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 101 
 
 
a) N1 ¹ N2 e largura B previamente fixada 
 
 R = (N1 + N2) Kmaj 
 
 ∑ M (N1) = 0 
 
 0xRN cc2 =×-×l 
 
 cc
2
R
N
x l= 
 
 
adm
R
BA
s
=× 
 
 As dimensões l1 e l2 podem ser deduzidas e: 
 
 cc
2
adm
1 R
N
B2
R
ll -
s×
= 
 
 cc
1
adm
2 R
N
B2
R
ll -
s×
= 
 
 A = l1 + lcc + l2 
 
 Os esforços solicitantes são determinados de maneira semelhante à viga de equilíbrio das sapatas 
com pilar de divisa, como já mostrado. Se o pilar estiver com a largura na direção da dimensão A, pode-se 
simplificar fazendo-o apenas como um apoio pontual (carga N1 no centro de ap1 ao invés da carga q1 em ap1). 
 A sapata econômica será obtida fazendo o momento fletor negativo próximo do momento fletor 
positivo. 
 
b) N1 ¹ N2 e comprimento A previamente fixado 
 
 cc
2
R
N
x l= ; R = Kmaj (N1 + N2) 
 
 x
2
A
1 -=l ; )x(2
A
cc2 --= ll 
 
 Largura da sapata: 
admA
R
B
s×
= 
 
c) 2121 NNouNN <@ e comprimento l1 fixado 
 
 Este caso geralmente ocorre com pilar de divisa. A sapata pode ser retangular quando N1 não é muito 
diferente de N2 . O comprimento A da sapata deve se estender pelo menos até as faces externas dos pilares. 
 
 cc
2
R
N
x l= 
 
 Comprimento da sapata: ( )x2A 1 += l 
Largura da sapata: 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 102 
 
 
admA
R
B
s×
= 
1 cc 2
P1 P2
A
B
N1 N2
ap2ap1
x
R
p
b
p
1
b
p
2
d
iv
is
a
h
 
Figura 1.139 – Sapata conjunta com pilar de divisa. 
 
 No caso de cargas dos pilares iguais ou muito próximas, e pilares não de divisa, o dimensionamento 
econômico é conseguido com os balanços sendo A/5. 
 
A
5
3
5 A A 5
P1 P2
A
B
 
Figura 1.140 – Balanço econômico para a sapata conjunta. 
 
 
1.12.2 Verificações e Dimensionamento 
 
 Punção: nas sapatas flexíveis a punção deve ser obrigatoriamente verificada. Nas sapatas rígidas 
deve ser verificada a tensão de compressão diagonal, na superfície crítica C. 
 Força Cortante: as forças cortantes determinadas segundo a direção longitudinal devem ser 
verificadas como laje se B ≥ 5d, e como viga se B < 5d. Estribos com 2, 4, 6, ou mais ramos podem ser 
aplicados. 
 Momentos Fletores - Armaduras de flexão: na direção longitudinal a armadura de flexão deve ser 
dimensionada conforme os momentos fletores solicitantes, e posicionadas de acordo com o sinal do 
momento fletor, ou seja, onde ocorrem as tensões de tração oriundas dos momentos fletores. Na direção 
transversal pode-se determinar uma viga sob cada pilar, com largura d/2 além das faces do pilar (Figura 
1.141). 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 103 
 
 
P1
P2
B b
p
1
b
p
2
h
ap1
d
2
d
2ap2
d
2f
AI AIII
I II III IV
d
A
a + 0,5d + fap1 a + dap2
 
 
Figura 1.141 – Armaduras de flexão diferentes para as regiões I a IV. 
 
 
 f = distância da face do pilar P1 à face da sapata na extremidade relativa à divisa. 
 
 Nas regiões II e IV deve ser colocada a armadura mínima de viga, por metro: 
 
 AsII = AsIV = ρmín ∙ h (cm2/m) 
 
 Região I: 
 
 
B
N
q 11 = 
 
2
 
2
b-B
qM
2
p1
11
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
= 
 
 
yd
1f
s f0,85d
M
A
×
g
= ; 
 
 As,mín = ρmín (f + ap1 + 0,5d) h ; 
h 0,5d)a(f
A
p1
s
++
=r 
 ρ ≥ ρmín 
 
 Região III: os cálculos são semelhantes à região I, mas com a carga N2 , a largura ap2 + d e vão 
B – bp2 . As armaduras das regiões I e III devem ser colocadas nas larguras (f + ap1 + 0,5d) e (ap2 + d), 
respectivamente. 
 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 104 
 
 
1.12.3 Sapata Trapezoidal 
 
 Quando a carga de um pilar é muito maior que a do outro pilar, utiliza-se a sapata com forma de 
trapézio (Figura 1.142). 
cc
 = . pp2 B2
P1
ap1c
P2
B
1
B
2
N1 N2
A
x R
 = . pp1 B1
 
 
Figura 1.142 – Sapata conjunta com planta em trapézio. 
 
As dimensões A e c são adotadas, e: 
 
 R = Kmaj (N1 + N2) 
 
 
adm
sap
R
S
s
= 
 
 A
2
BB
S 21sap
+
= 
 
 S M (P1) = 0 
 
 N2 . lcc – R . x 
 Coincidindo o centro de gravidade da sapata (trapézio) com o centro de carga (força R), tem-se: 
 
 ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
+
+
=++
21
211p
BB
B2B
3
A
c
2
a
x 
 
 Com esta equações e a seguinte, determinam-se os lados B1 e B2 . 
 
 A
2
BB
S 21sap
+
= 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 105 
 
 
1.12.4 Sapata Conjunta com Viga de Rigidez 
 
 Nas sapatas associadas sob pilares com cargas elevadas é recomendável associar a sapata com uma 
“viga de rigidez” (VR), que aumenta a segurança da sapata, diminui a possibilidade de punção, diminui a 
deformabilidade da sapata, melhora a uniformidade das tensões no solo, enfim, aumenta a rigidez da sapata e 
melhora seu comportamento global. 
 
V.R.
1m
B
A
A
A
P1 P2
N1 N2
 
0,15bw
d S
1
bbw
h
CORTE A
d
v
h
v
As
p sapata
As,distr
 
Figura 1.143 – Sapata conjunta com viga de rigidez. 
 
 
BA
NN
p 21
×
+
= 
 
 Os diagramas de momento fletor e força cortante são como aqueles da sapata associada sem viga de 
rigidez. A viga de rigidez deve ter as armaduras dimensionadas para esses esforços, determinados segundo a 
direção longitudinal da sapata (direção A). 
 
