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eventos disjuntos + 
lei geral da soma 
Prof. Dr. James Sampaio
Universidade de Brasília
‣ espaço amostral e eventos
‣ eventos disjuntos
‣ lei geral da soma
‣ distribuições de probabilidade
‣ eventos complementares
espaço amostral e eventos
‣ o espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados 
de um experimento e um evento é um subconjunto do espaço 
amostral
S�=�{�MM�,�FF�,�FM�,�MF�}��
Suponha que um casal possui dois filhos. Qual o espaço amostral 
deste experimento? Por simplicidade, considere apenas os sexos 
masculino e feminino.
espaço amostral e eventos
‣ o espaço amostral é o conjunto de todos os possíveis resultados 
de um experimento e um evento é um subconjunto do espaço 
amostral
E�=�{�FM�,�MF�}��
Para o mesmo problema, qual o evento que representa a 
informação de que um filho é do sexo masculino enquanto o 
outro feminino?
espaço amostral equiprovável
‣ um espaço amostral é dito equiprovável quando cada um de seus 
elementos possuem a mesma probabilidade de ocorrer
S�=�{�MM�,�FF�,�FM�,�MF�}��
25% 25% 25% 25%
P(E)�=�P(FM)�+�P(MF)�=�25%�+�25%�=�50%
espaço amostral equiprovável
‣ uma maneira inteligente de medir a probabilidade de um evento 
em um espaço equiprovável é dividir o seu número de elementos 
pelo número de elementos do espaço amostral
S�=�{�MM�,�FF�,�FM�,�MF�}��
P(E)�=�
E�=�{�FM�,�MF�}��
4 elementos
2 elementos
2
4 =
1
2 =
50%
disjuntos (mutuamente exclusivos)
eventos disjuntos não podem ocorrer 
ao mesmo tempo.
‣ uma moeda não pode resultar 
cara e coroa ao mesmo tempo
‣ um aluno não pode reprovar e 
passar numa disciplina ao 
mesmo tempo
eventos não disjuntos podem ocorrer 
ao mesmo tempo.
‣ um aluno pode conseguir SS 
em Estatística e Economia 
durante o mesmo semestre
‣ casais podem ter filhos do 
sexo masculino e feminino
A BA B
disjuntos (mutuamente exclusivos)
eventos disjuntos não podem ocorrer 
ao mesmo tempo.
‣ uma moeda não pode resultar 
cara e coroa ao mesmo tempo
‣ um aluno não pode reprovar e 
passar numa disciplina ao 
mesmo tempo
A ∩ B = ∅
A e B = ∅
P(A ∩ B) = 0
A ∩ B ≠ ∅
A e B ≠ ∅
P(A ∩ B) ≠ 0
eventos não disjuntos podem ocorrer 
ao mesmo tempo.
‣ um aluno pode conseguir SS 
em Estatística e Economia 
durante o mesmo semestre
‣ casais podem ter filhos do 
sexo masculino e feminino
união de eventos disjuntos
Qual a probabilidade de selecionarmos um Valete ou um 3 em um 
baralho muito bem embaralhado?
P(J�ou�3)�
=�P(J)�+�P(3)�
=�(4/52)�+�(4/52)��
≈�0,154
união de eventos disjuntos
Qual a probabilidade de selecionarmos um Valete ou um 3 em um 
baralho muito bem embaralhado?
P(A ou B) = P(A) + P(B) 
A ∩ B = ∅
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Qual a probabilidade de selecionarmos um Valete ou uma carta 
vermelha em um baralho muito bem embaralhado?
P(J�ou�V)�
=�P(J)�+�P(V)�-�P(J�e�V)��
=�(4/52)�+�(26/52)�-�(2/52)��
≈�0,538��
união de eventos não-disjuntos
Qual a probabilidade de selecionarmos um Valete ou uma carta 
vermelha em um baralho muito bem embaralhado?
P(A ∪ B) = ?
A ∩ B ≠ ∅
união de eventos não-disjuntos
P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
lei geral da soma
A B
A e B
Observação: Quando A e B são disjuntos, P(A e B) = 0 de modo que
P(A�ou�B)�=�P(A)�+�P(B)�-�P(A�e�B)�
P(A ou B) = P(A) + P(B) 
distribuição de probabilidades
um lançamento cara (k) coroa (c)
probabilidade 0,5 0,5
‣ regras
1. os eventos listados devem ser disjuntos
2. cada evento deve ter probabilidade entre 0 e 1
3. a soma das probabilidades deve ser 1
dois lançamentos (k,k) (k,c) (c,k) (c,c)
probabilidade 0,25 0,25 0,25 0,25
‣ uma distribuição de probabilidades lista todos os resultados do 
espaço amostral com suas respectivas probabilidades
eventos complementares
um lançamento cara (k) coroa (c)
probabilidade 0,5 0,5
dois lançamentos (k,k) (k,c) (c,k) (c,c)
probabilidade 0,25 0,25 0,25 0,25
‣ eventos complementares são eventos disjuntos cujas probabilidades somadas 
resultam 1, ou seja, unidos foram o espaço amostral
complementares complementares 
‣ simbolizamos o complementar de um evento A por Ac
A soma das probabilidades de eventos 
complementares é sempre um?
