Funcao Exponencial, Logaritmo e Função Logarítmica

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Cálculo Diferencial e Integral I 
FUNÇÃO EXPONENCIAL, LOGARITMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
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Definição 
Dado um número real a (𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1), denomina-se função exponencial de 
base a uma função f de em +
∗
 definida por 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙 ou 𝑦 = 𝑎𝑥. 
 
Características da função exponencial 
• Estritamente monótona 
• Acréscimos iguais dados a x fazem com que 𝑓(𝑥) fique multiplicada sempre pela mesma 
constante. 
 
Gráfico da função exponencial 
(𝒂) 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 
(𝒃) 𝒇(𝒙) = (
𝟏
𝟐
)
𝒙
 
 
(𝒂) 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 
 
𝒙 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 
−3 𝑓(−3) = 2−𝟑 =
1
23
=
1
8
 
−2 
𝑓(−2) = 2−2 = 
−1 
𝑓(−1) = 2−1 = 
0 
𝑓(0) = 20 = 
1 
𝑓(1) = 21 = 
2 
𝑓(2) = 22 = 
3 
𝑓(3) = 23 = 
 
 
 
 
 
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Representação gráfica de 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 
Observe que: 
𝑓(−𝟏𝟎) = 2−𝟏𝟎 =
1
210
=
1
1024
= 0,000976 
𝑓(−𝟓𝟎) = 2−𝟓𝟎 =
1
250
=
1
1.125.899.907.000.000
= 0,00000000000000088 
 
 
(𝒃) 𝒇(𝒙) = (
𝟏
𝟐
)
𝒙
 
 
𝒙 𝒇(𝒙) = (
𝟏
𝟐
)
𝒙
 
−3 𝑓(−3) = (
1
2
)
−3
= (
2
1
)
3
= 8 
−2 𝑓(−2) = (
1
2
)
−2
= 
−1 𝑓(−1) = (
1
2
)
−1
= 
0 𝑓(0) = (
1
2
)
0
= 
1 𝑓(1) = (
1
2
)
1
= 
2 𝑓(2) = (
1
2
)
2
= 
3 𝑓(3) = (
1
2
)
3
= 
 
 
 
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Representação gráfica de 𝒇(𝒙) = (
𝟏
𝟐
)
𝒙
 
Observe que: 
𝑓(𝟏𝟎) = (
1
2
)
𝟏𝟎
=
1
210
=
1
1024
= 0,000976 
𝑓(𝟓𝟎) = (
1
2
)
𝟓𝟎
=
1
250
=
1
1.125.899.907.000.000
= 0,00000000000000088 
 
 
 
Funções de tipo exponencial 𝒇(𝒙) = 𝒃 𝒂𝒙 
 
 
EXEMPLO 1 – CRESCIMENTO POPULACIONAL 
 
Considere os dados para a população de um país no início da década de 80, apresentados na tabela 
abaixo. 
 
t Ano 
População 
(milhões) 
Variação na população (milhões) 
0 1980 67,38 - 
1 1981 69,13 
2 1982 70,93 
3 1983 72,77 
4 1984 74,66 
5 1985 76,60 
6 1986 78,59 
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 Dividindo a população de cada ano pela população do ano anterior obteremos: 
 
População de 1981
População de 1980
= 
69,13
67,38
= 
População de 1982
População de 1981
=
70,93
69,13
= 
O fato de ambos os cálculos darem .......... mostra que a população cresceu aproximadamente .... % 
entre 1980 e 1981 e 1981 e 1982. 
Se você fizer os cálculos semelhantes para outros anos, descobrirá que a população cresceu por um 
fator de, aproximadamente, ........... ou .......... a cada ano. Sempre que se tem um fator de 
crescimento constante (aqui, no caso, 1,026) tem-se crescimento exponencial. 
 
Se t é o número de anos desde 1980, encontre uma fórmula para a população desse país em função 
do tempo. 
 
