Geogebra (1)

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NOÇÕES BÁSICAS DE FUNÇÕES COM O 
GEOGEBRA
Nossa missão é a difusão do conhecimento gerado no âmbito acadêmico por meio 
da organização e da publicação de livros científicos de fácil acesso, de baixo custo 
financeiro e de alta qualidade!
Nossa inspiração é acreditar que a ampla divulgação do conhecimento científico pode 
mudar para melhor o mundo em que vivemos! 
Equipe RFB Editora
Conselho Editorial
Prof. Dr. Ednilson Sergio Ramalho de Souza - UFOPA 
(Editor-Chefe)
Prof. Dr. Laecio Nobre de Macedo-UFMA
Prof. Dr. Aldrin Vianna de Santana-UNIFAP
Profª. Drª. Raquel Silvano Almeida-Unespar
Prof. Dr. Carlos Erick Brito de Sousa-UFMA
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Profª. Dr. Renata Cristina Lopes Andrade-FURG
Prof. Dr. Elias Rocha Gonçalves-IFF
Prof. Dr. Clézio dos Santos-UFRRJ
Prof. Dr. Rodrigo Luiz Fabri-UFJF
Prof. Dr. Manoel dos Santos Costa-IEMA
Prof.ª Drª. Isabella Macário Ferro Cavalcanti-UFPE
Prof. Dr. Rodolfo Maduro Almeida-UFOPA
Prof. Dr. Deivid Alex dos Santos-UEL
Prof.ª Drª. Maria de Fatima Vilhena da Silva-UFPA
Prof.ª Drª. Dayse Marinho Martins-IEMA
Prof. Dr. Daniel Tarciso Martins Pereira-UFAM
Prof.ª Drª. Elane da Silva Barbosa-UERN
Prof. Dr. Piter Anderson Severino de Jesus-Université Aix Marseille
Todo o conteúdo apresentado neste livro é de responsabilidade do(s) autor(es).
Esta publicação está licenciada sob CC BY-NC-ND 4.0
Daniele Pires Magalhães
Belém-PA
RFB Editora 
2025
NOÇÕES BÁSICAS DE FUNÇÕES COM O 
GEOGEBRA
© 2025 Edição brasileira
by RFB Editora
© 2025 Texto
by Autor
Todos os direitos reservados
Editor-Chefe
Prof. Dr. Ednilson Ramalho
Diagramação
Worges Editoração
Revisão de texto e capa
Autor
Bibliotecária
Janaina Karina Alves Trigo Ramos-CRB 
8/9166
Produtor editorial
Nazareno Da Luz
RFB Editora
CNPJ: 39.242.488/0001-07
91985661194
www.rfbeditora.com
adm@rfbeditora.com
Tv. Quintino Bocaiúva, 2301, Sala 713, Batista Campos, Belém - PA, CEP: 66045-315
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Câmara Brasileira do Livro (CBL)
M188
Noções básicas de funções com o GeoGebra / Daniele Pires Magalhães (Autora). – 
Belém: RFB, 2025.
Livro digital; PDF
26 p.
ISBN 978-65-5337-099-9
DOI 10.46898/rfb.905a7617a004
1. Matemática – Funções. 2. Representações gráficas. 3. GeoGebra – Ensino.
I. Magalhães, Daniele Pires. II. Título.
CDD 510.71
CDU 51:37
Índice para catálogo sistemático:
I. Matemática – Ensino.
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO ..................................................................................................................6
Capítulo I
CONHECENDO O GEOGEBRA .........................................................................................7
Capítulo II
CARACTERÍSTICAS DAS FUNÇÕES ............................................................................10
Capítulo III
FUNÇÃO AFIM OU FUNÇÃO DO 1° GRAU ................................................................20
Capítulo IV
FUNÇÃO QUADRÁTICA OU FUNÇÃO DO 2° GRAU? ............................................27
Capítulo V
FUNÇÃO EXPONENCIAL ..................................................................................................36
Capítulo VI
FUNÇÃO LOGARÍTMICA .................................................................................................44
Capítulo VII
FUNÇÃO MODULAR .........................................................................................................53
REFERÊNCIAS ......................................................................................................................59
SOBRE A AUTORA .............................................................................................................60
6
Daniele Pires Magalhães 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
O presente material tem como finalidade oferecer ao professor e ao 
estudante um instrumento de apoio para o estudo de funções e suas 
representações gráficas com o uso do GeoGebra, articulando aspectos 
conceituais e tecnológicos do ensino de Matemática. 
Inspirado em materiais didáticos anteriores — como Noções básicas sobre 
funções de Fernandes (2020) e a Apostila GeoGebra da UFSM (2016) —, este 
livro integra explicações teóricas, exemplos resolvidos e propostas de 
atividades práticas voltadas ao ensino médio e superior. 
Segundo Ramos e Penteado (2012), a integração entre recursos digitais e 
metodologias ativas contribui para a autonomia docente e para a aprendizagem 
significativa. Nessa perspectiva, o GeoGebra (GEOGEBRA, 2025) é utilizado 
aqui como um mediador entre a intuição geométrica e a formalização algébrica, 
em consonância com as recomendações da ABNT (2011; 2018; 2023) para a 
apresentação de trabalhos educacionais e científicos. 
 
APRESENTAÇÃO
 
 
 
APRESENTAÇÃO 
 
O presente material tem como finalidade oferecer ao professor e ao 
estudante um instrumento de apoio para o estudo de funções e suas 
representações gráficas com o uso do GeoGebra, articulando aspectos 
conceituais e tecnológicos do ensino de Matemática. 
Inspirado em materiais didáticos anteriores — como Noções básicas sobre 
funções de Fernandes (2020) e a Apostila GeoGebra da UFSM (2016) —, este 
livro integra explicações teóricas, exemplos resolvidos e propostas de 
atividades práticas voltadas ao ensino médio e superior. 
Segundo Ramos e Penteado (2012), a integração entre recursos digitais e 
metodologias ativas contribui para a autonomia docente e para a aprendizagem 
significativa. Nessa perspectiva, o GeoGebra (GEOGEBRA, 2025) é utilizado 
aqui como um mediador entre a intuição geométrica e a formalização algébrica, 
em consonância com as recomendações da ABNT (2011; 2018; 2023) para a 
apresentação de trabalhos educacionais e científicos. 
 
CONHECENDO O GEOGEBRA
Capítulo I
8
Daniele Pires Magalhães 
 
 
CAPÍTULO I – CONHECENDO O GEOGEBRA 
 
1.1 - A Interface do GeoGebra 
Ao ser inicializado, o GeoGebra abre sua janela principal, cuja interface é 
composta por um conjunto integrado de ferramentas. Na parte superior, 
encontram-se a barra de menus e a barra de ferramentas. A área de trabalho 
central é dividida entre a Janela de Álgebra, que exibe as expressões matemáticas, 
e a Janela de visualização, onde os gráficos são construídos. Para interagir com o 
software, o usuário conta com o Campo de entrada, que é auxiliado por um menu 
de comandos e uma paleta de símbolos. É possível acessar o GeoGebra on-line 
ou instalá-lo no computador ou no celular. Acesse o link 
https://www.geogebra.org/ e confira. 
 
1.2 GeoGebra Clássico e GeoGebra Calculadora 3D: Qual a 
diferença? 
O GeoGebra é uma ferramenta fantástica para aprender e ensinar 
matemática, “mas ele vem em diferentes varsões". As duas versões mais 
conhecidas são a Clássica e a Calculadora 3D. Entender a diferença é muito 
simples: uma trabalha em duas dimensões (como uma folha de papel) e a outra 
em três dimensões (como o mundo real). 
• GeoGebra Clássico (2D) 
Pense no GeoGebra Clássico como sua principal caixa de ferramentas para a 
matemática do dia a dia. Ele é perfeito para tudo que você pode desenhar em um 
plano cartesiano (com os eixos X e Y). 
O que você pode fazer com ele? 
Geometria Plana: Desenhar figuras como triângulos, círculos, quadrados e 
polígonos. Você pode medir ângulos, áreas e distâncias. 
 
Gráficos de Funções: Criar gráficos de funções como retas 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 1 e 
parábolas 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2. 
Álgebra: Ver como uma equação se transforma em um desenho. Quando 
você muda a fórmula, o gráfico muda junto, e vice-versa. 
Planilhas e Estatística: Organizar dados e criar gráficos estatísticos. 
É a versão mais completa e versátil para a matemática que vemos na maior 
parte do tempo na escola. 
A seguir apresenta-se a interface do GeoGebra Clássico; observe a Figura 1.1: 
 
NOÇÕES BÁSICAS DE FUNÇÕES COM O GEOGEBRA
9
 
 
 
CAPÍTULO I – CONHECENDO O GEOGEBRA 
 
1.1 - A Interface do GeoGebra 
Ao ser inicializado, o GeoGebra abre sua janela principal, cuja interface é 
composta por um conjunto integrado deem: http://klein.sbm.org.br. Acesso em: 12 ago. 2020 (adaptado). 
Com base nos valores de 𝑋𝑋 = log (𝑟𝑟) e 𝑌𝑌 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙(𝑓𝑓) , é possível estimar valores para 
A e B. No caso hipotético em que a lei é verificada exatamente, a relação entre 𝑌𝑌 
e 
𝑋𝑋 é: 
A. 𝑌𝑌 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 − 𝐵𝐵 ∙ 𝑋𝑋 
B. 𝑌𝑌 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑋𝑋+𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙 
C. 𝑌𝑌 = log 𝑙𝑙
𝑙𝑙 − 𝑋𝑋 
D. 𝑌𝑌 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑙𝑙∙𝑋𝑋 
E. 𝑌𝑌 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙
𝑋𝑋𝐵𝐵 
3) (ENEM 2018 - LIBRAS) Com o avanço em ciência da computação, estamos 
próximos do momento em que o número de transistores no processador de um 
computador pessoal será da mesma ordem de grandeza que o número de 
neurônios em um cérebro humano, que é da ordem de 100 bilhões. Uma das 
grandezas determinantes para o desempenho de um processador é a densidade 
de transistores, que é o número de transistores por centímetro quadrado. Em 
1986, uma empresa fabricava um processador contendo 100.000 transistores 
distribuídos em 0, 25 𝑐𝑐𝑐𝑐2 de área. Desde então, o número de transistores por 2 
centímetro quadrado que se pode colocar em um processador dobra a cada dois 
anos (Lei de Moore). 
Disponível em: www.pocket-lint.com. Acesso em: 1 dez. 2017 (adaptado). 
Considere 0,30 como aproximação para 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙102 . Em que ano a empresa atingiu 
ou atingirá a densidade de 100 bilhões de transistores? 
A. 1999. 
B. 2002. 
C. 2022. 
D. 2026. 
E. 2146. 
 
9.5 Exercícios no GeoGebra: 
Passos: 
1 - Abra o software GeoGebra; 
50
Daniele Pires Magalhães 
 
 
2 - Clique no penúltimo botão da barra de menu cujo ícone é e clique na 
primeira opção da lista intitulado controle deslizante; 
 
3 - Clique em qualquer parte do plano cartesiano (janela de visualização) e 
automaticamente irá se abrir uma janela de configuração do controle deslizante 
cujo nome é “a” (veja abaixo): 
 
 
 
 
4 No intervalo mín. insira 0, no máx. insira 1 e no incremento insira 0.1. Após 
estas inserções, clique em OK. 
5 O controle deslizante será inserido no local clicado conforme figura abaixo: 
 
 
 
6 No campo de entrada (do lado esquerdo ou abaixo da janela de visualização) 
digite 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎(𝑥𝑥) e pressione enter. 
 
