Tema 2 - Introdução à Estática Dos Fluidos

Prévia do material em texto

Introdução à estática dos fluidos
Conceitos fundamentais de Fenômenos de Transporte (FENTRAN), propriedades dos fluidos, unidades
mais comuns, análise dimensional e estática dos fluidos.
Prof. Gabriel de Carvalho Nascimento
1. Itens iniciais
Propósito
Compreender os Fenômenos de Transporte, a metodologia da análise dimensional e semelhança – bastante
utilizada em diversas disciplinas de Engenharia – e a estática dos fluidos – fundamental para o projeto de
diversas estruturas, como reservatórios, comportas e barragens.
Preparação
Calculadora científica, papel e caneta para a resolução dos exercícios.
Objetivos
Descrever os conceitos fundamentais de FENTRAN e as principais propriedades dos fluidos
Aplicar métodos de análise dimensional e semelhança para cálculo de estimativas
Identificar a resolução de problemas com fluidos em condição estática
O que são fenômenos de transporte?
Para iniciar o seu estudo, assista ao vídeo.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
• 
• 
• 
1. Fenômenos de transporte e propriedades dos fluidos
Introdução
Neste vídeo, conheça mais sobre definição de fluido, conceitos e unidades.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Conceito de Fenômenos de Transporte
Uma das perguntas que você pode estar se fazendo agora é: O que são Fenômenos de Transporte? Essa é
uma dúvida comum aos alunos que iniciam esse estudo, tendo em vista o título genérico.
 
A intenção é justamente essa, pois FENTRAN (simplificação frequentemente adotada) trata do transporte de
grandezas que têm naturezas físicas muito diferentes, mas mantêm entre si um aspecto em comum: o
mecanismo. Em outras palavras, são os fenômenos que, apesar de parecerem não ter nenhuma correlação,
podem ser explicados pelos mesmos princípios e tratados por equações análogas.
Aplicações de FENTRAN na Engenharia
A explicação dada sobre o que é FENTRAN ainda está um pouco vaga? Então, vamos especificar o que será
“transportado” para você aqui:
Quantidade de movimento
No escoamento de fluidos, pode ocorrer “atrito” (tensão cisalhante) entre partículas. Por meio dessa
força, é transferida a quantidade de movimento (produto entre velocidade e massa).
Na mecânica clássica, o produto entre velocidade e massa é: 
Calor
Conforme você provavelmente aprendeu no ensino médio, calor é a transferência de energia térmica
que pode ocorrer por condução, convecção e radiação. Em FENTRAN, aprofundaremos mais esse
conhecimento.
Massa
Quando uma substância é liberada em um meio fluido (como gás metano na atmosfera e lançamento
de efluentes – resíduos provenientes de atividade humana, como esgotos e atividades industriais –
em um rio), há a tendência de ela se espalhar, seja pelo movimento do meio (como o vento na
atmosfera ou a corrente do rio), seja pela agitação microscópica (como a molecular).
Todos esses casos envolvem fluidos, ou seja, líquidos e gases. Assim, o conhecimento sobre eles é
fundamental, desde seu comportamento mecânico até suas propriedades físicas.
Resumindo
FENTRAN trata do transporte de quantidade de movimento, calor e massa. E isso constitui um tema
muito vasto. Portanto, separamos aqui apenas os tópicos que são mais relevantes e necessários para a
formação básica de um engenheiro, mas indicaremos fontes de informações adicionais, caso você tenha
interesse por mais detalhes. 
A seguir, apresentaremos diversas aplicações de FENTRAN, principalmente na Engenharia, enfatizando os
tipos de transporte envolvidos.
Meteorologia e Oceanografia
Nesses dois campos de estudo, são abordados tanto o movimento de
fluidos (vento no ar da atmosfera e corrente e onda nos mares) quanto a
transferência de calor.
Circulação sanguínea (Biomedicina)
O sangue é um fluido, enquanto as artérias e veias são condutos por
onde ele flui. O coração, por sua vez, é uma máquina de fluxo, que
provoca escoamento, caracterizado pela circulação sanguínea.
Geração de energia – turbinas hidráulicas e eólicas
O objetivo das turbinas é converter a energia do fluido em energia
mecânica, que, posteriormente, é transformada em energia elétrica por
um gerador. No caso de hidrelétricas, a energia disponível do fluido é a
potencial gravitacional, correspondente à altura da barragem. Já a
energia eólica é obtida a partir da energia cinética oriunda da velocidade
do vento.
Aerodinâmica
Há mais de um século, a aerodinâmica tem sido objeto de estudo,
principalmente na aeronáutica. Mas, há pouco tempo, os mesmos
conceitos são utilizados no projeto de drones.
Lazer – jet ski e flyboard
Os conhecimentos abordados em FENTRAN são utilizados até para o
lazer. Os projetos de motos aquáticas (jet ski) e, mais recentemente, os
flyboards se baseiam na mecânica dos fluidos para seu
dimensionamento, como, por exemplo, a potência requerida pelo motor.
Lazer
Talvez você não saiba, mas FENTRAN vai continuar acompanhando você
mesmo após as atividades comentadas anteriormente. Os princípios de
transferência de calor estão presentes no churrasco que você prepara,
na pizza que vai ao forno e até no hambúrguer grelhado na chapa.
Construção civil: Ponte
O colapso da ponte de Tacoma, em 1940, foi um marco para a construção
civil, pois ela havia sido projetada para resistir a velocidades de vento
superiores à velocidade no dia do acidente. Percebeu-se que a ação do
vento pode provocar Vibrações Induzidas por Vórtices (VIVs) e levar a
estrutura ao colapso devido à ressonância.
Túnel de vento – aerodinâmica automotiva e de aviação
Túneis de vento são amplamente utilizados no projeto de veículos e
aeronaves. O principal objetivo é medir a força de arrasto (resistência) e a
sustentação.
Engenharia naval
Seja em pequenos barcos de pesca, grandes cargueiros, petroleiros e
cruzeiros ou até submarinos: é necessário garantir a flutuabilidade e o
equilíbrio em todos os tipos de embarcações. Além disso, existe a força
de arrasto, que impacta diretamente na velocidade e na autonomia.
Esses conceitos também são abordados em mecânica dos fluidos.
Esportes
Nos esportes, também tem FENTRAN! Os motivos pelos quais a bola faz
curva em chutes mais fortes e os ciclistas se abaixam para alcançar
maiores velocidades são explicados por conceitos abordados em
mecânica dos fluidos.
Hidráulica, irrigação e drenagem
A hidráulica é uma das principais aplicações de FENTRAN para a maioria
das engenharias, tanto em tubulações quanto em canais. Como
desdobramento, outras disciplinas se baseiam na mesma teoria básica,
como irrigação, drenagem, saneamento, instalações hidráulicas prediais e
hidráulica marítima.
Óleo e gás
A indústria de óleo e gás é um ótimo exemplo para aplicação de
FENTRAN, pois utiliza, praticamente, todos os tópicos abordados.
Refrigeração
Geladeiras, freezers e sistemas de ar-condicionado funcionam com
princípios abordados em transferência de calor.
Dispersão de poluentes
Há uma preocupação cada vez maior com o meio ambiente, o que inclui o
impacto do lançamento de poluentes. A maneira como substâncias se
dispersam na atmosfera ou em corpos hídricos é avaliada com base em
conhecimentos da transferência de massa.
Sustentabilidade
Um dos termos mais valorizados na engenharia moderna é a
sustentabilidade. Essa é a característica que os melhores projetos devem
buscar, seja no aproveitamento da radiação solar, seja no aproveitamento
das baixas temperaturas submarinas.
Sólido X fluido
Neste momento, já é possível ter uma boa noção do que é FENTRAN e perceber que fluido é o tipo de matéria
de nosso interesse. Por isso, é importante defini-lo.
 
O que você lembra sobre a diferença entre sólido e fluido aprendida no ensino médio?
 
Provavelmente, um ou mais dos itens listados a seguir estarão em sua resposta:
Essas características, obviamente, continuam válidas no curso superior. Porém, na Engenharia, precisamos de
mais detalhes para representar a matéria do ponto de vista mecânico, ou seja, em termos de tensões e
deformações.
 
Quando aplicamos uma tensão cisalhante (letra grega ) em um sólido,6
	Verificando o aprendizado
	Questão 2
	4. Conclusão
	Considerações finais
	Podcast
	Conteúdo interativo
	Explore+
	Referênciasele se deforma e resiste a ela, com
um ângulo de distorção , entrando em equilíbrio. Já o fluido não é capaz de resistir em equilíbrio. Então, o
ângulo de distorção continua aumentando pelo tempo que a tensão cisalhante for aplicada, ou seja, ele
"escoa", conforme demonstra a imagem a seguir:
Diferença entre sólido e fluido.
Como a distorção aumenta ao longo do tempo, não é conveniente falar em ângulo , mas sim em taxa de
cisalhamento .
 
