Sumário de Matemática

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sumário
Teoria de Conjuntos: Relações de pertinência, de inclusão e igualdade e operações 
entre Conjuntos (união, interseção, diferença e complementar) .................................... 1
Conjuntos Numéricos: Propriedades e operações referentes aos Conjuntos Numéricos 
(Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais) ........................................................ 7
Relações e Funções Reais: Análise de gráficos; resolução de Equações Polinomiais 
do 1º e 2º graus, Função Afim e Função Quadrática ..................................................... 26
Análise Combinatória e Probabilidade: Princípio Fundamental da Contagem, Fatoria-
lAgrupamentos Simples: (Permutações, Arranjos e Combinações), Permutações com 
elementos repetidos. Conceito de Probabilidade, Probabilidade da União de Eventos, 
Probabilidade Condicional, Probabilidade de Eventos Independentes e Probabilidade 
Binomial .......................................................................................................................... 36
Medidas e Grandezas: Problemas envolvendo medidas de Comprimento, Área, Volu-
meMassa, Capacidade e Tempo .................................................................................... 42
Problemas envolvendo Grandezas Diretamente e Inversamente proporcionais ........... 47
Regra de Três Simples e Composta............................................................................... 50
Porcentagem, Aumentos e Descontos sucessivos e Variação Percentual .................... 52
Matemática Financeira: Regimes de Capitalização Simples e Composto ..................... 54
Introdução à Lógica Matemática: Proposições (conectivos e operações lógicas), Estru-
turas Lógicas. Lógica Sentencial (ou Proposicional), Proposições Simples e Compos-
tas, Tabelas-verdade e Equivalências. Tautologias, Contradições e Contingências ...... 56
Lógica de Argumentação, analogias, inferências, deduções e conclusões ................... 65
Estatística Descritiva: Leitura, representação e interpretação de gráficos. Medidas de 
tendência central: Média, moda e mediana.................................................................... 70
Questões ........................................................................................................................ 80
Gabarito .......................................................................................................................... 89
M
at
em
át
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Ló
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Câmara Municipal de Viçosa-MG
Matemática e Raciocínio Lógico
1
Teoria de Conjuntos: Relações de pertinência, de inclusão e igualdade e operações 
entre Conjuntos (união, interseção, diferença e complementar)
Os conjuntos estão presentes em muitos aspectos da vida, seja no cotidiano, na cultura ou na ciência. Por 
exemplo, formamos conjuntos ao organizar uma lista de amigos para uma festa, ao agrupar os dias da semana 
ou ao fazer grupos de objetos. Os componentes de um conjunto são chamados de elementos, e para represen-
tar um conjunto, usamos geralmente uma letra maiúscula.
Na matemática, um conjunto é uma coleção bem definida de objetos ou elementos, que podem ser núme-
ros, pessoas, letras, entre outros. A definição clara dos elementos que pertencem a um conjunto é fundamental 
para a compreensão e manipulação dos conjuntos.
Símbolos importantes
∈: pertence
∉: não pertence
⊂: está contido
⊄: não está contido
⊃: contém
⊅: não contém
/: tal que
⟹: implica que
⇔: se,e somente se
∃: existe
∄: não existe
∀: para todo(ou qualquer que seja)
∅: conjunto vazio
N: conjunto dos números naturais
Z: conjunto dos números inteiros
Q: conjunto dos números racionais
I: conjunto dos números irracionais
R: conjunto dos números reais
Representações
Um conjunto pode ser definido:
• Enumerando todos os elementos do conjunto
S={1, 3, 5, 7, 9}
• Simbolicamente, usando uma expressão que descreva as propriedades dos elementos
B = {x∈N|x0,504 L (entre 0,5 e 1L)
Resposta:D
MASSA
No Sistema Internacional de unidades a medida de massa é o quilograma (kg). Um cilindro de platina e irídio 
é usado como o padrão universal do quilograma.
UNIDADES DE MASSA
kg hg dag g dg cg mg
Quilograma Hectograma Decagrama Grama Decigrama Centigrama Miligrama
1000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001
Toda vez que andar 1 casa para direita, multiplica por 10 e quando anda para esquerda divide por 10.
E uma outra unidade de massa muito importante é a tonelada
1 tonelada=1000kg
Exemplo: 
(FUNCAB - 2014 - SEE-AC - Professor EJA I (1º Segmento)) Assinale a alternativa que contém a maior 
dentre as massas representadas a seguir.
25kg / 42.000g / 1.234,3 dg / 26.000 cg / 2.000 mg
Alternativas
(A) 25 kg
(B) 42.000 g
(C) 1.234,3 dg
(D) 26.000 cg
(E) 2.000mg
Resolução: Primeiramente você deve passar todas as medidas diferentes para a mesma unidade de medi-
das, pois só assim você conseguirá fazer a comparação de quem é maior
25 kg = 25000g
42.000g= 42000g
26.000 cg = 260g
2.000 mg = 2g
1.234,3 dg = 123,43g
Resposta:B
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TEMPO
A unidade fundamental do tempo é o segundo(s).
É usual a medição do tempo em várias unidades, por exemplo: dias, horas, minutos
Transformação de unidades
Deve-se saber:
1 dia=24horas
1hora=60minutos
1 minuto=60segundos
1hora=3600s
Adição de tempo
Exemplo: Estela chegou ao ginásio às 15h 35minutos. Lá, bateu seu recorde de nado livre e fez 1 minuto e 
25 segundos. Demorou 30 minutos para chegar em casa. Que horas ela chegou?
15h 35 minutos
1 minutos 25 segundos
30 minutos
--------------------------------------------------
15h 66 minutos 25 segundos
Não podemos ter 66 minutos, então temos que transferir para as horas, sempre que passamos de um para 
o outro tem que ser na mesma unidade, temos que passar 1 hora=60 minutos
Então fica: 16h6 minutos 25segundos
Vamos utilizar o mesmo exemplo para fazer a operação inversa.
Subtração
Vamos dizer que sabemos que ela chegou em casa as 16h6 minutos 25 segundos e saiu de casa às 15h 35 
minutos. Quanto tempo ficou fora?
11h 60 minutos
16h 6 minutos 25 segundos
-15h 35 min
--------------------------------------------------
Não podemos tirar 6 de 35, então emprestamos, da mesma forma que conta de subtração.
1hora=60 minutos
15h 66 minutos 25 segundos
15h 35 minutos
--------------------------------------------------
0h 31 minutos 25 segundos
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Multiplicação
Pedro pensou em estudar durante 2h 40 minutos, mas demorou o dobro disso. Quanto tempo durou o es-
tudo?
2h 40 minutos
x2
----------------------------
4h 80 minutos OU
5h 20 minutos
Divisão
5h 20 minutos : 2
5h 20 minutos 2
1h 20 minutos 2h 40 minutos
80 minutos
0
1h 20 minutos, transformamos para minutos :60+20=80minutos
Exemplo:
(CONESUL - 2008 - CMR-RO - Agente Administrativo) Um intervalo de tempo de 4,15 horas corresponde, 
em horas, minutos e segundos a
Alternativas
(A) 4 h 1 min 5 s.
(B) 4 h 15 min 0 s.
(C) 4h 9 min 0 s.
(D) 4 h 10 min 5 s.
(E) 4 h 5 min 1 s. 
Resolução: Transformando 4,15h em minutos = 4,15x60 = 249 minutos.
249min = 4h + 9 minutos
Resposta:C
Problemas envolvendo Grandezas Diretamente e Inversamente proporcionais
Frequentemente nos deparamos com situações em que é necessário comparar grandezas, medir variações 
e entender como determinadas quantidades se relacionam entre si. Para isso, utilizamos os conceitos de razão 
e proporção, que permitem expressar de maneira simples e eficiente essas relações.
RAZÃO
A razão é uma maneira de comparar duas grandezas por meio de uma divisão. Se temos dois números a e 
b (com b≠0), a razão entre eles é expressa por a/b ou a:b. Este conceito é utilizado para medir a relação entre 
dois valores em diversas situações, como a comparação entre homens e mulheres em uma sala, a relação 
entre distâncias percorridas e tempo, entre outros.
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Exemplo:
Em uma sala de aula há 20 rapazes e 25 moças. A razão entre o número de rapazes e moças é dada por:
Portanto, a razão é 4:5.
Razões Especiais
Algumas razões são usadas em situações práticas para expressar comparações específicas:
− Velocidade Média: A razão entre a distância percorrida e o tempo gasto, representada por: 
− Densidade Demográfica: A razão entre o número de habitantes e a área de uma região, dada por: 
− Escalas: Usada para representar a proporção entre o tamanho real de um objeto e sua representação em 
um mapa ou desenho, como: 
PROPORÇÃO
Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. Se temos duas razões A\B e C\D , dizemos que elas 
estão em proporção se:
Esse conceito é frequentemente utilizado para resolver problemas em que duas ou mais relações entre 
grandezas são iguais. A propriedade fundamental das proporções é que o produto dos extremos é igual ao 
produto dos meios, ou seja:
Exemplo:
Suponha que 3/4 esteja em proporção com 6/8 . Verificamos se há proporção pelo produto dos extremos e 
dos meios:
3 × 8 = 4 × 6
Como 24 = 24, a proporção é verdadeira.
Exemplo:
Determine o valor de X para que a razão X/3 esteja em proporção com 4/6 . Montando a proporção:
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Multiplicando os extremos e os meios:
6X = 3 × 4
6X = 12
X = 2
Propriedades das Proporções
Além da propriedade fundamental, as proporções possuem outras propriedades que podem facilitar a reso-
lução de problemas. Algumas das mais importantes são:
− Soma ou diferença dos termos: A soma (ou diferença) dos dois primeiros termos está para o primeiro 
(ou segundo) termo assim como a soma (ou diferença) dos dois últimos termos está para o terceiro (ou quarto) 
termo. Por exemplo: 
− Soma ou diferença dos antecedentes e consequentes: A soma (ou diferença) dos antecedentes está 
para a soma (ou diferença) dos consequentes, assim como cada antecedente está para seu respectivo conse-
quente: 
GRANDEZAS PROPORCIONAIS
Além de compreender razão e proporção, é importante entender como diferentes grandezas se relacionam 
entre si, conforme o comportamento das variáveis envolvidas.
Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre seus valores é constante, ou seja, 
quando uma grandeza aumenta, a outra também aumenta proporcionalmente. O exemplo clássico é a relação 
entre distância percorrida e combustível gasto:
Distância (km) Combustível (litros)
13 1
26 2
39 3
52 4
Nessa situação, quanto mais distância se percorre, mais combustível é gasto. Se a distância dobra, o com-
bustível também dobra.
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Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira grandeza é 
igual ao inverso da razão dos valores correspondentes da segunda. Um exemplo clássico é a relação entre 
velocidade e tempo:
Velocidade (m/s) Tempo (s)
5 200
8 125
10 100
16 62,5
20 50
Aqui, quanto maior a velocidade, menor o tempo necessário para percorrer uma distância. Se a velocidade 
dobra, o tempo cai pela metade.
Regra de Três Simples e Composta
A regra de três é uma ferramenta matemática essencial que permite resolver problemas que envolvem a 
proporcionalidade direta ou inversa entre grandezas. Seja no planejamento de uma receita de cozinha, no cál-
culo de distâncias em um mapa ou na gestão financeira, a regra de três surge como um método prático para 
encontrar valores desconhecidos a partir de relações conhecidas.
REGRA DE TRÊS SIMPLES
A regra de três simples é utilizada quando temos duas grandezas diretamente proporcionais ou inversamen-
te proporcionais entre si.
Passos utilizados numa regra de três simples:
1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma 
linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3º) Montar a proporção e resolver a equação.
Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. 
Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?
Solução: montandoa tabela:
1) Velocidade (Km/h) Tempo (h)
400 ----- 3
480 ----- X
2) Identificação do tipo de relação:
VELOCIDADE Tempo
400 ↓ ----- 3 ↑
480 ↓ ----- X ↑
Obs.: como as setas estão invertidas temos que inverter os números mantendo a primeira coluna e inver-
tendo a segunda coluna ou seja o que está em cima vai para baixo e o que está em baixo na segunda coluna 
vai para cima
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VELOCIDADE Tempo
400 ↓ ----- 3 ↓
480 ↓ ----- X ↓
480x=1200
X=25
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
Regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente 
proporcionais.
Exemplos:
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão neces-
sários para descarregar 125m³?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, 
as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
HORAS CAMINHÕES VOLUME
8 ↑ ----- 20 ↓ ----- 160 ↑
5 ↑ ----- X ↓ ----- 125 ↑
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
Observe que:
Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação 
é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é direta-
mente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o pro-
duto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
HORAS CAMINHÕES VOLUME
8 ↑ ----- 20 ↓ ----- 160 ↓
5 ↑ ----- X ↓ ----- 125 ↓
 
Obs.: Assim devemos inverter a primeira coluna ficando:
HORAS CAMINHÕES VOLUME
8 ----- 20 ----- 160 
5 ----- X ----- 125 
Logo, serão necessários 25 caminhões
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Porcentagem, Aumentos e Descontos sucessivos e Variação Percentual
O termo porcentagem se refere a uma fração cujo denominador é 100, representada pelo símbolo (%). Seu 
uso é tão comum que a encontramos em praticamente todos os aspectos do dia a dia: nos meios de comunica-
ção, em estatísticas, nas etiquetas de preços, nas máquinas de calcular, e muito mais.
A porcentagem facilita a compreensão de aumentos, reduções e taxas, o que auxilia na resolução de exer-
cícios e situações financeiras cotidianas.
Acréscimo
Se, por exemplo, há um acréscimo de 10% a um determinado valor, podemos calcular o novo valor multipli-
cando esse valor por 1,10, que é o fator de multiplicação. Se o acréscimo for de 20%, multiplicamos por 1,20, e 
assim por diante. Veja a tabela abaixo:
ACRÉSCIMO OU LUCRO FATOR DE MULTIPLICAÇÃO
10% 1,10
15% 1,15
20% 1,20
47% 1,47
67% 1,67
Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 
10 × 1,10 = R$ 11,00
Desconto
No caso de haver um decréscimo, o fator de multiplicação será:
Fator de Multiplicação = 1 - taxa de desconto (na forma decimal)
Veja a tabela abaixo:
DESCONTO FATOR DE MULTIPLICAÇÃO
10% 0,90
25% 0,75
34% 0,66
60% 0,40
90% 0,10
Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 
10 × 0,90 = R$ 9,00
Desconto Composto
O desconto composto é aplicado de forma que a taxa de desconto incide sobre o valor já descontado no 
período anterior. Para calcular o novo valor após vários períodos de desconto, utilizamos a fórmula:
Vn = V0 × (1 - taxa)n
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Onde:
• Vn é o valor após n períodos de desconto.
• V0 é o valor original.
• Taxa é a taxa de desconto por período em forma decimal.
• n é o número de períodos. 
DESCONTO FATOR DO 1º PERÍODO FATOR DO 2 º PERÍODO FATOR DO 3º PERÍODO
10% 0,90 0,81 0,729
25% 0,75 0,5625 0,4218
34% 0,66 0,4356 0,2872
60% 0,40 0,16 0,064
90% 0,10 0,01 0,001
Exemplo: Se aplicarmos um desconto composto de 10% ao valor de R$100,00 por dois períodos, teremos:
100 × 0,90 × 0,90 = R$ 81,00
Lucro
Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e 
o preço de custo.
Lucro = preço de venda - preço de custo
Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:
Exemplo
(DPE/RR – Analista de Sistemas – FCC/2015) Em sala de aula com 25 alunos e 20 alunas, 60% desse 
total está com gripe. Se x% das meninas dessa sala estão com gripe, o menor valor possível para x é igual a
(A) 8.
(B) 15.
(C) 10.
(D) 6.
(E) 12.
Resolução
45------100%
X-------60%
X=27
O menor número de meninas possíveis para ter gripe é se todos os meninos estiverem gripados, assim 
apenas 2 meninas estão.
Resposta: C.
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Matemática Financeira: Regimes de Capitalização Simples e Composto
Os juros simples e compostos são cálculos efetuados com o objetivo de corrigir os valores envolvidos nas 
transações financeiras, isto é, a correção que se faz ao emprestar ou aplicar uma determinada quantia durante 
um período de tempo5.
O valor pago ou resgatado dependerá da taxa cobrada pela operação e do período que o dinheiro ficará 
emprestado ou aplicado. Quanto maior a taxa e o tempo, maior será este valor.