 
ïî
ï
í
ì
+
+
³
cm5b
cm5b
b
2p
1p
w (5 cm, valor mínimo) 
 
 dv ³ lb,f,pil ; hv ³ h 
 
 A sapata é calculada considerando-se faixa de 1 m de largura, segundo a direção da largura B. Como 
modelo de cálculo pode ser adotado aquele do CEB-70, ou o “Método das Bielas”. No caso do CEB-70 
devem ser consideradas as seções de referência (S1 e S2) como indicadas na Figura 1.143. O 
dimensionamento da sapata à flexão resultará na armadura principal As , que é paralela à dimensão B da 
sapata. Nos balanços da sapata (c) são colocadas armaduras de distribuição, na direção A da sapata. 
 
1.12.5 Exemplo 9 – Sapata Associada 
 
 Projetar uma sapata associada para dois pilares (Figura 1.144), sendo: N1 = 900 kN ; N2 = 1.560 kN ; C20 ; 
gsolo = 1.925 kgf/m3 (peso específico do solo) ; carga atuante de 500 kgf/m2 sobre o piso final acima da sapata ; fl,pil = 
12,5 mm ; c = 4,0 cm ; distância de 2,08 m entre a base inferior da sapata e o piso final ; σadm = 191,5 kPa = 0,1915 
MPa ; coeficientes de ponderação: γf = γc = 1,4 , γs = 1,15. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 106 
 
 
 
30
4
5
d
iv
is
a
P1 P2
40
17,5cm 6.10m
 
Figura 1.144 – Medidas para a sapata associada do exemplo. 
 
Resolução 
 
 Neste exemplo, a carga relativa ao peso próprio da sapata será considerada simplificadamente com o peso 
específico do solo, e somada à carga atuante sobre o piso acima da sapata: 
 
 gtot = (gsolo + gsap) + gpiso = (2,08 . 1925) + 500= 4.504 kgf/m2 = 45,04 kPa 
 
a) Dimensões da sapata 
 
 Para fins de cálculo, a tensão admissível do solo será diminuída da carga total que atua sobre a sapata (gtot), de 
modo que a tensão admissível líquida do solo é: 
 
 σadm,líq = σadm – gtot = 191,5 – 45,04 = 146,5 kPa = 146,5 kN/m2 = 0,1465 MPa 
 
 Área da sapata: 
 
 8,16
5,146
1560900NN
S
líq,adm
21
sap =
+
=
s
+
= m2 
 
 Centro de cargas: cc
21
2
NN
N
x l
+
= ; N1 + N2 = R 
 
 87,310,6
1560900
1560
x =
+
= m 
 
 Comprimento da sapata: ( )x2A 1 += l 
 
 A = 2 (0,175 + 3,87) = 8,09 m @ 8,10 m (ver Figura 1.145) 
 
 Largura da sapata: 
A
S
B sap= 
 
 07,2
10,8
8,16
B == m @ 2,10 m 
 
 A tensão aplicada pela sapata no solo, sem considerar o peso da sapata e do solo sobre a sapata, pois essas 
cargas transferem-se diretamente sem causar flexão na sapata, é: 
 
 01446,0
210810
1560900
BA
NN
p 21 =
×
+
=
×
+
= kN/cm2 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 107 
 
 
 Considerando a largura B da sapata: 
 
 pB = 0,01446 . 210 = 3,037 kN/cm 
 
30
4
5
d
iv
is
a
P1 P2
17,5
A
1625
CP
x 
387
223 1825
B 2
1
0
900 kN 1560 kN
610
= 3,037 KNcmpB
 
53,1
846,9 554,3
1005,7
(kN)Vk
(kN.cm)Mk
-
+
331
465
50575
117605
 
Figura 1.145 – Esforços solicitantes na sapata associada. 
 
b) Altura da sapata 
 
 Conforme a NBR 6118, a sapata é rígida quando h ³ (A – ap)/3. No caso de sapata isolada simétrica, tem-se 
que A – ap = 2c. Para a sapata associada em questão, o maior balanço c ocorre no lado direito do pilar circular, onde c = 
162,5 cm (Figura 1.145), e conforme o critério da norma: 
 
 3,108
3
5,1622
h ³
×
³ cm 
 
 Fazendo a sapata como rígida com h ≥ 108 cm não será necessário verificar a punção. No entanto, a fim de 
exemplificar a verificação à punção, a altura da sapata será adotada de tal forma a resultar uma sapata flexível, com 
h = 85 cm. 
 
c) Armadura de flexão na direção longitudinal 
 
c1) Momento fletor máximo negativo 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 108 
 
 
 M = - 117.605 kN.cm ® Md = γf M = 1,4 (- 117.605) = - 164.647 kN.cm 
 
 Para a altura útil será adotada: d = h – 5 cm = 80 cm 
 
 2,8
164647
80210
M
db
K
2
d
2
c =
×
== ® Tabela A-1: bx = 0,13 ≤ 0,45 (ok!), Ks = 0,024 e domínio 2. 
 
 39,49
80
164647
024,0
d
M
KA dss === cm
2 ® 17 f 20 mm (53,55 cm2), barras N4 na Figura 1.152. 
 
 Armadura mínima (Tabela A-6, concreto C20): As,mín = 0,15 % bw h = 0,0015 . 210 . 85 = 26,78 cm2 
 
c2) Momento fletor máximo positivo 
 
 M = 50.575 kN.cm ® Md = γf M = 1,4 (50.575) = 70.805 kN.cm ; d = 80 cm 
 
 0,19
70805
80210
M
db
K
2
d
2
c =
×
== ® Tabela A-1: bx = 0,06 ≤ 0,45 (ok!), Ks = 0,024 e domínio 2. 
 
 24,21
80
70805
024,0
d
M
KA dss === cm
2 
 
 As < As,mín ® \ As,mín = 26,78 cm2 ® 22 f 12,5 mm (27,50 cm2), barras N8 na Figura 1.152. 
 
d) Armadura de flexão na direção transversal (Figura 1.146) 
30
 
 
 =
 4
5
d
iv
is
a
P1 P2
 + 0,5d + f
72,5
 + d
120
122 5
B
 =
 2
1
0
 c
m
b
p
1
ap1
ap2ap1
40
ap28
5
f
 
Figura 1.146 – Regiões para a armadura de flexão. 
 
d1) Região do pilar P1 
 
 A lagura da faixa a ser considerada existente uma flexão importante devida à carga do pilar P1 é: 
 
 ap1 + 0,5d + f = 30 + 0,5 . 80 + 2,5 = 72,5 cm 
 
 29,4
210
900
B
N
q 11 === kN/cm 
 
 600.14
2
2
45210
29,4
2
2
bB
qM
22
1p
11 =
÷
ø
ö
ç
è
æ -
=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ -
= kN.cm 
 
 M1d = γf M1 = 1,4 . 14600 = 20.440 kN.cm 
 
 7,22
20440
805,72
M
db
K
2
d
2
c =
×
== ® Tabela A-1: bx = 0,05 ≤ 0,45 (ok!), Ks = 0,023 e domínio 2. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 109 
 
