Números Complexos e Fasores

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
CENTRO DE TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
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PRÁTICA 02 – RESISTÊNCIA, REATÂNCIA E IMPEDÂNCIA: 
2.1. Os Números Complexos: 
Definição: 
 
Denomina-se número complexo todo número pertencente ao corpo complexo, definido 
por: 
 
 √ 
 
O corpo complexo é dito algebricamente fechado, uma vez que o mesmo possui todas as 
raízes de polinômios de uma variável com coeficientes em . Isto quer dizer que a álgebra 
que relaciona os elementos complexos não requisita a aplicação de outros elementos 
estranhos a este conjunto para sua aplicação. 
 
Um Pouco de História: 
 
Alguns matemáticos europeus, em particular os italianos Gerolamo Cardano e Rafaello 
Bombelli, introduziram os números complexos na Álgebra, durante o Século XVI, quando 
eles assumiram a existência de raízes quadradas de números negativos, apesar de 
considerarem tais raízes “números impossíveis” e, assim, denominá-los “números 
imaginários”. Por esse motivo, até hoje perdura o nome de números imaginários quando 
nos referimos a raízes quadradas de números negativos. Postulando a existência de raízes 
quadradas de inteiros negativos, e assumindo que é solução da equação , ou 
seja, axiomatizando–se que satisfaz a relação – , pode-se efetuar operações 
envolvendo e os números reais. Dessa forma, para qualquer número real positivo a, a raiz 
quadrada do número negativo – é √ , ou seja, √ √ . Dados os números reais e 
 , podemos multiplicar por e obter , e adicionar a c para obtermos . Em 
geral, qualquer número complexo é escrito como , onde c é denominado “parte 
real” e “parte imaginária”. Portanto, obtemos números da forma formando o 
conjunto dos números complexos. No conjunto dos números complexos, podemos 
adicionar e multiplicar formando uma estrutura algébrica denominada corpo dos números 
complexos. Euler, após estudos referentes à aplicação dos complexos demonstrou que há 
uma relação entre duas modalidades de expressão dos referidos números, dada por: 
 
 ( ) ( ) 
 
Operações Básicas com os Números Complexos: 
 
O número complexo é representado num plano, denominado “plano complexo”, conforme 
mostra a figura a seguir: 
 
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(Representação de um número complexo na forma vetorial) 
 
Conforme explicitado anteriormente, os complexos possuem relações matemáticas 
fechadas, ou seja, operações algébricas com números complexos retornam números 
complexos. A seguir, serão descritas as principais operações algébricas envolvendo 
números complexos. 
 
Para os exemplos, serão adotadas as notações a seguir: 
 
(i) Forma Retangular: 
 
 
 
(ii) Forma Trigonométrica: 
 
 | |( ) 
 
(iii) Forma Exponencial: 
 
 | | 
 
(iv) Forma Polar: 
 
 | | 
 
 
(Para os exemplos, temos que: | | 
 e | | 
 .) 
 
 Adição e subtração: 
 
Para efetuarmos a adição ou a subtração, recomenda-se a utilização da representação 
retangular, pela facilidade de execução oriunda de seu uso: 
 
 ( ) ( ) 
(soma e subtração de números complexos) 
 
 
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 Multiplicação e Divisão: 
 
Para efetuarmos a multiplicação ou a divisão, recomenda-se a utilização de representações 
que usem o argumento angular, por valorizarem as propriedades básicas das potências: 
 
 | || | 
 ( ) 
(multiplicação de números complexos) 
 
 
 
 
| |
| |
 ( ) 
(divisão de números complexos) 
2.2. Análise Fasorial: 
Definição do Fasor: 
 
Um fasor ou vetor de rotação é o nome utilizado para a aplicação de um vetor 
bidimensional cuja função é representar uma onda em movimento harmônico simples 
(MHS). O modelo matemático de uma onda em MHS é expresso pela seguinte equação: 
 
 ( ) ( ) 
 
Percebe-se que a equação anterior representa a projeção de um vetor um movimento 
circular uniforme, cujo equacionamento é dado por: 
 
 ⃗⃗ ( ) ( ( ) ( ) ) 
 
Desse modo, percebe-se que é possível representar uma onda de amplitude máxima e 
ângulo de fase a partir do vetor girante que prefaz tal ângulo com o eixo das abcissas 
no sentido direto. 
 
(Fasor e onda sinusoidal que o mesmo representa) 
 
A notação para o fasor é dada da seguinte forma: 
 
 ( ) ( ) 
 
A velocidade angular deve ser informada previamente, pois, conforme pode ser percebido 
na notação do fasor, não há explicitação dessa velocidade. O fasor, embora seja a 
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aplicação de um vetor, não deve ser confundido com o mesmo, pois o fasor, diferente do 
vetor, admite a operação de divisão. 
 
