Fenômenos de transportes Transferência de calor

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Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 128 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
Sempre que existir uma diferença de temperatura em um meio ou entre meios diferentes, 
haverá, necessariamente, transferência de calor. A transferência de calor é o trânsito de 
energia provocado por uma diferença de temperatura, no sentido da temperatura mais alta 
para a mais baixa. O ramo da ciência que trata da relação entre calor e outras formas de 
energia é a termodinâmica. Seus princípios são baseados em observações e foram 
generalizados em leis julgadas verdadeiras para todos os processos que ocorrem na natureza: 
1
a
 Lei da Termodinâmica: A energia não pode ser criada ou destruída, mas apenas 
transformada de uma forma para outra. 
2
a
 Lei da Termodinâmica: É impossível existir um processo cujo único resultado seja a 
transferência de calor de uma região de baixa temperatura para outra de temperatura mais alta. 
Todos os processos de transferência de calor envolvem a transferência e a conversão de 
energia. Dessa forma, eles devem obedecer à primeira e à segunda leis da termodinâmica. A 
literatura reconhece três modos distintos de transferência de calor: condução, convecção e 
radiação. 
 
Condução 
Transferência de calor que ocorre em um meio estacionário, que pode ser um sólido ou um 
fluido. 
A condução pode ser vista como a transferência de energia de partículas mais energéticas para 
partículas de menor energia, devido às interações que ocorrem entre elas. Temperaturas mais 
altas estão associadas a energias moleculares mais altas. Quando moléculas vizinhas colidem 
entre si, há transferência de energia das moléculas de maior energia para as moléculas de 
menor energia. Na presença de um gradiente de temperatura, a transferência de energia por 
condução ocorre, portanto, no sentido da diminuição de temperatura. Em sólidos, as 
moléculas apresentam menor espaçamento. As interações moleculares são, portanto, mais 
fortes e mais freqüentes que nos fluidos. A transferência de calor por condução é, portanto, 
maior em materiais sólidos do que em materiais fluidos, em condições semelhantes. 
Convecção 
Transferência de calor que ocorre entre uma superfície e um fluido em movimento, quando 
estiverem em temperaturas diferentes. 
A convecção abrange dois mecanismos distintos. Além da transferência de energia devido ao 
movimento molecular aleatório (condução), a energia também é transferida através do 
movimento global ou macroscópico do fluido (advecção). Este movimento, na presença de 
um gradiente de temperatura, contribui para a transferência de calor. 
A transferência de calor por convecção pode ser classificada de acordo com a natureza do 
escoamento do fluido. Ela é dita convecção forçada (Fig. 1a) quando o escoamento é causado 
por meios externos (como um ventilador ou uma bomba) ou quando o escoamento é de ventos 
atmosféricos. Na convecção natural ou livre (Fig. 1b), o escoamento dos fluidos é induzido 
por forças de empuxo, originadas a partir de variações de densidade causadas por diferenças 
de temperatura no fluido. Na prática, podem ocorrer situações nas quais ambas as formas de 
convecção ocorrem simultaneamente. Diz-se, neste caso, que há convecção mista. 
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Figura 1 – Transferência de calor por convecção. (a) Convecção forçada. (b) Convecção natural 
 
Radiação 
Energia emitida na forma de ondas eletromagnéticas por uma superfície a uma temperatura 
não nula. 
A radiação térmica é a energia eletromagnética propagada na velocidade da luz, emitida pelos 
corpos em virtude de sua temperatura. Os átomos, moléculas ou elétrons são excitados e 
retornam espontaneamente para os estados de menor energia. Neste processo, emitem energia 
na forma de radiação eletromagnética. Uma vez que a emissão resulta de variações nos 
estados eletrônico, rotacional e vibracional dos átomos e moléculas, a radiação emitida é 
usualmente distribuída sobre uma faixa de comprimentos de onda. Estas faixas e os 
comprimentos de onda representando os limites aproximados são mostrados na Fig. 2. 
O processo de transferência de calor por radiação ocorre de um corpo a alta temperatura para 
um corpo a baixa temperatura, quando estes corpos estão separados no espaço, ainda que 
exista vácuo entre eles. 
 
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Figura 2 – Espectro de Radiação Eletromagnética 
 
Exemplo 1 – Modos de Transferência de Calor 
Uma garrafa térmica tem o objetivo de manter a temperatura de seu conteúdo constante ao 
longo do tempo, independendo das condições ambientes externas. Identifique os processos de 
transferência de calor que contribuem para o resfriamento de café quente colocado em seu 
interior e discuta sobre as características que minimizam as trocas de calor com o ambiente 
externo. 
As garrafas térmicas são constituídas basicamente de um vaso de vidro com paredes duplas, 
distanciadas entre si de 1 cm, como mostrado na figura a seguir. 
Considerando-se que o fluido no interior da garrafa térmica seja café quente, as trocas de calor entre o 
café e o ambiente são: convecção natural do café para a primeira parede; condução através da primeira 
parede; convecção natural da primeira parede para o ar no interior da garrafa; convecção natural do ar 
para a segunda parede (invólucro plástico); troca líquida por radiação entre as paredes; condução 
através do invólucro plástico; convecção natural do invólucro plástico para o ambiente externo; troca 
líquida por radiação entre a superfície externa do invólucro plástico e a vizinhança. 
 
No processo de fabricação, grande parte do ar é retirado do espaço entre as paredes através de um 
orifício, que a seguir é selado. Com este vácuo parcial, as trocas de calor por condução e convecção 
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são minimizadas. As superfícies das paredes são revestidas por materiais aluminizados (baixa 
emissividade), fazendo com que elas se tornem espelhadas, provocando a reflexão da radiação para o 
interior do recipiente, evitando a transmissão de calor para o exterior. A tampa que fecha a garrafa 
geralmente é oca e feita de borracha ou plástico (materiais isolantes), minimizando a perda de calor 
para o exterior. 
 
EQUAÇÕES DE TAXA 
Todos os processos de transferência de calor podem ser quantificados através da equação de 
taxa apropriada. A equação de taxa pode ser usada para se calcular a quantidade de energia 
transferida por unidade de tempo. 
A taxa de energia é denotada por q, e tem unidade de W (Watt) no SI. Outra maneira de se 
quantificar a transferência de energia é através do fluxo de calor, 
"q
, que é a taxa de energia 
por unidade de área (perpendicular à direção da troca de calor). No SI, a unidade do fluxo é 
W/m
2
. 
Condução 
Lei de Fourier 
dx
dT
kq"cond 
 
onde 
"
cond
q
: Fluxo de calor por condução na direção x (W/m
2
) 
 k: Condutividade térmica do material da parede (W/mK) 
 
calor de fluxo do direção na ra temperatude Gradiente :
dx
dT
 
A taxa de calor pode ser obtida multiplicando-se o fluxo de calor pela área perpendicular à 
direção da transferência de calor, 
dx
dT
kAqcond 
 
O sinal negativo aparece porque o calor está sendo transferido na direção da temperatura 
decrescente. A Lei de Fourier se aplica a todos os estados da matéria (sólidos, líquidos e 
gases), desde que estejam em repouso. 
Convecção 
Lei de Resfriamento de Newton 
 
Figura 3 – Transferência Convectiva de CalorFenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
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  TThq S
"
conv
, se TS > T 
 S
"
conv TThq  
, se T > TS 
onde q”conv: Fluxo de calor por convecção (W/m
2
) 
h: Coeficiente convectivo de calor (W/m
2
K) 
TS: Temperatura da superfície 
T: Temperatura do fluido 
Assumindo-se um fluxo de calor por convecção constante, a taxa de transferência de calor por 
convecção é dada por 
Aqq "convconv 
 ou 
  TThAq sconv
, se TS > T 
 sconv TThAq  
, se T > TS 
 
A Tabela 1 apresenta valores típicos do coeficiente convectivo h 
Tabela 1 – Valores de h (W/m2.K) 
 Gás Líquido 
Convecção Natural 5-25 50-1.000 
Convecção Forçada 25-250 50-20.000 
Ebulição ou Condensação 2.500-100.000 
Radiação 
Lei de Stefan-Boltzmann 
A radiação com comprimento de onda de aproximadamente 0,2m a 1000m é chamada 
radiação térmica e é emitida por todas as substâncias em virtude de sua temperatura. A 
máxima energia térmica emitida por uma superfície é 
4
smax T"q 
 
onde q”max: Energia emitida por unidade de área da superfície (W/m
2
) 
 : Constante de Stefan-Boltzmann (5,67x10-8 W/m2K4) 
Ts: Temperatura absoluta da superfície (K) 
Se a energia emitida for uniforme ao longo da superfície, a taxa máxima de calor emitida pode 
ser dada por: 
ATq 4smax 
 
onde A: área da superfície 
Uma superfície capaz de emitir esta quantidade de energia é chamada um radiador ideal ou 
um corpo negro. Um corpo negro pode ser definido também como um perfeito absorvedor de 
radiação. Toda a radiação incidente sobre um corpo negro (independentemente do 
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comprimento de onda ou da direção) será absorvida. Embora um corpo negro não exista na 
natureza, alguns materiais se aproximam de um. Por exemplo, uma camada fina de carbono 
preto pode absorver aproximadamente 99% da radiação térmica incidente. 
O fluxo de calor emitido por uma superfície real é menor do que aquele emitido por um corpo 
negro à mesma temperatura e é dado por 
4
sreal T"q 
 
onde  é a emissividade da superfície. Esta propriedade indica a eficiência de emissão da 
superfície em relação a um corpo negro 
 10  
. A Tabela A.5 apresenta a emissividade de 
algumas superfícies selecionadas, a 300K. 
Se o fluxo de calor for uniforme ao longo da superfície, a taxa total de calor emitida pode ser 
dada por: 
ATq 4sreal 
 
onde A: área da superfície 
Análises experimentais mostram que os metais, em geral, apresentam baixa emissividade. No 
entanto, a sua oxidação provoca um aumento nesta propriedade. Ao contrário dos metais, os 
materiais não condutores apresentam alta emissividade. 
Quando uma energia radiante atinge a superfície de um material, parte da radiação é refletida, 
parte é absorvida e parte é transmitida, como mostrado na Fig. 4. A refletividade  é a 
propriedade radiativa que representa a fração refletida, ou seja, a razão entre a parcela 
refletida pela superfície e a radiação incidente sobre ela. Da mesma forma, a absortividade  é 
a fração absorvida e a transmissividade  é a fração transmitida através da superfície. Como a 
soma das parcelas absorvida, refletida e transmitida pela superfície deve ser igual à radiação 
incidente sobre ela, pode-se perceber que a soma das propriedades radiativas deve ser igual à 
unidade, ou seja, 
1
 
 
Figura 4 – Radiação Incidente sobre uma Superfície 
O cálculo da taxa líquida na qual a radiação é trocada entre duas superfícies é bastante 
complexo e depende das propriedades radiativas das superfícies, de seu formato e de seu 
posicionamento geométrico. Por exemplo, a troca de calor por radiação entre duas placas 
negras paralelas de 1 m x 1 m, distanciadas de 1m, é de 1,13 kW. Se estas mesmas placas 
estivessem distanciadas de 2 m, a troca de calor por radiação seria de 0,39 kW. Um caso 
especial que ocorre com freqüência envolve a troca líquida de radiação entre uma pequena 
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superfície a uma temperatura TS e uma superfície isotérmica bem maior que a primeira, que a 
envolve completamente (Fig. 5). 
 
Figura 5 – Troca Radiativa Líquida entre duas Superfícies 
Considerando-se a superfície menor cinzenta 
  
, o fluxo líquido de transferência de 
calor por radiação a partir da superfície é dado por 
 44s"rad TTq 
 
A taxa líquida de troca de calor é 
 44srad TTAq 
 
onde A: área da superfície menor 
 TS: Temperatura da superfície menor 
 T∞: Temperatura da superfície maior 
Manipulando-se a equação anterior, pode-se escrever a taxa líquida como 
   2viz2sssrad TTTTTTAq  
 
Definindo-se 
  22ssr TTTTh  
 
a equação da taxa de calor por radiação pode ser escrita como 
  TTAhq srrad
 
Deve ser ressaltado que o resultado independe das propriedades da superfície maior, já que 
nenhuma parcela da radiação emitida pela superfície menor seria refletida de volta para ela. 
As superfícies mostradas na Fig. 3 podem também, simultaneamente, trocar calor por 
convecção com um fluido adjacente. A taxa total de transferência de calor é dada, portanto, 
pela soma da taxa de calor por radiação com a taxa de calor por convecção, 
convrad qqq 
 
A Tabela 2 apresenta um resumo das equações de taxa dos diferentes modos de transferência 
de calor. 
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Tabela 2 – Equações de Taxa 
 Taxa Fluxo 
Condução 
dx
dT
kAqcond 
 
dx
dT
kq"cond 
 
Convecção 
  TThAq sconv
 
  TThq S
"
conv
 
Radiação 
 44srad TTAq 
 
 44s"rad TTq 
 
 
Exemplo 2 – Taxas de calor: radiação e convecção natural 
Uma tubulação de vapor sem isolamento térmico passa através de uma sala onde o ar e as 
paredes se encontram a 25
o
C. O diâmetro externo do tubo é de 70 mm, a temperatura de sua 
superfície é de 200
o
C e sua emissividade é de 0,8. O coeficiente associado com a transferência 
de calor por convecção natural da superfície para o ar é de 15 W/m
2
.K. Determine a taxa de 
calor perdida pela superfície do tubo, por unidade de comprimento. 
A perda de calor da tubulação para o ar da sala se dá por convecção e, para as paredes, por radiação. A 
taxa total de calor perdida é, portanto, a soma da taxa perdida por convecção com a taxa perdida por 
radiação. 
radconv qqq 
 
A taxa de calor perdida por convecção é calculada pela lei de resfriamento de Newton, 
  TThAq sconv
 
onde A é a área de troca de calor, ou seja, a área superficial do tubo, 
dLA 
 
  TTdLhq sconv
 
A taxa de calor perdida por radiação para as paredes pode ser calculada, considerando-se a superfície 
do tubo cinzenta, pela lei de Stefan-Boltzmann, 
 44srad TTAq 
 
onde 
dLA 
 
 44srad TTdLq 
 
A taxa total de troca de calor é dada, portanto, por 
   44ss TTdLTTdLhq  
 
A taxa de calor por unidade de comprimento pode ser obtida dividindo-se a equação anterior por L, 
   44ss TTdTTdh
L
q
 
 
      44
42
8o
2
K15,298K15,473.m07,0.
K.m
W
10x67,5.8,0C25200
K.m
W
15.m07,0.
L
q
 
 
Deve ser observado que a temperatura pode ser escrita em 
o
C quando se avaliam diferenças de 
temperatura em processos de transferência de calor por condução ou por convecção (diferença linear 
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de temperatura).No entanto, a temperatura deve ser escrita em K em processos de transferência de 
calor por radiação (temperaturas elevadas à quarta potência). 
m/W421m/W577
L
q

 
m/W998
L
q

 ◄ 
Na situação deste exemplo, as taxas de transferência de calor por radiação e convecção possuem 
magnitudes comparáveis, pois o valor da temperatura superficial é grande quando comparado ao valor 
da temperatura das vizinhanças e o coeficiente associado à convecção natural é pequeno. 
 
Exemplo 3 – Taxas de calor: radiação e convecção forçada 
Um cilindro oco de madeira, de 2 cm de diâmetro e 1 m de comprimento, é aquecido pela 
passagem de uma resistência elétrica. A temperatura superficial externa do cilindro é mantida 
constante em 40
o
C. Ele é exposto a uma corrente de ar a temperatura de 15
o
C, sendo o 
coeficiente convectivo associado de 100 W/m
2
.K. Determine e compare as taxas de calor 
trocadas entre o cilindro e o ambiente 
a) por convecção 
b) por radiação. 
a) A taxa de calor perdida por convecção é dada por 
  TThAq sconv
 
como 
dLA 
 
  TTdLhq sconv
 
  C1540
Km
W
100.m1.m02,0.q
o
2

 
W08,157q 
 ◄ 
b) A taxa de calor perdida por radiação é dada por 
 4viz4srad TTAq 
 
ou 
 44srad TTdLq 
 
Da Tabela A.5, a emissividade da madeira a 300K varia entre 0,82 e 0,92. Assumindo-se um valor 
médio, 
86,0
 
    44
42
8 K15,288K15,313.m1.m02,0.
K.m
W
10x67,5.86,0q  
 
W34,8q 
 ◄ 
Percebe-se que a taxa de calor perdida por radiação representa apenas 5% da taxa total de calor, 
podendo ser desprezada em cálculos de engenharia. Isto pode ser explicado pelo alto valor do 
coeficiente convectivo e pelos valores próximos de temperatura ambiente e da superfície do cilindro. 
 
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INTRODUÇÃO À CONDUÇÃO 
A Lei de Fourier é uma lei fenomenológica, ou seja, desenvolvida a partir de fenômenos 
observados, e não deduzida a partir de princípios fundamentais. 
Para a condução unidimensional, 
dx
dT
kq" x,cond 
 
O fluxo de calor é uma grandeza vetorial, dado por 
Tk"q 
 
onde  é o operador gradiente. A Tabela 3 apresenta, para os três sistemas de coordenadas, a 
lei de Fourier. 
Tabela 3 – Lei de Fourier 
Sistema de 
coordenadas 
Lei de Fourier Forma compacta 
Cartesianas 














 k
z
T
j
y
T
i
x
T
kq ˆˆˆ"
 
kqjqiqq zyx
ˆ""ˆ"" 
 
Cilíndricas 














 k
z
T
j
T
r
i
r
T
kq ˆˆ
1ˆ" 
 
kqjqiqq zr
ˆ"ˆ"ˆ""  
 
Esféricas 














 k
T
r
j
T
r
i
r
T
kq ˆ
sen
1ˆ1ˆ" 
 
kqjqiqq r
ˆ"ˆ"ˆ""  
 
 
PROPRIEDADES TÉRMICAS DA MATÉRIA 
A condutividade térmica (k) representa a capacidade de um corpo transferir calor. Ela 
depende da estrutura física da matéria, a níveis atômico e molecular. Para uma taxa de calor 
fixa, um aumento na condutividade térmica representa uma redução do gradiente de 
temperatura ao longo da direção da transferência de calor. Para uma diferença fixa de 
temperatura, um aumento na condutividade térmica representa um aumento da taxa de calor 
transferida. Em geral, a condutividade térmica de um sólido é maior que a de um líquido que, 
por sua vez, é maior que a de um gás. Esta tendência se deve, em grande parte, às diferenças 
de espaçamento intermolecular nos estados da matéria, mas também se deve às diferenças 
entre as estruturas moleculares dos materiais. As moléculas de um metal são compactadas e 
bem ordenadas, permitindo uma melhor transferência de calor do que em um material não 
metálico, que possui as moléculas mais esparsas. Os elétrons livres, presentes nos materiais 
metálicos, são em parte responsáveis pela elevada condutividade térmica destes materiais. 
Assim, bons condutores elétricos geralmente possuem altas condutividades térmicas. Os 
sólidos inorgânicos com estrutura cristalina menos ordenada que os metais apresentam 
menores condutividades térmicas. Materiais orgânicos e fibrosos como a madeira têm 
condutividades ainda menores. No Sistema Internacional, a unidade de k é W/(m.K). A 
Tabela A.6 apresenta valores da condutividade térmica para alguns materiais, a 300 K. 
O produto cp (densidade * calor específico), comumente chamado de capacidade calorífica, 
mede a capacidade de um material de armazenar energia térmica. No Sistema Internacional, a 
unidade da capacidade calorífica é kg.K/(m
3
.s
2
). 
A difusividade térmica  é definida como sendo a razão entre a condutividade térmica e a 
capacidade calorífica 
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pc
k


 
Esta propriedade mede a capacidade do material de conduzir a energia térmica em relação à 
sua capacidade de armazená-la. Materiais com valores elevados de  responderão 
rapidamente a mudanças nas condições térmicas a eles impostas, enquanto materiais com 
valores reduzidos de  responderão mais lentamente, levando mais tempo para atingir uma 
nova condição de equilíbrio. Em geral, os sólidos metálicos têm maiores difusividades 
térmicas, enquanto os sólidos não metálicos apresentam menores valores desta propriedade. 
No SI, a unidade de  é m2/s. 
 