7 Você inseriu no software GeoGebra um controle deslizante que representa a base 
a da função logarítmica quando 0 1. 
 
52
Daniele Pires Magalhães 
 
 
 
13 Ao inserir a função, automaticamente o gráfico será gerado na janela de 
visualização semelhante ao da imagem abaixo: 
 
Clique no primeiro botão cujo ícone é e clique na opção mover. Após isto, você 
pode clicar na bolinha do controle deslizante 𝒂𝒂 para mover e modificar seu valor entre 
os valores mínimo e máximo. Mova os controles deslizantes 𝒂𝒂 enquanto observa como 
o gráfico (a curva logarítimica no plano cartesiano) muda. Em seguida, responda as 
questões a seguir: 
 
10. MOVIMENTE O CONTROLE DESLIZANTE 𝒂𝒂. 
 
a) Desenhe o gráfico da função logarítimica quando a base a está no intervalo 0 1. 
d) O que você observa quando a base está no intervalo a > 1? 
e) E se 𝑎𝑎 ≤ 0 ? O que acontece, a função logarítimica existe neste caso? Explique. 
f) E se a=1? Como fica a função logarítmica? 
 
 
 
 
 
13 Ao inserir a função, automaticamente o gráfico será gerado na janela de 
visualização semelhante ao da imagem abaixo: 
 
Clique no primeiro botão cujo ícone é e clique na opção mover. Após isto, você 
pode clicar na bolinha do controle deslizante 𝒂𝒂 para mover e modificar seu valor entre 
os valores mínimo e máximo. Mova os controles deslizantes 𝒂𝒂 enquanto observa como 
o gráfico (a curva logarítimica no plano cartesiano) muda. Em seguida, responda as 
questões a seguir: 
 
10. MOVIMENTE O CONTROLE DESLIZANTE 𝒂𝒂. 
 
a) Desenhe o gráfico da função logarítimica quando a base a está no intervalo 0 1. 
d) O que você observa quando a base está no intervalo a > 1? 
e) E se 𝑎𝑎 ≤ 0 ? O que acontece, a função logarítimica existe neste caso? Explique. 
f) E se a=1? Como fica a função logarítmica? 
 
FUNÇÃO MODULAR
Capítulo VII
54
Daniele Pires Magalhães 
 
 
CAPÍTULO VII – FUNÇÃO MODULAR 
 
7.1 - Definição 
Uma função é chamada de modular quando sua lei de formação inclui a variável 
(geralmente x) dentro do operador de módulo ( | | ). A expressão dentro do 
módulo pode ser de qualquer tipo, como linear 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = |𝑥𝑥 − 2|, quadrática 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
 |𝑥𝑥2 − 4|, ou exponencial 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = |2𝑥𝑥 − 1|, o que define a forma específica do 
gráfico. 
O módulo de um número é sempre positivo. Se temos 𝑥𝑥 (número positivo), então 
|𝑥𝑥| = 𝑥𝑥. Se temos − 𝑥𝑥 (número negativo), então | − 𝑥𝑥| =− (− 𝑥𝑥) = 𝑥𝑥. 
A função modular é uma função definida como: 
𝑓𝑓: 𝐴𝐴 → 𝐵𝐵 
𝑥𝑥 ↦ 𝑦𝑦 = |𝑥𝑥| 
onde: 
● |𝑥𝑥| = 𝑥𝑥, quando 𝑥𝑥 ≥ 0. 
● |𝑥𝑥| =− 𝑥𝑥, quando 𝑥𝑥CAPÍTULO VII – FUNÇÃO MODULAR 
 
7.1 - Definição 
Uma função é chamada de modular quando sua lei de formação inclui a variável 
(geralmente x) dentro do operador de módulo ( | | ). A expressão dentro do 
módulo pode ser de qualquer tipo, como linear 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = |𝑥𝑥 − 2|, quadrática 𝑓𝑓(𝑥𝑥) =
 |𝑥𝑥2 − 4|, ou exponencial 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = |2𝑥𝑥 − 1|, o que define a forma específica do 
gráfico. 
O módulo de um número é sempre positivo. Se temos 𝑥𝑥 (número positivo), então 
|𝑥𝑥| = 𝑥𝑥. Se temos − 𝑥𝑥 (número negativo), então | − 𝑥𝑥| =− (− 𝑥𝑥) = 𝑥𝑥. 
A função modular é uma função definida como: 
𝑓𝑓: 𝐴𝐴 → 𝐵𝐵 
𝑥𝑥 ↦ 𝑦𝑦 = |𝑥𝑥| 
onde: 
● |𝑥𝑥| = 𝑥𝑥, quando 𝑥𝑥 ≥ 0. 
● |𝑥𝑥| =− 𝑥𝑥, quando 𝑥𝑥 1. Agora, vamos montar uma 
tabela com alguns valores de 𝑥𝑥 e seu 𝑦𝑦 correspondente. 
Depois, basta localizar esses pontos e os interligar. 
Uma informação importante que devemos nos atentar é que o vértice da equação 
𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 é o ponto (1
2 , 1
4), pois 
𝑋𝑋𝑣𝑣 = −𝑏𝑏
2(𝑎𝑎) = −(−1)
2(1) = 1
2 e 𝑌𝑌𝑣𝑣 = −∆
4(𝑎𝑎) = −(1)
4(1) = −1
4 
Porém, pela definição de função modular nenhuma imagem pode ser negativa, 
então pegamos a imagem simétrica: 
|−1
4 | = − (− 1
4) = 1
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOÇÕES BÁSICAS DE FUNÇÕES COM O GEOGEBRA
57
 
 
 
7.4.1 - Plotando o Exemplo no GeoGebra, conforme a Figura 7.2: 
 
Figura 7.2 – Plotagem do Exemplo 7.4.1 no GeoGebra. 
 
Fonte: Próprio autor (2025). 
 
Exemplo 7.4.2.: construa o esboço do gráfico da função 𝑦𝑦 = |𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥| 
Primeiro, observe que a função é crescente, pois 5 > 1. Agora, vamos montar uma 
tabela com alguns valores de 𝑥𝑥 e seu 𝑦𝑦 correspondente. 
Depois, basta localizar esses pontos e os interligar. 
Uma informação importante que devemos nos atentar é que o vértice da equação 
𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥 é o ponto (1
2 , 1
4), pois 
𝑋𝑋𝑣𝑣 = −𝑏𝑏
2(𝑎𝑎) = −(−1)
2(1) = 1
2 e 𝑌𝑌𝑣𝑣 = −∆
4(𝑎𝑎) = −(1)
4(1) = −1
4 
Porém, pela definição de função modular nenhuma imagem pode ser negativa, 
então pegamos a imagem simétrica: 
|−1
4 | = − (− 1
4) = 1
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 7.3 – Gráfico correspondente ao Exemplo 7.4.2. 
 
Fonte: Adaptado de UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI, [s.d.]. 
 
7.5 - Plotando o Exemplo 7.4.2 no GeoGebra, veja a Figura 7.4: 
Figura 7.4 – Plotagem do Exemplo 7.4.2 no GeoGebra. 
 
Fonte: Próprio autor (2025). 
7.6 - Propriedades de operações com módulo 
Considere 𝑥𝑥 e 𝑦𝑦 como números reais. Assim, temos: 
● |𝑥𝑥| = | − 𝑥𝑥| 
● |𝑥𝑥2| = |𝑥𝑥|2 = 𝑥𝑥2 
● |𝑥𝑥 · 𝑦𝑦| = |𝑥𝑥| · |𝑦𝑦| 
● |𝑥𝑥 + 𝑦𝑦| ≤ |𝑥𝑥| + |𝑦𝑦| 
 
7.7- Exercícios 
 
1 - (Mundo Educação) Dada a função modular 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = |2 − 𝑥𝑥| − 2, escreva a 
função sem utilizar módulo nas sentenças. 
2 - (Puc – MG) O gráfico da função f(x) = |x| + 2 é constituído por: 
58
Daniele Pires Magalhães 
 
 
A. duas semirretas de mesma origem. 
B. duas retas concorrentes. 
C. duas retas paralelas. 
D. uma única reta que passa pelo ponto (0,2). 
 
10.5 Exercícios no GeoGebra: 
Passos: 
1 - Abra o software GeoGebra; 
2 - Clique no penúltimo botão da barra de menu cujo ícone é e clique na 
primeira opção da lista intitulado controle deslizante; 
 
3 Crie dois controles deslizante a e b. 
 
4 Para configurar o intervalo dos dois em mín. insira -100, no máx. insira 100 e 
no incremento insira 1. Após estas inserções, clique em OK. 
5 Os controles deslizantes serão inseridos no local clicado conforme figura 
abaixo: 
 
 
 
 
6 No campo de entrada (do lado esquerdo ou abaixo da janela de visualização) 
digite 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = |𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏| e pressione enter. 
 
7 Ao inserir a função, automaticamente o gráfico será gerado na janela de 
visualização semelhante ao da imagem abaixo: 
 
 
NOÇÕES BÁSICAS DE FUNÇÕES COM O GEOGEBRA
59
 
 
 
A. duas semirretas de mesma origem. 
B. duas retas concorrentes. 
C. duas retas paralelas. 
D. uma única reta que passa pelo ponto (0,2). 
 
10.5 Exercícios no GeoGebra: 
Passos: 
1 - Abra o software GeoGebra; 
2 - Clique no penúltimo botão da barra de menu cujo ícone é e clique na 
primeira opção da lista intitulado controle deslizante; 
 
3 Crie dois controles deslizante a e b. 
 
4 Para configurar o intervalo dos dois em mín. insira -100, no máx. insira 100 e 
no incremento insira 1. Após estas inserções, clique em OK. 
5 Os controles deslizantes serão inseridos no local clicado conforme figura 
abaixo: 
 
 
 
 
6 No campo de entrada (do lado esquerdo ou abaixo da janela de visualização) 
digite 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = |𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏| e pressione enter. 
 
7 Ao inserir a função, automaticamente o gráfico será gerado na janela de 
visualização semelhante ao da imagem abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
FERNANDES, Alexandre Correia. Noções básicas sobre funções. Conselheiro 
Lafaiete: [s.n.], 2020. Material didático. Disponível em: 
https://ifmg.edu.br/materiais/alexandre-funcoes.pdf. Acesso em: 1 nov. 2025. 
 
GEOGEBRA.Site oficial do software GeoGebra. Disponível em: 
https://www.geogebra.org/. Acesso em: 1 nov. 2025. 
 
RAMOS, Maurício; PENTEADO, Mirian. Formação de professores e tecnologias 
digitais: práticas e desafios com o GeoGebra. Campinas: Papirus, 2012. 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA (UFSM). Minicurso de 
GeoGebra.Santa Maria: Grupo PET Matemática da UFSM, 2016. Material didático 
elaborado por Andréia Luisa Friske et al. Revisado por Carmen Vieira Mathias. 
Disponível em: 
https://www.ufsm.br/app/uploads/sites/783/2020/02/Apostila_GeoGebra.
pdf.Acesso em: 25 out. 2025. 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI. Apostila 4 – Funções e 
gráficos. São João del-Rei: UFSJ, [s.d.]. 1 arquivo em PDF. 
 