Sólido 
Moléculas mais próximas
Maior atração molecular
Tem formato definido
Líquido 
Moléculas mais distantes
Menor atração molecular
Adequam-se ao ambiente
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Isaac Newton (1643-1727) mostrou que, para fluidos mais comuns (como, por exemplo, água, óleos e ar), a
tensão cisalhante é proporcional à taxa de cisalhamento, ou seja:
Em que é uma constante chamada de viscosidade dinâmica.
 
Apesar de ser claro para entendimento, o termo taxa de cisalhamento ( ) não é prático para se medir ou
calcular em um escoamento. Por isso, vamos trocar por outro termo equivalente, conforme a dedução a seguir.
 
Vamos recortar apenas uma porção retangular infinitesimal de um fluido que escoa, com dimensões e .
Transcorrido um tempo , o retângulo (linha tracejada) passa a ser um losango (linha contínua), conforme
mostra a figura seguinte:
Taxa de cisalhamento e gradiente de velocidade.
O deslocamento do topo será . No triângulo retângulo à esquerda, temos:
Como o ângulo é muito pequeno (infinitesimal), . Portanto:
Substituindo na equação (i):
i
ii
iii
Essa equação representa a Lei da Viscosidade de Newton, válida para os fluidos então chamados de
newtonianos.
Saiba mais
Algumas substâncias possuem comportamento ambíguo, ou seja, dependendo da condição, classificam-
se como sólidos ou fluidos. Como exemplos, podemos citar o vidro, que escoa muito lentamente (leva
centenas de anos para perceber), e o solo, que, em desmoronamentos aéreos ou submarinos, pode se
comportar como fluido. 
Hipótese do contínuo: abordagens euleriana e lagrangiana
Quando observamos a correnteza de um rio ou qualquer outro escoamento, é natural pensarmos que se trata
de algo contínuo, ou seja, que preenche todo o espaço. Mas, lembrando da Química, sabemos que a água,
assim como qualquer outro fluido, é composta por moléculas.
 
Vamos avaliar o efeito desse distanciamento por meio da relação entre massa e volume ocupado, chamado de
massa específica:
Atenção
Para denotar volume, adotaremos , com o intuito de diferenciar de velocidade . 
Partindo de um volume pequeno, mas que já engloba uma molécula (esfera 1 da imagem a seguir), teremos
uma massa elevada, conforme o ponto 1 do gráfico a seguir:
iv
v
Hipótese do contínuo.
Aumentando o tamanho do volume, a massa específica diminui até o ponto 2 do gráfico, na iminência de
incluir mais uma molécula, quando a massa específica dá um salto (ponto 3). Esse processo se repete, mas os
saltos diminuem gradativamente, pois a quantidade de moléculas adicionadas no aumento do volume perde
cada vez mais proporção em relação às já incluídas.
 
Portanto, a partir de determinado volume limite, comumente aceito como 10-12 cm³ para líquidos e gases nas
condições normais de temperatura e pressão (CNTPs), essa oscilação passa a ser desprezível, e o gráfico tem
comportamento contínuo.
As dimensões tratadas na Engenharia são, praticamente, sempre muito superiores a esse volume
limite. Portanto, daqui em diante, consideraremos o fluido como uma matéria contínua.
Assim temos:
Antes de começar a desenvolver equações, é necessário decidir qual abordagem será adotada – aquela que
segue a matéria (lagrangiana) ou aquela que se mantém fixa ao espaço (euleriana), conforme mostra a
imagem a seguir:
Euleriana
Lê-se: “óileriana”.
Hipótese 
As dimensões mínimas estudadas na
Engenharia envolvem um número muito
grande de moléculas, o que possibilita
considerar o fluido como um meio contínuo,
sem distinção entre moléculas e vazios.
Consequência 
Em qualquer ponto no espaço, haverá
uma partícula fluida que possui todas as
grandezas inerentes a um fluido, como
massa ( ), volume ), velocidade 
 e temperatura ( ). A massa
especifica, por exemplo, será calculada
por: .
Abordagem lagrangiana versus abordagem euleriana.
Essa decisão se resume ao que mediremos ou calcularemos em termos das grandezas físicas (ex.: velocidade,
pressão e temperatura), conforme a tabela a seguir:
  Lagrangiana Euleriana
Onde as grandezas
físicas são medidas/
calculadas?
Em determinadas partículas de
interesse, que são acompanhadas
ao longo de sua trajetória no
tempo.
Nas partículas que passam
nas posições de interesse
(domínio de análise) ao longo
do tempo.
Tabela: Abordagens lagrangiana e euleriana de acordo com as grandezas físicas.
Elaborado por: Gabriel de Carvalho Nascimento.
Então, qual é a melhor abordagem?
 
Depende. Se estamos falando de sólidos, como na análise de estruturas (por exemplo, aço e concreto), os
deslocamentos fazem com que posições em que antes havia a matéria de interesse, em um momento
posterior, passe a não haver nada (apenas ar) ou outro tipo de material. Isso dificulta a aplicação da
abordagem euleriana, que monitora as posições do espaço.
 
Em contrapartida, em se tratando de fluido, os deslocamentos são grandes. Normalmente, há entrada por um
contorno e saída pelo outro, o que dificulta o acompanhamento das partículas, feito pela abordagem
lagrangiana.
Dica
De maneira geral, concluímos que, para sólidos, a abordagem lagrangiana é mais apropriada, enquanto,
para fluidos, a euleriana se adequa melhor. 
Exemplo
O velocímetro de um automóvel se enquadra na abordagem lagrangiana ou euleriana? E o radar?
Velocímetro 
Mede a velocidade do automóvel, ou seja,
acompanha a “partícula” enquanto se move.
Essa situação corresponde à definição da
abordagem lagrangiana.
Radar
Mede a velocidade dos veículos que passam
em determinado local, ou seja, não
acompanham a “partícula”. Nesse caso, temos
uma situação correspondente à abordagem
euleriana.
Propriedades dos fluidos, grandezas físicas e suas
principais unidades
A seguir, serão apresentadas e comentadas as principais propriedades dos fluidos estudadas em FENTRAN.
Massa específica: 
É definida como a razão entre a massa e o volume de uma partícula fluida:
Por depender do volume ocupado, pode variar com a temperatura e a pressão. Por definição, fluidos
incompressíveis não sofrem variação de volume para uma mesma quantidade de massa. Portanto, nesse caso,
a massa específica é constante, o que pode ser considerado para os líquidos na maioria das situações e,
em alguns casos, até mesmo para gases.
 
Unidades:
 
kg/m³
lb/ft³ 1 lb/ft³ = 16,02 kg/m³
lb/in³ 1 lb/in³ = 27.679,9 kg/m³
oz/gal 1 oz/gal = 7,49 kg/m³
• 
• 
• 
• 
Saiba mais
Em inglês, o termo correspondente à massa específica é density. 
Peso específico: 
É definido pela razão entre o peso e o volume de uma partícula:
Substituindo-se , teremos:
Como :
Unidades:
 
N/m³ (S.I.)
kN/m³ 1 kN/m³ = 1000 N/m³
Densidade: ou 
É a razão entre a massa específica do fluido e a de referência ( ). Portanto, é adimensional:
Normalmente, é adotada como a maior massa específica da água ( ), que ocorre
em .
• 
• 
Saiba mais
Algumas vezes, encontramos o termo densidade referindo-se à massa específica. A maneira de se
assegurar do que se trata é observar a unidade que acompanha o valor. Densidade é traduzida para
inglês por specific gravity (S.G.) ou relative density. 
Viscosidade (dinâmica): 
Conforme já vimos, viscosidade é uma constante que aparece na Lei da Viscosidade de Newton, dada por:
Quanto maior a viscosidade, maior será a tensão cisalhante (viscosa) necessária para manter a mesma
velocidade.
 
Imagine que, entre duas chapas metálicas, seja colocada uma camada fina de óleo. Ao deslizar as superfícies,
uma tensão cisalhante será gerada, e a força necessária para manter o movimento será , conforme
mostrado a seguir:
Deslizamento entre placas.
Quanto mais viscosofor o óleo, maior será essa força. É por isso que, para óleos lubrificantes, desejamos os
que possuem a menor viscosidade. Por um lado, a viscosidade sofre pouca influência da pressão. 
 
Por outro, a temperatura, além de ter influência significativa, causa efeito diferenciado em gases e líquidos:
 
gases: + temperatura → + viscosidade
líquidos: + temperatura → - viscosidade
 
A imagem a seguir ilustra essa influência:
• 
• 
Influência da temperatura na viscosidade de gases e líquidos.
Esse comportamento diferenciado em líquidos tem um efeito benéfico em muitos equipamentos e motores,
pois o aumento da temperatura, que ocorre durante seu uso, causa diminuição da viscosidade do óleo
lubrificante, redução da força resistente e, consequentemente, da potência dissipada.
 
