matrizes e determinantes

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Frente 2 – Aula 21 
PARTICULARIDADES 
SOBRE PRODUTO 
MATRICIAL 
 
Propriedades básicas 
 
Dadas as matrizes A m x n , B n x p e C p 
x q , vale a propriedade associativa 
para a multiplicação de matrizes: 
(A.B).C = A.(B.C) 
 
Para as matrizes Am x n , B n x p e C n x 
p , vale a propriedade distributiva 
(à direita) da multiplicação em 
relação à adição: 
A.(B+C) = A.B+A.C 
 
Para as matrizes Am x n , B m x n e C n x 
p , vale a propriedade distributiva 
(à esquerda) da multiplicação em 
relação à adição: 
(A+B) . C = A. C + B . C 
 
Representando como O uma matriz 
nula,para qualquer matriz Amxn valem 
as propriedades: 
A m x n . O n x p = O m x p 
Oq x m . A m x n = O q x n 
 
É importante observar que, para o 
produto matricial, não vale a 
propriedade 
Comutatitva: 
Ou seja, em geral: 
 
A.B B.A 
 
Se o produto A . B é definido, muitas 
vezes, o produto B . A nem é 
definido, devido às ordens de A e B. 
Mesmo quando este produto é 
definido, a matriz produto, em geral, 
é diferente, como podemos ver no 
exemplo abaixo: 
 
A= 
30
21
 B= 
11
42
 
 
A.B= 
33
20
 
B.A= 
11
82
 
Matriz identidade 
Considere, por exemplo, as matrizes: 
A= 
248
621
532
e 
I= 
100
010
001
 
Vamos calcular o produto A. I: 
 
A.I= 
248
621
532
. 
100
010
001
 
A.I= 
248
621
532
= A 
Em seguida, vamos calcular o 
produto 
 
I.A= 
100
010
001
. 
248
621
532
 
 
I.A= 
248
621
532
=A 
Observe que, neste caso particular, o 
produto destas duas matrizes é 
comutativo e vale a propriedade: 
A.I=I.A=A 
 
Esta matriz I é um exemplo da 
chamada matriz identidade. De um 
modo geral, uma matriz identidade 
de ordem n é a matriz quadrada In 
onde todos os elementos da diagonal 
principal são iguais a 1 e os outros 
elementos são nulos. Para qualquer 
matriz quadrada An vale a 
propriedade. 
 
An.In= In.An=An 
 
Potenciação de matrizes 
Efetuamos uma potenciação de 
matrizes quadradas com expoente 
natural por meio de multiplicações de 
uma matriz por ela mesma. Por 
exemplo, considere a matriz: 
A= 
10
25
 
Vamos calcular A
2
: 
 
A
2
=A.A 
A
2
 = 
10
25
.
10
25
 
A
2
= 
10
1225
 
 
Generalizando, dada uma matriz A, 
quadrada de ordem n, e a um número 
natural, definimos: 
 
1,.1
1
0
AAA
AA
IA n
 
 
Exemplo 
 
São dadas as matrizes 
A= 
52
31
 e B= 
31
18
 
Determine a matriz X tal que AX = 
B. 
 
Resolução 
Primeiro vamos descobrir o tipo de 
matriz X, isto é, seu número de 
linhas m e de colunas n. 
 
 
 
A partir do esquema anterior 
concluímos que a matriz x é do tipo 2 
x 1. Podemos então indicá-la da 
seguinte maneira: 
 
X=
y
x
 
Temos AX=B, ou seja: 
52
31
y
x
= 
31
18
 
Efetuando a multiplicação indicada, 
temos: 
yx
yx
52
3
= 
31
18
 
Para que essas matrizes sejam iguais, 
deve-se ter: 
 
3152
183
yx
yx
 
Resolvendo esse sistema linear 
encontramos: 
x= 3 e y= 5 
Logo a matriz procurada é: 
 
X= 
5
3
 
Exercícios de Aula 
 
01. (FGV) A, B e C são matrizes 
quadradas de ordem 3, e I é a matriz 
identidade de mesma ordem. 
Assinale a alternativa correta: 
 
