8 - MATEMÁTICA

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CONJUNTOS
 
 Pertinência é a característica associada a um elemento ao qual faz
parte de um conjunto.
 Quando queremos indicar que um elemento pertence a um
conjunto, usamos o símbolo: ∈ (pertence).
 Quando queremos indicar que um elemento não pertence a um
determinado conjunto, usamos o símbolo: ∉ (não pertence).
1
 RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
 
 A relação de inclusão pode ser bastante confundida se o aluno não
entender a simbologia:
Quando falamos que o conjunto A está contido no conjunto B, então
todo elemento de A pertence a B e usamos o símbolo: A ⊂ B;
RELAÇÃO DE INCLUSÃO
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2
2
 Representação gráfica pelo Diagrama de Venn:
SUBCONJUNTOS
 Dado um conjunto A, dizemos que B é um subconjunto de A, se B
estiver contido em A, denotado por: B ⊂ A (B está contido em A). É o
mesmo que dizer que B está dentro de A, ou seja, se todos os elementos
de B estão dentro de A.
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 Dizemos que um conjunto é unitário quando tem somente um
elemento.
 
Exemplos:
A = {a}
B = {10}
 Chamamos de conjunto universo um conjunto que contém todos
os elementos dos conjuntos que estamos representando. Esse conjunto
é simbolizado pela letra maiúscula U.
 Exemplo:
CONJUNTO UNITÁRIO 
CONJUNTO UNIVERSO
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 Conjunto complementar é aquele que contém todos os elementos
do conjunto universo que não estão no outro conjunto.
Definição do conjunto complementar
Seja A um conjunto, temos que o conjunto complementar AC é definido
por:
AC = U – A = {x | x ∈ U e X ∉ A}
COMPLEMENTAR
 Seja A um conjunto qualquer, chamamos de conjunto das partes
de A todos os subconjuntos possíveis de conjunto A. É representado por
P(A).
A = {1, 2, 3}
CONJUNTOS DAS PARTES
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 A interseção de dois conjuntos no conjunto universo U é formada
pelos elementos que pertencem a A e B.
A ∩ B (Leia-se: A interseção B)
INTERSEÇÃO
 A diferença de dois conjuntos no conjunto universo U é formada
pelos elementos que pertencem a A, mas não pertencem a B.
A – B (Leia-se: a diferença entre A e B)
DIFERENÇA
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 É uma divisão, ou seja, é a divisão do número A por um B.
RAZÃO
 É a igualdade entre duas razões, ou seja, as razões têm o mesmo
resultado (equivalência). Na proporção os elementos são chamados de
termos. Primeira fração (primeiros termos) segunda fração (segundos
termos)
PROPORÇÃO 
 A propriedade fundamental das proporções é esta: o produto dos
meios é igual ao produto dos extremos, ao multiplicar cruzado, sempre
encontraremos o mesmo valor.
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 Se duas razões são proporcionais, então a diferença dos
numeradores e dos denominadores também será proporcional às duas
razões.
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SOMA
 Se duas razões são proporcionais, então a soma dos numeradores
e dos denominadores também será proporcional às duas razões.
SUBTRAÇÃO
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 Dividida pelo numerador da primeira razão é igual à soma entre o
numerador com o denominador dividido pelo numerador da segunda.
 Considerando as razões:
A SOMA ENTRE O NUMERADOR E O
DENOMINADOR 
GRANDEZAS DIRETAMENTE
PROPORCIONAIS
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DIVISÃO EM PARTES DIRETAMENTE
PROPORCIONAIS
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GRANDEZAS INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS
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SEQUÊNCIA INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS
GRANDEZAS DIRETA E INVERSAMENTE
PROPORCIONAIS
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 Para representar os números fracionários foi criado um símbolo,
que é a fração. Sendo a e b números racionais e b ≠ 0, indicamos a
divisão de a por b com o símbolo a : b ou, ainda a/b
Chamamos o símbolo a/b de fração.
Assim, a fração 10/2 é igual a 10 : 2
Na fração a/b, a é o numerador e b é o denominador
Efetuando, por exemplo, a divisão de 10 por 2, obtemos o quociente 5.
Assim, 10/2 é um número natural, pois 10 é múltiplo de 2.
FRAÇÕES
TIPOS DE FRAÇÕES
a) Fração própria : é aquela cujo o numerador é menor que o
denominador. Exemplos : 2/3, 4/7, 1/8
b) Fração imprópria: é a fração cujo numerador é maior ou igual ao
denominador. Exemplo: 3/2, 5/5
c) Fração aparente: é a fração imprópria cujo o numerador é múltiplo do
denominador. Exemplo: 6/2, 19/19, 24/12, 7/7
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 Para encontrar frações equivalentes, multiplicamos o numerador e
o denominador da fração ½ por um mesmo número natural diferente de
zero.