JUROS SIMPLES
Os juros simples são calculados aplicando a seguinte fórmula:
Sendo:
J: juros.
C: valor inicial da transação, chamado em matemática financeira de capital.
i: taxa de juros (valor normalmente expresso em porcentagem).
t: período da transação.
Podemos ainda calcular o valor total que será resgatado (no caso de uma aplicação) ou o valor a ser quitado 
(no caso de um empréstimo) ao final de um período predeterminado.
Esse valor, chamado de montante, é igual a soma do capital com os juros, ou seja:
Podemos substituir o valor de J, na fórmula acima e encontrar a seguinte expressão para o montante:
A fórmula que encontramos é uma função afim, desta forma, o valor do montante cresce linearmente em 
função do tempo.
Exemplo: Se o capital de R$ 1 000,00 rende mensalmente R$ 25,00, qual é a taxa anual de juros no sistema 
de juros simples?
Solução: Primeiro, vamos identificar cada grandeza indicada no problema.
C = R$ 1 000,00
J = R$ 25,00
t = 1 mês
i = ?
Agora que fizemos a identificação de todas as grandezas, podemos substituir na fórmula dos juros:
Entretanto, observe que essa taxa é mensal, pois usamos o período de 1 mês. Para encontrar a taxa anual 
precisamos multiplicar esse valor por 12, assim temos:
i = 2,5.12= 30% ao ano
5 https://www.todamateria.com.br/juros-simples-e-compostos/
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JUROS COMPOSTOS
O montante capitalizado a juros compostos é encontrado aplicando a seguinte fórmula:
Sendo:
M: montante.
C: capital.
i: taxa de juros.
t: período de tempo.
Diferente dos juros simples, neste tipo de capitalização, a fórmula para o cálculo do montante envolve uma 
variação exponencial. Daí se explica que o valor final aumente consideravelmente para períodos maiores.
Exemplo: Calcule o montante produzido por R$ 2 000,00 aplicado à taxa de 4% ao trimestre, após um ano, 
no sistema de juros compostos.
Solução: Identificando as informações dadas, temos:
C = 2 000
i = 4% ou 0,04 ao trimestre
t = 1 ano = 4 trimestres
M = ?
Substituindo esses valores na fórmula de juros compostos, temos:
Observação: o resultado será tão melhor aproximado quanto o número de casas decimais utilizadas na 
potência.
Portanto, ao final de um ano o montante será igual a 
R$ 2 339,71.
DIFERENÇA ENTRE JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
Nos juros simples a correção é aplicada a cada período e considera apenas o valor inicial. Nos juros 
compostos a correção é feita em cima de valores já corrigidos.
Por isso, os juros compostos também são chamados de juros sobre juros, ou seja, o valor é corrigido sobre 
um valor que já foi corrigido.
Sendo assim, para períodos maiores de aplicação ou empréstimo a correção por juros compostos fará com 
que o valor final a ser recebido ou pago seja maior que o valor obtido com juros simples.
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A maioria das operações financeiras utiliza a correção pelo sistema de juros compostos. Os juros simples se 
restringem as operações de curto período.
Introdução à Lógica Matemática: Proposições (conectivos e operações lógicas), 
Estruturas Lógicas. Lógica Sentencial (ou Proposicional), Proposições Simples 
e Compostas,Tabelas-verdade e Equivalências. Tautologias, Contradições e 
Contingências
Uma proposição é um conjunto de palavras ou símbolos que expressa um pensamento ou uma ideia 
completa, transmitindo um juízo sobre algo. Uma proposição afirma fatos ou ideias que podemos classificar como 
verdadeiros ou falsos. Esse é o ponto central do estudo lógico, onde analisamos e manipulamos proposições 
para extrair conclusões.
VALORES LÓGICOS
Os valores lógicos possíveis para uma proposição são:
− Verdadeiro (V), caso a proposição seja verdadeira.
− Falso (F), caso a proposição seja falsa.
Os valores lógicos seguem três axiomas fundamentais:
− Princípio da Identidade: uma proposição é idêntica a si mesma. Em termos simples: p≡p
Exemplo: “Hoje é segunda-feira” é a mesma proposição em qualquer contexto lógico.
− Princípio da Não Contradição: uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.
Exemplo: “O céu é azul e não azul” é uma contradição.
− Princípio do Terceiro Excluído: toda proposição é ou verdadeira ou falsa, não existindo um terceiro caso 
possível. Ou seja: “Toda proposição tem um, e somente um, dos valores lógicos: V ou F.”
Exemplo: “Está chovendo ou não está chovendo” é sempre verdadeiro, sem meio-termo.
Classificação das Proposições
Para entender melhor as proposições, é útil classificá-las em dois tipos principais:
• Sentenças Abertas
São sentenças para as quais não se pode atribuir um valor lógico verdadeiro ou falso, pois elas não expri-
mem um fato completo ou específico. São exemplos de sentenças abertas:
− Frases interrogativas: “Quando será a prova?”
− Frases exclamativas: “Que maravilhoso!”
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− Frases imperativas: “Desligue a televisão.”
− Frases sem sentido lógico: “Esta frase é falsa.”
• Sentenças Fechadas
Quando a proposição admite um único valor lógico, verdadeiro ou falso, ela é chamada de sentença fecha-
da. Exemplos:
− Sentença fechada e verdadeira: “2 + 2 = 4”
− Sentença fechada e falsa: “O Brasil é uma ilha”
PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS
As proposições podem ainda ser classificadas em simples e compostas, dependendo da estrutura e do nú-
mero de ideias que expressam:
• Proposições Simples (ou Atômicas)
São proposições que não contêm outras proposições como parte integrante de si mesmas. São representa-
das por letras minúsculas, como p, q, r, etc.
Exemplos:
p: “João é engenheiro.”
q: “Maria é professora.”
• Proposições Compostas (ou Moleculares)
Formadas pela combinação de duas ou mais proposições simples. São representadas por letras maiúscu-
las, como P, Q, R, etc., e usam conectivos lógicos para relacionar as proposições simples.
Exemplo:
P: “João é engenheiro e Maria é professora.”
Classificação de Frases
Ao classificarmos frases pela possibilidade de atribuir-lhes um valor lógico (verdadeiro ou falso), consegui-
mos distinguir entre aquelas que podem ser usadas em raciocínios lógicos e as que não podem. Vamos ver 
alguns exemplos e suas classificações.
“O céu é azul.” – Proposição lógica (podemos dizer se é verdadeiro ou falso).
“Quantos anos você tem?” – Sentença aberta (é uma pergunta, sem valor lógico).
“João é alto.” – Proposição lógica (podemos afirmar ou negar).
“Seja bem-vindo!” – Não é proposição lógica (é uma saudação, sem valor lógico).
“2 + 2 = 4.” – Sentença fechada (podemos atribuir valor lógico, é uma afirmação objetiva).
“Ele é muito bom.” – Sentença aberta (não se sabe quem é “ele” e o que significa “bom”).
“Choveu ontem.” – Proposição lógica (podemos dizer se é verdadeiro ou falso).
“Esta frase é falsa.” – Não é proposição lógica (é um paradoxo, sem valor lógico).
“Abra a janela, por favor.” – Não é proposição lógica (é uma instrução, sem valor lógico).
“O número x é maior que 10.” – Sentença aberta (não se sabe o valor de x)
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Agora veremos um exemplo retirado de uma prova:
1. (CESPE) Na lista de frases apresentadas a seguir:
– “A frase dentro destas aspas é uma mentira.”
– A expressão x + y é positiva.
– O valor de √4 + 3 = 7.
– Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.
– O que é isto?
Há exatamente:
(A) uma proposição;
(B) duas proposições;
(C) três proposições;
(D) quatro proposições;
(E) todas são proposições.
Resolução:
Analisemos cada alternativa:
(A) A frase é um paradoxo, então não podemos dizer se é verdadeira ou falsa. Não é uma proposição lógica.
(B) Não sabemos os valores de x e y, então não podemos dizer se é verdadeira ou falsa. É uma sentença 
aberta e não é uma proposição lógica.
(C) Podemos verificar se é verdadeira ou falsa. É uma proposição lógica.
(D) Podemos verificar se é verdadeira ou falsa, independente do número exato. É uma proposição lógica.
(E) É uma pergunta, então não podemos dizer se é verdadeira ou falsa. Não é uma proposição lógica. 
Resposta: B.
CONECTIVOS LÓGICOS
Para formar proposições compostas a partir de proposições simples, utilizamos conectivos lógicos. Esses 
conectivos estabelecem relações entre as proposições, criando novas sentenças com significados mais com-
plexos. São eles:
Operação Conectivo Estrutura 
Lógica
Exemplos
p q Resultado
Negação ~ ou ¬ Não p "Hoje é 
domingo" - ~p: "Hoje não é domingo"
Conjunção ^ p e q "Estudei" "Passei na 
prova"
p ^ q: "Estudei e passei na 
prova" 
Disjunção 
Inclusiva v p ou q "Vou ao 
cinema"
"Vou ao 
teatro"
p v q: "Vou ao cinema ou 
vou ao teatro" 
Disjunção 
Exclusiva ⊕ Ou p ou q "Ganhei na 
loteria"
"Recebi uma 
herança"
p ⊕ q: "Ou ganhei na loteria 
ou recebi uma herança" 
Condicional → Se p então q "Está 
chovendo"
"Levarei 
o guarda-
chuva"
p → q: "Se está chovendo, 
então levarei o guarda-
chuva" 
Bicondicional ↔ p se e 
somente se q
"O número é 
par"
"O número é 
divisível por 
2"
p ↔ q: "O número é par se e 
somente se é divisível por 2" 
59
Exemplo: 
2. (VUNESP) Os conectivos ou operadores lógicos são palavras (da linguagem comum) ou símbolos (da lin-
guagem formal) utilizados para conectar proposições de acordo com regras formais preestabelecidas. Assinale 
a alternativa que apresenta exemplos de conjunção, negação e implicação, respectivamente.
(A) ¬ p, p v q, p ^ q
(B) p ^ q, ¬ p, p → q
(C) p → q, p v q, ¬ p
(D) p v p, p → q, ¬ q
(E) p v q, ¬ q, p v q
Resolução:
Precisamos identificar cada conectivo solicitado na ordem correta. A conjunção é o conectivo ^, como em 
p ^ q. A negação é representada pelo símbolo ¬, como em ¬p. A implicação é representada pelo símbolo →, 
como em p → q. 
Resposta: B.
Proposições Condicionais e suas Relações
− Condições Necessárias e Suficientes: As proposições condicionais podem ser interpretadas com base 
nos conceitos de condição necessária e suficiente. p → q significa que:
– p é uma condição suficiente para q: se p ocorre, q deve ocorrer.
– q é uma condição necessária para p: q deve ocorrer para que p ocorra.
Exemplo:
“Se uma planta é uma rosa, então ela é uma flor”
– Ser uma rosa é suficiente para ser uma flor
– Ser uma flor é necessário para ser uma rosa.
− Negação: Negar uma proposição significa trocar seu valor lógico.
Exemplo: 
p: “Hoje é domingo.” → ¬p: “Hoje não é domingo.”
− Contra-positiva: A contra-positiva de uma proposição p→q é ¬q→¬p.
Exemplo: 
“Se está chovendo, então levarei o guarda-chuva.” → Contra-positiva: “Se não levo o guarda-chuva, então 
não está chovendo.”
− Recíproca: A recíproca de uma proposição p→q é q→p.
Exemplo: 
“Se está chovendo, então levarei o guarda-chuva.” → Recíproca: “Se levo o guarda-chuva, então está cho-
vendo.”
TABELA VERDADE
A tabela verdade é uma ferramenta para analisar o valor lógico de proposições compostas. O número de 
linhas em uma tabela depende da quantidade de proposições simples (n):
Número de Linhas = 2n
60
Vamos agora ver as tabelas verdade para cada conectivo lógico: 
p q ~p p ^ q p v q p ⊕ q p → q p ↔ q
V V F V V F V V
V F F F V V F F
F V V F V V V F
F F V F F F V V
Exemplo:
3. (CESPE/UNB) Se “A”, “B”, “C” e “D” forem proposições simples e distintas, então o número de linhas da 
tabela-verdade da proposição (A → B) ↔ (C → D) será iguala:
(A) 2;
(B) 4;
(C) 8;
(D) 16;
(E) 32.
Resolução:
Temos 4 proposições simples (A, B, C e D), então aplicamos na fórmula 2n, onde n é o número de proposi-
ções. Assim, 24 = 16 linhas.
Resposta D.
TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA
As proposições compostas podem ser classificadas de acordo com o seu valor lógico final, considerando 
todas as possíveis combinações de valores lógicos das proposições simples que as compõem. Essa classifica-
ção é fundamental para entender a validade de argumentos lógicos:
− Tautologia
Uma tautologia é uma proposição composta cujo valor lógico final é sempre verdadeiro, independentemente 
dos valores das proposições simples que a compõem. Em outras palavras, não importa se as proposições sim-
ples são verdadeiras ou falsas; a proposição composta será sempre verdadeira. Tautologias ajudam a validar 
raciocínios. Se uma proposição complexa é tautológica, então o argumento que a utiliza é logicamente consis-
tente e sempre válido.
Exemplo: A proposição “p ou não-p” (ou p v ~p) é uma tautologia porque, seja qual for o valor de p (verda-
deiro ou falso), a proposição composta sempre terá um resultado verdadeiro. Isso reflete o Princípio do Terceiro 
Excluído, onde algo deve ser verdadeiro ou falso, sem meio-termo.
− Contradição
Uma contradição é uma proposição composta que tem seu valor lógico final sempre falso, independente-
mente dos valores lógicos das proposições que a compõem. Assim, qualquer que seja o valor das proposições 
simples, o resultado será falso. Identificar contradições em um argumento é essencial para determinar incon-
sistências lógicas. Quando uma proposição leva a uma contradição, isso significa que o argumento em questão 
não pode ser verdadeiro.
Exemplo: A proposição “p e não-p” (ou p ^ ~p) é uma contradição, pois uma proposição não pode ser 
verdadeira e falsa ao mesmo tempo. Esse exemplo reflete o Princípio da Não Contradição, que diz que uma 
proposição não pode ser simultaneamente verdadeira e falsa.
61
− Contingência
Uma contingência é uma proposição composta cujo valor lógico final pode ser tanto verdadeiro quanto falso, 
dependendo dos valores das proposições simples que a compõem. Diferentemente das tautologias e contra-
dições, que são invariavelmente verdadeiras ou falsas, as contingências refletem casos em que o valor lógico 
não é absoluto e depende das circunstâncias. Identificar contradições em um argumento é essencial para deter-
minar inconsistências lógicas. Quando uma proposição leva a uma contradição, isso significa que o argumento 
em questão não pode ser verdadeiro.
Exemplo: A proposição “se p então q” (ou p → q) é uma contingência, pois pode ser verdadeira ou falsa 
dependendo dos valores de p e q. Caso p seja verdadeiro e q seja falso, a proposição composta será falsa. Em 
qualquer outra combinação, a proposição será verdadeira.
Exemplo: 
4. (CESPE) Um estudante de direito, com o objetivo de sistematizar o seu estudo, criou sua própria legenda, 
na qual identificava, por letras, algumas afirmações relevantes quanto à disciplina estudada e as vinculava por 
meio de sentenças (proposições). No seu vocabulário particular constava, por exemplo:
P: Cometeu o crime A.
Q: Cometeu o crime B.
R: Será punido, obrigatoriamente, com a pena de reclusão no regime fechado.
S: Poderá optar pelo pagamento de fiança.
Ao revisar seus escritos, o estudante, apesar de não recordar qual era o crime B, lembrou que ele era ina-
fiançável.Tendo como referência essa situação hipotética, julgue o item que se segue.
A sentença (P→Q)↔((~Q)→(~P)) será sempre verdadeira, independentemente das valorações de P e Q 
como verdadeiras ou falsas.
( ) CERTO
( ) ERRADO
Resolução:
Temos a sentença (P→Q)↔((~Q)→(~P)).
Sabemos que (~Q)→(~P) é equivalente a P→Q, entao podemos substituir:
P→Q ↔ P→Q
Considerando P→Q = A, temos:
A ↔ A
Uma bicondicional (↔) é verdadeira quando ambos os lados têm o mesmo valor lógico.
Como ambos os lados são A, eles sempre terão o mesmo valor.