A tabela a seguir apresenta algumas propriedades dos fluidos:
 
Fluido
(20°C e 1atm) (Pa.s) (kg/m³)
Hidrogênio 9,05 x 10-6 0,0839
Ar 1,80 x 10-5 1,20
Gasolina 2,92 x 10-4 680
Água 1,00 x 10-3 998
Álcool etílico 1,20 x 10-3 789
Mercúrio 1,56 x 10-3 13.550
Óleo SAE10 W 1.04 x 10-1 870
Óleo SAE30 W 2.90 x 10-1 891
Água do mar 1,07 x 10-3 1.025
Glicerina 1,49 1260
Gás carbônico 1,48 x 10-5 1,82
Azeite de oliva 84,0 x 10-3 890
Tabela: Propriedades dos fluidos mais comuns.
Elaborado por: Gabriel de Carvalho Nascimento.
Unidades:
 
kg/m.s (S.I.)
Pa.s: 1 Pa.s = 1 kg/m.s
• 
• 
P (Poise): 1 P = 0,1 kg/m.s
cP (Centipoise): 1 cP = 0,001 kg/m.s
Viscosidade cinemática: 
Unidades:
 
m²/s (S.I.)
St (Stokes): 1 St = 10-4 m²/s
cSt (Centistoke): 1 cSt = 10-6 m²/s
Pressão: 
Embora a pressão não seja uma propriedade do fluido, e sim uma condição, seu conceito e a quantidade de
unidades adotadas na Engenharia fazem valer mencioná-la aqui.
 
Antes de falar de pressão, vamos relembrar de uma grandeza física parecida: a tensão normal , que
representa a força aplicada por unidade de área ( ). Trata-se de uma grandeza vetorial, pois tem
direção e sentido, além da intensidade (módulo).
 
Em uma partícula, que podemos representar como um prisma infinitesimal, pode haver uma tensão normal
com valor diferente para cada face, conforme mostra a imagem a seguir:
Tensões normais em uma partícula fluida.
A pressão, por sua vez, é dada por:
• 
• 
• 
• 
• 
Ela constitui, então, uma grandeza escalar, ou seja, tem apenas um valor para cada partícula. A pressão
também pode ser calculada pela média das tensões normais nas três direções e ):
Outro detalhe importante é que a tensão normal tem referencial de tração, ou seja, é positiva quando a
superfície está sendo “puxada”. Para a pressão, é o contrário: Um valor positivo significa compressão. Como
fluidos não resistem à tração (eles se separam se tracionados), a pressão passa a ser uma grandeza mais
adequada para avaliar a condição dos fluidos, pois estão sempre comprimidos.
 
Unidades:
 
N/m² →1 N/m² = 1 Pa (Pascal)
mca (metro de coluna d’água) → 1 mca = 9,81 kPa
kgf/cm² →1 kgf/cm² = 98,1 kPa
bar → 1 bar = 100 kPa
atm → 1 atm = 101,32 kPa
psi (pound per square inch) → 1 psi = 6,89 kPa
mmHg → 1 mmHg = 133,32 Pa
Saiba mais
Muitos engenheiros dizem, simplificadamente, “quilos” para se referir a kgf/cm². Portanto, se você ouvir
que a pressão de projeto deve ser de “8 quilos”, não pense em uma balança, pois o valor é 8 kgf/cm². 
Os manômetros são instrumentos que medem a pressão e indicam a diferença entre a pressão (absoluta) ( )
no interior da tubulação ou reservatório e a pressão no ambiente externo ( ). Por isso, chamamos de
pressão manométrica , calculada por:
Normalmente, o ambiente externo é a atmosfera padrão. Portanto:
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Saiba mais
A letra “g”, colocada após a unidade da pressão, refere-se a gauge, o que significa pressão manométrica,
assim como a letra “a” remete à pressão absoluta. Por exemplo, se você ler em um relatório de inspeção
que a pressão medida foi de 5,2 kgf/cm²g, significa que essa é a pressão manométrica. 
Teoria na prática
Os discos rígidos ou Hard Drives (HDs) são dispositivos de armazenamento utilizados em
computadores.
Considere que o disco tenha diâmetro de 2,5”, que gire a 500 rotações por segundo, e que
haja uma folga de 1mm entre cada uma de suas superfícies (superior e inferior) e as faces
internas da caixa, preenchida com ar à temperatura ambiente (24°C).
 
Considerando todas as simplificações necessárias, calcule o torque requerido para manter o disco
girando.
Qual a potência requerida para manter o disco girando?
Qual a consequência do aumento da temperatura para a viscosidade de gases?
Resolução
Neste vídeo, assista sobre o efeito da viscosidade na
resistência ao movimento.
1. 
2. 
3. 
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Mão na massa
Questão 1
O que é estudado em Fenômenos de Transporte (FENTRAN)?
A
A capacidade de fluxo em diferentes modais de transporte, como o rodoviário, ferroviário e aquaviário.
B
Os fenômenos decorrentes do transporte de partículas sólidas, como o carregamento de grãos e areia em
vagões e caminhões.
C
A transferência de quantidade de movimento, energia térmica e massa.
D
O fluxo de tensões em estruturas como edifícios e pontes.
E
Os fenômenos decorrentes da transferência de dados em fibra óptica e ondas eletromagnéticas.
A alternativa C está correta.
A disciplina FENTRAN se refere ao transporte decorrente do movimento de fluidos (transporte de
quantidade de movimento), da transferência de energia térmica (transporte de calor) e de massa.
Questão 2
Qual substância tem comportamento ambíguo entre sólido e fluido?
A
Água
B
Ar
C
Aço
D
Vidro
E
Espuma
A alternativa D está correta.
O vidro tem um comportamento peculiar, pois escoa muito lentamente, levando muitos anos para que se
observe a evolução da deformação decorrente da tensão cisalhante aplicada. Portanto, analisando-os em
um curto prazo, os vidros são classificados como sólidos, mas, a longo prazo, têm um comportamento de
fluido.
Questão 3
Qual dos exemplos a seguir corresponde à representação lagrangiana?
A
Termômetro fixado em uma tubulação de gás
B
Sonda lançada em uma adutora
C
Medidor ultrassônico de vazão
D
Manômetro
E
Detector de fumaça
A alternativa B está correta.
Na representação lagrangiana, o referencial de coordenadas acompanha a matéria (fluido), enquanto, na
euleriana, permanece fixo no espaço. Assim, a única alternativa que se enquadra na definição lagrangiana é
a “sonda lançada em uma adutora”, que será levada junto com o fluido, realizando as medições (como, por
exemplo, temperatura e pressão) das partículas próximas que a acompanham.
Questão 4
Qual das unidades a seguir pode ser utilizada para viscosidade?
A
kg/m
B
Pa
C
m.kg/s
D
Pa.s
E
m/s²
A alternativa D está correta.
Assista à resolução.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Questão 5
Qual das alternativas a seguir representa o fluido de menor viscosidade?
A
Água congelada
B
Ar a 60°C
C
Água a 20°C
D
Ar a 0°C
E
Água a 90°C
A alternativa D está correta.
Primeiramente, devemos excluir a água congelada (gelo), pois não se trata de um fluido, mas sim de um
sólido. Entre os restantes, temos água e ar. A viscosidade de gases é muito inferior à viscosidade de
líquidos devido à maior distância e, consequentemente, à interação entre moléculas. Resta decidir entre ar
a 0°C e 60°C.
Em líquidos, o aumento da temperatura causa diminuição da viscosidade, enquanto, em gases, o efeito é o
contrário. Portanto, um gás (nesse caso, ar) com maior temperatura terá maior viscosidade.
Questão 6
Um fluido ocupa um volume de 1,5m³, e sua massa é 3.000kg. Determine sua massa específica:
A
1.000 kg/m³
B
1
C
2.000 kg/m³
D
500 kg/m³
E
2
A alternativa C está correta.
A massa específica é definida por:
Verificando o aprendizado
Questão 1
Em uma atividade de laboratório, seu grupo verificou com uma balança de precisão que a quantidade de
gasolina que preencheu um recipiente de 25mL pesava 17g. Qualé a massa específica dessa amostra de
gasolina, no S.I.?
A
0,680 kg/m³
B
0,340 g/mL
C
340 kg/m³
D
0,680 g/mL
E
680 kg/m³
A alternativa E está correta.
A massa específica de um material é calculada pela razão massa por volume:
A massa medida é 17 g, que, convertida para o S.I., corresponde a:
O volume medido é :
Então:
Questão 2
(Petrobras - Engenheiro de Petróleo - 2012) Usando um dinamômetro, verifica-se que um corpo de densidade 
dc e de volume V = 1,0 litro possui um peso que é o triplo do “peso aparente” quando completamente
mergulhado em um líquido de densidade dL. Qual a razão dc/dL?
A
1/6
B
1/3
C
1
D
2/3
E
3/2
A alternativa E está correta.
A massa específica do corpo será:
 
E pode ser substituída pela definição de densidade :
O peso aparente será o peso medido pelo dinamômetro quando o corpo está mergulhado, ou seja, o
peso real descontado do empuxo :
De acordo com o enunciado, . Então:
Como :
Igualando as equações (i) e (ii):
i
ii
2. Métodos de análise dimensional
Introdução
Neste vídeo, conheça mais sobre as principais adimensionais, a análise dimensional e a semelhança.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Grupos adimensionais
O conteúdo deste módulo é adotado para resolução de muitos problemas, não só em FENTRAN, mas em
diversas disciplinas de Engenharia. Com esse conhecimento, podemos simplificar a análise dos fenômenos e
extrapolar resultados para condições além daquelas em que há dados disponíveis.
 