Relação entre o Fasor e os Números Complexos: 
 
Operar com fasores é similar a operar com números complexos na forma polar, onde a 
parte rela representa a oscilação em MHS da onda original e a parte imaginária a 
componente vertical do vetor girante. Isto significa dizer que as operações referentes à 
multiplicação e divisão são extremamente simplificadas pela utilização de fasores: 
 
( ) ( ) ( ) 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Já com relação à soma e subtração é recomendado que sejam efetuadas na forma 
retangular dos números complexos. 
 
2.3. Definição de Reatância e Impedância 
Até agora, todos os circuitos avaliados eram puramente resistivos, isto é, não possuíam 
elementos armazenadores de energia. Isto faz com que ocorra defasagem no sistema em 
questão, oriunda do armazenamento de energia, resultando numa grandeza fasorial definida 
como impedância. Desse modo, impedância nada mais é que a relação entre o valor eficaz da 
diferença de potencial entre dois pontos de circuito em consideração, e o valor eficaz da 
corrente elétrica resultante no circuito. 
 
A impedância não é um fasor, por se tratar de um vetor estático. Contudo, o mesmo admite o 
uso da notação polar, expressa a seguir: 
 
 √ (
 
 
) | | √ 
 
A impedância compreende uma parcela real, correspondente à resistência e uma parcela 
imaginária, correspondente à reatância, determinada pelos elementos armazenadores de 
energia, ou seja, pelos capacitores e pelos indutores. 
 
A Impedância Capacitiva: 
 
Um capacitor apresenta sempre reatância negativa, cuja fórmula é expressa por: 
 
 
 
 
 
 
A Impedância Indutiva: 
 
Um indutor apresenta sempre reatância positiva, cuja fórmula é expressa por: 
 
 
 
 
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2.4. Interpretação Fasorial da Tensão e da Corrente Elétrica 
A tensão em circuitos com corrente alternada é dada pela expressão: 
 ( ) ( ) 
Desse modo, o fasor correspondente à equação anteriormente apresentada é dado por: 
 
Assim, a lei de Ohm pode ser estendida ao nível fasorial, permitindo a seguinte notação: 
 
| |
| |
 
 
√ 
 ( 
 (
 
 
)) 
2.5. Associação de Impedâncias: 
De modo similar à análise da associação puramente resistiva, a combinação sistemática de 
impedâncias num circuito segue o mesmo padrão, ou seja, conforme será explicitado a seguir: 
Impedâncias em série: 
 ∑ 
 
 
 
Impedâncias em paralelo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∑
 
 
 
 
 
2.6. Caracterização dos Circuitos quanto à Impedância: 
Em termos do teor da impedância equivalente, é possível caracterizar o circuito nas 
configurações enumeradas a seguir: 
2.6.1.: Circuito Puramente Resistivo: 
Neste caso, a tensão está em fase com a corrente, pois a resistência não gera defasagem entre 
os dois. 
2.6.2.: Circuito Puramente Capacitivo: 
Neste caso, aplicando a lei de Ohm generalizada, tem-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
| |
 
Perceba que nestecaso, ocorre um avanço de da corrente em relação à tensão. 
 
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2.6.3.: Circuito Puramente Indutivo: 
Aqui, novamente pela lei de Ohm generalizada, tem-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
| |
 
Logo, ocorre um atraso de da corrente em relação à tensão. 
2.6.4.: Circuito Misto Predominantemente Capacitivo: 
Por razões de ordem natural, obter um elemento exclusivamente capacitivo é impossível, dado 
o fato que todo ente material apresenta resistência. Logo, é fato que a impedância de um 
circuito misto RC é dada por (a mesma análise seria referente ao caso RLC predominantemente 
capacitivo, utilizando a reatância equivalente): 
 √ 
 
 
Assim, é fato que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
Novamente, ocorre um avanço da corrente em relação à tensão. 
2.6.5.: Circuito Misto Predominantemente Indutivo: 
De modo análogo ao explicitado na seção 2.6.4, obter um elemento exclusivamente indutivo é 
empiricamente impraticável, dado o fato que todo ente material apresenta resistência. Logo, é 
fato que a impedância de um circuito misto RL é dada por (a análise seria similar ao caso RLC 
de predominância indutiva, utilizando a reatância equivalente): 
 √ 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
Aqui, ocorre um atraso da corrente em relação à tensão. 
 