Logo a sentença é sempre verdadeira, independentemente dos valores de P e Q.
Resposta: Certo.
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EQUIVALÊNCIAS
Duas ou mais proposições compostas são equivalentes, quando mesmo possuindo estruturas lógicas dife-
rentes, apresentam a mesma solução em suas respectivas tabelas verdade.
Se as proposições P(p,q,r,...) e Q(p,q,r,...) são ambas TAUTOLOGIAS, ou então, são CONTRADIÇÕES, 
então são EQUIVALENTES.
Exemplo: 
5. (VUNESP/TJSP) Uma negação lógica para a afirmação “João é rico, ou Maria é pobre” é:
(A) Se João é rico, então Maria é pobre.
(B) João não é rico, e Maria não é pobre.
(C) João é rico, e Maria não é pobre.
(D) Se João não é rico, então Maria não é pobre.
(E) João não é rico, ou Maria não é pobre.
Resolução:
Nesta questão, a proposição a ser negada trata-se da disjunção de duas proposições lógicas simples. Para 
tal, trocamos o conectivo por “e” e negamos as proposições “João é rico” e “Maria é pobre”. Vejam como fica:
Resposta: B.
Leis de Morgan 
Com elas:
– Negamos que duas dadas proposições são ao mesmo tempo verdadeiras equivalendo a afirmar que pelo 
menos uma é falsa
– Negamos que uma pelo menos de duas proposições é verdadeira equivalendo a afirmar que ambas são 
falsas.
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ATENÇÃO
As Leis de Morgan exprimem que NEGAÇÃO transforma:
CONJUNÇÃO em DISJUNÇÃO
DISJUNÇÃO em CONJUNÇÃO
IMPLICAÇÕES
A proposição P(p,q,r,...) implica logicamente a proposição Q(p,q,r,...) quando Q é verdadeira todas as vezes 
que P é verdadeira. Representamos a implicação com o símbolo “⇒”, simbolicamente temos:
P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...).
Atenção: Os símbolos “→” e “⇒” são completamente distintos. O primeiro (“→”) representa a condicional, 
que é um conectivo. O segundo (“⇒”) representa a relação de implicação lógica que pode ou não existir entre 
duas proposições. 
Exemplo:
Observe: 
- Toda proposição implica uma Tautologia: 
- Somente uma contradição implica uma contradição: 
Propriedades 
• Reflexiva: 
– P(p,q,r,...) ⇒ P(p,q,r,...)
– Uma proposição complexa implica ela mesma.
• Transitiva: 
– Se P(p,q,r,...) ⇒ Q(p,q,r,...) e
 Q(p,q,r,...) ⇒ R(p,q,r,...), então
 P(p,q,r,...) ⇒ R(p,q,r,...)
– Se P ⇒ Q e Q ⇒ R, então P ⇒ R
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Regras de Inferência
• Inferência é o ato ou processo de derivar conclusões lógicas de proposições conhecidas ou decididamen-
te verdadeiras. Em outras palavras: é a obtenção de novas proposições a partir de proposições verdadeiras já 
existentes.
Regras de Inferência obtidas da implicação lógica
• Silogismo Disjuntivo
• Modus Ponens
• Modus Tollens
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Tautologias e Implicação Lógica
• Teorema
P(p,q,r,..) ⇒ Q(p,q,r,...) se e somente se P(p,q,r,...) → Q(p,q,r,...)
Observe que:
→ indica uma operação lógica entre as proposições. Ex.: das proposições p e q, dá-se a nova proposição 
p → q.
⇒ indica uma relação. Ex.: estabelece que a condicional P → Q é tautológica.
Inferências
• Regra do Silogismo Hipotético
Princípio da inconsistência
– Como “p ^ ~p → q” é tautológica, subsiste a implicação lógica p ^ ~p ⇒ q
– Assim, de uma contradição p ^ ~p se deduz qualquer proposição q.
A proposição “(p ↔ q) ^ p” implica a proposição “q”, pois a condicional “(p ↔ q) ^ p → q” é tautológica.
Lógica de Argumentação, analogias, inferências, deduções e conclusões
Um argumento refere-se à declaração de que um conjunto de proposições iniciais leva a outra proposição 
final, que é uma consequência das primeiras. Em outras palavras, um argumento é a relação que conecta um 
conjunto de proposições, denotadas como P1, P2,... Pn, conhecidas como premissas do argumento, a uma 
proposição Q, que é chamada de conclusão do argumento.
66
Exemplo:
P1: Todos os cientistas são loucos.
P2: Martiniano é louco.
Q: Martiniano é um cientista.
O exemplo fornecido pode ser denominado de Silogismo, que é um argumento formado por duas premissas 
e uma conclusão.
Quando se trata de argumentos lógicos, nosso interesse reside em determinar se eles são válidos ou 
inválidos. Portanto, vamos entender o que significa um argumentoválido e um argumento inválido.
Argumentos Válidos
Um argumento é considerado válido, ou legítimo, quando a conclusão decorre necessariamente das 
propostas apresentadas. 
Exemplo de silogismo: 
P1: Todos os homens são pássaros. 
P2: Nenhum pássaro é animal. 
C: Logo, nenhum homem é animal.
Este exemplo demonstra um argumento logicamente estruturado e, por isso, válido. Entretanto, isso não 
implica na verdade das premissas ou da conclusão.
Importante enfatizar que a classificação de avaliação de um argumento é a sua estrutura lógica, e não o 
teor de suas propostas ou conclusões. Se a estrutura for formulada corretamente, o argumento é considerado 
válido, independentemente da veracidade das propostas ou das conclusões.
Como determinar se um argumento é válido?
A validade de um argumento pode ser verificada por meio de diagramas de Venn, uma ferramenta 
extremamente útil para essa finalidade, frequentemente usada para analisar a lógica de argumentos. Vamos 
ilustrar esse método com o exemplo mencionado acima. Ao afirmar na afirmação P1 que “todos os homens são 
pássaros”, podemos representar esta afirmação da seguinte forma:
Note-se que todos os elementos do conjunto menor (homens) estão contidos no conjunto maior (pássaros), 
diminuindo que todos os elementos do primeiro grupo pertencem também ao segundo. Esta é a forma padrão 
de representar graficamente a afirmação “Todo A é B”: dois círculos, com o menor dentro do maior, onde o 
círculo menor representa o grupo classificado após a expressão “Todo”.
67
Quanto à afirmação “Nenhum pássaro é animal”, a palavra-chave aqui é “Nenhum”, que transmite a ideia de 
completa separação entre os dois conjuntos incluídos.
A representação gráfica da afirmação “Nenhum A é B” sempre consistirá em dois conjuntos distintos, sem 
sobreposição alguma entre eles.
Ao combinar as representações gráficas das duas indicações mencionadas acima e analisá-las, obteremos:
Ao analisar a conclusão de nosso argumento, que afirma “Nenhum homem é animal”, e compará-la com 
as representações gráficas das metas, questionamos: essa conclusão decorre logicamente das metas? 
Definitivamente, sim!
Percebemos que o conjunto dos homens está completamente separado do conjunto dos animais, diminuindo 
uma dissociação total entre os dois. Portanto, concluímos que este argumento é válido.
Argumentos Inválidos
Um argumento é considerado inválido, também chamado de ilegítimo, mal formulado, falacioso ou sofisma, 
quando as propostas apresentadas não são capazes de garantir a verdade da conclusão.
Por exemplo: 
P1: Todas as crianças gostam de chocolate. 
P2: Patrícia não é criança. 
C: Logo, Patrícia não gosta de chocolate.
Este exemplo ilustra um argumento inválido ou falacioso, pois as premissas não estabelecem de maneira 
conclusiva a veracidade da conclusão. É possível que Patrícia aprecie chocolate, mesmo não sendo criança, 
uma vez que a proposta inicial não limite o gosto por chocolate exclusivamente para crianças.
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Para demonstrar a invalidez do argumento supracitado, utilizaremos diagramas de conjuntos, tal como foi 
feito para provar a validade de um argumento válido. Iniciaremos com as primeiras metas: “Todas as crianças 
gostam de chocolate”.
Examinemos a segunda premissa: “Patrícia não é criança”. Para obrigar, precisamos referenciar o diagrama 
criado a partir da primeira localização e determinar a localização possível de Patrícia, levando em consideração 
o que a segunda localização estabelece.
Fica claro que Patrícia não pode estar dentro do círculo que representa as crianças. Essa é a única restrição 
imposta pela segunda colocação. Assim, podemos deduzir que existem duas posições possíveis para Patrícia 
no diagrama:
1º) Fora do círculo que representa o conjunto maior;
2º) Dentro do conjunto maior, mas fora do círculo das crianças. Vamos analisar:
Finalmente, passemos à análise da conclusão: “Patrícia não gosta de chocolate”. Ora, o que nos resta para 
sabermos se este argumento é válido ou não, é justamente confirmar se esse resultado (se esta conclusão) é 
necessariamente verdadeiro!
– É necessariamente verdadeiro que Patrícia não gosta de chocolate? Olhando para o desenho acima, 
respondemos que não! Pode ser que ela não goste de chocolate (caso esteja fora do círculo), mas também 
pode ser que goste (caso esteja dentro do círculo)! Enfim, o argumento é inválido, pois as premissas não 
garantiram a veracidade da conclusão!
Métodos para validação de um argumento
Vamos explorar alguns métodos que nos ajudarão a determinar a validade de um argumento:
1º) Diagramas de conjuntos: ideal para argumentos que contenham as palavras “todo”, “algum” e “nenhum” 
ou suas convenções como “cada”, “existe um”, etc. referências nas indicações.
2º) Tabela-verdade: recomendada quando o uso de diagramas de conjuntos não se aplica, especialmente 
em argumentos que envolvem conectores lógicos como “ou”, “e”, “→” (implica) e “↔” (se e somente se) . O 
processo inclui a criação de uma tabela que destaca uma coluna para cada premissa e outra para a conclusão. 
O principal desafio deste método é o aumento da complexidade com o acréscimo de proposições simples.
69
3º) Operações lógicas com conectivos, assumindo posições verdadeiras: aqui, partimos do princípio 
de que as premissas são verdadeiras e, através de operações lógicas com conectivos, buscamos determinar 
a veracidade da conclusão. Esse método oferece um caminho rápido para demonstrar a validade de um 
argumento, mas é considerado uma alternativa secundária à primeira opção.
4º) Operações lógicas considerando propostas verdadeiras e conclusões falsas: este método é útil 
quando o anterior não fornece uma maneira direta de avaliar o valor lógico da conclusão, solicitando, em vez 
disso, uma análise mais profunda e, possivelmente, mais complexa.
Em síntese, temos:
Deve ser usado quando: Não deve ser usado 
quando:
1o método
Utilização dos 
Diagramas 
(circunferências).
O argumento apresentar as palavras 
todo, nenhum, ou algum
O argumento não 
apresentar tais palavras.
2o método Construção das 
tabelas-verdade.
Em qualquer caso, mas 
preferencialmente quando o 
argumento tiver no máximo duas 
proposições simples.
O argumento não 
apresentar três ou mais 
proposições simples.
3o método
Considerando as 
premissas verdadeiras 
e testando a 
conclusão verdadeira.
O 1o método não puder ser 
empregado, e houver uma premissa 
que seja uma proposição simples; ou
que esteja na forma de uma 
conjunção (e).
Nenhuma premissa for 
uma proposição simples 
ou uma conjunção.
4o método
Verificar a existência 
de conclusão 
falsa e premissas 
verdadeiras.
0 1o método ser empregado, e a 
conclusão tiver a forma de uma 
proposição simples; ou estiver na 
forma de uma condicional (se...
então...).
A conclusão não for uma 
proposição simples, nem 
uma desjunção, nem uma 
condicional.
Exemplo: diga se o argumento abaixo é válido ou inválido:
(p ∧ q) → r
_____~r_______
~p ∨ ~q
Resolução:
1ª Pergunta: o argumento inclui as expressões “todo”, “algum”, ou “nenhum”? Se uma resposta negativa, 
isso exclui a aplicação do primeiro método, levando-nos a considerar outras opções.
2ª Pergunta: o argumento é composto por, no máximo, duas proposições simples? Caso a resposta seja 
negativa, o segundo método também é descartado da análise.
3ª Pergunta: alguma das propostas consiste em uma proposição simples ou em uma conjunção? Se 
afirmativo, como no caso da segunda proposição ser (~r), podemos proceder com o terceiro método. Se 
desejarmos explorar mais opções, temos obrigações com outra pergunta.
4ª Pergunta: a conclusão é formulada como uma proposição simples, uma disjunção, ou uma condicional? 
Se a resposta for positiva, e a conclusão para uma disjunção, por exemplo, temos a opção de aplicar o método 
quarto, se assim escolhermos.
Vamos seguir os dois caminhos: resolveremos a questão pelo 3º e pelo 4º método.
Analise usando o Terceiro Método a partir do princípio de que as premissas são verdadeirase avalie a 
veracidade da conclusão, dessa forma, será obtido:
2ª Premissa: Se ~r é verdade, isso implica que r é falso.
70
1ª Premissa: se (p ∧ q) → r é verdade, e já estabelecemos que r é falso, isso nos leva a concluir que (p ∧ 
q) também deve ser falso. Uma conjunção é falsa quando pelo menos uma das proposições é falsa ou ambas 
são. Portanto, não conseguimos determinar os valores específicos de p e q com esta abordagem. Apesar da 
aparência inicial de adequação, o terceiro método não nos permite concluir definitivamente sobre a validade do 
argumento.
Analise usando o Quarto Método considerando a conclusão como falsa e as premissas como verdadeiras, 
chegaremos a:
Conclusão: Se ~pv ~q é falso, então tanto p quanto q são verdadeiros. Procedemos ao teste das propostas 
sob a suposição de sua verdade:
1ª Premissa: Se (p∧q) → r é considerado verdadeiro, e p e q são verdadeiros, a situação condicional 
também é verdadeira, o que nos leva a concluir que r deve ser verdadeiro.
2ª Premissa) Com r sendo verdadeiro, encontramos um conflito, pois isso tornaria ~r falso. Contudo, nesta 
análise, o objetivo é verificar a coexistência de posições verdadeiras com uma conclusão falsa. A ausência 
dessa coexistência indica que o argumento é válido. Portanto, concluímos que o argumento é válido sob o 
método quarto.
Estatística Descritiva: Leitura, representação e interpretação de gráficos. Medidas de 
tendência central: Média, moda e mediana
TABELAS E GRÁFICOS
Em nosso dia a dia, somos constantemente expostos a uma vasta gama de informações, muitas vezes 
expressas de forma visual por meio de tabelas e gráficos. Esses recursos estão presentes nos noticiários 
televisivos, em jornais, revistas e até em redes sociais. Tabelas e gráficos são ferramentas fundamentais da 
linguagem matemática e desempenham um papel crucial na organização e apresentação de dados de maneira 
clara e acessível.
A capacidade de ler e interpretar essas representações é essencial para compreender as informações ao 
nosso redor. A área da Matemática que se dedica a coletar, organizar e apresentar dados numéricos, e que 
permite tirar conclusões a partir deles, é conhecida como Estatística. 
Tabelas
As tabelas apresentam informações organizadas em linhas e colunas, o que facilita a leitura e interpretação 
de dados. Geralmente, são utilizadas quando há necessidade de comparar informações ou listar dados de ma-
neira ordenada.
Fonte: SEBRAE
Nas tabelas, é comum encontrarmos um título, que destaca a principal informação apresentada, e uma fon-
te, que identifica de onde os dados foram obtidos
71
Gráficos
Ao contrário das tabelas, que mostram os dados de forma mais textual e organizada, os gráficos oferecem 
uma representação visual, facilitando a compreensão de padrões, tendências e comparações de maneira mais 
rápida e intuitiva. 
Tipos de Gráficos
Existem vários tipos de gráficos, e cada um é utilizado de acordo com o tipo de dado e o objetivo da apre-
sentação.
− Gráfico de linhas: são utilizados, em geral, para representar a variação de uma grandeza em certo pe-
ríodo de tempo.
Os gráficos de linhas são utilizados, em geral, para representar a variação de uma grandeza ao longo do 
tempo. São ideais para mostrar tendências e evoluções. Marcamos os pontos determinados pelos pares orde-
nados (classe, frequência) e os conectamos por segmentos de reta.