A análise do escoamento, da transferência de calor e de massa pode envolver cálculos complexos,
normalmente com equações diferenciais parciais que não têm solução analítica para condições reais.
 
Já os grupos adimensionais podem nos dizer muito sobre o fenômeno estudado, de maneira muito prática e
simples, e até ajudar na solução de problemas. Eles são formados pela combinação de grandezas
dimensionais, de modo que o resultado não tenha unidade.
 
Abordaremos, a seguir, os principais adimensionais utilizados em FENTRAN.
Número de Reynolds (Re)
É o adimensional mais conhecido de FENTRAN, relevante em quase todos os tópicos dessa disciplina. O
número de Reynolds (Re) é definido como a razão entre forças de inércia e forças viscosas e calculado por:
Em que:
 
 massa específica
 velocidade do escoamento
 dimensão de referência (por exemplo, largura ou comprimento)
 viscosidade dinâmica
 
A força inercial, proporcional a , representa a tendência que o fluido tem de manter sua velocidade,
enquanto a força viscosa, proporcional a , representa o que procura resistir ao escoamento. Portanto,
quanto menor o denominador (viscosidade), maior é o valor de e menos "controlado" é o escoamento.
Esse é o caso dos escoamentos turbulentos, ao contrário dos laminares.
 
Então, para que valor de há uma mudança no comportamento do escoamento?
 
Depende do tipo de escoamento ao qual estamos nos referindo. O escoamento no interior de tubulações é um
dos fenômenos de maior interesse na Engenharia. O número de Reynolds auxilia na escolha e no cálculo das
equações utilizadas para prever a perda de pressão que o fluido sofre ao longo do duto.
 
A tabela a seguir apresenta a classificação desse tipo de escoamento de acordo com o número de Reynolds:
Classificação de escoamento no interior de tubulações.
Quando um fluido atravessa, transversalmente, um sólido (como, por exemplo, a corrente oceânica em um
duto submarino), pode ocorrer o desprendimento de vórtices (recirculações do escoamento), que, por sua
vez, tendem a ocasionar a vibração do corpo. O número de Reynolds nos permite verificar se há
susceptibilidade de desprendimento de vórtices, além do cálculo da força de arrasto.
 
A tabela a seguir apresenta a classificação desse tipo de escoamento de acordo com o número de Reynolds:
Número de Euler ()
• 
• 
• 
• 
Quando um fluido incide, perpendicularmente, uma superfície sólida, a velocidade (energia cinética) é
convertida em acréscimo de pressão ( ) pela relação . Em outros termos, esse é o máximo
incremento de pressão que pode ocorrer em um escoamento, desconsiderando a gravidade.
 
O número de Euler representa a razão entre o incremento de pressão, até determinado ponto, e o
máximo valor que ele pode ter, ou seja:
Em que:
 
 diferença entre a pressão local e a pressão na corrente livre (afastado da superfície
sólida)
 massa específica
 velocidade do escoamento
Número de Froude ()
O número de Froude ( ) é definido pela razão entre forças de inércia e gravitacionais, sendo calculado por:
Em que:
 
 velocidade do escoamento
 dimensão característica (como, por exemplo, a profundidade de canais e o comprimento de
navios)
 gravidade
 
O valor de tem relevância em escoamentos em que a gravidade exerce influência significativa, como em
rios, em ondas e ao redor de navios.
 
O número de Froude é utilizado para classificar o escoamento em canais, conforme a tabela a seguir:
Classificação
 1 Supercrítico ou torrencial
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Ondas com influência da tensão superficial.
Tabela: Classificação de escoamento com base no número de Froude.
Gabriel de Carvalho Nascimento.
Essa classificação é importante para prever diversos aspectos do comportamento do escoamento. Na
transição de um escoamento torrencial ( ) para fluvial ( ), ocorre um fenômeno chamado
ressalto hidráulico, conforme ilustra a imagem a seguir:
Ressalto hidráulico
Número de Weber ()
O número de Weber ( ) é definido pela razão entre forças de inércia e de tensão superficial, sendo
calculado por:
Em que:
 
 massa especifica 
 velocidade do escoamento
 dimensão característica 
 tensão superficial
O valor de ( ) indica se a tensão superficial
tem influência significativa no escoamento e é
relevante quando é da ordem de grandeza de 1
(100) ou menos.
 
Se você reduzir demais o tamanho do modelo
físico ( ), a tensão superficial passa a exercer
uma influência que não há no tamanho original.
Consequentemente, o modelo não
representará, de forma adequada, o protótipo.
Número de Mach ()
É definido pela razão entre forças de inércia e de compressibilidade. Conforme vimos em adimensionais
anteriores, sabemos que a inércia é proporcional à velocidade . A compressibilidade, por sua vez, está
relacionada à velocidade do som (c), que nada mais é do que uma onda de pressão que propaga por
compressão de dilatação do fluido. Portanto, o número de Mach é equivalente à razão entre e :
• 
• 
• 
• 
O escoamento pode ser classificado com base no valor de , conforme a tabela a seguir:
Classificação
 1 Escoamento supersônico
Tabela: Classificação de escoamento com base no número de Mach.
Gabriel de Carvalho Nascimento.
Escoamentos supersônicos, como em aviões a jato, apresentam uma complexidade maior para sua análise,
pois os efeitos de compressibilidade devem ser considerados nos cálculos. A imagem a seguir ilustra esses
tipos de escoamentos:
Escoamento subsônico (subsonic) e supersônico (supersonic).
Coeficiente de arrasto e sustentação ( e )
É definido pela razão entre forças de arrasto ou sustentação ou e forças inerciais, sendo calculado
por:
Em que:
 
 e força de arrasto (drag) e de sustentação (lift)
 massa especifica
 velocidade do escoamento
 = área de referência
 
Os coeficientes de arrasto e sustentação são muito úteis, por exemplo, quando há dados na literatura para
seus valores sob determinada condição, como escoamento ao redor de uma esfera. Nesse caso, basta
explicitar a força das equações e calcular.
• 
• 
• 
• 
 
A área a ser considerada como referência varia com as características do problema. Quando o arrasto
causado pela força de pressão é mais significativo, utiliza-se a área de projeção frontal. Se a força de “atrito”
(cisalhante) é preponderante, adota-se a área que inclua a superfície ao longo da qual a tensão é aplicada,
como a área planiforme (vista superior) da asade avião. A imagem a seguir apresenta essas áreas de
referência:
Área frontal para cálculo do arrasto.
Análise dimensional
Imagine que você quer desenvolver um gráfico ou ábaco que forneça a força de arrasto em um corpo
com determinada geometria, como, por exemplo, um novo equipamento que deve ser anexado ao casco de
um submarino. Devido à complexidade do fenômeno (escoamento turbulento), é provável que utilize um 
modelo físico reduzido: Uma reprodução simplificada do problema em laboratório.
 
Primeiramente, devemos avaliar as grandezas dimensionais que influenciarão no resultado. Devemos
considerar a velocidade do escoamento , a massa específica e a viscosidade do fluido ( e ), e a
dimensão de referência da geometria . Desejamos, então, obter a grandeza de interesse a partir das
demais:
Ábaco 
Instrumento que permite substituir cálculos numéricos por cálculos gráficos.
Se você deseja que seu gráfico tenha uma boa abrangência de possibilidades, é razoável assumirmos 10
valores diferentes para cada parâmetro de entrada (, e fluido). Então, serão 10 x 10 x 10 = 1000 testes! O
estagiário teria de morar no laboratório.
 
Para contornar isso, existe um método que reduz a quantidade de variáveis e, consequentemente, de testes
necessários, conforme veremos a seguir.
Teorema Pi de Buckingham
Seja um fenômeno que envolve variáveis dimensionais ( ), em que:
De acordo com o Teorema Pi de Buckingham, é possível reduzir o número de variáveis dimensionais ( ) a um
número menor ( ) de variáveis (grupos) adimensionais :
Em que é o número mínimo de grandezas básicas - como, por exemplo, comprimento , massa ( ,
tempo e temperatura - necessário para formar as grandezas de todas as variáveis .
 