 
 88,5
80
20440
023,0
d
M
KA dss === cm
2 
 
 Armadura mínima (Tabela A-6): As,mín = 0,15 % bw h = 0,0015 . 72,5 . 85 = 9,24 cm2 
 
 As < As,mín ® \ As,mín = 9,24 cm2 
 
 74,12100
5,72
24,9
= cm2/m 
 na Tabela A-11 resulta f 12,5 c/9,5 cm (13,16 cm2/m), barras N1 na Figura 1.152. 
 
d2) Região do pilar P2 
 
 A lagura da faixa de flexão do pilar P2 é: 
 
 ap2 + d = 40 + 80 = 120 cm 
 
 43,7
210
1560
B
N
q 22 === kN/cm 
 
 841.26
2
2
40210
43,7
2
2
bB
qM
22
2p
22 =
÷
ø
ö
ç
è
æ -
=
÷÷
ø
ö
çç
è
æ -
= kN.cm 
 
 M2d = γf M2 = 1,4 . 26841 = 37.577 kN.cm 
 
 9,19
37577
79120
M
db
K
2
d
2
c =
×
== ® Tabela A-1: bx = 0,05 ≤ 0,45 (ok!), Ks = 0,023 e domínio 2. 
 
 94,10
79
37577
023,0
d
M
KA dss === cm
2 
 
 Armadura mínima (Tabela A-6): As,mín = 0,15 % bw h = 0,0015 . 120 . 85 = 15,30 cm2 
 
 As < As,mín ® \ As,mín = 15,30 cm2 
 
 75,12100
120
30,15
= cm2/m 
 na Tabela A-11 resulta f 12,5 c/9,5 cm (13,16 cm2/m), barras N1 na Figura 1.152. 
 
e) Verificação da punção na superfície crítica C’ 
 
e1) Pilar circular P2 (Figura 1.147) 
2d
160
40
2d
C'
 
Figura 1.147 – Superfície critica C’. 
 
 Tensão de cisalhamento solicitante (τSd): 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 110 
 
 
 
du
FSd
Sd ×
=t 
 
 Alturas úteis relativas às armaduras ortogonais, considerando que a armadura na direção y está posicionada 
sobre a armadura na direção x, e com fl = 12,5 mm e c = 4,0 cm: 
 
 dx = h – c – fl/2 = 85 – 4,0 – 1,25/2 = 80,4 cm 
 
 dy = h – c – fl – fl/2 = 85 – 4,0 – 1,25 – 1,25/2 = 79,1 cm 
 
 8,79
2
1,794,80
2
dd
d yx =
+
=
+
= cm 
 
 A distância entre a face do pilar P2 e as extremidades laterais da sapata é de 85 cm, de modo que o limite 
relativo à superfície crítica C’ (2d = 2 . 79,8 = 159,6 cm) estende-se além da sapata, Neste caso, deve ser considerada a 
distância a* como limite para a superfície C’ (Figura 1.148). 
a*
85
C'1
0
5
1
0
5
 
Figura 1.148 – Distância a*. 
 
 85
2
40210
2
a
2
B
*a 2p =
-
=-= cm ; a* = 85 cm £ 2d £ 159,6 cm 
 
 u* = 2p r = 2p . 105 = 659,7 cm 
 
 Acont,C’ = pD2/4 = p 2102/4 = 34.635 cm2 
 
 Força de baixo para cima devida à reação do solo, atuante na área compreendida pela superfície crítica C’:17 
 
 DFSd = γf (p . Acont,C’) = 1,0 (0,01446 . 34635) = 500,8 kN 
 
 Força reduzida: FSd,red = (γf N2) – DFSd = (1,4 . 1560) – 500,8 = 1.683,2 kN 
 
 Tensão de cisalhamento atuante: 
 
 032,0
8,797,659
2,1683
Sd =×
=t kN/cm2 = 0,32 MPa 
 
 As taxas de armadura rx e ry (Figura 1.149) devem ser determinadas na distância 3d além das faces do pilar. 
Pelos cálculos já efetuados, observa-se que na direção do lado A (dir. x) a armadura de flexão resultou a mínima para o 
momento fletor positivo, isto é, rx = rmín = 0,0015. Na direção do lado B (dir. y) também resultou armadura mínima 
para o momento fletor transversal, de modo que ry = rmín = 0,0015. Portanto, r = 0,0015. 
 
 yx rr=r 
 
 
17 Neste caso, o coeficiente de ponderação γf deve ser adotado igual a 1,0 (Tabela 11.1 da NBR 6118), porque o efeito é 
favorável, isto é, a reação do solo diminui a tensão atuante. 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 111 
 
 
 
rx ry
 
 
Figura 1.149 – Taxas de armadura longitudinal nas duas direções. 
 
 Tensão de cisalhamento resistente (τRd1) na superfície C’: 
 
 2cd3 ck1Rd f5,0*a
d2
f100
d
20
113,0 £×r÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+=t 
 cd
ck
2cd f250
f
16,05,0f5,0 ú
û
ù
ê
ë
é
÷
ø
ö
ç
è
æ
-= = 
4,1
0,2
250
20
16,05,0 ú
û
ù
ê
ë
é
÷
øö
ç
è
æ - = 0,394 kN/cm2 = 3,94 MPa 
 
 
85
802
200015,0100
80
20
113,0 31Rd
×
××÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+=t = 0,53 MPa = 0,053 kN/cm2 ≤ 0,394 kN/cm2 ® ok! 
 
 Portanto, τSd = 0,32 MPa < tRd1 = 0,53 MPa, o que significa que não ocorrerá ruptura da sapata por punção, na 
posição do pilar P2. 
 
e2) Pilar retangular P1 (Figura 1.150) 
 
 O momento fletor, que atua na direção do lado B da sapata e na faixa relativa ao pilar P1, será desprezado. 
 
532
1
0
5
1
0
5
82
a*
8
2 a
*
8
2 a
*
4
5
5
5
5
5
82
a*
B
 =
 2
1
0
 
Figura 1.150 – Distância a* no pilar da divisa. 
 
 Tensão de cisalhamento solicitante (τSd): 
 
 
d*u
FSd
Sd =t ; FSd = 1,4 . 900 = 1.260 kN 
 
 d = 79,8 cm 
 
 Conforme observa-se na Figura 1.150, o perímetro do contorno C’ é: 
 
 u* = 32,5 + 32,5 + 45 + p . 82,5 = 369,2 cm 
 
 Tensão de cisalhamento atuante: 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 112 
 
 
 0428,0
8,792,369
900.4,1
Sd =×
=t kN/cm2 = 0,428 MPa 
 
 A taxa de armadura será calculada considerando a armadura longitudinal negativa na direção x e a armadura 
transversal positiva na direção y (B), Figura 1.151. 
As, cosntr.
85
d 
=
 8
0
Ø12,5
17 Ø12,5
 
Figura 1.151 – Armaduras longitudinais da sapata sob o pilar de divisa. 
 