REFERÊNCIAS
60
Daniele Pires Magalhães 
 
 
SOBRE A AUTORA 
 
 
Doutora em Modelagem Computacional pela Universidade Federal de 
Juiz de Fora (2021). Mestra em Modelagem Computacional pela Universidade 
Federal de Juiz de Fora (2014). Licenciada em Matemática pela Universidade 
Federal de São João del Rei (2012). Foi professora de graduação dos cursos de 
Engenharia Ambiental, Engenharia Civil, Engenharia Elétrica e Engenharia de 
Produção do Centro de Engenharias Doctum Juiz de Fora, onde ministrou 
disciplinas de Exatas como Cálculo Numérico, Introdução à Programação em C, 
Geometria Analítica, Cáculo I, Cálculo II, Cálculo III e Cálculo IV. Fez parte do 
Núcleo Docente Estruturante da Engenharia Elétrica, de 2015 a 2021 e da 
Engenharia de Produção, de 2019 a 2021. Foi professora militar como Segundo 
Tenente do Exércíto Brasileiro, atuando no Ensino Fundamental do Colégio 
Militar de Juiz de Fora (CMJF). Foi professora do Centro de Estudos Aprendiz 
em Barbacena, lecionou Matemática para o Ensino Médio, Metaverso 
Educacional para o Ensino Fundamental e foi a responsável pela Robótica no 
Ensino Fundamental e Médio. Foi professora substituta na Universidade Federal 
de São João Del Rei (UFSJ), no Departamento de Matemática (DEMAT) 
lecionando as disciplinas de Fundamentos da Matemática para o curso de 
Administração, Matemática I para o curso de Ciências Econômicas, Geometria 
Analítica para o curso de Engenharia Mecânica e Álgebra Linear para o curso de 
Engenharia de Produção. Atualmente é professora visitante no Instituto Federal 
de Minas Gerais (IFMG), Campus Ouro Preto onde lecionou Estatística para os 
cursos técnicos de Segurança do Trabalho e Meio Ambiente e ministra 
Matemática para os cursos técnicos integrados ao Ensino Médio, sendo eles: 
Automação, Administração, Mineração, Metalurgia e Edificações, além de atuar 
em projetos de pesquisa na área de Educação Matemática. Foi tutora EAD no 
curso de Licenciatura em Matemática a distância da UFJF. Está fazendo parte do 
Grupo de Pesquisa "Análise e Modelagem de Dados Educacionais (GrAMDE)", 
certificado pelo CNPq. 
 
SOBRE A AUTORA
 
 
 
SOBRE A AUTORA 
 
 
Doutora em Modelagem Computacional pela Universidade Federal de 
Juiz de Fora (2021). Mestra em Modelagem Computacional pela Universidade 
Federal de Juiz de Fora (2014). Licenciada em Matemática pela Universidade 
Federal de São João del Rei (2012). Foi professora de graduação dos cursos de 
Engenharia Ambiental, Engenharia Civil, Engenharia Elétrica e Engenharia de 
Produção do Centro de Engenharias Doctum Juiz de Fora, onde ministrou 
disciplinas de Exatas como Cálculo Numérico, Introdução à Programação em C, 
Geometria Analítica, Cáculo I, Cálculo II, Cálculo III e Cálculo IV. Fez parte do 
Núcleo Docente Estruturante da Engenharia Elétrica, de 2015 a 2021 e da 
Engenharia de Produção, de 2019 a 2021. Foi professora militar como Segundo 
Tenente do Exércíto Brasileiro, atuando no Ensino Fundamental do Colégio 
Militar de Juiz de Fora (CMJF). Foi professora do Centro de Estudos Aprendiz 
em Barbacena, lecionou Matemática para o Ensino Médio, Metaverso 
Educacional para o Ensino Fundamental e foi a responsável pela Robótica no 
Ensino Fundamental e Médio. Foi professora substituta na Universidade Federal 
de São João Del Rei (UFSJ), no Departamento de Matemática (DEMAT) 
lecionando as disciplinas de Fundamentos da Matemática para o curso de 
Administração, Matemática I para o curso de Ciências Econômicas, Geometria 
Analítica para o curso de Engenharia Mecânica e Álgebra Linear para o curso de 
Engenharia de Produção. Atualmente é professora visitante no Instituto Federal 
de Minas Gerais (IFMG), Campus Ouro Preto onde lecionou Estatística para os 
cursos técnicos de Segurança do Trabalho e Meio Ambiente e ministra 
Matemática para os cursos técnicos integrados ao Ensino Médio, sendo eles: 
Automação, Administração, Mineração, Metalurgia e Edificações, além de atuar 
em projetos de pesquisa na área de Educação Matemática. Foi tutora EAD no 
curso de Licenciatura em Matemática a distância da UFJF. Está fazendo parte do 
Grupo de Pesquisa "Análise e Modelagem de Dados Educacionais (GrAMDE)", 
certificado pelo CNPq. 
 
RFB Editora
CNPJ: 39.242.488/0001-07
91985661194
www.rfbeditora.com
adm@rfbeditora.com
Tv. Quintino Bocaiúva, 2301, Sala 713, Batista Cam-
pos, Belém - PA, CEP: 66045-315
O presente material tem como finalidade oferecer ao professor 
e ao estudante um instrumento de apoio para o estudo 
de funções e suas representações gráficas com o uso do 
GeoGebra, articulando aspectos conceituais e tecnológicos do 
ensino de Matemática.
Inspirado em materiais didáticos anteriores — como Noções 
básicas sobre funções de Fernandes (2020) e a Apostila 
GeoGebra da UFSM (2016) —, este livro integra explicações 
teóricas, exemplos resolvidos e propostas de atividades 
práticas voltadas ao ensino médio e superior.
Segundo Ramos e Penteado (2012), a integração entre 
recursos digitais e metodologias ativas contribui para a 
autonomia docente e para a aprendizagem significativa. Nessa 
perspectiva, o GeoGebra (GEOGEBRA, 2025) é utilizado aqui 
como um mediador entre a intuição geométrica e a formali-
zação algébrica, em consonância com as recomendações da 
ABNT (2011; 2018; 2023) para a apresentação de trabalhos edu-
cacionais e científicos.
NOÇÕES BÁSICAS DE FUNÇÕES COM O 
GEOGEBRAferramentas. Na parte superior, 
encontram-se a barra de menus e a barra de ferramentas. A área de trabalho 
central é dividida entre a Janela de Álgebra, que exibe as expressões matemáticas, 
e a Janela de visualização, onde os gráficos são construídos. Para interagir com o 
software, o usuário conta com o Campo de entrada, que é auxiliado por um menu 
de comandos e uma paleta de símbolos. É possível acessar o GeoGebra on-line 
ou instalá-lo no computador ou no celular. Acesse o link 
https://www.geogebra.org/ e confira. 
 
1.2 GeoGebra Clássico e GeoGebra Calculadora 3D: Qual a 
diferença? 
O GeoGebra é uma ferramenta fantástica para aprender e ensinar 
matemática, “mas ele vem em diferentes varsões". As duas versões mais 
conhecidas são a Clássica e a Calculadora 3D. Entender a diferença é muito 
simples: uma trabalha em duas dimensões (como uma folha de papel) e a outra 
em três dimensões (como o mundo real). 
• GeoGebra Clássico (2D) 
Pense no GeoGebra Clássico como sua principal caixa de ferramentas para a 
matemática do dia a dia. Ele é perfeito para tudo que você pode desenhar em um 
plano cartesiano (com os eixos X e Y). 
O que você pode fazer com ele? 
Geometria Plana: Desenhar figuras como triângulos, círculos, quadrados e 
polígonos. Você pode medir ângulos, áreas e distâncias. 
 
Gráficos de Funções: Criar gráficos de funções como retas 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 1 e 
parábolas 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥2. 
Álgebra: Ver como uma equação se transforma em um desenho. Quando 
você muda a fórmula, o gráfico muda junto, e vice-versa. 
Planilhas e Estatística: Organizar dados e criar gráficos estatísticos. 
É a versão mais completa e versátil para a matemática que vemos na maior 
parte do tempo na escola. 
A seguir apresenta-se a interface do GeoGebra Clássico; observe a Figura 1.1: 
 
 
 
 
 
Figura 1.1 – Interface do GeoGebra Classic 
 
Fonte: Próprio autor (2025). 
 
• GeoGebra Calculadora 3D 
Como o próprio nome diz, esta versão adiciona uma nova dimensão: a 
profundidade (o eixo Z). Ela permite que você explore objetos e gráficos que têm 
altura, largura e profundidade. 
O que você pode fazer com ele? 
Geometria Espacial: Criar e girar sólidos geométricos como cubos, esferas, 
pirâmides e cones. 
Gráficos 3D: Visualizar gráficos de funções com duas variáveis, que formam 
superfícies e planos no espaço (por exemplo, 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2) 
Vetores e Planos: Desenhar vetores e planos no espaço, entendendo como 
eles se relacionam. 
É a ferramenta ideal para matérias mais avançadas como Cálculo, Álgebra 
Linear e para qualquer pessoa que queira "enxergar" a matemática em três 
dimensões. 
 
 
CARACTERÍSTICAS DAS FUNÇÕES
Capítulo II
NOÇÕES BÁSICAS DE FUNÇÕES COM O GEOGEBRA
11
 
 
 
CAPÍTULO II – CARACTERÍSTICAS DAS FUNÇÕES 
 
2.1-Introdução 
 
Você já parou para pensar como muitas coisas em sua vida estão conectadas? O 
quanto você paga no celular depende de quanto tempo você fala. A quantidade 
de tinta que você compra está diretamente ligada ao tamanho da parede que 
precisa pintar. Até mesmo o tempo que você leva para viajar de uma cidade a 
outra muda de acordo com a sua velocidade. Todas essas relações, onde uma 
coisa depende da outra, podem ser compreendidas de forma clara e precisa com 
a ajuda de uma poderosa ferramenta matemática: a função. 
 
2.2- Conceito de função 
 
Definição: uma regra matemática 𝑓𝑓 é dita uma função real de uma variável real 
se associa a cada número 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 ⊆ ℝ um único elemento real 𝑦𝑦 ∈ 𝐵𝐵 ⊆ ℝ, ou seja, 
𝑓𝑓: 𝐴𝐴 → 𝐵𝐵 
𝑥𝑥 ↦ 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 
O conjunto A é dito domínio da função 𝑓𝑓 e o conjunto B é o contradomínio da 
função 𝑓𝑓. Veja a Figura 2.1 a seguir: 
 
Figura 2.1 – Diagrama para ilustrar uma função. 
 
Fonte: Adaptado de UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI, [s.d.]. 
 
12
Daniele Pires Magalhães 
 
 
Uma função é uma relação matemática que estabelece uma correspondência 
entre dois conjuntos, A e B. A sua regra fundamental é que para cada elemento x 
do conjunto de partida A, existe um único elemento correspondente y no 
conjunto de chegada B. 
Como o valor de y depende da escolha de x, dizemos que: 
• x é a variável independente. 
• y é a variável dependente. 
Os principais componentes de uma função são: 
Domínio (D): É o conjunto de todos os possíveis valores de entrada, ou seja, o 
conjunto A completo. No seu exemplo, o domínio é D = {0,1,2,3,4,5}. 
Contradomínio (CD): É o conjunto de todos os possíveis valores de saída, ou seja, 
o conjunto B completo. No exemplo, o contradomínio é CD = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. 
Imagem (Im): É o subconjunto do contradomínio formado apenas pelos 
elementos que foram efetivamente associados a algum elemento do domínio. Em 
outras palavras, são os valores que y realmente assume. 
Considerando o exemplo onde cada x é levado ao seu sucessor (y=x+1), a imagem 
seria o conjunto Im = {1,2,3,4,5,6}. Note que a imagem é um subconjunto do 
contradomínio. 
 
2.3 - Classificação das funções 
 
As funções podem ser classificadas de acordo com a relação dos seus 
conjuntos domínio, contradomínio e imagem. Elas também podem ser 
classificadas de acordo com as suas propriedades. 
 