Solução: 
Quando 𝒕 = 𝟎, 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 = 67,38 
Quando 𝒕 = 𝟏, 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 = 
Quando 𝒕 = 𝟐, 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 = 
Quando 𝒕 = 𝟑, 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 = 
Quando 𝒕 = 𝟒, 𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎çã𝑜 = 
Logo t anos após 1980, a população é dada por 
 𝑷 = 𝒇(𝒕) = 
 
O crescimento populacional fornece um exemplo de crescimento exponencial e tem como modelo 
uma função da forma 𝑃 = 𝑃0𝑎𝑡, onde 𝑷𝟎 é a população inicial e a é igual a 1 mais a taxa de 
crescimento anual expressa como número decimal. (𝒂 = (𝟏 + 𝒓)). 
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EXEMPLO 2 – DEPRECIAÇÃO DE UMA MÁQUINA 
 
Outro exemplo de função exponencial é dado quando consideramos uma máquina cujo valor é 
depreciado no decorrer do tempo a uma taxa fixa que incide sobre o valor da máquina no ano 
anterior. Nessas condições, se o valor inicial da máquina é $ 24.000,00 e a depreciação é de 15% ao 
ano, complete os valores da função de decaimento na tabela abaixo e compare com o gráfico 
abaixo. 
 
Solução: 
 
 
t (anos) V ($) 
0 24.000 
1 
2 
3 
4 
5 
... 
 
15% 𝑑𝑒 24.000 = 
 
 
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Como, a cada ano, a quantidade restante é de 85% da quantidade anterior, temos 
 
𝑉(0) = 24.000 
𝑉(1) = 
𝑉(2) = 
𝑉(3) = 
e, depois de t anos, 𝑽 = 𝒇(𝒕) = 
 
Se r é a taxa de decaimento, então 𝒂 = 𝟏 − 𝒓 e 𝑉 = 𝑉0 𝑎
𝑡 𝑜𝑢 𝑉 = 𝑉0(1 − 𝑟)𝑡 
 
 
A FUNÇÃO DE TIPO EXPONENCIAL 
 
𝒚 é uma função de tipo exponencial de x com base a se 
𝒚 = 𝒚𝟎𝒂𝒙 
onde 𝒚𝟎 é a quantidade inicial (quanto x = 0) e a é o fator pelo qual 𝒚 varia quando x cresce 
em 1 unidade. Se 𝑎 > 1, temos crescimento exponencial; se 0 1 e algum 𝑘 > 0, 
na forma 
𝑦 = 𝑦0𝑎𝑥 ou 𝑦 = 𝑦0𝑒𝑘𝑥 
e qualquer função de decaimento exponencial pode ser escrita, para algum 0 0, na forma 
𝑦 = 𝑦0𝑎𝑥 ou 𝑦 = 𝑦0𝑒−𝑘𝑥 
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Dizemos que y está crescendo ou caindo a uma taxa contínua k. (Por exemplo, k = 0,02 corresponde 
a uma taxa contínua de 2%. 
 
EXEMPLO 3 – Uma xícara de café contém 100 mg de cafeína, que deixa o corpo a uma taxa 
contínua de 17% por hora. 
(a) Escreva uma fórmula para a quantidade A, em mg, de cafeína no corpo t horas 
após beber uma xícara de café. 
(b) Esboce o gráfico da função do item (a). 
 
Solução: 
(a) (b) 
 
 
EXEMPLO 4 – Escrever a função definida por 𝑓(𝑥) = 𝟐𝒙 utilizando a base “𝑒” 
 
𝑓(𝑥) = 𝒂𝒙 → 𝑓(𝑥) = 𝒆𝒌𝒙 
 
𝑎 = 𝑒𝑘 
2 = 𝑒𝑘 
𝑘 =? 
 
