topologia

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4 Tópi
os de topologia dos espaços reais n-dimensionais
4.1 O espaço vetorial Rn
De�nição 4.1 Seja n um número natural. O espaço eu
lidiano n-dimensional Rn é o
produto de n fatores iguais a R:
Rn = R× R× · · · ×R
Seus elementos, portanto, são as sequên
ias de n termos reais X = (x1, x2, . . . , xn). Para
ada i = 1, . . . , n, o termo xi 
hama-se a i-ésima 
oordenada de X. O elemento 0 =
(0, 0, . . . , 0) 
hama-se origem de Rn.
Dessa forma, denotamos um ponto em R por um número real x, um ponto em R2
por um par ordenado de números reais (x, y), um ponto em R3 por uma tripla ordenada
de números reais (x, y, z).
Generalizando, um ponto no espaço numéri
o n-dimensional, Rn, é representado por
uma n-upla de números reais (x1, x2, . . . , xn).
Os elementos de Rn podem ser 
onsiderados pontos ou vetores. Este segundo nome
se apli
a prin
ipalmente quando se 
onsideram entre eles as operações de�nidas a seguir.
A adição faz 
orresponder a 
ada par de elementos X = (x1, x2, . . . , xn) e Y =
(y1, y2, . . . , yn) de R
n
a soma
X + Y = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn)
A multipli
ação do número real α pelo elemento X = (x1, x2, . . . , xn) tem 
omo
resultado o produto
αX = (αx1, αx2, . . . , αxn)
4.2 Produto Es
alar
De�nição 4.2 Dados X = (x1, x2, . . . , xn) e Y = (y1, y2, . . . , yn) em R
n
, de�ne-se o
produto es
alar X · Y pelo número real
X · Y = x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn
Dados X , Y , Z em Rn e α ∈ R, valem as propriedades:
P1) X · Y = Y ·X
P2) (X + Y ) ·W = X ·W + Y ·W
P3) (αX) · Y = α(X · Y ) = X · (αY )
P4) X · Y ≥ 0; X ·X = 0⇔ X = 0
Dizemos que os vetores X e Y de Rn são perpendi
ulares ou ortogonais se X ·Y = 0.
2
4.3 Norma de um vetor
De�nição 4.3 Dado um vetor X = (x1, x2, . . . , xn) de R
n
, de�ne-se a norma de X por
||X|| =
√
X ·X =
√
x2
1
+ x2
2
+ · · ·+ x2
n
Dados X , Y em Rn e um número real α, valem as prorpiedades:
N1) ||X + Y || ≤ ||X||+ ||Y ||
N2) ||αX|| = |α|||X||
N3) X 6= 0⇒ ||X|| > 0
4.4 Distân
ia em Rn
De�nição 4.4 Se X = (x1, x2, . . . , xn) e Y = (y1, y2, . . . , yn) forem dois pontos em R
n
,
então a distân
ia entre X e Y , denotada por ||X − Y ||, será dada por
||X − Y || =
√
(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · ·+ (xn − yn)2
4.5 Bolas e 
onjuntos limitados
De�nição 4.5 (Bola Aberta): Dados o ponto A ∈ Rn e o número real r > 0, a bola
aberta de 
entro A e raio r é o 
onjunto B(A; r) dos pontos X ∈ Rn 
uja distân
ia ao
ponto A é menor que r.
B(A; r) = {X ∈ Rn; ||X −A|| < r}
De�nição 4.6 (Bola Fe
hada): Dados o ponto A ∈ Rn e o número real r > 0, a bola
fe
hada de 
entro A e raio r é o 
onjunto B[A; r] dos pontos X ∈ Rn 
uja distân
ia ao
ponto A é menor ou igual a r.
B[A; r] = {X ∈ Rn; ||X − A|| ≤ r}
De�nição 4.7 (Esfera): Dados o ponto A ∈ Rn e o número real r > 0, a esfera de
entro A e raio r é o 
onjunto S[A; r] dos pontos X ∈ Rn 
uja distân
ia ao ponto A é
igual a r.