2.4 - Função sobrejetora 
 
Uma função é sobrejetora quando todos os elementos do contradomínio também 
são elementos do conjunto imagem. Conforme a Figura 2.2 a seguir: 
 
NOÇÕES BÁSICAS DE FUNÇÕES COM O GEOGEBRA
13
 
 
 
Uma função é uma relação matemática que estabelece uma correspondência 
entre dois conjuntos, A e B. A sua regra fundamental é que para cada elemento x 
do conjunto de partida A, existe um único elemento correspondente y no 
conjunto de chegada B. 
Como o valor de y depende da escolha de x, dizemos que: 
• x é a variável independente. 
• y é a variável dependente. 
Os principais componentes de uma função são: 
Domínio (D): É o conjunto de todos os possíveis valores de entrada, ou seja, o 
conjunto A completo. No seu exemplo, o domínio é D = {0,1,2,3,4,5}. 
Contradomínio (CD): É o conjunto de todos os possíveis valores de saída, ou seja, 
o conjunto B completo. No exemplo, o contradomínio é CD = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. 
Imagem (Im): É o subconjunto do contradomínio formado apenas pelos 
elementos que foram efetivamente associados a algum elemento do domínio. Em 
outras palavras, são os valores que y realmente assume. 
Considerando o exemplo onde cada x é levado ao seu sucessor (y=x+1), a imagem 
seria o conjunto Im = {1,2,3,4,5,6}. Note que a imagem é um subconjunto do 
contradomínio. 
 
2.3 - Classificação das funções 
 
As funções podem ser classificadas de acordo com a relação dos seus 
conjuntos domínio, contradomínio e imagem. Elas também podem ser 
classificadas de acordo com as suas propriedades. 
 
2.4 - Função sobrejetora 
 
Uma função é sobrejetora quando todos os elementos do contradomínio também 
são elementos do conjunto imagem. Conforme a Figura 2.2 a seguir: 
 
 
 
 
Figura 2.2 – Diagrama para ilustrar uma função. 
 
Fonte: Adaptado de UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI, [s.d.]. 
 
Uma função é classificada como sobrejetora quando seu conjunto imagem é 
exatamente igual ao seu contradomínio. Em outras palavras, todos os elementos 
do conjunto de chegada B (o contradomínio) são imagem de pelo menos um 
elemento do conjunto de partida A (o domínio). 
Formalmente, dizemos que uma função f é sobrejetora quando Im (f) = CD(f). 
Exemplo: 
Domínio: D (f) = {−2,−1,0,1,2,3} 
Contradomínio: CD (f) = {0,1,4,9} 
Imagem: Im (f) = {0,1,4,9} 
Neste caso, como o contradomínio e a imagem são idênticos, a função é 
sobrejetora. Nenhum elemento do contradomínio ficou "sobrando". 
 
2.5 - Função Injetora 
 
Uma função é injetora (ou injetiva) quando elementos diferentes do domínio 
sempre possuem imagens diferentes no contradomínio. A regra é: se as entradas 
são diferentes, as saídas também devem ser. 
 
Figura 2.3 – Diagrama para ilustrar uma função. 
 
Fonte: Adaptado de UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI, [s.d.]. 
 
14
Daniele Pires MagalhãesDe acordo com a Figura 2.3, isso significa que cada elemento do conjunto imagem 
recebe a associação de apenas um elemento do domínio. 
Exemplo: 
• Domínio: D (f) = {−2,−1,0,1,2,3} 
• Contradomínio: CD (f) = {−3,−1,1,3,5,7,8,9,10} 
• Imagem: Im (f) = {−3,−1,1,3,5,7}. 
2.6 – Função Bijetora 
 
Uma função é classificada como bijetora (ou bijetiva) quando ela é, 
simultaneamente, sobrejetora e injetora.Isso significa que ela cumpre duas 
condições ao mesmo tempo: 
É sobrejetora: Todos os elementos do contradomínio são utilizados (o conjunto 
imagem é igual ao contradomínio). 
É injetora: Elementos diferentes do domínio sempre resultam em imagens 
diferentes. 
 
Figura 2.4 – Diagrama para ilustrar uma função bijetora. 
 
Fonte: Adaptado de UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI, [s.d.]. 
 
Em resumo, uma função bijetora estabelece uma correspondência perfeita e 
biunívoca (um-para-um) entre todos os elementos do domínio e todos os 
elementos do contradomínio. 
Exemplo: 
• Domínio: D (f) = {−2,−1,0,1,2,3} 
• Contradomínio: CD (f) = {−2,−1,0,1,2,3} 
• Imagem: Im (f) = {−2,−1,0,1,2,3} 
Observação importante: 
No exemplo acima, o conjunto do domínio é idêntico ao do contradomínio. 
Embora isso ocorra em muitos casos (como na função identidade, f(x)=x), isso 
não é uma regra, mas uma consequência. Para que uma correspondência um-
NOÇÕES BÁSICAS DE FUNÇÕES COM O GEOGEBRA
15
 
 
 
De acordo com a Figura 2.3, isso significa que cada elemento do conjunto imagem 
recebe a associação de apenas um elemento do domínio. 
Exemplo: 
• Domínio: D (f) = {−2,−1,0,1,2,3} 
• Contradomínio: CD (f) = {−3,−1,1,3,5,7,8,9,10} 
• Imagem: Im (f) = {−3,−1,1,3,5,7}. 
2.6 – Função Bijetora 
 
Uma função é classificada como bijetora (ou bijetiva) quando ela é, 
simultaneamente, sobrejetora e injetora.Isso significa que ela cumpre duas 
condições ao mesmo tempo: 
É sobrejetora: Todos os elementos do contradomínio são utilizados (o conjunto 
imagem é igual ao contradomínio). 
É injetora: Elementos diferentes do domínio sempre resultam em imagens 
diferentes. 
 
Figura 2.4 – Diagrama para ilustrar uma função bijetora. 
 
Fonte: Adaptado de UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI, [s.d.]. 
 
Em resumo, uma função bijetora estabelece uma correspondência perfeita e 
biunívoca (um-para-um) entre todos os elementos do domínio e todos os 
elementos do contradomínio. 
Exemplo: 
• Domínio: D (f) = {−2,−1,0,1,2,3} 
• Contradomínio: CD (f) = {−2,−1,0,1,2,3} 
• Imagem: Im (f) = {−2,−1,0,1,2,3} 
Observação importante: 
No exemplo acima, o conjunto do domínio é idêntico ao do contradomínio. 
Embora isso ocorra em muitos casos (como na função identidade, f(x)=x), isso 
não é uma regra, mas uma consequência. Para que uma correspondência um-
 
 
 
para-um seja possível entre dois conjuntos finitos, eles obrigatoriamente 
precisam ter o mesmo número de elementos. 
 
2.7 – Função Par 
 
Uma função par é uma função que tem a propriedade 𝑓𝑓(− 𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), ou 
seja, os elementos − 𝑥𝑥 e 𝑥𝑥 têm a mesma imagem. Um bom exemplo é a função 𝑦𝑦 =
𝑥𝑥2. 
Observe o Quadro 2.1: 
 
Quadro 2.1 – Valores do Domínio e a sua respectiva imagem de acordo com a função 
correspondente. 
 
Fonte: Próprio autor (2025). 
2.8 - Função ímpar 
 
Uma função ímpar é uma função que tem a propriedade 𝑓𝑓(− 𝑥𝑥) =− 𝑓𝑓(𝑥𝑥). 
Um bom exemplo é a função 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥3. 
Quadro 2.2 – Valores do Domínio e a sua respectiva imagem de acordo com a função 
correspondente. 
 
Fonte: Próprio autor (2025). 
 
 
 
 
 
16
Daniele Pires Magalhães 
 
 
2.9 - Lei de formação 
 
A lei de formação de uma função é a fórmula (ou regra) que expressa a 
correspondência dos elementos do domínio com os elementos do contradomínio. 
Por exemplo: 
Na função afim, a lei geral de formação é 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏. 
• 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 + 1, onde 𝑎𝑎 = 2 e 𝑏𝑏 = 1; 
• 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥, onde 𝑎𝑎 = 5 e 𝑏𝑏 = 0; 
• 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 − 3, onde 𝑎𝑎 = 1 e 𝑏𝑏 =− 3. 
Na função quadrática, a lei geral de formação é 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 
• 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 + 2, onde: 𝑎𝑎 = 1 𝑏𝑏 = 6 𝑐𝑐 = 2 
• 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) =− 3𝑥𝑥2 + 7, onde: 𝑎𝑎 =− 3 𝑏𝑏 = 0 𝑐𝑐 = 7 
• 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 – 12, onde: 𝑎𝑎 = 2 𝑏𝑏 =− 5 𝑐𝑐 =− 12 
Observação: 
As funções também podem ser classificadas de acordo com suas leis de formação: 
função afim, função quadrática, função polinomial, função racional, função 
logarítmica, função exponencial, função trigonométrica etc. 
 
2.10 Plotando o gráfico destas funções no GeoGebra: 
 
Função 1: 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 + 1, onde 𝑎𝑎 = 2 e 𝑏𝑏 = 1, observe a Figura 2.5: 
 
Figura 2.5 – Plotagem da Função 1 no GeoGebra. 
 
Fonte: Próprio autor (2025). 
NOÇÕES BÁSICAS DE FUNÇÕES COM O GEOGEBRA
17
 
 
 
2.9 - Lei de formação 
 
A lei de formação de uma função é a fórmula (ou regra) que expressa a 
correspondência dos elementos do domínio com os elementos do contradomínio. 
Por exemplo: 
Na função afim, a lei geral de formação é 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏. 
• 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 + 1, onde 𝑎𝑎 = 2 e 𝑏𝑏 = 1; 
• 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥, onde 𝑎𝑎 = 5 e 𝑏𝑏 = 0; 
• 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 − 3, onde 𝑎𝑎 = 1 e 𝑏𝑏 =− 3. 
Na função quadrática, a lei geral de formação é 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 
• 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 + 2, onde: 𝑎𝑎 = 1 𝑏𝑏 = 6 𝑐𝑐 = 2 
• 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) =− 3𝑥𝑥2 + 7, onde: 𝑎𝑎 =− 3 𝑏𝑏 = 0 𝑐𝑐 = 7 
• 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 – 12, onde: 𝑎𝑎 = 2 𝑏𝑏 =− 5 𝑐𝑐 =− 12 
Observação: 
As funções também podem ser classificadas de acordo com suas leis de formação: 
função afim, função quadrática, função polinomial, função racional, função 
logarítmica, função exponencial, função trigonométrica etc. 
 
2.10 Plotando o gráfico destas funções no GeoGebra: 
 
Função 1: 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥 + 1, onde 𝑎𝑎 = 2 e 𝑏𝑏 = 1, observe a Figura 2.5: 
 
Figura 2.5 – Plotagem da Função 1 no GeoGebra. 
 
Fonte: Próprio autor (2025). 
 
 
 
 
Função 2: 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) = 5𝑥𝑥, onde 𝑎𝑎 = 5 e 𝑏𝑏 = 0, veja a Figura 2.6: 
 
Figura 2.6 – Plotagem da Função 2 no GeoGebra. 
 
Fonte: Próprio autor (2025). 
 
Função 3: 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 − 3, onde 𝑎𝑎 = 1 e 𝑏𝑏 =− 3, observe a Figura 2.7: 
 
Figura 2.7 – Plotagem da Função 3 no GeoGebra. 
 
Fonte: Próprio autor (2025). 
 
 
18
Daniele Pires Magalhães 
 
 
Função 4: 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 + 2, onde: 𝑎𝑎 = 1 𝑏𝑏 = 6 𝑐𝑐 = 2, observe a Figura 2.8: 
 
Figura 2.8 – Plotagem da Função 4 no GeoGebra. 
 
Fonte: Próprio autor (2025). 
 
Função 5: 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) =− 3𝑥𝑥2 + 7, onde: 𝑎𝑎 =− 3 𝑏𝑏 = 0 𝑐𝑐 = 7, observe a Figura 2.9: 
 
Figura 2.9 – Plotagem da Função 5 no GeoGebra. 
 