 Com a armadura composta por 17 f 20 (53,55 cm2) tem-se: 
 
 003,0
85210
55,53
A
A
c
s
x =×
==r 
 
 Na direção do lado B (dir. y) resultou a armadura mínima e ry = rmín = 0,0015. 
 A armadura construtiva inferior na direção x também auxilia na resistência à punção, mas não será 
considerada. 
 
 00212,00015,0003,0yx =×=rr=r 
 
 Tensão de cisalhamento resistente (τRd1) na superfície C’: 
 
 2cd*
3
ck1Rd f5,0
a
d2
f100
d
20
113,0 £×r÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+=t 
 
 
5,82
802
2000212,0100
80
20
113,0 31Rd
×
××÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+=t = 0,612 MPa ≤ 3,94 MPa ® ok! 
 
 τSd = 0,428 MPa < tRd1 = 0,612 MPa ® ok! Não vai ocorrer punção na região do pilar P1. 
 
f) Dimensionamento da armadura transversal segundo a direção longitudinal 
 
 Com a altura útil d = 80 cm tem-se que 5d = 5 . 80 = 400 cm. Verifica-se que bw = B = 210 cm < 5d = 400 cm, 
o que significa que a verificação da força cortante na sapata deve ser considerando a sapata como uma viga, e não como 
uma laje. 
 A verificação será feita para a força cortante máxima na sapata, atuante na posição do pilar P2: 
 
 VSd = γf Vk = 1,4 . 1005,7 = 1.408 kN 
 
 Para o concreto C20 e adotando o Modelo de Cálculo I, conforme a formulação apresentada em Bastos[22], a 
força cortante máxima é (ver Tabela A-4 anexa): 
 
 VRd2 = 0,35 bw d = 0,35 . 210 . 80 = 5.880 kN 
 
 VSd = 1.408 kN < VRd2 ® ok! 
 
 A força cortante mínima, aquela correspondente à armadura transversal mínima, é: 
 
 VSd,mín = 0,101 bw d = 0,101 . 210 . 80 = 1.697 kN 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 113 
 
 
 VSd = 1.408 kN < VSd,mín = 1.697 kN ® \ Asw = Asw,mín 
 
 56,18210
5010
203,020
b
f
f20
A
3 2
w
ywk
m,ct
mín,sw =×
÷
ø
öç
è
æ
== cm2/m 
 
 Espaçamento máximo entre os estribos: 
 
 0,67VRd2 = 3.940 kN > VSd 
 
 s £ 0,6d £ 0,6 . 80 £ 48 cm £ 30 cm ® smáx = 30 cm 
 
 Espaçamento máximo entre ramos verticais dos estribos: 
 
 0,2VRd2 = 1.176 kN < VSd 
 
 st £ 0,6d £ 48 cm £ 35 cm ® st,máx = 35 cm 
 
 Fazendo estribo f 6,3 mm com 6 ramos (6 . 0,31 = 1,86 cm2): 
 
 1856,0
s
86,1
= ® s = 10 cm ≤ 30 cm ® ok! 
 
 O espaçamento entre os ramos verticais dos estribos resulta: st = 200/5 = 40 cm » st,máx = 35 cm (como a 
armadura transversal é a mínima, será aceito um espaçamento um pouco superior a st,máx). 
 
g) Detalhamento das armaduras (Figura 1.152) 
 
 No detalhamento, as barras N5 e N7 formam armaduras construtivas, aplicadas para aumentar a segurança da 
sapata, determinadas em função das dimensões da sapata e das armaduras principais de flexão (barras N4 e N8). As 
barras N6 reforçam as faces laterais verticais da sapata. Os comprimentos das barras N7 e N8 devem ser determinados 
em função do “cobrimento” do diagrama de momentos fletores, bem como das barras N4. 
 
N1 - 84 c/9,5
75
75
2
0
0
N
1
 -
 8
4
 Ø
1
2
,5
 C
 =
 3
5
0
 
 
7
5
7
5
4 N6
N2 - 80 c/10
N3 - 2 x 80 c/10
N4 - 17 Ø20 C = N5 - 10 Ø10
N6 - 2 x 4 Ø6,3 CORR
N7 - 10 Ø10 C = N8 - 22 Ø12,5 C =
7
5
7
5
202
77
N2 - 80 Ø6,3 C =
40
77
N3 - 160 Ø6,3
22 N8
4 N6
17 N4
 
Figura 1.152 – Esquema do detalhamento das armaduras da sapata. 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 114 
 
 
 As sapatas devem ter o equilíbrio verificado, quanto à possibilidade de tombamento e escorregamento, 
conforme apresentado no item 1.8. No caso de armaduras de flexão compostas por barras de diâmetro 20 mm ou 
superior é importante também verificar o possível descolamento ou escorregamento das armaduras, conforme 
apresentado no item 1.9. 
 
Atividade: alterar o projeto da sapata fazendo uma viga de rigidez entre os dois pilares. Comparar o 
consumo de materiais (concreto e aço) entre as duas soluções. A altura da sapata (85 cm) pode ser alterada. 
 