EQUAÇÃO DA DIFUSÃO DE CALOR 
Coordenadas Cartesianas 
Um dos objetivos principais da análise da condução de calor é determinar o campo de 
temperaturas em um meio, ou seja, a distribuição de temperaturas em seu interior. Assim, 
pode-se determinar o fluxo de calor por condução em qualquer ponto do meio ou em sua 
superfície utilizando-se a lei de Fourier. Seja o volume de controle infinitesimal de dimensões 
dx, dy e dz mostrado na Fig. 6. 
gE

representa a geração interna de calor que pode existir no 
volume de controle, ou seja, a conversão de outras formas de energia em energia térmica. Esta 
conversão pode ser através de uma reação química exotérmica ou o aquecimento do volume 
de controle por uma resistência elétrica. 
aE

 é o acúmulo de energia que pode existir no 
volume de controle ao longo do tempo. 
zyx q e q ,q
são as taxas de calor por condução nas três 
direções. 
Fazendo-se um balanço de energia no volume de controle 
 
agse EEEE
 
 
    dxdydz
t
T
cdxdydzqqqqqqq pdzzdyydxxzyx


  
 
 
Figura 6 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cartesianas) 
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Transferência de Calor 
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q
: Taxa de geração de energia por unidade de volume do meio (W/m
3
) 
t
T
cp



: Taxa de variação de energia térmica do meio, por unidade de volume (W/m
3
) 
Fazendo-se uma expansão em série de Taylor nas 3 direções, 
dz
z
q
qqdy
y
q
qqdx
x
q
qq zzdzz
y
ydyy
x
xdxx








 
 
Assim, 
dxdydz
t
T
cdxdydzqdz
z
q
qdy
y
q
qdx
x
q
qqqq p
z
z
y
y
x
xzyx


















 
 
dxdydz
t
T
cdxdydzqdz
z
q
dy
y
q
dx
x
q
p
zyx











 
 
      dxdydz
t
T
cdxdydzqdzq
z
dyq
y
dxq
x
pzyx











 
 
As taxas 
zyx q e q ,q
podem ser determinadas utilizando-se a Lei de Fourier 
dxdy
z
T
kqdxdz
y
T
kqdydz
xT
kq zyx









 
dxdydz
t
T
cdxdydzqdzdxdy
z
T
k
z
dydxdz
y
T
k
y
dxdydz
x
T
k
x
p



































 
 
dxdydz
t
T
cdxdydzqdxdydz
z
T
k
z
dxdydz
y
T
k
y
dxdydz
x
T
k
x
p

































 
Dividindo-se todos os termos pelo volume infinitesimal dxdydz, 
t
T
cq
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
x
p

































 
Muitas vezes, no entanto, é possível operar com versões simplificadas desta equação, 
adotando-se algumas hipóteses: 
 Condutividade térmica constante (k constante): 
t
T
k
c
k
q
z
T
y
T
x
T p
2
2
2
2
2
2










  
Sabendo que a difusividade térmica é 
pc
k


 
A equação anterior pode ser reescrita como: 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 140 
t
T1
k
q
z
T
y
T
x
T
2
2
2
2
2
2











  
 Regime Permanente 
 0


t
T
: 
0q
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
x































 
 Condução unidimensional de calor em regime permanente, sem geração interna de calor 
0
dx
dT
k
dx
d






 
  0"q
dx
d
X 
 
ou seja 
constante"q X 
 
Em condições de transferência de calor unidimensional em regime permanente, sem geração 
interna de energia, o fluxo de calor é constante. 
 
Exemplo 4 – Distribuição de temperaturas em uma parede plana – k variável 
Uma parede plana tem a superfície interna (x = 0) mantida a 300 K, enquanto a superfície 
externa (x = 0,5 m) é mantida a 550 K. Dada a grande diferença de temperatura entre as 
extremidades, a condutividade térmica do material da parede não pode ser considerada 
constante, sendo dada pela expressão 
06711.0x246.0x2965.1
1
k
2 

. Determine a 
distribuição de temperaturas no interior da parede e o fluxo de calor na posição x = 0,3 m, 
considerando a condução unidimensional em regime permanente, sem geração de calor. 
A equação da difusão de calor, em coordenadas cartesianas, é dada por 
t
T
cq
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
x
p

































 
Considerando-se a condução unidimensional, em regime permanente, sem geração interna de calor, 
esta equação se reduz a 
0
dx
dT
k
dx
d






 
Como a condutividade térmica do material da parede não é constante, variando com a posição x, ela 
deve ser incluída na equação antes que a integração da equação seja feita. Assumindo-se 
cbxax
1
06711.0x246.0x2965.1
1
k
22 



 
0
dx
dT
cbxax
1
dx
d
dx
dT
k
dx
d
2



















 
Integrando-se uma vez a equação, obtém-se 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 141 
12
C
dx
dT
cbxax
1







 (1) 
ou 
 cbxaxC
dx
dT 2
1 
 
Integrando-se a equação uma segunda vez, 
2
23
1 Ccx
2
bx
3
ax
CT 









 (2) 
ou 
2
23
1 Cx06711,0
2
x246,0
3
x2965,1
CT 









 
Para a determinação das constantes de integração, é necessário aplicar as condições de contorno. 
  K3000xT 
 (3) 
  K550m5,0xT 
 (4) 
Substituindo-se a condição de contorno (3) na equação (2), 
   
2
23
1 0.06711,0
2
0246,0
3
02965,1
300 CC 









 
KC 3002 
 
Substituindo-se a condição de contorno (3) na equação (2), 
   
3005,0.06711,0
2
5,0246,0
3
5,02965,1
550
23
1 







 C
 
2
1 m/W4399C 
 
Substituindo-se os valores encontrados para as constantes, 
300x295x541x1901T 23 
 ◄ 
O fluxo de calor pode ser obtido através da lei de Fourier, 
dx
dT
k"q 
 
Como 
1C
dx
dT
k 
 (Equação 1) 
1C"q 
 
2m/W4399"q 
 ◄ 
 
Coordenadas Cilíndricas 
Efetuando-se uma análise similar à realizada para coordenadas cartesianas, pode-se escrever a 
equação da difusão de calor em coordenadas cilíndricas e esféricas. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 142 
 
Figura 7 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Cilíndricas) 
t
T
cq
z
T
k
z
T
k
r
1
r
T
kr
rr
1
p2 
































 
Coordenadas Esféricas 
 
Figura 8 – Volume de Controle Infinitesimal (Coordenadas Esféricas) 
t
T
cq
T
ksen
senr
1T
k
senr
1
r
T
kr
rr
1
p222
2
2 



































 
Condições de Contorno e Condição Inicial 
A solução das equações que governam um problema depende ainda das condições físicas que 
existem nas fronteiras do meio (condições de contorno) e, quando a situação for dependente 
do tempo, também das condições que existem em um certo instante inicial (condição inicial). 
Como a equação da condução de calor é uma equação de segunda ordem nas coordenadas 
espaciais, são necessárias 2 condições de contorno para cada coordenada espacial que 
descreve o sistema. Como a equação é de primeira ordem no tempo, basta apenas uma 
condição inicial. As figuras a seguir mostram as 3 espécies de condições de contorno 
comumente encontradas na transferência de calor. Elas ilustram a situação para um sistema 
unidimensional, especificando a condição de contorno na superfície em x = 0, com a 
transferência de calor ocorrendo no sentido positivo do eixo x. 
1) Temperatura da Superfície Prescrita 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 143 
sTtT ),0(
 
 
2) Fluxo de Calor Prescrito na Superfície 
)0("
0
x
x
q
x
T
k 




 
a) Fluxo de Calor Diferente de Zero 
"
0
S
x
q
x
T
k 




 
 
 
b) Fluxo de Calor Nulo (Parede Isolada ou Adiabática) 
0
0



xx
T
 
 
3) Condição Convectiva na Superfície 
  tTTh
x
T
k
x
,0
0



 

 
 
 
Exemplo 5 – Fluxo e taxa de calor em uma casca esférica 
Uma casca esférica, com os raios interno e externo ri e ro, respectivamente, contém 
componentes que dissipam calor. Se a distribuição de temperatura na casca é da forma 
2
1 C
r
C
)r(T 
, determine as expressões para o fluxo térmico e a taxa de calor em função do 
raio r. 
O fluxo e a taxa de calor podem ser calculados através da lei de Fourier,dr
dT
k"q 
 
Derivando-se a temperatura em função do raio da casca esférica, 
2
1
r
C
dr
dT

 







2
1
r
C
k"q
 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 144 
2
1
r
C
k"q 
 ◄ 
A taxa de calor pode ser obtida multiplicando-se o fluxo de calor pela área superficial da esfera, 
2r4A 
 
2
12
2
1
r
C
r4.k
r
C
kAA"qq 
 
1kC4q 
 ◄ 
 
CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE 
Seja uma parede plana separando dois fluidos em temperaturas diferentes (Fig. 9). Considere 
a condução unidimensional de calor através da parede, em regime permanente, sem geração 
interna. A temperatura é função somente de uma coordenada espacial (no caso x) e o calor é 
transferido unicamente nesta direção. A transferência de calor ocorre por convecção do fluido 
quente a T1 para a superfície da parede a TS1 em x = 0, por condução através da parede e por 
convecção da superfície da parede em x = L a TS2 para o fluido frio a T2. 
 
Figura 9 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana 
A determinação da distribuição de temperaturas no interior da parede é feita através da 
solução da equação de calor. Em coordenadas cartesianas, esta equação é dada por 
t
T
cq
z
T
k
zy
T
k
yx
T
k
x
p

































 
Hipóteses: 
 Condução unidimensional 





 



 0
z
T
y
T
 
 Sem geração interna 
 0q 
 
 Regime permanente
 0
t
T 


 
A equação se reduz, então, a 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 145 
0
dx
dT
k
dx
d






 
Considerando-se a condutividade térmica do material constante, 
0
dx
Td
k
2
2

 ou 
0
dx
Td
2
2

 
Integrando-se 2 vezes em x, 
1C
dx
dT

 
21 CxCT 
 
Para se determinar as constantes de integração C1 e C2, aplicam-se as condições de contorno: 
  1,ST0T 
 
  2,STLT 
 
Assim, 
L
TT
C
1,S2,S
1


 
1,S2 TC 
 
  1,S
1,S2,S
Tx
L
TT
xT 




 

 
Na condução unidimensional em regime permanente numa parede plana sem geração de 
calor e com condutividade térmica constante, a temperatura é uma função linear de x. 
A taxa de calor por condução no interior da parede é dada pela lei de Fourier 
dx
dT
kAq x 
 
Derivando-se a equação encontrada para o perfil de temperaturas na direção x, 
 2,S1,Sx TT
L
kA
q 
 
O fluxo de calor é dado por 
 2,S1,Sx"x TT
L
k
A
q
q 
 
Percebe-se, portanto, que, no interior da parede, a taxa e o fluxo de calor são constantes. 
Resistência Térmica 
Da mesma maneira que uma resistência elétrica se opõe à passagem de corrente em um 
circuito, uma resistência térmica se opõe à passagem de calor. Definindo-se a resistência 
como sendo a razão entre o potencial motriz e a correspondente taxa de transferência, a 
resistência térmica assume a forma 
q
T
R t


 
Assim, para a condução unidimensional através de uma parede plana 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 146 
kA
L
R cond,t 
 
Para a convecção 
hA
1
R conv,t 
 
Para a radiação 
Ah
1
R
r
rad,t 
 onde 
  22SSr TTTTh  
 
Deve-se ressaltar que as resistências térmicas à convecção e à radiação assumem a mesma 
forma para qualquer sistema de coordenadas, variando-se apenas a expressão utilizada para a 
área. No entanto, a resistência à condução assume diferentes expressões para os diferentes 
sistemas de coordenadas. 
No exemplo da parede plana, toda a energia transferida do fluido quente para a superfície é 
conduzida através da parede e, por sua vez, para o fluido frio, ou seja, a taxa de calor é 
constante. 
2convcond1convx qqqq 
 
ou 
     2,2,S22,S1,S1,S1,1x TTAhTT
L
kA
TTAhq  
 
Reescrevendo-se a equação anterior, 
     
Ah
1
TT
kA
L
TT
Ah
1
TT
q
2
2,2,S2,S1,S
1
1,S1,
x
 





 
Utilizando-se o conceito de resistência térmica, 
     
2conv
2,2,S
cond
2,S1,S
1conv
1,S1,
x
R
TT
R
TT
R
TT
q
 





 
Pode-se então fazer um circuito térmico, análogo a um circuito elétrico, com a forma 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 147 
 
Figura 10 – Circuito Térmico 
Pode-se, da mesma forma, fazer um circuito térmico equivalente, em função da diferença 
global de temperatura, definindo-se a resistência térmica total Rtot. 
tot
2,1,
x
R
TT
q
 

 
Como as resistências térmicas condutiva e convectivas estão em série, 
2convcond1convtot RRRR 
 
Ah
1
kA
L
Ah
1
R
21
tot 
 
 
Parede Composta 
Seja a condução de calor unidimensional, em regime permanente, através de uma parede 
composta, constituída por materiais de espessuras e condutividades térmicas diferentes (Fig. 
11). 
 
Figura 11 – Transferência de Calor através de uma Parede Plana 
A taxa de transferência de calor qx é dada por 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 148 
tot
4,1,
4
4,4,S
C
C
4,S3,S
B
B
3,S2,S
A
A
2,S1,S
1
1,S1,
x
R
TT
Ah
1
TT
Ak
L
TT
Ak
L
TT
Ak
L
TT
Ah
1
TT
q
 











 
onde 
Ah
1
Ak
L
Ak
L
Ak
L
Ah
1
RR
2C
C
B
B
A
A
1
ttot  
 
No exemplo anterior, desprezaram-se as trocas de calor por radiação entre as superfícies da 
parede e os fluidos. Ao se considerar estas trocas, a taxa total de calor entre a superfície e o 
fluido seria dada como a soma das taxas de calor por convecção e radiação. A resistência 
térmica à radiação seria inserida no circuito térmico associada em paralelo à resistência à 
convecção, já que o potencial (T) entre a superfície e o fluido seria o mesmo. O circuito 
térmico, se forem consideradas as trocas de calor por radiação, é dado por 
 
Figura 12 – Circuito Térmico Equivalente 
 
Exemplo 6 – Circuito térmico: parede plana 
A parede composta de um forno possui três materiais, dois dos quais com condutividades 
térmicas conhecidas, kA = 25 W/m.K e kC = 50 W/m.K. A espessuras dos 3 materiais são LA = 
0,30 m e LB = LC = 0,15 m e a área da superfície é de 1 m
2
. Em condições de regime 
permanente, medições efetuadas revelam uma temperatura na superfície externa do forno TS4 
= 20
o
C, uma temperatura na superfície interna TS1 = 600 K e uma temperatura no interior do 
forno T = 800 K. Se o coeficiente de transferência de calor por convecção no interior do 
forno é 15 W/m
2
.K e a emissividade do material A vale 0,7, desenhe o circuito térmico 
equivalente e calcule o valor da condutividade térmica do material B. 
 
O circuito térmico equivalente do problema é mostrado na figura a seguir 
 ◄ 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 149 
Deve ser observado que, uma vez que não foram fornecidos dados a respeito de quaisquer fluidos que 
possam estar em contato com a superfície C, o circuito termina na superfície externa do material C. 
Como a temperatura da superfície interna TS1 é alta, os efeitosde radiação são importantes e devem ser 
considerados nos cálculos. 
Sabe-se que a taxa de transferência de calor é constante através da parede. 
2eq
4S1S
1eq
1S
eq
4S
R
TT
R
TT
R
TT
q





 
 (1) 
onde 
2eq1eqeq RRR 
 
radconv1eq R
1
R
1
R
1

 
3cond2cond1cond2eq RRRR 
 
As resistências térmicas são dadas por 
W/K0667,0
m1.K.m/W15
1
hA
1
R
22conv

 
Ah
1
R
r
rad 
 
onde 
     
Km
W
566,55K800600K800K600
Km
W
10x67,5.7,0TTTTh
2
222
42
82
1S
2
1Sr 


 
W/K018,0
m1.K.m/W566,55
1
R
22rad

 
Assim, 
W/K01417,0Req 
 
W/K012,0
m1.K.m/W25
m30,0
Ak
L
R
2
A
A
1cond 
 
B
2
BB
B
2cond
k
15,0
m1.k
m15,0
Ak
L
R 
 
W/K003,0
m1.K.m/W50
m15,0
Ak
L
R
2
A
A
3cond 
 
W/K003,0
k
15,0
W/K012,0R
B
2eq 
 
Substituindo-se os valores e expressões das resistências térmicas na equação (1), tem-se 
B2eq
4S1S
1eq
1S
k/15,0W/K015,0
K15,293K600
W/K01417,0
K600K800
R
TT
R
TT








 
K.m/W25,22kB 
 ◄ 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 150 
 
Resistência de Contato 
Em sistemas compostos, a queda de temperatura nas interfaces pode ser considerável. Esta 
mudança de temperatura é atribuída a uma resistência térmica de contato. A existência de uma 
resistência de contato se deve principalmente aos efeitos da rugosidade da superfície (Figura 
13). Assim, existem regiões vazias na interface que são, na maioria dos casos, preenchidas 
com ar. A transferência de calor é, portanto, devida à condução de calor através da área de 
contato real e à condução e/ou radiação através das falhas. 
 
Figura 13 – Resistência Térmica de Contato 
 
A resistência de contato normalmente é adicionada ao circuito térmico como uma resistência 
em série com as resistências à condução através dos materiais. Para uma área de interface 
unitária, a resistência térmica de contato é definida pela expressão: 
x
BA
tc
q
TT
R
"
"


 
Para sólidos cujas condutividades térmicas são superiores à do fluido presente nas falhas, a 
resistência de contato pode ser reduzida pelo aumento da área dos pontos de contato. Este 
aumento pode ser obtido por um acréscimo na pressão de contato ou junção e/ou pela redução 
da rugosidade das superfícies em contato. A resistência de contato pode ser reduzida pela 
seleção de um fluido com elevada condutividade térmica para preencher as falhas. Duas 
classes de materiais que são adequadas para este propósito são os metais macios e as graxas 
térmicas. Os metais podem ser inseridos na forma de finas folhas ou películas, ou aplicados 
como um fino revestimento em um dos materiais em contato. As graxas térmicas à base de 
silicone (silício) são alternativas interessantes, pois preenchem completamente os interstícios 
entre os materiais. 
 
Tabela 4 – Resistência Térmica de Contato Sólido/Sólido 
Interface R”tc x10
4
 (m
2
.K/W) 
Chip de silício/alumínio esmerilhado com ar (27 – 500 kN/m2) 0,3 – 0,6 
Alumínio/alumínio com folha de índio (~ 100 kN/m
2
) ~ 0,7 
Aço inoxidável/aço inoxidável com folha de índio (~ 100 kN/m
2
) ~ 0,04 
Alumínio/alumínio com revestimento metálico (Pb) 0,01 – 0,1 
Alumínio/alumínio, com graxa Dow Corning 340 (~ 100 kN/m
2
) ~ 0,07 
Alumínio/alumínio, com graxa Dow Corning 340 (~ 3500 kN/m
2
) ~ 0,04 
Chip de silício/alumínio, com 0,02 mm de epóxi 0,2 – 0,9 
Latão/latão com 15m de solda à base de estanho 0,025 – 0,14 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 151 
 
Embora várias técnicas tenham sido desenvolvidas para estimar a resistência de contato, os 
valores mais confiáveis são aqueles obtidos experimentalmente. A Tabela 4 apresenta valores 
para a resistência de contato entre sólidos diferentes, com vários materiais intersticiais. A 
Tabela 5 apresenta valores para a resistência de contato em uma interface de alumínio, para 
diferentes fluidos interfaciais. 
 
Tabela 5 – Resistência Térmica de Contato em uma Interface de Alumínio 
Fluido Interfacial R”tc x10
4
 (m
2
.K/W) 
Ar 2,75 
Hélio 1,05 
Hidrogênio 0,720 
Óleo de silicone 0,525 
Glicerina 0,265 
 
Configurações do tipo Série-Paralelo 
Seja a parede composta apresentada na Fig. 14. Embora neste sistema a transferência de calor 
seja bidimensional, é razoável a adoção da hipótese de condições unidimensionais. Com base 
nestas hipóteses, podem ser usados dois circuitos térmicos diferentes, mostrados na Fig. 15. 
No caso (a), supõe-se que as superfícies perpendiculares à direção x são isotérmicas e, no caso 
(b), que as superfícies paralelas a x são adiabáticas. As taxas de calor são diferentes em cada 
caso, representando um intervalo dentro do qual está a taxa real de transferência de calor. As 
diferenças entre os resultados relativos dos dois circuitos aumentam com o aumento da 
diferença de condutividade térmica entre os materiais B e C, já que os efeitos bidimensionais 
se tornam mais importantes. 
 
 
Figura 14 – Parede Composta Figura 15 – Circuitos Térmicos Equivalentes numa 
Parede Composta 
 
 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 152 
CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE – SISTEMAS RADIAIS – 
CILINDRO 
Seja um cilindro oco cuja superfície interna se encontra exposta a um fluido quente e a 
superfície externa, a um fluido frio (Fig. 16). 
 
Figura 16 – Transferência de Calor através de um Cilindro Oco 
A equação que governa a transferência de calor no interior do cilindro é 
t
T
cq
z
T
k
z
T
k
r
1
r
T
kr
rr
1
p2 
































 
Se forem adotadas as hipóteses de 
 Condução unidimensional 




 



 0
z
TT
 
 Sem geração interna 
 0q 
 
 Regime permanente 
 0
t
T 


 
a equação pode ser reduzida a 
0
dr
dT
kr
dr
d
r
1






 
0
dr
dT
kr
dr
d






 
0
L2
q
dr
d r 







 
  0q
dr
d
r 
 
ou 
constanteqr 
 
A taxa de calor é, portanto, constante no interior da parede do cilindro. 
Considerando-se a condutividade térmica k constante, 
0
dr
dT
r
dr
d
r
k






 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 153 
0
dr
dT
r
dr
d






 
Integrando-se uma vez em r, 
1C
dr
dT
r 
 ou 
r
C
dr
dT 1
 
Integrando-se outra vez em r, 
  21 CrlnCrT 
 
Aplicando-se as condições de contorno 
  1s1 TrrT 
 
  2s2 TrrT 
, 
podem-se obter as constantes de integração C1 e C2 
 21
2s1s
1
r/rln
TT
C


 
  221
2s1s
2s2 rln
r/rln
TT
TC


 
Assim, 
  2s221
2s1s T
r
r
ln
r/rln
TT
T 






 
A taxa de transferência de calor é dada por 
dr
dT
rL2k
dr
dT
kAq r 
 
Deve ser ressaltado que a área a ser usada é aquela perpendicular à direção da transferência de 
calor, ou seja, a área lateral do cilindro. 
Como 
 21
2s1s
r/rln
TT
r
1
dr
dT 

 
 12
2s1s
r
r/rln
TT
Lk2q

 
O fluxo de calor é dado por 
dr
dT
k"q r 
 
 12
2s1s
r
r/rln
TT
r
k
"q


 
A taxa de calor, portanto, é constante para qualquer posição radial (não depende do raio r), o 
que não acontece com o fluxo de calor, que é função da coordenada radial r. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 154 
A resistência térmica à condução para sistemas radiais é dada por 
r
2s1s
cond
q
TT
R


 
 
Lk2
r/rln
R 12cond


 
Parede Cilíndrica Composta 
Considere a condução unidimensional de calor, em regime permanente, sem geração interna, 
através de uma parede cilíndrica composta, como mostrado na Fig. 17. 
 