Fonte: Próprio Autor (2025). 
NOÇÕES BÁSICAS DE FUNÇÕES COM O GEOGEBRA
19
 
 
 
Função 4: 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) = 𝑥𝑥2 + 6𝑥𝑥 + 2, onde: 𝑎𝑎 = 1 𝑏𝑏 = 6 𝑐𝑐 = 2, observe a Figura 2.8: 
 
Figura 2.8 – Plotagem da Função 4 no GeoGebra. 
 
Fonte: Próprio autor (2025). 
 
Função 5: 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) =− 3𝑥𝑥2 + 7, onde: 𝑎𝑎 =− 3 𝑏𝑏 = 0 𝑐𝑐 = 7, observe a Figura 2.9: 
 
Figura 2.9 – Plotagem da Função 5 no GeoGebra. 
 
Fonte: Próprio Autor (2025). 
 
 
 
Função 6: 𝑓𝑓 (𝑥𝑥) = 2𝑥𝑥2 − 5𝑥𝑥 – 12, onde: 𝑎𝑎 = 2 𝑏𝑏 =− 5 𝑐𝑐 =− 12, observe a Figura 2.10: 
 
Figura 2.10 – Plotagem da Função 6 no GeoGebra. 
 
Fonte: Próprio autor (2025). 
 
 
 
FUNÇÃO AFIM OU FUNÇÃO DO 1° GRAU
Capítulo III
NOÇÕES BÁSICAS DE FUNÇÕES COM O GEOGEBRA
21
 
 
 
CAPÍTULO III – FUNÇÃO AFIM OU FUNÇÃO DO 1° GRAU 
 
3.1 – Definição 
 
A função afim é uma função definida como: 
𝑓𝑓: 𝐴𝐴 → 𝐵𝐵 
𝑥𝑥 ↦ 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 
onde 𝑎𝑎 ≠ 0 e 𝑏𝑏 são constantes (números reais). Chamamos o número 𝑎𝑎 de 
coeficiente angular e denominamos o termo 𝑏𝑏 de coeficiente linear. 
Observação: 
O domínio e o contradomínio desse tipo de função não têm restrições gerais 
(somente em casos específicos), podendo ser até o conjunto ℝ. 
a) Uma fórmula que expresse o valor da tarifa cobrada em função dos 
quilômetros rodados para essa cidade. 
Sabendoque a bandeirada é um preço fixo e que a cada km rodado o preço a ser 
pago aumenta (não sabemos quantos km cada cliente percorrerá, então temos 
uma 
incógnita), podemos escrever a lei de formação dessa função como 
𝑦𝑦 = 4, 5 + 2, 75𝑥𝑥 
Ou seja, temos que o preço a ser pago no fim da corrida (𝑦𝑦) está em função da 
quantidade de km percorrida pelo cliente (𝑥𝑥). 
b) quanto irá pagar a pessoa referida no enunciado. 
A pessoa do enunciado percorreu 7km, então temos 𝑥𝑥 = 7. Substituindo esse valor 
na lei de formação: 
𝑦𝑦 = 4, 5 + 2, 75 · (7) = 4, 5 + 19, 25 = 23, 75 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟𝑟𝑟. 
Observe que o coeficiente angular nessa função é 2, 75 > 0, então ela é crescente. 
Além disso, o coeficiente linear é 4, 5, então o gráfico corta o eixo das ordenadas 
no ponto 𝐴𝐴 = (0; 4, 5). Para determinar o ponto de interseção com o eixo das 
abscissas, basta usar 𝑦𝑦 = 0; assim, 
𝑦𝑦 = 4, 5 + 2, 75𝑥𝑥 ⇒ 0 = 4, 5 + 2, 75𝑥𝑥 ⇒ 
⇒ − 4, 5 = 2, 75𝑥𝑥 ⇒ − 4,5 
2,75 = 𝑥𝑥 
e o ponto de interseção é 𝐵𝐵 = (−1, 63; 0), observe a Figura 3.1. 
 
22
Daniele Pires Magalhães 
 
 
Figura 3.1 – Plotagem da função dada anteriormente para exemplificar a função afim. 
 
Fonte: Próprio autor (2025). 
 
3.2 – Exercícios 
 
1 - (ENEM 2019) Uma empresa tem diversos funcionários. Um deles é o gerente, 
que recebe R$ 1.000,00 por semana. Os outros funcionários são diaristas. Cada 
um deles trabalha 2 dias por semana, recebendo R$ 80,00 por dia trabalhado. 
Chamando de X a quantidade total de funcionários da empresa, a quantia Y, em 
reais, que esta empresa gasta semanalmente para pagar seus funcionários é 
expressa por: 
A. 𝑌𝑌 = 80𝑋𝑋 + 920. 
B. 𝑌𝑌 = 80𝑋𝑋 + 1. 000. 
C. 𝑌𝑌 = 80𝑋𝑋 + 1. 080. 
D. 𝑌𝑌 = 160𝑋𝑋 + 840. 
E. 𝑌𝑌 = 160𝑋𝑋 + 1. 000. 
2 - (ENEM PPL 2018) Uma indústria automobilística está testando um novo 
modelo de carro. Cinquenta litros de combustível são colocados no tanque desse 
carro, que é dirigido em uma pista de testes até que todo o combustível tenha 
sido consumido. O segmento de reta no gráfico mostra o resultado desse teste, 
no qual a quantidade de combustível no tanque é indicada no eixo 𝑦𝑦 (vertical), e 
a distância percorrida pelo automóvel é indicada no eixo 𝑥𝑥 (horizontal). A 
expressão algébrica que relaciona a quantidade de combustível no tanque e a 
distância percorrida pelo automóvel é: 
A. 𝑦𝑦 = − 10𝑥𝑥 + 500 
B. 𝑦𝑦 = –𝑥𝑥/10 + 50 
NOÇÕES BÁSICAS DE FUNÇÕES COM O GEOGEBRA
23
 
 
 
Figura 3.1 – Plotagem da função dada anteriormente para exemplificar a função afim. 
 
Fonte: Próprio autor (2025). 
 
3.2 – Exercícios 
 
1 - (ENEM 2019) Uma empresa tem diversos funcionários. Um deles é o gerente, 
que recebe R$ 1.000,00 por semana. Os outros funcionários são diaristas. Cada 
um deles trabalha 2 dias por semana, recebendo R$ 80,00 por dia trabalhado. 
Chamando de X a quantidade total de funcionários da empresa, a quantia Y, em 
reais, que esta empresa gasta semanalmente para pagar seus funcionários é 
expressa por: 
A. 𝑌𝑌 = 80𝑋𝑋 + 920. 
B. 𝑌𝑌 = 80𝑋𝑋 + 1. 000. 
C. 𝑌𝑌 = 80𝑋𝑋 + 1. 080. 
D. 𝑌𝑌 = 160𝑋𝑋 + 840. 
E. 𝑌𝑌 = 160𝑋𝑋 + 1. 000. 
2 - (ENEM PPL 2018) Uma indústria automobilística está testando um novo 
modelo de carro. Cinquenta litros de combustível são colocados no tanque desse 
carro, que é dirigido em uma pista de testes até que todo o combustível tenha 
sido consumido. O segmento de reta no gráfico mostra o resultado desse teste, 
no qual a quantidade de combustível no tanque é indicada no eixo 𝑦𝑦 (vertical), e 
a distância percorrida pelo automóvel é indicada no eixo 𝑥𝑥 (horizontal). A 
expressão algébrica que relaciona a quantidade de combustível no tanque e a 
distância percorrida pelo automóvel é: 
A. 𝑦𝑦 = − 10𝑥𝑥 + 500 
B. 𝑦𝑦 = –𝑥𝑥/10 + 50 
 
 
 
C. 𝑦𝑦 = −/10 + 500 
D. 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥/10 + 50 
E. 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥/10 + 50 
 
3 - (ENEM 2017 - LIBRAS) Um sítio foi adquirido por R$ 200.000,00. O 
proprietário verificou que a valorização do imóvel, após sua aquisição, 
cresceu em função do tempo conforme o gráfico, e que essa tendência de 
valorização se manteve nos anos seguintes. 
 
O valor desse sítio, no décimo ano após sua compra, em real, será de 
A. 190.000. 
B. 232.000. 
C. 272.000. 
D. 400.000. 
E. 500.000. 
 
3.3 - Exercícios no GeoGebra 
Passos: 
1- Abra o software GeoGebra; 
24
Daniele Pires Magalhães 
 
 
2- Clique no penúltimo botão da barra de menu cujo ícone é e clique na 
primeira opção da lista intitulado controle deslizante; 
Clique em qualquer parte do plano cartesiano (janela de visualização) e 
automaticamente irá se abrir uma janela de configuração do controle deslizante cujo 
nome é “a” (veja abaixo): 
 
 
3- No intervalo mín. insira -100, no máx. insira 100 e no incremento insira 1. 
Após estas inserções, clique em OK. 
4- O controle deslizante será inserido no local clicado conforme figura abaixo: 
 
 
5- Repita o processo para inserir o controle deslizante b, com os mesmos 
intervalos e incremento. 
6- Os dois controles deslizantes inseridos ficarão semelhantes ao da figura 
abaixo: 
 
 
 
7- No campo de entrada (do lado esquerdo ou abaixo da janela de visualização) 
digite 𝒚𝒚 = 𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 e pressione enter. 
 
8- Você inseriu no software GeoGebra dois controles deslizantes que representam 
os coeficientes 𝑎𝑎 e 𝑏𝑏 da função afim e a forma da função 𝒇𝒇(𝒂𝒂) = 𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒃𝒃. 
9- Ao inserir a função, automaticamente o gráfico será gerado na janela de 
visualização semelhante ao da imagem abaixo: 
NOÇÕES BÁSICAS DE FUNÇÕES COM O GEOGEBRA
25
 
 
 
2- Clique no penúltimo botão da barra de menu cujo ícone é e clique na 
primeira opção da lista intitulado controle deslizante; 
Clique em qualquer parte do plano cartesiano (janela de visualização) e 
automaticamente irá se abrir uma janela de configuração do controle deslizante cujo 
nome é “a” (veja abaixo): 
 
 
3- No intervalo mín. insira -100, no máx. insira 100 e no incremento insira 1. 
Após estas inserções, clique em OK. 
4- O controle deslizante será inserido no local clicado conforme figura abaixo: 
 
 
5- Repita o processo para inserir o controle deslizante b, com os mesmos 
intervalos e incremento. 
6- Os dois controles deslizantes inseridos ficarão semelhantes ao da figura 
abaixo: 
 
 
 
7- No campo de entrada (do lado esquerdo ou abaixo da janela de visualização) 
digite 𝒚𝒚 = 𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 e pressione enter. 
 
8- Você inseriu no software GeoGebra dois controles deslizantes que representam 
os coeficientes 𝑎𝑎 e 𝑏𝑏 da função afim e a forma da função 𝒇𝒇(𝒂𝒂) = 𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒃𝒃. 
9- Ao inserir a função, automaticamente o gráfico será gerado na janela de 
visualização semelhante ao da imagem abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
Na janela de visualização (à esquerda do gráfico) será exibido os valores de a e b da 
função afim, bem como a função afim que representa esse gráfico (reta construída no 
plano cartesiano). No exemplo abaixo, a função é 𝒚𝒚 = 𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 e, consequentemente, 𝒂𝒂 = 𝟏𝟏 
e 𝒃𝒃 = 𝟏𝟏. 
 