− Gráfico de barras: Também conhecidos como gráficos de colunas, os gráficos de barras são utilizados 
para comparar quantidades entre diferentes categorias. Eles são divididos em dois tipos:
• Gráfico de barras verticais: As barras são desenhadas verticalmente, e a altura de cada uma representa 
o valor da frequência.
72
• Gráfico de barras horizontais: As barras são desenhadas horizontalmente, sendo a largura de cada bar-
ra proporcional ao valor representado.
Em um gráfico de colunas, cada barra deve ser proporcional à informação por ela representada.
− Gráfico de setores (ou Pizza): Gráficos de setores são utilizados para representar a relação entre as par-
tes e o todo. O círculo é dividido em setores, e a medida de cada setor é proporcional à frequência da categoria 
representada. A fórmula para o ângulo central de um setor é dada por: 
Onde:
• F é a frequência da classe
• Ft é a frequência total
• α é o ângulo central em graus
Exemplo:
Para encontrar a frequência relativa, podemos fazer uma regra de três simples:
400 --- 100%
160 --- x
x = 160 .100/ 400 = 40%, e assim sucessivamente.
73
Aplicando a fórmula teremos:
Como o gráfico é de setores, os dados percentuais serão distribuídos levando-se em conta a proporção da 
área a ser representada relacionada aos valores das porcentagens. A área representativa no gráfico será de-
marcada da seguinte maneira:
Com as informações, traçamos os ângulos da circunferência e assim montamos o gráfico:
74
− Pictograma ou gráficos pictóricos: Os pictogramas utilizam imagens ilustrativas para representar da-
dos. São comuns em jornais e revistas, e têm a vantagem de tornar a leitura mais atraente e intuitiva.
− Histograma: O histograma é composto por retângulos contíguos, onde a base de cada retângulo repre-
senta uma faixa de valores da variável, e a área do retângulo corresponde à frequência dessa faixa. Ao contrá-
rio dos gráficos de barras, o histograma é usado para dados contínuos.
− Polígono de Frequência: O polígono de frequência é semelhante ao histograma, mas é construído co-
nectando os pontos médios das classes com segmentos de reta. É utilizado para visualizar a distribuição dos 
dados de forma contínua.
75
− Gráfico de Ogiva: A ogiva é utilizada para representar a distribuição de frequências acumuladas. Ge-
ralmente, é uma curva ascendente que conecta os pontos extremos de cada classe, mostrando a evolução 
cumulativa dos dados.
− Cartograma: O cartograma é uma representação gráfica sobre uma carta geográfica, utilizada para 
correlacionar dados estatísticos com áreas geográficas ou políticas.
Interpretação de tabelas e gráficos
Para interpretar corretamente tabelas e gráficos, siga estas diretrizes:
1. Identifique as informações nos eixos: No caso dos gráficos, observe os eixos vertical e horizontal para 
entender quais variáveis estão sendo representadas.
2. Analise os pontos ou barras isoladamente: Observe os valores específicos antes de tirar conclusões.
3. Leia atentamente o enunciado: A leitura completa do enunciado ou legenda pode fornecer informações 
cruciais para a interpretação correta.
4. Cuidado com a escala: Verifique se os eixos utilizam a mesma escala, evitando distorções na análise.
Exemplos:
1. (Enem) O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e à pecuária, pois as atividades ligadas 
a essa produção incluem fornecedores de equipamentos, serviços para a zona rural, industrialização e comer-
cialização dos produtos.
76
O gráfico seguinte mostra a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro:
Centro de Estudos Avançados em Economia Aplicada (CEPEA). Almanaque abril 2010. São Paulo: Abril, ano 
36 (adaptado)
Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda da participação do agronegó-
cio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa participação, em termos percentuais. Segundo o gráfico, 
o período de queda ocorreu entre os anos de:
A) 1998 e 2001. 
B) 2001 e 2003. 
C) 2003 e 2006.
D) 2003 e 2007.
E) 2003 e 2008.
 
Resolução:
De acordo com o gráfico fornecido, a participação do agronegócio no PIB brasileiro apresentou uma queda 
entre os anos de 2003 e 2006. Essa informação pode ser obtida por meio de uma análise detalhada dos valores 
no gráfico: em 2003, a participação era de 28,28%, reduzindo-se para 27,79% em 2004. No ano seguinte, 2005, 
essa queda continuou, com a participação caindo para 25,83%, até atingir seu ponto mais baixo em 2006, com 
23,92%. Após esse período, observa-se uma recuperação, com a participação voltando a crescer nos anos 
subsequentes.
Resposta: AlternativaC.
2. (Enem) O gráfico mostra a variação da extensão média de gelo marítimo, em milhões de quilômetros 
quadrados, comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007. Os dados correspondem aos meses 
de junho a setembro. O Ártico começa a recobrar o gelo quando termina o verão, em meados de setembro. O 
gelo do mar atua como o sistema de resfriamento da Terra, refletindo quase toda a luz solar de volta ao espaço. 
Águas de oceanos escuros, por sua vez, absorvem a luz solar e reforçam o aquecimento do Ártico, ocasionan-
do derretimento crescente do gelo.
77
Com base no gráfico e nas informações do texto, é possível inferir que houve maior aquecimento global em:
(A)1995. 
(B)1998.
(C) 2000.
(D)2005.
(E)2007.
Resolução:
O enunciado oferece uma informação crucial para a resolução da questão, ao associar a camada de gelo 
marítimo à capacidade de refletir a luz solar e, assim, contribuir para o resfriamento da Terra. Portanto, quanto 
menor a extensão do gelo marítimo, menor será a quantidade de luz refletida e, consequentemente, maior será 
o aquecimento global. De acordo com o gráfico, o ano que apresenta a menor extensão de gelo marítimo é 
2007, o que indica que esse foi o ano de maior aquecimento global no período analisado.
Resposta: Alternativa E.
3. No gráfico abaixo, encontra-se representada, em bilhões de reais, a arrecadação de impostos federais no 
período de 2003 a 2006. Nesse período, a arrecadação anual de impostos federais: 
(A) nunca ultrapassou os 400 bilhões de reais.
(B) sempre foi superior a 300 bilhões de reais.
(C) manteve-se constante nos quatro anos.
(D) foi maior em 2006 que nos outros anos.
(E) chegou a ser inferior a 200 bilhões de reais.
Resolução: 
Analisando cada alternativa temos que a única resposta correta é a D.
Resposta: Alternativa D.
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
As medidas de tendência central são estatísticas que resumem um conjunto de dados, representando o 
ponto central em torno do qual os dados estão distribuídos. Essas medidas são fundamentais na análise esta-
tística, pois fornecem uma visão concisa da informação contida em uma grande quantidade de dados. As três 
medidas de tendência central mais comuns são a média aritmética, a mediana e a moda. 
78
Média aritmética (x)
A média aritmética nos permite resumir um conjunto de números em um único valor representativo. Existem 
dois tipos principais de média: a média aritmética simples e a média aritmética ponderada. 
– Média simples
A média aritmética simples é calculada somando todos os valores de um conjunto e dividindo essa soma 
pelo número total de elementos. Ela é utilizada quando todos os valores têm a mesma importância.
Fórmula:
Onde:
− x é a média aritmética.
− ∑xi é a soma de todos os valores do conjunto.
− n é o número total de elementos.
Exemplo: Calcule a média das notas de cinco alunos em uma prova. As notas são:
ALUNO NOTA
Aluno 1 6,0
Aluno 2 7,5
Aluno 3 8,0
Aluno 4 9,0
Aluno 5 7,0
Passo 1: Somar todas as notas
6,0 + 7,5 + 8,0 + 9,0 + 7,0 = 37,5
Passo 2: Dividir a soma pelo número de alunos
x = = 7,5.
Portanto, a média simples das notas é 7,5.
– Média Ponderada
A média ponderada é usada quando cada valor possui um “peso” diferente, representando a sua importân-
cia relativa. Cada valor é multiplicado pelo seu peso antes de somar e dividir pelo total dos pesos.
Fórmula:
Onde:
− xp é a média ponderada.
− xi são os valores do conjunto.
− pi são os pesos atribuídos a cada valor.
− ∑(xi ⋅ pi) é a soma dos produtos dos valores pelos seus respectivos pesos.
− ∑ pi é a soma dos pesos.
79
Exemplo: Um aluno realizou três avaliações em uma disciplina, e cada avaliação tem um peso diferente na 
composição da média final. Calcule a média ponderada:
AVALIAÇÃO NOTA PESO
Avaliação 1 7,0 2
Avaliação 2 8,5 3
Avaliação 3 9,0 5
Passo 1: Multiplicar cada nota pelo seu peso
7,0 × 2 = 14,0 
8,0 × 3 = 24,0 
9,0 × 5 = 45,0
Passo 2: Somar os produtos obtidos
14,0 + 24,0 + 45,0 = 83,0
Passo 3: Somar todos os pesos
2 + 3 + 5 = 10
Passo 4: Dividir a soma dos produtos pela soma dos pesos
xp = = 8,3
Portanto, a média ponderada é 8,3.
Mediana (Md)
A mediana é um valor estatístico que representa o ponto médio de um conjunto de dados organizados em 
ordem crescente ou decrescente. Ela divide o conjunto ao meio, de forma que metade dos elementos é menor 
ou igual à mediana e a outra metade é maior ou igual à mediana. Existem duas situações a serem consideradas 
ao determinar a mediana: quando o número de elementos (n) é ímpar e quando é par.
– Conjunto com n Ímpar: Quando o número de elementos do conjunto é ímpar, a mediana é o elemento 
que se encontra no meio do conjunto, ou seja, aquele que tem o mesmo número de valores à sua frente e atrás.
– Conjunto com n Par: Quando o número de elementos do conjunto é par, a mediana é a média aritmética 
dos dois valores centrais do conjunto.
Exemplo: Determine a mediana do conjunto de dados {12, 3, 7, 10, 21, 18, 23}
Passo 1: Ordenar os dados em ordem crescente
3,7,10,12,18,21,23
Passo 2: Determinar a mediana
Neste conjunto, temos 7 elementos (n = 7), que é um número ímpar. O valor que está no meio é 12.
Portanto, a mediana é Md = 12.
Exemplo: Determine a mediana do conjunto de dados {10, 12, 3, 7, 18, 23, 21, 25}.
Passo 1: Ordenar os dados em ordem crescente
3,7,10,12,18,21,23,25
Passo 2: Determinar a mediana
Neste conjunto, temos 8 elementos (n = 8), que é um número par. Os valores centrais são 12 e 18.
80
Passo 3: Calcular a média dos valores centrais
Md = = 15
Portanto, a mediana é 15.
Moda (Mo)
A moda é o valor que aparece com mais frequência em um conjunto de dados. Dependendo da distribuição 
dos valores, um conjunto pode ter:
– Nenhuma moda: Quando todos os valores ocorrem com a mesma frequência.
– Uma moda: Quando um único valor se destaca por aparecer mais vezes que os demais.
– Múltiplas modas: Quando dois ou mais valores têm a mesma frequência máxima, caracterizando um 
conjunto multimodal.
Exemplo: Considere o conjunto de dados {3, 8, 8, 8, 6, 9, 31}.
Aqui, o número 8 aparece três vezes, que é mais do que qualquer outro valor no conjunto. 
Portanto, a moda é 8
Exemplo: Considere o conjunto de dados {1, 2, 9, 6, 3, 5}. 
Neste caso, cada número aparece exatamente uma vez, sem nenhuma repetição. 
Portanto, a moda não existe
Questões
1. IDECAN - 2024
A quantidade de anagramas que podemos escrever com a palavra VENTILADOR, que começam com a letra 
A e terminam com a letra E é de:
(A) 5040
(B) 362880
(C) 3628800
(D) 40320
2. CETAP - 2021
Escolhendo a senha de meu celular, foi sugerida a seguinte opção: 2 vogais distintas; 2 algarismos pares e 
distintos.
Quantas senhas posso formar com essas opções?
(A) 320
(B) 360
(C) 400
(D) 160
81
3. FUNCEPE - 2024
Considere as afirmações a seguir.
I. A soma de dois números negativos resulta em um número negativo.
II. A divisão de dois números negativos resulta em um número negativo.
III. A diferença entre dois números negativos pode não resultar em um número negativo.
Marque a opção que indica a(s) afirmativa(s) CORRETA(S).
(A) I.
(B) I – II.
(C) I – III.
(D) II – III.
(E) III.
4. IBADE - 2022
Em uma aula de matemática um aluno fez as seguintes afirmações:
▪ a divisão entre dois números racionais não resulta em um número racional. 
▪ a multiplicação entre dois números racionais resulta em um número racional. 
▪ a potenciação de um número racional resulta em um número racional. 
▪ a soma de dois números racionais não é um número racional. 
▪ → (lê-se: conjunto dos números racionais positivos e nulos).
Dessa forma, é possível afirmar que:
(A) Uma afirmativa está correta.
(B) Duas afirmativas estão corretas. 
(C) Três afirmativas estão corretas.
(D) Quatro afirmativas estão corretas.
(E) Cinco afirmativas estão corretas.
5. UNIVIDA - 2024
Se uma função do 1º grau é dada por f(x) = 4x − 7, qual é o valor de f(5) ? 
(A) 9.
(B) 11.
(C) 12.
(D) 13.
82
6. Avança SP - 2025
Dada a função dosegundo grau:
ƒ(x) = x2– (p − 1)x + 1
Para quais valores de p, a função ƒ(x) terá duas raízes reais e distintas?
(A) p 3.
(B) p 1.
(C) −1 Z > Y
(D) X > Y = Z
(E) X = Y = Z
83
10. IF-TO - 2021
O gráfico a seguir mostra o número de mortes registradas no estado do Tocantins do dia 10/09/2021 ao dia 
22/09/2021 causadas pela COVID-19.
A média, moda e mediana do número de mortes neste período são: 
(A) média = 4; moda = 3 e mediana = 5.
(B) média aproximadamente 4,56; moda = 4 e mediana = 3.
(C) média = 3; moda = 3 e mediana = 3.
(D) média aproximadamente 3,54; moda = 3 e mediana = 3,5.
(E) média aproximadamente 3,54; moda = 3 e mediana = 3.
11. Itame - 2020
Sabendo que o salário de Marcos equivale a 80% do salário de Wanessa e que a diferença entre os dois 
salários é de R$ 500,00, então podemos concluir que o salário de Marcos é igual à:
(A) R$ 2.500,00
(B) R$ 2.300,00
(C) R$ 2.100,00
(D) R$ 2.000,00
12. FGV - 2023
Certo mês, Miriam gastou, respectivamente, 30% e 40% do seu salário com alimentação e com gastos de 
moradia. Dos gastos com moradia, 8% foram com a conta de água e 6%, com a de energia elétrica.
Se a conta de água foi R$ 52,80 mais cara que a de energia elétrica, o gasto total, nesse mês, com alimen-
tação foi de
(A) R$ 2.000,00.
(B) R$ 1.990,00.
(C) R$ 1.980,00.
(D) R$ 1.970,00.
(E) R$ 1.960,00.
84
13. OBJETIVA - 2021
Em um grupo de 50 pessoas, foi distribuído um papel colorido para cada um, sendo que 19 pessoas recebe-
ram um papel verde, 16 receberam um papel azul e 15 receberam um papel vermelho. Sendo assim, escolhen-
do‐se aleatoriamente uma pessoa desse grupo, qual a probabilidade de ela ter recebido um papel de cor verde?
(A) 36%
(B) 37%
(C) 38%
(D) 39%
(E) 40%
14. GUALIMP - 2021
Numa piscina de bolinhas foram colocadas 120 bolas amarelas, 150 bolas azuis, 130 bolas vermelhas e 100 
bolas verdes. Com os olhos vendados, uma menina retira bolas da piscina. A probabilidade da:
(A) Primeira bola a ser retirada da piscina ser verde é de 2%.
(B) Primeira bola a ser retirada da piscina ser amarela é de 24%.
(C) Primeira bola a ser retirada da piscina ser vermelha é de 2,6%.
(D) Primeira bola a ser retirada da piscina ser azul é de 25%.
15. FUNDATEC - 2024
O traço mais comum utilizado para a mistura de concreto é 1:2:3, ou seja, uma porção de cimento, para duas 
porções de areia, para 3 porções de pedra britada. Utilizando essa fórmula, se numa mistura for utilizado 12 kg 
e 500 gramas de cimento, a porção de areia será de: 
(A) 24,5 kg.