Figura 17 – Transferência de Calor Através de uma Parede Cilíndrica Composta 
A taxa de calor é constante através do cilindro. Assim, desprezando-se os efeitos radiativos, 
2conv
14s
3cond
4s3s
2cond
3s2s
1cond
2s1s
1conv
1s1
tot
41
r
R
TT
R
TT
R
TT
R
TT
R
TT
R
TT
q 












 
onde 
     
44C
34
B
23
A
12
11
ttot
Lhr2
1
Lk2
r/rln
Lk2
r/rln
Lk2
r/rln
Lhr2
1
RR










 
 
Exemplo 7 – Circuito térmico: cilindro 
Um fluido quente escoa no interior de um tubo cilíndrico de aço AISI 304, de raio interno 
igual a 10 cm e raio externo igual a 12 cm e 2 m de comprimento. O coeficiente total de 
transferência de calor (convecção + radiação) entre o fluido quente e a superfície interna do 
tubo é 25 W/m
2
.K. Para diminuir as perdas térmicas para o ambiente a 15
o
C, o tubo foi 
revestido por uma manta de fibra de vidro (emissividade 0,85), de 2,5 mm de espessura O 
coeficiente convectivo externo é igual a 20 W/m
2
.K. Se a superfície externa do revestimento 
se encontra a 80
o
C, determine: 
a) A taxa total de calor trocada entre o fluido quente e o ambiente externo; 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 155 
b) A temperatura do fluido quente. 
a) O circuito térmico equivalente do problema é mostrado na figura a seguir 
 
A taxa de transferência de calor é dada por 
2eq
23S
R
TT
q 


 (1) 
onde 
2rad2conv2eq R
1
R
1
R
1

 
As resistências térmicas são dadas por 
W/K0325,0
m2.m1225,0.2.K.m/W20
1
Lr2.h
1
Ah
1
R
2
32c22c
2conv 




 
É importante ressaltar que a convecção externa deve ser calculada baseando-se na área superficial 
externa do cilindro, 
Lr2A 32 
, onde r3 é o raio externo do cilindro de aço, somado à espessura do 
isolamento de fibra de vidro, 
m1225,0m0025,0m12,0trr 23 
 
Lr2.h
1
Ah
1
R
32r22r
2rad 

 
onde 
      222
42
82
1S
2
1S2r K15,28815,353K15,288K15,353
Km
W
10x67,5.85,0TTTTh  
 
Km
W
42,6h
22r

 
W/K1012,0
m2.m1225,0.2.K.m/W42,6
1
R
22rad



 
Assim, 
W/K246,0R 2eq 
 
A taxa de transferência de calor é dada pela equação (1), 
 
W/K0246,0
K1580
q


 
W2644q 
 ◄ 
Para se calcular a temperatura do fluido quente, T1, é necessário calcular as resistências térmicas Req1, 
Rcond1
 
e Rcond2. 
A primeira resistência é dada por 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 156 
W/K03183,0
m2.m1,0.2.K.m/W25
1
Lr2.h
1
Ah
1
R
2
1111
1eq 




 
As resistências térmicas à condução são dadas por 
 
1
12
1cond
Lk2
r/rln
R


 
Da Tabela A.6, k1 = 14,9 W/m.K 
 
W/K00974,0
K.m/W9,14.m2.2
m10,0/m12,0ln
R 1cond 


 
 
2
33
2cond
Lk2
r/rln
R


 
Da Tabela A.6, k2 = 0,038 W/m.K 
 
W/K04318,0
K.m/W038,0.m2.2
m12,0/m1225,0ln
R 1cond 


 
Sabendo que 
2cond1condeq
3S1
RRR
TT
q


 
 
04318,0000974,003183,0
C80T
2644
o
1


 
 
K1,554C9,200T o1 
 ◄ 
 
Espessura Crítica de Isolamento 
Suponha que se deseje resfriar um cilindro oco, com a superfície interna exposta a um fluido 
quente e a superfície externa, a um fluido frio (Fig. 18). Para se aumentar ou diminuir a taxa 
de calor retirada do cilindro sem alterar as condições do escoamento externo, pode-se colocar 
uma camada de um segundo material sobre o cilindro, com condutividade térmica diferente 
do material do cilindro. 
 
Figura 18 – Parede Cilíndrica Composta 
A taxa de transferência de calor da superfície interna para o fluido frio irá depender da 
espessura de material colocado, ou seja, do raio externo do “novo” cilindro, r2. Como a 
resistência à condução aumenta com o raio e a resistência à convecção apresenta 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 157 
comportamento inverso, deve existir uma espessura capaz de minimizar a resistência térmica 
equivalente, maximizando a perda térmica (Fig. 19). 
 
Figura 19 – Comportamento das Resistências Térmicas com r2 
 
A taxa de calor é dada por 
eq
1S
r
R
)TT(
q 


 
onde 
hLr2
1
kL2
)r/rln(
R
2
12
eq




 
Assim, 
hr
1
k
)r/rln(
)TT(L2
q
2
12
1S
r


 
 
O máximo valor de qr é obtido fazendo-se 
0
dr
dq
2
r 
 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 158 
0
hr
1
k
)r/rln(
hr
1
kr
1
)TT(L2
dr
dq
2
2
12
2
22
1S
2
r 


















 
Esta condição é satisfeita quando 
h
k
rr c2 
 
rc = Raio crítico 
Como a derivada segunda de qr em relação a r2 é negativa, qr tem o seu valor máximo em r = 
rc. O comportamento da resistência total é inverso, como mostrado na Fig. 19. 
 
Exemplo 8 – Raio crítico 
No Laboratório de Transferência de Calor da PUC Minas é feita uma experiência para 
determinar o coeficiente convectivo associado ao escoamento de ar sobre um cilindro exposto 
ao ar ambiente. O cilindro é feito de um material metálico e possui diâmetro externo de 2 in e 
comprimento de 0,78 m. Ele é revestido externamente por lã de vidro (k = 0,06 W/m.K) com 
1 in de espessura. A superfície interna do cilindro é aquecida pela passagem de uma corrente 
elétrica (V = 30 V e i = 2,4 A). São medidas as temperaturas ambiente e da superfície interna 
do revestimento. 
a) Para uma temperatura ambiente de 20
o
C e uma temperatura interna do revestimento de 
480
o
C, calcule o coeficiente convectivo externo; 
b) Calcule o raio crítico de isolamento. A espessura do revestimento é superior ou inferior à 
espessura crítica de isolamento? Determine, qualitativamente, o que aconteceria com a 
temperatura interna do revestimento se a espessura do isolamento fosse tal que o raio externo 
do revestimento fosse igual ao raio crítico de isolamento. 
a) O circuito térmico equivalente do problema é mostrado na figura a seguir, desprezando-se os efeitos 
de radiação 
 
A energia gerada por efeito Joule é transferida por condução através do cilindro e do isolante e perdida 
para o ambiente. Assim, pode-se dizer que 
W72A4,2.V30ViRiq 2 
 
A taxa de transferência de calor é dada por 
conv2cond
2S
RR
TT
q


 
 
onde a resistência à condução no isolante é dada por 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor159 
 
2
33
2cond
Lk2
r/rln
R


 
onde r2 e r3 representam, respectivamente, o raio interno e o raio externo do isolante térmico. O raio 
externo pode ser obtido somando-se o raio interno à espessura do isolamento 
m0508,0m0254,0m
2
0508,0
t
2
d
trr 223 
 
É importante ressaltar que as unidades foram convertidas do sistema britânico (in) para unidades do 
Sistema Internacional (m). Assim, 
 
m/W357,2
K.m/W06,0.m78,0.2
m0254,0/m0508,0ln
R 2cond 


 
O objetivo é determinar o coeficiente convectivo h. Para isso, deve-se determinar a resistência à 
convecção externa. 
Como 
conv2cond
2S
RR
TT
q


 
, 
q
TT
RR 2Sconv2cond

 
ou 
conv
2S
2cond R
q
TT
R 

 
 
W/K032,4W/K357,2
W72
C20C480
R 2cond 


 
Mas 
Lr2.h
1
hA
1
R
3
conv


 
Assim, 
m78,0.m0508,0.2.h
1
W/K032,4


 
K.m/W996,0h 2
 ◄ 
b) O raio crítico é dado por 
h
k
rc 
 
K.m/W996,0
K.m/W06,0
r
2c

 
m060,0rc 
 ◄ 
Para a espessura de isolante utilizada, o raio externo é menor que o raio crítico. Como a taxa de calor 
perdida para o ambiente aumenta até ser atingido o raio crítico, se o raio externo fosse igual ao raio 
crítico, a temperatura do isolamento seria menor. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 160 
CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE – SISTEMAS RADIAIS – 
ESFERA 
Seja uma esfera oca cujas superfícies interna e externa se encontram, respectivamente, a 
temperaturas Ts1 e Ts2 (Fig. 20), com Ts1>Ts2. Considere a transferência de calor 
unidimensional, em regime permanente, sem geração interna nas paredes da esfera. 
 
Figura 20 – Transferência de Calor através de uma Casca Esférica 
Partindo-se da equação da condução do calor em coordenadas esféricas, pode-se obter o perfil 
de temperaturas no interior da esfera, como feito para coordenadas cartesianas e cilíndricas. 
Com o perfil de temperaturas, pode-se determinar a taxa de calor conduzida através da esfera, 
dada por 
 









21
2s1s
r
r
1
r
1
TTk4
q
 
Assim, sabendo-se que 
 
r
2s1s
cond
q
TT
R


 
a resistência condutiva é dada por 









21
cond
r
1
r
1
k4
1
R
 
 
TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM SUPERFÍCIES EXPANDIDAS – ALETAS 
O aumento da taxa de transferência de calor de uma superfície a temperatura constante para 
um fluido externo (Fig. 21) pode ser feito através do aumento do coeficiente de convecção h 
ou através da redução da temperatura do fluido T. 
 
Figura 21 – Superfície da qual se quer Aumentar a Taxa de Transferência de Calor 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 161 
Quando não é possível aumentar a taxa de calor por um destes modos, aumenta-se a área de 
troca de calor, através da utilização de aletas (Fig. 22), que são elementos sólidos que 
transferem energia por condução dentro de suas fronteiras e por convecção (e/ou radiação) 
entre suas fronteiras e o ambiente. Elas são utilizadas para aumentar a taxa de transferência de 
calor entre um corpo sólido e um fluido adjacente. Exemplos práticos de aplicações de aletas 
podem ser vistos nos sistemas para resfriamento dos cilindros dos pistões de motocicletas e 
nos tubos aletados utilizados para promover a troca de calor entre o ar e o fluido de operação 
em um aparelho de ar condicionado. 
 
Figura 22 – Colocação de Aletas para Aumentar a Taxa de Transferência de Calor 
Tipos de Aletas 
A Figura 23 ilustra diferentes configurações de aletas. 
 
 
Plana, de seção reta uniforme 
 
Plana, de seção transversal não uniforme 
 
Anular 
 
Piniforme (pino) 
Figura 23 – Configurações de Aletas 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 162 
Balanço de Energia para uma Aleta 
Hipóteses: 
 Condução unidimensional de calor 
 Regime permanente 
 Condutividade térmica da aleta constante 
 Radiação térmica desprezível 
 Sem geração interna de calor 
 Coeficiente de convecção uniforme 
Através de um balanço de energia, pode-se obter a equação que governa a condução de calor 
através da aleta. Considerando-se um elemento infinitesimal de uma aleta de seção reta 
variável (Fig. 24), pode-se afirmar que a taxa de energia que entra no volume de controle, 
menos a taxa de energia que sai do volume de controle, mais a taxa de energia que é gerada, 
deve ser igual à taxa de variação da energia no interior do volume de controle. 
 
Figura 24 – Balanço de Energia em uma Superfície Expandida 
Como a geração interna de calor foi desprezada e a transferência de calor ocorre em regime 
permanente, 
convdxxx dqqq  
 
onde 









 fluido o para convecçãopor perdida Energia dq
malinfinitesi volumedo conduçãopor da transferiEnergiaq
malinfinitesi volumeo para conduçãopor da transferiEnergiaq
conv
dxx
x
 
A taxa de calor por condução na posição x é determinada pela lei de Fourier: 
dx
dT
kAq cx 
 
onde Ac é a área da seção reta da aleta na posição x considerada. 
Fazendo-se uma expansão em série de Taylor, pode-se determinar a taxa de calor por 
condução na posição x + dx 
dx
x
q
qq xdxx



 
dx
dx
dT
kA
dx
d
dx
dT
kAq ccdxx 






 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 163 
dx
dx
dT
A
dx
d
k
dx
dT
kAq ccdxx 






 
A taxa de calor por convecção transmitida do elemento infinitesimal para o fluido é dada por 
  TThdAdq sconv
 
onde dAs é a área superficial infinitesimal do elemento. 
Substituindo-se as equações de taxa na equação do balanço de energia, 
 





 TThdAdx
dx
dT
A
dx
d
k
dx
dT
kA
dx
dT
kA sccc
 
  0TTdA
k
h
dx
dx
dT
A
dx
d
sc 






 
Como a área da seção reta Ac pode variar com x, 
  0TT
dx
dA
k
h
dx
Td
A
dx
dA
dx
dT s
2
2
c
c  
 
  0TT
dx
dA
k
h
A
1
dx
dT
dx
dA
A
1
dx
Td s
c
c
c
2
2












 
 
Forma geral da equação da energia, em condições unidimensionais, em uma aleta. 
Aletas com área da seção transversal constante 
Quando a área da seção transversal da aleta é uniforme (Fig. 25), a equação anterior pode ser 
simplificada. 
 
Figura 25 – Aletas com Área da Seção Transversal Constante 
P
dx
dA
PxA
0
dx
dA
 constanteA
s
s
c
c


 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 164 
  0TT
kA
hP
dx
Td
c
2
2
 
 
Definindo-se a variável  (Excesso de Temperatura) como a diferença entre a temperatura da 
superfície em uma posição x e a temperatura do fluido de resfriamento, 
 T)x(T)x(
 
dx
dT
dx
d


 
2
2
2
2
dx
Td
dx
d


 
0
kA
hP
dx
d
c
2
2


 
Definindo-se 
c
2
kA
hP
m 
 
0m
dx
d 2
2
2

 
Esta é uma equação diferencial de segunda ordem, homogênea, com coeficientes constantes, 
cuja solução geral tem a forma 
mx
2
mx
1 eCeC)x(

 
Para resolver esta equação, é necessário ainda definir as condições decontorno apropriadas. 
Uma condição pode ser especificada em termos da temperatura na base da aleta (x = 0) 
  bT0xT 
 ou 
  bb TT0x  
 
A segunda condição de contorno deve ser definida na ponta da aleta (x = L). Podem ser 
especificadas quatro condições, cada uma correspondendo a uma situação física e levando a 
uma solução diferente. 
A. Transferência convectiva de calor na ponta da aleta 
A taxa de calor que chega à extremidade da aleta por condução é dissipada por convecção 
)T)L(T(hA
dx
dT
kA c
Lx
c 


 
)L(h
dx
d
k
Lx




 
Aplicando-se estas condições de contorno, chega-se a 
   
)mL(senh)mk/h()mLcosh(
)xL(msenh)mk/h()xL(mcosh)x(
b 




 
A taxa de calor pode ser determinada através da aplicação da lei de Fourier 
0x
c
0x
cf
dx
d
kA
dx
dT
kAq



 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 165 
Derivando-se a expressão encontrada para  (x), 
)mL(senh)mk/h()mLcosh(
)mLcosh()mk/h()mL(senh
hPkA.q cbf



 
Para simplificar a solução, define-se 
cb hPkAM 
, 
Assim, a equação para a taxa de calor pode ser dada por 









)mL(senh)mk/h()mLcosh(
)mLcosh()mk/h()mL(senh
Mqf
 
B. Ponta da aleta adiabática 
0
dx
dT
Lx


 
ou 
0
dx
d
Lx



 
Neste caso, 
 
)mLcosh(
)xL(mcosh)x(
b




 
)mL(tghMq .f 
 
C. Temperatura da ponta da aleta fixa e igual a TL 
  LTLxT 
 
ou 
  LLx 
 
 
)mL(senh
)xL(msenh)mx(senh)/()x( bL
b




 





 

)mL(senh
)/()mLcosh(
Mq bLf
 
D. Aleta muito longa 
Neste caso, quando 
0ouTT ,L LL  
 
mx
b
e
)x( 


 
Mqf 
 
A figura 26 apresenta a distribuição de temperatura em uma aleta retangular, utilizando-se a 
condição de contorno de aleta muito longa. Observa-se que, a partir de uma dada posição, a 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 166 
temperatura da aleta não se altera. Isto acontece porque a aleta já alcançou a temperatura 
ambiente. A partir deste ponto, como não há diferença entre as temperaturas da aleta e 
ambiente, não há mais troca de calor por convecção. Percebe-se, portanto, que não haveria 
necessidade de se utilizar um comprimento maior que Lmax. 
 
Figura 26 – Distribuição de temperaturas em uma aleta muito longa 
 
A Tabela 6 apresenta as equações de uma forma resumida. 
 
Tabela 6 – Taxa de Calor e Distribuição de Temperatura 
Condição de 
contorno na ponta 
Distribuição adimensional de 
temperatura 
Taxa de calor 
Troca de calor 
por convecção 
   
)mL(senh)mk/h()mLcosh(
)xL(msenh)mk/h()xL(mcosh)x(
b 




 









)mL(senh)mk/h()mLcosh(
)mLcosh()mk/h()mL(senh
Mqf
 
Ponta adiabática  
)mLcosh(
)xL(mcosh)x(
b




 
)mL(tghMq .f 
 
Temperatura fixa 
T = TL 
 
)mL(senh
)xL(msenh)mx(senh)/()x( bL
b




 





 

)mL(senh
)/()mLcosh(
Mq bLf
 
Aleta muito longa 
mx
b
e
)x( 


 
Mqf 
 
cb
c
LLbb
hPkAM
kA
hP
m
,TTTTT)x(T)x(

 
 
 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 167 
Exemplo 9 – Aletas 
Uma aleta retangular de alumínio, com 4 mm de espessura, 10 mm de largura e 12 cm de 
comprimento, está acoplada a uma chapa plana cuja temperatura superficial é 85
o
C. O sistema 
é exposto ao ar ambiente a 15
o
C. O coeficiente convectivo associado é 17W/m
2
.K. Determine 
a taxa de calor dissipada pela aleta se a sua ponta for mantida a uma temperatura fixa de 20
o
C 
e a temperatura na posição x = 5 cm. 
O primeiro passo é calcular algumas grandezas que serão necessárias futuramente. 
    m028,0m004,0m010,02tw2P 
 
25
c m10x4m004,0.m010,0wtA

 
Da Tabela A.6, k = 237 W/m.K 
1
25
2
c
m09,7
m10x4.K.m/W237
m028,0.K.m/W17
kA
hP
m 


 
K70C70C15C85TT ooobb  
 
K5C5C15C20TT oooLL  
 
W70,4m10x4.
K.m
W
237.m028,0.
K.m
W
17K70hPkAM 25
2cb
 
 
A taxa total de transferência de calor pela aleta é dada por 
   
 m12,0.m09,7senh
K70/K5m12,0.m09,7cosh
.W70,4
)mL(senh
)/()mLcosh(
Mq
1
1
bL
f 
 



 
W45,6qf 
 ◄ 
A temperatura adimensional em uma posição x da aleta é dada por 
 
)mL(senh
)xL(msenh)mx(senh)/()x( bL
b




 
ou 
 
)mL(senh
)xL(msenh)mx(senh)/(
TT
T)x(T bL
b






 
Na posição x = 5 cm, 
 
)m12,0.m09,7(senh
)m05,0m12,0(m09,7senh)m05,0.m09,7(senh)K70/K5(
1585
15T
1
11

 



 
C7,54T 
 ◄ 
 
Desempenho da Aleta 
As aletas são utilizadas para se aumentar a taxa de transferência de calor de uma superfície 
devido ao aumento da área. No entanto, a aleta impõe uma resistência térmica à condução na 
superfície original. Deve ser feita uma análise sobre o desempenho da aleta. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 168 
A Efetividade de uma aleta é definida como sendo a razão entre a taxa de transferência de 
calor pela aleta e a taxa de transferência de calor que existiria sem a sua presença. A 
utilização de aletas somente se justifica se f  2. 
bc
f
f
hA
q
ε


 
onde Ac é a área da seção reta da aleta. 
A Eficiência de uma aleta é definida como a razão entre a taxa de transferência de calor pela 
aleta e a taxa máxima de transferência de calor que existiria pela aleta. Esta taxa máxima é 
obtida quando toda a aleta se encontra à temperatura da base. 
bs
f
max
f
f
hA
q
q
q
η


 
onde As = área superficial da aleta 
Nas expressões anteriores, a taxa de calor qf é calculada de acordo com a condição de 
contorno utilizada para a ponta da aleta. 
 