(A) (A+B)
2
=A
2
+2AB+B
2
 
(B) B.C=C.B 
(C) (A+B).(A-B)=A
2
-B
2
 
(D) C.I=C 
(E) I.A=I 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. (MACK) Considerando o produto 
das matrizes, 
1
10
. 
01
1a
= 
10
01
 o 
valor de α é 
(A) 0 
(B) -1 
(C) 2 
(D) -2 
(E) 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03. (UNIFESP) Uma indústria 
farmacêutica produz, diariamente, p 
unidades do medicamento X e q 
unidades do medicamento Y, ao 
custo unitário de r e s reais, 
respectivamente. Considere as 
matrizes M, 1 x 2, e 
N, 2 x 1: 
M = [2p q] e N = 
s
r
2
 
A matriz produto M . N representa o 
custo da produção de 
(A) 1 dia. 
(B) 2 dias. 
(C) 3 dias. 
(D) 4 dias. 
(E) 5 dias. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tarefa Básica 
 
01 (UEL) Sendo A uma matriz mxn e 
B uma matriz pxq é correto afirmar 
que 
(A) (A
t
)
t
 = A e (B
t
)
t
 = B. 
(B) sempre é possível efetuar (A + 
B). 
(C) se n=p, então A.B=B.A. 
(D) sempre é possível efetuar o 
produto A. B. 
(E) se n=p, então A.B
t
=B
t
.A. 
 
02. (VUNESP) Se A, B e C forem 
matrizes quadradas quaisquer de 
ordem n, assinale a única alternativa 
verdadeira. 
(A) AB=BA. 
(B) Se AB=AC, então B=C. 
(C) Se A
2
 = On (matriz nula), então 
A = On. 
(D) (AB)C=A(BC). 
(E) (A+B)
2
=A
2
+2AB+B
2
. 
 
03. (PUCCAMP-adaptado) Em um 
laboratório, as substâncias A, B e C 
são a matéria-prima utilizada na 
fabricação de dois medicamentos. O 
Marcelo-ax é fabricado com 5 g de 
A, 8 g de B e l0g de C e o Luciano-
ax é fabricado com 9g de A, 6 g de B 
e 4 g de C. Os preços dessas 
substâncias estão em constante 
alteração e, por isso, um funcionário 
criou um programa de computador 
para enfrentar essa dificuldade. 
Fornecendo-se ao programa os 
preços X, Y e Z de um grama das 
substâncias A, B e C, 
respectivamente, o programa 
apresenta uma matriz C, cujos 
elementos, correspondem aos preços 
de custo da matéria-prima do 
Marcelo-ax e do Luciano-ax. Essa 
matriz pode ser obtida de 
(A) 
ZYX
1085
+ 
ZYX
469
 
(B) 
469
1085
. 
Z
Y
X
 
(C) 
ZYX
1085
+ 
469
ZYX
 
(D) 
ZYX
1085
. 
4
6
9
 
(E) 
ZYX
. 
59
86
104
 
 
04. (UFU) Seja A uma matriz de 
terceira ordem com elementos reais. 
Sabendo-se que 
A. 
0
0
1
= 
2
4
1
 
conclui-se que 1,4 e 2 são os 
elementos da 
(A) diagonal da transposta de A. 
(B) primeira coluna da transposta de 
A. 
(C) primeira linha da transposta de 
A. 
(D) última linha da transposta de A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas da tarefa Básica 
 
01. (A) 
02. (D) 
03. (B) 
04. (C) 
Frente 2 – Aula 22 
DETERMINANTES 
 
Introdução 
 
Sistemas de equações simples, com 
duas equações e duas incógnitas 
geralmente podem ser resolvidos por 
substituição mas, para sistemas com 
mais incógnitas e equações, o uso 
deste método toma-se muito 
trabalhoso. 
Para sistemas gerais, formados por 
um número arbitrário de equações do 
1 .°grau, existem vários outros 
métodos gerais de resolução. Em um 
deles, é usado o chamado 
determinante, que é um número 
associado a matrizes quadradas de 
acordo com algumas regras especiais. 
Dada uma matriz A, representamos o 
seu determinante como det A ou 
como 
A
. 
Quando representamos os elementos 
de uma matriz, o seu determinante 
pode ser representado por esses 
elementos entre duas barras verticais. 
Por exemplo, para uma matriz A de 
ordem 2, temos: 
 