 Assim: ½, 2/4, 4/8, 3/6, 5/10 são algumas frações equivalentes a ½
 Cláudio dividiu a pizza em 8 partes iguais e comeu 4 partes. Que
fração da pizza ele comeu?
 Cláudio comeu 4/8 da pizza. Mas 4/8 é equivalente a 2/4. Assim
podemos dizer que Cláudio comeu 2/4 da pizza.
 A fração 2/4 foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração 4/8
por 2 veja:
4/8 : 2/2 = 2/4
 Dizemos que a fração 2/4 é uma fração simplificada de 4/8.
 A fração 2/4 ainda pode ser simplificada, ou seja, podemos obter
uma fração equivalente dividindo os dois termos da fração por 2 e
vamos obter ½
FRAÇÕES EQUIVALENTES
SIMPLIFICANDO FRAÇÕES
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OPERAÇÕES COM NÚMEROS RACIONAIS
ABSOLUTOS (FRAÇÕES)
Como adicionarmos ou subtrairmos números fracionários escritos
sob a forma de fração de denominadores iguais:
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
DICA IMPORTANTE
1 - Somamos os numeradores e conservamos o denominador comum.
2 - Quando os denominadores são diferentes fazemos o m.m.c. dos
denominadores 
MULTIPLICAÇÃO
 Vamos Calcular : 2/3 x 4/5 = 8/15
 Conclusão: multiplicamos os numeradores entre si e os
denominadores entre si.
Exemplo:
a) 4/7 x 3/5 = 12/35
b) 5/6 x 3/7 = 15//42 = 5/14 simplificando
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DIVISÃO
 Vamos calcular ½ : 1/6
 Para dividir uma fração por outra, basta multiplicar a primeira
fração pela inversa da segunda.
 Assim: ½ : 1/6 = ½ x 6/1 = 6/2 = 3
 Equação é uma sentençamatemática que possui incógnitas e uma
igualdade. Uma equação pode ser classificada quanto ao seu grau e
número de incógnitas.
EQUAÇÕES
CONCEITOS BÁSICOS PARA O ESTUDO DE EQUAÇÃO
 Uma equação é uma sentença matemática que possui uma
incógnita, pelo menos, e uma igualdade, e podemos classificá-la quanto
a seu número de incógnitas. Veja alguns exemplos:
a) 5t – 9 = 16
A equação possui uma incógnita, representada pela letra t.
b) 5x + 6y = 1
A equação possui duas incógnitas, representadas pelas letras x e y.
c) t4 – 8z = x"
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 São caracterizadas por terem um polinômio igual a zero. Veja
alguns exemplos:
a) 6t3 + 5t2 –5t = 0
Os números 6, 5 e –5 são os coeficientes da equação.
b) 9x – 9 = 0
Os números 9 e – 9 são os coeficientes da equação.
c) y2 – y – 1 = 0
Os números 1, – 1 e – 1 são os coeficientes da equação.
EQUAÇÕES POLINOMIAIS
 As equações polinomiais podem ser classificadas quanto ao seu
grau. Assim como os polinômios, o grau de uma equação polinomial é
dado pela maior potência que possui coeficiente diferente de zero.
 Dos exemplos anteriores a, b e c, temos que os graus das equações
são:
a) 6t3 + 5t2 –5t = 0 → Equação polinomial do terceiro grau
b) 9x – 9 = 0 → Equação polinomial do primeiro grau
c) y2 – y – 1 = 0 → Equação polinomial do segundo grau
GRAUS DA EQUAÇÃO
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 As equações racionais são caracterizadas por ter suas incógnitas
no denominador de uma fração. Veja alguns exemplos:
EQUAÇÕES RACIONAIS
 As equações irracionais são caracterizadas por terem suas
incógnitas no interior de uma raiz enésima, ou seja, no interior de um
radical que possui índice n. Veja alguns exemplos:
EQUAÇÕES IRRACIONAIS
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EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
 As equações exponenciais possuem as incógnitas localizadas no
expoente de uma potência. Veja alguns exemplos:
EQUAÇÃO LOGARÍTMICA
 As equações logarítmicas são caracterizadas por ter uma ou mais
incógnitas em alguma parte do logaritmo. Veremos que, ao aplicar-se a
definição do logaritmo, a equação cai em alguns dos casos anteriores. 