Exemplo 10 – Eficiência de uma aleta 
Uma barra cilíndrica de 5 cm de diâmetro e condutividade térmica 280 W/m.K é utilizada 
para aumentar a taxa de calor retirada de uma superfície mantida a 120
o
C, exposta a um 
ambiente a 15
o
C, com coeficiente convectivo igual a 25 W/(m
2
.K). Se a aleta tem 80% de 
eficiência, calcule o seu comprimento, considerando a aleta muito longa. 
m157,0m05,0dP 
 
  23
22
c m10x963,1
4
m05,0
4
d
A 




 
L.m157,0PLAS 
 
1
23
2
c
m673,2
m10x963,1.K.m/W280
m157,0.K.m/W25
kA
hP
m 


 
K105C105C15C120TTbb  

 
W3,154m10x963,1.
K.m
W
280.m157,0.
K.m
W
25.K105hPkAM 23
2cb
 
 
A taxa total de transferência de calor pela aleta é dada por 
W3,154Mqf 
 
A eficiência da aleta pode ser calculada por 
bs
f
max
f
f
hA
q
q
q
η


 
K105.L.157,0.K.m/W25
3,154
80,0
2

 
m467,0L 
 ◄ 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 169 
Em geral, não são encontrados sistemas com uma única aleta. São colocadas diversas aletas 
em uma superfície, com o objetivo de se retirar uma quantidade maior de calor. A taxa total 
de calor perdida pelo conjunto superfície + aletas é dada pela soma das taxas de calor 
individuais. Considerando-se que todas as aletas do conjunto são iguais e que a presença de 
umaaleta não interfere na taxa de calor dissipada por outra aleta, a taxa total de calor é dada 
por 
bbft hANqq 
 
onde 
N = número total de aletas 
qf = taxa de calor perdida por uma aleta 
Ab = área da superfície exposta – área da base das aletas 
A eficiência da aleta f caracteriza o desempenho de uma única aleta. A eficiência global da 
superfície o caracteriza o desempenho de um conjunto de aletas e da superfície da base sobre 
a qual este conjunto está montado. Ela é definida como a razão entre a taxa de calor perdida 
pelo conjunto e a taxa máxima de calor que poderia ser perdida pelo conjunto, 
bt
t
max
t
o
hA
q
q
q
η


 
onde 
At = área total exposta 
sbt NAAA 
 
A eficiência do conjunto pode ser dada também em função da eficiência de uma única aleta. 
Se f é a eficiência de uma aleta, a taxa total de calor pode ser dada por 
 
bbbsft hAhAN q 
 
ou 
    bf
t
s
tbstsft 1
A
NA
1hA)NAA(ANh q 






 
Assim, 
)1(
A
NA
1 f
t
s
o 
 
 
Exemplo 11 – Conjunto de aletas 
Considere uma superfície quadrada, de lado l = 25 cm, em contato com dois fluidos 
diferentes, como mostrado na figura. O lado interno é aquecido pela passagem do fluido 1, 
com coeficiente convectivo h1 = 50W/m
2
.K, que mantém a superfície da placa a uma 
temperatura constante de 100
o
C. Pelo lado externo, aletado, passa um fluido frio (fluido 2), a 
uma temperatura de 20
o
C, proporcionando um coeficiente convectivo igual a 10W/m
2
.K. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 170 
Foram dispostas 16 aletas circulares, de 2 cm de diâmetro e 17 cm de comprimento cada, 
igualmente distribuídas pela placa. As aletas, de cobre, foram isoladas na ponta. Considerando 
que a temperatura externa da placa é igual à temperatura de sua superfície interna, determine: 
a) A taxa de calor dissipada por uma aleta; 
b) A taxa de calor dissipada pelo conjunto superfície + aletas; 
c) A temperatura do fluido quente, considerando que todo o calor fornecido pelo fluido quente 
seja dissipado para o fluido frio. 
 
a) Para o cálculo da taxa dissipada por uma aleta, devem ser calculados os parâmetros 
m0628,0m02,0dP 
 
  24
22
c m10x142,3
4
m02,0
4
d
A 




 
Da Tabela A.6, k = 401 W/m.K 
1
24
2
c
2 m233,2
m10x142,3.K.m/W401
m0628,0.K.m/W10
kA
Ph
m 


 
K80C80C20C100TT 2bb  

 
W50,22m10x142,3.
K.m
W
401.m0628,0.
K.m
W
10.K80PkAhM 24
2c2b
 
 
A taxa total de transferência de calor pela aleta é dada por 
)m17,0.m233,2(tgh.W50,22)mL(tgh.Mq 1f

 
W157,8qf 
 ◄ 
b) A taxa total de calor dissipada é dada pela soma da taxa de calor dissipada pelas aletas e pela taxa 
de calor dissipada pela base, 
 2bb2fbft TTAhq.16qq.16q 
 
onde 
  2242c
2
b m0575,0m10x142,3.16m25,0NAlA 

 
Assim, 
 C20C100m0575,0
K.m
W
10W157,8.16q 2
2t
 
 
W5,176q t 
 ◄ 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 171 
c) Considerando que toda a taxa de calor fornecida pelo fluido quente é dissipada pelo conjunto 
superfície + aletas, pode-se dizer que 
 b1t1t TTAhq  
 
 b1
2
1t TTlhq  
 
   C100Tm25,050W5,176 12  
 
C5,156T 1

 ◄ 
 
FUNDAMENTOS DA CONVECÇÃO 
Considere um fluido qualquer, escoando com velocidade u e temperatura T sobre uma 
superfície de forma arbitrária e área superficial A, como mostrado na Fig. 27. 
 
Figura 27 – Transferência Convectiva de Calor 
 
A Camada Limite Fluidodinâmica 
Quando as partículas do fluido entram em contato com a superfície, elas passam a ter 
velocidade nula (condição de não deslizamento). Estas partículas atuam no retardamento do 
movimento das partículas da camada de fluido adjacente que, por sua vez, atuam no 
retardamento do movimento das partículas da próxima camada e assim sucessivamente, até 
uma distância 
y
, onde o efeito de retardamento se torna desprezível (Fig. 28). A 
velocidade u aumenta até atingir o valor da corrente livre, u. A grandeza  é conhecida como 
espessura da camada limite e é, usualmente, definida como o valor de y para o qual 
 u99,0u
. 
Como pode ser visto na figura, a espessura da camada limite depende da posição x. 
 
Figura 28 – A Camada Limite Fluidodinâmica 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 172 
A Camada Limite Térmica 
Da mesma forma que há a formação de uma camada limite fluidodinâmica no escoamento de 
um fluido sobre uma superfície, uma camada limite térmica deve se desenvolver se houver 
uma diferença entre as temperaturas do fluido na corrente livre e na superfície. Considere o 
escoamento sobre uma placa plana isotérmica mostrada na Fig. 29. 
 
Figura 29 – A Camada Limite Térmica (TS > T) 
No início da placa (x = 0), o perfil de temperaturas no fluido é uniforme, com 
T)y(T
. No 
entanto, as partículas do fluido que entram em contato com a placa atingem o equilíbrio 
térmico na temperatura superficial da placa, ou seja, 
ST)0,x(T 
. Por sua vez, estas partículas 
trocam energia com as partículas da camada de fluido adjacente, causando o desenvolvimento 
de gradientes de temperatura no fluido. A região do fluido onde existem estes gradientes é 
conhecida como camada limite térmica, e a sua espessura é definida como sendo o valor de y 
no qual 
99,0
TT
TT
s
s 



 
Com o aumento da distância x, os efeitos da transferência de calor penetram cada vez mais na 
corrente livre e a camada limite térmica aumenta. 
A Camada Limite de Concentração 
A camada limite de concentração determina a transferência de massa por convecção em uma 
parede. Se uma mistura de duas espécies químicas A e B escoa sobre uma superfície e a 
concentração da espécie A na superfície é diferente da concentração na corrente livre, uma 
camada limite de concentração irá se desenvolver. Ela é a região do fluido onde existem 
gradientes de concentração, sendo sua espessura definida como o valor de y no qual 
99,0
CC
CC
,AS,A
AS,A




 
O perfil de concentração na camada limite (Fig. 30) é similar ao perfil de temperatura na 
camada limite térmica. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 173 
 
Figura 30 – A Camada Limite de Concentração (CA,S > C A,) 
Em um escoamento sobre uma superfície com diferença de temperatura e concentração entre 
ambos, em geral, as camadas limite fluidodinâmica, térmica e de concentração não se 
desenvolvem simultaneamente, ou seja, não possuem a mesma espessura 
 ct  
. 
O objetivo da definição das camadas limite é a simplificação das equações que governam o 
escoamento. No interior da camada limite fluidodinâmica, 
x
v
,
y
v
,
x
u
y
u
vu










 
No interior da camada limite térmica, 
x
T
y
T





 
Desta maneira, as equações podem ser simplificadas e a solução do problema se torna mais 
fácil. 
Determinação da taxa de calor 
Considere novamente o escoamento de um fluido sobre uma superfície de forma arbitrária e 
área superficial A, como mostrado na Fig. 27. Se a temperatura da superfície for superior à 
temperatura do fluido, haverá uma transferência de calor por convecção da superfície para o 
fluido. O fluxo térmico local é dado pela lei de resfriamento de Newton 
  TTh"q Sonde h é o coeficiente local de transferência de calor por convecção. 
Como as condições variam de ponto para ponto, q” e h irão variar ao longo da superfície. A 
taxa total de transferência de calor é obtida integrando-se o fluxo ao longo da superfície 
  SSS dATThdA"qq  
 
Considerando-se que as temperaturas da superfície e do fluido sejam constantes e iguais, 
respectivamente, a TS e T, a taxa de calor pode ser dada por: 
  SS hdATTq
 
Pode-se definir um coeficiente médio de transferência de calor por convecção 
h
para toda a 
superfície, de maneira a representar toda a transferência de calor 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 174 
  TTAhq SS
 
Igualando-se as expressões para a taxa de calor, os coeficientes local e médio podem ser 
relacionados por 

SA
S
S
hdA
A
1
h
 
Para uma placa plana de comprimento L e largura b (Fig. 31), 
 
Figura 31 – Escoamento sobre uma Placa Pana 
  bxxAS 
 

SA
hbdx
bL
1
h
 

L
0
hdx
L
1
h
 
De maneira análoga, se um fluido com concentração molar de um componente A igual a CA, 
escoa sobre uma superfície cuja concentração molar de A é mantida em um valor uniforme 
CA,S  CA,, haverá transferência do componente A por convecção. A taxa e o fluxo de 
transferência de massa podem ser calculados através de um coeficiente local hm. 
Se CA,S > CA,, 
  ,AS,AmA CCh"N
 
onde N”A: fluxo molar da espécie A (kmol/s.m
2
) 
 hm: coeficiente local de transferência de massa por convecção (m/s) 
 CA,S: concentração molar de A na superfície (kmol/m
3
) 
 CA,: concentração molar de A no fluido (kmol/m
3
) 
A taxa total de transferência de massa em base molar pode ser escrita na forma 
  ,AS,ASmA CCAhN
 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 175 
onde 
mh
: coeficiente global de transferência de massa por convecção (m/s) 
De modo análogo à transferência de calor, o coeficiente médio é relacionado ao coeficiente 
local por 

SdA
Sm
S
m dAh
A
1
h
 
A transferência de uma espécie química também pode ser expressa em termos da massa, 
através do fluxo mássico n”A (kg/s.m
2
) ou da taxa de transferência de massa nA (kg/s). 
Multiplicando-se a equação para o fluxo molar pela massa molecular de A, 
  ,AS,AmA h"n
 
  ,AS,ASmA Ahn
 
onde A,S: densidade mássica (concentração) de A na superfície (kg/m
3
) 
A,∞: densidade mássica (concentração) de A no fluido (kg/m
3
) 
 
A densidade mássica e a concentração molar da espécie A estão relacionadas pela expressão: 
AA CMM .
 
MM é a massa molecular do fluido. 
 
Parâmetros Adimensionais 
Os problemas de convecção consistem, basicamente, na determinação dos coeficientes de 
convecção. Com eles, pode-se então determinar as taxas de transferência de calor. Em geral, 
são obtidas equações empíricas em função de parâmetros adimensionais e, através de sua 
definição, calculam-se os coeficientes convectivos. Estas correlações dependem da geometria 
do escoamento (escoamento interno ou externo, sobre placa plana, no interior de um tubo, 
etc.), do regime do escoamento (laminar ou turbulento), se a convecção é natural ou forçada, 
etc. Os parâmetros adimensionais mais importantes na análise da convecção são listados a 
seguir. Deve-se observar que alguns parâmetros são definidos em função de um comprimento 
característico x. Para o escoamento sobre uma placa plana, o comprimento característico é a 
distância x a partir da origem. 
 Número de Reynolds 



ux
Rex
 
 Número de Nusselt 
k
hx
Nux 
 
 Número de Prandtl 
k
pC
Pr





 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 176 
 
 Número de Sherwood 
AB
m
x
D
xh
Sh 
 
 Número de Schmidt 
ABD
Sc


 
onde DAB é a difusividade de massa (m
2
/s) 
Os valores das propriedades da água e do ar, necessárias para se determinar os adimensionais 
anteriores, encontram-se nas Tabelas A.2 e A.3, para diferentes temperaturas. A difusividade 
de massa é dada na Tabela A.7. 
A transição para a turbulência, no interior de tubos, ocorre para números de Reynolds de 
aproximadamente 2300. Para o escoamento sobre uma placa plana, esta transição ocorre para 
Re = 5x10
5
, ou seja, o número do Reynolds crítico (ou de transição) é dado por 
5c
c,x 10x5
xu
Re 


 
 
onde u é a velocidade da corrente livre. 
Para escoamento laminar (Rex < 5x10
5
), a espessura da camada limite fluidodinâmica, na 
forma adimensional, é 
x
lam
Re
5
x


 
A espessura da camada limite térmica é dada por 
3/1
t
Pr


 
A espessura da camada limite de concentração é dada por 
3/1
c
Sc


 
O número de Nusselt local é dado por 
3/12/1
x
x
x PrRe332,0
k
xh
Nu 
, válida para 
6,0Pr 
 
O número de Sherwood local é dado por 
3/12/1
x
AB
mx
x ScRe332,0
D
xh
Sh 
, válida para 
6,0Sc 
 
Para escoamento turbulento (Rex > 5x10
5
) , a espessura da camada limite fluidodinâmica, na 
forma adimensional, é 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 177 
5/1
5/1
5/1
x
turb x
u
37,0Re37,0
x












 
Quando as camadas limite laminar e turbulenta são comparadas, percebe-se que a turbulenta 
cresce muito mais rápido, já que sua espessura varia com x
4/5
, enquanto no escoamento 
laminar, a espessura varia com x
1/2
. 
Para escoamentos turbulentos, todas as camadas limite apresentam aproximadamente a 
mesma espessura. 
ct 
 
O número de Nusselt local é dado por 
3/15/4
xx PrRe0296,0Nu 
, válida para 
60Pr6,0 
 
O número de Sherwood local é dado por 
3/15/4
xx ScRe0296,0Sh 
, válida para 
3000Sc6,0 
 
Uma vez que a temperatura do fluido varia ao longo do comprimento (camada limite térmica), 
as propriedades do fluido sofrem variações que podem ser significativas ao longo do 
comprimento da placa. Esta variação pode influenciar a taxa de transferência de calor. Esta 
influência pode ser tratada se as propriedades do fluido forem avaliadas na temperatura média 
da camada limite Tf, conhecida por temperatura do filme, definida por: 
2
TT
T Sf

 
Exemplo 12 – Escoamento laminar 
Ar a 20
o
C escoa sobre uma superfície plana, de 2 m de comprimento e 10 cm de largura, 
mantida a 60
o
C. A velocidade da corrente livre é igual a 1 m/s. Determine: a) o coeficiente 
convectivo global e b) as espessuras das camadas limite fluidodinâmica e térmica na posição 
x = 1 m. 
a) 
Em primeiro lugar, deve-se calcular a temperatura do filme, ou seja, a temperatura média da camada 
limite, na qual serão avaliadas as propriedades do ar. 
C40
2
C60C20
2
TT
T Sf






 
 
As propriedades do ar a 40C se encontram na Tabela A.3. 
Como as equações para o cálculo do coeficiente convectivo e das espessuras das camadas limite 
dependem do regime de escoamento, deve-se, em primeiro lugar, calcular o número de Reynolds para 
determinar se o escoamento é laminar ou turbulento. O número de Reynolds para uma posição x 
qualquer é dado por 
x52135
s.m/kg10x005,2
x.s/m1.m/kg0453,1xu
Re
5
3
x 





 
Como se deseja calcular o coeficiente convectivo global sobre a placa, é necessário saber o número de 
Reynolds na posição x = L = 2 m. Assim, 
5
m2x 10x04,12.52135Re 
 
Fenômenos de Transporte– 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 178 
Como Re < 5x10
5
, o escoamento é laminar. 
O coeficiente global de transferência de calor por convecção é dado por 
 

L
0
hdx
L
1
h
 
onde h é o coeficiente local de transferência de calor por convecção, obtido através do adimensional de 
Nusselt para escoamento laminar, 
3/12/1
x
x
x PrRe332,0
k
xh
Nu 
 
   
2/1
3/12/13/12/1
x
x
934,1
x
K.m/W0287,0
703,0x52135332,0
x
k
PrRe332,0h 
 
Assim, 
2
0
2/12
0
2/1
2/1
x
934,1
2
1
dxx934,1
2
1
h  

 
K.m
W
736,2h
2

 ◄ 
b) A espessura da camada limite fluidodinâmica, para escoamento laminar, é dada por 
xRe
x5

 
Para a posição x = 1 m, Re = 52135 
52135
m1.5

 
m0219,0
 ◄ 
A espessura da camada limite térmica é dada por 
3/1
t
Pr


 
ou 
  3/13/1t 703,0
m0219,0
Pr



 
m0246,0
 ◄ 
 
Exemplo 13 – Escoamento turbulento 
Água a 10
o
C escoa a 1m/s sobre uma superfície lisa, de 4 m de comprimento e 20 cm de 
largura, mantida a 100
o
C. Determine o coeficiente global de transferência de calor entre a 
placa e o escoamento e a taxa total de calor transferida da placa para a água. 
Em primeiro lugar, deve-se calcular a temperatura do filme, ou seja, a temperatura média da camada 
limite, na qual serão avaliadas as propriedades do ar. 
C55
2
C100C10
2
TT
T Sf






 
 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 179 
As propriedades da água, a 55C, podem ser interpolados a partir dos valores encontrados na Tabela 
A.2. 
O número de Reynolds para uma posição x qualquer é dado por 
x.10x955,1
s.m/kg10x04,5
x.s/m1.m/kg5,985xu
Re 6
4
3
x 





 
O número de Reynolds na posição x = L é 
56
m4x 10x2,784.10x955,1Re 
 
Como Re > 5x10
5
, o escoamento é turbulento no final da placa. Considerando-se que a transição de 
escoamento laminar para turbulento ocorre para Re = 5x10
5
, a posição da placa em que o escoamento 
se torna turbulento pode ser calculado por 
m256,0xx10x955,110x5
xu
Re cc
65c
c,x 


 
 
O coeficiente global de transferência de calor por convecção é dado por 

L
0
hdx
L
1
h
 
onde h é o coeficiente local de transferência de calor por convecção. No entanto, como no início da 
placa o escoamento é laminar, o cálculo do coeficiente global deve ser feito através da seguinte 
expressão 








 
L
x
turb
x
0
lam
c
c
dxhdxh
L
1
h
 
onde 
 
x
k
Prx10x955,1332,0
x
k
PrRe332,0
x
kNu
h 3/1
2/163/12/1
x
lam
lam 
 
    2/13/12/16lam x23,444
x
K.m/W648,0
22,3x10x955,1332,0h 
 
    5/13/15/463/15/4xturbturb x86,3055
x
K.m/W648,0
22,3x10x955,10296,0
x
k
PrRe0296,0
x
kNu
h 
 
Assim, 








 

4
256,0
5/1
256,0
0
2/1 dxx86,3055dxx23,444
4
1
h
 
K.m
W
44,2686h
2

 ◄ 
A taxa total de calor é dada por 
    C10C100.m2,0.m4.
K.m
W
44,2686TTAhq
2s
  
 
kW4,193q 
 ◄ 
Deve-se ressaltar que, se o coeficiente global fosse obtido pela integração do coeficiente local turbulento ao 
longo de toda a placa, o erro na taxa de calor seria de aproximadamente 8%. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 180 
LISTA DE EXERCÍCIOS – TRANSFERÊNCIA DE CALOR 
 
1) 
a) Identifique os processos de transferência de calor que determinam a temperatura de 
um pavimento de asfalto em um dia de verão. 
b) Uma tela para lareiras com lâmina dupla de vidro é colocada entre uma lareira a lenha 
e o interior de uma sala. A tela consiste em duas lâminas verticais de vidro que estão 
separadas por um espaço através do qual o ar ambiente pode fluir (o espaço está aberto 
no topo e no fundo). Identifique os processos de transferência de calor associados a 
esta tela de lareira. 
2) Uma parede de concreto, com área superficial de 20 m2 e espessura de 0,25 m, separa uma 
sala com ar condicionado do ar ambiente. A superfície interna da parede é mantida a 25
o
C 
e a condutividade térmica do concreto é 1 W/mK. Determine a taxa de calor perdida 
através da parede para as temperaturas da superfície externa de -15
o
C e 38
o
C, que 
correspondem aos extremos atingidos no inverno e no verão. Comente os resultados. 
 