 
Clique no primeiro botão cujo ícone é e clique na opção mover. Após isto, você 
pode clicar na bolinha do controle deslizante 𝒂𝒂 ou 𝒃𝒃 para mover e modificar seu valor 
entre -100 e 100 (o intervalo mínimo e máximo). Mova os controles deslizantes 𝒂𝒂 e depois 
𝒃𝒃 enquanto observa como o gráfico (a reta no plano cartesiano) muda. Em seguida, 
responda as questões a seguir: 
 
1. MOVIMENTE O CONTROLE DESLIZANTE 𝒂𝒂. 
 
a) Desenhe o gráfico da função afim (a reta construída no plano cartesiano) quando o 
coeficiente 𝒂𝒂>𝟎𝟎. 
b) A função afim, neste caso, é crescente ou decrescente? 
c) Desenhe o gráfico da função afim quando o coeficiente 𝒂𝒂E MOVIMENTE O CONTROLE DESLIZANTE 
𝒃𝒃. 
 
26
Daniele Pires Magalhães 
 
 
Compare o valor de 𝒃𝒃 da função afim e o valor no eixo 𝒚𝒚 onde a reta intercepta (valor 
onde a reta “corta” o eixo 𝒚𝒚). Esses dois valores são iguais ou diferentes entre si? 
 
3. PARE DE MOVIMENTAR E DEIXE OS CONTROLES DESLIZANTES DE 𝒂𝒂 E 
DE 𝒃𝒃 EM VALORES NÃO NULOS (DIFERENTES DE ZERO). 
 
a) Escreva abaixo a função que aparece no software (na janela de álgebra): 
b) Em que ponto a reta intercepta o eixo 𝒚𝒚? 
c) Qual o valor do 𝒃𝒃 da função afim? 
d) Qual a relação que você observa entre o ponto que a reta intercepta o eixo 𝒚𝒚 e o valor 
de 𝒃𝒃 da função (são iguais ou diferentes)? 
e) Iguale sua função à zero e encontre o valor de 𝒙𝒙 (a raiz da função afim), resolvendo a 
equação. 
f) Em que valor a reta intercepta o eixo 𝒙𝒙 (valor onde a reta “corta” o eixo 𝒙𝒙)? 
g) Qual a relação que você observa entre o ponto que a reta intercepta o eixo 𝒙𝒙 e a raiz 
da função (são iguais ou diferentes)? 
 
4. RESUMINDO... (COMPLETE AS FRASES ABAIXO): 
 
Toda função afim se escreve da forma 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ___________________, em que _______ 
nunca pode ser zero. 
Se ________ for positivo, então a função é crescente, mas se ________ for negativo, então 
a função é __________________. 
O gráfico da função afim é sempre uma _______________. 
Essa reta intercepta o eixo 𝑦𝑦 no plano cartesiano sempre no mesmo valor que o 
coeficiente ______ da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏. 
A raiz da função é o mesmo valor em que a reta intercepta o eixo _______ no plano 
cartesiano. 
 
 
 
 
Compare o valor de 𝒃𝒃 da função afim e o valor no eixo 𝒚𝒚 onde a reta intercepta (valor 
onde a reta “corta” o eixo 𝒚𝒚). Esses dois valores são iguais ou diferentes entre si? 
 
3. PARE DE MOVIMENTAR E DEIXE OS CONTROLES DESLIZANTES DE 𝒂𝒂 E 
DE 𝒃𝒃 EM VALORES NÃO NULOS (DIFERENTES DE ZERO). 
 
a) Escreva abaixo a função que aparece no software (na janela de álgebra): 
b) Em que ponto a reta intercepta o eixo 𝒚𝒚? 
c) Qual o valor do 𝒃𝒃 da função afim? 
d) Qual a relação que você observa entre o ponto que a reta intercepta o eixo 𝒚𝒚 e o valor 
de 𝒃𝒃 da função (são iguais ou diferentes)? 
e) Iguale sua função à zero e encontre o valor de 𝒙𝒙 (a raiz da função afim), resolvendo a 
equação. 
f) Em que valor a reta intercepta o eixo 𝒙𝒙 (valor onde a reta “corta” o eixo 𝒙𝒙)? 
g) Qual a relação que você observa entre o ponto que a reta intercepta o eixo 𝒙𝒙 e a raiz 
da função (são iguais ou diferentes)? 
 
4. RESUMINDO... (COMPLETE AS FRASES ABAIXO): 
 
Toda função afim se escreve da forma 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ___________________, em que _______ 
nunca pode ser zero. 
Se ________ for positivo, então a função é crescente, mas se ________ for negativo, então 
a função é __________________. 
O gráfico da função afim é sempre uma _______________. 
Essa reta intercepta o eixo 𝑦𝑦 no plano cartesiano sempre no mesmo valor que o 
coeficiente ______ da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏. 
A raiz da função é o mesmo valor em que a reta intercepta o eixo _______ no plano 
cartesiano. 
 
FUNÇÃO QUADRÁTICA OU FUNÇÃO DO 2° GRAU?
Capítulo IV
28
Daniele Pires Magalhães 
 
 
CAPÍTULO IV - FUNÇÃO QUADRÁTICA OU FUNÇÃO DO 2° 
GRAU? 
 
4.1 – Definição 
 
A função quadrática é uma função definida como 
𝑓𝑓: 𝐴𝐴 → 𝐵𝐵 
 
𝑥𝑥 ↦ 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 
 
onde 𝑎𝑎 ≠ 0, 𝑏𝑏 e 𝑐𝑐 são constantes (números reais). 
 
Observação 
O domínio e o contradomínio desse tipo de função não têm restrições gerais 
(somente em casos específicos), podendo ser até o conjunto ℝ. 
 
4.2 - Gráfico de uma função quadrática 
 
O gráfico de toda função quadrática é uma curva chamada parábola. Para 
desenhar um esboço dessa parábola no plano cartesiano, podemos utilizar alguns 
métodos. 
 
 Analisando os Coeficientes: 
 
Os coeficientes da função 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 nos dão pistas importantes sobre o 
formato e a posição do gráfico: 
Coeficiente a: Define a "abertura" da parábola. 
• Se a>0, a parábola tem a concavidade voltada para cima (formato de "U"). 
• Se a0, a parábola tem a concavidade voltada para cima (formato de "U"). 
• Se a 0, a parábola tem duas interseções com o eixo 𝑥𝑥, ou seja, a função 
possui duas raízes reais; 
● Quando Δ = 0, a parábola tem uma interseção com o eixo 𝑥𝑥, ou seja, a função 
possui uma raiz real; 
● Quando Δ 0) ou o ponto 
máximo (quando a+ 𝑏𝑏) + 2𝑏𝑏 =− 2 ⇒ 16 + 4𝑏𝑏 + 2𝑏𝑏 =− 2 ⇒ 6𝑏𝑏 =− 18 ⇒ 𝑏𝑏 =− 3 
Agora, basta substituir 𝑏𝑏 na primeira equação: 
𝑎𝑎 = 4 + 𝑏𝑏 = 4 − 3 = 1. 
Assim, sabendo que 𝑎𝑎 = 1, 𝑏𝑏 =− 3 e 𝑐𝑐 = 4, temos que a lei de formação da função 
em questão é: 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 → 𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 + 4 
Para construir o esboço desse gráfico, vamos seguir o passo a passo: 
1. Interseção com o eixo 𝑦𝑦: 
a. Temos que 𝑥𝑥 = 0, assim 𝑦𝑦 = 4. 
2. Interseção com o eixo 𝑥𝑥: 
a. ∆= 𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑐𝑐 = (− 3)2 − 4(1)(4) = 9 − 16 =− 7 0, então a parábola tem concavidade voltada para cima. 
b. Cálculo das coordenadas do vértice: 
 
𝑥𝑥𝑣𝑣 = −𝑏𝑏
2𝑎𝑎 = −(−3)
2(1) = +3
2 = 1,5; 
𝑦𝑦𝑣𝑣 = −∆
4𝑎𝑎 = −(−7)
4(1) = +7
4 = 1,75; 
 
Assim, o vértice dessa parábola é o ponto (1, 5; 1, 75). 
 
4.3 - Plotando a função no GeoGebra, veja a Figura 4.1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOÇÕES BÁSICAS DE FUNÇÕES COM O GEOGEBRA
31
 
 
 
Como temos três equações dependendo das mesmas incógnitas (𝑎𝑎, 𝑏𝑏 e 𝑐𝑐), temos 
um sistema: 
{
𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 8
𝑐𝑐 = 4
4𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 2
 
Vamos substituir o 𝑐𝑐 nas outras duas equações: 
{ 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 + 4 = 8 → 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 = 4
4𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 + 4 = 2 → 4𝑎𝑎 + 2𝑏𝑏 = −2 
Vamos isolar o 𝑎𝑎 na primeira equação e substituir na segunda: 
𝑎𝑎 = 4 + 𝑏𝑏 
4(4 + 𝑏𝑏) + 2𝑏𝑏 =− 2 ⇒ 16 + 4𝑏𝑏 + 2𝑏𝑏 =− 2 ⇒ 6𝑏𝑏 =− 18 ⇒ 𝑏𝑏 =− 3 
Agora, basta substituir 𝑏𝑏 na primeira equação: 
𝑎𝑎 = 4 + 𝑏𝑏 = 4 − 3 = 1. 
Assim, sabendo que 𝑎𝑎 = 1, 𝑏𝑏 =− 3 e 𝑐𝑐 = 4, temos que a lei de formação da função 
em questão é: 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 → 𝑥𝑥2 − 3𝑥𝑥 + 4 
Para construir o esboço desse gráfico, vamos seguir o passo a passo: 
1. Interseção com o eixo 𝑦𝑦: 
a. Temos que 𝑥𝑥 = 0, assim 𝑦𝑦 = 4. 
2. Interseção com o eixo 𝑥𝑥: 
a. ∆= 𝑏𝑏2 − 4𝑎𝑎𝑐𝑐 = (− 3)2 − 4(1)(4) = 9 − 16 =− 7 0, então a parábola tem concavidade voltada para cima. 
b. Cálculo das coordenadas do vértice: 
 
𝑥𝑥𝑣𝑣 = −𝑏𝑏
2𝑎𝑎 = −(−3)
2(1) = +3
2 = 1,5; 
𝑦𝑦𝑣𝑣 = −∆
4𝑎𝑎 = −(−7)
4(1) = +7
4 = 1,75; 
 
Assim, o vértice dessa parábola é o ponto (1, 5; 1, 75). 
 
4.3 - Plotando a função no GeoGebra, veja a Figura 4.1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.1 – Plotagem da função quadrática no GeoGebra. 
 
Fonte: Próprio autor (2025). 
 
Outra maneira de construir o esboço desse gráfico é escolhendo pontos 
arbitrariamente, como dito antes. Selecione números para o, substitua-os na 
função, 𝑥𝑥 localize os pontos formados e depois interligue-os. 
 
4.4 – Exercícios 
 
1) (ENEM 2022) Em jogos de voleibol, um saque é invalidado se a bola atingir o 
teto do ginásio onde ocorre o jogo. Um jogador de uma equipe tem um saque que 
atinge uma grande altura. Seu recorde foi quando a batida do saque se iniciou a 
uma altura de 1,5 m do piso da quadra, e a trajetória da bola foi descrita pela 
parábola 𝑦𝑦 = − 𝑥𝑥2
6 − 7𝑥𝑥
3 + 12 em que representa a altura da bola em relação ao 
eixo 𝑥𝑥 (das abscissas) que está localizado a 1,5 m do piso da quadra, como 
representado na figura. Suponha que em todas as partidas algum saque desse 
jogador atinja a mesma altura do seu recorde. 
 