 Veja alguns exemplos:
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 A fim de verificar o princípio da equivalência, considere a seguinte
igualdade:
5 = 5
Agora, vamos adicionar em ambos os lados o número 7, e observe que a
igualdade ainda será verdadeira:
5 =5
5 + 7 = 5 + 7
12 = 12
 Segundo princípio da equivalência, podemos operar livremente em
um dos lados de uma igualdade desde que façamos o mesmo do outro
lado da igualdade. Para melhorar o entendimento, nomearemos esses
lados.
PRINCÍPIO DA EQUIVALÊNCIA
SOMA DA EQUIVALÊNCIA
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SUBTRAÇÃO DA EQUIVALÊNCIA
 Subtrair 10 em ambos os lados da igualdade, observe novamente
que a igualdade ainda será verdadeira:
12 = 12
12 – 10 = 12 – 10
2 = 2
 Utilizando o princípio da equivalência, determine o conjunto solução
da equação 2x – 4 = 8 sabendo que o conjunto universo é dado por: U = ℝ.
2x – 4 = 8
 Para resolvermos uma equação polinomial do primeiro grau,
devemos deixar a incógnita no primeiro membro isolada. Para isso,
tiramos o número –4 do primeiro membro, somando 4 a ambos os lados,
uma vez que – 4 + 4 = 0.
2x – 4 = 8
2x – 4 + 4 = 8 + 4
2x = 12
 Veja que realizar esse processo é equivalente a simplesmente
passar o número 4 com sinal oposto. Assim, para isolarmos a incógnita x,
vamos passar o número 2 para o segundo membro, uma vez que ele
está multiplicando o x. (Lembre-se: a operação inversa da multiplicação
é a divisão). Seria o mesmo que dividir ambos os lados por 2.
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 Portanto, o conjunto solução é dado por:
S = {6}
 Resolva a equação 2x+5 = 128 sabendo que o conjunto universo é
dado por U = ℝ.
 Para resolver a equação exponencial, vamos, primeiro, utilizar a
seguinte propriedade da potenciação:
am + n = am · an
 Usaremos também o fato de que 22 = 4 e 25 = 32.
2x+5 = 128
2x · 25 = 128
2x · 32 = 128
 Observe que é possível dividir ambos os lados por 32, ou seja, passar
o número 32 para o segundo membro dividindo.
 Assim temos que:
2x = 4
2x = 22
 O único valor de x que satisfaz a igualdade é o número 2, portanto, 
x = 2 e o conjunto solução é dado por:
S = {2}
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 A equação do segundo grau recebe esse nome porque é uma
equação polinomial cujo termo de maior grau está elevado ao
quadrado. Também chamada de equação quadrática, é representada
por:
 As equações do 2º grau completas são aquelas que apresentam
todos os coeficientes, ou seja a, b e c são diferentes de zero (a, b, c ≠ 0).
Por exemplo, a equação 5x2 + 2x + 2 = 0 é completa, pois todos os
coeficientes são diferentes de zero
(a = 5, b = 2 e c = 2).
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
EQUAÇÕES DO 2º GRAU COMPLETAS
EQUAÇÕES DO 2º GRAU INCOMPLETAS
 Uma equação do segundo grau é incompleta quando:
b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0.
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 Quando uma equação do segundo grau é completa, usamos a
Fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação.
 A fórmula é apresentada abaixo:
FÓRMULA DE BHASKARA
 Na fórmula de Bhaskara, aparece a letra grega Δ (delta), chamada
discriminante da equação, pois conforme o seu valor é possível saber
qual o número de raízes (soluções) que a equação terá.
 Para determinar o delta usamos a seguinte fórmula:
FÓRMULA DO DELTA
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 Quando queremos encontrar valores de duas incógnitas diferentes
que satisfaçam simultaneamente duas equações, temos um sistema de
equações.
 As equações que formam o sistema podem ser do 1º grau e do 2º
grau. Para resolver esse tipo de sistema podemos usar o método da
substituição e o método da adição.
SISTEMA DE EQUAÇÕES DO 2º GRAU
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 A Geometria Plana estuda as formas que não possuem volume.
NOÇÕES DE GEOMETRIA PLANA – FORMA,
ÁREA, PERÍMETRO E TEOREMA DE
PITÁGORAS
Polígonos: São as figuras geométricas figuras planas fechadas.
3 lados: Triângulo
4 lados: Quadrilátero
5 lados: Pentágono
6 lados: Hexágono
7 lados: Heptágono
8 lados: Octágono
9 lados: Eneágono
10 lados: Decágono
11 lados: Undecágono
12 lados: Dodecágono
15 lados: Pentadecágono
20 lados: Icoságono
FORMAS:
AS FIGURAS (FORMAS) MAIS COMUNS SÃO:
Triângulo
Quadrado
Retângulo
Paralelogramo
Losango
Trapézio
Círculo
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 Área é a medida equivalentea medida de uma dimensão
determinada, ou seja, serve para calcular uma superfície plana.