Det A= 
2221
1211
aa
aa 
 
Por definição, o determinante de uma 
matriz de ordem 1 é igual ao único 
elemento dessa matriz. 
 
A= [a11] det A= a11 
 
Determinante de ordem 2 
 
Vamos definir um determinante de 
ordem 2. Considere uma matriz 
quadrada de ordem 2: 
2221
1211
aa
aa 
 
Chamamos de determinante de A à 
um número associado à matriz A detal modo que: 
 
 
 
Por exemplo: 
51
23
= 3 . 5- 1 .2 = 13 
 
Determinante de ordem 3 
 
Considere uma matriz quadrada de 
ordem 3: 
A= 
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
 
 
O determinante de A é um número 
associado à A que é dado pela 
expressão: 
 
 
 
Esta expressão pode ser obtida pela 
chamada regra de Sarrus. 
Inicialmente copiamos do lado 
direito de A a primeira e a segunda 
coluna de A. 
 
 
 
Em seguida, efetuamos os produtos 
das diagonais de três elementos 
paralelos à diagonal principal: 
 
 
 
Depois efetuamos os produtos das 
diagonais de três elementos paralelos 
à diagonal secundária e trocamos os 
sinais dos resultados: 
 
 
 
Finalmente, o determinante de A é a 
soma algébrica desses seis produtos 
obtidos. 
 
Exemplo 
 
Calcular o determinante da matriz: 
 
M= 
203
154
231
 
 
Resolução 
 
 
 
det M = 10-9+0-30-0-24= -53 
 
Regra Prática 
A regra de Sarrus pode também ser 
aplicada diretamente sem a 
necessidade de copiar as duas 
colunas. Observe as figuras 
seguintes: 
 
 
 
Exercícios de Aula 
 
01. Calcule os determinantes: 
a) 
34
25
 
b) 
42
71
 
02. Calcule os determinantes abaixo. 
a) 
122
803
211
 
 
 
 
 
b) 
732
114
325
 
 
 
 
 
3. (VUNESP) Considere a matriz 
A = (aij)2x2, definida por aij=-l+2i+j, 
para 1 i 2, l j 2. O 
determinante de A é: 
(A) 22 
(B) 2 
(C) 4 
(D)-2 
(E) 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04. (UEL) O determinante 
 
10
00
101
x
x
 
é positivo sempre que: 
(A) x>0 
(B) x>l 
(C) x<1 
(D) x<3 
(E) x>-3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tarefa Básica 
 
01. Calcule os determinantes das 
seguintes matrizes: 
a) 
51
32
 
b) 
63
42
 
c) 
241
112
113
 
d) 
411
132
123
 
 
02. (MACK) Se A = (aij) é uma matriz 
quadrada de terceira ordem tal que 
aij= 
ji se0,
ji se3,
 então o 
determinante de A vale: 
(A) -27 
(B) 27 
(C) 
27
1
 
(D) - 
27
1
 
(E) zero 
 
 
03. (FUVEST) Resolver a equação 
331
43
1
x
xx
= -3 
 
(A) {l;3} 
(B) {- l;2} 
(C) {2;4} 
(D) {-2;4} 
(E) {-1/2;2} 
 
04. (MACK) A soma das raízes da 
equação é: 
112
110
011
x
x
x
= 2 
(A) -2 
(B) 0 
(C) -1 
(D) 1 
(E) 2 
 
05. (UEL) Sejam as matrizes A = 
(aij)3x2, tal que, aij = 2i - 3j e B = 
(bjk)2x3, tal que bJk = k-j. O 
determinante da matriz A.B é igual a 
(A)-12 
(B) -6 
(C) 0 
(D) 6 
(E) 12 
 