(B) 25 kg.
(C) 36 kg.
(D) 36,5 kg.
(E) 37,5 kg.
16. OBJETIVA - 2021
Sabendo-se que a razão entre a altura de certa árvore e a projeção de sua sombra é igual a 3/4 e que a sua 
sombra mede 1,6m, ao todo, qual a altura dessa árvore?
(A) 1m
(B) 1,1m
(C) 1,2m
(D) 1,3m
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17. Instituto Consulplan - 2024
Em uma indústria automotiva, 12 máquinas com capacidade de produção iguais são capazes de produzir 
juntas, por dia, 85 peças em 5 horas diárias de operação. Com o aumento do lucro e da demanda, o diretor 
decidiu adicionar mais 6 máquinas idênticas às anteriores para atingir o objetivo de produção de 153 peças 
diariamente. Para que tal objetivo seja alcançado, as máquinas deverão operar por quantas horas diariamente?
(A) 4,5.
(B) 5,0.
(C) 5,5.
(D) 6,0.
18. INSTITUTO MAIS - 2021
Uma empresa de limpeza verificou que 15 funcionárias levam cerca de 3 horas para limpar um espaço 
de 3.375 m² de área. Sabendo que um evento ocorrerá em um espaço retangular de perímetro igual a 190 
m e comprimento igual a 50 m, é correto afirmar que 20 funcionárias dessa empresa, trabalhando no mesmo 
ritmo, para limpar o espaço onde ocorrerá esse evento, levarão 
(A) 1 hora e 30 minutos.
(B) 2 horas.
(C) 2 horas e 30 minutos.
(D) 3 horas.
19. FUNDEP - 2021
Uma empresa de reciclagem faz o levantamento das quantidades por tipo de material que coleta por mês e 
organiza esses dados em gráficos de barras. O gráfico a seguir apresenta o registro da coleta realizada no mês 
de fevereiro de 2020.
Analisando o gráfico, é possível afirmar que:
(A) O peso total de materiais de plástico e vidro coletados foi maior que 500 kg.
(B) O peso total de materiais de vidro e papel coletados foi maior que 450 kg.
(C) O peso total de materiais de metal e plástico coletados foi maior que 350 kg.
(D) O peso total de materiais de papel e metal coletados foi maior que 200 kg.
86
20. CESGRANRIO - 2024
Em um encontro regional de motoqueiros estavam presentes 20 motoqueiros, cada um com sua moto. A 
tabela abaixo apresenta a faixa etária (em anos) e a quantidade de motos que se enquadram naquela faixa. De 
acordo com os dados da tabela, podemos determinar que a idade média das motos presentes é igual a:
(A) 5.
(B) 3.
(C) 4,2.
(D) 4,6.
(E) 4,5.
21. FUNATEC - 2024
Baseando-se nos símbolos da teoria dos conjuntos e tomando por base os seguintes conjuntos A= {1, 2, 3, 
4} e B = {2, 4}, assinale a assertiva que só apresenta sentenças verdadeiras.
(A) IV e V.
(B) I, II, V. 
(C) I, II e III.
(D) II, III e, IV.
22. IDECAN - 2024
Em uma escola, 60 estudantes estão matriculados em Matemática, 45 em Física e 30 em Química. Sabe-se 
que 15 estudantes estão matriculados em Matemática e Física, 10 em Física e Química, e 5 em Matemática 
e Química. Se 3 estudantes estão matriculados em todos os três cursos, calcule quantos estudantes, no total, 
estão matriculados em pelo menos um dos cursos.
(A) 112.
(B) 105.
(C) 108.
(D) 110.
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23. VUNESP - 2024
Em países como os Estados Unidos, utiliza-se a polegada como unidade de medida de comprimento, sendo 
que 1 polegada corresponde a 2,54 cm. Para uma abordagem sobre diferentes medidas e instrumentos de me-
dição, uma professora utilizou uma corda com 38,1 metros de comprimento e um pedaço de madeira medindo 
75 polegadas. Após fazer uma apresentação aos alunos, explicando sobre a polegada, a professora pediu que 
eles medissem a corda, utilizando como unidade u de medida o pedaço de madeira. A correta resposta espera-
da pela professora é que a corda tem o comprimento de
(A) 200 u.
(B) 50 u.
(C) 100 u.
(D) 10 u.
(E) 20 u.
24. INQC - 2024
Ao planejar uma viagem em um aplicativo de GPS, o motorista reparou que a duração prevista seria de 4 
horas e 28 minutos.
Esse tempo, em minutos, é igual a:
(A) 88
(B) 148
(C) 208
(D) 268
25. Instituto Consulplan - 2024
Considere as premissas a seguir:
– Se hoje é feriado, então Júlia vai viajar e Gabriel terá folga.
– Se Júlia vai viajar ou Marcelo vai trabalhar, então Daniel vai ao show.
– Hoje, Gabriel está de folga e Daniel não foi ao show.
Sabendo-se que as premissas apresentadas são verdadeiras, é possível concluir que hoje
(A) é feriado e Júlia vai viajar.
(B) não é feriado e Júlia vai viajar.
(C)é feriado ou Marcelo vai trabalhar.
(D) não é feriado e Marcelo não vai trabalhar.
26. Instituto Consulplan - 2024
Considere os dois argumentos apresentados a seguir:
I. Se alguém é bacharel em direito, então conhece a jurisprudência. Carla conhece a jurisprudência. Portan-
to, Carla é bacharel em direito.
II. Ou o juiz não deu o veredito, ou inocentou o réu. O juiz deu o veredito. Portanto, inocentou o réu.
88
A respeito desses argumentos, pode-se afirmar que:
(A) Ambos são válidos.
(B) Ambos são inválidos.
(C) I é válido e II é inválido.
(D) II é válido e I é inválido.
27. CEBRASPE (CESPE) - 2024
“O chefe não me falou sobre isso, mas, se eu for convidado, aceitarei a tarefa.”
Supondo verdadeira a proposição acima, assinale a opção que apresenta uma proposição também verda-
deira.
(A) O chefe não me falou sobre isso.
(B) Não aceitarei a tarefa.
(C) O chefe me falou sobre isso.
(D) Serei convidado.
(E) Aceitarei a tarefa.
28. Instituto Consulplan - 2024
Analise as sentenças a seguir:
I. x – 4 = 16.
II. Márcio é servidor público estadual.
III. Ela disse que está nevando em Curitiba.
Das sentenças apresentadas qual(quais) é(são) aberta(s)?
(A) I.
(B) III.
(C) I e III.
(D) II e III.
29. FEPESE - 2024
Analise as seguintes sentenças do ponto de vista das estruturas lógicas:
João não vai à praia no final de semana.
As notas dos alunos da turma A são mais altas do que as dos alunos da turma B.
Elabore uma apresentação do relatório para o Supervisor do setor.
Maria comprou uma quantidade x de camisetas.
Assinale a alternativa que indica todas as sentenças que são consideradas proposições.
(A) São proposições apenas as sentenças 1 e 2.
(B) São proposições apenas as sentenças 2 e 4.
(C) São proposições apenas as sentenças 3 e 4.
(D) São proposições apenas as sentenças 1, 3 e 4.
(E) São proposições apenas as sentenças 2, 3 e 4.
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30. FUNDATEC - 2024
Dados que P e Q são proposições, qual expressão lógica representa simbolicamente a sentença “o vestido 
é azul e não é curto”?
(A) P∧Q
(B) P∼Q
(C) P⇔Q
(D) P∨Q
(E) P∪Q
Gabarito
1 D
2 C
3 C
4 B
5 D
6 A
7 B
8 D
9 B
10 E
11 D
12 C
13 C
14 B
15 B
16 C
17 D
18 A
19 D
20 D
21 C
22 C
23 E
24 D
25 D
26 D
27 A
28 C
29 A
30 Aque não são altos, mas são carecas é igual a
(A) 4.
(B) 7.
(C) 13.
(D) 5.
(E) 8.
Resolução: 
Primeiro, quando temos três conjuntos (altos, barbados e carecas), começamos pela interseção dos três, 
depois a interseção de cada dois, e por fim, cada um individualmente.
Se todo homem careca é barbado, então não teremos apenas homens carecas e altos. Portanto, os homens 
altos e barbados que não são carecas são 6.
Sabemos que existem 5 homens que são barbados e não são altos nem carecas e também que existem 5 
homens que são carecas e não são altos e nem barbados
6
Sabemos que 18 são altos
Quando resolvermos a equação 5 + 6 + x = 18, saberemos a quantidade de homens altos que são barbados 
e carecas.
x = 18 - 11, então x = 7
Carecas são 16
então 7 + 5 + y = 16, logo número de barbados que não são altos, mas são carecas é Y = 16 - 12 = 4
Resposta: A.
Nesse exercício, pode parecer complicado usar apenas a fórmula devido à quantidade de detalhes. No en-
tanto, se você seguir os passos e utilizar os diagramas de Venn, o resultado ficará mais claro e fácil de obter.
2. (SEGPLAN/GO – Perito Criminal – FUNIVERSA/2015) Suponha que, dos 250 candidatos selecionados 
ao cargo de perito criminal: 
1) 80 sejam formados em Física; 
2) 90 sejam formados em Biologia; 
3) 55 sejam formados em Química; 
4) 32 sejam formados em Biologia e Física; 
5) 23 sejam formados em Química e Física; 
6) 16 sejam formados em Biologia e Química; 
7) 8 sejam formados em Física, em Química e em Biologia. 
Considerando essa situação, assinale a alternativa correta.
(A) Mais de 80 dos candidatos selecionados não são físicos nem biólogos nem químicos.
(B) Mais de 40 dos candidatos selecionados são formados apenas em Física.
(C) Menos de 20 dos candidatos selecionados são formados apenas em Física e em Biologia.
(D) Mais de 30 dos candidatos selecionados são formados apenas em Química.
(E) Escolhendo-se ao acaso um dos candidatos selecionados, a probabilidade de ele ter apenas as duas 
formações, Física e Química, é inferior a 0,05.
7
Resolução:
Para encontrar o número de candidatos que não são formados em nenhuma das três áreas, usamos a fór-
mula da união de três conjuntos (Física, Biologia e Química):
n(F∪B∪Q) = n(F) + n(B) + n(Q) + n(F∩B∩Q) - n(F∩B) - n(F∩Q) - n(B∩Q)
Substituindo os valores, temos:
n(F∪B∪Q) = 80 + 90 + 55 + 8 - 32 - 23 - 16 = 162.
Temos um total de 250 candidatos
250 - 162 = 88
Resposta: A.
Observação: Em alguns exercícios, o uso das fórmulas pode ser mais rápido e eficiente para obter o re-
sultado. Em outros, o uso dos diagramas, como os Diagramas de Venn, pode ser mais útil para visualizar as 
relações entre os conjuntos. O importante é treinar ambas as abordagens para desenvolver a habilidade de 
escolher a melhor estratégia para cada tipo de problema na hora da prova.
Conjuntos Numéricos: Propriedades e operações referentes aos Conjuntos Numéricos 
(Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais)
O agrupamento de termos ou elementos que associam características semelhantes é denominado conjunto. 
Quando aplicamos essa ideia à matemática, se os elementos com características semelhantes são números, 
referimo-nos a esses agrupamentos como conjuntos numéricos.
Em geral, os conjuntos numéricos podem ser representados graficamente ou de maneira extensiva, sendo 
esta última a forma mais comum ao lidar com operações matemáticas. Na representação extensiva, os números 
são listados entre chaves {}. Caso o conjunto seja infinito, ou seja, contenha uma quantidade incontável de 
números, utilizamos reticências após listar alguns exemplos. Exemplo: N = {0, 1, 2, 3, 4, …}.
Existem cinco conjuntos considerados essenciais, pois são os mais utilizados em problemas e questões 
durante o estudo da Matemática. Esses conjuntos são os Naturais, Inteiros, Racionais, Irracionais e Reais.
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS (N)
O conjunto dos números naturais é simbolizado pela letra N e compreende os números utilizados para 
contar e ordenar. Esse conjunto inclui o zero e todos os números positivos, formando uma sequência infinita.
Em termos matemáticos, os números naturais podem ser definidos como N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
O conjunto dos números naturais pode ser dividido em subconjuntos:
N* = {1, 2, 3, 4…} ou N* = N – {0}: conjunto dos números naturais não nulos, ou sem o zero.
Np = {0, 2, 4, 6…}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais pares.
Ni = {1, 3, 5, 7..}, em que n ∈ N: conjunto dos números naturais ímpares.
P = {2, 3, 5, 7..}: conjunto dos números naturais primos.
8
Operações com Números Naturais 
Praticamente, toda a Matemática é edificada sobre essas duas operações fundamentais: adição e 
multiplicação.
Adição de Números Naturais
A primeira operação essencial da Aritmética tem como objetivo reunir em um único número todas as unidades 
de dois ou mais números.
Exemplo: 6 + 4 = 10, onde 6 e 4 são as parcelas e 10 é a soma ou o total.
Subtração de Números Naturais
É utilizada quando precisamos retirar uma quantidade de outra; é a operação inversa da adição. A subtração 
é válida apenas nos números naturais quando subtraímos o maior número do menor, ou seja, quando quando 
a-b tal que a ≥ b.
Exemplo: 200 – 193 = 7, onde 200 é o Minuendo, o 193 Subtraendo e 7 a diferença.
Obs.: o minuendo também é conhecido como aditivo e o subtraendo como subtrativo.
Multiplicação de Números Naturais
É a operação que visa adicionar o primeiro número, denominado multiplicando ou parcela, tantas vezes 
quantas são as unidades do segundo número, chamado multiplicador.
Exemplo: 3 x 5 = 15, onde 3 e 5 são os fatores e o 15 produto.
- 3 vezes 5 é somar o número 3 cinco vezes: 3 x 5 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 15. Podemos no lugar do “x” (vezes) 
utilizar o ponto “. “, para indicar a multiplicação).
Divisão de Números Naturais
Dados dois números naturais, às vezes precisamos saber quantas vezes o segundo está contido no primeiro. 
O primeiro número, que é o maior, é chamado de dividendo, e o outro número, que é menor, é o divisor. O 
resultado da divisão é chamado de quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente e somarmos o resto, 
obtemos o dividendo.
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um número 
natural por outro número natural de forma exata. Quando a divisão não é exata, temos um resto diferente de 
zero.
Princípios fundamentais em uma divisão de números naturais
– Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo. 45 : 9 = 5
– Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente. 45 = 5 x 9
– A divisão de um número natural n por zero não é possível, pois, se admitíssemos que o quociente fosse q, 
então poderíamos escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que: n = 0 x q = 0 o que não é correto! Assim, a divisão 
de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível.
9
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Naturais
Para todo a, b e c em N
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b + a 
3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a
4) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c)
5) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a
6) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a
7) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac
8) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab – ac
9) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, 
continua como resultado um número natural.
Exemplos:
1. Em uma gráfica, a máquina utilizada para imprimir certo tipo de calendário está com defeito, e, após 
imprimir 5 calendários perfeitos (P), o próximo sai com defeito (D), conforme mostra o esquema. Considerando 
que, ao se imprimir um lote com 5 000 calendários, os cinco primeiros saíram perfeitos e o sexto saiu com 
defeito e que essa mesma sequência se manteve durante toda a impressão do lote,é correto dizer que o 
número de calendários perfeitos desse lote foi
(A) 3 642.
(B) 3 828.
(C) 4 093.
(D) 4 167.
(E) 4 256.
Solução: 
Vamos dividir 5000 pela sequência repetida (6):
5000 / 6 = 833 + resto 2.
Isto significa que saíram 833. 5 = 4165 calendários perfeitos, mais 2 calendários perfeitos que restaram na 
conta de divisão.
Assim, são 4167 calendários perfeitos.
Resposta: D.
2. João e Maria disputaram a prefeitura de uma determinada cidade que possui apenas duas zonas eleitorais. 
Ao final da sua apuração o Tribunal Regional Eleitoral divulgou a seguinte tabela com os resultados da eleição. 
A quantidade de eleitores desta cidade é:
1ª Zona Eleitoral 2ª Zona Eleitoral
João 1750 2245
Maria 850 2320
Nulos 150 217
Brancos 18 25
Abstenções 183 175
10
(A) 3995
(B) 7165
(C) 7532
(D) 7575
(E) 7933
Solução: 
Vamos somar a 1ª Zona: 1750 + 850 + 150 + 18 + 183 = 2951
2ª Zona: 2245 + 2320 + 217 + 25 + 175 = 4982
Somando os dois: 2951 + 4982 = 7933
Resposta: E.