 Perímetro é a medida do comprimento de um contorno de uma
figura plana, ou seja, é a soma das medidas de todos lados de uma
figura ou objeto.
 O cálculo do perímetro de qualquer figura geométrica plana é feito
pela soma de seus lados
ÁREA
PERÍMETRO
FÓRMULA DE CADA FIGURA PLANA
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 Em um triângulo retângulo, o lado maior, recebe o nome de
Hipotenusa. Este lado sempre estará oposto ao ângulo reto. Os outros
dois lados, recebem o nome de Cateto.
TEOREMA DE PITÁGORAS
 “Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da
hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos
catetos”.
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 A porcentagem trata da divisão onde o denominador é o número
100. Isto é, 6% é o mesmo que 6 dividido por 100, ou seja, 6/100 = 0,06.
p% = p/100
 O Capital é o primeiro valor investido. Trata do valor inicial da
negociação, ou seja, ele é o valor de referência para calcularmos os juros
com o passar do tempo. Também pode ser encontrado com outros
nomes como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado.
PORCENTAGEM E JUROS SIMPLES
CAPITAL
 O “Juro” é então o termo utilizado para designar o “preço do
dinheiro no tempo”. Em um investimento, trata-se do valor dos
rendimentos adquiridos, ou seja, é a remuneração pelo empréstimo do
dinheiro.
JUROS
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 O Montante é o valor final da transação. O montante é calculado
somando o capital com os juros.
M = C + J
MONTANTE
 No regime de juros compostos o cálculo de juros mensal é feito
sobre o total da dívida no mês anterior, e não somente sobre o valor que
foi inicialmente emprestado.
 Capitalização é quando os juros são incorporados ao principal.
 Assim, nos juros compostos, a taxa de juros incide sobre o capital
inicial, acrescido dos juros acumulados até o período anterior.
Fórmula de Juros Compostos:
M = C (1 + i)^n
JUROS COMPOSTOS
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 A análise combinatória é um ramo da matemática que estuda
métodos e fórmulas para contagem dos possíveis arranjos de um
conjunto de objetos, seguindo certos critérios. Ela é fundamental em
diversas áreas, como estatística, probabilidade, e ciência da
computação. Vamos explorar seus conceitos principais: o princípio
fundamental da contagem, permutação, arranjo e combinação, com
exemplos.
30
ANÁLISE COMBINATÓRIA
 Este princípio estabelece que se uma tarefa pode ser realizada de 
maneiras e outra tarefa pode ser realizada de maneiras, então
ambas as tarefas podem ser realizadas, uma após a outra, de 
maneiras.
Exemplo: Se há 3 camisas e 4 calças, então o número de
combinações de camisa e calça é 3x4=12
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC)
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 Arranjos são grupos formados com os elementos de um conjunto,
considerando a ordem e sem repetição. A fórmula é 
onde é o total de itens e é o número de posições a serem
preenchidas.
Exemplo: Escolher 2 livros de uma coleção de 4 para ler em
sequência
 Refere-se ao arranjo de objetos em uma ordem específica. Quando
todos os objetos são distintos e todos são usados, a fórmula é
31
Exemplo: Arranjar 3 livros distintos em uma prateleira
PERMUTAÇÃO
ARRANJO
 Combinações são seleções de itens de um conjunto onde a ordem
não importa. A fórmula é 
Exemplo: Escolher 2 frutas de um conjunto de 5 
COMBINAÇÕES
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REPRESENTAÇÃO TABULAR E GRÁFICA
 Seguindo a Resolução no 886 de 26 de outubro de 1966 do Conselho
Nacional de Estatística e as normas da Fundação Brasileira de Geografia
e Estatística (IBGE). Essas diretrizes geralmente visam padronizar a
apresentação de dados estatísticos para garantir consistência e
compreensão adequada. 
 A apresentação tabular dos dados estatísticos se faz mediante
tabelas (ou quadros) a apresentação gráfica facilita a análise visual dos
dados por meio de gráficos.
 As tabelas são resultantes da disposição dos resultados
estatísticos, descritivos ou analíticos, em linhas e colunas partilhadas de
modo ordenado, fechadas, no alto e embaixo, por traços horizontais. 
Uma tabela pode ser simples ou de dupla entrada, quando há
cruzamento de variáveis entre linhas e colunas. 
 Os gráficos podem ser classificados, de acordo com sua finalidade
e tipo de variável, os mais utilizados são: gráficos lineares, gráfico de
barras, setogramas, entre outros. Quando se constrói um gráfico com
diversas linhas, ou categorias diferentes.
