Noções Primitivas de Geometria e Trigonometria

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06 NOÇÕES DE GEOMETRiA E TRiGONOMETRiA PARTE 01 : GEOMETRiA 6.1.1 As regras do jogo validas pl todos os campos da matematica Os elementos Noções comuns I. As coisas iguais à mesma coisa são também iguais entre si. 2. E, caso sejam adicionadas coisas iguais a coisas iguais, os todos são iguais. 3. E, caso de iguais sejam subtraídas iguais, as restantes são iguais. [4. E, caso iguais sejam adicionadas a desiguais, os todos são desiguais. 5. E os dobros da mesma coisa são iguais entre si. 6. E as metades da mesma coisa são iguais entre si.] 7. E as coisas que se ajustam uma à outra são iguais entre si. 8. E todo [é] maior do que a parte. 9. E duas retas não contêm uma área. congruência e de NARRADOda geometria Postulados I. Fique postulado traçar uma reta a partir de todo ponto até todo ponto. 2. Também prolongar uma reta limitada, continuamente, sobre uma reta. 3. E, com todo centro e distância, descrever um círculo. 4. E serem iguais entre si todos os ângulos retos. 5. E, caso uma reta, caindo sobre duas retas, faça os ângulos interiores e do mesmo lado menores do que dois retos, sendo prolongadas as duas retas, ilimitadamente, encontrarem-se no lado no qual estão os menores do que dois retos. Postulado 01 Y X A Postulado 02 NARRADOPostulado 03 R R R + " R Postulado 04 7 90° NARRADOPostulado 05 r + S + r S H F r L F NARRADOObservação que é um medida da abertura entre duas retas r a base para a medida dos e' a circunferência. Uma circunferência conte'm r r r s S r r 45. 45. 360. s 45. 45. NARRADO6.1.2 Congruência de Dois triângulos são ditos congruentes (iguais) se eles são idênticos em suas medidas lângulos todos iguais e lados todos iguais) CASO 01 : L.A.L. A' A α B' c' J J NARRADOCASO : A.L.A. A A J CASO 03 : A B B' J X NARRADOCASO 04 : L.A. Aop. A A B' J J NARRADO6.1.3 Semelhança de A' A c' b' b H B B' a J c' a' Os triângulos e ДА'В'С' são semelhantes se: a b 11 = = K a' b' c' razão de Congruência: K = 1 semelhanga NARRADOCASOS DE SEMELHANÇA DE D's CASO 01 : A A 3x y B' J Os casos de semelhanga de são mesmos casos de congruência. A congruência de uma semelhanga de com de semelhança igual a 1. NARRADOExemplo A.L.A. è A 43 z y 4y B' NARRADO6.1.4 Paralelismo de Retas s r & 2 NARRADOQuando duas retas paralelas são cortadas por uma transversal (t) OS seguintes ângulos são congruentes: t A r C D / CORRESPONDENTES C e D OPOSTOS PELO / ALTERNOS INTERNOS. - NARRADOAplicação Soma dos internos de um α + + = 180 J J r r 2 B A A Conclusão : se dois tem dois ângulos iguais eles serão semelhantes. NARRADOExemplos (i) Calule A' A B' 20 100 4 8 30 J A' A + 50 100 4 B' 20 8 30 J 4 :. = 8 20 X = 8 5 NARRADOExemplos (ii) Calule 12 A 3 B' d 2 12 A X 3 = 3 (2+x) + 12 B' r d 2 B 4 4x = X=2/3 = 2/3 NARRADOAplicação Teorema do externo ângulo externo de um e' igual sema dos dois ângulos internos não adjacentes. J r A J J D = r 180 + = = A = NARRADOExemplos (i) Calcule d 120. 