 
Questionário 
 
1) Definir resumidamente: fundação superficial, sapata, sapata isolada, sapata corrida, sapata associada, 
sapata com viga de equilíbrio, sapata excêntrica de divisa sem viga de equilíbrio. Exemplificar com 
desenhos. 
2) Por que a razão entre o lado maior e o lado menor de uma sapata isolada deve ser mantido até 2,5? 
3) Por que é interessante fazer os balanços iguais nas sapatas isoladas? Isso é obrigatório? 
4) Apresente o critério da NBR 6118 para a definição da rigidez da sapata. Compare com o critério do 
CEB-70. 
5) Estude e descreva o comportamento estrutural das sapatas rígidas e flexíveis. 
6) Por que não ocorre ruptura por punção nas sapatas rígidas? 
7) Em que situações a NBR 6118 indica a aplicação das sapatas flexíveis? 
8) A distribuição das tensões da sapata no solo é um assunto complexo, e depende de diversos fatores. 
Recomendo que seja estudada num livro de Fundações (Mecânica dos Solos). Procure saber as 
simplificações que são feitas em função da sapata ser rígida ou flexível e das características do solo 
(rocha, areia, argila, etc.). 
9) Sobre o processo de cálculo do CEB-70, mostre como é calculado o momento fletor na sapata. Qual o 
carregamento considerado? Analise os casos de sapata sem e com momentos fletores. 
10) Descreva os processos para ancoragem da armadura positiva. 
11) Sobre o processo de cálculo do CEB-70, mostre como é calculada a força cortante de referência. 
12) Por que a NBR 6118 manda verificar a superfície crítica C? Quando? 
13) Por que a NBR 6118 manda verificar a superfície crítica C’ ? Quando? 
14) Explique resumidamente o método das bielas. Em que tipo de sapata pode ser aplicado? 
15) Analise as diversas situações de tensão, diagrama de pressão no solo, etc., no caso de sapatas com 
momentos fletores aplicados. 
16) No caso de sapatas flexíveis, geralmente o cálculo é feito fazendo-se uma analogia com quais elementos 
estruturais? Como são calculados os momentos fletores e forças cortantes? 
17) Que verificação é extremamente importante de ser feita nas sapatas flexíveis? E nas sapatas corridas? 
18) Quais processos de cálculo podem ser aplicados no dimensionamento das sapatas rígidas? E no caso das 
sapatas flexíveis? 
19) Como são consideradas as duas dimensões no cálculo das sapatas corridas? Qual é e como é disposta a 
armadura principal? E a armadura secundária? 
20) Quando é necessário verificar o equilíbrio das sapatas quanto ao tombamento e escorregamento? Não 
esqueça de fazer essas verificações noexercício da sapata corrida da questão anterior. 
21) Quando e como verificar o escorregamento das armaduras de flexão nas sapatas? 
22) Por que fazer viga alavanca em pilar de divisa? 
23) Como é feito o dimensionamento da viga alavanca? 
24) No caso da sapata de divisa com viga alavanca, como é feito seu cálculo, em que direção? 
25) Na sapata excêntrica de divisa sem viga alavanca, qual a largura máxima indicada? Quais os casos de 
pressão no solo? Como a estrutura deve equilibrar a sapata? 
26) Na sapata excêntrica de divisa sem viga alavanca, em quais casos pode ser recomendado colocar vigas 
na sapata? 
27) Quais as preocupações básicas no projeto de uma sapata associada? 
28) É recomendado o projeto de uma viga de rigidez nas sapatas associadas? Por que? 
29) Como é dimensionada a viga de rigidez nas sapatas associadas? E a sapata na direção normal à viga de 
rigidez? 
 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 115 
 
 
Referências 
 
1.ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto e execução de fundações. NBR 6122, ABNT, 
2010, 91p. 
2.ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto – Procedimento. NBR 
6118, ABNT, 2014, 238p. 
3.HACHICH, W. ; FALCONI, F.F. ; SAES, J.L. ; FROTA, R.G.Q. ; CARVALHO, C.S. ; NIYAMA, S. Fundações – 
Teoria e prática. São Paulo, Ed. Pini, ABMS/ABEF, 2ª. ed., 2000, 751p. 
4.MONTOYA, J. Hormigon armado, v.1-2. Barcelona, Ed. Gustavo Gili, 5a. ed., 1971. 
5.COMITE EURO-INTERNATIONAL DU BETON. Recommendations particulières au calcul et à l’exécution des 
semelles de fondation. Bulletin d’Information n.73. Paris, 1970. 
6.CODUTO, D.P. Foundation Design – Principles and Practices. Upper Saddle River, Prentice Hall, 2a ed., 2001, 
883p. 
7.NILSON, A.H. ; DARWIN, D. ; DOLAN, C.W. Design of concrete structures. 14ª ed., McGraw Hill Higher 
Education, 2010, 795p. 
8.AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Building code requirements for structural concrete and Commentary. ACI 
318-11, 2011, 503p. 
9.TALBOT, A.N. ; ARTHUR, N. Reinforced concrete wall footings and column footings. Bulletin n. 67, University of 
Illinois Engineering Experiment Station, Urbana, 1913. 
10.RICHART, F.E. Reinforced concrete wall and column footings. Journal of the American Concrete Institute, v.20, 
n.2, p.97-127, and v.20, n.3, p.237-260, 1948. 
11.ACI-ASCE. Report of committee on shear and diagonal tension. Proceedings, American Concrete Institute, v.59, 
n.1, 1962. 
12.NAWY, E.G. Reinforced concrete – A fundamental approach. Upper Saddle River, Pearson Prentice Hall, 5a ed. 
ACI 318-05 Code Edition, 2005, 824p. 
13.McCORMAC, J.C. ; NELSON, J.K. Design of reinforced concrete – ACI 318-05 Code Edition. 7ª ed., John Wiley & 
Sons, 2006, 721p. 
14.ANDRADE, J.R.L. Fundações, blocos e vigas de transição. São Carlos, EESC/USP. Notas de aula, Estruturas 
Correntes de Concreto Armado, 4a parte, 1989. 
15.CAMPOS, J.C. Elementos de fundações em concreto. São Paulo, Ed. Oficina de Textos, 2015, 542p. 
16.SANTOS, L.M. Edifícios de Concreto Armado – Fundações. São Paulo, FDTE, EPUSP, fev. 1984, p.10.1-10.16. 
17.MACHADO, C.P. Edifícios de Concreto Armado – Fundações. São Paulo, FDTE, EPUSP, nov. 1985, p.11.31-
11.33. 
18.ALONSO, U.R. Exercícios de fundações. São Paulo, Ed. Edgard Blücher, 1983. 
19.GUERRIN, A. Tratado de Concreto Armado. v.2. São Paulo, Ed. Hemus, 1980. 
20.SILVA, E.L. Análise dos métodos estruturais para a determinação dos esforços resistentes em sapatas isoladas. 
Dissertação (Mestrado), São Carlos, EESC-USP, 1998. 
21.FERRO, N.C.P. Concreto III – Notas de Aula. Departamento de Engenharia Civil, UNESP, Bauru, 2005. 
22. BASTOS, P.S.S. Dimensionamento de vigas de concreto armado à força cortante. Disciplina 2123 – Estruturas de 
Concreto II. Bauru/SP, Departamento Engenharia Civil, Faculdade de Engenharia - Universidade Estadual Paulista 
(UNESP), abr/2015, 74p. Acesso em: http://wwwp.feb.unesp.br/pbastos/pag_concreto2.htm 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 116 
 