S[A; r] = {X ∈ Rn; ||X − A|| = r}
Evidentemente, B[A; r] = B(A; r) ∪ S[A; r].
Para ilustrar essas de�nições, vamos mostrar o seu signi�
ado em R, R2 e R3.
R) Se A for um ponto em R, então a bola aberta B(A; r) será o 
onjunto de todos os
pontos X em R, tais que ||X − A|| < r.
O 
onjunto de todos os pontos X satisfazendo essa desigualdade é o 
onjunto de
todos os pontos no intervalo aberto (A+ r, A+ r); assim, a bola aberta B(A; r) em
R é simplesmente um intervalo aberto, tendo seu ponto médio em A e extremos em
A+ r e A− r.
b
AA − r A + r
3
Analogamente, a bola fe
hada B[A; r] em R é o intervalo fe
hado [A− r, A+ r].
bb b
AA − r A + r
R2) Se A = (x0, y0) for um ponto em R
2
, então a bola aberta B((x0, y0); r) será o
onjunto de todos os pontos X = (x, y) em R2, tais que ||X −A|| < r.
Assim, a bola aberta B((x0, y0); r) em R
2
onsiste em todos os pontos no interior
da região limitada pela 
ir
unferên
ia de 
entro (x0, y0) e raio r. Uma bola aberta
em R é algumas vezes 
hamada de dis
o aberto.
b
A
r
A bola fe
hada ou dis
o fe
hado B[(x0, y0); r] em R
2
é o 
onjunto de todos os pontos
na bola aberta B((x0, y0); r) e sobre a 
ir
unferên
ia tendo seu 
entro em (x0, y0) e
raio r.
b
A
r
R3) Se A = (x0, y0, z0) for um ponto em R
3
, então a bola aberta B((x0, y0, z0); r) será o
onjunto de todos os pontos X = (x, y, z) em R3, tais que ||X − A|| < r.
Portanto, a bola aberta B((x0, y0, z0); r) em R
3
onsiste em todos os pontos no
interior da região limitada pela esfera 
om 
entro (x0, y0, z0) e raio r.
Analogamente, a bola fe
hada B[(x0, y0, z0); r] em R
3
onsiste em todos os pontos
na bola aberta B((x0, y0, z0); r) e sobre a esfera tendo seu 
entro em (x0, y0, z0) e
raio r.
De�nição 4.8 Conjunto Limitado: Diz-se que um 
onjunto S ∈ Rn é limitado quando
está 
ontido em alguma bola B[A; r].
De�nição 4.9 (Ponto de A
umulação): Dizemos que um ponto P0 é um ponto de
a
umulação de um 
onjunto S de pontos em Rn se toda bola aberta B(P0; r) 
ontiver uma
in�nidade de pontos de S.
Exemplos:
1. Se S for o 
onjunto de todos os pontos em R2 no lado positivo do eixo x, a origem
será um ponto de au
mulação de S pois, não importa quão pequeno tomarmos o
valor de r, todo dis
o aberto 
om 
entro na origem e raio r irá 
onter uma in�nidade
de pontos de S. Esse é um exemplo de um 
onjunto tendo um ponto de a
umulação
que não perten
e ao 
onjunto. Qualquer ponto do 
onjunto S será também um
ponto de a
umulação de S.
4
2. Se S for o 
onjunto de todos os pontos deR2 para os quais as 
oordenadas 
artesianas
são inteiros positivos, então esse 
onjunto não terá pontos de a
umulação. Isso pode
ser visto se 
onsiderarmos os pontos (m,n), onde m e n sã inteiros positivos. Então,
um dis
o aberto tendo seu 
entro em (m,n) e raio menor do que 1 não 
ontém
nenhum outro ponto de S ex
eto (m,n).
Referên
ias
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cál
ulo. Vol. 2. Rio de Janeiro: LTC, 2001.
LEITHOLD, L. O Cál
ulo 
om Geometria Analíti
a. 3. ed. Vol. 2. São Paulo:
Harbra, 1994.