A metodologia pode ser descrita pelos passos a seguir:
 
Listar as grandezas dimensionais envolvidas 
Expressar cada uma delas em função das dimensões básicas. A velocidade, por exemplo, é definida
como comprimento pelo tempo ( .
Determinar o número de termos necessários: .
Obter os , escolhendo como aquele que contém a variável de interesse.
Expressar o resultado como uma função dos demais adimensionais: .
 
Agora, vamos voltar ao problema exemplificado da força de arrasto, seguindo esses passos. Já fizemos a
listagem das grandezas dimensionais (primeiro passo), contabilizando e .
 
Na tabela a seguir, realizaremos o segundo passo:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
Expressão das grandezas dimensionais em função das dimensões básicas.
Aqui, percebemos que a quantidade de grandezas básicas necessárias é 3 ( ). Então, a
quantidade de adimensionais necessários será: .
O próximo passo consiste em formar os dois adimensionais ( ) a partir das grandezas dimensionais. Por
praticidade, escolheremos os a partir dos adimensionais mais conhecidos.
 
Observamos, rapidamente, que os adimensionais mais oportunos são o coeficiente de arrasto e o número de
Reynolds. Como , devemos escolher o que possui a variável dependente (de interesse), que é . Então:
Note que substituímos a área A , do coeficiente de arrasto , por , pois ambos têm a mesma dimensão
(comprimento ao quadrado).
 
Por fim, expressaremos por , ou seja:
Lembre-se de que, na formulação anterior, realizaríamos 1000 testes para variar 10 vezes cada parâmetro de
entrada. Agora, temos um parâmetro de entrada , e são necessários apenas 10 testes. O estagiário
agradece!
 
Outra vantagem dessa metodologia é mostrar do que o resultado será dependente. No exemplo demonstrado,
o coeficiente de arrasto ( ) é função do número de Reynolds ( ). Então, basta construir um gráfico 
versus , a partir dos resultados do experimento, para obter o que desejávamos desde o início: Um gráfico
que pudesse ser utilizado para obter em diversas condições.
 
Esse gráfico já existe na literatura para diversas geometrias como esfera, conforme mostra a imagem a seguir:
Gráfico do coeficiente de arrasto (\(C_D\)) versus número de Reynolds (\(\R e\)) para
uma esfera lisa.
O procedimento final é: Calcule de seu problema, obtenha pelo gráfico e, por fim, calcule a partir
de . São cálculos bastante simples para obter o resultado de um fenômeno complexo. Todavia, lembre-se
de que isso só ajudará se você tiver o gráfico.
Atenção
O Teorema Pi de Buckingham auxilia na obtenção de uma expressão que correlacione as variáveis,
reduzindo a quantidade de repetições necessárias, mas depende de dados experimentais. 
Teoria da Semelhança
Muitas vezes, precisamos saber como se comportará um fenômeno, cujas dimensões ou características
inviabilizam reproduzi-lo em condições de projeto ou protótipo. Uma alternativa amplamente empregada na
Engenharia é a utilização de modelos físicos em laboratório, que podem ter não apenas a escala reduzida, mas
também outras condições diferentes, como o fluido utilizado (por exemplo, se o fluido de projeto é perigoso
ou caro).
 
Mas, se medirmos a grandeza física de interesse no modelo, como saberemos qual seria o valor de protótipo
necessário para o desenvolvimento do projeto?
 
Para isso, aplicamos a Teoria da Semelhança, ilustrada na imagem a seguir:
Relação entre modelo e protótipo – semelhança.
O emprego da semelhança amplifica a aplicabilidade dos resultados experimentais, com base nos seguintes
passos:
 
Aplique a análise dimensional para determinar os , lembrando que é o grupo adimensional que
possui a variável a ser medida (dependente).
Seja o grupo adimensional correspondente ao protótipo e , ao modelo.
Faça com que, a partir do segundo, os adimensionais do modelo sejam iguais ao do protótipo:
Essa condição é obtida durante o planejamento do experimento, quando determinamos a dimensão, a
velocidade, o fluido etc.
 
Se a condição anterior é garantida, a semelhança é dita completa e, consequentemente:
Lembrando que o é o que contém a variável de interesse - por exemplo, força de arrasto ( ). Isso
significa que a medição feita no modelo pode ser utilizada para calcular o e, por fim, o valor da variável
de protótipo.
Exemplo
Você está planejando medir a força de arrasto da água em uma peça do sonar a ser instalado na parte externa
do submarino nuclear brasileiro. O teste será feito em laboratório, em um canal de corrente que comporta um
modelo reduzido na escala 1:2. Considere que será utilizado o mesmo fluido (água do mar) e na mesma
temperatura.
 
Qual deve ser a velocidade aplicada no tanque de corrente para que haja semelhança completa ao
submarino navegando a 12m/s?
Qual será a força de resistência (arrasto) adicionada ao submarino se a medida no modelo reduzido é
250N?
Solução
A partir da análise dimensional, o que fizemos no tópico anterior foi:
Para haver semelhança completa:
1. 
2. 
3. 
1. 
2. 
Como o fluido e a temperatura do modelo são os mesmos do protótipo, as propriedades ( e ) também
serão:
Como a escala é de 1:2, , então:
Essa é a condição necessária para que haja a semelhança completa neste problema. De acordo com a Teoria
da Semelhança, teremos:
Com a fórmula de e substituindo por :
Por fim:
Teoria na prática
Um grupo de estudantes está desenvolvendo uma turbina eólica de 5,0 kW. O local onde será
instalada tem velocidade de vento média de 5m/s.
 
Após diversas análises em Computational Fluid Dynamics (CFD), ou Fluidodinâmica
Computacional, o grupo decide validar os resultados obtidos até então, testando o desenho
elaborado com um modelo reduzido em túnel de vento, que tem tamanho suficiente para
testar um modelo reduzido com 1:5 do tamanho do protótipo (escala de projeto). Foi adotada
a mesma velocidade de rotação ( ).
Considerando que, além das variáveis já mencionadas, a massa específica do ar também é
relevante para a análise:
 
Quais os adimensionais necessários para análise do referido fenômeno físico?
Para que haja semelhança completa, qual deve ser a velocidade no túnel de vento?
Resolução
Neste vídeo, assista sobre o modelo reduzido aplicado para
energia eólica.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Mão na massaQuestão 1
Qual dos adimensionais a seguir corresponde a uma relação entre forças inerciais e forças viscosas?
A
1. 
2. 
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
Ao analisarmos a alternativa C (número de Reynolds), observamos que há a divisão de por . O
primeiro ( ) pode ser interpretado pelo produto entre "massa" e velocidade, o que remete à inércia,
enquanto o segundo ( ) é a viscosidade do fluido, diretamente relacionado à força viscosa. Portanto,
nesse adimensional, há a divisão entre força inercial e força viscosa.
Questão 2
Em um problema em que as grandezas dimensionais relevantes são e , de acordo com o
Teorema Pi de Buckingham, quantos adimensionais são necessários?
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A alternativa B está correta.
Pelo Teorema Pi de Buckingham, a quantidade de adimensionais necessários será , em que é
a quantidade de grandezas dimensionais, e é a quantidade de grandezas básicas (como, por exemplo,
comprimento, tempo, massa e temperatura) necessárias para formar todas as demais grandezas.
No problema em questão, temos grandezas dimensionais, que podem ser formadas com 
grandezas básicas (comprimento, massa e tempo). Portanto, a quantidade de adimensionais será 
.
Questão 3
Qual dos adimensionais a seguir corresponde a uma relação entre força inercial e força gravitacional?
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Ao analisarmos a alternativa B (número de Froude), observamos que é a divisão entre a velocidade,
diretamente relacionada com a inércia (quantidade de movimento), e a raiz da gravidade. Esse
adimensional é relevante em problemas em que a gravidade tem influência no comportamento do fluido,
como escoamentos com superfície livre (como, por exemplo, rios).
Questão 4
Quantos adimensionais são necessários para avaliar a perda de pressão causada por uma válvula?
A
1
B
2
C
3
D
4
E
5
A alternativa B está correta.
Pelo Teorema Pi de Buckingham, a quantidade de adimensionais necessários será , em que é
a quantidade de grandezas dimensionais, e é a quantidade de grandezas básicas (como, por exemplo,
comprimento, tempo, massa e temperatura) necessárias para formar todas as demais grandezas. No
problema em questão, são relevantes as seguintes variáveis dimensionais:
Perda de pressão ( );
Velocidade ou vazão de escoamento ( ou );
Diâmetro de conexão da válvula (D);
Massa específica do fluido ( );
Viscosidade do fluido ( ).
Portanto, temos grandezas dimensionais, que podem ser formadas com grandezas básicas
(comprimento, massa e tempo). Logo, a quantidade de adimensionais será .
Questão 5
Para o problema da questão anterior (perda de carga em uma válvula), qual(is) é (são) o(s) adimensional(is)
necessário(s)?
A
B
C
• 
• 
• 
• 
• 
D
E
A alternativa D está correta.
Assista à resolução da questão.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Questão 6
Se o experimento for realizado em escala 1:10 com o mesmo fluido, na mesma pressão e temperatura, qual
deve ser a razão entre a velocidade do escoamento de modelo para o protótipo, considerando semelhança
com o número de Reynolds?
A
10
B
0,1
C
2
D
0,5
E
1
A alternativa A está correta.
Para que haja semelhança completa, todos os adimensionais devem ter o mesmo valor no modelo e
protótipo. Portanto, baseando-se no número de Reynolds:
Como o fluido é o mesmo e na mesma pressão e temperatura, temos e . Então:
Verificando o aprendizado
Questão 1
Para o cálculo da perda de pressão por comprimento , causada pela tensão cisalhante com as paredes
ao longo de um tubo, são necessários como dados de entrada:
 