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33
REPRESENTAÇÃO ESQUEMÁTICA
 Concentrando-se em mostrar as conexões e as relações entre os
componentes, em vez de representar suas formas físicas reais. Isso
permite que profissionais e estudantes visualizem facilmente o
funcionamento de sistemas complexos, sem se perderem em detalhes
irrelevantes para a compreensão da funcionalidade geral.
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34
Título: O título da tabela fornece uma descrição breve do conteúdo
geral ou do propósito da tabela. Ele geralmente está localizado
acima da tabela.
Cabeçalho: O cabeçalho da tabela contém rótulos para cada coluna.
Ele ajuda a identificar e descrever o significado das informações em
cada coluna.
Corpo da Tabela: O corpo da tabela contém os dados organizados
em colunas e linhas. Cada célula no corpo da tabela representa uma
interseção entre uma linha e uma coluna e contém um valor
específico.
Linhas e Colunas: As linhas representam observações individuais ou
entradas, enquanto as colunas representam variáveis ou categorias
específicas.
Células: Cada célula é a unidade básica de dados na tabela e
contém um valor específico. Esses valores podem ser números,
texto ou outros tipos de dados.
Bordas e Grades: As bordas e grades são linhas que delimitam as
células, linhas e colunas, ajudando a visualizar a estrutura da tabela.
ELEMENTOS DE UMA TABELA
 Uma tabela é composta por vários elementos que trabalham juntos
para organizar e apresentar informações de maneira estruturada. Ao
criar uma tabela, é fundamental garantir que ela seja clara, organizada e
fácil de entender. Os elementos mencionados acima ajudam a criar uma
estrutura que facilita a leitura e interpretação dos dados apresentados.
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35
 Essa tabela fornece uma visão organizada dos dados coletados,
permitindo uma fácil comparação das notas dos estudantes em
diferentes disciplinas. Ela também pode ser usada para calcular
medidas de resumo, como médias, medianas e desvios padrão para
cada disciplina, fornecendo uma visão geral do desempenho do grupo
como um todo.
FICAA DICA
 Tabelas são úteis quando se deseja examinar os valores específicos
dos dados ou quando se precisa realizar cálculos precisos. 
 Gráficos são excelentes para visualizar padrões, comparações e
tendências gerais nos dados. 
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1 + 2 + 3 + 4 +5 /5
15/5 = 3
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL DE
DISPERSÃO
 São ferramentas muito importantes para o tratamento de dados
estatísticos, pois podemos, a partir delas, descobrir algumas
informações sobre nossos dados, como a média, moda e mediana.
 É o valor que “representa” um determinado conjunto de dados. Para
obter a média, devemos somar todos os valores do conjunto de dados e
dividi-los pela quantidade de dados desse conjunto. Calculamos a
média somando todos os valores e dividindo pelo total que foi somado.
 A Mediana nos diz que metade (50%) dos valores do conjunto de
dados está abaixo dela e a outra metade está acima dela.
 No geral, o termo Mediana se refere ao que está entre dois pontos e
dois extremos.
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Fonte: IBGE
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MODA
 É o valor que ocorre com mais frequência no conjunto de dados. A
Moda (Mo) representa o valor mais frequente de um conjunto de dados,
sendo assim, para defini-la basta observar a frequência com que os
valores aparecem.
 Ex.: Em uma sapataria durante um dia foram vendidos os seguintes
números de sapato: 34, 39, 36, 35, 37, 40, 36, 38, 36, 38 e 41. Qual o valor
da moda desta amostra?
Solução:
 Observando os números vendidos notamos que o número 36 foi o
que apresentou maior frequência (3 pares), portanto, a moda é igual a:
Mo = 36
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MEDIDAS DE POSIÇÃO
 As medidas de posição são estatísticas que ajudam a descrever a
posição relativa de um valor dentro de um conjunto de dados. Aqui
estão algumas das principais medidas de posição:
Quartis:
Primeiro Quartil (Q1): O valor abaixo do qual está o 25% dos
menores valores do conjunto de dados.
Segundo Quartil (Q2): Igual à mediana, é o valor abaixo do qual
está 50% dos valores do conjunto de dados.
Terceiro Quartil (Q3): O valor abaixo do qual está 75% dos
menores valores do conjunto de dados.
Intervalo Interquartil (IQR): A diferença entre Q3 e Q1.
Percentis:
p-ésimo Percentil (P_p): O valor abaixo do qual está p% dos
valores do conjunto de dados. A mediana é o 50º percentil.
Decis:
p-ésima Decil (D_p): Semelhante aos percentis, divide o conjunto
de dados em 10 partes iguais.
Centil:
p-ésimo Centil (C_p): Divide o conjunto de dados em 100 partes
iguais.