A equipe desse jogador participou de um torneio de voleibol no qual jogou cinco 
partidas, cada uma delas em um ginásio diferente. As alturas dos tetos desses 
ginásios, em relação aos pisos das quadras, são: 
32
Daniele Pires Magalhães 
 
 
● ginásio I: 17 m; 
● ginásio II: 18 m; 
● ginásio III: 19 m; 
● ginásio IV: 21 m; 
● ginásio V: 40 m. 
O saque desse atleta foi invalidado 
A. apenas no ginásio I. 
B. apenas nos ginásios I e II. 
C. apenas nos ginásios I, II e III. 
D. apenas nos ginásios I, II, III e IV. 
E. em todos os ginásios. 
2) (ENEM 2022) Ao analisar os dados de uma epidemia em uma cidade, peritos 
obtiveram um modelo que avalia a quantidade de pessoas infectadas a cada 
mês,ao longo de um ano. O modelo é dado por 𝑦𝑦 = −𝑡𝑡2 + 10𝑡𝑡 − 24, sendo um 𝑡𝑡 
número natural, variando de 1 a 12, que representa os meses do ano, e 𝑝𝑝(𝑡𝑡) a 
quantidade de pessoas infectadas no mês 𝑡𝑡 do ano. Para tentar diminuir o número 
de infectados no próximo ano, a Secretaria Municipal de Saúde decidiu 
intensificar a propaganda oficial sobre os cuidados com a epidemia. Foram 
apresentadas cinco propostas (I, II, III, IV e V), com diferentes períodos de 
intensificação das propagandas: 
● I:1 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 2; 
● II: 3 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 4; 
● III: 5 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 6; 
● IV: 7 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 9; 
● V: 10 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 12. 
A sugestão dos peritos é que seja escolhida a proposta cujo período de 
intensificação da propaganda englobe o mês em que, segundo o modelo, há a 
maior quantidade de infectados. A sugestão foi aceita. A proposta escolhida foi a 
A. I. 
B. II. 
C. III. 
D. IV. 
E. V. 
3) (ENEM 2017 - LIBRAS) A única fonte de renda de um cabeleireiro é 
proveniente de seu salão. Ele cobra R$ 10,00 por cada serviço realizado e atende 
200 clientes por mês, mas está pensando em aumentar o valor cobrado pelo 
serviço. Ele sabe que cada real cobrado a mais acarreta uma diminuição de 10 
clientes por mês. Para que a renda do cabeleireiro seja máxima, ele deve cobrar 
por serviço o valor de 
A. R$ 10,00. 
NOÇÕES BÁSICAS DE FUNÇÕES COM O GEOGEBRA
33
 
 
 
● ginásio I: 17 m; 
● ginásio II: 18 m; 
● ginásio III: 19 m; 
● ginásio IV: 21 m; 
● ginásio V: 40 m. 
O saque desse atleta foi invalidado 
A. apenas no ginásio I. 
B. apenas nos ginásios I e II. 
C. apenas nos ginásios I, II e III. 
D. apenas nos ginásios I, II, III e IV. 
E. em todos os ginásios. 
2) (ENEM 2022) Ao analisar os dados de uma epidemia em uma cidade, peritos 
obtiveram um modelo que avalia a quantidade de pessoas infectadas a cada 
mês,ao longo de um ano. O modelo é dado por 𝑦𝑦 = −𝑡𝑡2 + 10𝑡𝑡 − 24, sendo um 𝑡𝑡 
número natural, variando de 1 a 12, que representa os meses do ano, e 𝑝𝑝(𝑡𝑡) a 
quantidade de pessoas infectadas no mês 𝑡𝑡 do ano. Para tentar diminuir o número 
de infectados no próximo ano, a Secretaria Municipal de Saúde decidiu 
intensificar a propaganda oficial sobre os cuidados com a epidemia. Foram 
apresentadas cinco propostas (I, II, III, IV e V), com diferentes períodos de 
intensificação das propagandas: 
● I:1 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 2; 
● II: 3 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 4; 
● III: 5 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 6; 
● IV: 7 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 9; 
● V: 10 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 12. 
A sugestão dos peritos é que seja escolhida a proposta cujo período de 
intensificação da propaganda englobe o mês em que, segundo o modelo, há a 
maior quantidade de infectados. A sugestão foi aceita. A proposta escolhida foi a 
A. I. 
B. II. 
C. III. 
D. IV. 
E. V. 
3) (ENEM 2017 - LIBRAS) A única fonte de renda de um cabeleireiro é 
proveniente de seu salão. Ele cobra R$ 10,00 por cada serviço realizado e atende 
200 clientes por mês, mas está pensando em aumentar o valor cobrado pelo 
serviço. Ele sabe que cada real cobrado a mais acarreta uma diminuição de 10 
clientes por mês. Para que a renda do cabeleireiro seja máxima, ele deve cobrar 
por serviço o valor de 
A. R$ 10,00. 
 
 
 
B. R$ 10,50. 
C. R$ 11,00. 
D. R$ 15,00. 
E. R$ 20,00. 
4.5 - Exercícios no GeoGebra 
Passos: 
1 - Abra o software GeoGebra; 
2 - Clique no penúltimo botão da barra de menu cujo ícone é e clique na 
primeira opção da lista intitulado controle deslizante; 
 
3 - Clique em qualquer parte do plano cartesiano (janela de visualização) e 
automaticamente irá se abrir uma janela de configuração do controle deslizante 
cujo nome é “a” (veja abaixo): 
 
 
4 No intervalo min., insira -100, no máx., insira 100 e no incremento insira 1. Após 
estas inserções, clique em OK. 
5 O controle deslizante será inserido no local clicado conforme figura abaixo: 
 
 
 
6 Repita o processo para inserir o controle deslizante b e c, com os mesmos 
intervalose incremento. 
7 Os dois controles deslizantes inseridos ficarão semelhantes ao da figura abaixo: 
 
34
Daniele Pires Magalhães 
 
 
 
 
8 No campo de entrada (do lado esquerdo ou abaixo da janela de visualização) 
digite 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 e pressione enter. 
 
9 Você inseriu no software GeoGebra dois controles deslizantes que representam os 
coeficientes 𝑎𝑎, b e c da função quadrática e a forma da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 +
𝑐𝑐 
10 Ao inserir a função, automaticamente o gráfico será gerado na janela de 
visualização semelhante ao da imagem abaixo: 
 
 
 
 
11 Na janela de visualização (à esquerda do gráfico) será exibido os valores de a, b 
e c da função quadrática, bem como a função quadrática que representa esse 
gráfico (parábola construída no plano cartesiano). No exemplo abaixo, a função 
é y = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 e, consequentemente, 𝒂𝒂 = 𝟏𝟏, 𝒃𝒃 = 𝟏𝟏 e c = 1. 
 
 
NOÇÕES BÁSICAS DE FUNÇÕES COM O GEOGEBRA
35
 
 
 
 
 
8 No campo de entrada (do lado esquerdo ou abaixo da janela de visualização) 
digite 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 e pressione enter. 
 
9 Você inseriu no software GeoGebra dois controles deslizantes que representam os 
coeficientes 𝑎𝑎, b e c da função quadrática e a forma da função 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 +
𝑐𝑐 
10 Ao inserir a função, automaticamente o gráfico será gerado na janela de 
visualização semelhante ao da imagem abaixo: 
 
 
 
 
11 Na janela de visualização (à esquerda do gráfico) será exibido os valores de a, b 
e c da função quadrática, bem como a função quadrática que representa esse 
gráfico (parábola construída no plano cartesiano). No exemplo abaixo, a função 
é y = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 e, consequentemente, 𝒂𝒂 = 𝟏𝟏, 𝒃𝒃 = 𝟏𝟏 e c = 1. 
 
 
 
 
 
Clique no primeiro botão cujo ícone é e clique na opção mover. Após isto, você 
pode clicar na bolinha do controle deslizante 𝒂𝒂 ou 𝒃𝒃 para mover e modificar seu valor 
entre -100 e 100 (os intervalo mínimo e máximo). Mova os controles deslizantes 𝒂𝒂 e 
depois 𝒃𝒃 enquanto observa como o gráfico (a parábola no plano cartesiano) muda. Em 
seguida, responda as questões a seguir: 
 
5. MOVIMENTE O CONTROLE DESLIZANTE 𝒂𝒂. 
 
a) Desenhe o gráfico da função quadrática (a parábola construída no plano cartesiano) 
quando o coeficiente 𝒂𝒂>𝟎𝟎. 
b) A função quadrática, neste caso, tem a concavidade voltada para baixo ou para cima, 
é ponto de máximo ou de mínimo? 
c) Desenhe o gráfico da função quadrática quando o coeficiente 𝒂𝒂 0 e 𝑎𝑎 ≠ 1 é constante (número real) e denominado de base. 
Observação 
A imagem dessa função sempre será positiva. Então o contradomínio B está 
restrito a ℝ+
∗ . O domínio não tem restrições (somente em casos específicos), 
podendo ser até o conjunto ℝ. 
 
O gráfico de uma função exponencial, na sua forma básica 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥, possui 
características bem definidas, que dependem diretamente do valor de sua base a. 
 
5.2 - Comportamento do Gráfico (Crescimento e Decrescimento) 
 
A base a define se a função é crescente ou decrescente: 
Função Crescente (a>1): Quando a base é maior que 1, a curva sobe da esquerda 
para a direita. Ou seja, ao aumentar os valores de x, os valores de y também 
aumentam. 
Função Decrescente (00). Por essa razão, a curva 
está sempre contida nos 1º e 2º quadrantes. 
 
5.4 - Esboçando o Gráfico 
 
Para desenhar o gráfico, o método mais comum é criar uma tabela, atribuindo 
alguns valores a x (positivos, negativos e o zero) para encontrar seus pares 
correspondentes em y. 
38
Daniele Pires Magalhães 
 
 
5.4.1- Quando a>0: 
 
Exemplo 5.1: Para a função 𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥 
Como a base é 5 (5>1), sabemos que a função é crescente. Ao montar uma tabela 
de pontos e marcá-los no plano cartesiano, podemos traçar a curva característica 
da função, observe a Figura 5.1: 
 
Figura 5.1 – Plotagem da curva característica do Exemplo 5.1. 
 
Fonte: Adaptado de UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI, [s.d.]. 
 
5.5 Plotando com o GeoGebra para conferir, veja a Figura 5.2: 
 
Figura 5.2 – Plotagem da função do Exemplo 5.1 
 
Fonte: Próprio autor (2025). 
 
 
NOÇÕES BÁSICAS DE FUNÇÕES COM O GEOGEBRA
39
 
 
 
5.4.1- Quando a>0: 
 
Exemplo 5.1: Para a função 𝑦𝑦 = 5𝑥𝑥 
Como a base é 5 (5>1), sabemos que a função é crescente. Ao montar uma tabela 
de pontos e marcá-los no plano cartesiano, podemos traçar a curva característica 
da função, observe a Figura 5.1: 
 
Figura 5.1 – Plotagem da curva característica do Exemplo 5.1. 
 
Fonte: Adaptado de UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI, [s.d.]. 
 
5.5 Plotando com o GeoGebra para conferir, veja a Figura 5.2: 
 
Figura 5.2 – Plotagem da função do Exemplo 5.1 
 
Fonte: Próprio autor (2025). 
 