disjunto vs complementar
A soma das probabilidades de eventos 
disjuntos é sempre um?
complementares
disjuntos
x
Não necessariamente, podem haver 
mais que dois possíveis resultados no 
espaço amostral
Sim, esta é a definição de eventos 
complementares
pr
at
ic
an
do
Um instituto de saúde mental possui 5 psiquiatras e 9 psicólogos em seu quadro e 
pretende formar uma comissão de 5 profissionais para reavaliar as condições de seus 
pacientes. Se a seleção dos profissionais será feita de forma aleatória, qual a 
probabilidade dessa comissão ser formada por 2 psiquiatras e 3 psicólogos?
(52)(93)
(14)5
0,42
5 psiquiatras
9 psicólogos
escolhemos 2 
escolhemos 3 
840
2002
60
143
14 profissionais
escolhemos 5 
(14)5
(52)
(93)
Probabilidade�
desejada = = =
pr
at
ic
an
do
Considere o experimento de se retirar 3 bolas de uma urna contendo 5 bolas azuis e 
7 bolas vermelhas. Qual a probabilidade de que uma das bolas seja azul e as outras 
duas vermelhas?
(51)(72)
(12)3
0,48
5 bolas azuis
7 bolas vermelhas
escolhemos 1 
escolhemos 2 
105
220
21
44
12 bolas na urna
escolhemos 3 
(12)3
(51)
(72)
Probabilidade�
desejada = = =
pr
at
ic
an
do
Jade pegou dois livros para ler no feriado. Com probabilidade 50% ela irá gostar do 
primeiro livro, com probabilidade 40% ela irá gostar do segundo livro e com 
probabilidade 30% ela irá gostar dos dois livros. Qual a probabilidade de que ela não 
goste de nenhum dos dois livros?
Li = “ Jade irá gostar do livro i ”, i = 1, 2. 
P (LC
1 ∩ LC
2 ) = P ({L1 ∪ L2}C)
= 1 − P (L1 ∪ L2)
= 1 − {P (L1) + P (L2) − P (L1 ∩ L2)}
= 1 − {0,5 + 0,4 − 0,3}
= 0,4
(A ∪ B)C = AC ∩ BC
(A ∩ B)C = AC ∪ BC
Leis de De Morgan
Valem tantos quantos 
sejam os conjuntos
pr
at
ic
an
do
Considere uma mão de poker formada de 5 cartas escolhidas aleatoriamente de um 
baralho com 52 cartas. Um ``full house'' é uma possível mão que consiste em 3 
cartas com a mesma figura e outras duas com a mesma figura (um par e uma trinca), 
por exemplo, . 
Qual a probabilidade de que um jogador saia com uma mão ``full house''?
5 cartas de 52 disponíveis
(52)5
Figura 
da 
trinca
(131)
Naipe 
da 
trinca
(43)
Figura 
do 
par
(121)
Naipe 
do 
par
(42)
Número de “full houses” 
possíveis
(131)(43)(121)(42)
pr
at
ic
an
do
Considere uma mão de poker formada de 5 cartas escolhidas aleatoriamente de um 
baralho com 52 cartas. Um ``full house'' é uma possível mão que consiste em 3 
cartas com a mesma figura e outras duas com a mesma figura (um par e uma trinca), 
por exemplo, . 
Qual a probabilidade de que um jogador saia com uma mão ``full house''?
5 cartas de 52 disponíveis
(52)5
Número de “full houses” 
possíveis
(131)(43)(121)(42) 0,14%
Probabilidade�
desejada = (
13
1)(43)(121)(42)
(52)5
pr
at
ic
an
do
Se 50 pessoas estão presentes em uma sala, qual a probabilidade de que ao menos duas 
pessoas façam aniversário no mesmo dia do ano?
S�=�{niver�1,�niver�2,�…,�niver�50}
365 365 365
Tamanho do espaço amostral
36550
P ( “ao menos dois 
 no mesmo dia” ) P ( “ninguém 
 no mesmo dia” )= 1�-
1�-
36550
365 x�364 x�363 x�… x�(365�-�50�+�1)=
97%≈