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 Estas medidas são úteis para entender a distribuição dos dados e
identificar a posição relativa de um valor específico em relação aos
demais. Elas são particularmente úteis ao lidar com conjuntos de dados
extensos, pois proporcionam uma visão mais detalhada da distribuição
dos dados do que as medidas de tendência central sozinhas.
MÍNIMO E MÁXIMO
 As medidas mínimas e máximas são medidas simples de posição
que fornecem informações sobre os valores extremos em um conjunto
de dados.
Mínimo:
O valor mínimo (ou mínimo absoluto) em um conjunto de dados
é o menor valor observado.
Representado como Mınimo ou Min.
Máximo:
O valor máximo (ou máximo absoluto) em um conjunto de dados
é o maior valor observado.
Representado como Máximo ou Max.
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AMPLITUDE
 MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 As medidas de dispersão fornecem informações sobre a extensão
ou propagação dos valores em um conjunto de dados. 
A = XMAIOR - XMENOR
 Essa medida de dispersão é definida como a diferença entre a
maior e a menor observação de um conjunto de dados, isto é:
 Por ser uma medida que não leva em consideração como os dados
estão efetivamente distribuídos, não é muito utilizada.
VARIÂNCIA
 A variância é determinada pela média dos quadrados das
diferenças entre cada uma das observações e a média aritmética da
amostra. O cálculo é feito com base na seguinte fórmula:
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 Sendo,
V: variância
xi: valor observado
MA: média aritmética da amostra
n: número de dados observados
DESVIO PADRÃO
 O desvio padrão é definido como a raiz quadrada da variância. Desta
forma, a unidade de medida do desvio padrão será a mesma da unidade
de medida dos dados, o que não acontece com a variância.
 Assim, o desvio padrão é encontrado fazendo-se:
 Quando todos os valores de uma amostra são iguais, o desvio
padrão é igual a 0. Sendo que, quanto mais próximo de 0, menor é a
dispersão dos dados.
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COEFICIENTE DE VARIAÇÃO
 Para encontrar o coeficiente de variação, devemos multiplicar o
desvio padrão por 100 e dividir o resultado pela média. Essa medida é
expressa em porcentagem.
 O coeficiente de variação é utilizado quando precisamos comparar
variáveis que apresentam médias diferentes.
 Como o desvio padrão representa o quanto os dados estão
dispersos em relação a uma média, ao comparar amostras com médias
diferentes, a sua utilização pode gerar erros de interpretação.
 Desta forma, ao confrontar dois conjuntos de dados, o mais
homogêneo será aquele que apresentar menor coeficiente de variação.
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 O cálculo de probabilidade é uma parte fundamental da teoria das
probabilidades, que é um ramo da estatística que estuda eventos
aleatórios e a incerteza associada a eles. A teoria das probabilidades é
vasta e inclui muitos conceitos e técnicas avançadas, mas esses
princípios fundamentais são essenciais para compreender a
probabilidade em um contexto mais amplo.
 Um fato é que a probabilidade clássica é a forma mais antiga de
medir incerteza. Essa medida baseia-se nos jogos de azar. O conceito
clássico de probabilidade aplica-se apenas quando todos os possíveis
resultados são prováveis e tem um número finito de casos possíveis.
CÁLCULO DE PROBABILIDADE
PROBABILIDADE CLÁSSICA
 Consiste na proporção do número de vezes em que um
determinado evento ocorre no mundo real, sendo a probabilidade de
um evento uma propriedade do mundo real. Por exemplo, no caso de
um dado comum, a estatística frequentista iria lançá-lo diversas vezes a
fim de supor que, caso o dado não seja viciado, a probabilidade de sair
cada um dos números é 1/6.
PROBABILIDADE FREQUENTISTA
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 Trata a probabilidade como uma medida de crença sobre a
ocorrência de um evento. Dessa forma, a probabilidade de um evento
NÃO é uma propriedade do mundo real. Dessa maneira o entendimento
dado por probabilidade subjetiva é aplicável em ocasiões que existam
diversospontos de vista sobre um determinado evento. Por exemplo,
observando as condições de tempo hoje, uma pessoa afirma, baseada
em sua experiência, que a chance de chover amanhã é 40%. Esse
número é a sua probabilidade pessoal, ou subjetiva sobre o evento
“chover amanhã”.
PROBABILIDADE SUBJETIVA
 Se dá pela razão (divisão) do número de resultados favoráveis pelo
número de resultados possíveis:
COMO CALCULAR PROBABILIDADE?
P = n(A)/n(α) 
A é um evento que deseja-se conhecer a probabilidade;
α é o espaço amostral em que o evento está contido.