Exercício 2 
3) A parede de um forno industrial é construída em tijolo refratário com espessura de 0,15 m 
e condutividade térmica de 1,7 W/(m.K). Medições efetuadas durante a operação em 
regime permanente revelaram temperaturas de 1400 K e 1150 K nas superfícies interna e 
externa da parede do forno, respectivamente. Qual a taxa de calor perdida através de uma 
parede com dimensões 0,5 m x 3,0 m? 
4) Um aquecedor elétrico encontra-se no interior de um cilindro longo de diâmetro igual a 30 
mm. Quando água, a uma temperatura de 25
o
C e velocidade de 1 m/s, escoa 
perpendicularmente ao cilindro, a potência por unidade de comprimento necessária para 
manter a superfície do cilindro a uma temperatura uniforme de 90
o
C é de 28 kW/m. 
Quando ar, também a 25
o
C, mas a uma velocidade de 10 m/s está escoando, a potência 
necessária para manter a mesma temperatura superficial é de 400 W/m. Calcule e compare 
os coeficientes de transferência de calor por convecção para os escoamentos da água e do 
ar. 
5) Uma superfície com área de 0,5 m2, emissividade igual a 0,8 e temperatura de 150oC é 
colocada no interior de uma grande câmara de vácuo cujas paredes são mantidas a 25
o
C. 
Qual a taxa de emissão de radiação pela superfície? Qual a taxa radiante líquida trocada 
entre a superfície e as paredes da câmara? 
6) Uma tubulação de vapor sem isolamento térmico passa através de uma sala onde o ar e as 
paredes se encontram a 25ºC. Considere que o coeficiente associado à transferência de 
calor por convecção é de 15 W/m².K. O diâmetro externo do tubo é de 70 mm, a 
temperatura de sua superfície é de 200ºC e a sua emissividade é 0,8. Para um 
comprimento de tubo de 5 m, determine a taxa de emissão de radiação pela superfície e a 
taxa total de calor perdida pela superfície. 
7) Um circuito integrado quadrado com lado w = 5 mm opera em condições isotérmicas. O 
chip está alojado no interior de um substrato de modo que suas superfícies laterais e 
inferior estão bem isoladas termicamente, enquanto sua superfície superior encontra-se 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 181 
exposta ao escoamento de uma substância refrigerante a temperatura de 15
o
C. A partir de 
testes de controle de qualidade, sabe-se que a temperatura do chip não deve exceder a 
85
o
C. a) Se a substância refrigerante é o ar, com coeficiente de transferência de calor por 
convecção correspondente de 200 W/m
2
K, qual a potência máxima que pode ser dissipada 
pelo chip? b) Se a transferência líquida de calor por radiação da superfície do chip para a 
vizinhança também for considerada, qual o aumento na potência máxima que pode ser 
dissipada pelo chip? A emissividade da superfície do chip é 0,9. 
8) Um calefator elétrico tem a forma de um cilindro, com comprimento L = 200 mm e 
diâmetro externo D = 200 mm. Nas condições normais de operação, o calefator dissipa 2 
kW, imerso em uma corrente de água a 20
o
C, que proporciona um coeficiente de 
transferência convectiva de calor h = 5.000W/m².K. Calcule a temperatura da superfície 
do calefator, Ts, desprezando a transferência de calor pelas suas extremidades. Num certo 
instante, o fluxo de água é suspenso e o calefator continua a operar com a superfície 
exposta ao ar, que também está a 20
o
C, mas que tem h = 50 W/m².K. Qual será então a 
temperatura da superfície do calefator? Quais são as conseqüências da interrupção do 
fluxo de água? 
9) As temperaturas das superfícies interna e externa de um vidro de janela são 20oC e –12oC, 
respectivamente. Se o vidro tem 80cm por 40cm, espessura de 1,6cm e condutividade 
térmica k = 0,78 W/(mK), determine: a) a taxa de transferência de calor através do vidro 
da janela e b) a perda de calor através do vidro durante três horas. 
10) Considere uma placa de espessura L = 1,0m e condutividade térmica k = 20 W/mK, sem 
geração interna de calor. A superfície em x = 0 está mantida na temperatura uniforme T1 e 
a superfície em x = L, na temperatura uniforme T2. Calcule o fluxo de calor através da 
placa, em condições estacionárias, em cada um dos seguintes casos: 
T1 (
o
C) 100 -20 -40 
T2 (
o
C) 0 40 -10 
11) A distribuição permanente de temperatura, numa parede unidimensional de condutividade 
térmica k e espessura L, tem a forma 
dcxbxaxT  23
. Obtenha a expressão para a 
taxa de geração de calor por unidade de volume da parede e os fluxos de calor nas duas 
faces da parede (x = 0 e x = L). 
12) A distribuição permanente de temperatura em uma parede com 0,3 m de espessura é dada 
por 
2cxbxa)x(T 
, onde T é dado em K e x em metros, 
K400a 
, 
m/K400b 
 e 
2m/K300c 
. A parede possui uma condutividade térmica de 1,2 W/m.K e uma área de 
2 m
2
. 
a) Determine a taxa de transferência de calor em x = 0 e em x = L; 
b) Se a superfície externa (x = L) está exposta a um fluido a 100C, qual o coeficiente de 
transferência de calor por convecção entre esta superfície e o fluido? 
13) A taxa de calor em uma parede plana, de condutividade térmica k = 12 W/m.K, é dada 
pela expressão 
2400360012000 2  xxq
, onde x é dado em m e a taxa de calor em W. 
A área transversal da parede é de 4 m
2
 e a sua espessura L é de 50 cm. Sabendo que a 
temperatura da superfície externa (x = L) é de 450 K, determine: 
a) A temperaturas da superfície interna da parede (x = 0); 
b) Uma expressão para a taxa de geração de energia por unidade de volume. 
14) No interior de uma parede plana com espessura L = 20 cm e condutividade térmica k igual 
a 50 W/m.K, ocorre uma geração interna de 20 kW/m
3
. Se as temperaturas das faces 
interna (x = 0) e externa (x = L) são mantidas em, respectivamente, 290 K e 325 K, 
obtenha uma expressão para a distribuição de temperaturas no interior da parede. 
15) Em uma parede com 0,5 m de espessura e 10 m2 de área, há uma geração uniforme de 
calor, 
q
= 10.000 W/m
3
. A temperatura interna da parede (x = 0) é 100
o
C e a externa (x = 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 182 
0,5m), 250
o
C. Considerando condições de regime permanente, obtenha a equação da 
distribuição de temperatura ao longo da espessura da parede e o fluxo de calor nas 
posições x = 0 e x = 0,5 m. Considere a condutividade térmica da parede k = 20W/mK. 
16) Em uma parede plana com 5 cm de espessura e condutividade térmica de 20 W/m.K, há 
uma geração interna de calor uniforme 
3m/W1000q 
. A temperatura interna da 
superfície (x = 0) é mantida em 300 K, enquanto a temperatura da superfície externa é 
mantida em 380 K. 
a) Determine a distribuição de temperaturas no interior da parede; 
b) Determine o fluxo de calor na superfície externa. 
17) Em uma parede plana de tijolo com 20 cm de espessura e área de seção transversal de 4 
m
2
, há uma geração não uniforme de calor, dada por 
 3m/Wemqbaxq  
, onde 
4m/W5000a 
 e 3/800 mWb  . A superfície em x = 0 está exposta a um fluido 
quente, mantendo sua temperatura constante em 450 K. A superfície em x = L está a 
temperatura ambiente, T = 300 K. Obtenha uma expressão para a distribuição de 
temperaturas ao longo de x e uma expressão para a taxa de calor ao longo de x. 
18) Uma parede plana, de espessura L = 0,15 m e área de 3 m2, tem suas faces mantidas em 
temperaturas constantes T(x = 0) = 300 K e T(x = L) = 400 K. Há uma geração interna de 
calor no interior da parede, dada por 
400000.30  xq
(W/m
3
). Se a condutividade 
térmica do material da parede é constante e igual a 20 W/(m.K), determine a distribuição 
de temperaturas no interior da parede e o fluxo de calor em x = 0. 
19) A taxa de calor em uma parede de condutividade térmica k = 0,75 W/m.K tem a forma 
cbxaxq  2
, onde 
2/ 1000 mWa 
, 
mWb / 500
 e 
Wc 50
. A parede tem 
uma área transversal A = 2 m
2
 e uma espessura L = 0,2 m. Se a temperatura da superfície 
interna da parede (x = 0) é igual a 20C, determine a temperatura da superfície externa (x 
= L) e os fluxos de calor nas posições x = 0 e x = L. Considere a condução unidimensional 
em regime permanente. 
20) A taxa de calor em uma parede plana de condutividade térmica de 0,35 W/m.K, com 2 m2 
de área transversal e 0,15 m de espessura tem a forma cbxaxxq  23)( , onde 
3/00015 mWa  , 2/2000 mWb  e Wc 150 . A temperatura da superfície interna 
(x = 0) é 400K. Determine a temperatura da superfície externa (x = L). 
21) Uma parede plana de 50 cm de espessura e condutividade térmica de 50 W/(m.K) tem sua 
face interna mantida em uma temperatura constante de 300 K e sua face externa, em 360 
K. No interior da parede há uma geração interna de calor dada por 
5000x000.50q 
, 
onde 
q
 é dado em W/m
3
. 
a) Obtenha a distribuição de temperaturas no interior da parede; 
b) Sobre a superfície externa, escoa ar a 230C. Determine o coeficiente de troca de calor 
por convecção entre a superfície e o ar. 
22) No interior de uma parede plana de espessura L = 0,5 m, há uma geração interna de calor 
dada por 
500x000.3q 2 
 (em W/m
3
, sendo x dado em m). A parede tem condutividade 
térmica constante e igual a 50 W/m.K). Na superfície interna (x = 0), a temperatura é 
mantida constante em 500 K. Na superfície externa (x = L), a temperatura é mantida em 
400 K. 
a) Obtenha o perfil de temperaturas no interior da parede. 
b) Determine o fluxo de calor em x = L/2. 
23) No interior de uma parede plana de espessura L = 0,5 m, há uma geração interna de calor 
uniforme de 3 kW/m
3
. A condutividade térmica do material da parede varia de acordo 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 183 
com 
bxa
c
k


, onde c = 40, a = 1, b = 1 e x é dado em m. A superfície interna da parede 
(x = 0) está em contato com um fluido aquecido, que mantém sua temperatura constante 
em 80˚C. A superfície externa (x = L) é mantida em 20˚C. 
a) Obtenha uma expressão para o perfil de temperaturas no interior da parede. 
b) Determine o fluxo de calor em x = L. Neste ponto, a parede está ganhando ou 
perdendo calor? Justifique. 
24) Uma parede plana, de espessura L = 0,15 m, tem suas superfícies mantidas em 
temperaturas constantes T (x = 0) = 300 K e T (x = L) = 400 K. Há uma geração uniforme 
de calor de 20.000 W/m
3
 no interior da parede. Devido à grande variação de temperatura 
entre as superfícies, a condutividade térmica do material varia de acordo com a equação 
bax
k


1
 , onde a e b são constantes (a = 3,33x10
-4
 K/W e b = 2,49x10
-3
 m.K/W). 
Obtenha uma expressão para a distribuição de temperaturas no interior da parede. 
25) A superfície interna (x = 0) de uma parede plana tem sua temperatura mantida constante 
em 300 K e a superfícieexterna (x = L), em 450 K. A condutividade térmica do material 
da parede varia de acordo com 
bax
c
k


, onde a = 12, b = -10 e c = -120. x é dado em m 
e k, em W/m.K. Considere B = 20 cm, H = 80 cm e L = 50 cm (veja figura). 
a) Determine a distribuição de temperaturas na parede 
b) Determine a taxa de calor em x = L/2. 
 
Exercício 25 
26) Um cilindro oco, de raio interno r1 = 0.8 m e raio externo r2 = 1.0 m, tem as suas paredes a 
temperaturas constantes Ts1 = 40
o
C e Ts2 = 85
o
C, respectivamente. Há uma geração 
interna de energia entre as paredes do cilindro, dada por 
q
= 2000r, onde r é o raio do 
cilindro em uma posição arbitrária. Considerando condução unidimensional em regime 
permanente e a condutividade térmica do material constante e igual a k = 10 W/mK, 
determine a distribuição de temperatura na parede do cilindro e o fluxo de calor nas 
posições r = 0,8 m e r = 1,0 m. 
27) Um cilindro oco de ferro, de raio interno r1 = 0,5 m e raio externo r2 = 1,0 m, tem as suas 
paredes mantidas a temperaturas constantes T(r1) = 450 K e T(r2) = 300K. Há uma 
geração interna de calor entre as paredes do cilindro, dada por rq /2000 , onde r é o 
raio do cilindro em uma posição arbitrária. Para condições de regime permanente, 
determine a temperatura e a taxa de calor por unidade de comprimento na posição r = 0,75 
m. 
28) Um cilindro oco de ferro, de 80 cm de raio interno (r1) e 1 m de raio externo (r2), tem 
suas paredes mantidas a temperaturas constantes T(r1) = 350K e T(r2) = 450 K. No 
interior das paredes do cilindro, há uma geração uniforme 
3/10 mkWq 
. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 184 
a) Obtenha uma equação para a distribuição de temperaturas no interior da parede. 
b) Determine a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento, em r = 0,8 m 
29) No interior de um cilindro oco de aço (k = 20 W/m.K), há uma geração interna de calor 
uniforme, dada por 
3m/kW5q 
. Na superfície interna (r1 = 0,5 m), a temperatura é 
mantida constante em 600K. Na superfície externa (r2 = 1,0 m), a temperatura é mantida 
constante em 400 K. 
a) Obtenha o perfil de temperaturas no interior da parede. 
b) Determine a taxa de calor (por unidade de comprimento) em r = r2. O calor está sendo 
transferido do cilindro para o ambiente ou do ambiente para o cilindro? Justifique. 
30) No interior de um cilindro oco há uma geração interna uniforme de calor dada por 
3m/W3000q 
. O cilindro tem sua parede interna (r = r1 = 50 cm) mantida em uma 
temperatura de 400 K pela passagem de um fluido aquecido. A parede externa (r = r2 = 
100 cm) é mantida em 300 K. A condutividade térmica do material do tubo pode ser 
assumida constante e igual a 20 W/m.K. Considere condições de regime permanente. 
a) Obtenha uma expressão para a distribuição de temperaturas no interior do tubo; 
b) Determine o fluxo de calor na superfície interna do tubo; 
c) Sabendo que o fluido escoa no interior do tubo a uma temperatura de 450 K, 
determine o valor do coeficiente convectivo associado à transferência de calor entre o 
fluido e a superfície interna do tubo. Despreze efeitos de radiação 
31) Uma casca esférica, de raio interno r1 = 1,0 m e raio externo r2 = 1,2 m, tem suas paredes 
mantidas em temperaturas constantes T(r1) = 300 K e T(r2) = 450 K. Há uma geração 
interna de calor entre as suas paredes, dada por 
22000 r/q 
, onde r é o raio da casca em 
uma posição arbitrária e 
q
 é dado em W/m
3
. A condutividade térmica do material da 
casca pode ser modelada por 
2r/50k 
, onde k é dada em W/(m.K). 
a) Para condições de regime permanente e condução unidimensional, obtenha uma 
expressão para a distribuição de temperaturas ao longo da parede. 
b) Obtenha a taxa de calor na posição r = 1,2 m. 
32) Uma esfera oca, de raio interno r1 e raio externo r2, tem as suas paredes mantidas em 
temperaturas T(r1) = Ts1 e T(r2) = Ts2. 
a) Para condições de regime permanente, condução unidimensional e ausência de 
geração interna, obtenha uma expressão para a distribuição de temperaturas ao longo 
da parede, a partir da equação da difusão de calor. 
b) Obtenha uma expressão para a taxa de calor conduzida através da parede. 
c) Sabendo que a resistência térmica à condução é dada por R = T/q, determine a 
resistência à condução para esta situação. 
33) Uma casca esférica de alumínio possui uma geração interna de calor 
3W/m5000q
. A 
temperatura no raio interno r1 = 0,2 m é de 200 K e a temperatura na posição 
correspondente ao raio externo r2 = 0,5 m, é de 250 K. Determine a distribuição de 
temperaturas ao longo do raio r e a temperatura e o fluxo de calor na posição radial r = 
0,35 m. 
34) Uma casca esférica de alumínio possui uma geração interna dada por 
22000 r/q 
, onde 
r é o raio da casca em uma posição arbitrária. No raio interno da casca (r1 = 0,6 m), a 
temperatura é de 500 K. No raio externo, r2 = 1,0 m, a temperatura é de 300K. 
a) Para condições de regime permanente e condução unidimensional, obtenha uma 
expressão para a distribuição de temperaturas ao longo da parede. 
b) Obtenha a taxa de calor na posição r = 1,0 m. 
35) A distribuição de temperaturas em uma esfera é dada por 
 rrrT ln67002200475 23 
. Determine a taxa de geração de energia por unidade 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 185 
de volume em uma posição radial arbitrária r. Calcule ainda a taxa de calor em r = 1 m, se 
a condutividade térmica do material da esfera é k = 50 W/m.K. 
36) Uma mistura quimicamente reativa é armazenada no interior de um recipiente esférico, de 
raio interno r1 = 200 mm, raio externo r2 = 220 mm e feito de um material com 
condutividade térmica igual a 0,05 W/m.K. A reação exotérmica gera uma taxa uniforme 
de calor, 
34000W/mq 
. As temperaturas interna e externa do reator são mantidas, 
respectivamente, em 95
o
C e 40
o
C. Considerando condução unidimensional de calor em 
regime permanente no interior do recipiente, determine a distribuição de temperaturas no 
interior do reator. 
37) Uma parede plana é um compósito de materiais, A e B, de condutividades térmicas 75 
W/(m.K) e 150 W/(m.K), respectivamente e de 50 mm de espessura cada. A parede feita 
do material A possui uma geração uniforme de energia dada por 
361051 m/Wx,q 
. 
a) Sabendo que as faces da parede constituída pelo material A possuem temperaturas T1 
= 415 K e T2 = 390 K, obtenha uma expressão para a distribuição de temperaturas ao 
longo da parede. 
b) Obtenha o fluxo de calor na posição x = LA (ou seja, na interface entre as duas 
paredes). 
c) Considerando que não existe geração interna na parede feita pelo material B, 
determine a temperatura do fluido de resfriamento T, para um coeficiente convectivo 
de 1000 W/(m
2
.K). 
 
Exercício 37 
38) Um chip de silício é encapsulado de tal modo que, sob condições de regime permanente, 
toda a potência por ele dissipada é transferida por convecção para uma corrente de fluido, 
com coeficiente convectivo de 10000 W/m
2
.K e temperatura de 25C. O chip está 
separado do fluido por uma placa de alumínio com 4 mm de espessura. Se a área da 
superfície do chip é de 100 mm
2
 e sua temperatura máxima permissível é de 85C, qual é 
a máxima potência que pode ser dissipada pelo chip? 
39) As paredes de um refrigerador são normalmente construídas encaixando-se uma camada 
de isolante entre painéis metálicos. Considere uma parede construída com isolante de fibra 
de vidro com condutividade térmica 0,046 W/m.K e espessura de 50 mm e com painéis de 
aço, com condutividade de 60 W/m.K e 3 mm de espessura. Se a parede separa o ar 
refrigeradoa 4C do ar ambiente a 25C, qual é o fluxo de calor transferido? Os 
coeficientes associados à convecção natural nas superfícies interna e externa podem ser 
aproximados por hi = ho = 5 W/m
2
.K. 
40) Uma casa tem uma parede composta de madeira, isolamento de fibra de vidro e gesso, 
conforme a figura. Num dia frio de inverno, o coeficiente de transferência convectiva de 
calor é hi = 60 W/m
2
K no interior e ho = 30 W/m
2
K no exterior. A área superficial total da 
parede é 350 m
2
. Se a temperatura no interior da parede é T i = 20
o
C, a temperatura 
ambiente externa é T o = -15
o
C,as espessuras das camadas de gesso, fibra e madeira são, 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 186 
respectivamente, Lg = 10 mm, Lf = 100 mm, Lm = 20 mm, e as condutividades térmicas do 
gesso, da fibra de vidro e da madeira são, respectivamente, kg = 0,17 W/mK, kf = 0,038 
W/mK e km = 0,16 W/mK, determine: 
a) a resistência térmica total do sistema, 
b) a taxa de calor perdida para o exterior. 
 