 
LOGARITMO 
Observe as seguintes questões: 
1ª) Conhecendo a potência e o expoente, encontrar o valor da base 𝑥, ou seja: 
𝑥3 = 8 
A esta operação vamos atribuir a seguinte notação: 
𝑥 = √8
3
 , 
 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 = 2, 𝑝𝑜𝑖𝑠 23 = 8 
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2ª) Conhecendo a potência e a base, encontrar o valor do expoente 𝑥, ou seja: 
2𝑥 = 8 
A esta operação vamos atribuir a seguinte notação: 
𝑥 = log2 8 
𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥 = 3, 𝑝𝑜𝑖𝑠 23 = 8 
 
 
Definição e existência 
Considerando dois números reais 𝒂 e 𝒃, positivos com 𝑎 ≠ 1. 
Chamaremos logaritmo do número 𝒃 na base 𝒂, o expoente 𝒄, de forma que 𝑎𝑐 = 𝑏. 
Em símbolos: 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 = 𝒄 ↔ 𝒂𝒄 = 𝒃Condição de existência: 𝑏 > 0 𝑒 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1. 
 
Exemplos: 
(𝑎) log2 16 = 
(𝑏) log10 1000 = 
(𝑐) log17 1 = 
(𝑑) log2 7 = 
 
Propriedades operatórias 
Os logaritmos apresentam algumas propriedades que tornam fundamental a sua utilização, na 
simplificação de cálculos. 
1. 𝐥𝐨𝐠𝒂(𝑨 ∙ 𝑩) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝑨 + 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝑩 
2. 𝐥𝐨𝐠𝒂 (
𝑨
𝑩
) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝑨 − 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝑩 
3. 𝐥𝐨𝐠𝒂(𝑨𝒏) = 𝒏 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝑨 
Exemplo: Determine o valor de 𝑥 na equação 
2𝑥 = 7 
 
 
 
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Logaritmo Natural 
 
log𝑒 𝑥 = ln 𝑥 
Exemplos: 
1) ln 𝑒 = log𝑒 𝑒 
Significa: 
 
2) ln 1 = log𝑒 1 = 0 
Significa: 
 
3) ln 𝑒2 = 
 
 
EXEMPLO 5 – Resolva, em , cada uma das seguintes equações. 
(𝑎) 0, 52𝑥 = √2 
(𝑏) 3 − 𝑙𝑛(𝑒3𝑥) = 0 
(𝑐) 𝑒3𝑥−4 = 2 
(𝑑) 𝑙𝑛(2𝑥 − 1) = 3 
 EXEMPLO 6 – O montante de uma aplicação financeira no decorrer dos anos é dado por 
𝑴(𝒕) = 𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎 × 𝟏, 𝟎𝟖𝒕 
onde 𝒕 representa o ano após a aplicação e 𝑡 = 0 o momento em que foi realizada a 
aplicação. 
(a) Calcule o montante após 1, 5 e 10 anos da aplicação inicial. 
(b) Qual o valor aplicado inicialmente? Qual o percentual de aumento do montante 
em um ano? 
(c) Esboce o gráfico de 𝑀(𝑡). 
(d) Após quanto tempo o montante será de $80.000,00? 
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EXEMPLO 7 – Um trator tem seu valor dado pela função 𝑽(𝒙) = 𝟏𝟐𝟓. 𝟎𝟎𝟎 × 𝟎, 𝟗𝟏𝒙, onde 
𝒙 representa o ano após a compra do trator e 𝑥 = 0 o ano em que foi comprado o 
trator. 
(a) Calcule o valor do trator após 1, 5 e 10 anos da compra. 
(b) Qual o valor do trator na data da compra? Qual o percentual de depreciação do 
valor em um ano? 
(c) Esboce o gráfico de 𝑉(𝑥). 
(d) Após quanto tempo o valor do trator será $90.000,00? 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1. Resolva as equações em . 
 