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 Exemplo:
 Em um dado de 20 lados, em que cada face recebe um número de 1
a 20, qual a probabilidade do resultado ser um número primo?
 Os números primos possíveis em um dado de 20 lados são 2, 3, 5, 7,
11, 13, 17 e 19, totalizando 8 resultados primos possíveis. Assim, temos:
Probabilidade (P) = n(A)/n(α)
P = 8/20
P = 0,4
 Logo, a probabilidade é de 40%.
 Consiste em qualquer experimento onde o resultado é
desconhecido. 
 O conceito de Experimento Aleatório pode ser aplicado para
diversos casos como por exemplo ao jogar uma moeda, retirar bolas
coloridas de uma urna ou até mesmo o acerto dos números da Mega
Sena.
EXPERIMENTO ALEATÓRIO
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 Consiste em algum resultado possível de um experimento
aleatório. 
Ex.: ao lançar um dado comum, a gama de resultados compreende os
números de cada uma das faces, ou seja, 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Logo, cada um
destes resultados consiste em um ponto amostral.
PONTO AMOSTRAL
 Consiste no conjunto composto de todos os Pontos Amostrais em
uma prática, isto é, todos resultados possíveis. Em um experimento
aleatório, ainda que não previsível, o resultado sempre estará contido
dentro de seu espaço amostral.
 Utilizam uma notação muito próxima da teoria dos conjuntos da
matemática. Assim, o espaço amostral do lançamento de um dado é
representado pelo conjunto α, onde o conjunto é igual:
ESPAÇO AMOSTRAL
α = [1, 2, 3, 4, 5, 6]
 Outra notação bastante utilizada para a representação de
conjuntos é o Diagrama de Venn. 
 
 O número de elementos de um espaço amostral, no caso do nosso
exemplo é dado por n(α) = 6, onde cada elemento é um ponto amostral.
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 Os eventos são subconjuntos de um espaço amostral. Ele pode
conter de zero até todos os resultados possíveis, no caso de um
experimento aleatório, tanto um conjunto vazio, quanto o espaço
amostral por completo. 
 Por outro lado, quando ele contém zero resultados possíveis, ele
recebe o nome de evento impossível, para o caso de todos os eventos
possíveis, ele é denominado evento certo.
 Exemplo:
Sair um número primo A = [2,3,5] e n(A) = 3
Resultar em um número par B = [2,4,6] e n(B) = 3
Tirar um número maior que três C = [4,5,6] e n(C) = 3
D tirar um número divisível por três D = [3,6] e n(D) = 2
EVENTO
 Quando todos os pontos dentro de um espaço amostral têm a
mesma chance de ocorrência, ele é denominado espaço equiprovável. 
 Exemplos bastante claros disso são o lançamento de dados ou
moedas não viciadas, onde todas as faces de ambos objetos têm a
mesma chance de acontecimento.
 O espaço amostral é considerado não equiprovável quando há
possibilidade de escolha de uma coisa ou outra muito distinta, por
exemplo: escolher entre jogar vídeo game ou fazer a lição de casa.
ESPAÇOS EQUIPROVÁVEIS
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PROBABILIDADE DA UNIÃO DE
DE DOIS EVENTOS
 P (A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
 A probabilidade da união de dois eventos é calculada pela
probabilidade do primeiro evento ocorrer mais a probabilidade do
segundo evento ocorrer menos a probabilidade da intersecção de
ambos, sendo que a probabilidade da intersecção de dois eventos é
igual à probabilidade do primeiro e do segundo evento ocorrerem
simultaneamente.
 A segunda fórmula de probabilidade da união serve para o caso de
não haver intersecção entre os dois eventos, ou seja, quando eles são
mutuamente exclusivos. Caso a intersecção seja igual a 0, a
probabilidade da união de dois eventos mutuamente exclusivos é
calculada por:
P(A∪B)=P(A)+P(B)
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TEOREMA DE BAYES
 O teorema de Bayes é uma fórmula de probabilidade que calcula a
possibilidade de um evento acontecer, com base em um conhecimento
que pode estar relacionado ao evento.
 O Bayes Theorem foi desenvolvido por Pierre-Simon Laplace que
publicou a fórmula em 1812 no seu livro Teoria Analítica de Probabilidade. 
ele recebe este nome por conta do pastor e matemático inglês Thomas
Bayes ter sido a primeira pessoa a fornecer uma equação permitindo
que novas evidências atualizassem a probabilidade de um evento a
partir de um conhecimento a priori.
P(A|B) = P (A∩B) /P(B)
P(A|B): Probabilidade do evento A acontecer;
P(B|A): Probabilidade de B acontecer, dado que A já ocorreu;
P(A): Probabilidade de A ocorrer;
P(B): Probabilidade de B acontecer.