3. Uma escola organizou um concurso de redação com a participação de 450 alunos. Cada aluno que par-
ticipou recebeu um lápis e uma caneta. Sabendo que cada caixa de lápis contém 30 unidades e cada caixa 
de canetas contém 25 unidades, quantas caixas de lápis e de canetas foram necessárias para atender todos 
os alunos?
(A) 15 caixas de lápis e 18 caixas de canetas.
(B) 16 caixas de lápis e 18 caixas de canetas.
(C) 15 caixas de lápis e 19 caixas de canetas.
(D) 16 caixas de lápis e 19 caixas de canetas.
(E) 17 caixas de lápis e 19 caixas de canetas.
Solução: 
Número de lápis: 450. Dividindo pelo número de lápis por caixa: 450 ÷ 30 = 15 
Número de canetas: 450. Dividindo pelo número de canetas por caixa: 450 ÷ 25 = 18.
Resposta: A.
4. Em uma sala de aula com 32 alunos, todos participaram de uma brincadeira em que formaram grupos 
de 6 pessoas. No final, sobrou uma quantidade de alunos que não conseguiram formar um grupo completo. 
Quantos alunos ficaram sem grupo completo?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
Solução:
Divisão: 32÷6=5 grupos completos, com 32 − (6 × 5) = 2 alunos sobrando.
Resposta: B.
11
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS (Z)
O conjunto dos números inteiros é denotado pela letra maiúscula Z e compreende os números inteiros 
negativos, positivos e o zero. 
Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…}
O conjunto dos números inteiros também possui alguns subconjuntos:
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4…}: conjunto dos números inteiros não negativos.
Z- = {…-4, -3, -2, -1, 0}: conjunto dos números inteiros não positivos.
Z*
+ = {1, 2, 3, 4…}: conjunto dos números inteiros não negativos e não nulos, ou seja, sem o zero.
Z*
- = {… -4, -3, -2, -1}: conjunto dos números inteiros não positivos e não nulos.
Módulo
O módulo de um número inteiro é a distância ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica 
inteira. Ele é representado pelo símbolo | |.
O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0
O módulo de +6 é 6 e indica-se |+6| = 6
O módulo de –3 é 3 e indica-se |–3| = 3
O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo.
Números Opostos
Dois números inteiros são considerados opostos quando sua soma resulta em zero; dessa forma, os pontos 
que os representam na reta numérica estão equidistantes da origem.
Exemplo: o oposto do número 4 é -4, e o oposto de -4 é 4, pois 4 + (-4) = (-4) + 4 = 0. Em termos gerais, o 
oposto, ou simétrico, de “a” é “-a”, e vice-versa; notavelmente, o oposto de zero é o próprio zero.
Operações com Números Inteiros
Adição de Números Inteiros
Para facilitar a compreensão dessa operação, associamos a ideia de ganhar aos números inteiros positivos 
e a ideia de perder aos números inteiros negativos.
Ganhar 3 + ganhar 5 = ganhar 8 (3 + 5 = 8)
Perder 4 + perder 3 = perder 7 (-4 + (-3) = -7)
12
Ganhar 5 + perder 3 = ganhar 2 (5 + (-3) = 2)
Perder 5 + ganhar 3 = perder 2 (-5 + 3 = -2)
Observação: O sinal (+) antes do número positivo pode ser omitido, mas o sinal (–) antes do número 
negativo nunca pode ser dispensado.
Subtração de Números Inteiros
A subtração é utilizada nos seguintes casos:
– Ao retirarmos uma quantidade de outra quantidade;
– Quando temos duas quantidades e queremos saber a diferença entre elas;
– Quando temos duas quantidades e desejamos saber quanto falta para que uma delas atinja a outra.
A subtração é a operação inversa da adição. Concluímos que subtrair dois números inteiros é equivalente a 
adicionar o primeiro com o oposto do segundo.
Observação: todos os parênteses, colchetes, chaves, números, etc., precedidos de sinal negativo têm seu 
sinal invertido, ou seja, representam o seu oposto.
Multiplicação de Números Inteiros
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de adição quando os números são repetidos. 
Podemos entender essa situação como ganhar repetidamente uma determinada quantidade. Por exemplo, 
ganhar 1 objeto 15 vezes consecutivas significa ganhar 15 objetos, e essa repetição pode ser indicada pelo 
símbolo “x”, ou seja: 1+ 1 +1 + ... + 1 = 15 x 1 = 15.
Se substituirmos o número 1 pelo número 2, obtemos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 15 x 2 = 30
Na multiplicação, o produto dos números “a” e “b” pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum 
sinal entre as letras.
Divisão de Números Inteiros
Considere o cálculo: - 15/3 = q à 3q = - 15 à q = -5
No exemplo dado, podemos concluir que, para realizar a divisão exata de um número inteiro por outro 
número inteiro (diferente de zero), dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor.
No conjunto dos números inteiros Z, a divisão não é comutativa, não é associativa, e não possui a propriedade 
da existência do elemento neutro. Além disso, não é possível realizar a divisão por zero. Quando dividimos zero 
por qualquer número inteiro (diferente de zero), o resultado é sempre zero, pois o produto de qualquer número 
inteiro por zero é igual a zero.
Regra de sinais
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Potenciação de Números Inteiros
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado 
a base e o número n é o expoente.
an = a x a x a x a x ... x a , ou seja, a é multiplicado por a n vezes.
– Qualquer potência com uma base positiva resulta em um número inteiro positivo.
– Se a base da potência é negativa e o expoente é par, então o resultado é um número inteiro positivo.
– Se a base da potência é negativa e o expoente é ímpar, então o resultado é um número inteiro negativo.
Radiciação de Números Inteiros
A radiciação de números inteiros envolve a obtenção da raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro 
a. Esse processo resulta em outro número inteiro não negativo, representado por b, que, quando elevado à 
potência n, reproduz o número original a. O índice da raiz é representado por n, e o número a é conhecido como 
radicando, posicionado sob o sinal do radical.
A raiz quadrada, de ordem 2, é um exemplo comum. Ela produz um número inteiro não negativo cujo 
quadrado é igual ao número original a.
Importante observação: não é possível calcular a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto 
dos números inteiros.
14
É importante notar que não há um número inteiro não negativo cujo produto consigo mesmo resulte em um 
número negativo.
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que gera outro número inteiro. Esse número, 
quando elevado ao cubo, é igual ao número original a. É crucial observar que, ao contrário da raiz quadrada, 
não restringimos nossos cálculos apenas a números não negativos.
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Inteiros
Para todo a, b e c em Z
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b +a 
3) Elemento neutro da adição : a + 0 = a
4) Elemento oposto da adição: a + (-a) = 0
5) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c)
6) Comutativa da multiplicação : a.b = b.a
7) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a
8) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab +ac
9) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab –ac
10) Elemento inverso da multiplicação: para todo inteiro a ≠ 0, existe um inverso a–1 = 1/a em Z, tal que, a 
. a–1 = a . (1/a) = 1
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11) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, 
continua como resultado um número natural.
Exemplos: 
1. Para zelar pelos jovens internados e orientá-los a respeito do uso adequado dos materiais em geral e 
dos recursos utilizados em atividades educativas, bem como da preservação predial, realizou-se uma dinâmica 
elencando “atitudes positivas” e “atitudes negativas”, no entendimento dos elementos do grupo. Solicitou-se que 
cada um classificasse suas atitudes como positiva ou negativa, atribuindo (+4) pontos a cada atitude positiva e 
(-1) a cada atitude negativa. Se um jovem classificou como positiva apenas 20 das 50 atitudes anotadas, o total 
de pontos atribuídos foi
(A) 50.
(B) 45.
(C) 42.
(D) 36.
(E) 32.
Solução: 
50-20=30 atitudes negativas
20.4=80
30.(-1)=-30
80-30=50
Resposta: A.
2. Ruth tem somente R$ 2.200,00 e deseja gastar a maior quantidade possível, sem ficar devendo na loja. 
Verificou o preço de alguns produtos: 
TV: R$ 562,00 
DVD: R$ 399,00 
Micro-ondas: R$ 429,00 
Geladeira: R$ 1.213,00 
Na aquisição dos produtos, conforme as condições mencionadas, e pagando a compra em dinheiro, o troco 
recebido será de: 
(A) R$ 84,00 
(B) R$ 74,00 
(C) R$ 36,00 
(D) R$ 26,00 
(E) R$ 16,00 
Solução: 
Geladeira + Micro-ondas + DVD = 1213 + 429 + 399 = 2041
Geladeira + Micro-ondas + TV = 1213 + 429 + 562 = 2204, extrapola o orçamento
Geladeira + TV + DVD = 1213 + 562 + 399 = 2174, é a maior quantidade gasta possível dentro do orçamento.
Troco:2200 – 2174 = 26 reais
Resposta: D.
16
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS (Q)
Os números racionais são aqueles que podem ser expressos na forma de fração. Nessa representação, tanto 
o numerador quanto o denominador pertencem ao conjunto dos números inteiros, e é fundamental observar 
que o denominador não pode ser zero, pois a divisão por zero não está definida.
O conjunto dos números racionais é simbolizado por Q. Vale ressaltar que os conjuntos dos números naturais 
e inteiros são subconjuntos dos números racionais, uma vez que todos os números naturais e inteiros podem 
ser representados por frações. Além desses, os números decimais e as dízimas periódicas também fazem parte 
do conjunto dos números racionais. 
Representação na reta:
Também temos subconjuntos dos números racionais:
Q* = subconjunto dos números racionais não nulos, formado pelos números racionais sem o zero.
Q+ = subconjunto dos números racionais não negativos, formado pelos números racionais positivos.
Q*
+ = subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos e não nulos.
Q- = subconjunto dos números racionais não positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero.
Q*
- = subconjunto dos números racionais negativos, formado pelos números racionais negativos e não nulos.
Representação Decimal das Frações
Tomemos um número racional a/b, tal que a não seja múltiplo de b. Para escrevê-lo na forma decimal, basta 
efetuar a divisão do numerador pelo denominador. 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos:
1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos. Decimais Exatos:
2/5 = 0,4
1/4 = 0,25
2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-se 
periodicamente Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:
1/3 = 0,333... 
167/66 = 2,53030...
17
Existem frações muito simples que são representadas por formas decimais infinitas, com uma característica 
especial: existe um período.
Uma forma decimal infinita com período de UM dígito pode ser associada a uma soma com infinitos termos 
deste tipo:
Para converter uma dízima periódica simples em fração, é suficiente utilizar o dígito 9 no denominador para 
cada quantidade de dígitos que compõe o período da dízima.
Exemplos: 
1. Seja a dízima 0, 333....
Veja que o período que se repete é apenas 1(formado pelo 3), então vamos colocar um 9 no denominador 
e repetir no numerador o período.
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração 3/9.
2. Seja a dízima 1, 2343434...
O número 234 é formado pela combinação do ante período com o período. Trata-se de uma dízima periódica 
composta, onde há uma parte não repetitiva (ante período) e outra que se repete (período). No exemplo dado, 
o ante período é representado pelo número 2, enquanto o período é representado por 34.
Para converter esse número em fração, podemos realizar a seguinte operação: subtrair o ante período do 
número original (234 - 2) para obter o numerador, que é 232. O denominador é formado por tantos dígitos 9 
quanto o período (dois noves, neste caso) e um dígito 0 para cada dígito no ante período (um zero, neste caso).
Assim, a fração equivalente ao número 234 é 232/990
Em temos uma fração mista, então transformando-a:
Simplificando por 2, obtemos x = , que é a fração geratriz da dízima 1, 23434... 
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Módulo ou valor absoluto
Refere-se à distância do ponto que representa esse número até o ponto de abscissa zero.
Inverso de um Número Racional 
Operações com números Racionais
Soma de Números Racionais
Como cada número racional pode ser expresso como uma fração, ou seja, na forma de a/b, onde “a” e “b” 
são números inteiros e “b” não é zero, podemos definir a adição entre números racionais da seguinte forma: a/b 
e c/d, da mesma forma que a soma de frações, através de:
Subtração de Números Racionais
A subtração de dois números racionais, representados por a e b, é equivalente à operação de adição do 
número p com o oposto de q. Em outras palavras, a – b = a + (-b)
Multiplicação (produto) de Números Racionais
O produto de dois números racionais é definido considerando que todo número racional pode ser expresso 
na forma de uma fração. Dessa forma, o produto de dois números racionais, representados por a e b é obtido 
multiplicando-se seus numeradores e denominadores, respectivamente. A expressão geral para o produto de 
dois números racionais é a.b. O produto dos números racionais a/b e c/d também pode ser indicado por a/b × 
c/d, a/b.c/d. Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais 
que vale em toda a Matemática:
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de 
dois números com sinais diferentes é negativo.
Divisão (Quociente) de Números Racionais
A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso 
de q, isto é: p ÷ q = p × q-1
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Potenciação de Números Racionais
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o 
número n é o expoente. Vale as mesmas propriedades que usamos no conjunto dos Números Inteiros.
qn = q × q × q × q × ... × q, ou seja, q aparece n vezes.
Radiciação de Números Racionais
Se um número é representado como o produto de dois ou mais fatores iguais, cada um desses fatores é 
denominado raiz do número. Vale as mesmas propriedades que usamos no conjunto dos Números Inteiros.
Exemplo: considere o número 1/9
Podemos dizer que 1/9 é o produto de dois fatores iguais:
Isso significa que 1/3 é a raiz quadrada de 1/9:
Propriedades da Adição e Multiplicação de Números Racionais
1) Fechamento: o conjunto Q é fechado para a operação de adição e multiplicação, isto é, a soma e a 
multiplicação de dois números racionais ainda é um número racional.
2) Associativa da adição: para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c
3) Comutativa da adição: para todos a, b em Q: a + b = b + a
4) Elemento neutro da adição: existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto 
é: q + 0 = q
5) Elemento oposto: para todo q em Q, existe -q em Q, tal que q + (–q) = 0
6) Associativada multiplicação: para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c
7) Comutativa da multiplicação: para todos a, b em Q: a × b = b × a
8) Elemento neutro da multiplicação: existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio 
q, isto é: q × 1 = q
9) Elemento inverso da multiplicação: Para todo q = a/b em Q, q≠0 , existe :
Satisfazendo a propriedade:
ou seja, 
10) Distributiva da multiplicação: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c )
20
Exemplos:
1. Na escola onde estudo, 1/4 dos alunos tem a língua portuguesa como disciplina favorita, 9/20 têm a 
matemática como favorita e os demais têm ciências como favorita. Sendo assim, qual fração representa os 
alunos que têm ciências como disciplina favorita? 
(A) 1/4
(B) 3/10
(C) 2/9
(D) 4/5
(E) 3/2
Solução: 
Somando português e matemática:
O que resta gosta de ciências:
Resposta: B.
2. Simplificando a expressão abaixo
 
obtém-se :
(A) 1/2
(B) 1
(C) 3/2
(D) 2
(E) 3
Solução: 
1,3333...= 12/9 = 4/3
1,5 = 15/10 = 3/2
Resposta: B.
21
CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS (I)
O conceito de números irracionais está vinculado à definição de números racionais. Dessa forma, pertencem 
ao conjunto dos números irracionais aqueles que não fazem parte do conjunto dos racionais. Em outras 
palavras, um número é ou racional ou irracional, não podendo pertencer a ambos os conjuntos simultaneamente. 
Portanto, o conjunto dos números irracionais é o complemento do conjunto dos números racionais no universo 
dos números reais. Outra maneira de identificar os números que compõem o conjunto dos números irracionais 
é observar que eles não podem ser expressos na forma de fração. Isso ocorre, por exemplo, com decimais 
infinitos e raízes não exatas.
A combinação do conjunto dos números irracionais com o conjunto dos números racionais forma um conjunto 
denominado conjunto dos números reais, representado por R.
A interseção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais não possui 
elementos em comum e, portanto, é igual ao conjunto vazio (Ø).
De maneira simbólica, temos:
Q ∪ I = R
Q ∩ I = Ø
Classificação dos Números Irracionais
Os números irracionais podem ser classificados em dois tipos principais:
– Números reais algébricos irracionais: Esses números são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. 