Exercício 40 
41) A face esquerda de uma placa plana de área transversal igual a 1,0 m2 e espessura igual a 
0,25 m, de aço inox 304 (emissividade 0,4), está exposta a um ambiente determinado por 
uma temperatura de 850C e coeficiente convectivo igual a 10 W/m2.K. A temperatura na 
face esquerda é igual a 630C. Determine a taxa de calor trocada e a temperatura na face 
direita da placa. 
42) Uma parede composta é constituída por uma placa de ferro de espessura L1 = 3 cm, por 
uma camada de compensado de madeira de espessura L2 = 0,5 cm e por um isolamento de 
espessura L3 = 4 cm e condutividade térmica k = 0,05 W/mK. a) Calcule o fluxo de calor 
através desta parede composta, com uma diferença de temperatura de 400
o
C entre as 
superfícies interna (ferro) e externa (isolamento). b)Se a diferença de temperatura entre a 
superfície externa e o ar for de 25
o
C, calcule o coeficiente convectivo de calor entre a 
parede externa e o ar. 
43) Uma parede plana de área 10 m2 separa dois ambientes. A superfície externa é mantida a 
80°C pela passagem de um fluido a 30°C, com coeficiente convectivo de 5 W/m
2
K. A 
parede é constituída por 3 materiais distintos: na superfície interna, aço (k = 15 W/mK e 
espessura de 15 cm), em seguida uma parede de vidro de 10 cm de espessura (k = 1,4 
W/mK) e um isolamento de fibra de vidro (k = 0,04 W/mK, emissividade 0,7 e 2 cm de 
espessura) na superfície externa Determine a temperatura na superfície interna. 
44) Um vidro duplo de janela é constituído por duas placas de vidro de 7 mm de espessura, 
com um espaço cheio de ar entre elas, com a espessura de 7 mm. A janela separa o ar 
ambiente interno, a 20
o
C, do ar do ambiente externo, a -10
o
C. O coeficiente convectivo 
associado à face interna (ambiente interno) é 10 W/m
2
K e o associado ao lado externo 
(ambiente externo) é 80 W/m
2
K. Pode-se admitir que o ar entre os vidros esteja parado. 
Considere kvidro = 1,4W/mK e kar = 0,0263W/mK. a) Qual é a perda de calor através da 
janela, com 0,8m de comprimento e 0,5m de largura? b) Calcule qual seria a taxa de calor 
se a janela fosse constituída por apenas uma folha de vidro com 7 mm de espessura. 
Comente o resultado. 
45) O vidro traseiro de um automóvel é desembaçado pela fixação de um aquecedor em 
película, fino e transparente, sobre sua superfície interna. O seu funcionamento fornece 
um fluxo de calor uniforme na superfície interna do vidro. Para um vidro com 6 mm de 
espessura e 2 m
2
 de área, determine: 
a) a potência elétrica necessária para manter a temperatura na superfície interna em 
15C, quando a temperatura do ar no interior do carro e o respectivo coeficiente 
convectivo são de 25C e 12 W/m2.K e a temperatura e o coeficiente no lado externo 
do carro são de -10C e 56 W/m2.K; 
b) a condutividade térmica do vidro do carro, desprezando a espessura do aquecedor. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 187 
46) Deve ser construída uma parede com 5 cm de espessura para separar dois ambientes. A 
temperatura do ambiente interno é igual a 100
o
C e o coeficiente de transferência de calor 
associado é igual a 25 W/m
2
K. No ambiente externo, passa um fluido a uma temperatura 
de 0
o
C, com um coeficiente convectivo de 60 W/m
2
K. Qual deve ser a condutividade 
térmica do material da parede para garantir que a parede, com 3,5 m
2
 de área, dissipe uma 
taxa de calor de 5 kW? 
47) Uma parede composta, de 2 m2 de área, é utilizada para separar dois ambientes. O 
ambiente interno é mantido a 25
o
C e o ambiente externo, a -15
o
C. Os materiais A e B 
possuem condutividades térmicas de, respectivamente, 0,17 W/m.K e 0,1 W/m.K. A 
espessura do material A é de 10 mm. Os coeficientes convectivos interno e externo são 
iguais a 50 W/m
2
.K e 25 W/m
2
.K e a temperatura da superfície interna é mantida em 
20
o
C. Desprezando efeitos de radiação, determine: 
a) A taxa de calor trocada e 
b) A espessura do material B 
 
Exercício 47 
48) Um aparelho de ar condicionado é programado para manter a temperatura no interior de 
um recinto fixa em 20
o
C. Se a temperatura do ambiente externo é de –5oC, calcule a taxa 
de calor transferida do ambiente interno para o externo nas situações a seguir: a) A parede 
é constituída apenas por uma camada de tijolo comum com 10cm de espessura. b) A 
parede é constituída por uma camada de tijolo comum com 10 cm de espessura e por uma 
camada de gesso (k = 0,25 W/m.K) com 10 cm de espessura. Para ambos os casos, 
considere o coeficiente convectivo interno h1 = 15 W/m
2
.K e o coeficiente convectivo 
externo h2 = 20 W/m
2
.K. A área da parede é de 10m
2
. 
49) Um ambiente a 100C deve ser separado do ambiente externo a 20C por meio de uma 
parede composta formada por dois materiais. O material A tem 10 cm de espessura e 
condutividade térmica de 2,5 W/m.K. Sabendo que a espessura do material B é de 10 cm, 
determine a sua condutividade térmica, necessária para garantir que a temperatura da 
superfície externa (Ts3) seja de 50C. Os coeficientes convectivos associados aos 
escoamentos interno e externo são, respectivamente, 25 W/(m
2
.K) e 5 W/(m
2
.K). 
Despreze efeitos de radiação. 
 
Exercício 49 
50) Uma casa está exposta a um fluxo de calor uniforme devido à radiação solar de 100W/m2. 
Deseja-se manter a temperatura no interior da casa em um valor o mais baixo possível. 
Em uma dada face, tem-se a opção de utilizar uma parede de tijolo (k = 0,7 W/m.K) de 10 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 188 
cm de espessura ou uma placa de vidro pyrex de 6 mm de espessura. Se a temperatura na 
superfície externa da parede (vidro ou tijolo) é constante e igual a 50C, calcule a 
temperatura do ar no ambiente interno para cada uma das duas situações (parede de vidro 
ou parede de tijolo) e determine qual material irá permitir alcançar um menor valor de 
temperatura no ambiente interno. Considere que o coeficiente convectivo associado ao 
escoamento de ar no interior da casa é de 10 W/m
2
.K. 
51) Uma janela composta separa o interior uma residência do ambiente externo. O ar interno é 
mantido artificialmente a uma temperatura de 27C, enquanto o ambiente externo está a 
5C. Os coeficientes convectivos associados aos escoamentos interno e externo são de, 
respectivamente, 10 W/m
2
.K e 12,5 W/m
2
.K. A janela é composta por duas placas de 
vidro de condutividade térmica k = 1,4 W/(m.K), com espessura L cada, entre as quais 
existe um espaço de espessura L cheio de ar em repouso, com condutividade térmica k = 
0,025 W/(m.K). Se a janela possui umaárea de 2 m
2
, determine a espessura L necessária 
para que a temperatura da superfície interna seja de 22C. 
52) Considere uma parede composta de área transversal A = 2 m2, mantida entre dois fluidos a 
temperaturas constantes T∞1 = 80C e T∞2 = 10C e coeficientes convectivos h1 = 10 
W/m
2
.K e h2 = 20 W/m
2
.K, como mostrado na figura. Os materiais A, B, C e D possuem 
condutividades térmicas de 20 W/m.K, 30 W/m.K, 40 W/m.K e 100 W/m.K, 
respectivamente e espessuras LA = LB = LC = LD = 15 cm. A transferência de calor é 
bidimensional. Em algumas situações, o problema pode ser considerado unidimensional. 
Em uma primeira avaliação, considera-se que as superfícies perpendiculares a x são 
isotérmicas. Em uma segunda avaliação, considera-se que as superfícies paralelas a x são 
adiabáticas. Considerando-se o primeiro caso, desenhe o circuito térmico equivalente e 
determine a taxa de calor trocada entre os fluidos. Despreze a radiação. 
 
Exercício 52 
53) Em um processo de fabricação, uma fonte de energia radiante é utilizada para fornecer um 
fluxo de calor que é completamente absorvido pela superfície composta mostrada na 
figura, de área transversal de 2 m
2
. Os materiais que compõem a superfície possuem 
propriedades termofísicas 
37,0e8,0,K.m/W3k,K.m/W60k 2121 
 e 
espessuras L1 = 25 cm e L2 = 2 cm. A superfície externa do material 2 é mantida a uma 
temperatura constante TS3 = 200C, através da passagem de uma corrente de fluido de 
resfriamento com temperatura igual a 80
o
C e coeficiente convectivo de 50 W/m
2
.K. 
a) Desenhe o circuito térmico que representa a transferência de calor em regime 
permanente, indicando o sentido da transferência de calor e nomeando as temperaturas 
e resistências térmicas. 
b) Determine o fluxo radiante necessário para manter o sistema na condição especificada. 
c) Determine a temperatura da superfície interna TS1. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 189 
 
Exercício 53 
54) Uma parede plana de área A = 1,5m2 é composta por 2 materiais diferentes, A e B, com kA 
= 100 W/m.K e kB = 50 W/m.K As espessuras são LA = 0,2 m e LB = 0,5 m. A superfície 
em x = L está exposta a um ambiente a 450 K, com h = 80 W/m
2
.K. Se a temperatura em 
x = L é TS3 = 400 K, calcule a temperatura da parede entre os 2 materiais. A emissividade 
do material B é B = 0,7. 
55) Um ambiente a 200C deve ser separado do ambiente externo. Para isto, deverá ser 
utilizada uma parede composta por dois materiais. O material A, em contato com o 
ambiente interno, possui 25 cm de espessura, condutividade térmica de 20 W/m.K e 
emissividade de 0,5. O material B, em contato com o ambiente externo, possui 5 cm de 
espessura e condutividade térmica de 1 W/m.K. A temperatura da superfície em contato 
com o ambiente interno é de 150C e o coeficiente convectivo associado à transferência 
de calor interna é de 20 W/m
2
.K. 
a) Determine a temperatura da superfície externa do material B. 
b) O coeficiente convectivo associado ao escoamento externo é dado por 
V38,5h 
, 
onde V é a velocidade do ar. Determine a velocidade do ar requerida para garantir que 
a temperatura do ambiente externo seja de 25C. Despreze a radiação externa. 
56) Uma parede composta separa as paredes de um ambiente a alta temperatura do ambiente 
externo. A parede é composta por dois materiais (A e B). A condutividade térmica e a 
emissividade do material A são, respectivamente, kA = 15 W/m.K e εA = 0,2. A 
condutividade térmica do material B é kB = 2 W/m.K. O ambiente interno é mantido a 
uma temperatura de 250C, proporcionando um coeficiente convectivo de 15 W/m2.K. A 
superfície interna de A tem temperatura TS1 = 190C. 
a) Determine o fluxo de calor perdido para o ambiente externo; 
b) Se os coeficientes convectivo e radiativo associados ao escoamento externo são, 
respectivamente, 16 W/m
2
.K e 2 W/m
2
.K, determine a temperatura do ambiente 
externo. 
 
Exercício 56 
57) A parede composta de um forno é constituída de três materiais diferentes, sendo dois com 
condutividades térmicas conhecidas, kA = 400 W/(m.K) e KB = 237 W/(m.K), com 
espessuras LA = LB = LC = 0,25 m e área A = 1,5 m
2
. A superfície externa está exposta ao 
ar ambiente, com T2 = 20
o
C e coeficiente convectivo h2 = 400 W/(m
2
.K). O ar no interior 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 190 
do forno está a uma temperatura de 1000
o
C, com um coeficiente convectivo igual a 30 
W/(m
2
.K), fazendo com que a temperatura na superfície interna da parede (de 
emissividade 0,9) seja igual a 650
o
C. Desprezando a radiação na face externa, determine a 
taxa de calor transferida do forno para o ambiente externo e a condutividade térmica do 
material C. 
 
Exercício 57 
58) Uma parede plana de 10 m2 de área separa as paredes de um forno a alta temperatura do 
ambiente externo. O material da parede tem condutividade térmica k = 50 W/m.K. O 
coeficiente convectivo associado à transferência de calor do interior do forno para a 
parede a TS1 = 1000 K é h1 = 200 W/m
2
.K e o coeficiente convectivo associado à 
transferência de calor da parede para o ambiente externo é h2 = 100 W/m
2
.K. A 
emissividade do material da parede é 0,92. Se a taxa de calor por radiação do forno para a 
parede interna é 175 kW, calcule as temperaturas TS2 e T2. Despreze a radiação externa. 
A espessura da parede é L = 0,32 m. 
59) Uma parede plana de 2,5 m2 de área possui condutividade térmica k = 50 W/m.K e 
emissividade  = 0,8. A sua face interna (x = 0) está a uma temperatura TS1 = 337
o
C e está 
em contato com um fluido a 527
o
C, com coeficiente convectivo h1 = 50 W/m
2
K A sua 
face externa (x = L = 0,5 m) está em contato com um fluido frio, com coeficiente 
convectivo h2 = 200 W/m
2
K. Desprezando a radiação na face externa, calcule as 
temperaturas da face externa TS2 e do fluido frio T2. 
60) A parede composta de um forno é construída encaixando-se um material isolante de 
condutividade térmica k = 0,5 W/(m.K) entre duas chapas metálicas de 2,5 cm de 
espessura cada e condutividade térmica k = 150 W/(m.K). O ar no interior do forno se 
encontra a uma temperatura de 400C, com um coeficiente convectivo associado de 30 
W/m
2
.K, fazendo com que a temperatura da superfície interna do forno (de emissividade 
0,85) seja igual a 200C. Determine a espessura do material isolante necessária para 
manter a superfície externa do forno a uma temperatura segura ao toque de 40C. 
61) Um fabricante de eletrodomésticos propôs o projeto de um forno auto limpante que 
envolve a utilização de um visor de compósito para separar o interior do forno do ar 
ambiente, como mostrado na figura. O compósito consiste em dois plásticos resistentes a 
altas temperaturas (A e B), de espessuras LA = 2 LB e condutividades térmicas kA = 0,15 
W/m.K e kB = 0,08 W/m.K. Durante o processo de auto limpeza, a temperatura da 
superfície interna do visor é TS1 = 385C. A temperatura do ar ambiente é T = 25C e o 
coeficiente convectivo é 25 W/m
2
.K. Qual a espessura mínima do visor, LA + LB, 
necessária para garantir uma temperatura igual ou inferior a 50C na superfície externa do 
visor? Despreze as trocas de calor por radiação. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 191 
 