O diâmetro do tubo ;
A velocidade média do escoamento ;
A massa específica ( );
A viscosidade do fluido ( );
A rugosidade da parede do tubo ( ).
 
Qual das alternativas a seguir apresenta um conjunto mínimo de adimensionais suficiente para a análise
dimensional?
A
B
C
D
E
• 
• 
• 
• 
• 
A alternativa B está correta.
Pelo Teorema Pi de Buckingham, a quantidade de adimensionais necessários será , em que é
a quantidade de grandezas dimensionais, e é a quantidade de grandezas básicas (como, por exemplo,
comprimento, tempo, massa e temperatura) necessárias para formar todas as demais grandezas.
No problema em questão, temos e , que podem ser formadas com 
(comprimento, massa e tempo). Portanto: . Entre as alternativas apresentadas, a única que
possui 3 adimensionais, todos formados apenas com as variáveis envolvidas no problema, é a letra B.
Questão 2
A força de arrasto sobre um modelo de avião em escala 1:20 medida em laboratório foi de 1,5N para uma
velocidade de 50m/s. Qual será a força sobre o protótipo a 100m/s, considerando que a pressão e a
temperatura serão as mesmas?
A
120N
B
30N
C
2,4kN
D
3,0N
E
600N
A alternativa C está correta.
Contemplando a variável de interesse, ou seja, a força de arrasto ( ), o adimensional mais conhecido é:
O adimensional com a variável de interesse deve ter o mesmo valor para modelo e protótipo. Portanto:
Como a pressão e a temperatura são as mesmas, também será a massa específica :
Como a razão entre áreas é igual à razão entre o quadrado do comprimento de referência ( ):
3. Problemas com fluidos em condição estática
Introdução
Neste vídeo, conheça mais sobre a solução de problemas com fluido estático.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Fluido estático
Neste módulo, estudaremos o fluido quando ele se encontra imóvel (estático). Apesar de ser uma
particularização expressiva, pois quase sempre os fluidos têm algum movimento, ainda assim, há uma grande
variedade de situações na Engenharia em que essa simplificação é válida.
 
Ao calcular a pressão da água do mar em determinada profundidade, por exemplo, sabemos que há
correnteza e ondas, mas essa hidrodinâmica tem efeito desprezível nas profundidades em que, normalmente,
queremos calcular a pressão. Portanto, podemos considerar que a água do mar está parada. O mesmo ocorre
em barragens, aquários e eclusas.
Eclusas
Pequeno canal em águas onde há grandes desníveis a fim de possibilitar a descida ou a subida de
embarcações. Fonte: Dicionário Houaiss eletrônico da língua portuguesa.
Pressão manométrica, pressão atmosférica e pressão
absoluta
Como já vimos no módulo 1, os manômetros informam a pressão manométrica, ou relativa, ( ), que é
definida por:
Em que:
 
 pressão absoluta (real)
 pressão do ambiente, ou seja, pressão do meio externo
 
A pressão ambiente corresponde, normalmente, à pressão atmosférica ( ), cujo valor varia ao longo da
altitude, conforme a representação típica exemplificada no gráfico abaixo:
Equação 1
• 
• 
Pressão ao longo da atmosfera.
De acordo com Porto (2006), para altitudes acima do nível do mar e até 2.000m, a pressão atmosférica pode
ser estimada por:
Em que:
 
 = altitude (em metros)
 = pressão atmosférica (em kPa)
Exemplo
O manômetro instalado na "árvore de Natal" de um poço de produção de gás a 1.500m de profundidade mede
26,40barg de pressão. Se a água do mar na região tem , qual é a pressão absoluta, em kgf/
cm²?
Solução
A letra “g” ao final da unidade se refere a gauge, que significa pressão manométrica, e 1bar = 100kPa:
A pressão ambiente, por sua vez, é calculada pela coluna de água acima do ponto considerado:
Explicitando da equação (1):
• 
• 
Agora, basta converter para . Conforme vimos no primeiro módulo, , ou seja, 
 1/98,1 kgf/cm². Fazendo a conversão do resultado anterior:
A letra "a" ao final da unidade indica pressão absoluta.
Equação fundamental da fluidostática, Teorema de Pascal
e Teorema de Stevin
Existem dois tipos de forças que podem atuar em um fluido:
Forças de campo
Atuam em toda a massa fluida sem que haja
necessidade de contato, como, por exemplo, a
força gravitacional.
Forças de contato
Atuam por meio de determinada superfície e se
subdividem em força proveniente da tensão
normal ( ) e cisalhante (viscosa) .
A tensão viscosa ("atrito") pode ser obtida pela Lei da Viscosidadede Newton, que estudamos no módulo 1,
definida por . Quando um fluido está estático, não há velocidade. Consequentemente, o
gradiente de velocidade é nulo ( ), e não há tensão cisalhante ( ). Nessa condição, a pressão será
igual à tensão normal ( ). Portanto, nos próximos tópicos, adotaremos apenas pressão.
 
Uma partícula fluida pode ser representada por um elemento infinitesimal, conforme mostra a imagem a
seguir:
Elemento infinitesimal e pressões nas faces perpendiculares ao eixo \(x\).
Adotando como a pressão na face esquerda, a pressão na face oposta será . Para calcular a
força, devemos multiplicar a pressão pela área. As faces perpendiculares a têm área .
Portanto, a força resultante da pressão na direção será:
Multiplicando e dividindo a expressão anterior por :
Em que é o volume do elemento. O termo significa , que tende a zero. Logo:
O termo entre colchetes dessa equação é a definição da derivada da função . Então:
Analogamente:
O vetor resultante pode ser expresso em uma única linha:
A força gravitacional (força de campo), por sua vez, é calculada por:
Equação 2
A massa pode ser obtida a partir da massa específica :
Somando as equações (2) e (3), temos:
Como não há movimento, a aceleração é nula e .
Normalmente, opta-se por alinhar o eixo contrário à gravidade. Assim, o vetor da equação (4) não terá
componentes nas direções e :
A componente será igual a (eixo contrário à gravidade):
Essa equação mostra que, na condição estática, a pressão varia apenas na direção vertical, ou seja, pontos
em uma mesma altura terão a mesma pressão. Integrando-se à expressão anterior:
Lembrando que :
Equação 3
Equação 4
Essa é conhecida como Equação Fundamental da Fluidostática, pois se aplica a qualquer fluido estático e é
utilizada para desenvolver todas as demais equações da Estática. Uma particularização importante ocorre
para fluidos incompressíveis ( e constantes), pois ocorre para maior parte dos problemas na Engenharia.
Então:
Considerando que, do ponto 1 ao 2, há um aprofundamento de uma altura , então, :
Conforme as considerações feitas no desenvolvimento, essa fórmula só se aplica para fluidos incompressíveis.
Caso seu problema envolva um fluido compressível, será necessário aplicar a equação 5.
Teorema de Stevin
O cálculo da pressão de um ponto que se encontra na profundidade h de um líquido (fluido incompressível) é
um problema muito comum, conforme mostra a imagem a seguir:
Equação 5
Equação 6
Equação 7
Pressão em um ponto submerso na profundidade \(h\). 
Para resolvê-lo, podemos aplicar a equação 7, considerando e :
Essa fórmula é conhecida como Teorema de Stevin. Se quisermos calcular a pressão manométrica 
, então:
 
Equação 8
Princípio de Pascal
Sejam dois pontos fixos no interior de um fluido incompressível, conforme mostra a imagem a seguir:
Dois pontos em um fluido incompressível
Imagine, agora, que a pressão no ponto 1 seja elevada de para , por um motivo qualquer, como, por
exemplo, a atuação de um compressor. Aplicando a equação 7 para as duas situações, antes e depois da
elevação da pressão:
Antes Depois
Lembre-se de que (fluido incompressível), assim como a gravidade e a altura . Subtraindo essas
duas equações:
Equação 9
Essa equação nos diz que, em um fluido estático e incompressível, a elevação de pressão em um ponto será
igual à elevação em todos os demais pontos, o que é conhecido como Princípio de Pascal, ilustrado na
imagem a seguir:
Representação de uma prensa hidráulica – Princípio de Pascal.
Exemplo
Uma prensa hidráulica manual é utilizada para
romper corpos de prova (cp) de concreto com
capacidade de até 15 toneladas. 
 