(𝑎) 𝑙𝑜𝑔𝑥( 2𝑥 + 15) = 2 
(𝑏) 𝑙𝑜𝑔1
3
( 𝑥2 − 4𝑥 + 4) = 0 
(𝑐) 𝑙𝑜𝑔 𝑥 = 2,1959 
(𝑑) 𝑙𝑛(𝑥2 − 3) = 0 
(𝑒) 𝑙𝑛(𝑥) = −1 
(𝑓) 17𝑥 = 2 
(𝑔) 20 = 50(1,04)𝑥 
(ℎ) 4. 3𝑥 = 7. 5𝑥 
(𝑖) 50 = 600𝑒−0,4𝑥 
 
2. Um automóvel após a compra tem seu valor depreciado a uma taxa de 10% ao ano. Sabendo 
que o valor pode ser expresso por uma função exponencial e que o valor na compra é de 
$45.000,00: 
 
(a) Obtenha o valor 𝑽 como função dos anos 𝒙 após a compra do automóvel, isto é, 𝑽 = 𝒇(𝒙). 
(b) Obtenha o valor do automóvel após 1, 5 e 10 anos da compra. 
(c) Esboce o gráfico de 𝑽(𝒙). 
(d) Determine a depreciação percentual em 3 anos. 
(e) Após quanto tempo o valor do automóvel será $25.000,00? 
 
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3. O montante de uma aplicação financeira no decorrer dos meses é dado pela tabela a seguir: 
 
Mês após a aplicação inicial (𝒙) 7 8 9 10 
Montante (𝑴) 499.430 506.922 514.525 522.243 
 
Verifique se o montante pode ser expresso como uma função exponencial em relação aos 
meses após a aplicação inicial. Justifique sua resposta e, caso seja possível expressar o 
montante como uma função exponencial, obtenha tal função. 
 
 
 
 
Respostas 
1. (𝑎) 𝑥 = 5 (𝑏)𝑥 = 3 𝑜𝑢 𝑥 = 1 (𝑐)𝑥 = 157 (𝑑)𝑥 = +2 𝑜𝑢 𝑥 = −2 (𝑒)𝑥 =
1
𝑒
 
(𝑓) 𝑥 ≅ 0,24 (𝑔) 𝑥 ≅ −23,4 (ℎ) 𝑥 ≅ −1,1 (𝑖) 𝑥 ≅ 6,212 
2. (𝑎) 𝑉(𝑥) = 45.000 × 0,9𝑥 (𝑏) 𝑉(1) = 40.500,00 ; 𝑉(5) = 26.572,05 ; 
𝑉(10) = 15.690,53 (𝑑) 27,1% (𝑒) 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 5 𝑎𝑛𝑜𝑠 𝑒 7 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 
 
3. É possível expressar o montante como função exponencial, pois 
𝑀(8)
𝑀(7)
=
𝑀(9)
𝑀(8)
=
𝑀(10)
𝑀(9)
≅ 1,015 𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 𝑠𝑒𝑟á 𝑀(𝑥) = 450.000 × 1,015𝑥 
 
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FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 
𝒙 > 𝟎 𝒆 𝒂 > 𝟎 𝒆 𝒂 ≠ 𝟏 
 
O domínio da função logarítmica é o conjunto dos números reais estritamente positivos. 
𝑫(𝒇) = (𝟎 , +∞) = 𝐈𝐑+
∗ 
 
O conjunto imagem da função logarítmica é o conjunto dos números reais. 
𝑰𝒎(𝒇) = 𝐈𝐑 
 
Gráfico 
1º caso: quando 𝒂 > 𝟏 
Exemplo: Construir o gráfico cartesiano da função 
𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙 
𝒙 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙 
1
8
 log2 (
1
8
) = 
1
4
 log2 (
1
4
) = 
1
2
 log2 (
1
2
) = 
1 log2 1 = 
2 log2 2 = 
4 log2 4 = 
 
 
 
 
 
2º caso: quando 𝟎 𝟎 
 
 
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Comparação da representação geométirca entre as funções f e g 
𝒈(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟐 𝒙 𝒆 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐧 𝒙 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
HUGHES-HALLETT, Deborah. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher, 1999. 
MUROLO, Afrânio. BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada à Administração, Economia, 
Contabilidade. São Paulo: Cengage Learning, 2008. 
STEWART, James. Cálculo. São Paulo: Thomson, 2006. 
https://secure.upf.br/apps/academico/aapa/consulta_acervo_biblio.php?codacervo=84917