Um número real é considerado algébrico se puder ser expresso por uma quantidade finita de operações como 
soma, subtração, multiplicação, divisão e raízes de grau inteiro, utilizando os números inteiros. Por exemplo:
É importante observar que a recíproca não é verdadeira; ou seja, nem todo número algébrico pode ser 
expresso usando radicais, conforme afirmado pelo teorema de Abel-Ruffini.
– Números reais transcendentes: esses números não são raízes de polinômios com coeficientes inteiros. 
Constantes matemáticas como pi (π) e o número de Euler (e) são exemplos de números transcendentes. Pode-
se dizer que há mais números transcendentes do que números algébricos, uma comparação feita na teoria dos 
conjuntos usando conjuntos infinitos.
A definição mais abrangente de números algébricos e transcendentes envolve números complexos.
Identificação de números irracionais
Com base nas explicações anteriores, podemos afirmar que:
– Todas as dízimas periódicas são números racionais.
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– Todos os números inteiros são racionais.
– Todas as frações ordinárias são números racionais.
– Todas as dízimas não periódicas são números irracionais.
– Todas as raízes inexatas são números irracionais.
– A soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional.
– A diferença de dois números irracionais pode ser um número racional.
Exemplos:
1. Considere as seguintes afirmações:
I. Para todo número inteiro x, tem-se 
II. 
III. Efetuando-se obtém-se um número maior que 5.
Relativamente a essas afirmações, é certo que
(A) I,II, e III são verdadeiras.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
(C) Apenas II e III são verdadeiras.
(D) Apenas uma é verdadeira.
(E) I,II e III são falsas.
Solução: 
I. 
II. 
10x = 4,4444...
- x = 0,4444.....
9x = 4
x = 4/9
III. 
Portanto, apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
Resposta: B.
23
2. Sejam os números irracionais: x = √3, y = √6, z = √12 e w = √24. Qual das expressões apresenta como 
resultado um número natural? 
(A) yw – xz.
(B) xw + yz.
(C) xy(w – z).
(D) xz(y + w). 
Solução: 
Vamos testar as alternativas:
A) 
Resposta: A.
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS (R)
O conjunto dos números reais, representado por R, é a fusão do conjunto dos números racionais com o 
conjunto dos números irracionais. Vale ressaltar que o conjunto dos números racionais é a combinação dos 
conjuntos dos números naturais e inteiros. Podemos afirmar que entre quaisquer dois números reais há uma 
infinidade de outros números. 
R = Q ∪ I, sendo Q ∩ I = Ø ( Se um número real é racional, não irracional, e vice-versa).
Entre os conjuntos números reais, temos:
R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos.
R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.
R*
+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos.
R- = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos.
R*
- = {x ∈ R│x ;afirmar que:
A) I, II e III são verdadeiras.
B) apenas I e II são verdadeiras.
C) I, II e III são falsas.
D) apenas II e III são falsas.
Solução: 
I. Falso, pois m é Real e pode ser negativo.
II. Falso, pois m é Real e pode ser negativo.
III. Falso, pois m é Real e pode ser positivo.
Resposta: C. 
26
Relações e Funções Reais: Análise de gráficos; resolução de Equações Polinomiais do 
1º e 2º graus, Função Afim e Função Quadrática
No cotidiano, é comum nos depararmos com situações que envolvem a interação entre diferentes grande-
zas. Por exemplo, o valor de uma conta de luz depende diretamente do consumo de energia elétrica, e o tempo 
de uma viagem está relacionado à velocidade média do trajeto. Esses exemplos ilustram relações entre gran-
dezas, que podem ser representadas e analisadas de forma precisa. 
RELAÇÕES
Uma relação é uma correspondência entre os elementos de dois conjuntos, A e B. Ela associa elementos de 
A com elementos de B de acordo com uma regra ou critério.
Exemplo:
▪ A = {1,2,3}: conjunto de números.
▪ B = {2,4,6}: conjunto de números pares.
Uma relação entre A e B pode ser: R = { (1,2),(2,4),(3,6) }.
Neste caso, cada número de A está associado ao dobro dele em B. Assim, R é uma relação entre os dois 
conjuntos.
Relações podem assumir diferentes características:
▪ Relações totais: Cada elemento de A está relacionado a pelo menos um elemento de B.
▪ Relações parciais: Nem todos os elementos de A possuem correspondência em B.
▪ Relações unívocas: Cada elemento de A está associado a apenas um elemento de B, mas elementos de 
B podem estar relacionados a mais de um elemento de A.
Essas características são fundamentais para definir uma função, que é um caso especial de relação.
FUNÇÕES
Uma função é uma relação especial entre dois conjuntos A e B, que liga cada valor de entrada a um único 
valor de saída. Em outras palavras, para cada valor que colocamos na função, ela devolve um resultado úni-
co.
Definição
Sejam A e B dois conjuntos não vazios e f uma relação de A em B. Essa relação f é uma função de A em 
B quando a cada elemento x do conjunto A está associado um e apenas um elemento y do conjunto B, sendo 
assim, um valor de A não pode estar ligado a dois valores de B.
Representação das Funções
Uma função pode ser representada de várias formas:
▪ Algebricamente: Por uma fórmula, como f(x)=2x+3.
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▪ Por pares ordenados: {(1,2),(2,4),(3,6)}.
▪ Graficamente: Usando um plano cartesiano para exibir a relação entre os elementos
Notação das Funções
Uma função pode ser representada como 
f: A→B
lida como “f é uma função de A em B”, onde:
▪ O conjunto A é chamado de domínio (D), que contém todos os valores de entrada possíveis para a função.
▪ O conjunto B é chamado de contradomínio (CD), que contém todos os valores que a função pode alcançar.
▪ O valor específico de B que está relacionado a cada elemento de A é chamado de imagem .
▪ O conjunto formado por todas as imagens é chamado de conjunto imagem (Im) e sempre será um 
subconjunto do contradomínio.
Exemplo: observe os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, com a função que determina a 
relação entre os elementos f: A → B é x → 2x. Sendo assim, f(x) = 2x e cada x do conjunto A é transformado 
em 2x no conjunto B.
Note que o conjunto de A {1, 2, 3, 4} são as entradas, “multiplicar por 2” é a função e os valores de B {2, 4, 
6, 8}, que se ligam aos elementos de A, são os valores de saída. Portanto, para essa função:
▪ O domínio é {1, 2, 3, 4};
▪ O contradomínio é {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
▪ O conjunto imagem é {2, 4, 6, 8}.
Tipos de Funções
As funções recebem classificações de acordo com suas propriedades:
— Função Sobrejetora: Na função sobrejetora o contradomínio é igual ao conjunto imagem. Portanto, todo 
elemento de B é imagem de pelo menos um elemento de A. Portanto, f: A → B, ocorre Im(f) = B = CD
Exemplo:
28
Para a função acima:
▪ O domínio é {-4, -2, 2, 3};
▪ O contradomínio é {12, 4, 6};
▪ O conjunto imagem é {12, 4, 6}.
— Função Injetora: Na função injetora todos os elementos de A possuem correspondentes distintos em B e 
nenhum dos elementos de A compartilham de uma mesma imagem em B. Entretanto, podem existir elementos 
em B que não estejam relacionados a nenhum elemento de A.
Exemplo:
Para a função acima:
▪ O domínio é {0, 3, 5};
▪ O contradomínio é {1, 2, 5, 8};
▪ O conjunto imagem é {1, 5, 8}.
— Função Bijetora: Na função bijetora os conjuntos apresentam o mesmo número de elementos 
relacionados. Essa função recebe esse nome por ser ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
Exemplo:
Para a função acima:
▪ O domínio é {-1, 1, 2, 4};
▪ O contradomínio é {2, 3, 5, 7};
▪ O conjunto imagem é {2, 3, 5, 7}.
29
— Função Inversa: A inversa de uma função f, denotada por f-1, é a função que desfaz a operação execu-
tada pela função f. Vejamos a figura abaixo:
Destacamos que:
▪ A função f “leva” o valor - 2 até o valor - 16, enquanto que a inversa f-1, “traz de volta” o valor - 16 até o 
valor - 2, desfazendo assim o efeito de f sobre - 2.
▪ Outra maneira de entender essa ideia é a função f associa o valor -16 ao valor -2, enquanto que a inversa, 
f-1, associa o valor -2 ao valor -16.
▪ Dada uma tabela de valores funcionais para f(x), podemos obter uma tabela para a inversa f-1, invertendo 
as colunas x e y.
▪ Se aplicarmos, em qualquer ordem, f e também f-1 a um número qualquer, obtemos esse número de volta. 
Seja f: A → B uma função bijetora com domínio A e imagem B. A função inversa f -1 é a função f -1: B → A , 
com domínio B e imagem A tal que: 
f-1(f(a)) = a para a ∈ A e f(f-1(b)) = b para b ∈ B
Assim, podemos definir a função inversa f -1 por: x = f -1(y) ↔ y = f(x), para y em B.
Fonte: https://lh3.googleusercontent.com
— Função Par: Quando para todo elemento x pertencente ao domínio temos f(x)=f(-x), ∀ x ∈ D(f). Ou seja, 
os valores simétricos devem possuir a mesma imagem. 
30
— Função Ímpar: Quando para todo elemento x pertencente ao domínio, temos f(-x) = -f(x) ∀ x ∈ D(f). Ou 
seja, os elementos simétricos do domínio terão imagens simétricas.
— Funções iguais: Duas funções f: A→B e g: A→B são iguais (escrevemos f=g) se, e somente se, para 
todo x ∈ A temos f(x) = g(x).
FUNÇÃO DO 1º GRAU
A função afim, também chamada de função do 1º grau, é uma função f: R→R, definida como f(x) = ax + b, 
sendo a e b números reais1, com a ≠ 0. Exemplos de funções afins incluem f(x) = x+5 e h(x)= 1/2x.
Neste tipo de função, o número a é chamado de coeficiente de x e representa a taxa de crescimento ou taxa 
de variação da função. Já o número b é chamado de termo constante.
Gráfico de uma Função do 1º grau
O gráfico de uma função polinomial do 1º grau é uma reta oblíqua aos eixos Ox e Oy. Desta forma, para 
construirmos seu gráfico basta encontrarmos pontos que satisfaçam a função.
Exemplo: Construa o gráfico da função f (x) = 2x + 3.
Para construir o gráfico desta função, vamos atribuir valores arbitrários para x, substituir na equação e 
calcular o valor correspondente para a f (x).
Sendo assim, iremos calcular a função para os valores de x iguais a: - 2, - 1, 0, 1 e 2. Substituindo esses 
valores na função, temos:
f (- 2) = 2. (- 2) + 3 = - 4 + 3 = - 1
f (- 1) = 2 . (- 1) + 3 = - 2 + 3 = 1
f (0) = 2 . 0 + 3 = 3
f (1) = 2 . 1 + 3 = 5
f (2) = 2 . 2 + 3 = 7
Os pontos escolhidos e o gráfico da f (x) são apresentados na imagem abaixo:
1 https://www.todamateria.com.br/funcao-afim/
31
No exemplo, utilizamos vários pontos para construir o gráfico, entretanto, para definir uma reta bastam dois 
pontos.
Para facilitar os cálculos podemos, por exemplo, escolher os pontos (0,y) e (x,0). Nestes pontos, a reta da 
função corta o eixo Ox e Oy respectivamente.
Coeficiente Linear e Angular
Como o gráfico de uma função afim é uma reta, o coeficiente a de x é também chamado de coeficiente 
angular. Esse valor representa a inclinação da reta em relação ao eixo Ox.
O termo constante b é chamado de coeficiente lineare representa o ponto onde a reta corta o eixo Oy. Pois 
sendo x = 0, temos:
y = a.0 + b → y = b
Quando uma função afim apresentar o coeficiente angular igual a zero (a = 0) a função será chamada de 
constante. Neste caso, o seu gráfico será uma reta paralela ao eixo Ox.
Abaixo representamos o gráfico da função constante f (x) = 4:
Ao passo que, quando b = 0 e a = 1 a função é chamada de função identidade. O gráfico da função f (x) = x 
(função identidade) é uma reta que passa pela origem (0,0).
Além disso, essa reta é bissetriz do 1º e 3º quadrantes, ou seja, divide os quadrantes em dois ângulos 
iguais, conforme indicado na imagem abaixo:
32
Temos ainda que, quando o coeficiente linear é igual a zero (b = 0), a função afim é chamada de função 
linear. Por exemplo as funções f (x) = 2x e g (x) = - 3x são funções lineares.
O gráfico das funções lineares são retas inclinadas que passam pela origem (0,0).
Representamos abaixo o gráfico da função linear f (x) = - 3x:
Função Crescente e Decrescente
Uma função é crescente quando ao atribuirmos valores cada vez maiores para x, o resultado da f (x) será 
também cada vez maior.
Já a função decrescente é aquela que ao atribuirmos valores cada vez maiores para x, o resultado da f (x) 
será cada vez menor.
Para identificar se uma função afim é crescente ou decrescente, basta verificar o valor do seu coeficiente 
angular.
Se o coeficiente angular for positivo, ou seja, a é maior que zero, a função será crescente. Ao contrário, se 
a for negativo, a função será decrescente.
Por exemplo, a função 2x - 4 é crescente, pois a = 2 (valor positivo). Entretanto, a função - 2x + - 4 é 
decrescente visto que a = - 2 (negativo). Essas funções estão representadas nos gráficos abaixo:
33
FUNÇÃO DO 2º GRAU
A função quadrática, também chamada de função polinomial de 2º grau, é uma função representada pela 
seguinte expressão2:
f(x) = ax² + bx + c
Onde a, b e c são números reais e a ≠ 0.
Exemplo:
f(x) = 2x² + 3x + 5,
sendo,
a = 2
b = 3
c = 5
Nesse caso, o polinômio da função quadrática é de grau 2, pois é o maior expoente da variável.
Como resolver uma função quadrática
Confira abaixo o passo-a-passo por meio um exemplo de resolução da função quadrática:
Exemplo: Determine a, b e c na função quadrática dada por: f(x) = ax² + bx + c, sendo:
f (-1) = 8
f (0) = 4
f (2) = 2
Primeiramente, vamos substituir o x pelos valores de cada função e assim teremos:
f (-1) = 8
a (-1)² + b (–1) + c = 8
a - b + c = 8 (equação I)
f (0) = 4
a . 0² + b . 0 + c = 4
c = 4 (equação II)
f (2) = 2
a . 2² + b . 2 + c = 2
4a + 2b + c = 2 (equação III)
Pela segunda função f (0) = 4, já temos o valor de c = 4.
Assim, vamos substituir o valor obtido para c nas equações I e III para determinar as outras incógnitas (a e 
b):
(Equação I)
a - b + 4 = 8
a - b = 4
a = b + 4
Já que temos a equação de a pela Equação I, vamos substituir na III para determinar o valor de b:
2 https://www.todamateria.com.br/funcao-quadratica/
34
(Equação III)
4a + 2b + 4 = 2
4a + 2b = - 2
4 (b + 4) + 2b = - 2
4b + 16 + 2b = - 2
6b = - 18
b = - 3
Por fim, para encontrar o valor de a substituímos os valores de b e c que já foram encontrados. Logo:
(Equação I)
a - b + c = 8
a - (- 3) + 4 = 8
a = - 3 + 4
a = 1
Sendo assim, os coeficientes da função quadrática dada são:
a = 1
b = - 3
c = 4
Raízes da Função
As raízes ou zeros da função do segundo grau representam aos valores de x tais que f(x) = 0. As raízes da 
função são determinadas pela resolução da equação de segundo grau:
f(x) = ax² +bx + c = 0
Para resolver a equação do 2º grau podemos utilizar vários métodos, sendo um dos mais utilizados é 
aplicando a Fórmula de Bhaskara, ou seja:
Exemplo: Encontre os zeros da função f(x) = x² – 5x + 6.
Sendo:
a = 1
b = – 5
c = 6
Substituindo esses valores na fórmula de Bhaskara, temos:
Portanto, as raízes são 2 e 3.
35
Observe que a quantidade de raízes de uma função quadrática vai depender do valor obtido pela expressão: 
Δ = b² – 4. ac, o qual é chamado de discriminante.
Assim,
- Se Δ > 0, a função terá duas raízes reais e distintas (x1 ≠ x2);
- Se Δ 0, o gráfico cortará o eixo x em dois pontos;
- Se Δdiferentes de lanches para escolher na promoção.