 
ANEXO A - TABELAS 
 
Tabela A-1 – Valores de Kc e Ks para o aço CA-50 (para concretos do Grupo I de resistência – 
fck ≤ 50 MPa, gc = 1,4, γs = 1,15). 
FLEXÃO SIMPLES EM SEÇÃO RETANGULAR - ARMADURA SIMPLES 
d
x
x =b 
Kc (cm2/kN) Ks (cm2/kN) 
Dom. 
C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 CA-50 
0,01 137,8 103,4 82,7 68,9 59,1 51,7 45,9 41,3 0,023 
2 
0,02 69,2 51,9 41,5 34,6 29,6 25,9 23,1 20,8 0,023 
0,03 46,3 34,7 27,8 23,2 19,8 17,4 15,4 13,9 0,023 
0,04 34,9 26,2 20,9 17,4 14,9 13,1 11,6 10,5 0,023 
0,05 28,0 21,0 16,8 14,0 12,0 10,5 9,3 8,4 0,023 
0,06 23,4 17,6 14,1 11,7 10,0 8,8 7,8 7,0 0,024 
0,07 20,2 15,1 12,1 10,1 8,6 7,6 6,7 6,1 0,024 
0,08 17,7 13,3 10,6 8,9 7,6 6,6 5,9 5,3 0,024 
0,09 15,8 11,9 9,5 7,9 6,8 5,9 5,3 4,7 0,024 
0,10 14,3 10,7 8,6 7,1 6,1 5,4 4,8 4,3 0,024 
0,11 13,1 9,8 7,8 6,5 5,6 4,9 4,4 3,9 0,024 
0,12 12,0 9,0 7,2 6,0 5,1 4,5 4,0 3,6 0,024 
0,13 11,1 8,4 6,7 5,6 4,8 4,2 3,7 3,3 0,024 
0,14 10,4 7,8 6,2 5,2 4,5 3,9 3,5 3,1 0,024 
0,15 9,7 7,3 5,8 4,9 4,2 3,7 3,2 2,9 0,024 
0,16 9,2 6,9 5,5 4,6 3,9 3,4 3,1 2,7 0,025 
0,17 8,7 6,5 5,2 4,3 3,7 3,2 2,9 2,6 0,025 
0,18 8,2 6,2 4,9 4,1 3,5 3,1 2,7 2,5 0,025 
0,19 7,8 5,9 4,7 3,9 3,4 2,9 2,6 2,3 0,025 
0,20 7,5 5,6 4,5 3,7 3,2 2,8 2,5 2,2 0,025 
0,21 7,1 5,4 4,3 3,6 3,1 2,7 2,4 2,1 0,025 
0,22 6,8 5,1 4,1 3,4 2,9 2,6 2,3 2,1 0,025 
0,23 6,6 4,9 3,9 3,3 2,8 2,5 2,2 2,0 0,025 
0,24 6,3 4,7 3,8 3,2 2,7 2,4 2,1 1,9 0,025 
0,25 6,1 4,6 3,7 3,1 2,6 2,3 2,0 1,8 0,026 
0,26 5,9 4,4 3,5 2,9 2,5 2,2 2,0 1,8 0,026 
0,27 5,7 4,3 3,4 2,8 2,4 2,1 1,9 1,7 0,026 
3 
0,28 5,5 4,1 3,3 2,8 2,4 2,1 1,8 1,7 0,026 
0,29 5,4 4,0 3,2 2,7 2,3 2,0 1,8 1,6 0,026 
0,30 5,2 3,9 3,1 2,6 2,2 1,9 1,7 1,6 0,026 
0,31 5,1 3,8 3,0 2,5 2,2 1,9 1,7 1,5 0,026 
0,32 4,9 3,7 3,0 2,5 2,1 1,8 1,6 1,5 0,026 
0,33 4,8 3,6 2,9 2,4 2,1 1,8 1,6 1,4 0,026 
0,34 4,7 3,5 2,8 2,3 2,0 1,8 1,6 1,4 0,027 
0,35 4,6 3,4 2,7 2,3 2,0 1,7 1,5 1,4 0,027 
0,36 4,5 3,3 2,7 2,2 1,9 1,7 1,5 1,3 0,027 
0,37 4,4 3,3 2,6 2,2 1,9 1,6 1,5 1,3 0,027 
0,38 4,3 3,2 2,6 2,1 1,8 1,6 1,4 1,3 0,027 
0,40 4,1 3,1 2,5 2,0 1,8 1,5 1,4 1,2 0,027 
0,42 3,9 2,9 2,4 2,0 1,7 1,5 1,3 1,2 0,028 
0,44 3,8 2,8 2,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,028 
0,45 3,7 2,8 2,2 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 0,028 
0,46 3,7 2,7 2,2 1,8 1,6 1,4 1,2 1,1 0,028 
0,48 3,5 2,7 2,1 1,8 1,5 1,3 1,2 1,1 0,028 
0,50 3,4 2,6 2,1 1,7 1,5 1,3 1,1 1,0 0,029 
0,52 3,3 2,5 2,0 1,7 1,4 1,2 1,1 1,0 0,029 
0,54 3,2 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 1,0 0,029 
0,56 3,2 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 0,9 0,030 
0,58 3,1 2,3 1,8 1,5 1,3 1,2 1,0 0,9 0,030 
0,60 3,0 2,3 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,030 
0,62 2,9 2,2 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,031 
0,63 2,9 2,2 1,7 1,5 1,2 1,1 1,0 0,9 0,031 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 117 
 
 
 
Tabela A-2 – Área e massa linear de fios e barras de aço (NBR 7480). 
 
Diâmetro (mm) Massa 
(kg/m) 
Área 
(mm2) 
Perímetro 
(mm) Fios Barras 
2,4 - 0,036 4,5 7,5 
3,4 - 0,071 9,1 10,7 
3,8 - 0,089 11,3 11,9 
4,2 - 0,109 13,9 13,2 
4,6 - 0,130 16,6 14,5 
5 5 0,154 19,6 17,5 
5,5 - 0,187 23,8 17,3 
6 - 0,222 28,3 18,8 
- 6,3 0,245 31,2 19,8 
6,4 - 0,253 32,2 20,1 
7 - 0,302 38,5 22,0 
8 8 0,395 50,3 25,1 
9,5 - 0,558 70,9 29,8 
10 10 0,617 78,5 31,4 
- 12,5 0,963 122,7 39,3 
- 16 1,578 201,1 50,3 
- 20 2,466 314,2 62,8 
- 22 2,984 380,1 69,1 
- 25 3,853 490,9 78,5 
- 32 6,313 804,2 100,5 
- 40 9,865 1256,6 125,7 
 