 
 
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2.7. Procedimento Experimental: 
PAINEL A SER UTILIZADO: MODELO B 
Identifique os seguintes dispositivos: 
 Auto-transformador com secundário 
 Varivolt (transformador variável) 
 Voltímetro de 0-15V 
 Voltímetro de 0-100V 
 Voltímetro de 0-500V 
 Amperímetro de 0-1A 
 Resistor de 22Ω 
 Capacitor de 30µF 
 Indutância de 120mH 
 
2.7.1 IMPEDÂNCIA DE CIRCUITOS PURAMENTE INDUTIVOS 
Monte o circuito a seguir: 
 
 
 
 
Siga os seguintes procedimentos (considere a frequência local igual a 60 Hz): 
2.7.1.1 Através da expressão da reatância indutiva (parte conceitual) determine o valor de . 
2.7.1.2 Após a inspeção do circuito pelo responsável do laboratório ajuste o varivolt para a 
posição zero e ligue o disjuntor da bancada. 
2.7.1.3 Com o auxílio do voltímetro de 0 – 100V regule cuidadosamente o varivolt de modo 
que o voltímetro indique o valor de 40V. 
2.7.1.4 Utilizando os valores indicados no voltímetro e amperímetro determine o valor do 
módulo da impedância do circuito. 
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2.7.1.5 Faça a representação da impedância Z nas formas retangulares e polar. 
2.7.1.6 Desligue o disjuntor da bancada, ajuste o varivolt para a posição zero e compare o 
valor da reatância calculada no procedimento 2.7.1.1 com o valor obtido no 
procedimento 2.7.1.4. (Faça comentários pertinentes). 
Resultados 
2.7.1.1 ( ) 
 
 
 
2.7.1.4 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
2.7.1.5 
 
 
2.7.1.6 
 
 
 
 
 
 
2.7.2 IMPEDÂNCIA DE CIRCUITOS PURAMENTE CAPACITIVOS 
2.7.2.1 Substitua a indutância anterior pelo capacitor de 30µF. 
2.7.2.2 Através da expressão da reatância capacitiva determine o valor de . 
2.7.2.3 Após a inspeção do circuito ligue o disjuntor da bancada e com o auxílio do voltímetro 
de 0 – 100V ajuste cuidadosamente o varivolt de modo que o voltímetro indique o 
valor de 70V. 
2.7.2.4 Utilizando os valores indicados no voltímetro e amperímetro determine o valor do 
módulo da impedância do circuito. 
2.7.2.5 Faça a representação da impedância Z nas formas retangulares e polar. 
2.7.2.6 Desligue o disjuntor da bancada, ajuste o varivolt para a posição zero e compare o 
valor da reatância calculada no procedimento 2.7.2.1 e 2.7.2.4. (Faça comentários 
pertinentes). 
 
 
 
 
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9 
 
Resultados 
 2.2.2 ( ) 
 
 
 
2.2.4 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
2.2.5 
 
 
 
2.7.3 IMPEDÂNCIA DE CIRCUITOS RL SÉRIE 
Monte o circuito representado na figura a seguir: 
 
 
 
 
2.7.3.1 Através da expressão da impedância de circuito RL série determine o valor do módulo 
de . 
2.7.3.2 Faça a representação da impedância nas formas retangulares e polar. 
2.7.3.3 Por que a soma algébrica de R e não representa o valor correto do módulo da 
impedância. 
2.7.3.4 Após a inspeção do circuito ligue o disjuntor a ajuste o varivolt de modo que o 
voltímetro indique o valor de 40V. 
2.7.3.5 Utilizando os valores indicados nos instrumentos determine o valor do módulo da 
impedância do circuito. 
2.7.3.6 Desligue o disjuntor da bancada, ajuste o varivolt para a posição zero e compare os 
valores obtidos nos procedimentos 2.7.3.1 e 2.7.3.4. (Faça comentários pertinentes). 
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Resultados 
2.7.3.1 ( ) 
 
 
 
 
2.7.3.2 
 
 
2.7.3.5 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
2.7.4 IMPEDÂNCIA DE CIRCUITOS RC SÉRIE 
2.7.4.1 Substitua a indutância do circuito anterior pelo capacitor de 30µF. 
2.7.4.2 Através da expressão de circuito RC série determine o valor do módulo de . 
2.7.4.3 Faça a representação da impedância nas formas retangulares e polar. 
2.7.4.4 Ligue o disjuntor da bancada e ajuste o varivolt de modo que o voltímetro indique 60V. 
2.7.4.5 Utilizando os valores indicados nos instrumentos determine o valor do módulo da 
impedância do circuito. 
2.7.4.6 Desligue o disjuntor da bancada, ajuste o varivolt para a posição zero e compare os 
valores obtidos nos procedimentos 2.7.4.2 e 2.7.4.4. (Faça comentários pertinentes). 
Resultados 
2.7.4.2 ( ) 
2.7.4.3 
 
 
2.7.4.5 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
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2.7.5 IMPEDÂNCIA DE CIRCUITOS RLC SÉRIE 
Monte o circuito a seguir: 
 
 
 