Se a razão das áreas entre o êmbolo menor, em
que é aplicada a força da haste, e o êmbolo
maior, que aplica a carga dos cp, é 1/20, qual é
a força requerida no êmbolo menor?
Solução
Tendo em vista que o processo é realizado
lentamente, podemos assumir condição
estática. Consequentemente, é válido o Princípio de Pascal: . Como , considerando 1 o
êmbolo maior, temos:
Além da compensação hidráulica, a haste funciona como um braço de alavanca, reduzindo ainda mais a força
que o operador deve realizar.
Múltiplos fluidos
Há situações em que mais de um fluido entra em equilíbrio estático em camadas diferentes, genericamente
representados na imagem a seguir:
Equação 10
Cálculo da pressão ao longo de um percurso com múltiplos fluidos
Para calcular a pressão , vamos aplicar a equação 6 sucessivamente, partindo do ponto 0 e atravessando
todas as camadas:
Em caso de descida, a diferença no -ésimo trecho será igual a , pois 
 Ao realizar essa substituição:
Caso o percurso seja de subida, a parcela resultante será negativa ( ). Portanto, a expressão anterior
pode ser representada por:
Exemplo
Em um reservatório contendo combustível adulterado, houve acúmulo de:
 
50 cm de gasolina ( );
10 cm de etanol ( );
20 cm de água ( ).
 
Calcule a pressão manométrica no fundo do reservatório.
Solução
Esse é um problema típico para se resolver com a equação (11), pois se trata de múltiplos fluidos. Como ponto
0 (partida), definiremos a superfície, em que a pressão manométrica é nula ( ), e -ésimo ponto o
fundo do tanque. Como esse trajeto (superfície até o fundo) é apenas de descida, todas as parcelas serão
somadas:
Embora a ordem das parcelas não altere a soma, os fluidos se estabilizarão de acordo com sua massa
específica, ficando os mais densos em baixo. Como , então:
De acordo com o Teorema de Stevin, um dispositivo que medisse a quantidade de gasolina pela pressão no
fundo do tanque marcaria de gasolina, quando, de fato, há apenas 50 cm.
Forças sobre superfície plana submersa
Quando uma peça está submersa em um fluido estático, ela sofre a pressão ao longo de toda a sua superfície.
É necessário calcular a força resultante para avaliar o equilíbrio da peça e dimensionar seus apoios, o que
pode ser feito por:
Equação 11
• 
• 
• 
Para evitar essa integral, apresentaremos uma metodologia simplificadora.
 
Considere que uma placa plana é submersa em um fluido, conforme mostra a imagem a seguir:
Placa plana submersa
De acordo com o Teorema de Stevin, a pressão variará linearmente do ponto mais alto até o mais baixo.
Estamos interessados em saber qual é a força ( ) resultante dessa pressão, que é aplicada em determinado
ponto da placa, chamado de Centro de Pressão ( ), conforme mostra a imagem a seguir:
Força aplicada em uma superfície submersa
Posicionaremos a origem do sistema de coordenadas no Centro Geométrico (CG), também conhecido como
Centroide da Geometria. As coordenadas do centroide da superfície S são determinadas por:
Analogamente, a profundidade do CG será:
Para o sistema de coordenadas adotado (origem coincidente com CG), teremos e .
A placa tem um ângulo com a horizontal. A distância de um ponto qualquer na placa com coordenada 
 até a linha d'água pode ser medida ao longo da direção da placa, por , ou ao longo da
vertical, por .
 
Começando pela definição da força de pressão e aplicando o Teorema de Stevin (equação 8):
Como é constante, pode ser retirada da integral:
Equação 12
Equação 13
Considerando fluido incompressível (líquido), ou seja, e constantes:
Com base na equação 13, a segunda parcela da equação anterior pode ser substituída por :
Lançando mão, mais uma vez, do Teorema de Stevin, , então:
Exemplo
Qual é a força que a água do mar ( ) faz em uma janela circular vertical de 40cm de diâmetro,
cujo ponto mais alto está a 2,00m de profundidade e o mais baixo, a 2,40m?
Solução
A profundidade do CG de um círculo é em seu centro, que fica na profundidade média 
.
 
A pressão manométrica no CG, por sua vez, será:
A área da janela é:
Aplicando a equação 14:
Equação 14
Isso equivale a 2780/9,8 = 284 kgf.
De um lado da janela atua a pressão da água, enquanto, do outro, a pressão atmosférica. A diferença entre
elas, que gera a força resultante, é equivalente à pressão manométrica. Por isso, a pressão manométrica
costumaser adotada nesse tipo de problema.
Ainda não sabemos onde a força F é aplicada, ou seja, a posição do CP. Para isso, avaliaremos, em seguida, o
momento. Assim como a intensidade da força F deve ser igual à resultante da pressão distribuída ao longo da
placa, o momento também.
 
Algumas dimensões devem ser destacadas, conforme mostra a imagem a seguir:
 
 de um ponto qualquer na placa;
 do Centro de Pressão ;
 = distância oblíqua medida ao longo da direção da placa, de um ponto qualquer até a superfície;
 distância oblíqua medida ao longo da direção da placa, do até a superfície, igual a 
;
Por relação trigonométrica, observamos que .
Dimensões para dedução da posição do CP
O momento provocado pela força deve ser igual ao da pressão distribuída ao longo da placa:
• 
• 
• 
• 
• 
Desenvolvendo p pelo Teorema de Stevin:
Lembrando que estamos assumindo fluido incompressível ( e constantes), e que é constante:
Comparando com a equação 12, observamos que pode ser substituído por . Como o sistema
de coordenadas adotado tem sua origem no , portanto:
A profundidade , por sua vez, pode ser substituída por (imagem anterior):
Como :
Conforme a equação 15, a primeira parcela dessa expressão é nula. A segunda corresponde à definição do
momento de inércia de área . Por fim:
Equação 15
Equação 16
Resumo
Quando uma superfície plana está submersa, a intensidade e a posição da força resultante são obtidas pelas
seguintes fórmulas:
Em que:
 
 pressão no centroide
 momento de inércia de área
 
A posição de CG e o cálculo de para as geometrias mais comuns são mostrados na imagem a seguir:
Centroide \((C G)\) e fórmula do momento de inércia de área \(\left(I_{x x}\right)\)
para geometrias mais comuns
Exemplo
A comporta AB da imagem a seguir tem 1,20m de largura, está articulada em A e tem o movimento limitado
pelo ponto B. A água está a 20°C. Calcule a força sobre o bloco B se a profundidade da água é h = 2,40m.
• 
• 
A força que a água exercerá sobre o bloco é aplicada no Centro de Pressão (CP), conforme mostra a imagem a
seguir:
 
A intensidade de F é obtida por:
Como a geometria da comporta é retangular, CG fica na metade de seu comprimento. Assumindo 
 (água):
A posição em que essa força atua é obtida por:
O ângulo entre a comporta e a superfície d'água é . Para um retângulo, .
É negativo, porque fica abaixo de .
Para obter a reação em , devemos isolar a comporta:
Calculando o somatório de momentos em relação à rótula A, temos:
Estabilidade de corpos flutuantes
Com base no Teorema de Arquimedes, o empuxo é calculado por:
Em que:
 
 massa especifica do fluido (por exemplo, água do mar)
 volume submerso (abaixo da linha d'água)
 
Qualquer objeto que seja projetado para flutuar (empuxo igual ao peso) precisa ser estável, ou seja, no caso
de uma perturbação provocar um balanço (por exemplo, onda), ele voltará para a posição de equilíbrio.
 
O ponto de aplicação do peso é chamado de centro de gravidade (G). O empuxo, por sua vez, é aplicado no
centroide (CG) do volume submerso, que é chamado de centro de carena (C), conforme mostra a imagem a
seguir:
Localização do peso, centro de gravidade (G) e empuxo, centro de carena (C) em
um corpo flutuante.
Quando o plano de simetria do corpo flutuante está na posição de equilíbrio, G e C ficam em uma mesma linha
vertical. Consequentemente, não há momento resultante, conforme mostra a imagem a seguir:
• 
• 
Centro de carena (C) e de gravidade na posição de equilíbrio e em balanço –
metacentro (M).
Se ocorre um balanço, o centro de carena será reposicionado (C para C’), de acordo com a nova geometria do
volume submerso. Traçando uma linha vertical a partir da nova posição do centro de carena (C’), a interseção
com o plano de simetria é definida como metacentro (M).
 