06. Dadas as matrizes 
A= 
011
102
 e 
B=
20
11
11
, o determinante da 
matriz A.B é igual a 
 
(A) 12 
(B) 4 
(C) 0 
(D) -4 
(E) -12 
 
 
 
Respostas da Tarefa Básica 
01. a) 7 
b) 0 
c) 10 
d) 20 
02. (A) 
03. (E) 
04. (C) 
05. (C) 
06. (D) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Frente 2 – Aula 23 
 
CÁLCULO GERAL DE 
DETERMINANTES 
 
Cofator 
 
Considere uma matriz quadrada A de 
ordem n > 1, chamamos de 
determinante da matriz reduzida de A 
pelo elemento aij ao determinante da 
matriz que obtemos eliminando de A a 
linha i e a coluna j. Por exemplo, 
considere a matriz abaixo a qual 
vamos calcular o determinante da 
matriz reduzida de A pelo elemento 
a23. 
 
 
 
Em primeiro lugar, eliminamos a linha 
2 e a coluna 3. Em seguida, 
calculamos o determinante da matriz 
obtida: 
D23= 
782
541
123
 
 
Calculando esse determinante, 
obtemos: 
D23= 238 
 
Dada uma matriz quadrada A de 
ordem n> 1 ,chamamos de cofator ou 
complemento algébrico do elemento 
aij a um número representado com Aij 
e dado por: 
Aij= (-1)
i+j
. Dij 
 
Nessa expressão, Dij é o determinante 
da matriz reduzida de A pelo elemento 
aij. 
 
Teorema de Laplace 
 
O determinante de uma matriz 
quadrada de ordem n> 1 é igual a 
soma dos produtos dos elementos de 
uma linha (coluna) qualquer pelos 
respectivos cofatores. 
Como exemplo, vamos calcular o 
determinante da matriz M: 
 
 
 
Desenvolvendo pela 2ª coluna, temos: 
det M= 3 .A12 +0 . A22 + 0 . A32 +1 . 
A42, 
A12= (-1)
1+2
 . 
430
211
101
= (-1).(-
5)=5 
A42= (-1)
4+2
. 
211
101
052
= -17 
 
Logo: 
det M= 3.5 + 1 . (- 17) = 15-17=- 2 
 
Teorema de Jacobi 
 
Considere, por exemplo, a seguinte 
matriz: 
A= 
511
123
021
 
 
Calculando o determinante dessa 
matriz obtemos: 
 
detA=-23 
 
Vamos construir uma nova matriz B, 
de modo que as duas primeiras linhas 
de B sejam iguais às duas primeiras 
linhas de A. Para obter a terceira linha 
de B vamos multiplicar a primeira 
linha de A por 2, a segunda linha por 
(-1) e, em seguida, adicionar os 
resultados à terceira linha. 
B= 
510124132
123
021
= 
432
123
021
 
 
Dizemos que a terceira linha de B é 
uma combinação linear das linhas de 
A. Qual é o determinante de B? 
Vamos efetuar o cálculo: 
 
 
= (8 -4 + 0) - (0 + 3 + 24) = - 23 
Portanto, det B= det A 
Podemos agora enunciar essa 
propriedade, que é denominada 
Teorema de Jacobi. 
Se a uma fila da matriz A qualquer, 
adicionamos uma combinação linear 
das demais, o determinante da nova 
matriz B, assim obtida, é igual ao de 
A. 
A aplicação do Teorema de Jacobi é 
fundamental para facilitar o cálculo 
geral de determinantes, na medida em 
que torna menos trabalhosa a 
aplicação do Teorema de Laplace. 
 
Determinante de matriz 
triangular 
 
Observe as matrizes seguintes: 
 
 
 
Nessas matrizes, todos os elementos 
situados de um mesmo lado da 
diagonal principal são nulos. Matrizes 
como essas são denominadas matrizes 
triangulares. 
O determinante de uma matriz 
triangular é igual ao produto dos 
elementos de sua diagonal principal. 
 