 
 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 118 
 
 
Tabela A-3 – Área de aço e largura bw mínima. 
Diâm. As (cm2) Número de barras 
(mm) bw (cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
4,2 
As 0,14 0,28 0,42 0,56 0,70 0,84 0,98 1,12 1,26 1,40 
bw 
Br. 1 - 8 11 14 16 19 22 25 27 30 
Br. 2 - 9 13 16 19 23 26 30 33 36 
5 
 As 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 
bw 
Br. 1 - 9 11 14 17 20 22 25 28 31 
Br. 2 - 9 13 16 20 23 27 30 34 37 
6,3 
As 0,31 0,62 0,93 1,24 1,55 1,86 2,17 2,482,79 3,10 
bw 
Br. 1 - 9 12 15 18 20 23 26 29 32 
Br. 2 - 10 13 17 20 24 28 31 35 39 
8 
As 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 
bw 
Br. 1 - 9 12 15 18 21 25 28 31 34 
Br. 2 - 10 14 17 21 25 29 33 36 40 
10 
As 0,80 1,60 2,40 3,20 4,00 4,80 5,60 6,40 7,20 8,00 
bw 
Br. 1 - 10 13 16 19 23 26 29 33 36 
Br. 2 - 10 14 18 22 26 30 34 38 42 
12,5 
As 1,25 2,50 3,75 5,00 6,25 7,50 8,75 10,00 11,25 12,50 
bw 
Br. 1 - 10 14 17 21 24 28 31 35 38 
Br. 2 - 11 15 19 24 28 32 36 41 45 
16 
As 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 12,00 14,00 16,00 18,00 20,00 
bw 
Br. 1 - 11 15 19 22 26 30 34 38 42 
Br. 2 - 11 16 21 25 30 34 39 44 48 
20 
As 3,15 6,30 9,45 12,60 15,75 18,90 22,05 25,20 28,35 31,50 
bw 
Br. 1 - 12 16 20 24 29 33 37 42 46 
Br. 2 - 12 17 22 27 32 37 42 47 52 
22 
As 3,80 7,60 11,40 15,20 19,00 22,80 26,60 30,40 34,20 38,00 
bw 
Br. 1 - 12 16 21 25 30 34 39 43 48 
Br. 2 - 13 18 23 28 33 39 44 49 54 
25 
As 4,90 9,80 14,70 19,60 24,50 29,40 34,30 39,20 44,10 49,00 
bw 
Br. 1 - 13 18 23 28 33 38 43 48 53 
Br. 2 - 13 19 24 30 35 41 46 52 57 
32 
As 8,05 16,10 24,15 32,20 40,25 48,30 56,35 64,40 72,45 80,50 
bw 
Br. 1 - 15 21 28 34 40 47 53 60 66 
Br. 2 - 15 21 28 34 40 47 53 60 66 
40 
As 12,60 25,20 37,80 50,40 63,00 75,60 88,20 100,80 113,40 126,00 
bw 
Br. 1 - 17 25 33 41 49 57 65 73 81 
Br. 2 - 17 25 33 41 49 57 65 73 81 
largura bw mínima: 
bw,mín = 2 (c + ft) + no barras . fl + ah.mín (no barras – 1) 
 
Br. 1 = brita 1 (dmáx = 19 mm) ; Br. 2 = brita 2 (dmáx = 25 mm) 
Valores adotados: ft = 6,3 mm ; cnom = 2,0 cm 
Para cnom ¹ 2,0 cm, aumentar bw,mín conforme: 
cnom = 2,5 cm ® + 1,0 cm 
cnom = 3,0 cm ® + 2,0 cm 
cnom = 3,5 cm ® + 3,0 cm 
cnom = 4,0 cm ® + 4,0 cm 
 
ï
î
ï
í
ì
f³
agrmáx,
mín,h
1,2d
cm 2
a l 
 
w
h
v
Øt
Øl
c
b
a
a
 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 119 
 
 
Tabela A-4 – Equações simplificadas segundo o Modelo de Cálculo I para concretos do Grupo I. 
Modelo de Cálculo I 
 (estribo vertical, gc = 1,4, gs = 1,15, aços CA-50 e CA-60, flexão simples). 
Concreto 
VRd2 
(kN) 
VSd,mín 
(kN) 
Asw 
(cm2/m) 
C20 db35,0 w db101,0 w w
Sd b17,0
d
V
55,2 - 
C25 db43,0 w db117,0 w w
Sd b20,0
d
V
55,2 - 
C30 db51,0 w db132,0 w w
Sd b22,0
d
V
55,2 - 
C35 db58,0 w db147,0 w w
Sd b25,0
d
V
55,2 - 
C40 db65,0 w db160,0 w w
Sd b27,0
d
V
55,2 - 
C45 db71,0 w db173,0 w w
Sd b29,0
d
V
55,2 - 
C50 db77,0 w db186,0 w w
Sd b31,0
d
V
55,2 - 
bw = largura da viga, cm; VSd = força cortante de cálculo, kN; 
d = altura útil, cm; 
 
 
 
Tabela A-5 – Equações simplificadas segundo Modelo de Cálculo II para concretos do Grupo I. 
Modelo de Cálculo II 
(estribo vertical, gc = 1,4, gs = 1,15, aços CA-50 e CA-60, flexão simples) 
Concreto 
VRd2 
(kN) 
VSd,mín 
(kN) 
Asw 
(cm2/m) 
C20 qq cos.sen.d.b71,0 w 1cw Vgcot.d.b.035,0 +q 
 
 
 
 
 
( )
d
VV
tg55,2 1cSd
-
q 
C25 qq cos.sen.d.b87,0 w 1cw Vgcot.d.b.040,0 +q 
C30 qq cos.sen.d.b02,1 w 1cw Vgcot.d.b.045,0 +q 
C35 qq cos.sen.d.b16,1 w 1cw Vgcot.d.b.050,0 +q 
C40 qq cos.sen.d.b30,1 w 1cw Vgcot.d.b.055,0 +q 
C45 qq cos.sen.d.b42,1 w 1cw Vgcot.d.b.059,0 +q 
C50 qq cos.sen.d.b54,1 w 1cw Vgcot.d.b.064,0 +q 
bw = largura da viga, cm; VSd = força cortante de cálculo, kN; 
d = altura útil, cm; q = ângulo de inclinação das bielas de compressão (°); 
VC1 = força cortante proporcionada pelos mecanismos complementares ao de treliça, kN; 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 120 
 
 
Tabela A-6 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas (Tabela 17.3 da NBR 6118). 
Forma 
da seção 
Valores de rmín(a) (%) 
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 
Retan- 
gular 
0,150 0,150 0,150 0,164 0,179 0,194 0,208 0,211 0,219 0,226 0,233 0,239 0,245 0,251 0,256 
(a) Os valores de rmín estabelecidos nesta Tabela pressupõem o uso de aço CA-50, d/h = 0,8, gc = 1,4 e gs = 1,15. Caso esses 
fatores sejam diferentes, rmín deve ser recalculado. 
rmín = As,mín/Ac 
 
 
 