 
2.7.5.1 Através da expressão da impedância do circuito RLC série determine o valor do módulo 
de . 
2.7.5.2 Faça a representação da impedância nas formas retangulares e polar. 
2.7.5.3 Após a inspeção do circuito ligue o disjuntor da bancada e ajuste o varivolt de modo 
que o voltímetro indique o valor de 40V. 
2.7.5.4 Utilizando os valores indicados nos instrumentos determine o valor do módulo da 
impedância do circuito. 
2.7.5.6 Desligue o disjuntor da bancada, ajuste o varivolt para a posição zero e compare os 
valores obtidos nos procedimentos 2.7.5.1 e 2.7.5.3. (Faça comentários pertinentes). 
Resultados 
2.7.5.1 ( ) 
2.7.5.2 
 
 
2.7.5.4 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
 
 
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2.7.6 IMPEDÂNCIA DE CIRCUITOS RL PARALELO 
Monte o circuito a seguir: 
 
 
 
 
2.7.6.1 Após a inspeção do circuito ligue o disjuntor da bancada e ajuste o varivolt de modo 
que o voltímetro indique o valor de 14V, anote o valor da corrente total e o valor da 
tensão no voltímetro. 
2.7.6.2 Desligue o disjuntor da bancada e conecte agora o amperímetro de modo a ler 
somente a corrente . Ligue o disjuntor da bancada, ajuste o varivolt para 14V a anote 
o valor da corrente medida. 
2.7.6.3 Desligue o disjuntor da bancada e conecte agora o amperímetro de modo a ler 
somente a corrente . Ligue o disjuntor da bancada, ajuste o varivolt para o valor de 
tensão anterior e anote o valor da corrente medida. 
2.7.6.4 Compare o valor da soma algébrica das correntes com o valor de e faça 
comentários. 
2.7.6.5 Desligue o disjuntor da bancada, retorne o varivolt para a posição zero e elabore o 
diagrama fasorial destas correntes e determine o valor da corrente resultante. O valor 
da corrente resultanterepresenta qual corrente medida no circuito. Faça comentários. 
2.7.6.6 Escreva a representação da corrente total do circuito ( ) na forma retangular e polar. 
Qual a relação entre o valor do módulo da corrente medida no procedimento 2.7.6.1. 
2.7.6.7 Através da expressão da impedância de circuitos RL paralelo determine o valor do 
módulo da impedância . 
2.7.6.8 Utilizando os valores lidos no procedimento 2.7.6.1 determine o valor do módulo da 
impedância do circuito. 
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2.7.6.9 Compare os valores obtidos nos procedimentos 2.7.6.7 e 2.7.6.8. Faça comentários. 
Em seguida, faça a representação da impedância equivalente do circuito nas formas 
retangulares e polar. 
Resultados 
2.6.1 
 ( ) 
 ( ) 
2.6.2 ( ) 
2.6.3 ( ) 
2.6.4 
 
 
 
 
 
2.6.5 
 
 
 
 
 
 
2.6.6 
 
 
2.6.7 ( ) 
2.6.8 ( ) 
2.6.9 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.7.7 IMPEDÂNCIA DE CIRCUITOS RC PARALELO 
2.7.7.1 Substitua a indutância do circuito anterior pelo capacitor de 30µF. 
2.7.7.2 Através da expressão da impedância de circuitos RC paralelo determine o valor do 
módulo da impedância . 
2.7.7.3 Após a inspeção do circuito ligue o disjuntor da bancada e ajuste o varivolt de modo 
que o voltímetro indique o valor de 28V, anote os valore de e . 
2.7.7.4 Desligue o disjuntor da bancada e utilizando os valores anotados no item anterior 
determinando o valor do módulo da impedância do circuito. 
2.7.7.5 Faça a representação da impedância equivalente do circuito nas formas retangular e 
polar. 
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2.7.7.6 Compare os valores de impedância obtidos nos procedimentos 2.7.7.2 e 2.7.7.4. Faça 
comentários. 
2.7.7.8 Conecte o amperímetro agora de moda a ler somente a corrente que circula através do 
capacitor, após supervisão do circuito ligue o disjuntor, ajuste o varivolt de modo que 
o voltímetro indique 28V e anote o valor de . 
Resultados 
2.7.7.3 ( ) 
 
 
 
2.7.7.4 
 ( ) 
 ( ) 
2.7.7.5 ( ) 
2.7.7.6 
 
 
2.7.7.8 ( ) 
 
3. BIBLIOGRAFIA 
 
– Queiroz, Ivanildo Pires, “Manual de Eletrotécnica – Conceitos e práticas de Laboratório”, 
UFC. 
 
Este material foi confeccionado pelos seguintes alunos, orientados pelo professor Alexandre 
Rocha Filgueiras: Aloísio Fernandes Dias, Elcid Rodrigues de Oliveira Filho e Jorge Luiz Wattes 
Oliveira Júnior.