Exercício 61 
62) Uma parede plana é composta por dois materiais diferentes, A e B, com condutividades 
térmicas kA = 20 W/m.K e kB = 5 W/m.K, emissividades A = B = 0,75 e espessuras LA = 
LB = 0,15 m. A superfície interna (material A) está exposta a um ambiente com 
coeficiente convectivo de 50 W/m
2
.K. A superfície externa (materialB), a 320C, está 
exposta a um ambiente a 400C e coeficiente convectivo igual a 17 W/m2.K. Determine o 
fluxo de calor trocado e a temperatura da superfície interna do material A (em contato 
com o fluido no ambiente interno). 
63) Um fio elétrico, com raio r1 = 5 mm e resistência por unidade de comprimento 10
-4
 /m, 
está revestido por um isolamento plástico de 1 mm de espessura e condutividade térmica k 
= 0,20 W/mK. O isolamento está exposto ao ar ambiente cuja temperatura é 300 K e o 
coeficiente de convecção é h = 10 W/m
2
K. Se a temperatura máxima admissível no fio for 
450K, qual é a corrente máxima possível que pode passar pelo fio? 
64) Uma corrente elétrica de 100 A passa em um cabo de cobre com diâmetro de 10 mm e 
resistência elétrica por unidade de comprimento de 5x10
-4
 Ω/m. O cabo se encontra em 
um ambiente a 20C, com um coeficiente convectivo de 20 W/m2.K. Para reduzir o valor 
da temperatura superficial do cabo, ele foi revestido com uma camada de material isolante 
de 3 mm de espessura (k = 0,15 W/m.K). Determine a temperatura superficial do cabo. 
Considerando que a temperatura máxima admissível no cabo é de 100C, avalie se este 
isolamento seria suficiente e justifique. 
65) Uma corrente elétrica de 500 A passa em um cabo de cobre com diâmetro de 5 mm e 
resistência elétrica por unidade de comprimento de 6x10
-4
 /m. O cabo se encontra em 
um ambiente a 30C, com um coeficiente de troca de calor de aproximadamente 25 
W/m
2
.K. 
a) Se o cabo estiver desencapado, qual será a temperatura em sua superfície? 
b) Há preocupação em relação à capacidade do isolamento em suportar temperaturas 
elevadas. Qual a espessura do isolamento (k = 0,5 W/m.K) que produzirá o menor 
valor para a temperatura máxima na camada de isolamento? Qual será o valor da 
temperatura máxima quando esta espessura de isolamento for utilizada? 
66) Um tubo de aço inoxidável AISI 304 é utilizado para transportar resíduos de um processo. 
O fluido escoa no interior do tubo com uma temperatura de 50C, com um coeficiente 
convectivo associado de 10 W/m
2
.K. O tubo tem 50 cm de diâmetro interno e 3 cm de 
espessura. O conjunto é exposto ao ar atmosférico a 20C, com um coeficiente convectivo 
de 6 W/m
2
.K. Para um trecho de 10 m de comprimento, determine: 
a) A taxa de calor perdida para o ambiente; 
b) A taxa de calor perdida, se o tubo for recoberto por uma camada de 2 cm de espessura 
de um material isolante (k = 0,5 W/m.K). 
67) Uma tubulação de cobre tem um diâmetro interno de 10 cm e um diâmetro externo de 12 
cm. Vapor saturado a 110C com coeficiente convectivo de 10.000 W/m2.K flui através da 
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Transferência de Calor 
 192 
tubulação, que está localizada em um ambiente a 30C com coeficiente convectivo de 15 
W/m
2
.K. O isolamento disponível para reduzir as perdas de calor tem uma espessura de 5 
cm e condutividade térmica de 0,20 W/m.K. Desprezando a radiação, calcule as perdas de 
calor por unidade de comprimento para a tubulação com isolamento e sem isolamento. 
68) Um tubo de aço inoxidável [k = 14 W/(m.K)], utilizado para transportar um produto 
farmacêutico resfriado, possui um diâmetro interno de 36 mm e uma espessura de parede 
de 2 mm. O produto farmacêutico e o ar ambiente estão a temperaturas de 6C e 23C, 
respectivamente. Os correspondentes coeficientes de convecção interna e externa são de 
400 W/m
2
.K e 6 W/m
2
.K, respectivamente. 
a) Determine a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do tubo; 
b) Qual seria a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento do tubo se 
fosse aplicada, na superfície externa do tubo, uma camada de 10 mm de espessura de 
isolante de silicato de cálcio (condutividade térmica de 0,050 W/(m.K)? 
69) Nitrogênio líquido é armazenado em um contêiner cilíndrico de aço (k = 15 W/m.K) com 
diâmetro interno de 60 cm e diâmetro externo de 80 cm, mantendo a temperatura interna 
do contêiner em 77,3 K. Sobre a superfície do tanque, existe uma camada de 25 cm de um 
isolamento térmico com k = 0,05 W/m.K. O coeficiente de convecção externo é de 50 
W/m
2
.K para um ambiente a 15C. O cilindro tem 3 m de altura. Desprezando as trocas de 
calor pelo topo e pelo fundo do cilindro, determine a taxa de calor fornecida para o 
nitrogênio. 
70) Um cilindro oco de ferro é utilizado para transportar vapor d'água a 300oC. Sobre a 
superfície externa, escoa ar com um coeficiente convectivo de 6 W/(m
2
.K). A temperatura 
da superfície interna do cilindro é de 270
 o
C. Se o coeficiente convectivo associado ao 
escoamento de vapor d´água é de 50 W/(m
2
.K), determine a taxa de calor (por unidade de 
comprimento) perdida para o ambiente e a temperatura do ar externo. São dados: raio 
interno do cilindro: 75 cm, espessura da parede: 5 cm. 
71) Uma barra cilíndrica de cobre, com diâmetro D = 5 cm, é aquecida pela passagem de uma 
corrente elétrica. A superfície externa da barra é mantida a uma temperatura de 175
o
C 
enquanto está dissipando calor por convecção para um ambiente a 25
o
C, com um 
coeficiente de transferência de calor de 100 W/m
2
K. Se a barra, mantida à mesma 
temperatura, for recoberta por uma película de 6mm de espessura e condutividade térmica 
k = 0,6 W/mK, a sua perda de calor irá aumentar ou diminuir? Quais os valores da taxa de 
calor por unidade de comprimento perdida para o ambiente, com e sem a película? 
72) Vapor de água, na temperatura de 250oC, passa por um tubo de aço AISI 1010 (k = 58,7 
W/mK) de 60 mm de diâmetro interno e 75 mm de diâmetro externo. O coeficiente total 
de transferência de calor (convecção + radiação) entre o vapor de água e a superfície 
interna do tubo é 500 W/m
2
K e o coeficiente convectivo, na superfície externa do tubo, é 
25 W/m
2
K. Se a temperatura ambiente é 20
o
C, determine a quantidade de calor perdida 
(por unidade de comprimento do tubo). Despreze os efeitos de radiação na superfície 
externa. 
73) Um tubo de aço AISI 304 é utilizado para transportar vapor d’água. O vapor d’água está a 
uma temperatura de 300C, com coeficientes convectivo e radiativo de, respectivamente, 
10 W/m
2
.K e 6 W/m
2
.K. O tubo de aço, com 33 cm de raio interno e 5 cm de espessura, é 
recoberto com uma camada de isolante de 2 cm de espessura. No ambiente externo, escoa 
ar a 20C, proporcionando um coeficiente convectivo de 15 W/m2.K. Determine qual deve 
ser a condutividade térmica do isolante para manter a temperatura externa do isolante em 
40C. Despreze a radiação externa. Considere L = 50 m 
74) Uma tubulação de aço inoxidável (k = 14,9 W/m.K e ε = 0,17) é utilizada para transportar 
vapor d’água a 200C. O diâmetro interno da tubulação é de 30 cm e o diâmetro externo, 
36 cm. A tubulação é revestida com um isolante (k = 0,5 W/m.K) de 5 cm de espessura. A 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 193 
temperatura da superfície interna da tubulação é igual a 150C. O coeficiente convectivo 
associado ao escoamento interno é de 25 W/m
2
.K. Determine a temperatura da superfície 
externa do isolante. 
75) Um fluido quente, a uma temperatura de 200C, escoa no interior de um tubo de aço 
(condutividade térmica de 50 W/m.K e emissividade 0,8), com 60 cm de diâmetro interno 
e 2,5 cm de espessura. A temperatura na superfície interna do tubo é de 180C. O 
coeficiente convectivo associado ao escoamento do fluido quente é de 20 W/m
2
.K. Para 
reduzir as perdas de calor para o ambiente, o tubo foi recoberto por uma camada de 3 cm 
de material isolante, com condutividade térmica de 0,15 W/m.K. Os coeficientes 
convectivo e radiativo associados ao escoamento do ar externo são de,respectivamente, 
25 W/m
2
.K e 10 W/m
2
.K. 
a) Determine a taxa de calor (por unidade de comprimento do tubo) perdida para o 
ambiente externo; 
b) Determine a temperatura do ar externo ao sistema. 
76) Um fluxo de calor uniforme é fornecido para a superfície interna de uma casca esférica de 
raio interno igual a 12 cm. A casca é constituída por dois materiais, sendo o material 
interno o ferro (k = 50 W/m.K), com 5 cm de espessura e o material externo, uma manta 
isolante (com condutividade térmica igual a 2 W/m.K), com 2 cm de espessura. O 
conjunto é mantido em um ambiente com temperatura T2 = 20ºC e coeficiente 
convectivo h = 10 W/m
2
.K. Se a temperatura no raio interno da casca é igual a 80ºC, 
determine: 
a) O valor do fluxo de calor transferido para a superfície interna da casca. 
b) A taxa de calor na superfície externa do material isolante. 
77) Deseja-se determinar a emissividade de um determinado material. Uma tubulação de aço 
(condutividade térmica de 50 W/m.K), de 30 cm de raio interno e 5 cm de espessura, é 
coberta com uma camada de 3 cm do material para o qual se deseja determinar a 
emissividade. O lado externo do conjunto é exposto a um escoamento de ar a 300C e 
coeficiente convectivo de 30 W/m
2
.K. São medidas as temperaturas nas superfícies interna 
e externa do conjunto, iguais a, respectivamente, 180C e 200C. Com estes dados, 
determine a emissividade do material, que possui condutividade térmica de 13 W/m.K. 
78) Uma corrente elétrica passa através de um cabo de 15 mm de raio interno e resistência 
elétrica por unidade de comprimento de 0,005
m/
. O cabo é coberto por dois materiais 
isolantes: o primeiro, com 0,5 mm de espessura e condutividade térmica de 0,25 W/m.K e 
o segundo, de mesma espessura, condutividade térmica de 0,15 W/m.K e emissividade de 
0,9. A temperatura superficial externa do segundo isolamento é de 75°C. O sistema é 
resfriado pela passagem de um fluido a 25°C, com coeficiente convectivo de 25 W/m
2
K. 
Considere as trocas de calor por convecção e por radiação. Determine: 
a) A taxa total de calor dissipada por unidade de comprimento do cabo; 
b) A corrente elétrica que passa através do cabo; 
c) A temperatura na superfície interna do cabo. 
79) Vapor d’água, a uma temperatura de 200C, escoa no interior de um tubo com 
condutividade térmica de 5 W/m.K e emissividade 0,8. O diâmetro interno do tubo é 20 
cm e a espessura da parede, 5 cm. Medições efetuadas revelam que a temperatura interna 
da parede é de 150C. O coeficiente convectivo associado ao escoamento do vapor no 
interior do tubo é 12 W/m
2
.K. O coeficiente convectivo associado ao escoamento do ar no 
exterior do sistema é 10 W/m
2
.K e o coeficiente radiativo associado ao escoamento de ar 
no exterior do sistema é 10 W/m
2
.K. Determine a taxa de calor perdida por unidade de 
comprimento do tubo e a temperatura do ar externo ao sistema. 
80) Um fluido quente, a uma temperatura de 800C, passa no interior de um cilindro feito de 
um material com condutividade térmica igual a 100 W/m.K e emissividade 0,75. O 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 194 
coeficiente convectivo associado ao escoamento do fluido quente é de 200 W/m
2
.K. Pelo 
lado externo do cilindro, escoa ar a 20C. Qual deve ser o coeficiente total (convecção + 
radiação) externo para garantir que a superfície interna do cilindro se mantenha constante 
em 600C? São dados: raio interno do cilindro: 0,6 m; raio externo: 0,9 m; comprimento: 
10 m. Considere ainda que o cilindro é coberto externamente por uma película de tinta que 
afeta sua emissividade, mas não afeta a distribuição de temperaturas em seu interior (a 
temperatura superficial do material do cilindro é igual à temperatura ao longo da película 
de tinta). 
81) Uma tubulação de vapor de 200 mm de diâmetro externo passa através de uma grande sala 
em um porão. A tubulação é feita de aço (k = 20 W/m.K) e possui 2 cm de espessura. A 
temperatura externa da parede da tubulação é de 500C, enquanto o ar ambiente da sala 
está a 20C. Determine: 
a) a taxa de transferência de calor da tubulação de vapor para a sala, por unidade de 
comprimento, para uma emissividade da superfície da tubulação de 0,8 e para um 
coeficiente de transferência de calor por convecção natural estimado em 10 W/m
2
.K. 
Avalie se a radiação pode ser desprezada e justifique. 
b) a temperatura da superfície interna da tubulação. 
82) Um tubo de cobre, com raio interno igual a 0,5 m, 12 cm de espessura e 2 m de 
comprimento, é colocado em um ambiente a 1000
o
C, com coeficiente convectivo de 25 
W/m
2
.K. Após o equilíbrio térmico ser atingido, a medição de sua temperatura externa 
revela um valor de 840
o
C. Sabendo que a emissividade do material é 0,75, calcule a 
temperatura da superfície interna do tubo. 
83) No interior de um forno cilíndrico de raio interno 0,5 m, raio externo 0,62 m e 5 m de 
comprimento, ar quente possui um coeficiente convectivo h1 = 300 W/m
2
.K e um 
coeficiente radiativo hr1 = 300 W/m
2
.K. A condutividade térmica do material da parede é 
k = 50 W/m.K. Se a temperatura da parede externa é 650 K e o ambiente externo ao forno 
possui temperatura T2 = 500 K, com h2 = 10 W/m
2
.K , calcule as temperaturas do ar no 
interior do forno e da parede interna do forno. A emissividade do material da parede é  = 
0,9. 
84) Um fluido quente a uma temperatura de 400oC passa no interior de um tubo feito de um 
material de condutividade térmica k = 4 W/mK. A temperatura na superfície externa do 
tubo é mantida constante em 250
o
C. Na superfície externa, escoa um fluido frio a 20
o
C e o 
coeficiente convectivo associado é 17 W/m
2
K. Se o coeficiente radiativo na superfície 
interna do tubo é 35 W/m
2
K, calcule: a) A temperatura na superfície interna do tubo b) A 
taxa de calor trocada com o ambiente c) O coeficiente convectivo associado ao 
escoamento do fluido quente. São dados: Raio interno do tubo: 0,15 m; Raio externo do 
tubo: 0,17 m; Comprimento do tubo: 0,75 m; Emissividade da superfície externa do 
material do tubo: 0,9. 
85) Um fluido quente, a uma temperatura de 350C , escoa no interior de uma tubulação de 
aço (de condutividade térmica k = 15 W/(m.K) e emissividade 0,2) de 20 cm de diâmetro 
interno e 5 cm de espessura. Um termopar colocado na superfície interna indica uma 
temperatura de 250C. O coeficiente convectivo associado ao escoamento interno é de 20 
W/m
2
.K. Para reduzir as perdas de calor para o ambiente, o tubo deve ser recoberto com 
uma camada de um material isolante com condutividade térmica k = 0,15 W/(m.K). 
Determine a espessura do material isolante necessária para manter a superfície externa do 
isolante a uma temperatura segura ao toque de 40C. 
86) No interior de um tubo de aço ( = 0,15 e condutividade térmica desconhecida), com 50 
cm de diâmetro interno e 20 cm de espessura, escoa vapor d’água a 400C. O coeficiente 
convectivo associado é de 10 W/m
2
.K. A medição da temperatura na superfície interna do 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 195 
tubo revelou um valor de 250C. A tubulação foi revestida com um isolante térmico de 2 
cm de espessura e condutividade térmica de 0,5 W/m.K. O conjunto é exposto ao ar 
ambiente a 30C. O coeficiente convectivo associado ao escoamento externo é de 10 
W/m
2
.K. 
a) Calcule a taxa de calor por unidade de comprimento perdida para o ambiente externo. 
Despreze a radiação externa. 
b) Calcule a máxima temperatura do isolante térmico. Sabendo que a temperatura de 
fusão do isolante é 300C, avalie se este isolante poderia ser utilizado. Justifique. 
87) Uma esfera oca de alumínio,com um aquecedor elétrico em seu centro, é usada em 
ensaios para determinar a condutividade térmica de materiais isolantes. O raio interno da 
esfera é 0,15m e o externo, 0,18 m. O ensaio é realizado em condições de regime 
permanente, com a superfície interna do alumínio mantida a 260C. Num certo ensaio, a 
superfície externa da esfera é revestida por uma casca esférica de isolante, com uma 
espessura de 0,12 m. O sistema é mantido em um ambiente com a temperatura do ar de 
20C, com um coeficiente convectivo externo medido de 30 W/m2.K. Qual é a 
condutividade térmica do isolamento quando a dissipação do aquecedor, em regime 
permanente, for de 80 W? Despreze as trocas de calor por radiação. 
88) Um fluxo de calor uniforme é fornecido para a superfície interna de uma casca esférica de 
raio interno igual a 10cm. A casca é constituída por dois materiais, sendo o material 
interno o alumínio, com 5 cm de espessura e o material externo, uma manta isolante (com 
condutividade térmica igual a 2 W/m.K), com 2 cm de espessura. O conjunto é mantido 
em um ambiente com temperatura T2 = 20
o
C e coeficiente convectivo h = 10 W/m
2
.K. Se 
a temperatura no raio interno da casca é igual a 80
o
C, determine o valor do fluxo de calor 
transferido para a superfície interna da casca. 
89) Uma casca esférica composta tem raio interno r1 = 0,25 m e é constituída por uma casca 
de chumbo (k = 35 W/mK) com raio externo r2 = 0,30 m e por uma outra casca de aço 
inoxidável (k = 18 W/mK) com o raio externo r3 = 0,31 m. A cavidade está cheia de 
rejeitos radiativos que geram calor à taxa q = 30.000 W. O vaso esférico está submerso em 
águas oceânicas, cuja temperatura é uniforme T = 10
o
C, proporcionando um coeficiente 
de transferência convectiva de calor uniforme de h = 500 W/m
2
K, na superfície externa. 
Qual a temperatura na casca inferior da esfera? 
90) Um recipiente esférico metálico (k = 50 W/m.K) é usado para armazenar nitrogênio 
líquido. A sua superfície interna é mantida fixa em 77K. Os diâmetros interno e externo 
do recipiente são, respectivamente, 0,48 m e 0,50 m. Ele é coberto por uma camada de 
isolamento térmico refletivo (k = 0,0017 W/m.K), com 25 mm de espessura. A sua 
superfície externa está exposta ao ar ambiente a 300 K, com coeficiente de transferência 
de calor por convecção no ar de 20 W/m
2
.K. Calcule a taxa de transferência de calor para 
o nitrogênio líquido e a temperatura externa do isolamento. 
91) Uma indústria possui 2 reatores esféricos, ambos com diâmetro interno d1 = 1,0 m. O 
primeiro reator, denominado R1, possui espessura de parede t = 0,1 m e é feito de aço 
inoxidável AISI 304 (Temperatura de fusão Tf = 1670 K). O segundo, chamado de R2, 
possui espessura de parede t = 0.01 m e é feito de alumínio (Tf = 933K). Para uma 
determinada aplicação, deverá ocorrer uma reação interna que fornece um fluxo de calor 
uniforme q”= 2x105 W/m2 para a superfície interna do reator. Ele será mantido em um 
banho líquido a uma temperatura T = 350 K, no qual o coeficiente convectivo é de 500 
W/m
2
K. Determine qual modelo de reator (R1 ou R2) deverá ser adotado e justifique a sua 
resposta. 
92) Uma indústria possui 2 modelos de reatores: um esférico e um cilíndrico, ambos de aço 
inoxidável AISI 304, com diâmetro interno d1 = 1,0 m e espessura de parede t = 0,1 m, 
sendo o comprimento do reator cilíndrico de 0,8 m. Para uma determinada aplicação, 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 196 
deverá ocorrer uma reação que fornece um fluxo de calor uniforme q”= 2x105 W/m2 para 
a superfície interna do reator. Ele será mantido em um banho líquido a uma temperatura 
T = 250 K, no qual o coeficiente convectivo é de 500 W/m
2
K. Sabendo que a 
temperatura de fusão do aço inoxidável é Tf = 1670 K, determine qual o modelo de reator 
mais adequado e justifique a sua resposta. Considere condução unidimensional de calor 
nos dois casos. 
93) Uma haste de seção circular deve ser projetada para ser utilizada no carregamento de 
peças recém-fundidas. Considere que a ponta da haste em contato com a peça quente 
esteja a 250C. A outra ponta pode ser considerada isolada. O diâmetro e o comprimento 
da haste são 5 cm e 1,5 m, respectivamente. Sabe-se que a temperatura ambiente é de 
30C e que a temperatura da face isolada não pode ultrapassar 60C. Se o coeficiente 
convectivo local for 15 W/m
2
.K, determine o material que poderá ser utilizado na haste: 
cobre (k = 401 W/m.K) ou alumínio (k = 237 W/m.K). Justifique sua resposta através de 
cálculos. 
94) Deseja-se resfriar um componente eletrônico através da colocação de aletas. A máxima 
temperatura que pode ser atingida pelo componente é de 90C. O sistema é mantido em 
um ambiente com temperatura controlada de 15C, sendo o coeficiente convectivo global 
de 20 W/m
2
.K. Deve-se analisar a possibilidade de se acoplar aletas retangulares de 
alumínio de 2,5 cm de largura, 0,5 cm de espessura e 5 cm de comprimento. Considerando 
que as pontas das aletas são isoladas termicamente, determine: 
a) A eficiência de cada aleta; 
a) A temperatura em x = L/2 
95) Deseja-se retirar calor de uma superfície mantida a 200C, exposta a um ambiente a 25C, 
com um coeficiente convectivo de 17 W/m
2
.K. Para isto, são colocadas aletas cilíndricas 
de cobre, de 3 cm de diâmetro e 15 cm de comprimento. Determine a taxa de calor 
retirada por cada aleta, considerando troca convectiva de calor na ponta da aleta. 
Determine a temperatura na ponta das aletas. 
96) Uma barra de ferro (k = 80 W/mK) de seção reta quadrada (de lado a = 5 mm) está fixada 
a uma base mantida a 100
o
C. Esta barra está exposta a uma ambiente a T = 15
o
C e 
coeficiente convectivo h = 20 W/m
2
K. Se o comprimento da barra é de 0,15 m, determine 
a taxa de calor transferida pela barra, considerando condições de: 
a) Aleta muito longa 
b) Condição convectiva na ponta. 
97) Considere uma aleta retangular de alumínio, com 5 cm de largura, 1 cm de espessura e 20 
cm de comprimento. A aleta é fixada a uma base mantida em 120C. O conjunto é exposto 
ao ar atmosférico, com temperatura de 20C e coeficiente convectivo de 25 W/m2.K. 
Considerando condição convectiva de troca de calor na ponta da aleta, determine a taxa de 
calor perdida pela aleta. Avalie se a aproximação de aleta infinita poderia ser utilizada. 
Justifique. 
98) Deseja-se aumentar a dissipação de calor de motores elétricos de elevadores. Para tanto, 
pretende-se usar aletas de aço carbono (k = 15 W/mK), a serem soldadas na superfície 
primária. As aletas têm diâmetro d = 3 cm e comprimento L = 40 cm. A superfície do 
motor está a uma temperatura de 80°C e o conjunto está exposto a um ambiente a 30°C, 
com coeficiente convectivo de 20 W/m
2
K. Considere que a ponta das aletas é isolada 
termicamente. 
a) Determine a taxa de calor perdida por uma aleta; 
b) Por algum motivo, a perda de calor de (a) é insuficiente. Você tem outras duas opções. 
Usar aletas de mesmo diâmetro e comprimento 2L ou usar aletas de mesmo 
comprimento e diâmetro 2d. Calcule a taxa de calor retirada com as novas 
configurações e apresente a melhor solução. Justifique sua resposta. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 197 
99) Uma barra cilíndrica de alumínio, com 4 cm de diâmetro e 30 cm de comprimento, está 
colocada entre duas placas mantidas em 120C. O conjunto é exposto ao ar ambiente a 
20C, com coeficiente convectivo h = 50 W/m2.K. 
a) Determine a taxa total de calor perdida pela barra; 
b) Determine a temperatura nas posições x = 10 cm, x = 15 cm e x = 20 cm. 
100) Um bastão de latão (k = 110 W/m.K), com 100 mm de comprimento e 5 mm de 
diâmetro se estendehorizontalmente a partir de uma solda que se encontra a 200
o
C. O 
ambiente a seu redor está a T = 20
o
C, com h = 30W/m
2
.K. Quais as temperaturas no 
bastão a 25 mm e 100 mm da solda? Considere condição convectiva na ponta do bastão. 
101) Considere 2 bastões A e B longos e delgados de diâmetros iguais dA = dB = 4cm, 
porém feitos de materiais diferentes. Uma extremidade de cada bastão está fixada a uma 
base mantida a 80
o
C. Os bastões estão expostos ao ar ambiente a 17
o
C, com um 
coeficiente convectivo de 20W/m
2
.K. Ao se mover um termopar ao longo do 
comprimento de cada bastão, foram observadas temperaturas iguais nas posições xA = 
0,15m e xB = 0,075m, onde o valor de x é medido a partir da base. Se a condutividade 
térmica do bastão A vale kA = 70W/m.K, determine o valor da condutividade térmica do 
bastão B e a temperatura do bastão A, na posição xA = 0,10m. 
102) Uma barra cilíndrica, com 2 cm de diâmetro e condutividade térmica k = 300 W/m.K, 
é utilizada para retirar calor de uma superfície mantida a 100
o
C. O conjunto está exposto a 
um ambiente a 20
o
C, com coeficiente convectivo igual a 17 W/(m
2
.K). Determine o 
comprimento necessário para se retirar uma taxa de calor igual a 25 W, considerando a 
ponta da aleta adiabática. 
103) Considere uma aleta retangular de cobre, com 2 cm de largura, 5 mm de espessura e 
50 cm de comprimento, fixa a uma chapa com temperatura uniforme de 100
o
C, exposta a 
um ambiente de 15
o
C, com um coeficiente convectivo h = 20 W/m
2
K. Determine a 
eficiência e a efetividade da aleta, considerando que a ponta da aleta tenha uma 
temperatura uniforme de 25
o
C. 
104) Uma barra (com condutividade térmica de 150 W/m.K), com 25 mm de diâmetro e 
250 mm de comprimento possui uma de suas extremidades mantida a 100C e a outra, 
isolada termicamente. A barra está sujeita a um processo convectivo com T = 30C e h = 
50 W/m
2
.K. 
a) Determine a taxa total de calor perdida pela barra; 
b) Determine a temperatura na ponta isolada da barra. 
105) Um bastão de aço (k = 50 W/mK) com 200 mm de comprimento e 10 mm de diâmetro 
se estende horizontalmente a partir de uma solda que se encontra a 200
o
C. O ambiente a 
seu redor está a T = 25
o
C, com um coeficiente de transferência de calor por convecção h 
= 25 W/m
2
K. Calcule a taxa de transferência de calor pelo bastão e a temperatura na ponta 
do bastão (x = L), considerando condição convectiva de calor na ponta da aleta. 
106) Seja uma aleta com seção reta retangular, com 6 mm de espessura, 2 cm de largura e 
10 cm de comprimento. Se a aleta estiver em um ambiente a 25
o
C, com h = 15 W/m
2
K e a 
troca de calor da aleta com o ambiente for igual a 3 W, calcule a temperatura na base da 
aleta e na posição x = 5 cm, considerando a ponta da aleta adiabática. A condutividade 
térmica do material da aleta é k = 15 W/mK. 
107) Deseja-se retirar calor de uma superfície mantida a 180oC. Pode-se utilizar uma aleta 
piniforme, de 2 cm de diâmetro e 15 cm de comprimento ou uma aleta retangular, de 1 cm 
de espessura, 3 cm de largura e 17 cm de comprimento, ambas de alumínio (k = 
240W/m.K). O conjunto aleta + superfície ficará exposto a um ambiente a 50
o
C, com um 
coeficiente convectivo de 17 W/m
2
.K. Considerando que a ponta das aletas é adiabática, 
calcule e compare as eficiências das duas aletas. Qual aleta seria a mais recomendada? 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 198 
108) Considere uma aleta de seção reta circular com 2 cm de diâmetro e 85% de eficiência. 
Se a base onde ela for fixa estiver a uma temperatura igual a 180
o
C e a sua superfície 
estiver exposta a um ambiente a 20
o
C e coeficiente convectivo h = 22 W/m
2
K, calcule o 
comprimento da aleta, considerando a ponta da aleta adiabática (k = 37 W/mK). 
109) Uma aleta retangular de alumínio, com 600 mm de comprimento, 15 cm de largura e 
10 mm de espessura é utilizada para ligar duas superfícies iguais, mantidas a 100C. O 
sistema é exposto ao ar ambiente a 15C , com um coeficiente convectivo de 25 
W/(m
2
.K). 
a) Determine a taxa de calor trocada entre a aleta e o ambiente. 
b) Em que ponto da aleta a temperatura é mínima? Por quê? Determine o valor da 
temperatura mínima da aleta 
110) Uma aleta retangular, com 2 cm de espessura, 3 cm de largura e 12 cm de 
comprimento, é presa a duas superfícies mantidas em temperaturas diferentes. A base da 
aleta é fixada a uma superfície mantida em 85ºC, enquanto a sua ponta é fixada a uma 
superfície mantida em 35ºC. O conjunto é exposto a um ambiente a 15ºC, com coeficiente 
convectivo de 20 W/m
2
.K. A aleta é feita em alumínio. Determine: 
a) a taxa de calor perdida pela aleta; 
b) a temperatura em x = 8 cm, medidos a partir da base da aleta. 
111) Deseja-se resfriar um componente eletrônico através da colocação de aletas 
retangulares de cobre de 2 cm de largura, 5 mm de espessura e 10 cm de comprimento. A 
temperatura superficial do componente é mantida em 85C. O sistema é exposto a ar 
ambiente a 15C, com coeficiente convectivo de 17 W/(m2.K). Considere condição de 
troca convectiva de calor na ponta das aletas. 
a) Determine a temperatura na ponta da aleta; 
b) Suponha que as aletas sejam substituídas por aletas de mesmas dimensões, porém de 
aço inoxidável (k = 50 W/m.K). Determine a temperatura na ponta de cada aleta. A 
temperatura é maior, menor ou igual à temperatura encontrada no item (a)? Justifique. 
112) Um dispositivo eletrônico com 50 mm de largura e 50 mm de altura dissipa uma 
potência de 4 W. Ar a 25C escoa sobre o dispositivo, com um coeficiente convectivo de 
15 W/m
2
.K. A temperatura superficial do dispositivo não pode, no entanto, ultrapassar 
75C. Determine o número mínimo de aletas de cobre, de 1 mm de largura, 1 mm de 
espessura e 25 mm de comprimento que deve ser soldado ao dispositivo para dissipar pelo 
menos 4 W de potência, mantendo a temperatura superficial fixa em 75C. Para este 
número mínimo de aletas, determine a eficiência do conjunto base + aletas. Considere 
condição convectiva de calor na ponta das aletas. 
113) Devido ao grande número de componentes nos chips dos PCs atuais, sorvedouros de 
calor aletados são utilizados com freqüência para manter os chips a uma temperatura de 
operação aceitável. Dois projetos de sorvedouros aletados devem ser analisados, ambos 
com a área da base (sem aletas) de dimensões de 53 mm x 57 mm. As aletas possuem 
seção reta quadrada e são fabricadas em uma liga de alumínio que possui condutividade 
térmica de 175 W/m.K. Ar para o resfriamento pode ser suprido a 25°C. A temperatura 
máxima permissível para o chip é de 75°C. Outras características do projeto e das 
condições operacionais são apresentadas na tabela a seguir. Através de cálculos, determine 
o melhor arranjo de aletas. Justifique sua resposta. Para efeitos de cálculo, considere que a 
ponta das aletas é isolada termicamente. 
Projeto 
Seção reta w x w 
(mm
2
) 
Comprimento L 
(mm) 
Número de aletas 
na matriz 
Coef. Convectivo 
(W/m
2
K) 
A 3 x 3 30 6 x 9 125 
B 1 x 1 7 14 x 17 375 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 199 
114) Um sistema é composto por duas superfícies iguais, de 40 cm de altura e 30 cm de 
largura cada, mantidas a uma temperatura de 80C, espaçadas de 25 cm. O sistema é 
exposto ao ar ambiente a 20C. O coeficiente de troca de calor por convecção entre as 
superfícies e o ar pode ser admitido constante e igual a 10 W/m
2
.K. Para aumentar a taxa 
de calor retirada das superfícies, foram utilizadas 8 aletas cilíndricas de alumínio de 1,5 
cm de diâmetro. As aletas têm um comprimentotal que a ponta e a base ficam em contato 
com ambas as superfícies. 
a) Determine a taxa total de calor perdida por uma aleta; 
a) Determine a taxa total de calor perdida pelo sistema compreendido pelas 8 aletas e 
pelas duas superfícies. 
115) Suponha que uma matriz 4x4 de pinos de cobre (k = 400 W/m.K) de 1,5 mm de 
diâmetro e 15 mm de comprimento seja unida metalurgicamente à superfície externa de 
um chip quadrado com 12,7 mm de aresta. O chip, com temperatura superficial de 75
o
C, 
tem sua superfície exposta a um líquido dielétrico com h = 1000 W/m
2
.K e temperatura de 
20
o
C. Considerando troca convectiva de calor na ponta dos tubos, calcule: a) a taxa de 
calor dissipada por um pino de cobre e b) a taxa de calor total dissipada e a eficiência do 
conjunto de aletas + base. 
 