 
 
 
 
5.4.2 – Quando 𝟎𝟎 , então a função é 05.6 - Plotando com o GeoGebra para conferir, observe a Figura 5.4: 
 
Figura 5.4 – Plotagem da função do Exemplo 5.2
 
Fonte: Próprio autor (2025). 
40
Daniele Pires Magalhães 
 
 
 
5.7 Exercícios 
1 - (ENEM 2020) Enquanto um ser está vivo, a quantidade de carbono 14 nele 
existente não se altera. Quando ele morre, essa quantidade vai diminuindo. Sabe-
se que a meia-vida do carbono 14 é de 5.730 anos, ou seja, num fóssil de um 
organismo que morreu há 5.730 anos haverá metade do carbono 14 que existia 
quando ele estava vivo. Assim, cientistas e arqueólogos usam a seguinte fórmula 
para saber a idade de um fóssil encontrado: 𝑄𝑄(𝑡𝑡) = 𝑄𝑄0 ∙ 2
−𝑡𝑡
5730 em que t é o 
tempo medido em ano, 𝑄𝑄(𝑡𝑡) é a quantidade de carbono 14 medida no instante 𝑡𝑡 e 
𝑄𝑄 é a quantidade de carbono 14 no ser vivo correspondente. 
Um grupo de arqueólogos, numa de suas expedições, encontrou 5 fósseis de 
espécies conhecidas e mediram a quantidade de carbono 14 neles existente. Na 
tabela temos esses valores juntamente com a quantidade de carbono 14 nas 
referidas espécies vivas. 
 
O fóssil mais antigo encontrado nessa expedição foi 
A. 1. 
B. 2. 
C. 3. 
D. 4. 
E. 5. 
2) (ENEM 2015) O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem 
por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de 
funcionamento, uma indústria fabricou 8.000 unidades de um determinado 
produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e 
aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita 
nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere 𝑃𝑃 a 
quantidade anual de produtos fabricados no ano 𝑡𝑡 de funcionamento da 
indústria. 
Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de 
unidades produzidas 𝑃𝑃 em função de 𝑡𝑡, para 𝑡𝑡 ≥ 1? 
A. 𝑃𝑃(𝑡𝑡) = 0, 5 · 𝑡𝑡−1 + 8. 000 
B. 𝑃𝑃(𝑡𝑡) = 50 · 𝑡𝑡−1 + 8. 000 
NOÇÕES BÁSICAS DE FUNÇÕES COM O GEOGEBRA
41
 
 
 
 
5.7 Exercícios 
1 - (ENEM 2020) Enquanto um ser está vivo, a quantidade de carbono 14 nele 
existente não se altera. Quando ele morre, essa quantidade vai diminuindo. Sabe-
se que a meia-vida do carbono 14 é de 5.730 anos, ou seja, num fóssil de um 
organismo que morreu há 5.730 anos haverá metade do carbono 14 que existia 
quando ele estava vivo. Assim, cientistas e arqueólogos usam a seguinte fórmula 
para saber a idade de um fóssil encontrado: 𝑄𝑄(𝑡𝑡) = 𝑄𝑄0 ∙ 2
−𝑡𝑡
5730 em que t é o 
tempo medido em ano, 𝑄𝑄(𝑡𝑡) é a quantidade de carbono 14 medida no instante 𝑡𝑡 e 
𝑄𝑄 é a quantidade de carbono 14 no ser vivo correspondente. 
Um grupo de arqueólogos, numa de suas expedições, encontrou 5 fósseis de 
espécies conhecidas e mediram a quantidade de carbono 14 neles existente. Na 
tabela temos esses valores juntamente com a quantidade de carbono 14 nas 
referidas espécies vivas. 
 
O fóssil mais antigo encontrado nessa expedição foi 
A. 1. 
B. 2. 
C. 3. 
D. 4. 
E. 5. 
2) (ENEM 2015) O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem 
por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de 
funcionamento, uma indústria fabricou 8.000 unidades de um determinado 
produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e 
aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita 
nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere 𝑃𝑃 a 
quantidade anual de produtos fabricados no ano 𝑡𝑡 de funcionamento da 
indústria. 
Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de 
unidades produzidas 𝑃𝑃 em função de 𝑡𝑡, para 𝑡𝑡 ≥ 1? 
A. 𝑃𝑃(𝑡𝑡) = 0, 5 · 𝑡𝑡−1 + 8. 000 
B. 𝑃𝑃(𝑡𝑡) = 50 · 𝑡𝑡−1 + 8. 000 
 
 
 
C. 𝑃𝑃(𝑡𝑡) = 4. 000 · 𝑡𝑡−1 + 8. 000 
D. 𝑃𝑃(𝑡𝑡) = 8. 000 · (0, 5) 𝑡𝑡−1 
E. 𝑃𝑃(𝑡𝑡) = 8. 000 · (1, 5) 𝑡𝑡−1 
3) (ENEM - PPL - 2015) O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere 
queo piso salarial da classe seja de R$ 1.800,00, propondo um aumento 
percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho. A expressão que 
corresponde à proposta salarial (𝑠𝑠), em função do tempo de serviço (𝑡𝑡), em anos, 
é 𝑠𝑠(𝑡𝑡) = 1800 ∙ (1,03)𝑡𝑡. De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um 
profissional dessa empresa com 2 anos de tempo de serviço será, em reais: 
A. 7.416,00. 
B. 3.819,24. 
C. 3.709,62. 
D. 3.708,00. 
E. 1.909,62. 
4) Resolva as seguintes equações exponenciais 
A. 2𝑥𝑥 = 64 
B. 8𝑥𝑥 = 1
32 
C. (√𝑥𝑥)𝑥𝑥 = √813 
5) Resolva as seguintes equações exponenciais: 
A. 2𝑥𝑥 = 128 
B. 3𝑥𝑥 = 243 
C. 2𝑥𝑥 = 1
16 
D. 15
𝑥𝑥 
= 125 
E. (√23 )𝑥𝑥 = 8 
F. (√34 )𝑥𝑥 = √93 
G. 9𝑥𝑥 = 27 
H. 4𝑥𝑥 = 1
8 
I. ( 1
125)
𝑥𝑥 
= 25 
J. (√45 )𝑥𝑥 = 1
√8 
K. 100𝑥𝑥 = 0,001 
L. 8𝑥𝑥 = 0,25 
M. 125𝑥𝑥 = 0,04 
 
8.5 Exercícios no GeoGebra 
Passos: 
1 - Abra o software GeoGebra; 
42
Daniele Pires Magalhães 
 
 
2 - Clique no penúltimo botão da barra de menu cujo ícone é e clique na 
primeira opção da lista intitulado controle deslizante; 
 
3 - Clique em qualquer parte do plano cartesiano (janela de visualização) e 
automaticamente irá se abrir uma janela de configuração do controle deslizante cujo 
nome é “a” (veja abaixo): 
 
 
 
 
4 No intervalo mín. insira 0, no máx. insira 1 e no incremento insira 0.1. Após estas 
inserções, clique em OK. 
5 O controle deslizante será inserido no local clicado conforme figura abaixo: 
 
 
 
6 No campo de entrada (do lado esquerdo ou abaixo da janela de visualização) digite 
𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑎𝑎𝑥𝑥 e pressione enter. 
7 Você inseriu no software GeoGebra um controle deslizante que representa a base a 
da função exponencial quando 0 1. 
 
12 Ao inserir a função, automaticamente o gráfico será gerado na janela de 
visualização semelhante ao da imagem abaixo: 
 
Clique no primeiro botão cujo ícone é e clique na opção mover. Após isto, você 
pode clicar na bolinha do controle deslizante 𝒂𝒂 para mover e modificar seu valor entre 
os valores mínimo e máximo. Mova os controles deslizantes 𝒂𝒂 enquanto observa como 
o gráfico (a curva exponencial no plano cartesiano) muda. Em seguida, responda as 
questõesa seguir: 
 
9. MOVIMENTE O CONTROLE DESLIZANTE 𝒂𝒂. 
a) Desenhe o gráfico da função exponencial quando a base a está no intervalo 0 1. 
d) O que você observa quando a base está no intervalo a > 1? 
e) E se 𝑎𝑎 ≤ 0 ? O que acontece, a função exponencial existe neste caso? Explique. 
f) E quando a = 1, o que acontece com a função? 
 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Capítulo VI
NOÇÕES BÁSICAS DE FUNÇÕES COM O GEOGEBRA
45
 
 
 
CAPÍTULO VI – FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
6.1 – Definição: 
 
A função logarítmica é a função inversa à função exponencial. Ela é definida 
como 
𝑓𝑓: 𝐴𝐴 → 𝐵𝐵 
𝑥𝑥 ↦ 𝑦𝑦 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑥𝑥 
onde 𝑎𝑎 > 0 e 𝑎𝑎 ≠ 1 é constante (número real) e denominado de base. 
Nós associamos a função logarítmica com a função exponencial da seguinte 
maneira: 
𝑦𝑦 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎𝑥𝑥 ↔ 𝑎𝑎𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 
Observação 
O domínio dessa função sempre será ℝ+
∗ . O contradomínio não tem restrições 
(somente em casos específicos), podendo ser até o conjunto ℝ. 
 
6.2 – Gráfico da função logarítmica 
 
O gráfico de uma função logarítmica, definida por f(x) = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎(𝑥𝑥), possui 
características fundamentais que ajudam a esboçá-lo. 
 
6.2.1. Domínio e Localização no Plano 
 
O logaritmo só é definido para números positivos. Por isso, o domínio da função 
são todos os valores de x>0. 
Consequentemente, o gráfico da função está inteiramente contido no primeiro e 
quarto quadrantes (à direita do eixo y). 
 
6.2.2. Pontos Notáveis e Assíntotas 
 
Interseção com o Eixo X: O gráfico sempre cruza o eixo x no ponto (1, 0), pois 𝑦𝑦 = 
𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑎𝑎(1) = 0 para qualquer base a. 
Assíntota Vertical: O gráfico se aproxima indefinidamente do eixo y mas nunca 
o toca. Dizemos que o eixo y (a reta x=0) é uma assíntota vertical da função. 
 
6.2.3. Comportamento da Função (Crescimento/Decrescimento) 
 
A base a determina a inclinação da curva: 
46
Daniele Pires Magalhães 
 
 
Função Crescente (a>1): Se a base for maior que 1, a função é crescente. Conforme 
os valores de x aumentam, os de y também aumentam. 
Função Decrescente (01 
 
Exemplo 6.1: Construa o esboço do gráfico da função 𝑦𝑦 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙3𝑥𝑥. Primeiro, 
observe que a função é crescente, pois 3 > 1. Agora, vamos montar uma tabela 
com alguns valores de 𝑥𝑥 e seu 𝑦𝑦 correspondente. Depois, basta localizar esses 
pontos e os interligar, como na Figura 6.1 a seguir: 
Figura 6.1 – Gráfico do Exemplo 6.1. 
 
Fonte: Adaptado de UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI, [s.d.]. 
 
6.3.1 Plotando no GeoGebra, observe a Figura 6.2: 
 
Figura 6.2 – Plotagem do Exemplo 6.1 no GeoGebra. 
 
Fonte: Próprio autor (2025). 
 
NOÇÕES BÁSICAS DE FUNÇÕES COM O GEOGEBRA
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Função Crescente (a>1): Se a base for maior que 1, a função é crescente. Conforme 
os valores de x aumentam, os de y também aumentam. 
Função Decrescente (01 
 
Exemplo 6.1: Construa o esboço do gráfico da função 𝑦𝑦 = 𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙3𝑥𝑥. Primeiro, 
observe que a função é crescente, pois 3 > 1. Agora, vamos montar uma tabela 
com alguns valores de 𝑥𝑥 e seu 𝑦𝑦 correspondente. Depois, basta localizar esses 
pontos e os interligar, como na Figura 6.1 a seguir: 
Figura 6.1 – Gráfico do Exemplo 6.1. 
 
Fonte: Adaptado de UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO JOÃO DEL-REI, [s.d.]. 
 
6.3.1 Plotando no GeoGebra, observe a Figura 6.2: 
 
Figura 6.2 – Plotagem do Exemplo 6.1 no GeoGebra. 
 
Fonte: Próprio autor (2025). 
 
 
 
 
6.4 – 0