 
Tabela A-7 – Comprimento de ancoragem (cm) para o aço CA-50 nervurado. 
COMPRIMENTO DE ANCORAGEM (cm) PARA As,ef = As,calc CA-50 nervurado 
f 
(mm) 
Concreto 
C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 
Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com 
6,3 
48 33 39 28 34 24 30 21 27 19 25 17 23 16 21 15 
33 23 28 19 24 17 21 15 19 13 17 12 16 11 15 10 
8 
61 42 50 35 43 30 38 27 34 24 31 22 29 20 27 19 
42 30 35 24 30 21 27 19 24 17 22 15 20 14 19 13 
10 
76 53 62 44 54 38 48 33 43 30 39 28 36 25 34 24 
53 37 44 31 38 26 33 23 30 21 28 19 25 18 24 17 
12,5 
95 66 78 55 67 47 60 42 54 38 49 34 45 32 42 30 
66 46 55 38 47 33 42 29 38 26 34 24 32 22 30 21 
16 
121 85 100 70 86 60 76 53 69 48 63 44 58 41 54 38 
85 59 70 49 60 42 53 37 48 34 44 31 41 29 38 27 
20 
151 106 125 87 108 75 95 67 86 60 79 55 73 51 68 47 
106 74 87 61 75 53 67 47 60 42 55 39 51 36 47 33 
22,5 
170 119 141 98 121 85 107 75 97 68 89 62 82 57 76 53 
119 83 98 69 85 59 75 53 68 47 62 43 57 40 53 37 
25 
189 132 156 109 135 94 119 83 108 75 98 69 91 64 85 59 
132 93 109 76 94 66 83 58 75 53 69 48 64 45 59 42 
32 
242 169 200 140 172 121 152 107 138 96 126 88 116 81 108 76 
169 119 140 98 121 84 107 75 96 67 88 62 81 57 76 53 
40 
329 230 271 190 234 164 207 145 187 131 171 120 158 111 147 103 
230 161 190 133 164 115 145 102 131 92 120 84 111 77 103 72 
 Valores de acordo com a NBR 6118. 
 No Superior: Má Aderência ; No Inferior: Boa Aderência 
 Sem e Com indicam sem ou com gancho na extremidade da barra 
 As,ef = área de armadura efetiva ; As,calc = área de armadura calculada 
 O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo: 
ï
î
ï
í
ì
f³
mm 100
10
3,0 b
mín,b
l
l 
 gc = 1,4 ; gs = 1,15 
 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 121 
 
 
Tabela A-8 – Comprimento de ancoragem (cm) para o aço CA-60 entalhado. 
COMPRIMENTO DE ANCORAGEM (cm) PARA As,ef = As,calc CA-60 entalhado 
f 
(mm) 
Concreto 
C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 
Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com Sem Com 
3,4 
50 35 41 29 35 25 31 22 28 20 26 18 24 17 22 16 
35 24 29 20 25 17 22 15 20 14 18 13 17 12 16 11 
4,2 
61 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 19 
43 30 35 25 31 21 27 19 24 17 22 16 21 14 19 13 
5 
73 51 60 42 52 36 46 32 41 29 38 27 35 25 33 23 
51 36 42 30 36 25 32 23 29 20 27 19 25 17 23 16 
6 
88 61 72 51 62 44 55 39 50 35 46 32 42 29 39 27 
61 43 51 35 44 31 39 27 35 24 32 22 29 21 27 19 
7 
102 71 84 59 73 51 64 45 58 41 53 37 49 34 46 32 
71 50 59 41 51 36 45 32 41 28 37 26 34 24 32 22 
8 
117 82 96 67 83 58 74 51 66 46 61 42 56 39 52 37 
82 57 67 47 58 41 51 36 46 33 42 30 39 27 37 26 
9,5 
139 97 114 80 99 69 87 61 79 55 72 50 67 47 62 43 
97 68 80 56 69 48 61 43 55 39 50 35 47 33 43 30 
Valores de acordo com a NBR 6118. 
 No Superior: Má Aderência ; No Inferior: Boa Aderência 
 Sem e Com indicam sem ou com gancho na extremidade da barra 
 As,ef = área de armadura efetiva ; As,calc = área de armadura calculada 
 O comprimento de ancoragem deve ser maior do que o comprimento mínimo: 
ï
î
ï
í
ì
f³
mm 100
10
3,0 b
mín,b
l
l 
 gc = 1,4 ; gs = 1,15 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 122 
 
 
Tabela A-9 – Valores mínimos para armaduras passivas aderentes em lajes (Tabela 19.1 da NBR 6118). 
Armadura 
Elementos estruturais sem 
armaduras ativas 
Armadurasnegativas rs ³ rmín 
Armaduras negativas de bordas sem continuidade rs ³ 0,67rmín 
Armaduras positivas de lajes armadas nas duas 
direções rs ³ 0,67rmín 
Armadura positiva (principal) de lajes armadas em 
uma direção rs ³ rmín 
Armadura positiva (secundária) de lajes armadas 
em uma direção 
As/s ³ 20 % da armadura principal 
As/s ³ 0,9 cm2/m 
rs ³ 0,5 rmín 
rs = As/(bw h) 
Os valores de rmín constam da Tabela A-6. 
 
 
 
 
 
Tabela A-10 – Diâmetro dos pinos de dobramento (D) (Tabela 9.1 da NBR 6118). 
Bitola 
(mm) 
Tipo de aço 
CA-25 CA-50 CA-60 
< 20 4 f 5 f 6 f 
³ 20 5 f 8 f - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNESP, Bauru/SP Sapatas de Fundação 123 
 
 
Tabela A-11 – Área de armadura por metro de largura (cm2/m). 
 
ÁREA DE ARMADURA POR METRO DE LARGURA (cm2/m) 
Espaçamento 
(cm) 
Diâmetro Nominal (mm) 
4,2 5 6,3 8 10 12,5 
5 2,77 4,00 6,30 10,00 16,00 25,00 
5,5 2,52 3,64 5,73 9,09 14,55 22,73 
6 2,31 3,33 5,25 8,33 13,33 20,83 
6,5 2,13 3,08 4,85 7,69 12,31 19,23 
7 1,98 2,86 4,50 7,14 11,43 17,86 
7,5 1,85 2,67 4,20 6,67 10,67 16,67 
8 1,73 2,50 3,94 6,25 10,00 15,63 
8,5 1,63 2,35 3,71 5,88 9,41 14,71 
9 1,54 2,22 3,50 5,56 8,89 13,89 
9,5 1,46 2,11 3,32 5,26 8,42 13,16 
10 1,39 2,00 3,15 5,00 8,00 12,50 
11 1,26 1,82 2,86 4,55 7,27 11,36 
12 1,15 1,67 2,62 4,17 6,67 10,42 
12,5 1,11 1,60 2,52 4,00 6,40 10,00 
13 1,07 1,54 2,42 3,85 6,15 9,62 
14 0,99 1,43 2,25 3,57 5,71 8,93 
15 0,92 1,33 2,10 3,33 5,33 8,33 
16 0,87 1,25 1,97 3,13 5,00 7,81 
17 0,81 1,18 1,85 2,94 4,71 7,35 
17,5 0,79 1,14 1,80 2,86 4,57 7,14 
18 0,77 1,11 1,75 2,78 4,44 6,94 
19 0,73 1,05 1,66 2,63 4,21 6,58 
20 0,69 1,00 1,58 2,50 4,00 6,25 
22 0,63 0,91 1,43 2,27 3,64 5,68 
24 0,58 0,83 1,31 2,08 3,33 5,21 
25 0,55 0,80 1,26 2,00 3,20 5,00 
26 0,53 0,77 1,21 1,92 3,08 4,81 
28 0,49 0,71 1,12 1,79 2,86 4,46 
30 0,46 0,67 1,05 1,67 2,67 4,17 
33 0,42 0,61 0,95 1,52 2,42 3,79 
Elaborada por PINHEIRO (1994) 
Diâmetros especificados pela NBR 7480.