120. 120. = = 90 NARRADO(ii) Calcule X r S r S X = 30. 90 30 NARRADO#01 SOL h a b Se a=2,5m, = e qual tamanho do prédio? 1,5m 50m NARRADOX = 1,5 2,5 1.5.20 3 20 = 30m Obs.: raios de luz do sol chegam na terra praticamente peralelos entre si NARRADO# 02 24m m 2m 8m = 90' 2 24m 2m d L. 8m = : X 24 X = 6m 2 8 NARRADO#03 mede tamanho da terra sec. 2/3 A S Siena : Alexandria NARRADOh S A c S A = 800km S NARRADOComplemento h = S h S 7,2° A D = 800km S Proporção 800 km = 7,2° 360° c = 40.000 NARRADO6.1.5 Teorema de Pitagoras. b tc 2 A = (b+c) (b b tc b LAL B b α b tc b a b b NARRADOObs. : b L. h = h + h b b A = AD D + AD A D 2 A D = b.h h b & NARRADOd b+c = 4. c + a btc b = + = 2bc + a = 2bc + a a = + a b NARRADOExemplos (i) X = ? 5 Γ. 12 X = = 144 25 = 169 x² = X= 13 NARRADO(ii) 15 = 8 = + 225 = + 64 225 - 64 = 161 y = N 161 NARRADOObs triângulos = 3 + y=? = 16 = 25 3 = 25 y=5 y = 5 4 = + = + x² = x² = 2 = y = 5x lados proporcionais a (3,4,5) hipotenusa cateto cateto NARRADOExemplos (i) = 15 12 3.4 9 50 (ii) 5.10 4.10 30 3.10 4.50 = 200 (iii) 160 4.40 120 4.30 NARRADO6.1.6 Iso'sceles e Internos. Num triangulo isósceles ângulos base iguais. A AB = AC B PASSO 01: prolongar ate' E e c ate' D de (postulado 01) modo que BE = CD PASSO DACE e são iguais EC = BD (congruência 04) NARRADOA E D A X E D A A E NARRADOPASSO 03 : ABEC ABCD = CBD X E D 111 E X D NARRADOPASSO 04: A : y - = - y X E D Conclusão : : A AB : AC d = f c NARRADOMais uma Num triangulo a altura (relativa ao lado diferente) tambe'm e' mediana e parte parte lado meio. ângulo meio. A A + = + M NARRADOExemplo Calule AB e AC A 6 J 8 A = = + 6 = + = = 13 J 4 4 = 13 NARRADOPARTE 02 : 6.2 As razões trigonome'tricas no triângulo retângulo. az b2 b₃ d C1 C2 Semelhanga de : b1 b1 b2 = = bz C2 C1 C2 b1 = = = b4 = tg CI C2 C3 C4 NARRADOaz b₃ b2 d d C1 C2 Semelhanga de : C1 a, C1 = C3 " C3 a3 a, a3 C2 = C3 C4 = " a, az a3 NARRADOaz b₃ b2 d d L. C1 Semelhanga de b₂ b₂ b3 :. = = a3 a3 b2 b3 b4 = sen = = : a, a3 a4 NARRADOsen = b a cos - = a b a tg = b tg = seno = b C = b NARRADOObs seno, tangente e' uma propriedade do angulo. 6x B 2x 2x cosd= cosd = 2x cosd = = 2x 6x 2x 2x cosd = 1 = = 1/2 1 = 1 1/3 3 2 2x 8x NARRADOExemplo CALWLE + 1 3 Caminho 01 Caminho 02 SEMELHANÇA: 1 3 = = X = 1 18 18 3 3x = 18 = 18 X = 6 X=6 = NARRADO+ 1 1 9 = = X = 6 6 NARRADO6.2.1 Arcos 1111 45. sen 1/2 3 1/2 tan N3/3 1 N3 NARRADOConstruindo a tabela CASO 01 cos45 = 1 45 cos = 1 2 45. sen45 = 1 1 sen45 = 2 1 = = 1 1 tg = 1 NARRADOCASO 02 2 2 2 2 60 60 60 F 1 1 2 = + :. = 3 2 y= N3 y 1 N3 30 = N3 2 i = 1 2 tg = 1 = 3 = N3 i = 1 tg = 1 = 2 NARRADOExemplos #01 = 4 = 1 X 2 30 X = ? = 4 - NARRADO# 02 = = X=? = X=2 = + NARRADO