3 https://www.todamateria.com.br/analise-combinatoria/
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Tipos de Combinatória
O princípio fundamental da contagem pode ser usado em grande parte dos problemas relacionados com 
contagem. Entretanto, em algumas situações seu uso torna a resolução muito trabalhosa.
Desta maneira, usamos algumas técnicas para resolver problemas com determinadas características. 
Basicamente há três tipos de agrupamentos: arranjos, combinações e permutações.
Antes de conhecermos melhor esses procedimentos de cálculo, precisamos definir uma ferramenta muito 
utilizada em problemas de contagem, que é o fatorial.
O fatorial de um número natural é definido como o produto deste número por todos os seus antecessores. 
Utilizamos o símbolo ! para indicar o fatorial de um número.
Define-se ainda que o fatorial de zero é igual a 1.
Exemplo:
0! = 1.
1! = 1.
3! = 3.2.1 = 6.
7! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5.040.
10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 3.628.800.
Note que o valor do fatorial cresce rapidamente, conforme cresce o número. Então, frequentemente usamos 
simplificações para efetuar os cálculos de análise combinatória.
— Arranjos
Nos arranjos, os agrupamentos dos elementos dependem da ordem e da natureza dos mesmos.
Para obter o arranjo simples de n elementos tomados, p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte expressão:
Exemplo: Como exemplo de arranjo, podemos pensar na votação para escolher um representante e um 
vice-representante de uma turma, com 20 alunos. Sendo que o mais votado será o representante e o segundo 
mais votado o vice-representante.
Dessa forma, de quantas maneiras distintas a escolha poderá ser feita? Observe que nesse caso, a ordem 
é importante, visto que altera o resultado.
Logo, o arranjo pode ser feito de 380 maneiras diferentes.
— Permutações
As permutações são agrupamentos ordenados, onde o número de elementos (n) do agrupamento é igual ao 
número de elementos disponíveis.
Note que a permutação é um caso especial de arranjo, quando o número de elementos é igual ao número 
de agrupamentos. Desta maneira, o denominador na fórmula do arranjo é igual a 1 na permutação.
Assim a permutação é expressa pela fórmula:
Exemplo: Para exemplificar, vamos pensar de quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem se sentar em 
um banco com 6 lugares.
38
Como a ordem em que irão se sentar é importante e o número de lugares é igual ao número de pessoas, 
iremos usar a permutação:
Logo, existem 720 maneiras diferentes para as 6 pessoas se sentarem neste banco.
— Combinações
As combinações são subconjuntos em que a ordem dos elementos não é importante, entretanto, são 
caracterizadas pela natureza dos mesmos.
Assim, para calcular uma combinação simples de n elementos tomados p a p (p ≤ n), utiliza-se a seguinte 
expressão:
Exemplo: A fim de exemplificar, podemos pensar na escolha de 3 membros para formar uma comissão 
organizadora de um evento, dentre as 10 pessoas que se candidataram.
De quantas maneiras distintas essa comissão poderá ser formada?
Note que, ao contrário dos arranjos, nas combinações a ordem dos elementos não é relevante. Isso quer 
dizer que escolher Maria, João e José é equivalente a escolher João, José e Maria.
Observe que para simplificar os cálculos, transformamos o fatorial de 10 em produto, mas conservamos o 
fatorial de 7, pois, desta forma, foi possível simplificar com o fatorial de 7 do denominador.
Assim, existem 120 maneiras distintas formar a comissão.
Probabilidade e Análise Combinatória
A Probabilidade permite analisar ou calcular as chances de obter determinado resultado diante de um 
experimento aleatório. São exemplos as chances de um número sair em um lançamento de dados ou a 
possibilidade de ganhar na loteria.
A partir disso, a probabilidade é determinada pela razão entre o número de eventos possíveis e número de 
eventos favoráveis, sendo apresentada pela seguinte expressão:
Sendo:
P (A): probabilidade de ocorrer um evento A.
n (A): número de resultados favoráveis.
n (Ω): número total de resultados possíveis.
Para encontrar o número de casos possíveis e favoráveis, muitas vezes necessitamos recorrer as fórmulas 
estudadas em análise combinatória.
Exemplo: Qual a probabilidade de um apostador ganhar o prêmio máximo da Mega-Sena, fazendo uma 
aposta mínima, ou seja, apostar exatamente nos seis números sorteados?
Solução: Como vimos, a probabilidade é calculada pela razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis. 
Nesta situação, temos apenas um caso favorável, ou seja, apostar exatamente nos seis números sorteados.
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Já o número de casos possíveis é calculado levando em consideração que serão sorteados, ao acaso, 6 
números, não importando a ordem, de um total de 60 números.
Para fazer esse cálculo, usaremos a fórmula de combinação, conforme indicado abaixo:
Assim, existem 50 063 860 modos distintos de sair o resultado. A probabilidade de acertarmos então será 
calculada como:
PROBABILIDADE
A teoria da probabilidade é o campo da Matemática que estuda experimentos ou fenômenos aleatórios e 
através dela é possível analisar as chances de um determinado evento ocorrer4.
Quando calculamos a probabilidade, estamos associando um grau de confiança na ocorrência dos resultados 
possíveis de experimentos, cujos resultados não podem ser determinados antecipadamente. Probabilidade é a 
medida da chance de algo acontecer.
Desta forma, o cálculo da probabilidade associa a ocorrência de um resultado a um valor que varia de 0 a 1 
e, quanto mais próximo de 1 estiver o resultado, maior é a certeza da sua ocorrência.
Por exemplo, podemos calcular a probabilidade de uma pessoa comprar um bilhete da loteria premiado ou 
conhecer as chances de um casal ter 5 filhos, todos meninos.
Experimento Aleatório
Um experimento aleatório é aquele que não é possível conhecer qual resultado será encontrado antes de 
realizá-lo.
Os acontecimentos deste tipo quando repetidos nas mesmas condições, podem dar resultados diferentes e 
essa inconstância é atribuída ao acaso.
Um exemplo de experimento aleatório é jogar um dado não viciado (dado que apresenta uma distribuição 
homogênea de massa) para o alto. Ao cair, não é possível prever com total certeza qual das 6 faces estará 
voltada para cima.
Fórmula da Probabilidade
Em um fenômeno aleatório, as possibilidades de ocorrência de um evento são igualmente prováveis.
Sendo assim, podemos encontrar a probabilidade de ocorrer um determinado resultado através da divisão 
entre o número de eventos favoráveis e o número total de resultados possíveis:
Sendo:
P(A): probabilidade da ocorrência de um evento A.
n(A): número de casos favoráveis ou, que nos interessam (evento A).
n(Ω): número total de casos possíveis.
O resultado calculado também é conhecido como probabilidade teórica.
4 https://www.todamateria.com.br/probabilidade/
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Para expressar a probabilidade na forma de porcentagem, basta multiplicar o resultado por 100.
Exemplo: Se lançarmos um dado perfeito, qual a probabilidade de sair um número menor que 3?
Solução: Sendo o dado perfeito, todas as 6 faces têm a mesma chance de caírem voltadas para cima. 
Vamos então, aplicar a fórmula da probabilidade.
Para isso, devemos considerar que temos 6 casos possíveis (1, 2, 3, 4, 5, 6) e que o evento “sair um número 
menor que 3” tem 2 possibilidades, ou seja, sair o número 1 ou 2. Assim, temos:
Para responder na forma de uma porcentagem, basta multiplicar por 100.
Portanto, a probabilidade de sair um número menor que 3 é de 33%.
Ponto Amostral
Ponto amostral é cada resultado possível gerado por um experimento aleatório.
Exemplo: Seja o experimento aleatório lançar uma moeda e verificar a face voltada para cima, temos os 
pontos amostrais cara e coroa. Cada resultado é um ponto amostral.
Espaço Amostral
Representado pela letra Ω(ômega), o espaço amostral corresponde ao conjunto de todos os pontos 
amostrais, ou, resultados possíveis obtidos a partir de um experimento aleatório.
Por exemplo, ao retirar aoacaso uma carta de um baralho, o espaço amostral corresponde às 52 cartas que 
compõem este baralho.
Da mesma forma, o espaço amostral ao lançar uma vez um dado, são as seis faces que o compõem:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A quantidade de elementos em um conjunto chama-se cardinalidade, expressa pela letra n seguida do 
símbolo do conjunto entre parênteses.
Assim, a cardinalidade do espaço amostral do experimento lançar um dado é n(Ω) = 6.
Espaço Amostral Equiprovável
Equiprovável significa mesma probabilidade. Em um espaço amostral equiprovável, cada ponto amostral 
possui a mesma probabilidade de ocorrência.
Exemplo: Em uma urna com 4 esferas de cores: amarela, azul, preta e branca, ao sortear uma ao acaso, 
quais as probabilidades de ocorrência de cada uma ser sorteada?
Sendo experimento honesto, todas as cores possuem a mesma chance de serem sorteadas.
Tipos de Eventos
Evento é qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório.
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– Evento certo
O conjunto do evento é igual ao espaço amostral.
Exemplo: Em uma delegação feminina de atletas, uma ser sorteada ao acaso e ser mulher.
– Evento Impossível
O conjunto do evento é vazio.
Exemplo: Imagine que temos uma caixa com bolas numeradas de 1 a 20 e que todas as bolas são vermelhas.
O evento “tirar uma bola vermelha” é um evento certo, pois todas as bolas da caixa são desta cor. Já o 
evento “tirar um número maior que 30”, é impossível, visto que o maior número na caixa é 20.
– Evento Complementar
Os conjuntos de dois eventos formam todo o espaço amostral, sendo um evento complementar ao outro.
Exemplo: No experimento lançar uma moeda, o espaço amostral é Ω = {cara, coroa}.
Seja o evento A sair cara, A = {cara}, o evento B sair coroa é complementar ao evento A, pois, B={coroa}. 
Juntos formam o próprio espaço amostral.
– Evento Mutuamente Exclusivo
Os conjuntos dos eventos não possuem elementos em comum. A intersecção entre os dois conjuntos é 
vazia.
Exemplo: Seja o experimento lançar um dado, os seguintes eventos são mutuamente exclusivos
A: ocorrer um número menor que 5, A = {1, 2, 3, 4}.
B: ocorrer um número maior que 5, A = {6}.
Adição de probabilidades
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral E, finito e não vazio. Tem-se:
Exemplo
No lançamento de um dado, qual é a probabilidade de se obter um número par ou menor que 5, na face 
superior?
Solução
E={1,2,3,4,5,6} n(E)=6
Sejam os eventos 
A={2,4,6} n(A)=3 
B={1,2,3,4} n(B)=4
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Eventos Simultâneos
Considerando dois eventos, A e B, de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de ocorrer A e B é dada 
por:
Probabilidade Condicional
A probabilidade condicional relaciona as probabilidades entre eventos de um espaço amostral equiprovável. 
Nestas circunstâncias, a ocorrência do evento A, depende ou, está condicionada a ocorrência do evento B.
A probabilidade do evento A dado o evento B é definida por:
Onde o evento B não pode ser vazio.
Exemplo de caso de probabilidade condicional: Em um encontro de colaboradores de uma empresa que 
atua na França e no Brasil, um sorteio será realizado e um dos colaboradores receberá um prêmio. Há apenas 
colaboradores franceses e brasileiros, homens e mulheres.
Como evento de probabilidade condicional, podemos associar a probabilidade de sortear uma mulher 
(evento A) dado que seja francesa (evento B).
Neste caso, queremos saber a probabilidade de ocorrer A (ser mulher), apenas se for francesa (evento B).
Medidas e Grandezas: Problemas envolvendo medidas de Comprimento, Área, 
VolumeMassa, Capacidade e Tempo
O sistema de medidas é um conjunto de unidades de quantificação padronizadas que são utilizadas para 
expressar a magnitude de grandezas físicas como comprimento, massa, volume, temperatura, entre outras. 
Essas unidades permitem que as pessoas comuniquem e compreendam quantidades de maneira clara e 
consistente em diferentes contextos e aplicações. 
O Sistema Internacional de Unidades (SI) é o padrão mais amplamente adotado no mundo, que surgiu da 
necessidade de uniformizar as unidades que são utilizadas na maior parte dos países.
COMPRIMENTO
No SI a unidade padrão de comprimento é o metro (m). Atualmente ele é definido como o comprimento da 
distância percorrida pela luz no vácuo durante um intervalo de tempo de 1/299.792.458 de um segundo.
UNIDADES DE COMPRIMENTO
km hm dam m dm cm mm
Quilômetro Hectômetro Decâmetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro
1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para peque-
nas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos:
mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = 10-10 m
Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano):
Ano-luz = 9,5 · 1012 km
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Exemplos de Transformação
1m=10dm=100cm=1000mm=0,1dam=0,01hm=0,001km
1km=10hm=100dam=1000m
Ou seja, para transformar as unidades, quando “ andamos” para direita multiplica por 10 e para a esquerda 
divide por 10.
Exemplo:
(CETRO - 2012 - TJ-RS - Oficial de Transportes) João tem 1,72m de altura e Marcos tem 1,89m. Dessa 
forma, é correto afirmar que Marcos tem
Alternativas
(A) 0,17cm a mais do que João.
(B) 0,17cm a menos do que João.
(C) 1,7cm a mais do que João.
(D) 17cm a mais do que João.
(E) 17cm a menos do que João.
Resolução: Marcos = 1,89m = 189cm
João = 1,72m = 172cm
189-172=17cm
Resposta:D
SUPERFÍCIE
A medida de superfície é sua área e a unidade fundamental é o metro quadrado(m²).
Para transformar de uma unidade para outra inferior, devemos observar que cada unidade é cem vezes 
maior que a unidade imediatamente inferior. Assim, multiplicamos por cem para cada deslocamento de uma 
unidade até a desejada. 
UNIDADES DE ÁREA
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
Quilômetro
Quadrado
Hectômetro
Quadrado
Decâmetro
Quadrado
Metro
Quadrado
Decímetro
Quadrado
Centímetro
Quadrado
Milímetro
Quadrado
1000000m2 10000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2
Exemplos de Transformação
1m²=100dm²=10000cm²=1000000mm²
1km²=100hm²=10000dam²=1000000m²
Ou seja, para transformar as unidades, quando “ andamos” para direita multiplica por 100 e para a esquerda 
divide por 100.
44
Exemplo:
(CESGRANRIO - 2005 - INSS - Técnico - Previdenciário) Um terreno de 1 km2 será dividido em 5 lotes, 
todos com a mesma área. A área de cada lote, em m2 , será de:
Alternativas
(A) 1 000
(B) 2 000
(C) 20 000
(D) 100 000
(E) 200 000
Resolução: Para calcular a área de um quadrado, basta elevar ao quadrado a medida de um lado.
1 KM = 1000m
1km² = 1000m x 1000m = 1000000m²
Como sao 5 lotes, todos de mesma area
1.000.000/5 = 200.000m
Resposta:E
VOLUME
Os sólidos geométricos são objetos tridimensionais que ocupam lugar no espaço. Por isso, eles possuem 
volume. Podemos encontrar sólidos de inúmeras formas, retangulares, circulares, quadrangulares, entre ou-
tras, mas todos irão possuir volume e capacidade.
UNIDADES DE VOLUME
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
Quilômetro
Cúbico
Hectômetro
Cúbico
Decâmetro
Cúbico
Metro
Cúbico
Decímetro
Cúbico
Centímetro
Cúbico
Milímetro
Cúbico
1000000000m3 1000000m3 1000m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001m3
CAPACIDADE
Para medirmos a quantidade de leite, sucos, água, óleo, gasolina, álcool entre outros utilizamos o litro e 
seus múltiplos e submúltiplos, unidade de medidas de produtos líquidos. 
Se um recipiente tem 1L de capacidade, então seu volume interno é de 1dm³
1L=1dm³
UNIDADES DE CAPACIDADE
kl hl dal l dl cl ml
Quilolitro Hectolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitro
1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l
45
Exemplo: 
(FCC - 2012 - SEE-MG - Assistente Técnico Educacional - Apoio Técnico) Uma forma de gelo tem 21 
compartimentos iguais com capacidade de 8 mL cada. Para encher totalmente com água três formas iguais a 
essa é necessário
Alternativas
(A) exatamente um litro.
(B) exatamente meio litro.
(C) mais de um litro.
(D) entre meio litro e um litro.
Resolução:
21 x 3 x 8 = 504 ml =