Exemplo: 
B=
4000
2300
3410
7512
 
det B = 2 . (-1). (-3). 4 = 24 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios de Aula 
 
01. Calcule o determinante 
2301
1421
1102
2013
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
02. (UEL) O valor do determinante 
1000
3200
1110
2222
é 
(A) -4 
(B) -2 
(C) 0 
(D) 2 
(E) 4 
 
03. (FUVEST) O valor do 
determinante 
4321
3321
2221
1111
é 
(A) 2 
(B) 1 
(C) 0 
(D) -1 
(E) -2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04. (FUVEST) Seja 
u= 
x
x
x
x
000
100
110
021
os valores reais de 
x, para 
os quais u
2
-2u+1=0 são 
(A) x =- 1 ou x= -2. 
(B) x = 1. 
(C) x = l ou x = 2. 
(D) x = -1. 
(E) x = 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tarefa Básica 
 
01. (FUVEST) Calcule os 
determinantes: 
 
A= 
110
110
01 a
 e B=
4110
3000
411
3001
a
 
 
02. (FATEC) Calcule x na equação 
1111
24010
2505,7
10
1
02 xx
= 0 
 
 
 
 
 
03. (PUCSP) O determinante 
 
2100
110
001
300
x
x
x
representa o 
polinômio 
(A) -2x
3
+x
2
+3 
(B) -2x
3
-x
2
+3 
(C) 3x
3
+x-2 
(D) 2x
3
+x
2
-3 
(E) 2x
3
-x
2
+3 
 
04.(UFSCAR) Sejam a matriz A 
x
kx
xx
x
1000
000
0100
0010
0001
 
e a função f: tal que f(x) = 
det A e f(-2)=8, então k vale 
(A) -1 
(B) -2 
(C) 1 
(D) 5 
(E) 8 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas da Tarefa Básica 
 
01. det A=2; det B=-6 
02. x= -2 ou x= -1/2 
03. (A) 
04. (D) 
 
 
 
 
 
 
Frente 2 – Aula 24 
MATRIZ INVERSA 
 
Definição 
 
Sendo M uma matriz de ordem n e In a 
matriz identidade de ordem n, define-
se: 
 
M
-1
 é inversa de M M.M
-1
=In= M
-
1.M 
 
Existência da Inversa 
 
det M≠0 M é invertível 
 ( não singular) 
det M=0 M é não invertível 
 (singular) 
 
Regra Prática 
 
 Calcular det(M) 
 Determinar a matriz dos 
cofatores de M M
’
 
 Determinar a matriz adjunta 
de M 
t'MM
 
 Aplicar a fórmula:
M.
Mdet
1
M 1
 
Observação 
 
Para encontrar um elemento da inversa 
de M, aplicar a fórmula: 
Mdet
deMcofatordoa
deMb
ji1
ij
 
 
Propriedades das matrizes inversas 
 (A-1)-1=A 
 (A.B)-1=B-1.A-1 
 (At)-1=(A-1)t 
 det (A-1)=
Adet
1
 
 
Exercícios de Aula 
01. (FEI) – Se B é a matriz inversa de 
A=
31
21
então 
(A) B=
11
32
 
(B) B=
13
12
 
(C) B=
11
23
 
(D) B=
21
13
 
(E) B=
21
13
 
 
 
 
 
 
02. (FEI) – A inversa da matriz 
110
010
001
A
é: 
(A) 
110
010
001
A 1
 
(B) 
001
010
100
A 1
 
(C) 
010
100
001
A 1
 
(D) 
000
000
111
A 1
 
(E) 
220
112
112
A 1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
03.(ITA) – Sendo 
213
230
121
A
então o 
elemento da terceira linha e primeira 
coluna, de sua inversa, será igual a 
(A)5/8 (B)9/11 (C)6/11 (D)-2/13 
(E)1/13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
04. (MACK) – Se det A=5 e 
5
2
5
1
a
5
4
A 1 então a é igual a 
(A) -8/5 (B) 0 (C) 1/5 (D) -3/5 (E) 
2/5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo A e B matrizes invertíveis de 
mesma ordem, resolva as equações 5 a 
7 
05. A.X = B 
 