 Ao aplicar essa fórmula é possível saber qual é a probabilidade da
união de dois eventos, considerando eventos mutuamente exclusivos.
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POPULAÇÃO
 A população de pesquisa, ou população de estudo é um conjunto
completo de elementos que têm um parâmetro comum entre si. É
importante mencionar que todos sabemos o que a palavra “população”
significa em nossas vidas diárias. É frequentemente usada para
descrever a população humana ou o número total de pessoas que
vivem em uma área geográfica de um país ou estado.
 Uma amostra é a menor parte do total, ou seja, um subconjunto de
toda a população. Quando são realizadas pesquisas, a amostra são os
membros da população convidados a participar da pesquisa.
Simplificando, uma amostra é um subgrupo ou subconjunto da
população, que pode ser estudado para investigar as características ou
o comportamento dos dados da população.
FICA A DICA
 A população em uma pesquisa de mercado, não precisa
necessariamente ser humana. Pode ser qualquer coleção de dados que
tenha um parâmetro comum, como por exemplo, o número total de
lojas para pets em uma cidade.
AMOSTRA
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 Trata-se de medida afetada pela ordem de grandeza das medidas
das séries que estamos analisando. Logo, se os valores das séries objeto
de análise na covariância fossem dadas em metros, por exemplo,
teríamos um resultado de covariância diferente se os mesmos valores
das séries X e Y forem expressos em outra medida como o centímetro.
FICA A DICA
 A principal diferença entre população e amostra é que a população
é o conjunto completo de todos os elementos que estão sendo
estudados, enquanto a amostra é uma porção selecionada dessa
população. A amostra é escolhida de forma a ser representativa da
população em termos de características relevantes para o estudo,
como idade, sexo, região geográfica, etc. Através da análise dos dados
obtidos na amostra, é possível fazer inferências sobre a população
como um todo, desde quea amostra seja representativa e o tamanho
adequado para permitir a generalização dos resultados.
CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES
COVARIÂNCIA
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 Com o objetivo de corrigir essa falha na covariância, os estatísticos
e matemáticos criaram a medida de correlação, que fornece um
resultado que não sofre influência das grandezas das medidas utilizadas
nas séries, sendo que ele sempre varia sempre de -1 a 1. Repetindo o
resultado da correlação sempre estará entre 1 e -1. A fórmula
matemática que representa a correlação é:
 Caso o coeficiente de correlação obtido for 1,isso implica na
existência de uma relação linear perfeita entre as duas séries analisadas
(X e Y no caso de nossa fórmula de correlação). Isso indica que há um
alinhamento dos pontos das séries exatamente sobre uma reta com
inclinação positiva, de maneira que alguma variação em Y, quando X
varia, será sempre em proporção igual. Esse fato independe do ângulo
da reta (que possui inclinação positiva na correlação 1).
SE O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO FOR IGUAL A 1:
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 Caso viermos a obter como coeficiente de correlação o resultado -1
isso implica que há uma relação linear perfeita entre as séries analisadas
( X e Y), mas os pontos estarão perfeitamente alinhados em uma reta
com inclinação negativa. Com isso, se há aumentos em X irá haver,
necessariamente, diminuições em Y, também, se X diminui, Y aumenta
obrigatoriamente. Semelhante ao resultado anterior, a variações de Y,
quando X varia, será sempre proporcional, independente do ângulo da
reta (que possui inclinação negativa no coeficiente de correlação linear
-1).
SE A CORRELAÇÃO FOR IGUAL A -1:
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 Ocorrerá uma correlação não é perfeita no momento em que os
pontos não estiverem alinhados em uma reta.
 Contudo, ao dizermos que a correlação é “não perfeita”, afirmamos
que há ocorre uma relação linear, mas que essa é não perfeita entre
variações nas séries objeto de análise.
QUANDO A CORRELAÇÃO NÃO É PERFEITA:
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 Podemos afirmar que:
Há uma correlação positiva, quando aumentos em X implicam em
tendência de aumentos em Y e vice-versa.
Há uma correlação negativa, quando aumentos em X implicam em
tendência de aumentos em Y e vice-versa.
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 Quando obtemos como coeficiente da correlação linear o
resultado de zero, implica na não existência de uma relação de
linearidade entre as variáveis X e Y, ou seja, não podemos obter de
maneira clara uma reta que intercepte os pontos das séries no gráfico.
Assim haverá dúvidas quanto à inclinação da reta se é para a direita ou
para a esquerda, positiva ou negativamente inclinada. Vejamos como
será a representação gráfica neste caso:
QUANDO A CORRELAÇÃO É ZERO:
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