Exercício 115 
116) Para aumentar a dissipação de calor de um circuito integrado de 30 mm de largura e 40 
mm de altura, propôs-se a utilização de 16 aletas piniformes de cobre de 5 mm de 
diâmetro e 2 cm de comprimento. O circuito integrado é mantido em um ambiente a 15C, 
com um coeficiente convectivo de 12 W/m
2
.K. A temperatura superficial do chip é de 
80C. Considerando-se que as pontas das aletas são isoladas termicamente, determine: 
a) A eficiência de uma aleta 
b) A eficiência do conjunto base + aletas. 
117) Aletas piniformes são amplamente utilizadas em sistemas eletrônicos para promover 
resfriamento, bem como para dar sustentação aos componentes. Considere aletas 
piniformes de 150 mm de comprimento e 25 mm de diâmetro, feitas de alumínio, 
conectando dois dispositivos eletrônicos de seção quadrada (aresta a = 200 mm). Admita 
que as superfícies expostas dos componentes se encontram a uma temperatura uniforme 
de 80C e que a transferência de calor por convecção ocorra das superfícies expostas para 
um fluido adjacente a uma temperatura de 20C, com coeficiente convectivo de 30 
W/(m
2
.K). As superfícies laterais e traseiras dos componentes eletrônicos são 
perfeitamente isoladas. 
a) Obtenha a taxa de calor perdida por uma aleta; 
b) Para um sistema constituído por 4 aletas piniformes ligando os dois dispositivos, 
obtenha a taxa total de calor perdida para o ar ambiente. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 200 
 
Exercício 117 Exercício 118 
118) Lâminas de turbina montadas sobre um disco rotativo em um motor por turbina a gás 
estão expostos a uma corrente de gás que se encontra a uma temperatura de 1200C e que 
mantém um coeficiente de transferência de calor por convecção h = 250 W/(m
2
.K) sobre a 
lâmina. As lâminas, fabricadas em um material com condutividade térmica k = 20 
W/(m.K), possuem um comprimento L = 50 mm. O perfil da lâmina tem uma área da 
seção reta de 6,0x10
-4
 m
2
 e um perímetro de 110 mm. Um esquema proposto para o 
resfriamento da lâmina é capaz de manter a base de cada lâmina a uma temperatura de 
300C. Despreze quaisquer efeitos de radiação. 
a) Se a temperatura máxima permitida para a lâmina é de 1050C e a ponta da lâmina 
pode ser considerada adiabática, determine, através de cálculos, se o esquema de 
resfriamento proposto é satisfatório; 
b) Para o esquema de resfriamento proposto, determine a taxa de calor trocada entre cada 
lâmina e a corrente de gás. 
119) Como um meio para melhorar a transferência de calor em chips lógicos de alto 
desempenho, é comum a fixação de um sorvedouro de calor à superfície do chip, com o 
objetivo de aumentar a área superficial disponível para transferência de calor por 
convecção. Seja um chip com largura 
mm16B 
, resfriado por um líquido dielétrico a 
uma temperatura de 25
o
C e com h = 1500 W/m
2
.K. O sorvedouro de calor é fabricado em 
cobre (k = 400W/m.k). Para um chip específico, o sorvedouro de calor é constituído por 
16 aletas quadradas de aresta a = 0,25 mm e comprimento L = 6 mm. Se a temperatura 
máxima permissível para o chip é 85
o
C, qual é a potência máxima que ele pode dissipar? 
Considere que todo o calor gerado é dissipado através do conjunto chip + sorvedouro de 
calor e que a ponta da aleta é isolada termicamente. 
 
Exercício 119 
120) À medida que se aumenta o número de componentes colocados em um circuito 
integrado, a quantidade de calor dissipada também aumenta. Entretanto, este aumento está 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 201 
limitado pela máxima temperatura de operação permissível para o chip que é de 
aproximadamente 75ºC. Para maximizar a dissipação de calor, propõe-se que um conjunto 
de aletas de alumínio fixadas em uma base seja instalado sobre a superfície externa do 
chip. Considerando que as pontas das aletas são adiabáticas, pede-se: 
a) A taxa de calor dissipada por uma aleta; 
b) A taxa de calor dissipada pelo conjunto superfície + aletas; 
c) A eficiência de uma aleta. 
 
Exercício 120 
121) A adição de aletas de alumínio foi sugerida para aumentar a taxa de dissipação de 
calor de um dispositivo eletrônico com 1 m de largura e 1 m de altura. As aletas devem ter 
seção transversal retangular, com 2,5 cm de comprimento e 0,25 cm de espessura, como 
mostrado na figura. Devem ser instaladas 100 aletas. O coeficiente de transferência de 
calor por convecção é estimado em 35 W/m
2
.K. Determine a razão entre a taxa de calor 
dissipada pelo componente eletrônico (se não forem utilizadas aletas) e a taxa real 
dissipada. Considere que as pontas das aletas são isoladas termicamente. 
 
Exercício 121 
122) Considere um chip quadrado de silício de 20 mm de largura, resfriado por um líquido 
dielétrico a uma temperatura de 15C, com coeficiente convectivo uniforme de 850 
W/m
2
.K. Sabe-se que a temperatura máxima admissível para o chip é de 85C. 
a) Determine a potência máxima que o chip pode dissipar. 
b) A fim de aumentar a potência máxima que o chip pode dissipar, foram colocadas 16 
aletas piniformes de cobre, com 1 mm de diâmetro e 5 mm de comprimento. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 202 
Considerando condição convectiva nas pontas das aletas, determine a potência que o 
conjunto chip + aletas é capaz de dissipar. 
123) Sobre uma placa plana de 0,5 m de largura e 20 m de comprimento, escoa ar a 20oC. A 
placa é mantida em uma temperatura uniforme de 100
o
C. O fluxo de calor da superfície 
para o ar varia com a posição da placa, de acordo com a expressão 
2" axq 
, onde a = 4W. 
Determine: a) o coeficiente convectivo local na posição x = 10 m, b) o coeficiente global 
de transferência de calor por convecção na placa e c) a taxa total de calor transferida. 
124) Um longo cilindro circular de naftaleno sólido, com 20 mm de diâmetro e fabricado 
em é exposto a uma corrente de ar que proporciona um coeficiente de transferência 
convectivo de massa de 
./05,0 smhm 
 A concentração molar do vapor de naftaleno na 
superfície do cilindro é 5x10
-6
 kmol/m
3
 e a sua massa molecular é de 128 kg/kmol. 
Calcule a taxa mássica de sublimação por unidade de comprimento do cilindro. 
125) Para o escoamento de ar a 20oC e velocidade de 0,5 m/s sobre uma placa plana a uma 
temperatura de 60
o
C, determine as espessuras das camadas limite fluidodinâmica e 
térmica para as seguintes posições: a) x = 4 m, b) x = 20 m. 
126) Para o escoamento do exercício anterior, determine o fluxo de transferência de calor 
por convecção nas posições x = 4 m e x = 20 m. 
127) Ar a 20C escoa sobre uma placa plana de comprimento L = 5 m e largura b = 1 m, 
com uma velocidade de 2,5 m/s. A placa se encontra a uma temperatura de 180C. 
Determine: 
a) A espessura da camada limite fluidodinâmica em x = L/2; 
b) A taxatotal de calor perdida pela placa. 
128) Ar a 20oC escoa sobre uma placa plana de 10 m de comprimento e 2 m de largura, 
com uma velocidade igual a 2 m/s. A chapa se encontra a uma temperatura igual a 80
o
C. 
Calcule: 
a) o fluxo de calor na posição x = 6 m, 
b) a taxa total de calor transferida para o ar, considerando escoamento turbulento desde o 
início da placa, 
c) a taxa real de transferência de calor. 
129) Para o escoamento de ar a 25oC e velocidade de 2 m/s sobre uma placa plana de 15 m 
de comprimento mantida a 95
o
C, determine: 
a) uma expressão para o coeficiente local de transferência de calor por convecção em 
função da posição, 
b) o coeficiente global de transferência de calor e 
c) a espessura da camada limite fluidodinâmica na posição x = 10m. 
130) Água a 20C escoa sobre uma placa plana de 0,5 m de comprimento e 0,25 m de 
largura, com velocidade igual a 0,5 m/s. A placa se encontra a uma temperatura igual a 
60C. Determine: 
a) O fluxo de calor em x = 0,5 m; 
b) A taxa total de calor transferida da placa para a água. 
131) Ar a 100C escoa sobre uma placa plana de 5 m de comprimento e 0,75 m de largura, 
com velocidade V = 3,5 m/s. A placa se encontra a uma temperatura igual a 20C. 
Determine: 
a) A espessura da camada limite fluidodinâmica no final da placa; 
b) O fluxo de calor em x = 2,5 m. 
132) Ar a 25C escoa sobre uma placa plana de 3 m de comprimento e 0,9 m de largura, 
com uma velocidade de 2,5 m/s. Se a placa se encontra a uma temperatura de 75C, 
determine: 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 203 
a) Uma expressão para o coeficiente de transferência de calor por convecção da placa 
para o ar em função da distância x e 
b) O fluxo de calor na posição x = 1,5 m. 
133) Um chip quadrado de silício, de aresta a = 10 mm, está isolado em uma de suas 
superfícies e é resfriado na superfície oposta com ar atmosférico, em escoamento paralelo, 
com temperatura de 20C e velocidade de 20 m/s. Se a temperatura do chip não pode 
exceder 80C, qual é a potência máxima permitida? 
 
Exercício 133 
134) Ar a 20C escoa sobre uma placa plana de 6 m de comprimento e 1 m de largura, com 
uma velocidade de 1,5 m/s. A chapa se encontra a 100C. Determine a taxa total de calor 
transferida para o ar. 
135) Água a 20C escoa sobre uma placa plana de 10 m de comprimento e 1,5 m de largura, 
com uma velocidade de 2 m/s. A chapa se encontra a 80C. Determine a taxa total de 
calor transferida para a água. 
136) Deseja-se resfriar uma superfície plana de 2 m de largura e 7 m de comprimento, 
mantida em uma temperatura de 100C, através da passagem de uma corrente de ar a 
20C. 
a) Considerando que o escoamento é laminar ao longo de toda a placa, determine qual 
deve ser a velocidade da corrente livre (constante) para garantir que seja retirada a taxa de 
calor de 2 kW. 
b) Verifique se a condição de escoamento laminar ao longo de toda a placa é aceitável. 
137) Ar escoa sobre uma superfície plana aquecida, a uma velocidade de 1 m/s. A 
superfície tem 1 m de largura e 50 m de comprimento. Se a superfície é mantida a 100C, 
determine qual deve ser a temperatura do ar para garantir que uma taxa de calor de 10 kW 
seja retirada da superfície. Assuma as propriedades para o ar: 
(
705,0PreK.m/W0288,0k,s.m/kg10x99,1,m/kg076,1 53  
). 
138) Ar a 20C e 1 m/s escoa entre duas placas planas paralelas, separadas por 5 cm (ver 
figura), mantidas a 60C. As placas têm um comprimento total de 1,4 m e 20 cm de 
largura. 
a) Determine o comprimento necessário para que as camadas limite fluidodinâmicas se 
encontrem; 
b) Determine a taxa de transferência de calor trocada entre as placas e o ar, até uma 
distância de 0,7 m. Considere que, até as camadas limite fluidodinâmicas se 
encontrarem, uma placa não interfere na outra. 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 204 
 
 
Exercício 138 Exercício 139 
139) Determine a taxa de calor perdida pela parede de um edifício, resultante de um vento 
de 4,5 m/s soprando paralelo à superfície. A parede tem 8 m de comprimento e 20 m de 
altura, sua temperatura superficial é de 40C e a temperatura do ar ambiente é de 20C. 
140) Uma placa plana com 1 m de largura é mantida a uma temperatura superficial 
uniforme de 220C, pelo uso de fitas aquecedoras controladas independentemente, cada 
uma com 50 mm de comprimento. Ar atmosférico a 20C escoa sobre a placa a uma 
velocidade de 60 m/s. 
a) Quantas tiras são necessárias para que se inicie o escoamento turbulento? 
b) Considerando que o comprimento da placa é de 10 m, determine a taxa total de calor 
transferida para o ar. Justifique todas as hipóteses adotadas. 
141) Um aquecedor elétrico de ar é constituído por um conjunto horizontal de finas tiras 
metálicas que possuem, cada uma, 10 mm de comprimento na direção do escoamento do 
ar, que é paralelo à superfície superior das tiras. Cada tira possui 0,2 m de largura. 25 tiras 
são posicionadas lado a lado, formando uma superfície lisa e contínua (de 25 cm de 
comprimento e 20 cm de largura), sobre a qual o ar escoa a uma velocidade de 2 m/s. 
Durante a operação, cada tira é mantida a uma temperatura de 180C, enquanto o ar se 
encontra a 20C. 
a) Determine a taxa total de calor transferida para o ar. Justifique todas as hipóteses 
adotadas. 
b) Avalie a espessura da camada limite fluidodinâmica no final da superfície. 
142) Uma placa de cobertura de um coletor solar plano possui 1 m de largura e 1 m de 
comprimento, A placa se encontra a uma temperatura de 90C. Ar a 30C escoa sobre a 
placa com uma velocidade de 2 m/s. 
a) Determine a taxa total de calor perdida para o ar. 
b) Determine a máxima espessura da camada limite fluidodinâmica. 
143) Uma placa de cobertura de um coletor solar plano, de largura b = 1 m e comprimento 
L = 2 m, encontra-se a uma temperatura de 100C. Ar ambiente a 20C escoa 
paralelamente sobre a placa com uma velocidade de 2 m/s (ver figura). Determine a taxa 
total de calor perdida para o ar se: 
a) O ar escoa paralelamente ao comprimento da placa; 
b) O ar escoa paralelamente a largura da placa 
Fenômenos de Transporte – 02/2011 Cristiana Brasil Maia 
Transferência de Calor 
 205 
 
Exercício 143 
144) Água de refrigeração a 15C escoa a 10 m/s sobre uma superfície plana a 45C, em um 
transformador elétrico. O comprimento total da superfície é de 0,25 m e a sua largura é de 
0,1 m. 
a) Determine a posição x na qual o escoamento se torna turbulento; 
b) Considerando escoamento turbulento ao longo de toda a placa, determine a taxa total 
de calor retirada pela água. 
c) Determine a taxa real de calor retirada pela água. 
d) A hipótese de escoamento turbulento ao longo de toda a placa poderia ser utilizada? 
Justifique. 
145) Um trocador de calor para o aquecimento de mercúrio líquido está em 
desenvolvimento. Ele pode ser visualizado como uma placa plana de 150 mm de 
comprimento e 30 cm de largura. A placa é mantida a 70C e o mercúrio flui 
paralelamente ao lado mais curto, a 0,3 m/s e temperatura de 15C. Determine a taxa total 
de calor fornecida para o mercúrio. Assuma as seguintes propriedades para o mercúrio: 
(
0207,0PreK.m/W4,9k,s.m/kg10x05,14,m/kg13500 43  
). 
 
Exercício 145 
146) Deseja-se retirar calor de uma superfície mantida a uma temperatura de 100C. Sobre 
a placa, escoa ar a 20C, com uma velocidade de 10 m/s. A placa tem 20 m de 
comprimento e 0,75 m de largura. 
a) Determine a espessura da camada limite fluidodinâmica no final da placa. 
b) Determine a taxa total de calor transferida da placa para o ar. Justifique todas as 
considerações feitas.