 
 
 
 
06. X. A = B 
 
 
 
 
07. (A.X)
-1
=A
-1
.B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
08. (FGV-2002) – A é uma matriz 
quadrada de ordem 2 e det (A) =7. 
Nessas condições, det(3A) e 
det(A
-1
)valem respectivamente: 
(A) 7 e -7 (B) 21 e 1/7 (C) 21 e -7 
(D) 63 e -7 (E) 63 e 1/7 
 
 
 
 
 
 
 
Tarefa Básica 
01. (FGV-EAESP) – A matriz 
35
1x
A
é inversa de 
2y
13
B
. Nessas condições, 
podemos afirmar que a soma x+y vale: 
(A) -1 
(B) -2 
(C) -3 
(D) -4 
(E) -5 
 
02.(UNESP-2005) – Os valores de k 
para que a matriz 
3k1
31k
101
A
não admita inversa são: 
(A) 0 e 3 
(B) 1 e -1 
(C) 1 e 2 
(D) 1 e 3 
(E) 3 e -1 
 
03. (MACK) – Se B é a matriz inversa 
de 
42
53
A
então B é: 
(A) 
4
1
2
1
5
1
3
1
 
(B) 
42
53
 
(C) 
2
3
1
2
5
2
 
(D) 
2
3
1
2
5
2
 
(E) 
35
2
1
2 
 
04. (UNITAU) – Assinale a 
alternativa que indica o conjunto de 
valores de x para os quais a matriz 
x110
213
21x
é inversível. 
(A) {x≠3 e x≠2} 
(B) {x≠-2 e x≠3} 
(C) {x=1 e x=-1} 
(D) {x=0 e x≠2} 
(E) {x=2 e x≠0} 
 
05. (UNISA) – Dada a matriz A=
111
212
211
. Seja A
-1
 a matriz 
inversa de A. A matriz soma A+ A
-1
 é: 
(A) 
010
100
001
 
(B) 
012
002
200
 
(C) 
120
010
002
 
(D) 
100
021
010
 
(E) n.d.a. 
 
07. (PUC) – Sendo A e B matrizes 
invertíveis de mesma ordem e X uma 
matriz tal que (X.A)
t
=B, então: 
(A) X=A
-1
.B
t 
(B) X=B
t
.A
-1 
(C) X=(B.A)
t 
(D) x=(AB)
t
 
(E) n.d.a 
 
08. (FAAP) – Considere as matrizes 
y
x
B
e C=
y6x5
y5x4
. Então,a 
inversa da matriz A, tal que AB=C, é: 
(A) 
54
65
 
(B) 
45
56
 
(C) 
65
54
 
(D) 
45
56
 
(E) não admite inversa 
 
09.(MACK) – Dada a matriz A=
12
k2
, a soma dos valores de K 
para os quais det A = det A
-1
 é: 
(A) 2 
(B) -2 
(C) 1 
(D) -1 
(E) 0 
 
10. (FGV) – A e B são matrizes 
quadradas de ordem 2, com 
determinantes não-nulos 
(det(A)≠0 e det(B) ≠0) 
a) Calcule (A+B).(A-B) 
b) Que condições devem ser 
satisfeitas por A e B de modo 
que (A+B)
2
=A
2
+2.A.B+B
2
? 
c) Calcule 
)Adet(
)Adet(
 
d) Se B for a inversa de A, qual 
a relação entre o 
determinante de B e o de A? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas da Tarefa Básica 
 
01. (C) 
02. (C) 
03. (C) 
04. (A) 
05. (D) 
06. (B) 
07. (B) 
08. (E) 
09.(B) 
10. a) A
2
-AB + BA – B2 
 b) AB=BA 
 c) 1 
 d) det B = 
Adet
1