O binário de forças formado pelo peso e empuxo gera um momento que pode trazer o flutuante de volta para
a posição de equilíbrio, ou o contrário, aumentando ainda mais o balanço, conforme mostra a imagem a seguir:
Situação de estabilidade versus instabilidade.
A condição também pode ser analisada com base na posição de M em relação a G, o que é chamado de altura
metacêntrica (GM). Se:
GM > 0: equilíbrio estável
Se houver uma perturbação, ela tenderá a voltar para a posição de equilíbrio.
GM = 0: equilíbrio crítico ou indiferente
Não há momento para restaurar a posição inicial nem aumentar o balanço.
GMD
10,2kN
E
10,4kN
A alternativa A está correta.
Assista à resolução da questão.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Questão 6
Observe a figura a seguir:
Como são chamados os pontos X, Y e Z, respectivamente, para o corpo flutuante representado.
A
Centro de gravidade, metacentro e centro de carena
B
Centro de pressão, centroide e metacentro
C
Centro geométrico, centro de carena e centro de gravidade
D
Centro de carena, centro de gravidade e metacentro
E
Metacentro, centro de carena e centro de gravidade
A alternativa D está correta.
O ponto X é aquele que aparenta estar mais próximo do centroide do volume submerso, onde a força de
empuxo atua. Portanto, é chamado de centro de carena. O ponto Z é a interseção da vertical que passa
pelo centro de carena com o eixo de simetria, o que corresponde à definição de metacentro. O ponto Y se
encontra no eixo de simetria e, por exclusão, corresponde ao centro de gravidade.
Verificando o aprendizado
Questão 1
O peso medido de uma amostra, fora e dentro d’água, é 56,0kg e 33,6kg, respectivamente. Qual a massa
específica desse material?
A
2.500kg/m³
B
1.000kg/m³
C
1.500kg/m³
D
2.235kg/m³
E
1.972kg/m³
A alternativa A está correta.
Ao medir o peso de algo dentro d'água , a balança medirá a diferença entre o peso real ) e o
empuxo ):
O empuxo é calculado por e :
Então:
Questão 2
Uma câmara hiperbárica, representada na figura a seguir, é projetada para realizar experimentos com
pressões acima da atmosférica. Um compressor leva a pressão manométrica do ar na câmara até 100psi.
Calcule a força total aplicada pela água na janela de inspeção:
A
707kN
B
687kN
C
117kN
D
689kN
E
4242kN
A alternativa E está correta.
A força resultante de um fluido estático em uma superfície submersa pode ser calculada como o produto
entre a pressão no centro geométrico (centroide) da superfície e sua área:
A pressão na superfície é:
A pressão no centroide será:
Então:
4. Conclusão
Considerações finais
Já sabemos bem o que é a disciplina Fenômenos de Transporte (FENTRAN) e para que se aplica na
Engenharia. Devido à grande abrangência de tópicos abordados – como mecânica dos fluidos, transferência
de calor e massa –, é importante ter em mente a que tópico recorrer quando for necessário lidar com
determinado problema.
 
Os métodos abordados em análise dimensional e semelhança podem ser muito úteis para simplificar a análise
dos fenômenos e obter resultados em condições diferentes para as quais há dados disponíveis (como, por
exemplo, experimentos). Lembre-se de que se trata de um assunto também utilizado em outras disciplinas.
 
A Estática dos Fluidos fornece ferramentas fundamentais para o projeto de barragens, vertedores, eclusas e
aquários, além da análise de estabilidade de corpos que são projetados para flutuar.
 
Por fim, concluímos que o profissional que tem um bom conhecimento de FENTRAN está mais bem preparado
para resolver os diversos problemas da Engenharia moderna, que, cada vez mais, têm um caráter
multidisciplinar.
Podcast
Agora, o especialista Gabriel de Carvalho Nascimento fará um resumo sobre os tópicos abordados.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para ouvir o áudio.
Explore+
Procure ler na web o texto Explorando a conexão entre a mecânica dos fluidos e a teoria cinética, de Edson
José Vasques, Paulo Menegasso e Mariano de Souza, publicado na Revista Brasileira de Ensino de Física em
2016.
Referências
FOX, R. W.; MCDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J. Introdução à mecânica dos fluidos. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC,
2018.
 
PORTO, R. M. Hidráulica Básica. 4. ed. São Carlos: EESC-USP, 2006.
 
WHITE, F. M. Fluid Mechanics. 7. ed. New York: McGraw-Hill, 2010.
	Introdução à estática dos fluidos
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	O que são fenômenos de transporte?
	Para iniciar o seu estudo, assista ao vídeo.
	Conteúdo interativo
	1. Fenômenos de transporte e propriedades dos fluidos
	Introdução
	Conteúdo interativo
	Conceito de Fenômenos de Transporte
	Aplicações de FENTRAN na Engenharia
	Quantidade de movimento
	Calor
	Massa
	Resumindo
	Meteorologia e Oceanografia
	Circulação sanguínea (Biomedicina)
	Geração de energia – turbinas hidráulicas e eólicas
	Aerodinâmica
	Lazer – jet ski e flyboard
	Lazer
	Construção civil: Ponte
	Túnel de vento – aerodinâmica automotiva e de aviação
	Engenharia naval
	Esportes
	Hidráulica, irrigação e drenagem
	Óleo e gás
	Refrigeração
	Dispersão de poluentes
	Sustentabilidade
	Sólido X fluido
	Saiba mais
	Hipótese do contínuo: abordagens euleriana e lagrangiana
	Atenção
	Dica
	Exemplo
	Velocímetro
	Radar
	Propriedades dos fluidos, grandezas físicas e suas principais unidades
	Massa específica:
	Saiba mais
	Peso específico:
	Unidades:
	Densidade: ou
	Saiba mais
	Viscosidade (dinâmica):
	Viscosidade cinemática:
	Pressão:
	Unidades:
	Saiba mais
	Saiba mais
	Teoria na prática
	Os discos rígidos ou Hard Drives (HDs) são dispositivos de armazenamento utilizados em computadores.
	Considere que o disco tenha diâmetro de 2,5”, que gire a 500 rotações por segundo, e que haja uma folga de 1mm entre cada uma de suas superfícies (superior e inferior) e as faces internas da caixa, preenchida com ar à temperatura ambiente (24°C).
	Resolução
	Neste vídeo, assista sobre o efeito da viscosidade na resistência ao movimento.
	Conteúdo interativo
	Mão na massa
	Qual substância tem comportamento ambíguo entre sólido e fluido?
	Qual das unidades a seguir pode ser utilizada para viscosidade?
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	2. Métodos de análise dimensional
	Introdução
	Conteúdo interativo
	Grupos adimensionais
	Número de Reynolds (Re)
	Número de Euler ()
	Número de Froude ()
	Número de Weber ()
	Número de Mach ()
	Coeficiente de arrasto e sustentação ( e )
	Análise dimensional
	Teorema Pi de Buckingham
	Atenção
	Teoria da Semelhança
	Exemplo
	Solução
	Teoria na prática
	Um grupo de estudantes está desenvolvendo uma turbina eólica de 5,0 kW. O local onde será instalada tem velocidade de vento média de 5m/s.
	Após diversas análises em Computational Fluid Dynamics (CFD), ou Fluidodinâmica Computacional, o grupo decide validar os resultados obtidos até então, testando o desenho elaborado com um modelo reduzido em túnel de vento, que tem tamanho suficiente para testar um modelo reduzido com 1:5 do tamanho do protótipo (escala de projeto). Foi adotada a mesma velocidade de rotação ().
	Considerando que, além das variáveis já mencionadas, a massa específica do ar também é relevante para a análise:
	Resolução
	Neste vídeo, assista sobre o modelo reduzido aplicado para energia eólica.
	Conteúdo interativo
	Mão na massa
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	3. Problemas com fluidos em condição estática
	Introdução
	Conteúdo interativo
	Fluido estático
	Pressão manométrica, pressão atmosférica e pressão absoluta
	Exemplo
	Solução
	Equação fundamental da fluidostática, Teorema de Pascal e Teorema de Stevin
	Forças de campo
	Forças de contato
	Teorema de Stevin
	Princípio de Pascal
	Antes
	Depois
	Exemplo
	Solução
	Múltiplos fluidos
	Exemplo
	Solução
	Forças sobre superfície plana submersa
	Exemplo
	Solução
	Resumo
	Exemplo
	Estabilidade de corpos flutuantes
	GM > 0: equilíbrio estável
	GM = 0: equilíbrio crítico ou indiferente
	GM